《高中物理奥赛经典》之极限法

五、极限法方法简介极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。

极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。

因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。

赛题精讲例1：如图5—1所示， 一个质量为m 的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方h 高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k ，则物块可能获得的最大动能为 。

解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。

所以速最大时有mg = kx ①由机械能守恒有：mg (h + x) = E k +12kx 2 ②联立①②式解得：E k = mgh －22m g 2k 例2：如图5—2所示，倾角为α的斜面上方有一点O ，在O 点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O 点沿直轨道到达斜面P 点的时间最短。

求该直轨道与竖直方向的夹角β 。

解析：质点沿OP 做匀加速直线运动，运动的时间t 应该与β角有关，求时间t 对于β角的函数的极值即可。

由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为：a = gcos β该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t ，则：12at 2 =OP 所以：① 由图可知，在ΔOPC 中有：o OP sin(90)-α=o OC sin(90)+α-β图5—1图5—2所以：OP =OCcos cos()αα-β ② 将②式代入①式得：t =显然，当cos(α－2β) = 1 ，即β =2α时，上式有最小值。

所以当β =2α时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。

此题也可以用作图法求解。

例3：从底角为θ的斜面顶端，以初速度v 0水平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，如图5—3所示，则小球抛出后，离开斜面的最大距离H 为多少？解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。

以水平向右为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向，则由：v y = v 0tan θ = gt ，解得运动时间为t =0v g tan θ 该点的坐标为：x = v 0t =20v g tan θ ，y =12gt 2 =20v 2gtan 2θ 由几何关系得：H cos θ+ y = xtan θ 解得小球离开斜面的最大距离为：H =20v 2gtan θ⋅sin θ 这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。

例4：如图5—4所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m 的墙外，从喷口算起，墙高为4.0m 。

若不计空气阻力，取g = 10m/s 2 ，求所需的最小初速及对应的发射仰角。

解析：水流做斜上抛运动，以喷口O 为原点建立如图所示的直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A （d 、h ）的最小初速度和发射仰角。

根据平抛运动的规律，水流的运动方程为：020x v cos t 1y v sin t gt 2=α⋅⎧⎪⎨=α⋅-⎪⎩ 把A 点坐标（d 、h ）代入以上两式，消去t ，得：20v =－22gd 2(h d tan )cos -αα=2gd d sin2h(cos 21)α-α+图5— 图5—4=2gd sin 2cos 2h ⎤αα-⎥⎦ 令h d = tan θ，则= cos θ= sin θ ，上式可变为： 20v2显然，当sin (2α－θ) = 1时，即2α－θ = 90°，亦即发射角α = 45°+2θ= 45°+12arctan h d = 45°+ arctan 43= 71.6°时，v 0最小，且最小速度为： v 0例5：如图5—5所示，一质量为m 的人，从长为l 、质量为M 的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止。

铁板和水平面间摩擦因数为μ ，人和铁板间摩擦因数为μ′，且μ′μ 。

这样，人能使铁板朝其跑动方向移动的最大距离L 是多少？解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f ，其加速度a 1 =f M m +=(M m)g M m μ++= μg 。

由于铁板移动的距离L =21v 2a '，故v ′越大，L 越大。

v ′是人与铁板一起开始地运动的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。

人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦μ (M + m)g ，根据系统的牛顿第二定律得：F = ma 2 + M ⋅0所以：a 2 =F m = μM m m+g ① 设v 、v ′分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度：因为：mv = (M + m) v ′ ②且：v 2 = 2a 2l ，2v '= 2a 1L并将a 1 、a 2代入②式解得铁板移动的最大距离： L =m M m+l 例6：设地球的质量为M ，人造卫星的质量为m ，地球的半径为R 0 ，人造卫星环绕地球做圆周运动的半径为r。

试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射 图5—5速度（取R 0 = 6.4×106m ），设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为g ）解析：由能量守恒定律，卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。

设卫星从地面发射的速度为v 发 ，卫星发射时具有的机械能为：E 1 =12m 2v 发－G 0Mm R ① 进入轨道后卫星的机械能为：E 2 =12m 2v 轨－G Mm r② 由E 1 = E 2 ，并代入v 轨v 发③ 又因为在地面上万有引力等于重力，即：G 20Mm R = mg ，所以： 0GM R = gR 0 ④ 把④式代入③式即得：v 发（1）如果r = R 0 ，即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时，所需发射速度最小为：v min=×103m/s 。

（2）如果r →∞，所需发射速度最大（称为第二宇宙速度或脱离速度）为：v max== 11.2×103m/s 。

例7：如图5—6所示，半径为R 的匀质半球体，其重心在球心O 点正下方C 点处，OC =38R ， 半球重为G ，半球放在水平面上，在半球的平面上放一重为G 8的物体，它与半球平在间的动摩擦因数μ = 0.2 ，求无滑动时物体离球心O 点最大距离是多少？解析：物体离O 点放得越远，根据力矩的平衡，半球体转过的角度θ越大，但物体在球体斜面上保持相对静止时，θ有限度。

设物体距球心为x 时恰好无滑动，对整体以半球体和地面接触点为轴，根据平衡条件有： G ⋅3R 8sin θ =G 8⋅xcos θ ，得到：x = 3Rtan θ 可见，x 随θ增大而增大。

临界情况对应物体所受摩擦力为最大静摩擦力，则：图5—6tan θm =m f N= μ = 0.2 ，所以 x = 3μR = 0.6R 。

例8：有一质量为m = 50kg 的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数μ = 0.3 ，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角θ = 30°，如图5—7所示。

（1）若以水平力F 作用在杆上，作用点到地面的距离h 1 =25L （L 为杆长），要使杆不滑倒，力F 最大不能越过多少？ （2）若将作用点移到h 2 =45L 处时，情况又如何？ 解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h 有关，讨论力与h 的关系是关键。

杆的受力如图5—7—甲所示，由平衡条件得：F －Tsin θ－f = 0N －Tcos θ－mg = 0F(L －h)－fL = 0 另由上式可知，F 增大时，f 相应也增大，故当f 增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：f = μN解得：F max =mgL tan tan (L h)h θθ--μ由上式又可知，当［tan θμ(L －h)－h ］→∞ ，即当h 0 = 0.66L 时，对F 就没有限制了。

（1）当h 1 =25L ＜h 0 ，将有关数据代入F max 的表达式得：F max = 385N （2）当h 2 =45L ＞h 0 ，无论F 为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。

例9：放在光滑水平面上的木板质量为M ，如图5—8所示，板上有质量为m 的小狗以与木板成θ角的初速度v 0（相对于地面）由A 点跳到B 点，已知AB 间距离为s 。

求初速度的最小值。

解析：小狗跳起后，做斜上抛运动，水平位移向右，由于水平方向动量守恒，木板向左运动。

小狗落到板上的B 点时，小狗和木板对地位移的大小之和，是小狗对木板的水平位移。

由于水平方向动量守恒，有：mv 0cos θ = Mv ，即：v =0mv sin M θ ① 小狗在空中做斜抛运动的时间为：t =02v sin g θ ②图5—7图5—7—甲图5—8又：s + v 0cos θ⋅t = vt ③将①、②代入③式得：v 0当sin2θ = 1 ，即θ =4π时，v 0有最小值，且v 0min例10：一小物块以速度v 0 = 10m/s 沿光滑地面滑行，然后沿光滑 曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出，如图5—9所示。

当高台的高度h 多大时，小物块飞行的水平距离s 最大？这个距离是多少？（g 取10m/s 2）解析：依题意，小物块经历两个过程。

在脱离曲面顶部之前，小物块受重力和支持力，由于支持力不做功，物块的机械能守恒，物块从高台上飞出后，做平抛运动，其水平距离s 是高度h 的函数。

设小物块刚脱离曲面顶部的速度为v ，根据机械能守恒定律：12m 20v =12m v 2 + mgh ① 小物块做平抛运动的水平距离s 和高度h 分别为：s = vt ② h =12gt 2 ③以上三式联立解得：s =当h =20v 4g = 2.5m 时，s 有最大值，且s max =20v 2g= 5m 。

例11：军训中，战士距墙s ，以速度v 0起跳，如图5—10所示，再用脚蹬墙面一次，使身体变为竖直向上的运动以继续升高，墙面与鞋底之间的静摩擦因数为μ 。

求能使人体重心有最大总升高的起跳角θ 。

解析：人体重心最大总升高分为两部分，一部分是人做斜上抛运动上升的高度，另一部分是人蹬墙所能上升的高度。

如图5—10—甲，人做斜抛运动，有：v x = v 0cos θ ，v y =v 0sin θ－gt重心升高为：H 1 = s 0tan θ－12g (0s v cos θ)2 脚蹬墙面，利用最大静摩擦力的冲量可使人向上的动量增加，即：Δ(mv y ) = m Δv y = Σf(t) = ΣμN(t) Δt = μΣN(t) Δt而：ΣN(t) Δt = mv x图5—9 图5—10所以：Δv y = μv x ，人蹬墙后，其重心在竖直方向向上的速度为：y v '= v y + Δv y = v y + μv x ，继续升高H 2 =2yv 2g '重心总升高：H = H 1 + H 2 =20v 2g(μcos θ + sin θ)2－μs 0 当θ = arctan1μ时，重心升高最大。