高中数学人教版必修2 3.3.2两点间的距离 作业(系列一)
高中数学人教版必修2 3.3.2两点间的距离 作业1
3.3.1-3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离一、选择题1．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5)D ．(4，－3)解析：选B 设对称点坐标为(a ，b )， 满足⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2,5)．2．两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，2 B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－32，2 D.()2，＋∞解析：选C 解出两直线的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫6m －1223＋m 2，6＋4m 3＋m 2， 由交点在第二象限，得⎩⎪⎨⎪⎧6m －1223＋m2＜0，6＋4m3＋m 2＞0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－32，2. 3．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是( ) A ．5 2 B ．2 5 C ．510D ．10 5解析：选C 根据光学原理，光线从A 到B 的距离，等于点A 关于x 轴的对称点A ′到点B 的距离，易求得A ′(－3，－5)． 所以|A ′B |＝2＋32＋10＋52＝510.4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于( ) A ．－2 B ．－12C ．2D.12解析：选B 解方程组⎩⎨⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2.代入方程x ＋ky ＝0得－1－2k ＝0，所以k ＝－12，选B.5．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0的交点，则a ，b 的值分别为( ) A ．－3，－4 B ．3,4 C ．4,3D ．－4，－3解析：选B 由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －8＝0，x －2y ＋3＝0，得交点B (1,2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，有a＋2b －11＝0 ①，又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34 ②，11b ≠12 ③.由①②③，得a ＝3，b ＝4.二、填空题6．点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是________． 解析：设对称点坐标是(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2·－1＝－1，a ＋22＋b ＋52＝1.解得a ＝－4，b ＝－1，即所求对称点坐标是(－4，－1)． 答案：(－4，－1)7．直线ax ＋by －2＝0，若满足3a －4b ＝1，则必过定点________． 解析：由3a －4b ＝1，解出b ，代入ax ＋by －2＝0，得a (4x ＋3y )＝y ＋8.令⎩⎨⎧ 4x ＋3y ＝0，y ＋8＝0，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－8.答案：(6，－8)8．已知A (2,1)，B (1,2)，若直线y ＝ax 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是________． 解析：如图，直线y ＝ax 的斜率为a 且经过原点O ，∵直线y ＝ax 与线段AB 相交，∴实数a 的最小值为OA 的斜率，最大值为OB 的斜率，OA 的斜率为12，OB 的斜率为2，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.答案：⎣⎡⎦⎤12，2三、解答题9．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程．解：若l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝1，由⎩⎨⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，得B 点坐标(1,4)，此时|AB |＝5，∴x ＝1为所求； 当l 不与x 轴重直时，可设其方程为y ＋1＝k (x －1)．解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －1，得交点B (k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)(k ≠－2)．由已知k ＋7k ＋2－12＋4k －2k ＋2＋12＝5，解得k ＝－34.∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可得，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.10．某地东西有一条河，南北有一条路，A 村在路西3公里、河北岸4公里处；B 村在路东2公里、河北岸3公里处．两村拟在河边建一座水力发电站，要求发电站到两村距离相等，问发电站建在何处？到两村的距离为多远？解：以小河的方向向东为x 轴正方向，以路的方向向北为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A (－3,4)，B (2，3)，问题转化为在x 轴上找一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值． 可设点P 为(x,0)，则有|P A |＝x ＋32＋0－42＝x 2＋6x ＋25，|PB |＝x －22＋0－32＝x 2－4x ＋7.由|P A |＝|PB |得x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，解得x ＝－95.即所求点P 为⎝⎛⎭⎫－95，0且|P A |＝⎝⎛⎭⎫－95＋32＋0－42＝21095. 故发电站应建在小路以西95公里处的河边，它距两村的距离为21095公里．。
高中数学必修二人教A版练习：3.3.1-3.3.2 两条直线的交点坐标 两点间的距离含解析
3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离【选题明细表】1.过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为( D )(A)19x-9y=0 (B)9x+19y=0(C)19x-3y=0 (D)3x+19y=0解析:法一由得则所求直线方程为y=x=-x,即3x+19y=0.法二设直线方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,即(1+2λ)x-(3-λ)y+4+5λ=0,又直线过点(0,0),所以(1+2λ)·0-(3-λ)·0+4+5λ=0,解得λ=-,故所求直线方程为3x+19y=0.2.(2018·广州二模)已知三条直线l1:2x-3y+1=0,l2:4x+3y+5=0,l3:mx-y-1=0不能构成三角形,则实数m的取值集合为( D ) (A){-,} (B){,-}(C){-,,} (D){-,-,}解析:因为三条直线不能围成一个三角形,所以分3种情况进行讨论.(1)若l1∥l3,此时m=.(2)若l2∥l3,此时m=-.(3)若l1,l2,l3相交于一点,2x-3y+1=0与4x+3y+5=0交点是(-1,-),代入mx-y-1=0,则m=-.综上,m取-,-,.故选D.3.已知△ABC的三个顶点是A(-a,0),B(a,0)和C(,a),则△ABC的形状是( C )(A)等腰三角形(B)等边三角形(C)直角三角形(D)斜三角形解析:因为k AC==,k BC==-,k AC·k BC=-1,所以AC⊥BC,又|AC|==|a|.|BC|==|a|.所以△ABC为直角三角形.4.已知直线l1过点(-2,0)且倾斜角为30°,直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为( C )(A)(3,) (B)(2,)(C)(1,) (D)(1,)解析:直线l1的斜率为k1=tan 30°=,因为直线l2与直线l1垂直,所以k2=-=-,所以直线l1的方程为y=(x+2),直线l2的方程为y=-(x-2).两式联立,解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1,).故选C.5.(2018·广东广州荔湾区期末)若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y= -3k-2的交点位于第四象限,则实数k的取值范围是( A )(A)-6<k<-2 (B)-5<k<-3(C)k<-6 (D)k>-2解析:解方程组得x=k+6,y=k+2.因为直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,所以x=k+6>0,y=k+2<0,所以-6<k<-2.故选A.6.(2018·四川雅安期末)不论k为何实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒通过一个定点,这个定点的坐标是.解析:直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,即k(2x-y-1)+(-x-3y+11)=0,根据k的任意性可得解得所以不论k取什么实数,直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0都经过一个定点(2,3).答案:(2,3)7.(2018·甘肃武威凉州区期末)已知点A(2,1),B(-2,3),C(0,1),则△ABC中,BC边上的中线长为.解析:BC中点为(-1,2),所以BC边上中线长为=. 答案:8.(2018·宁夏石嘴山第三中学高二上期末)已知△ABC的顶点坐标A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0, AC边上的高BH 所在直线方程为x-2y-5=0,求顶点C的坐标,及直线BC的方程. 解:因为AC⊥BH,所以由k BH=得k AC=-2,因此AC方程为y-1=-2(x-5),化简得2x+y-11=0,与2x-y-5=0联立,可解得C坐标为(4,3),因为B在高BH上,所以设B坐标为(2y+5,y),则AB中点M的坐标为(y+5,),而M在直线2x-y-5=0上,所以2(y+5)--5=0,解得y=-3,因此B(-1,-3),所以,由两点式可得BC方程为=化简得6x-5y-9=0.9.(2018·江西师大附中高一测试)△ABC的三个顶点分别为A(0,3), B(3,3),C(2,0),如果直线x=a,将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于( A )(A)(B)1+(C)1+(D)2-解析:因为S△ABC=,AC:+=1,即3x+2y-6=0.由得由题意得×a×(3-)=,得a=或a=- (舍去).10.(2017·辽宁抚顺高一期末)直线y=-x+1和x轴,y轴分别交于点A,B,以线段AB为一边在第一象限内作等边△ABC,则点C的坐标为.解析:由题意得A(,0),B(0,1),则|AB|=2,易知AC⊥x轴,所以点C的坐标为(,2).答案:(,2)11.(2018·重庆万州区期末)若△ABC的一个顶点是A(3,-1),∠B, ∠C的角平分线方程分别为x=0,y=x,则BC边所在的直线方程为.解析:因为∠B,∠C的平分线分别是x=0,y=x,所以AB与BC关于x=0对称,AC与BC关于y=x对称.则A(3,-1)关于x=0的对称点A′(-3,-1)在直线BC上,A关于y=x的对称点A″(-1,3)也在直线BC上,由两点式得,=,所求直线BC的方程为2x-y+5=0.答案:2x-y+5=012.(2018·广东台山华侨中学高二上期末)矩形ABCD的两条边AB和AD所在直线的方程分别是x-2y+4=0和2x+y-7=0,它的对角线的交点M的坐标是(-1,1),求边BC和边CD所在直线的方程.解:联立方程组得所以点A的坐标为A(2,3).因为点M(-1,1)是AC的中点,设点C的坐标为C(x0,y0),则有=-1且=1解得x0=-4,y0=-1,所以点C的坐标为(-4,-1),因为CD∥AB,BC∥AD,所以k BC=k AD=-2,k CD=k AB=,所以直线BC的方程是y-(-1)=-2[x-(-4)],即2x+y+9=0,直线CD的方程是y-(-1)=[x-(-4)],即x-2y+2=0.13.已知两点A(2,3),B(4,1),直线l:x+2y-2=0,在直线l上求一点P.(1)使|PA|+|PB|最小;(2)使||PA|-|PB||最大.解:(1)可判断A,B在直线l的同侧,设A点关于l的对称点A1的坐标为(x1,y1),则有解得由直线的两点式方程得直线A1B的方程为=,即y=(x-4)+1,由得直线A1B与l的交点为P(,-),由平面几何知识可知,此时|PA|+|PB|最小.(2)由直线的两点式方程求得直线AB的方程为=,即x+y-5=0.由得直线AB与l的交点为P(8,-3),此时||PA|-|PB||最大.。
2019年最新-人教版高中数学必修二3.3.2两点间的距离1
2、已知点P的横坐标是7,点P与点N(-1,5)间的距离等于 10，求点P的纵坐标。 3.课本 P106 2
练习
4、已知点A(7,-4) ，B(-5,6), 求线段AB的垂直平分线的方 程
解 ： 设 P 点 的 坐 标 为 ( x, y) 由 题 意 可 得 ： | AP || BP |
2 得 ： (x-7) ( y 4)2 (x 5)2 ( y 6)2
回顾：
x轴上两点P1（x1，0）， P2（x2，0）的距离 | P1P2| ＝|x2－x1|． y轴上两点P1（0，y1）， P2（0，y2）的距离 | P1P2| ＝|y2－y1|．
思考:
已知平面上两点P1（x1,y1),P2（x2,y2),如何求P1, P2 的 距离 |P1P2| ？
思考:已知平面上两点P1（x1,y1),P2（x2,y2),如何求 P1, P2 的距|P1P2| ？
特别地 , 原点 O 与任一点 P ( x ,y ) 的距 :
练习P106
P P x x y y 1 2 2 2
2 1
2 1
1、求下列两点间的距离： (1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1) (3)、P(6，0),Q(0，-2) (4)、M(2，1),N(5，-1)
A B C 1 1 1 A2 B2 C2 A B C 1 1 1 A2 B2 C2
两直线重合
练习
1.两条直线x+my+12=0和2x+3y+m=0的交点在y轴上，则m的值 C 是 (A)0 (B)－24 (C)±6 (D)以上都不对 2.若直线kx－y+1=0和x－ky = 0相交，且交点在第二象限，则k 的取值范围是 (A)（- 1，0） (B)（0，1] A (C)（0，1） (D)（1，＋∞） 3.若两直线(3－a)x+4y=4+3a与2x+(5－a)y=7平行，则a的值是 (A)1或7 (B)7 (C)1 B (D)以上都错
高考数学第三章直线与方程3.3.2两点间的距离课时作业新人教版
3.3.2 两点间的距离【课时目标】 1．理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法．2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．1．若平面上两点P 1、P 2的坐标分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1、P 2两点间的距离公式为|P 1P 2|＝________________．特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离为|OP |＝________．2．用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为：第一步：________________________________________________．第二步：________________________．第三步：____________________________________．一、选择题1．已知点A (－3,4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－62．以A (1,5)，B (5,1)，C (－9，－9)为顶点的三角形是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．无法确定3．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于( )A ．5B ．4 2C ．2 5D ．2104．已知点A (1,2)，B (3,1)，则到A ，B 两点距离相等的点的坐标满足的条件是( )A ．4x ＋2y ＝5B ．4x －2y ＝5C ．x ＋2y ＝5D ．x －2y ＝55．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫225，0D ．⎝⎛⎭⎪⎫0，225 6．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0二、填空题7．已知点A (x,5)关于点C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是________．8．点M 到x 轴和到点N (－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为______________．9．等腰△ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________．三、解答题10．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程．11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．能力提升12．求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．13．求证：x2＋y2＋x2＋(1－y)2＋(1－x)2＋y2＋(1－x)2＋(1－y)2≥22．1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用解析法来证明．用解析法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．3．3．2 两点间的距离 答案知识梳理1．(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 x 2＋y 22．建立坐标系，用坐标表示有关的量 进行有关代数运算 把代数运算结果“翻译”成几何关系作业设计1．A [由(－3)2＋(4－b )2＝5，解得b ＝0或8．]2．B3．C [设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＝2，b 2＝－1， 解得a ＝4，b ＝－2，∴|AB |＝25．]4．B [设到A 、B 距离相等的点P (x ，y )，则由|PA |＝|PB |得，4x －2y ＝5．]5．B[(如图)A 关于x 轴对称点为A ′(－3，－8)，则A ′B 与x 轴的交点即为M ，求得M 坐标为(1,0)．]6．A [由已知得A (－1,0)，P (2,3)，由|PA |＝|PB |，得B (5,0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0．]7．17 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＝x －22，y ＝5－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝1. ∴d ＝42＋12＝17． 8．(2,10)或(－10,10)解析 设M (x ，y )，则|y |＝(x ＋4)2＋(y －2)2＝10．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－10，y ＝10． 9．2 6 解析 |BD |＝12|BC |＝2， |AD |＝(5－3)2＋(4－0)2＝25．在Rt △ADB 中，由勾股定理得腰长|AB |＝22＋(25)2＝26．10．解 由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由|AB |2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5．当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0．综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0．11．证明如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设A (0,0)，B (c,0)，C (m ，n )，则|AB |＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，n 2，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋m 2，n 2， 所以|DE |＝c ＋m 2－m 2＝c 2， 所以|DE |＝12|AB |． 即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．12．解原式可化为y ＝(x －4)2＋(0－2)2＋(x －0)2＋(0－1)2．考虑两点间的距离公式，如图所示，令A (4,2)，B (0,1)，P (x,0)，则上述问题可转化为：在x 轴上求一点P (x,0)，使得|PA |＋|PB |最小．作点A (4,2)关于x 轴的对称点A ′(4，－2)，由图可直观得出|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，故|PA |＋|PB |的最小值为A ′B 的长度．由两点间的距离公式可得|A ′B |＝42＋(－2－1)2＝5，所以函数y ＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值为5．13．证明 如图所示，设点O (0,0)，A (x ，y )，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，则原不等式左边＝|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|，∵|OA|＋|AC|≥|OC|＝2，|AB|＋|AD|≥|BD|＝2，∴|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|≥22(当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立)，故原不等式成立．。
高中数学 3.3.2 两点间的距离公式强化练习 新人教A版必修2
高中数学 3.3.2 两点间的距离公式强化练习新人教A版必修2一、选择题1．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标是( )A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－3)或(2,7)C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5)[答案] A[解析]∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.2．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( ) A．5 B．4 2C．2 5 D．210[答案] C[解析]设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝0－42＋－2－02＝20＝2 5.3．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )A．26 B．65C．29 D．13[答案] A[解析]AB的中点D的坐标为D(－1，－1)．∴|CD|＝－1－42＋－1－－22＝26；故选A.4．已知三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是( )A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形[答案] C[解析]|AB|＝3－02＋2－52＝32，|BC|＝0－42＋5－62＝17，|AC|＝3－42＋2－62＝17，∴|AC|＝|BC|≠|AB|，且|AB|2≠|AC|2＋|BC|2.∴△ABC 是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形．5．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A 、B ，则|AB |等于( ) A ．895B ．175C ．135D ．115[答案] C[解析] 易得A (0，－2)，B (－1，25)．6．在直线2x －3y ＋5＝0上求点P ，使P 点到A (2,3)距离为13，则P 点坐标是( ) A ．(5,5)B ．(－1,1)C ．(5,5)或(－1,1)D ．(5,5)或(1，－1)[答案] C[解析] 设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53，由|PA |＝13得(x －2)2＋(2x ＋53－3)2＝13，即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5， 当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝5时，y ＝5，∴P (－1,1)或(5,5)． 二、填空题7．已知点M (m ，－1)，N (5，m )，且|MN |＝25，则实数m ＝________. [答案] 1或3 [解析] 由题意得m －52＋－1－m2＝25，解得m ＝1或m ＝3.8．已知A (1，－1)，B (a,3)，C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝________. [答案] 12[解析] a －12＋3＋12＝4－a2＋5－32，解得a ＝12.9．已知点A (4,12)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，则点P 的坐标为________． [答案] (9,0)或(－1,0) [解析] 设P (a,0)，则a －42＋122＝13，解得a ＝9或a ＝－1，∴点P 的坐标为(9,0)或(－1,0)． 三、解答题10．求证：等腰梯形的对角线相等． [证明] 已知：等腰梯形ABCD . 求证：AC ＝BD .证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )． 则|AC |＝－b ＋a2＋c －02＝a －b2＋c 2，|BD |＝b －a2＋0－c2＝a －b 2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即：等腰梯形的对角线相等．11．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和A (1，－1)，过点A 作直线l 2与已知直线交于点B 且|AB |＝5，求直线l 2的方程．[解析] 当直线l 2的斜率存在时，设其为k ，则⎭⎪⎬⎪⎫l 2：y ＋1＝k x －1又由2x ＋y －6＝0⇒(k ＋2)x ＝k ＋7，而k ≠－2，故解得x ＝k ＋7k ＋2，所以B (k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)， 又由|AB |＝5，利用两点间距离公式得k ＋7k ＋2－12＋4k －2k ＋2＋12＝5⇒k ＝－34，此时l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0.而当l 2的斜率不存在时，l 2的方程为x ＝1.此时点B 坐标为(1,4)，则|AB |＝|4－(－1)|＝5，也满足条件综上，l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0或x ＝1.12．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问是否在BC 上存在一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？若存在，则求出小路DM 的长．[分析] 建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．[解析] 以B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD ＝5 m ，AB ＝3 m ， 所以C (5,0)，D (5,3)，A (0,3)． 设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM ， 所以k AC ·k DM ＝－1， 即3－00－5·3－05－x＝－1. 所以x ＝3.2，即BM ＝3.2，即点M 的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC 与DM 相互垂直． 故在BC 上存在一点M (3.2,0)满足题意． 由两点间距离公式得DM ＝5－3.22＋3－02＝3534.。
【创新设计】高中数学(人教版必修二)配套练习：3.3.2两点间的距离(含答案解析)
3.3.2 两点间的距离【课时目标】1．理解并掌握平面上两点之间的距离公式的推导方法．2．能熟练应用两点间的距离公式解决有关问题，进一步体会解析法的思想．1．若平面上两点P1、P2的坐标分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1、P2两点间的距离公式为|P1P2|＝________________．特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离为|OP|＝________．2．用坐标法(解析法)解题的基本步骤可以概括为：第一步：________________________________________________．第二步：________________________．第三步：____________________________________．一、选择题1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于()A．0或8 B．0或－8C．0或6 D．0或－62．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于() A．5 B．4 2C．2 5 D．2104．已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是() A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5 D．x－2y＝55．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是()A．(－1,0) B．(1,0)C ．⎝⎛⎭⎫225，0D ．⎝⎛⎭⎫0，225 6．设A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0二、填空题7．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x ，y)到原点的距离是________．8．点M 到x 轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M 的坐标为______________．9．等腰△ABC 的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC 边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．三、解答题10．已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A(1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且|AB|＝5，求直线l 1的方程．11．求证：三角形的中位线长度等于底边长度的一半．能力提升12．求函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值．13．求证：x2＋y2＋x2＋(1－y)2＋(1－x)2＋y2＋(1－x)2＋(1－y)2≥22．1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用解析法来证明．用解析法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．3．3．2两点间的距离答案1．(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 x 2＋y 22．建立坐标系，用坐标表示有关的量 进行有关代数运算 把代数运算结果“翻译”成几何关系作业设计1．A [由(－3)2＋(4－b)2＝5，解得b ＝0或8．]2．B3．C [设A(a,0)，B(0，b)，则a 2＝2，b 2＝－1， 解得a ＝4，b ＝－2，∴|AB|＝25．]4．B [设到A 、B 距离相等的点P(x ，y)，则由|PA|＝|PB|得，4x －2y ＝5．]5．B[(如图)A 关于x 轴对称点为A′(－3，－8)，则A′B 与x 轴的交点即为M ，求得M 坐标为(1,0)．]6．A [由已知得A(－1,0)，P(2,3)，由|PA|＝|PB|，得B(5,0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0．]7．17解析 由题意知⎩⎨⎧1＝x －22，y ＝5－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1. ∴d ＝42＋12＝17．8．(2,10)或(－10,10) 解析 设M(x ，y)，则|y|＝(x ＋4)2＋(y －2)2＝10．解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10，y ＝10．解析 |BD|＝12|BC|＝2， |AD|＝(5－3)2＋(4－0)2＝25．在Rt △ADB 中，由勾股定理得腰长|AB|＝22＋(25)2＝26．10．解 由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由|AB|2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5．当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0．综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0．11．证明如图所示，D ，E 分别为边AC 和BC 的中点，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．设A(0,0)，B(c,0)，C(m ，n)，则|AB|＝c ，又由中点坐标公式，可得D ⎝⎛⎭⎫m 2，n 2，E ⎝⎛⎭⎫c ＋m 2，n 2，所以|DE|＝c ＋m 2－m 2＝c 2， 所以|DE|＝12|AB|． 即三角形的中位线长度等于底边长度的一半．12．解原式可化为y ＝(x －4)2＋(0－2)2＋(x －0)2＋(0－1)2．考虑两点间的距离公式，如图所示，令A(4,2)，B(0,1)，P(x,0)，则上述问题可转化为：在x轴上求一点P(x,0)，使得|PA|＋|PB|最小．作点A(4,2)关于x轴的对称点A′(4，－2)，由图可直观得出|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，故|PA|＋|PB|的最小值为A′B的长度．由两点间的距离公式可得|A′B|＝42＋(－2－1)2＝5，所以函数y＝x2－8x＋20＋x2＋1的最小值为5．13．证明如图所示，设点O(0,0)，A(x，y)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则原不等式左边＝|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|，∵|OA|＋|AC|≥|OC|＝2，|AB|＋|AD|≥|BD|＝2，∴|OA|＋|AD|＋|AB|＋|AC|≥22(当且仅当A是OC与BD的交点时等号成立)，故原不等式成立．。
高中数学 必修二 3.3.2两点间的距离公式练习
3.3.2两点间的距离公式练习新人教A版必修2一、选择题1．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为( )A．2 B．1 C． 5 D．5[答案] C[解析] N(－1,2)，|ON|＝－2＋22＝ 5.故选C．2．已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于( )A．－3 B．5C．－3或5 D．－1或－3[答案] C[解析] 由两点间的距离公式知|AB|＝－1－2＋b－2＝b2－2b＋10，由5＝b2－2b＋10，解得b＝－3或b＝5.3．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标为( )A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－2)或(2,7)C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5)[答案] A[解析] ∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( ) A．5 B．4 2C．2 5 D．210[答案] C[解析] 设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝－2＋－2－2＝20＝2 5.5．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )A．26 B．65C．29 D．13[答案] A[解析] AB的中点D的坐标为D(－1，－1)．∴|CD|＝－1－2＋－1－－2＝26；故选A ．6．已知三点A (3,2)，B (0,5)，C (4,6)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形[答案] C [解析] |AB |＝－2＋－2＝32，|BC |＝－2＋－2＝17， |AC |＝－2＋－2＝17，∴|AC |＝|BC |≠|AB |， 且|AB |2≠|AC |2＋|BC |2.∴△ABC 是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形． 二、填空题7．已知点M (m ，－1)，N (5，m )，且|MN |＝25，则实数m ＝_________. [答案] 1或3 [解析] 由题意得m －2＋－1－m2＝25，解得m ＝1或m ＝3.8．已知A (1，－1)，B (a,3)，C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝_________. [答案] 12[解析] a －2＋＋2＝－a2＋－2，解得a ＝12.三、解答题9．求证：等腰梯形的对角线相等． [证明] 已知：等腰梯形ABCD ． 求证：AC ＝BD ．证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )． 则|AC |＝－b ＋a2＋c －2＝a －b2＋c 2，|BD |＝b －a2＋－c2＝a －b 2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即：等腰梯形的对角线相等．10．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和A (1，－1)，过点A 作直线l 2与已知直线交于点B 且|AB |＝5，求直线l 2的方程．[解析] 当直线l 2的斜率存在时，设其为k ，则⎭⎪⎬⎪⎫l 2：y ＋1＝k x －又由2x ＋y －6＝0⇒(k ＋2)x ＝k ＋7， 而k ≠－2，故解得x ＝k ＋7k ＋2，所以B (k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)， 又由|AB |＝5，利用两点间距离公式得k ＋7k ＋2－2＋4k －2k ＋2＋2＝5⇒k ＝－34，此时l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0.而当l 2的斜率不存在时，l 2的方程为x ＝1.此时点B 坐标为(1,4)，则|AB |＝|4－(－1)|＝5，也满足条件综上，l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0或x ＝1.能力提升一、选择题1．已知点A (2,3)和B (－4,1)，则线段AB 的长及中点坐标分别是( ) A ．210，(1,2) B ．210，(－1，－2) C ．210，(－1,2) D ．210，(1，－2)[答案] C [解析] |AB |＝－4－2＋－2＝210，中点坐标为(2－42，3＋12)，即(－1,2)，故选C ．2．已知两点P (m,1)和Q (1,2m )之间的距离大于10，则实数m 的范围是( ) A ．－45＜m ＜2B ．m ＜－45或m ＞2C ．m ＜－2或m ＞45D ．－2＜m ＜45[答案] B[解析] 根据两点间的距离公式 |PQ |＝m －2＋－2m2＝5m 2－6m ＋2＞10⇒5m 2－6m －8＞0⇒m ＜－45或m ＞2.3．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A 、B ，则|AB |等于( )A ．895 B ．175C ．135D ．115[答案] C[解析] 易得A (0，－2)，B (－1，25)．∴|AB |＝－1－2＋25＋2＝135. 4．在直线2x －3y ＋5＝0上求点P ，使P 点到A (2,3)距离为13，则P 点坐标是( ) A ．(5,5)B ．(－1,1)C ．(5,5)或(－1,1)D ．(5,5)或(1，－1)[答案] C[解析] 设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53，由|PA |＝13得(x －2)2＋(2x ＋53－3)2＝13，即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5， 当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝5时，y ＝5，∴P (－1,1)或(5,5)． 二、填空题5．已知点A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是_________. [答案] 12[解析] 由题意得|AB |＝－a －2＋a －1－a ＋2＝2a 2－2a ＋25＝a －122＋492，所以当a ＝12时，|AB |取得最小值．6．已知点A (4,12)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，则点P 的坐标为_________. [答案] (9,0)或(－1,0) [解析] 设P (a,0)，则a －2＋122＝13，解得a ＝9或a ＝－1，∴点P 的坐标为(9,0)或(－1,0)． 三、解答题7．用坐标法证明定理：若四边形ABCD 是长方形，则对平面内任一点M ，等式AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2成立．[解析] 以一个直角所在的两边为坐标轴，建立直角坐标系．证明：如图，取长方形ABCD 的两条边AB 、AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系．设长方形ABCD 的四个顶点分别为A (0,0)、B (a,0)、C (a ，b )、D (0，b )．在平面上任取一点M (m ，n )，则有AM 2＋CM 2＝m 2＋n 2＋(m －a )2＋(n －b )2，BM 2＋DM 2＝(m －a )2＋n 2＋m 2＋(n －b )2，∴AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2.8．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问是否在BC 上存在一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？若存在，则求出小路DM 的长．[分析] 建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．[解析] 以B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD ＝5 m ，AB ＝3 m ， 所以C (5,0)，D (5,3)，A (0,3)． 设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM ， 所以k AC ·k DM ＝－1， 即3－00－5·3－05－x＝－1. 所以x ＝3.2，即BM ＝3.2，即点M 的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC 与DM 相互垂直． 故在BC 上存在一点M (3.2,0)满足题意． 由两点间距离公式得DM ＝－2＋－2＝3534.。
高中数学必修2-3.3.2《两点间的距离公式》同步练习
3.3.2《两点间的距离公式》同步练习一、选择题1．一条平行于x 轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A (2,1)，则它的另一个端点B 的坐标是( )A ．(－3,1)或(7,1)B ．(2，－3)或(2,7)C ．(－3,1)或(5,1)D ．(2，－3)或(2,5) [答案] A[解析] ∵AB ∥x 轴，∴设B (a,1)，又|AB |＝5，∴a ＝－3或7.2．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于( )A ．5B ．4 2C ．2 5D ．210 [答案] C[解析] 设A (x,0)、B (0，y )，由中点公式得x ＝4，y ＝－2，则由两点间的距离公式得|AB |＝(0－4)2＋(－2－0)2＝20＝2 5.3．△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－4，－4)、B (2,2)、C (4，－2)，则三角形AB 边上的中线长为( )A ．26B ．65C ．29D ．13 [答案] A[解析] AB 的中点D 的坐标为D (－1，－1)．∴|CD |＝(－1－4)2＋(－1－(－2))2＝26；故选A.4．已知三点A (3,2)，B (0,5)，C (4,6)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 [答案] C[解析] |AB |＝(3－0)2＋(2－5)2＝32，|BC |＝(0－4)2＋(5－6)2＝17，|AC |＝(3－4)2＋(2－6)2＝17，∴|AC |＝|BC |≠|AB |，且|AB |2≠|AC |2＋|BC |2.∴△ABC 是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形．5．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A 、B ，则|AB |等于( )A ．895B ．175C ．135D ．115[答案] C[解析] 易得A (0，－2)，B (－1，25)． 6．在直线2x －3y ＋5＝0上求点P ，使P 点到A (2,3)距离为13，则P 点坐标是( )A ．(5,5)B ．(－1,1)C ．(5,5)或(－1,1)D ．(5,5)或(1，－1)[答案] C[解析] 设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53， 由|P A |＝13得(x －2)2＋(2x ＋53－3)2＝13， 即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5，当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝5时，y ＝5，∴P (－1,1)或(5,5)．二、填空题7．已知点M (m ，－1)，N (5，m )，且|MN |＝25，则实数m ＝________.[答案] 1或3[解析] 由题意得(m －5)2＋(－1－m )2＝25，解得m ＝1或m ＝3.8．已知A (1，－1)，B (a,3)，C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝________.[答案] 12[解析] (a －1)2＋(3＋1)2＝(4－a )2＋(5－3)2， 解得a ＝12. 9．已知点A (4,12)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，则点P 的坐标为________．[答案] (9,0)或(－1,0)[解析] 设P (a,0)，则(a －4)2＋122＝13，解得a ＝9或a ＝－1，∴点P 的坐标为(9,0)或(－1,0)．三、解答题10．求证：等腰梯形的对角线相等．[证明] 已知：等腰梯形ABCD .求证：AC ＝BD .证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )．则|AC |＝(－b ＋a )2＋(c －0)2＝(a －b )2＋c 2，|BD |＝(b －a )2＋(0－c )2＝(a －b )2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即：等腰梯形的对角线相等．11．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和A (1，－1)，过点A 作直线l 2与已知直线交于点B 且|AB |＝5，求直线l 2的方程．[解析] 当直线l 2的斜率存在时，设其为k ，则⎭⎪⎬⎪⎫l 2：y ＋1＝k (x －1)又由2x ＋y －6＝0⇒(k ＋2)x ＝k ＋7， 而k ≠－2，故解得x ＝k ＋7k ＋2，所以B (k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)， 又由|AB |＝5，利用两点间距离公式得 (k ＋7k ＋2－1)2＋(4k －2k ＋2＋1)2＝5⇒k ＝－34， 此时l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0.而当l 2的斜率不存在时，l 2的方程为x ＝1.此时点B 坐标为(1,4)，则|AB |＝|4－(－1)|＝5，也满足条件综上，l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0或x ＝1.12．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问是否在BC 上存在一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？若存在，则求出小路DM 的长．[分析] 建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．[解析] 以B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD ＝5 m ，AB ＝3 m ，所以C (5,0)，D (5,3)，A (0,3)．设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM ，所以k AC ·k DM ＝－1，即3－00－5·3－05－x ＝－1.所以x ＝3.2，即BM ＝3.2，即点M 的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC 与DM 相互垂直． 故在BC 上存在一点M (3.2,0)满足题意．由两点间距离公式得DM ＝(5－3.2)2＋(3－0)2＝3534.。
高中数学必修二(人教A版)练习3.3.1、3.3.2 两条直线的交点坐标、两点间的距离 Word版含答案
．两条直线的交点坐标．两点间的距离一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．已知直线－＋＝和直线－＋＝，则它们的交点坐标是( )．(，) ．(，)．(－，) ．(－，－)．已知△中，顶点分别为(－，)，(，－)，(，)，则△的形状是( )．锐角三角形．钝角三角形．等边三角形．等腰直角三角形．若过点(，)和点(，)的直线与直线＝＋平行，则的值为( )．．．不确定．已知坐标平面内两点(，－)，(，－)，点在直线＋＝上．若使＋取最小值，则点的坐标为( )．(，－) ．(－，)．(－，)．已知坐标平面内两点(，)，(－，)，若直线＋＝与线段相交，则的取值范围是( ) ．[－，] ．[－，]．[，]．使三条直线＋＝，＋＝，－＝不能围成三角形的值的个数是( )．．．．．若光线从点(－，)射到直线：－＋＝上，反射后经过点(，)，则光线从点经反射后到点所经过的路程为( )．．．．二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．已知直线＋－＝与直线－＋＝互相垂直，且相交于点(，)，则＝．．设＋＝(≠，为常数)，则直线＋＝恒过定点．．经过两直线－－＝和＋＋＝的交点且与直线－－＝垂直的直线方程为．．已知坐标平面内两点(－，)，(，)，若在轴上求一点，使＝，则此时的值为．三、解答题(本大题共题，共分)．(分)求经过两直线－－＝和＋＋＝的交点且与直线＋－＝平行的直线的方程．．(分)求过两直线：＝－与：＋＝－的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．．(分)已知，∈，＝＋，则的最小值是( )．．．．(分)已知直线被两平行直线＋－＝和＋＋＝所截得的线段长为，且直线过点(，)，求直线的方程．．两条直线的交点坐标．两点间的距离．[解析] 联立方程解得．[解析] 由两点间的距离公式得＝＝，＝＝，＝＝，所以有＋＝，且＝，故△为等腰直角三角形．．[解析] 由题意得＝＝，即－＝，由两点间的距离公式得＝＝.．[解析]设点(，－)关于直线＋＝的对称点为′(，－)，连接′，则′与直线＋＝的交点即为点，因为直线′的方程为＋＝×(－)，即＝－，与＋＝联立，解得＝，＝－，故点的坐标为.．[解析] 将(，)代入＋＝，得＝；将(－，)代入＋＝，得＝－.对比选项知应选.．[解析] 当直线＋＝与直线＋＝平行时，＝；当直线＋＝与直线－＝平行时，－＝，即＝－；当直线＋＝与直线－＝平行时，－＝，无解；当三条直线交于一点时，联立解得代入－＝，解得＝或＝－.综上所述，满足条件的值有个．．[解析] 设(－，)关于直线：－＋＝的对称点为′(′，′)，则根据题意有解得∵所求的路程即为′，∴由两点间的距离公式得＝′＝＝.．－[解析] 由两直线互相垂直得－·＝－，即＝，由点(，)在直线＋－＝上，得＋－＝，即＝，再将(，)的坐标代入－＋＝，得－＋＝，即＝－.[解析] 由题知＋＝可变为＋(－)＝，即(－)＋－＝，若其对于任何∈都成立，则解得．＋＋＝[解析] 联立解得故交点为(，－)．又因为直线－－＝的斜率为，所求的直线与直线－－＝垂直，所以所求直线的斜率为－，所以所求直线的方程为＋＝－，化简得＋＋＝.[解析] 设所求点的坐标为(，)，由＝及两点间的距离公式得，＝，化简得＝，解得＝，所以所求点的坐标为(，)，所以＝＝.．解：设直线的方程为－－＋λ(＋＋)＝，。
高中数学 3.3.1、3.3.2 两条直线的交点坐标、两点间的距离练习 新人教A版必修2-新人教A版
3．3.1 两条直线的交点坐标3．3.2 两点间的距离一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．已知直线x －y ＋1＝0和直线x －2y ＋1＝0，则它们的交点坐标是( ) A ．(0，1) B ．(1，0) C ．(－1，0) D ．(－2，－1)2．已知△ABC 中，顶点分别为A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形3．若过点A (4，a )和点B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |的值为( ) A ．6 B. 2 C ．2 D ．不确定4．已知坐标平面内两点A (3，－1)，B (5，－2)，点P 在直线x ＋y ＝0上．若使|PA |＋|PB |取最小值，则P 点的坐标为( )A ．(1，－1)B ．(－1，1) C.⎝⎛⎭⎪⎫135，－135D ．(－2，2)5．已知坐标平面内两点M (1，0)，N (－1，0)，若直线2x ＋y ＝b 与线段MN 相交，则b 的取值X 围是( )A ．[－2，2]B ．[－1，1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 D ．[0，2]6．使三条直线4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0，2x －3my ＝4不能围成三角形的m 值的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．若光线从点A(－3，5)射到直线l：3x－4y＋4＝0上，反射后经过点B(2，15)，则光线从A点经反射后到B点所经过的路程为( )A．5 2B．5 13C．5 17D．5 5二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．已知直线ax＋3y－12＝0与直线4x－y＋b＝0互相垂直，且相交于点P(4，m)，则b ＝________．9．设a＋b＝k(k≠0，k为常数)，则直线ax＋by＝1恒过定点________．10．经过两直线2x－y－3＝0和x＋y＋3＝0的交点且与直线3x－y－1＝0垂直的直线方程为______________．11．已知坐标平面内两点A(－2，2)，B(2，2 3)，若在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，则此时|PA|的值为________．三、解答题(本大题共2题，共25分)12．(12分)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程．13．(13分)求过两直线l1：x＝－2与l2：2x＋y＝－3的交点P，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．14．(5分)已知x ，y ∈R ，S ＝（x ＋1）2＋y 2＋（x －1）2＋y 2，则S 的最小值是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D. 215．(15分)已知直线l 被两平行直线3x ＋y －6＝0和3x ＋y ＋3＝0所截得的线段长为9，且直线过点A (1，0)，求直线l 的方程．3．3.1 两条直线的交点坐标 3．3.2 两点间的距离1．C [解析] 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.2．D [解析] 由两点间的距离公式得||AB ＝（3＋3）2＋（－3－1）2＝52，||AC ＝（1＋3）2＋（7－1）2＝52， ||BC ＝（1－3）2＋（7＋3）2＝104， 所以有||AB 2＋||AC 2＝||BC 2，且||AB ＝||AC ，故△ABC 为等腰直角三角形．3．B [解析] 由题意得k AB ＝b －a5－4＝1，即b －a ＝1，由两点间的距离公式得|AB |＝（5－4）2＋（b －a ）2＝ 2.4．C [解析] 设点A (3，－1)关于直线x ＋y ＝0的对称点为A ′(1，－3)，连接A ′B ，则A ′B 与直线x ＋y ＝0的交点即为P 点，因为直线A ′B 的方程为y ＋3＝－2＋35－1×(x －1)，即y ＝14x －134，与x ＋y ＝0联立，解得x ＝135，y ＝－135，故P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫135，－135.5．A [解析] 将M (1，0)代入2x ＋y ＝b ，得b ＝2；将N (－1，0)代入2x ＋y ＝b ，得b ＝－2.对比选项知应选A.6．D [解析] 当直线4x ＋y ＝4与直线mx ＋y ＝0平行时，m ＝4；当直线4x ＋y ＝4与直线2x －3my ＝4平行时，－4＝23m ，即m ＝－16；当直线mx ＋y ＝0与直线2x －3my ＝4平行时，－m ＝23m，无解；当三条直线交于一点时，联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ＝4，mx ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44－m ，y ＝－4m 4－m ，代入2x －3my ＝4，解得m＝23或m ＝－1.综上所述，满足条件的m 值有4个． 7．B [解析] 设A (－3，5)关于直线l ：3x －4y ＋4＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧3×x ′－32－4×y ′＋52＋4＝0，y ′－5x ′＋3×34＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3，y ′＝－3.∵所求的路程即为|A ′B |， ∴由两点间的距离公式得d ＝|A ′B |＝（3－2）2＋（－3－15）2＝5 13.8．－13 [解析] 由两直线互相垂直得－a 3·4＝－1，即a ＝34，由点P (4，m )在直线34x＋3y －12＝0上，得3＋3m －12＝0，即m ＝3，再将P (4，3)的坐标代入4x －y ＋b ＝0，得16－3＋b ＝0，即b ＝－13.9.⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，1k [解析] 由题知ax ＋by ＝1可变为ax ＋(k －a )y ＝1，即a (x －y )＋ky －1＝0，若其对于任何a ∈R 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，ky －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1k ，y ＝1k .10．x ＋3y ＋9＝0 [解析] 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3，故交点为(0，－3)．又因为直线3x －y －1＝0的斜率为3，所求的直线与直线3x －y －1＝0垂直，所以所求直线的斜率为－13，所以所求直线的方程为y ＋3＝－13x ，化简得x ＋3y ＋9＝0.11.13 [解析] 设所求点P 的坐标为(x ，0)，由||PA ＝|PB |及两点间的距离公式得， （x ＋2）2＋（0－2）2＝（x －2）2＋（0－2 3）2， 化简得8x ＝8，解得x ＝1，所以所求点P 的坐标为(1，0)，所以||PA ＝（1＋2）2＋（0－2）2＝13.12．解：设直线l 的方程为2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0， 整理得(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0.又∵直线l 与直线3x ＋y －1＝0平行， ∴λ＋23＝λ－31≠2λ－3－1，解得λ＝112. 故直线l 的方程为15x ＋5y ＋16＝0.13．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，2x ＋y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，即P 点坐标为(－2，1)．根据题意知，当截距等于0时，所求直线的方程为y ＝－12x ，即x ＋2y ＝0.当截距不等于0时，设所求直线l 的方程为x a ＋y b＝1，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，－2a ＋1b＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，所以所求直线的方程为x －1＋y－1＝1，即x ＋y ＋1＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y ＝0或x ＋y ＋1＝0.14．B [解析] S ＝（x ＋1）2＋y 2＋（x －1）2＋y 2可以看作是点(x ，y )到点(－1，0)与点(1，0)的距离之和，数形结合易知最小值为2.15．解：①若直线l 的斜率不存在，且过点A (1，0)，则l 的方程为x ＝1，此时l 与两平行线的交点分别为M (1，3)，N (1，－6)，由两点间的距离公式得|MN |＝9，满足题意．②若直线l 的斜率存在，且过点A (1，0)，则可设l 的方程为y ＝k (x －1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，y ＝k （x －1），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6k ＋3，y ＝3k k ＋3，即直线l 与直线3x ＋y －6＝0的交点坐标为C ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋6k ＋3，3k k ＋3.同理可得直线l 与直线3x ＋y ＋3＝0的交点坐标为D ⎝⎛⎭⎪⎫k －3k ＋3，－6k k ＋3.∴由两点间的距离公式得|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －3k ＋3－k ＋6k ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k ＋3－3k k ＋32＝9， ∴k ＝－43，∴直线l 的方程为y ＝－43(x －1)，即4x ＋3y －4＝0.综合①②可知，直线l 的方程为x ＝1或4x ＋3y －4＝0.。
人教A版高中数学必修二课时作业两条直线的交点坐标两点间的距离
3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离选题明细表知识点、方法题号两直线的交点2,7,9两点间的距离1,3,6对称问题4,10综合应用问题5,8,11,12,13基础巩固1.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4),则的值为( D )(A)(B)(C)3 (D)2解析:由两点间的距离公式,得|AC|==4,|CB|==2,故==2.2.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为( C )(A)-24 (B)6 (C)±6 (D)24解析:在2x+3y-k=0中,令x=0得y=,将(0,)代入x-ky+12=0,解得k=±6.3.已知△ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ABC的周长是( C )(A)2 (B)3+2(C)6+3 (D)6+解析:|AB|==3,|BC|==3,|AC|==3,则△ABC的周长为6+3.故选C.4.点P(2,5)关于直线x+y=0的对称点是( C )(A)(5,2) (B)(2,5)(C)(-5,-2) (D)(-2,5)解析:设P(2,5)关于x+y=0的对称点为(a,b),则解得5.已知A(3,-1),B(5,-2),点P在直线x+y=0上.若使|PA|+|PB|取最小值,则P点的坐标为( C )(A)(1,-1) (B)(-1,1)(C)(,-) (D)(-2,2)解析:点A(3,-1)关于直线x+y=0的对称点为A′(1,-3),连接A′B,则A′B与直线x+y=0的交点即为所求的点,直线A′B的方程为y+3=(x-1),即y=x-,与x+y=0联立,解得x=,y=-,故P点的坐标为(,-).6.已知A(1,5),B(5,-2),在x轴上的点M与A,B的距离相等,则点M的坐标为.解析:设M(x0,0)由|AM|=|BM|得=,解得x0=.即2x+y+2=0.答案:(,0)7.过两直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直线x-2y+4=0的直线方程为.解析:由得所以交点(-2,2)又知所求直线的斜率为-2,由点斜式得y-2=-2(x+2).即2x+y+2=0.答案:2x+y+2=08.若三条直线l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0能构成一个三角形,求k的取值范围.解:①当l1∥l3时知k≠0且有=1,所以有k=5.②当l2∥l3时知k≠0且有=-1,所以有k=-5.③当l1,l2,l3三线交于一点时,解方程组得故直线l1与l2相交于点(1,1).又l3过点(1,1),所以有5×1-k-15=0,所以有k=-10.综上可知,要使三条直线构成一个三角形,需有k≠±5且k≠-10.能力提升9.直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0(k∈R)所经过的定点是( B )(A)(5,2) (B)(2,3)(C)(-,3) (D)(5,9)解析:由(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0,得k(2x-y-1)-x-3y+11=0,由得所以直线过定点(2,3).10.直线l:x+2y-1=0关于点(1,-1)对称的直线l′的方程为( C )(A)2x-y-5=0 (B)x+2y-3=0(C)x+2y+3=0 (D)2x-y-1=0解析:由题意得l′∥l,故设l′:x+2y+c=0,在l上取点A(1,0),则点A(1,0)关于点(1,-1)的对称点是A′(1,-2),所以1+2×(-2)+c=0,即c=3,故直线l′的方程为x+2y+3=0,故选C.11.过点P(3,0)作一直线l,使它被两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所截的线段AB以P为中点,则此直线l的方程是. 解析:设l1上的点A的坐标为(x1,y1),因为P(3,0)是线段AB的中点,所以l2上的点B的坐标为(6-x1,-y1),所以解得所以点A的坐标为(,),由两点式可得l的方程为8x-y-24=0.答案:8x-y-24=012.在x轴上求一点P,使得:(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.解:如图.(1)直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,且|PB|-|PA|=|AB|==5.因为直线BA的斜率k BA==-,所以直线BA的方程为y=-x+4.令y=0得x=,即P(,0).故距离之差最大值为5,此时P点的坐标为(,0).(2)作A关于x轴的对称点A′,则A′(4,-1),连接CA′,则|CA′|为所求最小值,直线CA′与x轴交点为所求点.又|CA′|==,直线CA′的斜率k CA′==-5,则直线CA′的方程为y-4=-5(x-3).令y=0得x=,即P(,0).故A与C距离之和最小值为,此时P点的坐标为(,0).探究创新13.(1)已知点P是平面上一动点,点A(1,1),B(2,-2)是平面上两个定点,求|PA|2+|PB|2的最小值,并求此时P的坐标. (2)求函数f(x)=+的最小值.解:(1)设P(x,y)(x∈R,y∈R)则|PA|=,|PB|=,所以|PA|2+|PB|2=(x-1)2+(y-1)2+(x-2)2+(y+2)2=2x2-6x+5+2y2+2y+5= 2(x-)2+2(y+)2+5,所以x=,y=-时|PA|2+|PB|2最小.故|PA|2+|PB|2最小值为5,此时P(,-).(2)如图f(x)=+=+.设A(2,3),B(6,1),P(x,0),则上述问题转化为求|PA|+|PB|的最小值.点A关于x轴的对称点A′(2,-3),因为|PA′|+|PB|≥|A′B|=4, 所以|PA|+|PB|≥4.所以f(x)的最小值为4.。
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3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离
一、选择题
1．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( )
A ．(－2,1)
B ．(－2,5)
C ．(2，－5)
D ．(4，－3)
解析：选B 设对称点坐标为(a ，b )，
满足⎩⎪⎨⎪⎧ a －32＋b ＋42－2＝0，
b －4a ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝5，即Q (－2,5)．
2．两条直线2x －my ＋4＝0和2mx ＋3y －6＝0的交点在第二象限，则m 的取值范围是
( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2 D.()2，＋∞
解析：选 C 解出两直线的交点为⎝
⎛⎭⎪⎫6m －122 3＋m 2 ，6＋4m 3＋m 2，由交点在第二象限，得⎩⎪⎨⎪⎧ 6m －122 3＋m 2 ＜0，6＋4m 3＋m 2＞0，解得m ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，2. 3．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是( )
A ．5 2
B ．2 5
C ．510
D ．10 5
解析：选C 根据光学原理，光线从A 到B 的距离，等于点A 关于x 轴的对称点A ′到点B 的距离，易求得A ′(－3，－5)．
所以|A ′B |＝ 2＋3 2＋ 10＋5 2
＝510.
4．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋ky ＝0相交于一点，则k 的值等于( )
A ．－2
B ．－12
C ．2 D.12
解析：选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2.代入方程x ＋ky ＝0得－1－
2k ＝0，所以k ＝－12
，选B. 5．若直线ax ＋by －11＝0与3x ＋4y －2＝0平行，并过直线2x ＋3y －8＝0和x －2y ＋3＝0
的交点，则a ，b 的值分别为( )
A ．－3，－4
B ．3,4
C ．4,3
D ．－4，－3 解析：选B 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －8＝0，x －2y ＋3＝0，得交点B (1,2)，代入方程ax ＋by －11＝0中，
有a ＋2b －11＝0 ①，又直线ax ＋by －11＝0平行于直线3x ＋4y －2＝0，所以－a b ＝－34
②，11b ≠12
③.由①②③，得a ＝3，b ＝4. 二、填空题
6．点P (2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是________．
解析：设对称点坐标是(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b －5a －2· －1 ＝－1，
a ＋22＋
b ＋52＝1.
解得a ＝－4，b ＝－1，
即所求对称点坐标是(－4，－1)．
答案：(－4，－1) 7．直线ax ＋by －2＝0，若满足3a －4b ＝1，则必过定点________．
解析：由3a －4b ＝1，解出b ，代入ax ＋by －2＝0，得a (4x ＋3y )＝y ＋8.
令⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y ＝0，y ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪
⎧ x ＝6，y ＝－8.
答案：(6，－8)
8．已知A (2,1)，B (1,2)，若直线y ＝ax 与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是________．
解析：如图，直线y ＝ax 的斜率为a 且经过原点O ，
∵直线y ＝ax 与线段AB 相交，∴实数a 的最小值为OA 的斜率，最大值为OB 的斜率，OA
的斜率为12，OB 的斜率为2，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2 三、解答题
9．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和点A (1，－1)，过A 点作直线l 与已知直线l 1相交于B 点，且使|AB |＝5，求直线l 的方程．
解：若l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝1，
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，2x ＋y －6＝0，得B 点坐标(1,4)，此时|AB |＝5，
∴x ＝1为所求；
当l 不与x 轴重直时，可设其方程为y ＋1＝k (x －1)．
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －1 ，
得交点B (
k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)(k ≠－2)． 由已知 k ＋7k ＋2－1 2＋ 4k －2k ＋2
＋1 2＝5， 解得k ＝－34
. ∴y ＋1＝－34
(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0. 综上可得，所求直线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.
10．某地东西有一条河，南北有一条路，A 村在路西3公里、河北岸4公里处；B 村在路东
2公里、河北岸3公里处．两村拟在河边建一座水力发电站，要求发电站到两村距离相等，问发电站建在何处？到两村的距离为多远？
解：以小河的方向向东为x 轴正方向，以路的方向向北为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A (－3,4)，B (2，3)，问题转化为在x 轴上找一点P ，使|PA |＝|PB |，并求|PA |的值．
可设点P 为(x,0)，则有|PA |＝ x ＋3 2＋ 0－4 2
＝x 2＋6x ＋25，|PB |＝ x －2 2＋ 0－3 2＝x 2－4x ＋7.由|PA |＝|PB |得x 2＋6x ＋25＝
x 2－4x ＋7，解得x ＝－95
. 即所求点P 为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－95，0且|PA |＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－95＋32＋ 0－4 2 ＝21095. 故发电站应建在小路以西95公里处的河边，它距两村的距离为21095
公里．。