高一数学单调性教学案例分析

河北师范大学2012级数学专业15-16-1学期中学学科教学案例分析

年级：_ __ 2012级

学号：___**********____

*名：_ ___ **

日期： 2015年10月30日

“函数的单调性”教学案例分析

一．内容介绍

1.教材内容分析

本节课“函数的单调性”是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修1·A版》第一章第三节的内容，函数单调性的实质是对函数运动趋势的研究，它既是函数的基本特征之一，又为后面基本初等函数的研究提供了一般方法，为研究不等关系提供了重要依据。研究函数的单调性是从观察具体图像入手，定量分析数值关系，最终抽象出形式化定义的基本研究方法入手，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维方式，这对培养学生以图识数、发展学生的思维能力，掌握学生的思想方法具有重大意义。

2.学生情况分析

本节内容学生在初中已有了较为粗略的认识，即主要根据观察图像得出结论。本节课中函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生接受起来可能比较困难。在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，方便学生理解，对于

定义，要注意对区间上所取两点x

1，x

2

的“任意性”的理解，多给学生操作和思考的

时间和空间。

二 .教学目标

1 .知识与技能

理解函数单调性的含义，了解增函数、减函数以及单调区间等概念的形成过程。

2 .过程与方法

掌握用定义证明和验证函数单调性的方法和步骤，经历从直观到抽象、从图形语言到数学语言的过程。

3 .情感态度与价值观

通过自主探究活动，体验数学概念形成的过程，体会从特殊到一般的过程。

三 . 教学重、难点

1 .教学重点

形成增函数和减函数的形式化定义。

2 .教学难点

在形成增（减）函数概念的过程中，从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；用定义证明函数的单

调性。

四 .教学基本流程

1 .创设情境，引入概念

右图是某地PM2.5浓度变化图，观

察函数图像，你能发现什么特点吗？

【师生互动】教师引导学生观察图

像的升降变化，说出自己的看法。

【设计意图】通过学生的直观认识

引入新课，让学生对函数单调性产生感

性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最

本质的东西，同时提高学生的环境保护意识。

2 .合作探究，形成概念

观察两组图像，引导学生尝试归纳增函数和减函数的定义。

问题1：两组函数有什么特征？

第一组：

第二组：

问题2：你能用准确的数学符号语言表述增函数的定义吗？

学生讨论，最后由教师给出定义：

一般地，设函数f(x)的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

再由学生类比得到减函数的定义：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1>x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数在区间D上是单调递减函数。

注:

(1) x

1，x

2

三大特征：①属于同一区间；②任意性；③有大小：通常规定x

1

2

；

(2)相对于定义域，函数的单调性可以是函数的局部性质。

举例：x

1，x

2

在(0，＋∞)上是单调增函数，但在整个定义域上不是增（减）函数。

我的启示: 我以问题串的形式进行启发、引导学生自己归纳总结，找出两个函数代数上的共同点，得到减函数的定义，主要是想培养学生对图像的观察能力，以及培养学生的归纳概括能力。而概念的形式化定义的总结过程学生不太熟悉，所以我提出可以相互讨论，希望可以通过合作学习的方式对基础相对较差的学生给予指导，培养学生一种互帮互助的精神。这里我根据知识的发生，发展过程以及对学生的能力的适

当的评估，引导学生自己动手，动脑得出减函数的定义和图像特征，这个过程我并没有刻意去追求“还课堂给学生”，但整个过程自然，流畅，营造了人人参与的气氛，让学生得到了充分的锻炼，激发了学生的灵气。

3.定义应用，概念深化

例1右图是定义在[－5，5]上的函数y=f(x)

的图象，根据图象说出函数y=f(x)的单调区

间，以及在每一单调区间上， y=f(x)是增函

数还是减函数。

解：y=f(x)的单调区间有[－5，－2），[ 2，1），[1，3），[3，5]。

其中y=f(x)在[－5，－2），[1，3）上是减函数；在[－2，1），[3，5）上是增函数。

强调单调区间的写法：

问题1：减区间可否写成[-5，-2）U[1，3）？

问题2：写成[－5，－2）还是写成[-5，-2]？构造反例说明，进行验证。

(1)单调区间一般不能求并集；

(2)当端点满足单调性定义时，可开可闭。

例2函数单调性的证明

证明：函数f(x)=x2+x在（0，＋∞）上是增函数

证明过程：设x

1，x

2

是（0，＋∞）上的任意两个值，且x

1

2

，

则f(x

1)-f(x

2

)=(x

1

2+x

1

)-(x

2

2+x

2

)

=(x

12-x

2

2)+(x

1

-x

2

)

=(x

1-x

2

)(x

1

+x

2

)+(x

1

-x

2

)

=(x

1-x

2

)(x

1

+x

2

+1)

又0

1

2

，故x

1

-x

2

<0，x

1

+x

2

+1>0

则f(x

1)-f(x

2

)<0，即：f(x

1

)

2

)

因此，函数f(x)=x2+x在（0，＋∞）上是增函数。总结定义法证明函数单调性的步骤：

（1）取值:设任意x

1，x

2

属于给定区间，且x

1

2

；

（2）作差变形: f(x

1)-f(x

2

)变形的常用方法:因式分解、配方、有理化等；

（3）定号:确定f(x

1)-f(x

2

)的正负号；

（4）下结论：由定义得出函数的单调性。

4 .归纳总结，提高认识

教师提出问题，引导学生讨论、交流、总结，让学生充分发表意见。（1）通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？

（2）增（减）函数图像有什么特点？如何根据图像指出单调区间？（3）怎样用定义证明函数的单调性？

5 .布置作业

必做：课本P39 A组习题2、3

选作：证明函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)在（- ∞，−b

2a

]上是增函数。