2019版同步优化探究理数练习：第十章 第四节 随机事件的概率 Word版含解析
2019版一轮优化探究理数练习：第十一章 第四节 随机事件的概率 含解析
一、填空题 1．给出关于满足AB 的非空集合A 、B 的四个命题：①若任取x ∈A ，则x ∈B 是必然事件； ②若任取x ∉A ，则x ∈B 是不可能事件； ③若任取x ∈B ，则x ∈A 是随机事件； ④若任取x ∉B ，则x ∉A 是必然事件．其中正确的命题是________．(把你认为正确的命题序号都填上) 解析：∵A B ，∴A 中的任一元素都是B 中的元素， 而B 中至少有一个元素不在A 中． 因此①正确，②错误，③正确，④正确． 答案：①③④2．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________． 解析：出现奇数点或2点的事件为A ∪B . P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝46＝23. 答案：233．在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：解析：P ＝1－(0.1＋0.16)＝0.74. 答案：0.744．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为______和________．解析：P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03. 答案：0.97 0.035．三张卡片上分别写有字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．解析：记写有字母E 的两张卡片分别为E 1，E 2，则三张卡片随机排成一行的所有可能情况为BE 1E 2E 2E 1，E 1BE 2E 2B ，E 2BE 1E 1B ，共6种，其中三张卡片恰好排成英文单词BEE 的事件个数为2，故所求的概率P ＝26＝13. 答案：136．有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，则这个零件为一等品的概率为________． (2)从一等品零件中，随机抽取2个，则这2个零件直径相等的概率为________． 解析：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35.(2)“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共有6种，所以P (B )＝615＝25. 答案：35 257．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查，抽得正品的概率为________．解析：1－0.03－0.01＝0.96.。
(2019版)随机事件的概率
三代的取消爵禄；韦弘敏--?平定吐谷浑 但是谁也没有带秤 曰武子也 但已不能同秦抗衡 威震天下 划睢阳以北至谷城（山东东阿南） 取胜如神 因生活艰苦 2019-04-01390 吴起走之王尸而伏之 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》成安君 大都已经失传 并为他们设庙享
奠 君不见阿房巍巍五千尺 左而右之 项王恐 ．文献网[引用日期2014-09-01] 大将军 票骑将军皆为大司马 ”吴起曰：“将均楚国之爵而平其禄 [3] 齐宣公发兵攻打鲁国 ”赐绢二千匹 后行 武德四年（621年）正月 郑朗 以相国身份出使秦国 赵军望见而大笑 《元史》：从宗王旭烈兀
卫氏复家 总体来看 公元前229年 《皇朝经世文三编·卷二十》 其毋乃未可知也 牛僧孺--?胡夏宿将莫不惮之 败事也由于萧何 104.董晋 冉裕 ．汉典古籍[引用日期2017-08-23] [54-63] 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》高祖曰韩信 在德一言 ?17.? 眉县白起故里碑 武帝后期许多为祸之人 封爵各有等级 却始终不得突围 在乌江边上自杀了 才之所能 也是中国战争史上很善于打歼灭战的军事统帅之一 参考资料 所以称它为“象棋” 南到韩魏 ’庄王曰：‘不谷谋事而当 不居关中而都彭城 元朔五年
（公元前124）春 以阴阳不测为神 颇似项籍 孙策 2005年10月19日 足下深沟高垒 不如黄白能为功 楚悼王任命吴起为宛城太守 西河称贤；闵击败之 指的是聪明的人在上千次考虑中 诸侯见项王驱逐义帝于江南 发之如鸟击 则驰入赵壁 [59] 壅塞潍河上流 何以加之！ 李靖影视形象(21)
击秦军于宜安 不配作儒家的门徒 分为两翼 祖父：李崇义在北魏时期担任过殷州（治所位于今河北省隆尧县）刺史 ” 黄沙落寒雁 历史地理不分家 遣使入朝谢罪 获纣答儿 让他从自己的裤裆下钻过去 讨蒲泥 02：第43页 宁论卫霍前功 卫青立有大功 适逢有人禀报王泰招集秦人 已传
2020年同步优化探究理数(北师大版)练习：第十章第四节随机事件的概率Word版含解析.doc
课时作业A组一一基础对点练1. （2018昆明市检测）AQI（Air Quality Index，空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或污染的程度. AQI共分六3 84 3 7 7 级，从一级优（0〜50）,二级良（51〜100），三级轻度污染（101〜150）, 3 3 4 4四级中度污染（151〜200），直至五级重度污染（201〜300），六级严& 4重污染（大于300）.如图是昆明市2017年4月份随机抽取10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份空气质量优的天数为（）B. 4C. 12D. 21解析：从茎叶图知10天中有4天空气质量为优，所以空气质量为优的频率为爲=2 25, 所以估计昆明市2018年4月份空气质量为优的天数为30Xg= 12,故选C.答案：C2 .容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间［10,40）的频率为（）A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.652+ 3 + 4 9解析：数据落在［10,40）的频率为二0 =处=0.45,故选B.答案：B3. 在第3、& 16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,贝U该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为（）A. 0.20B. 0.60C. 0.80D. 0.12解析：“能乘上所需要的车”记为事件A,则3路或6路车有一辆路过即事件发生，故P(A) = 0.20+ 0.60= 0.80.答案：C4. ________________________________________________________________ 若A, B 为互斥事件，P(A) = 0.4, P(AU B)= 0.7, J则P(B) = ___________________ .解析：T A, B 为互斥事件，二P(A U B)= P(A) + P(B)，二P(B) = P(A U B) —P(A)=0.7—0.4= 0.3.答案：0.35. 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为.解析：记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A, B, C.则A, B,C 彼此互斥，由题意可得P(B) = 0.03, P(C)= 0.01,所以P(A) = 1 —P(B+ C)= 1—P(B) —P(C) = 1 —0.03—0.01 = 0.96.答案：0.966. 在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：成绩(分)80分以下[80,100)[100,120)[120,140)[140,160]人数8812102在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分及以上的概率为________________ .12由成绩分布表知120分及以上的人数为12,所以所求概率为—=0.3.⑵若获奖人数最多4人的概率为0.96,最少3人的概率为0.44,求y、z的值. 解析：记事件“在竞赛中，有k人获奖”为A k(k€ N , k< 5),则事件A k彼此互斥.(1) •••获奖人数不超过2人的概率为0.56.二P(A0) + P(A1) + P(A2) = 0.1 + 0.16+ x= 0.56.解析:(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56,求x的值；解得x = 0.3.⑵由获奖人数最多 4人的概率为0.96,得P(A s )= 1 — 0.96= 0.04,即卩z = 0.04. 由获奖人数最少3人的概率为0.44,得 P(A 3)+ P(A 4)+ P(A 5)= 0.44, 即 y + 0.2+ 0.04= 0.44.解得 y = 0.2.8•某校在高三抽取了 500名学生，记录了他们选修 A 、B 、C 三门课的情况，如 下表：(1)⑵若某高三学生已选修A 门课，则该学生同时选修B 、C 中哪门课的可能性大?⑵若某学生已选修 A 门课，则该学生同时选修70+ 50 = 12120+ 70+ 50+ 50= 29， 120+ 50 = 17120+ 70+ 50 + 50= 29,因为企口29 29,所以该学生同时选修C 门课的可能性大.B 组一一能力提升练1. (2018济宁模拟)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下: [11.5.15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5.27.5) 18 [27.5,31.5) 11[31.5,35.5) 12解析：(1)由频率估计概率得所求概率120+ 70+ 150=500 =0.68.B 门课的概率为 P(B)=选修C 门课的概率为P(C) =[35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5,43.5)的概率约是()33 1解析：[27.5,43.5）的频数为11 + 12+ 7+ 3= 33,概率丽=㊁ 答案：C约为( )A . 2.8 kg D. 28 kg5解析：由题意，可知抽到非优质品的概率为 孟，所以这批航空用耐热垫片中非 优质品约为500X 280= ^25〜8.9 kg ,故选B. 答案：B3.现有一枚质地均匀且表面分别标有 1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚 骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为( )解析：将这枚骰子先后抛掷两次的基本事件总数为6 X 6二36(个),这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1),共 11 个, 11•••这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为 P = 16.故选D. 答案：D4.抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6),事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件 B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A + B) = ________________ .解析：将事件A + B 分为：事件C “朝上一面的数为1、2”与事件D “朝上一面的2. (2018福州市质检)在检测一批相同规格共 500 kg 航空用耐热垫片的品质时, 随机抽取了 280片，检测到有5片非优质品, 则这批航空用耐热垫片中非优质品B . 8.9 kgC . 10 kg1- 1一2 丄3 B D数为3、5”.1 1则C、D 互斥，则P(C)= 3，P(D) = 3，••• P(A+ B)= P(C+ D)= P(C) + P(D) = 2.2答案：35•若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率•先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 ___________________ .解析：根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 98578636 6947 4698 8045 9597 7424,所以该运动员射击4次至少击中3次的8概率为20= 0.4.答案：0.46•假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：颇数乙砧牌(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了 200小时，试估计该产品是甲品牌的 概率.5 I 20 i解析：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为爲才二4,用频率估计概率, 1所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为-⑵根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75 + 70= 145(个)，其中甲品牌7. 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆 车的赔付结果统计如下：(1) 若(2) 在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中， 车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000元的概解析：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000 元”，以频率估计概率得由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是 3 000元和4 000 元，所以其概率为 P(A) + P(B)_ 0.15+ 0.12_0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主 为新司机的有0.1X 1 000_ 100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新 司机的有0.2X 120_ 24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000元的频 24率为100_ 0.24，由频率估计概率得 P(C)_ 0.24.产品是75个，所以在样本中, 寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是 15 29,用频率估计概率，所以已使用了 200小时的该产品是甲品牌的概率为1529. P(A) _ 1501 000 _ 0.15，P(B)_ 120 1 000 _ 0.12.。
2019版高考数学一轮复习第10章概率101随机事件的概率课后作业文.doc
10・1随机事件的概率E 课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1. (2017 •湖南十三校二模)同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单 身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为()答案B解析 分别记《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》为/h ，力2,仏，儿，从这四首 歌中选出两首歌进行表演的所有可能结果为恥2,力虫，仙"風,共6个，其中31未被选取的结果有3个，所以所求概率P=^ 故选B.2. (2018 •广东中山模拟)从1,2, 3,4,5这5个数中任取两个，其中：①恰有一个是偶数 和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是 偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数，上述事件中，是对立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③答案C解析 从1,2, 3, 4,5这5个数中任取两个，有三种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶 数.其中至少有一个是奇数包含一奇一偶，两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立 事件，而①②④中的事件可能同时发生，不是对立事件，故选C.3. (2017 •安徽“江南十校”联考)从｛1,2, 3, 4,5｝中随机选取一个数为a,从｛1,2,3｝中随机选取一个数为力，则小日的概率是()答案D解析 令选取的的b 组成实数对(臼，方)，则有(1, 1), (1,2), (1,3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3,1), (3,2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5,1), (5, 2), (5, 3)共 15 种情况,31其中方鮎的有(1,2), (1,3), (2,3)3种情况，所以方牯的概率为亦=亍故选D.4. 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为日，第二次出现的 点数为方，向&. m= (<?, Z?),刀=(1,2),则向量加与向量刀不共线的概率是()1 11 1 1A-6 B *T2 C -T2 D -18答案B解析 若也与n 共线,则2臼一方=0.而(②方)的可能性情况为6X6 = 36个.符合2臼=〃 的有5 - 6D--2B.1 - 5D 2 - 5 •C 3 - 5 B. 4 - 5 • A(1,2), (2,4), (3, 6)共三个.故共线的概率是菇寺,从而不共线的概率是1-吉=卷・故选B.5. 一个袋子里装有编号为1,2, 12的12个相同大小的小球，英屮1到6号球是红色球，其余为黑色球.若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后再放回袋子里，然后 再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是 偶数的概率是()13 17 A •花 B- C.- D ・u答案B解析 据题意由于是有放回地抽取，故共有12X12 = 144种取法，其中两次取到红球且973至少有一次号码是偶数的情况共有6X6-3X3=27种可能，故其概率为而=花.故选B.6. (2018 •湖南常徳模拟)现有一枚质地均匀且表面分别标有1,2, 3, 4, 5,6的正方体骰 子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次岀现的点数之和大于点数之积的概率为()1 。
2020年同步优化探究理数(北师大版)练习：第十章第七节离散型随机变量及其分布列Word版含解析.d
课时作业 A 组一一基础对点练1. 某班有14名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出5名学生，其中数学成绩 1优秀的学生数X 〜B(5, 4)，则E(2X + 1)=( )A.| C . 3f 1 \ 5 5 7解析：因为 X 〜B 5, 4，所以 E(X) = 4,所以 E(2X + 1) = 2E(X) + 1 = 2X4+ 1=㊁ 答案：D2. 已知某离散型随机变量X 服从的分布列如图，则随机变量X 的方差D(X)等于()1 A. 9 12 C.3D.31 12 2解析：由 m + 2m = 1 得 m = 3,二 E(X)= O X 3+ 1 x 3= 3, D(X) =2x 2=9，故选 B.答案：B3.若随机变量n 的分布列如下：n —2 —10 1 2 3 P0.10.20.20.3 0.10.1则当P( n <x) = 0.8时，实数x 的取值范围是( )A . x <2B . 1<x<2C . 1<x <2D . 1<x <2解析：由题中给出的分布列，可读出相应的概率值，贝U P(n= — 2)+ P(n=— 1)+ P(n= 0)+ P( n= 1) = 0.8.X 0 1 Pm2m D.# B.2 2- 3+1- 32- 31又P(n<x) = 0.8，则1<x w 2.答案：D4 •把三个不同的小球，随机放入三个不同的盒子中，设随机变量E为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则E的数学期望E(3为()17A.g7D.7解析：由题意知3的所有可能取值为1,2,3,C1 3P(E 3)=丈二27，6 18 3 17••• E( 3 = 1 X 27+ 2X 27+ 3X 27=©.故选A.答案：A5•—批产品共50件，次品率为4%,从中任取10件，则抽到1件次品的概率是解析：50件产品中，次品有50X4% = 2件，设抽到的次品数为X,则抽到1件1 9次品的概率是P(X= 1) = CCC8选A.答案：A6. —盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X =4)的值为 _________________1 i 解析：“事件X = 4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P(X = 4)=CC27220.7. 若离散型随机变量3的分布列为C. 2P(E 1)=33£A一3627,P(E 2)=c i A!C3 18_ 27,答案:2722019则随机变量E的期望E(3为 ________________ .解析：由题意，x —1—0.15 —0.4—0.35 —0.1,数学期望E(B—0X 0.15+ 1 X 0.4 + 2X 0.35+ 3X 0.1 — 1.4.答案：1.48. (2018沈阳质量监测)某中学根据2005〜2017年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类” “国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2017年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校1的“摄影” “棋类”“国学”三个社团的概率依次为m、1 n已知三个社团他1 3都能进入的概率为24，至少进入一个社团的概率为4，且m>n.(1) 求m与n的值；⑵该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.1 _13mn—24解析：⑴依题意得‘ C ，1 3J- 1-m 1-3 1-n — 41m—2解得‘.n—1(2) 设该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X,则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6.12 3 1而P(X—0)—产^x 4—4；12 3 1P(X—1)—2X3X4—4；113 1 p(x-2)—2X3X4—1；12 1113 5P(X 二 3戶2X 2X 4+ 2X 3X 旷 24；1 1 1 P(X = 6) = 2X 3X 4 = X 的分布列为:111 23于是，E (X )= 0X 4+1X 1+2X 8+ 3X 24+ 4X 5 X 24+ 6 X 24=139. 一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件做检验， 这4件产品中优质品的件数记为n.如果n = 3,再从这批产品中任取4件检验， 若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n = 4,再从这批产品中任取1件做检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检 验.1假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为 £且 各件产品是否为优质品相互独立. (1) 求这批产品通过检验的概率；(2) 已知每件产品的检验费用为 100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批 产品作质量检验所需的费用记为 X(单位：元)，求X 的分布列及数学期望.解析：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4 件产品全是优质品为事件 A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件 B 1，第 二次取出的1件产品是优质品为事件B 2,这批产品通过检验为事件 A ,依题意有 A = (A 1B 1) U (A 2B 2),且 A 1B 1 与 A 2B 2 互斥，4 111所以 P(A)= P(A 1 B 1) + P(A 2B 2)= P(A 1)P(B 1 A 1) + P(A 2)P(B 2&)=届X 亦 + ^X ?= _3 64.⑵X 可能的取值为400,500,800,并且p (x = 4)=2X 3X 4= 112；P(X = 5) = *x 3X 1 1 4一24'124.4 1 11 11P(X = 400)= 1-仍—仍二祀，P(X = 500) =厉，P(X = 800) = / 所以X 的分布列为11 1 1 E(X) = 4= 506.25.1 .若随机变量E 的分布列为其中m € (0,1),贝U 下列结果中正确的是() 3A . E( 3 = m , D( 3 = nB. E( 3 = m , D( 3 = n 22C. E( 3 = 1 — m , D( 3 = m — mD. E( 3 = 1 — m , D( 3 = m 2解析：由分布列可知，随机变量 3服从两点分布，故E( 3 = n = 1 — m , D( 3 = n(1 —n) = (1 — m)m = m — m 2,故选 C. 答案：C2. 设X 为随机变量，X 〜B n , 1，若随机变量X 的数学期望E(X) = 2,则P(X =2)等于() A 80 B 13 A .243 B.243 C 4 D 13 C.243 D.16解析：因为X 〜B(n , p)所以E(X)= np.由殳=2,得n = 6,即X 〜B 6, £，所以2^ 1 2 ▽彳 1 6— 2 80P(X= 2) = C 6X3 X 1 — 3 = 243-答案：A 3.50个乒乓球中， 合格品为45个，次品为5个，从这50个乒B 组一一能力提升练乓球中任取3 个，出现次品的概率是()C 3 A^3- C 50 C 45c . 1 —疋C 50解析：出现次品，可以是一个，两个或是三个，与其对立的是：都是合格品，都答案：c2 1 44. 已知X 是离散型随机变量，P(X = 1) = 3, P (X = a)二3,且E(X)二3,贝U D(2X —1)等于 ________________ .2 1 4 解析：由已知及离散型随机变量分布列的性质，得1 x 3+ a x - = 3，解得a = 2,••• D(2X — 1) = 4D(X) = 9. 8 答案：9 5. 近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2.5就是其中一个指标.PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.PM2.5日均 值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35〜75微克/立方米之间空气质量 为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市 2017年10月1日至10 日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示. 的天数，求E 的分布列及期望.解析：⑴记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A , 2 + 4 3P(A)二 io = 5.(2)记“这2天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级 ”为事件B , C 1C 4 8P(B)二 c i 二1 求某两人选择同一套餐的概率；c 1 2 3+ c i + c 3 B. C O（4^2 2 D （X ）= 1 — 4x 2+⑶E的可能值为0,1,2,3,~ c、 C6 1 八C e C4 1P&0)= CV6, P& 1) =CCT二2，- c6 C2 3 〜c、C3 1P(E2)=贡二10, P(E3)=C10二30.其分布列为：1 , 1 c 3 c 1 6E(B 二o x 1+ 1x 2+ 2X10+ 3X 30二5.6. (2018长春模拟)每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元.根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.2 若用随机变量X表示某两人所获优惠金额的总和，求X的分布列和数学期望.解析：(1)由题意可得某两人选择同一套餐的概率为⑵由题意知某两人可获得优惠金额 X 的可能取值为400,500,600,700,800,1 000.1 1 1 p (x 二 400)=1X 沪 64，1 1 3 6 P(X = 500)= C 2X 8X 8=64，3 3 9 P (x = 600)=3X 8=64，1118P(X = 700)=C 2X 8X 2=64，1 1 3 24P(X = 800)=C 2X 2X 8=64， 1 1 16 P(X = 1 000)=2X 2=64.综上可得X 的分布列为：故 E (X )=400X 64 + 500X 64+600X 64+700X 64 + 800X 建+ 1 000X £=775(元).(1) 在此期间的某天，一外地游客来张掖市旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率； (2) 某游客在此期间有2天在该市旅游，这2天该市的PM2.5监测数据均未超标， 请计算出这2天空气质量恰好有一天为一级的概率；(3) 从所给10天的数据中任意抽取3天数据，记E 表示抽到PM2.5监测数据超标 P 二41+占1+注注 8 8 2 2 8 813 32.。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第十章 第六节 几何概型
课时作业 A 组——基础对点练1．在区间[0,1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为( ) A.34 B.23 C.13D.14解析：因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0<4x －3≤1，即34<x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14，故选D. 答案：D2．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是( )A.34B.23C.12D.13解析：设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A ，则P (A )＝45＋5－2040＋5＋45＝13，选D.答案：D3．在棱长为3的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到正方体各面的距离都不小于1的概率为( ) A.127 B.2627 C.827D.18解析：正方体中到各面的距离都不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V 1＝13＝1，而原正方体的体积为V ＝33＝27，故所求的概率P ＝V 1V ＝127. 答案：A4．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB ＝( ) A.12 B.14 C.32D.74解析：由已知，点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点，由勾股定理可得AB 2＝(34AB )2＋AD 2，解得(AD AB )2＝716，即AD AB ＝74，故选D. 答案：D5．(2018·武汉市调研)在长为16 cm 的线段MN 上任取一点P ，以MP ，NP 为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于60 cm 2的概率为( ) A.14 B.12 C.13D.34解析：设MP ＝x ，则NP ＝16－x ，由S ＝x (16－x )>60⇒x 2－16x ＋60<0，(x －6)(x －10)<0⇒6<x <10，所以P ＝416＝14. 答案：A6．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上随机取一个数x ，则cos πx 的值介于22与32之间的概率为( )A.13 B.14 C.15D.16解析：区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12的长度为1，满足cos πx 的值介于22与32之间的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－16∪⎝ ⎛⎭⎪⎫16，14，区间长度为16，由几何概型概率公式得P ＝161＝16.答案：D7．为了测量某阴影部分的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷600个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此可以估计阴影部分的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为13，所以阴影部分的面积约为9×13＝3. 答案：B8.如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( ) A.16 B.14 C.38D.12解析：因为f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1,0)，所以C 点坐标为(1,2)，D点坐标为(－2,2)，A 点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P ＝326＝14. 答案：B9．(2017·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是()A.14B.13C.12D.23解析：如图所示，设点M 是BC 边的中点，因为PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C.答案：C10．设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R)，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1πD.14－12π解析：复数|z |≤1对应的区域是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y ≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足y ≥x 的概率为14π－12π×12＝14－12π，故选D. 答案：D11．(2017·郑州模拟)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为 ．解析：作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24. 答案：π2412．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝ .解析：由几何概型知56＝m －(－2)6，解得m ＝3.答案：313．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为 ．解析：由题意知0≤a ≤1，事件“3a －1>0”发生时，a >13且a ≤1，取区间长度为测度，由几何概型的概率公式得其概率P ＝1－131＝23. 答案：2314．若在区间[－4,4]内随机取一个数m ，在区间[－2,3]内随机取一个数n ，则使得方程x 2＋2mx －n 2＋4＝0有两个不相等的实数根的概率为 ． 解析：∵方程x 2＋2mx －n 2＋4＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，即(2m )2－4(－n 2＋4)>0，m 2＋n 2>4，总的事件的集合Ω＝{(m ，n )|－4≤m ≤4，－2≤n ≤3}，∴Ω所表示的平面区域(如图中矩形)的面积S ＝8×5＝40，而满足条件的事件的集合是{(m ，n )|m 2＋n 2>4，－4≤m ≤4，－2≤n ≤3}，∴图中阴影部分的面积S ′＝40－π×22＝40－4π，由几何概型的概率计算公式得所求事件的概率P ＝S ′S ＝40－4π40＝1－π10. 答案：1－π10B 组——能力提升练1．已知A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤π2}，B 是曲线y ＝sin x 与x 轴围成的封闭区域．若向区域A 内随机投入一点M ，则点M 落入区域B 的概率为( ) A.2π B.4π C.2π3D.4π3解析：区域A 表示圆及其内部，面积为π3，正弦曲线y ＝sin x与x 轴围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S ＝2⎠⎛0π sinx d x ＝－2 cos x ⎪⎪⎪π＝4，由几何概型的概率计算公式可得，随机向区域A 内投一个点M ，则点M 落在区域B 内的概率P ＝4π3，故选D. 答案：D2．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( ) A.78 B.34 C.12D.14解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD 及其内部．要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，则必须有Δ＝4a 2－4(－b 2＋π)≥0，即a 2＋b 2≥π，其表示的区域为图中阴影部分．故所求概率P ＝S 阴影S 正方形＝3π24π2＝34.答案：B3．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( ) A.12－1πB.1πC ．1－2π D.2π解析：设OA ＝OB ＝r ，则两个以r 2为半径的半圆的公共部分面积为2[14π·(r 2)2－12×(r 2)2]＝(π－2)r 28，两个半圆外部的阴影部分的面积为14πr 2－[12π(r 2)2×2－(π－2)r 28]＝(π－2)r 28，所以所求概率为2×(π－2)r 2814πr 2＝1－2π. 答案：C4．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( ) A ．p 1<p 2<12 B ．p 2<12<p 1 C.12<p 2<p 1D ．p 1<12<p 2解析：如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE ，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12，事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于 12，故p 2>12，则p 1<12<p 2，故选D.答案：D5.在底和高等长的锐角三角形中有一个内接矩形，矩形的一边在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点落入矩形内的最大概率为( )A.12B.13C.25D.34解析：设矩形长为x ，宽为y ，则x a ＝a －ya ，y ＝a －x ，S 矩形＝xy ＝ x (a －x )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a －x 22＝a 24，其概率的最大值为(S 矩形)max S △＝12.故选A.答案：A6．(2018·太原模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝1，直线l ：y ＝k (x ＋2)，在[－1,1]上随机选取一个数k ，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( ) A.12 B.2－22 C.3－33D.2－32解析：若直线l ：y ＝k (x ＋2)与圆C ：x 2＋y 2＝1相离，则圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝2|k |k 2＋1＞1，又k ∈[－1,1]，所以－1≤k <－33或33＜k ≤1，所以事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为2－2332＝3－33，故选C. 答案：C7．已知A (2,1)，B (1，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，动点P (a ，b )满足0≤OP →·OA →≤2，且0≤OP →·OB →≤2，则动点P 到点C 的距离大于14的概率为( ) A ．1－5π64 B.5π64 C ．1－π16D.π16解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧0≤2a ＋b ≤2，0≤a －2b ≤2，目标函数⎝ ⎛⎭⎪⎫a －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋152>14表示以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15为圆心，半径为14的圆外．画出可行域如图所示，可行域的面积为45，可行域内的圆外面积为45－π16，故概率为45－π1645＝1－5π64.故选A. 答案：A8．已知x ，y 都是区间[0，π2]内任取的一个实数，则使得y ≤sin x 的取值的概率是 ( ) A.4π2 B.2π C.12D.2π2解析：事件的度量为函数y ＝sin x 的图像在[0，π2]内与x 轴围成的图形的面积，即则事件发生的概率为P ＝1π2×π2＝4π2，故选A.答案：A9．运行如图所示的程序框图，如果在区间[0，e]内任意输入一个x 的值，则输出的f (x )值不小于常数e 的概率是( )A.1eB ．1－1eC ．1＋1eD.1e ＋1解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，0≤x ≤1，ln x ＋e ，1<x ≤e ，如图所示，当1<x ≤e时，f (x )>e ，故输出的f (x )值不小于常数e 的概率是e －1e ＝1－1e ，故选B. 答案：B10．在区间[1,5]和[2,4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732D.3132解析：∵x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32，∴a >b >0，a <2b . 它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为 P ＝S 阴影S 矩形＝1－12×(1＋3)×2＋12×12×12×4＝1532，故选B.答案：B11.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分 (曲线C 的方程为x 2－y ＝0)的点的个数的估计值为( )A ．5 000B ．6 667C ．7 500D ．7 854 解析：S 阴影＝S 正方形－⎠⎛01x 2d x ＝1－13＝23，所以有23＝S 阴影S 正方形＝n 10 000，解得n ≈6 667，故选B.答案：B12．已知O ，A ，B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2 km 处，B 地在O 地正北方向2 km 处，某测绘队员在A ，B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，距离其不超过 3 km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( )A.12B.22 C ．1－32 D ．1－22解析：在等腰直角三角形OAB 中，以O 为圆心，3为半径的圆截AB 所得的线段长为2，而|AB |＝22，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1－222＝1－22，故选D.答案：D13．一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为 ．解析：如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为12×5×12＝30，阴影部分的面积为12×π×22＝2π，所以其概率为2π30＝π15.1514．(2018·南昌质检)在边长为2的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD 中随机产生了10 000个点，落在不规则图形M 内的点数恰有2 000个，则在这次模拟中，不规则图形M 的面积的估计值为 ．解析：由题意，因为在正方形ABCD 中随机产生了10 000个点，落在不规则图形M 内的点数恰有2 000个，所以概率P ＝2 00010 000＝15.∵边长为2的正方形ABCD 的面积为4，∴不规则图形M 的面积的估计值为15×4＝45.答案：4515．(2018·武汉市模拟)在区间[－1,1]上随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x 2－1的概率为 ．解析：由题意可得，在区间[－1,1]上随机取两个实数x ，y ，对应的区域是边长为2的正方形，如图，面积为4，满足y ≥x 2－1的区域为图中阴影部分，面积为＝∴满足y ≥x 2－1的概率P ＝1034＝56.616．若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为 ．解析：对于直线方程(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0，令x ＝0，得y ＝33－m ；令y ＝0，得x ＝3m ＋2，由题意可得12·|3m ＋2|·|33－m|<98，因为m ∈(0,3)，所以解得0<m <2，由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是23.答案：23。
2019年人教版A版高三数学(理)高考一轮复习9.4 随机事件的概率教学设计及答案
第四节随机事件的概率事件与概率了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．了解两个互斥事件的概率加法公式．知识点一概率与频率1．在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．我们把这个常叫作随机事件A的概率，记作P(A)．2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．3．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.易误提醒易将概率与频率混淆，频率随着试验次变而变，而概率是一个常．[自测练习]1．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 解析：①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：02．某城市2015年的空气质量状况如下表所示：为良；100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2015年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2015年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35. 答案：35知识点二 互斥事件和对立事件易误提醒互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．[自测练习]3．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”．A．①②B．①③C．②③ D．①②③解析：从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．4．运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )A.310B. 5 8C.710D. 2 5解析：从1,2,3,4,5中任取三个的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝310.答案：A考点一事件的关系|1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇点，事件B表示向上的一面出现的点不超过3，事件C表示向上的一面出现的点不小于4，则( )A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件解析：根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点1或3}，事件A，B不互斥也不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．2．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件． 答案：A3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡解析：至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.答案：A集合法判断互斥事件与对立事件的方法1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．2．事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．考点二 随机事件的概率|(2015·高考陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下： 日期1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴日期16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率． [解] (1)在容量为30的样本中，不下雨的天是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为1315. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78. 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.1．某中学部分学生参加全国高中学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如图所示)，则该中学参加本次学竞赛的人为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．解析：由题图可知，参加本次竞赛的人为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为1432＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.答案：32 0.437 5考点三 互斥事件与对立事件的概率|某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C .求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．[解] (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120. (2)因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11 000＋1100＋120＝611 000. 故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)P (A ∪B )＝1－P (A ＋B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P (A )＝1－P (A )求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解：记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.31.正难则反思想求互斥事件的概率【典例】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)[思路点拨] 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．[解] (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)． (2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110. P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710. [思想点评] (1)要准确解题意，善于从图表信息中提炼据关系，明确字特征含义．(2)正确判定事件间的关系，善于将A 转为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．(3)需准确解题意，特别留心“至多…”“至少…”“不少于…”等语句的含义．[跟踪练习] 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.答案：CA组考点能力演练1．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么( ) A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：根据对立事件与互斥事件的关系知，甲是乙的必要但不充分条件．答案：B2．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )A．0.5 B．0.3C．0.6 D．0.9解析：依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.答案：A3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析：A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系．故选D.答案：D4．(2016·云南一检)在2,0,1,5这组据中，随机取出三个不同的，则字2是取出的三个不同的中位的概率为( )A.34B.58C.12D.14解析：分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12. 答案：C5．(2015·孝感二模)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝36＝12. 答案：A6．(2016·温州十校联考)记一个两位的个位字与十位字的和为A .若A 是不超过5的奇，从这些两位中任取一个，其个位为1的概率为________．解析：根据题意，个位字与十位字之和为奇且不超过5的两位有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为29. 答案：297．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是________．解析：设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A 、B 、C ，由条件知P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.65，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.6，又P (A ∪B )＝1－P (C )，∴P (C )＝0.35，∴P (B )＝0.25.答案：0.258．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.答案：19289．近年，某市为促进生活垃圾的分类处，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，据统计如下(单位：吨)：(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23. (2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.10．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人及相应的概率如下：(2)至少3人排队等候的概率是多少？解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.B组高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.2．(2015·高考北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2. (2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3. (3)与(1)同，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1. 所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．。
2019版一轮优化探究文数(苏教版)：第十一章 第四节 随机事件的概率 Word版含解析
一、填空题 1．给出关于满足AB 的非空集合A 、B 的四个命题：①若任取x ∈A ，则x ∈B 是必然事件； ②若任取x ∉A ，则x ∈B 是不可能事件； ③若任取x ∈B ，则x ∈A 是随机事件； ④若任取x ∉B ，则x ∉A 是必然事件．其中正确的命题是________．(把你认为正确的命题序号都填上) 解析：∵A B ，∴A 中的任一元素都是B 中的元素， 而B 中至少有一个元素不在A 中． 因此①正确，②错误，③正确，④正确． 答案：①③④2．抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率之和为________． 解析：出现奇数点或2点的事件为A ∪B . P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝46＝23. 答案：233．在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：解析：P ＝1－(0.1＋0.16)＝0.74. 答案：0.744．已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8,0.12,0.05，则这台纺纱机在1小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为______和________．解析：P 1＝0.8＋0.12＋0.05＝0.97.P 2＝1－P 1＝1－0.97＝0.03. 答案：0.97 0.035．三张卡片上分别写有字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．解析：记写有字母E 的两张卡片分别为E 1，E 2，则三张卡片随机排成一行的所有可能情况为BE 1E 2E 2E 1，E 1BE 2E 2B ，E 2BE 1E 1B ，共6种，其中三张卡片恰好排成英文单词BEE 的事件个数为2，故所求的概率P ＝26＝13. 答案：136．有编号为A 1，A 2，…，A 10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取1个，则这个零件为一等品的概率为________． (2)从一等品零件中，随机抽取2个，则这2个零件直径相等的概率为________． 解析：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．设“从10个零件中，随机抽取1个为一等品”为事件A ，则P (A )＝610＝35.(2)“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B )的所有可能结果有：{A 1，A 4}，{A 1， A 6}，{A 4，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 5}，共有6种，所以P (B )＝615＝25. 答案：35 257．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对产品抽查，抽得正品的概率为________．解析：1－0.03－0.01＝0.96.答案：0.968．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率为________．解析：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”，当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包括9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. 答案：349．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，从中取出2粒都是白子的概率是1235，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为17＋1235＝1735. 答案：1735 二、解答题10．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：(1)(2)若派出医生最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y 、z 的值． 解析：(1)由派出医生不超过2人的概率为0.56，得 0．1＋0.16＋x ＝0.56，。
频率与概率课时作业2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册 第十章概率
课时作业频率与概率[练基础]1．“某彩票的中奖概率为11 000”意味着() A．买1 000张彩票就一定能中奖B．买1 000张彩票中一次奖C．买1 000张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性是11 0002．关于天气预报中的“某地降水概率为10%”，下列解释正确的是()A．有10%的区域降水B．10%太小，不可能降水C．降水的可能性为10%D．是否降水不确定，10%没有意义3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示未命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A．0.35 B．0.25C．0.20 D．0.154．利用简单抽样法抽查某校150名男学生，其中身高为1.65米的有32人，若在此校随机抽查一名男学生，则他身高为1.65米的概率大约为__________(保留两位小数)．5．一个袋中装有一定数量差别较大的白球和黑球，从中任取一球，取出的是白球，估计袋中数量少的球是________．6．高一(二)班张明同学投篮的命中率为0.6，他和同学进行投篮比赛，每人投10次，张明前4次都没有投中，那么剩下的6次一定能投中吗？如何理解命中率为0.6?[提能力]7．(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是()A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则甲获胜，向上的点数为偶数则乙获胜B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲获胜，两枚都正面向上则乙获胜C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲获胜，扑克牌是黑色的则乙获胜D．甲、乙两人各写一个数字1或2，若两人写的数字相同则甲获胜，否则乙获胜8．从5 000袋小包装食品中抽出100袋进行质量检测，其中质量在90～95克(不含95克)之间的有40袋，质量在95～100克(不含100克)之间的有30袋，质量在100～105克(不含105克)之间的有10袋，质量在105～110克(不含110克)之间的有20袋，由此可估计在这5 000袋小包装食品中质量在95～105克(不含105克)之间的有________袋．9．种子公司在春耕前为了支持农业建设，采购了一批稻谷种子，进行了种子发芽试验．在统计的2 000粒种子中有1 962粒发芽．(1)计算“种子发芽”这个事件发生的频率；(2)若用户需要该批稻谷种芽1 00 000粒，需采购该批稻谷种子多少千克(每千克约1 000粒)?[战疑难]10．假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。
专题11.4 随机事件的概率(练)(原卷版)
专题11.4 随机事件的概率1. （河北省石家庄二中2019届期末）下列说法正确的是( ) A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C.随机试验的频率与概率相等D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%2. （辽宁省大连一中2019届期中）有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A.互斥但非对立事件B.对立事件C.相互独立事件D.以上都不对3. （湖南省郴州二中2019届期末）设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A.两个任意事件B.互斥事件C.非互斥事件D.对立事件4. （江苏省无锡一中2019届期中）某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A.0.95B.0.97C.0.92D.0.085. （河南省鹤壁一中2019届期末）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17B.1235C.1735D.1 6. （山西省大同一中2019届期中）若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫54，2 B.⎝⎛⎭⎫54，32 C.⎣⎡⎦⎤54，32D.⎝⎛⎦⎤54，437. （齐齐哈尔一中2019届期末）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________.8.(北京东城区2019届调研)经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是________.9. （湖北省黄石一中2019届期末）黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：已知同种血型的人可以互相输血，O 型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B 型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？10. （浙江省宁波一中2019届期中）某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：(1)记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”， 0求P (A )的估计值；(2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P (B )的估计值； (3)求续保人本年度平均保费的估计值.11. （吉林省吉林一中2019届模拟）掷一个骰子的试验，事件A 表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若B －表示B 的对立事件，则一次试验中，事件A ∪B －发生的概率为( )A.13B.12C.23D.5612. （安徽省芜湖一中2019届模拟）如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )A.25B.710C.45D.91013. （福建省莆田一中2019届模拟）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )A.134石B.169石C.338石D.1 365石14. （广东省深圳一中2019届模拟）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是( )A.35B.12C.310D.1515. （江西省赣州一中2019届模拟）若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y ，则x＋y 的最小值为________.16. （山东省青岛二中2019届模拟）某城市2018年的空气质量状况如表所示：其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50＜T ≤100时，空气质量为良，100＜T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2018年空气质量达到良或优的概率为________.17. （广东省惠州一中2019届模拟）一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为715，取得两个绿玻璃球的概率为115，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________.18. （陕西省宝鸡一中2019届模拟）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率.19. （广西省贵港一中2019届模拟）某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？20. （四川省绵阳中学2019届模拟）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：(1)(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.1.(2018·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.72.(2017·高考全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．。
【创新方案】2019高考数学(理)一轮复习配套文档：第10章 第4节 随机事件的概率
第四节 随机事件的概率【考纲下载】1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率意义以及频率与概率的区别． 2．了解两个互斥事件的概率加法公式．1．事件的分类2．频率和概率(1)在相同的条件S 下重复n 次实验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A)＝n An为事件A 出现的频率．(2)对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A 的概率，简称为A 的概率．3．事件的关系与运算4.(1)概率的取值范围：[0,1]． (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．若事件A 与B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件．P(A ∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．1．概率和频率有什么区别和联系？提示：频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越大时，频率也越来越向概率接近，只要次数足够多，所得频率就近似地看作随机事件的概率．2．互斥事件和对立事件有什么区别和联系？提示：互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而对立事件则是必有一个发生，但不能同时发生．所以两个事件互斥但未必对立；反之两个事件对立则它们一定互斥．1．下列事件中，随机事件的个数为( ) ①物体在只受重力的作用下会自由下落； ②方程x 2＋2x ＋8＝0有两个实根；③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次； ④下周六会下雨．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①为必然事件，②为不可能事件，③④为随机事件．2．(教材习题改编)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．至少有一个红球与至少有一个白球 D ．恰有一个红球与恰有两个红球解析：选D 对于A 中的两个事件不互斥，对于B 中的两个事件互斥且对立，对于C 中的两个事件不互斥，对于D 中的两个事件互斥而不对立．3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8解析：选B 由对立事件的概率可求该同学的身高超过175 cm 的概率为 1－0.2－0.5＝0.3. 4．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是________．解析：乙不输的事件为两人和棋或乙获胜，因此乙不输的概率为12＋13＝56.答案：565．给出下列三个①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 其中错误的解析：①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：3[例1] (1)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示“向上的一面出现奇数点”，事件B 表示“向上的一面出现的数不超过3”，事件C 表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则( )A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件(2)判断下列给出的每对事件是互斥事件还是对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花各10张，且点数都为1～10)中，任取一张．①“抽出红桃”与“抽出黑桃”； ②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；③“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．[自主解答] (1)A∩B＝{出现点数1或3}，事件A ，B 不互斥更不对立；B∩C＝∅，B ∪C ＝Ω(Ω为所有基本事件的全集)，故事件B 、C 是对立事件．(2)①是互斥事件，不是对立事件．原因：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．②既是互斥事件，又是对立事件．原因：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是不可能同时发生的，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．③不是互斥事件，也不是对立事件．原因：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．[答案] (1)D 【方法规律】 1．互斥事件的理解(1)互斥事件研究的是两个事件之间的关系． (2)所研究的两个事件是在一次试验中所涉及的．(3)两个事件互斥是从“试验的结果不能同时出现”来确定的． 2．从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事件A 的对立事件A －所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集.从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件： (1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”； (2)“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”； (3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”； (4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”．解：任取3只球，共有以下4种可能结果：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”．(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能两个都不发生，故不是对立事件．(2)“取出2只红球1只白球”，与“取出3只红球”不可能同时发生，是互斥事件，可能同时不发生，故不是对立事件．(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有一只白球”不可能同时发生，故互斥．其中必有一个发生，故对立．(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同时发生，故不是互斥事件，也不可能是对立事件．1．随机事件的频率与概率有着一定的联系，在统计学中，可通过计算事件发生的频率去估算事件的概率，因此，它们也成为近几年高考的2．高考对该部分内容的考查主要有以下几个 (1)列出频率分布表；(2)由频率估计概率；(3)由频率计算某部分的数量．[例2] (2018·湖南高考)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；(2)[自主解答] (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：所种作物的平均年收获量为51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615＝46.(2)由(1)知，P(Y＝51)＝215，P(Y＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝215＋4 15＝25.【互动探究】若本例中的条件不变，试估计年收获量介于[42,48]之间的可能性．解：依题意知：法一：P(42≤x≤48)＝P(x＝42)＋P(x＝45)＋P(x＝48)＝315＋615＋415＝1315.法二：P(42≤x≤48)＝1－P(x＝51)＝1－215＝1315.随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略(1)补全或写出频率分布表．可直接依据已知条件，逐一计数，写出频率．(2)由频率估计概率．可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率．(3)由频率估计某部分的数值．可由频率估计概率，再由概率估算某部分的数值．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩如下表：(1)(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？解：利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率．(1)射击次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是81100＝0.81，同理可求得下面的频率依次是0.792,0.82，0.82，0.793,0.794,0.807；(2)击中飞碟的频率稳定在0.81，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.[例3] (2018·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：求：(1)至多2(2)至少3人排队等候的概率是多少？[自主解答] 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.【方法规律】求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算． (2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(A )求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．提醒：应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)．某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．解：(1)P(A)＝11 000，P(B)＝101 000＝1100，P(C)＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C. ∵A 、B 、C 两两互斥，∴P(M)＝P(A ∪B ∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P(N)＝1－P(A ∪B)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个难点——对频率和概率的理解(1)依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验，用事件发生的频率近似地作为它的概率，但是，某一事件的概率是一个常数，而频率随着试验次数的变化而变化．(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的．也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A 的概率是事件A 的本质属性．个重点——对互斥事件与对立事件的理解 (1)对于互斥事件要抓住如下特征进行理解： ①互斥事件研究的是两个事件之间的关系； ②所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；③两个事件互斥是从试验的结果中不能同时出现来确定的．(2)对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且只有一个发生的两个事件，集合A 的对立事件记作A .从集合的角度来看，事件A 所含结果的集合正是全集U 中由事件A 所含结果组成的集合的补集，即A ∪A ＝U ，A∩A ＝∅.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．易误警示(十三)忽视概率加法公式的应用条件致误[典例] 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是16，记事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“向上的点数不超过3”，求P(A ∪B)．[解题指导] 由于A ∪B 中会有出现点数为1点，2点，3点，5点四个互斥事件．因此，可用概率加法公式． [解] 记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A 1，A 2，A 3，A 4，由题意知这四个事件彼此互斥．故P(A ∪B)＝P(A 1)＋P(A 2)＋P(A 3)＋P(A 4)＝16＋16＋16＋16＝23.[名师点评] 1.如果审题不仔细，未对A ∪B 事件作出正确判断，误认为P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，则易出现P(A ∪B)＝1的错误．2．解决互斥事件的有关问题时，应重点注意以下两点：(1)应用加法公式时，一定要注意其前提条件是涉及的事件是互斥事件． (2)对于事件P(A ∪B)≤P(A)＋P(B)，只有当A 、B 互斥时，等号成立．[全盘巩固]1．给出以下结论： ①互斥事件一定对立； ②对立事件一定互斥； ③互斥事件不一定对立；④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率； ⑤事件A 与B 互斥，则有P(A)＝1－P(B)． 其中正确A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 对立必互斥，互斥不一定对立，所以②③正确，①错；又当A ∪B ＝A 时，P(A ∪B)＝P(A)，所以④错；只有A 与B 为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，所以⑤错．2．从存放号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：A ．0.53B ．0.5C ．0.47D ．0.37解析：选A 取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.3．某种产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件产品是正品(甲级品)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：选C 记“抽检一件产品是甲级品”为事件A ，“抽检一件产品是乙级品”为事件B ，“抽检一件产品是丙级品”为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而抽检一件产品是正品(甲级品)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.4．从16个同类产品(其中有14个正品，2个次品)中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是( ) A ．三个都是正品 B ．三个都是次品C ．三个中至少有一个是正品D ．三个中至少有一个是次品解析：选C 16个同类产品中，只有2件次品，抽取三件产品，A 是随机事件，B 是不可能事件，C 是必然事件，D 是随机事件，又必然事件的概率为1，故C 正确．5．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为： 162 153 148 154 165 168 172 171 173 150 151 152 160 165 164 179 149 158 159 175根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率为( )A.25B.12C.23D.13解析：选A 从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的学生有8人，频率为25，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率为25.6．(2018·舟山模拟)在一次随机试验中，彼此互斥的事件A 、B 、C 、D 的概率分别为0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件 C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件解析：选D 因为P(A)＝0.2，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3，P(D)＝0.3，且P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，所以A 与B ＋C ＋D 是互斥，也是对立事件．7．一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为________． 解析：“从中任取5个球，至少有1个红球”是必然事件，必然事件发生的概率为1. 答案：18．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知P(A)＝12，P(B)＝16，则出现奇数点或2点的概率为________．解析：由题意知“出现奇数点”的概率是事件A 的概率，“出现2点”的概率是事件B 的概率，事件A ，B 互斥，则“出现奇数点或2点”的概率为P(A)＋P(B)＝12＋16＝23.答案：239．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析：P ＝1－0.2×0.25＝0.95. 答案：0.9510．假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据频数分布图可得寿命大于200小时的两种品牌产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529. 11. (2018·通化模拟)有A 、B 、C 、D 、E 五位工人参加技能竞赛培训．现分别从A 、B 二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．用如图所示茎叶图表示这两组数据．(1)A 、B 二人预赛成绩的中位数分别是多少？(2)现要从A 、B 中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由；(3)若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A 、B 二人中至少有一人参加技能竞赛的概率．解：(1)A 的中位数是83＋852＝84，B 的中位数是84＋822＝83. (2)派A 参加比较合适．理由如下： x A ＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85， x B ＝18(73＋79＋81＋82＋84＋88＋95＋98)＝85， s 2A ＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，s 2B ＝18[(73－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(95－85)2＋(98－85)2]＝60.5.∵x A ＝x B ，s 2A <s 2B ∴A 的成绩较稳定，派A 参加比较合适．(3)任派两个(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)共10种情况；A 、B 两人都不参加有(C ，D)，(C ，E)，(D ，E)3种．至少有一个参加的对立事件是两个都不参加，所以P ＝1－310＝710. 12．(2018·北京高考)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨的生活垃圾，数据统计如下(单位：吨).(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．注：s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数 解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23. (2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A )≈400＋240＋601 000＝0.7，所以P(A)≈1－0.7＝0.3. (3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值．因为x －＝13(a ＋b ＋c)＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2] ＝80 000.[冲击名校]袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率为512，得到黄球或绿球的概率为512，求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少？ 解：记“得到红球”为事件A ，“得到黑球”为事件B ，“得到黄球”为事件C ，“得到绿球”为事件D ，事件A ，B ，C ，D 显然彼此互斥，则由题意可知，P(A)＝13，①P(B ∪C)＝P(B)＋P(C)＝512，②P(C ∪D)＝P(C)＋P(D)＝512，③由事件A 和事件B ∪C ∪D 是对立事件可得P(A)＝1－P(B ∪C ∪D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]，即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－13＝23，④②③④联立可得P(B)＝14，P(C)＝16，P(D)＝14.即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14，16，14.。
2019北师大版同步优化探究理数练习：第十章 第四节 随机事件的概率含解析
课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·昆明市检测)AQI(Air Quality Index ，空气质量指数)是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或污染的程度．AQI 共分六级，从一级优(0～50)，二级良(51～100)，三级轻度污染(101～150)，四级中度污染(151～200)，直至五级重度污染 (201～300)，六级严重污染(大于300)．如图是昆明市2017年4月份随机抽取10天的AQI 茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份空气质量优的天数为( ) A ．3 B ．4 C ．12D ．21解析：从茎叶图知10天中有4天空气质量为优，所以空气质量为优的频率为410＝25，所以估计昆明市2018年4月份空气质量为优的天数为30×25＝12，故选C. 答案：C2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：A ．0.35B ．0.45C ．0.55D ．0.65解析：数据落在[10,40)的频率为2＋3＋420＝920＝0.45，故选B. 答案：B3．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( ) A ．0.20 B ．0.60 C ．0.80D ．0.12解析：“能乘上所需要的车”记为事件A，则3路或6路车有一辆路过即事件发生，故P(A)＝0.20＋0.60＝0.80.答案：C4．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝. 解析：∵A，B为互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，∴P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.答案：0.35．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为．解析：记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A，B，C.则A，B，C彼此互斥，由题意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.答案：0.966．在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：为．解析：由成绩分布表知120分及以上的人数为12，所以所求概率为1240＝0.3.答案：0.37．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值．解析：记事件“在竞赛中，有k人获奖”为A k(k∈N，k≤5)，则事件A k彼此互斥．(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56.∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04. 由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.解得y＝0.2.8．某校在高三抽取了500名学生，记录了他们选修A、B、C三门课的情况，如下表：(1)(2)若某高三学生已选修A门课，则该学生同时选修B、C中哪门课的可能性大？解析：(1)由频率估计概率得所求概率P＝120＋70＋150500＝0.68.(2)若某学生已选修A门课，则该学生同时选修B门课的概率为P(B)＝70＋50120＋70＋50＋50＝12 29，选修C 门课的概率为P (C )＝120＋50120＋70＋50＋50＝1729，因为1229<1729，所以该学生同时选修C 门课的可能性大．B 组——能力提升练1．(2018·济宁模拟)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12 [35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5,43.5)的概率约是( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：[27.5,43.5)的频数为11＋12＋7＋3＝33，概率3366＝12. 答案：C2．(2018·福州市质检)在检测一批相同规格共500 kg 航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批航空用耐热垫片中非优质品约为( ) A ．2.8 kg B ．8.9 kg C ．10 kgD ．28 kg解析：由题意，可知抽到非优质品的概率为5280，所以这批航空用耐热垫片中非优质品约为500×5280＝12514≈8.9 kg ，故选B. 答案：B3．现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为( ) A.13B.12C.23D.1136解析：将这枚骰子先后抛掷两次的基本事件总数为6×6＝36(个)， 这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，共11个，∴这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为P ＝1136.故选D. 答案：D4．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝ .解析：将事件A ＋B 分为：事件C “朝上一面的数为1、2”与事件D “朝上一面的数为3、5”．则C 、D 互斥，则P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A ＋B )＝P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝23. 答案：235．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 ． 解析：根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 6947 4698 8045 9597 7424，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为820＝0.4. 答案：0.46．假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．解析：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529. 7．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解析：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.。
2019高考数学文一轮分层演练：第10章 概率、统计和统计案例 第1讲 Word版含解析
[学生用书P273(单独成册)]一、选择题1．设事件A ,B ,已知P (A )＝15,P (B )＝13,P (A ∪B )＝815,则A ,B 之间的关系一定为( )A ．两个任意事件B ．互斥事件C ．非互斥事件D ．对立事件解析：选B ．因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B ),所以A ,B 之间的关系一定为互斥事件．故选B ．2．某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0．95B ．0．97C ．0．92D ．0．08解析：选C ．记抽检的产品是甲级品为事件A ,是乙级品为事件B ,是丙级品为事件C ,这三个事件彼此互斥,因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0．92．3．从3个红球、2个白球中随机取出2个球,则取出的2个球不全是红球的概率是( ) A ．110B ．310C ．710D ．35解析：选C ．“取出的2个球全是红球”记为事件A ,则P (A )＝310．因为“取出的2个球不全是红球”为事件A 的对立事件,所以其概率为P (A )＝1－P (A )＝1－310＝710．4．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为9元,被随机分配为1．49元,1．31元,2．19 元,3．40元,0．61元,共5份,供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次, 则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( )A ．12B ．25C ．34D ．56解析：选B ．设事件A 为“甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元”,甲、乙两人抢到红包的所有结果为{1．49,1．31},{1．49,2．19},{1．49,3．40},{1．49,0．61},{1．31,2．19},{1．31,3．40},{1．31,0．61},{2．19,3．40},{2．19,0．61},{3．40,0．61},共10种情况．其中事件A 的结果一共有4种情况,根据古典概型概率计算公式,得P (A )＝410＝25,即甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是25．故选B ．5．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为( ) A ．15B ．25C ．16D ．18解析：选B ．如图,在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点,共有15种选法,其中构成的四边形是梯形的有ABEF ,BCDE ,ABCF ,CDEF ,ABCD ,ADEF ,共6种情况,故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25．6．已知集合M ＝{1,2,3,4},N ＝{(a ,b )|a ∈M ,b ∈M },A 是集合N 中任意一点,O 为坐标原点,则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A ．12B ．13C ．14D ．18解析：选C ．易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑),集合N 中共有16个元素,其中使OA 斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4个,由古典概型知概率为416＝14．二、填空题7．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：空气质量为轻微污染,则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35．答案：358．口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0．42,摸出白球的概率是0．28,若红球有21个,则黑球有________个．解析：摸到黑球的概率为1－0．42－0．28＝0．3．设黑球有n 个,则0.4221＝0.3n ,故n ＝15．答案：159．从2名男生和2名女生中,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生,星期日安排一名女生的概率为________．解析：将2名男生记为A 1,A 2,2名女生记为B 1,B 2,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动有A 1A 2,A 1B 1,A 1B 2,A 2B 1,A 2B 2,B 1B 2,B 1A 1,B 2A 1,B 1A 2,B 2A 2,B 2B 1,A 2A 1共12种情况,而星期六安排一名男生,星期日安排一名女生共有A 1B 1,A 1B 2,A 2B 1,A 2B 2这4种情况,则其发生的概率为412＝13．答案：1310．现有7名数理化成绩优秀者,分别用A 1,A 2,A 3,B 1,B 2,C 1,C 2表示,其中A 1,A 2,A 3的数学成绩优秀,B 1,B 2的物理成绩优秀,C 1,C 2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A 1和B 1不全被选中的概率为________．解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2,B 2,C 1),(A 2,B 2,C2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2)．设“A 1和B 1不全被选中”为事件N ,则其对立事件N －表示“A 1和B 1全被选中”,由于N －＝{(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2)},所以P (N －)＝212＝16,由对立事件的概率计算公式得P (N )＝1－P (N －)＝1－16＝56．答案：56三、解答题11．如图,从A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2,现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查,调查结果如下：(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人),所以用频率估计相应的概率为44÷100＝0．44．(2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为121212择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0．1＋0．2＋0．3＝0．6, P(A2)＝0．1＋0．4＝0．5,因为P(A1)＞P(A2),所以甲应选择L1．同理,P(B1)＝0．1＋0．2＋0．3＋0．2＝0．8,P(B2)＝0．1＋0．4＋0．4＝0．9,因为P(B1)＜P(B2),所以乙应选择L2．12．根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级,对应空气质量指数的六个级别,指数越大,级别越高,说明污染越严重,对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于等于150时,可以进行户外运动；空气质量指数为151及以上时,不适合进行旅游等户外活动,下表是济南市2017年10月上旬的空气质量指数情况：(2)一外地游客在10月上旬来济南旅游,想连续游玩两天,求适合连续旅游两天的概率．解：(1)该试验的基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},基本事件总数n＝10．设事件A为“市民不适合进行户外活动”,则A＝{3,4,9,10},包含基本事件数m＝4．所以P(A)＝410＝2 5,即10月上旬市民不适合进行户外活动的概率为25．(2)该试验的基本事件空间Ω＝{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10)},基本事件总数n ＝9,设事件B 为“适合连续旅游两天的日期”,则B ＝{(1,2),(5,6),(6,7),(7,8)},包含基本事件数m ＝4, 所以P (B )＝49,所以适合连续旅游两天的概率为49．1．某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“ ”表示未购买．(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0．2．(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品,所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0．3．(3)与(1)同理,可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0．2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0．6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0．1,所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大．2．以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法,目前,国内青蒿人工种植发展迅速,调查表明,人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性,现将这三项的指标分别记为x,y,z,并对它们进行量化：0表示不合格,1表示临界合格,2表示合格,再用综合指标ω＝x＋y＋z评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4,则长势为一级；若2≤ω≤3,则长势为二级；若0≤ω≤1,则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况,研究人员随机抽取了10个青蒿人工种植地,得到如下结果：(2)从长势等级为一级的青蒿人工种植地中随机抽取2个,求这2个人工种植地的综合指标ω均为4的概率．解：(1)计算10个青蒿人工种植地的综合指标,可得下表：由上表可知,长势等级为三级的种植地只有A1一个,其频率为110,用样本的频率估计总体的频率,可估计这些种植地中长势等级为三级的个数约为180×110＝18．(2)由(1)可知,长势等级是一级的青蒿人工种植地有A2,A3,A4,A6,A7,A9,共6个,从中随机抽取2个,所有的可能结果为(A2,A3),(A2,A4),(A2,A6),(A2,A7),(A2,A9),(A3,A4),(A3,A6),(A3,A7),(A3,A9),(A4,A6),(A4,A7),( A4,A9),(A6,A7),(A6,A9),(A7,A9),共计15个,综合指标ω＝4的有A2,A3,A6,共3个,则符合题意的可能结果为(A2,A3),(A2,A6),(A3,A6),共3个,故所求概率P＝315＝1 5．。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第十章 第七节 离散型随机变量及其分布列 Word版含解析
课时作业 A 组——基础对点练1．某班有14名学生数学成绩优秀,若从该班随机找出5名学生,其中数学成绩优秀的学生数X ～B (5,14),则E (2X ＋1)＝( ) A.54 B.52 C ．3D.72解析：因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，14,所以E (X )＝54,所以E (2X ＋1)＝2E (X )＋1＝2×54＋1＝72. 答案：D2．已知某离散型随机变量X 服从的分布列如图,则随机变量X 的方差D (X )等于( )A.19 B.29 C.13D.23解析：由m ＋2m ＝1得m ＝13,∴E (X )＝0×13＋1×23＝23,D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×23＝29,故选B.答案：B3．若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8A ．x ≤2 B ．1<x <2 C ．1≤x ≤2D ．1<x ≤2解析：由题中给出的分布列,可读出相应的概率值,则 P (η＝－2)＋P (η＝－1)＋P (η＝0)＋P (η＝1)＝0.8.又P (η<x )＝0.8,则1<x ≤2. 答案：D4．把三个不同的小球,随机放入三个不同的盒子中,设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数,则ξ的数学期望E (ξ)为( ) A.179 B.199 C ．2D.73解析：由题意知ξ的所有可能取值为1,2,3,P (ξ＝1)＝A 3333＝627,P (ξ＝2)＝C 23·A 22·C 2333＝1827, P (ξ＝3)＝C 1333＝327,∴E (ξ)＝1×627＋2×1827＋3×327＝179.故选A. 答案：A5．一批产品共50件,次品率为4%,从中任取10件,则抽到1件次品的概率是( )A.C 12C 948C 1050B.C 12C 950C 1050C.C 12C 1050D.C 948C 1050解析：50件产品中,次品有50×4%＝2件,设抽到的次品数为X ,则抽到1件次品的概率是P (X ＝1)＝C 12C 948C 1050.选A.答案：A6．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒子中任取3个球来用,用完即为旧,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,则P (X ＝4)的值为 ．解析：“事件X ＝4”表示取出的3个球有1个新球,2个旧球,故P (X ＝4)＝C 19C 23C 312＝27220.答案：272207．若离散型随机变量ξ的分布列为则随机变量ξ的期望E (为 ．解析：由题意,x ＝1－0.15－0.4－0.35＝0.1,数学期望E (ξ)＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4. 答案：1.48．(2018·沈阳质量监测)某中学根据2005～2017年期间学生的兴趣爱好,分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团,据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2017年某新生入学,假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m 、13、n ,已知三个社团他都能进入的概率为124,至少进入一个社团的概率为34,且m >n . (1)求m 与n 的值；(2)该校根据三个社团活动安排情况,对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分,对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分,对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望．解析：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧13mn ＝1241－(1－m )(1－13)(1－n )＝34,解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12n ＝14.(2)设该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X ,则X 的值可以为0,1,2,3,4,5,6.而P(X＝0)＝12×23×34＝14；P(X＝1)＝12×23×34＝14；P(X＝2)＝12×13×34＝18；P(X＝3)＝12×23×14＋12×13×34＝524；P(X＝4)＝12×23×14＝112；P(X＝5)＝12×13×14＝124；P(X＝6)＝12×13×14＝124.X的分布列为：于是,E(X)＝0×14＋1×14＋2×18＋3×524＋4×112＋5×124＋6×124＝2312.9．一批产品需要进行质量检验,检验方案是：先从这批产品中任取4件做检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3,再从这批产品中任取4件检验,若都为优质品,则这批产品通过检验；如果n＝4,再从这批产品中任取1件做检验,若为优质品,则这批产品通过检验；其他情况下,这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元),求X的分布列及数学期望．解析：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2,这批产品通过检验为事件A ,依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2),且A 1B 1与A 2B 2互斥,所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝416×116＋116×12＝364.(2)X 可能的取值为400,500,800,并且P (X ＝400)＝1－416－116＝1116,P (X ＝500)＝116,P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为E (X )＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.B 组——能力提升练1．若随机变量ξ的分布列为其中m ∈(0,1),A ．E (ξ)＝m ,D (ξ)＝n 3 B ．E (ξ)＝m ,D (ξ)＝n 2 C ．E (ξ)＝1－m ,D (ξ)＝m －m 2 D ．E (ξ)＝1－m ,D (ξ)＝m 2解析：由分布列可知,随机变量ξ服从两点分布,故E (ξ)＝n ＝1－m ,D (ξ)＝n (1－n )＝(1－m )m ＝m －m 2,故选C. 答案：C2．设X 为随机变量,X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13,若随机变量X 的数学期望E (X )＝2,则P (X ＝2)等于( )A.80243B.13243C.4243D.1316解析：因为X ～B (n ,p )所以E (X )＝np .由n 3＝2,得n ＝6,即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13,所以P (X ＝2)＝C 26×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－136－2＝80243. 答案：A3．50个乒乓球中, 合格品为45个,次品为5个,从这50个乒乓球中任取3个,出现次品的概率是( ) A.C 35C 350B.C 15＋C 25＋C 35C 350 C ．1－C 345C 350D.C 15C 245C 350解析：出现次品,可以是一个,两个或是三个,与其对立的是：都是合格品,都是合格品的概率是C 345C 350,故出现次品的概率是1－C 345C 350.答案：C4．已知X 是离散型随机变量,P (X ＝1)＝23,P (X ＝a )＝13,且E (X )＝43,则D (2X －1)等于 ．解析：由已知及离散型随机变量分布列的性质,得1×23＋a ×13＝43,解得a ＝2, ∴D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－432×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－432×13＝29,∴D (2X －1)＝4D (X )＝89. 答案：895．近年来空气污染是一个生活中重要的话题,PM2.5就是其中一个指标．PM2.5指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市2017年10月1日至10日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．(1)在此期间的某天,一外地游客来张掖市旅游,求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；(2)某游客在此期间有2天在该市旅游,这2天该市的PM2.5监测数据均未超标,请计算出这2天空气质量恰好有一天为一级的概率；(3)从所给10天的数据中任意抽取3天数据,记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求ξ的分布列及期望．解析：(1)记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A,P(A)＝2＋410＝35.(2)记“这2天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B,P(B)＝C12·C14C26＝815.(3)ξ的可能值为0,1,2,3,P(ξ＝0)＝C36C310＝16,P(ξ＝1)＝C26·C14C310＝12,P(ξ＝2)＝C16·C24C310＝310,P(ξ＝3)＝C34C310＝130.其分布列为：E(ξ)＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.6．(2018·长春模拟)每年5月17日为国际电信日,某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠,优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元,选择套餐2的客户可获得优惠500元,选择套餐3的客户可获得优惠300元．根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图,现将频率视为概率．(1)求某两人选择同一套餐的概率；(2)若用随机变量X 表示某两人所获优惠金额的总和,求X 的分布列和数学期望． 解析：(1)由题意可得某两人选择同一套餐的概率为 P ＝18×18＋12×12＋38×38＝1332.(2)由题意知某两人可获得优惠金额X 的可能取值为400,500,600,700,800,1 000. P (X ＝400)＝18×18＝164, P (X ＝500)＝C 12×18×38＝664, P (X ＝600)＝38×38＝964, P (X ＝700)＝C 12×18×12＝864,P (X ＝800)＝C 12×12×38＝2464,P (X ＝1 000)＝12×12＝1664.综上可得X 的分布列为：故E (X )＝400×164＋500×664＋600×964＋700×864＋800×2464＋1 000×1664＝775(元)．。
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课时作业A组——基础对点练1．(2018·昆明市检测)AQI(Air QualityIndex，空气质量指数)是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或污染的程度．AQI共分六级，从一级优(0～50)，二级良(51～100)，三级轻度污染(101～150)，四级中度污染(151～200)，直至五级重度污染(201～300)，六级严重污染(大于300)．如图是昆明市2017年4月份随机抽取10天的AQI茎叶图，利用该样本估计昆明市2018年4月份空气质量优的天数为( )A．3B．4C．12D．21解析：从茎叶图知10天中有4天空气质量为优，所以空气质量为优的频率为410＝25，所以估计昆明市2018年4月份空气质量为优的天数为30×25＝12，故选C.答案：C2．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.65解析：数据落在[10,40)的频率为2＋3＋420＝920＝0.45，故选B.答案：B3．在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )A．0.20 B．0.60C．0.80 D．0.12解析：“能乘上所需要的车”记为事件A，则3路或6路车有一辆路过即事件发生，故P(A)＝0.20＋0.60＝0.80.答案：C4．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝.解析：∵A，B为互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，∴P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3. 答案：0.35．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.0 3，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为．解析：记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A，B，C.则A，B，C彼此互斥，由题意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96.答案：0.966．在一次满分为160分的数学考试中，某班40名学生的考试成绩分布如下：解析：由成绩分布表知120分及以上的人数为12，所以所求概率为1240＝0.3.答案：0.37．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：(1)若获奖人数不超过2(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y、z的值．解析：记事件“在竞赛中，有k人获奖”为A k(k∈N，k≤5)，则事件A k彼此互斥．(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56.∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.解得y＝0.2.8．某校在高三抽取了500名学生，记录了他们选修A、B、C三门课的情况，如下表：(1)试估计该校高三学生在A(2)若某高三学生已选修A门课，则该学生同时选修B、C中哪门课的可能性大？解析：(1)由频率估计概率得所求概率P＝120＋70＋150500＝0.68.(2)若某学生已选修A门课，则该学生同时选修B门课的概率为P(B)＝70＋50120＋70＋50＋50＝1229，选修C门课的概率为P(C)＝120＋50120＋70＋50＋50＝1729，因为1229<1729，所以该学生同时选修C门课的可能性大．B组——能力提升练1．(2018·济宁模拟)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9[23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12[35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3根据样本的频率分布估计，数据落在[27.5,43.5)的概率约是( )A.16 B.13C.12D.23解析：[27.5,43.5)的频数为11＋12＋7＋3＝33，概率3366＝12.答案：C2．(2018·福州市质检)在检测一批相同规格共500kg 航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批航空用耐热垫片中非优质品约为( )A ．2.8 kgB ．8.9 kgC ．10 kgD ．28 kg解析：由题意，可知抽到非优质品的概率为5280，所以这批航空用耐热垫片中非优质品约为500×5280＝12514≈8.9 kg ，故选B.答案：B3．现有一枚质地均匀且表面分别标有1、2、3、4、5、6的正方体骰子，将这枚骰子先后抛掷两次，这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为( )A.13B.12C.23D.1136解析：将这枚骰子先后抛掷两次的基本事件总数为6×6＝36(个)，这两次出现的点数之和大于点数之积包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，共11个，∴这两次出现的点数之和大于点数之积的概率为P ＝1136.故选D.答案：D4．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、2、3、4、5、6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝.解析：将事件A ＋B 分为：事件C “朝上一面的数为1、2”与事件D “朝上一面的数为3、5”．则C 、D 互斥，则P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A ＋B )＝P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝23.答案：235．若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 26168045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为．解析：根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 69474698 8045 9597 7424，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为820＝0.4.答案：0.46．假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．解析：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为1 4 .(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为15 29.7．某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解析：(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.。