江苏省宿迁市沭阳县高一数学下学期期中试题

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江苏省沭阳县高一数学下学期期中调研测试试题

2016～2017学年度第二学期期中调研测试高一数学试题本试卷包含填空题（第1题—第14题）和解答题（第15题—第20题）两部分，共4页．本卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．求值：cos16cos61sin16sin61+= ▲ ．2．已知1sin cos 5αα+=，则sin 2α的值为 ▲ ．3．在ABC △中，2a =，4b =，2π3C =，则ABC △的面积为 ▲ ． 4．已知lg lg 1x y +=，则2x y +的最小值为 ▲ ． 5．在ABC △中，π6A =，7π12B =，c =a = ▲ ． 6．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且8S ，7S ，9S 成等差数列，则公比q 为 ▲ ．7．已知甲、乙两地距丙的距离均为10km ，且甲地在丙地的北偏东25处，乙地在丙地的南偏东35处，则甲乙两地的距离为 ▲ km ．8．在ABC △中，若sin sin sin a A b B c C +<，则ABC △的形状是 ▲ （填直角、锐角或钝角）三角形．9．已知,m n +∈R ，且210m n +-=，则()16nm 的最大值为 ▲ ．10．在等差数列}{n a 中，前m 项（m 为奇数）和为135，其中偶数项之和为63，且114m a a -=，则100a 的值为 ▲ ．11．若关于x 的不等式2260mx x m -+<的解集为(3)()n -∞-+∞，，，则n 的值为 ▲ ． 12．已知1tan 2α=，1tan()23βα-=，则tan β的值为 ▲ ． 13．已知函数2()1()41x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，　，　，若(1)f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的最大值为 ▲ ．14．若等差数列}{n a 满足2211010a a +=，则101119S a a a =++⋅⋅⋅+的范围为 ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题．．卡指定的区域内作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知全集为R，集合{|A x y ==，{|(2)0}B x x x =-<．（1）求A B ，；（2）求()A B R ð．16．在等比数列{}n a 中，12q =，116m a =，6316m S =．（1）求m ；（2）设2log n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．如图，某企业的两座建筑物AB ，CD 的高度分别为20m 和40m ，其底部BD 之间距离为20m ．为响应创建文明城市号召，进行亮化改造，现欲在建筑物AB 的顶部A 处安装一投影设备，投影到建筑物CD 上形成投影幕墙，既达到亮化目的又可以进行广告宣传．已知投影设备的投影张角∠EAF 为45︒，投影幕墙的高度EF 越小，投影的图像越清晰．设投影光线的上边沿AE 与水平线AG 所成角为α，幕墙的高度EF 为y （m ）．（1）求y 关于α的函数关系式()y f α=，并求出定义域；（2）当投影的图像最清晰时，求幕墙EF 的高度．18．已知在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且222b a c ac =+-．（第17题）ABDC FαEG（1）若b =，求角A ；（2）求函数23()2sin cos2C Af A A -=+的值域．19．在数列{}n a 中，12a =，设n S 为{}n a 的前n 项和，对任意的*n ∈N ，+14n n n S a a =且0n a ≠. （1）求2a ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设1{}nS 的前n 项的和为n T ，求2017T .20．已知函数2()(1)1f x m x mx m =+-+-（m ∈R ）．（1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围；（2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[11]D -⊆，，求m 的取值范围．2016～2017学年度第二学期期中调研测试高一数学参考答案本试卷包含填空题（第1题—第14题）和解答题（第15题—第20题）两部分，共4页．本卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．求值：cos16cos61sin16sin61+=▲ ．2．已知1sin cos 5αα+=，则sin 2α的值为 ▲ ．2425-3．在ABC △中，2a =，4b =，2π3C =，则ABC △的面积为▲ ．4．已知lg lg 1x y +=，则2x y +的最小值为▲ ．5．在ABC △中，π6A =，7π12B =，c =a =▲ ．6．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且8S ，7S ，9S 成等差数列，则公比q 为 ▲ ．2- 7．已知甲、乙两地距丙的距离均为10km ，且甲地在丙地的北偏东25处，乙地在丙地的南偏东35处，则甲乙两地的距离为 ▲ km．8．在ABC △中，若sin sin sin a A b B c C +<，则ABC △的形状是 ▲ （填直角、锐角或钝角）三角形．钝角9．已知,m n +∈R ，且210m n +-=，则()16nm 的最大值为 ▲ ．10．等差数列}{n a 中，前m 项（m 为奇数）和为135，其中偶数项之和为63，且114m a a -=，则100a 的值为 ▲ ．10111．若关于x 的不等式2260mx x m -+<的解集为(,3)(,)n -∞-+∞，则n 的值为 ▲ ． 1或212．已知1tan 2α=，1tan()23βα-=，则tan β的值为 ▲ 72413．已知函数2(),1,()4, 1.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩ ，若(1)f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的最大值为▲ ．14．若等差数列}{n a 满足2211010a a +=，则101119S a a a =++⋅⋅⋅+的范围为 ▲ ．[-二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题．．卡指定的区域内作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知全集为R，集合{|A x y ==，{|(2)0}B x x x =-<．（1）求,A B ；（2）求()A B R ð．解：（1）由已知得2{|540}A x x x =-+≥, ……………………2分 {|(1)(4)0}x x x =--≥所以(,1][4,)A =-∞+∞ ……………………5分{|(2)0}(0,2)B x x x =-<= ……………………8分（2）(1,4)A =R ð ……………………11分 ()(1,4)(0,2)(1,2)A B ==R ð ……………………14分16．在等比数列{}n a 中，12q =，116m a =，6316m S =．（1）求m ；（2）设2log n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）在等比数列{}n a 中，因为12q =，116m a =，6316m S = 由通项公式11n n a a q -=，求和公式11n n a a qS q -=-得所以11111()216116316211612m a a -⎧=⎪⎪⎪ ⎨-⨯⎪=⎪-⎪⎩ …………………………………………3分所以126a m =⎧ ⎨=⎩……………………………………………6分（2）由（1）知1212()22n nn a --=⨯=， ……………………………………………8分所以222log 2n n n n nb a a --==…………………………………………10分因为12n n T b b b =+++即10221012222222n n nT -----=+++++① 0232111012322222222n n n n nT ------=++++++② ①-②得02321111111222222222n n n nT ---=-------……………………12分 11111()22212212n n n n n -----=--=- 22n n n T -= ……………………………………………14分17．如图，某企业的两座建筑物AB ，CD 的高度分别为20m 和40m ，其底部BD 之间距离为20m ．为响应创建文明城市号召，进行亮化改造，现欲在建筑物AB 的顶部A 处安装一投影设备，投影到建筑物CD 上形成投影幕墙，既达到亮化目的又可以进行广告宣传．已知投影设备的投影张角∠EAF 为45︒，投影幕墙的高度EF 越小，投影的图像越清晰．设投影光线的上边沿AE 与水平线AG 所成角为α，幕墙的高度EF 为y （m ）．（1）求y 关于α的函数关系式()y f α=，并求出定义域；（2）当投影的图像最清晰时，求幕墙EF 的高度．解：（1）由AB=20m ，CD =40m ，BD =20m 可得，∠CAG =45︒,∠GAD =45︒,又投影设备的投影张角∠EAF 为45︒，所以π[0,]4α∈， ……………………………2分所以G 一定在EF 上，所以EF EG GF =+,所以ππ20tan 20tan(),[0,]44y ααα=+-∈． ……………………………………………6分（2）当投影的图像最清晰时，幕墙EF 的高度最小，即求y 的最小值（第17题）ABDCFαEG由（1）得ππ20tan 20tan(),[0,]44y ααα=+-∈1tan 220(tan )20[(tan 1)2]1tan 1tan ααααα-=+=++-++， …………………………………8分因为π[0,]4α∈，所以tan [0,1],tan 10αα∈+>，所以2(tan 1)1tan αα++≥+ ……………………………………………10分当且仅当2tan 11tan αα+=+，即tan 1α=时取等号，又tan 1[0,1]α=∈，所以满足题意， ……………………………………………12分此时，min 1)y =．答：当tan 1α=时，投影的图像最清晰，此时幕墙EF 的高度为1)m ． ……………………………………………14分 18．已知在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且222b a c ac =+-．（1）若b =，求角A ；（2）求函数23()2sin cos2C Af A A -=+的值域． 18．解：（1）在ABC ∆中，因为222b ac ac =+- ，所以2221cos 22a c b B ac +-==，所以π3B =………3分因为sin sin c b C B =，b =，即1sin sin 3C =， 1sin 2C =所以π6C =或5π6C = …………6分因为++=πA B C 所以当π6C =时，π2A =，当5π6C =时，πB C +>，不合题意 …………8分（2）因为π3B =，2π+=3A C ,23π12sin cos1cos2cos(2)1cos2cos22232C A y A A A A A A -=+=-+-=-++所以1π2cos21sin(2)126y A A A =-+=-+ …………12分 2π+=3A C ，所以2π(0,)3A ∈，所以ππ7π2(,)666A -∈-，所以π1sin(2)(,1]62A -∈-()f A 的值域为1(,2]2． …………16分19.在数列{}n a 中，12a =，设n S 为{}n a 的前n 项和，对任意的*n ∈N ，+14n n n S a a =且0n a ≠. （1）求2a ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设1{}nS 的前n 项的和为n T ，求2017T . 解：当1n =时，1214S a a =，即1214a a a =，又12a =，所以24a =. …………2分（2）由+14n n n S a a =①得，1+214n n n S a a ++=② …………4分 ②-①得1+21+14n n n n n a a a a a ++=-，又因为0n a ≠，所以+24n n a a -=， …………6分即{}n a 隔项成等差数列，所以当n 为奇数时，1(1)422n n a a n -=+⨯= …………8分当n 为偶数时，2(2)422n n a a n -=+⨯= 所以{}n a 的通项公式为2n a n = …………10分（3）所以+1(1)4n nn a a S n n ==+， …………12分 1111(1)1n S n n n n ==-++，所以12111111*********11n n T S S S n n n =+++=-+-++-=-++， …………14分所以201712017120182018T =-=． …………16分20．已知函数2()(1)1f x m x mx m =+-+-．（1）若不等式()0f x <的解集为∅，求m 的取值范围；（2）当2m >-时，解不等式()f x m ≥；（3）若不等式()0f x ≥的解集为D ，若[11]D -⊆，，求m 的取值范围． 20．解：（1）①当10m +=即1m =-时，()2f x x =-，不合题意； …………1分 ②当10m +≠即1m ≠-时，2104(1)(1)0m m m m +>⎧⎨∆=-+-≤⎩，即21340m m >-⎧⎨-≥⎩， ………………3分∴1m m m >-⎧⎪⎨≤≥⎪⎩，∴m ≥……………5分（2）()f x m ≥即2(1)10m x mx +--≥ 即[(1)1](1)0m x x ++-≥①当10m +=即1m =-时，解集为{}1x x ≥ …………………7分 ②当10m +>即1m >-时，1()(1)01x x m +-≥+ ∵1011m -<<+，∴解集为111x x x m ⎧⎫≤-≥⎨⎬+⎩⎭或 …………………9分 ③当10m +<即21m -<<-时，1()(1)01x x m +-≤+ ∵21m -<<-，所以110m -<+<，所以111m ->+ ∴解集为111x x m ⎧⎫≤≤-⎨⎬+⎩⎭ …………………11分（3）不等式()0f x ≥的解集为D ，[1,1]D -⊆，即对任意的[1,1]x ∈-，不等式2(1)10m x mx m +-+-≥恒成立，即22(1)1m x x x -+≥-+恒成立，因为210x x -+>恒成立，所以22212111x xm x x x x -+-≥=-+-+-+恒成立，………………13分设2,x t -=则[1,3]t ∈，2x t =-，所以2222131(2)(2)1333x t t x x t t t t t t-===-+---+-++-，11因为3t t +≥t =所以221x x x -≤=-+，当且仅当2x =所以当2x =2max 21()1x x x -+=-+所以m …………………16分。

江苏省宿迁市沭阳县2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题含答案

2015~2016学年度第二学期期中调研测试高一数学试题本试卷包含填空题（第1题—第14题）和解答题（第15题—第20题)两部分,共4页．本卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．.1．不等式()()021>--x x 的解集为 ▲ ． 2．已知数列{}na 的通项公式为,3sinπn an=则=3a ▲ ．3．=+20sin 10cos 20cos 10sin ▲ ．4．函数()04>+=x xx y 的最小值为 ▲ ． 5．在ABC ∆中，,30,3,1 ===A b a 则B sin =▲ ． 6. 在等差数列{}na 中，,12,352==a a则=8a▲ ．7。

在ABC ∆中，若01,2,60AC AB A ===，则BC= ▲ ．8．已知正数y x ,满足,12=+y x 则yx11+的最小值为 ▲ ．9. 若(),31tan ,53tan ==+ββα则tan α= ▲ ．10．已知集合{}{}.,0232t x x B x xx A ≥=≥+-=若A B A = ，则实数t 的取值范围为 ▲ ．11．设{}na 是公差不为0的等差数列，41=a且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和nS = ▲ ．12．设nS ，nT 分别是等差数列{}n a ,{}nb 的前n 项和,已知121-+=n n T Snn,*n N ∈，则=55b a▲ ．13．等差数列{}na 的公差为d ,关于x 的不等式21102d a xa x c ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭的解集为14,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则使数列{}na 的前n项和nS 最小的正整数n的值为▲ ． 14．若正实数yx ,满足511=+++yy x x ，则xy的取值范围为▲ ．二、解答题: 本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）已知函数()()R x x x x x f ∈+=,cos sin 3sin2。

江苏省宿迁市高一下学期数学期中联考试卷

江苏省宿迁市高一下学期数学期中联考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分）平面四边形ABCD中，则四边形ABCD是（）A . 矩形B . 正方形C . 菱形D . 梯形2. （2分）在△ABC中，∠C=90°，=（k,1）, =(2,3),则k的值是（）A . 5B . -5C .D . -3. （2分） (2019高一下·三水月考) 在中，若，则是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 直角三角形4. （2分）已知，则（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·临川期中) 在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高一上·莆田期末) 设非零向量，，满足：| |=| |=| |， + = ，则＜，＞=（）A . 150°B . 120°C . 60°D . 30°7. （2分）函数的值域为（）A .B .C .D .8. （2分）sin77°cos47°﹣sin13°sin47°的值等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分）(2020·陕西模拟) 已知，，若，则________.10. （1分） (2017高一上·廊坊期末) 已知角α满足，sin（α+ ）= ，sin（α﹣）= ，则tanα=________．11. （1分） (2019高一上·温州期末) 已知向量，，若，则实数x的值是________．12. （1分） (2019高二上·林芝期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=________．13. （1分） (2015高三上·巴彦期中) 一元二次方程kx2+3kx+k﹣3=0有一个正根和一个负根，则实数k的取值范围为________14. （1分） (2017高一下·徐州期末) 在△ABC中，若sin2B+ C，则A的值为________．15. （1分）(2018·全国Ⅲ卷理) 已知，，，若，则________。

2022-2023学年江苏省宿迁市高一(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年江苏省宿迁市高一（下）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量a →=(3，2)，b →=(4，λ)，若(a →+3b →)∥(2a →+b →)，则实数λ的值为（） A ．74B ．−83C ．83D ．−752．若复数a+i 1+i=b(2−i)(a ，b ∈R)，则ab ＝（）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．33．在△ABC 中，已知A ＝45°，a ＝2，b =√2，则B 等于（） A ．30°B ．60°C ．150°D ．30°或150°4．cos （70°+α）sin （170°﹣α）﹣sin （70°+α）cos （10°+α）等于（） A ．−12B ．−√32C ．√32D ．125．如图所示，在△ABC 中，AN →=12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →=511AB →+mAC →，则实数m 的值为（）A ．1011B ．811C ．211D ．1116．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（） A ．40√2海里B ．40√3海里C ．80√3海里D ．80√2海里7．已知sin(α−π6)=35，则cos(π3−2α)=（） A ．−725B ．725C ．2425D ．9258．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b ＝2，且a cos B ﹣2cos A ＝2，则√3sinA +2sin 2B 的取值范围是（） A ．(0，√3+1)B ．(2，√3+1)C ．（1，3]D ．（2，3]二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知复数z ＝1+i ，则下列说法正确的是（） A ．z 的共轭复数是1﹣i B ．z 的虚部是iC ．zz =iD ．若复数z 0满足|z 0﹣z |＝1，则|z 0|的最大值是√2+110．已知在同一平面内的向量a →，b →，c →均为非零向量，则下列说法中正确的有（） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．若a →⋅c →=a →⋅b →，则b →=c →C ．(a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(b →⋅c →)D ．若a →∥b →且a →⊥c →，则c →⋅(a →+b →)=011．设P 1P 2…P n 是半径为1的圆O 内接正n 边形，则由圆的旋转不变性知：OP 1→+OP 2→+⋯+OP n →=0→．据此可推断下列结论正确的有（） A ．cos2π5+cos 4π5=−12B ．cos 2π7+cos 4π7+cos 6π7=−12C ．cos 2x +cos 2(2π3+x)+cos 2(4π3+x)=32 D ．sin 2x +sin 2(x +π6)+sin 2(x −π6)=1212．a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知b sin A ＝（3b ﹣c ）sin B ，且cos A =13，则（） A ．a +c ＝3bB ．tan A ＝2√2C ．△ABC 的周长为4cD ．△ABC 的面积为2√29c 2三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．√3tan16°tan44°+tan16°+tan44°= ．14．李政道与杨振宁在1952年发表了两篇统计力学方面的论文中，证明了著名的李﹣杨单位圆定理：设n 为自然数且n ≥2，给定a ij ＝a ji ∈[﹣1，1]，1≤i ，j ≤n ，i ≠j ．则多项式p n （z ）=∑A I z |I|I⊂[n]的零点（多项式值为零的复数z 的值）全部分布在单位圆|z |＝1上．其中[n ]＝{1，2，…，n }，而A I =i ∈I ，j ∈[n]I πa ij ，并约定A ∅＝A [n ]＝1．其特例：当n ＝2时，设a 12＝a 21＝a ∈[﹣1，1]，p 2（z ）＝z 2+2az +1．若取a =12，则p 2（z ）的一个零点为．15．已知单位向量a →与b →，向量b →在a →方向上的投影向量为b 0→，且b 0→=λa →(λ∈R)，若〈a →，b →〉的取值范围是[π3，5π6]，则λ的取值范围是．16．兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C 、D 两观测点，且C 、D 与黄河楼底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得黄河楼顶部A 的仰角分别为45°，30°，并测得∠BCD ＝120°，则黄河楼AB 的估计高度为米．四、解答题（本题共6大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）若复数z 1＝1+ai （a ∈R ），复数z 2＝3﹣4i ．（1）若z 1+z 2∈R ，求实数a 的值；（2）若a ＝2，求z 1z 2．18．（12分）已知向量a →与b →的夹角θ=3π4，且|a →|=3，|b →|=2√2．（1）求(a →+b →)⋅(a →−2b →)；（2）a →与a →+b →的夹角的余弦值．19．（12分）已知tan(α−β)=12，tanβ=−17，且α∈(0，π4)，β∈(π2，π)．（1）求tan α的值；（2）求2α﹣β的值．20．（12分）如图所示，O 是半径为2的半圆的圆心，A 为右端点，点P 是半圆上一个动点，以P A 向外做一个等边三角形P AB ，点B 与点O 在P A 的异侧，设∠POA ＝θ．（1）若θ=2π3，求P A 的长；（2）求四边形OABP 面积的最大值．21．（12分）在校园美化、改造活动中，要在半径为30m 、圆心角为2π3的扇形空地EOF 的内部修建一矩形观赛场地ABCD ，如图所示．取CD 的中点M ，记∠MOC ＝θ．（1）写出矩形ABCD 的面积S 与角θ的函数关系式；（2）求当角θ为何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出最大面积．22．（12分）在△ABC 中．（1）|AC →|＝2，AD ⊥BC 于D ，∠BAD ＝45°，∠DAC ＝60°，求BD →•AC →，BA →•AC →．（2）如果（1）的条件下，△ABC 中，PQ 是以A 为圆心，√2为半径的圆的直径，求BP →⋅CQ 的最大值，最小值，并指出取最大值，最小值时向量PQ →与BC →的夹角．2022-2023学年江苏省宿迁市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量a →=(3，2)，b →=(4，λ)，若(a →+3b →)∥(2a →+b →)，则实数λ的值为（） A ．74B ．−83C ．83D ．−75解：a →+3b →=(15，3λ+2)，2a →+b →=(10，λ+4)，且(a →+3b →)∥(2a →+b →)， ∴15（λ+4）﹣10（3λ+2）＝0，解得λ=83．故选：C ． 2．若复数a+i 1+i=b(2−i)(a ，b ∈R)，则ab ＝（）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．3解：因为a+i 1+i=b(2−i)，所以a +i ＝b （1+i ）（2﹣i ）＝b （3+i ），则有{a =3b1=b ，解得{a =3b =1，所以ab ＝3．故选：D ．3．在△ABC 中，已知A ＝45°，a ＝2，b =√2，则B 等于（） A ．30°B ．60°C ．150°D ．30°或150°解：∵A ＝45°，a ＝2，b =√2，∴由正弦定理asinA =bsinB得：sin B =bsinA a =√2×√222=12，∵2＞√2，即a ＞b ，∴A ＞B ，则B ＝30°．故选：A ．4．cos （70°+α）sin （170°﹣α）﹣sin （70°+α）cos （10°+α）等于（）A ．−12B ．−√32C ．√32D ．12解：因为cos （70°+α）sin （170°﹣α）﹣sin （70°+α）cos （10°+α）＝cos （70°+α）sin （10°+α）﹣sin （70°+α）cos （10°+α）＝sin[（10°+α）﹣（70°+α）]＝sin （﹣60°）＝﹣sin60°=−√32．故选：B ．5．如图所示，在△ABC 中，AN →=12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →=511AB →+mAC →，则实数m 的值为（）A ．1011B ．811C ．211D ．111解：由AN →=12NC →可得AN →=13AC →，又B 、P 、N 三点共线，由平面向量基本定理的推论，可设AP →=tAB →+(1−t)AN →，即AP →=tAB →+1−t 3AC →，由已知，AP →=511AB →+mAC →，所以有{t =5111−t3=m ，解得m =211．故选：C ．6．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（） A ．40√2海里B ．40√3海里C ．80√3海里D ．80√2海里解：由题意作出图形：∠SAB ＝40°，∠SAC ＝70°，则∠BAC ＝30°，由图知：∠ABC ＝105°，则∠C ＝45°，又AB ＝80，所以BC sin30°=AB sin45°，则BC ＝40√2海里．故选：A ．7．已知sin(α−π6)=35，则cos(π3−2α)=（）A ．−725B ．725C ．2425D ．925解：由sin(α−π6)=35，可得cos(π3−2α)=cos （2α−π3）＝1﹣2sin 2（α−π6）＝1﹣2×（35）2=725．故选：B ．8．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b ＝2，且a cos B ﹣2cos A ＝2，则√3sinA +2sin 2B 的取值范围是（） A ．(0，√3+1)B ．(2，√3+1)C ．（1，3]D ．（2，3]解：∵b ＝2，a cos B ﹣2cos A ＝2， ∴a cos B ﹣b cos A ＝b ，∴由正弦定理可得sin A cos B ﹣sin B cos A ＝sin B ， ∴sin （A ﹣B ）＝sin B ，∵在锐角△ABC 中，−π2＜A ﹣B ＜π2，0＜B ＜π2， ∴A ﹣B ＝B ， ∴A ＝2B ，∵{A =2B ∈(0，π2)C =π−3B ∈(0，π2)，可得B ∈（π6，π4），2B −π6∈（π6，π3）， ∴可得sin （2B −π6）∈（12，√32）， ∴√3sinA +2sin 2B =√3sin2B +1﹣cos2B ＝2sin （2B −π6）+1∈（2，√3+1）．故选：B ．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．已知复数z ＝1+i ，则下列说法正确的是（） A ．z 的共轭复数是1﹣i B ．z 的虚部是iC ．zz =iD ．若复数z 0满足|z 0﹣z |＝1，则|z 0|的最大值是√2+1解：对于A 选项，因为z ＝1+i ，则z =1−i ，A 对；对于B 选项，复数z 的虚部为1，B 错；对于C 选项，zz =1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ，C 错；对于D 选项，令z 0＝x +yi ，（x ，y ∈R ），则|z 0−z|2=(x −1)2+(y −1)2=1，即z 0在圆心为（1，1），半径为1的圆上，而|z 0|表示圆上点到原点的距离，由圆心（1，1）到原点的距离为√2，结合圆上点到定点距离范围易知：|z 0|的最大值为√2+1，D 对．故选：AD ．10．已知在同一平面内的向量a →，b →，c →均为非零向量，则下列说法中正确的有（） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c → B ．若a →⋅c →=a →⋅b →，则b →=c →C ．(a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(b →⋅c →)D ．若a →∥b →且a →⊥c →，则c →⋅(a →+b →)=0解：对于选项A ，因为a →≠0→，b →≠0→，c →≠0→，若a →∥b →且b →∥c →，则a →∥c →，故选项A 正确；对于选项B ，若a →⋅c →=a →⋅b →，则|a →|⋅|c →|cos〈a →，c →〉=|a →|⋅|b →|cos〈a →，b →〉，又a →≠0→，所以|b →|cos〈a →，b →〉=|c →|cos〈a →，c →〉，因为cos ＜a →，b →＞与cos ＜a →，c →＞不一定相等，所以b →=c →不一定成立，故选项B 错误；对于选项C ，因为(a →⋅b →)⋅c →与c →共线，a →⋅(b →⋅c →)与a →共线，所以（a →⋅b →）⋅c →与a →⋅(b →⋅c →)不一定相等，故选项C 错误；对于选项D ，若a →∥b →且a →⊥c →，则c →⊥b →，所以c →⋅(a →+b →)=c →⋅a →+c →⋅b →=0+0＝0，故选项D 正确．故选：AD ．11．设P 1P 2…P n 是半径为1的圆O 内接正n 边形，则由圆的旋转不变性知：OP 1→+OP 2→+⋯+OP n →=0→．据此可推断下列结论正确的有（） A ．cos 2π5+cos 4π5=−12B ．cos2π7+cos 4π7+cos 6π7=−12C ．cos 2x +cos 2(2π3+x)+cos 2(4π3+x)=32 D ．sin 2x +sin 2(x +π6)+sin 2(x −π6)=12解：对于A ：cos 2π5+cos4π5=12sinπ5（2sin π5cos 2π5+2sin π5cos4π5）=12sin π5（sin 3π5−sin π5+sin π﹣sin 3π5） =12sin π5•（﹣sin π5）=−12，故A 正确；对于B ：cos 2π7+cos4π7+cos6π7=12sinπ7（2sin π7cos 2π7+2sin π7cos4π7+2sin π7cos6π7）=12sin π7（sin 3π7−sin π7+sin 5π7−sin 3π7+sin π﹣sin 5π7）=12sin π7（﹣sin π7）=−12，故B 正确；对于C ：cos 2x +cos 2（2π3+x ）+cos 2（4π3+x ）＝cos 2x +（﹣cos π3cos x ﹣sin π3sin x ）2+（﹣cos π3cos x +sin π3sin x ）2 ＝cos 2x +（−12cos x −√32sin x ）2+（−12cos x +√32sin x ）2＝cos 2x +12cos 2x +32sin 2x =32（cos 2x +sin 2x ） =32，故C 正确；对于D ：sin 2x +sin 2（x +π6）+sin 2（x −π6）＝sin 2x +（sin x cos π6+cos x sin π6）2+（sin x cos π6−cos x sin π6）2＝sin 2x +（√32sin x +12cos x ）2+（√32sin x −12cos x ）2＝sin 2x +32sin 2x +12cos 2x =12+2sin 2x ≠12，故D 错误．故选：ABC ．12．a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知b sin A ＝（3b ﹣c ）sin B ，且cos A =13，则（） A ．a +c ＝3bB ．tan A ＝2√2C ．△ABC 的周长为4cD ．△ABC 的面积为2√29c 2解：因为b sin A ＝（3b ﹣c ）sin B ，所以由正弦定理可得ab ＝（3b ﹣c ）b ，可得a ＝3b ﹣c ，即a +c ＝3b ，故A 正确；又因为cos A =13，所以tan A =√1cos 2A −1=√1(13)2−1=2√2，故B 正确；可得△ABC 的周长a +b +c ＝3b +b ＝4b ≠4c ，可得sin A =√1−cos 2A =2√23，根据余弦定理（3b ﹣c ）2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，整理解得b =23c ， △ABC 的面积S =12bc sin A =12×c ×23c ×2√23=2√29c 2．故选：ABD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．√3tan16°tan44°+tan16°+tan44°= √3 ．解：因为tan60°＝tan （16°+44°）=tan16°+tan44°1−tan60°⋅tan44°=√3，所以tan16°+tan44°=√3（1﹣tan16°•tan44°）=√3−√3tan16°•tan44°，所以√3tan16°•tan44°=√3−（tan16°+tan44°），所以√3tan16°tan44°+tan16°+tan44°=√3−（tan16°+tan44°）+tan16°+tan44°=√3．故答案为：√3．14．李政道与杨振宁在1952年发表了两篇统计力学方面的论文中，证明了著名的李﹣杨单位圆定理：设n 为自然数且n ≥2，给定a ij ＝a ji ∈[﹣1，1]，1≤i ，j ≤n ，i ≠j ．则多项式p n （z ）=∑A I z |I|I⊂[n]的零点（多项式值为零的复数z 的值）全部分布在单位圆|z |＝1上．其中[n ]＝{1，2，…，n }，而A I =i ∈I ，j ∈[n]I πa ij ，并约定A ∅＝A [n ]＝1．其特例：当n ＝2时，设a 12＝a 21＝a ∈[﹣1，1]，p 2（z ）＝z 2+2az +1．若取a =12，则p 2（z ）的一个零点为 −12+√32i （或−12−√32i ）．解：当a =12时，p 2(z)=z 2+2+1，令z 2+z +1＝0，由求根公式可得z =−1±√−32=−1±√3i 2=−12±√32i ．故答案为：−12+√32i （或−12−√32i ）．15．已知单位向量a →与b →，向量b →在a →方向上的投影向量为b 0→，且b 0→=λa →(λ∈R)，若〈a →，b →〉的取值范围是[π3，5π6]，则λ的取值范围是 [−√32，12] ．解：根据题意可知|a →|=|b →|=1，∴向量b →在a →方向上的投影向量为b 0→=|b →|cos〈a →，b →〉⋅a →|a →|=|b →||a →|cos〈a →，b →〉⋅a →，∴λ=|b →|cos〈a →，b →〉|a →|=cos〈a →，b →〉，∵〈a →，b →〉的取值范围是[π3，5π6]， ∴λ=cos〈a →，b →〉∈[−√32，12]．故答案为：[−√32，12]．16．兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C 、D 两观测点，且C 、D 与黄河楼底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得黄河楼顶部A 的仰角分别为45°，30°，并测得∠BCD ＝120°，则黄河楼AB 的估计高度为 90 米．解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，所以BC ＝AB ，在Rt △ABD ，∠ADB ＝30°，所以AB BD=tan30°，即BD =√3AB ，在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD ＝90，由余弦定理，BD 2＝BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos120°，即3AB 2=AB 2+902−2×90⋅(−12)AB ，解得AB ＝90或AB ＝﹣45（舍去），即黄河楼AB 的估计高度为90米．故答案为：90．四、解答题（本题共6大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）若复数z 1＝1+ai （a ∈R ），复数z 2＝3﹣4i ．（1）若z 1+z 2∈R ，求实数a 的值；（2）若a ＝2，求z 1z 2．解：（1）由已知z 1+z 2＝4+（a ﹣4）i ∈R ，则a ﹣4＝0，解得a ＝4．（2）当a ＝2时，z 1z 2=1+2i 3−4i=(1+2i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=−5+10i 25=−15+25i ．18．（12分）已知向量a →与b →的夹角θ=3π4，且|a →|=3，|b →|=2√2．（1）求(a →+b →)⋅(a →−2b →)；（2）a →与a →+b →的夹角的余弦值．解：（1）θ=3π4，且|a →|=3，|b →|=2√2，则a →⋅b →=|a →|⋅|b →|⋅cos 3π4=3×2√2×(−√22)=−6，所以(a →+b →)⋅(a →−2b →)=a →2−a →⋅b →−2b →2=9−(−6)−2×8=−1；（2）由（1）知：a →⋅b →=−6，所以|a →+b →|=√(a →+b →)2=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√5，所以a →与a →+b →的夹角的余弦值为cos ＜a →，a →+b →＞=a →⋅(a →+b →)|a →||a →+b →|=a →2+a →⋅b→|a →||a →+b →|=9−63×5=√55． 19．（12分）已知tan(α−β)=12，tanβ=−17，且α∈(0，π4)，β∈(π2，π)．（1）求tan α的值；（2）求2α﹣β的值．解：（1）tanα=tan[(α−β)+β]=tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ=12−171+114=13；（6分）（2）tan(2α−β)=tan[(α−β)+α]=tan(α−β)+tanα1−tan(α−β)tanα=1（9分） ∵0＜α＜π4，π2＜β＜π，∴0＜2α＜π2，−π＜−β＜−π2∴﹣π＜2α﹣β＜0（11分） ∴2α−β=−3π4．（13分） 20．（12分）如图所示，O 是半径为2的半圆的圆心，A 为右端点，点P 是半圆上一个动点，以P A 向外做一个等边三角形P AB ，点B 与点O 在P A 的异侧，设∠POA ＝θ．（1）若θ=2π3，求P A 的长；（2）求四边形OABP 面积的最大值．解：（1）在△OAP 中，OP ＝OA ＝2，由余弦定理得PA 2=22+22−2×2×2×cos 2π3=12，解得PA =2√3．（2）在△OAP 中，OP ＝OA ＝2，由余弦定理得P A 2＝22+22﹣2×2×2×2×cos θ＝8﹣8cos θ．因为S △OAP =12×2×2×sinθ=2sinθ，S △PAB =12PA ×PB ×sin π3=2√3(1−cosθ)．所以四边形OABP 的面积S =S △OAP +S △PAB =2sinθ+2√3(1−cosθ)=4sin(θ−π3)+2√3．因为0＜θ＜π，故−π3＜θ−π3＜2π3，根据正弦函数的最值可知，所以θ−π3=π2，即当θ=5π6时，四边形OABP 面积取到最大值4+2√3．21．（12分）在校园美化、改造活动中，要在半径为30m 、圆心角为2π3的扇形空地EOF 的内部修建一矩形观赛场地ABCD ，如图所示．取CD 的中点M ，记∠MOC ＝θ．（1）写出矩形ABCD 的面积S 与角θ的函数关系式；（2）求当角θ为何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出最大面积．解：（1）由题可知，θ∈(0，π3)，在Rt △MOC 中，OM ＝30cos θ，MC ＝30sin θ， ∴BN ＝CM ＝30sin θ，在Rt △BON 中，ON =BN tan∠BON =30sinθ√3=10√3sinθ，∴MN =OM −ON =30cosθ−10√3sinθ， ∴S ABCD =2⋅BN ⋅MN =2×30sinθ×(30cosθ−10√3sinθ)=600√3(√32sin2θ+12cos2θ)−300√3=600√3sin(2θ+π6)−300√3，θ∈(0，π3)．（2）∵θ∈(0，π3)， ∴2θ+π6∈(π6，5π6)， ∴当2θ+π6=π2，即θ=π6时，S max =300√3m 2，故当θ=π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为300√3m 2． 22．（12分）在△ABC 中．（1）|AC →|＝2，AD ⊥BC 于D ，∠BAD ＝45°，∠DAC ＝60°，求BD →•AC →，BA →•AC →．（2）如果（1）的条件下，△ABC 中，PQ 是以A 为圆心，√2为半径的圆的直径，求BP →⋅CQ 的最大值，最小值，并指出取最大值，最小值时向量PQ →与BC →的夹角．解：（1）以BC ，DA 分别为x ，y 轴如图，|AC →|＝2，AD ⊥BC 于D ，∠BAD ＝45°，∠DAC ＝60°，可得A （0，1），B （﹣1，0），C （√3，0），D （0，0）， BD →•AC →=（1，0）（√3，﹣1）=√3， BA →•AC →=（1，1）（√3，﹣1）=√3−1．（2）设AQ →与x 轴正方向成角θ，即向量PQ →与BC →的夹角为：θ．BP →⋅CQ =（AP →−AB →）•（AQ →−AC →）＝（AP →−AB →）•（−AP →−AC →）=−AP →2+（AB →−AC →）AP →+AC →•AB →=−AP →2+CB →•AP →+AC →⋅AB →∵AP →2=2，AB →•AC →=|AB →|•|AC →|cos ∠BAC ＝2√2cos105°＝1−√3 ∴BP →•CQ →=−2+CB →•AP →+1−√3=−1−√3+|CB →|•|AP →|cos θ ＝﹣1−√3+（1+√3）×cos θ＝﹣1−√3+√2（1+√3）cos θ当CB →与AP →方向相同时，BP →•CQ →取得最大值√6+√2−√3−1，此时PQ →与BC →的方向相同；当CB →与AP →方向相反时，BP →•CQ →取得最小值−√6−√2−1−√3，此时PQ →与BC →的方向相反。

江苏省沭阳县高一数学下学期期中试题(扫描版)新人教版

江苏省沭阳县2013-2014学年高一数学下学期期中试题（扫描版）新人教版2013～2014学年度第二学期期中调研测试高一数学参考答案一、填空题 1、12 2、 3、10 4、{|31}x x -≤≤ 5、1 67、38、4 9、等腰三角形 10、② 11、01k ≤≤ 12、4026 13、6316- 14、n x n 2= 二、解答题15、解：因为3sin ,(0,)52παα=∈，所以 4cos 5α= ………………… 4分因为12cos ,(,)132πββπ=-∈，所以 5sin 13β= ………………… 8分所以 16sin()65αβ+=- …………………………………14分16、解：（1）因为锐角△ABC 中，A B C π++=，因为sin 3A =，所以1cos 3A =，所以31cos )cos(-=-=+A C B ………………………………………… 7分（2）32221sin 212⨯===∆bc A bc S ABC ，则3=bc 将2=a ，31cos =A ，b c 3=代入余弦定理：222a b c 2bccos A ＝＋－中得42690b b -+=所以b =………………………………………………14分17、解：（1）由11020(1),30,50n a a n d a a =+-==，得方程组119301950a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1122a d =⎧⎨=⎩ 所以 210n a n =+……………………………………………… 7分（2）由242,2)1(1=-+=n n S d n n na S 得方程.24222)1(12=⨯-+n n n解得1122().n n ==-舍去或………………………………………………14分18、解：(1) 180ABC ADC ∠+∠=︒，由余弦定理得：2222246246cos 42224cos AC ABC ADC =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯∠∴ 1cos 2ABC ∠=∵ (0,)ABC π∠∈ ∴ 60ABC ∠=︒，120ADC ∠=︒ 2222cos 28AC AB BC AB BC ABC =+-∠=g g∴AC = ………………………………… 8分(2)ABCD S 四边形=1146sin 6024sin12022⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=由正弦定理得：2sin 3AC R B ===（千米）所以R =……………………………… 16分 19、解：（1） 11111(),(),. 2.2121n n n n n n na x f x a f a a x a a a +++==∴=∴=+++Q 11111{}12.1(1)2.21n n n n a a a a n ∴=∴=+-⋅∴=-以为首项为公差等差数列 ………………………………………………………… 4分112121*********(),,2 1.22112()1212 1.2().13.,212,21,1{}, 3. 223,2n n n nn n n n n n n n n n n n n x f x b b s s x f s s b s b b s s b b b b s n b b n +++++++++-==∴==++--+∴=+∴-=-∴===+=⎧=⎪∴=⎨⎪⋅≥⎩Q Q 又从第二项起成等比数列公比为………………………………………………………… 10分12322222)31()12()31()32()31(7)31(531331)31()12()31(731513])31)(12()31(731513[212:)2(----⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=-++⋅+⋅+⋅+=n n n n n n n n n A n A n T ΛΛΛ令依题意证明 121232)31)(12(311])31(1[3123)31()12(])31()31()31(31[21332--------⋅+=⋅--++++⋅=∴n n n n n n n A Λ2121313131316()(21)()5()(21)() 5.23234343n n n n n n A n T n ----∴=--⋅-∴=-⋅-⋅-<………………………………………………………………… 16分20、解：（1）若λ = 1，则11(1)(1)n n n n S a S a +++=+，111a S ==．又∵00n n a S >>，， ∴1111n n n nS a S a +++=+， ………………… 2分 ∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++L L ，化简，得1112n n S a +++=．① …………………………… 4分 ∴当2n ≥时，12n n S a +=．②② - ①，得12n n a a +=， ∴12n na a +=（2n ≥）． ………………… 6分 ∵当n = 1时， 22a =，∴n = 1时上式也成立， ∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，a n = 2n -1（*n ∈N ）． ……………………………………8分（2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． ………………… 10分要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． ……………… 11分当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==．当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， ………………… 13分从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++L L ，化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=． ………………………… 15分综上所述，1n a =（*n ∈N ），所以λ = 0时，数列{}n a 是等差数列． …………………………… 16分。

2019-2020学年江苏省宿迁市沭阳县高一(下)期中数学试卷

2019-2020学年江苏省宿迁市沭阳县高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案涂到答案卷相应位置）1. 直线x−√3y+1＝0的斜率为（）A.√3B.−√3C.√33D.−√332. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足a2−√3ab=c2−b2，则∠C等于（）A.π6B.π3C.π4D.3π43. 长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为（）A.7π2B.56πC.14πD.64π4. 在△ABC中，已知AB＝4，∠A＝30∘，∠B＝120∘，则△ABC的面积为（）A.4B.4√3C.8D.8√35. 已知直线√3x+y−2=0与直线2√3x+ty+4=0平行，则t的值是（）A.2B.√3C.1D.46. 如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC=60∘，那么这个二面角大小是( )A.30∘B.60∘C.90∘D.120∘7. 如图所示，已知直线l1:y＝kx+b，直线l2:y＝bx+k，则它们的图象可能为（）A. B.C. D.8. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π:4．若正方体的棱长为3，则“牟合方盖”的体积为（）A.18√3B.18C.6D.1283二、多项选择题（选错或多选得0分，选对且不全得3分，每小题5分，共20分）已知m，n表示直线，α，β表示平面，下列正确的是（）A.α // β，m⊂α，n⊂β⇒m // nB.α⊥β，n // α，m⊥β⇒n⊥mC.m // n，m⊥α⇒n⊥αD.m // n，m // α⇒n // α或n⊂α根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（）A.a＝8，b＝16，A＝30∘，有两解B.b＝18，c＝20，B＝60∘，有两解C.a＝5，c＝2，A＝90∘，无解D.a＝30，b＝25，A＝150∘，有一解下列说法正确的是（）A.若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直B.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行C.垂直于同一直线的两条直线相互平行D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直下列说法中，正确的有（）A.过点P(1, 2)且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y−3＝0B.直线y＝3x−2在y轴上的截距为−2C.直线x−√3y+1=0的倾斜角为60∘D.过点(5, 4)并且倾斜角为90∘的直线方程为x−5＝0三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）过点(−1, 2)，且斜率为2的直线方程是________．△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，A=π3，点D为BC边的中点，则AD＝________．四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝4，则直线PB与平面PAC所成角为________．数学家默拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点B(−1, 0)，C(0, 3)，AB＝AC，则△ABC的欧拉线方程为________．四、解答题（10+12+12+12+12+12，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60∘．（1）求BC的长；（2）求sin C的值．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC=π2，M是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB1＝1．（1）求证：AB1 // 平面BC1M；（2）求异面直线AB1与BC1所成角的大小．已知△ABC的顶点为A(0, 4)，B(1, −2)，C(−3, −4)．（1）求BC边上的中线AM所在的直线方程；（2）求AB边上的高所在的直线方程．据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．（1）试计算出图案中圆柱与球的体积比；（2）假设球半径r＝12cm．试计算出图案中圆锥的体积和表面积．我县新河镇有风景秀美的古栗林，其中有四棵树龄较大，记作A，B，P，Q，在它们的周围有铁丝网不能靠近．欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100m，∠PAB＝75∘，∠QAB＝45∘，∠PBA＝60∘，∠QBA＝90∘，如图所示．则A，P两棵树和P，Q两棵树之间的距离各为多少？已知直线l：(1+2m)x+(m−1)y+7m+2＝0．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．参考答案与试题解析2019-2020学年江苏省宿迁市沭阳县高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案涂到答案卷相应位置）1.【答案】C【考点】直线的斜率【解析】把直线的方程化为斜截式，从而求得直线的斜率．【解答】由x−√3y+1＝0，得：y=√33x+√33，故直线的斜率k=√33，【点评】本题主要考查直线的斜截式，求直线的斜率，属于基础题．2.【答案】A【考点】余弦定理【解析】直接利用关系式的变换和余弦定理的应用求出结果．【解答】在△ABC中，已知三边a、b、c满足a2−√3ab=c2−b2，整理得：a2+b2−c2=√3ab，即2ab cos C=√3ab，解得：cos C=√32，由于0<C<π，所以C=π6．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3.【答案】C【考点】球的表面积和体积【解析】根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而根据球的表面积公式求出球的表面积．【解答】因为长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，2，1，又因为长方体的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是圆的直径，因为长方体的体对角线的长是：√1+22+32=√14球的半径是：√142这个球的表面积：4 π(√142)2=14π【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握常用几何体的结构特征，以及球的内接多面体的有关知识，球的表面积公式，而解决此题的关键是知道球的直径与长方体的体对角线，考查计算能力，空间想象能力，此题属于基础题．4.【答案】B【考点】正弦定理【解析】利用三角形的内角和公式求得∠C＝30∘，可得△ABC为等腰三角形，故△ABC的面积为12×4×4×sin120∘，运算求得结果．【解答】∵△ABC中，AB＝4，∠A＝30∘，∠B＝120∘，∴∠C＝30∘．故△ABC为等腰三角形，故BC＝4，则△ABC的面积为12×4×4×sin120∘＝4√3．【点评】本题考查三角形中的几何计算，考查三角形面积公式，是一道基础题．5.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【解答】∵直线√3x+y−2=0与直线2√3x+ty+4=0平行，∴√32√3=1t≠−24，解得t＝2．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】C【考点】二面角的平面角及求法【解析】设等腰直角△ABC中AB＝AC＝a，则BC=√2a，B′D=CD=√22a，由已知条件推导出∠B′DC是二面角B′−AD−C的平面角．由此能求出二面角B′−AD−C的大小．【解答】解：设等腰直角△ABC中，AB=AC=a，则BC=√2a，∴B′D=CD=√22a.∵等腰直角△ABC斜边BC上的高是AD，∴B′D⊥AD，CD⊥AD，∴∠B′DC是二面角B′−AD−C的平面角．连结B′C，∵∠B′AC=60∘，∴B′C=a，∴B′D2+CD2=B′C2，∴∠B′DC=90∘，∴二面角B′−AD−C的大小是90∘．故选C.【点评】本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7.【答案】C【考点】直线的斜截式方程【解析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于A，直线l1:y＝kx+b中，k<0，b>0，而直线l2:y＝bx+k，b>0，k>0，不符合题意；对于B，直线l1:y＝kx+b中，k>0，b<0，而直线l2:y＝bx+k，b>0，k>0，不符合题意；对于C，直线l1:y＝kx+b中，k>0，b>0，而直线l2:y＝bx+k，b>0，k>0，符合题意；对于D，直线l1:y＝kx+b中，k<0，b>0，而直线l2:y＝bx+k，b<0，k<0，不符合题意；【点评】本题考查直线的斜截式方程，关键是掌握直线的斜率与截距的定义，属于基础题．8.【答案】B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】由已知求出正方体内切球的体积，再由已知体积比求得“牟合方盖”的体积．【解答】正方体的棱长为3，则其内切球的半径r=32，∴正方体的内切球的体积V球=43π×(32)3=92π，又由已知VV=π4，∴V牟合方盖=92π×4π=18．【点评】本题考查“牟合方盖”的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、多项选择题（选错或多选得0分，选对且不全得3分，每小题5分，共20分）【答案】C,D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】对于A，m与n相交、平行或异面；对于B，n与m相交、平行或异面；对于C，由线面垂直的判定定理得n⊥α；对于D，由线平面行的判定定理和性质定理得n // α或n⊂α．【解答】由m，n表示直线，α，β表示平面，得：对于A，α // β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，α⊥β，n // α，m⊥β，则n与m相交、平行或异面，故B错误；对于C，m // n，m⊥α，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故C正确；对于D，m // n，m // α，则由线平面行的判定定理和性质定理得n // α或n⊂α，故D正确．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【答案】B,D【考点】解三角形【解析】利用正弦定理逐项判断即可．【解答】对于A，由正弦定理有，asin A=bsin B，解得sin B=b sin Aa=16×128=1，则B＝90∘，此时三角形有唯一解，错误；对于B，由正弦定理有，bsin B=csin C，解得sin C=c sin Bb=20×√3218=5√39>√32，此时三角形有两解，正确；对于C，由正弦定理有，asin A=csin C，解得sin C=c sin Aa=25，此时三角形有唯一解，错误；对于D，由正弦定理有，asin A=bsin B，解得sin B=b sin Aa=25×1230=512，此时三角形有唯一解，正确．【点评】本题考查利用正弦定理判断三角形解的个数问题，考查计算能力，属于基础题．【答案】A,D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】对于A，由面面垂直的判定定理得这两个平面相互垂直；对于B，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；对于C，垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面；对于D，由面面垂直的性质定理得一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直．【解答】对于A，若一个平面经过另一个平面的垂线，则由面面垂直的判定定理得这两个平面相互垂直，故A正确；对于B，若一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行，故B错误；对于C，垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面，故C错误；对于D，若两个平面垂直，那么由面面垂直的性质定理得一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，故D正确．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【答案】B,D【考点】直线的倾斜角直线的斜截式方程直线的点斜式方程直线的截距式方程【解析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，直线的截距的意义，得出结论．【解答】∵过点P(1, 2)且在x、y轴截距相等的直线方程为x+y−3＝0，或者y＝2x，故A错误；∵直线y＝3x−2在y轴上的截距为−2，故B正确；由于直线x−√3y+1=0的斜率为√33，故它的倾斜角为30∘，故C错误；∵过点(5, 4)并且倾斜角为90∘的直线方程为x−5＝0，故D正确，【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，直线的截距的意义，属于基础题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】2x−y+4＝0【考点】直线的点斜式方程【解析】由题意利用用点斜式求出直线的方程，再化为一般式．【解答】过点(−1, 2)，且斜率为2的直线方程为y−2＝2(x+1)，即2x−y+4＝0，【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，属于基础题．【答案】√72【考点】三角形的面积公式解三角形【解析】利用平面向量加法的平行四边形法则，可将AD转化为12|(AB→+AC→)|，然后平方即可．【解答】易知AD=|AD→|=12|AB→+AC→|，所以AD=12√(AB→+AC→)2=12√(AB→)2+2AB→⋅AC→+(AC→)2=12√1+2×1×2×cosπ3+4=√72．【点评】本题考查平面向量在解三角形中的应用，准确理解向量加法的几何意义是本题的关键．属于中档题．【答案】30∘【考点】直线与平面所成的角【解析】由已知证明BD⊥平面PAC，得PO为PB在平面PAC上的射影，即∠BPO为直线PB与平面PAC所成角，然后求解三角形得答案．【解答】∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．则PO为PB在平面PAC上的射影．∴∠BPO为直线PB与平面PAC所成角．∵PA＝AB＝4，∴OA＝OB＝2√2，PO=√42+(2√2)2=2√6．∴tan∠BPO=√22√6=√33，得∠BPO＝30∘．∴直线PB与平面PAC所成角为30∘．【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．【答案】x+3y−4＝0【考点】待定系数法求直线方程三角形五心【解析】求出线段BC的垂直平分线，得到△ABC的欧拉线方程．【解答】∵△ABC的顶点B(−1, 0)，C(0, 3)，∴线段BC的中点坐标为(−12, 32)，线段BC的斜率k BC=3−00−(−1)=3，∴线段BC的垂直平分线方程为y−32=−13(x+12)，整理得x+3y−4＝0．∵AB＝AC，∴△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上，∴△ABC的欧拉线方程为x+3y−4＝0．【点评】本题考查三角形的欧拉线方程的求法，中点坐标公式、斜率公式、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．四、解答题（10+12+12+12+12+12，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演示步骤）【答案】由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2−2AB⋅AC cos A=4+9−2×2×3×12=7．所以BC=√7正弦定理得：ABsin C =BCsin A，整理得sin C=ABBC⋅sin A=7=√217．【考点】余弦定理正弦定理【解析】（1）直接利用解三角形知识的应用，利用余弦定理的应用求出结果．（2）利用正弦定理的应用求出结果．【解答】由余弦定理知，BC2＝AB2+AC2−2AB⋅AC cos A=4+9−2×2×3×12=7．所以BC=√7正弦定理得：ABsin C =BCsin A，整理得sin C=ABBC⋅sin A=√7=√217．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．【答案】证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OM．∵O为B1C的中点，M为AC的中点，∴OM // AB1又∵AB1⊄平面BC1M，OM⊂平面BC1M，∴AB1 // 平面BC1M∵AB＝BC＝BB1＝1，∠ABC=π2，D是棱AC的中点，∴CM=√22OM=√22C1O=√22C1M=√62，∵OM // AB1，∴AB1与BC1所成的角即为OC1与OM所成角，设∠C1OM＝θ，则在△C1OM中由余弦定理知：COSθ=OC12+OM2−C1M220C1⋅OM=−12，∴θ=2π3，又因为异面直线所成角取值范围为：(0, π2]，∴AB1与BC1的夹角为π3．【考点】异面直线及其所成的角直线与平面平行【解析】（1）连接B1C交BC1于点O，连接OM．推导OM // AB1，由此能证明AB1 // 平面BC1M．（2）推导出OM // AB1，从而AB1与BC1所成的角即为OC1与OM所成角，由此能求出AB1与BC1的夹角．【解答】证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OM．∵O为B1C的中点，M为AC的中点，∴OM // AB1又∵AB1⊄平面BC1M，OM⊂平面BC1M，∴AB1 // 平面BC1M∵AB＝BC＝BB1＝1，∠ABC=π2，D是棱AC的中点，∴CM=√22OM=√22C1O=√22C1M=√62，∵OM // AB1，∴AB1与BC1所成的角即为OC1与OM所成角，设∠C1OM＝θ，则在△C1OM中由余弦定理知：COSθ=OC12+OM2−C1M220C1⋅OM=−12，∴θ=2π3，又因为异面直线所成角取值范围为：(0, π2]，∴AB1与BC1的夹角为π3．【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．【答案】△ABC的顶点为A(0, 4)，B(1, −2)，C(−3, −4)．所以BC的中点M(−1, −3)，计算中线AM所在直线的斜率为k=4+30+1=7，所以BC边上的中线方程为y＝7x+4；计算直线AB的斜率为k AB=−2−41−0=−6，所以AB边上的高所在的直线方程为：y+4=16(x+3)，化为一般式为x−6y−21＝0．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系待定系数法求直线方程【解析】（1）求出BC的中点坐标，计算中线所在的直线斜率，利用斜截式写出直线方程；（2）计算直线AB的斜率，求出AB边上的高所在的直线斜率，再求对应直线方程．【解答】△ABC的顶点为A(0, 4)，B(1, −2)，C(−3, −4)．所以BC的中点M(−1, −3)，计算中线AM所在直线的斜率为k=4+30+1=7，所以BC边上的中线方程为y＝7x+4；计算直线AB的斜率为k AB=−2−41−0=−6，所以AB边上的高所在的直线方程为：y+4=16(x+3)，化为一般式为x−6y−21＝0．【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．【答案】设球的半径为r，则圆柱底面半径为r，高为2r，∴圆柱的体积V1=πr2⋅2r=2πr3，球的体积V2=43πr3，∴圆柱与球的体积比为：V1V2=2πr343πr3=32．由题意可知：圆锥底面半径为r＝12cm，高为2r＝24cm，∴圆锥的母线长：l=√r2+(2r)2=√5r=12√5cm，∴圆锥体积：V=13πr2⋅2r=23π×123=1152πcm3，圆锥表面积：S=πr2+πrl=144π+144√5π=144(1+√5)πcm2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】（1）设球的半径为r，则圆柱底面半径为r，高为2r，利用圆柱的体积与球的体积求解即可．（2）求出圆锥底面半径为r，高，然后求解圆锥的体积与表面积．【解答】设球的半径为r，则圆柱底面半径为r，高为2r，∴圆柱的体积V1=πr2⋅2r=2πr3，球的体积V2=43πr3，∴圆柱与球的体积比为：V1V2=2πr343πr3=32．由题意可知：圆锥底面半径为r＝12cm，高为2r＝24cm，∴圆锥的母线长：l=√r2+(2r)2=√5r=12√5cm，∴圆锥体积：V=13πr2⋅2r=23π×123=1152πcm3，圆锥表面积：S=πr2+πrl=144π+144√5π=144(1+√5)πcm2．【点评】本题考查几何体的体积以及表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．【答案】在△PAB中，∠APB＝180∘−(75∘+60∘)＝45∘，由正弦定理得APsin60=100sin45，解得AP＝50√6；在△QAB中，∠ABQ＝90∘，所以AQ＝100√2；∠PAQ＝75∘−45∘＝30∘，由余弦定理得PQ2＝(50√6)2+(100√2)2−2×50√6×100√2cos 30∘＝5000，所以PQ=√5000=50√2．因此，P，Q两棵树之间的距离为50√2m，A，P两棵树之间的距离为50√6m．【考点】余弦定理正弦定理【解析】由正弦定理求得AP的值，由余弦定理求得PQ的值．【解答】在△PAB 中，∠APB ＝180∘−(75∘+60∘)＝45∘，由正弦定理得APsin 60=100sin 45，解得AP ＝50√6；在△QAB 中，∠ABQ ＝90∘，所以AQ ＝100√2；∠PAQ ＝75∘−45∘＝30∘，由余弦定理得PQ 2＝(50√6)2+(100√2)2−2×50√6×100√2cos 30∘＝5000，所以PQ =√5000=50√2．因此，P ，Q 两棵树之间的距离为50√2m ， A ，P 两棵树之间的距离为50√6m ．【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．【答案】证明：直线l 整理得：(x −y +2)+m(2x +y +7)＝0，令{x −y +2=02x +y +7=0 解得：{x =−3y =−1，则无论m 为何实数，直线l 恒过定点(−3, −1)，根据题意，设直线l 1，与x 轴的交点为(a, 0)，与y 轴的交点为(0, b)，过定点M(−3, −1)作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，即M 为AB 的中点，则有{a2=−3b2=−1，解可得a ＝−6，b ＝−2，即直线l 1过(−6, 0)，(0, −2)，则直线l 1的方程为y =−13x −2，即x +3y +6＝0．【考点】待定系数法求直线方程直线系方程【解析】（1）根据题意，将直线的方程整理得：(x −y +2)+m(2x +y +7)＝0，令{x −y +2=02x +y +7=0 ，解可得x 、y的值，即可得直线恒过定点的坐标，分析可得答案；（2）根据题意，设直线l 1，与x 轴的交点为(a, 0)，与y 轴的交点为(0, b)，分析可得M 为AB 的中点，由中点坐标公式分析AB 的坐标，进而分析可得答案．【解答】证明：直线l 整理得：(x −y +2)+m(2x +y +7)＝0，令{x −y +2=02x +y +7=0 解得：{x =−3y =−1，则无论m 为何实数，直线l 恒过定点(−3, −1)，根据题意，设直线l 1，与x 轴的交点为(a, 0)，与y 轴的交点为(0, b)，过定点M(−3, −1)作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，即M 为AB 的中点，则有{a2=−3b2=−1，解可得a ＝−6，b ＝−2，即直线l 1过(−6, 0)，(0, −2)，则直线l 1的方程为y =−13x −2，即x +3y +6＝0．【点评】本题考查直线的方程、恒过定点的直线方程、中点坐标公式，属于基础题．。

江苏省宿迁市数学高一下学期理数期中考试试卷

江苏省宿迁市数学高一下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）下列四个函数中，在区间上是减函数的是（）A .B .C .D .2. （2分）不等式的解集为（）A . （－5，1）B . （－1，5）C . （－∞，－5）∪（1，＋∞）D . （－∞，－1）∪（5，＋∞）3. （2分） (2018高一下·伊春期末) 已知中，，则等于（）A .B .C .D .4. （2分）如果等差数列中，，那么（）A . 14B . 21C . 28D . 355. （2分）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一下·安徽期中) 已知数列{an}是等差数列，若，且它的前n项和sn有最大值，则使得sn＞0的n的最大值为（）A . 11B . 12C . 21D . 227. （2分）设a为三角形的一个内角，且，则cos2a=（）A .B .C . 或D .8. （2分）若等比数列的前三项和为13，首项为1，则其公比为（）A . 2或-1B . 3或-4C . 4或-3D . 39. （2分）以A（5，5），B（1，4），C（4，1）为顶点的三角形是（）A . 直角三角形B . 等腰三角形C . 正三角形D . 等腰直角三角形10. （2分）已知数列{｝是公差为3的等差数列，且成等比数列，则等于（）A . 30B . 27C . 24D . 3311. （2分） (2018高二上·济源月考) 已知中，，则的面积为（）A . 9B . 18C .D .12. （2分） (2017高二上·宁城期末) 已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A . 100B . 99C . 98D . 97二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·三明模拟) 已知，则值为 ________．14. （1分） (2017高一下·长春期末) 若等比数列{an}的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4 ，lna1+lna2+lna3+…+lna17=________．15. （1分）已知sin（α﹣45°）=﹣，且0°＜α＜90°，则cos2α的值为________16. （1分） (2019高三上·吉林月考) 如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高一下·威远期中) 已知(Ⅰ)求的值.(Ⅱ)求的值18. （10分）(2017·深圳模拟) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2a= csinA﹣acosC．（1）求C；（2）若c= ，求△ABC的面积S的最大值．19. （10分） (2019高二上·会宁期中) 记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，求S6.20. （10分） (2019高一上·仁寿期中) 已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若对任意的实数，都有成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若，的最大值是，求实数的取值范围．21. （10分）(2018·丰台模拟) 己知函数(Ⅰ)求f(x)的定义域及最小正周期；(Ⅱ)求f(x)的单调递减区间．22. （10分） (2019高三上·深州月考) 已知数列和满足，，.（1）证明：是等比数列，（2）求数列的前项和 .参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、21-1、22-1、22-2、。

江苏省宿迁市数学高一下学期理数期中考试试卷(A)

江苏省宿迁市数学高一下学期理数期中考试试卷（A)姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高三上·儋州月考) 命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，2. （2 分）若复数 ( A . -3 B.3 C . -6 D.6是虚数单位)是纯虚数，则实数 a 的值为（）3. （2 分） (2018 高二上·抚顺期末) 已知椭圆 A.3 B. C.的离心率为，则等于（）D.4. （2 分） (2020·湛江模拟) 已知直线 a,b，平面，则A . 充分但不必要条件 B . 必要但不充分条件第 1 页共 19 页是的（）C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2 分） (2019 高二下·蛟河期中) 观察下列各式：，，，，，…，则（）A . 322B . 521C . 123D . 1996. （2 分） (2018 高二下·河北期中) 若，，小关系是（），则，，的大A.B.C.D.7. （2 分） (2017·抚顺模拟) 已知函数 f（x）=lnx﹣x3 与 g（x）=x3﹣ax 的图象上存在关于 x 轴的对称点， e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是（）A . （﹣∞，e）B . （﹣∞，e]C . （﹣∞，）D . （﹣∞， ]8. （2 分） (2016 高三上·太原期中) 设函数 f（x），g（x）分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（）第 2 页共 19 页A . f（x）+g（x）是奇函数 B . f（x）﹣g（x）是偶函数 C . f（x）•g（x）是奇函数 D . f（x）•g（x）是偶函数9. （2 分） (2019 高一下·南宁期中) 函数的最大值为（）A.4B.5C.6D.710. （2 分） (2017·唐山模拟) 设抛物线 C：x2=4y 的焦点为 F，斜率为 k 的直线 l 经过点 F，若抛物线 C 上存在四个点到直线 l 的距离为 2，则 k 的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣ ）∪（，+∞）B . （﹣ ，﹣1）∪（1，）C . （﹣ ，） D . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）11. （2 分） (2020·山西模拟) 已知函数对恒成立，则的取值范围为（）A.B.，不等式C.D.第 3 页共 19 页12. （2 分） (2018 高二上·浙江期中) 已知过原点，直线经过椭圆右焦点，若是椭圆，且上的三个点，直线经，则椭圆的离心率是（）A.B.C.D.二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13.（1 分）(2017 高二下·溧水期末) 已知复数 z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i 是虚数单位）是实数，则 a=________．14. （1 分）设 a>0 ，若曲线与直线 x=a,y=0, 所围成封闭图形的面积为 a2 ，则 a= ________.15. （1 分） (2020 高二上·福建月考) 已知命题：函数：，若是真命题，则实数的取值范围是________.的定义域为，命题16. （1 分） (2019 高一上·台州期中) 函数在区间，且当时，有上的实根的个数是________．是定义在上的奇函数，已知时，恒有，若函数，则关于的方程三、解答题 (共 6 题；共 55 分)17. （10 分） (2019 高二上·大庆月考) 已知，，其中.（1）若，且为真，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18. （10 分） (2020 高二下·成都月考)（1）已知,,,用反证法证明：中至少有一个不小于 ;第 4 页共 19 页（2）用数学归纳法证明：．19. （10 分） (2020·长沙模拟) 如图，在以 A ， B ， C ， D ， E ， F 为顶点的多面体中，四边形是菱形，（1）求证：平面 ABC⊥平面 ACDF （2）求平面 AEF 与平面 ACE 所成的锐二面角的余弦值20. （10 分） (2020 高二下·越秀月考) 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当，函数，证明：存在唯一的极大值点，且.21. （10 分） (2016 高二下·临泉开学考) 已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为点 M（4，1），直线 l：y=x+m 交椭圆于不同的两点 A，B．，且经过（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求 m 的取值范围；（Ⅲ）若直线 l 不过点 M，求证：直线 MA、MB 与 x 轴围成一个等腰三角形．22. （5 分） (2019·莆田模拟) 已知函数斜率为。

江苏省沭阳县2013-2014学年高一数学下学期期中试题

江苏省沭阳县2013-2014学年高一数学下学期期中试题（扫描版）新人教版高一数学参考答案一、填空题 1、12 2、2- 3、10 4、{|31}x x -≤≤ 5、1 68、4 9、等腰三角形 10、② 11、01k ≤≤ 12、4026 13、6316- 14、n x n 2= 二、解答题15、解：因为3sin ,(0,)52παα=∈，所以 4cos 5α= ………………… 4分因为12cos ,(,)132πββπ=-∈，所以 5sin 13β= ………………… 8分所以 16sin()65αβ+=- …………………………………14分16、解：（1）因为锐角△ABC 中，A B C π++=，因为sin 3A =，所以1cos 3A =，所以31cos )cos(-=-=+A C B ………………………………………… 7分（2）32221sin 212⨯===∆bc A bc S ABC ，则3=bc 将2=a ，31cos =A ，b c 3=代入余弦定理：222a b c 2bccos A ＝＋－中得42690b b -+=所以b =………………………………………………14分17、解：（1）由11020(1),30,50n a a n d a a =+-==，得方程组119301950a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1122a d =⎧⎨=⎩ 所以 210n a n =+……………………………………………… 7分（2）由242,2)1(1=-+=n n S d n n na S 得方程.24222)1(12=⨯-+n n n解得1122().n n ==-舍去或………………………………………………14分18、解：(1) 180ABC ADC ∠+∠=︒，由余弦定理得：2222246246cos 42224cos AC ABC ADC =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯∠∴ 1cos 2ABC ∠=∵ (0,)ABC π∠∈ ∴ 60ABC ∠=︒，120ADC ∠=︒ 2222cos 28AC AB BC AB BC ABC =+-∠=∴AC = ………………………………… 8分(2)ABCD S 四边形=1146sin6024sin12022⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=由正弦定理得：2sin AC R B =（千米）所以R =……………………………… 16分 19、解：（1）11111(),(),. 2.2121n n n n n n na x f x a f a a x a a a +++==∴=∴=+++ 11111{}12.1(1)2.21n n n n a a a a n ∴=∴=+-⋅∴=-以为首项为公差等差数列………………………………………………………… 4分112121121121211(),,2 1.22112()1212 1.2().13.,212,21,1{}, 3. 223,2n n n nn n n n n n n n n n n n n x f x b b s s x f s s b s b b s s b b b b s n b b n +++++++++-==∴==++--+∴=+∴-=-∴===+=⎧=⎪∴=⎨⎪⋅≥⎩又从第二项起成等比数列公比为………………………………………………………… 10分12322222)31()12()31()32()31(7)31(531331)31()12()31(731513])31)(12()31(731513[212:)2(----⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=-++⋅+⋅+⋅+=n n n n n n n n n A n A n T 令依题意证明 121232)31)(12(311])31(1[3123)31()12(])31()31()31(31[21332--------⋅+=⋅--++++⋅=∴n n n n n n n A2121313131316()(21)()5()(21)() 5.23234343n n n n n n A n T n ----∴=--⋅-∴=-⋅-⋅-<………………………………………………………………… 16分20、解：（1）若λ = 1，则11(1)(1)n n n n S a S a +++=+，111a S ==．又∵00n n a S >>，， ∴1111n n n nS a S a +++=+， ………………… 2分 ∴3131221212111111n n n nS S a a S a S S S a a a +++++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++，化简，得1112n n S a +++=．① …………………………… 4分 ∴当2n ≥时，12n n S a +=．②② - ①，得12n n a a +=， ∴12n na a +=（2n ≥）． ………………… 6分 ∵当n = 1时， 22a =，∴n = 1时上式也成立， ∴数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，a n = 2n -1（*n ∈N ）． ……………………………………8分（2）令n = 1，得21a λ=+．令n = 2，得23(1)a λ=+． ………………… 10分要使数列{}n a 是等差数列，必须有2132a a a =+，解得λ = 0． ……………… 11分当λ = 0时，11(1)n n n n S a S a ++=+，且211a a ==．当n ≥2时，111()(1)()n n n n n n S S S S S S +-+-=+-，整理，得2111n n n n n S S S S S +-++=+，1111n n n nS S S S +-+=+， ………………… 13分从而3312412123111111n n n nS S S S S S S S S S S S +-+++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+++，化简，得11n n S S ++=，所以11n a +=． ………………………… 15分综上所述，1n a =（*n ∈N ），所以λ = 0时，数列{}n a 是等差数列． …………………………… 16分。

江苏省沭阳县高一数学下学期期中试题

江苏省沭阳县2020—2021学年高一数学下学期期中试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．设复数z ＝a ﹣2＋（2a ＋1）i(其中i 是虛数单位）的实部与虛部相等，则实数a ＝ A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2 D ．32．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a 2﹣b 2＋c 2＋ac ＝0，则B ＝ A ． B ． C ． D ．23π 3．计算cos512πcos ＋cos 12πsin ＝ A ．0 B ．12C ．2D ．4．已知3a =,4b =，向量a 与b 的夹角为60°，则a b ⋅＝A ．63B ．62C ．6D ．123 5．△ABC 的内角A ，B,C 的对边分别为a ，b ，c ．若A ＝60°，a ＝，则sin A sin B sinCa b c++++＝ A ．12B ．2C ．D ． 6．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB ＝A ．31AB AC 44- B ．13AB AC 44- C ．31AB AC 44+D ．13AB AC 44+ 第6题7．已知2sin （πα-)＝3sin （2πα+），则sin 2α﹣12sin2α﹣cos 2α＝A ．513B ．113-C ．513-D ．1138．现有如下信息:(1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为51-．（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形． (3)有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形．由上述信息可求得sin126°＝ A ．51- B ．51+ C ．51- D ．51+二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．如图，在平行四边形ABCD 中,点E 在线段DC 上，且满足CE ＝2DE,则下列结论中正确的有 A ．AB DC = B ． C ． D ．1AE AD AB 3=+10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．第9题若A ＝45°,b ＝10,则结合a 的值解三角形有两解，则a 的值可以为 A ．a ＝7 B ．a ＝8 C ．a ＝9 D ．a ＝10 11．已知a ＝（3，﹣1），b ＝(1,﹣2)，则正确的有A ．5a b ⋅=B ．与a 共线的单位向量是(310,10-)C ．a 与b 的夹角为D ．a 与b 平行12．已知函数22()sin 23sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则下列结论正确的有 A ．﹣2≤()f x ≤2B ．()f x 在区间(0，π）上只有1个零点C ．()f x 的最小正周期为πD ．若()()g x f x =,x ∈（2π-，2π）,则()g x 单调递减区间为（2π-，6π-)和（，2π）三、填空题（本大题共4小题, 每小题5分,共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上)13．已知复数z ＝(1﹣i)﹣m （1＋i ）（其中i 是虚数单位）是纯虚数，则实数m ＝．14．tan10°＋tan20°＋tan10°·tan20°·tan 30°的值是． 15．如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，OA ＝，B 为半圆上任意一点，以AB 为边作等边△ABC,则四边形OACB 的面积的最大值为． 16．已知单位向量a ，b 满足22a b ⋅=，则a 与b 夹角的大小为；a xb -（x∈R ）的最小值为．第15题四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知向量a ＝（2，1），b ＝（3,﹣1),c ＝（3，m ）（m ∈R ）．（1）若向量a 与c 共线，求m 的值；（2）若（a ﹣2b ）⊥c ,求m 的值．18．（本小题满分12分)在①（b ＋a ）（b ﹣a )＝c (b ﹣c ）;②AB AC 4⋅=；③sin(2π＋2A ）＋2cos 2A 2＝1这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,求△ABC 的面积．问题:已知△ABC 中，角A,B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinC ＝2sinB ，b ＝2，？（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)19．（本小题满分12分)如图,在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，∠BAD ＝34π，2AB ＝BD ＝4．（1）求cos ∠ADB 的值; （2）若BC ＝,求CD 长．20．（本小题满分12分）已知1tan()43πα-=，α∈（0,）．(1）求2sin 22cos ()1tan f αααα-=+的值；（2）若β∈(0，2π），且sin(34πβ+）＝，求αβ+的值．21．(本小题满分12分)如图，在扇形POQ 中,半径OP ＝2，圆心角∠POQ ＝,B 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．其中CD 在半径OQ 上，记∠BOC ＝α．(1）当∠BOC ＝45°时，求矩形ABCD 的面积；（2）求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大值．22．（本小题满分12分）如图，扇形AOB 所在圆的半径为2,它所对的圆心角为23π，C 为弧AB 的中点，动点P ，Q 分别在线段OA ，OB 上运动，且总有OP ＝BQ ，设OA a =，OB b =．(1）若2OP OA 3=，用a ，b 表示CP ,CQ ；（2）求CP CQ ⋅的取值范围．2020~2021学年度第二学期期中调研测试高一数学参考答案1．A 2．D 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．D9．ABD 10．BC 11．AC 12．ACD13．1 14． 15．．4π17．解:（1)∵()2,1a =，()3,c m =,向量a 与共线∴.23m =………………………………。

江苏省宿迁高一下学期期中数学模拟试题(解析版)

高一下学期期中数学模拟试题一、单选题 1．已知复数，则（） 2i12iz +=-z =A ．B ．C D ．i 15【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得.z z 【详解】因为，因此，. ()()()()2i 12i 2i 5ii 12i 12i 12i 5z +++====--+1z =故选：B.2．函数的零点所在的区间可以是（）()321f x x x =--A ． B ． C ． D ．()0,1()1,0-()1,2()2,3【答案】C【分析】函数的零点即为函数的交点的横坐标，作出函数的图()f x 32,1y x y x ==+32,1y x y x ==+象，根据函数图象可得函数零点的个数，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】令，则，()3210f x x x =--=321x x =+则函数的零点即为函数的交点的横坐标， ()f x 32,1y x y x ==+如图，作出函数的图象，32,1y x y x ==+由图可知函数的交点在第一象限，且只有一个交点32,1y x y x ==+即函数的零点大于零，且只有一个零点，()321f x x x =--又，()()()()010,110,230,3170f f f f =-<=-<=>=>所以函数的零点所在的区间可以是.()321f x x x =--()1,2故选：C.3．已知，，则（） 5AB a b =+ 28BC a b =-+ 339CD a b =-A ．共线B ．共线C ．共线D ．共线,,A B C ,,A B D ,,A C D ,,B C D 【答案】C【分析】根据向量共线定理可构造方程组求满足题意的实数，由是否有解可得结论.λλ【详解】对于A ，若共线，则，即，方程组无解，则A 错误；,,A B C AB BC λ= 2185λλ-=⎧⎨=⎩对于B ，若共线，则，即，方程组无解，则B 错误；,,A B D ()AB BD BC CD λλ==+ 1315λλ=⎧⎨-=⎩对于C ，若共线，则，即，解得：，,,A C D AC AB BC CD λ=+= 313913λλ=-⎧⎨-=⎩13λ=-共线，C 正确；,,A C D ∴对于D ，若共线，则，即，方程组无解，则D 错误.,,B C D BC CD λ= 32398λλ=-⎧⎨-=⎩故选：C.4．用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程383x x =-()1,2 1.25 1.5 1.753 3.95,3 5.20,3 6.84≈≈≈的根应落在区间（） A ． B ． C ． D ．()1,1.25()1.25,1.5()1.5,1.75()1.75,2【答案】B【分析】由零点存在定理及的单调性可得在上有唯一零点，从而得到方程的根()f x ()f x (1.25,1.5)应落在上.(1.25,1.5)【详解】令，()338x f x x =+-因为与在上单调递增， 3x y =38y x =-R 所以在上单调递增，()338x f x x =+-R 因为，，()1133180f =+⨯-<() 1.51.533 1.58 5.20 4.580f =+⨯-≈+->，1.25(1.25)33 1.258 3.95 3.7580f =+⨯-≈+-<所以在上有唯一零点，即，故，()f x (1.25,1.5)0x 003380x x +-=00383xx =-所以方程的根落在区间上， (1.25,1.5)故选：B.5．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（）12,e e 60122a e e =+ 1232b e e =-+A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】C【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公12e e ⋅ a b ⋅,a b 式，即可求得答案.【详解】由题意可得，12111cos 602e e ⋅=⨯⨯= 故 2212121122(2)(32)62a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-+=-+⋅+ ， 176222=-++=-||a ===||b ===故，1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉===-⋅由于，故，,[0,]a b π〈〉∈,120a b 〈〉= 故选：C6．已知，则等于（）3sin()35x π-=cos 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．354535-45-【答案】A【分析】利用换元法设，则，然后利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．3x πθ-=3x πθ=-【详解】设，则，则， 3x πθ-=3x πθ=-3sin 5θ=则，3cos()cos()cos()sin 63625x ππππθθθ+=-+=-==故选：．A 7．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，其中，若 αx (,4)m -0m <，则（）7cos 225α=-πtan 2m α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．2B ．C ．D ．12-43-34-【答案】D【分析】利用三角函数定义求出，再利用二倍角的余弦公式结合齐次式法求解作答.tan α【详解】依题意，，又， 4tan 0m α=->22222222cos sin 1tan 7cos 2cos sin cos sin 1tan 25ααααααααα--=-===-++解得，从而得，所以4tan 3α=3m =-3πsin()π3πcos 132tan()tan(3π22sin tan 4cos()2m ααααααα-+=-===-=---. 故选：D8．在中，，则的取值范围为（） ABC 22BC AB ==C ∠A ．B ．C ．D ．06π⎛⎤ ⎥⎝⎦，02æöç÷ç÷èø，p 62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，【答案】A【分析】利用余弦定理得到，再利用均值不等式得到范围.13cos 4C AC AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【详解】由已知可知. 2222113cos 224AC C AC AC AC +-⎛⎫==+≥⎪⨯⨯⎝⎭AC =所以.π06C <≤故选：A.二、多选题9．下列计算结果正确的是（） A ．B ．44ππcos sin 88-=1tan151tan15+︒-︒C ．D ．2sin15sin 751︒︒=)sin140tan1901︒︒=【答案】ABD【分析】利用三角恒等变换逐项判断即可. 【详解】A 正确； 442222πππππππcos sin cos sin cos sin cos 8888884⎛⎫⎛⎫-=+-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B 正确；()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒+︒=︒=-︒-︒︒，C 错误；()12sin15sin 752sin15sin 90152sin15cos15sin 302︒︒=︒︒-︒=︒︒=︒=， ()2sin 60102sin 50tan190tan10cos10cos10︒-︒︒︒=︒==︒︒可得)()2sin 50sin 9050sin140tan190cos10︒︒+︒︒︒=︒，D 正确；()sin 90102sin 50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒=====︒︒︒︒故选：ABD10．在中各角所对得边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的有（） ABC A ．则为等边三角形； cos cos cos a b c A B C==ABC B ．已知，则；()()3a b c a b c ab +++-=60C ∠=C ．已知，，，则最小内角的度数为； 7a =b =c =30D ．在，，，解三角形有两解． 5a =60A = 4b =【答案】ABC【分析】利用正弦定理、余弦定理一一计算可得；【详解】解：对于A ：若，则，即，cos cos cos a b c A B C==sin sin sin cos cos cos A B CA B C ==tan tan tan A B C ==即，即是等边三角形，故A 正确；A B C ==ABC 对于B ：由，可得，余弦定理：．()()3a b c a b c ab +++-=222a b c ab +-=2221cos 22a b c C ab +-==，，故B 正确．0C π<< 3C π∴=对于C ：因为，，所以，所以，所以7a =b =c =c b a <<C B A <<，，故C 正确；222cos 2a b c C ab +-===0C π<< 6C π∴=对于D ：因为，，，所以解得，因5a =60A = 4b =sin sin a b A B =4sin B =sin B =<为，所以，所以三角形只有1解； b a <B A <故选：ABC11．下列说法正确的是（）A ．在△ABC 中，，E 为AC 的中点，则12BD DC = 1263DE AC AB =-B ．已知非零向量与满足，则△ABC 是等腰三角形 AB AC ()0AB AC BC AB AC+⋅=C ．已知，若与的夹角是钝角，则(1,2),(,1)a b λ=-= a b2λ<D ．在边长为4的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，且，点F 是CD 中点，则3BE EC =8AE BF ⋅= 【答案】AB【分析】对于A ，利用平面向量基本定理根据题意将用，表示出来再判断，对于B ，由DE AB AC向量的加法法则判断，对于C ，由题意可知，，且两向量不共线，从而可求出的范围，对0a b ⋅<λ于D ，如图，以为原点建立直角坐标，表示，然后利用数量积的万物复苏示运算求解A ,AE BF【详解】对于A ，因为△ABC 中，，E 为AC 的中点，12BD DC =所以2132DE DC CE BC CA =+=+ 21()32AC AB AC =--, 1263AC AB =- 所以A 正确，对于B ，因为与是非零向量，所以所在的直线平分， AB AC AB AC AB AC+BAC ∠因为，所以，所以△ABC 是等腰三角形，所以B 正确， ()0AB AC BC AB AC+⋅= ()AB ACBC AB AC +⊥对于C ，因为与的夹角是钝角，所以，且两向量不共线，由，得，得a b0a b ⋅< 0a b ⋅< 20λ-<，当与共线时，，得，所以当与的夹角是钝角时，且，所2λ<a b112λ=-12λ=-a b 2λ<12λ≠-以C 错误，对于D ，如图，以为原点建立直角坐标，则由题意可得， A (0,0),(4,0),(4,3),(2,4)A B E F 所以，所以，所以D 错误，(4,3),(2,4)AE BF ==- 8124AE BF ⋅=-+=故选：AB12．直角中，斜边，为所在平面内一点，（其ABC 2AB =P ABC 221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅ 中），则（）R θ∈A ．的取值范围是AB AC ⋅u u u r u u u r(0,4)B ．点经过的外心 P ABC C ．点所在轨迹的长度为2P D ．的取值范围是()PC PA PB ⋅+ 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】ABD【分析】由向量数量积的几何意义有，结合已知即可判断A ；若为中点，根据2AB AC AC ⋅=u u u r u u u r u u u r O AB 已知有共线，即可判断B 、C ；利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得,,O P C ，结合基本不等式求范围判断D.()2||||PC PA PB PC PO ⋅+=-【详解】由，又斜边，则，则，A 正确；2AB AC AC ⋅=u u u r u u u r u u u r 2AB =||(0,2)AC ∈u u u r (0,4)AB AC ⋅∈u u u r u u u r 若为中点，则，故，又，O AB 12AO AB = 22sin cos AP AO AC θθ=⋅+⋅22sin cos 1θθ+=所以共线，故在线段上，轨迹长为1，又是的外心，B 正确，C 错误；,,O P C P OC O ABC由上，则，2PA PB PO +=()22||||PC PA PB PC PO PC PO ⋅+=⋅=-又，则，当且仅当等号成立， ||||||1PC PO OC +== 2||||1||||()24PC PO PC PO +≤=1||||2PC PO == 所以，D 正确. 1()2||||[,0]2PC PA PB PC PO ⋅+=-∈-故选：ABD【点睛】关键点点睛：若为中点，应用数形结合法，及向量线性运算的几何意义、数量积的O AB 几何意义和运算律判断轨迹，求、.P AB AC ⋅u u u r u u u r ()PC PA PB ⋅+三、填空题13．已知为第二象限角，若，则___ 1tan(42πθ+=7sin()sin(3)2πθθπ+--=【分析】由题意得，求得，又由为第二象限角，求得，再由1tan 3θ=-θsin θθ==诱导公式，即可求解.【详解】由题意，可知，即，解得， 1tan()42πθ+=tan 11tan()41tan 2πθθθ++==-1tan 3θ=-又由为第二象限角，所以 θsin θθ==又由. 7sin()sin(3)cos sin 2πθθπθθ+--=--=【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中根据两角和的正切函数求得的值，tan θ进而利用诱导公式代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45米，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52米．若该小区内某居民在距离楼底27米高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为，则该小区的住宅楼楼间距实际为45︒_______________米．【答案】54【分析】依题意作图，根据图中的几何关系解三角形即可.【详解】如上图，设该小区的住宅楼楼间距为米．由题意知米，米，CF t =18DF =27EF =，∴， 45DCE ∠=︒21827tan tan()18271t t DCE DCF FCE t +∠=∠+∠=⨯-1=即，解得或（舍）； 24518270t t --⨯=54t =9t =-故答案为：54.15．冈珀茨模型是由冈珀茨（Gompertz ）提出，可作为动物种群数量变化的模型，并用()tby k a =⋅于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t 年后的种群数量y 近似满足冈珀茨模型：0.1251.40tey k e -=⋅（当时，表示2020年初的种群数量），若年后，该物种的种群数量将不足2020年0=t ()*m m ∈N 初种群数量的一半，则m 的最小值为_________. (ln 20.7)≈【答案】6【分析】依题意得通过计算化简得，则问题可解． 0.1251.4 1.40012me k ek e -⋅⋅<5.6m >【详解】令由题意知，， t m =0.12501.4 1.4 1.40001122mee k ek e k e -⋅⋅⋅<=所以得，则 0.1251.41.42me e --<()0.1251.41ln 20.7me-->≈0.125112me-->所以，解得，所以m 的最小值为6 0.12512me-<ln 20.75.60.1250.125m >≈=故答案为：6【点睛】本题通过实际问题考查指对数不等式，关键要掌握指对数不等式求解法则．16．在中，角所对的边分别为若对任意,不等式恒成立，则ABC ∆..A B C ..a b c R λ∈BC BA BC λ-≥的最大值为___________. c bb c+【详解】11sin 22ah bc A =,又sin bc Ah a∴=BC BA BC λ-≥ sin bc Ah a a∴=≥222sin 2cosbc A a b c bc A ∴≥=+- sin 2cos c bA A b c∴+=+≤点睛：在解答三角形中关于边长的最值问题时，往往需要对其进行转化，转化为关于角的求值问题．利用正弦定理或者余弦定理进行转化，然后借助辅助角来求最值，本题具有一定的难度．四、解答题17．已知.1πcos ,,072αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭(1)求的值；πcos 3α⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)若，求的值. ()πsin 0,2αββ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭β【答案】(1) 1114-(2) π3【分析】（1）利用同角三角函数之间的基本关系式求得sin α=即可求出结果；（2）根据平方关系可求得再进行角的转化即，之()13cos ,14αβ+=()βαβα=+-后利用两角差的余弦公式进行求解可得出. π3β=【详解】（1）由，可得22sin cos 1αα+=1πcos ,,072αα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭sin α=所以； πππ1111cos cos cos sin sin 3332714ααα⎛⎛⎫-=+=⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝即π11cos 314α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（2）由可得，ππ,0,0,22αβ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ,22αβ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭又，所以()()22sin cos 1αβαβ+++=()sin αβ+=()13cos ,14αβ+=()()()1311cos cos cos cos sin sin 1472βαβααβααβα⎛⎛⎡⎤=+-=+++=⨯+⨯= ⎣⎦ ⎝⎝由可得.π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3β=即的值为βπ318．如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点xOy αx ，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．A ,62ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭α3πB ()()1122,,,A x y B x y（1）若，求； 114x =2x （2）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记的面积为，的面积为．若,A B x ,C D AOC ∆1S BOD ∆2S ，求角的值． 122S S =α【答案】（1；（2）.4π【分析】（1）根据单位圆的性质可知，而，从而利用两角和的余弦可求1cos x α=2cos 3x πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值.2x （2）用的三角函数表示，根据可解出.,3παα+12,S S 122S S =α【详解】(1)由三角函数的定义，得12cos ,cos(),3x x παα==+因，,(,62ππα∈1cos 4α=则sin α===∴2111cos(cos 3224x πααα=+==⋅=(2) 由已知，得12sin ,sin(),3y y παα==+∴ 111111cos sin sin 2.224S x y ααα=⋅=⋅= 2221112[cos()sin()]sin(2).223343S x y πππααα=⋅=-+⋅+=-+,得 122S S =2sin 22sin(2cos 20.3πααα=-+⇒=又,, ∴(,62ππα∈2(,)3παπ∈2.24ππαα=⇒=【点睛】在平面直角坐标系中，如果的终边与单位圆的交点为，则的坐标为，αP P ()cos ,sin αα我们可以根据这个性质来沟通角的三角函数与和相关的几何量的关系. P 19．在①，②，③三个条件中任选一个补充cos cos 2B b C a c=-+sinsin sin A b cB C a c +=-+2S BC =⋅ 在下面的横线上，并加以解答.在中，角，，的对边分别为，，且______，作，连接围成梯形ABC A B C a b c //AD BC CD 中，，求梯形的腰的长. ABCD 6AD =2BC =cos BAC ∠ABCD CD 【答案】4【分析】选①利用正弦定理，可得，进而可得，选②利用正弦定理，cos sin cos 2sin sin B B C A C-=+23B π=可得，进而可得，选③利用三角形面积公式可得.在中，由正弦a b cb c a c +=-+23B π=23B π=ABC 定理可得，在中，由余弦定理可得解. AC ADC △【详解】选①，由得，cos cos 2B b C a c =-+cos sin cos 2sin sin B BC A C-=+∴， 2sin cos cos sin sin cos sin()sin A B B C B C B C A =--=-+=-又，， (0,)A π∈sin 0A >∴又，1cos 2B =-(0,)B π∈∴； 23B π=选②，由得，sin sin sin A b c B C a c +=-+a b cb c a c+=-+∴即，222a ac b c +=-222a c b ac +-=-∴又，2221cos 22a c b B ac +-==-(0,)B π∈∴.23B π=当时， 23B π=由cos BAC ∠=sin BAC ∠==在中，由正弦定理可得：，得ABC sin sin AC BCB BAC=∠sin sin BC B ACBAC ===∠又 1cos()cos 32BAC BAC BAC π-∠=∠+∠==在中，由余弦定理可得：ADC △，2222cos()283626163CD AC AD AD AC BAC π=+-⋅-∠=+-⨯⨯=得.4CD =20．已知，且 ,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3,cos cos cos αβαβ⎧=⎪⎨=⎪⎩(1)求的值； αβ+(2)证明：，并求的值．04παβ<-<()sin αβ-【答案】(1)4παβ+=(2)证明见解析， ()sin αβ-=【分析】（1）由题意求解出，再根据，代入两角和的余弦公式计算可得cos ,cos αβsin ,sin αβ，可判断得；()cos αβ+=()0,αβπ+∈4παβ+=（2）根据在上单调递增，得sin sin sin 4παβ=>>=sin y x =0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，可证明得，再利用两角差的正弦公式代入计算即可.04πβα<<<04παβ<-<【详解】（1）因为，，所以，由解得α0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0,cos 0αβ>>3cos ,cos cos αβαβ⎧=⎪⎨=⎪⎩，cos α=cos β=sinαsin β==()cos cos cos sin sinαβαβαβ+=-==因为，所以；()0,αβπ+∈4παβ+=（2）因为，，且函数在上单调递4παβ+=sinsin sin 4παβ=>=>=sin yx =0,2π⎛⎫⎪⎝⎭增，所以，04πβα<<<所以，04παβ<-<．()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-==21．如图，在中，，，，，.ABC 4BC =3AC =60BCA ∠=︒2DB AD = 2CE EB =(1)设在上的投影向量为，求的值；CB CA CA λλ(2)若，求. DE xCB yCA =+DE 【答案】(1) 23λ=【分析】（1）利用投影向量的计算公式即可求解；（2）利用平面向量线性运算可得，利用转化法求解向量的模即可.1233DE CB CA =- 【详解】（1）解：∵在上的投影向量为， CB CA12cos 4233CA CA CB BCA CA CA ∠⨯=⨯⨯=∴ 23λ=（2）解：，()212112333333DE DB BE AB BC CB CA CB CB CA =+=+=--=-，()()2221111282164365244399929DE DE CB CA CB CA ⎛⎫==-=-⋅+=-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭22．已知，，，设 12a ⎫=-⎪⎪⎭π2πcos ,sin 33b x x ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0ω>()f x a b =⋅ (1)若函数图象相邻的两对称轴之间的距离为，求； ()y f x =π()f x (2)当函数在定义域内存在，，使，则称该函数为“互补函()y f x =1x ()212x x x ≠()()1212f x f x +=数”.若函数在上为“互补函数”，求的取值范围.()y f x =π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω【答案】(1) ()sin f x x =(2) 3ω≥【分析】（1）根据数量积的坐标公式及辅助角公式将函数化简，再根据相邻的对称()f x ()y f x =轴距离为求出，即可得解； πω（2）分、、三种情况讨论，分别求出的取值范围，即可得3ππ222T -≥3ππ22T -<3ππ222T T ≤-<ω解.【详解】（1）解：因为，， 12a ⎫=-⎪⎪⎭π2πcos ,sin 33b x x ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以 ()π12πsin 323f x a b x x ωω⎛⎫⎛⎫=⋅=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， π1πππsin sin sin 32333x x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦又因为函数相邻的对称轴距离为，()y f x =π所以，即，解得，2πT =2π2πω=1ω=所以.()sin f x x =（2）解：因为函数在上为“互补函数”，()sin x y f x ω==π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数在定义域内存在，使，即，()y f x =1x ()212x x x ≠()()1212f x f x +=()()122f x f x +=①当，即，解得，显然成立； 3ππ222T -≥3ππ2π222ωω⎧-≥⋅⎪⎨⎪>⎩4ω≥②当，即，解得时，显然不成立；3ππ22T -<3ππ2π220ωω⎧-<⎪⎨⎪>⎩02ω<<③当时，即时， 3ππ222T T ≤-<24ω≤<所以或者或者，ππ223π5π22ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩π5π223π9π22ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩π9π223π13π22ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得的取值范围为， ω34ω≤<综上所述.3ω≥。

江苏省宿迁市高一下学期期中数学试卷24

江苏省宿迁市高一下学期期中数学试卷24姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共17题；共17分)1. （1分）化简 =________．2. （1分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A=120°，b=1，且△ABC的面积为，则=________3. （1分） (2015高一上·扶余期末) 已知△ABC中，A（0，3），B（2，﹣1），P、Q分别为AC、BC的中点，则直线PQ的斜率为________．4. （1分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，点A（0，﹣1）与B（0，1），P为圆C上动点，当|PA|2+|PB|2取最大值时点P坐标是________．5. （1分） (2017高一下·苏州期末) 已知{an}为等差数列，a1+a2+a3=﹣3，a4+a5+a6=6，则Sn=________．6. （1分）函数y=|5sin（2x+ ）|的最小正周期为________．7. （1分） (2016高二上·郴州期中) 三角形的两边分别为3cm，5cm，其所夹角的余弦为方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则这个三角形的面积是________cm2 ．8. （1分） (2016高二上·南城期中) 若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=________．9. （1分）直线x+y-2=0截圆x2+y2=4得劣弧所对的圆心角为________10. （1分）(2020·江西模拟) 已知数列中，，且，，数列的前项和为，则 ________.11. （1分）已知=2016，则+tan2α=________12. （1分） (2016高一上·金华期末) 已知tan（π﹣x）=﹣2，则4sin2x﹣3sinxcosx﹣5cos2x=________．13. （1分） (2016高二上·常州期中) 点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x+2的距离的最小值是________．14. （1分） (2017高一下·中山期末) 直线y=kx﹣1与曲线有两个不同的公共点，则k 的取值范围是________．15. （1分）(2017·山南模拟) 已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1 ， a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=________．16. （1分） (2016高三上·上海期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S= （b2+c2﹣a2），则∠A=________．17. （1分） (2017高三上·盐城期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A= ，a=4 ，角A的平分线交边BC于点D，其中AD=3 ，则S△ABC=________．二、解答题 (共7题；共40分)18. （5分）已知cosα=﹣，α为第三象限角．求sinα，tanα的值；19. （10分） (2017高一下·沈阳期末) 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知， .（1）当时，求的面积；（2）求周长的最大值.20. （5分）△ABC的两顶点A（3，7），B（﹣2，5），若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上（1）求点C的坐标；（2）求AC边上的中线BD的长及直线BD的斜率．21. （5分） (2018高一下·长阳期末) 已知的三个顶点，，，求边上的高所在直线方程．22. （5分）(2017·贵阳模拟) 设Sn是数列{an}的前n项和，an＞0，且4Sn=an（an+2）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn= ，Tn=b1+b2+…+bn ，求证：Tn＜．23. （5分）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且a2+c2=b2+6c，bsinA=4．（1）求边长a；（2）若△ABC的面积S=10，求cosC的值．24. （5分）香港违法“占中”行动对香港的经济、政治、社会及民生造成重大损失，据香港科技大学经济系教授雷鼎鸣测算，仅香港的“占中”行动开始后一个多月的时间，保守估计造成经济损失3500亿港元，相等于平均每名港人承受了5万港元的损失，为了挽回经济损失，某厂家拟在新年举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5﹣（其中0≤x≤a2﹣3a+3，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）万元/万件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．参考答案一、填空题 (共17题；共17分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、二、解答题 (共7题；共40分)18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、。

2019-2020学年江苏省宿迁市高一(下)期中数学试卷(含解析)

2019-2020学年江苏省宿迁市高一(下)期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 若sin(α+π4)=√2(sinα+2cosα)，则sin2α=______．2. 已知α，β为锐角，cosα=17，sin(α+β)=5√1314，则sinβ=______．3. 已知等比数列各项都是正数，且，，则的前5项的和为．4. 直线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是。

5. 使不等式x 2+(a −6)x +9>0(|a|≤1)恒成立的x 的取值范围是______．6. 已知a 1=19，a n+1=a n −3，数列{a n }的前n 项和为S n ，则当S n 取最大值时，n 的值为______．7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积S =c 2−(a −b)2，则tanC =______．8. 如图，△ABC 上，D 是BC 上的点，且AC =CD ，2AC =√3AD ，AB =2AD ，则sin B 等于______．9. 已知tan(α+β)=3，tanαtanβ=12，则tanα+tanβ=______． 10. cos36°cos24°−sin36°sin24°= ______ ．11. 已知a n =2n +3n ，b n =a n+1+ka n ，若{b n }是等比数列，则k = ______ ． 12. 数列{a n }前项和S n =2n 2−3n +1，则a n =______．13. 设全集U =R ，集合A ={x|x 2−3x −4<0}，B ={x|log 2(x −1)<2}，则A ∩B = ______ ，A ∪B = ______ ，C R A = ______ ．14. 若直线ax −by −3=0(a >0,b >0)过点(1,−1)，则1a +1b 的最小值为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分） 15. 在等差数列{a n }中，a 1=−60，a 17=−12，(1)求通项a n ；(2)求此数列的前33项和S 33．16. 已知方程cos2x +√3sin2x =k +1．(1)k 为何值时，方程在区间[0,π2]内有两个相异的解α，β； (2)当方程在区间[0,π2]内有两个相异的解α，β时，求α+β的值．17. 在△ABC 中，已知向量a ⃗ =(sinA,1)，b ⃗ =(cosA,√3)，且a ⃗ //b ⃗ ，其中A ∈(0,π2)．(1)若sin(ω−A)=35，0<ω<π2，求cosω的值； (2)若BC =2√3，AC +AB =4，求△ABC 的面积．18. 已知二次函数y =f(x)最大值为3，且f(−4)=f(0)=−1(1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在[−3,3]上的最值．19.(1)当x∈(0,12)时，求y=x(1−2x)的最大值；(2)设x≥2，求函数y=x(x+1)x−1的最小值．20.首项为1的正项数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且T n=4−(S n−P)23，其中P 为常数．(1)求P的值；(2)求证：数列{a n}为等比数列；(3)设{1a n }的前n项和A n，证明：n2−13<A1A2+A2A3+⋯+A nA n+1<n2．【答案与解析】1.答案：−35解析：解：∵sin(α+π4)=√2(sinα+2cosα)，∴√22(sinα+cosα)=√2(sinα+2cosα)，∴可得sinα=−3cosα，又∵sin2α+cos2α=1，∴{sinα=3√1010cosα=−√1010，或{sinα=−3√1010cosα=√1010，∴sin2α=2sinαcosα=−35．故答案为：−35．由已知利用两角和的正弦函数公式可求sinα=−3cosα，根据同角三角函数基本关系式可求sinα，cosα的值，进而根据二倍角的正弦函数公式即可求解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．2.答案：√32解析：解：∵α为锐角，cosα=17，∴sinα=√1−cos2α=4√37，又α+β∈(0,π)，sin(α+β)=5√1314<sinα，∴π2<α+β<π，则cos(α+β)=−√1−sin2(α+β)=−1114．∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=5√137×17−(−1114)×4√37=√32．故答案为：√32．由已知分别求得sinα与cos(α+β)的值，再由sinβ=sin[(α+β)−α]，展开两角差的正弦求解．本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力，是基础题．3.答案：31解析：本题考查的知识点主要是等比数列的通项公式和前n 项和公式，设数列的首项为，公比为q ，则，解得：，所以，故答案为31．4.答案：解析：试题分析：由题意可知，所以在点处的切线的斜率为2，所以切线方程为，令得；令得，所以三角形的面积为考点：本小题主要考查导数的应用，三角形面积的计算．点评：导数的几何意义就是在某点处的切线的斜率，主要用来求切线方程．5.答案：(−∞,7−√132)∪(7+√132,+∞)解析：解：设f(a)=x 2+(a −6)x +9，其中−1≤a ≤1；则不等式x 2+(a −6)x +9>0恒成立， ∴{f(1)>0f(−1)>0，即{x 2−5x +9>0x 2−7x +9>0，解得：x <7−√132或x >7+√132；∴不等式x 2+(a −6)x +9>0(|a|≤1)恒成立的x 的取值范围是 (−∞,7−√132)∪(7+√132,+∞)．故答案为：(−∞,7−√132)∪(7+√132,+∞)．根据题意，设f(a)=x 2+(a −6)x +9，其中−1≤a ≤1；不等式恒成立转化为{f(1)>0f(−1)>0，求出x 的取值范围即可．本题考查了函数的恒成立问题，关键在于合理转化，是中档题．6.答案：7解析：解：∵a 1=19，a n+1=a n −3，∴数列{a n }是首项为19，公差d =−3的等差数列， ∴a n =a 1+(n −1)d =19−3(n −1)=−3n +22， ∵a 7=1，a 8=−2， ∴当n =7时S n 取最大值时，故答案为：7．通过首项和递推关系可求出通项公式a n =−3n +22，进而利用a 7=1、a 8=−2可得答案．本题考查数列的求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．7.答案：815解析：解：∵S △ABC =12absinC ，cosC =a 2+b 2−c 22ab，即a 2+b 2−c 2=2abcosC ，∴已知等式变形得：12absinC =−2abcosC +2ab ， ∵ab ≠0，∴12sinC =−2cosC +2，即sinC +4cosC =4，与sin 2C +cos 2C =1，联立解得：cosC =1517，sinC =817，则tanC =815．故答案为：815利用三角形面积公式及余弦定理化简已知等式，整理即可求出tan C 的值．此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．8.答案：√66解析：解：由题意设AD =2x ，则AC =CD =√3x ，AB =4x ，在△ADC 中由余弦定理可得cos∠ADC =2222×2x×√3x =√33， ∴sin∠ADB =sin∠ADC =(√33)=√63， ∴在△ADB 中由正弦定理可得sinB =ADsin∠ADBAB=2x⋅√634x=√66，故答案为：√66由题意设AD =2x ，则AC =CD =√3x ，AB =4x ，在△ADC 中由余弦定理可得cos∠ADC ，进而可得sin∠ADB ，在△ADB 中由正弦定理可得sin B本题考查解三角形，涉及正余弦定理的应用，属中档题9.答案：32解析：解：由tan(α+β)=tanα+tanβ1−tan(α+β)，且tan(α+β)=3，tanαtanβ=12，得tanα+tanβ=tan(α+β)(1−tanαtanβ)=3×(1−12)=32．故答案为：32．由两角和的正切公式及已知即可求得tanα+tanβ的值．本题考查两角和正切的应用，是基础的计算题．10.答案：12解析：解：由题意cos36°cos24°−sin36°sin24°=cos60°=12 故答案为12由题设中cos36°cos24°−sin36°sin24°的形式知，应该先用余弦的和角公式化简，再利用特殊角求值本题考查两角和与差的余弦函数，解答本题的关键是熟记两角和与差的余弦函数公式，及特殊角的三角函数值，本题是基本公式考查题．11.答案：−2或−3解析：解：因为{b n }是等比数列，故有(a n+1+ka n )2=(a n+2+ka n+1)(a n +ka n−1)，将a n =2n +3n 代入上式，得 [2n+1+3n+1+k (2n +3n )]2=[2n+2+3n+2+k (2n+1+3n+1)]⋅[2n +3n +k (2n−1+3n−1)]，即[(2+k)2n +(3+k)3n ]2=[(2+k)2n+1+(3+k)3n+1][(2+k)2n−1+(3+k)3n−1]，整理得16(2+k)(3+k)⋅2n ⋅3n =0，解k−=2或k =−3．故答案为：−2或−3利用等比中项的性质可推断出(a n+1+ka n )2=(a n+2+ka n+1)(a n +ka n−1)，整理后求得k 的值．小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力．12.答案：{0,n =14n −5,n ≥2解析：解：∵数列{a n }前项和S n =2n 2−3n +1， ∴a 1=S 1=2−3+1=0，a n =S n −S n−1=(2n 2−3n +1)−[2(n −1)2−3(n −1)+1]=4n −5．当n =1时，4n −5=−1≠a 1， ∴a n ={0,n =14n −5,n ≥2．故答案为：{0,n =14n −5,n ≥2．利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2求解．本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要注意公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2的合理运用．13.答案：(1,4)；(−1,5)；(−∞,−1]∪[4,+∞)解析：解：由A中不等式变形得：(x−4)(x+1)<0，解得：−1<x<4，即A=(−1,4)，由B中不等式变形得：log2(x−1)<2=log24，得到0<x−1<4，解得：1<x<5，即B=(1,5)，∴A∩B=(1,4)，A∪B=(−1,5)，∁R A=(−∞,−1]∪[4,+∞)．故答案为：(1,4)；(−1,5)；(−∞,−1]∪[4,+∞)求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集，并集，求出A的补集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．14.答案：43解析：解：∵ax−by−3=0(a>0,b>0)过点(1,−1)，∴a+b=3，则1a +1b=13(1a+1b)(a+b)=13(2+ba+ab)≥13(2+2)=43．故答案为：43利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．15.答案：解：(1)∵等差数列{a n}中，a1=−60，a17=−12，∴a17=−60+16d=−12，解得d=3，∴a n=−60+(n−1)×3=3n−63．(2)∵等差数列{a n}中，a1=−60，d=3，∴此数列的前33项和：S33=33×(−60)+33×322×3=−396．解析：(1)利用等差数列通项公式求出公差d=3，由此能求出通项a n．(2)利用等差数列通项公式能求出此数列的前33项和．本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等差数列的前33项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．16.答案：解：(1)令f(x)=cos2x +√3sin2x =2sin(2x +π6)，作出f(x)在[0,π2]上的函数图象如图所示：由图象可知当1≤k +1<2即0≤k <1时，f(x)=k +1有两个相异的解． (2)令2x +π6=π2+kπ，解得x =π3+kπ2，∴f(x)在[0,π2上的对称轴为x =π3， ∴α+β=2π3．解析：(1)令f(x)=cos2x +√3sin2x =2sin(2x +π6)，根据函数图象判断k 的范围； (2)求出f(x)在[0,π2]上的对称轴，根据图象的对称性得出α+β的值．本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题． 17.答案：解：(Ⅰ)由a ⃗ //b ⃗ ，得cosA −√3sinA =0，化为tanA =√33， ∵A ∈(0,π2)． ∴A =π6∵sin(ω−A)=35，可得sinω=65+cosω√3，∵0<ω<π2，∴sinω=√1−cos 2ω，∴65+cosω√3=√1−cos 2ω，整理可得100cos 2ω+60cosω−39=0，解得cosω=−3−4√310(舍去)或4√3−310； (2)∵BC =2√3，AC +AB =4，A =π6∴由余弦定理可得：12=AB 2+AC 2−2⋅AB ⋅AC ⋅sinA =(AB +AC)2−(2+√3)AB ⋅AC =16−(2+√3)AB ⋅AC ∴可解得：AB ⋅AC =2+√3 ∴S △ABC =12⋅AB ⋅AC ⋅sinA =14×2+3=2−√3．解析：(Ⅰ)由a ⃗ //b ⃗ ，得tanA =√33，由sin(ω−A)=35，可得sinω=65+cosω√3，由0<ω<π2，得sinω的值，从而有65+cosω√3=√1−cos 2ω，可解得cosω的值；(2)由余弦定理可得AB ⋅AC =2+√3，即可求△ABC 的面积．本题主要考察了两角和与差的正弦函数，三角形的面积公式，本题计算量较大，要求解题时认真细心，属于基本知识的考查．18.答案：解：(1)因为f(−4)=f(0)，所以二次函数的对称轴为：x =−2，又y =f(x)的最大值为3，所以可设二次函数为f(x)=a(x +2)2+3，因为f(0)=−1，所以a(0+2)2+3=−1，解得a =−1，所以f(x)=−(x +2)2+3． (2)因为−2∈[−3,3]，所以f(x)max =f(−2)=3，当x =3时，f(x)min =f(3)=−22．解析：(1)由f(−4)=f(0)可得对称轴x =−2，再由最大值为3可设f(x)=a(x +2)2+3，根据f(0)=−1即可求得a 值；(2)结合二次函数的图象特征即可求得其最值；本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查二次函数解析式的求法，属基础题．19.答案：解：(1)∵x ∈(0,12)，∴1−2x >0，则y =x(1−2x)=12⋅2x(1−2x)≤12⋅(2x+1−2x 2)2=18，当且仅当2x =1−2x ，即x =14时等号成立，∴y max =18； (2)由题意，设t =x −1(t ≥1)，则x =t +1，则y =x(x+1)x−1=(t+1)(t+2)t=t 2+3t+2t=t +2t+3≥2√2+3，当且仅当t =2t 时，即t =√2时，即x =√2+1时取等号， ∴函数y =x(x+1)x−1的最小值为2√2+3．解析：(1)把已知函数解析式变形，再由基本不等式求最值； (2)设t =x −1(t ≥1)，则x =t +1，把函数y =x(x+1)x−1转化为关于t 的函数，再由基本不等式求最值．本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．20.答案：(1)解：当n =1时，由1=4−(1−p)23得p =0或2.若p =0时，T n =4−S n23，当n =2时，1+a 22=4−(1+a 2)23，解得a 2=0或−12，而a n >0，所以p =0不符合题意，故p =2；(2)证明：当p =2时，T n =43−13(S n −2)2①，则T n+1=43−13(S n+1−2)2②，由②−①并化简得3a n+1=43−S n+1−S n ③，则3a n+2=4−S n+2−S n+1④，由④−③得a n+2=12a n+1(n ∈N ∗)，又因为a 2=12a 1，∴数列{a n }为等比数列，且a n =12n−1 (3)证明：由(2)知1a n=2n−1，A n =1−2n 1−2=2n−1，∴12−13⋅12n ≤A nAn+1=2n −12n+1−1=12−12(2n+1−1)<12，所以A 1A 2+A2A 3+⋯+A nAn+1>n 2−13(1−12n )=n2−13+13⋅12n >n2−13，且A 1A 2+A2A 3+⋯+A nAn+1<n2，即n 2−13<A1A2+A2A3+⋯+A nAn+1<n2．解析：(1)分别把n =1与n =2代入T n =4−(S n −P)23，结合a n >0，求出p ；(2)由(1)知p =2时，T n =43−13(S n −2)2①，则T n+1=43−13(S n+1−2)2②，由②−①并化简得3a n+1=43−S n+1−S n ③，则3a n+2=4−S n+2−S n+1④，由④−③得a n+2=12a n+1(n ∈N ∗)，又因为a 2=12a 1，从而数列{a n }为等比数列；(3)由(2)知1a n =2n−1，An=1−2n1−2=2n−1，对A n进行放缩得到12−13⋅12n≤A nA n+1<12，进而求证结论．本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，注意运用数列的通项和前n项和的关系，考查不等式的证明，注意运用放缩法和不等式的性质，属于中档题．。