常州市高一数学寒假作业-习题精编(含答案) (5)

常州市高一数学寒假作业-习题精编5一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={（x，y）|y=x}，B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2=5}，则集合A∩B的元素个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32.若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A. B. 2 C. 2π D. 4π3.下列命题中，正确的命题是（）A. 任意三点确定一个平面B. 三条平行直线最多确定一个平面C. 不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D. 一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行4.若幂函数f（x）的图象过点，则函数g（x）=f（x）-3的零点是（）A. B. 9 C. D. （9，0）5.已知直线l过点（1，1）且平行于直线4x+y-8=0，则直线l的方程是（）A. x-4y+3=0B. x-4y-5=0C. 4x+y+5=0D. 4x+y-5=06.已知函数f（x）=ln（4-x），则的定义域为（）A. （-∞，1）∪（1，8）B. （-∞，1）∪（1，2）C. （0，1）∪（1，8）D. （0，1）∪（1，2）7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.8.已知点P与点Q（1，-2）关于直线x+y-1=0对称，则点P的坐标为（）A. （3，0）B. （-3，2）C. （-3，0）D. （-1，2）9.在平面直角坐标系xOy中,圆C与圆O:相切,且与直线x-2y+5=0 相切,则圆C的面积的最小值为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）在[3，+∞）上单调递减，且f（x+3）是偶函数，则a=f（log32），b=f（30.5），c=f（log264）的大小关系是（）A. a＞b＞cB. b＞c＞aC. c＞b＞aD. b＞a＞c11.已知函数，记f（2）+f（3）+f（4）+…+f（10）=m，，则m+n=（）A. -9B. 9C. 10D. -1012.如图，已知一个八面体的各条棱长为1，四边形ABCD为正方形，下列说法①该八面体的体积为；②该八面体的外接球的表面积为2π；③E到平面ADF的距离为；④EC与BF所成角为60°；其中不正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.=______．14.已知正方体的体积为64，则这个正方体的内切球的体积为______．15.已知函数在R上存在最小值，则m的取值范围是______．16.已知实数x，y满足x2-4x+3+y2=0，则的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|-3＜x＜2}，B={x|0≤x＜5}，C={x|x＜m}，全集为R．（1）求A∩（∁R B）；（2）若（A∪B）⊆C，求实数m的取值范围．18.已知直线l1的方程为x+2y-4=0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2．（1）求直线l1和l2的交点坐标；（2）已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程．19.已知圆C的圆心坐标为（a，0），且圆C与y轴相切．（1）已知a=1，M（4，4），点N是圆C上的任意一点，求|MN|的最小值．（2）已知a＜0，直线l的斜率为，且与y轴交于点．若直线l与圆C相离，求a的取值范围．20.已知函数f（x）=log a（ax-1）（a＞0且a≠1）．（1）当a=3时，f（x）＜1，求实数x的取值范围．（2）若f（x）在[3，6]上的最大值大于0，求a的取值范围．21.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，△PAD为等边三角形，M，N分别是AB，AD的中点，且平面PAD⊥平面ABCD．（1）证明：CM⊥平面PNB；（2）设点E是棱PA上一点，若PC∥平面DEM，求．22.已知f（x）是定义在[-5，5]上的奇函数，且f（-5）=-2，若对任意的m，n∈[-5，5]，m+n≠0，都有．（1）若f（2a-1）＜f（3a-3），求a的取值范围．（2）若不等式f（x）≤（a-2）t+5对任意x∈[-5，5]和a∈[-3，0]都恒成立，求t的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={（x，y）|y=x}，B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2=5}，∴A∩B={（x，y）|}={（-+1，-+1），（+1，+1）}，∴集合A∩B的元素个数为2．故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，由题意知，r=h=l，则轴截面的面积为•=1，解得r=1，所以l=；所以该圆锥的侧面积为S圆锥侧=πrl=π．故选：A．设圆锥的底面圆半径、高和母线长，根据直角三角形的边角关系和面积公式列方程求出r和l的值，再计算圆锥的侧面积公式．本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．在A中，不共线的三点确定一个平面；在B中，三条平行直线最多确定三个平面；在C 中，由线面垂直的性质定理得这两条直线平行；在D中，一个平面中的两条相交直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行．【解答】解：在A中，不共线的三点确定一个平面，故A错误；在B中，三条平行直线最多确定三个平面，故B错误；在C中，不同的两条直线均垂直于同一个平面，则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行，故C正确；在D中，一个平面中的两条相交直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行，故D错误．故选：C．4.【答案】B【解析】解：∵幂函数f（x）=xα的图象过点，∴f（2）=2α=，解得，∴f（x）=，∴函数g（x）=f（x）-3=-3，由g（x）=f（x）-3=-3=0，得x=9．∴函数g（x）=f（x）-3的零点是9．故选：B．由幂函数f（x）=xα的图象过点，求出f（x）=，由g（x）=f（x）-3=-3=0，能求出函数g（x）=f（x）-3的零点．本题考查函数的零点的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线的一般式方程，直线平行的求解，利用平行直线系是解决本题的关键．设与直线4x+y-8=0平行的直线l的方程为4x+y+c=0，代入点的坐标求出c即可．【解答】解：设与直线4x+y-8=0平行的直线l的方程为4x+y+c=0，∵直线l：4x+y+c=0过点（1，1），∴4+1+c=0，即c=-5，则直线方程为4x+y-5=0，故选：D．6.【答案】B【解析】解：要使f（x）有意义，则4-x＞0；∴x＜4；∴f（x）的定义域为（-∞，4）；∴函数g（x）满足：；∴x＜2，且x≠1；∴g（x）的定义域为（-∞，1）∪（1，2）．故选：B．容易求出f（x）的定义域为（-∞，4），从而得出，函数g（x）需满足，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域求f[g（x）]定义域的方法．7.【答案】D【解析】解：根据几何体的三视图：该几何体是由左边是由一个半径为1的半球，右边是由一个底面为腰长为的等腰直角三角形，高为2的三棱柱构成．故：V=，=．故选：D．首先利用几何体的三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，主要考察几何体的体积公式的应用和相关的运算问题的应用，属于基础题型．8.【答案】A【解析】解：设P的坐标为（a，b），则PQ的中点坐标为（，），若点P与Q（1，-2）关于x+y-1=0对称，则，解得：a=3，b=0，则点P的坐标为（3，0）．故选：A．根据题意，设P的坐标为（a，b），分析可得，解得a、b的值，即可得答案．本题考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，涉及直线与直线的位置关系，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：如图，圆心O到直线x-2y+5=0的距离d=，则所求圆的半径r=，圆C面积的最小值为S=．故选：C．由题意画出图形，求出最小圆的半径，代入圆的面积公式即可．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．10.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x+3）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x=3对称，则f（6）=f（0），又由函数f（x）在[3，+∞）上单调递减，则f（x）在（-∞，3]上为增函数，又由0＜log32＜1＜30.5，则f（0）＜f（log32）＜f（30.5），则b＞a＞c；故选：D．根据题意，由f（x+3）是偶函数可得函数f（x）的图象关于直线x=3对称，进而可得f （x）在（-∞，3]上为增函数，又由又由0＜log32＜1＜30.5，分析可得答案．本题考查函数的单调性与对称性综合应用，注意分析函数f（x）的对称轴．11.【答案】A【解析】解：∵函数，∴=+=-1，∵f（2）+f（3）+f（4）+…+f（10）=m，，∴m+n=9×（-1）=-9．故选：A．推导出=-1，再由f（2）+f（3）+f（4）+…+f（10）=m，，能求出m+n的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】C【解析】解：因为八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，可得该八面体为正八面体，E到平面ABCD的距离为=，即有八面体的体积为2××1×=，故①错误；由正方形ABCD的中心到点A，B，C，D，E，F的距离相等，且为，可得该八面体的外接球的球心为正方形ABCD的中心，半径为，表面积为4π×=2π，故②正确；由正八面体的特点可得四边形EDFB为正方形，由EB∥DF，可得EB∥平面ADF，B到平面ADF的距离，设为d，即为E到平面ADF的距离，由V B-ADF=V F-ABD，可得h•=××，可得h=，故③错误；由四边形EDFB为正方形，可得BF∥ED，DE与EC所成角即为EC与BF所成角，可得三角形CDE为等边三角形，可得EC与BF所成角为60°，故④正确．其中错误的个数为2．故选：C．由题意可得该八面体为正八面体，即底面为正方形的两个正四棱锥连接而成，由棱锥的体积个数，可判断①；推得球心即为正方形的中心，求得半径，由球的表面积公式，计算可判断②；由体积转化法，即V B-ADF=V F-ABD，计算可判断③；由异面直线所成角的定义，即可判断④．本题考查正八面体的性质，以及异面直线所成角和棱锥的体积、球的表面积和点到平面的距离，考查运算能力，属于中档题．13.【答案】6【解析】解：=lg10+5=6．故答案为：6．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】【解析】解：设正方体的内切球的半径为r，则正方体的棱长为2r，则正方体的体积为（2r）3=64，得r=2，因此，这个正方体的内切球的体积为．故答案为：．设正方体的内切球的半径为r，得出正方体棱长为2r，利用正方体体积公式可得出r的值，再利用球体的体积公式可得出答案．本题考查球体的体积的计算，解决本题的关键在于弄清球体半径与正方体棱长之间的关系，考查计算能力，属于中等题．15.【答案】[-3，+∞）【解析】解：当x≤0时，f（x）=x2+2x-1=（x+1）2-2≥-2，即有x=-1时，取得最小值-2，当x＞0时，f（x）=3x+m递增，可得f（x）＞1+m，由题意可得1+m≥-2，解得m≥-3，故答案为：[-3，+∞）．讨论当x≤0时，当x＞0时，运用二次函数的单调性和指数函数的单调性，可得f（x）的范围，由题意即可得到所求m的范围．本题考查函数的最值求法，注意运用分类讨论思想方法和指数函数和指数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】[，+∞）【解析】解：∵实数x，y满足x2-4x+3+y2=0，即（x-2）2+y2=1，表示以C（2，0）为圆心，半径等于1的圆．则==1+，表示圆上的点M（x，y）与定点A（1，-3）连线的斜率k加上1，如图．当切线位于AB这个位置时，k最小，k+1最小．当切线位于AE这个位置时，k不存在，k+1不存在．设AB的方程为y+3=k（x-1），即kx-y-k-3=0，由CB=1，可得=1，求得k=．而AE的方程为x=1，故k+1的范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）．变形可得，所求式子表示圆上的点M（x，y）与定点A（1，-3）连线的斜率k加上1，利用直线和圆相切的性质求得k的范围，可得结论．本题猪腰考查直线和圆相切的性质，斜率公式，直线和圆的位置关系，属于中档题．17.【答案】解：（1）∁R B={x|x＜0，或x≥5}；∴A∩（∁R B）={x|-3＜x＜0}；（2）A∪B={x|-3＜x＜5}；∴（A∪B）⊆C；∴m≥5；∴实数m的取值范围为[5，+∞）．【解析】（1）进行补集、交集的运算即可；（2）可求出A∪B={x|-3＜x＜5}，根据（A∪B）⊆C即可得出m≥5，即得出m的范围．考查描述法的定义，以及交集、并集和补集的运算，子集的定义．18.【答案】解：（1）∵l1⊥l2，∴==2．∴直线l2的方程为：y-0=2（x-），化为：y=2x-3．联立，解得．∴直线l1和l2的交点坐标为（2，1）．（2）当直线l3经过原点时，可得方程：y=x．当直线l3不经过过原点时，设在x轴上截距为a≠0，则在y轴上的截距的2a倍，其方程为：+=1，把交点坐标（2，1）代入可得：+=1，解得a=．可得方程：2x+y=5．综上可得直线l3的方程为：x-2y=0，2x+y-5=0．【解析】（1）利用l1⊥l2，可得斜率．利用点斜式可得直线l2的方程，与直线l1和l2的交点坐标为（2，1）．（2）当直线l3经过原点时，可得方程．当直线l3不经过过原点时，设在x轴上截距为a≠0，则在y轴上的截距的2a倍，其方程为：+=1，把交点坐标（2，1）代入可得a．本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）当a=1时，圆C的方程为（x-1）2+y2=1，又|MC|=，∴|MN|的最小值为5-1=4；（2）∵直线l的斜率为，且与y轴交于点，∴直线l的方程为，即4x-3y-2=0．∵直线l与圆C相离，∴＞|a|，又a＜0，则2-4a＞-5a，解得a＞-2．∴a的取值范围为（-2，0）．【解析】（1）求出圆的方程，再求出M到圆心的距离，减去半径得答案；（2）写出直线方程，利用圆心到直线的距离大于半径求解．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是基础题．20.【答案】解：（1）当a=3时，f（x）＜1可化为：log3（3x-1）＜1即0＜3x-1＜3，解得：x∈（，）.（2）∵a＞0且a≠1，故y=ax-1在[3，6]上单调递增，当a＞1时，函数f（x）=log a（ax-1）在[3，6]上单调递增，则log a（6a-1）＞0，即6a-1＞1，解得a＞.∴a＞1,当0＜a＜1时，函数f（x）=log a（ax-1）在[3，6]上单调递减，则log a（3a-1）＞0，即0＜3a-1＜1，解得＜a＜,∴＜a＜，综上可得：a的取值范围为（，）∪（1，+∞）．【解析】（1）当a=3时，f（x）＜1可化为：log3（3x-1）＜1，即0＜3x-1＜3，解得答案；（2）对a进行分类讨论，结合f（x）在[3，6]上的最大值大于0，可得答案．本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度中档．21.【答案】证明：（1）在正方形ABCD中，M，N分别是AB，AD的中点，∴BM=AN，BC=AB，∠MBC=∠NAB=90°，∴△MBC≌△NAB，∴∠BCM=∠NAB，又∠NBA+∠BMC=90°，∴∠NBA+∠BMC=90°，∴CM⊥BN，∵△PAD为等边三角形，N是AD的中点，∴PN⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，PN⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PN⊥平面ABCD，又CM⊂平面ABCD，∴CM⊥PN，∵BN，PN⊂平面PNB，BN∩PN=N，∴CM⊥平面PNB．解：（2）连结AC，交DM于点Q，连结EQ，∵PC∥平面DEM，PC⊂平面PAC，平面PAC∩平面DEM=EQ，∴PC∥EQ，∴PE：EA=CQ：QA，在正方形ABCD中，AM∥CD，且CD=2AM，∴CQ：QA=CD：AM=2，∴=2．【解析】（1）推导出BM=AN，CM⊥BN，PN⊥AD，从而PN⊥平面ABCD，进而CM⊥PN，由此能证明CM⊥平面PNB．（2）连结AC，交DM于点Q，连结EQ，推导出PC∥EQ，从而PE：EA=CQ：QA，由此能求出的值．本题考查线面垂直的证明，考查两线段的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.【答案】解：设任意x1，x2满足-5≤x1＜x2≤5，由题意可得：f（x1）-f（x2）=即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在定义域[-5，5]，上是增函数，由f（2a-1）＜f（3a-3），得，解得2＜a ≤，故a的取值范围为（2，]；（2）由以上知f（x）是定义在[-5，5]上的单调递增的奇函数，且f（-5）=-2，得在[-5，5]上f（x）max=f（5）=-f（-5）=2．在[-5，5]上不等式f（x）≤（a-2）t+5对a∈[-3，0]都恒成立，所以2≤（a-2）t+5即at-2t+3≥0，对a∈[-3，0]都恒成立，令g（a）=at-2t+3，a∈[-3，0]，则只需，即．解得t ≤故t的取值范围（-∞，]．【解析】（1）由函数的单调性的定义，构造出f（x）在定义域[-5，5]，上是增函数，通过增函数性质解不等式得a的取值范围．（2）由f（x）单调递增且奇函数，利用其最大值整理得关于a，t的不等式，由a∈[-3，0]都恒成立，根据单调性可以求t的取值范围．本题主要考察函数单调性知识的应用，解题中主要利用了单调性的定义法，最值法．第11页，共11页。