数据结构树二叉树定义和二叉树性质与存储本共38页
数据结构之二叉树（BinaryTree）
数据结构之⼆叉树（BinaryTree）⽬录导读 ⼆叉树是⼀种很常见的数据结构，但要注意的是，⼆叉树并不是树的特殊情况，⼆叉树与树是两种不⼀样的数据结构。
⽬录 ⼀、⼆叉树的定义 ⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 三、⼆叉树的五种基本形态 四、⼆叉树相关术语 五、⼆叉树的主要性质（6个） 六、⼆叉树的存储结构（2种） 七、⼆叉树的遍历算法（4种） ⼋、⼆叉树的基本应⽤：⼆叉排序树、平衡⼆叉树、赫夫曼树及赫夫曼编码⼀、⼆叉树的定义 如果你知道树的定义（有限个结点组成的具有层次关系的集合），那么就很好理解⼆叉树了。
定义：⼆叉树是n(n≥0)个结点的有限集，⼆叉树是每个结点最多有两个⼦树的树结构，它由⼀个根结点及左⼦树和右⼦树组成。
（这⾥的左⼦树和右⼦树也是⼆叉树）。
值得注意的是，⼆叉树和“度⾄多为2的有序树”⼏乎⼀样，但，⼆叉树不是树的特殊情形。
具体分析如下⼆、⼆叉树为何不是特殊的树 1、⼆叉树与⽆序树不同 ⼆叉树的⼦树有左右之分，不能颠倒。
⽆序树的⼦树⽆左右之分。
2、⼆叉树与有序树也不同（关键） 当有序树有两个⼦树时，确实可以看做⼀颗⼆叉树，但当只有⼀个⼦树时，就没有了左右之分，如图所⽰：三、⼆叉树的五种基本状态四、⼆叉树相关术语是满⼆叉树；⽽国际定义为，不存在度为1的结点，即结点的度要么为2要么为0，这样的⼆叉树就称为满⼆叉树。
这两种概念完全不同，既然在国内，我们就默认第⼀种定义就好）。
完全⼆叉树：如果将⼀颗深度为K的⼆叉树按从上到下、从左到右的顺序进⾏编号，如果各结点的编号与深度为K的满⼆叉树相同位置的编号完全对应，那么这就是⼀颗完全⼆叉树。
如图所⽰：五、⼆叉树的主要性质 ⼆叉树的性质是基于它的结构⽽得来的，这些性质不必死记，使⽤到再查询或者⾃⼰根据⼆叉树结构进⾏推理即可。
性质1：⾮空⼆叉树的叶⼦结点数等于双分⽀结点数加1。
证明：设⼆叉树的叶⼦结点数为X，单分⽀结点数为Y，双分⽀结点数为Z。
树和二叉树——精选推荐
第6章 树和二叉树内容概要：本章主要介绍树，二叉树，最优二叉树的相关概念和操作，存储结构和相应的操作，并在综合应用设计中，给出了对应算法的C 语言实现。
教学目标1．理解各种树和森林与二叉树的相应操作。
2．熟练掌握二叉树的各种遍历算法，并能灵活运用遍历算法实现二叉树的其他操作。
3．熟练掌握二叉树和树的各种存储结构及其建立的算法。
4．掌握哈夫曼编码的方法。
5．通过综合应用设计，掌握各种算法的C 语言实现过程。
基本知识点：树和二叉树的定义、二叉树的存储表示、二叉树的遍历以及其它操作的实现、树和森林的存储表示、树和森林的遍历以及其它操作的实现、最优树和赫夫曼编码重点：二叉树的性质、二叉树的遍历及其应用，构造哈夫曼树。
难点：编写实现二叉树和树的各种操作的递归算法。
本章知识体系结构：课时安排：6个课时树的定义 树树的性质 树的逻辑表示法 树形表示法 树的存储结构 双亲存储结构 文氏表示法凹入表示法 括号表示法 孩子存储结构 孩子双亲存储结构二叉树二叉树的定义 二叉树的性质二叉树的逻辑表示法（采用树的逻辑表示法）二叉树的存储结构二叉树的顺序存储结构先序遍历 中序遍历 后序遍历二叉树的遍历 二叉树的链式存储结构（二叉链） 由先序序列和中序序列构造二叉树 由中序序列和后序序列构造二叉树二叉树的构造 二叉树的线索化 哈夫曼树二叉树和树之间的差别 二叉树与树、森林之间的转换二叉树和树课程数据结构教学教具多媒体课件学时2班级06网络教学日期/课时 /2课时教学单元第6章树和二叉树教学方法讲授（PPT）教学目标掌握树、二叉树的基本概念和术语，二叉树的性质教学重点二叉树的定义、二叉树的性质、链式存储结构教学难点二叉树的性质、链式存储二叉树的基本操作组织教学一、树的定义二、树的基本概念三、二叉树的定义、性质四、二叉树的顺序存储结构和链式存储结构五、小结作业复习本讲内容并预习下一讲内容课堂情况及课后分析课程数据结构教学教具多媒体课件学时2班级06网络教学日期/课时 /2课时教学单元第6章树和二叉树教学方法讲授（PPT）教学目标掌握二叉树遍历的三种方法及二叉树的基本操作教学重点二叉树的遍历算法教学难点中序与后序遍历的非递归算法组织教学一、复习二叉树的定义二、遍历二叉树的三种方法三、递归法遍历二叉树四、二叉树的基本操作五、总结作业复习本讲内容并预习下一讲内容课堂情况及课后分析课程数据结构教学教具多媒体课件学时2班级06网络教学日期/课时 /2课时教学单元第6章树和二叉树教学方法讲授（PPT）教学目标理解树与森林的转换，掌握哈夫曼树教学重点哈夫曼树教学难点树与森林的转换组织教学一、导入二、树与森林三、哈夫曼树四、小结作业习题6课堂情况及课后分析前面几章讨论的数据结构都属于线性结构，线性结构的特点是逻辑结构简单，易于进行查找、插入和删除等操作，可用于描述客观世界中具有单一前驱和后继的数据关系。
数据结构二叉树知识点总结
数据结构二叉树知识点总结二叉树是一种常见的数据结构，它由节点组成，每个节点最多可以有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树有很多重要的特性和操作，下面是一些关于二叉树的知识点总结。
1.二叉树的基本概念-根节点：树的顶部节点，没有父节点。
-子节点：根节点下的节点。
-叶节点：没有子节点的节点。
-父节点：一个节点的直接上级节点。
-高度：树的最大层数，根节点的层数为0。
-深度：树的层数，叶节点的深度为最大深度。
-层次遍历：按层次的顺序依次访问每个节点。
2.二叉树的分类-满二叉树：每个节点要么没有子节点，要么有两个子节点。
-完全二叉树：除了最后一层外，其它层的节点都是满的，并且最后一层的节点都靠左排列。
-二叉树：左子节点的值小于父节点的值，右子节点的值大于父节点的值。
3.二叉树的表示方法- 数组表示法：将树的节点按层次遍历的顺序存储在一个数组中，对于任意节点i，它的父节点在位置floor((i-1)/2)，左子节点在位置2*i+1，右子节点在位置2*i+2-链表表示法：使用节点对象保存节点的数据和指向左右子节点的指针。
4.二叉树的遍历-前序遍历：先访问根节点，然后递归地遍历左子树和右子树。
-中序遍历：先递归地遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。
-后序遍历：先递归地遍历左子树和右子树，最后访问根节点。
-层次遍历：按层次的顺序依次访问每个节点。
5.二叉树的应用-表达式树：使用二叉树表示数学表达式，可以方便地计算表达式的值。
-堆：一种特殊的二叉树，用于实现优先队列。
-平衡二叉树：保持左右子树高度差不超过1的二叉树，用于实现高效的查找操作。
-哈夫曼树：用于数据压缩，将出现频率较高的字符编码为较短的二进制串。
6.二叉树的操作-插入节点：将新节点插入到树的适当位置，保持二叉树的性质。
-删除节点：删除指定节点，保持二叉树的性质。
-节点：在树中指定节点。
-最小值和最大值：找到树中的最小值和最大值。
-判断是否相等：判断两个二叉树是否相等。
二叉树的知识点总结
引言概述：二叉树是计算机科学中一种重要的数据结构，其特点是每个节点最多有两个子节点。
在计算机科学中，二叉树被广泛应用于搜索、排序和组织数据等领域。
本文将对二叉树的知识点进行总结和详细阐述，以帮助读者更好地理解和应用二叉树。
正文内容：一、二叉树的基本概念1.二叉树的定义：二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多只有两个子节点。
2.二叉树的特点：每个节点最多有两个子节点，左子节点和右子节点。
3.二叉树的性质：二叉树的左子树和右子树也是二叉树，每个节点的左子树中的所有节点都小于该节点，右子树中的所有节点都大于该节点。
二、二叉树的遍历方式1.前序遍历：先访问根节点，然后递归遍历左子树和右子树。
2.中序遍历：先递归遍历左子树，然后访问根节点，最后递归遍历右子树。
3.后序遍历：先递归遍历左子树和右子树，然后访问根节点。
4.层序遍历：按层次从上到下依次访问每个节点。
三、二叉搜索树1.二叉搜索树的定义：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中的节点按一定的顺序排列。
2.二叉搜索树的性质：对于任意节点，其左子树中的所有节点都小于该节点，右子树中的所有节点都大于该节点。
3.二叉搜索树的插入操作：将待插入节点与当前节点比较，根据大小关系决定是插入左子树还是右子树。
4.二叉搜索树的删除操作：删除节点时需要考虑其子节点个数，根据不同情况分为三种情况进行处理。
5.二叉搜索树的查找操作：从根节点开始，根据节点值与目标值的大小关系，逐渐向左子树或右子树遍历，直至找到目标值或到达叶子节点。
四、平衡二叉树1.平衡二叉树的定义：平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，其中的节点满足平衡条件。
2.平衡二叉树的性质：对于任意节点，其左子树和右子树的高度差不超过1。
3.平衡二叉树的实现：通过旋转操作来调整树结构，使其满足平衡条件。
4.平衡二叉树的插入操作：插入节点后，通过旋转操作保持树的平衡性。
5.平衡二叉树的删除操作：删除节点后，通过旋转操作保持树的平衡性。
数据结构二叉树知识点总结
数据结构⼆叉树知识点总结术语1. 节点的度：⼀个节点含有的⼦树的个数称为该节点的度；2. 叶节点或终端节点：度为零的节点；3. ⾮终端节点或分⽀节点：度不为零的节点；4. ⽗亲节点或⽗节点：若⼀个节点含有⼦节点，则这个节点称为其⼦节点的⽗节点；5. 兄弟节点：具有相同⽗节点的节点互称为兄弟节点；6. 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的⼦节点为第2层，以此类推；7. 树的⾼度或深度：树中节点的最⼤层次；8. 堂兄弟节点：⽗节点在同⼀层的节点互为堂兄弟；9. 节点的祖先：从根到该节点所经分⽀上的所有节点；10. 孙：以某节点为根的⼦树中任⼀节点都称为该节点的⼦孙。
11. 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；12. 满⼆叉树：⼀棵深度为k，且有2^k-1 (2的k次⽅减⼀)个节点称之为满⼆叉树13. 完全⼆叉树：完全⼆叉树是由满⼆叉树⽽引出来的。
对于深度为K的，有n个结点的⼆叉树，当且仅当其每⼀个结点都与深度为K的满⼆叉树中编号从1⾄n的结点⼀⼀对应时称之为完全⼆叉树。
叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下⾯⼀层的结点都集中在该层最左边的若⼲位置的⼆叉树⼆叉树的性质1.在⾮空⼆叉树中，第i层的结点总数不超过2^(i-1),i>=1；2.深度为h的⼆叉树最多有2^h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点；3.对于任意⼀棵⼆叉树，如果其叶结点数为N0，⽽度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；4.具有n个结点的完全⼆叉树的深度为K =[log2n」+1(取下整数)5.有N个结点的完全⼆叉树各结点如果⽤顺序⽅式存储，则结点之间有如下关系：若I为结点编号则如果I>1，则其⽗结点的编号为I/2；6.完全⼆叉树，如果2*I<=N，则其左⼉⼦（即左⼦树的根结点）的编号为2*I；若2*I>N，则⽆左⼉⼦；如果2*I+1<=N，则其右⼉⼦的结点编号为2*I+1；若2*I+1>N，则⽆右⼉⼦。
自考软件基础(数据结构--树与二叉树)
B
C
D
E
F
G
H
I
J
第 5 /209页
第二节 二叉树
一、定义
南昌大学
二叉树是一种重要的树形结构，它的特点是：二叉树可以为空（节点个
数为0），任何一个节点的度都小于或等于2，并且，子树有左、右之分，
其次序不能任意颠倒。 二叉树有5种基本形态，如图10-2所示。
第 6 /209页
第二节 二叉树
南昌大学
struct node
{ datatype data； struct node *Lchild,*rchild：
}；
第 15 /209页
第二节 二叉树
南昌大学
例10-5 写出图10-8a所示二叉树的链式存储结构。其链式结构如图10-8b 所示。可以看出：具有n个节点的二叉树链式存储共有2n个链，其中只 有n-1个用来存放该节点的左、右孩子，其余的n +1个指针域为空。
解：第一步：由后序遍历结果确定整个二叉树根为A，由中序结果确定
A的左、右子树。 后序遍历结果： 中序遍历结果：
第 24 /209页
第三节 二叉树的遍历
第二步：确定A的左子树。 1)后序遍历结果：
南昌大学
中序遍历结果：
2）确定B的右子树： ①后序遍历结果：
第 25 /209页
第三节 二叉树的遍历
②中序遍历结果：
南昌大学
第 9 /209页
第二节 二叉树
下面介绍两种特殊的二叉树。
南昌大学
(1) 满二叉树指深度为k，且有2k-1个节点的二叉树。或者说除叶子节点外，
其它节点的度都为2的二叉树。
(2) 完全二叉树一个满二叉树的最下层从右向左连续缺少n (n>=0)个节点 的二叉树。 图10-3为满二叉树和完全二叉树示例。
《算法导论》读书笔记之第10章 基本数据结构之二叉树
《算法导论》读书笔记之第10章基本数据结构之二叉树摘要书中第10章10.4小节介绍了有根树，简单介绍了二叉树和分支数目无限制的有根树的存储结构，而没有关于二叉树的遍历过程。
为此对二叉树做个简单的总结，介绍一下二叉树基本概念、性质、二叉树的存储结构和遍历过程，主要包括先根遍历、中根遍历、后根遍历和层次遍历。
1、二叉树的定义二叉树（Binary Tree）是一种特殊的树型结构，每个节点至多有两棵子树，且二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
由定义可知，二叉树中不存在度（结点拥有的子树数目）大于2的节点。
二叉树形状如下下图所示：2、二叉树的性质（1）在二叉树中的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>=1)。
备注:^表示此方（2）深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点（k>=1)。
（3）对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数目为n0，度为2的节点数目为n2，则n0=n2+1。
满二叉树：深度为k且具有2^k-1个结点的二叉树。
即满二叉树中的每一层上的结点数都是最大的结点数。
完全二叉树：深度为k具有n个结点的二叉树，当且仅当每一个结点与深度为k的满二叉树中的编号从1至n的结点一一对应。
可以得到一般结论：满二叉树和完全二叉树是两种特殊形态的二叉树，满二叉树肯定是完全二叉树，但完全二叉树不不一定是满二叉树。
举例如下图是所示：（4）具有n个节点的完全二叉树的深度为log2n + 1。
3、二叉树的存储结构可以采用顺序存储数组和链式存储二叉链表两种方法来存储二叉树。
经常使用的二叉链表方法，因为其非常灵活，方便二叉树的操作。
二叉树的二叉链表存储结构如下所示：1 typedef struct binary_tree_node2 {3 int elem;4 struct binary_tree_node *left;5 struct binary_tree_node *right;6 }binary_tree_node,*binary_tree;举例说明二叉链表存储过程，如下图所示：从图中可以看出：在还有n个结点的二叉链表中有n+1个空链域。
计算机二级二叉树
计算机二级二叉树1. 概述二叉树是一种常见的数据结构，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。
在计算机科学中，二叉树有着广泛的应用，例如在算法和数据存储中都能够发挥重要作用。
本文将介绍计算机二级二叉树的基本概念、性质以及相关操作。
2. 二叉树的定义二叉树是一种有序树，其中每个节点最多有两个子节点。
它通常用来表示层次关系、排序关系、树形结构等。
二叉树的子节点分为左子节点和右子节点，子节点的顺序是固定的。
3. 二叉树的性质(1) 二叉树的第i层最多有2^(i-1)个节点。
(2) 深度为k的二叉树最多有2^k-1个节点。
(3) 对于任意一棵二叉树，如果其叶子节点数为n0，度为2的节点数为n2，则n0=n2+1。
(4) 对于完全二叉树，假设其深度为h，则其节点数为2^h-1（h≥1）。
4. 二叉树的遍历二叉树的遍历主要分为前序遍历、中序遍历和后序遍历。
下面分别介绍这三种遍历方式的定义和实现。
(1) 前序遍历：遍历顺序为根节点、左子树、右子树。
(2) 中序遍历：遍历顺序为左子树、根节点、右子树。
(3) 后序遍历：遍历顺序为左子树、右子树、根节点。
二叉树的遍历可以用递归或者迭代的方法实现。
5. 二叉树的插入在二叉树中插入节点是一种常见的操作。
下面介绍一种基本的插入算法：(1) 如果树为空，则将节点作为根节点插入。
(2) 如果树不为空：- 将节点与根节点进行比较，若小于根节点，则插入到左子树中。
- 若大于根节点，则插入到右子树中。
- 对左子树或右子树递归执行插入操作。
6. 二叉树的删除二叉树的删除操作比插入操作稍微复杂一些。
一般情况下，可以按照以下步骤进行删除：(1) 如果要删除的节点是叶子节点，直接删除即可。
(2) 如果要删除的节点只有一个子节点，将其子节点代替要删除的节点。
(3) 如果要删除的节点有两个子节点，则需要找到其右子树中的最小节点（或左子树中的最大节点）来代替要删除的节点，并删除那个最小节点。
7. 二叉树的应用二叉树在计算机科学中有着广泛的应用，下面介绍几种常见的应用场景：(1) 搜索二叉树：可以在O(log n)的时间复杂度内进行搜索操作。
计算机数据结构知识点梳理 二叉树的定义及其主要特征
当 n ≠ 2k , 即 n 不是2的方幂或者 n = 2k 但是一棵满二叉树，其高度为
。
当 n = 2k 但是非满二叉树，其高度为
。
②有n个结点的完全k叉树的高度为
。
性质5推广：一棵满k叉树，如果按层次顺序从1开始对全部结点编号，
①编号为p=1的结点无父结点，否则编号为p结点的父结点的编号是
（k≥2）；
[题1]若一棵二叉树有126个结点，在第7层（根结点在第1层）至多有（ ）个结点。
A.32
B.64
C.63
D.不存在第7层
分析：根据二叉树的性质，第7层至多有64（27-1）个结点，但是题目中给出了二叉树的结点 总数126，由此来判断第7层是否可以有64个结点？
要在二叉树的第7层达到最多的结点个数，其上面6层必须是一个满二叉树，深度为6的满 二叉树有63（26－1）个结点，由此可以判断出此二叉树的第7层不可能达到64个结点，最 多是126-63=63个结点。
（2）完全二叉树：一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的结点按从上至下、从左到 右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树 中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。它的特点是：叶子结点只能出现在最下 层和次下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。
任何完全二叉树中度为1的结点只有0个或1个。
中的所有结点从1开始顺序编号，则对于任意的序号为i的结点，有：
（1）如果i＞1，则序号i的结点的双亲结点的序号为 ；如果i＝1，则序号为i的结点是根 结点，无双亲结点。
（2）如果2i≤n，则序号为i的结点的左孩子结点的序号为2i；如果2i＞n，则序号为i的结 点无左孩子。
（3）如果2i＋1≤n，则序号为i的结点的右孩子结点的序号为2i＋1；如果2i＋1＞n，则 序号为i的结点无右孩子。
05二叉树
}
if (Parent->Lchild == NULL) /* Parent所指结点左子树为空 */ Parent->Lchild = ptr;
else
{
/* Parent所指结点左子树非空 */
ptr->Lchild = Parent->Lchild;
Parent->Lchild = ptr;
}
二叉树可以是空的，空二叉树没有任何结 点； 二叉树上的每个结点最多可以有两棵子树， 这两棵子树是不相交的； 二叉树上一个结点的两棵子树有左、右之 分，次序是不能颠倒的。
图5-2 两棵不同的二叉树
从二叉树中的一个结点往下，到达它的 某个子、孙结点时所经由的路线，称为一条 “路径”。对于路径来说，从开始结点到终 止结点，中间经过的结点个数，称为路径的 “长度”。从根结点开始、到某个结点的路 径长度，称为该结点的“深度”。
一棵一般的二叉树，是由如下的3类结点组成的： 根结点——二叉树的起始结点； 分支（或内部结点）——至少有一个非空子树 （即度为1或2）的结点 叶结点——没有非空子树（即度为0）的结点。 有两种特殊的二叉树：满二叉树和完全二叉树。
所谓“满二叉树”，是指该二叉树的每 一个结点，或是有两个非空子树的结点，或 是叶结点，且每层都必须含有最多的结点个 数。
性质5-2 树高为k（k≥0）的二叉树， 最多有2k+1−1个结点。 【证明】由性质5-1可知，在树高为k的 二叉树里，第0层有20个结点，第1层有21个 结点，第2层有22个结点，„„，第k层有2k 个结点。因此，要求出树高为k的二叉树的 结点个数，就是求和：
20 + 21 + 22 +„+ 2k
数据结构实验报告二叉树
数据结构实验报告二叉树二叉树是一种重要的数据结构，广泛应用于计算机科学和算法设计中。
在本次实验中，我们通过实际编程实践，深入理解了二叉树的基本概念、性质和操作。
一、二叉树的定义和基本性质二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点。
它具有以下基本性质：1. 根节点：二叉树的顶部节点称为根节点，它没有父节点。
2. 子节点：每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
3. 叶节点：没有子节点的节点称为叶节点。
4. 深度：从根节点到某个节点的路径长度称为该节点的深度。
5. 高度：从某个节点到其叶节点的最长路径长度称为该节点的高度。
6. 层次遍历：按照从上到下、从左到右的顺序遍历二叉树的节点。
二、二叉树的实现在本次实验中，我们使用C++语言实现了二叉树的基本操作，包括创建二叉树、插入节点、删除节点、查找节点等。
通过这些操作，我们可以方便地对二叉树进行增删改查。
三、二叉树的遍历二叉树的遍历是指按照某种顺序访问二叉树的所有节点。
常用的遍历方式有三种：前序遍历、中序遍历和后序遍历。
1. 前序遍历：先访问根节点，然后依次递归遍历左子树和右子树。
2. 中序遍历：先递归遍历左子树，然后访问根节点，最后递归遍历右子树。
3. 后序遍历：先递归遍历左子树，然后递归遍历右子树，最后访问根节点。
四、二叉树的应用二叉树在计算机科学和算法设计中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 二叉搜索树：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，它的左子树的值都小于根节点的值，右子树的值都大于根节点的值。
它可以高效地支持插入、删除和查找操作，常用于有序数据的存储和检索。
2. 堆：堆是一种特殊的二叉树，它的每个节点的值都大于（或小于）其子节点的值。
堆常用于实现优先队列等数据结构。
3. 表达式树：表达式树是一种用二叉树表示数学表达式的方法。
通过对表达式树的遍历，可以实现对数学表达式的计算。
4. 平衡树：平衡树是一种特殊的二叉树，它的左右子树的高度差不超过1。
数据结构——用C语言描述(第3版)教学课件第6章 树与二叉树
6.2 二叉树 6.2.1 二叉树的定义与基本操作 6.2.2 二叉树的性质 6.2.3 二叉树的存储结构
6.2.1 二叉树的定义与基本操作 定义：我们把满足以下两个条件的树型结构叫做二 叉树（Binary Tree）： （1）每个结点的度都不大于2； （2）每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。
有序树：在树T中，如果各子树Ti之间是有先后次序的，则称为有序树。 森林：m（m≥0）棵互不相交的树的集合。将一棵非空树的根结点删去，树就变成一 个森林；反之，给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树。
同构：对两棵树，通过对结点适当地重命名，就可以使两棵树完全相等（结点对应相 等，对应结点的相关关系也像等），则称这两棵树同构。
二叉树的基本结构由根结点、左子树和右子树组成
如图示
LChild Data RChild
Data
LChild RChild
用L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点、遍 历右子树，那么对二叉树的遍历顺序就可以有：
(1) 访问根，遍历左子树，遍历右子树(记做DLR)。 (2) 访问根，遍历右子树，遍历左子树(记做DRL)。 (3) 遍历左子树，访问根，遍历右子树(记做LDR)。 (4) 遍历左子树，遍历右子树，访问根 (记做LRD)。 (5) 遍历右子树，访问根，遍历左子树 (记做RDL)。 (6) 遍历右子树，遍历左子树，访问根 (记做RLD)。
(8) NextSibling（Tree，x）： 树Tree存在，x是Tree中的某个结点。若x不 是其双亲的最后一个孩子结点，则返回x后面的下一个兄弟结点，否则 返回“空”。
基本操作:
(9) InsertChild（Tree，p，Child）： 树Tree存在，p指向Tree 中某个结点，非空树Child与Tree不相交。将Child插入Tree中， 做p所指向结点的子树。
数据结构PPT(树和二叉树)
徽 理
第6章 树和二叉树
工
大 本章学习导读
学
树型结构是一类重要的非线性结构。它的特点是结点之
间有分支，并具有明显的层次关系的结构。树在计算机领
域中有着广泛的应用，例如在编译程序中，用树来表示源
程序的语法结构；在数据库系统中，可用树来组织信息；
在分析算法的行为时，可用树来描述其执行过程。
本章重点讨论二叉树的存储表示及其各种运算，并研究
假设对所有j， 1≤j﹤i，命题成立，即第j层上至多有2 j-1 个
结点。
由归纳假设第i-1 层上至多有 2i -2个结点。
由于二叉树的每个结点的度至多为2，故在第i层上的最大结
点数为第i-1层上的最大结点数的2倍，即2×2i -2= 2 i-1。
安
徽 理
6.2.2 二叉树的性质
工
大 学
性质2 深度为 k 的二叉树至多有 2 k-1个结点(k ≥1)。
一般树和森林与二叉树的转换关系，最后介绍树的应用实
例。
安
徽 理
6.1 树的定义和基本术语
工
大 学
❖ 什么是树？树是由 n (n ≥ 0) 个结点的有限集合。如果 n
= 0，称为空树；如果 n > 0，则
▪ 有且仅有一个特定的称之为根(Root)的结点，它只有直
接后继，但没有直接前驱；
▪ 当n > 1，除根以外的其它结点划分为 m (m >0) 个互不
相交的有限集 T1, T2 ,…, Tm，其中每个集合本身又是一棵 树，并且称为根的子树(SubTree)。
安
徽 理
树的示例
A
工
B
C
D
大
学
E
数据结构中各种树
数据结构中各种树阅读⽬录 数据结构中有很多树的结构，其中包括⼆叉树、⼆叉搜索树、2-3树、红⿊树等等。
本⽂中对数据结构中常见的⼏种树的概念和⽤途进⾏了汇总，不求严格精准，但求简单易懂。
1. ⼆叉树 ⼆叉树是数据结构中⼀种重要的数据结构，也是树表家族最为基础的结构。
⼆叉树的定义：⼆叉树的每个结点⾄多只有⼆棵⼦树(不存在度⼤于2的结点)，⼆叉树的⼦树有左右之分，次序不能颠倒。
⼆叉树的第i层⾄多有2i-1个结点；深度为k的⼆叉树⾄多有2k-1个结点；对任何⼀棵⼆叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
⼆叉树的⽰例：满⼆叉树和完全⼆叉树： 满⼆叉树：除最后⼀层⽆任何⼦节点外，每⼀层上的所有结点都有两个⼦结点。
也可以这样理解，除叶⼦结点外的所有结点均有两个⼦结点。
节点数达到最⼤值，所有叶⼦结点必须在同⼀层上。
满⼆叉树的性质： 1) ⼀颗树深度为h，最⼤层数为k，深度与最⼤层数相同，k=h; 2) 叶⼦数为2h; 3) 第k层的结点数是：2k-1; 4) 总结点数是：2k-1，且总节点数⼀定是奇数。
完全⼆叉树：若设⼆叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～(h-1)层) 的结点数都达到最⼤个数，第h层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全⼆叉树。
注：完全⼆叉树是效率很⾼的数据结构，堆是⼀种完全⼆叉树或者近似完全⼆叉树，所以效率极⾼，像⼗分常⽤的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要⽤堆才能优化，⼆叉排序树的效率也要借助平衡性来提⾼，⽽平衡性基于完全⼆叉树。
⼆叉树的性质：1) 在⾮空⼆叉树中，第i层的结点总数不超过2i-1, i>=1; 2) 深度为h的⼆叉树最多有2h-1个结点(h>=1)，最少有h个结点; 3) 对于任意⼀棵⼆叉树，如果其叶结点数为N0，⽽度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1; 4) 具有n个结点的完全⼆叉树的深度为log2(n+1); 5)有N个结点的完全⼆叉树各结点如果⽤顺序⽅式存储，则结点之间有如下关系： 若I为结点编号则如果I>1，则其⽗结点的编号为I/2； 如果2I<=N，则其左⼉⼦（即左⼦树的根结点）的编号为2I；若2I>N，则⽆左⼉⼦； 如果2I+1<=N，则其右⼉⼦的结点编号为2I+1；若2I+1>N，则⽆右⼉⼦。
二叉树
7.1.2
二叉树的五种基本形态
Ф
左子树
(a) (b) (c)
右子树
(d)
左子树
(e)
右子树
7.1.3
两种特殊形态的二叉树
结点拥有的子树数称为该结点的度(degree)。度为零的结点称 为叶子(leaf)，其余结点称为分支结点(branch)。树中结点的最大的 度称为树的度。显然，二叉树结点的度可能为0、1或2。 根结点的层次(level)为1，其余结点的层次等于该结点的双亲结 点的层次加1。树中结点的最大层次称为该树的高度或深度。 1．满二叉树 2．完全二叉树
7.6
本章小结
本章讨论了二叉树数据类型的定义以及实现方法。二叉树是 以两个分支关系定义的层次结构，结构中的数据元素之间存在着一 对多的关系，因此它为计算机应用中出现的具有层次关系或分支关 系的数据，提供了一种自然的表示方法。 二叉树是有明确的左子树和右子树的树形结构，因此当用二 叉树来描述层次关系时，其左孩子表示下属关系，而右孩子表示的 是同一层次的关系。 二叉树的遍历算法是实现各种操作的基础。遍历的实质是按 某种规则将二叉树中的数据元素排列成一个线性序列，二叉树的线 索链表便可看成是二叉树的一种线性存储结构，在线索链表上可对 二叉树进行线性化的遍历，即不需要递归，而是从第一个元素起， 逐个访问后继元素直至后继为空止。因此，线索链表是通过遍历生 成的，即在遍历过程中保存结点之间的前驱和后继的关系。
7.1.4
二叉树的几个特性
由二叉树的定义、形态，我们很容易的得出下面二叉树的 一些特性。 性质1 在二叉树的第i 层上至多有 2i-1 个结点(i≥1)。 性质2 深度为k的二叉树中至多含有2k-1 个结点(k≥1)。 性质3 对任何一棵二叉树 T，如果其终端结点数为，度为 2的结点数为，则。 性质4 具有n个结点的完全二叉树的深度为 log2n+1。 性质5 如果对一棵有 n 个结点的完全二叉树（其深度为 log2n+1）的结点按层序（从第1层到第 log2n+1 层，每层从左到 右）从1起开始编号。
数据结构 第六章 树和二叉树
F
G
H
M
I
J
结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先
5
树的基本操作
树的应用很广，应用不同基本操作也不同。下面列举了树的一些基本操作： 1）InitTree(&T); 2）DestroyTree(&T); 3）CreateTree(&T, definition); 4）ClearTree(&T); 5）TreeEmpty(T); 6）TreeDepth(T); 7） Root(T); 8） Value(T, &cur_e); 9） Assign(T, cur_e, value); 10）Paret(T, cur_e); 11）LeftChild(T, cur_e); 12）RightSibling(T, cur_e); 13）InsertChild(&T, &p, i, c); 14）DeleteChild(&T,&p, i); 15）TraverseTree(T, Visit( ));
1
2 4 8 9 10 5 11 12 6 13 14 3 7 15 4 6 2
1
3
5 7
证明：设二叉树中度为1的结点个数为n1 根据二叉树的定义可知，该二叉树的结点数n=n0+n1+n2
又因为在二叉树中，度为0的结点没有孩子，度为1的结点有1 个孩子，度为2的结点有2个结孩子，故该二叉树的孩子结点 数为 n0*0+n1*1+n2*2(分支数） 而一棵二叉树中，除根结点外所有都为孩子结点，故该二叉 树的结点数应为孩子结点数加1即：n=n0*0+n1*1+n2*2+1
文件夹1
文件夹n
数据结构5树资料
3.树的术语:
结点(node)
数据元素。
结点的度(degree)
结点的子树个数。
树中所有结点度的最大值。 度不为0的结点。 度为0的结点。 某结点子树的根结点。
树的度(degree) 分支(branch)结点
叶(leaf)结点 孩子(child)结点
2018/10/13 第5章 树和二叉树
同构型
19/112
A
异构型
B
C
D
E
F
G
H
I
J
孩子表示法－－ c语言描述 (同构型)
typedef struct TreeNode
{ DataType data;
struct TreeNdoe *Son[MAXSON];
} nodetype;
2018/10/13 第5章 树和二叉树 20/112
a b d i e j f c g h
2018/10/13
第5章 树和二叉树
2/112
除根以外的其它结点划分为m (m 0)个互不相交 的有限集合T0, T1, …, Tm-1，每个集合又是一棵树， 并且称之为根的子树(SubTree)。
每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但可 以有0个或多个直接后继。
B E F C G H D I J
E，F，B，G，C，H，I，J， D，A
第5章 树和二叉树 26/112
2018/10/13
3.层序遍历
按层次顺序（1,2,…）遍历，同一层按从左 到右的顺序。
A B E F C G H D I J
遍历序列： A，B，C，D，E，F，G，H，I，J
二级公共基础知识2-数据结构与算法2(二叉树)
起泡排序 快速排序 简单选择排序 堆排序 直接插入排序 折半插入排序 希尔排序
选择排序 排序方法 插入排序
归并排序等
1.8.2 插入排序
直接插入、折半插入
1、直接插入排序: • 基本思想：从数组的第2号元素开始， 顺序从数组中取出元素，并将该元素插 入到其左端已排好序的数组的适当位置 上。 • 在最坏情况下需要n(n-1)/2次比较
E
F
0
0
0
0
2h-1= 24-1 = 15 若父结点在数组中i下标处，其左孩子在2*i处，右孩子在2*i+1处。 一般二叉树必须按完全二叉树的形式存储，将造成存储的浪费。
North China Electric Power University
(2).二叉树的链式存储结构(二叉链表)
链结点的构造为
(2) 二叉树的基本性质
A、 二叉树的第i层上至多有2 i-1（i 1）个结点。
1
2 3
4 8 9
10
5
11 12
6
13 14
7
15
第三层上(i=3)，有23-1=4个节点。
第四层上(i=4)，有24-1=8个节点。
(2) 二叉树的基本性质
A、 二叉树的第i层上至多有2 i-1（i 1）个结点。 B、 深度为h的二叉树中至多含有2h-1个结点。
组 成 原 理 试 验 室
管 理 信 息 系 统 研 究 室
知 识 工 程 研 究 室
微 机 应 用 研 究 室
A
树中的基本术语：
B C F
D
H I
1.结点、结点的度、树的度 P32中 E
2.叶子结点、分支结点 3.孩子、双亲、兄弟、 堂兄弟、祖先、子孙 4.结点的层次、树的深度 5.有序树和无序树