选修2-1 模块综合检测(B)
2019-2020学年人教B版数学选修2-1 全册综合测评 模块综合测评
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标是( )A ．(±5,0)B ．(0，±5)C ．(0，±12)D ．(±12,0)C [∵c 2＝a 2－b 2＝169－25＝122，∴c ＝12.又焦点在y 轴上，故焦点坐标为(0，±12)．]2．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0C [全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并否定结论，即存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0.]3．如图所示，已知平行六面体OAB -CO 1-A 1B 1C 1，点G 是上底面O 1A 1B 1C 1的中心，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO 1→＝c ，则用a ，b ，c 表示向量OG 为→( )A.12(a ＋b ＋2c ) B.12(2a ＋b ＋c ) C.12(a ＋2b ＋c ) D.12(a ＋b ＋c ) A [OG →＝OO 1→＋O 1G →＝OO 1→＋12(OA →＋OC →)＝12a ＋12b ＋c ，，故选A.]4．已知命题p ：∃a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1b ＝3，命题q ：∀x ∈R ，x 2－6x ＋10≥0恒成立，则下列命题是假命题的是( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∨qD ．(綈p )∧qB [对于命题p ，当a ＋b ＝1时，由于1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故1a ＋1b ≠3，命题p 是假命题；对于命题q ，x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1≥0，故命题q 是真命题．从而綈p 为真命题，綈q 为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨q 为真命题，(綈p )∧q 为真命题．故选B.]5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率为( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6C [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝bxa ，代入抛物线方程并整理，得ax 2－bx ＋a ＝0，因为渐近线与抛物线相切，故b 2－4a 2＝0，即b 2＝4a 2.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2＝5a 2，所以e ＝ 5.]6．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若AB →，CD →共线，则AB ∥CD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R)，则P ，A ，B ，C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB →，CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C.]7．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 216＋y 212＝1 A [圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝42，故2a ＝4，即a ＝2，又e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.又椭圆的焦点在x 轴上，所以其标准方程为x 24＋y 23＝1，故选A.]8．给出下列结论：①命题“∀x ∈(0,2)，3x >x 3”的否定是“∃x ∈(0,2)，3x ≤x 3”； ②“若θ＝π3，则cos θ＝12”的否命题是“若θ≠π3，则cos θ＝12”；③若(p ∧q )∨(p ∨q )是真命题，则命题p ，q 一真一假；④“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的充要条件．其中正确结论的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4A [根据全称命题与存在性命题的否定关系，可知①是正确的；②中，命题的否命题为“若θ≠π3，则cos θ≠12”，所以②是错误的；③中，若(p ∧q )∨(p ∨q )是真命题，则命题p ，q 都是真命题或p ，q 一真一假，所以③是错误的；④中，由函数y ＝2x ＋m －1有零点，得1－m ＝2x >0，∴m <1，而函数y ＝log m x 为减函数，则0<m <1，所以④是错误的，故选A.]9．已知命题p ：“若a >b >0，则log 12a ＜log 12b ＋1”，则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．4B [对于命题p ，当a >b >0时，有log 12a <log 12b ，则必有log 12a <log 12b ＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当log 12a <log 12b ＋1时，得log 12a <log 12b2，得a >b2＞0，不一定有a ＞b ＞0，因此逆命题不正确，故否命题也不正确．因此真命题的个数为1.]10．已知倾斜角为π6的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，抛物线C上存在点P 与x 轴上一点Q (5,0)关于直线l 对称，则p ＝( )A.12 B ．1 C ．2D ．3C [由题意得，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P (x 0，y 0)，直线PQ 的方程为y ＝－3(x －5)，由⎩⎨⎧y 20＝2px 0，y 0＝－3(x 0－5)得3(x 0－5)2＝2px 0，又|FP |＝|FQ |，即x 0＋p 2＝5－p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧3(x 0－5)2＝2px 0，x 0＋p 2＝5－p 2，解得⎩⎨⎧x 0＝3，p ＝2.]11．(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1C [如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .其中的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b ＝6，∴ b ＝3.又由e ＝ca ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，∴ a ＝ 3. ∴ 双曲线的方程为x 23－y 29＝1.故选C.]12．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成的角是( )A.π6B.π4C.π3D.π2A [以B 为坐标原点，以与BC 垂直的直线为x 轴，BC 为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．则A (3，1,0)，B 1(0,0,3)，C 1(0,2,3)，AB 1→＝(－3，－1,3)，B 1C 1→＝(0,2,0)，BB 1→＝(0,0,3)．设平面AB 1C 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AB 1→·n ＝0，B 1C 1→·n ＝0，即⎩⎨⎧－3x －y ＋3z ＝0，2y ＝0， 取z ＝1，得n ＝(3，0,1)，∵cos 〈BB 1→，n 〉＝BB 1→·n |BB 1→||n |＝33×2＝12，∴BB 1与平面AB 1C 1所成的角的正弦值为12，∴BB 1与平面AB 1C 1所成的角为π6.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知抛物线C ：4x ＋ay 2＝0恰好经过圆M ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心，则抛物线C 的焦点坐标为________，准线方程为________．(1,0) x ＝－1 [圆M 的圆心为(1,2)，代入4x ＋ay 2＝0得a ＝－1，将抛物线C 的方程化为标准方程得y 2＝4x ，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x ＝－1.]14．已知命题p ：一元一次不等式ax ＋b >0的解集为{x |x ＞－ba }，命题q：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a ＜x ＜b }，则“p ∧q ”“p ∨q ”及“綈p ”形式的复合命题中真命题是________．綈p [p 为假命题，因为a 的符号不确定，q 为假命题，因为a ，b 的大小不确定．所以p ∧q 假，p ∨q 假，綈p 真．]15．如图所示，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，∠B 1A 1C 1＝90°，D 为BB 1的中点，则异面直线C 1D 与A 1C 所成角的余弦值为________．1515[如图所示，以A 为原点建立空间直角坐标系． A 1(0,0,2)，C (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,1,2)，则C 1D →＝(1，－1，－1)，A 1C →＝(0,1，－2)，|C 1D →|＝3，|A 1C →|＝5，C 1D →·A 1C →＝1，cos 〈C 1D →，A 1C →〉＝C 1D →·A 1C →|C 1D →||A 1C →|＝1515，故异面直线C 1D 与A 1C 所成角的余弦值为1515.] 16．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2；④c 1a 1＜c 2a 2.其中正确式子的序号是________．②③ [椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ中相同的量是|PF |，都为a －c ，所以②正确；两椭圆比较有a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，所以①错误；两椭圆中轨道Ⅰ较扁，因此离心率较大，即c 1a 1＞c 2a 2，整理可得c 1a 2＞a 1c 2，所以③正确，④错误．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知命题p ：若函数f (x )＝1－x3，则实数m 满足不等式f (m )<2，命题q ：关于x 的方程2x ＋m ＝0(x ∈R)有实根．若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，求实数m 的取值范围．[解] 若命题p 为真命题，∵f (x )＝1－x3，f (m )＜2， ∴1－m 3＜2，解得m >－5；若命题q 为真命题，则关于x 的方程2x ＋m ＝0(x ∈R)有实根，等价于函数y ＝2x 的图象与直线y ＝－m 有交点，数形结合(图略)，可知－m >0，∴m <0.若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，则存在两种情况： ①当p 为真命题，q 为假命题时，⎩⎨⎧ m ＞－5m ≥0，，∴m ≥0；②当q 为真命题，p 为假命题时，⎩⎨⎧m ≤－5m ＜0，∴m ≤－5.综上，若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，则实数m 的取值范围是(－∞，－5]∪[0，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． [解] (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.19．(本小题满分12分)直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的长；(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？ [解] 由⎩⎨⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0. 由题意可得3－a 2≠0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.(1)|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋a 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋a 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 3－a 22＋83－a 2 ＝2(1＋a 2)(6－a 2)|3－a 2|.(2)由题意知，OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0. 即x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(1＋a 2)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0，∴(1＋a 2)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0，解得a ＝±1.经检验当a ＝±1时，以AB 为直径的圆经过坐标原点． 20．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面PAB .(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AB ⊥平面PAD .所以AB ⊥PD .又因为PA ⊥PD ，所以PD ⊥平面PAB . (2)取AD 的中点O ，连接PO ，CO . 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD .又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD . 如图，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意得A (0,1,0)，B (1,1,0)，C (2,0,0)，D (0，－1,0)，P (0,0,1)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎨⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0.令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2.所以n ＝(1，－2,2)．又PB →＝(1,1，－1)，所以cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝－33.所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33. (3)设M 是棱PA 上一点， 则存在λ∈[0,1]使得AM →＝λAP →.因此点M (0,1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ)．因为BM ⊄平面PCD ，所以要使BM ∥平面PCD 当且仅当BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.解得λ＝14.所以在棱PA 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14.21．(本小题满分12分)如图所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0,1)，离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程．(2)设直线x ＝my ＋1与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′(A ′与B 不重合)，则直线A ′B 与x 轴是否交于一个定点？若是，求出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．[解](1)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2可得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1x ＝my ＋1，得(my ＋1)2＋4y 2＝4， 即(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，且y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4. 经过点A ′(x 1，－y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1. 令y ＝0，则x ＝x 2－x 1y 2＋y 1y 1＋x 1 ＝(x 2－x 1)y 1＋x 1(y 1＋y 2)y 1＋y 2 ＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2＝(my 2＋1)y 1＋(my 1＋1)y 2y 1＋y 2＝2my 1y 2＋(y 1＋y 2)y 1＋y 2＝－6m m 2＋4－2m m 2＋4－2m m 2＋4＝4.故直线A ′B 与x 轴交于定点(4,0)．22．(本小题满分12分)如图所示，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB ＝BE ＝2.(1)求证：EG ∥平面ADF ；(2)求二面角O -EF -C 的正弦值；(3)设H 为线段AF 上的点，且AH ＝23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．[解] 依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为坐标原点，分别以AD →，BA →，OF →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意可得O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (－1，－1,0)，C (1，－1,0)，D (1,1,0)，E (－1，－1,2)，F (0,0,2)，G (－1,0,0)．(1)依题意，AD →＝(2,0,0)，AF →＝(1，－1,2)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AD →＝0n 1·AF →＝0，即⎩⎨⎧ 2x ＝0x －y ＋2z ＝0. 不妨设z ＝1，可得n 1＝(0,2,1)，又EG →＝(0,1，－2)，可得EG →·n 1＝0.又直线EG ⊄平面ADF ，所以EG ∥平面ADF .(2)易证，OA →＝(－1,1,0)为平面OEF 的一个法向量．依题意，EF →＝(1,1,0)，CF →＝(－1,1,2)．设n 2＝(x ′，y ′，z ′)为平面CEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·EF →＝0n 2·CF →＝0即⎩⎨⎧x ′＋y ′＝0－x ′＋y ′＋2z ′＝0. 不妨设x ′＝1，可得n 2＝(1，－1,1)．因此有cos 〈OA →，n 2〉＝OA →·n 2|OA →||n 2|＝－63， 于是sin 〈OA →，n 2〉＝33. 所以二面角O -EF -C 的正弦值为33. (3)由AH ＝23HF ，得AH ＝25AF . 因为AF →＝(1，－1,2)，所以AH →＝25AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－25，45， 进而有H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，35，45，从而BH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，85，45， 因此cos 〈BH →，n 2〉＝BH →·n 2|BH →|·|n 2|＝－721. 所以直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.。
苏教版数学选修2 1模块综合检测B 课时作业含答案
(B)模块综合检测)160分分钟时间：120满分：()70分14小题，每小题5分，共一、填空题(本大题共2?命题“奇数________形式，1≥”“1p”填空，命题“a”是＋1．用“p或q”“p且q ________形式．的平方不是偶数”是??的取值的充分条件，则实数是a)>0－2)(3－x，若qp2．已知p：－4<x－a<4，q：(x ________________．范围是221xy________.b＝±x，则＝1 (b>0)的渐近线方程为y＝3．若双曲线－24b222xxy2的一个交点，C＝1与P是曲线C：－y14．设F、F为曲线C：＋＝的焦点，12121326 ．F的面积为________则△PF21．P的轨迹方程为________(0,3)的距离小2，则点y5．若点P到直线＝－1的距离比它到点．则最小值为________＋轴上，且使PMPN取得最小值，－1,3)，N(2,1)，点P在x已知6．M( 是不重合的平面，有下列命题：、βm、n是不重合的直线，α7．已知，nm⊥m∥α，，m⊥β，则α∥β；③若，∩β＝n，m∥n，则m∥αm∥β；②若m⊥α①若α?. ⊥nα，则mαn⊥α；④若m⊥，n则________．其中所有真命题的序号是相互垂直的充要条件3b2a－＋，－1)，则m ab与a8．已知向量＝(－2,3,2)，b＝(1，－5 ________．为22yx轴的弦的弦x，若过点F且垂直于l>b>0)的右焦点为F，右准线为9．椭圆＋＝1 (a22111ba ．l的距离，则椭圆的离心率是________长等于点F到11→→→→2AF，则|FB＋FC＝0的焦点，点A，B，C在此抛物线上，若FA＋10．设F为抛物线x＝8y→→________.|FC＝FB|＋||＋|→→→，A2e，当CD e，＝6e－2ee11．已知非零向量，e不共线，如果AB＝＋e，BC＝e＋λ21112221________. ＝D三点共线时，λC，12.2＝MA ＝AN 分别为，NAB 和AC 上的点，，中，C —在正方体ABCDABD 棱长为aM 1111112 ．________与平面BBCC 的位置关系是MNa ，则11→→→→→的夹角的余弦值为ACAB1)(4,5OC(4,1,0)OB(1,1,0)OA13．已知＝，＝，＝，－，则向量和 ．________14.＝3，∠ABC ＝AA ＝60°，则二面角，如图，直三棱柱ABC —ABC 中，AB ＝1AC 1111A —AC —B的余弦值是________． 1二、解答题(本大题共6小题，共90分)，≥0x ＋2?? p ：(14分)已知命题15．?，≤0x －10????q 的必要不充分条件，求实数m的取值范围．>0，若p是mm命题q：1－≤x≤1＋m，22yx16.(14分)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F，F，一条直线l经过点F与椭圆交于A，11243B 两点．(1)求△ABF的周长；2π(2)若l的倾斜角为，求△ABF的面积．2417.且∠垂直，CCD中，面ABCD与面DB分(14)如图所示，在平行六面体ABCD—ACD111111ππ＝3，∠ADC＝，求异面直线AC与AD所成角余弦值．，DD＝DDC，DC＝＝2DA 111322：只有一个实q上只有一个解；命题1,1]－[在0＝2－ax＋ax：方程p已知命题)分18.(16．2＋2ax＋2a≤0.若命题“p∨q”为假命题，求实数a的取值范围．x数x满足)分(16．19．在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE，M 是AB的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：CM⊥EM；(2)求CM与平面CDE所成角的大小．20.(16分)已知直线(1＋4k)x－(2－3k)y－(3＋12k)＝0 (k∈R)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C的长轴长为10.(1)求椭圆C的标准方程；22＝1，直线l：mx＋ny＝1，当点P(m，：(2)已知圆Oxn＋y)在椭圆C上运动时，求直线l被圆O 所截得的弦长的取值范围．模块综合检测(B)1．p或q綈p222＋1＝1是p或q1>1或a形式，奇数的平方不是偶数为綈p形式．aa解析≥＋11，即＋2．－1≤a≤6解析由已知q?p，∴(2,3)?(a－4，a＋4)．2≤a－4??6. a≤，∴－∴1≤?34≥＋a??1．3．24.22yx?1＋＝26?解析设P点在第一象限，由，2x?21＝－y3223??点坐标为. P 得，??222112.∴S＝FF·×y＝＝×4p21PF1F2△222212y＝5．x 的距离相等．点解析P到直线y＝－3的距离和它到点(0,3)5．6＝N′，则MM′(－1，－3)，所求最小值为′M解析设关于x轴的对称点为M225. ＋?1＋32＋1??＝?．②④717 ＝8．m13 b)·(2a－3b)＝0，由解析(ma＋0. m－5,2m－1)·(－7,21,7)＝可得(－2m＋1,30.＝m－7m－105＋14∴14m－7＋6317.＝，∴m∴91m＝119131 9.2222ba2b ＝，由已知得＝－c解析cac1c.＝c，∴椭圆的离心率e＝＝∴a22a12 ．102．－111→→→2.λ＝－eλ)e＝6ke－2k，所以k＝，＋＋解析设ABBC＝kCD，即有3e(1＋21122 12．平行111→→→→→→→→→→→→＋BCA(A＋CB)＋)(＝解析MNMB＋BC＋CN＝AA＋AB＋BC＋(CBCD)＝1111222111→→→. B＋BC＝C＝BB11222. MN∥平面BCCB所以11263 13.26→→1)，解析AB＝＝(3,0,0)，AC(3,4，－263→→.AC〉＝cos〈AB，2615 14.5 m，>0，＋：－：px∈[2,10]，qx∈[1－m,1m]．15解?p. 且qqq綈∵p是綈的必要不充分条件，∴p?．]m＋1m,－[1 2,10]－[∴．，>0m???，21－m≤－9.≥∴∴m??10.≥＋m1 (1)16．解由椭圆的定义，得AF＋AF＝2a，21 BF＋BFAB，AF＋BF＝＝2a，又1121.a＋BF＝4的周长＝所以，△ABFAB＋AF22228. 2，故△ABF点周长为又因为a＝4，所以a＝2 1,0)，－(2)由条件，得F(1π的倾斜角为斜率为，所以，因为ABAB141.故直线AB的方程为y＋＝x，y＝x＋1???22由yx，＋＝1??342 y，－67y－＝90消去x，得yx，y))，B(x，，设A(211226233－＋6 ，，y＝解得y＝21771|y|y－所以，S＝FF·22211ABF△22122121. ×2×＝＝727 ．解建立如图所示的空间直角坐标系，17则，3)，C(0,2,0)，D，0,0)，D(0,1(0,0,0)，(A31→→由AA＝DD 11得A(3，1，3)．1→∴AC＝(－3，1，－3)．1→DA＝(3，－1，－3)．1→→AC·DA→→11∴cos〈AC，DA〉＝11→→|AC|·|DA|11?－3，1，－3?·?3，－1，－3?1＝＝－.77·71∴异面直线AC与AD所成角的余弦值为.11722＋ax－2，axf(x)＝－＋．解p：方程axax－2＝0在[1,1]上只有一个解，令18则f(－1)·f(1)<0或f(1)＝0或Δ＝0?a≥1或a＝－8；2q：x＋2ax＋2a≤0，只有一个x满足，2－8a＝0?a＝0或＝则Δ4aa＝2.若p∨q为假命题，则p假，且q假．p为假，则a<1，且a≠－8，而q为假，则a≠0且2.≠a8.≠－a<1且a≠0，a综合得且与平轴，过点CB，CA所在直线为x，yC19．(1)证明分别以. xyz面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—，E(0，－2a，a)设AE ＝a，则M(a，－a,0)，→→，(a，a，－a)所以CM＝(a，－a,0)，EM＝→→(－a)＝0，＝a×a ＋(－a)×a＋0×EM所以CM·.所以CM⊥EM→→(2a,0,2a)，解CE＝(0，－2a，a)，CD＝(2) ，y，z)，设平面CDE的法向量n＝(x，＝2y－2ay＋az＝0，z????则有即??，＝－z02ax＋2az＝，x???? 2,1,2)，令y＝1，则n＝(－→n CM·→n〉＝cos〈CM，→|n|CM||2＋02×?＋?－a?×1a×?－2 ＝＝－，23a×2.与平面CDE所成的角为45°所以，直线CM ，＝0(4x＋3y－12)－＝0 (k∈R)，得(x2y－3)＋k －x20．解(1)由(1＋4k)－(2－3k)y(3＋12k)0＝x－2y－3??，则由，解得F(3,0)?0＝x＋3y－124??22yx 1 (a>b>0)，设椭圆C的方程为＋＝22ba3＝c22?yx?1.的方程为＋＝，所以椭圆则C?16255a＝?? )在椭圆C上运动，(2)因为点P(m，n22nm22 n，所以1＝＋<m＋1625 ＝1的距离O到直线l：mx＋ny从而圆心1.＝r<1d＝22nm＋O恒相交．所以直线l与圆截得的弦长为l又直线被圆O122－d2＝L＝2r1－22n ＋m1 －＝219216m＋25922＋16≤m25，由于0m≤，所以≤2516≤251546??，∈则L，??52 截得的弦长的取值范围是O被圆l即直线1546??.L∈，??52．。
高二数学(人教B版)选修2-1单元 第1章综合素质检测
第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析]y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，周期T＝2π|2a|＝π|a|＝π，则a＝±1.故选A.2．若条件p：|x＋1|≤4，条件q：x2<5x－6，则綈p是綈q的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B[解析]綈p：{x|x<－5或x>3}，綈q：{x|x≤2或x≥3}，∴綈p⇒綈q，綈q綈p.故选B.3．已知m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，n⊂α，则m∥α.其中真命题的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④[答案] A[解析]①正确，排除C、D；m⊥α，m∥β，∴β内存在直线n∥m，∴n⊥α，∴α⊥β，③正确，排除B.故选A.4．下列命题中，真命题是()A．∀x∈R，x>0B ．如果x <2，那么x <1C ．∃x ∈R ，x 2≤－1D ．∀x ∈R ，使x 2＋1≠0[答案] D[解析] A 显然是假命题，B 中若x ∈[1,2)虽然x <2但x 不小于1.C 中不存在x ，使得x 2≤－1，D 中对∀x ∈R 总有x 2＋1≥1，∴x 2＋1≠0，故D 是真命题，选D.5．(2009·山东烟台3月考)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n .其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] ①④正确，②③不正确．故选B.6．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直的充要条件是：(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，解得m ＝12或m ＝－2，故应选B. 7．(2010·广东文，8)“x ＞0”是“3x 2＞0”成立的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 [答案] A[解析] 本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x >0显然能推出3x 2>0，而3x 2>0⇔|x |>0⇔x ≠0，不能推出x >0，故选A.8．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≥0，则下面说法正确的是( )A ．綈p 是存在性命题，且是真命题B ．綈p 是全称命题，且是真命题C ．綈p 是全称命题，且是假命题D ．綈p 是存在性命题，且是假命题[答案] A[解析] 綈p ：∃x ∈R ，sin x <0，所以是存在性命题也是真命题．故选A.9．给出命题p ：“若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形”；命题q ：“实数a 、b 、c 满足b 2＝ac ，则a 、b 、c 成等比数列”．那么下列结论正确的是( )A ．p 且q 与p 或q 都为真B ．p 且q 为真而p 或q 为假C ．p 且q 为假且p 或q 为假D ．p 且q 为假而p 或q 为真[答案] C[解析] p ：若AB →·BC →>0，则∠B >90°所以△ABC 为钝角三角形，故p 为假命题．q ：a 、b 、c 均为零时b 2＝ac 但a 、b 、c 不成等比数列，故q 为假命题，所以p 且q 为假，p 或q 也为假，故选C.10．下列有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0B ．x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0[答案] C[解析] p ∧q 为假，则p ，q 至少一个为假．故选C.11．(2009·天津高考)设x ∈R ，则“x ＝1”是“x 3＝x ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] x ＝1⇒x 3＝x ，但x 3＝x x ＝1，故选A. 12．用反证法证明命题：若系数为整数的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是( )A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个是偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个是偶数[答案] B[解析] a 、b 、c 中至少有一个是偶数的否定是a 、b 、c 都不是偶数，故选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．“|x －2|<2成立”是“x (x －3)<0成立”的________条件．[答案] 必要不充分[解析] 由|x －2|<2得－2<x －2<2⇔－1<x <3.由x (x －3)<0⇔0<x <3，显然－1<x <3⇐0<x <3.14．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，则使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－2]∪[－1,3)[解析] 对于方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不等正根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4>0，－2m >0.∴m <－1， 方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，Δ＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)<0，∴－2<m <3，若p 真q 假，则m ≤－2；若p 假q 真，则－1≤m <3.15．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象过原点的充要条件是________________．[答案] c ＝016．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①AB ⇔对∀x ∈A ，有x ∉B ； ②AB ⇔A ∩B ＝∅； ③AB ⇔A ⊉B ； ④A B ⇔∃x ∈A ，使得x ∉B ，其中真命题的序号是________________． [答案] ④[解析] 通过举反例说明：若A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2,4}，满足A B ，但1∈A 且1∈B ，A ∩B ＝{1,2}，所以①，②是假命题；若A ＝{1,2,4}，B ＝{1} 满足A B ，但B ⊆A ，所以③是假命题；只有④为真命题．三、解答题(本大题共6个大题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解析] 逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0；(真) 否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1；(真)逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0(真)18．(本题满分12分)已知a >0设命题p ：函数y ＝(1ax 为增函数． 命题q ：当x ∈[12，2]时函数f (x )＝x ＋1x >1a恒成立． 如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求a 的范围．[解析] 当y ＝(1a)x 为增函数，得0<a <1. 当x ∈[12，2]时，因为f (x )在[12，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数． ∴f (x )在x ∈[12，2]上最小值为f (1)＝2. 当x ∈[12，2]时，由函数f (x )＝x ＋1x >1a恒成立． 得2>1a 解得a >12. 如果p 真且q 假，则0<a ≤12； 如果p 假且q 真，则a ≥1.所以a 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞)． 19．(本题满分12分)已知a >0，函数f (x )＝ax －bx 2.(1)当b >0时，若对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，证明a ≤2b ；(2)当b >1时，证明：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b .[证明] (1)∵f (x )＝－b (x －a 2b )2＋a 24b对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，∴f (a 2b )＝a 24b≤1. 又∵a >0，b >0，∴a 2≤4b ，即a ≤2b .(2)必要性：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1，即－1≤f (x )≤1，∴f (1)≥－1，即a －b ≥－1，∴a ≥b －1.∵b >1，∴0<1b<1，∴f ⎝⎛⎭⎫1b ≤1. 即a ·1b －b ·(1b)2≤1， ∴ab －1≤1，∴a ≤2b .所以b －1≤a ≤2b .充分性：∵b >1，∴f (x )的图象是开口向下的抛物线．由a ≤2b ，得0<a 2b <a 2b≤1. ∴0<a 2b <1. ∴y max ＝f (a 2b )＝a 24b ＝(a 2b)2≤1. ∴f (x )≤1.∵f (0)＝0，∴f (0)>－1.又∵f (1)＝a －b ，由b －1≤a ，即a ≥b －1，知f (1)≥b －1－b ＝－1.而函数f (x )在(0，a 2b)上单调递增，在⎣⎡⎭⎫a 2b ，1上单调递减，所以当x ∈[0,1]时，f (x )≥－1.综上所述，当b >1时，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b .20．(本小题满分12分)求使函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴上方成立的充要条件．[解析] 要使函数f (x )的图象全在x 轴上方的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0Δ＝16(a －1)2－4(a 2＋4a －5)×3<0， 或⎩⎨⎧a 2＋4a －5＝0y >0 解得1<a <19或a ＝1.所以使函数f (x )的图象全在x 轴上方的充要条件是1≤a <19.21．(本小题满分12分)已知命题p ：lg (x 2－2x －2)≥0；命题q ：|1－x 2|<1.若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg (x 2－2x －2)≥0得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0，即(x －3)(x ＋1)≥0，∴x ≥3或x ≤－1.由|1－x2|<1，－1<1－x2<1∴0<x<4.∵命题q为假，∴x≤0或x≥4，则{x|x≥3或x≤－1}∩{x|x≤0或x≥4}＝{x|x≤－1或x≥4}，∴满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．22．(本小题满分14分)证明二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af(m)<0.[解析]充分性：设△＝b2－4ac≤0则af(x)＝a2x2＋abx＋ac＝a2(x＋b2a )2－b24＋ac＝a2(x＋b2a)2－14(b2－4ac)≥0，所以af(m)≥0，这与af(m)<0矛盾，即b2－4ac>0.故二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个不等的零点，设为x1，x2，且x1<x2，从而f(x)＝a(x－x1)(x－x2)，af(m)＝a2(m－x1)(m－x2)<0，所以x1<m<x2.必要性：设x1，x2是方程的两个零点，且x1<x2，由题意知x1<m<x2，因为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)，且x1<m<x2.∴af(m)＝a2(m－x1)(m－x2)<0，即af(m)<0.综上所述，二次函数f(x)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af(m)<0.。
2020版数学人教B版选修2-1：模块综合试卷 Word版含解析
模块综合试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．2．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是( )A ．“若a >b ，则a －1≤b －1”B ．“若a >b ，则a －1<b －1”C ．“若a ≤b ，则a －1≤b －1”D ．“若a <b ，则a －1<b －1”答案 C解析 否命题为“若a ≤b ，则a －1≤b －1”．3．设k <3，k ≠0，则二次曲线－＝1与＋＝1必有( )x 23－k y 2k x 25y 22A ．不同的顶点B ．不同的准线C ．相同的焦点D ．相同的离心率答案 C解析 当0<k <3时，0<3－k <3，∴－＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，a 2＋b 2＝3＝c 2.x 23－k y 2k∴两曲线有相同焦点；当k <0时，－k >0且3－k >－k ，∴＋＝1表示焦点在x 轴上的椭圆．x 23－k y 2－ka 2＝3－k ，b 2＝－k .∴a 2－b 2＝3＝c 2与已知椭圆有相同焦点．4．双曲线－＝1的焦距是( )x 2m 2＋12y 24－m 2A ．4B ．2C ．8D ．422答案 C解析 依题意知，a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c ＝＝＝4.所以焦距2c ＝8.a 2＋b 2165．以双曲线－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )x 24y 212A.＋＝1B.＋＝1x 216y 212x 212y 216C.＋＝1 D.＋＝1x 216y 24x 24y 216答案 D解析 由－＝－1，得－＝1，∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，顶点坐标为(0,2)，(0，x 24y 212y 212x 243－2)．3∴椭圆方程为＋＝1.x 24y 2166．若命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．1≤a ≤3B ．－1≤a ≤3C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤1答案 B解析 根据题意可得∀x ∈R ，都有x 2＋(a －1)x ＋1≥0，∴Δ＝(a －1)2－4≤0，∴－1≤a ≤3.7．已知双曲线－＝1(a >)的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( )x 2a 2y 222π3A. B. C. D ．22332633答案 A解析 如图所示，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，2a若∠AOB ＝，则θ＝，π3π6tan θ＝＝，2a 33∴a ＝>.62又∵c ＝＝2，6＋22∴e ＝＝＝.c a 2262338．以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是()x 24y 25A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x答案 A解析 由－＝1，x 24y 25得a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9.∴右焦点的坐标为(3,0)，故抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0)，故＝3，∴抛物线方程为y 2＝12x .p 29．过点P (－4,0)的直线l 与曲线C ：x 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点，则AB 中点Q 的轨迹方程为( )A ．(x ＋2)2＋2y 2＝4B ．(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1<x ≤0)C ．x 2＋2(y ＋2)2＝4D ．x 2＋2(y ＋2)2＝4(－1<x ≤0)答案 B解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，Error!⇒x －x ＝－2(y －y )221221⇒＝－⇒k AB ＝－y 2－y 1x 2－x 112(x 2＋x 1y 2＋y 1)x 2y⇒k PQ ＝＝－⇒(x ＋2)2＋2y 2＝4，y x ＋4x 2y AB 中点Q 的轨迹方程为(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1<x ≤0)．10．已知命题p ：“若a >b >0，则<＋1”，则命题p 的逆命题、否命题、逆否12log a 12log b 命题中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于命题p ，当a >b >0时，有<，则必有<＋1，因此原命12log a 12log b 12log a 12log b题正确，逆否命题也正确；但当<＋1时，得<，得a >>0，不12log a 12log b 12log a 12log 2b b 2一定有a >b >0，因此逆命题不正确，故否命题也不正确．因此真命题的个数为1.11．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. B ．2 C. D.532答案 D解析 如图，设双曲线E 的方程为－＝1(a >0，b >0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，x 2a 2y 2b2可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝a ，3x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (2a ，a )代入－＝1，可得a 2＝b 2，3x 2a 2y 2b2∴e ＝＝ ＝，故选D.c a a 2＋b 2a 2212．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝，则cos 〈，〉的值为( )π3OA → BC → A. B. C ．－ D ．0122212答案 D解析 ∵OB ＝OC ，∴cos 〈，〉＝＝＝＝OA → BC → OA → ·BC → |OA → ||BC → |OA → ·(OC → －OB → )|OA → |·|BC → ||OA → ||OC → |cos π3－|OA → ||OB → |cos π3|OA → ||BC → |0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有＝2＋＋λ，OP → OA → OB → OC →则λ＝________.答案 －2解析 因为P 与不共线三点A ，B ，C 共面，所以2＋1＋λ＝1，所以λ＝－2.14．已知命题p ：一元一次不等式ax ＋b >0的解集为Error!，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p ∧q ”“p ∨q ”及“綈p ”形式的复合命题中真命题是________．答案 綈p解析 p 为假命题，因为a 的符号不确定，q 为假命题，因为a ，b 的大小不确定．所以p ∧q 假，p ∨q 假，綈p 真．15．椭圆＋＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．x 29y 22答案 120°解析 在椭圆＋＝1中，a 2＝9，a ＝3，b 2＝2，x 29y 22又c 2＝a 2－b 2＝7，所以c ＝.7因为|PF 1|＝4，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6－4＝2.所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝＝－，所以∠F 1PF 2＝120°.42＋22－(27)22×4×21216．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为________．答案 63解析 建立空间直角坐标系Dxyz 如图所示，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，D 1(0,0,1)．因为AB ⊥平面BCC 1B 1，所以＝(0,2,0)为平面BCC 1B 1的法向量．AB →设直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈，〉|＝AB →BD 1→|AB → ·BD 1→ ||AB →| |BD 1→|＝＝.|(0，2，0)·(－1，－2，1)|2×663三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p ∨q 为真， 綈p 为真，求m 的取值范围．解 对p ：∵直线与圆相交，∴d ＝<1.|1－m |2∴－＋1<m <＋1.22对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根，∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4，∴Error!或Error!解得0<m <4.∵綈p 为真，∴p 假．又∵p ∨q 为真，∴q 为真．由数轴可得＋1≤m <4.2故m 的取值范围是[＋1,4)．218．(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点．(1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．解 (1)由Error!消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得Error!即－<a <且a ≠±.663(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则Error!∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0.∴(a 2＋1)·＋a ·＋1＝0，－23－a 22a 3－a 2∴a ＝±1，符合题意，故a ＝±1.19．(12分)已知椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共焦点，且过(，0)，求：2(1)椭圆的标准方程；(2)椭圆上斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程．解 (1)依题意得，将双曲线方程标准化为－＝1，x 212y 212则c ＝1.因为椭圆与双曲线有公共焦点，所以设椭圆方程为＋＝1，x 2a 2y 2a 2－1因为椭圆过(，0)，所以＋＝1，22a 20a 2－1即a 2＝2，所以椭圆的标准方程为＋y 2＝1.x 22(2)依题意，设斜率为2的弦所在直线方程为y ＝2x ＋b ，弦的中点坐标为(，)，直线与椭圆x y 交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由Error!得9x 2＋8bx ＋2b 2－2＝0，所以Error!即Error!所以＝－.y 14x 令Δ＝0，则64b 2－36(2b 2－2)＝0，即b ＝±3，所以斜率为2且与椭圆相切的直线方程为y ＝2x ±3，即当＝±时，斜率为2的直线与椭圆相切．x 43所以平行弦的中点轨迹方程为y ＝－x .14(－43≤x ≤43)20．(12分)如图，平面PAC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，PA ＝PC ＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .证明 如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．因为＝(8,0,0)，＝(0，－4,3)，设平面BOE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，OB → OE →则Error!解得x ＝0,4y ＝3z ，令z ＝4，则n ＝(0,3,4)，所以平面BOE 的法向量为n ＝(0,3,4)．由＝(－4,4，－3)，得n ·＝0，所以⊥n .FG → FG → FG →又FG ⊄平面BOE ，所以FG ∥平面BOE .21．(12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；(1)证明 因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1 ⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，所以AA 1⊥平面ABC .(2)解 由(1)知AA 1 ⊥AC ，AA 1 ⊥AB .由题意知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4，0,4),设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，又＝(0,3，－4)，＝(4,0,0)，A 1B → A 1C 1→则Error!即Error!令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3).同理可得，平面BB 1C 1的法向量为m ＝(3,4,0)，所以cos 〈n ，m 〉＝＝.n ·m |n ||m |1625由题意知二面角A 1BC 1B 1为锐角，所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为. 162522．(12分)已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)，椭圆C 上的一动点到右焦点的最短距离为2－x 2a 2y 2b 2，且右焦点到直线x ＝的距离等于短半轴的长．已知点P (4,0)，过P 点的直线l 与椭圆C 2a 2c相交于M ，N 两点，点T 与点M 关于x 轴对称．(1)求椭圆C 的方程；(2)求·的取值范围；OM → ON →(3)证明：直线TN 恒过某定点．(1)解 由题意知Error!解得Error!故椭圆C 的方程为＋＝1.x 24y 22(2)解 由题意知直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y ＝k (x －4)．由Error!得(2k 2＋1)x 2－16k 2x ＋32k 2－4＝0.Δ＝(－16k 2)2－4(2k 2＋1)(32k 2－4)＝16－96k 2>0，解得0≤k 2<.16设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，16k 22k 2＋1x 1x 2＝，32k 2－42k 2＋1y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4)＝，12k 22k 2＋1从而·＝x 1x 2＋y 1y 2＝＝22－.OM → ON → 44k 2－42k 2＋1262k 2＋1因为0≤k 2<，16所以·∈.OM → ON → [－4，52)(3)证明 由(2)知T (x 1，－y 1)，直线TN 的方程为y －y 2＝(x －x 2)．y 2＋y 1x 2－x 1令y ＝0，得x ＝x 2－.y 2(x 2－x 1)y 2＋y 1将y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)代入，整理得x ＝.(*)2x 1x 2－4(x 1＋x 2)x 1＋x 2－8由(2)知x 1＋x 2＝，x 1x 2＝，16k 22k 2＋132k 2－42k 2＋1代入(*)式整理，得x＝1.所以直线TN恒过定点(1,0)．。
高中数学人教A版选修2-1模块综合检测(B).docx
模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －52．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－1]，(0,1) D ．[－1,0)，(0,1]3．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像可能是( )4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m (x ∈R )有两个零点，并且不等式f (1－x )≥－1恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]5．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4)，那么下图中(A)(B)所对应的运算结果可能是( )A ．B *D ，A *D B ．B *D ，A *C C ．B *C ，A *D D ．C *D ，A *D6．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B.12 C ．－12D ．－2 7．设a 、b ∈R ，那么“a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N ＋(m ，n ∈N ＋)，且对任意m ，n ∈N ＋都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1，1)＝2f (m ，1)．给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26. 其中正确结论的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．09．已知函数f (x ) (x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，那么函数f (x )的单调减区间是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞)10．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (|x |)|的图像可能是( )11．若z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )是方程z 2＝－3＋4i 的一个根，则z 等于( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．－1－2i 或1＋2i D ．2＋i12．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图像过点(0，－5)，当函数f (x )取得极小值－6时，x 的值应为( )A ．0B ．－1C ．±1D ．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．14．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．15．若a ≥b >0，则a ＋4(2a －b )b的最小值为________．16．复数z ＝x －2i (x ∈R )与其共轭复数z 对应的向量相互垂直，则x ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1)，且曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线与x 轴平行． (1)求a 的值，并讨论f (x )的单调性；(2)证明：当θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，|f (cos θ)－f (sin θ)|<2.18．(12分)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：a ＋12＋b ＋12≤2.19.(12分)设z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i (a ∈R )，已知A ＝{z ||z －z 1|≤2}，B ＝{z ||z －z 2|≤22}，A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．20．(12分)已知f (x )＝23x 3－2ax 2－3x (a ∈R )，(1)若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，求实数a 的取值范围； (2)试讨论y ＝f (x )在(－1,1)内的极值点的个数．21.(12分)由下列各式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，你能得到怎样的一般不等式，并加以证明．22．(12分)已知函数f (x )＝ln(1＋ax )－x 2 (a >0，x ∈(0,1])． (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若不等式1＋n 2λ≥n 2ln ⎝⎛⎭⎫1＋2n 对一切正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围． 答案1．B [y ′＝3x 2－6x ，∴k ＝y ′|x ＝1＝－3， ∴切线方程为y ＋1＝－3(x －1)， ∴y ＝－3x ＋2.]2．A [∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x，∴0<x ≤1时，f ′(x )≤0.] 3．A [依题意，f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图像上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项中的图像，只有A 满足．]4．B [∵f (x )＝x 2－2x ＋m 有两个零点，∴4－4m >0，∴m <1，由f (1－x )≥－1得(1－x )2－2(1－x )＋m ≥－1， 即x 2＋m ≥0，∴m ≥－x 2，∵－x 2的最大值为0，∴0≤m <1.]5．B [由(1)(2)(3)(4)图得A 表示|，B 表示□，C 表示—，D 表示○，故图(A)(B)表示B *D 和A *C .]6．D [y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1.∴y ′|x ＝3＝－2(x －1)2|x ＝3＝－12. ∴－a ×⎝⎛⎭⎫－12＝－1.∴a ＝－2.] 7．A [∵a 2＋b 2<1，∴|a |<1，|b |<1.∴ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0成立． 反之：(a －1)(b －1)>0，推不出a 2＋b 2<1.]8．A [(1)由f (1,1)＝1和f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2 得f (1,2)＝f (1,1＋1)＝f (1,1)＋2＝1＋2＝3， f (1,3)＝f (1,2)＋2＝5，f (1,4)＝f (1,3)＋2＝7， f (1,5)＝f (1,4)＋2＝9；(2)由f (1,1)＝1和f (m ＋1,1)＝2f (m,1) 得f (2,1)＝f (1＋1,1)＝2f (1,1)＝2，f (3,1)＝2f (2,1)＝4，f (4,1)＝2f (3,1)＝8， f (5,1)＝2f (4,1)＝16；(3)由f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2 得f (5,6)＝f (5,5)＋2，而f (5,5)＝f (5,4)＋2，f (5,4)＝f (5,3)＋2，f (5,3)＝f (5,2)＋2，f (5,2)＝f (5,1)＋2＝16＋2＝18， 则f (5,6)＝26.]9．C [根据函数f (x ) (x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 20－1)(x －x 0)，可知其导数f ′(x )＝(x －2)(x 2－1)＝(x ＋1)·(x －1)(x －2)，令f ′(x )<0，得x <－1或1<x <2.因此f (x )的单调减区间是(－∞，－1)和(1,2)．]10．A [该题考查函数的图像变换，显然从f (x )→f (|x |)的图像是保留原函数y 轴右侧的图像，再根据偶函数的性质处理即可；从f (x )→|f (x )|的图像是保留原函数在x 轴上方的图像，把下方的图像翻折到x 轴上方去，结合原函数的特征．]11．C12．C [f (x )＝x 4－2x 2＋c .因为过点(0，－5)，所以c ＝－5. 由f ′(x )＝4x (x 2－1)，得f (x )有三个极值点，列表判断±1均为极小值点，且f (1)＝f (－1)＝－6.]13．(－1,0]解析 f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )>0，得－1<x <1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m <2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1<m ≤0.14. 2解析 设曲线上一点的横坐标为x 0 (x 0>0)，则经过该点的切线的斜率为k ＝2x 0－1x 0，根据题意得，2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12，又∵x 0>0，∴x 0＝1，此时y 0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|2＝ 2.15．3解析 a ＋4(2a －b )b ＝⎝⎛⎭⎫a －b 2＋b 2＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2·b2≥3，当且仅当a ＝b ＝2时取等号． 16．±2解析 ∵z ＝x －2i ，∴z ＝x ＋2i ，又两对应向量垂直，∴x 2－4＝0，∴x ＝±2.17．(1)解 f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1＋2ax ＋1)． 由条件知，f ′(1)＝0，故a ＋3＋2a ＝0， ∴a ＝－1.于是f ′(x )＝e x (－x 2－x ＋2)＝－e x (x ＋2)(x －1)． 故当x ∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )>0.从而f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2,1)上单调递增． (2)证明 由(1)知f (x )在[0,1]上单调递增， 故f (x )在[0,1]的最大值为f (1)＝e ， 最小值为f (0)＝1.从而对任意x 1，x 2∈[0,1]，有 |f (x 1)－f (x 2)|≤e －1<2.而当θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，cos θ，sin θ∈[0,1]． 从而|f (cos θ)－f (sin θ)|<2.18．证明 ∵1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14.∴12(a ＋b )＋ab ＋14≤1. ∴⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤1.从而有2＋2⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤4. 即⎝⎛⎭⎫a ＋12＋⎝⎛⎭⎫b ＋12＋2⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤4. ∴⎝⎛⎭⎫a ＋12＋b ＋122≤4.∴a ＋12＋b ＋12≤2. 19．解 ∵集合A 、B 在复平面内对应的点是两个圆面，又A ∩B ＝∅，∴这两个圆外离， 所以|z 1－z 2|>32，即|(1＋2a i)－(a －i)|>3 2.解之得a ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫85，＋∞. 20．解 (1)∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ，∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∵f (x )在区间(－1,1)上为减函数， ∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立； ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)≤0f ′(1)≤0得－14≤a ≤14.(2)当a >14时，∵⎩⎨⎧f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14>0f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使f ′(x 0)＝0，∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上， ∴在(－1，x 0)内，f ′(x )>0， 在(x 0,1)内，f ′(x )<0，即f (x )在(－1，x 0)内单调递增， 在(x 0,1)内单调递减，∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点．当a <14时，∵⎩⎨⎧f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14<0，f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14>0，∴存在x 0∈(－1,1)使f ′(x 0)＝0. ∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，∴在(－1，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0，即f (x )在(－1，x 0)内单调递减，在(x 0,1)内单调递增， ∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点．当－14<a <14时，由(1)知f (x )在(－1,1)内递减，没有极值点．21．解 观察发现，每一个不等式左边的第一项都是1，各项的分子都是1，分母按自然数顺序排列，所以它的规律将由最后一项的分母确定．由1，13，17，115，…，猜想第n 个不等式左边的最后一项为12n －1，又由各不等式的右边可分别写成12，1＝22，32，2＝42，所以第n个不等式应为n2.猜想：第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12n －1>n2 (n ∈N ＋)． 用数学归纳法证明如下(1)当n ＝1时，1>12，猜想正确．(2)假设当n ＝k 时猜想正确，即1＋12＋13＋…＋12k －1>k2(k ∈N ＋)，那么，当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1 >k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1 >k 2＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1 ＝k 2＋2k2k ＋1 ＝k 2＋12＝k ＋12. ∴当n ＝k ＋1时，猜想也正确．综上可知，对于任意n ∈N ＋，不等式成立．22．解 (1)由题意得，f ′(x )＝a1＋ax －2x ＝－2ax 2－2x ＋a 1＋ax ，由－2ax 2－2x ＋a ＝0，得x ＝－1±2a 2＋12a.∵a >0，∴－1－2a 2＋12a <0，－1＋2a 2＋12a>0.又∵－1＋2a 2＋12a ＝a 2a 2＋1＋1<1，而x ∈(0,1]，∴函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 2＋1－12a .(2)不等式1n2＋λ≥ln ⎝⎛⎭⎫1＋2n ， 即为λ≥ln ⎝⎛⎭⎫1＋2n －1n2① 令1n＝x ，当n ∈N ＋时，x ∈(0,1]． 则不等式①即为λ≥ln(1＋2x )－x 2. 令g (x )＝ln(1＋2x )－x 2，x ∈(0,1]， 由(1)知，在f (x )的表达式中， 当a ＝2时，f (x )＝g (x )，又∵a ＝2时，－1＋2a 2＋12a ＝12，∴函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减． 函数g (x )在x ＝12时，取得最大值ln 2－14.因此，对一切正整数n ，当n ＝2时，ln ⎝⎛⎭⎫1＋2n －1n 2取得最大值ln 2－14.∴实数λ的取值范围是λ≥ln 2－14.模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →f (x 0＋h )－f (x 0－h )h等于( )A ．f ′(x 0)B ．－2f ′(x 0)C ．2f ′(x 0)D ．0 2．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( )A ．2B ．1 C.233D ．03．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )4．若函数f (x )、g (x )在区间[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，f (a )＝g (a )，则在区间[a ，b ]上有( )A ．f (x )<g (x )B ．f (x )>g (x )C ．f (x )≥g (x )D ．f (x )≤g (x )5．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若 △BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 6．如图，阴影部分的面积为( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.3537．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H8.lim x →1 x x －x x －1等于( ) A.12 B.14 C.32 D.34 9．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x >0，则f (2 009)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．210．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J11．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)(n －m i)为实数的概率为( )A.13B.14C.16D.11212．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.103二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________． 14．设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解是______________．15．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则该公司能获得的最大利润为________万元．16．a >b >c ，n ∈N ＋，且1a －b ＋1b －c ≥na －c恒成立，则n 的最大值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围．18．(12分)求定积分ʃ3－4|x＋a|d x.19.(12分)已知函数f(x)＝a x＋x－2x＋1(a>1)，用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．20．(12分)某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂制造电子元件过程中，次品率P与日产量x的函数关系是：P＝3x4x＋32(x∈N＋)．(1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数；(2)为获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？21.(12分)已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC，求顶点C所对应的复数z.22．(12分)已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋c 在区间[－1，2]上的最大值为3，最小值为－29，求a ，c 的值．答案1．C [lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝2lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝2f ′(x 0)．]2．A [f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x .又∵x ＝π3为最值点，∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝0，即a 2＝1，∴a ＝2.]3．D [当x ∈(－∞，0)时，f (x )为减函数，则f ′(x )<0.当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为减函数，则f ′(x )<0.故选D.]4．C [∵f ′(x )>g ′(x )，∴f (x )－g (x )单调递增．∵x ≥a ，∴f (x )－g (x )≥f (a )－g (a )＝0，即f (x )－g (x )≥0.]5．C [如图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3.] 6．C [由图形分析阴影部分的面积为ʃ1－3(3－x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫3x －13x 3－x 2|1－3＝323.]7．D [由图可知，z ＝3＋i ，∴z1＋i ＝3＋i1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i ，∴2－i 对应的点为(2，－1)．]8．A [lim x →1 x x －x x －1＝lim x →1 x (x－1)(x ＋1)(x －1)＝lim x →1 x x ＋1＝12.]9．C [当x >0时，∵f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)．∴f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )．∴f (x ＋6)＝f (x )，即当x >0时，函数f (x )的周期是6.又∵f (2 009)＝f (334×6＋5)＝f (5)，∴由已知得f (－1)＝log 22＝1，f (0)＝0，f (1)＝f (0)－f (－1)＝－1，f (2)＝f (1)－f (0)＝－1，f (3)＝f (2)－f (1)＝－1－(－1)＝0，f (4)＝f (3)－f (2)＝0－(－1)＝1， f (5)＝f (4)－f (3)＝1.]10．C [W ＝ʃ105F (x )d x ＝ʃ105(3x 2－2x ＋5)d x＝(x 3－x 2＋5x )|105＝(1 000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．]11．C [∵(m ＋n i)(n －m i)＝2mn ＋(n 2－m 2)i 为实数，∴n 2＝m 2，即n ＝m ，即(1,1)，(2,2)，…，(6,6)共6种．∴所求概率P ＝66×6＝16.] 12．A [令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln x x 2＝0，x ＝e ，当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0，y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.] 13.⎣⎡⎭⎫13，＋∞解析 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，依题意可知f (x )在R 上只能单调递增，所以Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13. 14．(－∞，－3)∪(0,3)解析 设F (x )＝f (x )g (x )，由已知得，F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．当x <0时，F ′(x )>0，∴F (x )在(－∞，0)上为增函数．又∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∴ F (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－F (x )，∴F (x )为奇函数．∴F (x )在(0，＋∞)上也为增函数．又g (－3)＝0，∴F (－3)＝0，F (3)＝0.∴f (x )·g (x )<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．15．45.6解析 设在甲地销售m 辆车，在乙地销售(15－m )辆车，则总利润y ＝5.06m －0.15m 2＋2(15－m )＝－0.15m 2＋3.06m ＋30，所以y ′＝－0.3m ＋3.06.令y ′＝0，得m ＝10.2.当0≤m <10.2时，y ′>0；当10.2<m ≤15时，y ′<0.故当m ＝10.2时，y 取得极大值，也就是最大值．又由于m 为正整数，且当m ＝10时，y ＝45.6；当m ＝11时，y ＝45.51.故该公司获得的最大利润为45.6万元．16．4解析 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.若1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立． 即a －c a －b ＋a －c b －c≥n 恒成立．a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2b －c a －b ·a －b b －c＝4. ∴当且仅当a －b ＝b －c 时取等号．∴n 的最大值为4.17．解 由f (x )>1，得ax －ln x －1>0.即a >1＋ln x x在区间(1，＋∞)内恒成立． 设g (x )＝1＋ln x x ，则g ′(x )＝－ln x x2， ∵x >1，∴g ′(x )<0.∴g (x )＝1＋ln x x在区间(1，＋∞)内单调递减． ∴g (x )<g (1)＝1，即1＋ln x x<1在区间(1，＋∞)内恒成立， ∴a ≥1.18．解 (1)当－a ≤－4，即a ≥4时，原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ax |3－4＝7a －72. (2)当－4<－a <3，即－3<a <4时，原式＝ʃ－a －4[－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax |－a －4＋⎝⎛⎭⎫x 22＋ax |3－a＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3，即a ≤－3时， 原式＝ʃ3－4[－(x ＋a )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax |3－4＝－7a ＋72. 综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252 (－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).19．证明 假设方程f (x )＝0有负数根，设为x 0 (x 0≠－1)．则有x 0<0，且f (x 0)＝0.∴ax 0＋x 0－2x 0＋1＝0⇔ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1. 解上述不等式，得12<x 0<2. 这与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．20．解 (1)由题意可知次品率P ＝日产次品数÷日产量，每天生产x 件，次品数为xP ，正品数为x (1－P )．因为次品率P ＝3x 4x ＋32，当每天生产x 件时，有x ·3x 4x ＋32件次品，有x ⎝⎛⎭⎫1－3x 4x ＋32件正品，所以T ＝200x ⎝⎛⎭⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x 4x ＋32＝25·64x －x 2x ＋8. (2)T ′＝－25·(x ＋32)·(x －16)(x ＋8)2， 由T ′＝0，得x ＝16或x ＝－32(舍去)当0<x <16时，T ′>0；当x >16时，T ′<0；所以当x ＝16时，T 最大，即该厂的日产量定为16件，能获得最大盈利．21．解设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图．∵OA ∥BC ，|OC |＝|BA |，∴k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |，即⎩⎪⎨⎪⎧ 21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝(－3)2＋42，解出⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－5y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3y 2＝4. ∵|OA |≠|BC |，∴x 2＝－3，y 2＝4(舍去)，故z ＝－5.22．解 显然，a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝4(舍去)．(1) 当a >0，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0)0 (0,2) 2 f ′(x ) ＋ 0 －f (x ) －7a ＋c 单调递增 单调递减 －16a ＋c所以当x ＝0时，f (x )取得最大值，所以c ＝3.因为f (2)＝－16a ＋c ，f (－1)＝－7a ＋c ，所以f (－1)>f (2)，故当x ＝2时，函数f (x )取得最小值，即－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2) 当a <0，x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x －1 (－1,0)0 (0,2) 2 f ′(x ) － 0 ＋f (x ) －7a ＋c 单调递减 单调递增 －16a+c所以当x ＝0时，f (x )取得最小值，所以c ＝－29.因为f (2)＝－16a ＋c ，f (－1)＝－7a ＋c ，所以f (－1)<f (2)，故当x ＝2时，函数f (x )取得最大值，即－16a －29＝3，解得a ＝－2.综上所述，a ＝2，c ＝3或a ＝－2，c ＝－29.。
2022高中数学模块综合测评B北师大版选修2_1
模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若x2=1,则x=1”的否定为“若x2≠1,则x≠1”B.若p∨q为真命题,则p,q均为真命题C.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件D.命题“若x=y,则x2=y2”的逆否命题为真命题2.若a⊥b,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)⊥(λa-b),则λ等于()A. B.- C.± D.13.“x>2”是“<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是()A.B.C.1 D.5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为()A.B.C.D.6.(2016浙江高考)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.m>n,且e1e2>1B.m>n,且e1e2<1C.m<n,且e1e2>1D.m<n,且e1e2<17.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A.B.C.D.8.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1·x2=-,则m等于()A.B.2 C.D.39.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是()A.B.C.D.10.方程=|x+y+2|表示的曲线是()A.椭圆B.双曲线C.线段D.抛物线11.已知F1,F2为双曲线=1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线上,则|AP|+|AF2|的最小值为()A.+4B.-4C.-2D.+212.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论错误的是()A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.异面直线AE,BF所成的角为定值二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知p:<0,q:x2-4x-5<0,若p且q为假命题,则x的取值范围是.-∞,-1]∪[3,+∞)14.若抛物线y2=2px(p>0)上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6,则抛物线方程为.2=4x或y2=36x15.在正四面体P-ABC中,棱长为2,且E是棱AB中点,则的值为.116.已知F1,F2为椭圆=1的左、右焦点,M为椭圆上一点,且△MF1F2内切圆的周长等于3π,若满足条件的点M恰好有2个,则a2=.三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(满分10分)已知p:方程=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆;q:实数t满足不等式t2-(a-1)t-a<0.(1)若p为真命题,求实数t的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.∵方程=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆,∴3-t>t+1>0.解得-1<t<1.即实数t的取值范围为{t|-1<t<1}.(2)∵p是q的充分不必要条件,∴-1<t<1是不等式t2-(a-1)t-a=(t+1)·(t-a)<0的解集的真子集.方法一:∵方程t2-(a-1)t-a=0两根为-1,a,故只需a>1.方法二:令f(t)=t2-(a-1)t-a,∵f(-1)=0,故只需f(1)<0,解得a>1,∴a的取值范围为{a|a>1}.18.(满分12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2.(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值;(2)求点P到平面DEF的距离.解(1)如图所示,以A为原点,AB,AC,AP所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Axyz.由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,0,0,E,0,F.设平面DEF的法向量n=(x,y,z),则解得取z=1,则平面DEF的一个法向量n=(2,0,1).设PA与平面DEF所成的角为θ,则sin θ=,故直线PA与平面DEF所成角的正弦值为.(2)∵,n=(2,0,1),∴点P到平面DEF的距离d=.19.(满分12分)已知双曲线的方程为2x2-y2=2.(1)求以点A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程;(2)过点B(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于Q1,Q2两点,且点B是弦Q1Q2的中点?如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由.设以点A(2,1)为中点的弦的两端点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有x1+x2=4,y1+y2=2,x1≠x2.由P1,P2在双曲线上,得2=2,2=2,两式相减,得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0.则2×4(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即=4,故中点弦所在的直线方程为y-1=4(x-2),即4x-y-7=0.(2)假设直线l存在,可利用(1)中的方法求出直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.联立方程,得消去y,得2x2-4x+3=0,∵Δ=16-24=-8<0,∴方程无实根.因此以B为中点的弦所在直线l是不存在的.20.(满分12分)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.(1)求p的值;(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x 轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.由题意可得,抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2.(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由消去x,得y2-4sy-4=0,故y1y2=-4,所以B.又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-.从而得直线FN:y=-(x-1),直线BN:y=-,所以N.设M(m,0),由A,M,N三点共线,得,于是m=.所以m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).21.(满分12分)如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;(2)求平面QBP与平面BPC所成角的余弦值.,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz.设DA=1,则D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).∴=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).∴=0,=0,即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,又DQ∩DC=D,∴PQ⊥平面DCQ.又PQ⫋平面PQC,∴平面PQC⊥平面DCQ.B(1,0,1),∴=(1,0,0),=(-1,2,-1).设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,则因此可取平面PBC的一个法向量为n=(0,-1,-2).同理可得平面BPQ的一个法向量为m=(1,1,1).∴cos<m,n>==-.故平面QBP与平面BPC所成角的余弦值为.22.(满分12分)已知椭圆C1:=1(a>b≥1)的离心率为,其右焦点到直线2ax+by-=0的距离为.(1)求椭圆C1的方程;(2)过点P的直线l交椭圆C1于A,B两点.①证明:线段AB的中点G恒在椭圆C2:=1的内部;②判断以AB为直径的圆是否恒过定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.e=,∴a=c.又∵a2=b2+c2,∴c=b.∵右焦点(c,0)到直线2ax+by-=0的距离为.整理,得|2b2-1|=b,解得b=1或.∵a>b≥1,∴b=1,a2=2.故椭圆C1的方程为+y2=1.(2)C2的方程为+x2=1,当直线l垂直于x轴时,线段AB的中点为原点,显然在C2内;当直线l不垂直于x轴时,设直线方程为y=kx-,代入+y2=1,并整理,得(1+2k2)x2-kx-=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,∴y1+y2=k(x1+x2)-=-,∴G.∵<1恒成立,∴点G恒在椭圆C2内部.AB⊥x轴时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1;当AB⊥y轴时,以AB为直径的圆的方程为x2+,由可得由此可知:若以AB为直径的圆恒过定点,则该定点必为Q(0,1),下面证点Q(0,1)符合题意.由①知,x1+x2=,x1·x2=-,∴=(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=x1x2+(y1-1)(y2-1)=x1x2+=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+=k·==0,故,即点Q(0,1)在以AB为直径的圆上.综上,以AB为直径的圆恒过定点(0,1).。
人教版B数学选修2-1：模块综合检测
(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列各命题中为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，x ≥0B ．如果x <5，则x <2C ．∃x ∈R ，x 2≤－1D ．∀x ∈R ，x 2＋1≠0解析：选D.A 中，若x 取负数，x ≥0不成立，故A 错；B 中，若取x ＝4<5，x <2不成立，故B 错；C 中，∀x ∈R ，x 2≥0，故C 错；D 中，∀x ∈R ，x 2≥0，故x 2＋1≠0成立．2.“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.函数f (x )＝x 2－2ax ＋3的对称轴为直线x ＝a ，若函数在区间[1，＋∞)上递增，则a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上递增”的充分不必要条件．3.已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x <3x ；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x >sin x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(¬q )C ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧q解析：选D.因为当x ∈(－∞，0)时，2x >3x，所以命题p 为假命题，命题q 为真命题，所以¬p 为真命题，所以(¬p )∧q 为真命题．4.以x 24－y212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1 解析：选D.双曲线x 24－y 212＝－1即y 212－x24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1.5.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52解析：选D.渐近线方程为：y ＝±12x ，∴b a ＝12，又∵a 2＋b 2＝c 2，∴e ＝52.故选D.6.已知椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．双曲线的一支D ．线段解析：选A.∵P 为MF 1的中点，O 为F 1F 2的中点，∴|OP |＝12|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝a .∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆． 7.下列四个命题：①“若x 2＋y 2＝0，则实数x ，y 均为0”的逆命题； ②“相似三角形的面积相等”的否命题； ③“A ∩B ＝A ，则A ⊆B ”的逆否命题；④“末位数不是0的数能被3整除”的逆否命题． 其中真命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④解析：选C.①的逆命题为“若实数x 、y 均为0，则x 2＋y 2＝0”，是正确的；∵“A ∩B ＝A ，则A ⊆B ”是正确的，∴它的逆否命题也正确．8.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点M 是准线l 上的点，且|MF |＝4(如图)，则线段MF 与抛物线的交点的横坐标为( )A ．3 B.13C.12D.14解析：选B.易得∠MFO ＝60°，那么直线MF 的方程为y ＝－3(x －1)，代入y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，则x ＝13，或x ＝3(由题图舍去)．9.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CC 1的中点，则AE 、BF 所成角的余弦值是( )A ．－15 B.15C.265D.25解析：选B.取DD 1的中点H ，连接AH ，设正方体的棱长为2，则在△AEH 中，AH ＝AE ＝5，HE ＝22，所以cos ∠EAH ＝5＋5－82×5＝15.10.已知点M 是抛物线y ＝14x 2上一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C.由题意可知，焦点坐标为F (0，1)， 准线方程为l ：y ＝－1.过点M 作MH ⊥l 于点H ，由抛物线的定义， 得|MF |＝|MH |.∴|MA |＋|MF |＝|MH |＋|MA |，当C 、M 、H 、A 四点共线时，|MA |＝|MC |－1，|MH |＋|MC |有最小值，于是，|MA |＋|MF |的最小值为4－(－1)－1＝4.故选C.11.在三棱锥P -ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216B.33C.21060D.21030解析：选D.∵OP ⊥平面ABC ，OA ＝OC ，AB ＝BC ， ∴OA ⊥OB ，OA ⊥OP ，OB ⊥OP .以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz . 设AB ＝a ，则A ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0. 设OP ＝h ，则P (0，0，h )，∵PA ＝2a ，∴h ＝72a ＝142a .∴OD →＝⎝⎛⎭⎫－24a ，0，144a .可以求得平面PBC 的法向量n ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，77，∴cos 〈OD →，n 〉＝OD →·n |OD →||n |＝21030.设OD 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈OD →，n 〉|＝21030.12.设F 1，F 2是双曲线x 2－4y 2＝4a (a >0)的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足：PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，则a 的值为( )A ．2 B.52C ．1 D. 5解析：选C.双曲线方程化为x 24a －y2a＝1(a >0)，∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2＝20a ，①由双曲线定义|PF 1→|－|PF 2→|＝±4a ，②又∵|PF 1→|·|PF 2→|＝2，③由①②③得：20a －2×2＝16a ，∴a ＝1.二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13.条件甲：“k <－66或k >66”；条件乙：“kx 2－2x ＋6k <0对x ∈R 恒成立”，则要使甲是乙的充要条件，命题甲的条件中需删除的一部分是________．解析：当k ＝0时，kx 2－2x ＋6k ＝－2x ，不满足题意，当k ≠0时，若kx 2－2x ＋6k <0对x ∈R 恒成立，则需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. 所以命题甲的条件中需删除的一部分是k >66. 答案：k >6614.已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦．如果∠PF 2Q ＝90°，则双曲线的离心率是________．解析：由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°，知|PF 1|＝|F 1F 2|，即b 2a ＝2c ，b 2a 2＝2·ca，即c 2a 2－2ca－1＝0.∴e 2－2e －1＝0，解得e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 答案：1＋ 215.设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →与x轴正向的夹角为60°，则|OA →|为________．解析：根据题意知A 点为直线y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2与抛物线y 2＝2px 的两个交点中横坐标较大的那个，联立方程组求出x 1＝16p ，x 2＝32p ，故点A 坐标为⎝⎛⎭⎫32p ，3p ，则|OA →|＝94p 2＋3p 2＝212p . 答案：212p16.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值为________．解析：建系如图，则M (1，12，1)，N (1，1，12)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1，0，12)．∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →||CN →|＝1254＝25.即直线AM 与CN 所成角的余弦值为25答案：25三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知p ：方程x 2k －4＋y 2k －6＝1表示双曲线，q ：过点M (2，1)的直线与椭圆x 25＋y 2k＝1恒有公共点，若p ∧q 为真命题，求k 的取值范围．解：由p 得：(k －4)·(k －6)<0，∴4<k <6，由q 得：⎩⎪⎨⎪⎧225＋12k ≤1，k ≠5，∴k >5.又p ∧q 为真命题，则5<k <6，所以k 的取值范围是(5，6)．18.已知p ：x 2－6x －27≤0，q ：|x －1|≤m (m >0)，若q 是p 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．解：由p 得－3≤x ≤9， 由q 得－m ＋1≤x ≤m ＋1， ∵q 是p 的必要而不充分条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－31＋m ≥9得m ≥8. 又因为m ＝8时命题成立． ∴实数m 的取值范围是m ≥8. 19.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为DD 1、BD 、BB 1的中点． (1)求证：EF ⊥平面AB 1C ；(2)求EF 与CG 所成的角的余弦值．解：如图，建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体棱长为2，则A (2，0，0)，C (0，2，0)，B 1(2，2，2)，E (0，0，1)，F (1，1，0)，G (2，2，1)．(1)证明：EF →＝(1，1，－1)，AC →＝(－2，2，0)，AB 1→＝(0，2，2)， ∵EF →·AC →＝0，∴EF ⊥AC ， ∵EF →·AB 1→＝0，∴EF ⊥AB 1，又AC ∩AB 1＝A ，∴EF ⊥平面AB 1C .(2)∵CG →＝(2，0，1)，∴cos 〈EF →，CG →〉＝EF →·CG →|EF →||CG →|＝1515，所以EF 与CG 所成的角的余弦值为1515.20.已知抛物线C ：y 2＝ax 的焦点与双曲线x 22－y 221的右焦点重合．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点A (2，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线C 交于M 、N 两点，判断∠MON 是否为直角．若∠MON 为直角，请给出证明；若不是直角，请说明理由．解：(1)∵双曲线x 22－y 22＝1的右焦点为(2，0)，可知抛物线的焦点为(2，0)，故a4＝2，∴a ＝8.∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)依题意，直线的斜率为tan π4＝1，∴直线方程为y ＝x －2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝x －2，消去y 得x 2－12x ＋4＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则可知x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4. 又OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1－2)(x 2－2)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝－12， ∴OM →·ON →≠0，∴OM ⊥ON 不成立，即∠MON 不是直角．21.如图，正方形ACDE 所在平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC .(1)求证：AM ⊥平面EBC ；(2)求直线AB 与平面EBC 所成角的大小； (3)求锐二面角A -BE -C 的大小．解：依题可知，CA ，CB ，CD 两两垂直，故可建立如图空间直角坐标系Cxyz ，设正方形边长为1，则AC ＝BC ＝1.C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，1，0)，D (0，0，1)，E (1，0，1)， M ⎝⎛⎭⎫12，0，12.(1)证明：AM →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12， CB →＝(0，1，0)，CE →＝(1，0，1)， ∴AM →·CB →＝0，AM →·CE →＝0，∴AM →⊥CB →，AM →⊥CE →， ∴AM ⊥CB ，AM ⊥CE 且CB ∩CE ＝C ， ∴AM ⊥平面EBC .(2)由(1)知AM →为平面EBC 的一个法向量，AB →＝(－1，1，0)，设所求角大小为θ，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝12，∴直线AB 与平面EBC 所成的角的大小为30°.(3)设m ＝(x ，y ，z )为平面AEB 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB →＝0m ·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，z ＝0.取m ＝(1，1，0)，则|cos 〈AM →，m 〉|＝12，所以锐二面角A -BE -C 的大小为60°.22.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的方程；(2)若坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a ＝3，解得c ＝ 2.由a 2＝b 2＋c 2，得b ＝1.∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)由已知|m |1＋k2＝32，可得m 2＝34(k 2＋1)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0. Δ＝(6km )2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)>0，(*)∴x 1＋x 2＝－6km 1＋3k 2，x 1·x 2＝3m 2－31＋3k 2.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎡⎦⎤36k 2m 2（3k 2＋1）2－12（m 2－1）3k 2＋1＝12（k 2＋1）（3k 2＋1－m 2）（3k 2＋1）2＝3（k 2＋1）（9k 2＋1）（3k 2＋1）2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6 ＝4(k ≠0)．当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立，此时|AB |＝2.经检验，k ＝±33满足(*)式．当k ＝0时，|AB |＝ 3. 综上可知|AB |max ＝2，∴当|AB |最大时，△AOB 的面积取最大值S ＝12×2×32＝32.。
高中数学模块综合检测新人教B版选修2-1(2021学年)
2017－2０１８学年高中数学模块综合检测新人教B版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2０17-２018学年高中数学模块综合检测新人教B版选修２-１）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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模块综合检测时间:1２0分钟满分：１５0分一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列命题中是全称命题,并且又是真命题的是( )A.所有菱形的四条边都相等B．∃x０∈Ｎ,使2x0为偶数C.对∀x∈Ｒ,ｘ２+2ｘ+1＞0D.π是无理数解析:根据全称命题的定义可以判断A、Ｃ两项为全称命题，对于Ｃ项，在x＝-1时，x2+2x ＋1=0，故C项为假命题．答案:Ａ2.若抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为（－1,0）,则抛物线的方程是( ）A.y2＝2ｘB.y2＝-２xＣ.y2=4x D．ｙ2＝－4x解析:∵抛物线的准线方程为ｘ＝1，焦点坐标为(-1,0）,∴抛物线的开口方向向左且顶点在原点，其中ｐ＝2。
∴抛物线的标准方程为ｙ2＝-4ｘ.答案:Ｄ3.若a＝(1，－1，－１),ｂ＝(0,1，1）且(ａ+λb)⊥b则实数λ的值是( )A.0B.1C.－1D.2解析:λｂ＝(０,λ，λ），a＋λb=(1,λ-1，λ-１)．∵（ａ+λb)⊥ｂ，∴(ａ+λｂ)·b＝０,∴λ－１=０，λ＝1。
答案：B４.已知命题p：∀ｘ∈R，ｘ≥1，那么命题綈ｐ为（）＝错误!＝错误!，解得t＝3±＼ｒ(6),取t＝3－＼r(6)∈［0，2］,∴存在P(ａ，错误!a，（3-错误!)a）,使直线BP和平面ＢＣＥ所成的角为30°.22．(本小题满分12分）已知椭圆C:错误!+错误!=1(a＞b＞0)的离心率为错误!,直线l：ｙ＝x＋2与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆Ｏ相切．(１)求椭圆C的方程；(2）设椭圆C与曲线｜y|=kx(k＞0)的交点为A，Ｂ,求△OAB面积的最大值．解析：（1)由题设可知,圆Ｏ的方程为x2+ｙ２＝b2,因为直线l：x－y+２=0与圆Ｏ相切，故有错误!=b。
高二数学(人教B版)选修2-1单元 综合能力测试题1
综合能力测试题一时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 [答案] A[解析] 圆心(a ，b )，半径r ＝2，若a ＝b ，则圆心(a ，b )到直线y ＝x ＋2的距离d ＝r . ∴直线与圆相切，若直线与圆相切则|a －b ＋2|2＝2，此时a ＝b 或a －b ＝－4，∴是充分不必要条件，故应选A.2．设命题甲为“点P 的坐标适合方程F (x ，y )＝0”；命题乙为：“点P 在曲线C 上；命题丙为：“点Q 的坐标不适合方程F (x ，y )＝0”；命题丁为：“点Q 不在曲线C 上”，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么( )A ．丙是丁的充分条件，但不是丁的必要条件B ．丙是丁的必要条件，但不是丁的充分条件C ．丙是丁的充要条件D ．丙既不是丁的充分条件，也不是丁的必要条件 [答案] A[解析] 由已知条件，得“乙⇒甲”，即“点P 在曲线C 上，则点P 的坐标适合方程F (x ，y )＝0”，它的逆否命题是：“若点P 的坐标不适合方程F (x ，y )＝0，则点P 不在曲线C 上”，即“丙⇒丁”．3．给出下列关于互不相同的直线m ，l ，n 和平面α，β的四个命题： ① m ⊂α，l ∩α＝A ，点A ∉m ，则l 与m 不共面；②m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m ；④若l ⊂α，m ⊂α，l ∩m ＝A ，l ∥β，m ∥β，则α∥β. 其中为假命题的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ [答案] C[解析] 逐一验证①由异面直线的判定定理得l 与m 为异面直线，故①正确． ②由线面垂直的判定定理知②正确． ③l 可能与m 相交或异面，故③错误．④由线面垂直的判定定理得α∥β，故④正确，故选C.4．设P 为双曲线x 2－y212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则ΔPF 1F 2的面积为( )A ．63B ．12C ．12 3D ．24[答案] B[解析] ∵|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， 又有|PF 1|－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4， 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213，∴(213)2＝62＋42，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴SΔPF 1F 2＝12×6×4＝12.5.已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2[答案] C[解析] 由题意c ＝2，焦点在x 轴上，故该椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，与x ＋3y ＋4＝0联立方程组，令Δ＝0，解得a ＝7.6．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2[答案] B[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，又点P 在抛物线上，则k 2＝4p ， ∵|PF |＝4∴p2＋2＝4，即p ＝4，∴k ＝±4.7．设集合M ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1，x ∈R ，y ∈R }，N ＝{(x ，y )|x 2－y ＝0}，则集合M ∩N中元素的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B8．若PO ⊥平面ABC ，O 为垂足，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝5，PA ＝PB ＝PC ＝10，则PO 的长等于( )A ．5B ．5 3C ．10D ．10 3[答案] B9．已知圆x 2＋y 2＝1，点A (1,0)，△ABC 内接于圆，且∠BAC ＝60°，当BC 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝12B ．x 2＋y 2＝14C ．x 2＋y 2＝12(x <12)D ．x 2＋y 2＝14(x <14[答案] D10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量BD 1→的是( ) ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④[答案] A11．如图所示，在直二面角α—l —β中，A ，B ∈l ，AC ⊂α，AC ⊥l ，BD ⊂β，BD ⊥l ，|AC |＝6，|AB |＝8，|BD |＝24，则线段CD 的长是( )A ．25B ．26C ．27D ．28[答案] B[解析] ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴AC →·AB →＝0，BD →·AB →＝0，AC →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →， ∴|CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2＝676， ∴|CD →|＝26.12．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为( )A.π2B.π3C.π2或π3D.π2或π6[答案] C[解析] 由题意得OP →⊥OQ →，得cos x (2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)＝0，利用cos2x ＝2cos 2x －1，化简后得2cos 2x －cos x ＝0，于是cos x ＝0或cos x ＝12，因为x ∈[0，π]，所以x ＝π2或π3.二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．命题“若a >b ，则3a >3b －1”的否命题为________． [答案] 若a ≤b ，则3a≤3b－1[解析] “a >b ”的否命题是“a ≤b ”，“3a >3b －1”的否命题是“3a ≤3b －1”． ∴原命题的否命题是“若a ≤b ，则3a ≤3b －1”．14．如果过两点A (a,0)和B (0，a )的直线与抛物线y ＝x 2－2x －3没有交点，那么实数a 的取值范围是____．[答案] (－∞，－134)[解析] 过A 、B 两点的直线为：x ＋y ＝a 与抛物线y ＝x 2－2x －3联立得x 2－x －a －3＝0，因为直线x 与抛物线没有交点，则方程无解．即Δ＝1＋4(a ＋3)<0，解之a <－13415．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角的大小是________．[答案] π6[解析] 取AC 中点E ，连接BE ，则BE ⊥平面ACC 1A 1，∴∠BC 1E 为线面角． 由已知得BE ＝32，BC 1＝3， ∴sin ∠BC 1E ＝12，∴∠BC 1E ＝π6.16．与椭圆x 29＋y 25＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为________．[答案] x 2－y 2＝2三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，分别求出平面ABC 1D 1和平面A 1B 1CD 的一个法向量，并证明这两个平面互相垂直．[解析] 设D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)．则AB →＝(0,1,0)，BC 1→＝(－1,0,1)．设平面ABC 1D 1的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则 n 1·AB →＝y ＝0，n 1·BC 1→＝－x ＋z ＝0，不妨令x ＝1，则z ＝1.故n 1＝(1,0,1)，设平面A 1B 1CD 的一个法向量为n 2，同理，可求n 2＝(－1,0,1)， ∵n 1·n 2＝(1,0,1)·(－1,0,1)＝－1＋0＋1＝0， ∴n 1⊥n 2.∴平面ABC 1D 1⊥平面A 1B 1CD .18．(本小题满分12分)已知条件p ：|5x －1|>a 和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A ，B 构造命题：若A 则B .使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，并说明为什么这一命题是符合要求的命题．[解析] 已知条件p 即5x －1<－a 或5x －1>a ，∴x <1－a 5或x >1＋a5已知条件q 即2x 2－3x ＋1>0，∴x <12或x >1.令a ＝4，则p 即x <－35或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然，故可以选取的一个实数是a ＝4，A 为p ，B 为q ，对应的命题是“若A 则B ”．由以上过程可知，这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．19．(本小题满分12分)设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋116a )的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解析] 命题p 为真命题⇔f (x )＝lg(ax 2－x ＋116a )的定义域为R ⇔ax 2－x ＋116a >0对任意实数x 均成立⇔a >2，所以命题p 为真命题⇔a >2.命题q 为真命题⇔2x ＋1－1<ax 对一切正实数均成立⇔a >2x ＋1－1x ＝2x x (2x ＋1＋1)＝22x ＋1＋1对一切正实数x 均成立，由于x >0，所以2x ＋1>1，所以2x ＋1＋1>2，所以22x ＋1＋1，所以命题q 为真命题⇔a ≥1.由题意知p 与q 有且只有一个是真命题．当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，a ∈[1,2]．综上知a ∈[1,2]．20．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1→·PF 2→＝－54P 的坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解析] (1)由题意得a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设P (x ，y )(x >0，y >0)，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝－54，联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＝74，x24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝34，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴P (1，32)． (2)显然k ＝0不满足题设条件．可设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，∴x 2＋4(kx ＋2)2＝4， ∴(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0， ∴x 1x 2＝121＋4k 2，x 1＋x 2＝－16k1＋4k2， 由Δ＝(16k )2－4·(1＋4k 2)·12>0,16k 2－3(1＋4k 2)>0,4k 2－3>0，得k 2>34①.又∠AOB 为锐角，∴cos ∠AOB >0，∴OA →·OB →>0， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2>0.又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2＋2k ·(－16k 1＋4k 2)＋4＝12(1＋k 2)1＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4＝4(4－k 2)1＋4k2>0，∴0<k 2<4②. 综合①②可知34<k 2<4，∴k 的取值范围是(－2，－32)∪(32，2)． 21．(本小题满分12分)(2010·天津理，20)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B .已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4.求y 0的值．[解析] (1)解：由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2，再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b .由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)可知A (－2,0)，设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1. 由方程组消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0. 由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k 1＋4k 2. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2. 以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(2，－y 0)，由QA →·QB →＝4，得y 0＝±2 2.②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为 y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋8k 21＋4k 2.令x ＝0，解得y 0＝－6k1＋4k 2.由QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(x 1，y 1－y 0)． QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2(2－8k 2)1＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝⎛⎭⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2 ＝4(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2＝4， 整理得7k 2＝2，故k ＝±147，所以y 0＝±2145. 综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.22．(本小题满分14分)如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面是矩形，AB ＝a ，AD ＝2，SA ＝1，且SA ⊥底面ABCD ，若边BC 上存在异于B ，C 的一点P ，使得PS →⊥PD →.(1)求a 的最大值；(2)当a 取最大值时，求异面直线AP 与SD 所成角的大小； (3)当a 取最大值时，求平面SCD 的一个单位法向量n 0及点P 到平面SCD 的距离．[解析] (1)建立如图空间直角坐标系，设|BP →|＝x ， 则A (0,0,0)，S (0,0,1)，D (0,2,0)，P (a ，x,0)， ∴PS →＝(－a ，－x,1)， PD →＝(－a,2－x,0)．∵PS →⊥PD →，∴PS →·PD →＝0，即a 2－x (2－x )＝0. 即a 2＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1， 则x ＝1∈(0,2)时，a 的最大值为1.(2)由(1)可知，当a 取最大值时，AP →＝(1,1,0)， SD →＝(0,2，－1)，∴cos<AP →，SD →>＝AP →·SD →|AP →|·|SD →|＝105.∴异面直线AP 与SD 所成角的大小为arccos 105. (3)设平面SCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥SC →n ⊥SD →∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·SC →＝0n ·SD →＝0 ∵C (1,2,0)，SC →＝(1,2，－1)， SD →＝(0,2，－1)∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －z ＝02y －z ＝0， 取y ＝1，则z ＝2，x ＝0，∴n ＝(0,1,2)， ∴n 0＝n |n |＝15(0,1,2)＝(0，55，255)．∵P 到平面SCD 的距离d 等于PC →在n 0上的射影长，∴d ＝|PC →||cos<PC →，n 0>|＝|PC →·n 0||n 0|＝|PC →·n 0|＝|(0,1,0)·(0，55，255)|＝55.。
人教版B数学选修2-1：第一章章末综合检测
(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列四个命题是假命题的为()A．∀x∈R，x2＋2>0B．∀x∈N，x4≥1C．∃x∈Z，x3<1 D．∀x∈Q，x2≠3解析：选B.∀x∈N，x4≥0，∴B错误．2.如果命题“¬(p∨q)”为假命题，则()A．p，q均为真命题B．p，q中至少有一个为真命题C．p，q均为假命题D．p，q中至多有一个为真命题解析：选B.¬(p∨q)为假命题，则p∨q为真命题．∴p，q中至少有一个为真命题．3.命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是()A．若x>y，则x3≤y3－1 B．若x≤y，则x3>y3－1C．若x≤y，则x3≤y3－1 D．若x<y，则x3<y3－1解析：选 C.将原命题的条件和结论分别否定作为条件和结论得到的新命题就是原命题的否命题，即“若x≤y，则x3≤y3－1”．4.下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要条件是()A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3解析：选A.A选项中a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a>b＋1”为“a>b”成立的充分而不必要条件．5.设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b解析：选 D.∵逆命题是以原命题的结论为条件，条件为结论的命题，∴这个命题的逆命题为：若|a|＝|b|，则a＝－b.6.设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.a＝1时，N＝{1}，∴N⊆M，∴a＝1是N⊆M的充分条件．若N⊆M，∴a2＝1或a2＝2，∴a＝±1或a＝±2，∴a＝1不是N⊆M的必要条件．7.下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：选B.对于A，正确；对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，错误；对于C，当x∈(0，1)时，lg x<0<1，正确；对于D，正确．8.已知命题p：(x＋1)2>4，命题q：x>a，且¬p是¬q的充分而不必要条件，则a的取值范围是()A．a≥1 B．a≤1C．a≥－3 D．a≤－3解析：选A.由题意知：q是p的充分不必要条件，∴{x|q}{x|p}，p：x＋1>2或x＋1<－2，即x>1或x<－3；q：x>a.∴a≥1.9.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析：选 D.全称命题的否定：“所有”变为“存在”，且否定结论．所以原命题的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数．10.已知p(x)＝x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是()A．m≥3 B．m<8C．R D．3≤m<8解析：选D.∵p(1)为假命题，∴1＋2－m≤0，即m≥3.又p(2)为真命题，∴4＋4－m>0，即m<8.∴3≤m<8.11.“a＝－1”是“直线ax＋(2a－1)y＋1＝0和直线3x＋ay＋3＝0垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.当两直线垂直时，a＝－1或a＝0.∴a＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．12.已知命题p：存在x∈R，使tan x＝22，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，则下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；③命题“¬p或q”是真命题；④命题“¬p或¬q”是假命题．其中正确的是()A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：选D.∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13.命题p：∀x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定¬p是________．答案：∃x∈R，f(x)<m14.用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)凸n边形的外角和等于2π：________；(2)存在一个有理数x0，使得x20＝8：________．答案：(1)∀x∈{凸n边形}，x的外角和等于2π(2)∃x0∈Q，x20＝815.a＝3是“直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合”的________条件．解析：当a＝3时，l1：3x＋2y＋9＝0，l2：3x＋2y＋4＝0，∴l1∥l2.反之，若l1∥l2，则a(a－1)＝6，即a＝3或a＝－2，但a＝－2时，l1与l2重合．答案：充要16.命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝x－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“¬p”中是真命题的为________．解析：p为假命题，q为真命题，则p∨q为真命题，p∧q为假命题，¬p为真命题．答案：p∨q，¬p三、解答题(本大题共6小题．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知命题p：∀非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，则b＝c.写出其否定和否命题，并说明真假．解：¬p：∃非零向量a、b、c，若a·(b－c)＝0，则b≠c.¬p为真命题．否命题：∀非零向量a、b、c，若a·(b－c)≠0，则b≠c.否命题为真命题．18.指出下列命题中，p是q的什么条件：(1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}；(2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数．解：(1)∵{x |x >－2或x <3}＝R ，{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，∴{x |x >－2或x <3}{x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}⇒{x |x >－2或x <3}．∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵a 、b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数a 、b 都是奇数，∴p 是q 的充分不必要条件．19.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出它们的真假．(1)两个全等梯形的周长相等；(2)若m <0或n <0，则m ＋n <0.解：(1)原命题为真.逆命题：若两个梯形周长相等，则它们全等，逆命题为假；否命题：若两个梯形不全等，则它们的周长不相等，否命题为假；逆否命题：若两个梯形的周长不相等，则它们不全等，逆否命题为真．(2)原命题为假．逆命题：若m ＋n <0，则m <0或n <0，逆命题为真．否命题：若m ≥0且n ≥0，则m ＋n ≥0，否命题为真．逆否命题：若m ＋n ≥0，则m ≥0且n ≥0，逆否命题为假．20.命题p ：“对任意实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”，其中a 、b 为常数．(1)写出命题p 的否定；(2)a ，b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解：(1)¬p ：∃x ∈R ，x －a ≤0且x －b >0.(2)¬p 为真，即集合{x |b <x ≤a }不是∅，即a >b 时，¬p 为真命题．21.证明：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不相等实根的充要条件是0<m <13. 证明：充分性：当0<m <13时，Δ＝4－12m >0，方程有两个不相等的实根，不妨设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2m >0，x 1x 2＝3m>0，故方程有两个同号且不相等的实根．充分性得证．必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不相等实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，x 1x 2>0，∴0<m <13.必要性得证．∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不相等实根的充要条件是0<m <13. 22.已知命题p ：“函数f (x )＝ax 2－4x (a >0)在(－∞，2]上单调递减”；命题q ：“∀x ∈R ，16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”，若命题“p 且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解：p 为真．当a >0时，只需对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a≥2，∴0<a ≤1.q 为真．命题等价于：方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实根．Δ＝[16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32. ∵命题“p 且q ”为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤112<a <32，∴12<a ≤1.。
(人教版)高中数学选修2-1检测模块综合检测B Word版含答案
模块综合检测一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．下列命题中，真命题有( )①面积相等的三角形是全等三角形；②“若＝，则＋＝.”的逆命题；③“若>，则＋>＋”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．．个．个．个．个解析：①是假命题，②是真命题，③是真命题，④是假命题．答案：．对抛物线＝，下列描述正确的是( )．开口向上，焦点为()．开口向上，焦点为．开口向右，焦点为()．开口向右，焦点为解析：抛物线方程可化为＝，则＝，＝，焦点为，开口向上．答案：．已知命题：存在∈，使＝，命题：－＋<的解集是{<<}，下列结论：①命题“且”是真命题；②命题“且¬”是假命题；③命题“¬或”是真命题；④命题“¬或¬”是假命题．其中正确的是( )．②③．①②④．①③④．①②③④解析：∵，都是真命题，∴①②③④均正确．答案：．一次函数＝－＋的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )．>，且< ．<．>，且< ．<，且<解析：一次函数＝－＋的图象同时经过第一、三、四象限的充要条件是(\\(－()>,()<))⇔(\\(>，<.))而<时，有(\\(>，<))或(\\(<，>.))所以必要不充分条件是<.答案：．下列双曲线中，既有相同的离心率，又有相同渐近线的是( )－＝和－＋＝－＝和－＋＝．－＝和－＝－＝和－＝答案：．已知＝(λ＋λ)，＝(μ－)，若∥，则λ与μ的值分别为( )，．．－，－．－，－解析：∥，则存在∈，使得＝，又＝(λ＋λ)，＝(μ－)，则有(\\(λ＋＝，＝(μ－(，λ＝，))可得(\\(λ＝()，,μ＝().))答案：．如图，空间四边形中，＝，＝，＝，点在上，且＝，为中点，则等于( )．－＋＋＋＋．－＋－＋－解析：＝＋＋＝＋－＋＝－＋＋(－)＝－＋＋＝－＋＋.答案：．设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为.若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于，则曲线的标准方程为( )－＝－＝－＝－＝解析：由已知得：在椭圆中＝，＝，曲线为双曲线，由此知道在双曲线中＝，＝，故双曲线中＝，双曲线方程为－＝.答案：．已知线段在平面α内，线段⊥α，线段⊥，且＝，＝＝，线段与α所成的角为°，则线段的长为( )．．解析：如图所示，由⊥α，可知⊥，。
人教版数学高二B版选修2-1模块综合测评
模块综合测评(教师用书独具)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“a∉A或b∉B”的否定形式是()A．若a∉A，则b∉B B．a∈A或b∈BC．a∉A且b∉B D．a∈A且b∈B【解析】“p或q”的否定为“綈p且綈q”，D正确．【答案】 D2．已知a∈R，则“a＜2”是“a2＜2a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵a2＜2a⇔a(a－2)＜0⇔0＜a＜2.∴“a＜2”是“a2＜2a”的必要不充分条件．【答案】 B3．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为()【导学号：15460086】A.54B．52C.32D．54【解析】由题意，1－b2a2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＝34，∴b2a2＝14，而双曲线的离心率e2＝1＋b 2a 2＝1＋14＝54，∴e ＝52.【答案】 B4．已知空间向量a ＝(t,1，t )，b ＝(t －2，t,1)，则|a －b |的最小值为( ) A. 2 B ． 3 C ．2D ．4【解析】 |a －b |＝2(t －1)2＋4≥2，故选C.【答案】 C5．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A ．相同短轴 B ．相同长轴 C ．相同离心率D ．以上都不对 【解析】 对于x 2a 2＋y 29＝1，因a 2>9或a 2<9，因此这两个椭圆可能长轴相同，也可能短轴相同，离心率是不确定的，因此A ，B ，C 均不正确，故选D.【答案】 D6．长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则二面角C 1-AB -C 为( )A.π3 B ．2π3 C.3π4D ．π4【解析】 以A 为原点，直线AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)，平面ABC 1的一个法向量为A 1D →＝(0,1，－1)，∴cos 〈AA 1→，A 1D →〉＝－12＝－22，∴〈AA 1→，A 1D →〉＝3π4，又二面角C 1-AB -C 为锐角，即π－34π＝π4，故选D.【答案】 D7．(2016·湖北省黄冈市质检)命题“∀x ∈，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥5D ．a ≤5【解析】 ∵∀x ∈，1≤x 2≤4，∴要使x 2－a ≤0为真，则a ≥x 2，即a ≥4，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有C 符合，故选C.【答案】 C 8．已知p ：1x ＋2<0，q ：lg(x ＋2)有意义，则綈p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 不等式1x ＋2<0的解集为{x |x <－2}，则綈p ：x ≥－2.q ：x >－2.故綈p q ，q ⇒綈p ，故选C.【答案】 C9．如图1，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线，分别交抛物线的准线l 、y 轴、抛物线于A ，B ，C 三点，若AB→＝3BC →，那么直线AF 的斜率是( )图1A ．－ 3B ．－33 C ．－22D ．－1【解析】 过点B ，C 分别作准线l 的垂线，垂足分别为B 1，C 1，设|BC |＝a .因为O 是EF 的中点，BO ∥AE ，所以|AB |＝|BF |＝3a ，|CF |＝|CC 1|＝2a ，在△ACC 1中，|AC 1|＝23a ，tan ∠AFO ＝tan ∠ACC 1＝3，故直线AF 的斜率是－3，故选A.【答案】 A10．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若椭圆的离心率为23，则k 的值为( )【导学号：15460087】A ．－13B ．13C ．±13D ．±12【解析】 由题意知点B 的横坐标是c ，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，±b 2a ，则斜率k ＝±b 2ac ＋a ＝±b 2ac ＋a 2＝±a 2－c 2ac ＋a 2＝±1－e 2e ＋1＝±(1－e )＝±13，故选C. 【答案】 C11．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两个不同的点，抛物线的焦点为F ，且|AF |,4，|BF |成等差数列，则k ＝( )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．1±5【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，y 2＝8x ，消去y ，得k 2x 2－4(k＋2)x ＋4＝0，故Δ＝16(k ＋2)2－16k 2＝64(1＋k )>0，解得k >－1，且x 1＋x 2＝4(k ＋2)k 2.由|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|AF |，4，|BF |成等差数列，得x 1＋2＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝4，所以4(k ＋2)k 2＝4，解得k ＝－1或k ＝2，又k >－1，故k ＝2，故选C.【答案】 C12．(2016·上海杨浦模考)若F 1，F 2为双曲线C ：x 24－y 2＝1的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠F 1PF 2＝60°，则点P 到x 轴的距离为( )A.55 B ．155 C.2155D ．1520【解析】 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，点P 到x 轴的距离为|y P |，则S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝34r 1r 2，又4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°＝(r 1－r 2)2＋2r 1r 2－r 1r 2＝4a 2＋r 1r 2，得r 1r 2＝4c 2－4a 2＝4b 2＝4，所以S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin 60°＝3＝12·2c ·|y P |＝5|y P |，得|y P |＝155，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知空间三点的坐标为A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (p,3，q ＋2)，若A ，B ，C 三点共线，则p ＋q ＝________.【解析】 由已知，得AC →＝kAB →，所以(p －1，－2，q ＋4)＝k (1，－1,3)，得到p ＝3，q ＝2，p ＋q ＝5.【答案】 514．已知命题p ：∃x 0∈R ，ax 20＋x 0＋12≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 因为命题p 为假命题，所以命题“∀x ∈R ，ax 2＋x ＋12>0”为真命题．当a ＝0时，取x ＝－1，则不等式不成立； 当a ≠0时，要使不等式恒成立，令ax 2＋x ＋12＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－2a <0，所以⎩⎨⎧a >0，a >12，即实数a的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞15．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，若点A ，B 是该抛物线上的点，∠AFB ＝π2，线段AB 的中点M 在抛物线的准线上的射影为N ，则|MN ||AB |的最大值为________．【解析】如图所示，设|AF |＝a ，|BF |＝b ，则|AB |＝a 2＋b 2，而根据抛物线的定义可得|MN |＝a ＋b 2，又a ＋b2≤a 2＋b 22，所以|MN ||AB |＝a ＋b 2a 2＋b 2≤22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即|MN ||AB |的最大值为22.【答案】 2216．四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD ＝AB ＝1，G 为△ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ的正弦值为________．【解析】 如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，由已知P (0,0,1)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，则重心G ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，0，因此DP →＝(0,0,1)，GP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，1，所以sin θ＝|cos 〈DP →，GP →〉|＝|DP →·GP →||DP →|·|GP →|＝31717.【答案】31717三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}．“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a 组成的集合．【解】 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，由于“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件．∴B A . 当B ＝∅时，得a ＝0；当B ≠∅时，由题意得B ＝{1}或B ＝{2}． 则当B ＝{1}时，得a ＝1；当B ＝{2}时，得a ＝12. 综上所述，实数a组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，1，12. 18. (本小题满分12分)如图2，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM →与PN →的夹角为120°，QC →·QM →＝2.图2(1)求圆C 的方程；(2)求以M，N为焦点，过点P，Q的椭圆方程．【解】(1)连接CQ，建立如图坐标系，由题意得△CQM为正三角形．∴QC→·QM→＝r2·cos 60°＝2，∴r＝2，∴圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)易知M(2,0)，N(－2,0)，Q(1，3)，2a＝|QN|＋|QM|＝23＋2.∴c＝2，a＝3＋1，b2＝a2－c2＝2 3.∴椭圆的方程为x24＋23＋y223＝1.19. (本小题满分12分)如图3，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.图3(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值.【导学号：15460088】【解】(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD .(2)如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，M (0,1,1)，于是AC→＝(1,2,0)，AM →＝(0,1,1)，CD →＝(－1,0,0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由n ⊥AC →，n ⊥AM →可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0.令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，于是n ＝(2，－1,1)． 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α， 则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →||n |＝63，cos α＝33. 故直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.20. (本小题满分12分)如图4，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k ＞0)．图4(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值． 【解】(1)(1)证明：取CD 的中点E ，连接BE ，如图(1)． ∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ， ∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD . 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD .∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD . 又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)(2)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，∴AC →＝(－4k,6k,0)，AB 1→＝(0,3k,1)，AA 1→＝(0,0,1)． 设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AB 1→·n ＝0，得⎩⎨⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0. 取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AA 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AA 1→·n |AA 1→||n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1，故所求k 的值为1.21. (本小题满分12分)如图5，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作一条倾斜角为π4的直线与抛物线相交于A ，B 两点．图5(1)用p 表示|AB |；(2)若OA →·OB→＝－3，求这个抛物线的方程． 【解】 (1)抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，过点F 且倾斜角为π4的直线方程为y ＝x －p 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ y 2＝2px ，y ＝x －p 2，得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p . (2)由(1)知，x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝3p ，∴y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2＝x 1x 2－p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝p 24－3p 22＋p 24＝－p 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－3p 24＝－3，解得p 2＝4，∴p ＝2.∴这个抛物线的方程为y 2＝4x .22. (本小题满分12分)如图6，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .图6(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．【解】 (1)∵BF 2＝2，而BF 22＝OB 2＋OF 22＝b 2＋c 2＝2＝a 2，∵点C 在椭圆上，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13， ∴169a 2＋19b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)直线BF 2的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立方程组，解得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c2，－b 3a 2＋c 2， 则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b 3a 2＋c 2， 又F 1为(－c,0)，kF 1C ＝b 3a 2＋c 22a 2c a 2＋c2＋c ＝b 33a 2c ＋c 3， 又k AB ＝－b c ，由F 1C ⊥AB ，得b 33a 2c ＋c3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1，即b4＝3a2c2＋c4，所以(a2－c2)2＝3a2c2＋c4，化简得e＝ca ＝55.。
数学高中人教A版选修2-1课后习题：模块综合测评(B)
模块综合测评(B )(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p :若θ=150°,则sin θ=12,则在命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中,正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3解析原命题正确,所以逆否命题为真,逆命题和否命题都是假命题,故只有1个为真命题.答案B2.若抛物线y=ax 2的焦点坐标为(0,2),则a 的值为 ( )A.18B.14C.8D.4解析抛物线的标准方程为x 2=1ay ,因为抛物线y=ax 2的焦点坐标为(0,2),所以14a=2,所以a=18,故选A. 答案A3.与向量a =(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A.(13,1,1) B.(-1,-3,2) C.(-12,32,-1)D.(√2,-3,-2√2)解析因为1-12=-332=2-1=-2,即a =-2(-12,32,-1),所以(-12,32,-1)与a 平行.答案C4.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为1,则双曲线C 的方程为( ) A.x 2-y 2=1B.x 2-y 2=1C.2√3-y 2=1 D.x 2-y 29=1解析双曲线中,顶点与较近焦点距离为c-a=1.又e=c=2,两式联立得a=1,c=2,∴b 2=c 2-a 2=4-1=3,∴方程为x 2-y 2=1.答案A5.若命题s :∃x 0>2,x 02-3x 0+2>0,则( )A. s :∃x>2,x 2-3x+2≤0B. s :∀x>2,x 2-3x+2≤0C. s :∃x ≤2,x 2-3x+2≤0D. s :∀x ≤2,x 2-3x+2≤0解析原命题s 是特称命题,其否定应为全称命题. 答案B6.已知三棱锥O-ABC ,点M ,N 分别为边AB ,OC 的中点,P 是MN 上的点,满足MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.16a +16b -13cB.16a +13b +16c C.13a +16b +16cD.16a +16b +13c解析∵OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ). ∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16a +16b +13c , 故选D.答案D 7.双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A 1,A 2,直线x=2a 与一条渐近线交于点P ,若|A 1A 2|=|PA 2|,则双曲线的离心率为( ) A.√5B.√2C.√7D.2√3解析A 1(-a ,0),A 2(a ,0),不妨设点P 在渐近线y=bax 上,则P (2a ,2b ),由|A 1A 2|=|PA 2|可得4a 2=a 2+4b 2,又b 2=c 2-a 2,所以7a 2=4c 2,e=c a =√72. 答案C8.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面是边长为1的正方形,若∠A 1AB=∠A 1AD=60°,且A 1A=3,则A 1C 的长为( ) A.√5B.2√2C.√14D.√17解析因为A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=1+1+9+2(0+1×3×cos120°+1×3×cos 120°)=5,故A 1C 的长为√5. 答案A9.若点P 是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[-1,-14] B.[-12,-14] C.[-1,0]D.[-12,0]解析以D 为原点,以DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),C 1(0,1,1),设P (x ,y ,1)(0≤x ≤1,0≤y ≤1). 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x ,-y ,-1),PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x ,1-y ,0),于是PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2-x+y 2-y=(x -12)2+(y -12)2−12.因为0≤x ≤1,0≤y ≤1, 所以0≤(x -12)2≤14,0≤(y -12)2≤14,故-12≤(x -12)2+(y -12)2−12≤0. 答案D10.已知点P 在抛物线y 2=4x 上,点A (5,3),F 为该抛物线的焦点,则△PAF 周长的最小值为( ) A.9B.10C.11D.12解析由题意,画出图象(见下图),F (1,0),|AF|=√(5-1)2+32=5,过A 点作准线l 的垂线AD 交直线l 于D ,设P 到准线的距离为d ,则|PF|=d ,则△PAF 周长=|PF|+|PA|+|AF|=d+|PA|+5,当P 、A 、D 三点共线时,d+|PA|取得最小值,△PAF 周长最小为5-(-1)+5=11.故答案为C.答案C11.已知直线3x-y+6=0经过椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点F 1,且与椭圆在第二象限的交点为M ,与y轴的交点为N ,F 2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF 2|,则椭圆的方程为( )A.x 240+y 24=1B.x 25+y 2=1C.x 210+y 2=1D.x 210+y 26=1解析直线3x-y+6=0与x 轴、y 轴分别交于点(-2,0),(0,6),因此F 1(-2,0),N (0,6),于是c=2.又因为2a=|MF 1|+|MF 2|=|MN|+|MF 1|=|NF 1|=√22+62=2√10,于是a=√10,从而b 2=10-4=6,故椭圆方程为x 210+y 26=1. 答案D12.如图,四面体ABCD 中,AB ,BC ,BD 两两垂直,BC=BD=2,点E 是CD 的中点,异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为√10,则直线BE 与平面ACD 所成角的正弦值为( )A.√2B.2C.2√2D.1解析以B 为原点,BC ,BD ,BA 所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设AB=a ,则A (0,0,a ),E (1,1,0),B (0,0,0),C (2,0,0),D (0,2,0),于是AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-a ),BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0), 则|cos <AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=√10, 于是√2·√a 2+4=√1010,解得a=4或a=-4(舍).这时AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-4), 设平面ACD 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{2x -4z =0,2y -4z =0,取n =(2,2,1),于是sin θ=|cos <BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=√2×3=2√23. 答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知点M ,N 分别是空间四面体OABC 的边OA 和BC 的中点,P 为线段MN 的中点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB⃗⃗⃗⃗⃗ +γOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ+μ+γ= . 解析如图,连接ON ,在△OMN 中,点P 是MN 中点,则由平行四边形法则得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴λ+μ+γ=34.答案3414.已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A ,M 是抛物线C 上的点,且MF ⊥x 轴.若以AF 为直径的圆截直线AM 所得的弦长为2,则p= . 解析由题意可得大致图形如下:由y 2=2px 可得:A (-p2,0),F (p 2,0),M (p 2,±p),由抛物线的对称性可知,取M (p2,p)与M (p2,-p)结果一致,不妨令M (p2,p),∴以AF 为直径的圆的方程为x 2+y 2=p2;直线AM 方程为x-y+p=0. 设圆心到直线距离为d ,则d=|p 2√1+1|=√2p4, ∴直线AM 被圆截得弦长为2√p 24-p 28=2⇒p=2√2.答案2√215.已知p :x -2mx+m <0(m>0),q :x (x-4)<0,若p 是q 的既不充分也不必要条件,则实数m 的取值范围是 .解析由x -2mx+m <0(m>0),解得-m<x<2m ,由x (x-4)<0,解得0<x<4.若p 是q 的充分不必要条件,则有{-m ≥0,2m <4,m >0,或{-m >0,2m ≤4,m >0,解得m 无解;若p 是q 的必要不充分条件,则有{-m <0,2m ≥4,m >0,或{-m ≤0,2m >4,m >0,解得m ≥2或m>2.因此当p 是q 的既不充分也不必要条件时,实数m 的取值范围是(0,2). 答案(0,2)16.椭圆x 25+y 2m =1的离心率e=√155,则m= . 解析若0<m<5,则e 2=5-m5=1525=35,∴m=2,若m>5,则e 2=m -5m =35,∴m=252.∴m 的值为2或252.答案2或252三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知命题p :方程x 2+y 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆,命题q :关于x 的方程x 2+2mx+2m+3=0无实根,若“p ∧q ”为假命题,“p ∨q ”为真命题,求实数m 的取值范围.解∵方程x 2+y 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆,∴m>2.∵关于x 的方程x 2+2mx+2m+3=0无实根, ∴4m 2-4(2m+3)<0,解得-1<m<3.“p ∧q ”为假命题,“p ∨q ”为真命题⇔p ,q 恰有一真一假. ①若“p 真q 假”,则{m >2,m ≤-1或m ≥3,即m ≥3;②若“p 假q 真”,则{m ≤2,-1<m <3,即-1<m ≤2.综上,实数m 的取值范围是(-1,2]∪[3,+∞).18.(本小题满分12分)如图所示的多面体中,四边形ABCD 为菱形,AB=2,∠DAB=60°,ED ⊥面ABCD ,EF ∥DB ,EF=1,异面直线AF ,CD 所成角的余弦值为√6.(1)求证:面ACF ⊥面EDB ; (2)求二面角B-AF-E 的余弦值.(1)证明∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,∵ED ⊥面ABCD ,AC ⊂面ABCD ,∴ED ⊥AC , ∵BD ∩ED=D ,∴AC ⊥面EBD , ∵AC ⊂面ACF ,∴面ACF ⊥面EDB.(2)解∵四边形ABCD 是菱形,AB=2,∠DAB=60°,∴DB=2,DO=1,∵EF ∥DB ,EF=1,∴EF ∥DO ,EF=DO , ∴四边形EFOD 是平行四边形,∴ED ∥FO , ∵ED ⊥面ABCD ,∴FO ⊥面ABCD ,以O 为原点,OA ,OB ,OF 分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,则A (√3,0,0),D (0,-1,0),C (-√3,0,0),设F (0,0,t ),则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,t ),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0), cos <AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√3+t ·2=√6(t>0),解得t=√3,则F (0,0,√3),EF⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0), ∵B (0,1,0),E (0,-1,√3),∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,0,√3), 设平面AFB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =-√3x +y =0,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =-√3x +√3z =0,取x=1,得m =(1,√3,1),设平面AFE 的法向量n =(x ,y ,z ), 则{EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =y =0,AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =-√3x +√3z =0,取x=1,得n =(1,0,1), 设二面角B-AF-E 的平面角为θ,由图形得θ为钝角,则cos θ=-|m ·n ||m ||n |=-√5×√2=-√105. ∴二面角B-AF-E 的余弦值为-√10.19.(本小题满分12分)已知过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,斜率为2√2的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.解(1)直线AB 的方程是y=2√2(x -p 2),与y 2=2px 联立,从而有4x 2-5px+p 2=0,所以x 1+x 2=5p4.由抛物线的定义,得|AB|=x 1+x 2+p=9,所以p=4.从而抛物线的方程是y 2=8x. (2)因为p=4,所以4x 2-5px+p 2=0可简化为x 2-5x+4=0, 从而x 1=1,x 2=4,y 1=-2√2,y 2=4√2, 从而A (1,-2√2),B (4,4√2).设C (x 3,y 3),则OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3,y 3)=(1,-2√2)+λ(4,4√2)=(4λ+1,4√2λ-2√2). 又y 32=8x 3,即[2√2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,平面ABCD ⊥平面PAD ,AD ∥BC ,AB=BC=AP=12AD ,∠ADP=30°,∠BAD=90°,E 是PD 的中点.(1)证明:PD ⊥PB ;(2)设AD=2,点M 在线段PC 上且异面直线BM 与CE 所成角的余弦值为√10,求二面角M-AB-P 的余弦值.解(1)证明:∵平面ABCD ⊥平面PAD ,平面ABCD ∩平面PAD=AD ,∠BAD=90°,所以AB ⊥AD.由面面垂直的性质定理得AB ⊥平面PAD ,∴AB ⊥PD ,在△PAD 中, ∵AP=12AD ,∠ADP=30°, ∴∠APD=90°,即PD ⊥AP , ∴PD ⊥平面PAB ,∴PD ⊥PB.(2)以P 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则B (0,1,1),C √32,12,1,E √32,0,0,设M√32a ,12a ,a (0≤a ≤1),则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32a ,12a-1,a-1,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,-12,-1, ∴cos <BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ >=BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||CE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32-54a23a+2×√52=√105,得a=23,∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,-23,-13),而AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),设平面ABM 的法向量为n =(x ,y ,z ),由{n ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,可得{√3x -2y -z =0,z =0,令x=2,则n =(2,√3,0),取平面PAB 的法向量m =(1,0,0),则cos <m ,n >=m ·n |m ||n |=√7=2√77,故二面角M-AB-P 的余弦值为2√77.21.(本小题满分12分)已知CD 是等边三角形ABC 的AB 边上的高,E ,F 分别是AC 和BC 边的中点,现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A-DC-B.(1)求直线BC 与平面DEF 所成角的余弦值;(2)在线段BC 上是否存在一点P ,使AP ⊥DE ?证明你的结论.解(1)以点D 为坐标原点,直线DB ,DC ,DA 分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,设等边三角形ABC 的边长为a ,则A (0,0,a2),B (a2,0,0),C (0,√32a ,0),E (0,√34a ,a 4),F (a 4,√34a ,0),设平面EDF 的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{A F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{ax +√3ay =0,√34ay +az 4=0,取n =(3,-√3,3).又因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a 2,√32a ,0), 于是cos <BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >=BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=a ·√21=-√217, 因此直线BC 与平面DEF 所成角的余弦值等于√1-(-√217)2=2√77. (2)假设在线段BC 上存在一点,使AP ⊥DE ,令BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(-a 2,√32a ,0)=(-λa 2,√3λ2a ,0), 则P (a 2-λa 2,√3λ2a ,0), 于是AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 2-λa 2,√3λ2a ,-a 2). 因为AP ⊥DE , 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即(a 2-λa 2,√3λ2a ,-a 2)·(0,√34a ,a4)=0, 则38λa 2-18a 2=0,解得λ=13.故线段BC 上存在一点P ,使AP ⊥DE. 22.(本小题满分12分)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,上顶点为A ,过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ,且F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,过A ,Q ,F 2三点的圆恰好与直线l :x-√3y-3=0相切.(1)求椭圆C 的方程;(2)过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,问在x 轴上是否存在点P (m ,0),使得以PM ,PN 为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m 的取值范围;如果不存在,说明理由.解(1)设椭圆C 的焦距为2c (c>0),则点F 1的坐标为(-c ,0),点F 2的坐标为(c ,0),设点Q 的坐标为(x 0,0),且x 0<0,如下图所示,F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0+c ,0),F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2c ,0),∵F 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则x 0+c+2c=0,所以,x 0=-3c ,则点Q 的坐标为(-3c ,0),∵直线AF 2与直线AQ 垂直,且点A (0,b ),所以,AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c ,-b ),AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3c ,-b ),由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2-3c 2=0,得b 2=3c 2,则b=√3c ,a=√b 2+c 2=2c.△AQF 2为直角三角形,且F 2Q 为斜边,线段F 2Q 的中点为F 1(-c ,0),△AQF 2的外接圆半径为2c.由题意可知,点F 1到直线x-√3y-3=0的距离为|c+3|2=c+32=2c , 所以,c=1,a=2c=2,b=√3c=√3,因此,椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)由题意知,直线l 的斜率k ≠0,并设t=1k ,则直线l 的方程为x=ty+1,设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立{x =ty +1,x 24+y 23=1, 消去x 得(3t 2+4)y 2+6ty-9=0,由韦达定理得y 1+y 2=-6t 3t 2+4,y 1y 2=-93t 2+4. ∴y 1+y 22=-3t 3t 2+4,x 1+x 22=t ·y 1+y 22+1=43t 2+4. 所以,线段MN 的中点为点E -3t 3t 2+4,43t 2+4.由于以PM ,PN 为邻边的平行四边形是菱形,则PE ⊥MN ,则k PE ·k MN =-1,所以,k PE =-t. 由两点连线的斜率公式可得k PE =3t 3t 2+4m -43t 2+4=-t ,得m=13t 2+4. 由于k ≠0,则t=1k ≠0,所以,t 2>0,所以,m=13t 2+4∈0,14.因此,在x 轴上存在点P (m ,0),使得以PM ,PN 为邻边的平行四边形是菱形, 且实数m 的取值范围是0,14.由Ruize收集整理。
人教b版选修2-1 第1章综合素质检测.docx
第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析]y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，周期T＝2π|2a|＝π|a|＝π，则a＝±1.故选A.2．若条件p：|x＋1|≤4，条件q：x2<5x－6，则綈p是綈q的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] B[解析]綈p：{x|x<－5或x>3}，綈q：{x|x≤2或x≥3}，∴綈p⇒綈q，綈q綈p.故选B.3．已知m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，n⊂α，则m∥α.其中真命题的序号是()A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[答案] A [解析] ①正确，排除C 、D ；m ⊥α，m ∥β，∴β内存在直线n ∥m ，∴n ⊥α，∴α⊥β，③正确，排除B.故选A.4．下列命题中，真命题是( )A ．∀x ∈R ，x >0B ．如果x <2，那么x <1C ．∃x ∈R ，x 2≤－1D ．∀x ∈R ，使x 2＋1≠0[答案] D[解析] A 显然是假命题，B 中若x ∈[1,2)虽然x <2但x 不小于1.C 中不存在x ，使得x 2≤－1，D 中对∀x ∈R 总有x 2＋1≥1，∴x 2＋1≠0，故D 是真命题，选D.5．(2009·山东烟台3月考)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β；④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n .其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] ①④正确，②③不正确．故选B.6．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直的充要条件是：(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，解得m ＝12或m ＝－2，故应选B. 7．(2010·广东文，8)“x ＞0”是“3x 2＞0”成立的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件[答案] A[解析] 本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x >0显然能推出3x 2>0，而3x 2>0⇔|x |>0⇔x ≠0，不能推出x >0，故选A.8．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≥0，则下面说法正确的是( )A ．綈p 是存在性命题，且是真命题B ．綈p 是全称命题，且是真命题C ．綈p 是全称命题，且是假命题D ．綈p 是存在性命题，且是假命题[答案] A[解析] 綈p ：∃x ∈R ，sin x <0，所以是存在性命题也是真命题．故选A.9．给出命题p ：“若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形”；命题q ：“实数a 、b 、c满足b 2＝ac ，则a 、b 、c 成等比数列”．那么下列结论正确的是( )A ．p 且q 与p 或q 都为真B ．p 且q 为真而p 或q 为假C ．p 且q 为假且p 或q 为假D ．p 且q 为假而p 或q 为真[答案] C[解析] p ：若AB →·BC →>0，则∠B >90°所以△ABC 为钝角三角形，故p 为假命题．q ：a 、b 、c 均为零时b 2＝ac 但a 、b 、c 不成等比数列，故q 为假命题，所以p 且q 为假，p 或q 也为假，故选C.10．下列有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0B ．x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0[答案] C[解析] p ∧q 为假，则p ，q 至少一个为假．故选C.11．(2009·天津高考)设x ∈R ，则“x ＝1”是“x 3＝x ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] x ＝1⇒x 3＝x ，但x 3＝x x ＝1，故选A. 12．用反证法证明命题：若系数为整数的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是( )A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个是偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个是偶数[答案] B[解析] a 、b 、c 中至少有一个是偶数的否定是a 、b 、c 都不是偶数，故选B.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．“|x －2|<2成立”是“x (x －3)<0成立”的________条件．[答案] 必要不充分[解析] 由|x －2|<2得－2<x －2<2⇔－1<x <3.由x (x －3)<0⇔0<x <3，显然－1<x <3⇐0<x <3.14．设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，则使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－2]∪[－1,3)[解析] 对于方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不等正根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4>0，－2m >0.∴m <－1， 方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，Δ＝4(m －2)2－4(－3m ＋10)<0，∴－2<m <3，若p 真q 假，则m ≤－2；若p 假q 真，则－1≤m <3.15．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象过原点的充要条件是________________．[答案] c ＝016．设A 、B 为两个集合，下列四个命题：①A B ⇔对∀x ∈A ，有x ∉B ；②A B ⇔A ∩B ＝∅；③A B ⇔A ⊉B ；④A B ⇔∃x ∈A ，使得x ∉B ，其中真命题的序号是________________．[答案] ④[解析] 通过举反例说明：若A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2,4}，满足A B ，但1∈A 且1∈B ，A ∩B ＝{1,2}，所以①，②是假命题；若A ＝{1,2,4}，B ＝{1}满足A B ，但B ⊆A ，所以③是假命题；只有④为真命题．三、解答题(本大题共6个大题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解析] 逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0；(真) 否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1；(真)逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0(真)18．(本题满分12分)已知a >0设命题p ：函数y ＝(1a)x 为增函数． 命题q ：当x ∈[12，2]时函数f (x )＝x ＋1x >1a恒成立． 如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求a 的范围．[解析] 当y ＝(1a)x 为增函数，得0<a <1. 当x ∈[12，2]时，因为f (x )在[12，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数． ∴f (x )在x ∈[12，2]上最小值为f (1)＝2. 当x ∈[12，2]时，由函数f (x )＝x ＋1x >1a恒成立． 得2>1a 解得a >12. 如果p 真且q 假，则0<a ≤12； 如果p 假且q 真，则a ≥1.所以a 的取值范围为(0，12]∪[1，＋∞)． 19．(本题满分12分)已知a >0，函数f (x )＝ax －bx 2.(1)当b >0时，若对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，证明a ≤2b ；(2)当b >1时，证明：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b .[证明] (1)∵f (x )＝－b (x －a 2b )2＋a 24b， 对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，∴f (a 2b )＝a 24b≤1. 又∵a >0，b >0，∴a 2≤4b ，即a ≤2b .(2)必要性：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1，即－1≤f (x )≤1，∴f (1)≥－1，即a －b ≥－1，∴a ≥b －1.∵b >1，∴0<1b<1，∴f ⎝⎛⎭⎫1b ≤1. 即a ·1b －b ·(1b)2≤1， ∴a b－1≤1，∴a ≤2b . 所以b －1≤a ≤2b .充分性：∵b >1，∴f (x )的图象是开口向下的抛物线．由a ≤2b ，得0<a 2b <a 2b≤1. ∴0<a 2b<1. ∴y max ＝f (a 2b )＝a 24b ＝(a 2b)2≤1. ∴f (x )≤1.∵f (0)＝0，∴f (0)>－1.又∵f (1)＝a －b ，由b －1≤a ，即a ≥b －1，知f (1)≥b －1－b ＝－1.而函数f (x )在(0，a 2b)上单调递增，在⎣⎡⎭⎫a 2b ，1上单调递减，所以当x ∈[0,1]时，f (x )≥－1.综上所述，当b >1时，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b .20．(本小题满分12分)求使函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象全在x 轴上方成立的充要条件．[解析] 要使函数f (x )的图象全在x 轴上方的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0Δ＝16(a －1)2－4(a 2＋4a －5)×3<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5＝0y >0 解得1<a <19或a ＝1.所以使函数f (x )的图象全在x 轴上方的充要条件是1≤a <19.21．(本小题满分12分)已知命题p ：lg (x 2－2x －2)≥0；命题q ：|1－x 2|<1.若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg (x 2－2x －2)≥0得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0，即(x －3)(x ＋1)≥0，∴x ≥3或x ≤－1.由|1－x 2|<1，－1<1－x 2<1∴0<x <4. ∵命题q 为假，∴x ≤0或x ≥4，则{x |x ≥3或x ≤－1}∩{x |x ≤0或x ≥4}＝{x |x ≤－1或x ≥4}，∴满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．22．(本小题满分14分)证明二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af (m )<0.[解析] 充分性：设△＝b 2－4ac ≤0则af (x )＝a 2x 2＋abx ＋ac ＝a 2(x ＋b 2a )2－b 24＋ac ＝a 2(x ＋b 2a )2－14(b 2－4ac )≥0， 所以af (m )≥0，这与af (m )<0矛盾，即b 2－4ac >0.故二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有两个不等的零点，设为x 1，x 2，且x 1<x 2，从而f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)，af (m )＝a 2(m －x 1)(m －x 2)<0，所以x 1<m <x 2.必要性：设x 1，x 2是方程的两个零点，且x 1<x 2，由题意知x 1<m <x 2，因为f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)，且x 1<m <x 2.∴af (m )＝a 2(m －x 1)(m －x 2)<0，即af (m )<0.综上所述，二次函数f (x )的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af (m )<0.。
《选修2-1》模块综合检测B卷
《选修2-1》模块综合检测B卷时间：100分钟，满分：120分一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．下列结论正确的个数是①命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；②命题“∀∈R，2＋1＜0”是全称命题；③∃∈R，2＋2＋1≤0是全称命题．A．0 B．1C．2 D．32．以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是A．y2＝12 B．y2＝－12C．y2＝6 D．y2＝－63．已知空间向量a＝1，n,2，b＝－2,1,2，若2a－b与b垂直，则|a|等于4．下列说法中正确的是A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a＞b”与“a＋c＞b＋c”不等价C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|6．已知两定点F15,0，F2－5,0，曲线上的点⌝⌝⌝⌝＋＝1的两个焦点，点＋n的值是A．41 B．15C．9 D．1二、填空题本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上11．“三角形任意两边之和大于第三边”的否定是________．中，＝2，b＝＝，一、故m＋n＝15二、填空题11答案：三角形的三边中，存在两边，其和小于或等于第三边12解析：，则＝0，－1，－，cos〈m，n〉＝＝－故二面角A＝MB，所以MN∥BC1又BC1⊂平面BCC1B1，所以MN∥平面BCC1B12作B1O⊥BC于O点，连接AO，因为平面BCC1B1⊥底面ABC，所以B1O⊥平面ABC，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A0，，0，B－1,0,0，C1,0,0，B10,0，．由＝＝，可求出A11，，，C12,0，，设点P，y，，＝λ，则P＋1，－，，＝，－，，＝－1,0，．设平面B1CP的法向量为n1＝1，y1，1，由，令1＝1，解得n1＝，，1．同理可求出平面ACC1A1的法向量n2＝，1，－1．由平面B1CP⊥平面ACC1A1，得n1·n2＝0，即3＋－1＝0，解得λ＝3，所以A1C1＝3A1P，从而C1P∶PA1＝2。
最新人教A版高中数学选修2-1 模块质量检测B课时同步练习 习题(含解析)
模块质量检测（B）(考试时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地)1．下列说法错误地是( )A．如果命题“¬p”与命题“p∨q”都是真命题，那么命题q一定是真命题B．命题“若a＝0，则ab＝0”地否命题是：“若a≠0，则ab≠0”C．若命题p：∃x0∈R，x02＋2x0－3<0，则¬p：∀x∈R，x2＋2x－3≥0D．“sin θ＝12”是“θ＝30°”地充分不必要条件解析：显然由sin θ＝12不能推出θ＝30°.答案： D2．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0地解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且¬q”是假命题；③命题“¬p或q”是真命题；④命题“¬p或¬q”是假命题，其中正确地是( )A．②③ B．①②④C．①③④D．①②③④解析：命题p、q都是真命题，所以p∩q为真命题，p∩¬q是假命题，¬p或q是真命题，¬p或¬q是假命题，故选D.答案： D3．已知两定点F1(5，0)，F2(－5，0)，曲线上地点P到F1，F2地距离之差地绝对值是6，则该曲线地方程为( )A.x29－y216＝1 B.x216－y29＝1C.x225－y236＝1 D.y225－x236＝1解析：|PF1|－|PF2|＝6|F1F2|，∴P点地轨迹为双曲线2a＝6，2c＝10，b2＝c2－a2＝16.答案： A4．“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0和直线3x ＋(a－1)y＝a－7”平行且不重合地( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a＝3⇒直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x ＋(a－1)y＝a－7平行且不重合；由两直线平行且不重合得a3＝2a－1≠3a7－a⇒a＝3.故选C.答案： C5．命题“若a>b，则ac<bc(a，b，c∈R)”与它地逆命题、否命题、逆否命题中，真命题地个数为( )A．4 B．3C．2 D．0解析：原命题为假，逆命题为假，否命题及逆否命题也为假．答案： D6．已知抛物线地顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上地点P(m，－2)到焦点地距离为4，则m地值为( )A．4 B．－2C．4或－4 D．12或－2解析：设抛物线标准方程为x2＝－2py(p>0)，由抛物线地定义知点P到准线地距离为4，故p2＋2＝4，∴p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，代入点P坐标得m ＝±4，故选C.答案：7．若△ABC中，∠C＝90°，A(1，2，－3k)，B(－2，1，0)，C(4，0，－2k)，则k地值为( )A.10 B．－10C．2 5 D．±10解析：CB→＝(－6，1，2k)，CA→＝(－3，2，－k)，则CB→·CA→＝(－6)×(－3)＋2＋2k×(－k)＝－2k2＋20＝0，∴k＝±10.答案： D8．已知OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 地坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 解析： 设Q (x ，y ，z )，因Q 在OP →上， 故有OQ →∥OP →，可得：x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ， 则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎪⎫λ－432－23，故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值，此时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83，故选C. 答案： C9．椭圆短轴上地两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆地离心率为( )A.1010B.1717C.21313D.3737解析： 焦距为2c ，短轴长为2b ，由已知：2c ＝2b 3， ∴b ＝3c ，又a 2＝b 2＋c 2＝9c 2＋c 2＝10c 2，∴e＝ca＝1010.答案： A10．给出下列四个命题，其中真命题为( )①“∃x∈R，使得x2＋1>3x”地否定是“∀x∈R，都有x2＋1≤3x”；②“m＝－2”是“直线(m＋2)x＋my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”地必要不充分条件；③设圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)与坐标轴有4个交点，分别为A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，y1)，D(0，y2)，则x1x2－y1y2＝0；④函数f(x)＝sin x－x地零点个数有3个．A．①④B．②④C．①③D．②③解析：①正确；m＝－2⇒两条直线垂直，而两直线垂直推不出m ＝－2，∴m＝－2是这两条直线垂直地充分非必要条件，②错误；令y＝0，x2＋Dx＋F＝0得，x1x2＝F，令x＝0，y2＋Ey＋F＝0，得y1y2＝F，∴x1x2－y1y2＝0，③正确；④错误．答案： C11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1地中点，O为正方形ABCD地中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP 与MA 所成地角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：如图所示，建立直角坐标系，设正方体棱长为1，则O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，P (1，y ，1)，A (1，0，0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12， ∴OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y －12，1， AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12， ∴OP →·AM →＝0，∴OP 与MA 所成地角为90°.答案： D12．设F 1，F 2是双曲线x 2－4y 2＝4a (a ＞0)地两个焦点，点P 在双曲线上，且满足PF →1·PF →2＝0，|PF →1|·|PF →2|＝2，则a 地值为( )A ．2 B.52C ．1 D. 5解析： 双曲线方程化为x 24a －y2a ＝1(a ＞0)，∵PF →1·PF →2＝0，∴PF 1⊥PF 2.∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝4c 2＝20a ，①由双曲线定义|PF →1|－|PF →2|＝±4a ，②又已知：|PF 1→||PF →2|＝2，③由①②③得：20a －2×2＝16a ，∴a ＝1. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在题中地横线上)13．已知AB 是过椭圆x 225＋y 216＝1左焦点F 1地弦，且|AF 2|＋|BF 2|＝12，其中F 2是椭圆地右焦点，则弦AB 地长是________．解析： 由椭圆定义|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20，得|AB |＝8.答案： 814．设命题p ：|4x －3|≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若¬p 是¬q 地必要而不充分条件，则实数a 地取值范围是________．解析： 由已知p ：－1≤4x －3≤1，∴12≤x ≤1， q ：a ≤x ≤a ＋1，又¬p ⇐¬q ，∴p ⇒q ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1≥1，由此可知0≤a ≤12. 答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 15．若直线l 地方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α地法向量为u ＝(－2，0，－4)，则直线与平面地位置关系是________．解析： a ·u ＝(1，0，2)·(－2，0，－4)＝－2－8＝－10∴直线l 与平面α不平行，a ＝－12u ∴a ∥u直线l 与平面α垂直．答案： 垂直16．已知命题p ：m ≥1，命题q ：2m 2－9m ＋10＜0，若p ，q 中有且仅有一个为真命题，则实数m 地取值范围是________．解析： q ：2＜m ＜52，由题意p 真q 假 ∴1≤m ≤2或m ≥52. 答案： [1，2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要地文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知a >0，设p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2a |>1地解集为R.若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求a 地取值范围．解析： 由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1， ∴若p 真，则0<a <1.不等式x ＋|x －2a |>1地解集为R ，即y ＝x ＋|x －2a |在R 上恒大于1，又因为x ＋|x －2a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －2a x ≥2a 2a x <2a ，∴函数y ＝x ＋|x －2a |在R 上地最小值为2a ，故要使解集为R，只需2a>1，∴a>12 .∴若q真，则a>12.又∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假．若p真q假，则0<a≤12；若p假q真，则a≥1.故a地取值范围为0<a≤12或a≥1.18．(本小题满分12分)抛物线y＝－x22与过点M(0，－1)地直线l相交于A，B两点，O为原点，若OA和OB地斜率之和为1，求直线l地方程．解析：显然直线l垂直于x轴不合题意，故设所求地直线方程为y＝kx－1.代入抛物线方程化简，得x 2＋2kx －2＝0.由根地判别式Δ＝4k 2＋8＝4(k 2＋2)>0，于是有k ∈R.设点A 地坐标为(x 1，y 1)，点B 地坐标为(x 2，y 2)， 则y 1x 1＋y 2x 2＝1. ① 因为y 1＝kx 1－1，y 2＝kx 2－1，代入①，得2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝1. ② 又因为x 1＋x 2＝－2k ，x 1x 2＝－2，代入②得k ＝1.所以直线l 地方程为y ＝x －1.19．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)地一个顶点为A (0，1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1地直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆地方程；(2)求△CDF 2地面积．解析： (1)易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)∵F 1(－1，0)，∴直线BF 1地方程为y ＝－2x －2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0. ∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1地距离d ＝455， 故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.20．(本小题满分12分)三棱柱ABC －A 1B 1C 1，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ＝2，A 1在底面ABC 上地射影恰为AC 地中点D ，又知BA 1⊥AC 1.(1)求证：AC 1⊥平面A 1BC ；(2)求二面角A －A 1B －C 地余弦值．解析： (1)证明：如图，设A 1D ＝t (>0)，取AB 地中点E ，则DE ∥BC ，因为BC ⊥AC ，所以DE ⊥AC ，又A 1D ⊥平面ABC ，以DE ，DC ，DA 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，－1，0)，C (0，1，0)，B (2，1，0)，A 1(0，0，t )，C 1(0，2，t )，AC1→＝(0，3，t )，BA 1→＝(－2，－1，t )， CB →＝(2，0，0)，由A 1C →·CB →＝0，知A 1C ⊥CB ，又BA 1⊥AC 1，BA 1∩CB ＝B ，从而AC 1⊥平面A 1BC ；(2)由AC 1→·BA 1→＝－3＋t 2＝0，得t ＝ 3.设平面A 1AB 地法向量为n ＝(x ，y ，z )，AA1→＝(0，1，3)，AB →＝(2，2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AA 1，→＝y ＋3z ＝0n ·AB ，→＝2x ＋2y ＝0，设z ＝1，则n ＝(3，－3，1)．再设平面A 1BC 地法向量为m ＝(u ，v ，w )， CA 1→＝(0，－1，3)，CB →＝(2，0，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CA 1，→＝－v ＋3w ＝0m ·CB ，→＝2u ＝0，设w ＝1，则m＝(0，3，1)，故cos〈m，n〉＝m·n|m|·|n|＝－77，因为二面角A－A1B－C为锐角，所以可知二面角A－A1B－C地余弦值为77.21．(本小题满分12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＜0，q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0，且¬p是¬q地必要不充分条件，求a地取值范围．解析：设A＝{x|p}＝{x|x2－4ax＋3a2＜0(a ＜0)}＝{x|3a＜x＜a(a＜0)}，B＝{x|q}＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8＞0}＝{x |x 2－x －6≤0}∪{x |x 2＋2x －8＞0}＝{x |－2≤x ≤3}∪{x |x ＜－4或x ＞2}＝{x |x ＜－4或x ≥－2}．∵¬p 是¬q 地必要不充分条件，∴¬q ⇒¬p ，且¬p ⇒/ ¬q ，∴{x |－4≤x ＜－2}{x |x ≤3a 或x ≥a (a ＜0)}，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2，a ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4，a ＜0.即－23≤a ＜0或a ≤－4. 22．(本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C地余弦值．解析：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD.从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.(2)如图，以D为坐标原点，AD地长为单位长，射线DA为x轴地正半轴，建立空间直角坐标系D－xyz，则A (1，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0，0，1).AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →＝(－1，0，0)，设平面PAB 地法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB ，→＝0，n ·PB ，→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3y ＝0，3y －z ＝0.因此可取n ＝(3，1，3)．设平面PBC 地法向量为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·PB ，→＝0，m ·BC ，→＝0.可取m＝(0，－1，－3)，cos〈m·n〉＝－4 27＝－277.故二面角A－PB－C地余弦值为－277.。
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选修2-1 模块综合检测(B)一、选择题1、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )A.6 3B.255 C.155D.1052、“a>0”是“|a|>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件实用文档实用文档3、若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．e > 2B ．1<e <2C ．e >2D ．1<e <24、已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1C.x 210－y 26＝1D.x 26－y 210＝15、已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．126、过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( )实用文档A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 22＝1C.y 24－x 22＝1D.y 22－x 24＝17、已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90° B．60° C．30° D．0°8、设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( ) A. 3 B ．2 C. 5 D.69、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010 B.15 C.31010 D.3510、若命题p：∀x∈R,2x2＋1>0，则綈p是( )A．∀x∈R,2x2＋1≤0B．∃x∈R,2x2＋1>0C．∃x∈R,2x2＋1<0D．∃x∈R,2x2＋1≤011、命题p：关于x的不等式(x－2)x2－3x＋2≥0的解集为{x|x≥2}，命题q：若函数y＝kx2－kx－1的值恒小于0，则－4<k≤0，那么不．正确的是( )A．“綈p”为假命题B．“綈q”为假命题C．“p或q”为真命题D．“p且q”为假命题12、已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )A．3 2 B．2 3 C.303D.326二、填空题实用文档实用文档13、已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．14、已知双曲线x 2－y 23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．15、给出如下三种说法：①四个实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad ＝bc ；②命题“若x ≥3且y ≥2，则x －y ≥1”为假命题；③若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题．其中正确说法的序号为________．16、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________．三、解答题17、如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A—A1C—B的正切值大小．18、已知命题p：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数，q：方程2x2－26x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题，并指出其真假．19、F1，F2是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线引垂线，垂足为P，求点P的轨迹．实用文档20、若r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.已知∀x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围．21、已知椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为22，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF2的面积．22、已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分别为AB，PC的三等分点，且PN＝2NC，AM实用文档＝2MB，PA＝AB＝1，求的坐标．以下是答案一、选择题1、D [以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)．∴＝(－2,0,1)，＝(－2,2,0)，且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos〈，〉＝＝4 5·8＝10 5.∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为10 5.]实用文档实用文档2、A [因为|a |>0⇔a >0或a <0，所以a >0⇒|a |>0，但|a |>0 a >0，所以a >0是|a |>0的充分不必要条件．]3、C [由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c 2>a ，∴c a >2.]4、A [由题意知c ＝4，焦点在x 轴上，又e ＝c a＝2，∴a ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.]5、C [设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知|BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23， 所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3.]6、D [与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ， 由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.实用文档 所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.]7、A [(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2α＋1＋sin 2α)－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0， ∴a ＋b 与a －b 的夹角为90°.]8、C [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±ba x＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5.]9、C [以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则AA 1＝2，依题设有B (1,1,0)，C (0,1,0)， D 1(0,0,2)，E (1,0,1)，∴＝(0，－1,1)，实用文档＝(0，－1,2)．∴cos 〈·〉＝0＋1＋22·5＝31010.]10、D [綈p ：∃x ∈R,2x 2＋1≤0.]11、D12、C [令直线l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋2y 21＝4 ①x 22＋2y 22＝4 ②①－②得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，∴k l ＝－12，∴l 的方程：x ＋2y －3＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3＝0x 2＋2y 2－4＝0，得6y 2－12y ＋5＝0.∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝56.实用文档∴|AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝303.]二、填空题13、014、3解析 焦点(±2,0)，渐近线：y ＝±3x ， 焦点到渐近线的距离为23(3)2＋1＝ 3.15、①②解析 对①a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，反之不一定．故①正确；对②，令x ＝5，y ＝6，则x －y ＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p ∧q 假时，p ，q 至少有一个为假命题，故③错误．16、(1,3]解析 设|PF 2|＝m ，则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝m ，2c＝|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|＝3m.∴e＝ca＝2c2a≤3，又e>1，∴离心率的取值范围为(1,3]．三、解答题17、(1)证明∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥AA1.在△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠ABC＝60°，由正弦定理得∠ACB＝30°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，A1(0,0，3)，∴＝(1,0,0)，＝(0，3，－3)，实用文档实用文档∴·＝1×0＋0×3＋0×(－3)＝0，∴AB ⊥A 1C .(2)解 如图，可取m ＝＝(1,0,0)为平面AA 1C 的法向量，设平面A 1BC 的法向量为n ＝(l ，m ，n )．则·n ＝0，·n ＝0，又＝(－1，3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－l ＋3m ＝0，3m －3n ＝0， ∴l ＝3m ，n ＝m . 不妨取m ＝1，则n ＝(3，1,1)． cos 〈m ，n 〉＝m·n|m|·|n |＝3×1＋1×0＋1×0(3)2＋12＋12·12＋02＋02＝155.设二面角A —A 1C —B 的大小为θ，∴cos θ＝cos 〈m ，n 〉＝155，sin θ＝105.从而tan θ＝63，即二面角A —A 1C —B 的正切值为63.实用文档18、解 “p 或q ”的形式：方程2x 2－26x＋3＝0的两根都是实数或不相等．“p 且q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数且不相等．“非p ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根不都是实数．∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两相等的实根．∴p 真，q 假．∴“p 或q ”真，“p 且q ”假，“非p ”假．19、解设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，F 1，F 2是它的两个焦点，Q 为椭圆上任意一点，QP 是△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线(如图)，过F 2作F 2P ⊥QP 于P 并延长交F 1Q 的延长线于H ，则P 是F 2H 的中点，且|F 2Q |＝|QH |，因此|PO |＝12|F 1H |＝12(|F 1Q |＋|QH |) ＝12(|F 1Q |＋|F 2Q |)＝a ，实用文档∴点P 的轨迹是以原点为圆心，以椭圆长半轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x 轴的交点)．20、解 由于sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，∀x ∈R ，r (x )为假命题即sin x ＋cos x >m 恒不成立．∴m ≥ 2.①又对∀x ∈R ，s (x )为真命题．∴x 2＋mx ＋1>0对x ∈R 恒成立．则Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2.②故∀x ∈R ，r (x )为假命题，且s (x )为真命题， 应有2≤m <2.21、解 (1)易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.实用文档∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23，∴|CD |＝1＋(－2)2|x 1－x 2| ＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092， 又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.22、解 方法一实用文档∵PA ＝AB ＝AD ＝1，且PA ⊥面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设＝i ，＝j ，＝k ，以{i ，j ，k }为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵＝＋＋＝－23＋＋23＝－23＋＋23(－＋＋) ＝13＋23＝13k ＋23(－) ＝－23i ＋13k . ∴＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13. 方法二 设＝i ，＝j ，＝k ，以{i ，j ，k }为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M 作AD 的平行线交CD 于点E .可知NE ∥PD .∵＝＋＝＋13实用文档 ＝－＋13(＋)＝－i ＋13(i ＋k ) ＝－23i ＋13k ， ∴＝⎝⎛⎭⎪⎫－23，0，13.。