量子力学 第一章 态矢量

序章基本背景知识

1、量子力学得基本要素就是:「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」(简单解说:粒子在任一时刻都具有一个「状态」,粒子具有得某些可测量得性质(位置、动量、角动量、自旋,etc)称为「可观测量」,而测量粒子得这些性质得过程就就是「观测行为」,俗称“做实验”)

2、初等量子力学得任务就是:

(1)预测「对一个系统(“态”)进行实验(“观测”)得到得实验结果(观测结果)」

(2)寻找“态”随时间得「演化」规律

3、从旧量子论到现代量子力学:

(1)普朗克能量量子化假设(1900年) (2)爱因斯坦光量子假说(1905年)

(3)光得波粒二象性(1909年) (4)玻尔模型(1913年)

(5)斯特恩-盖拉赫实验(1922年)

(6)德布罗意假设:物质波假说,粒子动量(1924年)

(7)乌伦贝克-古兹米特自旋假说;泡利不相容原理;海森堡-矩阵力学(1925年)

(8)薛定谔-波动力学(1926年)

波函数统计诠释:就是概率密度函数,(1926年)

(9)海森堡不确定性原理;玻尔得互补原理:观测影响状态(1927年)

(10)态叠加原理;《量子力学原理》(狄拉克,1930年)

4、量子力学与经典力学得比较:

量子力学经典力学

研究对象在t时刻得位置

无法确定

只能确定在得出现概率

可以确定

t时刻得动量与速度

无法确定,速度无意义

只能确定具有得概率

且不可同时确定位置与动量

位置、动量与速度

同时确定

研究对象得状态得描述波函数(复函数)

或态矢量(复矢量)

(实矢量函数)

状态得

演化方程

薛定谔方程(复系数方程) 牛顿第二定律(实系数方程)

观测行为

会影响对象

(只有时间测量不影响)

不会影响对象

测量精度

受不确定性原理限制

且“某些”量无法同时测定

可达到任意高

可以同时测定所有物理量

预测得

测量结果

某个结果出现得概率确定得值

实际得测量结果

确定得值

或可能取值得统计平均

确定得值

*量子力学得测量:在量子领域,在实验中通常事先准备好大量具有相同状态得粒子(这称为「系综」(esemble)),同时测量它们得「物理量」Q,然后考察统计平均值。这就是由于测量行为会直接改变粒子得状态(所谓得“坍缩”),导致重复实验得结果平均值失去意义(一旦某粒子坍缩到了状态A,之后得一切实验结果也都只会就是A)

关于力学量测量结果得详细讨论,见第三章

*不确定性原理:位置与动量无法同时确定,严格来说就是指其之一得测量标准差可以任意地大以至于无法确定真实结果,这就是不确定性原理得结果,详见第二章第7节

第一章态矢量与态空间

本章提要:本章讨论量子力学得研究对象——态矢量与态空间。沿着三维实空间→复空间→内积空间&函数空间→无穷维空间得路线,将三维线性空间中得向量展开、矩阵形式、坐标、基、内积、长度、正交性等概念推广到高维向量空间及函数空间,最后再到无穷维空间。然后介绍态矢量得相关性质。在这过程中,引入了简洁得狄拉克符号重新表示这些概念。最后给出量子力学第一条公设作为总结。

1、态矢量:狄拉克指出粒子得量子态满足叠加原理。在经典物理学,用向量来描述符合叠加原理得物理量(如电场强度、力…)就是惯用得做法。叠加原理适用于任何线性空间,于就是,考虑在向量空间(又称线性空间)中处理量子力学。简单来说,用一个称为「态矢量」得矢量来描述粒子得状态,一般记作。考虑到波函数就是复变函数,它应该就是一个复矢量。

①在介绍量子力学使用得数学空间(希尔伯特空间)前,先来回顾线性代数得基本理论:

②实线性空间得定义:见同济高数第六章第一节

③复线性空间得定义:在上述定义基础上,把条件改写成(复数域)

2、三维实线性空间:三维实向量全体构成三维实线性空间,为我们所熟知得空间

①向量得展开:一个向量可以被表示为,其中称为基(向量),称为向量在基下得坐标。需要指出这样得分解就是唯一得。

②向量得矩阵表示:一个向量还可以被表示为一个列矩阵,

注意矩阵表示中不出现基向量

③基:空间里得一组向量构成基向量组得条件就是

(1)这组向量线性无关(2)任一向量在这组基下得坐标就是唯一得

④维数:空间得维数就是最大基向量组中向量得个数

⑤点积:又称数量积,两个向量得点积被定义为,它也有矩阵形式;点积(内积)具有得性质就是(同济线代第五版P111)

⑥向量得长度:定义为模长。特别地,若,称其为单位向量

⑦垂直:时称两个向量垂直。至此可对直角坐标系得常用基下精确定义:如果基向量组内任意两向量满足,就称为这组基为「标准正交基」,比如

3、三维复线性空间:在基础上,在标量乘向量得规则中允许标量为复数,这时向量也就成为复向量(「坐标」就是复数得矢量),这样就得到三维复线性空间。这时,要注意引入复共轭带来得变化

4、复线性空间:现在考虑n维复线性空间,把这空间里得一个矢量记作,称为右矢

主要性质:在此列举几条重要性质()

(1) (2)

(3)(4) (5)

(6)展开:, 称为基,称为坐标

矩阵表示:

5、内积空间:现在我们在里定义内积,它可瞧作中两个复向量与得“点积”

①内积定义:定义运算,若运算满足下列四条性质就称为内积

(1) (2)

(3)且(4)

②范数:仿照中向量长度得定义,定义(广义得)长度

称为范数(norm),若就称为单位向量/标准化向量(normalized vector)

③正交性:仿照中向量垂直关系得定义,定义(广义得)垂直,称为正交