2020届南京市玄武区2016年中考数学二模试卷(有答案)

江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．计算6×（﹣2）﹣12÷（﹣4）的结果是（）A．10 B．0 C．﹣3 D．﹣92．小明从正面观察如图所示的物体，看到的是（）A．B．C．D．3．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为（）A．0.21×10﹣4B．2.1×10﹣4C．2.1×10﹣5D．21×10﹣64．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍C．不变 D．缩小为原来的倍5．若关于x的方程x2﹣4x+k=0的一个根为2﹣，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．已知40°的圆心角所对应的扇形面积为πcm2，则这条弧所在圆的直径为（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．分解因式：2x2﹣8= ．8．如图，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB．若∠AEC=100°，则∠D等于．9．若|a﹣3|=a﹣3，则a= ．（请写一个符合条件a的值）10．某班派6名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是：67，61，59，63，57，66（单位：千克）这组数据的中位数是千克．11．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=100°，则∠BCD= ．12．一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件原价的8折（即按照原价的80%）销售，售价为120元，则这款羊毛衫的原销售价为．13．已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是cm2．14．在同一直角坐标系中，点A、B分别是函数y=x﹣1与y=﹣3x+5的图象上的点，且点A、B关于原点对称，则点A的横坐标为．15．如图，等腰Rt△ABC的斜边BC在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，连接OA，若OB=2，则点A的坐标为．16．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，∠BCD=120°，BC=2，AD=DC．P为四边形ABCD边上的任意一点，当∠BPC=30°时，CP的长为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解方程组（2）解方程x2﹣2x﹣1=0．18．先化简：（ +）÷，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算．19．某区对即将参加中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分．请根据图表信息回答下列问题：视力频数（人）频率4.0≤x＜4.3 20 0.14.3≤x＜4.6 40 0.24.6≤x＜4.9 70 0.354.9≤x＜5.2 a 0.35.2≤x＜5.5 10 b（1）本次调查的样本为，样本容量为；（2）在频数分布表中，a= ，b= ，并将频数分布直方图补充完整；（3）若视力在4.6以上（含4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？20．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，将线段AB平移至DE，连接AE、AD、EC．（1）求证：AD=EC；（2）当点D是BC的中点时，求证：四边形ADCE是矩形．21．某市在道路改造过程中，需要铺设一条管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．求甲工程队每天能铺设多少米？22．一个不透明的袋中装有2只红球和2只绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为；（2）从袋中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率．23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在BC、AC上，且DC=DE．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若AB=5，AE=1，DE=3，求BC的长．24．小明同学需测量一条河流的宽度（河岸两边互相平行）．如图，小明同学在河岸一侧选取两个观测点A、B，在河对岸选取观测点C，测得AB=31m，∠CAB=37°，∠CBA=120°．请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）25．一个装有进水管和出水管的容器，根据实际需要，从某时刻开始的2分钟内只进水不出水，在随后的4分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的部分关系如图所示．（1）当2≤x≤6时，求y与x的表达式；（2）请将图象补充完整；（3）从进水管开始进水起，求该容器内的水量不少于7.5升所持续时间．26．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且 CE=CF．连接CA、CD、CB．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD=CD=6，求四边形ABCD的面积．27．已知二次函数y=x2﹣2ax﹣2a﹣6（a为常数，a≠0）．（1）求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，线段BC的垂直平分线l与x轴交于点D．①求点D的坐标；②设点P是抛物线上的一个动点，点Q是直线l上的一个动点．以点B、D、P、Q为顶点的四边形是否可能为平行四边形？若能，直接写出点Q的坐标．江苏省南京市玄武区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．计算6×（﹣2）﹣12÷（﹣4）的结果是（）A．10 B．0 C．﹣3 D．﹣9【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题；实数．【分析】原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣12+3=﹣9，故选D【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．小明从正面观察如图所示的物体，看到的是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：主视图是从正面看所得到的图形，圆柱从正面看是长方形，正方体从正面看是正方形，所以从左往右摆放一个圆柱体和一个正方体，它们的主视图是左边一个长方形，右边一个正方形．故选C．【点评】此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为（）A．0.21×10﹣4B．2.1×10﹣4C．2.1×10﹣5D．21×10﹣6【考点】科学记数法—表示较小的数．【专题】应用题．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：0.000 021=2.1×10﹣5．故选C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍C．不变 D．缩小为原来的倍【考点】分式的基本性质．【分析】依题意，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．【解答】解：分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得==，可见新分式扩大为原来的2倍．故选B．【点评】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．规律总结：解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．5．若关于x的方程x2﹣4x+k=0的一个根为2﹣，则k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】把已知方程的根代入方程计算即可求出k的值．【解答】解：把x=2﹣代入方程得：7﹣4﹣8+4+k=0，解得：k=1．故选A．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．6．已知40°的圆心角所对应的扇形面积为πcm2，则这条弧所在圆的直径为（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm【考点】扇形面积的计算．【分析】利用扇形的面积的公式=进行计算可得．【解答】解：∵扇形的面积的公式=，n=40°，扇形面积为πcm2，∴π=，解得；r=±4（负数舍去），∴这条弧所在圆的直径为8cm．故选；C．【点评】本题主要考查了扇形面积公式的应用，准确记忆扇形面积公式是解题关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．分解因式：2x2﹣8= 2（x+2）（x﹣2）．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查提公因式法分解因式，是基础题．8．如图，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB．若∠AEC=100°，则∠D等于80°．【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】首先由邻补角的定义求得∠CEB的度数，进而根据平行线的同位角相等得到∠D的度数．【解答】解：∵∠CEA=100°，∴∠CEB=180°﹣∠CEA=80°；又∵AB∥DF，∴∠CEB=∠D=80°；故答案为：80．【点评】此题主要考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．9．若|a﹣3|=a﹣3，则a= 4 ．（请写一个符合条件a的值）【考点】绝对值．【分析】当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；当a是零时，a的绝对值是零．依此即可求解．【解答】解：∵|a﹣3|=a﹣3，∴a﹣3≥0，解得a≥3，故a可以取4．故答案为：4（不唯一）．【点评】考查了绝对值，绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．10．某班派6名同学参加拔河比赛，他们的体重分别是：67，61，59，63，57，66（单位：千克）这组数据的中位数是62 千克．【考点】中位数．【分析】首先将数据按从小到大排列，进而找出最中间求出答案．【解答】解：数据从小到大排列为：57，59，61，63，66，67，则最中间为：61和63，故这组数据的中位数是： =62．故答案为：62．【点评】此题主要考查了中位数，正确把握中位数的定义是解题关键．11．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=100°，则∠BCD= 130°．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠A的度数，再根据圆周角定理求解即可．【解答】解：∵∠BOD=100°∴∠A=50°∠BCD=180°﹣∠A=130°故答案为：130°．【点评】此题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．12．一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售，若这款羊毛衫每件原价的8折（即按照原价的80%）销售，售价为120元，则这款羊毛衫的原销售价为150元．【考点】一元一次方程的应用．【专题】销售问题；方程思想．【分析】此题的相等关系为，原价的80%等于销售价，依次列方程求解．【解答】解：设这款羊毛衫的原销售价为x元，依题意得：80%x=120，解得：x=150，故答案为：150元．【点评】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是确定相等关系列方程求解．13．已知圆柱的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆柱的侧面积是30πcm2．【考点】圆柱的计算．【分析】圆柱侧面积=底面周长×高．【解答】解：π×2×3×5=30πcm2，故答案为30π．【点评】本题考查了圆柱的计算，掌握圆柱侧面积的计算方法是解题的关键．14．在同一直角坐标系中，点A、B分别是函数y=x﹣1与y=﹣3x+5的图象上的点，且点A、B关于原点对称，则点A的横坐标为﹣1 ．【考点】关于原点对称的点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】设点A的坐标为（a，a﹣1），根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数表示出点B 的坐标，然后代入y=﹣3x+5计算即可得解．【解答】解：∵点A在y=x﹣1的图象上，∴设点A的坐标为（a，a﹣1），∵点A、B关于原点对称，∴点B（﹣a，1﹣a），∴﹣3×（﹣a）+5=1﹣a，解得a=﹣1，∴点A的横坐标为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，用点A的坐标表示出点B的坐标是解题的关键．15．如图，等腰Rt△ABC的斜边BC在x轴上，顶点A在反比例函数的图象上，连接OA，若OB=2，则点A的坐标为（3，1）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰直角三角形．【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，设点A的坐标为（m，）（m＞0）．由等腰直角三角形的性质可得出BD=AD，再根据线段间的关系可得出OD=OB+BD，从而得出关于m的分式方程，解方程求出m值，代入A点的坐标，此题得解．【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示．设点A的坐标为（m，）（m＞0）．∵△ABC为等腰直角三角形，∴BD=AD=，∴OD=OB+BD=2+=m，解得：m=3，或m=﹣1（舍去），经验证m是方程2+=m的解．∴点A的坐标为（3，1）．故答案为：（3，1）．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及解分式方程，解题的关键是找出2+=m．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据线段间的关系找出关于m的分式方程是关键．16．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，∠BCD=120°，BC=2，AD=DC．P为四边形ABCD边上的任意一点，当∠BPC=30°时，CP的长为2或2或4 ．【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．【专题】分类讨论．【分析】如图，连接AC．首先证明△ACD是等边三角形，分三种情形讨论即可解决问题．【解答】解：如图，连接AC．∵BC∥AD，∠DCB=120°，∴∠D+∠DCB=180°，∴∠D=60°，∵DC=DA，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，∵AB⊥BC，∴∠CBA=∠BAD=90°，∴∠BAC=30°，∴当P3与A重合时，∠BP3C=30°，此时CP3=4，作CP2⊥AD于P2，则四边形BCP2A是矩形，易知∠CP2B=30°，此时CP2=2，当CB=CP1时，∠CP1B=∠CBP1=30°，此时CP1=2，综上所述，CP的长为2或2或4．故答案为2或2或4．【点评】本题考查等边三角形的判定、矩形的判定、30度的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）解方程组（2）解方程x2﹣2x﹣1=0．【考点】解二元一次方程组；解一元二次方程﹣公式法．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可．【解答】解：（1），由②得：y=2x﹣1③，将③代入①得：3x+5（2x﹣1）=8，整理得：13x=13，解得：x=1，将x=1代入③得y=1，则该方程组的解为；（2）∵a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，x===1±，∴x1=1+，x2=1﹣．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．先化简：（ +）÷，再从2，﹣2，1，0，﹣1中选择一个合适的数进行计算．【考点】分式的化简求值．【分析】先算括号里面的，再算除法，最后选出合适的x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=（﹣）÷=÷=•=2x，∵x﹣2≠0、x≠0、x+2≠0，∴x≠2、x≠0、x≠﹣2，将x=1代入，得原式=2×1=2．【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意x的取值要保证分式有意义．19．某区对即将参加中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分．请根据图表信息回答下列问题：视力频数（人）频率4.0≤x＜4.3 20 0.14.3≤x＜4.6 40 0.24.6≤x＜4.9 70 0.354.9≤x＜5.2 a 0.35.2≤x＜5.5 10 b（1）本次调查的样本为200名初中毕业生的视力情况，样本容量为200 ；（2）在频数分布表中，a= 60 ，b= 0.05 ，并将频数分布直方图补充完整；（3）若视力在4.6以上（含4.6）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．【专题】计算题．【分析】（1）用第1组的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量，然后根据样本的定义写出样本；（2）用样本容量乘以0.3得到a的值，用10除以10得到b的值；（3）用样本值后面三组的频率和乘以5000可估计全区初中毕业生中视力正常的学生数．【解答】解：（1）20÷0.1=200（人），所以本次调查的样本为200名初中毕业生的视力情况，样本容量为200；（2）a=200×0.3=60，b=10÷200=0.05；故答案为 200名初中毕业生的视力情况，200；60，0.05；（2）5000×（0.35+0.3+0.05）=3500（人），估计全区初中毕业生中视力正常的学生有3500人．【点评】本题考查了频数（率）分布直方图：频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即小长方形面积=组距×频数组距=频率．从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容．也考查了用样本估计总体．20．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，将线段AB平移至DE，连接AE、AD、EC．（1）求证：AD=EC；（2）当点D是BC的中点时，求证：四边形ADCE是矩形．【考点】矩形的判定；等腰三角形的性质；平移的性质．【分析】（1）利用SAS证得△ACD≌△ECD后即可证得AD=EC；（2）当点D是BC中点时，四边形ADCE是矩形；首先证得四边形ADCE是平行四边形，然后证得AD⊥BC即可利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形．【解答】（1）证明：∵将线段AB平移至DE，∴AB=DE，AB∥DE．∴∠EDC=∠B∵AB=AC∴∠B=∠ACB，DE=AC∴∠EDC=∠ACB，在△ADC与△ECD中，∴△ADC≌△ECD（SAS），∴AD=EC；（2）∵将线段AB平移至DE，∴AB=DE，AB∥DE．∴四边形ABDE为平行四边形．∴BD=AE，∵点D是BC的中点．∴BD=DC，∴AE=DC，∵AD=EC，∴四边形ADCE为平行四边形．∵AB=AC，点D是BC的中点∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE为矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，能够正确的结合图形理解题意是解答本题的关键，难度不大．21．某市在道路改造过程中，需要铺设一条管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．求甲工程队每天能铺设多少米？【考点】分式方程的应用．【分析】直接利用甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同，即可得出等式求出答案．【解答】解：设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设（x﹣20）米．根据题意得：解之得x=70．经检验，x=70是原分式方程的解，且符合题意，答：甲工程队每天分别能铺设70米．【点评】本题主要考查的是分式方程的应用，根据题意找出正确等量关系是解题的关键．22．一个不透明的袋中装有2只红球和2只绿球，这些球除颜色外完全相同．（1）从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率为；（2）从袋中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】计算题．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出这2只球颜色不同的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）从袋中一次随机摸出1只球，则这只球是红球的概率==，故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中这2只球颜色不同的结果数为8，所以这2只球颜色不同的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．23．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在BC、AC上，且DC=DE．（1）求证：△ABC∽△DEC；（2）若AB=5，AE=1，DE=3，求BC的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）与等腰三角形的性质得出∠B=∠C，∠DEC=∠C，得出∠DEC=∠B，即可得出△ABC∽△DEC；（2）求出CE，由相似三角形的对应边成比例得出，即可求出BC的长．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DC=DE，∴∠DEC=∠C，∴∠DEC=∠B，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△DEC；（2）解：∵AB=AC=5，AE=1，∴CE=AC﹣AE=4，∵△ABC∽△DEC，∴，即=．解得：BC=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟记等腰三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．24．小明同学需测量一条河流的宽度（河岸两边互相平行）．如图，小明同学在河岸一侧选取两个观测点A、B，在河对岸选取观测点C，测得AB=31m，∠CAB=37°，∠CBA=120°．请你根据以上数据，帮助小明计算出这条河的宽度．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用．【专题】应用题．【分析】要求CD的长，需要构造直角三角形，作CD⊥AB于点D，然后根据题目中的条件可以求得CD的长，本题得以解决．【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，如右图所示，在Rt△CAD中，tan∠CAD=，∴AD==，在Rt△CBD中，tan∠CBD=，∠CBA=120°，∴∠CBD=60°，∴BD==，∵AD﹣BD=AB，∴﹣=31，﹣=31，解得，CD≈41.0，即这条河的宽度约为41.0米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．25．一个装有进水管和出水管的容器，根据实际需要，从某时刻开始的2分钟内只进水不出水，在随后的4分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的部分关系如图所示．（1）当2≤x≤6时，求y与x的表达式；（2）请将图象补充完整；（3）从进水管开始进水起，求该容器内的水量不少于7.5升所持续时间．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）利用待定系数法即可解决．（2）求出关闭进水管直到容器内的水放完需要的时间，画出图象即可解决问题．（3）根据0≤x≤2时，y与x的函数表达式为y=5 x，以及6≤x≤10时，y与x的函数表达式为y=﹣x+，分别求出y=7.5时的时间，求出两个时间的差即可解决问题．【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为y=kx+b将点（ 2，10 ），（ 6，15）代入y=kx+b得：解得∴当2≤x≤6时，y与x的函数表达式为y= x+．（2）由题意可求出进水管每分钟的进水量为5升，出水管每分钟的出水量为3.75升，故关闭进水管直到容器内的水放完需要4分钟．所以补充的图象为连接点（ 6，15 ）和点（10，0 ）所得的线段．图象如图所示，（3）由题意可求：当0≤x≤2时，y与x的函数表达式为y=5 x当6≤x≤10时，y与x的函数表达式为y=﹣x+把y=7.5代入y=5 x，得x1=1.5把y=7.5代入y=﹣x+，得x2=8，∴该容器内的水量不少于7.5升的持续时间为x2﹣x1=8﹣1.5=6.5（分钟）答：该容器内的水量不少于7.5升的持续时间为6.5分钟．【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是学会构建一次函数，利用一次函数解决实际问题，属于中考常考题型．26．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且 CE=CF．连接CA、CD、CB．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD=CD=6，求四边形ABCD的面积．【考点】切线的判定；垂径定理．【分析】（1）连接OC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB=90°，可证得结论；（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．【解答】（1）证明：如图，连结OC．∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE=CF，∴∠CAE=∠CAB，∵OC=OA，∴∠CAB=∠OCA，∴∠CAE=∠OCA，∴OC∥AE，∴∠AEC+∠OCE=90°，∴∠OCE=90°，即OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA=∠CAB，∴DC∥AB，∵∠CAE=∠OCA，∴OC∥AD，∴四边形AOCD是平行四边形，∴OC=AD=6，AB=12，∵∠CAE=∠CAB，∴CD=CB=6，∴CB=OC=OB，∴△OCB是等边三角形，在Rt△CFB中，CF==3，∴S四边形ABCD=（DC+AB）•CF=×（6+12）×3=27．【点评】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．27．已知二次函数y=x2﹣2ax﹣2a﹣6（a为常数，a≠0）．（1）求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，线段BC的垂直平分线l与x轴交于点D．①求点D的坐标；②设点P是抛物线上的一个动点，点Q是直线l上的一个动点．以点B、D、P、Q为顶点的四边形是否可能为平行四边形？若能，直接写出点Q的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据根的判别式，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得B、C坐标，①根据线段垂直平分线的性质，可得DC=DB，根据勾股定理，可得答案；②根据平行四边形的对边相等，可得关于m的方程，解方程，可得答案．【解答】（1）证明：y=x2﹣2ax﹣2a﹣6当a≠0时，（﹣2a）2﹣4（﹣2a﹣6）=4a2+8a+24=4（a+1）2+20∵4（a+1）2≥0∴4（a+1）2+20＞0所以，该函数的图象与x轴总有两个公共点．（2）①如图1，把（2，0）代入y=x2﹣2ax﹣2a﹣6得a=1所以，y=x2﹣2x﹣8．当x=0时，y=﹣8，即C（0，﹣8），当y时，x2﹣2x﹣8=0，解得x=2（不符合题意，舍），x=4，即B（4，0），B（4，0）、C（0，﹣8）∵点D在BC的垂直平分线上∴DC=DB设OD=x，则DC=DB=x+4，在Rt△ODC中 OD2+OC2=DC2，即x2+82=（x+4）2，解得x=6所以D（﹣6，0）②Q1（，﹣）、Q2（10，﹣8）、Q3（﹣，）、Q4（，﹣）．设BC的中点为E，则点E （2，﹣4），直线l的函数关系式为y=﹣x﹣3，以点B、D、P、Q为顶点的四边形分以下两种情况讨论第一种情况：当DB为四边形的边时，如图2，当PQ∥DB且PQ=DB时，四边形DPQB为平行四边形，若PQ在x轴下方时，设点Q（m，﹣ m﹣3）则P（m﹣10，﹣ m﹣3），因为点P在抛物线上，所以﹣m﹣3=（m﹣10）2﹣2（m﹣10）﹣8．解得m1=，m2=10所以Q1（，﹣）、Q2（10，﹣8）若PQ在x轴上方时，设点Q（m，﹣ m﹣3）则P（m+10，﹣ m﹣3）因为点P在抛物线上，所以﹣m﹣3=（m+10）2﹣2（m+10）﹣8．解得m1=﹣，m2=﹣6（舍去）所以Q3（﹣，）第二种情况：当DB为四边形的对角线时当DQ4∥PB且DQ4=PB时，四边形D Q4BP为平行四边形此时可发现DQ4=PB=DQ3，即D为Q3Q4的中点所以，可求出Q4点（，﹣）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用根的判别式是解题关键；利用勾股定理得出关于m的方程是解题关键，利用平行四边形的对边相等得出关于m的方程是解题关键．。