苏科版八年级数学上册导学案：2.5等腰三角形的轴对称性(二)

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苏科版数学八年级上册《2.5 等腰三角形的轴对称性》教学设计

苏科版数学八年级上册《2.5 等腰三角形的轴对称性》教学设计一. 教材分析等腰三角形的轴对称性是苏科版数学八年级上册的教学内容，本节课的主要内容是让学生了解等腰三角形的轴对称性质，并能够运用这一性质解决实际问题。

教材通过引入等腰三角形的对称性，引导学生发现等腰三角形的性质，培养学生的观察能力和推理能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的观察和推理能力。

但是，对于等腰三角形的轴对称性的理解和运用还需要进一步的引导和培养。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解等腰三角形的轴对称性，并能够运用这一性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察和推理，学生能够发现等腰三角形的性质，培养学生的观察能力和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，培养对数学的兴趣和自信心。

四. 教学重难点1.教学重点：等腰三角形的轴对称性。

2.教学难点：等腰三角形轴对称性的运用。

五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生自主发现等腰三角形的性质。

2.示范法：教师通过示例，引导学生理解和运用等腰三角形的轴对称性。

3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固学生的知识和技能。

六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，帮助学生直观地理解等腰三角形的轴对称性。

2.教学素材：准备一些等腰三角形的图片和练习题，用于课堂练习和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过课件展示等腰三角形的图片，引导学生观察等腰三角形的特征，并提出问题：“你们能发现等腰三角形的哪些性质？”让学生进行思考和讨论。

3.操练（15分钟）教师通过示例，讲解等腰三角形的轴对称性，并引导学生进行实际操作，验证等腰三角形的性质。

4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成，巩固对等腰三角形轴对称性的理解。

2-5 等腰三角形的轴对称性2021-2022学年八年级数学上册讲义(苏科版)(解析版)

第2章轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性课程标准课标解读1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．1.理解等腰三角形是轴对称图形2.掌握等边对等角的性质3.掌握“三线合一”的性质知识点01 等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C 是底角．【微点拨】等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .1802A︒-∠目标导航知识精讲【即学即练1】1．已知等腰三角形的一边长5cm ，另一边长10cm ，则它的周长是（） A ．20cm B ．25cmC ．20cm 或25cmD ．无法确定【答案】B 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm 和10cm ，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：分两种情况：当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形；当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25cm ．故选：B ．知识点02 等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．【即学即练2】2．如图，ABC 面积为9，BP 平分ABC ∠，AP BP ⊥于点P ，连结CP ，则BPC △的面积为（）A ．5B ．4.5C ．4D ．3.5【答案】B 【分析】延长AP 交BC 于E ，根据已知条件证得△ABP△△EBP ，根据全等三角形的性质得到AP=PE ，得出S△ABP=S△EBP ，S△ACP=S△ECP ，推出S△PBC=12S△ABC ．【详解】解：延长AP 交BC 于E ，△BP 平分△ABC ， △△ABP=△EBP ， △AP△BP ，△△APB=△EPB=90°，在△ABP 和△EBP 中，ABP EBP BP BPAPB EPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ABP△△EBP （ASA ）， △AP=PE ，△S△ABP=S△EBP ，S△ACP=S△ECP ， △S△PBC=12S△ABC=12×9=4.5，故选：B ．知识点03 等腰三角形的判定1. 对应顶点，对应边，对应角定义如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【微点拨】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【即学即练3】3．如图，ABC 中，,BF CF 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过点F 作//DE BC 交AB于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：△DFB DBF ∠=∠；△ECF EFC ∠=∠；△ADE 的周长等于BFC △的周长；△1902BFC A ∠=︒+∠．其中正确的有（）A ．△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】C 【分析】△根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出DBF DFB ∠=∠；△同理可得△的结论；△用特殊值法，当ABC ∆为等边三角形时，连接AF ，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出BF AF CF ==，进而得BF CF AC +>，便可得出；ADE ∆的周长不等于BFC ∆的周长；△利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的BFC ∠和BAC ∠之间的关系式．【详解】解：△BF 是ABC ∠的角平分线，ABF CBF ∴∠=∠，又//DE BC ，CBF DFB ∴∠=∠，DBF DFB ∴∠=∠，故△正确；△同理ECF EFC ∠=∠，故△正确；△假设ABC ∆为等边三角形，则AB AB BC ==，如图，连接AF ，D BF D FB ∠=∠，ECF EFC ∠=∠，BD DF ∴=，EF EC =，ADE ∴∆的周长AD DF EF AE AD BD AE EC AB AC =+++=+++=+， F 是ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点∴第三条平分线必过其点，即AF 平分BAC ∠， ABC ∆为等边三角形，60BAC BCA ABC ∴∠=∠=∠=︒， 30FAB FBA FAC FCA ∴∠=∠=∠=∠=︒， FA FB FC ∴==， FA FC AC +>， FB FC AC ∴+>，FB FC BC BC AC ∴++>+， FB FC BC AB AC ∴++>+，即BFC ∆的周长AD E >∆的周长，故△错误；△在ABC ∆中，180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒⋯（1），在BFC ∆中180CFB FBC FCB ∠+∠+∠=︒，即1118022CFB ABC ACB ∠+∠+∠=︒⋯（2），（2）2⨯-（1）得1902BFC BAC ∠=︒+∠，故△正确；故选C ．考法01 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．【典例1】如图所示，OB 平分,CBA OC ∠平分ACB ∠，且//BC MN ，设18,16,12AB BC AC ===，则AMN 的周长为（）A ．30B ．33C ．36D ．39【答案】A 【分析】能力拓展根据BO 平分△CBA ，CO 平分△ACB ，且MN△BC ，可得出MO=MB ，NO=NC ，所以三角形AMN 的周长是AB+AC ．【详解】解：△BO 平分△CBA ，CO 平分△ACB ， △△MBO=△OBC ，△OCN=△OCB ， △MN△BC ，△△MOB=△OBC ，△NOC=△OCB ， △△MBO=△MOB ，△NOC=△NCO ， △MO=MB ，NO=NC ， △AB=18，AC=12，△△AMN 的周长=AM+MN+AN=AB+AC=18+12=30．故选：A ．考法02 等腰三角形的判定判定方法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边）【典例2】如图，C 为线段AB 上一动点（不与点A ，B 重合），在AB 同侧分别作等边ACD △和等边,BCE AE 与BD 交于点F ，AE 与CD 交于点G ，BD 与CE 交于点H ，连接GH ．以下四个结论：△EAB BDC ∠=∠；△CGH 为等边三角形；△60FGH FHG ∠+∠=︒；△AC DH =．其中正确的是（）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质可以得出△ACE△△DCB ，就可以得出△CAE ＝△CDB ，通过证明△ACG△△DCH 就可以得出CG ＝CH ，AG=DH ，可以得出△GCH 是等边三角形，再判断AC 与DH 的大小关系，求出△DFG=△GCA=60°，利用外角定理即可得到60FGH FHG ∠+∠=︒．【详解】△△ACD 和△BCE 是等边三角形，△AD ＝AC ＝CD ，CE ＝CB ＝BE ，△ACD ＝△BCE ＝60°． △△ACB ＝180°， △△DCE ＝60°． △△DCE ＝△BCE ．△△ACD ＋△DCE ＝△BCE ＋△DCE ， △△ACE ＝△DCB ．在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACE△△DCB （SAS ）， △CAE CDB ∠=∠即EAB BDC ∠=∠，△正确；在△ACG 和△DCH 中，60ACG DCH AC DC CAG CDH ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△ACG△△DCH （ASA ）， △GC=HC,AG=DH 又△GCH=60°，△CGH 为等边三角形，△正确；又AC≠AG ，△DH≠AC ，△错误；△△GAC+△ACG+△AGC=180°，△GDF+△DFG+△DGF=180° 又△AGC=△DGF ，△GAC=△GDF △△DFG=△ACG=60°又△DFG=FGH FHG ∠+∠， △60FGH FHG ∠+∠=︒，△正确；故选A ．题组A 基础过关练1．若等腰三角形的周长为26cm ，一边为6cm ，则腰长为（）分层提分A．6cm B．10cm C．10cm或6cm D．以上都不对【答案】B【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．【详解】解：△当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边=26-6-6=14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；△当6cm为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10cm，因为6-6＜10＜6+6，所以能构成三角形；故腰长为10cm．故答案为：B．2．等腰三角形的两边长分别为4cm，8cm，则该三角形的周长为（）A．16cm B．20cm C．16cm或20cm D．以上都不对【答案】B【分析】根据题意得出两种情况，根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再求出周长即可．【详解】解：当等腰三角形的三边长是4cm，4cm，8cm时，4+4=8，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边长是4 cm，8 cm，8 cm时，符合三角形的三边关系定理，此时能组成三角形，三角形的周长是4+8+8=20（cm），所以该三角形的周长是20 cm，故选：B．3．下列关于等边三角形的性质的叙述中，错误的是（）A．是等腰三角形B．三个角都相等C．三条边都相等D．只有一条对称轴【答案】D【分析】利用等边三角形的性质依次分析即可得出答案．【详解】解：A、等边三角形也是等腰三角形，原说法正确，故此选项不合题意；B、等边三角形三个角都相等，原说法正确，故此选项不合题意；C、等边三角形三条边都相等，原说法正确，故此选项不合题意；D 、等边三角形有3条对称轴，原说法错误，故此选项符合题意；故选：D ．4．已知直角三角形中30°角所对的直角边为4cm ，则斜边的长为（） A ．8 cm B ．6 cmC ．4 cmD ．2 cm【答案】A 【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得斜边长．【详解】解：△直角三角形中30°角所对的直角边为4cm ， △斜边长为8cm ．故选：A ．5．已知ABC ∆中，3,60,AC AB C ==∠=︒则ABC ∆的周长等于（）A B ．3 C ．6 D ．9【答案】D 【分析】判断ABC 为等边三角形即可求出其周长．【详解】根据题意可知ABC 为等边三角形， △ABC 的三条边相等且等于3， △ABC 的周长为33=9⨯．故选：D ．6．如果等腰三角形的两边长分别为7cm 和3cm ．那么它的第三边的长是（） A ．3cm B ．4cmC ．7cmD ．3cm 或7cm【答案】C 【分析】根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后根据三角形的三边关系即可得出结论．【详解】解：若7cm 为等腰三角形的腰长， △3＋7＞7△3cm 、7cm 、7cm 能构成三角形，故符合题意；若3cm 为等腰三角形的腰长， △3＋3＜7△3cm 、3cm 、7cm 不能构成三角形，故不符合题意；综上：它的第三边的长是7cm 故选C ．7．若等腰三角形的一个角为100︒，则它一腰上的高与底边的夹角是（） A ．50︒ B ．40︒C ．10︒D ．80︒【答案】A 【分析】根据题意先画出图形，由题意可知等腰三角形的顶角为100°，根据等腰三角形的性质得出=40B ACB ∠=∠︒，由CD BD ⊥，可得90B BCD ∠+∠=︒，则BCD ∠可得．【详解】如图：△等腰三角形的一个角为100°，△等腰三角形的顶角为100°，即100BAC ∠=︒， △△ABC 是等腰三角形， △AB=AC ，△=40B ACB ∠=∠︒， △CD BD ⊥, △90D ∠=︒， △90B BCD ∠+∠=︒,△90904050BCD B ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：A ．题组B 能力提升练1．下列命题的逆命题是真命题的是（） A ．同位角相等，两直线平行 B ．等边三角形是锐角三角形 C ．若两个角是直角，则它们相等 D ．全等三角形的对应角相等【答案】A 【分析】先写出逆命题，再根据平行线的性质、等边三角形的定义、全等三角形的判定逐项判断即可得．【详解】A 、逆命题：两直线平行，同位角相等，此逆命题是真命题，此项符合题意；B 、逆命题：锐角三角形是等边三角形，此逆命题是假命题，此项不符题意；C 、逆命题：若两个角相等，则它们是直角，此逆命题是假命题，此项不符题意；D 、逆命题：三个角分别对应相等的两个三角形是全等三角形，此逆命题是假命题，此项不符题意；故选：A ．2．已知等边ABC 的边长为3，点E 在直线AB 上，点D 在直线CB 上，且ED EC =，若6AE =，则CD 的长为（） A ．6 B ．9C ．3或6D ．3或9【答案】D 【分析】△E 在线段AB 的延长线上时，过E 点作EF CD ⊥于F ，△当E 在线段AB 的延长线时，过E 点作EF CD ⊥于F ，根据等边三角形的性质求出BE 长和60ABC ∠=︒，解直角三角形求出BF ，求出CF ，即可求出答案．【详解】解：点E 在直线AB 上，6AE =，点E 位置有两种情况： △E 在线段AB 的延长线上时，过E 点作EF CD ⊥于F ，ABC ∆是等边三角形，ABC ∆的边长为3，6AE =，633BE ∴=-=，60ABC∠=︒，60EBF ∴∠=︒，30BEF ∴∠=︒，1322BF BE ∴==， 39322CF ∴=+=， ED EC =，CF DF ∴=，9292CD ∴=⨯=；△如图2，当E 在线段AB 的延长线时，过E 点作EF CD ⊥于F ，ABC ∆是等边三角形，ABC ∆的边长为3，6AE =，639BE ∴=+=，60ABC∠=︒，60EBF ∴∠=︒，30BEF ∴∠=︒，1922BF AE ∴==， 93322CF ∴=-=， ED EC =，CF DF ∴=，3232CD ∴=⨯=；C=或3，即9故选：D．3．下列命题是假命题的是（）A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和C．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等【答案】D【分析】根据垂直平分线的性质、三角形外角的定义、等边三角形的判定定理、全等三角形的判定定理依次判断即可．【详解】解：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以A选项为真命题，不符合题意；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以B选项为真命题，不符合题意；有一个外角是120°的等腰三角形，与它相邻的内角等于60°，是等边三角形，所以C选项为真命题，不符合题意；有两边和其夹角对应相等的两个三角形全等，所以D选项为假命题，符合题意；故选：D．4．下列命题中，假命题是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两底角相等C．面积相等的两个三角形全等D．有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形【答案】C【分析】根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题；B、等腰三角形的两底角相等，本选项说法是真命题；C、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是真命题；故选：C．5．等腰ABC中，过点B的直线BD分ABC为两个等腰三角形，则顶角为_____度．【答案】36°或1807或90°或108°【分析】根据题意分四种情况画出图形，结合等腰三角形的性质进行求解．【详解】解：△ABC中，AB=AC，若AD=BD，BC=BD，△△A=△ABD，△BDC=△C，则△C=△BDC=2△A，△△A+△ABC+△C=△A+2△A+2△A=180°，△△A=36°；若AD=BD，BC=CD，△△A=△ABD，△CBD=△CDB，则△CDB=2△A，△△A+△ABC+△C=△A+△A+2△A+3△A=180°，△△A=1807︒；若AD=BD ，AD=CD ， △△B=△C=△BAD=△CAD ， △△BAC+△ABC+△C=180°， △△BAD=△CAD=45°， △△BAC=90°；若AD=BD ，AC=CD ，△△B=△BAD ，△CAD=△CDA ，则△CDA=2△BAD ，△C=180°-2△CAD=180°-4△BAD ， △△B=△C ，△△BAD=180°-4△BAD ， △△BAD=36°，△△BAC=3△BAD=108°；故答案为：36°或1807︒或90°或108°． 6．已知在ABC 中，16C ∠=︒且为最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，则B∠=_______︒【答案】123°或132°或90°或48°【分析】根据题意作图，结合等腰三角形的性质分情况讨论即可求解．【详解】解：如图，若BC=CD，AD=BD，由题意可得：△DBC=△BDC=（180°-△C）÷2=82°，△△ABD=△BAD=12△BDC=41°，△△ABC=△ABD+△DBC=123°，△△ADB=180°-82°=98°，则在BC=CD的前提下只有AD=BD；如图，若CD=BD，AB=BD，由题意可得：△DBC=△C=16°，△△ADB=2△C=32°，△△A=△ADB=32°，△ABD=180°-△A-△ADB=116°，△△ABC=△ABD+△DBC=132°，符合最小的内角为△C=16°，如图，若BD=CD，AB=AD，则△C=△DBC=16°，△△ADB=△ABD=2△C=32°，△△A=180°-2×32°=116°，△△ABC=△ABD+△DBC=48°；如图，若BD=CD，AD=BD，△△ADB=2△C=2△DBC=32°，△△A=△ABD=（180°-32°）÷2=74°，△△ABC=△ABD+△DBC=90°；若BD=BC，则△C=△CDB=16°，△△ADB=180°-△CDB=164°，则只能满足AD=BD，△△A=12△CDB=8°，即△A＜△C，不满足；综上：△ABC 的度数为123°或132°或90°或48°．故答案为：123°或132°或90°或48°．7．如图，在四边形ABDE 中，C 是BD 的中点，3AB =，4BD =，5DE =，若120ACE ∠=︒，则线段AE 的最大值为___________．【答案】10 【分析】作B 关于AC 的对称点F ，D 关于EC 的对称点G ，连接AF ，FC ，CG ，EG ，FG ．根据两点之间线段最短解决问题即可．【详解】解：作B 关于AC 的对称点F ，D 关于EC 的对称点G ，连接AF ，FC ，CG ，EG ，FG ，如图所示：△C 是BD 边的中点， △CB=CD=12BD=2， △点B 、点F 关于AC 对称，△CF=CB=2，AF=AB=3，△BCA=△FCA ．同理CD=CG=2，ED=EG=5，△DCE=△GCE ， △CG=CF=2， △△ACE=120°，△△BCA+△DCE=180°-120°=60°． △△FCA+△GCE=60°． △△FCG=60°．△△FGC 是等边三角形． △FG=2，△AE≤AF+FG+EG=3+2+5=10，△当A 、F 、G 、E 共线时，AE 的值最大2，最大值为10，故答案为：10．题组C 培优拔尖练1．如图，在等腰ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，点P 是CA 延长线上一点，点O 在AD 延长线上，OP OB =，下面的结论：△30APO OBD ∠-∠=︒；△BPO △是正三角形；△AB AP AO -=；△2BOC AOBP S S =四边形△，其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】由题意易得OB=OC ，则有△OBD=△OCD ，△APO=△OCP ，进而根据角的关系可证△，然后可得△PBO=△PBA+△APO ，由三角形内角和可得△OPB=60°，可判断△，在AB 上找一点E ，使AE=AP ，连接PE ，延长AO ，在AO 的延长线上找一点F ，使AF=AB ，连接BF ，由此可得AP=PE=AE ，△APE=60°，进而可证△BPE△△OPA ，然后根据全等三角形的性质可判断△，最后根据等积法及三角形全等的性质与判定可判断△．【详解】解：△AB AC =，AD BC ⊥，120BAC ∠=︒， △BD=DC ，△ACB=△ABC=30°， △OB=OC ， △△OBD=△OCD ， △OB=OP ， △OC=OP ， △△APO=△OCP ，△△OCP -△OCB=△ACB=30°，△30APO OBD ∠-∠=︒，故△正确； △OP=OB ， △△OPB=△PBO ，△△PBO=△PBA+△ABD+△OBC=△PBA+30°+△APO -30°， △△PBO=△PBA+△APO ，△在△ABC 中，△BAC+△ABC+△ACB=180°，即△OPB+△APO+△PBA+△ABC+△ACB=180°， △2△OPB+60°=180°， △△OPB=60°，△△BPO 是正三角形，故△正确；在AB 上找一点E ，使AE=AP ，连接PE ，如图所示：△△PAE=60°，△△PAE 是等边三角形， △AP=PE=AE ，△APE=60°，△△BPE=△APB -△APE ，△OPA=△APB -△BPO ， △△BPE=△OPA ， △OP=BP ，△△BPE△△OPA （SAS ）， △BE=AO ， △AB -BE=AE ， △AB -OA=AP ，△AB AP AO -=，故△正确；延长AO ，在AO 的延长线上找一点F ，使AF=AB ，连接BF ， △△ABF 是等边三角形， △△ABF=60°，△△ABO+△OBF=60°，△ABO+△PBA=60°， △△PBA=△OBF ，△PB=OB ，AB=BF ， △△APB△△FOB （SAS ）， △AOBP S S =四边形△ABF ，如要证2BOC AOBP S S =四边形△，需证12OD AD =，由题意无法证明12OD AD =，故△错误；所以正确的个数有3个；故选：C ．2．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线分别交AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交BC 于点N ，连接EN ，下列结论：△AFE ∆为等腰三角形；△DF DN =；△AN BF =；△EN NC ⊥．其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】△由等腰直角三角形的性质得△BAD=△CAD=△C=45°，再根据三角形外角性质可得到△AEF=△AFE ，可判断△AEF 为等腰三角形，于是可对△进行判断；求出BD=AD ，△DBF=△DAN ，△BDF=△ADN ，证△DFB△△DAN ，即可判断△△；连接EN ，只要证明△ABE△△NBE ，即可推出△ENB=△EAB=90°，由此可知判断△．【详解】解：△等腰Rt△ABC 中，△BAC=90°，AD△BC ， △△BAD=△CAD=△C=45°，BD=AD ， △BE 平分△ABC ， △△ABE=△CBE=12△ABC=22.5°， △△AEF=△CBE+△C=22.5°+45°=67.5°， △AFE=△FBA+△BAF=22.5°+45°=67.5°， △△AEF=△AFE ，△AF=AE ，即△AEF 为等腰三角形，所以△正确；△M 为EF 的中点， △AM△BE ，△△AMF=△AME=90°，△△DAN=90°−67.5°=22.5°=△MBN ，在△FBD 和△NAD 中FBD NAD BD ADBDF ADN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△FBD△△NAD （ASA ），△DF=DN ，AN=BF ，所以△△正确； △AM△EF ，△△BMA=△BMN=90°， △BM=BM ，△MBA=△MBN ， △△MBA△△MBN ， △AM=MN ，△BE 垂直平分线段AN ， △AB=BN ，EA=EN ， △BE=BE ， △△ABE△△NBE ， △△ENB=△EAB=90°， △EN△NC ，故△正确，故选：D ．3．如图，在Rt△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ，BF 平分△ABC ，过点C 作CF △BF 于F 点，过A 作AD △BF 于D 点．AC 与BF 交于E 点，下列四个结论：△BE ＝2CF ；△AD ＝DF ；△AD ＋DE =12BE ；△AB ＋BC ＝2AE ．其中正确结论的序号是（）A ．只有△△△B ．只有△△C ．只有△△△D ．只有△△【答案】A 【分析】适当做辅助线，构建三角形.延长CF 并交BA 延长线于H△证明△ABE△△ACH ，得到BE=CH ，又可证CH=2CF ，故可得BE ＝2CF△若要得到AD ＝DF ，则需要证明△ADF 为等腰直角三角形，需要证明△DAF 为45°即可 △过E 作EM AF ⊥交AF 于点M ，证明△EMF 为等腰直角三角形，EM MF =12AD DE AM EM AM MF AF CF BE +=+=+===△过E 作EN BC ⊥于点N ，证明2AE AE EN AE EC AC =+<+=，得到22AB BC AE BC AE +>+>，即可证明△错误. 【详解】△延长BA 、CF ，交于点H ，△,BF CH CBF HBF ⊥∠=∠ △BCH H ∠=∠ △BC BH = △2CH CF =△90ABE AEB ∠+∠=︒ 90FCE FEC ∠+∠=︒ AEB FEC ∠=∠ △ABF ACF ∠=∠△90BAF CAH ∠=∠=︒ AB AC = △BAE CAH ≌ △,2BE CH BE CF ==△由△知，F 为CH 中点，又CAH 为直角三角形故12AF CH CF HF === △H FAH ∠=∠△,45BC BH HBC =∠=︒ △67.5H FAH ∠=∠=︒ △90HAC ∠=︒ △22.5FAC ∠=︒ 又BF 为HBC ∠的平分线 △22.5HBF ∠=︒ △67.5BAD ∠=︒△9067.522.5CAD ∠=︒-︒=︒45FAD FAC DAC ∠=∠+∠=︒在RT ADF 中，45DAF DFA ∠=∠=︒ △AD DF =△过E 作EM AF ⊥交AF 于点M ，由△知，CA 为△DAF 的平分线△,DE EM AD AM == △EMF 为等腰直角三角形 △EM MF =△12AD DE AM EM AM MF AF CF BE +=+=+=== △过E 作EN BC ⊥于点N ，可知AE EN =在RT ENC 中，EN EC <△2AE AE EN AE EC AC =+<+= 即2AE AC <,而AC AB = △2AE AB <故22AB BC AE BC AE +>+>△2AB BC AE +≠,故△错误，本题答案选A.4．如图，AD 为等腰△ABC 的高，其中△ACB =50°，AC =BC ，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且 AE =CF ，当 BF ＋CE 取最小值时，△AFB 的度数为（）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C 【分析】先构造△CFH 全等于△AEC ，得到△BCH 是等腰直角三角形且FH=CE ，当FH+BF 最小时，即是BF+CE 最小时，此时求出△AFB 的度数即可．【详解】解：如图，作CH△BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小，△AC=BC ，△CH=AC，△△HCB=90°，AD△BC，△AD//CH，△△ACB=50°，△△ACH=△CAE=40°，△△CFH△△AEC，△FH=CE，△FH+BF=CE+BF最小，此时△AFB=△ACB+△HBC=50°+45°=95°．故选：C．5．如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，BM△AD,垂足为M,且AB=5,BM=2,AC=9,则△ABC与△C 的关系为（）A．△ABC=2△C B．△ABC=52△C C．14△ABC=△C D．△ABC=3△C【答案】D【分析】延长BM到E,证明△ABF△△AEM,利用线段长度推出△BCE是等腰三角形,再根据角度转换求出即可.【详解】证明:延长BM，交AC于E，△AD平分△BAC，BM△AD，△△BAM=△EAM ，△AMB=△AME 又△AM=AM ， △△ABM△△AEM ，△BM=ME ，AE=AB ，△AEB=△ABE, △BE=BM+ME=4，AE=AB=5, △CE=AC -AE=9-5=4, △CE=BE ，△△BCE 是等腰三角形， △△EBC=△C ，又△△ABE=△AEB=△C+△EBC. △△ABE=2△C ，△△ABC=△ABE+△EBC=3△C. 故选D.6．如图在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点G ，过点G 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD AC ⊥于D ，下列四个结论：其中正确的结论有（）个． △EF BE CF =+；△90BGC A ∠=︒+∠；△点G 到ABC 各边的距离相等； △设GD m =,AE AF n +=，则AEF S mn =△；△AEF 的周长等于+AB AC 的和．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】△根据△ABC 和△ACB 的平分线相交于点G 可得出△EBG=△CBG ，△BCG=△FCG ，再由EF△BC 可知△CBG=△EGB ，△BCG=△CGF ，故可得出BE=EG ，GF=CF ，由此可得出结论；△先根据角平分线的性质得出△GBC+△GCB=12（△ABC+△ACB ），再由三角形内角和定理即可得出结论；△根据三角形角平分线的性质即可得出结论；△连接AG ，由三角形的面积公式即可得出结论；△根据BE=EG ，GF=CF ，进行等量代换可得结论．【详解】解：△△△ABC和△ACB的平分线相交于点G，△△EBG=△CBG，△BCG=△FCG．△EF△BC，△△CBG=△EGB，△BCG=△CGF，△△EBG=△EGB，△FCG=△CGF，△BE=EG，GF=CF，△EF=EG+GF=BE+CF，故△正确；△△△ABC和△ACB的平分线相交于点G，△△GBC+△GCB=12（△ABC+△ACB）=12（180°-△A），△△BGC=180°-（△GBC+△GCB）=180°-12（180°-△A）=90°+12△A，故△错误；△△△ABC和△ACB的平分线相交于点G，△点G也在△BAC的平分线上，△点G到△ABC各边的距离相等，故△正确；△连接AG，作GM△AB于M，如图所示：△点G是△ABC的角平分线的交点，GD=m，AE+AF=n，△GD=GM=m，△S△AEF=12AE•GM+12AF•GD=12（AE+AF）•GD=12nm，故△错误．△△BE=EG，GF=CF，△AE+AF+EF=AE+AF+EG+FG=AE+AF+BE+CF=AB+AC，即△AEF的周长等于AB+AC的和，故△正确，故选：C．7．如图，等腰ABC的底边BC长为4cm，面积为216cm，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB 于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则CDM周长的最小值为（）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】D【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD△BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，MA．△△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，△AD△BC，△S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，△EF是线段AC的垂直平分线，△MA＝MC，△MC+DM＝MA+DM≥AD，△AD的长为CM+MD的最小值，△△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝8+12×4＝10（cm）．故选：D．。

苏科版-数学-八年级上册-2.5等腰三角形的轴对称性(2)教案

一、教学目标：知识与技能目标:掌握等角对等边的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质。

过程与方法目标 :经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程发展学生的空间观念和抽象、概括的能力；会用“因为……所以……理由是……”等方式来说理，提高演绎推理能力。

情感与态度目标:养成独立观察思考的习惯，感受平面几何图形的美，体验利用手持式图形计算设备充当数学认知工具的乐趣。

二、重点难点分析：教学重点：等角对等边的性质，直角三角形性质教学难点：运用等腰三角形和直角三角形的性质解题三、教学方法：观察、讨论、交流，自主尝试探究法四、教学过程：一. 创设情境回顾旧知：等腰三角形有哪些性质.问题:在一个三角形中,如果有两条边相等,那么这两条边所对的角相等.反过来, 在一个三角形中, 如果有两个角相等, 那么这两个角所对的边相等吗? 探索1:（1）.将一张长方形的纸条上任意画出一条截线AB ，所得的∠1与∠2相等吗？为什么？将纸条沿截线AB 折叠,在所得的△ABC 中，仍有∠1＝∠2。

那么请同学们度量边AC ，BC 的长度，你们有什么发现？（2）.在一张薄纸上画线段AB ，并在AB 同侧利用量角器画两个相等的锐角∠BAM 和∠ABM.设AM 与BN 相交于点C.量一量AC 与BC 的长度，AC 和BC 相等吗？你和同学所得的结论相同吗？二．探索尝试1.如图，在△ABC 中，AB = AC ，两条角平分线BD 、CE 相交于点O (1) OB 与OC 相等吗？请说明理由。

⑵BD 与CE 相等吗?为什么?A B21BA C21ED⑶请思考：如果将BD 与CE 变为高或中线，⑵中的结论还成立吗?为什么?三．例题举偶.1. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC 、∠BCA 的平分线交于点O ，过O 点作EF ∥BC ,交AB 于点E , 交AC 于点F , （1） OB =OC 吗?（2）请写出图中所有的等腰三角形，并探索线段EF 与BE 、CF 之间的关系.探索2：师生当堂互动（1）任意剪一张直角三角形纸片，如图1.（2）剪得的纸片是否能折成图2和图3的形状？（3）把纸片展开，连接CD ，你有什么发现？由于经过折叠，①和②，③和④是重合的，所以 ∠A=∠ ，∠B=∠ ,即：AD =CD ，BD =CD ，所以 CD =12AB 结论: 直角三角形斜边上的中线等于 . 符号语言：在△ABC 中，∵ ∠ACB =90°,AD =BD∴ CD = 12AB ( ).例2. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°, M 、N 分别AC 、BD 的中点，试说明：（1）DM =BM ；（2）MN ⊥BD .四．课内反馈1．在△ABC 中，如果∠C =50°，∠A =65°，那么△ABC 有两边相等吗？为什么?2．△ABC 中，∠A =30°，当∠B = 时，△ABC 是等腰三角形． 3．Rt △ABC 中，如果斜边上的中线CD =4cm ，那么斜边AB =_______cm ． 4. 如图，在△ABC 中,已知∠A =36°, ∠C=72°,BD 平分∠ABC ,DC BA（1）（2）（3）（4）DC B A问图中共有( )个等腰三角形?五．课堂小结：（1）如何判定一个三角形是等腰三角形？（2）直角三角形斜边上的中线与斜边有何关系？课堂练习1.在△ABC中，已知点E在BA的延长线上，并且∠1=∠2，AD∥BC．问：△ABC是什么三角形？为什么？2、如图，已知△ABC中，∠B=90°,AB=BC,BD=CE,M是AC边上的中点，求证：△DEM是等腰三角形．【板书设计】等腰三角形的轴对称性（2）创设情境例题板演………………………………练习……………………………………教学反思：学生基础知识掌握较好，但在大的说理题上用符号语言表达存在困难，需多加强训练。

苏科版八年级数学上册第二章轴对称图形等腰三角形的轴对称性课件(共20张)

(1).等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线是它的对称轴。
(2).对称性
重合的线段
重合的角
＝
＝
＝
＝ห้องสมุดไป่ตู้
＝
＝
ＡＢＡＣ
ＢＤＣＤ
ＡＤＡＤ
∠B ∠Ｃ
∠BＡＤ ∠CＡＤ
∠ＡＤB ∠ＡＤC
(3).根据上面的操作，你有什么发现呢？
80°, 20°
（3）.如果等腰三角形一个角为80°,它的另外两个角为 _____________________ .
80°, 20°或 50°, 50°
比一比，看谁做得快
14或16
（4）.已知等腰三角形的两边长分别是4和6，则它的周长是________.
（5）.已知等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是________ .
3
1
2
4
︶
︵
︶
︶
解： DE∥AF 在△ABC中 ∵ AB=AC ，AF⊥BC ∴ ∠BAF = ∠ CAF (三线合一) ∵ AD＝AE ∴ ∠ADE = ∠AED ∵∠BAC是△ADE的外角， ∴ ∠ BAC = ∠ADE +∠AED =2∠AED . ∵ ∠ BAC = ∠BAF + ∠ CAF = 2∠CAF ∴ ∠AED = ∠CAF ∴ DE∥AF
选做题：已知：如图，∠A=∠D=90°，AB=CD，AC与BD相交于点F，E是BC的中点. 求证：∠BFE=∠CFE.
谢谢
勤奋是你生命的密码，能译出你一部壮丽的史诗。
＝
＝
＝
ＡＢＡＣ
ＢＤＣＤ
ＡＤＡＤ
∠B ∠Ｃ
∠BＡＤ ∠CＡＤ
∠ＡＤB ∠ＡＤC

苏科版数学八年级上册2.5 等腰三角形的轴对称性教案

八年级上册数学教学设计主备人：审核人：总第课时课题 2.5等腰三角形的轴对称性（1）课型新授课教学目标 1．理解等腰三角形的轴对称性及其相关性质．2．能够证明等腰三角形的性质定理．3．能够运用等腰三角形的性质定理解决相关问题．4．经历折纸、画图、观察、推理等操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径．教学重难点学习重点：等腰三角形的轴对称性及其相关的性质学习难点：等腰三角形的性质证明及其应用．教学准备多媒体教学课时 1教学过程个人复备一、情境创设（或知识回顾）对于等腰三角形我想大家一定都不陌生。

在前面三角形的学习中我们已经有所认识。

拿出事先准备的等腰三角形，把等腰三角形沿顶角的平分线对折。

同学们有什么发现吗？二、探究学习过程导学过程1、通过对上面等腰三角形的折叠我们可以得出结论：等腰三角形是对称图形，是它的对称轴. 根据等腰三角形的轴对称性，同学们还发现了等腰三角形什么性质吗？（1）等腰三角形的两个角相等（简称“ ”）即：在△ABC 中，如果AB=AC ，那么∠ =∠（2）等腰三角形的顶角平分线、、互相重合（简称“ ”）即：在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上; 如果∠BAD=∠CAD，那么AD⊥BC，BD=CD;如果BD=CD ，那么∠ =∠_______，______⊥______；如果AD⊥BC，那么，等腰三角形的__________相等．等腰三角形__________________________重合．2．你能证明上述定理吗？你有不同的证明方法吗？ 3.操作尝试按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形ABC ，使底边BC ＝a ，高AD ＝h ．作法图形ABCD典型例题例1 已知，如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且AD=BD ，求证：∠ADB=∠BAC思考：1．图中有几个等腰三角形？2．可以得到哪些相等的角？3．若△ACD 也是等腰三角形，求∠B 的度数变式训练如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求∠A ，∠ADB 的度数．三、当堂检测 1、填空题：（1）如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角为______和_____。

【苏科版】初中数学八年级上册配套教案精选：2.5《等腰三角形的轴对称性》教案(3)

指导学生进
（3）书写证明过程．解：BC＝ 1 AB．
2
明的书写格式.
作斜边上的中线 CD，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°． C
∵∠ACB＝90°，CD 是斜边上的中线，
∴CD＝12AB＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半）．
∴△BCD 是等边三角形（有一个角是 60°的等腰三角形是等
两个等腰三角形吗？
是等腰三角形；
纸过程中发现直
A
A
A
A
D
D
性质作铺垫．通过折纸，让
作——观察——
：△ACD 与△BCD 为什么是等请说明理由．
B
CB
CB
CB
C
图（2）
图（3）
2．在学生代表带领下操作，将剪出的直角三角形纸片，分别按图（2）（3）折叠，标出点 D，连接 CD．
纳的过程，体验发展空间观念，力．
们猜想 BC＝ 1 AB，根据我们学 2
什么与 1 AB 相等？这对于你证明 2
吗？导学生完成证明过程（投影）．
A
（1）猜想：BC＝ 1 AB； 2
（2）联想：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，
也有 1 AB，作斜边上的中线 CD，则 CD＝BD，如果结论成立， 2
则△BCD 为等边三角形，∠B＝60°，由已知条件易得；
么 AD∥BC 吗？
一系列问题的解决，你有什么发
学生交流想法，代表发言．
归纳结论：①AB＝AC；②AD 平分∠EAC；③AD∥BC 三个
论断中，其中任意两个成立，第三个一定也成立．
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作·探索
学生你能用折纸的方法将一个直角

八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性(2)

八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性（2）班级：姓名：一、选择题：A1. 等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为（）A ．120°B ．130°C ．150°D ．160°A2．如图，△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CF=CD ，DG=DE ，则∠E 的度数为（）A. 10°B. 15°C. 20°D. 30°B3. 下列说法：（1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；（2）等腰三角形的两腰上的中线长相等；（3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；（4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确．．．的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第2题第6题二、填空题：A4. 在等边三角形、角、线段这三个图形中，对称轴最多的是，它共有条对称轴，最少的是，有条对称轴．A5. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，这个等腰三角形的顶角是________． B6. 如图，在△ABC 中，PM 、QN 分别是AB 、AC 的垂直平分线，∠BAC=110°，那么∠PAQ 等于 °．三、解答题：B7.在下图两个三角形中各画一条线段把每个三角形分成两个等腰三角形，请画出图形，标出角度.B8．如图,△ABC 和△CDE 都是等边三角形,且点A,C,E 在一条直线上，连接AD 交BC 于M 点，连接BE 交CD 于N 点，AD 与BC 相交于F 点.（1）求∠MFN 的度数（2）连接MN ，试说明△MNC 为等边三角形.B9．如图，△ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点，延长BC 到E ，F A B C M N P Q B使CE=CD，作DH⊥BE于H，BH与EH相等吗？为什么？B10.如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有M、N分别从点A，点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的运动速度为1cm/s，点N的运动速度为2cm/s．当点N第一次到达B时，M、N同时停止运动.（1）.点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形AMN？（3）.当点M、N在BC边上时，是否存在以MN为底边的等腰三角形AMN?如果存在，请求出此时此时M、N运动的时间．。

苏科版-数学-八年级上册-2-5 等腰三角形的轴对称性(2)教案

第22课时课题：2.5 等腰三角形的轴对称性（2）教学目标：1．掌握等腰三角形的判定定理；2．知道等边三角形的性质以及等边三角形的判定定理；3．经历折纸、画图、观察、推理等操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径；4．会用“因为……所以……理由是……”或“根据……因为……所以……”等方式来进行说理，进一步发展有条理地思考和表达，提高演绎推理的能力．教学重点：熟练地掌握等腰三角形的判定定理．教学难点：正确熟练地运用定理解决问题及简洁地逻辑推理．教学过程：开场白：前面我们学习了等腰三角形的轴对称性，说说你对等腰三角形的认识．本节课我们将继续学习等腰三角形的轴对称性．创设情境：如图所示△ABC是等腰三角形，AB＝AC，和一个底角∠C．请同学们想一想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC（设计思路：一方面回忆等边对等角及其研究方法，为学生研究等角对等边提供研究的方法，另一方面通过创设情境，自然地引入课题．）探索发现一：请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作：（1）在半透明纸上画一条长为6cm的线段BC．（2）以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，在BC的同侧用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A．（3）用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折．问题1：AB与AC有什么数量关系？问题2：请用语言叙述你的发现．（设计思路：演示折叠过程为进一步的说理和推理提供思路．通过动手操作、演示、观察、猜想、体验、感悟等学习活动，获得知识为今后学生进行探索活动积累数学活动经验．）分析证明：思考：我们利用了折叠、度量得到了上述结论，那么如何证明这些结论呢？问题3：已知如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．B C引导学分析问题，综合证明．思考：你还有不同的证明方法吗？问题4：“等边对等角”与“等角对等边”，它们有什么区别和联系？（设计思路：在实验的基础上获得问题解决的思路，在合情推理的基础上让学生经历演绎推理的过程，培养学生的逻辑思维能力．通过“你有不同的证明方法吗”的问题，让学生学会质疑，学会从不同的角度思考问题，培养学生的发散性思维，激发探究问题的欲望和兴趣，通过对问题4的思考让学生加深对性质与判定的理解．）探索发现二：问题5：什么是等边三角形？等边三角形与等腰三角形有什么区别和联系？问题6：等边三角形有什么性质？问题7：一个三角形满足什么条件就是等边三角形了？为什么？1．学生阅读教材，进行自主学习．2．小组讨论交流．3．展示学习成果：等边三角形的概念、等边三角形的性质、等边三角形的判定．（设计思路：培养学生阅读教材的学习习惯和自主学习能力．引导学生经历合情推理和演绎推理的过程，感受合情推理和演绎推理都是人们认识事物的重要途径．）例题精讲：例1如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．求证：BD＋EC＝DE．提示：先设法找出图中相等的角，再利用“等角对等边”，即可找出相等的线段进行代换．点评：当题目中出现平行线和角平分线时，通常先用内错角进行角的转化，再运用“等角对等边”得到等腰三角形．同学们不妨在平时的解题中留心验证．例2如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连接EC．(1)求∠ECD的度数．(2)若EC＝5，求BC的长．提示：(1)根据ED所在的直线是线段AC的垂直平分线，可得AE＝EC，因此∠A＝∠ACE．(2)由已知条件可以求出∠B＝72°，∠BEC＝72°，即∠B＝∠BEC，从而运用“等角对等边”求得BC的长．点评：本题综合考查了等腰三角形的性质和判定方法，以及线段垂直平分线的性质，是一道小型的综合题．例3如图，D是等边三角形ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边三角形EDC，连接AE．找出图中的一组全等三角形，并说明理由．提示：利用等边三角形三边相等，三个角都是60°来找全等三角形．点评：在利用等边三角形的性质解题时，不仅要考虑到三边相等，而且要注意到三个角都是60°．本题用到两个相等的60°角减去同一个角得到的两个角仍然相等，有时用两个相等的60°角加上同一个角得到的两个角仍然相等，同学们在平时解题中要多留心．学以致用：请同学完成课本P63－64练习第1、2、3题．学生独立思考、小组讨论、展示交流、相互评价．（设计思路：引导学生学会分析问题和解决问题，理解分析和综合之间的关系，培养学生分析问题和解决问题的能力．巩固学习成果，加强知识的理解和方法的应用，培养分析问题、解决问题的能力．）归纳小结：这节课你有怎样的收获？还有哪些困惑呢？学生以小组为单位归纳本节课所学习的知识、方法．展示交流，相互补充，建立知识体系．讨论困惑问题．（设计思路：引导学生进行知识归纳整理，学会学习，培养学生发现问题、提出问题的学习能力．）课堂作业：（见附页）课后作业：课本P67习题2.5第7、8、10题，补充习题P31—32，伴你学P48—49.。

苏科版初中八年级数学上册2-5等腰三角形的轴对称性第二课时等腰三角形的判定课件

13.(2024江苏苏州相城期中,25,★★☆)如图,已知AB=AC,∠ ACB=2∠BAC,点D为BC中点,CE平分∠ACB交AD于点I,交 AB于点E,连接BI. (1)求∠AIC的度数. (2)求证:△IBE为等腰三角形.
解析 (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=2∠BAC,∴
10.(2024北京朝阳期中,7,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=∠C =36°,D、E分别是线段BC、AC上的一点,根据下列条件之一, 不能判定△ADE是等腰三角形的是 ( C )
A.∠1=2∠2 B.∠1+∠2=72° C.∠1+2∠2=90° D.2∠1=∠2+72°
解析当∠1+2∠2=90°时,∠1=90°-2∠2, ∴∠DAE=180°-∠B-∠C-∠1=108°-∠1=108°-(90°-2∠2)=18 °+2∠2,∠AED=36°+∠2,∠ADE=36°+∠1-∠2=36°+90°-2∠2 -∠2=126°-3∠2, ∴∠DAE、∠AED、∠ADE之间的大小关系无法确定.故根据选项C的条件不能判定△ADE是等腰三角形.故选C.
∠BAC+2∠BAC+2∠BAC=180°,∴∠BAC=36°,∴∠ACB=72°.
∵CE平分∠ACB,∴∠AC1I= ∠ACB=36°.∵点D为BC中点,
2
∴AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BA1D= ∠BAC=18°,∴∠AIC
2
=180°-∠CAD-∠ACI=126°.
(2)证明:∵AB=AC,点D为BC中点,∴AD垂直平分BC,∴BI= CI,∴∠BID=∠CID.∵∠AIC=126°,∴∠BID=∠CID=180°-126° =54°,∴∠BIE=180°-54°-54°=72°.∵∠BEI=∠BAC+∠ACE =72°,∴∠BIE=∠BEI,∴BE=BI,即△IBE是等腰三角形.

八年级数学上册 2.5《等腰三角形的轴对称性》等腰三角形要点全析素材 (新版)苏科版

要点全析：等腰三角形1．等腰三角形（isosceles triangle）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，则2m＞a，即m>a/2时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．（2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长．（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长．解：（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，∴不能组成三角形．②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．若为2 cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），∴等腰三角形的周长为16 cm．2．等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．又∵AD为△ABC的对称轴，∴△ABD≌△ACD（轴对称性质）．∴∠B＝∠C证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠ADADCADBADACAB＝＝＝∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．即△ABC中，AB＝AC，若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC证法一：在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．∴∠DBC＝90°－∠C．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．∴∠BAC＝2∠DBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，则AM平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.又∵BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，∴∠DBC＝90°－∠C又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM4．等腰三角形的性质3（轴对称性）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BD ＝CE．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°．在△BCD和△CBE中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝CBBCCEBBDCCBEBCD∴△BCD≌△CBE（AAS）．∴BD＝CE．或S△ABC＝0.5×AB·CE＝0.5×AC·BD．∵ AB＝AC，∴BD＝CE．此法较为简便．同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，也分别对应相等．6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．7．已知底边和底边上的高，求作等腰三角形已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．作法：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；（3）在MN上截取AD＝b；（4）连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的．8．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC ＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC 为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC又∵∠A＝∠B∴AC＝BC∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠C＝60°．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC．∴△ABC为等边三角形．（4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度数．分析：要求∠DAE的度数，需分开求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°，又∵BD＝BC，而BC＝BA，则BD＝BA，∴△ABD为等腰三角形，∴∠D＝∠DAB＝0.5×∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF ＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．9．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图14-3-18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝0.5×AB，这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝0.5×AB，则∠A＝30°．因此Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30° BC＝AB/2这一性质在解题中经常用到．例如：如图14-3-19，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，高AD交BC于D，∠B＝30°，BC ＝12米，求CD，BD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，BC＝2AC∴AC＝BC/2＝6（米）．在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∠C＝60°，∴∠CAD＝30°．∴DC＝AC/2＝0.5××6＝3（米）．∴BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．。

苏科版数学八年级上册2.5《等腰三角形的轴对称性》说课稿2

苏科版数学八年级上册2.5《等腰三角形的轴对称性》说课稿2一. 教材分析《等腰三角形的轴对称性》是苏科版数学八年级上册第二章第五节的内容。

本节课的主要内容是让学生掌握等腰三角形的轴对称性，并会运用轴对称性解决一些实际问题。

教材通过引入等腰三角形的定义和性质，引导学生探究等腰三角形的轴对称性，从而让学生更深入地理解等腰三角形的性质。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的性质，对三角形有了一定的了解。

但等腰三角形是三角形的一种特殊形式，它的性质和普通三角形有所不同，所以学生需要通过学习来掌握等腰三角形的性质。

另外，学生已经学习过轴对称的概念，但对轴对称性的理解和应用还不够深入，这也是本节课需要重点解决的问题。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解等腰三角形的轴对称性，并能运用轴对称性解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过学生自主探究、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：等腰三角形的轴对称性。

2.教学难点：如何引导学生发现和证明等腰三角形的轴对称性。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用学生自主探究、合作交流的教学方法，引导学生发现和证明等腰三角形的轴对称性。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等教学辅助工具，帮助学生直观地理解等腰三角形的轴对称性。

六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的性质，引出等腰三角形的定义和性质。

2.探究：让学生分组讨论，每组尝试找出等腰三角形的轴对称性，并说明理由。

3.展示：每组选出一名代表，向全班展示他们的探究成果。

4.讲解：教师对学生的探究结果进行点评，并给出正确的证明过程。

5.练习：让学生运用轴对称性解决一些实际问题，巩固所学知识。

6.小结：对本节课的内容进行总结，强调等腰三角形的轴对称性。

七. 说板书设计板书设计如下：等腰三角形的轴对称性1.定义：等腰三角形2.性质：轴对称性3.证明：利用几何画板，展示等腰三角形的轴对称性八. 说教学评价本节课的教学评价主要从学生的学习效果和课堂表现两个方面进行。

八年级数学上册第二章轴对称图形2.5等腰三角形的轴对称性教案1新版苏科版

八年级数学上册第二章轴对称图形2.5等腰三角形的轴对称性教案1新版苏科版等腰三角形的轴对称性（1）教学目标【知识与能力】理解等腰三角形的轴对称性及其相关性质；2．能够证明等腰三角形的性质定理。

【过程与方法】能够运用等腰三角形的性质定理解决相关问题。

【情感态度价值观】经历折纸、画图、观察、推理等操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径.教学重难点【教学重点】等腰三角形的轴对称性及其相关的性质.【教学难点】等腰三角形的性质证明及其应用.教学过程教学过程：教师活动学生活动设计意图一一、情境引入1．观察图中的等腰三角形ABC，分别说出它们的腰、底边、顶角和底角．2．把该等腰三角形沿顶角平分线对折展开，你有什么发现？1．学生思考、回答．2．学生动手操作、实践．复习等腰三角形的有关概念．通过动手操作让学生感悟到等腰三角形是轴对称图形．．二、探究活动问题一：等腰三角形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？问题二：找出等腰三角形ABC对折后重合的线段和角．学生分组讨论，交流结果在前面动手操作、直观演示的基础上引导学生如何利用折痕这条辅助线，构造出两个全等的三角形，从而让学生经问题三：由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质呢？说一说你的猜想．历演绎推理的过程，从而主动地发现证明思路，为今后学生进行探索活动积累数学活动经验．三、归纳总结等腰三角形的两底角相等．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合．思考：1．你能证明上述定理吗？2．你有不同的证明方法吗？课堂练习：课本P61-62第1、2题．思考：1．你能证明上述定理吗？2．你有不同的证明方法吗？具体如下：1．做顶角的平分线，用“SAS ”．2．作底边上的中线，用“SSS ”．3．作底边上的高，用“HL ”让学生通过思考“你能证明上述定理吗？”“你有不同的证明方法吗？”的问题，不仅使学生思考证明定理，更使学生学会质疑，感受到只要多观察、多思考，就可能获得更多不同解决问题的方法，从而激发起数学探究的欲望和兴趣．四、操作尝试按下列作法，用直尺和圆规作等腰三角形ABC ，使底边BC ＝a ，高AD ＝h 学生动手作图．等腰三角形的性质应用．五、例题讲解例1 课本P61例1．思考：1．图中有几个等腰三角形？2．可以得到哪些相等的角？课堂练习：课本P62第3题．学生独立思考、小组交流．引导学生把复杂的图形简单化是解决复杂问题的一种方法，再通过观察、思考，找出简单图形中的相等的角，最后的证明，培养学生分析问题和解决问题的能力．DCBADCBA六、课堂小结本节课你的收获是什么？共同小结．师生互动，总结学习成果，体验成功．。

苏科版八年级上册数学第一章复习自学案导学案

第一章轴对称图形【学习目标】本章主要介绍轴对称和轴对称图形，研究图形的一种特殊的对称以及其性质。

进一步详细介绍线段、角、等腰三角形、等腰梯形的对称性。

【自主学习】1.轴对称：如果把一个图形沿着后，能够重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做，两个图形中的对应点叫做。

2.轴对称图形：如果把一个图形沿着，直线两旁的部分能够，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做。

3.轴对称的性质： ⑴成轴对称的两个图形。

⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是。

4．线段的垂直平分线：5．线段的轴对称性：①线段是轴对称图形，对称轴有两条，一条是，另一条是。

②线段的垂直平分线上的点到相等。

③到的点，在这条线段的上。

结论：6．角的轴对称性：①角是图形，对称轴是③到的点，在上。

结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合7．等腰三角形：有的三角形叫等腰三角形，其中相等的边叫做腰，另一条边叫做底。

等腰三角形是，对称轴是。

等腰三角形相等，相等（简称）；等腰三角形的互相重合。

（三线合一）8．如果一个三角形，那么（简称）；9．等边三角形是特殊的，具备的一切性质。

除此之外，等边三角形有，，。

10．等边三角形的判定：是等边三角形；的三角形是等边三角形；是等边三角形。

11．的四边形叫做梯形。

平行的两条边叫做梯形的上底和下底，不平行的两条边叫做腰。

腰和底的夹角叫做底角。

两底之间的距离叫做梯形的高。

12．叫做等腰梯形。

13．等腰梯形是，有一条对称轴，是。

等腰梯形，，对角线。

14.等腰梯形的判定：的梯形是等腰梯形；的梯形是等腰梯形.【达标反馈】1、在等腰三角形中一个角是700，则另两个角分别为（）A、700，400B、550，550C、700，400或550，550D、不同于以上答案2、在镜子中看到时钟显示的时间是（如右图），则实际时间是.3、已知：如图，△AMN的周长为18，∠B, ∠C的平分线相交于点O,过O点的直线MN∥BC交AB、AC于点A C · ·DO BAE FG 12_ O _ N _ M _ C _ B _ A M 、N 。

【精品】苏科初中数学八年级上册《2.5 等腰三角形的轴对称性》教案 (14)

2.5等腰三角形的轴对称性(2)【基础训练】1．等边三角形是_______图形，并且有_______条对称轴；等边三角形的每个角等于_______．2．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是60°，那么这个三角形是_______．3．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝_______．4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在BC上，且BD＝AD，CE＝AE．判断△ADE的形状，并说明理由．5．如图，在等边三角形ABC中，点D是AC的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，AB＝10 cm．(1)求BE的长；(2)BD＝ED吗？为什么？6．如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内任意一点，OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E、F．求证：△OEF是等边三角形．7．如图，D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC．求证：∠P＝30°．8．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形．【提优拔尖】9．以正方形ABCD的一边CD为边作等边三角形CDE．连接AE、BE．(1)画出图形；(2)求∠AEB的度数．10．如图，在△ABC中，分别以AB、AC为边作等边三角形ABE、ACD，BD与CE相交于点O．(1)EC＝BD吗？为什么？(2)如果要使△ABE和△ACD全等，那么还需要添加什么条件？在此条件下，整个图形是轴对称图形吗？此时∠BOC是多少度？11．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1＝∠B．求证：AB＝AC＋CD．12．如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED＝EC．若△ABC的边长为4，AE＝2，则BD的长为( )．A．2 B．3 C D＋113．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A6BA7的边长为( )．A．6 B．12 C．32 D．64参考答案1．轴对称 3 60°2．等边三角形3．15°4．△ADE是等边三角形．5．(1)15 cm (2)BD=ED6．略7．略8．略9．(1)如图(2)150°．10．(1)EC＝BD．(2)添加条件：AB＝AC，整个图形是轴对称图形，此时∠BOC＝120°．11．略12．A 13．C。

苏科版-数学-八年级上册《2.5 等腰三角形的轴对称性(2)》导学稿

A一、教学目标：1. 掌握“等角对等边” 和“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质2. 会用“因为……所以……理由是……”等方式来进行说理，进一步发展有条理的思考和表达，提高演绎推理的能力二、教学重点 “等角对等边”及直角三角形斜边中线的重要性质三、教学难点：经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，分析归纳定理及定理的应用四、教学过程（一）探究活动1：如图，在△ABC 中, ∠B=∠C量一量AC 与AB 的长度，AC 和AB 相等吗？你和同学所得的结论相同吗？你能说明理由吗？结论：如果一个三角形有两个角 ,那么这两个角所对的边也(简称“ ”).符号语言：∵∠B=∠C∴ = ( ) （二）新知应用如图,将矩形纸条沿截线AB 折叠, 重叠部分的△ABC 是等腰三角形吗? 证明你的结论例1.已知：如图，∠DAC 是△ABC 的外角，AE 平分∠DAC ， AE ∥BC 。

求证： AB=AC 。

变式：如图，已知0B 、OC 为△ABC 的角平分线，DE ∥BC ，(1)试说明DE=BD+EC(2)若△ADE 的周长为10，BC 长为8，求△ABC 的周长.例2. 如图，在△ABC 中，AB = AC ，两条角平分线BD 、CE 相交于点O 。

A B CB AC21 AD BCE 0(1)OB 与OC 相等吗？请说明理由。

⑵BD 与CE 相等吗?为什么?⑶如果将BD 与CE 变为高或中线，⑵中的结论还成立吗?为什么?探究活动2 ：取一张直角三角形纸片，按下列步骤折叠：问题：图中与AD 相等的线段有哪些？CD 与AB 的大小有什么关系？结论：直角三角形斜边上的等于斜边的。

例 3.如图,在四边形ABCD 中， ∠ABC=∠ADC=900，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，求证：MN ⊥BD.（三）课堂练习1.△ABC 中, ∠A=42°,当∠C= ______时, △ABC 是等腰三角形.2.在等腰直角△ABC 中，斜边上的中线长为5cm ，则斜边长为，面积为 .3.已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=900，AC=BC,D 是AB 的中点,点E 在AC 上,点F 在BC 上,且AE=CF 。

苏科版八年级上册数学 2.5等腰三角形的轴对称性教案

《等腰三角形的轴对称性》教案设计
一、背景信息适用学生：八年级教材：苏教版八年级数学上册二、选材分析
《等腰三角形的轴对称性》是本节课是在学生学习了三角形的基本概念，
全等三角形和轴对称知识的基础上，进一步研究的一种特殊三角形——等腰三
角形。等腰三角形的性质为证明两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直提
重合
重合的角
化解起到
的线段
了至关重
AB＝AC ∠B ＝ ∠C
要的作用。
通过学生
动手操作、
BD＝CD ∠BAD ＝ ∠CAD 动眼观察、
AD＝AD
∠ADB=∠ ADC=90°
动口交流表达，使学生充分感
知等腰三
性质一：等腰三角形的两个底角形性质。
角相等 (简称“等边对等角”) 培养了学
符号语言：在△ABC 中，
四、操作尝试
按下列作法，用 D
C
直尺和圆规作等
腰三角形 ABC，使
底边 BC＝a，高
A
AD＝h．
把复杂的图形简单化是解决复杂问题的一种方 C 法，再通过观察、思考，找出简单图形中的相等的角，最后的证明，培养学生分析问题和解决问题的能力．
B
D
八、教学评价设计
《等腰三角形的轴对称性》主题单元评价量规
七、教学过程
主要环节
教师指导
学生活动
设计意图
设计问题复习
学生整理思路，并回答（口述）本题的设
情境，引已知：如图，在这题的解题过程。1．学生思考、计前后呼
入学习任 △ABC 中,AB=AC, 回答．
应，这是上
务
点 D 在 BC 上,DE
节课的课

苏科版数学八年级上册教学设计《2-5等腰三角形的轴对称性(2)》

苏科版数学八年级上册教学设计《2-5等腰三角形的轴对称性(2)》一. 教材分析《苏科版数学八年级上册》第三章“轴对称图形”中的第二节“等腰三角形的轴对称性(2)”是本节课的主要内容。

这部分内容是在学生已经掌握了等腰三角形的性质、轴对称的性质和判定定理的基础上进行讲解的，旨在让学生通过探究等腰三角形的轴对称性，加深对轴对称的理解，提高空间想象能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了等腰三角形的性质、轴对称的性质和判定定理，具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力。

但学生在学习过程中，可能对等腰三角形的轴对称性的理解还不够深入，需要通过本节课的学习，进一步巩固和提高。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握等腰三角形的轴对称性，能够运用轴对称的性质解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和创新精神。

四. 教学重难点1.教学重点：等腰三角形的轴对称性。

2.教学难点：如何运用轴对称的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.引导发现法：教师通过提问、引导，让学生发现等腰三角形的轴对称性，培养学生的独立思考能力。

2.合作交流法：教师学生进行小组讨论，分享学习心得，提高学生的团队协作能力。

3.实践操作法：教师引导学生进行实际操作，巩固所学知识，提高学生的动手能力。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。

2.学具准备：学生每人一份等腰三角形的相关资料，一份练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习等腰三角形的性质、轴对称的性质和判定定理，引出本节课的内容——等腰三角形的轴对称性。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示等腰三角形的轴对称性，让学生观察、思考，并引导学生发现等腰三角形的轴对称性。

3.操练（10分钟）教师学生进行小组讨论，分享学习心得，让学生通过合作交流，加深对等腰三角形的轴对称性的理解。

苏科版数学八年级上册《2.5 等腰三角形的轴对称性》教学设计3

苏科版数学八年级上册《2.5 等腰三角形的轴对称性》教学设计3一. 教材分析等腰三角形的轴对称性是苏科版数学八年级上册的教学内容，这部分内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、性质和三角形分类的基础上进行讲解的。

等腰三角形的轴对称性是等腰三角形的重要性质，是学生进一步学习几何图形的对称性的基础。

本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要通过实例和操作活动让学生理解和掌握。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念、性质和三角形分类，具备了一定的几何图形基础。

但是，学生对于轴对称性的理解可能还比较模糊，需要通过实例和操作活动来帮助学生理解和掌握。

此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力有待提高，需要通过丰富的教学资源和教学手段来激发学生的学习兴趣和积极性。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握等腰三角形的轴对称性，能够运用轴对称性解释和解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过实例和操作活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣和积极性，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：等腰三角形的轴对称性的理解和运用。

2.教学难点：等腰三角形轴对称性的证明和解释。

五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，让学生理解和掌握等腰三角形的轴对称性。

2.操作活动法：让学生通过实际的操作活动，感受和体验等腰三角形的轴对称性。

3.问题驱动法：通过提问和讨论，激发学生的思考和探究，引导学生理解和掌握等腰三角形的轴对称性。

六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，包括实例和操作活动的图片和动画。

2.教学素材：准备一些实际的等腰三角形物体，如三角板、尺子等，用于实例讲解和操作活动。

3.教学资源：准备一些相关的学习资料和练习题，用于学生的自主学习和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问和复习三角形的基本概念、性质和三角形分类，引导学生进入本节课的学习。