参考答案(2013白云区数学一模)

参考答案及评分建议（2013一模）一、选择题二、填空题三、解答题１７．（本小题满分１０分）解：110 232 1 x x ⎧-≥⎪⎨⎪+>-⎩解①得 x ≤２，…………………………………………………………３分 解②得 x ＞－１，………………………………………………………６分 ∴不等式组的解集为：－１＜x ≤２，…………………………………８分数轴表示为：１８．（本小题满分１０分）证法一：∵ＡＢＣＤ为菱形，∴ＡＤ＝ＢＣ，∠Ａ＝∠Ｃ．………………４分 在△ＡＤＥ和△ＣＢＦ中，∵AD C B A C AE C F =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，…………………………………………………………………７分 ∴△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（ＳＡＳ）……………………………………………９分 ∴ＤＥ＝ＢＦ．………………………………………………………………１０分 证法二：∵ＡＢＣＤ为菱形，∴ＡＢ＝ＣＤ且ＡＢ∥ＣＤ．………………４分 由ＡＥ＝ＣＦ，得ＡＢ－ＡＥ＝ＣＤ－ＣＦ，………………………………６分 即ＢＥ＝ＤＦ，又ＢＥ∥ＤＦ，………………………………………………８分 ∴四边形ＥＢＦＤ为平行四边形，……………………………………………９分 ∴ＤＥ＝ＢＦ．………………………………………………………………１０分１９．（本小题满分９分） 解： 原方程可化为：21x -－1(1)(1)x x +-＝3(1)(1)x x +-………………２分………１０分 12 3 1 3 2 0 图1方程两边同乘以（x ＋１）（x －１），…………………………………………３分 得：２（x ＋１）－１＝３………………………………………………………５分 解得x ＝１…………………………………………………………………………７分 检验：当x ＝１时，（x ＋１）（x －１）＝０，………………………………８分 ∴x ＝１是增根，原方程无解．…………………………………………………９分２０．（本小题满分１０分）解：（１） ５０ ；…………………………………………………………２分 （２）５０－１４－１６－１０－４＝６（人）………………………………５分 ∴该班参加铅球考试的人数为６人．（图略）；…………………………………６分 （３）１６÷５０＝０.３２＝３２％，…………………………………………８分 ３６０°³３２％＝１１５.２°，………………………………………………９分 ∴参加跳绳考试部分所对应的圆心角的度数为１１５.２°．………………１０分２１．（本小题满分１０分） 解：（１）树形图如图２：∴所有可能的结果有６种；………………………………………………………７分 （２）设郑浩从入口Ａ进入展览厅并从北面出口离开的概率是Ｐ， 则Ｐ＝26……………………………………………………………………………９分 ＝13．………………………………………………………………………１０分２２．（本小题满分１２分） 解：（１）n ＝ －１ ；……………………………………………………１分 （２）∵函数y ＝m x的图象经过点Ａ，∴x ＝３时，y ＝－２，∴m ＝３³（－２）＝－６，………………………３分 ∴反比例函数的解析式为：y ＝－6x；…………………………………………４分∵函数y ＝－6x图象经过Ｂ（n ，６），当x ＝n 时，y ＝６，从而得n ＝－１，…………………………………………５分即点Ｂ的坐标为Ｂ（－１，６）．…………………………………………………６分 由一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过Ａ、Ｂ两点，可得：入口A出 口E 出 口C 出 口D 入口B出 口E出 口 C 出 口 D 图2 ………６分326k b k b +=-⎧⎨-+=⎩，……………………………………………………………………８分 解得24k b =-⎧⎨=⎩．……………………………………………………………………９分∴一次函数的解析式为：y ＝－２x ＋４；…………………………………１０分 （３）０＜x ＜３或x ＜－１．………………………………………………１２分２３．（本小题满分１３分） 解：（１）线段ＡＢ＝ＤＢ．……………………………………………………１分 证明如下：连结ＢＣ（如图３）．∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＣＢ＝９０°，即ＢＣ⊥ＡＤ．…………………………………………２分 又∵ＡＣ＝ＣＤ，∴ＢＣ垂直平分线段ＡＤ，…………………………………３分 ∴ＡＢ＝ＤＢ；（２）ＣＥ是⊙Ｏ的切线．………………………………………………………４分 证明如下：连结ＯＣ（如图４）． ∵点Ｏ为ＡＢ的中点，点Ｃ为ＡＤ的中点，∴ＯＣ为△ＡＢＤ的中位线，∴ＯＣ∥ＢＤ．…………………………………６分 又∵ＣＥ⊥ＢＤ，∴ＣＥ⊥ＯＣ，∴ＣＥ是⊙Ｏ的切线；……………………８分 （３）△ＡＢＤ为等边三角形．…………………………………………………９分 证明如下： 由AC EBC EDS S ∆四边形＝71，得C EDAC EB C EDS S S ∆∆+四边形＝711+，………………………………………………１０分∴ABD C ED S S ∆∆＝81，…………………………………………………………………１１分即C ED S S ∆∆ABD＝18，∴2C E D S S ∆∆BCD＝18，C ED S S ∆∆BCD＝14，∵∠Ｄ＝∠Ｄ，∠ＣＥＤ＝∠ＢＣＤ＝９０°，∴△ＣＥＤ∽△ＢＣＤ， ∴2()C D B D＝C ED S S ∆∆BCD，即2()C D B D＝14，∴C D B D＝12，………………………１２分在Ｒt △ＢＣＤ中，∵ＣＤ＝12ＢＤ，∴∠ＣＢＤ＝３０°，∴∠Ｄ＝６０°，又∵ＡＢ＝ＤＢ，………………１３分∴△ＡＢＤ为等边三角形．２４．（本小题满分１４分） 解：（１）把Ｂ（０，－１）坐标代入y ＝2ax ＋bx ＋c 中，得c ＝－１．……………………………………１分 由b ＝－４ac ，得b ＝４a ．∵Ａ为抛物线的顶点，∴其横坐标为x ＝－2b a，…………………………２分∴x ＝－２，即点Ａ的坐标为Ａ（－２，０）；……………………………３分 （２）把点Ａ的坐标（－２，０）代入抛物线解析式中，可得４a －２b －１＝０，……………………………………………………４分 把b ＝４a 代入上式，得a ＝－14，…………………………………………５分∴b ＝－１．∴抛物线的解析式为：y ＝－214x －x －１；…………………………………………………………６分（３）点C 存在．………………………………………………………………７分 设符合题意的点Ｃ坐标为（x ，y ），如图５． 方法一：过点Ｃ作ＣＤ⊥x 轴于点Ｄ．连结ＡＢ、ＡＣ，∵Ａ在以ＢＣ为直径的圆上，∴∠ＢＡＣ＝９０°． ∴Ｒt △ＡＯＢ∽Ｒt △ＣＤＡ，…………………………………………………８分 ∴得O B A D A OC D=，从而ＯＢ²ＣＤ＝ＡＯ²ＡＤ，…………………………９分∴１²（－y ）＝２²(2)x --，－y ＝２2x +，－y ＝２［－（x ＋２）］，得y ＝２x ＋４，……………………………１０分 又y ＝－214x －x －１，得－214x －x －１＝２x ＋４，整理得：212x x +＋２０＝０，解得1x ＝－１０，2x ＝－２； 从而得1y ＝－１６，2y ＝０．即点Ｃ的坐标为（－１０，－１６）或（－２，０）．……………………１２分 方法二：过点Ｃ作ＣＤ⊥x 轴于点Ｄ．D图3图4连结ＡＢ、ＡＣ，过点Ｂ作ＢＥ⊥ＣＤ于点Ｅ．……………………………８分 则Ｅ点坐标为Ｅ（x ，－１）．在Ｒt △ＡＯＢ中，ＡＢ２＝ＡＯ２＋ＢＯ２＝５，在Ｒt △ＡＣＤ中，ＡＣ２＝ＡＤ２＋ＣＤ２＝2(2)x +＋2y ， 在Ｒt △ＢＣＥ中，ＢＣ２＝ＢＥ２＋ＣＥ２＝2x ＋2(1)y +， 在Ｒt △ＡＢＣ中，ＢＣ２＝ＡＢ２＋ＡＣ２，∴得2x ＋2(1)y +＝５＋2(2)x +＋2y ，…………………………………１０分 化简整理得y ＝２x ＋４， 又y ＝－214x －x －１，得－214x －x －１＝２x ＋４，整理得：212x x +＋２０＝０，解得1x ＝－１０，2x ＝－２； 从而得1y ＝－１６，2y ＝０．即点Ｃ的坐标为（－１０，－１６）或（－２，０）．……………………１２分 ∵Ｐ为圆心，∴Ｐ为直径ＢＣ的中点．当点Ｃ坐标为（－１０，－１６）时，取ＯＤ的中点Ｐ１，则Ｐ１的坐标为（－５，０），连结ＰＰ１；过点Ｂ作ＢＥ⊥ＣＤ，垂足为点Ｅ， 交ＰＰ１为于点Ｆ，则四边形ＢＯＤＥ为矩形， 点Ｅ的坐标为Ｅ（－１０，－１），Ｆ点的坐标为Ｆ（－５，－１）， ＰＦ为△ＢＣＥ的中位线，∴ＰＦ＝12ＣＥ＝1216(1)---＝152，∴ＰＰ１＝ＰＦ＋ＦＰ１＝172，∴Ｐ（－５，－172）；………………………１３分当点Ｃ坐标为（－２，０）时，取ＯＡ的中点Ｐ２，则Ｐ２的坐标为（－１，０）， 连结ＰＰ２，则ＰＰ２为△ＯＡＢ的中位线， ∴ＰＰ２＝12ＯＢ＝12，∴Ｐ（－１，－12），………………………………１４分故点Ｐ的坐标为（－５，－172）或（－１，－12）．yxA BO P 2CDPP 1 P F EyxABO ECD２５．（本小题满分１４分） 证明：（１）作ＤＦ∥ＢＣ，ＣＦ∥ＢＤ（如图７），……………………１分 得□ＢＣＦＤ，从而∠ＤＦＣ＝∠Ｂ， ＤＦ＝ＢＣ，ＣＦ＝ＢＤ．又ＢＤ＝ＣＥ，∴ＣＦ＝ＣＥ，∴∠１＝∠２．………………………………………………………………２分 ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠ＡＣＢ＝∠Ｂ．而∠ＤＦＥ＝∠ＤＦＣ＋∠１＝∠Ｂ＋∠１＝∠ＡＣＢ＋∠２＞∠ＡＥＤ＋∠２＝∠ＤＥＦ，………………………３分 即在△ＤＥＦ中，∵∠ＤＦＥ＞∠ＤＥＦ，∴ＤＥ＞ＤＦ，即ＤＥ＞ＢＣ．……………………………………………５分（２）当ＡＢ≠ＡＣ时，ＤＥ与ＢＣ的大小关系如下：当ＡＢ＞ＡＣ但ＡＢ＝ＡＥ时，ＤＥ＝ＢＣ；………………………………６分 当ＡＢ＞ＡＣ但ＡＢ＜ＡＥ时，ＤＥ＞ＢＣ；………………………………７分 当ＡＢ＞ＡＣ且ＡＢ＞ＡＥ时，ＤＥ＜ＢＣ；………………………………８分 当ＡＢ＜ＡＣ时，ＤＥ＞ＢＣ．………………………………………………９分 证明如下：①当ＡＢ＞ＡＣ但ＡＢ＝ＡＥ时（如图８），∵ＢＤ＝ＣＥ，∴ＡＢ－ＢＤ＝ＡＥ－ＣＥ，即ＡＤ＝ＡＣ． 在△ＡＢＣ和△ＡＥＤ中，∵ＡＢ＝ＡＥ，∠Ａ＝∠Ａ，ＡＣ＝ＡＤ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ（ＳＡＳ），∴ＢＣ＝ＥＤ；…………………………１０分②ＡＢ＞ＡＣ但ＡＢ＜ＡＥ时，延长ＡＢ到Ｆ，使ＡＦ＝ＡＥ， 在ＡＥ上截取ＡＰ＝ＡＤ（如图９），连结ＰＦ． 在△ＡＦＰ和△ＡＥＤ中，∵ＡＦ＝ＡＥ，∠Ａ＝∠Ａ，ＡＰ＝ＡＤ， ∴△ＡＦＰ≌△ＡＥＤ（ＳＡＳ）， ∴∠Ｆ＝∠ＡＥＤ，即∠Ｆ＝∠４．∵∠ＡＢＣ＞∠Ｆ，∴∠ＡＢＣ＞∠４．过Ｄ点作ＤＱ∥ＢＣ，且ＤＱ＝ＢＣ，连结ＣＱ、ＥＱ， 则四边形ＤＢＣＱ为平行四边形， ∴∠３＝∠ＡＢＣ，ＣＱ＝ＢＤ．∵ＢＤ＝ＣＥ，∴ＣＱ＝ＣＥ，∴∠１＝∠２．ABDCFE12图7∵∠３＝∠ＡＢＣ＞∠４，∴∠３＋∠１＞∠２＋∠４，即∠ＤＱＥ＞∠ＤＥＱ，………………………………………………………………１２分∴ＤＥ＞ＤＱ，∴ＤＥ＞ＢＣ；③当ＡＢ＞ＡＣ且ＡＢ＞ＡＥ时，延长ＡＥ到Ｆ，使ＡＦ＝ＡＢ，在ＡＢ上截取ＡＰ＝ＡＣ（如图１０），连结ＰＦ．在△ＡＢＣ和△ＡＦＰ中，∵ＡＢ＝ＡＦ，∠Ａ＝∠Ａ，ＡＣ＝ＡＰ，∴△ＡＢＣ≌△ＡＦＰ（ＳＡＳ），∴∠Ｂ＝∠Ｆ．∵∠４＞∠Ｆ，∴∠４＞∠Ｂ．过Ｄ点作ＤＱ∥ＢＣ，且ＤＱ＝ＢＣ，连结ＣＱ、ＥＱ，则四边形ＤＢＣＱ为平行四边形，∴∠３＝∠Ｂ，ＣＱ＝ＢＤ．∵ＢＤ＝ＣＥ，∴ＣＱ＝ＣＥ，∴∠１＝∠２．∵∠３＝∠Ｂ＜∠４，∴∠３＋∠１＜∠４＋∠２，即∠ＤＱＥ＜∠ＤＥＱ，∴ＤＥ＜ＤＱ，∴ＤＥ＜ＢＣ．…………………………１３分④当ＡＢ＜ＡＣ时，此时，ＡＢ必小于ＡＥ，即ＡＢ＜ＡＥ延长ＡＢ到Ｆ，使ＡＦ＝ＡＥ，在ＡＥ上截取ＡＰ＝ＡＤ（如图１１）．连结ＰＦ．在△ＡＦＰ和△ＡＥＤ中，∵ＡＦ＝ＡＥ，∠Ａ＝∠Ａ，ＡＰ＝ＡＤ，∴△ＡＦＰ≌△ＡＥＤ（ＳＡＳ），∴∠Ｆ＝∠ＡＥＤ，即∠Ｆ＝∠４．∵∠ＡＢＣ＞∠Ｆ，∴∠ＡＢＣ＞∠４．过Ｄ点作ＤＱ∥ＢＣ，且ＤＱ＝ＢＣ，连结ＣＱ、ＥＱ，则四边形ＤＢＣＱ为平行四边形，∴∠３＝∠ＡＢＣ，ＣＱ＝ＢＤ．∵ＢＤ＝ＣＥ，∴ＣＱ＝ＣＥ，∴∠１＝∠２．∵∠３＝∠ＡＢＣ＞∠４，∴∠３＋∠１＞∠２＋∠４，即∠ＤＱＥ＞∠ＤＥＱ，∴ＤＥ＞ＤＱ，∴ＤＥ＞ＢＣ；………………………………………………………１４分AB DCE图84321QPFEDCBA图94321QPFED CBA图10图114321Q PFE DCBA。