苏教版高中数学必修4随堂练习：两角和与差的余弦1

苏教版高中数学必修4高一随堂练习及答案：两角和与差的正弦(1).docx

随堂练习：两角和与差的正弦（1）1．若α为锐角，且sin 6πα⎛⎫-⎪⎝⎭＝13，则sin α的值为________． 2．计算 sin 43cos13sin13cos 43-o o o o = ． 3．00sin15cos15+= ； 4．若11sin cos ,cos sin ,sin()22αβαβαβ-=--=+=则． 5．若4cos ,5αα=-是第三象限的角，则sin()4πα-= ．6．已知55sin =α,，α、β均为锐角，则βsin 等于 . 7．在ABC ∆中，5cos 13A =， 3sin 5B =，则sinC = ．8．已知函数()2f x x x =，x R ∈. （1）求38f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最大值和最小正周期；（3）若282f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，α是第二象限的角，求sin 2α. 9．设函数()sin sin 2f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，x R ∈. （1）若12ω=，求()f x 的最大值及相应的x 的取值集合；（2）若8x π=是()f x 的一个零点，且100<<ω，求ω的值和()f x 的最小正周期.参考答案1．6【解析】试题分析：Q sin 6πα⎛⎫-⎪⎝⎭＝13，α为锐角，故63ππα<<，∴cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=3,sin cos cos sin666666sin ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1132326=⨯+=，考点：两角和的正弦公式；三角函数求值. 2．21 【解析】试题分析：2130sin )1343sin(13sin 43cos 13cos 43sin 0000000==-=-．考点：两角差的正弦公式． 3．26. 【解析】试题分析：把原式提取2即00sin15cos15+=)45sin 15cos 45cos 15(sin 2)15cos 2215sin 22(2000000+=+，然后利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简得原式2660sin 2)4515sin(2000==+=．考点：两角和与差的正弦函数． 4．34【解析】试题分析：两式平方相加得222211sin cos 2sin cos cos sin 2cos sin 44αβαβαβαβ+-++-=+，即 1322sin(),sin().24αβαβ-+=+=考点：两角和的正弦公式5．10【解析】试题分析：根据题意，由于4cos ,5αα=-是第三象限的角3sin ,5α=-则可知sin()sin cos sin cos (sin cos )4442πππααααα-=-=-=10,故可知答案为10考点：两角和差的公式点评：主要是考查了差角的两角公式运用，属于基础题。

苏教版高中数学必修4高一随堂练习及答案：两角和与差的正切(1).docx

随堂练习：两角和与差的正切（1）1．若sin cos θθ+=，则tan()3πθ+的值是 ___________．2．若34αβπ+=，则(1tan )(1tan )αβ--= .3．已知21tan =α，52)tan(=-αβ，那么)2tan(αβ-的值为________ ．4．已知βα,为锐角,,31)tan(,54cos -=-=βαα则=βtan .5．tan3tan27tan3tan60tan60tan27︒︒+︒︒+︒︒= .6．方程()233102x ax a a +++=>两根tan tan αβ、，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+= ；7．设π02βα<<<，且113cos cos()714ααβ=-=，，则tan β的值为．8．已知,3tan =α则=+）（4tan πα参考答案1．2-【解析】试题分析：∵sin cos θθ+=，∴)sin()144ππθθ+=+=，∴242k ππθπ+=+，24k πθπ=+，k Z ∈，∴tan 1θ=，∴tan tan 3tan()231tan tan 3πθπθπθ++==--- 考点：三角恒等变形．2．2【解析】试题分析：由34αβπ+=，得tan()1αβ+=-，即tan tan 11tan tan αβαβ+=--⋅，整理得tan tan tan tan 1αβαβ⋅--=，即(1tan )(1tan )2αβ--=.考点：两角和的正切公式及三角函数式的恒等变形.3．112- 【解析】试题分析：因为2βα-=()βαα--，所以tan(2)βα-=tan()tan 1tan()tan βααβαα--+-=215221152-+⨯=112-．考点：角的配凑；两角差的正切公式4．913. 【解析】试题分析：∵α为锐角，54cos =α，∴53cos 1sin 2=-=αα，43cos sin tan ==ααα， ∴913)tan(tan 1)tan(tan )](tan[tan =-+--=--=βααβααβααβ. 考点：1.同角三角函数基本关系；2.两角和的正切公式.5．1【解析】试题分析：根据两角和的正切公式可得tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，所以tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-，所以tan3tan 27tan3tan60tan60tan 27︒︒+︒︒+︒︒tan 3tan 273tan 27)tan 3tan 2730(1tan 3tan 27)=︒︒+︒+︒=︒︒+︒-︒︒ tan3tan 271tan3tan 271=︒︒+-︒︒=.考点：两角和的正切公式.6．34π- 【解析】试题分析：由已知可得tan tan 3a αβ+=-，tan tan 31a αβ=+，tan tan 3tan()11tan tan 1(31)a a αβαβαβ+-+===--+ 因为,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以παβπ-<+<，所以αβ+34π-或4π. 但由于2a >，所以tan tan 310a αβ=+>，tan tan 30a αβ+=-<。

新高一数学苏教版必修4试题：3.1.1 两角和与差的余弦

一、填空题1.cos(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(18°－x )sin(x ＋27°)等于________.【解析】原式＝cos(x ＋27°＋18°－x )＝cos 45°＝22. 【答案】 22 2.若x ∈[0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x 3，则x 的值是________. 【解析】 ∵cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x 3＝0， ∴cos ⎝⎛⎭⎫x 3＋2x 3＝0，∴cos x ＝0，∵x ∈[0，π]∴x ＝π2. 【答案】 π23.已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为________. 【解析】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45∴2cos αcos β＝0.∴cos αcos β＝0.【答案】 04.已知cos α＝－35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin β＝－1213，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是________. 【解析】 ∵cos α＝－35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin α＝1－cos 2α＝45. 又sin β＝－1213，β是第三象限角， ∴cos β＝－＝－513.cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－1213×45＝1565－4865＝－3365.【答案】－33655.在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定为________三角形.【解析】由sin A sin B ＜cos A cos B 得cos(A ＋B )＞0，∴cos C ＜0.∴∠C ＞90°，∴△ABC 为钝角三角形.【答案】钝角6.化简2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________. 【解析】 2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3. 【答案】 37.已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |＝________.【解析】 |a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝cos 75° cos 15°＋sin 75° sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12. ∴|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋1＝1. 【答案】 18.若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为________. 【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝⎝⎛⎭⎫1－322＋⎝⎛⎭⎫122，∴cos(α－β)＝32. 【答案】 32二、解答题9.设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2的值. 【解】 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－181＝459，cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. 10.若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角且α＜β，求α＋β的值. 【解】 ∵α＜β，cos(α－β)＝55， ∴sin(α－β)＝－255. ∵α为锐角，cos 2α＝1010， ∴sin 2α＝31010. ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎫－255 ＝－22. ∵0＜α，β＜π2，∴0＜α＋β＜π. ∴α＋β＝3π4. [能力提升]1.已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝________.【解析】由已知sin α＝63，cos α＝33， cos(30°－α)＝cos 30° cos α＋sin 30°sin α＝32×33＋12×63＝3＋66. 【答案】 3＋662.如图3-1-1，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，如果点A的纵坐标为35，点B 的横坐标为513，则cos(α－β)＝________.图3-1-1【解析】易知sin α＝35，cos β＝513，又因为α，β为锐角，∴cos α＝45，sin β＝1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×513＋35×1213＝5665. 【答案】 56653.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α＝________.【解析】 sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos π3cos α＋sin π3sin α ＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝14∴cos α＋3sin α＝12. 【答案】 124.已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值. 【解】 (1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，ω＞0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3 ＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617， ∴2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＋π6＝－65，2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－5π6＋π6＝1617，即cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

苏教版数学高一必修四练习两角和与差的余弦

双基达标 (限时15分钟)1．cos 75°的值为________．解析 cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝22·32－22·12＝6－24.答案 6－242．－cos 70°cos 20°＋sin 110°sin 20°＝________.解析原式＝－cos 70°cos 20°＋sin 70°sin 20°＝－cos(70°＋20°)＝0. 答案 03．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝14，则cos αcos β＝________.解析 cos(α＋β)＋cos(α－β)＝13＋14，即2cos αcos β＝712.∴cos αcos β＝724.答案 7244．若a 为锐角且cos α＝255，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________. 解析由α为锐角且cos α＝255，可得sin α＝55.于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin αsin π4＝22×255＋22×55＝31010. 答案 310105．cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的结果是__________．解析 cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°＝cos 70°cos (360°－25°)＋sin(180°－70°)sin 25°＝cos 70°cos 25°＋sin 70°sin 25°＝cos (70°－25°)＝cos 45°＝22. 答案 226．已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，且π4＜a ＜π2，0＜β＜π4，求cos(α＋β)的值．解 ∵π4＜α＜π2，0＜β＜π4，∴π4＜2α－β＜π，－π4＜α－2β＜π2，∴由cos(2α－β)＝－1114得sin(2α－β)＝5314；由sin(α－2β)＝437得，cos(α－2β)＝17.∴cos(α＋β)＝cos＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12.综合提高 (限时30分钟)7．cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α等于________．解析将α＋β看作一个整体．因此原式＝cos(α＋β－α)＝cos β. 答案 cos β8．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12，则cos(α－β)的值为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋sin β＝1－32，①cos α＋cos β＝12， ②①2＋②2⇒cos(α－β)＝－32.答案－32 9.2cos 50°－3sin 10°cos 10°＝________. 解析 2cos 50°－3sin 10°cos 10°＝2cos (60°－10°)－3sin 10°cos 10°＝2(cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°)－3sin 10°cos 10°＝2cos 60°cos 10°＋2sin 60°sin 10°－3sin 10°cos 10°＝cos 10°＋3sin 10°－3sin 10°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 答案 110．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4＜α＜3π4，则cos α＝________. 解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4＜α＜3π4，∴π2＜α＋π4＜π，从而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35. ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4 ＝－35×22＋45×22＝210.答案 21011．已知在△ABC 中，A 、B 、C 分别为其三个内角，若A －B 为锐角且sin(A －B )＝23，cos B ＝34，求cos A 的值．解 ∵cos B ＝34，∴sin B ＝ 1－cos 2B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝74.cos(A －B )＝1－sin 2(A －B )＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53. ∴cos A ＝cos＝cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B＝53×34－23×74＝35－2712. 12．已知cos α＝17，cos (α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求β的值．解 ∵α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且cos α＝17，cos (α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3. 13．(创新拓展)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0<x <π4.求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．解因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，所以cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝513. 因为0<x <π4，所以π4<x ＋π4<π2，0<π4－x <π4，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1213，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213. 从而cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213×513＋1213×513＝120169，cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝120169513＝2413.。

高一数学苏教版必修四练习：课时跟踪检测(二十三) 两角和与差的余弦

课时跟踪检测（二十三）两角和与差的余弦层级一学业水平达标1．计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为________．解析：sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝12. ★答案★：122．cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋θ－θ＝cos π4＝22. ★答案★：223．若a 为锐角且cos α＝255，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________. 解析：由α为锐角且cos α＝255，可得sin α＝55.于是cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×255＋22×55＝31010. ★答案★：310104．cos 105°＝________.解析：cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝12×22－32×22＝2－64. ★答案★：2－64 5．已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，则cos(α－β)＝________. 解析：因为(sin α＋sin β)2＝925，(cos α＋cos β)2＝1625，以上两式展开两边分别相加得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.★答案★：－126．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________．解析：∵α<β，cos(α－β)＝55，且α，β均为锐角， ∴sin(α－β)＝－255. 又∵cos 2α＝1010，∴sin 2α＝31010. ∴cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22. ∵0<α<π2，0<β<π2， ∴0<α＋β<π. ∴α＋β＝3π4. ★答案★：3π4 7．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则β＝________. 解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12. ∵0<β<π2，∴β＝π3. ★答案★：π38．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α＝________. 解析：cos α＋3sin α＝2⎝⎛⎭⎫12cos α＋32sin α＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝2×14＝12. ★答案★：129．求值：(1)sin 285°；(2)sin 460°·sin(－160°)＋cos 560°·cos(－280°)．解：(1)sin 285°＝sin(270°＋15°)＝－cos 15°＝－cos(60°－45°)＝－(cos 60°·cos 45°＋sin 60°·sin 45°)＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°·sin 160°＋cos 200°·cos 280°＝－sin 100°·sin 20°－cos 20°·cos 80°＝－(cos 80°·cos 20°＋sin 80°·sin 20°)＝－cos 60°＝－12. 10．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45，且5π4<α<7π4，求cos α的值．解：因为5π4<α<7π4，所以3π2<α＋π4<2π，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4＝35×22－45×22＝－210. 层级二应试能力达标 1．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)＝________. 解析：因为α为锐角，且cos α＝1213，所以sin α＝1－cos 2α＝513. 又因为β为第三象限角，且sin β＝－35，所以cos β＝－1－sin 2β＝－45，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365. ★答案★：－63652．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________.解析：原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. ★答案★：123．已知锐角α，β满足cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则cos β＝______. 解析：因为α为锐角，且cos α＝45，得sin α＝35. 又因为0<α<π2，0<β<π2，所以－π2<α－β<π2. 又因为tan(α－β)＝－13<0，所以cos(α－β)＝310. 从而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－110. 所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×310＋35×⎝⎛⎭⎫－110＝91050. ★答案★：910504.2cos 10°－sin 20°sin 70°＝________. 解析：原式＝2cos (30°－ 20°)－sin 20°sin 70°＝2cos 30°cos 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°sin 70° ＝3cos 20°cos 20°＝ 3. ★答案★： 3 5．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α＝________. 解析：由题意可知cos α＝45，cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α＝ cos ⎝⎛⎭⎫2π－π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin α·sin π4＝45×22＋35×22＝7210. ★答案★：72106．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β，①－cos γ＝cos α＋cos β，②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β，化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－12，即cos(α－β)＝－12. ★答案★：－127．已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋x 的值域．解：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π12－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －sin ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －22sin ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2⎣⎡⎦⎤cos π4cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －sin π4sin ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2cos ⎣⎡⎦⎤π4＋⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x .因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以－π6≤π3－x ≤π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以函数y 的值域是⎣⎡⎦⎤22，2.8．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，ω>0的最小正周期T ＝10π＝2πω，所以ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617，所以2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－5π6＋π6＝1617，即cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

高一数学必修4同步训练 3.1.1 两角和与差的余弦

第三章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1 两角和与差的余弦一、选择题:1. 65sin 1211cos 611cos 1225sin ππππ-等于( ) A.-22 B.22 C.-sin 2π D.sin 12π 2. 设α、β为锐角且满足sin α＝1010sin ,55=β，则α＋β的大小为( ) A.－43π B.4π C.43π D.4π或43π 3. 若sin α²sin β＝1，则cos （α＋β）的值为( )A.0B.1 Ｃ.±1 Ｄ.－14. 在△AB Ｃ中，cos A ＝135cos 53=B 且，则cos Ｃ等于( ) A.－6533 B.6533 Ｃ.－6563 Ｄ.6563 5. 若在△ABC 中满足tan A ²tan Β＞1，则这个三角形一定是( )A.正三角形B.等腰直角三角形Ｃ.锐角三角形Ｄ.钝角三角形6. 若cos α＝a ，sin β＝b ，α∈（0，2π），β∈（0，π），则cos （α＋β）的值的个数是( ) Ａ.1 Ｂ.2 Ｃ.3 Ｄ.4二、填空题:7. 已知cos α－cos β＝21，sin α－sin β＝31，则cos （α－β）＝ . 8. 已知cos （α＋β）＝31，cos （α－β）＝51则tan α²tan β＝ . 9. 已知α、β为锐角，cos α＝71，cos （α＋β）＝－1411，则β＝ . 10. 若cos （α＋β）＝54，cos （α－β）＝－54，且2π＜α－β＜π，23π＜α＋β＜2π，则cos2α＝，cos2β＝ .二、解答题:11. 求12cos 312sin ππ-的值12. 求证：︒=︒-︒20cos 3210cos 310sin 122 =32cos20°.13. 已知锐角α、β满足10103cos ,55sin ==βα，求α＋β.14. 已知cos(2α－β)=－1411,sin(α－2β)=734,且4π＜α＜2π,0＜β＜4π,求cos(α+β)的值.15. 已知sin （4π－α）＝135 ( 0＜α＜4π）,求)4cos(2cos απα+的值.拓展创新——练能力16. 知cos(2α-β)=-1411,sin (α-2β)=734,且4π<α<2π,0<β<4π,求cos(α+β)的值.17. 已知π＜α＜α+β＜2π,且26217)cos(,1312cos =+-=βαα,求角β.18. △ABC 中，1312cos ,54sin ==B A ，求cosC 的值,并判断△ABC 的形状.参考答案:1. B2. B3. D4. B5. C6. B7.7259 8. －14 9. 3π 10. －257 －1 解析：∵2α＝（α＋β）＋（α－β） ∴cos2α＝cos ［（α＋β）＋（α－β）］＝－257 ∵2β＝（α＋β）－（α－β）∴cos2β＝cos ［（α＋β）－（α＋β）］＝－1.11. 解析:原式＝)12cos 2312sin 21(2ππ-2(sin sin cos cos )2cos()2cos 6126126124πππππππ=-=-+=-=12. 证法一：左边=︒+-︒-=︒+-︒-20cos 1620cos 12220cos 13220cos 11 右边=︒=︒︒⋅︒=︒︒︒=︒︒+︒-︒-︒=︒︒-︒=︒-︒=︒--︒=20cos 3220sin 20sin 20cos 3220sin 20sin 40sin 1620sin )]2040cos()2040[cos(820sin )60cos 20(cos 820sin )2120(cos 820cos 1420cos 82222222 ∴原式成立.证法二：左边=︒⋅︒︒-︒10cos 10sin 10sin 310cos 2222 .20cos 3220sin 40sin 1620sin )1030sin()1030sin(1620sin )10sin 2310cos 21)(10sin 2310cos 21(16)10cos 10(sin )10sin 310)(cos 10sin 310(cos 222右边=︒=︒︒=︒︒-︒⋅︒+︒=︒︒-︒︒+︒=︒︒︒-︒︒+︒= ∴原式成立.13. 解析:∵α、β为锐角且10103cos ,55sin ==βαcos α===sincos()cos cos sin sin2βαβαβαβ===∴+=-==由0＜α＜2π，0＜β＜2π得0＜α+β＜π又cos（α＋β）＞0 ∴α＋β为锐角∴α＋β＝4π14. 解析:∵4π＜α＜2π,0＜β＜4π,∴4π＜2α－β＜π,－4π＜α－2β＜2π,由cos(2α－β)=－1411得，sin(2α－β)=1435;由sin(α－2β)=734得，cos(α－2β)=71.∴cos(α+β)=cos［(2α－β)－(α－2β)］=cos(2α－β)cos(α－2β)+sin(2α－β)sin(α－2β)=－1411³71+1435³21734=.15. 解析:cos（4π＋α）＝cos［2π－（4π－α）］＝sin（4π－α）＝135又∵0＜α＜4π, ∴0＜4π－α＜4π，4π＜4π+α＜2π,12cos()413πα-===则12sin()413πα+===cos[()()]cos()cos()sin()sin() cos2444444cos()cos()cos()444ππππππαααααααπππααα+--+-++-==+++5121252413131313.51313⋅+⋅==16. 解析:∵40,24πβπαπ<<<<,∴4π<2α-β<π,- 4π<α-2β<2π, 由cos(2α-β)=-1411得，sin (2α-β)=1435; 由sin (α-2β)=734得，cos(α-2β)=71. ∴cos(α+β)=cos ［(2α-β)-(α-2β)］=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin (2α-β)sin (α-2β)=-1411³71+1435³734=21. 17. 解析:∵π＜α＜α+β＜2π5sin 13sin()26123cos 0,1323cos()0,2262ααβαπαπαβπαβπ∴===-+===-=-<∴<<+=>∴<<<0(),0cos cos[()]cos()cos sin()sin 125()(()131334αβαπβπβαβααβααβαβπ∴<+-<<<∴=+-=+++=-+⨯-=∴=即 18. 解析:由已知得:A +B +C =π,且A 、B 、C ＞0. ∵54sin =A ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-±=是钝角时当是锐角时当A A A 53 53)54(1cos 2 又135)1312(1sin ,1312cos 2=-=∴=B B 1312)53(13554cos cos sin sin )cos()](cos[cos ⨯±-⨯=-=+-=+-=∴B A B A B A B A C π⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=为钝角时当为锐角时当A A 6556 6516当A 为锐角时,6516cos -=C ＜0,则C 为钝角,这时△ABC 为钝角三角形当A 为钝角时,6556cos =C ＞0,C 为锐角,这时△ABC 为钝角三角形. 于是,△ABC 为钝角三角形.。

3.1.1两角和与差的余弦作业高中数学必修四苏教版含答案

第3章三角恒等变换3.1 两角和与差的三角函数3.1.1 两角和与差的余弦一、填空题1．cos 15°的值是________．2．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________. 3．已知α、β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为________． 4．已知点A (cos 80°，sin 80°)，B (cos 20°，sin 20°)，则|AB →|＝________.5．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________． 6．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．7．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是________．8.2cos 50°－3sin 10cos 10°＝________. 二、解答题9．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求cos(α－β)． 10．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值． 11．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．三、探究与拓展12．已知α、β、γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，求β－α的值．答案 1.2＋64 2.83 3．－π4 4．1 5.3π4 6．－12 7.558．1 9．解由cos α－cos β＝12两边平方得 (cos α－cos β)2＝cos 2α＋cos 2β－2cos αcos β＝14.① 由sin α－sin β＝－13两边平方得 (sin α－sin β)2＝sin 2α＋sin 2β－2sin αsin β＝19.② ①＋②得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1336. ∴cos αcos β＋sin αsin β＝5972， ∴cos(α－β)＝5972. 10．解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝43， ∴sin α＝437，cos α＝17. ∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝5314. ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.11．解 ∵π2<α－β<π， cos(α－β)＝－45， ∴sin(α－β)＝35. ∵32π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－35， ∴cos(α＋β)＝45. ∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×⎝⎛⎭⎫－45＋⎝⎛⎭⎫－35×35＝－1.∵π2<α－β<π，32π<α＋β<2π， ∴π2<2β<3π2，∴2β＝π，∴β＝π2. 12．解由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两等式平方相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1. ∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12， ∵α、β、γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴β－α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴β－α＝±π3. ∵sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，∴β－α＝π3.。

高中数学苏教版必修4 第3章3.1.1 两角和与差的余弦作业 Word版含解析

[学业水平训练]1.sin 75°＝________．解析：sin 75°＝sin(90°－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝12·22＋32·22 ＝2＋64. 答案：2＋642.已知cos α＝35，α∈(3π2，2π)，则cos(α－π3)＝________．解析：∵α∈(3π2，2π)， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45， ∴cos(α－π3)＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝35×12＋(－45)×32＝3－4310. 答案：3－43103.sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为__________．解析：sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )＝sin(65°－x )sin [90°－(x －20°)]＋cos(65°－x )·cos(110°－x )＝sin(65°－x )sin(110°－x )＋cos(65°－x )·cos(110°－x )＝cos(110°－x －65°＋x )＝cos 45°＝22. 答案：224.2cos 15°＋6sin 15°的值是__________．解析：2cos 15°＋6sin 15°＝22(32sin 15°＋12cos 15°)＝22cos(60°－15°)＝22cos 45°＝2.答案：25.已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于__________．解析：由已知知cos [(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45. 又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34. 答案：346.若三角形两内角α，β满足tan α·tan β＞1，则这个三角形是__________．解析：因为tan α·tan β＞1，所以α，β均为锐角，sin αsin βcos αcos β＞1，所以cos αcos β－sin αsin β＜0，即cos(α＋β)＜0，所以α＋β为钝角，π－(α＋β)为锐角．所以这个三角形为锐角三角形．答案：锐角三角形7.求下列各式的值：(1)sin 61°sin 16°＋cos 61°cos 16°；(2)cos 80°cos 20°＋cos 10°cos 70°.解：(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos 45°＝22. (2)原式＝cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝12. 8.已知锐角α、β满足sin α＝55，cos β＝31010. (1)求cos(α－β)的值；(2)求α＋β的值．解：(1)∵sin α＝55，α为锐角． ∴cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255； ∵cos β＝31010，β为锐角． ∴sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255·31010＋55·1010＝7210. (2)cos(α＋β)＝cos [α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)＝255·31010＋55·(－1010)＝22. ∵α、β均为锐角，∴0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. [高考水平训练]1．1.若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝________．解析：根据条件可得α＋π4∈(π4，34π)，π4－β2∈(π4，π2)，所以sin(α＋π4)＝223，sin(π4－β2)＝63，所以cos(α＋β2)＝cos [(π4＋α)－(π4－β2)] ＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2) ＝13×33＋223×63＝539. 答案：5392.设a ＝2cos 66°，b ＝cos 5°－3sin 5°，c ＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：b ＝cos 5°－3sin 5°＝2(12cos 5°－32sin 5°)＝2cos 65°， c ＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)＝2(cos 43°cos 24°－sin 24°sin 43°)＝2cos 67°.因为函数y ＝cos x 在[0°，90°]内是单调递减函数，且67°>66°>65°，所以cos 67°<cos 66°<cos 65°，所以b >a >c .答案：b >a >c3.已知函数f (x )＝A cos(x 4＋π6)，x ∈R ，且f (π3)＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f (4α＋43π)＝－3017，f (4β－23π)＝85，求cos(α＋β)的值．解：(1)由f (π3)＝2得A cos(π12＋π6)＝2，即A ·cos π4＝2，∴A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos(x 4＋π6)．由⎩⎨⎧f （4α＋43π）＝－3017，f （4β－23π）＝85，得⎩⎨⎧2cos （α＋π3＋π6）＝－3017，2cos （β －π6＋π6）＝85，解得⎩⎨⎧sin α＝1517，cos β＝45.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝817，sin β＝1－cos 2β＝35， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385. 4．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0＜α＜β＜π)．若k a ＋b 与a －k b 长度相等(其中k 为非零实数)，求β－α的值．解：∵k a ＋b ＝(k cos α，k sin α)＋(cos β，sin β)＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，∴|k a ＋b |2＝(k cos α＋cos β)2＋(k sin α＋sin β)2＝k 2cos 2α＋2k cos αcos β＋cos 2β＋k 2sin 2α＋2k sin αsin β＋sin 2β＝k 2＋2k cos(α－β)＋1. |a －k b |2＝(cos α－k cos β)2＋(sin α－k sin β)2＝cos 2α－2k cos αcos β＋k 2cos 2β＋sin 2α－2k sin αsin β＋k 2sin 2β＝k 2－2k cos(α－β)＋1.又|k a ＋b |＝|a －k b |，∴|k a ＋b |2＝|a －k b |2.∴2k cos(α－β)＝－2k cos(α－β)．又k ≠0，∴cos(α－β)＝0，即cos(β－α)＝0.又0＜α＜β＜π，∴0＜β－α＜π，∴β－α＝π2.。

两角和与差的余弦同步练习必修4答案.doc

sin43° sin77° =cos (43° 77+71 - 2- 两角和与差的余弦同步练习♦♦同步测控♦♦1.下列式子中，正确的个数为()① cos( a — 0) =cos a—cos0；② cos(-^~+ a) =sin a；(3)cos( a — 0) =cos acos〃一sin asin0A. 0个B・1个C・2个D・3个解析：选A・①仅有特殊角使之成立，一般情况下不成立；②cos(专■+a) = —sin a；③cos( a —0) =cos a cos 0 +sin asin0・2.cos24° cos54° +sin24° sin54°的值是( )A. 0 B. j C.^ D.解析：选C・原式=cos (24°—54° ) =cos(—30°)=专.3.cos43° cos77° +sin43° cosl67°的值为( )M1 1 A/3 y[3A-2 B- -2 C- 2 D- 2解析：选 B.原式=cos43° cos77° + sin43° cos (90° + 77° ) = cos43° cos77°—4.化简cos( a + 0)cos a +sin( a + Q)sin a = __________________ .解析：原式=cos[( a + 0)—a]=cos0・答案：cos 0♦♦课时训缘.♦一、选择题1.cos80° cos35° +sin80° cos55°的值是( )、层解析：选A.原式=cos (80°—35° ) =cos45°=专・2・ cos(36°+ 力cos(54°—x) +sin(x+36° )sin(;r—54°)的值为( )A. 0 B・ 1 C・一1 D.|解析：选 A. cos(36°+ 力cos(54°—x) +sin(x+36° )sin(x—54° ) =cos(36°+ 力cos(54°5 .A . 13 门5 a=/，0=卩13 3B. ff =—Ji ,C .JI JI D- = r *飞3 4 24 A'i B'K C'257 D-254 cos%,解••• cos ( a + 0) = cos。

数学苏教版必修四同步课堂精练-3.1.1 两角和与差的余弦 Word版含答案

∴φ＝φ.
∴φ＝φ＝－φ，
即.又，∴.
．°°＋°°的值为．
．向量＝(α，α)，＝(β，β)，与的夹角为°，则直线α－α＝与圆(－β)＋(＋β)＝的位置关系是．
．在△中，若·<·，则△的形状一定是三角形．
．()已知，，则的值为．
()已知，，则(α－β)＝.
．函数的最大值是．
．已知，，，，则α＝，β＝.
．已知，，，，.
∵ ，，
∴ .
∴
.
∵ ，，∴<α－β<π.
而(α－β)<，∴α－β为钝角．∴ .
.解：∵ ，，
∴ ，， .
∴ ，， .
又，，
∴，.
∴
.
.证解：()∵⊥，∴·＝θ－θ＝，
即θ＝θ.
又∵θ＋θ＝，
∴θ＋θ＝，即.
∴.
又，
∴，.
()∵(θ－φ)＝(θφ＋θφ)＝φ＋φ＝φ，
．已知，，且，，求的值．
.已知向量＝(θ，－)与＝(,θ)互相垂直，其中 .
()求θ和θ的值；
()若 φ，，求φ的值．
参考答案
.答案：
解析：先用诱导公式α＝(°－α)得°＝°，再用两角差的余弦公式：
°°＋°°＝°°＋°°＝(°－°)＝°＝ .
.答案：相交
解析： .
圆心(β，－β)到已知直线的距离为
，
所以圆心在直线上，圆与直线相交．
.答案：钝角
解析：由＞，得－＞，即(＋)＞.∵<＋<π，∴ .∴ .∴△为钝角三角形．
.答案：() ()
解析：()∵ ，，
∴ .
∴ .
()将两条件等式平方后相加得

2016-2017数学苏教版必修4 第3章3.1.1 两角和与差的余弦作业 Word版含解析

[学业水平训练]1.sin 75°＝________．解析：sin 75°＝sin(90°－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝12·22＋32·22 ＝2＋64. 答案：2＋642.已知cos α＝35，α∈(3π2，2π)，则cos(α－π3)＝________．解析：∵α∈(3π2，2π)， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45， ∴cos(α－π3)＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝35×12＋(－45)×32＝3－4310. 答案：3－43103.sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )的值为__________．解析：sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos(110°－x )＝sin(65°－x )sin [90°－(x －20°)]＋cos(65°－x )·cos(110°－x )＝sin(65°－x )sin(110°－x )＋cos(65°－x )·cos(110°－x )＝cos(110°－x －65°＋x )＝cos 45°＝22. 答案：224.2cos 15°＋6sin 15°的值是__________．解析：2cos 15°＋6sin 15°＝22(32sin 15°＋12cos 15°)＝22cos(60°－15°)＝22cos 45°＝2.答案：25.已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于__________．解析：由已知知cos [(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45. 又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34. 答案：346.若三角形两内角α，β满足tan α·tan β＞1，则这个三角形是__________．解析：因为tan α·tan β＞1，所以α，β均为锐角，sin αsin βcos αcos β＞1，所以cos αcos β－sin αsin β＜0，即cos(α＋β)＜0，所以α＋β为钝角，π－(α＋β)为锐角．所以这个三角形为锐角三角形．答案：锐角三角形7.求下列各式的值：(1)sin 61°sin 16°＋cos 61°cos 16°；(2)cos 80°cos 20°＋cos 10°cos 70°.解：(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos 45°＝22. (2)原式＝cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝12. 8.已知锐角α、β满足sin α＝55，cos β＝31010. (1)求cos(α－β)的值；(2)求α＋β的值．解：(1)∵sin α＝55，α为锐角． ∴cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255； ∵cos β＝31010，β为锐角． ∴sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255·31010＋55·1010＝7210. (2)cos(α＋β)＝cos [α－(－β)]＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)＝255·31010＋55·(－1010)＝22. ∵α、β均为锐角，∴0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. [高考水平训练]1．1.若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝________．解析：根据条件可得α＋π4∈(π4，34π)，π4－β2∈(π4，π2)，所以sin(α＋π4)＝223，sin(π4－β2)＝63，所以cos(α＋β2)＝cos [(π4＋α)－(π4－β2)] ＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2) ＝13×33＋223×63＝539. 答案：5392.设a ＝2cos 66°，b ＝cos 5°－3sin 5°，c ＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：b ＝cos 5°－3sin 5°＝2(12cos 5°－32sin 5°)＝2cos 65°， c ＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)＝2(cos 43°cos 24°－sin 24°sin 43°)＝2cos 67°.因为函数y ＝cos x 在[0°，90°]内是单调递减函数，且67°>66°>65°，所以cos 67°<cos 66°<cos 65°，所以b >a >c .答案：b >a >c3.已知函数f (x )＝A cos(x 4＋π6)，x ∈R ，且f (π3)＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f (4α＋43π)＝－3017，f (4β－23π)＝85，求cos(α＋β)的值．解：(1)由f (π3)＝2得A cos(π12＋π6)＝2，即A ·cos π4＝2，∴A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos(x 4＋π6)．由⎩⎨⎧f （4α＋43π）＝－3017，f （4β－23π）＝85，得⎩⎨⎧2cos （α＋π3＋π6）＝－3017，2cos （β －π6＋π6）＝85，解得⎩⎨⎧sin α＝1517，cos β＝45.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴cos α＝1－sin 2α＝817，sin β＝1－cos 2β＝35， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385. 4．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0＜α＜β＜π)．若k a ＋b 与a －k b 长度相等(其中k 为非零实数)，求β－α的值．解：∵k a ＋b ＝(k cos α，k sin α)＋(cos β，sin β)＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)，∴|k a ＋b |2＝(k cos α＋cos β)2＋(k sin α＋sin β)2＝k 2cos 2α＋2k cos αcos β＋cos 2β＋k 2sin 2α＋2k sin αsin β＋sin 2β＝k 2＋2k cos(α－β)＋1. |a －k b |2＝(cos α－k cos β)2＋(sin α－k sin β)2＝cos 2α－2k cos αcos β＋k 2cos 2β＋sin 2α－2k sin αsin β＋k 2sin 2β＝k 2－2k cos(α－β)＋1.又|k a ＋b |＝|a －k b |，∴|k a ＋b |2＝|a －k b |2.∴2k cos(α－β)＝－2k cos(α－β)．又k ≠0，∴cos(α－β)＝0，即cos(β－α)＝0.又0＜α＜β＜π，∴0＜β－α＜π，∴β－α＝π2.。

江苏省—高一数学必修四随堂练习及答案：两角和与差的余弦

随堂练习：两角和与差的余弦（2）1．已知cos α＝513，α∈(3π2，2π)，则cos(α－π4)等于 2．已知cos(θ＋π6)＝513，0<θ<π3，则cos θ等于 3．设A ，B 为锐角△ABC 的两个内角，向量a ＝(2cos A,2sin A )，b ＝(3cosB,3sin B )．若a ，b 的夹角的弧度数为π3，则A －B 等于 4．若sin(π2＋α)＝－45，α∈(π2，π)，则cos(π3－α)＝________.5．已知cos φ＝35，φ∈(0，π2)，则cos(2π3－φ)＝________. 6．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________. .7．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，3π2<α＋β<2π，π2<α－β<π，则cos 2β＝________.8．若x ∈[π2，π]，且sin x ＝45，求2cos(x －23π)＋2cos x 的值．9．已知cos(α－β2)＝－35，sin(α2－β)＝1213，且α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，求cos α＋β2的值．答案：1.解析：∵cos(α－π4)＝(cos α＋sin α)×22，又可得sin α＝－1213， ∴cos(α－π4)＝22×(513－1213) ＝22×(－713)＝－7226. 答案：－72262.解析：∵θ∈(0，π3)，∴θ＋π6∈(π6，π2)， ∴sin(θ＋π6)＝1213. 又cos θ＝cos ⎣⎡⎦⎤(θ＋π6)－π6 ＝cos(θ＋π6)cos π6＋sin(θ＋π6)sin π6＝513×32＋1213×12＝53＋1226. 答案：53＋12263.解析：cos π3＝6(cos A cos B ＋sin A sin B )2×3＝cos(A －B )，又－π2<A －B <π2，∴A －B ＝±π3. 答案：±π34.解析：sin(π2＋α)＝cos α＝－45，又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝1－cos 2α＝35.∴cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α ＝12×(－45)＋32·35＝33－410. 答案：33－410 5.解析：因为cos φ＝35，φ∈(0，π2)，所以sin φ＝ 1－(35)2＝45. 所以cos(2π3－φ)＝cos 2π3cos φ＋sin 2π3sin φ ＝－cos π3cos φ＋sin π3sin φ ＝－12×35＋32×45＝43－310. 答案：43－3106.解析：原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝2cos 30°cos 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°cos 20° ＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3. 答案： 37.解析：由条件知sin(α＋β)＝－35，sin(α－β)＝35， ∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－1625－925＝－1. 答案：－1 8.解：∵x ∈[π2，π]，sin x ＝45，∴cos x ＝－35.∴2cos(x －23π)＋2cos x ＝2(cos x cos 23π＋sin x sin 23π)＋2cos x ＝2(－12cos x ＋32sin x )＋2cos x ＝3sin x ＋cos x ＝435－35＝43－35. 9.解：∵π2<α<π，0<β<π2， ∴π4<α2<π2，0<β2<π4，π2<α＋β<3π2. ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2，π4<α＋β2<3π4. 又cos(α－β2)＝－35，sin(α2－β)＝1213， ∴sin(α－β2)＝45，cos(α2－β)＝513. ∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝(－35)×513＋45×1213＝－1565＋4865＝3365.。

苏教版高中数学必修4检测第3章3.1-3.1.1两角和与差的余弦 Word版含解析

解：因为＜α＜，所以－＜－α＜.
因为＜β＜，所以＜＋β＜.
由已知可得＝，＝－，
则(α＋β)＝＝·＋·＝×＋×＝－.
因为＜α＋β＜π.
所以α＋β＝.
第章三角恒等变换
两角和与差的三角函数
两角和与差的余弦
级基础巩固
．° °＋° °的值为()
解析：原式＝(°－°)＝ °＝.
答案：
．已知α是锐角，α＝，则等于()
．－．－
解析：因为α是锐角，α＝，所以α＝，
所以＝×－×＝.
答案：
＋的值为()
.
解析：原式＝＝
＝＝＝×＝.
答案：
．已知＝，则α＝．
解析：由于＜α－＜，且＝，
所以＝.
所以α＝＝－＝×－×＝.
答案：
．已知＝，且＜α＜，求α的值．
解：因为＝，且＜α＜，
所以＜α＋＜π.
所以＝－＝－.
所以α＝＝＋＝－×＋×＝.
．若<α<，－<β<，＝，＝，求的值．
解：因为<α<，－<β<，
所以<＋α<π，<－<.
又因为＝，＝，
所以＝，＝.
所以＝＝
＋＝
×＋×＝.
．若＋＝(＋φ)，则φ的一个可能值是()
．－．－
解析：对比公式特征知，φ＝，φ＝－，
故只有－适合．
答案：
级能力提升
的值为．
解析：原式＝
＝
＝－.
答案：－
．已知函数()＝，∈.
()求的值；
()若θ＝，θ∈，求.
解：()＝＝＝.
()因为θ＝，θ∈，
所以θ＝－＝－.
所以＝＝
＝－.

数学苏教版必修4 第3章3.1.1 两角和与差的余弦作业 Word版含解析

[学业水平训练]°＝．解析：°＝(°－°)＝°＝(°－°)＝° °＋° °＝·＋·＝.答案：已知α＝，α∈(，π)，则(α－)＝．解析：∵α∈(，π)，∴α＝－＝－，∴(α－)＝α＋α＝×＋(－)×＝.答案：(°－)(－°)＋(°－)(°－)的值为．解析：(°－)(－°)＋(°－)(°－)＝(°－) [°－(－°)]＋(°－)·(°－)＝(°－)(°－)＋(°－)·(°－)＝(°－－°＋)＝°＝.答案：°＋°的值是．解析：°＋°＝( °＋°)＝(°－°)＝°＝.答案：已知：(α＋β) β＋(α＋β) β＝－，且°＜α＜°，则α等于．解析：由已知知[(α＋β)－β]＝－，即α＝－.又°＜α＜°，所以α＝－，所以α＝α α)＝.答案：若三角形两内角α，β满足α·β＞，则这个三角形是．解析：因为α·β＞，所以α，β均为锐角，α β α β)＞，所以αβ－αβ＜，即(α＋β)＜，所以α＋β为钝角，π－(α＋β)为锐角．所以这个三角形为锐角三角形．答案：锐角三角形求下列各式的值：() ° °＋ ° °；() ° °＋ ° °.解：()原式＝(°－°)＝°＝.()原式＝° °＋° °＝(°－°)＝°＝.已知锐角α、β满足α＝，β＝.()求(α－β)的值；()求α＋β的值．解：()∵α＝，α为锐角．∴α＝α＝＝；∵β＝，β为锐角．∴β＝＝＝，∴(α－β)＝αβ＋αβ＝·＋·＝.()(α＋β)＝[α－(－β)]＝α(－β)＋α(－β)＝·＋·(－)＝.∵α、β均为锐角，∴<α＋β<π，∴α＋β＝.[高考水平训练]．.若<α<，－<β<，(＋α)＝，(－)＝，则(α＋)＝．解析：根据条件可得α＋∈(，π)，－∈(，)，所以(α＋)＝，(－)＝，所以(α＋)＝[(＋α)－(－)]＝(＋α)(－)＋(＋α)(－)＝×＋×＝.答案：设＝ °，＝ °－°，＝( ° °－ ° °)，则，，的大小关系是．解析：＝°－°＝( °－°)＝°，＝( ° °－° °)＝( ° °－° °)＝°.因为函数＝在[°，°]内是单调递减函数，且°>°>°，所以°< °< °，所以>>.答案：>>已知函数()＝(＋)，∈，且()＝.()求的值；()设α，β∈，(α＋π)＝－，(β－π)＝，求(α＋β)的值．解：()由()＝得(＋)＝，即·＝，∴＝.()由()知()＝(＋)．由得－(π)＋(π)）＝()，))解得α＝()，β＝().))∵α，β∈，∴α＝＝，β＝＝，∴(α＋β)＝αβ－αβ＝×－×＝－.．已知＝( α，α)，＝( β，β)(＜α＜β＜π)．若＋与－长度相等(其中为非零实数)，求β－α的值．解：∵＋＝( α，α)＋( β，β)＝( α＋β，α＋β)，－＝( α－β，α－β)，∴＋＝( α＋β)＋( α＋β)＝α＋αβ＋β＋α＋αβ＋β＝＋(α－β)＋.－＝( α－β)＋( α－β)＝α－αβ＋β＋α－αβ＋β＝－(α－β)＋.又＋＝－，∴＋＝－.∴(α－β)＝－(α－β)．又≠，∴(α－β)＝，即(β－α)＝.又＜α＜β＜π，∴＜β－α＜π，∴β－α＝.。

数学苏教版4优化训练：3.1.1两角和与差的余弦含解析

第3章三角恒等变换3。

1 两角和与差的三角函数3.1.1 两角和与差的余弦5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.若sin （2π+α）=-54，α∈（2π,π),则cos(3π—α)=_______________。

思路解析：由诱导公式得sin （2π+α）=cos α=—54,又α∈(2π，π）,所以sin α=53。

所以cos （3π-α）=cos 3πcos α+sin 3πsin α=21×（-54）+23×53=10433-. 答案：10433- 2。

计算cos （α—35°)cos （25°+α）+sin （α-35°)sin （25°+α）=____________。

思路解析：逆用两角差的余弦公式可得到结果。

原式=cos(α-35°-25°—α)=cos （—60°）=21. 答案:21 10分钟训练（强化类训练,可用于课中）1。

已知sin α=53，cos β=1312，求cos （α-β)的值。

解：∵sin α=53＞0，cos β=1312＞0， ∴α可能在一、二象限，β在一、四象限。

若α、β均在第一象限，则cos α=54，sin β=135，cos(α—β）=54·1312+53·135=6563。

若α在第一象限,β在第四象限，则cos α=54,sin β=-135，cos(α-β）=54·1312+53·（-135)=6533。

若α在第二象限，β在第一象限,则cos α=—54,sin β=135，cos （α-β）=(—54）·1312+53·135=-6533。

若α在第二象限，β在第四象限,则cos α=—54，sin β=-135， cos （α-β)=（-54）·1312+53·（-135）=-6563. 2。