2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期22.1.2、二次函数y=ax2的图象和性质教案6

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22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质

知识点三
画二次函数的图象,列表时取的点越多,图象往往越准确,但是一般采用“五点法”或“七点法”画图,画图时应注意: (1)描点法所画的图象只是整个函数图象的一部分,是近似的, 由于x可取一切实数,所以图象是向两方无限延伸的; (2)点取得越多,图象画得越精确,在限定条件下(即限定自变量的取值范围)或在实际问题中,函数的图象必须要根据自变量的取值范围取其中的一部分; (3)所画图象必须平滑(符合点的发展变化的趋势),尤其是顶点不能画成“尖”形的.
22.1.2
二次函数y=ax2的图象和性质
知识点一
知识点二
知识点三
知识点一二次函数y=x2的图象和性质二次函数y=ax2+bx+c的图象是抛物线,对称轴与抛物线的交点叫做顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点. 对于特殊的二次函数y=x2,对称轴是y轴,顶点是(0,0),顶点是它的最低点,在对称轴的左侧,抛物线从左到右下降;在对称轴的右侧,抛物线从左到右上升.也就是说,当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0 时,y随x的增大而增大. 名师解读:理解和记忆二次函数的性质时,可以从y=x2得到启发, 其他二次函数的图象及性质可类比y=x2的图象和性质,主要从开口方向、对称轴、顶点、增减性等几个方面去进行.
知识点一
知识点二
知识点三
知识点二y=ax2的图象一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;当a<0时,抛物线的开口向下, 顶点是抛物线的最高点.对于y=ax2,|a|越大,抛物线的开口越小. 名师解读:二次函数y=ax2的图象是抛物线,结合图象可知,二次项系数a的符号决定了开口方向,|a|决定了开口的大小.

人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案

人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.2节《二次函数y=ax^2的图象和性质》是九年级数学的重要内容，主要让学生了解二次函数的图象特征和性质。

通过本节课的学习，学生能理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征，了解二次函数的增减性和对称性，从而为后续的函数学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念，具备了一定的函数知识。

但对于二次函数的图象和性质，可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际问题进行讲解，引导学生理解和掌握二次函数的图象和性质。

三. 教学目标1.让学生理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的图象特征。

2.让学生了解二次函数的增减性和对称性，能运用二次函数的性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特征。

2.二次函数的增减性和对称性。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的图象和性质。

2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图象，帮助学生理解。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.二次函数图象和性质的相关教学素材。

3.学生分组合作学习的材料。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一次函数和正比例函数的图象和性质，为新课的学习做好铺垫。

同时，教师可以利用多媒体展示二次函数的图象，让学生初步感受二次函数的特点。

呈现（10分钟）教师给出二次函数的一般形式y=ax^2，让学生观察并分析二次函数的图象特征。

学生通过观察多媒体展示的二次函数图象，总结出二次函数的开口方向、顶点坐标等特征。

操练（10分钟）教师给出几个二次函数的实例，让学生分析其图象特征。

学生通过小组合作学习，探讨并分析二次函数的增减性和对称性。

九年级数学上册第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.2二次函数y=ax2的图象和

九年级数学上册第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质课时精讲（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质课时精讲（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为九年级数学上册第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质课时精讲（新版）新人教版的全部内容。

22．1。

2 二次函数y＝ax2的图象和性质1．由解析式画函数图象的步骤是__列表___、__描点___、__连线___．2．一次函数y＝kx＋b(k≠0）的图象是__一条直线___．3．二次函数y＝ax2（a≠0）的图象是一条__抛物线___，其对称轴为__y___轴，顶点坐标为__(0，0)___．4．抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于__x___轴对称．抛物线y＝ax2,当a＞0时，开口向__上___，顶点是它的最__低___点；当a＜0时，开口向__下___，顶点是它的最__高___点，随着|a｜的增大，开口越来越__小___．知识点1：二次函数y＝ax2的图象及表达式的确定1．已知二次函数y＝x2，则其图象经过下列点中的( A）A．(－2，4）B．(－2，－4）C．(2，－4) D．（4，2)2．某同学在画某二次函数y＝ax2的图象时，列出了如下的表格：x－3－2。

5－1 01 2.5 3y3625 40 4 2536__y＝4x___(2）将表格中的空格补全．3．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A（－1,－错误!)．（1）求这个二次函数的解析式并画出其图象；(2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴．解：（1)y＝－错误!x2,图象略（2）顶点坐标为（0,0),对称轴是y轴知识点2：二次函数y＝ax2的图象和性质4．对于函数y＝4x2,下列说法正确的是（B )A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＜0时,y随x的增大而减小C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大5．已知点（－1,y1),(2,y2),(－3，y3)都在函数y＝x2的图象上,则（A）A．y＜y2＜y3B．y1＜y3＜y21C．y＜y2＜y1D．y2＜y1＜y336．已知二次函数y＝(m－2)x2的图象开口向下，则m的取值范围是__m＜2___．7．二次函数y＝－错误!x2的图象是一条开口向__下___的抛物线，对称轴是__y轴___，顶点坐标是__（0,0）___；当x__＞0___时，y随x的增大而减小;当x＝0时，函数y有__最大___（填“最大”或“最小”）值是__0___．8．如图是一个二次函数的图象，则它的解析式为__y＝错误!x2___,当x＝__0___时，函数图象的最低点为__（0，0)___．9．已知二次函数y＝mxm2－2.(1）求m的值；(2)当m为何值时，二次函数有最小值?求出这个最小值，并指出x取何值时，y随x的增大而减小;（3)当m为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点，并指出x取何值时，y 随x的增大而增大．解：（1）m＝±2（2)m＝2，y最小＝0；x＜0（3)m＝－2，最高点(0，0），x＜010．二次函数y＝错误!x2和y＝5x2,以下说法：①它们的图象都是开口向上;②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大;④它们开口的大小是一样的．其中正确的说法有( C )A．1个B．2个C．3个D．4个11．已知a≠0，同一坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是( C）12．如图是下列二次函数的图象：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2。

九年级数学上册第22章二次函数22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质件新版新人教版

(2)由解析式及图象可知，抛物线 y＝ax2 的顶点是原点(0,0)，对称轴是 y 轴， 1 抛物线 y＝4x2，y＝2x2 的开口都向上，①a>0 时，抛物线除顶点外(顶点在 x 轴 1 上)，其余部分都在 x 轴上方；②向上无限伸展；抛物线 y＝－4x2，y＝－2x2 的开口都向下，②a<0 时，抛物线除顶点外(顶点在 x 轴上)，其余部分都在 x 轴下方，并且向下无限伸展．由函数对应值表可知，如两个 a 互为相反数，则对于同一个 x 的取值，两个函数值 y 也互为相反数．|a|越大，抛物线开口越小．
类型之二由二次函数 y＝ax2 的图象特征求待定字母的值已知函数 (1)求 m 的值； (2)当 m 为何值时，此函数图象的顶点为最低点？ (3)当 m 为何值时，此函数图象的顶点为最高点？是关于 x 的二次函数．
m＋2≠0，解：(1)由题意，得 2 m ＋2m－6＝2，
解得 m1＝2，m2＝－4； (2)若函数图象的顶点为最低点，则 m＋2>0， ∴由(1)知，m＝2； (3)若函数图象的顶点为最高点，则 m＋2<0， ∴由(1)知，m＝－4.
【点悟】求二次函数解析式中待定字母的值，一般要结合二次函数图象的特征来判断．在抛物线 y＝ax2 中，若抛物线开口向下，则 a<0；若抛物线开口向上，则 a>0.若抛物线有最高点，则 a<0；若抛物线有最低点，则 a>0.
当堂测评
1．关于二次函数 y＝8x2 的图象，下列说法错误的是( C ) A．它的形状是一条抛物线 B．它的开口向上，且关于 y 轴对称 C．它的顶点是抛物线的最高点 D．它的顶点在原点处，坐标为(0,0)
对称轴：y 轴．开口方向：当 a>0 时，开口向上；当 a<0 时，开口向下．

最新人教版九年级数学上册：22.1.2 二次函数的图象和性质

22.1.2 二次函数2ax y =的图象和性质知识点：1.用描点发画函数图象的步骤是，，。

2.二次函数图象是，开口方向由决定，开口大小的程度又是由谁决定的？3.一般地,抛物线2ax y =的对称轴是 ,顶点坐标是．当0>a 时,抛物线开口向 ,顶点是抛物线的 ,a 越大,抛物线的开口越 ;当0<a 时,抛物线开口向 ,顶点是抛物线的 ,a 越大,抛物线的开口越。

一．选择题1.关于函数23x y = 的性质的叙述,错误的是( )．A ．对称轴是y 轴B ．顶点是原点C ．当0>x 时,y 随x 的增大而增大D ．y 有最大值2.在同一坐标系中,抛物线22221,,x y x y x y =-==的共同点是( )． A ．开口向上,对称轴是y 轴,顶点是原点B ．对称轴是y 轴,顶点是原点C ．开口向下,对称轴是y 轴,顶点是原点D ．有最小值为03.函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（） A ． B ． C ． D ．4.在同一平面直角坐标系中，同一水平线上开口最大的抛物线是（）A. 2x y -=B. 231x y -= C. 233x y -= D. 22x y -= 5.下列函数中,具有过原点,且当0>x 时,y 随x 增大而减小,这两个特征的有( )． ①)0(2>-=a ax y ;②)1()1(2<-=a x a y ;③)0(22≠+-=a a x y ; ④)0(23≠-=a a x y A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6.若对任意实数x,二次函数2)1(x a y +=的值总是非负数,则a 的取值范围是( )．A ．1-≥aB ．1-≤aC ．1->aD ．1-<a7.下列说法错误的是( )．A ．在二次函数23x y = 中,当0>x 时,y 随x 的增大而增大B ．在二次函数26x y -= 中,当0=x 时,y 有最大值0C ．a 越大图象开口越小,a 越小图象开口越大D ．不论a 是正数还是负数,抛物线)0(2≠=a ax y 的顶点一定是坐标原点8.已知点),2(),,1(),,3(321y C y B y A --在抛物线232x y =上,则321,,y y y 的大小关系是( )．A ．321y y y <<B ．321y y y >>C ．231y y y <<D ．132y y y <<二．填空题 1.抛物线221x y =的对称轴是（或），顶点坐标是，抛物线上的点都在x 轴的方，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x = 时，该函数有最值是。

人教版九年级上册数学人教版九年级上册数学 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质教案1

22．1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质1．会用描点法画出y ＝ax 2的图象，理解抛物线的概念．2．掌握形如y ＝ax 2的二次函数图象和性质，并会应用．一、情境导入自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2的图象【类型一】图象的识别已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是( )解析：本题进行分类讨论：(1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2的图象开口向上，函数y ＝ax 图象经过一、三象限，故排除选项B ；(2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2的图象开口向下，函数y ＝ax 图象经过二、四象限，故排除选项D ；又因为在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象必有除原点(0，0)以外的交点，故选择C. 方法总结：分a ＞0与a ＜0两种情况加以讨论，并且结合一些特殊点，采取“排除法”．【类型二】实际问题中图象的识别已知h 关于t 的函数关系式为h＝12gt 2(g 为正常数，t 为时间)，则函数图象为()解析：根据h 关于t 的函数关系式为h ＝12gt 2，其中g 为正常数，t 为时间，因此函数h ＝12gt 2图象是受一定实际范围限制的，图象应该在第一象限，是抛物线的一部分，故选A.方法总结：在识别二次函数图象时，应该注意考虑函数的实际意义．探究点二：二次函数y ＝ax 2的性质【类型一】利用图象判断二次函数的增减性作出函数y ＝－x 2的图象，观察图象，并利用图象回答下列问题：(1)在y 轴左侧图象上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使x 2<x 1<0，试比较y 1与y 2的大小；(2)在y 轴右侧图象上任取两点C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，使x 3＞x 4＞0，试比较y 3与y 4的大小；(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？解析：根据画出的函数图象来确定有关数值的大小，是一种比较常用的方法．解：(1)图象如图所示，由图象可知y 1＞y 2，(2)由图象可知y 3<y 4；(3)在y 轴左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴右侧，y 随x 的增大而减小．方法总结：解有关二次函数的性质问题，最好利用数形结合思想，在草稿纸上画出抛物线的草图进行观察和分析以免解题时产生错误．【类型二】二次函数的图象与性质的综合题已知函数y ＝(m ＋3)xm 2＋3m －2是关于x 的二次函数．(1)求m 的值；(2)当m 为何值时，该函数图象的开口向下？(3)当m 为何值时，该函数有最小值？ (4)试说明函数的增减性．解析：(1)由二次函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0，故可求m 的值． (2)图象的开口向下，则m ＋3＜0； (3)函数有最小值，则m ＋3＞0；(4)函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．解：(1)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －2＝2，m ＋3≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 1＝－4，m 2＝1，m ≠－3.∴当m ＝－4或m ＝1时，原函数为二次函数．(2)∵图象开口向下，∴m ＋3＜0，∴m ＜－3，∴m ＝－4.∴当m ＝－4时，该函数图象的开口向下．(3)∵函数有最小值，∴m ＋3＞0，m ＞－3，∴m ＝1，∴当m ＝1时，原函数有最小值．(4)当m ＝－4时，此函数为y ＝－x 2，开口向下，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．当m ＝1时，此函数为y ＝4x 2，开口向上，对称轴为y 轴，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a ＞0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a ＜0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．探究点三：确定二次函数y ＝ax 2的表达式【类型一】利用图象确定y ＝ax 2的解析式一个二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象经过点A (2，－2)关于坐标轴的对称点B ，求其关系式．解析：坐标轴包含x 轴和y 轴，故点A (2，－2)关于坐标轴的对称点不是一个点，而是两个点．点A (2，－2)关于x 轴的对称点B 1(2，2)，点A (2，－2)关于y 轴的对称点B 2(－2，－2)．解：∵点B 与点A (2，－2)关于坐标轴对称，∴B 1(2，2)，B 2(－2，－2)．当y ＝ax2的图象经过点B 1(2，2)时，2＝a ×22，∴a ＝12，∴y ＝12x 2；当y ＝ax 2的图象经过点B 1(－2，－2)时，－2＝a ×(－2)2，∴a ＝－12，∴y ＝－12x 2.∴二次函数的关系式为y ＝12x 2或y ＝－12x 2.方法总结：当题目给出的条件不止一个答案时，应运用分类讨论的方法逐一进行讨论，从而求得多个答案．【类型二】二次函数y ＝ax 2的图象与几何图形的综合应用已知二次函数y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝2x －3相交于点A (1，b )，求：(1)a ，b 的值；(2)函数y ＝ax 2的图象的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标．解析：直线与函数y ＝ax 2的图象交点坐标可利用方程求解．解：(1)∵点A (1，b )是直线与函数y ＝ax 2图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12，b ＝2×1－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1. (2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)，由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3，∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与抛物线的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)．【类型三】二次函数y ＝ax 2的实际应用如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离OM 为3m ，跨度AB ＝6m.(1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式；(2)一艘小船上平放着一些长3m ，宽2m 且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？解析：可令O 为坐标原点，平行于AB 的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为y ＝ax 2.由题意可得B 点的坐标为(3，－3)，由此可求出抛物线的函数关系式，然后利用此抛物线的函数关系式去探究其他问题．解：(1)以O 点为坐标原点，平行于线段AB 的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y ＝ax 2.由题意可得B 点坐标为(3，－3)，∴－3＝a ×32，解得a ＝－13，∴抛物线的函数关系式为y ＝－13x 2.(2)当x ＝1时，y ＝－13×12＝－13.∵OM＝3，∴木板最高可堆放3－13＝83(米)．方法总结：解决实际问题时，要善于把实际问题转化为数学问题，即建立数学模型解决实际问题的思想．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2的图象与性质，体会数学建模的数形结合的思想方法.。

数学人教版九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图象与性质

y=-x2
1. 二次函数的图像都是抛物线.
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点; 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点; |a|越大,抛物线的开口越小 ;
y
a>0
o
x
a<0
跑的越快，遇到风的阻力越大。阻力与成就相伴随。
没有斗狼的胆量，就不要牧羊。
望远镜---可以望见远的目标，却不能代替你走半步。
只有脚踏实地的人，才能够说：路，就在我的脚下。
站在巨人的肩上是为了超过巨人。
成绩和劳动是成正比例的，有一分劳动就有一分成绩。
你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。
抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展，当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
y
y x
2
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
例1.画出函数y=x2、y=2x2、y= 2 x2的图象：
1
探究
顶点坐标
请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。
(0,0) 最低点 y轴向上
增减增增大小大大
(0,0) 最高点
y轴
向下
增增增减大大大小
老师寄语：
• 老师能给你们的唯有这无形的知识，但老师希望你们用这些无形的知识创造出有形的世界，实现你们的中国梦，老师就是你们的筑梦人！
一帆风顺，并不等于行驶的是一条平坦的航线。
y=2x2
பைடு நூலகம்

人教版数学九年级上册 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质教学教案

课题：二次函数 y=ax 2的图象和性质一、教学目标1.会利用描点法作出二次函数y=x 2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x 2的性质；2.经历画二次函数y=x 2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验；3.培养学生利用数形结合的思想研究二次函数y=ax 2的图象、性质，提高学生观察、分析、比较、概括等能力. 二、教学重难点1.教学重点：二次函数2ax y =的图象的作法和性质；2.教学难点：认识二次函数的图象是一条抛物线；由特殊的二次函数的图象特征及性质推广到一般的情形. 三、教学过程设计（一）课前预习，引入新知请你在同一直角坐标系中，用描点法画出函数2y x =，212y x =，22y x =的图象，并观察图象，找出它们的异同. 设计意图：进一步巩固描点法画函数图象的方法，并初步体会二次函数图象的形状及特征.（二）合作交流，探究新知1．展示预习作业问题1：请大家认真观察这些作品，并思考在列表和画图中还有哪些需要改善的地方？问题2：这三个同学画出的二次函数的图象形状都不一样，哪个同学画的更准确一些？我们如何得到二次函数准确的图象？老师借助几何画板，通过描更多的点，得到二次函数2y x =的准确图象，并引出我们将像这样的图象称为抛物线，这条曲线也叫做抛物线y=x 2. 设计意图: 让学生带着“解决问题”的目的去主动操作，在实践中积极建构对新知识的理解.几何画板的操作更严谨的说明了二次函数图象的形状特征.2．探究二次函数的图象特征及其性质问题1：由一次函数的学习经验，我们知道根据图象讨论性质是我们数形结合的研究函数的重要的方法。

请你认真观察这3条抛物线，它们有什么共同点？又有什么不同的地方呢？（学生一边说，老师一边板书，并且按照“开口方向、开口大小、对称轴、顶点坐标、增减性”书写）问题2：请你在同一直角坐标系中，用描点法画出函数2y x =-，212y x =-，22y x =-的图象，并结合刚刚归纳的结论思考，你现在描点有没有更快捷的方法？（用手机同频展示一个同学的作品，要学生再次“找茬”，并肯定做的好的地方，进一步规范学生的作图习惯，再要求学生依次讲出这三条抛物线的异同之处）问题3：我们刚刚得出的这两组二次函数的图象特征及性质能推广到一般的情形吗？（利用几何画板的操作，通过改变a 的值生成一系列的抛物线，给学生以直观的认知，并总结归纳二次函数2ax y =图象特征及性质，还要引导学生去发现抛物线2ax y =与抛物线2y ax =-的对称性）设计意图:手机同频功能直观地展示学生的作品，提高了教学的效率；几何画板的动画操作非常直观地展示了图形的不同类别，帮助学生迅速获取图象特征及其性质.（三）课堂练习，夯实新知1．判断下列函数图象的开口方向：（1）y =5x 2 （2）y =-3x 2（3）（4）2．上述四个函数图象的开口大小由大到小排列为：3．上述哪些函数的图象，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而减小？哪些函数的图象，当x <0时，y 随x 的增大而减小？设计意图：通过这三道题的练习，让学生体会在二次函数2ax y =中，a 的符号和大小共同决定了它的图象特征及其性质，并进一步体会数形结合的思想方法．（四）释疑解惑，内化新知232y x =-2y =设计意图：选拔出学生在自主学习时提出的比较好的质疑，在新课学完后再次来解决，让学生亲身体会学习的进步，提高了成就感，也培养了学生质疑探究的良好习惯．（五）小结拓展，回味新知对自己说，你有什么收获？对同学说，你有什么温馨提示？对老师说，你还有什么困惑？教师将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获，要求学生在组内交流后派代表发言.学生发言后，老师接着总结：本节课我们将一次函数的研究方法迁移到了二次函数的画法中，并认识到了二次函数的图象是一条抛物线，然后进一步探究了抛物线2ax y =的开口方向、开口大小、对称轴、顶点坐标及它所对应的二次函数的增减性，今后我们将研究更复杂的二次函数如：2+y ax c =，2y ax bx c =++的图象及其性质，同学们也可以根据本节课的研究方法，自己课后先试一试.设计意图：通过这个环节，提高了学生概括能力、表达能力，有助于学生全面地了解自己的学习过程，积累数学活动经验，感受自己的成长与进步，增强自信．（六）欣赏视频，追溯新知播放趣味视频《抛物线的由来》，讲述了2000多年前，我们的数学家、物理学家是如何发现二次函数的图象——抛物线的，调动他们学习的积极性，开阔他们的视野．视频播放后老师讲述：你现在知道抛物线最开始是在哪里被发现的吗？而圆锥是我们生活中一个非常常见的物体，所以只要你细心观察，做一个爱思考的有心人，说不定下一个被载入数学史册的重量级数学家就是你哦！（七）课后作业，巩固新知1．自能拓展P23—P24； 2．预习22.1.3二次函数y=ax 2+k 的图象和性质．四、教学反思本节课是二次函数性质探究的第一节课，在教学中我采用了自能探究的教学方式，在教师的激发引导下，让学生自己动手作图，观察、归纳出二次函数的性质，体验知识的形成过程，力求体现“主体参与、自主探索、合作交流、指导引探”的教学理念。

人教版九年级上册数学 22.1.2二次函数y=ax2 的图象和性质教案

《二次函数y=ax2的图象与性质》教案一、学情分析学生已掌握了二次函数的概念，以及初二年所学的函数图象的作法：描点法。

作出二次函数的图象难度不会很大，但二次函数y=ax2图象的性质探索过程会有较大的难度，本课通过探索活动和课件演示使学生直观的发现函数的性质，大大的降低了学生理解的难度。

二、教材分析《二次函数y=ax2 的图象与性质》是初中数学九年级（上）二次函数的一节内容。

本课是在学生掌握了二次函数的概念下对二次函数y=ax2的图象与性质进一步的研究，通过作出二次函数的图象来研究它的开口方向，对称轴，顶点坐标等性质。

通过这节的学习，学生将掌握函数y=ax2 的图象与性质，它是进一步学习二次函数的基础。

二次函数的图象与性质是初中阶段所学的有关函数知识的重要内容之一。

三、教学目标根据上述学情分析和教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：（1）知识目标：会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，能根据图象观察、分析出二次函数y=ax2的开口方向，对称轴，顶点坐标等有关性质。

（2）能力目标：通过函数图象进一步理解二次函数和抛物线的有关知识，并且能应用到实际问题中；提高学生对比、发现、概括的能力；培养观察能力和分析问题的能力。

（3）情感目标：通过作函数图象，认识数形结合的数学思想方法；培养学生动手能力、勇于探索创新及实事求是的科学精神。

四、教学重点、难点1．重点（1）二次函数y=ax2的图象画法；（2）了解抛物线的相关定义；（3）根据图象观察、分析出二次函数y=ax2 的性质；2．难点二次函数y=ax2的性质的应用，渗透数形结合的数学思想方法，了解从特殊到一般的探索方法，培养观察能力和分析问题的能力。

五、教学过程教学流程教师活动学生活动设计意图复习旧知导入新课1、通过提问，复习函数图象的画法（列表、描点、连线）。

2、范例：画出y=x2的函数图象，结合图象介绍下列名称定义：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.学生回顾、口答学生通过课件学习y=x2的函数图象的画法，并学习新知：二次函数的相关的名称定义回顾原有知识，明确画图的方法与步骤，为本节课的学习奠定基础在复习图象画法的同时，引入二次函数的图像时抛物线，以及二次函数顶点、对称轴、开口及开口方向等定义探究活动1探究活动：指导学生，在同一坐标系中，画出y=x2、y=12x2，y=2x2的函数图象。

新人教版九年级上册初中数学 22-1-2二次函数y=ax2 教学课件

O
-3
3
顶抛轴点物的坐线交标与点是叫对__称做______.
顶抛点物是线图的象顶的点最。___低_点.
第十页，共二十七页。
新课讲解单调性
当x<0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的
增大而减小.
y 9
6
3
-3 O
当x>0 (在对称轴
的右侧)时，y随着
3
x x的增大而增大.
第十一页，共二十七页。
新课讲解
第四页，共二十七页。
新课讲解
知识点1 二次函数y=ax2的图象
先画二次函数y = x2的图象
1.列表
在 y = x2 中，自变量x可以是任意实数，列表表示出几组对应值：
x ··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ··· y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
第五页，共二十七页。
a<0， |a|越大，开口越小.
开口向下
a<0
第十九页，共二十七页。
新课讲解
3. 分别写出抛物线y=4x2与
点坐标.
y 1的x开2 口方向、对称轴及顶 4
y
解：抛物线y=4x2的开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标（0，0）；
抛物线 y 1 的x2开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标（40，0）.
C 2；
（2）作图如右：
16
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm .
（4）若S ≥ 4cm2，即 C≥24，解得C ≥ 8cm . 16
第十七页，共二十七页。
新课讲解
基础巩固
随堂演练
1.函数y = 2x2的图象的开口_____向__上，对称轴是_______y，轴

九年级数学上册第二十二章二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数y=ax

19
思考2 从二次函数 y1x2,yx2, y2x2 开口大
2
小与a的大小有什么关系？
当a <0时， a越小（即a的绝对值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
20
y＝ax2
图象
22
随堂检测
1.函数y=2x2的图象的开口向上, 对称轴 y轴 ,顶点是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而增大.
2.函数y=-3x2的图象的开口向下 , 对称轴 y轴 ,顶点是 (0,0) ; 在对称轴的左侧, y随x 的增大而增大 , 在对称轴的右侧, y随x的增大而减小 .
y1x2, y2x2 2
的图象．
x
··· －4 －3 －2 －1
y 1 x2 2
··· -8
-4.5
-2 -0.5
0123
0 -0.5 -2 -4.5
4 ···
-8 ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
y 2x2··· -8 -4.5 －2 -0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8 ···
y ax2
13
归纳总结
对于抛物线 y=ax2（a＞0) 当x＞0时，y随x取值的增大而增大；当x<0时，y随x取值的增大而减小.
14
课堂探究
问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？
y x2
y ax2
(-1,-1)

部编版人教数学九上《22.1.2 二次函数y=ax

前言：该导学案（导学单）由多位一线国家特级教师根据最新课程标准的要求和教学对象的特点结合教材实际精心编辑而成。

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（最新精品导学案）22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质1．能够用描点法作出函数y＝ax2的图象，并能根据图象认识和理解其性质．2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感．阅读教材第29至32页，自学“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法画出函数y＝ax2的图象，理解其性质．自学反馈学生独立完成后集体订正：1．画函数图象的一般步骤：________、________、________.2．在同一坐标系中画出函数y＝x2、y＝12x2和y＝2x2的图象．根据y≥0，可得出y有最小值，此时x＝0，所以以(0，0)为对称点，再对称取点．3．观察上述图象的特征：形状是________，开口________，图象关于________对称，其顶点坐标是________，其顶点是________(填“最高点”或“最低点”)．4．找出上述三条抛物线的异同：________________________________．可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较和寻找规律．5．在同一坐标系中画出函数y＝－x2、y＝－12x2和y＝－2x2，并找出它们图象的异同．归纳：一般地，抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当a <0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大．活动1 小组讨论例1 填空：(1)函数y ＝(－2x)2的图象是抛物线，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y 轴，开口方向是向上；(2)函数y ＝x 2、y ＝12x 2和y ＝－2x 2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．解：根据抛物线y ＝ax 2中a 的值来判断，上面最外面的抛物线为y ＝12x 2，中间为y ＝x 2，在x 轴下方的为y ＝－2x 2.解析式需化为一般式，再根据图象的特征解答，避免发生错误．抛物线y ＝ax 2中，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，||a 越大，开口越小．例2 已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数．(1)求满足条件的m 的值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)m 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)由题意，得⎩⎨⎧m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0.。

人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教学设计

人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》这一节主要介绍了二次函数y=ax2的图象和性质。

内容包括：二次函数的图象是抛物线，讨论了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等，并学习了如何通过a的值来判断抛物线的性质。

这部分内容是整个初中数学的重要知识点，对于学生来说，理解和掌握二次函数的图象和性质对于后续学习其他数学知识有着重要的基础作用。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数、二次函数的定义，对于函数有一定的认识和理解。

但在学习这一节内容时，学生可能对于抛物线的性质和开口方向的判断还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、探究等活动，加深对二次函数图象和性质的理解。

三. 教学目标1.理解二次函数y=ax^2的图象和性质，能够判断抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

2.培养学生观察、操作、思考、探究的能力，提高学生解决问题的能力。

3.培养学生的合作意识和团队精神，提高学生的沟通表达能力。

四. 教学重难点1.二次函数y=ax^2的图象和性质的理解和掌握。

2.抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标的判断。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、思考、探究等活动，自主发现和总结二次函数的图象和性质。

2.采用小组合作学习法，让学生在小组内进行讨论、交流、分享，提高学生的合作意识和团队精神。

3.采用案例分析法，通过具体的例子，让学生理解和掌握二次函数的图象和性质。

六. 教学准备1.PPT课件2.教学工具（黑板、粉笔等）七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数y=ax^2的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）利用PPT课件，展示二次函数y=ax^2的图象和性质，让学生直观地感受和理解。

3.操练（10分钟）让学生通过观察、操作、思考、探究等活动，自主发现和总结二次函数的图象和性质。

人教版九年级数学上册教案：22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质

2.培养学生的数据分析能力，通过观察和分析不同a值对二次函数图象的影响，形成对变量之间关系的认识；
3.培养学生的直观想象能力，能够通过绘制和观察函数图象，直观理解二次函数的性质和变化规律；
4.培养学生的数学建模和问题解决能力，将二次函数的图象和性质应用于解决实际生活中的问题，体会数学与现实生活的联系；
-解决实际问题时，如何建立数学模型：培养学生将现实问题转化为数学问题的能力。
举例解释：
（1）理解图象与性质：通过大量图象观察和实际操作，帮助学生从图象中提炼出二次函数的性质，如对称轴、顶点等。
（2）a值影响深入理解：通过具体例子和动态演示，让学生认识到a值变化对图象的影响，从而深入理解二次函数的本质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.培养学生的团队合作和表达交流能力，通过小组讨论和分享，共同探索二次函数的图象和性质，提高合作学习的有效性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次函数y=ax²的图象特点：包括开口方向、对称轴、顶点、最大（小）值等；
- a值对二次函数图象的影响：明确a>0和a<0时，函数图象的开口方向和形状；
-二次函数y=ax²的性质：掌握其对称性、单调性、极值等核心知识；
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了二次函数y=ax²的图象和性质。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。

(人教版)九年级数学上册课件：22.1.2 二次函数y=ax2的

22.1.2 二次函数y=a2x 的图象和性质
► 二、教材【探究】分层分析
1.请在例 1 的直角坐标系中画出函数 y＝－x2，y＝－12x2， y＝－2x2 的图象.
画出二次函数 y＝—2x2 的图象：
［分析］列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y＝－ 2x2
…
…
22.1.2 二次函数y=a2x 的图象和性质
新知梳理
► 知识点一二次函数y=ax2 的图象二次函数 y＝ax2 的图象是一条抛物线，它关于 y 轴对称.
22.1.2 二次函数y=a2x 的图象和性质
► 知识点二二次函数y=a2x 图象的性质
函数 a 的取值
y＝ax2
a>0
a<0
图象形状
开口方向
向上
向下
顶点坐标
（0，0）
（0，0）
对称轴
列表：根据二次函数的解析式用表格的形式列出点的坐标；描点：把表格中的对应点描到直角坐标系内；连线：用光滑的曲线顺次连接各点.
22.1.2 二次函数y=a2x 的图象和性质
理解四点：（1）抛物线是轴对称图形，列表时先找到顶点，然后在对称轴两侧对称地取自变量的值；（2）列好表后，观察表中对应点的大致位置，根据需要画出平面直角坐标系；（3）二次函数的自变量的取值范围是一切实数，所以函数的图象是向两端无限延伸的；（4）连线时两点之间不是用线段连接，而是用光滑的曲线连接.
（4）当x＞0时，曲线自左向右（填“下降”或“上升” 下降
），即y值随x值的增大减而小（填“增大”或“减小”）；（5）图象在x轴的（填“上方”或“下方”）；下方（6）顶点是抛物线的最（填“高”或“低”）点，y有高