通径分析的矩阵算法
通径分析的原理与方法
通径分析是什么
通径分析的基本原理是美国学者赖特(S·Wright)于1921年创立的。
通径分析是指利用通径系数分析变量间相关关系的方法。
通径分析是进行相关系数分解的一种统计方法。
它的意义不仅在于揭示了在多个自变量x1，x2，…，xm，y的相关分析中，xi对y的直接影响力和间接影响力，而且还可以在x1，x2，…，xm，y间的复杂相关关系中，从某个自变量与其他自变量的“协调”关系中得到对y的最佳影响的路径信息，即从复杂的自变量相关网中，得到某个自变量决定y的最佳路径，具有决策的意义。
现通过实例说明通径分析的方法与步骤，并进一步了解通径系数的意义和应用。
通径分析的方法
1．世代的通径分析
亲本与子代的关系是通过配子建立起来的。
遗传学已证明，双亲对子代的影响是相等的，所以一个配子代的通径系数就是1/2。
在随机交配的条件下，上下代个体间的通径系数也等于l/2。
知道了这个关系，我们就可以求出任何亲属间的相关系数了。
2．多个变量间的通径分析
在一般情况下，我们参考多个变量之间的相互关系时，如果它们不是世代关系，那么每个通径的系数并不等于1／2。
这时，就需要先通过表型测量，求出各个变量之间的相关系数，然后再求通径系数。
通径分析的意义
可以用通径系数绝对值的大小,直接比较各自变量在回归方程中的重要作用,自变量在回归方程中的重要作用,这对于一个多变量的系统中抓住关键因子,变量
的系统中抓住关键因子,改变依变量的反映量是很有实用价值的。
在多变量的研究中,通径量是很有实用价值的。
在多变量的研究中,分析比相关分析更加全面,更加细腻。
分析比相关分析更加全面,更加细腻。
矩阵计算方法
矩阵计算方法矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
矩阵计算方法是研究如何高效地进行矩阵运算的技术，对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍矩阵计算的基本方法和常见算法，希望能够帮助读者更好地理解和应用矩阵计算。
1. 矩阵的基本概念。
矩阵是由m行n列元素组成的数表，通常表示为A=[aij]mn。
其中，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
矩阵可以进行加法、减法、数乘等运算，具有良好的数学性质。
2. 矩阵的转置。
矩阵的转置是指将矩阵的行列互换得到的新矩阵。
如果A=[aij]mn，那么它的转置记作A^T=[bij]nm，其中bij=aij。
矩阵的转置满足(A^T)^T=A，(kA)^T=kA^T，(A+B)^T=A^T+B^T等性质。
3. 矩阵的乘法。
矩阵的乘法是矩阵计算中的重要运算，它是将一个矩阵的行与另一个矩阵的列对应元素相乘再相加得到的新矩阵。
设A为m×n的矩阵，B为n×p的矩阵，则它们的乘积记作C=AB，其中C为m×p的矩阵。
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律，即AB≠BA。
4. 矩阵的逆。
对于可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
这样的矩阵B称为A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵的存在与否是判断一个矩阵是否可逆的重要条件。
5. 常见的矩阵计算算法。
（1）高斯消元法，用于求解线性方程组的算法，通过矩阵的初等行变换将系数矩阵化为阶梯形矩阵，进而求解方程组的解。
（2）LU分解法，将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，可用于求解线性方程组和矩阵的逆等问题。
（3）QR分解法，将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，可用于求解最小二乘问题等。
6. 矩阵计算的应用。
矩阵计算方法在科学计算、工程技术、数据处理等领域有着广泛的应用。
例如，在图像处理中，矩阵运算可以用于图像的变换、滤波等操作；在机器学习中，矩阵运算可以用于特征提取、参数优化等任务；在控制系统中，矩阵运算可以用于系统建模、状态估计等方面。
第3章 通径分析
第3章 通径分析1、基本概念通径分析（Path Analysis ）是研究变量间相互关系、自变量对因变量作用方式、程度的多元统计分析技术。
在科学研究中，自变量间的关系往往比较复杂，有些自变量间的关系为相关关系，而有些自变量间的关系却是因果关系。
一般地，我们称受其他变量影响的变量为内生变量，而影响其他变量的变量为外生变量，显然，因变量y 为内生变量，各自变量都以自己不同的方式影响因变量y 。
一般而言，通径分析以多元线性回归分析为基础，通过对标准化变量的偏回归系数进一步分析、分解，对各自变量的作用方式、途径给出了一个科学、合理、定量的解释。
2、基本思想、原理通径图：通径分析借助几何图形来表达变量间的关系。
如设x 1，x 2，x 3都是y 的原因因素，由逐步回归求得的方程中仅含x 1，x 2，不含x 3。
但通过分析又知x 3与x 1间具有较强的因果关系，x 3影响x 1，即x 3→x1，从而它们影响y 的方式可用下图表示：图中，P y.1表示固定其他自变量时，x 1直接作用于y 的大小，称为x 1对y的通径系数，P y.1的定义就是x 1关于y 的标准偏回归系数（b’1）；类似可定义P y.2。
P 1.3表示x3直接作用于x 1的大小，定义为x 3关于x1的标准偏回归系数(b’’1)。
r 23表示x 2、x 3间的相关系数，x 3可通过影响x 2间接影响因变量y ，其大小可由yx 2x 1x 3P y.1 P y.2r 23 P 13r 23P y.2衡量，称r 23P y.2为x 3通过x 2对y 的间接作用大小；x 3亦可通过x 1而作用于y ，其作用大小可用P 1.3P y.1衡量，称P 1.3P y.1为x 3，通过x 1对y 的间接作用大小。
一般地，设x i ，x j 为任意两个自变量，它们对y 的作用定义如下：x i 对于y 的直接作用大小（x i 对y 的通径系数）=P y.i =标准偏回归系数(b’i)；x i 通过x j 而间接作用于y 的大小（x i 通过x j 对y 间接通径系数）=r ij P y.j 。
通径分析文档
通径分析1. 简介通径分析（Path Analysis），又称偏路径分析，是结构方程模型（Structural Equation Modeling，简称SEM）的一种常用方法。
它可以用于探索与预测变量关系的复杂性，揭示变量之间的直接和间接影响，帮助研究者建立更为综合的模型。
通径分析可以用于解决许多问题，例如确定变量之间的因果关系、检验理论模型、验证是否存在中介或调节效应等。
它能够帮助研究者更好地理解变量之间的相互作用、潜在机制以及模型的适应性。
2. 通径分析的基本原理通径分析是基于路径系数的统计方法，它使用指数函数来表示变量之间的因果关系。
通径系数表示一个变量对另一个变量的直接影响。
这些路径系数可以通过最大似然估计方法进行计算，并进行统计检验。
在通径分析中，研究者需要确定调整变量，即控制变量，以消除潜在的共变性。
通过控制这些变量，研究者可以更准确地评估变量之间的因果关系。
3. 通径分析的步骤通径分析通常包括以下步骤：步骤1: 确定研究问题和变量首先，研究者需要明确研究问题，并确定相关的变量。
这些变量可以是观察变量或潜变量。
步骤2: 建立模型研究者需要根据研究问题建立适当的结构方程模型。
模型可以包含直接效应、间接效应、中介效应、调节效应等。
步骤3: 收集数据研究者需要收集与模型中的变量相关的数据。
数据收集可以通过问卷调查、实验或观察等方法进行。
步骤4: 估计路径系数使用最大似然估计方法，研究者可以计算路径系数，并对其进行统计检验。
该方法可以提供关于变量之间关系的定量信息。
步骤5: 分析结果研究者可以根据路径系数和统计检验结果来解释变量之间的关系，并对模型进行评估。
通过比较实际观察值和模型估计值之间的差异，研究者可以评估模型的适应性。
4. 通径分析的优势和局限性通径分析具有以下优势：•可以同时考虑多个变量之间的复杂关系，揭示变量之间的直接和间接影响。
•可以提供关于变量之间关系的定量信息，有助于进一步理解研究问题。
通用矩阵法
通用矩阵法
通用矩阵法（generalized matrix method）是一种用于求解结构
力学问题的方法。
它适用于各种类型的结构，包括梁、柱、板、壳等。
通用矩阵法的基本思想是将结构分解为若干小的单元，并将其组合成一个整体的刚度矩阵和载荷向量，然后通过求解这个刚度方程来确定结构的位移和反应力。
具体地说，通用矩阵法将结构看作是由有限个单元组成的，每个单元在全局坐标系下都有一套局部坐标系。
首先，根据每个单元的几何和材料性质，计算出每个单元的局部刚度矩阵。
然后，通过变换矩阵将每个单元的局部刚度矩阵转换到全局坐标系下，得到全局刚度矩阵。
最后，将结构上的边界条件转化为等式约束，将边界位移的信息加入到全局刚度矩阵和载荷向量中，形成一个包含未知位移的线性方程组，通过求解这个方程组，可以得到结构的位移和反应力。
通用矩阵法具有计算精度高、适用范围广的优点，尤其适用于复杂结构的分析和设计。
然而，它的计算量较大，需要进行大规模的矩阵运算，因此对计算机硬件和软件的要求较高。
近年来，随着计算机技术的不断发展和普及，通用矩阵法在结构力学领域得到了广泛应用。
矩阵的计算公式图文解析
矩阵的计算公式图文解析矩阵是线性代数中的重要概念，它可以用于表示和处理多维数据。
在实际应用中，矩阵的计算是非常常见的操作，包括矩阵的加法、减法、乘法等。
本文将通过图文解析的方式，详细介绍矩阵的计算公式及其应用。
一、矩阵的加法。
矩阵的加法是指两个相同维度的矩阵相加的操作。
假设有两个矩阵A和B，它们的维度都是m×n，那么它们的加法运算可以表示为：C = A + B。
其中，C是一个m×n的矩阵，它的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之和。
例如，对于一个2×2的矩阵A和B：A = [1 2; 3 4]B = [5 6; 7 8]那么A和B的加法结果C为：C = [6 8; 10 12]二、矩阵的减法。
矩阵的减法与加法类似，也是指两个相同维度的矩阵相减的操作。
假设有两个矩阵A和B，它们的维度都是m×n，那么它们的减法运算可以表示为：C = A B。
其中，C是一个m×n的矩阵，它的每个元素都等于对应位置上A和B的元素之差。
例如，对于一个2×2的矩阵A和B：A = [1 2; 3 4]B = [5 6; 7 8]那么A和B的减法结果C为：C = [-4 -4; -4 -4]三、矩阵的乘法。
矩阵的乘法是指两个矩阵相乘的操作。
假设有两个矩阵A和B，它们的维度分别是m×n和n×p，那么它们的乘法运算可以表示为：C = A B。
其中，C是一个m×p的矩阵，它的每个元素都等于A的对应行与B的对应列的元素乘积之和。
例如，对于一个2×2的矩阵A和一个2×2的矩阵B：A = [1 2; 3 4]B = [5 6; 7 8]那么A和B的乘法结果C为：C = [19 22; 43 50]四、矩阵的转置。
矩阵的转置是指将矩阵的行列互换的操作。
假设有一个m×n的矩阵A，那么它的转置运算可以表示为：B = A^T。
第八章 通信系统的矩阵几何解析法
(moments)
2001-4-25
牛志升@清华大学
19
M/E2/1排队系统的求解
?嵌入马尔可夫过程
?确定马尔可夫性成立的嵌入点（顾客退去时刻） ?针对嵌入点建立马尔可夫平衡方程式 ?导入状态变量（退去时刻队列长度）的概率母函
数 ?求出队列长度的z变换及其特征量(moment) ?求出等待时间的LST及其特征量(moment)
1,2
A1 B2 B1 1
λ
A0
2,2
A1 A2 2
λ
3,2
A1 A0 A2 3
λ
A0 A2
23
0
2001-4-25
牛志升@清华大学
PH/M/s排队系统的矩阵几何解（1）
2001-4-25
牛志升@清华大学
24
PH/M/s排队系统的矩阵几何解（2）
2001-4-25
牛志升@清华大学
25
PH/M/s排队系统的矩阵几何解（3）
2,2
μ2 μ1 μ2
?
λ 状态转移率(Q)矩阵
μ2
λ
3,2
λ
2001-4-25
牛志升@清华大学
18
M/E2/1排队系统的求解
?多维马尔可夫过程
?多维线性方程式组(pQ=0 & pe=1) ?导入概率母函数使之转化为一维线性方程式 ?求解出状态变量（队列长度）的概率母函数 ?通过微分得出状态变量（队列长度）的矩
2001-4-25
牛志升@清华大学
11
矩阵几何法的基本定理(3)
2001-4-25
牛志升@清华大学
12
M/PH/1排队系统的矩阵几何解（1）
2001-4-25
第二章 通径分析
第二章通径分析 (Path Analysis)在科学研究中常常要研究相关变量间的线性关系研究二个相关变量间的线性关系时可采用直线回归分析与相关分析。
在研究多个相关变量间的线性关系时：如研究y(单株产量)与x1(每株穗数)、x2(每穗粒数)、x3(粒重)的关系，可采用多元线性回归分析与偏相关分析。
还可以采用本章新介绍的通径分析。
通径分析具有精确、直观的优点，在遗传育种学中，在分析相关变量关系中，有着十分重要的应用。
第一节通径系数与决定系数一、通径系数的定义(一) 通径、相关线与通径图设相关变量：y, x1, x2, 其中y—后果(依变量)；x1、x2—原因(自变量)。
若x1、x2相互独立(r12=0)，可图示为x1 父本y ，例如子代父、母无亲缘关系x2 母本若x1、x2彼此相关 (r12≠0)，可图示为x1体长y x3例如黄牛体重饲料x2胸围用x1 x2代替x1 x2 x3，改画为x1yx2通径——箭形图中的单箭头“ ”，表示变量间呈因果关系，方向由原因到结果。
相关线——箭形图中的双箭头“ ”，表示变量间呈平行关系。
一条相关线相当于两条尾端相联的通径。
通径图——表示相关变量间呈因果关系或平行关系的箭形图。
(二) 通径系数与决定系数通过作通径图，形象直观地表达了相关变量间的关系，但这是定性地表达。
仅定性表还不？，还须进一步用数量表示因果关系中原因对结果影响的相对重要程度与性质，平行关系中变量间相关的相对重复程度与性质。
换句话说还须用数量表示“通径”与“相关线”的相对重要程度和性质，也就是将“通径”、“相关线”、“通径图”数量化。
表示“通径”相对重要程度和性质的数量叫通径系数。
表示“相关线”相对重要程度和性质的数量叫相关系数生物统计学已给出了计算相关系数的方法，即：若二相关变量x1、x2有几组观测值，则x1与x2的相关系数r12的计算公式为：下面给出通径系数的确切定义与数学表达式。
设y与x1、x2间存在线性关系 x1回归方程： =b0+b1x1+b2x2 y或 y=b0+b1x1+b2x2+e 2-1 x2e (图2-1)其中。
通径分析
29 1 .4 3 .8 2 7 L= 27 55 1 .4 2 .2
− 1
,
L = 8 5 .6 6 776 3
0 062 0 070 12 .0 6 7 7 − .0 2 6 4 4 L = , B= 6 2 − .0 2 6 4 .0 3 4 8 0 070 0 004 0
0 14 .6 2 1 r = , 0 14 1 .6 2
*
q .6 2 q .6 7 1 +0 1 4 2 =0 8 3 0 1 4 1 2 .8 0 .6 2 q +q =0 5 1
20122012-5-18
12.1
x1 12.1.1 通径图 y x2
图12.1a x1与x2独立时 2.1a
x1 y x2
图12.1b x1与x2不独立时 2.1b
符号： [ 符号： 直接通径: 直接通径: x1 间接通径: 间接通径: x1
]表示通径线 ]表示通径线
y,
x2
y,
y
x2
x2
x1
y
*
(i=1,2…p) i=1,2…p)
间接通径系数可以用下面式子表示： 间接通径系数可以用下面式子表示： qi qj
20122012-5-18
j i
y y
= rij qj = r ji q i
(xi 通过 xj 对 y 产生的影响) 产生的影响) ( xj 通过 xi 对 y 产生的影响) 产生的影响)
Ry = y
1 0 14 .6 2
0 14 .6 2 1
, Ry = 1
0 14 .6 2
矩阵计算的原理及应用
矩阵计算的原理及应用
矩阵计算是一种基于多维数组的计算形式，它有着广泛的应用。
矩阵
计算主要涉及矩阵的操作、计算及分析，包括矩阵运算、矩阵分解、矩阵
变换、矩阵逆等。
一、矩阵的简介
矩阵的基本概念包括：矩阵元素、矩阵大小、行列数、矩阵行列式、
矩阵乘积等。
矩阵元素是矩阵的最小单位，它们表示矩阵中的信息。
矩阵
大小是指矩阵包含多少个元素，行列数是指矩阵中行和列的个数，行列式
是指矩阵的特定的一种数学表示形式，矩阵乘积是指两个矩阵相乘得到的
一个新的矩阵。
二、矩阵计算的原理
1、矩阵的乘法
矩阵的乘法是一种基本的矩阵计算方法，也叫做矩阵积，主要用于求
解两个矩阵的乘积，可以用来表达其中一种线性变换，如线性变换、缩放、旋转、对称变换等。
矩阵乘积的计算公式为：A×B=C其中A，B是两个矩阵，C是他们相
乘后的新矩阵。
2、矩阵的求逆
求逆是一种基本的矩阵计算操作。
通径分析(ⅰ)——基本步骤
通径分析(ⅰ)——基本步骤
径向基函数法（Radial Basis Function，RBF）是一种用于多元分析的机器学习方法，它用径向基函数的估计进行特征识别和分类。
其基本理念是使用径向基函数（RBFs）代替
多元函数，根据历史数据估计参数，真实实现功能匹配，并 utomatically map输出和输
入的关系。
在可视化上，RBF可以用一种隐式函数图形来表示：也就是一个多元函数，主要由多个拟合环节组成，每个拟合环节可以由一个径向基函数来实现，在拟合环节中引入range
和basis，依据估计所得的参数来确定其近似方程，并最终调整参数获得最佳拟合效果。
RBF模型训练和应用通常分为以下几个步骤：
1. 建立基函数网络：确定拟合函数的类型以及需要多少个RBF拟合环节，同时设定RBF的宽度参数，依据历史数据拟合出一个合理的基函数网络模型；
2. 计算权值向量：使用经验风险函数，优化RBF网络模型参数得到权值向量；
3. 测试和预测：新数据根据之前确定的RBF网络模型输入，计算节点值，计算结果
即为测试的结果；
4. 拟合度检验：对实验结果，分析误差平方和（SSE），对模型能够真实反映历史
数据的拟合度进行评估；
5. 应用：拟合好的RBF模型可运用到其他不同数据中，预测该数据的值。
本文介绍了径向基函数（RBF）模型训练和应用的基本步骤，具体分为建立基函数网络、计算权值向量、测试和预测、拟合度检验以及应用五个环节。
可以看出，径向基函数（RBF）分析是一种非常有效的在多元分析中的机器学习方法，可以帮助我们计算和估计
各个特征之间及输入与输出之间的关系。
此外，径向基函数分析也可以帮助我们在测试和
运用新数据时，有更好的预测效果。
通径分析 (2)
通径分析简介通径分析（Path Analysis）是一种统计方法，用于研究多个变量之间的因果关系。
它基于结构方程模型，通过估计观测变量和潜在变量之间的关系，来探究变量之间的直接和间接影响。
方法通径分析可以被视为回归分析的推广。
通过构建一个结构方程模型，在该模型中，变量之间的可能因果关系由路径表示。
每个路径都代表一个直接影响，而其他变量可以通过这些路径的多次间接影响来相互影响。
在进行通径分析时，必须首先确定变量之间的因果关系假设。
然后，可以使用最小二乘法或最大似然法来估计路径系数。
最后，可以进行统计检验以评估模型的拟合程度和路径系数的显著性。
应用领域通径分析在社会科学、教育、心理学等领域中得到广泛应用。
它可以用于研究教育政策对学生成绩的影响，分析心理因素对健康状况的作用，或者评估社会因素对人们意见和态度的影响。
通径分析还可以用于研究营销策略对消费者购买决策的影响，分析企业发展过程中各因素之间的关系，或者评估投资组合中各项指标对绩效的影响。
优势和局限通径分析具有以下优势：1.通过考虑多个因素之间的直接和间接影响，可以提供更全面的因果解释。
2.允许检验路径系数的统计显著性，从而增强分析的可信度。
3.可以对模型进行拟合度检验，评估模型是否与现实数据一致。
然而，通径分析也存在一些局限：1.通径分析基于一系列假设，包括线性关系和可观测的数据。
2.需要大量的数据以确保模型的稳定性和准确性。
3.分析结果只能提供相关性而非因果性的证据，因为观察数据无法确定因果关系的存在。
实例分析为了更好地理解通径分析的应用，我们举一个教育领域的实例。
假设我们想研究教师培训对学生学业成绩的影响。
我们收集了以下变量的数据：教师培训时间、学生参与度、学生学业成绩。
我们建立以下结构方程模型：教师培训时间 -> 学生参与度 -> 学生学业成绩通过进行通径分析，我们可以估计教师培训时间对学生成绩的直接影响，以及通过学生参与度间接影响。
矩阵运算在数据分析中的应用
矩阵运算在数据分析中的应用数据分析是一种通过收集、整理、分析和解释数据来提取有用信息的过程。
在数据分析中，矩阵运算是一种重要的工具和技术，它可以帮助我们处理和分析大量的数据，从而得出有关数据的结论和预测。
矩阵是一个由数字排列成的矩形阵列。
在数据分析中，我们通常使用矩阵来表示数据集。
每个数据集可以被表示为一个矩阵，其中每一行代表一个观测值，每一列代表一个变量。
通过对这些矩阵进行运算，我们可以得到有关数据的各种统计信息和模式。
矩阵运算在数据分析中的应用非常广泛。
下面将介绍几个常见的矩阵运算在数据分析中的应用。
1. 矩阵乘法矩阵乘法是将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。
在数据分析中，矩阵乘法可以用来计算两个数据集之间的相关性。
通过计算两个数据集的协方差矩阵，我们可以得到它们之间的相关性。
这对于了解数据集之间的关系和相互影响非常重要。
2. 矩阵转置矩阵转置是将矩阵的行和列互换得到一个新的矩阵的运算。
在数据分析中，矩阵转置可以用来进行数据的重排和重组。
通过将数据集的行和列进行转置，我们可以改变数据的排列方式，从而更好地理解和分析数据。
3. 矩阵求逆矩阵求逆是将一个矩阵转换为其逆矩阵的运算。
在数据分析中，矩阵求逆可以用来解决线性方程组和计算数据集的最小二乘解。
通过求解矩阵的逆，我们可以得到数据集的最优解，从而更好地理解和预测数据。
4. 矩阵分解矩阵分解是将一个矩阵分解为多个矩阵的乘积的运算。
在数据分析中，矩阵分解可以用来进行降维和特征提取。
通过将数据集进行矩阵分解，我们可以将数据集表示为更简洁和易于理解的形式，从而更好地分析和解释数据。
5. 矩阵特征值和特征向量矩阵特征值和特征向量是矩阵运算中的重要概念。
在数据分析中，矩阵特征值和特征向量可以用来进行数据的降维和特征提取。
通过计算数据集的特征值和特征向量，我们可以找到数据集中最重要的特征和模式，从而更好地理解和分析数据。
总结起来，矩阵运算在数据分析中扮演着重要的角色。
逐步回归和通径分析
3
逐步回归
通径分析
逐步剔除法 逐步剔除法 主要步骤： （1）从包含全部p个自变量组合的回归方程中逐个 检验回归系数，剔除对因变量作用不显著的自变量； （2）对剔除后剩下的q个自变量建立对因变量的多 方法 元回归方程，再逐个检验回归系数，剔除不显著的 变量； （3）重复上述步骤，直到保留在回归方程中自变量 的作用都显著为止 逐步引入法 缺点：一开始把全部自变量都要引入回归方程，计 算量很大，实际上有些不重要的就不必引入
4
逐步回归 逐步引入法
通径分析
缺点：不能反映后来变化的状况，设想x1、x2、x3引入后，又引 基本步骤：
入了 x6，也许x3、x 引入后，x y 的作用就不重要了，应该予以剔 （ 1）先逐个比较 x6 的回归方程哪些是显著的， l,„,xp 对 1 除，而“逐步引入”法不能达到这个要求 从显著的方程中挑选 F 值最大的，相应的自变量 x 就被 “引入”方程。无妨设 x 就是x1 （2）再逐个比较(x1,x2)、(x1,x3)、„、(x1,xp)对y的回归 方程，看有没有F值显著的，此时的F就是考虑添加xi之后， xi的回归系数是否显著地不为0，将显著的F中最大的F所相 应的变量“引入”方程。无妨设第二次“引入”的自变量是
y=-46.9713+2.0131x1+0.6746x2+7.8302x3
9
逐Hale Waihona Puke 回归通径分析通径系数的基本概念
多元线性回归系数间不能直接比较各因子间的效应大小, 因 符号： [ ]表示通径线 ,往往都 为各回归系数间都带有不同的量纲 ,再者多变量的关系中 不是独立的,有时还要研究x y的影响 直接通径 : x1 y, x2 , 而通径系 y i通过xj对依变量 数就能有效的表示相关变量间原因对结果的直接影响或间接影响 间接通径:x1 x2 y, x2 x1 的效应,从而区分因子的相对重要性及其关系。
第六章 通径分析
L yy = ∑ y 2 − (∑ y ) N
2
L12 = ∑ x1 x 2 − (∑ x1 )(∑ x 2 ) N L13 = ∑ x1 x3 − (∑ x1 )(∑ x3 ) N L23 = ∑ x 2 x3 − (∑ x 2 )(∑ x3 ) N L1 y = ∑ x1 y − (∑ x1 )(∑ y ) N L2 y = ∑ x 2 y − (∑ x 2 )(∑ y ) N L3 y = ∑ x3 y − (∑ x3 )(∑ y ) N
两自变量对 y 的决定系数以 d ij 表示，计算式及计算方法为：
d ij = 2rij piy p jy
x1 x 2
d12 = 2r12 p1 y p 2 y = 2 × 0.704694 × 0.059493 × 0.666606 = 0.05589
d13 = 2r13 p1 y p3 y = 2 × 0.144536 × 0.059493 × 0.154500 = 0.00266
1、 xi 对 y 的影响力分析
xi 与 y 的单相关系数可分解为该自变量对 y 的直接通径
系数和间接通径系数，即
riy = p iy + ∑ riy p iy
（1） x1 对 y 的影响力分解 0.506915 = 0.059493 + 0.469753 – 0.022331 r1y = p1y + r12 p2y + r13 p3y
表示变量间的因果关系， 箭头方向是原因到结果， 图中： “←” 称为“通径” 。 “ ↔ ”表示变量间存在相关关系，称为相关线， 相当于两条尾端相连的通径。
通径分析方法简介
通径分析方法简介近年来，通径分析方法一直是研究复杂系统的有效工具之一。
它可以帮助研究者深入研究特定系统、模型和现象的细节，以更好地了解其内在运行机制和外部联系。
本文旨在介绍通径分析方法的基本原理以及如何将其应用于实际问题的例子。
通径分析方法是一种方法，它利用多元统计分析和系统生态学的基本原理来描述系统或结构之间的不同关系，以及它们之间的联系。
借助这种方法，研究者可以得出有关特定系统和其他系统之间联系和相互作用的重要信息。
通径分析的主要优点是，它可以深入揭示系统之间的潜在变化、强度和持久性，从而更好地揭示其内在运行机制。
通径分析主要包括数据收集、数据分析和结果可视化三个主要步骤。
其中，数据收集可以通过调查、实验和监测等方式实现。
数据分析步骤可以通过使用多元统计方法，如回归分析、群集分析、因子分析等，来揭示关系的有意义可视化。
结果可视化可以利用不同的图表，如柱状图、相关图、时间序列图等，显示出数据，或者进一步使用网状图来可视化宏观关系。
通径分析方法可以用于研究诸如社会、经济、环境、医学等个领域。
比如，研究人员可以利用通径分析来研究特定环境因素对湿地植被品种或者对大气环境的影响；或者通过通径分析，分析不同种族、性别和社会经济地位之间的社会影响；还有，可以利用通径分析来研究疾病及其病因。
总而言之，通径分析方法是一种有效的分析工具，它可以帮助研究者从观测数据中揭示系统的细微差别，并更好地了解其内在运行机制和外部联系。
通径分析是一种获取有用信息的有效途径，它可以帮助研究人员快速确定影响系统运行机制或现象产生的要素，从而更好地理解其内在规律。
与传统的单变量统计分析方法相比，多元统计方法可以精准地描述多种因素之间的相互作用，从而更便捷地诊断复杂系统中存在的情况和隐藏的相关性。
此外，通径分析还具有许多优势，比如结果可视化、易于分享和快速部署。
首先，通径分析可以使用自定义的图表样式，将分析的结果可视化，从而更易于理解和解释，并且可以持续跟踪整个系统的变化趋势。
第六章 通径分析
穗长（ x2 ）＞ 千粒重（ x3 ）＞株高（ x1 ） 单相关系数与直接通径系数顺序不同。因此单相关系数 和直接通径系数中 xi 对 y 影响力大小的顺序不能完全反映该 自变量的影响力。 （3）综合判断 ① x1 （株高）主要通过 x2 （穗长）对 y （产量）的间接影
（三）判断通径系数影响力的大小 二、通径分析示例 [例 6.2] 调查 9 个玉米品种的株高（x1） 、穗长（x2） 、千粒重 ，试作 （x3）对产量（y）的影响，结果列于表 6.2.1（P.114） 通径分析。 （P.113）
（一）计算直接通径系数
或
riy =
Liy Lii × L yy
式中：Lij 为 xi 与 xj 的乘积和，Liy 为 xi 与 y 的乘积和，Lii 为 xi 的平方和，Ljj 为 xj 的平方和，Lyy 为 y 的平方和。需要计算
p1 y + 0.704694 p 2 y − 0.144536 p3 y = 0.506915 p 2 y + 0.176717 p3 y = 0.735833 0.704694 p1 y + − 0.144536 p + 0.176717 p + p3 y = 0.263702 1y 2y
x1 x3
x 2 x3
d 23 = 2r23 p 2 y p3 y = 2 × 0.176717 × 0.666606 × 0.154500 = 0.03640
2、决定系数分析 （1）对通径分析结果的评价 如果 ∑ d = 1 ，表示通径分析已包括主要相关性状，分析 结果能表达各性状间的关系。如果 ∑ d 与 1 相差较大，表明 通径分析遗失了主要相关性状。 本例：
第二讲 通径分析解析
（2—2）
（2—2）式中b0为常数项，b1 ，b2 分别为y对x1 ，x2 的偏回归系数，e为与各变 量相互独立的误差项（或剩余项）。x1 ，x2 间存在相关，则（2—2）式的关系可 用图1示之。
图1 通径图
图1中，单箭头表示自变量间存在因果关系，方向由原因到结果，称为通径。双 箭头表示变量间存在平行关系，称为相关线，
163.66583 166.4516 2.83775 19.659498 0.7345968
23.325504
27.128761
4.5901316
0.7345968
0.0385129
解得：
Py.1=23.3255， Py.2=27.1288， Py.3=4.5902 ，Py.4=0.7346 3、作出通径图（略）
（2—1）
( y y)2 n 1
b12
(x1 x1 )2 n 1
b22
(x2 x2 )2 n 1
2b1b2
( x1
x1 )( x2 n 1
x2 )
即
S
2 y
b12
S
2 x1
b22
S
2 x2
2b1b2COV12
（2—6）式两边同除以
S
பைடு நூலகம்
2 y
得：
（2—6）
b1
S x1 Sy
2
b2
89.032143
R (2)
2.471164
8.681726
5.604968
89.032143 89.53353 3.421524 8.960605 4.841078
2.471164 3.421524 0.002113 0.000305 0.009923
第七章 通径分析
第七章 通径分析通径系数理论于 1921年由 Sewall Wright 提出，并经以后的。
遗传和统计工作者不断完善，证明在几乎所有的相关变数系统中作因果分析都是有效的。
这一理论用于群体遗传学和动植物育种，为我们解决许多复杂的相关分析问题提供了一个简捷而灵活的方法。
限于本课程的范围，我们这里只简要介绍通径系数的基本概念和一般性质及其在动植物遗传（育传）育种中的应用。
第一节 通往系数的定义 通径系数理论，又称通径分析或相关剖分，是通过在一个相关变数系统中把某一结果（或相关）按其成因（或相关变量）剖分成不同组分，从而研究各因果间或组分变量间的相互关系。
因此，我们首先以相关变量分析人手引出我们的定义。
一、决定系数设有一组相关系数，如猪的初生重（ A ）、增重（ B ）和屠宰重（X ）组成一个相关变数系统，其中屠宰重决定于初生重和增重。
我们称屠宰重为依变量（结果），初生重和增重为自变量（原因），则它们之间的关系表示为图7－1。
为了进行量的分析，我们必须确定每一原因的相对重要性。
如图7- 1 中屠宰重既决定于初重，又决定于增重，但哪个原因决定程度更大些？于是需要用一个数值来表示每一原因对结果的决定程度，这种数值称系数。
为了引出普遍的定义，下面作一般性讨论。
设有相关变数系统A 、B 和X ，X 为依变量，A 和B 为自变量且r AB = 0，于是这一系统表示为X= A ＋B ，如图7－1。
这里依变量X 决定于自变量A 和B ，但决定的是什么呢？由于我们研究的是变量间的关系，也就是依变量的改变量有多大比例是由自变量的改变量决定的。
例如上例中我们研究的是一组个体的屠宰重中出现的变异，有多大比例是这组个体初重的变异决定的。
换句话说，也就是依变量的方差有多大比例产生于自变量的方差。
所以，我们所说的决定程度，就是自变量方差在依变量方差中所占的比例。
根据方差剖分原理，对于X= A ＋B ，当r AB ＝0时，有： δX 2＝δ A 2 ＋δ B 2 除以δX 2 : 1=δ A 2/δX 2+δ B 2/δX 2其中δ A 2/δX 2和δ B 2/δX 2 分别称为A 和B 对X 的决定系数。
通径分析
如按变量的“因果关系”分类,即按通径图 中箭头的指向去划分变量,则可以把箭头起 始的变量(也称原因变量) 称为“外生变 量”( Exogenous Variable) 、独立变量 ( Independent ) 、源变量(Source) 或上游 变量;这是因为此变量的变化由通径图以外 的原因产生的。
图1. 3 的结构方程式为: A 2 = aA 1 + bB1 + eX B3 = cB1 + dA 2 + f Y
但A 1 与B1 间的相关性无法在方程式中表示出 来。图1. 3 中B1 在B3 上的直接作用是c ;而 B1 通过A 2 作用于B3 上的间接作用为bd ; 因此B1 对于B3 的总的作用(也称总效应)是c + bd 。 在早期的通径分析中,由于A 1 与B1 有相关性 ( r) ,而认为B1 可以通过A1 ,再经过A 2 ,可以 间接地作用于B3 ,大小为rad 。
图1. 3 是表示有时间性的通径图,其中A 、 B 表示两个变量,X、Y是残差,足标1 、2 、 3 分别表示在时间1 、时间2 、时间3 。
变量的分类
按可否直接测量到该变量,变量可分为“表 型变量”(Manifest Variable ,也称显变量,它 总是用一个方框去识别它) 、及隐型变量 (Latent Variable ,它总是用一个圆形框去识 别它) 。 这里的隐型变量(即隐变量) 是无法直接测 量到的,它应当是客观存在的。
(1) 恰好通径图:通径图中独立未知参数(包括隐变 量的方差、残差的方差) 的个数恰好与样本中所 能得出的方程组的个数相等。 (2) 识别不足通径图:通径图中独立未知参数的个 数多于样本中所能得出的方程组的个数。因为 这时参数的解有无限多组,即解很不确定,这是不 能允许的。 (3) 过度识别通径图:通径图中独立未知参数的个 数少于样本中所能得出的方程组的个数。统计 学家偏爱这种模型,因为人们可以在待估的参数 上附加不同的条件以使所求得的参数满足统计 学要求。