湖南省醴陵市2019届高三数学上学期第一次联考试题文

湖南省醴陵市2019届高三数学上学期第一次联考试题 文一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合[]{}2=1230M N x x x M N ，2，，则=--<⋂=( ) A ．[1，2] B ．(－1，3) C ．{1} D ．{l ，2}2.如果复数ibi212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( ) A ．－6 B ．32 C ．32- D ．23.实数x ，y 满足220110x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，且2z x y =-，则z 的最大值为（ ）A. －7B. －1C.5D.7 4.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示， 下列说法中错误．．的是( ) A.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的 变化率相同B.支出最高值与支出最低值的比是6:1C.第三季度平均收入为50万元D.利润最高的月份是2月份5.《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是( ) A.3π10 B.3π20 C.π20 D.π106.如图所示的程序框图是为了求出满足2228nn ->的 最小偶数n ，那么在空白框中填入及最后输出的n 值分别是（ ）A.1n n =+和6B.2n n =+和6C.1n n =+和8D.2n n =+和87.过双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1(－1,0)作x 轴的垂线，垂线与双曲线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为23，则双曲线的离心率为（ ） A ．23B ．4C ．3D ．2 8.已知侧棱长为2的正四棱锥P —ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，且球心O 在底面正方形ABCD 上，则球O 的表面积为（ ）A.4πB. 3πC. 2πD. π9.函数2()||2x x e e f x x x --=+-的部分图象大致是（ ）10.若抛物线x 2=y 在x =1处的切线的倾斜角为θ，则sin2θ=（ ）A ．45B ．12 C.45- D ．12- 11.将函数sin()3y x πω=+（0ω>）的图象按向量(,0)12a π= 平移后所得的图象关于点(,0)12π-中心对称，则ω的值可能为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．112.已知函数3(1),0()(1),0xx x f x x e x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，若函数()()g x f x a =-有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21(0,)e B ．21(1,)e- C.2(,1)e -- D ．(,1)-∞- 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）13.已知向量()2,1a =-，()3,b m = ，若向量a b + 与a 垂直，则m = ．14.已知等差数列{a n }中，a 3+a 7=16，S 10=85，则等差数列{a n }公差为 ．15.,,,ABC A B C ABC ab D D 在中，角对边分别为a,b,c,且2ccosB=2a-b,若的面积则的最小值为16.定义在R 上的函数f （x ），如果存在函数g （x ）=ax+b （a ，b 为常数），使得f （x ）≥ g （x ）对一切实数x 都成立，则称g （x ）为函数f （x ）的一个承托函数．给出如下命题： ①函数g （x ）=﹣2是函数f （x ）=的一个承托函数；②函数g （x ）=x ﹣1是函数f （x ）=x+sinx 的一个承托函数；③若函数g （x ）=ax 是函数f （x ）=e x 的一个承托函数，则a 的取值范围是[0，e]； ④值域是R 的函数f （x ）不存在承托函数； 其中，所有正确命题的序号是 ．三、解答题 （本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （一）必考题：共60分17.若数列}{n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =+.(1)求证：数列{}1n a -是等比数列； (2)设)1(log 2n n a b -=，求数列}1{1+n n b b 的前n 项和n T . 18.如图1，ABC ∆是边长为3的等边三角形，D 在边AC 上，E 在边AB 上，且AE BE AD 2==.将ADE ∆沿直线DE 折起，得四棱锥BCDE A -'，如图2. （1）求证：B A DE '⊥； （2）若平面⊥DE A '底面BCDE ，求三棱锥CE A D '-的体积.19.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y 如下表：数据表明y 与x 之间有较强的线性关系. （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑ ， ay bx =- . ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()()226.6350.01,10.8280.01P K P K ≥=≥=.20.已知圆E ：x 2+（y ﹣21）2=49经过椭圆C ：1by a x 2222=+（a ＞b ＞0）的左右焦点F 1，F 2，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线，直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且MN =λOA （λ≠0） （1）求椭圆C 的方程；（2）当三角形AMN 的面积取得最大值时，求直线l 的方程．()(0)ln 21.12xf x axa x=->（分）设函数（1）若函数f （x ）在（1，+∞）上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f （x 1）≤f ′（x 2）+a 成立，求实数a 的取值范围． (二)选考题：共10分22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧α+=α+=sin 3cos 2t y t x （t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=8cos （θ﹣3π）． （1）求曲线C 2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）若曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值．2019届高三第一次联考文科数学试题答案一、选择题：1--5 ACCDB 6--10 DDADA 11--12 CA二、填空题13.1 14.1 15.4 16.②③ 三、解答题17.(1) 当1n =时，11121a S a ==+，解得11a =-……1分 当1n >时，由题意，()1121n n S a n --=+-()111(2)21221n n n n n n S S a n a n a a ----=+---=-+⎡⎤⎣⎦，即121n n a a -=-……3分所以()1121n n a a --=-，即1121n n a a --=-数列{}1n a -是首项为2-，公比为2的等比数列……6分 (2)由（1），11222n n n a --=-⋅=-，所以12n n a =-……8分111)1(11,2log 12+-=+===+n n n n b b n b n n n n ……10分 1111)111()3121()211(+=+-=+-++-+-=∴n nn n n T n ……12分18.（1）在图1中，由题意知1=AE ，2==BE AD 在ADE ∆中，由余弦定理知3212122222=⨯-+=⨯-+=AD AE AD AE DE所以222AD DE AE =+， 所以AB DE ⊥……3分在ADE ∆沿直线DE 折起的过程中，DE 与BE AE ,的垂直关系不变， 故在图2中有BE DE E A DE ⊥⊥,'又E BE E A = '，所以⊥DE 平面EB A '，所以B A DE '⊥.……5分 （2）如图2，因为平面⊥DE A '底面BCDE ，由（1）知E A DE '⊥，且平面 DE A '底面DE BCDE =， 所以⊥E A '底面BCDE ，所以E A '为三棱锥EDC A -'的高，且1'==AE E A ……8分又因为在图1中，BEC AED ABC ECD S S S S ∆∆∆∆--=4360sin 322160sin 212160sin 3321000=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=……10分 所以12314331'21''=⨯⨯=⨯⨯==∆--E A S V V ECD DEC A EC A D 故三棱锥CE A D '-的体积为123.……12分 19.(（1）由题意可知120,90x y ==，故()()()()()()()()()()()()()()()222221451201109013012090901201201029010512078901001207090145120130120120120105120100120b --+--+--+--+--=-+-+-+-+- 50000180400108040.8625100022540013505++++====++++.……3分901200.86a =-⨯=-，故回归方程为 0.86y x =-.……4分（2）将110x =代入上述方程，得 0.8110682y =⨯-=.……6分（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36. 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人， 故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人.……8分 于是可以得到22⨯列联表为：……10分于是()2260241812610 6.63530303624K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.……12分 20.解：（1）如图圆E 经过椭圆C 的左右焦点F 1，F 2，∴c 2+（0﹣）2=，解得c=，.……1分∵F 1，E ，A 三点共线，∴F 1A 为圆E 的直径，则|AF 1|=3，∴AF2⊥F 1F 2，∴=﹣=9﹣8=1，∵2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4，∴a=2.……3分由a2=b2+c2得，b=，∴椭圆C的方程是；.……5分（2）由（1）得点A的坐标（，1），∵（λ≠0），∴直线l的斜率为k OA=，.……6分则设直线l的方程为y=x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），由得，，∴x1+x2=，x1x2=m2﹣2，且△=2m2﹣4m2+8＞0，解得﹣2＜m＜2，.……8分∴|MN|=|x2﹣x1|===，.∵点A到直线l的距离d==，……10分∴△AMN的面积S===≤=，当且仅当4﹣m2=m2，即m=，直线l的方程为．……12分21.解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），∵f（x）在（1，+∞）上为减函数，∴f′（x）=﹣a+≤0在（1，+∞）上恒成立，﹣a≤﹣=（﹣）2﹣，……2分令g（x）=（﹣）2﹣，故当=，即x=e2时，g（x）的最小值为﹣，∴﹣a≤﹣，即a≥∴a的最小值为．……4分（Ⅱ）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，……6分由（Ⅰ）知，当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，∈[，1]，f′（x）=﹣a+=﹣（﹣）2+﹣a，f′（x）max+a=，问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤”，……8分①当﹣a≤﹣，即a时，由（Ⅰ），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=﹣ae2+≤，∴﹣a≤﹣，∴a≥﹣．……10分②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[，1]，∵f′（x）=﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足：f（x）min=f（x0）=﹣ax0+，要使f（x）min≤，∴﹣a≤﹣＜﹣=﹣，与﹣＜﹣a＜0矛盾，∴﹣＜﹣a＜0不合题意．综上，实数a的取值范围为[﹣，+∞）．……12分(二)选考题：共10分22.解：（1）对于曲线C2有，即，因此曲线C2的直角坐标方程为，其表示一个圆．……4分（2）联立曲线C1与曲线C2的方程可得：，∴t1+t2=2sinα，t1t2=﹣13……7分，因此sinα=0，|AB|的最小值为，sinα=±1，最大值为8．……10分。