直线的两点式方程
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直线方程的两点式
活动一直线的两点式方程
问题1前面我们学习了直线方程的哪些形式？垂直于坐标轴的直线方程怎么表示？
问题2已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，如何求出过这两点的直线方程呢？
问题3已知直线l经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (其中x1≠x2)两点，如何求直线的点斜式方程？如果将求
2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，应抓住这些几何特征求直线方程．
教学巩固
作业布置
板书设计
教后记
得：
失：
活动二典型例题
例1已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求l的方程．
小结我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程＋＝1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的截距式方程．
跟踪训练1已知△ABC的顶点A(1，－1)，线段BC中点D(3，)，求BC边上的中线所在直线的方程．
1．过两点(2,5)、(2，－5)的直线方程是________．
2．下列说法正确的是________(填序号)．
①任何一条直线都有在x轴和y轴上的截距；②如果两条直线有相同的斜率，但在x轴上的截距不同，那么它们在y轴上的截距也不相同；③如果两条直线在y轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x轴上的截距可能相同；④任何一条直线都可以用截距式方程表示．
1．直线的两点式方程：经过直线上两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)
的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式．
2．直线的截距式方程：我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的．
问题1前面我们学习了直线方程的哪些形式？垂直于坐标轴的直线方程怎么表示？
问题2已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)，如何求出过这两点的直线方程呢？
问题3已知直线l经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (其中x1≠x2)两点，如何求直线的点斜式方程？如果将求
2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，应抓住这些几何特征求直线方程．
教学巩固
作业布置
板书设计
教后记
得：
失：
活动二典型例题
例1已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求l的方程．
小结我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程＋＝1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的截距式方程．
跟踪训练1已知△ABC的顶点A(1，－1)，线段BC中点D(3，)，求BC边上的中线所在直线的方程．
1．过两点(2,5)、(2，－5)的直线方程是________．
2．下列说法正确的是________(填序号)．
①任何一条直线都有在x轴和y轴上的截距；②如果两条直线有相同的斜率，但在x轴上的截距不同，那么它们在y轴上的截距也不相同；③如果两条直线在y轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x轴上的截距可能相同；④任何一条直线都可以用截距式方程表示．
1．直线的两点式方程：经过直线上两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)
的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式．
2．直线的截距式方程：我们把直线与x轴交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b，方程由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以叫做直线的．
3.2.2直线的两点式方程
两点确定的方程叫做直线的两点式方程， 简称两点式。
y
P1(x1, y1)
l
P2(x2, y2)
O
x
三、直线的两点 式方程的应用
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式 y y1 y2 y1 写出直线方程呢？ x x x x
1
不是!
2
1
当x1 ＝x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式程.(因 为x1 ＝x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义)
(4)若直线l在两坐标轴上的截距绝对值相等，
则直线l的方程:
x+y=a 或x-y=a 或y=kx
例2:求过点P(2, 3)，并且在两坐标轴上的 截距相等的直线的方程。
解： .当直线两截距都是零时 1 3 设直线方程为y=kx,将P 2,3 代入得k 2 3 直线方程为y= x, 3x-2y=0 2 2 .当直线两截距都不是零时
x
例1:已知三角形的三个顶点A(－5, 0)，
B(3, －3)，C(0, 2)，求:
(2)BC边上中线AM所在直线的方程；
3 0 3 解: x 2 2 M 3 , 1 3 2 1 2 2 y A 2 2
y
C O M B
y0 x (5) 1 3 0 (5) 2 2
y2 y1 解:k ( x1 x2 ) l x2 x1 y2 y1 y y1 ( x x1 ) x2 x1
x
O
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
一、直线的两点式方程:
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) 由直线上 方程 y2 y1 x2 x1
必修2直线的两点式方程
经过直线上两点P 经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 其中x （其中x1≠x2, y1≠y2 ）的直线方程叫做 直线的两点式方程 简称两点式 两点式方程， 两点式。 直线的两点式方程，简称两点式。
y − y1 x − x1 = ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 ) y2 − y1 x2 − x1
x
y
C(0,2)
x
A(-5,0) M(xM，yM) ，
xB + xC 3 xM = 2 = 2 y = yB + y C = − 1 M 2 2
3 1 M ,− 2 2
中点
B(3,-3)
解：直线BC过B ( −3,3)、C (0,2)两点，由两点式方程得
练习: 写出过下列两点直线的 两点式方程 : (1) P1(2,1), P2(0,−3); (2)A(0,5), B(5,0)
例 、已知直线l于x轴交于点A(a,0), 于y轴 1 交于B(0, b), (a ≠ 0, b ≠ 0)，求直线l的方程。
解：Q 直线 l经过A(a,0)，B(0, b)两点， 代入两点式
y − y00° ②直线与x轴垂直时，倾斜角 =90° 直线与 轴垂直时 倾斜角α=90
x − x0 = 0或x = x0
1. 两点式
已知直线l经过点P ( x1, y1)、P (x2 , y2 ), (x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 ), 1 2 求直线l的方程
练习
根据下列条件，求直线的方程,并画出图形: 根据下列条件，求直线的方程,并画出图形: (1)在 轴上的截距是2,在 轴上的截距是 轴上的截距是2, 轴上的截距是3; (1)在x轴上的截距是2,在y轴上的截距是3;
y − y1 x − x1 = ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 ) y2 − y1 x2 − x1
x
y
C(0,2)
x
A(-5,0) M(xM，yM) ，
xB + xC 3 xM = 2 = 2 y = yB + y C = − 1 M 2 2
3 1 M ,− 2 2
中点
B(3,-3)
解：直线BC过B ( −3,3)、C (0,2)两点，由两点式方程得
练习: 写出过下列两点直线的 两点式方程 : (1) P1(2,1), P2(0,−3); (2)A(0,5), B(5,0)
例 、已知直线l于x轴交于点A(a,0), 于y轴 1 交于B(0, b), (a ≠ 0, b ≠ 0)，求直线l的方程。
解：Q 直线 l经过A(a,0)，B(0, b)两点， 代入两点式
y − y00° ②直线与x轴垂直时，倾斜角 =90° 直线与 轴垂直时 倾斜角α=90
x − x0 = 0或x = x0
1. 两点式
已知直线l经过点P ( x1, y1)、P (x2 , y2 ), (x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 ), 1 2 求直线l的方程
练习
根据下列条件，求直线的方程,并画出图形: 根据下列条件，求直线的方程,并画出图形: (1)在 轴上的截距是2,在 轴上的截距是 轴上的截距是2, 轴上的截距是3; (1)在x轴上的截距是2,在y轴上的截距是3;
直线的两点式方程(课件
使用范围
ax＋by＝1
斜率存在且不为 0，不过原点
三．线段的中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2 的中点，
x1 x2
y1 y2
则 x＝ 2 ，y＝ 2
．
思考 1： 过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？ 过点(2，3)，(5，3)的直线呢？ 不能，因为 1－1＝0，而 0 不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直 线也不能用两点式表示． 思考 2： 截距式方程能否表示过原点的直线？
二、经典例题
题型一 直线的两点式方程
例 1 如图，已知 A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2). ①求线段 AB 中点 D 的坐标； ②求△ABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程.
解
①因为 A(1,2)，B(－1,4)，所以线段 AB 中点 D 的坐标为1＋
－1 2
，2＋2 4，
即 D(0,3).
2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程
一、自主学习
一．直线的两点式方程
名称
已知条件
示意图
两点式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 其中 x1≠x2，y1≠y2
方程
使用范围
yy2－－yy11＝xx2－－xx11 斜率存在且
不为 0
二．直线的截距式方程
名称
已知条件
在 x，y 轴上的截距 截距式 分别为 a，b 且 a≠0，
三、当堂达标
1.(多选)下列说法正确的是( ) A.不经过原点的直线都可以表示为ax＋by＝1 B.若直线与两轴交点分别为 A、B 且 AB 的中点为(4,1)则直线 l 的方程为8x＋2y＝1 C.过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为 y＝x 或 x＋y＝2 D.直线 3x－2y＝4 的截距式方程为4x＋－y2＝1
ax＋by＝1
斜率存在且不为 0，不过原点
三．线段的中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2 的中点，
x1 x2
y1 y2
则 x＝ 2 ，y＝ 2
．
思考 1： 过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？ 过点(2，3)，(5，3)的直线呢？ 不能，因为 1－1＝0，而 0 不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直 线也不能用两点式表示． 思考 2： 截距式方程能否表示过原点的直线？
二、经典例题
题型一 直线的两点式方程
例 1 如图，已知 A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2). ①求线段 AB 中点 D 的坐标； ②求△ABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程.
解
①因为 A(1,2)，B(－1,4)，所以线段 AB 中点 D 的坐标为1＋
－1 2
，2＋2 4，
即 D(0,3).
2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程
一、自主学习
一．直线的两点式方程
名称
已知条件
示意图
两点式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 其中 x1≠x2，y1≠y2
方程
使用范围
yy2－－yy11＝xx2－－xx11 斜率存在且
不为 0
二．直线的截距式方程
名称
已知条件
在 x，y 轴上的截距 截距式 分别为 a，b 且 a≠0，
三、当堂达标
1.(多选)下列说法正确的是( ) A.不经过原点的直线都可以表示为ax＋by＝1 B.若直线与两轴交点分别为 A、B 且 AB 的中点为(4,1)则直线 l 的方程为8x＋2y＝1 C.过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为 y＝x 或 x＋y＝2 D.直线 3x－2y＝4 的截距式方程为4x＋－y2＝1
直线方程的两点式、截距式
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 注意： ②截距可是正数,负数和零
例:已知角形的三个顶点是A(－5，0)，
B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形三边 所在直线的方程.
记忆特点：
左边全为y，右边全为x 两边的分母全为常数 分子，分母中的减数相同
两点式方程的适应范围
是不是已知任一直线中的两点就 能用两点式 y y x x 写出直线方程呢？
1 1
y2 y1
1
x2 x1ຫໍສະໝຸດ 不是!当x＝x2或y1= y2时，直线P1 P2 没有两点式方程.( 因为x1 ＝x2或y1= y2时， 两点式的分母为零，没有意义)
那么两点式不能用来表示哪些直 线的方程呢？
注意： 两点式不能表示平行于坐标轴或
与坐标轴重合的直线．
三、直线的截距式方程
y0 xa , b0 0a
即
x y 1. a b
x y 1. a b
截距式直线方程:
x y 1. a b
是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？
7.5.2 两点式、截距式
一、复习、引入
复 习
1). 直线的点斜式方程：
y- y1 =k(x- x1 ) k为斜率， P1(x1 ,y1)为经过直线的点
巩 固
2). 直线的斜截式方程：
y=kx+b
k为斜率，b为截距
二、直线方程的两点式
代入点斜式得：
定义
方程可写为： 两点式：由直线上两点确定的直线方程叫做直线方程的两点式.
例:已知角形的三个顶点是A(－5，0)，
B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形三边 所在直线的方程.
记忆特点：
左边全为y，右边全为x 两边的分母全为常数 分子，分母中的减数相同
两点式方程的适应范围
是不是已知任一直线中的两点就 能用两点式 y y x x 写出直线方程呢？
1 1
y2 y1
1
x2 x1ຫໍສະໝຸດ 不是!当x＝x2或y1= y2时，直线P1 P2 没有两点式方程.( 因为x1 ＝x2或y1= y2时， 两点式的分母为零，没有意义)
那么两点式不能用来表示哪些直 线的方程呢？
注意： 两点式不能表示平行于坐标轴或
与坐标轴重合的直线．
三、直线的截距式方程
y0 xa , b0 0a
即
x y 1. a b
x y 1. a b
截距式直线方程:
x y 1. a b
是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？
7.5.2 两点式、截距式
一、复习、引入
复 习
1). 直线的点斜式方程：
y- y1 =k(x- x1 ) k为斜率， P1(x1 ,y1)为经过直线的点
巩 固
2). 直线的斜截式方程：
y=kx+b
k为斜率，b为截距
二、直线方程的两点式
代入点斜式得：
定义
方程可写为： 两点式：由直线上两点确定的直线方程叫做直线方程的两点式.
直线的两点式方程
2
1
2
1
截距式
在轴上的截距
��
和在轴上的截距
y kx b
x y
1
a b
适用范围
不垂直于轴的
直线
不垂直于轴的
直线
不垂直于 轴、
轴的直线
不垂直于轴、轴，
且不过原点的直线
直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
注意：
1.两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．
2.当1 = 2时直线与轴垂直，其方程为：
新知讲解
y y1
x x1
（其中1 ≠ 2, 1 ≠ 2 ）
直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
注意：
1.两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．
直线在轴上
的截距
的、 各有何意义
新知讲解
直线的截距式方程：
x
y
1.
a
b
直线在轴
上的截距
直线在轴
上的截距
不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．
思考：是不是任何直线
都有截距式方程呢？
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
巩固训练
练习2.
典例剖析
例 2⑴ 过点 ( 1,2 ) 并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几
y2 y1 x2 x1
思考：是不是任何直
线都有两点式方程呢？
不是!
新知讲解
y y1
x x1
（其中1 ≠ 2, 1 ≠ 2 ）
直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
思考：是不是任何直
1
2
1
截距式
在轴上的截距
��
和在轴上的截距
y kx b
x y
1
a b
适用范围
不垂直于轴的
直线
不垂直于轴的
直线
不垂直于 轴、
轴的直线
不垂直于轴、轴，
且不过原点的直线
直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
注意：
1.两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．
2.当1 = 2时直线与轴垂直，其方程为：
新知讲解
y y1
x x1
（其中1 ≠ 2, 1 ≠ 2 ）
直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
注意：
1.两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线．
直线在轴上
的截距
的、 各有何意义
新知讲解
直线的截距式方程：
x
y
1.
a
b
直线在轴
上的截距
直线在轴
上的截距
不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．
思考：是不是任何直线
都有截距式方程呢？
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
巩固训练
练习2.
典例剖析
例 2⑴ 过点 ( 1,2 ) 并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几
y2 y1 x2 x1
思考：是不是任何直
线都有两点式方程呢？
不是!
新知讲解
y y1
x x1
（其中1 ≠ 2, 1 ≠ 2 ）
直线的两点式方程：
y2 y1 x2 x1
思考：是不是任何直
《直线的两点式方程》课件
02
直线的两点式方程与斜率的关系
斜率的定义
斜率
直线在平面坐标系中与x轴正方向 之间的夹角的正切值，表示直线 相对于x轴的倾斜程度。
斜率公式
$m = frac{y2 - y1}{x2 - x1}$， 其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上 的两个点。
斜率的计算方法
通过两点坐标计算斜率
已知直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，利用斜率公式计算斜率m。
斜率m是两点式方程中分母的倒数，当分母为0时，斜率不存在，表示直线垂直 于x轴。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
03
直线的两点式方程与截距的关系
截距的定义
01
截距是直线与y轴交点的纵坐标， 表示为a。
02
截距是直线与x轴交点的横坐标， 表示为b。
截距的计算方法
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
04
直线的两点式方程的实际应用
在几何图形中的应用
01
02
03
确定图形形状
通过两点式方程，可以确 定直线的斜率，从而判断 两条直线的位置关系，如 平行、垂直或相交等。
计算距离和角度
利用两点式方程，可以计 算两点之间的距离和直线 与坐标轴之间的夹角。
通过切线角度计算斜率பைடு நூலகம்
已知直线与x轴的夹角θ，利用三角函 数计算斜率m = tan(θ)。
斜率与两点式方程的关系
两点式方程
通过直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，可以得出直线的两点式方程为$frac{y - y1}{y2 - y1} = frac{x - x1}{x2 - x1}$。
直线的两点式方程与斜率的关系
斜率的定义
斜率
直线在平面坐标系中与x轴正方向 之间的夹角的正切值，表示直线 相对于x轴的倾斜程度。
斜率公式
$m = frac{y2 - y1}{x2 - x1}$， 其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上 的两个点。
斜率的计算方法
通过两点坐标计算斜率
已知直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，利用斜率公式计算斜率m。
斜率m是两点式方程中分母的倒数，当分母为0时，斜率不存在，表示直线垂直 于x轴。
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03
直线的两点式方程与截距的关系
截距的定义
01
截距是直线与y轴交点的纵坐标， 表示为a。
02
截距是直线与x轴交点的横坐标， 表示为b。
截距的计算方法
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04
直线的两点式方程的实际应用
在几何图形中的应用
01
02
03
确定图形形状
通过两点式方程，可以确 定直线的斜率，从而判断 两条直线的位置关系，如 平行、垂直或相交等。
计算距离和角度
利用两点式方程，可以计 算两点之间的距离和直线 与坐标轴之间的夹角。
通过切线角度计算斜率பைடு நூலகம்
已知直线与x轴的夹角θ，利用三角函 数计算斜率m = tan(θ)。
斜率与两点式方程的关系
两点式方程
通过直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，可以得出直线的两点式方程为$frac{y - y1}{y2 - y1} = frac{x - x1}{x2 - x1}$。
直线的两点式方程
点)，在求直线方程时合理地选择方程形式，会加快解题速度．
[典例2] 求过点A(5,2)，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程．
[解]
法一：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝
2 5
x，即2x
－5y＝0；
②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，
可设方程为xa＋－ya＝1，即x－y＝a，
又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，a＝3，
2．2.2 直线的两点式方程
知识点一 直线的两点式方程
(一)教材梳理填空
名称
两点式方程
已知条件 经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中 x1≠x2，y1≠y2)
示意图
方程形式 适用条件
_y_y2_－－__yy1_1＝__x_x2_－－__xx_11 斜率存在且不为零
(二)基本知能小试
y1)(x－x1)＝0.
[学透用活] [典例1] (1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为_____． (2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
[解析] (1)由于点A与点B的横坐标相等，因此直线l没有两点式方程，所 求的直线方程为x＝2.
―数 运―学 算→求最值
解：以BC为x轴，AE为y轴建立如图所示的平面直角坐标
系，则A(0,60)，B(90,0)，AB所在直线方程为
x 90
＋
y 60
＝1，设
P(x，y)，即P
x，60－23x
，开发面积S＝(300－x)(240－y)＝－
2 3
x2＋20x＋54
000(0≤x≤90)，当x＝15且y＝50时面积取最大值，最大值为54 150平方米．
直线的两点式方程ppt
思考2:设直线l经过两点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，则 直线l斜率是什么？结合点斜式直线l 的方程如何？
思考3:方程
写成
比例式可化为
，此方程叫
做直线的两点式方程，该方程在结构形 式上有什么特点？点P1、P2的坐标满足 该方程吗？
思考4:若两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中 有x1=x2或y1=y2，则直线P1P2的方程如何？
y P
o x
例3 求经过点P(0，5)，且在两 坐标轴上的截距之和为2的直线方程.
例4 已知直线l经过点P(1，2)， 并且点A(2，3)和点 B(4，-5)到直 线l的距离相等，求直线l的方程.
y
A
P
o
x
B
作业: P97练习：1，2.（做书上） P100习题3.2A组:3,4,8,9,11.
知识探究（二）：直线的截距式方程
思考1:若直线l经过点A(a，0)，B(0，
b)，其中a≠0，b≠0，则直线l的方
程如何？
思考2:直线l的方程可化为
，
其中a，b的几何意义如何？
思考3:方程
叫做直线的截距
式方程，过原点的直线方程能用截
距式表示吗？
思考4:若直线l在两坐标轴上的截距 相等，且都等于m，则直线l的方程 如何？
x+y=m
知识探究（三）： 中点坐标公式
思考1:已知x轴上两点P1(x1，0)， P2(x2,0)，则线段P1P2的中点P0的坐标 是什么？
思考2:已知y轴上两点P1(0,y1)， P2(0,y2)，则线段P1P2的中点P0的坐标 是什么？
思考3:已知两点P1(0,y)，P2(x,0)， 则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？
思考3:方程
写成
比例式可化为
，此方程叫
做直线的两点式方程，该方程在结构形 式上有什么特点？点P1、P2的坐标满足 该方程吗？
思考4:若两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)中 有x1=x2或y1=y2，则直线P1P2的方程如何？
y P
o x
例3 求经过点P(0，5)，且在两 坐标轴上的截距之和为2的直线方程.
例4 已知直线l经过点P(1，2)， 并且点A(2，3)和点 B(4，-5)到直 线l的距离相等，求直线l的方程.
y
A
P
o
x
B
作业: P97练习：1，2.（做书上） P100习题3.2A组:3,4,8,9,11.
知识探究（二）：直线的截距式方程
思考1:若直线l经过点A(a，0)，B(0，
b)，其中a≠0，b≠0，则直线l的方
程如何？
思考2:直线l的方程可化为
，
其中a，b的几何意义如何？
思考3:方程
叫做直线的截距
式方程，过原点的直线方程能用截
距式表示吗？
思考4:若直线l在两坐标轴上的截距 相等，且都等于m，则直线l的方程 如何？
x+y=m
知识探究（三）： 中点坐标公式
思考1:已知x轴上两点P1(x1，0)， P2(x2,0)，则线段P1P2的中点P0的坐标 是什么？
思考2:已知y轴上两点P1(0,y1)， P2(0,y2)，则线段P1P2的中点P0的坐标 是什么？
思考3:已知两点P1(0,y)，P2(x,0)， 则线段P1P2的中点P0的坐标是什么？
3.2.2 直线的两点式方程
梳理
名称 已知条件
在x，y轴上的 截距分别为a， 截距式 b且a≠0， b≠0
示意图
方程 使用范围
_ax_＋__by_＝__1_
斜率存在且 不为0，不
过原点
知识点三 线段的中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2 的中
x＝x1＋2 x2， 点，则y＝y1＋2 y2.
[思考辨析 判断正误] 1.不经过原点的直线都可以用方程ax＋by＝1 表示.( × )
2.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y －y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( √ ) 3.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( √ )
－y＝a， 又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，解得a＝3， ∴l的方程为x－y－3＝0. 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
方法二 由题意知直线的斜率一定存在. 设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)， 当 x＝0 时，y＝2－5k，当 y＝0 时，x＝5－2k. 根据题意得 2－5k＝－5－2k，解方程得 k＝25或 1. 当 k＝25时，直线方程为 y－2＝25(x－5)，即 2x－5y＝0； 当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0. 综上，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
解析 当过原点时，有一条符合题意；
当与坐标轴截距为正数时，有一条；
当与坐标轴截距互为相反数且不为0时，有一条，共3条.
补例2.直线l经过点P(3, 2),且与x,y轴的正半轴交于A,B两点， 求 ABC面积最小值以及此时l的方程。
S 12, l方程：2x 3y 12 0 min
《直线的两点式方程》课件
= (y2 - y1) / (x2 - x1)。
3
利用斜率和点的坐标得出方程
将斜率m和点A的坐标代入点斜式方 程y - y1 = m(x - x1)。
通过两点求直线方程的示例
示例一
已知点A(2, 3)和点B(4, -1)，求 通过这两点的直线方程。
示例二
已知点A(-1, 5)和点B(3, -7)， 求通过这两点的直线方程。
《直线的两点式方程》 PPT课件
直线的两点式方程是描述直线的一种常用方程形式，通过给定直线上的两个 点来确定直线的方程。
直线的两点式方程的定义
什么是两点式方程？
直线的两点式方程是通过给定直线上的两个 点，来表示直线的方程。
两点式方程的一般形式
直线的两点式方程一般形式为：y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)
示例三
已知点A(0, 2)和点B(5, 2)，求 通过这两点的直线方程。
直线的两点式方程的应用
几何分析
两点式方程可以用来计算 直线的斜率、判断直线是 否垂直或平行于坐标轴。
图形绘制
通过两点式方程，可以在 坐标系上画出直线的图像。
实际应用
两点式方程可以应用于设 计和建筑、工程测量以及 计算机图形学等领域。
两点式方程与斜率的关系
斜率 正斜率 负斜率 零斜率 无穷大斜率
直线的特性 直线向上倾斜 直线向下倾斜 水平直线 垂直直线
总结和要点
1 两点式方程
2 推导过程
通过给定直线上的两个点来确定直线的方 程。
通过计算斜率和利用点斜式方程得出直线 的两点式方程。
3 应用
4 与斜率的关系
两点式方程可以用于几何分析、图形绘制 以及实际应用。
直线的两点式方程 课件
坐标为(x，y)，则有中点坐标公式：
x1＋x2
x＝_____2______，
y1＋y2
y＝_____2______.
思考 1：若直线 l 上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，满足 x1＝x2 或 y1＝y2 时， 直线 l 的方程是什么？
[提示] 当 x1＝x2 时，直线 l 平行于 y 轴，此时的直线方程为 x－x1＝0 或 x＝x1；当 y1＝y2 时，直线 l 平行于 x 轴，此时的直线方程为 y－y1＝0 或 y ＝y1.
解得ab＝ ＝66， 或ab＝ ＝2－，2. 所以所求直线的方程为6x＋6y＝1 或2x＋－y2＝1， 化简得直线 l 的方程为 x＋y＝6 或 x－y＝2， 即直线 l 的方程为 x＋y－6＝0 或 x－y－2＝0， 综上，直线 l 的方程为 x－2y＝0， x＋y－6＝0， x－y－2＝0.
[规律方法] 用截距式方程解决问题的优点及注意事项 1由截距式方程可直接确定直线与 x 轴和 y 轴的交点的坐标，因此用截 距式画直线比较方便. 2在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题 时，经常使用截距式. 3当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两 个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分 类讨论.
[规律方法] 直线方程的选择技巧 1已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由 其他条件确定直线的斜率. 2若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线 的一个点或者截距. 3若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的 交点，就用截距式方程. 4不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情 况下的直线要单独讨论解决.
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3 4
kb 2k b
解方程组得： k1 b2
方程思想
所以:直线方程为: y=x+2
还有其他做法吗？
由 斜 率 公 式 得 到 k 斜 4率 3 21
再 由 直 线 的 点 斜y式 3方 4程 3(x1) 21
化 简 可x得 y20
为什么可以这样做，这样做的 根据是什么？
二、直线的 两点式方程
y2 x0 32 30
整理得：5x+3y-6=0 这就是BC边所在直线的方程.
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连 线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：
xx1x2,yy1y2
2
2
M
即M
3 2
,
1 2
过A(-5,0),M
3 2
,
1 2
的直线方程
整理得：x+13y+5=0
y0 1 0
2
x5 35 2
这就是BC边上中线所在的直线的方程.
中点坐标公式：
若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2) 且中点M的坐标为(x, y).
x x1 x2
则
2
y y1 y2
2
∵B(3,-3),C(0,2)
∴ M (30, 32)
22
即M
(3 , 1 ) 22
思考题
已知直线l :2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对 称的直线l 1的方程. 解：当x=0时,y=3.点(0,-3)在直线l上,关于 (1,2)的对称点为(2,7).
直线方程
二元一次方程
即：对于任意一个二元一次方程 Ax+By+C=0
(A.B不同时为0)，判断它是否表示一条直线？
（1）当B
0时，方程可变形为
y AxC BB
它表示过点( 0 , C )，斜率为 A 的直线.
B
B
（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不
为零,于是方程可化为 x C ，它表示一条与 y 轴平
即 x y 1.
ab
所以直线l 的方程为：x y 1 . ab
截距式直线方程:
x a
y b
1.
直线与 x 轴的交点(a, o)的横坐标 a 叫做 直线在 x 轴上的截距
直线与 y 轴的交点(0, b)的纵坐标 b 叫做 直线在 y 轴上的截距
是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?
注意：
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 ②截距可是正数,负数和零
小结
1)直线的两点式方程
y y1 xx1 y2 y1 x2 x1
直线的截距式方程：x y 1 . ab
2) 直线方程的一般式Ax+By+C=0
3)中点坐标：
x x1 x2 2
y y1 y2 2
汇报结束
谢谢大家! 请各位批评指正
设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点, 与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相 等可得：
k k pp1
p1p2
即：y3 43
x1 21
得: y=x+2
推广
已知两点P1 ( x1 , y1 ),P2(x2 , y2),求通过这 两点的直线方程．
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点．
化简得： 2x + y -11=0
归纳
直线方程的四种具体形式
名称
点斜式
几何条件
方程
局限性
点P1(x0，y0)和斜k率 yy0k(xx0) 不垂直x于 轴的直线
斜 截 式 斜率k, y轴上的纵截距b
ykxb 不垂直x于 轴的直线
两点式 截距式
点 P 1 (x 1 ， y 1 )和 P 2(点 x 2 ， y2) yy1yy12
当x=-2时,y=1. 点(-2,1)在直线l上,关于 (1,2)的对称点为(4,3).
那么,点 (2,7) ,(4,3)在l 1上.
因此,直线l 1的方程为： y 7 x 2
37 42
化简得: 2x + y -11=0
还有其它的方法吗？
∵ l ∥l 1，所以l 与l 1的斜率相同 ∴ kl1=-2 经计算，l 1过点(4,3) 所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4)
直线的两点式方程
1). 直线的点斜式方程：
y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的一定点 2). 直线的斜截式方程：
y=kx+b
k为斜率，b为截距
例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直 线的方程． 一般做法：
解：设直线方程为：y=kx+b
由已知得：
解：三条
x y 1
设
a b ab
解得：a=b=3或a=-b=-1
直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x
截距可是正数,负数和零
举例
例4:已知角形的三个顶点是A(－5，0)， B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线 方程，以及该边上中线的直线方程.
解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：
xx1 x2 x1
不是!
当x1 ＝x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式程.(因 为x1 ＝x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义)
那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?
注意：两点式不能表示平行于坐标轴或与坐
标轴重合的直线．
若点P1 (x1 , y1 ),P2( x2 , y2)中有x1 ＝x2,或 y1= y2,此时过这两点的直线方程是什么?
(1) 当斜率存在时L可表示为 y=kx+b 或 y - y0 = k ( x - x0 ) 显然为二元一次方程.
(2) 当斜率不存在时L可表示为 x - x0=0,亦可 看作y的系数为0的二元一次方程.
(x-x0+0y=0)
结论1：平面上任意一条直线都可以用一个关 于 x , y 的二元一次方程表示.
当x1 ＝x2 时方程为： x ＝x１ 当 y1= y2时方程为： y = y１
四、直线的截距式 方程
例2:已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的 交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程．
解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得:
y0 xa, b0 0a
（1）平行于x轴：（2）平行于y轴： （3）与x轴重合：（4）与y轴重合：
分析: (1)直线平行于x轴时,直线的斜率不存在,
在x轴上的截距不为0．即 A=0 , B 0,C 0. (2) B=0 , A 0 , C 0. (3) A=0 , C=0 , B 0.
(4) B=0 , C=0 , A 0.
举例
例 1 已知直线过点A(6，4)，斜率 为 4 ,求直线的点斜式和一般式方程.
3
解：代入点斜式方程有 y+4= 4 (x-6).
3
化成一般式，得
4x+3y-12=0.
举例
例2 把直线L的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜 截式,求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,
并画出图形. 解：化成斜截式方程
k k ∵
= PP1
P1P2
∴ yy1 xx1
y2 y1 x2 x1
可得直线的两点式方程： yy1 xx1
y2 y1 x2 x1
记忆特点： 1.左边全为y，右边全为x
2.两边的分母全为常数
3.分子，分母中的减数相同
是不是已知任一直线中的两点就能用两 点式 yy1 y2 y1 写出直线方程呢？
且两条直线的斜率分别为 m 、 2 . 但由于
(m)•(2)11
8m
所以两条直线不垂直.
8 m4
（2）若m=0，则两条直线中一条直线的斜率为0，
另一条斜率不存在，这时两条直线垂直，方程分别
为
y
n ,
x
1 .
82
综上知：m=0，n为全体实数时，两条直线垂直.
点评:分类讨论思想的运用,如不分类将找不到正确答案.
举例
例3: ⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距 相等的直线有几条?
解: ⑴ 两条
设:直线的方程为: x y 1
aa
把(1,2)代入得：1 2 1
aa
a=3
所以直线方程为：x+y-3=0 那还有一条呢？y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
(2) 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝 对值相等的直线有几条?
1
y= 2 x+3 因此，斜率为k= 1 ,它在y轴上的截距是3.
2
令y=0 得x=－6.即L在x轴上的截距是－6.
由以上可知L与x 轴,y轴的交点
分别为A(-6，0)B(0，3),过
A，B做直线,为L的图形.
练习
m , n 为何值时,直线mx+8y+n=0和2x+my-1=0垂直?
解:（1）若两条直线的斜率都存在，则m不等于0，
行或重合的直线.
A
结论2: 关于 x , y 的二元一次方程,它都表示 一条直线.
定义
由1，2可知： 直线方程
二元一次方程
定义：我们把关于 x , y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)
叫做直线的一般式方程，简称一般式.
探究
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值 时，方程表示的直线
xx1 x1 x2
不垂直x于 、y轴的直线
在x轴上的截距a 在y轴上的截距b