《勾股定理》专题复习(含问题详解)
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (26)
一、选择题1.如图，把三角形纸片△ABC沿着DE对折，点C恰好与A重合，得到△ABD，其中∠B=90∘，AB=2，△ABD的周长为8，则四边形ABDE的面积是( )A．83B．133C．6D．72.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，点E在AC上，现将△BCE沿BE翻折，使点C落在点Cʹ处连接ACʹ，则ACʹ长度的最小值是( )A．0.5cm B．1cm C．2cm D．2.5cm3.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是( )A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤134.已知a，b，c是三角形的三边，满足(a−3)2+√b−4+∣c−5∣=0，则三角形的形状是( )A．腰和底不相等的等腰三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形5.正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，⋯按此规律继续下去，则S2019的值为( )A ． (12)2019B ． (12)2018C ．(√22)2019 D ．(√22)20186. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( ) A ． 1，2，3B ． 2，3，4C ． 3，4，5D ． 4，5，67. 如图，已知 ∠ABC =90∘，AB =6，BC =8，AD =CD =7，若点 P 到 AC 的距离为 5，则点 P 在四边形 ABCD 边上的个数为 ( )A ． 0B ． 2C ． 3D ． 48. 如图，小明（视为小黑点）站在一个高为 10 米的高台 A 上，利用旗杆 OM 顶部的绳索，划过 90∘ 到达与高台 A 水平距离为 17 米，高为 3 米的矮台 B ．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度 MN 是 ( )A ． 2 米B ． 2.2 米C ． 2.5 米D ． 2.7 米9. 如图，将一根长 27 厘米的筷子，置于高为 11 厘米的圆柱形水杯中，且筷子露在杯子外面的长度最少为 (27−√157) 厘米，则底面半径为 ( ) 厘米．A ． 6B ． 3C ． 2D ． 1210. 如图，圆柱形玻璃杯，高为 12 cm ，底面周长为 18 cm ，在杯内离杯底 4 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相对的 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ( ) cm ．A．15B．√97C．12D．18二、填空题11.如图，在高2米，坡角为30∘的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需米．12.在△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，BC=8，则△ABC的面积是．13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点Bʹ处，线段BʹD交边AB于点F，连接ABʹ．当△ABʹF是直角三角形时，BE的长为．14.等腰三角形ABC的周长为16，底边BC上的高为4，则其底边BC的长为．15.如图：5米长的滑梯AB开始在B点距墙面水平距离3米，当向后移动1米，A点也随着向下滑一段距离，则下滑的距离（大于、小于或等于）1米．16.如图，圆柱形玻璃杯高为13cm，底面周长为40cm，在杯内壁离底1cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁到内壁B处的最短距离为．17. 小明用三角板测得一个圆锥形漏斗尺寸如下图所示，那么漏斗斜壁 AB 的长度 cm ．三、解答题18. 已知：如图，四边形 ABCD 中，∠ACB =90∘，AB =15，BC =9，AD =5，DC =13．试判断△ACD 的形状，并说明理由．19. 已知 AB =2，AC =4√12，BC =25√125，在图所示的网格内画 △ABC ，使它的顶点都在格点上，图中每个小正方形的边长都为 1．(1) 求 △ABC 的面积； (2) 求点 A 到 BC 边的距离．20. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点 D ，且 AD =BD ，在 AD 上截取 DE =DC ，延长 BE 交 AC于点 F ，连接 CE ．(1) 证明：△BDE≌△ADC．(2) ∠ABF和∠ACE相等吗？说明理由．(3) 若BD=12 cm，CD=5 cm，求线段BF的长度．21.如图，每个小正方形的边长为1．(1) 求四边形ABCD的周长；(2) 求证：∠BCD=90∘．22.回答下列各题：(1) 特例研究：如图①，等边△ABC的边长为8，求等边△ABC的高．(2) 经验提升：如图②，在△ABC中，AB=AC≠BC，点P为线段BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．补全图形，判断线段PD，PE，CF的数量关系，并说明理由．x+3，l2:y=−3x+3，若线(3) 综合应用：如图③，在平面直角坐标系中有两条直线l1:y=34段BC上有一点M到l1的距离是1，请运用(2)中的结论求出点M的坐标．23.阅读：小明同学在某材料中看到如下问题及部分证明．如图①，已知在△ABC和△A1B1C1中，BD=DC，B1D1=D1C1，AB=A1B1，AC=A1C1，AD=A1D1，求证：∠1=∠2．证明：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，延长A1D1到E1，使D1E1=A1D1，连接C1E1，在△ABD和△ECD中，∵AD=DE（已作），∠ADB=∠EDC（对顶角相等），BD=DC（已知），∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB=EC（全等三角形的对应边相等），同理可证，A1B1=E1C1，未完待续⋯⋯(1) 请你补全这个证明．(2) 应用：如图②，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD长的范围是．(3) 拓展：如图③，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=√89，AC=5，AD=4，则△ABC的面积是．24.为了绿化环境，某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC=90∘，CD=6m，AD=8m，AB=26m，BC=24m．(1) 求出空地ABCD的面积．(2) 若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？25.请阅读下列材料：问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5，高AB为5，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC．如图（2）所示．设路线1的长度为l1，则l12=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2．路线2：高线AB+底面直径BC．如图（1）所示．设路线2的长度为l2，则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225，∵l12−l22=25+25π2−225=25π2−200=25(π2−8)>0，∴l12>l22，∴l1>l2，∴选择路线2较短．(1) 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1，高AB为5”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：路线1：l12=AC2=；路线2：l22=(AB+BC)2=．∵l12l22，∴l1l2（填“>”或“<”），∴应选择路线（填1或2）较短．(2) 请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为ℎ时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵把三角形纸片△ABC沿着DE对折，点C恰好与A重合，得到△ABD，∴AD=CD，∠AED=∠CED=90∘，AE=CE，∵△ABD的周长为8，∴AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=8，∴BC=6，∵AD2=AB2+BD2，∴CD2=4+(6−CD)2，∴CD=103，∴BD=83，∴S△ABD=12×2×83=83，S△ACD=12×2×103=103，∵AE=EC，∴S△AED=53，∴四边形ABDE的面积=133，故选：B．【知识点】勾股定理之折叠问题2. 【答案】C【解析】当Cʹ落在AB上，ACʹ长度的值最小，∵∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，由折叠的性质知，BCʹ=BC=3cm，∴ACʹ=AB−BCʹ=2cm．【知识点】勾股定理之折叠问题、折叠问题3. 【答案】A【解析】a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：√52+122=13．即a的取值范围是12≤a≤13．【知识点】勾股定理的实际应用4. 【答案】D【解析】因为a，b，c为三角形三边，则a，b，c均大于0，又因为满足 (a −3)2+√b −4+∣c −5∣=0， 又因为 (a −3)2≥0，√b −4≥0，∣c −5∣≥0， 所以 (a −3)2=0，√b −4=0，∣c −5∣=0， 所以 a =3，b =4，c =5， 因为 a 2+b 2=32+42=52=c 2， 所以，三角形为直角三角形． 【知识点】勾股逆定理5. 【答案】B【解析】在图中标上字母 E ，如图所示．∵ 正方形 ABCD 的边长为 1，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2+CE 2=CD 2，DE =CE ， ∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=12=1，S 2=12S 1=12，S 3=12S 2=14，S 4=12S 3=18，⋯， ∴S n =(12)n−1，当 n =2019 时，S 2019=(12)2019−1=(12)2018，故选：B ．【知识点】勾股定理、用代数式表示规律6. 【答案】C【解析】A ．因为 12+22≠32，所以三条线段不能组成直角三角形； B ．因为 22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形； C ．因为 32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形； D ．因为 42+52≠62，所以三条线段不能组成直角三角形． 【知识点】勾股逆定理7. 【答案】A【解析】如图，过点 B ，D 分别作 BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E ，F ． 在 Rt △ABC 中，由勾股定理，得 AC 2=AB 2+BC 2=62+82=100， 所以 AC =10．再由 12AB ⋅BC =12AC ⋅BE ，可得 BE =4.8．由AD=CD=7且DF⊥AC，得AF=12AC=5，由勾股定理，得DF2=72−52=24，故DF<5．又因为BE<5，所以到直线AC的距离为5的两条平行线与四边形ABCD的边没有交点．故选A．【知识点】勾股定理8. 【答案】A【解析】作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所示：则∠OEA=∠BFO=90∘，因为∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90∘，所以∠AOE=∠OBF．在△AOE和△OBF中，{∠OEA=∠BFO,∠AOE=∠OBF, OA=OB,所以△AOE≌△OBF(AAS)，所以OE=BF，AE=OF，所以OE+OF=AE+BF=CD=17（米），因为EF=EM−FM=AC−BD=10−3=7（米），因为OE+OF=2EO+EF=17米，所以2OE=17−7=10（米），所以BF=OE=5米，OF=12米，所以CM=CD−DM=CD−BF=17−5=12（米），OM=OF+FM=12+3=15（米），由勾股定理得：ON=OA=√AE2+OE2=√122+52=13（米），所以MN=OM−OF=15−13=2（米）．【知识点】勾股定理的实际应用9. 【答案】B【解析】27−(27−√157)=√157（厘米），筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，√(√157)2−112=6（厘米），6÷2=3（厘米）．故底面半径为3厘米．【知识点】勾股定理的实际应用10. 【答案】A【解析】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点Aʹ，连接AʹC交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=AʹE，AʹP=AP，∴AP+PC=AʹP+PC=AʹC，×18cm=9cm，AʹQ=12cm−4cm+4cm=12cm，∵CQ=12在Rt△AʹQC中，由勾股定理得：AʹC=√122+92=15cm．【知识点】平面展开-最短路径问题二、填空题11. 【答案】(2+2√3)【知识点】勾股定理的实际应用12. 【答案】16【知识点】三角形的面积、勾股定理13. 【答案】2或4017【知识点】勾股定理之折叠问题14. 【答案】6【解析】设底边长为2x．=8−x．∴腰长为16−2x2利用勾股定理：(8−x)2=x2+42，∴x=3，∴其底边BC的长为6，故答案为：6．【知识点】一元二次方程的应用、勾股定理15. 【答案】等于【知识点】勾股定理的实际应用16. 【答案】25cm【解析】如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点Aʹ，连接AʹB，则AʹB即为最短距离，AʹB=√AʹD2+BD2=√202+152=25(cm)．【知识点】平面展开-最短路径问题17. 【答案】√34【解析】√32+52=√34．【知识点】勾股定理的实际应用三、解答题18. 【答案】∵AB=15，BC=9，∠ACB=90∘，∴AC=√152−92=12，∵52+122=132，∴AD2+AC2=CD2，∴∠DAC=90∘，∴△ACD是直角三角形．【知识点】勾股定理、勾股逆定理19. 【答案】(1) ∵AC=4√12=4×√24=2√2，BC=25√125=25×√25×5=25×5√5=2√5，AB=2，∴△ABC如图所示（长度正确，顶点在格点上即可，画法不唯一）．过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则CD=2，∴S△ABC=12AB⋅CD=12×2×2=2．(2) 过点A作AE⊥BC于点E，则S△ABC=12BC⋅AE．∵S△ABC=2，BC=2√5．∴AE=2S△ABCBC =2√5=√5=√5√5×√5=25√5，即点A到BC边的距离为25√5．【知识点】一般三角形面积公式、勾股定理20. 【答案】(1) 在△BDE和△ADC中，∵AD⊥BC，∴∠BDE=∠ADC=90∘，在△BDE和△ADC中，{AD=BD,∠BDE=∠ADC, DE=DC,∴△BDE≌△ADC．(2) ∵△BDE≌△ADC，∴∠EBD=∠CAD，在Rt△ADB中，AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45∘，同理∠DEC=∠DCE=45∘，∵∠ABF=45∘−∠EBD，∠ACE=45∘−∠CAD，∴∠ABF=∠ACE．(3) ∵∠EBD=∠CAD，∠BED=∠AEF，∠EBD+∠BED=90∘，∴∠CAD+∠AEF=90∘，∴BF⊥AC，∵BD=12 cm，∴AD=12 cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC=13 cm，S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BF，∴12×(12+5)×12=12×13×BF，解得BF=20413cm．【知识点】一般三角形面积公式、勾股定理、边角边、等腰三角形的性质、全等形的概念及性质21. 【答案】(1) 根据勾股定理可知AB=3√2，BC=√34，CD=√34，AD=5√2，∴四边形ABCD的周长为8√2+2√34．(2) 连接BD．∵BC=√34，CD=√34，DB=√68，∴BC2+CD2=BD2．∴△BCD是直角三角形，即∠BCD=90∘．【知识点】勾股逆定理、勾股定理22. 【答案】(1) 如图①，过点A作AG⊥BC于G，∵△ABC是等边三角形，∴BG=12BC=4，在Rt△ABG中，AB=8，∴AG=√AB2−BG2=4√3，则等边△ABC的高为4√3．(2) ①当点P在边BC上时，PD+PE=CF，如图②，连接AP，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，∴S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF，∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴12AB⋅PD+12AC⋅PE=12AB⋅CF∵AB=AC，∴PD+PE=CF．②当点P在BC的延长线上时，PD−PE=CF，理由：如图③，连接AP，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，∴S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF∵S△ABP−S△ACP=S△ABC∴12AB⋅PD−12AC⋅PE=12AB⋅CF∵AB=AC，∴PD−PE=CF．(3) 如图④，由题意可求得A(−4,0)，B(0,3)，C(1,0)，∴AB=5，AC=5，BC=√12+32=√10，OB=3，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AB，垂足分别为P，Q．∵l2上的一点M到l1的距离是1，∴MQ=1．由图②的结论得：MP+MQ=3，∴MP=2，∴M点的纵坐标为2，又∵M在直线y=−3x+3，∴当y=2时，x=13∴M坐标为(13,2)．【知识点】一般三角形面积公式、一次函数与三角形的综合、勾股定理23. 【答案】(1) ∵AD=A1D1，∴2AD=2A1D1，即AE=A1E1，在△AEC和△A1E1C1中，{AE=A1E1, AC=A1C1, EC=E1C1,∴△AEC≌△A1E1C1(SSS)，∴∠1=∠2．(2) 1<AD<4(3) 20【解析】(2) 延长AD至E，使DA=DE，连接BE，CE，由（1）可知，AB=CE=5，∴5−3<2AD<5+3，∴1<AD<4．(3) 延长AD至E，使DA=DE，连接CE，同理可证，CE=AB=√89，AE=2AD=8，∴AE2+AC2=CE2，∴△AEC是Rt△，∴S△ABC=S△AEC=8×5×12=20．【知识点】勾股逆定理、边角边24. 【答案】(1) 如图所示，连接AC，由题意可知∠ADC=90∘，CD=6m，AD=8m，所以AC=√AD2+CD2=√82+62=10m，又因为AB=26m，BC=24m，且102+242=262，所以△ACB为直角三角形，则空地ABCD面积即为△ACB的面积：12⋅AC⋅BC=12×10×24=120m2．答：空地ABCD的面积为120m2．(2) 由题意得：200×120=24000（元），答：共需投入24000元．【知识点】勾股定理的实际应用25. 【答案】(1) AB2+BC2=52+π2=25+π2；(5+2)2=49；<；<；1(2) l12=AC2=AB2+BC2=ℎ2+(πr)2，l22=(AB+BC)2=(ℎ+2r)2，∴l12−l22=ℎ2+(πr)2−(ℎ+2r)2=r(π2r−4r−4ℎ)=r[(π2−4)r−4ℎ],时，l12=l22；∴当r=4ℎπ2−4时，l12>l22；当r>4ℎπ2−4当r<4ℎ时，l12<l22．π2−4【知识点】勾股定理的实际应用。
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (36)
一、选择题1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，62.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )A．1，√3，2B．7，12，15C．3，4，5D．5，12，133.如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于( )A．1B．2C．3D．44.我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴案，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为( )A．x2+102=(x+1)2B．(x−1)2+52=x2C．x2+52=(x+1)2D．(x−1)2+102=x25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB的中点，CE⊥BE，交CD的延长线于点E，若AC=2，BC=2√2，则BE的长为( )A．2√63B．√62C．√3D．√26.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )A．1，√3，2B．7，12，15C．3，4，5D．5，12，137.【例3】如图，在三个正方形中，其中两个的面积S1=25，S2=144，则另一个正方形的面积S3为( )A．13B．200C．169D．2258.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于( )A．254cm B．223cm C．74cm D．53cm9.若△ABC的三条边a，b，c满足(a−8)2+∣15−b∣+√c−17=0，则△ABC是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定10.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为( )A．5B．6C．8D．10二、填空题11.勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯．分析上面勾股数组可以发现，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，⋯⋯，分析上面规律，第5个勾股数组为．12.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC=4，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的最大值为．13.在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠BAC的平分线，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离是cm．14.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它运动的路径是最短的，则AB的长为．15.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90∘，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是．17.已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD=√5，∠BPD=90∘，则点A到BP的距离等于．三、解答题18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都在格点上．(1) 直接写出边AB，AC，BC的长．(2) 判断△ABC的形状，并说明理由．19.如图，在四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=9，BC=12，AD=8，CD=17．求：(1) AC的长．(2) 四边形ABCD的面积．20.我们学习了勾股定理后，都知道"勾三、股四、弦五"．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．(1) 请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；(2) 若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．21.如图，一块三角形的铁皮，边BC的长为40厘米，BC上的高AD为30厘米，要把它加工成一块矩形铁皮，使矩形的一边FG在BC上，其余两个顶点E，H分别在AB，AC上，且矩形的面积是三角形面积的一半，这个矩形的长和宽各是多少？22.葛藤是一种刁钻的植物，它自已腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘旋上升的路线，总是沿着最短路线盘旋前进的．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？(1) 如图，如果树的周长为3cm，从点A绕圈到B点，葛藤升高4cm，则它爬行的路程是多少厘米？(2) 如果树的周长为8cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？23.已知：如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠A的平分线，BD=5，CD=3．求AB的长．24.如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB=3 cm，长BC=5 cm．求EC的长．25.阅读：小明同学在某材料中看到如下问题及部分证明．如图①，已知在△ABC和△A1B1C1中，BD=DC，B1D1=D1C1，AB=A1B1，AC=A1C1，AD=A1D1，求证：∠1=∠2．证明：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，延长A1D1到E1，使D1E1=A1D1，连接C1E1，在△ABD和△ECD中，∵AD=DE（已作），∠ADB=∠EDC（对顶角相等），BD=DC（已知），∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB=EC（全等三角形的对应边相等），同理可证，A1B1=E1C1，未完待续⋯⋯(1) 请你补全这个证明．(2) 应用：如图②，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD长的范围是．(3) 拓展：如图③，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=√89，AC=5，AD=4，则△ABC的面积是．答案一、选择题1. 【答案】C【解析】∵12+22≠32，∴三条线段不能组成直角三角形；∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形；∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形；∵42+52≠62，∴三条线段不能组成直角三角形．【知识点】勾股逆定理2. 【答案】B【知识点】勾股逆定理3. 【答案】B【知识点】勾股定理之折叠问题4. 【答案】B【知识点】勾股定理的实际应用5. 【答案】A【解析】方法1：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=2√2，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√22+(2√2)2=2√3,∵D是AB的中点，∴BD=CD=√3，设DE=x，由勾股定理得：(√3)2−x2=(2√2)2−(√3+x)2，解得：x=√3，3∴在Rt△BED中，BE=√BD2−DE2=√(√3)2−(√33) 2=2√63.方法2：三角形ABC的面积=12×AC×BC=12×2×2√2=2√2，∵D是AB中点，∴△BCD的面积=△ABC面积×12=√2，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=2√2，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√22+(2√2)2=2√3，∵D是AB的中点，∴CD=√3，∴BE=√2×2÷√3=2√63．【知识点】勾股定理6. 【答案】B【知识点】勾股逆定理7. 【答案】C【解析】由题可知，在直角三角形中两直角边的平方分别为25和144，所以斜边的平方为144+25=169，即面积S3为169．【知识点】勾股定理8. 【答案】C【知识点】勾股定理之折叠问题、图形成轴对称9. 【答案】B【解析】∵(a−8)2+∣15−b∣+√c−17=0，∴a−8=0，15−b=0，c−17=0，∴a=8，b=15，c=17，∴a2+b2=c2．∴△ABC是直角三角形．【知识点】勾股逆定理10. 【答案】C【解析】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD=√AB2−AD2=4，∴BC=2BD=8，故选C．【知识点】等腰三角形“三线合一”、勾股定理二、填空题11. 【答案】(11,60,61)【解析】在勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯中，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，⋯⋯，可得第4组勾股数组中间的数为4×(9+1)=40，故对应的勾股数组为(9,40,41)；第5组勾股数组中间的数为5×(11+1)=60，故对应的勾股数组为(11,60,61)，故答案为(11,60,61)．【知识点】勾股数12. 【答案】2√5+2【解析】∵PA⊥PB，∴∠APB=90∘，∴点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点，连接CO，如图，则OC=√22+42=2√5，∵点P为CO的延长线于⊙O的交点时，CP最大，∴PC的最大值为2√5+2．【知识点】圆周角定理推论、勾股定理13. 【答案】4【知识点】角平分线的性质、勾股定理14. 【答案】2√10【解析】将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，AB=√62+22=2√10．【知识点】平面展开-最短路径问题15. 【答案】 4【解析】设 BN =x ，由折叠的性质可得 DN =AN =9−x ， ∵D 是 BC 的中点， ∴BD =3，在 Rt △BND 中，x 2+32=(9−x )2， 解得 x =4．故线段 BN 的长为 4． 【知识点】勾股定理之折叠问题16. 【答案】 3【知识点】勾股定理17. 【答案】3√3+√52或3√3−√52【解析】 ∵ 点 P 满足 PD =√5，∴ 点 P 在以 D 为圆心，√5 为半径的圆上， ∵∠BPD =90∘，∴ 点 P 在以 BD 为直径的圆上， ∴ 如图，点 P 是两圆的交点，若点 P 在 AD 上方，连接 AP ，过点 A 作 AH ⊥BP ， ∵CD =4=BC ，∠BCD =90∘， ∴BD =4√2， ∵∠BPD =90∘，∴BP =√BD 2−PD 2=3√3， ∵∠BPD =90∘=∠BAD ，∴ 点 A ，点 B ，点 D ，点 P 四点共圆， ∴∠APB =∠ADB =45∘，且 AH ⊥BP ， ∴∠HAP =∠APH =45∘， ∴AH =HP ，在 Rt △AHB 中，AB 2=AH 2+BH 2， ∴16=AH 2+(3√3−AH)2， ∴AH =3√3+√52（不合题意），或 AH =3√3−√52， 若点 P 在 CD 的右侧，同理可得 AH =3√3+√52．综上所述：AH =3√3+√52 或 3√3−√52．【知识点】判断四点共圆的方法、勾股定理三、解答题18. 【答案】(1) AB =√12+22=√5，AC =√22+12=√5，BC =√12+32=√10；(2) △ABC 是等腰直角三角形，∵AB 2+AC 2=5+5=10=BC 2，∵AB =AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形．【知识点】等腰直角三角形、勾股定理、勾股逆定理19. 【答案】(1) AC =√AB 2+BC 2=15．(2) ∵AD =8，AC =15，CD =17，∴AD 2+AC 2=CD 2，∴△ADC 是直角三角形，∴∠DAC =90∘，∴四边形ABCD 的面积=S △ABC +S △ADC =12×9×12+12×8×15=114.【知识点】勾股逆定理、勾股定理20. 【答案】(1) 11，60，61(2) 后两个数表示为n 2−12和n 2+12． ∵n 2+(n 2−12)2=n 2+n 4−2n 2+14=n 4+2n 2+14， (n 2+12)2=n 4+2n 2+14， ∴n 2+(n 2−12)2=(n 2+12)2．∵n ≥3，且 n 为奇数，∴ 由 n ，n 2−12，n 2+12 三个数组成的数是勾股数． 【解析】(1) 下一个勾为 11，根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一． 所以勾股数为 11，60，61 ．(2) 根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一． 所以后两个数为 n 2−12和n 2+12．【知识点】勾股定理21. 【答案】矩形的长和宽分别为 20 cm 和 15 cm ．【知识点】矩形的面积、一般三角形面积公式、勾股定理22. 【答案】(1) 如果树的周长为 3 cm ，绕一圈升高 4 cm ，则葛藤绕树爬行的最短路程为；32+42=52，则爬行的路程是 5 cm ．(2) 如果树的周长为 8 cm ，绕一圈爬行 10 cm ，则爬行一圈升高：102−82=62，则升高 6 cm ，如果爬行 10 圈到达树顶，则树干高为：10×6=60(cm )．【知识点】平面展开-最短路径问题23. 【答案】提示：过点 D 作 AB 的垂线，垂足为 E ，则 DE =3，可求出 BE =4，根据 AC 2+BC 2=AB 2，可求出 AC =6，即 AE =6，所以 AB =10．【知识点】勾股定理24. 【答案】 ∵ 折叠，∴AF =AD =BC =5 cm ，∵ 在 Rt △ABF 中，BF 2+AB 2=AF 2，AB =3 cm ，∴BF =4 cm ，∴CF =BC −BF =5−4=1 cm ，设 EC =x cm ，则 EF =ED =CD −CE =(3−x )cm ，∵ 在 Rt △CEF 中，CF 2+CE 2=EF 2，∴12+x 2=(3−x )2，∴x=43，∴CE=43cm．【知识点】勾股定理之折叠问题25. 【答案】(1) ∵AD=A1D1，∴2AD=2A1D1，即AE=A1E1，在△AEC和△A1E1C1中，{AE=A1E1, AC=A1C1, EC=E1C1,∴△AEC≌△A1E1C1(SSS)，∴∠1=∠2．(2) 1<AD<4(3) 20【解析】(2) 延长AD至E，使DA=DE，连接BE，CE，由（1）可知，AB=CE=5，∴5−3<2AD<5+3，∴1<AD<4．(3) 延长AD至E，使DA=DE，连接CE，同理可证，CE=AB=√89，AE=2AD=8，∴AE2+AC2=CE2，∴△AEC是Rt△，∴S△ABC=S△AEC=8×5×12=20．【知识点】勾股逆定理、边角边。
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (39)
一、选择题1.△ABC中，已知AB=1，AC=2．要使∠B是直角，BC的长度是( )A．√3B．√5C．3D．√3或√52.现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄，如图是兴庆公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角∠ABC，而走“捷径AC”，是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”，已知AB=40米，BC=30米，他们踩坏了_____米的草坪，只为少走_____米路( )A．20，50B．50，20C．20，30D．30，203.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A．9分米B．15分米C．5分米D．8分米4.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )A．5√21B．25C．10√5+5D．355.某工厂的厂门形状如图（厂门上方为半圆形拱门），现有四辆装满货物的卡车，外形宽都是2.0米，高分别为2.8米，3.1米，3.4米，3.7米，则能通过该工厂厂门的车辆数是( )（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√5≈2.24）A．1B．2C．3D．46.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是( )A．5，4，3B．√2，√3，√5C．6，8，10D．8，15，197.如图所示，一场台风过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2，则树高为( )米．A．1+√5B．1+√3C．2√5−1D．38.如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为( )（杯壁厚度不计）A．2√26cm B．√149cm C．2√41cm D．4√29cm9.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a+b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )A．3B．4C．5D．610.在Rt△ABC中，∠B=90∘，BC=1，AC=2，则AB的长是( )A．1B．√3C．2D．√5二、填空题11.在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=45∘，AC=4, 则AB的长是．12.在△ABC中，∠C=90∘，若AB=6，BC=2√5，则AB边上的高是．13.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90∘，AD=CD，AB+BC=8，则四边形ABCD的面积是．14.如图所示，∠ABC=∠BAD=90∘，AC=13，BC=5，AD=16，则BD的长为．15.如图，等腰三角形ABC的底边长为16，底边上的高AD长为6，则腰AB的长度为．16.在三角形ABC中，∠C=90∘，AB=7，BC=5，则AC的长为．17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=3，AB=5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，MN的长为半径作弧，两弧交分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于12于点P，作射线AP交BC于点D，则CD的长是．三、解答题18.在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABC=∠ADC=45∘，BD=6，DC=4(1) 当D，B在AC同侧时，求AD的长；(2) 当D，B在AC两侧时，求AD的长．19.如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90∘，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积．20.在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC的面积．21.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=10，D为AB上一点，CD=8，BD=6．(1) 求证：∠CDB=90∘；(2) 求AC的长．22.如图，在△ABC中，∠C=90∘，M为BC的中点，MN⊥AB，N是垂足．求证：AN2−BN2=AC2．23.学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．24.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90∘，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．25.小芳在喝易拉罐饮料的时候，发现如果沿着罐内壁BC竖直放置吸管，露在外面部分BD=2厘米；如果尽最大长度往里放置，吸管正好和罐顶持平，已知易拉罐的底部是直径(AC)为8厘米的圆，请你求出吸管的长度．答案一、选择题1. 【答案】A【解析】∵∠B是直角，故AC为△ABC的斜边，AB为直角边，∴BC=√AC2−AB2=√4−1=√3．【知识点】勾股定理2. 【答案】B【解析】在Rt△ABC中，∵AB=40米，BC=30米，∴AC2=302+402=2500，∴AC=50米，30+40−50=20（米），∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米路．【知识点】勾股定理的实际应用3. 【答案】D【知识点】勾股定理的实际应用4. 【答案】B【解析】将长方体展开，连接A，B，根据两点之间线段最短．（1）如图，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得：AB=√AD2+BD2=√152+202=√625=25．（2）如图，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√52+302=√925=5√37．（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√102+252=5√29．由于25<5√29<5√37，故最短距离为25．【知识点】勾股定理的实际应用、勾股定理5. 【答案】B【解析】∵车宽2米，∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线1米处的高度与车高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得：CD=√OC2−OD2=√22−12=√3≈1.73（米），CH=CD+DH=1.73+1.6=3.33，∴两辆卡车都能通过此门．【知识点】勾股定理、勾股定理的实际应用6. 【答案】D【知识点】勾股逆定理7. 【答案】A【解析】由勾股定理可知，BC=√AC2+AB2=√12+22=√5，∴AC+BC=1+√5．【知识点】勾股定理的实际应用8. 【答案】C【解析】圆柱展开如图所示，由题意可知蚂蚁从A点爬到ME上某点再爬到B点最短路径，作A关于ME对称点Aʹ连接AʹB，AʹB即作求最短路径，过B作BO⊥MN与O，则四边形OBFN为矩形，∴OB=NF，ON=BF，∵MQ=NP=20，MN=EF=7，BF=2，MA=3，E，F分别MQ，NP中点，NP=10=OB，ON=BF=2，∴NF=12MO=MN−ON=5，∵A，Aʹ关于MN对称，∴AʹM=AM=3，∴AʹO=AʹM+MO=8，∴AʹO=√AʹO2+OB2=√82+102=2√21，∴最短路径为2√21．【知识点】轴对称之最短路径、勾股定理的实际应用9. 【答案】C【解析】如图所示：∵(a+b)2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21−13=8，∴小正方形的面积为13−8=5．【知识点】勾股定理10. 【答案】B【知识点】勾股定理二、填空题11. 【答案】4√2【解析】如图，∵∠C=90∘，∠A=45∘，∴∠B=90∘−45∘=45∘，∴∠A=∠B，∴AC=CB=4，∴AB=√AC2+BC2=√42+42=4√2．【知识点】勾股定理12. 【答案】4√53【知识点】勾股定理13. 【答案】16【解析】如图，连接AC．∵S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC=12BC ⋅AB +12CD ×AD =12BC ⋅AB +12AD 2=12BC ⋅AB +12CD 2,∵AB +BC =8，∴BC 2+AB 2+2BC ×AB =64， ∴4S △ABC +4S △ACD =64，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =16．【知识点】勾股定理14. 【答案】 20【解析】 ∵∠ABC =90∘，AC =13，BC =5， ∴AB =√AC 2−BC 2=12， 又 ∵∠BAD =90∘，AD =16， ∴BD =√AB 2+AD 2=20． 【知识点】勾股定理15. 【答案】 10【知识点】勾股定理、等腰三角形的性质16. 【答案】 2√6【解析】 ∵∠C =90∘，AB =7，BC =5， ∴AC =√AB 2−BC 2=√72−52=2√6．【知识点】勾股定理17. 【答案】 1.5【解析】如图，作 DH ⊥AB 于 H ． ∵DA 平分 ∠BAC ， ∴∠DAH =∠DAC ，∵∠AHD=∠C=90∘，AD=AD，∴△ADH≌△ADC(AAS)，∴DH=DC，AC=AH=3，在Rt△ABC中，∵AB=5，AC=3，∴BC=√52−32=4，设DC=DH=m，在Rt△BHD中，∵BD2=BH2+DH2，∴(4−m)2=m2+22，∴m=32，∴CD=32．【知识点】角角边、勾股定理三、解答题18. 【答案】(1) 如图1，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于E，∵∠ADC=45∘，∴△ADE为等腰直角三角形，∵AB=AC，∠ABC=45∘，∴△ABC为等腰直角三角形，在△ABD和△ACE中，{AB=AC,∠BAD=∠CAE, AD=AE,∴△ABD≌△ACE，∴CE=BD=6，DE=10，∴AD=√22DE=5√2．(2) 如图2，过点A作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，在△ABD和△ACE中，{AB=AC,∠BAD=∠CAE, AD=AE,∴△ABD≌△ACE，∴BD=EC=6，∠CDE=∠ADC+∠ADE=90∘，在Rt△CDE中，DE=√CE2−CD2=2√5，∴AD=√22DE=√10．【知识点】边角边、勾股定理、等腰直角三角形19. 【答案】如图所示，连接AC．∵∠D=90∘，∴AC2=AD2+CD2，∵AD=8，CD=6，∴AC=10．又AC2+BC2=676，AB2=262=676，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴S四边形ABCD =S△ABC−S△ACD=12(24×10−6×8)=96．∴这块地的面积为96m2．【知识点】勾股逆定理20. 【答案】48．【知识点】勾股定理21. 【答案】(1) 略(2) 253．【知识点】勾股定理、勾股逆定理22. 【答案】连接AM，AN2−BN2=(AM2−MN2)−(BM2−MN2)=AM2−BM2=AM2−MC2=AC2．【知识点】勾股定理23. 【答案】设旗杆长为x米，则绳长为(x+1)米，则由勾股定理可得：52+x2=(x+1)2.解得x=12.答：旗杆的高度为12米．【知识点】勾股定理的实际应用24. 【答案】设AC=x．∵AC+AB=10，∴AB=10−x．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=(10−x)2．解得：x=4.55，即AC=4.55．【知识点】勾股定理的实际应用25. 【答案】根据勾股定理得，AB2=BC2+AC2，所以AB2=(AB−2)2+82，解得：AB=17，答：吸管的长度17cm．【知识点】勾股定理的实际应用。
勾股定理专题复习及题型讲解
勾股定理复习一、要点精练 （一）勾股定理1、(填空题)已知在Rt △ABC 中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______； ④若c=25，b=15，则a=________。
2、(填空题)已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10。
①若∠A=30°，则BC=______，AC=_______；②若∠A=45°，则BC=______，AC=_______。
3、 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）（A ）1,2,3 （B ）2,3,4 （C ）3,4,5 （D ）4,5,64、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A ）22d S d + （B 2d S d - （C ）222d S d + （D ）22d S d + 解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d =,12S ab =. 由勾股定理,得222a b c +=.所以()222222444a b a ab b c S d S +=++=+=+. 所以22a b d S +=+所以a b c ++=222d S d ++. 故选（C ）5、直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )（A ）61 （B ）71 （C ）81 （D ）91 解:因为a b a a b +>>-.根据题意,有()()222a b a b a +=-+. 整理,得24a ab =.所以4a b =. 所以3,5a b b a b b -=+=.即该直角三角形的三边长是3,4,5b b b . 因为只有81是3的倍数.故选（C ）6、在Rt ABC ∆中,3,5a c ==,则边b 的长为______.7、直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )（A ）61 （B ）71 （C ）81 （D ）91（二）勾股定理的验证及其验证过程的相关应用1、下图甲是任意一个直角三角形ABC ，它的两条直角边的边长分别为a 、b ,斜边长为c .如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形，放在边长为a +b 的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？ ②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？ ③图中（1）（2）的面积之和是多少？ ④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？ 由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？参考答案①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a 为边长的正方形，（2）是以b 为边长的正方形，（3）的四条边长都是c ，且每个角都是直角，所以（3）是以c 为边长的正方形.②图中（1）的面积为a 2,(2)的面积为b 2,(3)的面积为c 2. ③图中（1）（2）面积之和为a 2+b 2. ④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积. 因为图乙、图丙都是以a +b 为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a +b )2减去四个Rt △ABC 的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2、（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC 的两条直角边的长分别为AC =7，BC =4，请你研究这个直角三角形的斜边AB 的长的平方是否等于42+72？参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC=(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+72 3、如图2，以三角形ABC ∆的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为_____.解:根据题意，有123S S S +=，即222111222222a b c πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.整理,得222a b c +=.故此三角形为直角三角形.4、如图4，已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以ABC ∆的各边为边在ABC ∆外作三个正方形，123,,S S S 分别表示这三个正方形的面积，1281,225S S ==，则3_____.S = 解：由勾股定理，知222AC BC AB +=，即123S S S +=，所以3114S =． 5．如图5,已知，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长5,210AD BE ==，则斜边AB 之长为______. 解： AD 、BE 是中线，设,BC x AC y ==，由已知，图55,25AD BE ==，所以222240,25.22y x x y ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两式相加，得()225654x y +=，所以2252213.AB x y =+==（三）勾股定理的应用1、在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个 直角三角形的面积是（ ）（A ）30 （B ）40 （C ）50 （D ）60解：由勾股定理知，另一条直角边的长为2213125-=，所以这个直角三角形的面积为1125302⨯⨯=.2、如图1,一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( ) (A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8米 (D)0.9米解:依题设11 2.5,0.7AB A B BC ===.在Rt ABC ∆中,由勾股定理,得 22222.50.7 2.4AC AB BC =-=-= 由12.4,0.4AC AA ==,得11 2.40.42AC AC AA =-=-=. 在11Rt A B C ∆中, 由勾股定理,得222211112.52 1.5B C A B AC =-=-= 所以11 1.50.70.8BB B C BC =-=-=故选(C)3、如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.解：由勾股定理，知最短距离为()()222288210BD AC AB CD =+-=+-=.4、（四）直角三角形的判别图11、下列各组数中以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是A 、a=2，b=3,c=4B 、a=7,b=24,c=25C 、a=6,b=8,c=10D 、a=3,b=4,c=52、如果一个三角形的一条边是另一边的2倍，并且有一个角是ο30，那么这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定 3、4、如图，在等腰直角ABC ∆的斜边上取异于C B ,的两点F E ,,使,45ο=∠EAF 求证：以CF BE EF ,,为边的三角形是直角三角形。
中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案
中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案一、单选题1．线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．Ba= √41，b=4，c=5C．a= 34，b=1，c= 54D．a=40，b=50，c=602．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．65B．95C．125D．1653．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为（）A．16 B．2 C．32 D．1304．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在图中找出格点C，使得△ABC是腰长为无理数的等腰三角形，点C的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．75．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A=10，S B=8，S C=9，S D=4则下列判断不正确的是（）A．S E=18B．S F=13C．S M=31D．S M−S E=176．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.1B．√5C．2√2D．2√37．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么(a+b)2的值为（）.A．49 B．25 C．13 D．18．如图，在△ABC中∠C=60°，AC=4，BC=3 .分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN交AC于点D，则CD的长为（）A．1 B．75C．32D．3二、填空题9．如图，△ABC中AB=AC=10，BC=16，△ABC的面积是.10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4 √2，则BC＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是12．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为m．13．活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如已知△ABC中∠A=30°，AC=3，∠A所对的边为√3，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为三、解答题14．如图，点C在∠DAB内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，若AD＝5，求AB的长．15．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．AD＝1，BD＝4，CD＝2．求证：∠ACB＝90°．16．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C 点的距离．17．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，E为AC边上一点，且满足∠AED＝2∠DCB．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠B＝90°，AD＝6，AE＝9，求CE的长．18．如图，在正△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M（1）如图1，求∠BME的度数；（2）如图2，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H①求证：2MH+DM=AE；②若BE=2EC=2，求BH的长．答案1．D2．C3．A4．C5．D6．B7．A8．B9．4810．511．1.512．2.213．2√3或√314．解：解法一：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°在Rt△ABC与Rt△ADC中有AC=AC，CD=CB∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴AB=AD=5解法二：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°∵CD=CB∴由勾股定理得：AB= √AC2−BC2 = √AC2−CD2 =AD=515．证明：∵CD是△ABC的高∴∠ADC=∠BDC=90°．∵AD=1，BD=4，CD=2∴AC2=AD2+CD2=12+22=5，BC2=BD2+CD2=42+22=20，AB2=（1+4）2=25．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形∴∠ACB=90°．16．解：由勾股定理得；BC2=AC2−AB2=252−202=225∴BC=15（米）∵BD=AB−AD=20−12=8（米）∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=√DB2+BC2=√82+152=17∴此时小鸟到地面C点的距离17米．答；此时小鸟到地面C点的距离为17米．17．（1）证明：∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠DCB即∠ACB=2∠DCB又∵∠AED=2∠DCB∴∠ACB=∠AED∴DE//BC；（2）解：∵DE//BC∴∠EDC=∠BCD，∠B=∠ADE=90°∵∠BCD=∠ECD∴∠EDC=∠ECD∴ED=CE∵AD=6，AE=9∴DE=√AE2−AD2=√92−62=3√5∴CE=3√5．18．（1）解：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°又∵AD=CE ∴△ABD≌△CAE(SAS)∴∠BME=∠ABD+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°（2）解：①∵BH⊥AE ∠BME=60°∴∠HBM=30°∴BM=2MH∵△ABD≌△CAE ∴AE=BD=BM+MD=2MH+MD②过点E作EG⊥AB于点GBE=2EC=2 ∴AB=BC=3∴使用ABC=60°∴BG=1，AG=2，由勾股定理可得，GE= √3，AE= √7设HE=x，则AH= √7 -x由勾股定理得32-（√7 -x）2=22-x2解得x= √77再由勾般定理可得：BH= 3√21.7。
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (21)
一、选择题1. 如图，AB ，BC ，CD ，DE 是四根长度均为 5 cm 的火柴棒，点 A 、 C 、 E 共线．若 AC =6 cm ，CD ⊥BC ，则线段 CE 的长度是 ( )A ． 6 cmB ． 7 cmC ． 6√2 cmD ． 8 cm2. 在下列长度的各组线段中，不能组成直角三角形的是 ( )A ． 1，√3，√5B ． √3，√6，3C ． 10，8，6D ． 7，24，253. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面 3 尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为 6 尺，则水深 ( )A ． 3.5 尺B ． 4 尺C ． 4.5 尺D ． 5 尺4. 正方形 ABCD 的边长为 1，其面积记为 S 1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为 S 2，⋯ 按此规律继续下去，则 S 2019 的值为 ( )A ． (12)2019B ． (12)2018C ．(√22)2019 D ．(√22)20185. 如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C ´ 上，若 AB =6，BC =9，则 BF 的长为 ( )A．4B．3√2C．4.5D．56.如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为( )A．6B．12C．6πD．12π7.如图，反比例函数y=kx(k>0)的图象与矩形AOBC的边AC，BC分别相交于点E，F，点C的坐标为(8,6)，将△CEF沿EF翻折，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为( )A．214B．6C．12D．2128.如图，将一根长为8cm(AB=8cm)的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端A和B，然后把中点C竖直地向上拉升3cm至D点，则拉长后橡皮筋的长度为( )A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm9.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )A．20B．25C．30D．3210.如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是( )A．8B．10√2C．15√2D．20√2二、填空题11.若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为．12.定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，如果Rt△ABC是奇异三角形，那么a:b:c=．13.如图所示的网格是正方形网格，则∠CBD+∠ABC=∘（点A，B，C，D是网格线交点）．14.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为．15.如图，圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是．（结果保留根式）16.如图，在Rt△ACB中，∠C=90∘，BC=4，AB=5，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD=．17.已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD=√5，∠BPD=90∘，则点A到BP的距离等于．三、解答题18.阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？(1) 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：（用含字母a，b，c的式子表示）；化简证得勾股定理：a2+b2=c2．(2) 【初步运用】（1）如图1，若b=2a，则小正方形面积∶大正方形面积=；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a=4，b=6，此时空白部分的面积为．(3) 【迁移运用】如果用三张含60∘的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60∘的三角形三边a，b，c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60∘的直角三角形，对边y∶斜边x=定值k．19.在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1．(1) 在图（1）中画出长度为√17的线段，要求线段的端点在格点上．(2) 在图（2）中画出一个三条边长分别为3，2√2，√5的三角形，使它的端点都在格点上．20.如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC，AB于点D，E．(1) 求证：△ABC为直角三角形；(2) 求AE的长．21.在如图所示的4×4的方格中，每个小正方格的边长都为1．(1) 在图中画△ABC，使AB=2√2，BC=3，AC=√5；(2) 作出AC边上的高线BH，并求BH的长．22.在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=a，AC=b，AB=c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90∘，180∘和270∘，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．(1) 请利用这个图形证明勾股定理；(2) 请利用这个图形说明a2+b2≥2ab，并说明等号成立的条件；(3) 请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？23.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h．一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到点C处，有一车速检测仪在路对面的30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离变为50m．这辆小汽车超速了吗？24.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：(1) FC的长；(2) EF的长.25.阅读材料，回答问题：(1) 中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90∘，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是．(2) 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S△ABC=12ab，S正方形ABDE=c2，S正方形MNPQ=，且=，∴(a+b)2=4×12ab+c2，整理得a2+2ab+b2=2ab+c2，∴．(3) 如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求BE的长．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】由题意知，AB=BC=CD=DE=5cm，AC=6cm，过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，则∠BMC=∠CND=90∘，AM=CM=12AC=12×6=3，CN=EN，∵CD⊥BC，∴∠BCD=90∘，∴∠BCM+∠CBM=∠BCM+∠DCN=90∘，∴∠CBM=∠DCN，在△BCM和△CDN中，{∠CBM=∠DCN,∠BMC=∠CND, BC=DC,∴△BCM=△CDN(AAS)，∴BM=CN，在Rt△BCM中，∵BC=5，CM=3，∴BM=√BC2−CM2=√52−32=4，∴CN=4，∴CE=2CN=2×4=8．【知识点】等腰三角形“三线合一”、勾股定理2. 【答案】A【知识点】勾股逆定理3. 【答案】C【解析】如答图，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，即AC为红莲的长．设水深 ℎ 尺，由题意得在 Rt △ABC 中，AB =ℎ，AC =ℎ+3，BC =6， 由勾股定理得 AC 2=AB 2+BC 2， 即 (ℎ+3)2=ℎ2+62，解得 ℎ=4.5．【知识点】勾股定理的实际应用4. 【答案】B【解析】在图中标上字母 E ，如图所示．∵ 正方形 ABCD 的边长为 1，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2+CE 2=CD 2，DE =CE ， ∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=12=1，S 2=12S 1=12，S 3=12S 2=14，S 4=12S 3=18，⋯， ∴S n =(12)n−1，当 n =2019 时，S 2019=(12)2019−1=(12)2018，故选：B ．【知识点】勾股定理、用代数式表示规律5. 【答案】A【知识点】勾股定理之折叠问题6. 【答案】A【解析】 ∵△ABC 是直角三角形，AC =3，BC =4， ∴AB 2=AC 2+BC 2， ∴AB =5．∵S 阴影=S 半圆BC +S 半圆AC +S △ABC −S 半圆AB=12π×(BC 2)2+12π×(AC 2)2+12AC ⋅BC −12π×(AB 2)2=6.【知识点】勾股定理7. 【答案】D【解析】∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的M点处，∴∠EMF=∠C=90∘，EC=EM，CF=MF，∴∠DME+∠FMB=90∘，而ED⊥OB，∴∠DME+∠DEM=90∘，∴∠DEM=∠FMB，∴Rt△DEM∼Rt△BMF，又∵EC=AC−AE=8−k6，CF=BC−BF=6−k8，∴EM=8−k6，MF=6−k8，∴EMMF =8−k66−k8=43；∴ED:MB=EM:MF=4:3，而ED=6，∴MB=92，在Rt△MBF中，MF2=MB2+BF2，即(6−k8)2=(92)2+(k8)2，解得k=212．【知识点】反比例函数与四边形综合、勾股定理之折叠问题8. 【答案】B【解析】Rt△ACD中，AC=12AB=4cm，CD=3cm，根据勾股定理，得：AD=√AC2+CD2=5cm，同理可得BD=5cm，∴AD+BD=10cm，故拉长后橡皮筋的长度为10cm，故选B．【知识点】勾股定理的实际应用9. 【答案】B【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√152+202=25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√102+252=5√29；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB=√AC2+BC2=√302+52=5√37；∵25<5√29<5√37，∴蚂蚁爬行的最短距离是25．【知识点】勾股定理的实际应用10. 【答案】D【知识点】圆锥的展开图、勾股定理、平面展开-最短路径问题二、填空题11. 【答案】√2【知识点】勾股定理12. 【答案】1:√2:√3【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=c，AC=b，BC=a，∴根据勾股定理得：c2=a2+b2，记作①，又Rt△ABC是奇异三角形，∴2a2=b2+c2, ⋯⋯②将①代入②得：a2=2b2，即a=√2b（不合题意，舍去），∴2b2=a2+c2, ⋯⋯③将①代入③得：b2=2a2，即b=√2a，将b=√2a代入①得：c2=3a2，即c=√3a，则a:b:c=1:√2:√3．【知识点】勾股定理13. 【答案】45【解析】取格点F，连接FB=FD，设网格正方形边长为1，所以BF=√22+32=√13，DF=√22+32=√13，BD=√12+52=√26，所以BF2+DF2=13+13=26，BD2=(√26)2=26所以BF2+DF2=BD2，且BF=DF，所以△BDF是等腰直角三角形，所以∠FBD=45∘，由图可知，∠ABC=∠FBC，所以∠ABC+∠CBD=∠FBC+∠CBD=∠FBD=45∘．【知识点】勾股定理、等腰直角三角形、勾股逆定理14. 【答案】42或32【解析】此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5．∴BC=5+9=14，∴△ABC的周长为：15+13+14=42．（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5，∴BC=9−5=4，∴△ABC的周长为：15+13+4=32，∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．【知识点】勾股定理15. 【答案】8√2【解析】该圆锥的侧面展开图是一个半径为8，弧长为4π的扇形，如答图所示，所以圆心角∠AOAʹ=90∘，从展开图上可以看出小虫爬行的最短距离应为弦AAʹ的长，由勾股定理可得为8√2．【知识点】平面展开-最短路径问题、勾股定理16. 【答案】53【解析】过D作DE⊥AB，垂足为E，如图所示，∵BD平分∠ABC，∠C=90∘，∴DE=DC，∵BC=4，AB=5，∴AC=√AB2−BC2=√52−42=3，∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，∴12AB⋅DE+12BC⋅DC=12BC⋅AC，∴ 12×5⋅DC +12×4⋅DC =12×3×4， 解得，DC =43，∴ AD =AC −CD =3−43=53，故答案为：53．【知识点】勾股定理17. 【答案】3√3+√52或3√3−√52【解析】 ∵ 点 P 满足 PD =√5，∴ 点 P 在以 D 为圆心，√5 为半径的圆上， ∵∠BPD =90∘，∴ 点 P 在以 BD 为直径的圆上， ∴ 如图，点 P 是两圆的交点，若点 P 在 AD 上方，连接 AP ，过点 A 作 AH ⊥BP ， ∵CD =4=BC ，∠BCD =90∘， ∴BD =4√2， ∵∠BPD =90∘，∴BP =√BD 2−PD 2=3√3， ∵∠BPD =90∘=∠BAD ，∴ 点 A ，点 B ，点 D ，点 P 四点共圆， ∴∠APB =∠ADB =45∘，且 AH ⊥BP ， ∴∠HAP =∠APH =45∘， ∴AH =HP ，在 Rt △AHB 中，AB 2=AH 2+BH 2， ∴16=AH 2+(3√3−AH)2， ∴AH =3√3+√52（不合题意），或 AH =3√3−√52， 若点 P 在 CD 的右侧，同理可得 AH =3√3+√52．综上所述：AH=3√3+√52或3√3−√52．【知识点】判断四点共圆的方法、勾股定理三、解答题18. 【答案】(1) (a+b)2=c2+4×12ab(2) 5∶9；28(3) 结论：a2+b2−ab=c2．理由：大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，即12(a+b)×k(a+b)=3×12×b×ka+12×c×ck，∴(a+b)2=3ab+c2，∴a2+b2−ab=c2．【知识点】勾股定理之折叠问题、勾股定理、等边三角形面积公式19. 【答案】(1) 如图（1）所示，线段AB即为所求：(2) 如图（2）所示，△CDE即为三边长分别为3，2√2，√5的三角形．【知识点】勾股定理20. 【答案】(1) 由已知可得AC=3，AB=4，BC=5，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC为直角三角形．(2) 连接CE，如图，设AE=x，则BE=4−x，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，在Rt△AEC中，x2+32=(4−x)2，x=78，∴AE长为78．【知识点】垂直平分线的性质、勾股定理、勾股逆定理21. 【答案】(1) 如图所示：△ABC即为所求．(2) S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BH，∴12×3×2=12×√5×BH∴BH=6√55．【知识点】一般三角形面积公式、勾股定理22. 【答案】(1) ∵边长为c的正方形面积为c2，它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为(a−b)的小正方形组成的，它的面积为4×12ab+(a–b)2=a2+b2，∴c2=a2+b2．(2) ∵(a−b)2≥0，∴a2+b2−2ab≥0，∴a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．(3) 依题意得2(x+y)=8，∴x+y=4，长方形的面积为xy，由（2）的结论知2xy≤x2+y2=(x+y)2−2xy，∴4xy≤(x+y)2，∴xy≤4，当且仅当x=y=2时，长方形的面积最大，最大面积是4．【知识点】勾股定理、完全平方公式23. 【答案】在Rt△ABC中，BC2=AB2−AC2=502−302=402，所以BC=40m，所以小汽车的速度是40÷2=20(m/s)．即小汽车的速度是72km/h，故小汽车超速了．【知识点】勾股定理的实际应用24. 【答案】(1) 由题意，得AF=AD=10(cm)，在Rt△ABF中，∵AB=8，∴BF=√AF2−AB2=6(cm)，∴FC=BC−BF=10−6=4(cm)．(2) 由题意，得EF=DE，设DE的长为x，则EC=8−x，在Rt△EFC中，由勾股定理，得(8−x)2+42=x2，解得x=5，即EF的长为5cm．【知识点】勾股定理之折叠问题25. 【答案】(1) a2+b2=c2(2) (a+b)2；S；4S△ABC+S正方形ABDE；a2+b2=c2正方形MNPQ(3) ∵矩形ABCD折叠后点C与点A重合，∴AE=CE．设AE=x，则BE=8−x．在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+BE2=AE2，即42+(8−x)2=x2，解得x=5，∴BE=8−5=3．【知识点】勾股定理、勾股定理之折叠问题。
中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题(含答案解)
中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题（含答案解） 知识点总结1. 勾股民定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。
若直角三角形的两直角边是b a ，，斜边是c ，则222b a c +=。
2. 勾股数：满足直角三角形勾股定理的三个正整数是一组勾股数。
3. 勾股定理的逆定理：若三角形的三条边分别是c b a ，，，且满足222b a c +=，则三角形是直角三角形，且∠C 是直角。
4. 特殊三角形三边的比：①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：2:3:1。
②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：2:1:1。
5. 两点间的距离公式：若点()11y x A ，与点()22y x B ，，则线段AB 的长度为：()()221221y y x x AB −+−=。
练习题 1、（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC ．若OC ＝，BC ＝1，∠AOB ＝30°，则OA 的值为（ ）A ．3B ．23C ．2D ．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝，故选：A．2、（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．603m C．605m D．1203m【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB ＝2BC ＝120m ，∴AC ＝＝m ． 故选：B ．3、（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，∠A 所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）A ．23B ．23﹣3C ．23或3D ．23或23﹣3【分析】根据题意知，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH ，AH 的长，再利用勾股定理求出BH ，从而得出答案．【解答】解：如图，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，∴DH ＝BH ，∵∠A ＝30°，∴CH ＝AC ＝，AH ＝CH ＝，在Rt △CBH 中，由勾股定理得BH ＝＝，∴AB ＝AH +BH ＝＝2，AD ＝AH ﹣DH ＝＝， 故选：C ． 4、（2022•荆州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，通过尺规作图得到的直线MN 分别交AB ，AC 于D ，E ，连接CD ．若CE ＝31AE ＝1，则CD ＝ ．【分析】如图，连接BE ，根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，从而得到AE ＝BE ＝3，然后利用勾股定理求出BC ，AB ，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．【解答】解：如图，连接BE ，∵CE ＝AE ＝1，∴AE ＝3，AC ＝4，而根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ＝3，在Rt △ECB 中，BC ＝＝2，∴AB ＝＝2， ∵CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，∴CD ＝AB ＝．故答案为：． 5、（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于21AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．25B ．3C ．22D ．310 【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝＝＝10， ∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴＝， ∴＝，∴AE ＝，故选：A ．6、（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（ ）A ．42B ．6C ．210D ．35【分析】在网格中，以MN 为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM 最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．7、（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：＝，点O到学校的距离为：＝，点O到体育场的距离为：＝，点O到医院的距离为：＝，∵＜＝＜，∴点O到超市的距离最近，故选：A．8、（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE 的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（）A．14B．15C．4D．17【分析】方法一：根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，然后根据全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得CE的长．【解答】解：方法一：作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四边形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故选：D．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，如图所示，∵BD＝DE＝2，∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BDF＝90°，EF＝4，∴△BDE≌△BDF（SAS），∴BE＝BF，∠BEA＝∠BF A＝45°，∵∠EBA+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠EBA＝∠FBC，∵BE＝BF，BA＝BC，∴△EBA≌△FBC（SAS），∴∠BEA＝∠BFC＝45°，AE＝CF，∴∠CFE＝∠BFC+∠AFB＝90°，∵点A为DE的中点，∴AE＝1，∴CF＝1，∴EC＝＝＝，故选：D．9、（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝4，∴斜边c＝＝＝＝2，故答案为：2．10、（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE ∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故选项A错误；故选：A．11、（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得AP的长度．【解答】解：当∠A＝30°时，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CP A＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CP A＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CP A，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．12、（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．13、（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．14、（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH ＝BG＝x，结合图形得出AE＝x﹣1，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．15、（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案为：m2+1．16、（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．【解答】解：设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝20cm，∴DO＝BD＝10（cm），在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），∵34.64cm＜36cm，∴橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会．17、（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．18、（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝，故答案为：．。
中考数学专题复习：勾股定理的应用
中考数学专题复习：勾股定理的应用一、单选题1．如图，一根长5米的竹竿斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为4米．如果竹竿的顶端A 沿墙下滑1米，竹竿底端B外移的距离BD（）A．等于1米B．大于1米C．小于1米D．以上都不对1题图2题图5题图6题图2．如图，将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）．A．9cm≤h≤10cm B．10cm≤h≤11cm C．12cm≤h≤13cm D．8cm≤h≤9cm3．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能判断4．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是( )．A．8米B．10米C．12米D．14米5．如图是台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是30 cm，每级台阶的高度都是15 cm，连接AB，则AB等于( )A．195 cm B．200 cm C．205 cm D．210 cm6．如图，带阴影的长方形面积是（）A．9 cm2B．24 cm2C．45 cm2D．51 cm27．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm. 若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一周到达Q点，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A．11 cm B．12 cm C．13cm D．15 cm8．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的高度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺二、填空题9．在高5cm,长13cm的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面如图所示，地毯的长度至少需要________m.10．如图，一旗杆被大风刮断，旗杆的顶部着地点到旗杆底部的距离为4m，折断点离旗杆底部的高度为3m，则旗杆的高度为______m.11．求图中直角三角形中未知的长度:b=________，c=________.12．如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为________．13．如图所示，∠ADC=90°，AD=9，CD=12，AB=20，BC=25，则该图形的面积是________.14．如图：已知：AM MN ⊥，BN MN ⊥，垂足分别为M 、N ，点C 是MN 上使AC BC +的值最小的点．若3AM =，5BN =，15MN =，则AC BC +=________．15．如图示（单位：mm ）的矩形零件上两孔中心A 和B 的距离为________mm ．16．如图,一圆柱高8cm ,底面圆半径为6πcm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程是________cm ．三、解答题17．一块木板如图所示,已知AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,∠B=90°,木板的面积是多少？18．古代曾有人提出“荷花问题”，该问题是：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题.19．如图所示，如果只给你一把带有刻度的直尺，你是否能检验∠MPN是不是直角？简述你的作法，并说明理由.20．在一棵树的10米高处D有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A，另一只猴子爬到树顶C后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过距离相等，试问这棵树有多高．21．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池.该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”，中间可供滑行部分的截面是半径为8m 的半圆，其边缘20AB CD ==m ，点E 在CD 上，2CE =m.一滑板爱好者要从A 点滑到E 点，则他滑行的最短距离是多少?（边缘部分的厚度忽略不计，π取3）22．如图，在∠ABC 中，∠ABC=45°，CD∠AB ，BE∠AC ，垂足分别为D ，E ，F 为BC 中点，BE 与DF ，DC 分别交于点G ，H ，∠ABE=∠CBE ．（1）线段BH 与AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG 2﹣GE 2=EA 2．参考答案1．A【分析】根据题意要求出下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得BO和DO的长即可．【详解】解：由题意得：在Rt∠AOB中，OA=4米，AB=5米，=3米，在Rt∠COD中，OC=3米，CD=5米，米，∠AC=OD-OB=1米．故选A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理是解题的关键．2．A【详解】设杯子中筷子长度为xcm,∠将一根长为22cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，∠筷子露在杯子外面的长度最长为：在杯子中筷子最短是等于杯子的高；筷子露在杯子外面的长度最短为：在杯子中筷子最长是等于杯子斜边长度，∠当杯子中筷子最短是等于杯子的高时，x=12，则h最大值为：22-12=10cm,当杯子中筷子最长时等于杯子斜边长度是：13=,则h最小值为22-13=9cm;∠9cm≤h≤10cm;故选A．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键．3．A【解析】试题分析：设原直角三角形的两直角边长为a、b，斜边长为c，由勾股定理可得a2+b2=c2，求出扩大n倍后的各边的边长，看是否满足勾股定理，若满足，则根据勾股定理的逆定理可得，该三角形是直角三角形．设原直角三角形的两直角边长为a、b，斜边长为c，则，直角三角形的各边扩大n倍后直角三角形的两直角边长为na、nb，斜边长为nc．在原直角三角形中，由勾股定理得：a2+b2=c2，即n2a2+n2b2=n2（a2+b2）=n2c2，根据勾股定理的逆定理可得：扩大后的三角形是直角三角形，所以，得到的三角形一定是直角三角形．考点：本题主要考查了直角三角形的性质点评：解答本题的关键在于灵活运用勾股定理及勾股定理的逆定理．4．C【详解】画出示意图如下所示：设旗杆的高AB为xm,则绳子AC的长为(x+1)m，在Rt∠ABC中,AB2+BC2=AC2，∠x2+52=(x+1)2，解得：x=12，∠AB=12m，即旗杆的高是12m．故选C．5．A【详解】试题解析：如图，由题意得：AC=15×5=75cm，BC=30×6=180cm，故．故选A．6．C【解析】试题解析：由图可知，∠ABC是直角三角形，∠AC=8cm，BC=12cm，∠AB=2222--=15cm，BC AC=178∠S阴影=15×3=45cm2．故选C．7．C【分析】如图，将长方体的侧面展开，连接PQ，根据两点之间线段最短可知线段PQ的长即为所求的最短距离，再由勾股定理求PQ的长即可.【详解】将长方体的侧面展开，如图，连接PQ，则PQ的长即所求的最短距离，由题意可知，PA=2×(4+2)=12（cm），QA=5cm.在RtΔPAQ中，由勾股定理得，PQ2=PA2+QA2=122+52=132，∠PQ=13cm.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体图形转化成平面图形，根据两点之间线段最短确定线段PQ 的长即为最短距离是解决问题的关键．8．D【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x 尺，根据勾股定理解答．【详解】解：设水深为x 尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得：22210(1)2x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，解得：x=12，所以芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），故选：D ．【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 9．17【分析】在此类题中，利用平移线段，把楼梯的横竖向下向右平移，构成一个直角三角形的两直角边，利用勾股定理解题．【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向下向右平移，构成一个直角三角形的两直角边；则另一直角边长，所以地毯的长度为12+5=17米故答案为17【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解决此题的关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算10．8【详解】由勾股定理得，5BC = ,∠旗杆的高度为:358AB BC +=+= (米).11．12 26【解析】试题解析：在直角三角形中，根据勾股定理得：=12；．12．150cm【解析】试题解析：如图，彩色丝带的总长度为2290120+=150cm.13．204【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出ΔABC为直角三角形，分别求出∠ABC和∠ADC的面积，即可得出答案．【详解】连接AC，在RtΔACD中，AC2=AD2+CD2=92+122=225，所以AC=15.在ΔABC中，因为AC2+AB2=152+202=225+400=625=252=BC2，所以ΔABC为直角三角形，且∠BAC=90°.所以该图形的面积为SΔABC+SΔADC=12AC⋅AB+12AD⋅CD=12×15×20+12×9×12=204.【点睛】此题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，解题关键在于求出AC.14．17【分析】以MN为对称轴作A点对称点A′，连接A′B交MN于C，则A′B就是AC+BC最小值，延长BN使ND=A′M，连接A′D；根据矩形的判定得到四边形A′DNM是矩形，由矩形的性质得ND，A′D的长，在Rt∠A′BD 中运用勾股定理求得A′B的长，即可求得AC+BC的最小值．【详解】解：作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，则AC+BC=A′C+BC=A′B，A′B就是AC+BC的最小值；延长BN使ND=A′M，连接A′D，∠AM∠MN，BN∠MN，∠AA′∠BD.∠ND=A′M，∠四边形A′DNM是平行四边形，∠AM∠MN，∠∠AMC=90°，∠∠A′MC=90°，∠四边形A′DNM是矩形，∠ND=AM=3，A′D=MN=15，∠BD=BN+ND=5+3=8，，∠AC+BC=17．故答案为：17.【点睛】本题考查用轴对称求最短路线问题，勾股定理，涉及到的知识点有：轴对称的性质、矩形的判定和性质，勾股定理等.15．100【解析】试题解析：∠AC=120-60=60mm，BC=140-60=80mm，（mm）．16．10【分析】根据两点之间线段最短的知识将圆柱的侧面展开并连接AB 即可得解.【详解】如下图所示：将圆柱的侧面展开，连接AB 即可得到爬行的最短路程.底面圆周长为62212C r cm πππ==⨯⨯=，底面半圆弧长为162C cm =，根据题意，展开得86BC cm AC cm ==，，根据勾股定理得10AB cm ==，故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短，解题的关键是根据题意画出展开图，画曲面问题为平面问题．17．24【分析】连接AC ，利用勾股定理解出直角三角形ABC 的斜边，通过三角形ACD 的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差．【详解】连接AC ，∠在∠ABC 中，AB=4，BC=3，∠B=90°，∠AC=5，∠在∠ACD 中，AC=5，DC=12，AD=13，∠DC 2+AC 2=122+52=169，AD 2=132=169，∠DC 2+AC 2=AD 2，∠ACD 为直角三角形，AD 为斜边，∠木板的面积为：S ∠ACD -S ∠ABC =12×5×12-12×3×4=24． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息画图是解题的关键． 18．水深3.75尺．【分析】先根据题意构造出直角三角形（即荷花的折断与不断时恰好构成直角三角形），再根据已知条件求解．【详解】解：设水深x尺，则荷花茎的长度为x+0.5，根据勾股定理得：（x+0.5）2=x2+4解得：x=3.75．答：湖水深3.75尺．【点睛】本题的关键是读懂题意，找出题中各个量之间的关系，建立等式进行求解．19．能检查，理由见解析.【详解】试题分析：能检查，（1）在射线PM上量取P A=3cm，确定A点，在射线PN上量取PB=4cm，确定点B；（2）连接AB得∠P AB；（3）用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰好等于5cm，则说明∠P是直角，否则∠P就不是直角.能检查.作法：如图所示，（1）在射线PM上量取P A=3cm，确定A点，在射线PN上量取PB=4cm，确定点B；（2）连接AB得∠P AB；（3）用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰好等于5cm，则说明∠P是直角，否则∠P就不是直角.理由：∠P A=3cm，PB=4cm，若AB=5cm，则P A2+PB2=AB2，根据勾股定理的逆定理可得∠P AB是直角三角形，即∠P是直角.点睛：本题关键利用勾股定理逆定理解题.20．树高为15m.【分析】设树高BC为xm，则可用x分别表示出AC，利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得x的值．【详解】解：设树高BC为xm，则CD=x-10，则题意可知BD+AB=10+20=30，∠AC=30-CD=30-（x-10）=40-x，∠∠ABC为直角三角形，∠AC 2=AB 2+BC 2，即（40-x ）2=202+x 2，解得x=15，即树高为15m ，【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，用树的高度表示出AC ，利用勾股定理得到方程是解题的关键．21．30m【分析】如图，把“半圆柱” 展开后，连接AE ，根据“两点之间线段最短”可知线段AE 的长即为最短距离，再由勾股定理求得AE 的长即可．【详解】如图所示由题意可知,88324AD π==⨯=（m ），20218DE DC CE =-=-=（m ）.在R ADE ∆中，由勾股定理得,222221824900AE DE AD =+=+=，∠30AE =m ，即他滑行的最短距离是30 m.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把“半圆柱” 展开，根据两点之间线段最短确定线段AE 的长即为最短距离是解决问题的关键．22．（1）线段BH 与AC 相等．证明见解析；（2）见解析【分析】(1)、根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC ，∠ABE=∠DCA ，推出DB=CD ，根据ASA 证出∠DBH∠∠DCA 即可；(2)、根据DB=DC 和F 为BC 中点，得出DF 垂直平分BC ，推出BG=CG ，根据BE∠AC 和∠ABE=∠CBE 得出AE=CE ，在Rt∠CGE 中，由勾股定理即可推出答案．【详解】解：(1)、BH=AC ，理由如下：∠CD∠AB ，BE∠AC ，∠∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∠∠ABC=45°，∠∠BCD=180°﹣90°﹣45°=45°=∠ABC∠DB=DC ，∠∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∠∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∠∠HBD=∠ACD∠在∠DBH 和∠DCA 中BDH CDA BD CD HBD ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠DBH∠∠DCA （ASA ），∠BH=AC ．(2)、连接CG ，由(1)知，DB=CD ，∠F 为BC 的中点，∠DF 垂直平分BC ，∠BG=CG ，∠∠ABE=∠CBE ，BE∠AC ，∠EC=EA ，在Rt∠CGE 中，由勾股定理得：CG 2﹣GE 2=CE 2，∠CE=AE ，BG=CG ，∠BG 2﹣GE 2=EA 2．考点：(1)、全等三角形的判定与性质；(2)、线段垂直平分线的性质；(3)、勾股定理．。
七上期末专题复习—勾股定理
A BC a b c弦股勾七年级上册期末复习数学学案专题复习 勾股定理 （总第107课时）【学习目标】1、明确勾股定理及其逆定理的内容.2、能利用勾股定理及逆定理解决实际问题. 【学习重点】勾股定理及逆定理的应用【学习难点】灵活运用勾股定理及逆定理解决实际问题 一、知识要点1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ·CD=AC ·BC2. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（4）如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 5.直角三角形的性质CA BD （1）直角三角形的两个锐角互余。
勾股定理及二次根式综合复习（含答案）
勾股定理及⼆次根式综合复习（含答案）勾股定理及⼆次根式复习⼀、知识梳理：（⼀）勾股定理：1、勾股定理定义：如果直⾓三⾓形的两直⾓边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.即直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅勾：直⾓三⾓形较短的直⾓边股：直⾓三⾓形较长的直⾓边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三⾓形的三边长a ，b ，c 有下⾯关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。
2. 勾股数：满⾜a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15；5,12,13 3. 判断直⾓三⾓形：如果三⾓形的三边长a 、b 、c 满⾜a 2+b 2=c 2 ，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形。
（经典直⾓三⾓形：勾三、股四、弦五）其他⽅法：（1）有⼀个⾓为90°的三⾓形是直⾓三⾓形；（2）有两个⾓互余的三⾓形是直⾓三⾓形。
⽤它判断三⾓形是否为直⾓三⾓形的⼀般步骤是：（1）确定最⼤边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直⾓的三⾓形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三⾓形为钝⾓三⾓形（其中c 为最⼤边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三⾓形为锐⾓三⾓形（其中c 为最⼤边）4.注意：（1）直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半（2）在直⾓三⾓形中，如果⼀个锐⾓等于30°，那么它所对的直⾓边等于斜边的⼀半。
（3）在直⾓三⾓形中，如果⼀条直⾓边等于斜边的⼀半，那么这条直⾓边所对的⾓等于30°。
5. 勾股定理的作⽤：（1）已知直⾓三⾓形的两边求第三边；（2）已知直⾓三⾓形的⼀边，求另两边的关系；（3）⽤于证明线段平⽅关系的问题；（4）利⽤勾股定理，作出长为n 的线段. （⼆）⼆次根式：1.⼆次根式的概念：形如a （a≥0）的式⼦叫做⼆次根式（⼆次根式中，被开⽅数⼀定是⾮负数，否则就没有意义，并且根式a ≥0）2.最简⼆次根式：同时满⾜：①被开⽅数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开⽅数中不含能开得尽⽅的因数或因式．这样的⼆次根式叫做最简⼆次根式． 3. 同类⼆次根式：⼏个⼆次根式化成最简⼆次根式后，如果被开⽅数相同，这⼏个⼆次根式就叫同类⼆次根式． 4．⼆次根式的性质：①a a ≥≥00（）②()a a a 20=≥（）③a aa aaa a200==>=-<||（）（）（）④ab a b a b=?≥≥（，）00⑤babaa b=>≥（，）005．分母有理化及有理化因式：把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有⼆次根式的代数式相乘，?若它们的积不含⼆次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．6.⼆次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开⽅数中有的因式能够开得尽⽅，那么，就可以⽤它的算术根代替⽽移到根号外⾯；如果被开⽅数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外⾯，反之也可以将根号外⾯的正因式平⽅后移到根号⾥⾯．（2）⼆次根式的加减法：先把⼆次根式化成最简⼆次根式再合并同类⼆次根式．（3）⼆次根式的乘除法：⼆次根式相乘（除），将被开⽅数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开⽅数并将运算结果化为最简⼆次根式．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适⽤于⼆次根式的运算．7.使分母不带根号（分母有理化）常⽤⽅法：①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后，其结果不再含根号的因式。
人教版初二数学下册 勾股定理与折叠问题 复习专题
《勾股定理与折叠问题》复习专题一、知识回顾勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2即22b c a=-=-，22c a b=+，22a c b知道直角三角形三边中的两边，就能求出第三边；如果只知道直角三角形三边中的一边，能求出另外两条边吗？例1、在平静的湖面上，有一枝荷花，高出水面1米．一阵风吹过来，荷花被吹到一边，花朵齐及水面．已知荷花移动的水平距离为2米，问这里的水深多少米？例2、若一个直角三角形的一条直角边长是5cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（）cm．A．10B．11C．12D．131、一直角三角形的斜边比一直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长是（）A、8B、10C、12D、142、直角三角形有一条直角边为6，另两条边长为连续的偶数，则该三角形的周长为（）A、20B、22C、24D、263、升旗仪式的时候，小明突发奇想，想知道学校旗杆的高度。
放学后，他观察到旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与地面接触，则旗杆的高度为（）A、11米B、12米C、13米D、14米4、小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，求河水的深度是多少？5、小东拿一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？二、折叠问题解题心得：1、看见“折叠”、“翻折”就要想全等，把题目的数据标在图上2、设折叠的一条边为x（不要设折痕）3、根据勾股定理列方程，然后解答例1、有一块直角三角形纸片，两直角边AC=12cm，BC=16cm，现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则DE的长度为_________例2、已知，矩形ABCD中，E在AB上，把△BEC沿CE对折。
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (41)
一、选择题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=9，点D为BC边上的中点，将△ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点Cʹ处，连接BCʹ，则BCʹ的长为( )A．92B．275C．3√2D．2√32.如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC=5，CD=3，则BD的长为( )A．1B．2C．3D．43.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A．5，12，14B．6，8，10C．7，24，25D．8，15，174.下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是( )A．1，√2，√3B．√3，√4，√5C．5，4，3D．1.5，2，2.55.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．2，3，4D．1，√2，36.如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2m，则树高为( )米．A．1B．−3C．+1D．37.如图，在正方形网格中，每个小正方形的方格的边长均为1，则点A到边BC的距离为( )A．35√5B．23√2C．32√2D．3√28.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=6，AC=2，CD⊥AB于D，设∠ACD=α，则cosα的值为( )A．2√23B．√22C．2√2D．139.一个直角三角形的两直角边长分别为3，4，则第三边长是( )A．3B．4C．5D．5或√710.在下列各组数据中，不能作为直角三角形三边边长的是( )A．3，3，3B．3，4，5C．5，12，13D．6，8，10二、填空题11.圆锥的高为2√15cm，母线长为8cm，则侧面展开图扇形圆心角为度．12.如图，一只蚂蚁从长为7 cm、宽为5 cm，高是9 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是cm．13.等腰直角三角形的一条直角边为1cm，则它的斜边上的高为cm．14.如图，点M，N分别在∠AOB的边OA，OB上，将∠AOB沿直线MN翻折，设点O落在点P处，如果当OM=4，ON=3时，点O，P的距离为4，那么折痕MN的长为．15.如图，方格纸中的每一个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，则图中阴影正方形的边长是．16.圆锥底面的半径为5cm，高为12cm，则圆锥的侧面积为cm2．17.若直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的边长．三、解答题18.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何”．大意是说，已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？19.如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A距地面的垂直高度为8米，梯子的顶端下滑2米后到达E点，底端也水平滑动2米吗？试说明理由．20.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=1，CD=√3，DA=1，且∠B=90∘．求：(1) ∠BAD的度数；(2) 四边形ABCD的面积（结果保留根号）．21.在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯AB，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙角C的距离为7米．(1) 求这个梯子的顶端离地面的距离AC有多高？(2) 如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后（云梯长度不变），测得BD长为8米，那么云梯的顶部下滑了多少米？22.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化，类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can）．如图1，在△ABC中，AB=AC，底角B的邻对记作canB，这时canB=底边腰=BCAB，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的．根据上述角的邻对的定义，解答下列问题：(1) can30∘=．(2) 如图2，在△ABC中，AB=AC，canB=85，S△ABC=24，求△ABC的周长．23.如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可．24.如图，点A，B，C都在网格的格点上，每小方格是边长为1个单位长度的正方形，利用格点和直尺画图并填空．(1) 画出格点△ABC关于直线MN轴对称的△AʹBʹCʹ．(2) 画出△ABC中BC边上的高线AD．(3) 若AB=5，点P是AB上一点，则CP的最小值为．25.如图，在四边形ABCD中，∠D=90∘，AD=3，DC=4，AB=12，BC=13．求四边形ABCD的面积．答案一、选择题1. 【答案】B【解析】设CCʹ交AD于E，如图：∵点D为BC边上的中点，BC=9，∴CD=BD=4.5，∵将△ACD沿AD对折，使点C落在同一平面内的点Cʹ处，∴CD=CʹD，CCʹ⊥AD，CE=CʹE，∴CD=BD=CʹD，∴∠DCCʹ=∠DCʹC，∠DBCʹ=∠DCʹB，∵∠DCCʹ+∠DCʹC+∠DBCʹ+∠DCʹB=180∘，∴∠CCʹB=∠CCʹD+∠DCʹB=12(∠DCCʹ+∠DCʹC+∠DBCʹ+∠DCʹB)=90∘，∵∠C=90∘，AC=6，∴AD=√AC2+CD2=7.5，∵S△ACD=12AC⋅CD=12AD⋅CE，∴CE=AC⋅CDAD=3.6，∴CCʹ=7.2，在Rt△BCʹC中，BCʹ=√BC2−CCʹ2=275．【知识点】轴对称的性质、等边对等角、勾股定理之折叠问题2. 【答案】D【解析】翻折后可得直角三角形，由勾股定理求得．【知识点】勾股定理3. 【答案】A【知识点】勾股逆定理4. 【答案】B【解析】12+(√2)2=3，(√3)2=3，∴12+(√2)2(√3)2，A 能组成直角三角形； (√3)2+(√4)2=7，(√5)2=5，∴(√3)2+(√4)2≠(√5)2，B 不能组成直角三角形； 32+42=25，52=25，∴32+42=52，C 能组成直角三角形； 1.52+22=6.25，2.52=6.25，∴1.52+22=2.52，D 能组成直角三角形． 【知识点】勾股逆定理5. 【答案】B【解析】A 、 42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误． B 、 1.52+22=6.25=252，可以构成直角三角形，故本选项正确． C 、 22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误． D 、 12+(√2)2=3≠32，不可以构成直角三角形，故本选项错误． 【知识点】勾股逆定理6. 【答案】C【知识点】勾股定理的实际应用7. 【答案】C【解析】根据勾股定理可知： AB =√12+22=√5， AC =√12+22=√5， BC =√12+12=√2， 则 △ABC 是等腰三角形， 过点 A 作 AD ⊥BC ，垂足为 D ， 即 BD =CD =12BC =√22， AD =√AC 2−CD 2=√(√5)2−(√22)2=3√22，即点 A 到 BC 的距离为3√22．【知识点】勾股定理、等腰三角形的性质8. 【答案】A【解析】∵∠C=90∘，AB=6，AC=2，∴BC=√AB2−AC2=4√2，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90∘，∴∠A+∠ACD=∠A+∠B=90∘，∴∠ACD=∠B=α，∴cosα=cosB=BCAB =4√26=2√23．【知识点】勾股定理、余弦9. 【答案】C【解析】已知直角三角形的两直角边为3，4，则第三边长为√32+42=5．【知识点】勾股定理10. 【答案】A【解析】A、32+32=18≠32，所以3，3，3不能作为直角三角形的三边长；B、32+42=9+16=25=52，所以3，4，5可以作为直角三角形的三边；C、52+122=25+144=169=132，所以5，12，13可以作为直角三角形的三边；D、62+82=36+64=100=102，所以6，8，10能作为直角三角形的三边长．【知识点】勾股逆定理二、填空题11. 【答案】90【解析】如图所示，在Rt△SOA中，OA=√AS2−SO2=√82−(2√15)2= 2.设侧面展开图扇形的圆心角度数为n，则由2πr=nπl180，得n=90，故侧面展开图扇形的圆心角为90度．【知识点】圆锥的计算、勾股定理12. 【答案】15【解析】如图所示，点A到B的最短路径是：√(7+5)2+92=15 cm．【知识点】平面展开-最短路径问题、勾股定理的实际应用13. 【答案】√22【知识点】勾股定理、等腰直角三角形14. 【答案】2√3−√5【知识点】勾股定理之折叠问题15. 【答案】2√2【解析】根据题意得：阴影正方形的边长是：√22+22=2√2；【知识点】勾股定理16. 【答案】65π【解析】由圆锥底面半径r=5cm，高ℎ=12cm，根据勾股定理得到母线长l=√r2+ℎ2=13cm，根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×5×13=65π．【知识点】圆锥的计算、勾股定理17. 【答案】5或√7【知识点】勾股定理三、解答题18. 【答案】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行AB=3x，甲共行AC+BC=7x，∵AC=10，∴BC=7x−10，又∵∠A=90∘，∴BC2=AC2+AB2，∴(7x−10)2=102+(3x)2，∴x=0（舍去）或x=3.5，∴AB=3x=10.5，AC+BC=7x=24.5．答：甲走了24.5步，乙走了10.5步．【知识点】勾股定理的实际应用19. 【答案】由题意可知，AB=10m，AC=8m，AE=2m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=√AB2−AC2=√102−82=6m，当B滑到D时，DE=AB=10m，CE=AC−AE=8−2=6m；在Rt△CDE中，CD=2−CE2=√102−62=8，BD=CD−BC=8−6=2m．答：梯子的顶端下滑2米后，底端将水平滑动2米．【知识点】勾股定理、勾股定理的实际应用20. 【答案】(1) ∵AB=BC=1，且∠B=90∘，∴∠BAC=45∘，AC=√AB2+BC2=√2，而CD=√3，DA=1，∴CD2=AD2+AC2，∴△ACD是直角三角形，即∠DAC=90∘，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=135∘．(2) ∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，而S△ABC=12AB×BC=12，S△ACD=12AD×CD=√22，∴S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12(√2+1)．【知识点】勾股逆定理、三角形的面积21. 【答案】(1) 在Rt△ABC中，AB=25米，BC=7米，由勾股定理，得AC=√252−72=24（米），故这个梯子的顶端距地面AC高为24米．(2) 在Rt△DCE中，DE=25米，CD=BC+BD=7+8=15（米），由勾股定理，得CE=√252−152=20（米）．则AE=AC−EC=24−20=4（米）．故云梯的顶部下滑下4米．【知识点】勾股定理的实际应用22. 【答案】(1) √3(2) 过点A作AE⊥BC于点E，∵canB=85，则可设BC=8x，AB=5x，∴AE=√AB2−BE2=3x，∵S△ABC=24，∴12BC×AE=12x2=24，解得：x=√2，故AB=AC=5√2，BC=8√2，从而可得△ABC的周长为18√2．【解析】(1) BDAB =√32，∴BD=√32AB，∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD=√3AB，故can30∘=BCAB=√3．【知识点】锐角三角函数的概念、等腰三角形的性质、勾股定理23. 【答案】如图：从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F，则EF平分BC；EC=√5，EF=√5，FC=√10，借助勾股定理确定F点，则EF⊥AC；借助圆规作AB的垂直平分线即可．【知识点】勾股定理、垂直平分线的概念24. 【答案】(1) 如图所示：(2) 如图所示：(3) 1【解析】(3) ∵点到直线的最短距离为垂线段的长度，∴CP⊥AB时，CP为最小值，∴CP是△ABC的高，∵AD=BC=√22+12=√5（由（2）可知），∴S△ABC=12×AD×BC=52，∵S△ABC=12×PC×AB=52，∴PC=1，即CP的最小值为1．【知识点】垂线段的性质、画对称轴及轴对称图形、三角形的高线、勾股定理25. 【答案】连接AC．在△ADC中，∵∠D=90∘，AD=3，DC=4，∴AC=√AD2+DC2=5，S△ADC=12AD⋅DC=12×3×4=6，在△ACB中，∵BC=13，AC=5，AB=12，∴AC2+AB2=BC2，∴△ACB是直角三角形，∴S△ACB=12AC⋅AB=12×5×12=30．∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=6+30=36．【知识点】勾股逆定理。
勾股定理专题复习
专题复习一 勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为： 。
2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个 ，称为勾股数。
常见勾股数如下：3、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=专题归类：专题一、勾股定理与面积1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。
2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。
3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4， 则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于 。
5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。
6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为 。
7、如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？7、如下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。
8、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。
（添加辅助线构造直角三角形）9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。
勾股定理专题复习课
详细描述
根据勾股定理，直角三角形的面积可以通过两条直角边的长度和斜边的高来计算。面积 = (1/2) × 直角边1 × 直角边2 = (1/2) × 斜边 × 高。
示例
在直角三角形ABC中，已知直角边a=3和b=4，斜边c=5，斜边上的高h可以通过面积公式计 算为h=12/5。
等。
05 勾股定理的易错点解析
勾股定理适用条件的误解
总结词
理解不准确
01
总结词
应用范围限制
03
总结词
忽视前提条件
05
02
详细描述
勾股定理适用于直角三角形，但学生常常误 以为它适用于所有三角形，导致在解题时出 现错误。
04
详细描述
勾股定理只适用于直角三角形，对于 非直角三角形，需要使用其他定理和 公式进行计算。
06
详细描述
勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形， 如果忽视这个前提，会导致计算结果不准确。
勾股定理计算中的常见错误
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总结词：计算错误
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详细描述：学生在使用勾股定理进行计算时，常常因为粗 心或对公式理解不准确而出现计算错误。
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总结词：单位不统一
勾股定理与三角函数的关系
总结词
勾股定理与三角函数之间存在密 切关系，可以通过三角函数来求 解相关问题。
详细描述
在解决与直角三角形相关的三角 函数问题时，勾股定理常常被用 来计算边长或角度。例如，在求 解三角函数的实际应用问题时， 可以使用勾股定理来计算相关物 体的长度或距离。
示例
在解决与航海、测量和几何学相 关的实际问题时，常常需要使用 勾股定理和三角函数来求解角度 和距离。
八年级上册第一章《勾股定理》复习要点
八年级上册第一章《勾股定理》复习要点知识点一：勾股定理要点：⑴.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么，a 2 +b 2 =c 2 ，⑵.历史文化： 勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。
⑶格式： a=8 b=15 解：由勾股定理得 c 2 =a 2 +b 2 =82 +152 =64+225=289 ∵C ＞0 ∴C=17【典例精析】1．一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（ ）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2．如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．3．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形， 这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c2＝ ＋ ．化简后即为 c 2＝ ．知识点二：直角三角形的判别要点; *如果三角形三边长为a 、b 、c ，c 为最长边，只要符合a 2 +b 2 =c 2 ，这个三角形是直角三角形。
（勾股定理逆定理，是直角三角形的判别条件）【典例精析】1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A.5、6、7 B.1、4、9 C.5、12、13D.5、11、12A C 160bc图1－1 2、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A.b 2=c 2－a 2B.a ∶b ∶c=3∶4∶5C.∠C=∠A －∠BD.∠A ∶∠B ∶∠C=12∶13∶1553、三角形的三边长分别是15，36，39，这个三角形是 三角形。
4、将直角三角形的三条边同时扩大4倍后，得到的三角形为（ ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定5．有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？知识点三：勾股定理的综合应用【典例精析】1、如图1－1，在钝角ABC 中，CB ＝9，AB ＝17，AC ＝10，AD BC ⊥于D ，求AD 的长。
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第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），计算两圆mm 孔中心和的距离为______．A B mm （2）如图2，直线上有三个正方形，l a b c ，，若的面积分别为5和11，则的面积为（ ）a c ，b Ａ．4Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得：AB 2=902+1202=22500，所以AB=150（mm ）（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求的度数．122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠解：连结．32A E ，，32122222A A A A A E A E == ，32212290A A E A A E ∠=∠= （SAS ）．．322122Rt RtA A E A A E ∴△≌△322122A E A A E A ∴∠=∠由勾股定理，得：，，4532C E C E ===4532A E A E ===图1图21A 2A 3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C 1A2A 3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C 3C 2C 图3，（SSS ）．44332A C A C == 445332A C E A C E ∴△≌△323454A E C A E C ∴∠=∠．122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠由图可知为等腰直角三角形．．224E C C △22445A E C ∴∠=即．12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力．专练一：1、△ABC 中，∠A：∠B：∠C=2：1：1，a ，b ，c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（ ）（A ）；（B ）； （C ）； （D ）222a b c +=222a b =222c a =222b a=2、若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有（ ）（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（ ）（A ）10.5米； （B ）7.5米； （C ）12米； （D ）8米4、下列说法中正确的有（ ）（1）如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC 是直角三角形；（2）如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC 是直角三角形；（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC 是直角三角形；（4）如果三边长分别是，221,2,1(1)n n n n -+>则ABC 是直角三角形。
（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个5、如图4是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是（ ）A ． a ＞c B ．b ＞c C ．4a 2+b 2=c 2 D ．a 2+b 2=c 26、已知直角三角形两边长分别为3、4，则第三边长为．图4BC图77、已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10，则直角三角形的两直角边的长分别为 ．8、利用图5（1）或图5（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．9、一棵树因雪灾于A 处折断，如图所示，测得树梢触地点B 到树根C 处的距离为4米，∠ABC 约45°，树干AC 垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为 米（答案可保留根号）．10、如图6，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积为1，按上述方法1S 所作的正方形的面积依次为，…，（n 为正整数），23S S ，S n 那么第8个正方形的面积 ＝_______。
8S 11、如图7，在ΔABC 中，AB=AC=10，BC=8．用尺规作图作BC 边上的中线AD （保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD 的长．12、已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm 和10 cm ，求这个三角形的面积.ABC DEF GHIJ图图6图5（2）13、在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.14、如图8：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？图815、如图9，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.图9专题二：能得到直角三角形吗考点分析：本部分内容是勾股定理及其逆定理的应用，它在中考试卷中不单独命题，常与其它知识综合命题典例剖析例1．如图10，A 、B 两点都与平面镜相距4米，且A 、B 两点相距6米，一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点，求B 点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出B 点关于CD 的对称点B′，连结AB′，交CD 于点O ，则O 点就是光的入射点，因为B′D =DB ，所以B′D =AC ，∠B′DO =∠OCA =90°，∠B′=∠CAO 所以△B′DO ≌△ACO (SSS )，则OC =OD =AB =×6=3米，连结OB ，在Rt△ODB 中，2121OD 2+BD 2=OB 2，所以OB 2=32+42=52，即OB =5(米)，所以点B 到入射点的距离为5米.评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础例2．如果只给你一把带刻度的直尺，你是否能检验∠MPN 是不是直角，简述你的作法．分析：只有一把刻度尺，只能用这把刻度尺量取线段的长度，若∠P 是一个直角，∠P所在的三角形必是个直角三角形，这就提示我们把∠P 放在一个三角形中，利用勾股定理的逆定理来解决此题．作法：①在射线PM 上量取PA=3㎝，确定A 点，在射线PN 上量取PB=4㎝，确定B 点．②连结AB 得△PAB．③用刻度尺量取AB 的长度，ＰＡＭＮ图11图10如果AB 恰为5㎝，则说明∠P 是直角，否则∠P 不是直角．理由：PA=3㎝，PB=4㎝，PA +PB =3+4=5，22222若AB=5㎝，则PA +PB =AB ，根据勾股定理的逆定理得△PAB 是直角三角形，∠P 是222直角．说明：这是一道动手操作题，是勾股定理的逆定理在现实生活中的一个典型应用．学生既要会动手操作，又必须能够把操作的步骤完整的表述出来，同时要清楚每个操作题的理论基础．专练二：1．做一做：作一个三角形，使三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,哪条边所对的角是直角？为什么？2．断一断：设三角形的三边分别等于下列各组数：①7，8，10 ②7，24，25 ③12，35，37 ④13，11，10（1）请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？（2）把你判断是Rt△的哪组数作出它所表示的三角形，并用量角器来进行验证.3算一算：．一个零件的形状如图12，已知AC=3㎝，AB=4㎝，BD=12㎝，求：CD 的长．4．一个零件的形状如图13所示，工人师傅按规定做得AB =3，BC =4，AC =5，CD =12，AD =13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？图125．如图14，等边三角形ABC 内一点P ，AP =3，BP =4，CP =5，求∠APB 的度数.6．若△ABC 的三边长为a ,b ,c ，根据下列条件判断△ABC 的形状.（1）a 2+b 2+c 2+200=12a +16b +20c (2)a 3－a 2b +ab 2－ac 2+bc 2－b 3=07．请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出1 个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形．8．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图15，已知圆筒高108㎝，其截面周长为36㎝，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长油纸．图13Ｂ图1Ｂ图14Ｂ图1Ｂ专题三：蚂蚁怎样走最近考点分析：勾股定理在实际生活中的应用较为广泛，它常常单独命题，有时也与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．如图16（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图10（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？分析：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长．已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。
解：在Rt△ACB 中，AC 2=AB 2-BC 2=2.52-1.52=4，∴AC=2，∵BD=0.5，∴CD=2在中，Rt ECD EC ED CD ∆22222252225=-=-=..∴EC=1.5， ∴=-=-=AE AC EC 21505..，所以，梯子顶端下滑了0.5米．点评：在实际生活、生产及建筑中，当人们自身高度达不到时，往往要借助于梯子，这时对梯子的选择，及梯子所能达到的高度等问题，往往要用到勾股定理的知识来解决．但要 注意：考虑梯子的长度不变．例2．有一根竹竿, 不知道它有多长. 把竹竿横放在一扇门前, 竹竿长比门宽多4尺；把竹竿竖放在这扇门前, 竹竿长比门的高度多2尺； 把竹竿斜放,，竹竿长正好和门的对角线等长.问竹竿长几尺?分析：只要根据题意，画出图形，然后利用勾股定理，列出方程解之解：设竹竿长为x 尺。