01相似三角形的判定
(完整版)相似三角形的判定方法
(一)相似三角形1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；（双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形重难点模型(五大模型)(解析版)
相似三角形重难点模型(五大模型)【题型01：(双)A字型相似】【题型02：(双)8型相似】【题型03：母子型相似】【题型04：旋转相似】【题型05：K字型相似】【题型01：(双)A字型相似】1.如图，在△ABC中，BC=12，高AD=6，正方形EFGH一边在BC上，点E,F分别在AB,AC上，AD交EF于点N，求AN的长．【答案】2【分析】设正方形EFGH的边长EF=EH=x，易证四边形EHDN是矩形，则DN=x，根据正方形的性质得出EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．【详解】解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x，∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF=∠EHG=90°,EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN=90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN=EH=x，∵△AEF∽△ABC，∴AN AD =EFBC(相似三角形对应边上的高的比等于相似比)，∵BC=12,AD=6，∴AN=6-x，∴6-x6=x 12，解得：x=4，∴AN=6-x=6-4=2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比．2.如图，光源P 在水平横杆AB 的上方，照射横杆AB 得到它在平地上的影子为CD (点P 、A 、C 在一条直线上，点P 、B 、D 在一条直线上)，不难发现AB ⎳CD ．已知AB =1.5m ，CD =4.5m ，点P 到横杆AB 的距离是1m ，则点P 到地面的距离等于m ．【答案】3【分析】作PF ⊥CD 于点F ，利用AB ∥CD ，推导△P AB ∽△PCD ，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可．【详解】解：如图，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，交AB 于点E ，∵AB ∥CD ，∴△P AB ∽△PCD ，PE ⊥AB ，∵△P AB ∽△PCD ，∴AB CD =PE PF ，(相似三角形对应高之比是相似比)即：1.54.5=1PF，解得PF =3．故答案为：3．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应高之比是相似比是解题的关键．3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =60°，AC =6，AD 平分∠BAC ，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ．(1)求线段DE 的长；(2)取线段AD 的中点M ，连接BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF的值．【答案】(1)4(2)23【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；(2)根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．【详解】(1)解：∵AD 平分∠BAC ，∠BAC =60°，∴∠DAC =30°，在Rt △ACD 中，∠ACD =90°，∠DAC =30°，AC =6，∴CD =23，在Rt △ACB 中，∠ACB =90°，∠BAC =60°，AC =6，∴BC =63，∴BD =BC -CD =43，∵DE ∥CA ，∴DE CA=BD BC =23，∴DE =4；(2)解：如图．∵点M 是线段AD 的中点，∴DM =AM ，∵DE ∥CA ，∴DF AG =DM AM．∴DF =AG ．∵DE ∥CA ，∴EF AG =BF BG ，BF BG =BD BC ．∴EF AG=BD BC ．∵BD =43，BC =63，DF =AG ，∴EF DF=23．【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．4.如图，△ABD 中，∠A =90°，AB =6cm ，AD =12cm ．某一时刻，动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；同时，动点N 从点D 出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，运动的时间为ts ．(1)求t 为何值时，△AMN 的面积是△ABD 面积的29；(2)当以点A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABD 相似时，求t 值．【答案】(1)t 1=4，t 2=2；(2)t =3或245【分析】(1)由题意得DN =2t (cm )，AN =(12-2t )cm ，AM =tcm ，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；(2)分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．【详解】解：(1)由题意得DN=2t(cm)，AN=(12-2t)cm，AM=tcm，∴△AMN的面积=12AN•AM=12×(12-2t)×t=6t-t2，∵∠A=90°，AB=6cm，AD=12cm∴△ABD的面积为12AB•AD=12×6×12=36，∵△AMN的面积是△ABD面积的29，∴6t-t2=29×36，∴t2-6t+8=0，解得t1=4，t2=2，答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的2 9；(2)由题意得DN=2t(cm)，AN=(12-2t)cm，AM=tcm，若△AMN∽△ABD，则有AMAB=ANAD，即t6=12-2t12，解得t=3，若△AMN∽△ADB，则有AMAD=ANAB，即t12=12-2t6，解得t=24 5，答：当t=3或245时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．【题型02：(双)8型相似】5.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．(1)求证：△BND∽△CNM；(2)如果AD2=AB•AF，求证：CM•AB=DM•CN．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)利用平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM；(2)先利用AD 2=AB •AF 可证明△ADB ∽△AFD ，则∠1=∠F ，再根据平行线的性质得∠F =∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC =∠CMD ，于是可判断△MNC ∽△MCD ，所以MC ：MD =CN ：CD ，然后利用CD =AB 和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，而BE =AB ，∴BE =CD ，而BE ∥CD ，∴四边形BECD 为平行四边形，∴BD ∥CE ，∵CM ∥DB ，∴△BND ∽△CNM ；(2)∵AD 2=AB •AF ，∴AD ：AB =AF ：AD ，而∠DAB =∠FAD ，∴△ADB ∽△AFD ，∴∠1=∠F ，∵CD ∥AF ，BD ∥CE ，∴∠F =∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC =∠CMD ，∴△MNC ∽△MCD ，∴MC ：MD =CN ：CD ，∴MC •CD =MD •CN ，而CD =AB ，∴CM •AB =DM •CN ．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．6.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 上一点，AE =2ED ，连接BE 交AC 于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点F ，则BG GF 的值为()A.23B.12C.13D.34【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是利用平行四边形的性质对边平行而构建相似三角形．先根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ，则可判断△ABG ∽△CFG ，△ABE ∽△DFE ，于是根据相似三角形的性质和AE =2ED 即可得结果．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴△ABG ∽△CFG ，∴BG GF =AB CF∵△ABE ∽△DFE ，∴AE DE =AB DF，∵AE =2ED ，∴AB =2DF ，∴AB CF =23，∴BG GF=23．故选：A ．7.如图1，在四边形ABDE 中，∠ABC =∠BDE ，点C 在边BD 上，且AC ∥DE ，AB ∥CE ，点F 在边AC 上，且AF =CE ，连接BF ,DF ，DF 交CE 于点G ．(1)求证：BF =DF ；(2)如图2，若∠ACE =∠CDF ，求证：CE ⋅CF =BF ⋅DG ；(3)如图3，若延长BF 恰好经过点E ，求BC CD的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)1+52【分析】(1)证明△ABF ≌△CAE ，得出BF =AE ，证明四边形AFDE 为平行四边形，得出AE =DF ，则可得出结论；(2)证明△FCG ∽△FDC ，得出CF DF =GF CF ，证明△FCG ∽△DEG ，得GF DG =CF DE ，则得出结论；(3)证明△ABF ∽△CEF ，得出AB CE =AF CF，设AB =x ,AF =CE =m ，解方程求出x ，则可得出答案．【详解】(1)∵AC∥DE,AB∥CE∴∠BDE=∠ACB,∠ABC=∠DCE,∠BAC=∠ACE ∵∠ABC=∠BDE∴∠ABC=∠BDE=∠ACB=∠DCE∴AB=AC,CE=DE在△ABF和△CAE中，又∵AF=CE∠BAC=∠ACE AB=AC∴△ABF≌△CAE(SAS)∴BF=AE∵CE=DE,AF=CE∴AF=DE∵AF=DE,AC∥DE∴四边形AFDE为平行四边形∴AE=DF∴BF=DF(2)∵∠CFG=∠CFD ∠ACE=∠CDF∴△FCG∽△FDC∴CF DF =GF CF又∵AC∥DE∴△FCG∽△DEG∴GF DG =CFDE，即GFCF=DGDE∴CF DF =DGDE．又∵DE=CE,DF=BF∴CF BF =DGCE，即CE⋅CF=BF⋅DG(3)∵∠ABC=∠DCE ∠ACB=∠EDC∴△ABC∽△ECD∴BC CD =AB CE∵AB∥CE，∴△ABF∽△CEF∴AB CE =AF CF∴AB⋅CF=AF⋅CE．设AB=x,AF=CE=m，则有x(x-m)=m2解得x=1+52m(负值舍去)∴BC CD =ABCE=1+52【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键．8.如图1，在矩形ABCO 中，OA =8，OC =6，D ，E 分别是AB ，BC 上一点，AD =2，CE =3，OE 与CD 相交于点F ．(1)求证：OE ⊥CD ；(2)如图2，点G 是CD 的中点，延长OG 交BC 于H ，求CH 的长．【答案】(1)见解析；(2)CH 的长为6．【分析】(1)根据四边形ABCO 是矩形，可得OA =BC =8，OC =AB =6，根据勾股定理可得OE 和CP 的长，进而得EF 和CF 的长，再根据勾股定理的逆定理即可得OE ⊥CD ；(2)在Rt △CBD 中，CB =8，BD =AB -AD =6-2=4，根据勾股定理可得CD =45，根据点G 是CD 的中点，可得CG =DG =25，所以得点G 是CP 的三等分点，根据OA ∥BC ，对应边成比例即可求出CH 的长．【详解】(1)∵四边形ABCO 是矩形，∴OA =BC =8，OC =AB =6，在Rt △OCE 中，CE =3，∴OE =OC 2+CE 2=62+32=35，∵AB ∥OC ，即AD ∥OC ，且AD =2，∴AD OC =P A PO ，∴26=P A P A +8，∴P A =4，∴PO =P A +OA =12，∴在Rt △OPC 中，OC =6，∴CP =OC 2+PO 2=62+122=65，∵OA ∥BC ，即OP ∥CE ，∴CE OP =EF OF =CF PF ，∴EF OF=CF PF =312=14，∴EF =15OE =355，CF =15CP =655，∵355 2+655 2=95+365=9，∴EF 2+CF 2=CE 2，∴△CEF 是直角三角形，∴∠CFE=90°，∴OE⊥CD；(2)在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB-AD=6-2=4，根据勾股定理，得CD=CB2+BD2=82+42=45，∵点G是CD的中点，∴CG=DG=25，由(1)知：CP=65，∴DP=CP-CD=25，∴点G是CP的三等分点，∵OA∥BC，即OP∥CH，∴CH OP =CG GP，∴CH12=12，∴CH=6．答：CH的长为6．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理及其逆定理的应用、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．【题型03：母子型相似】9.【典例3】如图1，∠C=90，BC=6，tan B=43，点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点N同时从点C出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．(1)求AB的长．(2)当以点M、C、N为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值．(3)如图2，将本题改为点M从点B出发以每秒3个单位长度的速度在BA上向点A运动，点N同时从点A出发向点C运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当t为何值时，△MNA为等腰三角形．【答案】(1)10(2)t=125或t=1811时，以点M、C、N为顶点的三角形与△ABC相似(3)t=2或t=4017或t=5031时，△MNA为等腰三角形【分析】(1)根据三角函数解得即可；(2)分①当△MCN ∽△BCA 时和②当△MCN ∽△ACB 时，两种情况利用相似三角形的性质解答即可；(3)分①当AM =AN 时，②当AM =MN 时，③当MN =AN 时，三种情况，利用等腰三角形的性质得出比例解答即可．【详解】(1)解：∵∠C =90°,BC =6,tan B =43∴AC =8∴AB =BC 2+AC 2=62+82=10(2)解：解：①当△MCN ∽△BCA 时，∴MC BC =CN CA ，即6-t 6=2t 8，解得：t =125，②当△MCN ∽△ACB 时，∵MC AC =CN BC ，即6-t 8=2t 6，解得：t =1811，综上所述，t =125或t =1811时，以点M 、C 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似，(3)解：①如图3，当AM =AN 时，10-3t =2t ，解得：t =2，②如图4，当AM =MN 时，过点M 作MD ⊥AC 于D ，则∠ADM =90°，AM =MN =10-3t ，AD =12AN =t ，∵∠ACB =90°，∴MD ∥BC ，∴△AMD ∽△ABC ，∴AM AB =AD AC ，即10-3t 10=t 8，解得：t =4017，③如图5，当MN =AN 时，过点N 作ND ⊥AB 于D ，则∠ADN =∠ACB =90°，AD =DM =12AM =12(10-3t )，∵∠A =∠A ，∴△ADN ∽△ACB ，∴AD AC =AN AB ，即12(10-3t )8=2t 10，解得：t =5031，综上所述，t =2或t =4017或t =5031时，△MNA 为等腰三角形【点睛】本题考查考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，已知正切求边长，解题的关键是掌握辅助线的作法，数形结合，分类讨论思想的应用．10.如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，E 是AD 上一点，且AB AC=AD CE ，∠BAD =∠ECA ．(1)求证：AC 2=BC •CD ；(2)若AD 是△ABC 的中线，求CE AC 的值．【答案】(1)证明见解析；(2)22【分析】(1)首先利用相似三角形的判定得出△BAD ∽△ACE △，得∠B =∠EAC ，进而求出△ABC ∽△DAC ，再利用相似三角形的性质得出答案即可；(2)由△BAD ∽△ACE 可证∠CDE =∠CED ，进而得出CD =CE ，再由(1)可证AC =2CD ，由此即可得出线段之间关系．【详解】(1)证明：∵AB AC =AD CE ，∠BAD =∠ECA ，∴ΔBAD ∽ΔACE ，∴∠B =∠EAC ，∵∠ACB =∠DCA ，∴△ABC ∽△DAC ，∴AC CD =BC AC，∴AC 2=BC ·CD ．(2)解：∵△BAD ∽△ACE ，∴∠BDA =∠AEC ，∴∠CDE =∠CED ，∴CD =CE ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BC =2BD =2CD ，∴AC 2=BC ·CD =2CD 2，即：AC =2CD ，∴CE AC =CD 2CD=22．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出△BAD ∽△ACE 是解题关键．11.如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．(1)如果△DEF 与△ABC 互为母子三角形，则DE AB 的值可能为()A.2B.12C.2或12(2)已知：如图1，△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AB =2AD , ∠ADE =∠B ．求证：△ABD 与△ADE 互为母子三角形．(3)如图2，△ABC 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作EG ⎳BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若△AGE 与△ADC 互为母子三角形．求AG GF的值．【答案】(1)C ；(2)见解析；(3)AG GF=13或3．【分析】(1)根据互为母子三角形的定义即可得出结论；(2)根据两角对应相等两三角形相似得出△ABD ∽△ADE ，再根据AB =2AD 从而得出结论；(3)根据题意画出图形，分当G ,E 分别在线段AD ,AC 上时和当G ,E 分别在射线DA ,CA 上时两种情况加以讨论；【详解】(1)∵△DEF 与△ABC 互为母子三角形，∴DEAB=12或2故选：C(2)∵AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAD =∠CAD ，∵∠ADE =∠B ，∴△ABD ∽△ADE ．又∵AB =2AD ，∴△ABD 与△ADE 互为母子三角形．(3)如图，当G ,E 分别在线段AD ,AC 上时，∵△AGE 与△ADC 互为母子三角形，∴CD GE =AD AG=2，∴AG =DG ，∵AD 是中线，∴BD =CD ，又∵GE ⎳BC ，∴△GEF ∽△DBF ．∴DF GF =DB GE =CD GE=2，∴DG =3GF ，∴AG GF=3．如图，当G ,E 分别在射线DA ,CA 上时，∵△AGE 与△ADC 互为母子三角形，∴CD GE =AD AG =2，∴AG =12AD =13DG ，∵AD 是中线，∴BD =CD ，又∵GE ⎳BC ，∴△GEF ∽△DBF ．∴DF GF =DB GE =CD GE=2，∴DG =GF ，∴AG GF =13．综上所述，AG GF =13或3【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．12.如图1，AB =AC =2CD ，DC ∥AB ，将△ACD 绕点C 逆时针旋转得到△FCE ，使点D 落在AC 的点E 处，AB 与CF 相交于点O ，AB 与EF 相交于点G ，连接BF ．(1)求证：△ABE ≌△CAD ；(2)求证：AC ∥FB ；(3)若点D，E，F在同一条直线上，如图2，求ABBC的值．(温馨提示：请用简洁的方式表示角)【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】(1)根据旋转变换的性质得到旋转前后两个三角形全等，从而得到CE=CD，根据AC=2CD，就能得到AE=CD，然后利用平行可以得到内错角相等，最后加上AB=AC，就可以通过边角边证明两个三角形全等．(2)根据旋转和第一小题的结论，可以得到BE=FE，然后用等角对等边即可得到∠EFB=∠EBF，又可以从前面的两个全等中得到∠EFC=∠EBA，∠OAC=∠OCA从而得到∠OFB=∠OBF，那么△ACO和△BOF就是顶角互为对顶角的一组等腰三角形，所以就能得到底角相等，即∠CAO=∠FOB，那么内错角相等，两直线平行即可证结论．(3)根据D，E，F在同一条直线上，可以证明△AEG和△CED全等，即可得到AG=12AB，那么EG就是中位线，则EG∥CB，加上第二小题结论就能得到四边形BCEF是平行四边形，那么BC=AD，然后通过三角形外角的性质，可以证得∠ADE=∠ACD，就能证△ACD和△ADE是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案．【详解】(1)解：∵将△ACD绕点C逆时针旋转得到△FCE，∴△FCE≌△ACD，∴CE=CD，∵AC=2CD，∴AC=2CE，∴AE=AC-CE=2CE-CE=CE=CD，∵DC∥AB∴∠DCA=∠EAB，在△ABE和△CAD中，∵AE=CD∠EAB=∠DCA AB=CA，∴△ABE≌△CAD SAS．(2)解：由(1)得BE=AD，∠ABE=∠CAD，∵△CEF≌△CDA，∴FE=AD，∠EFC=∠DAC，∴BE=FE，∠EFC=∠EBA，∴∠EFB=∠EBF，∵∠OFB=∠EFB-∠EFC，∠OBF=∠EBF-∠EBA，∴∠OFB=∠OBF，∵∠ECF=∠DCA，∴∠OAC=∠OCA，∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OBF+∠OFB+∠BOF=180°，又∠AOC=∠BOF，∴∠OCA+∠OAC=∠OBF+∠OFB，即2∠CAO=2∠FOB，∴∠CAO=∠FOB，∴AC∥FB(3)解：在△AEG和△CED中，∵∠GAE=∠DCE AE=CE∠AEG=∠CED ，∴△AEG≌△CED ASA∴AG=CD=12AB，∵AE=CE，∴EG∥CB，∵AC∥FB，∴四边形BCEF是平行四边形，∴BC=FE=AD，∵∠AEG=∠ACD+∠CAD=∠DAE+∠ADE，∴∠ADE=∠ACD，∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴EA DA =DA CA，即DA2=EA⋅CA=2EA2，∴DA=2EA，∵AB=AC=2EA，∴AB BC =ABDA=2EA2EA=22=2．【点睛】本题考查了三角形全等的证明，平行线的判定以及利用相似三角形求线段长之比，解题时需要学会将多个小题的结论联系起来，把前面小题的结论用到后面小题的思路中，熟练寻找证明三角形全等或相似所需要的条件是解题的关键．【题型04：旋转相似】13.【典例4】某校数学活动小组探究了如下数学问题：(1)问题发现：如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰Rt△APQ，且∠P AQ=90°，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；(2)变式探究：如图2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰Rt△CPQ，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为210，CQ=22，请直接写出正方形ABCD的边长．【答案】(1)BP=CQ(2)BP=2AQ(3)6【分析】(1)根据已知条件利用边角边证明△ABP≌△ACQ，再利用全等三角形的性质即可得到BP和CQ 的数量关系；(2)根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明△CBP∽△CAQ，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到BP和AQ的数量关系；(3)连接BD，先由正方形的性质判断出△BCD和△PQD都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出△BDP∽△CDQ，由对应边成比例，依据相似比求出线段BP的长，接着设正方形ABCD的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案．【详解】(1)解：∵△APQ是等腰直角三角形，∠P AQ=90°，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴AP=AQ，∠BAP+∠P AC=∠CAQ+∠P AC，∴∠BAP=∠CAQ．在△ABP和△ACQ中，AB=AC∠BAP=∠CAQ AP=AQ，∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴BP=CQ；(2)解：结论：BP=2AQ，理由如下：∵△CPQ是等腰直角三角形，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴QCPC=ACBC=22，∠ACB=∠QCP=45°．∵∠BCP+∠ACP=∠ACQ+∠ACP=45°，∴∠BCP=∠ACQ，∴△CBP∽△CAQ，∴QCPC=ACBC=AQBP=22，∴BP=2AQ；(3)解：连接BD，如图所示，∵四边形ABCD与四边形DPEF是正方形，DE与PF交于点Q，∴△BCD和△PQD都是等腰直角三角形，∴QDPD=CDBD=22，∠BDC=∠PDQ=45°．∵∠BDP+∠PDC=∠CDQ+∠PDC=45°，∴∠BDP=∠CDQ，∴△BDP∽△CDQ，∴QDPD=CDBD=CQBP=22．∵CQ=22，∴BP=2CQ=4．在Rt△PCD中，CD2+CP2=DP2，设CD=x，则CP=x-4，又∵正方形DPEF的边长为210，∴DP=210，∴x2+(x-4)2=(210)2，解得x1=-2(舍去)，x2=6．∴正方形ABCD的边长为6．【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键．14.如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．(1)证明：四边形CEGF是正方形；(2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°)，如图3所示，当B，E，F三点在一条直线上时，延长CG交AD于点H，若AG=9，GH=32，求BC的长．【答案】(1)答案见解析；(2)AG=2BE；理由见解析；(3)BC=95 2．【分析】(1)先说明GE⊥BC、GF⊥CD，再结合∠BCD=90°可证四边形CEGF是矩形，再由∠ECG= 45°即可证明；(2)连接CG，证明△ACG∽△BCE，再应用相似三角形的性质解答即可；(3)先证△AHG∽△CHA可得AGAC =GHAH=AHCH，设BC=CD=AD=a，则AC=a，求出AH=23a，DH=13a，CH=103a最后代入即可求得a的值．【详解】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC，∴四边形CEGF是正方形．(2)结论：AG=2BE；理由：连接CG，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CE CG=cos45°=22，CB CA =cos45°=22，∴CG CE =CA CB=2，∴△ACG ∽△BCE ，∴AG BE =CA CB=2∴线段AG 与BE 之间的数量关系为AG =2BE ；(3)∵∠CEF =45°，点B 、E 、F 三点共线，∴∠BEC =135°，∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC =∠BEC =135°，∴∠AGH =∠CAH =45°，∵∠CHA =∠AHG ，∴△AHG ∽△CHA ，∴AG AC =GH AH=AH CH ，设BC =CD =AD =a ，则AC =2a ，由AG AC =GH AH ，得92a =32AH ，∴AH =23a ，则DH =AD -AH =13a ，CH =CD 2+DH 2=103a ，∴AG AC =AH CH ，得 92a =23a 103a ,解得：a =952，即BC =952．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查相似形的判定和性质、正方形的性质等知识点，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题并利用参数构建方程解决问题．【题型05：K 字型相似】15.综合探究如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，□ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上，A 在y 轴上，OA =OC =2OB =4，直线y =x +t (-2≤t ≤4)分别与x 轴、y 轴、线段AD 、直线AB 交于点E 、F 、P 、Q ．(1)当t =1时，求证：AP =DP ．(2)探究线段AP 、PQ 之间的数量关系，并说明理由．(3)在x 轴上是否存在点M ，使得∠PMQ =90°，且以点M 、P 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此时t 的值以及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)PQ =22AP(3)t =73时，M 13,0 ；t =23时，M 143,0 ；t =-1时，M -7，0 ．【分析】(1)根据t =1，求出t =1与AD 交点P 的坐标，即可求解；(2)先求出直线AB 的表达式为y =2x +4，再联立直线AB 与直线y =x +t 求出Q (t -4,2t -4)，再求出点P (4-t ,4)，利用坐标系中两点距离公式求出即可PQ =22(t -4)，结合AP =4-t 即可求解；(3)证明△PHM ∽△MIQ ，得到PM QM =AO BO =2或PM QM =BO AO=12，分四种情况画图求解．【详解】(1)证明：由OA =OC =2OB =4知，OC =4，OB =2，则AD =BC =6，则点A 、B 的坐标分别为：(0,4)、(-2,0)，当y =4时，y =x +1=4，则x =3=12AD ，即点P (3,4)，∴AP =DP =3；(2)解：PQ =22AP ，理由：设直线AB 的表达式为：y =kx +b ，将A 0，4 、B -2，0 代入得：4=b 0=-2k +b ，解得：k =2b =4 ．∴直线AB 的表达式为：y =2x +4，联立上式和y =x +t 得y =x +t y =2x +4 ，解得x =t -4y =2t -4 ，即点Q (t -4,2t -4)，同理(1)可得，点P (4-t ,4)，∴PQ =t -4 -4-t 2+2t -4 -4 2=224-t∵AP =4-t ，∴PQ =22AP ；(3)分别过点P 、Q 作PH ⊥x 轴，QI ⊥x 轴，∴∠PHM =∠MIQ =90°，∵∠PMQ =90°，∴∠PMH +∠QMI =90°，∵∠MQI +∠QMI =90°，∴∠PMH =∠MQI ，∴△PHM ∽△MIQ ，∴PH MI =MH QI =PM QM，设点M (x ,0)，由(2)知，点P 、Q 的坐标分别为：(4-t ,4)、(t -4,2t -4)，①若m >0，如图2，则MI =m -(t -4)，MH =4-t -m ，QI =2t -4，当△PMQ ∽△AOB 时，∴PM QM =AO BO=42=2，∴PH MI =MH QI=2．∴PH =2MI ，MH =2QI ，联立方程组：4=2m -(t -4) 4-t -m =2(2t -4) ，解得：m =13t =73∴t =73时，M 13,0 ，②若m >0，MI =m -(t -4)，MH =m -(4-t )，QI =4-2t ，如图3，当△QMP ∽△AOB 时，∴PM QM =BO AO=24=12∴PH MI =MH QI =12∴2PH =MI ，2MH =QI ，联立方程组：2×4=m -(t -4)2m -(4-t ) =4-2t ，解得m =143t =23．∴t =23时，M 143,0 ③若m <0，当△PMQ ∽△AOB 时，如图4，MI =(t -4)-m ，MH =(4-t )-m ，QI =4-2t ，∴PM AO =QM BO ，∴PM QM =AO BO=42=2，∴PH MI =MH QI =2∴PH =2MI ，MH =2QI ，联立方程组：4=2(t -4)-m 4-t -m =2(4-2t )，解得：m =-7t =-1 ∴t =-1，M -7，0④m <0，△QMP ∽△AOB 的情况不存在，综上，t =73时，M 13,0 ；t =23时，M 143,0 ；t =-1时，M -7，0 ．【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等，分类求解是解题的关键．16.如图，边长为10的等边△ABC 中，点D 在边AC 上，且AD =3，将含30°角的直角三角板(∠F =30°)绕直角顶点D 旋转，DE 、DF 分别交边AB 、BC 于P 、Q ，连接PQ ．当EF ∥PQ 时，DQ 长为()A.6B.39C.10D.63【答案】B【分析】证明△ADP ∽△BPQ ，由相似三角形的性质得出AD BP =AP BQ =DP PQ ，求出BP =6，CQ =2，过点Q 作QM ⊥AC 于点M ，由勾股定理可求出答案．【详解】解：∵∠F =30°，∴∠E =60°，∵EF ∥PQ ，∴∠DPQ =∠E =60°，∠DQP =∠F =30°，∴∠APD +∠BPQ =120°，∵△ABC 为等边三角形，∴∠A =∠B =60°，AC =BC =AB =10，∴∠APD +∠ADP =120°，∴∠BPQ =∠ADP ，∴△ADP ∽△BPQ ，∴AD BP =AP BQ =DP PQ，∵∠PDQ =90°，∠DQP =30°，∴PD =12PQ ，∴3 BP =APBQ=12，∴BP=6，∴AP=4，BQ=8，∴CQ=2，过点Q作QM⊥AC于点M，∴CM=12CQ=1，QM=3，∵CD=AC-AD=10-3=7，∴DM=CD-CM=7-1=6，∴DQ=DM2+QM2=62+(3)2=29．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．先证明△ADP∽△BPQ是解题的关键．17.(1)问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，求证：AD⋅BC=AP ⋅BP．(2)探究若将90°角改为锐角(如图2)，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．(3)应用如图3，在△ABC中，AB=22，∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD=45°，若CE=5，求CD的长．【答案】(1)见解析；(2)成立；理由见解析；(3)5【分析】(1)由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC,即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；(2)由∠DPC=∠A=∠B=α可得∠ADP=∠BPC,即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；(3)证明△ABD∽△DFE,求出DF=4，再证△EFC∽△DEC,可求FC=1,进而解答即可．【详解】解：(1)证明：如图1，∵∠DPC=90°∴∠BPC+∠APD=90°，∵∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=90°∴∠APD=∠BPC，又∵∠A=∠B=90°∴△ADP∽△BPC，∴AD:BP=AP:BC∴AD⋅BC=AP⋅BP；(2)结论AD⋅BC=AP⋅BP仍成立；理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，又∵∠BPD=∠A+∠APD，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，∵∠DPC=∠A=α，∴∠BPC=∠APD，又∵∠A=∠B=α，∴△ADP∽△BPC，∴AD:BP=AP:BC∴AD⋅BC=AP⋅BP；(3)∵∠EFD=45°,∴∠B=∠ADE=45°,∴∠BAD=∠EDF,∴△ABD∽△DFE∴AB:DF=AD:DE∵Rt△ADE是等腰直角三角形∴AD:DE=1:2∴AB:DF=1:2∵AB=22∴DF=4∵Rt△ADE是等腰直角三角形∴∠AED=45°∵∠EFD=45°∴∠DEC=∠EFC=180°-45°=135°又∵∠C=∠C∴△DEC∽△EFC∴DC:EC=EC:CF即EC2=FC⋅(4+FC)∵EC=5∴5=FC(4+FC)∴FC=1解得CD=5．【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BCAC =mn，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．(1)探究发现：如图1，若m =n ，点E 在线段AC 上，则DE DF =；(2)数学思考：①如图2，若点E 在线段AC 上，则DE DF =(用含m ，n 的代数式表示)；②当点E 在直线AC 上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；(3)拓展应用：若AC =5，BC =25，DF =42，请直接写出CE 的长．【答案】(1)1；n m ；(2)①n m ；②n m ；(3)CE =25或CE =255【分析】(1)先用等量代换判断出∠ADE =∠CDF ，∠A =∠DCB ，得到△ADE ∽△CDF ，再判断出△ADC ∽△CDB 即可；(2)方法和1 一样，先用等量代换判断出∠ADE =∠CDF ，∠A =∠DCB ，得到△ADE ∽△CDF ，再判断出△ADC ∽△CDB 即可；(3)由2 的结论得出△ADE ∽△CDF ，判断出CF =2AE ，求出DE ，再利用勾股定理，计算出即可．【详解】解：1 当m =n 时，即：BC =AC ，∵∠ACB =90°，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠DCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠DCB ，∵∠FDE =∠ADC =90°，∴∠FDE -∠CDE =∠ADC -∠CDE ，即∠ADE =∠CDF ，∴△ADE ∽△CDF ，∴DE DF =AD DC，∵∠A =∠DCB ，∠ADC =∠BDC =90°，∴△ADC ∽△CDB ，∴AD DC =AC BC=1，∴DE DF =12 ①∵∠ACB =90°，∴∠A +∠ABC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠DCB +∠ABC =90°，∴∠A =∠DCB ，∵∠FDE=∠ADC=90°，∴∠FDE-∠CDE=∠ADC-∠CDE，即∠ADE=∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DE DF =AD DC，∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，∴△ADC∽△CDB，∴AD DC =ACBC=nm，∴DEDF=nm②成立.如图3，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC=90°，∴∠A=∠DCB，∵∠FDE=∠ADC=90°，∴∠FDE+∠CDE=∠ADC+∠CDE，即∠ADE=∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴DE DF =AD DC，∵∠A=∠DCB，∠ADC=∠BDC=90°，∴△ADC∽△CDB，∴AD DC =ACBC=nm，∴DE DF =n m．3 由2 有，△ADE∽△CDF，∵DE DF =ACBC=12，∴AD CD =AECF=DEDF=12，∴CF=2AE，如图4图5图6，连接EF．在Rt△DEF中，DE=22，DF=42，∴EF=210，①如图4，当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF=2AE=2AC-CE=25-CE，EF=210，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴CE2+25-CE2=40∴CE=25，或CE=-255(舍)②如图5，当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF=2AE=2AC+CE=25+CE，EF=210，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴CE2+25+CE2=40，∴CE=255，或CE=-25(舍)，③如图6，当E在CA延长线上时，在Rt△CEF中，CF=2AE=2CE-AC=2CE-5，EF=210，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，∴CE2+2CE-52=40，∴CE=25，或CE=-255(舍)，综上：CE=25或CE=25 5．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形相似的性质和判定，勾股定理，判断相似是解决本题的关键，求CE是本题的难点．。
相似三角形的判定边角边定理
目前相似三角形的判定定理已经比较完善，但仍有一些细节 和边缘问题需要进一步研究和探讨，以完善几何学的理论体 系。
05
练习与思考题
基础练习题
01
总结词
理解边角边定理的基本应用
02 03
题目1
已知$triangle ABC$和$triangle ABD$中，AB=AB，AC=AD，且 $angle BAC = angle BAD$，求证：$triangle ABC cong triangle ABD$。
03
边角边定理的应用
证明两个三角形相似
总结词
边角边定理是证明两个三角形相似的重要定理之一，通过比较两个三角形的两边和夹角是否相等，可 以判断两个三角形是否相似。
详细描述
边角边定理指出，如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形相似。具体来说，如果 $triangle ABC sim triangle A'B'C'$，且$AB = A'B'$，$AC = A'C'$，$angle B = angle B'$，则根据 边角边定理，可以推断出$triangle ABC$与$triangle A'B'C'$相似。
性质
边角边定理是相似三角形判定定理的 一种，它提供了判断两个三角形是否 相似的依据。
边角边定理的证明
证明方法一
通过三角形的性质和角的相等关系，利用三角形的 全等定理进行证明。
证明方法二
利用反证法，假设两个三角形不相似，然后通过一 系列推理和计算，得出矛盾，从而证明边角边定理 。
证明方法三
利用向量方法，通过向量的加法、数乘和向量的模 长等性质，证明两个三角形的向量相等，从而得出 两个三角形相似的结论。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法1.AA（角-角）相似判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则可以判断它们是相似三角形。
具体来说，如果两个三角形的两个角分别相等，则其他角也必然相等。
根据三角形内角和定理，一个三角形的三个角之和等于180度。
因此，两个角相等的三角形的第三个角也必然相等，这样就可以判断两个三角形是相似的。
2.SSS（边-边-边）相似判定法：如果两个三角形的三条边的比值相等，则它们是相似三角形。
具体来说，如果两个三角形的对应边的长度比值相等，则可以判断它们是相似三角形。
3.SAS（边-角-边）相似判定法：如果两个三角形的一个边与对应顶角的比值相等，而且另一对边的比值也相等，则可以判断它们是相似三角形。
4.AAA（角-角-角）相似判定法：如果两个三角形的三个角对应相等，则可以判断它们是相似三角形。
根据角度对应定理，如果两个三角形的三个角对应相等，则它们是相似的。
除了以上的几种判定方法，还有一些相似三角形的性质和定理可以用于判定。
例如：1.周角的比值定理：如果两个相似三角形的三个内角对应相等，那么它们的周角的比值也相等。
2.面积的比值定理：如果两个相似三角形的边长比值为a:b，则它们的面积比值为a²:b²。
3.高的比值定理：如果两个相似三角形的边长比值为a:b，则它们的高的比值也为a:b。
4.相似三角形的中位线定理：如果两个相似三角形的边长比值为a:b，则它们的中位线的比值也为a:b。
需要注意的是，这些判定方法和定理都是基于相似三角形的基本定义和性质推导出来的。
在应用时，需要根据所给条件具体判断是否可以使用相应的判定方法和定理。
以上是一些常见的相似三角形的判定方法和定理。
相似三角形是几何学中重要的概念之一，对于解决与三角形相关的问题有很大的帮助。
同时也为后续学习更高级的几何概念和定理打下了基础。
专题01 相似三角形重要模型之(双)A字型与(双)8字型(原卷版)
专题01 相似三角形重要模型之（双）A 字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
本专题重点讲解相似三角形的（双）A 字模型和（双）8（X ）字模型．A 字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1. “A ”字模型【模型解读与图示】“A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图31）“A ”字模型 条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ⇔AD AB ＝AE AC ＝DE BC.2）反“A ”字模型 条件：如图2，∠AE D ＝∠B ；结论：△ADE ∽△ACB ⇔AD AC ＝AE AB ＝DE BC .3）同向双“A ”字模型条件：如图3，EF ∥BC ；结论：△AEF ∽△ABC ，△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ⇔EG FG AG BD CD AD ==例1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．例2．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在三角形纸片ABC 中，C Ð3BC =，若沿AB 的垂直平分线的长为 ．例3．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在ABC V 中，AD BC ^，垂足为D ，5AD =，10BC =，四边形EFGH 和四边形HGNM 均为正方形，且点E 、F 、G 、H 、N 、M 都在ABC V 的边上，那么AEM △与四边形BCME 的面积比为______．例4.（2023.绵阳市九年级期中）如图，在ABC D 中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE AB AF AC=．（1）求证：AEF ABC D D ；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FG BD CD =．模型2. “X ”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图3 图41）“8”字模型条件：如图1，AB ∥CD ；结论：△AOB ∽△COD ⇔AB CD ＝OA OC ＝OB OD.2）反“8”字模型条件：如图2，∠A ＝∠D ；结论：△AOB ∽△DOC ⇔AB CD ＝OA OD ＝OB OC .3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB ∥CD ；结论：AE BE AB DF CF CD==4）斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD ∽△BOC ，△AOB ∽△DOC ⇔∠3＝∠4.例1．（2022·广东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接AC ，BE 交于点F ．若△AEF 的面积为2，则△ABC 的面积为( )A ．8B ．10C ．12D ．14例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图，,AB CD AE FD ∥∥，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则下列结论中错误的是（ ）A ．DH CH FH BH =B ．GE CG DF CB =C ．AF HG CE CG =D ．=FH BF AG FA例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB V 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12×=×S OC OD S OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC =，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2=OG GH ，若56=OE OA ，求12S S值．例4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有••1AF BD CE FB DC EA=．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A 作AG BC ∥，交DF 的延长线于点G ，则有AF AG FB BD =，CE CD EA AG =，∴1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG··=··=．请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC 三边CB ，AB ，AC 的延长线分别交直线l 于X ，Y ，Z 三点，证明：1BX CZ AY XC ZA YB××=．(2)如图（4），等边△ABC 的边长为2，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF =，CF 与AD 交于点E ，则AE 的长为________．(3)如图（5），△ABC 的面积为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD BC =，连接FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为________．模型3. “AX ”字模型（“A 8”模型）【模型解读与图示】图1 图2 图31）一“A ”一“8”模型条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ，△DEF ∽△CBF ⇔AD AE DE DF FE AB AC BC FC BF ====2）两“A ”一“8”模型条件：如图2，DE ∥AF ∥BC ；结论：111BC DE AF +=.3）四“A ”一“8”模型条件：如图3，DE ∥AF ∥BC,1111BC DE AF AG+==；结论：AF =AG 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为ABC V 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立的是（ ）A ．AD AE DB EC =B ．DE DF BC FC =C ．DE AE BC EC =D ．EF AE BF AC =例2．（2020·浙江·杭州启正中学九年级期中）如图，ABC V 中，中线AD ，BE 交于点F ，//EG BC 交AD 于点G ．（1）求AG GF的值．（2）如果BD =4DF =，请找出与BDA V 相似的三角形，并挑出一个进行证明．例3.（2023·安徽·九年级期中）图，AB GH CD ∥∥，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，求GH 的长．例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．（1）如图①，若四边形ABCD 为矩形，过点O 作OE ⊥BC ，求证：OE ＝CD ．（2）如图②，若AB ∥CD ，过点O 作EF ∥AB 分别交BC 、AD 于点E 、F ．求证：＝2．（3）如图③，若OC 平分∠AOB ，D 、E 分别为OA 、OB 上的点，DE 交OC 于点M ，作MN ∥OB 交OA 于一点N ，若OD ＝8，OE ＝6，直接写出线段MN 长度．课后专项训练1．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为（ ）A ．0.3cmB ．0.5cmC ．0.7cmD ．1cm2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，ABC V 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，12Ð=Ð．若4BC =，2AF =，3CF =，则EF =______．3．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上一点，且2AE DE =，BD 与CE 相交于点F ，若DEF V 的面积是3，则BCF △的面积是______．4．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G 为△ABC 的重心，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，具有性质：AG ：GD ＝BG ：GE ＝CG ：GF ＝2：1．已知△AFG 的面积为3，则△ABC 的面积为 _____．5．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，在ABC D 中，点,D E 分别在边,BA BC 上，且32AD CE DB EB ==，DBE D 与四边形ADEC 的面积的比为__________．6．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，点E 是AB 边上一点，3AE =，连接DE ，点F 是BC 延长线上一点，连接AF ，且12F EDC Ð=Ð，则CF =_________．7．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，过点B 作BD CB ^，垂足为B ，且3BD =，连接CD ，与AB 相交于点M ，过点M 作MN CB ^，垂足为N ．若2AC =，则MN 的长为__________．8．（2021·湖南郴州·中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中1111//////AA BB CC DD ，且AB BC CD ==．为使其更稳固，在A ，1D 间加绑一条安全绳（线段1AD ），量得0.4m AE =，则1AD =________m ．9．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，CF 交BE 于点G ，若8BE =，则GE =___．10．（2021·广西玉林·中考真题）如图，在ABC V 中，D 在AC 上，//DE BC ，//DF AB ．（1）求证：DFC △∽AED V ；（2）若13CD AC =，求DFC AED S S △△的值．11．（2022·湖北随州·九年级期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus ）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：设D ，E ，F 依次是△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1AD BE CF DB EC FA××=．这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线DE 交△ABC 的边AB 于点D ，交边AC 于点F ，交边BC 的延长线与点E ．过点C 作CM ∥DE 交AB 于点M ，则BE BD EC DM =，AD AF DM FC=（依据），∴BE AD EC DM ×＝BD AF DM FC×，∴BE •AD •FC ＝BD •AF •EC ，即1AD BE CF DB EC FA××=．情况②：如图2，直线DE 分别交△ABC 的边BA ，BC ，CA 的延长线于点D ，E ，F ．…（1）情况①中的依据指： ；（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；（3）如图3，D ，F 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，且AD :DB ＝CF :FA ＝2:3，连接DF 并延长，交BC 的延长线于点E ，那么BE :CE ＝ ．12．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC V 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =×V ，12DBC S BC h =×△．∴ABC DBC S S =V V ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h ¢，则ABC DBC S h S h =¢△△．证明：∵ABC S V(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM=△△．证明：过点A 作AE BM ^，垂足为E ，过点D 作DF BM ^，垂足为F ，则90AEM DFM Ð=Ð=°，∴AE ∥ ．∴AEM △∽ ．∴AE AM DF DM=．由【探究】（1）可知ABC DBCS S =△△ ，∴ABC DBC S AM S DM =△△．(3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBC S S △△的值为 ．13．（2023·江苏连云港·校考三模）【阅读材料】教材习题：如图，AB 、CD 相交于点O ，O 是AB 中点，ACBD ∥，求证：O 是CD 中点．问题分析：由条件易证AOC BOD ≌V V ，从而得到OC OD =，即点O 是CD 的中点方法提取：构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．【基础应用】已知ABC V 中，90B Ð=°，点E 在边AB 上，点F 在边BC 的延长线上，连接D ．(1)如图1，若AB BC =，AE CF =，求证：点D 是EF 的中点；(2)如图2，若2AB BC =，2AE CF =，探究CD 与BE 之间的数量关系；【灵活应用】如图3，AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆上一点，点E 是AB 上一点，点小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB ，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C ，如图4，测得m AC a =，m BC b =；（ⅱ）分别在AC ，BC ，上测得3a CM m =，m 3b CN =；测得m MN c =．求解过程：15.（2022长宁一模）已知, 在 △ABC 中, 5,8AB AC BC ===, 点 E 是射线 CA 上的动点, 点 O 是边 BC 上的动点，且 OC OE =, 射线 OE 交射线 BA 于点 D ．（1）如图 1, 如果 2OC =, 求 S △ADES △ODB 的值；（2）联结AO , 如果 AEO △ 是以AE 为腰的等腰三角形，求线段OC 的长；（3）当点E 在边AC 上时, 联结,BE CD DBE CDO ÐÐ=、, 求线段OC 的长．16．（2023·上海市徐汇中学九年级期中）已知：矩形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝6，点E 在对角线AC 上，且满足AE ＝2EC ，点F 在线段CD 上，作直线FE ，交线段AB 于点M ，交直线BC 于点N ．（1）当CF ＝2时，求线段BN 的长；（2）若设CF ＝x ，△BNE 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME 能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x 的值．17．（2023·上海奉贤·二模）已知：如图，在梯形ABCD 中，CD ∥AB ，∠DAB ＝90°，对角线AC 、BD 相交于点E ，AC ⊥BC ，垂足为点C ，且BC 2＝CE •CA ．（1）求证：AD ＝DE ；（2）过点D 作AC 的垂线，交AC 于点F ，求证：CE 2＝AE •AF ．18．（2023·河南省淮滨县九年级期中） 如图，正方形ABCD 的边长为12，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ，将ABE △沿直线AE 翻折，点B 落在点B ¢处．（1）当1BE CE=时，如图1，延长AB ¢，交CD 于点M ，①CF 的长为________；②求证：AM FM =． （2）当点B ¢恰好落在对角线AC 上时，如图2，此时CF 的长为________；BE CE =________； （3）当3BE CE =时，求DAB ¢Ð的正弦值．。
相似三角形的判定方法
相似三角形的判定方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似；
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
3、三边成比例的两个三角形相近；
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似；
5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边，分别对应成比例，如果三组对应边较之都相同，则三角形相近。
方法一:定理法，即平行于三角形一边的直线和其他俩边（或他的延长线）相交，所
截得的三角形与原三角形相似，俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形，小的
三角形两边延长就成为了大三角形的两边；
方法二:俩角对应成正比的三角形相近，俗语来说先找出这两个三角形的对应边，间
接找到三角形三组对应角有俩组与成正比则相近；
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，俗话来讲:先找到各对应边对应角，一一对应后会很方便。
两边对应成比例:两组对应边之比相等，即按同一种比法相比。
夹
角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等；
方法四:三边对应成比例，俗语来说:如上均先找出对应边对应角，将其一一对应。
三边对应成比例:就是三组对应边之比相等，比法均一致；
认定五:只适用于于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相近，俗语
来说俗语来说:某种程度上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另
外一个直角边也对应成比例。
相似三角形的判定SAS定理概述
定理的推广
推广到多边形
将SAS定理从三角形推广到多边形， 需要寻找多边形中对应顶点之间的角 和边的关系，以判断两个多边形是否 相似。
推广到高维空间
在高维空间中，可以定义高维几何对 象之间的相似性，并利用SAS定理的 思路进行判定。
定理的证明推广
证明方法的改进
对SAS定理的证明方法进行改进，可以更深入地理解定理的 本质，并发现新的应用领域。
在数学竞赛中的应用
几何证明
在数学竞赛中，经常需要使用相似三角形判 定定理来证明几何定理或解决几何问题。
代数与三角函数
在数学竞赛中，有时需要使用相似三角形判 定定理来求解代数或三角函数问题。
在科学研究和工程中的应用
物理学
在物理学中，相似三角形判定定理常用于研究力学、光学等领域的问题。
地理学
在地理学中，相似三角形判定定理常用于研究地球的形状、大小等问题。
判定多边形相似
对应角相等
如果两个多边形的对应角相等， 则这两个多边形相似。
对应边成比例
如果两个多边形的对应边成比例 ，则这两个多边形相似。
在几何图形中的应用
01
02
03
确定相似图形
通过SAS定理，我们可以 确定哪些图形是相似的， 这对于解决几何问题非常 重要。
计算面积和周长
通过相似图形的性质，我 们可以计算图形的面积和 周长。
解决实际问题
在解决实际问题时，如建 筑设计、地图绘制等，我 们经常需要使用相似图形 的概念。
03
SAS定理与其他相似三角 形判定定理的关系
SAS定理定义
总结词
SAS定理是相似三角形判定定理的一种，即如果两个三角形的两边及夹角分别 相等，则这两个三角形相似。
《相似三角形的判定》优质课1
(3)∵CE∥AD，∴△CEF∽△ADF，∴ACFF ＝ACDE ＝12AADB ＝34 ，∴
AC AF
＝74
【素养提升】 16．(14分)(动态探究)如图，已知A是直角∠MON内部的一点，过点A 作AB⊥ON于点B，AB＝3 cm，OB＝4 cm，动点E，F同时从点O出发， 分别以1.5 cm/s，2 cm/s的速度沿射线ON，OM的方向运动，连接EF， AE，EF与OA交于点C，且当点E到达点B时，点F也随之停止运动，设 运动时间为t s(t>0). (1)当t＝1时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由； (2)在运动过程中，不论t取何值，总有EF⊥OA，为什么？ (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△AEB与△OEF相似？
2．(3分)(雅安中考)如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中 的三角形(阴影部分)与△ A1B1C1相似的是( B )
ACC14．．．．((166(01，，0m分55)))如B．图31．，5 四m(边4C分形．DDA．．2)B0如C((m44D，，，图22D))C．D，E25FO，mE是FGH△都A是相B同C的内正方任形意． 一点，AD＝13 AO，BE＝13 BO，
7．(4分)如图，已知∠DAB＝∠EAC，添加一个条件：________ ___AA_DB___＝__AA_CE___(答__案__不__唯__一__)_______________，使△ ADE∽△ABC.
8．(4分)如图，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量 零件的内孔直径AB，若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 cm，则零件的 内孔直径AB的长为__2_0_ cm.
9.5 相似三角形判定定理的证明
探究2 知识要点
两边对应成比例且夹角 相等，两三角形相似.
已知:∠B
=∠B1
，
AB A1B1
BC ,
B1C1
BC AC ，
AC AD
AD= 25 . 4
探究3 知识要点
三边对应成比例，两三角形相似.
已知: AABB
BC BC
AC AC
,
求证:△ABC∽△A′B′C′.
B′
赶紧动手试 试吧!
B
A′
C′
A C
已知：在ABC和A' B'C'中，AB BC AC .
求证: △ ABC ∽△ A' B'C'.
的判定方法: 两角对应相等，两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形 相似. 三边对应成比例,两三角形相似.
探究1 知识要点
两角对应相等，两三角形相似.
已知：∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，
求证：△ABC ∽△ A′B′C′.
A'B' B'C' A'C '
A'C' A'C '
∴ A' E AC. 同理 DE BC.
∴ A' DE ABC. ∴ ABC ∽ A' B'C '.
小结
• 通过本节课的学习，您学会了哪些知识 和方法？哪里还有困惑？
布置作业
2022九年级数学上册 第22章 相似形22.2 相似三角形的判定第2课时 相似三角形的判定定理1
5 即3 2
AC 3
AC
，∴AC＝
5 2
.
BA
12．如图，在△ABC中，AB＝8 cm，BC＝16 cm，点P从点A开始沿 AB边向点B以2 cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s 的速度运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，以P，Q，B 为顶点的三角形与△ABC相似？
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。2022/5/62022/5/6Friday, May 06, 2022
10、低头要有勇气，抬头要有低气。2022/5/62022/5/62022/5/65/6/2022 9:04:01 AM
11、人总是珍惜为得到。2022/5/62022/5/62022/5/6M ay-226-May-22
解：△BCD∽△BAC.理由如下：∵BD＝ 4 ，AB
4
3
＝3，BC＝2，∴ B D 3 2 ， B C 2 ，
BC 2 3 B A 3
∴ B D B C . ∵∠DBC＝∠CBA， BC BA
∴△BCD∽△BAC.
(2)若CD＝
5 3
，求AC的长．
解：∵△BCD∽△BAC，∴ C D B C ，
BC BA
16
8
过2秒或0.8秒时，以P，Q，B为顶点的三角形与△ABC相似．
1.利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似时，易找错对应边而判断错误． 2.考虑问题不周全而出错．例如：在△ABC中，AB＝9，AC＝6.点M在边AB上，且AM＝3， 点N在AC边上．求当AN的长为多少时，△AMN与原三角形相似．解决此问题应分类讨论： ①△AMN∽△ABC；②△AMN∽△ACB.
6．△ABC如图，那么以下四个三角形中，与△ABC相似的 是( C)
相似三角形判定定理的证明
03 弦切角定理
定义与性质
定义
弦切角是指与圆相切的直线与圆弧所夹的角 。
性质
弦切角等于所夹弧所对的圆周角。
定理证明方法
要点一
证明方法一
利用三角形内角和定理和圆周角定理的推论进行证明 。
要点二
证明方法二
通过圆心与弦切角顶点的连线平分弦切角，利用平行 线的性质进行证明。
应用实例
在相似三角形判定定理的证明中，弦切角定理可以用 来证明两个三角形相似，通过比较两个三角形中的弦 切角大小来证明它们的对应角相等。
应用二
在物理学中，射影定理可以用于求解光线反 射和折射等问题。例如，在求解一个光线反 射的问题时，可以利用射影定理得到反射光 线与入射光线在法线上的投影的比例中项的 关系式，进而求出反射角的大小。
08 三角形五心定律
Байду номын сангаас
定义与性质
定义
三角形五心定律是指一个三角形中，五个特殊点的集 合，这五个点分别对应于三角形的重心、垂心、外心 、内心和旁心。
。
2. 作AD为BC边的中线 ，并延长AD至E，使
DE=AD。
定理证明方法
3. 连接CE并延长至F，使CF=CE。 4. 连接AF、BF，证明AF平行于BC。 5. 根据平行线性质，AF=BC/2。
定理证明方法
6. 由于AD=DE=AF，所以AD=BC/2。
方法二：利用勾股定理证明
1. 在一个直角三角形ABC中， ∠ACB=90°。
证明相似三角形
利用三角形五心定律，可以通过 证明两个三角形的对应心的连线 相互平行，从而证明两个三角形
相似。
简化几何问题
利用三角形五心定律，可以简化 一些复杂的几何问题，例如，利 用重心将一个复杂图形分解为几 个简单的部分，然后分别解决每
2023年中考数学【选择题】讲练必考重点01 三角形与四边形的性质及判定
【选择题】必考重点01三角形与四边形的性质及判定近几年江苏中考看，在选择题中对几何性质的考查一直是必考点，对于平行线的性质一般考查比较简单，三角形和四边形的性质的考查在难度上多数为中等或者较难题型较多，在解此类题型时，需要考生熟练掌握三角形、四边形的性质和判定定理，能够利用判定定理判定特殊的三角形、四边形以及三角形全等，并利用它们的性质，求解角度的大小、角与角之间的数量关系，线段的长度以及线段之间的数量关系、位置关系等。
【2022·江苏泰州·中考母题】如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 一边作正方形DEFG .设DE =d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2，d 3，则d 1＋d 2＋d 3的最小值为( )A B ．2 C ．D ．4【考点分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明等知识点。
【思路分析】要求d1＋d2＋d3的最小值，首先应明白，只有当A 、E 、F 、C 四点共线时，d1＋d2＋d3的值最小。
先连接CF 、CG 、AE ，证()ADE CDG SAS ∆≅∆可得AE CG =，得到DE CF CG EF CF AE ++=++。
【2021·江苏无锡·中考母题】如图，D 、E 、F 分别是ABC 各边中点，则以下说法错误的是（ ）A．BDE和DCF的面积相等B．四边形AEDF是平行四边形=，则四边形AEDF是菱形C．若AB BCD．若90∠=︒，则四边形AEDF是矩形A【考点分析】本题考查三角形中位线性质定理和平行四边形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性质。
【思路分析】根据中位线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形、菱形、矩形的判定定理逐一判断各个选项，即可得到答案．【2020·江苏南通·中考母题】如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）B．C．D．A【考点分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键。
第15讲 相似、投影与视图(易错点梳理+微练习)(解析版)
第15讲相似、投影与视图易错点梳理易错点梳理易错点01混淆相似三角形的判定定理与全等三角形的判定定理相似三角形的常用判定方法有：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；两角对应相等，两三角形相似.全等三角形的常用判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS 这4种。
易错点02混淆位似和相似位似是一种特殊的相似，位似图形一定相似（或全等），但相似图形不一定位似易错点03错误认为相似三角形的面积比等于相似比错误认为相似三角形的面积比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方。
易错点04混淆平行投影与正投影的概念由平行的光线所形成的投影是平行投影.在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影叫作正投影，正投影属于平行投影的一种。
易错点05颠倒了视图的观察方向一个物体在3个相互垂直的投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图是主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图是俯视图，在侧面内得到的由左向右观察物体的视图是左视。
图.例题分析考向01相似三角形的性质例题1：（2021·陕西兴平·九年级期中）如图，在正方形ABCD 中，点P 、Q 分别在AB 、BC 的延长线上，且BP CQ =，连接AQ ，DP 交于点O ，并分别与边CD ，BC 交于点F ，E ，连接AE ，下列结论：①AQ DP ⊥；②2OA OE OP =⋅；③AOD S =△S 四边形OECF ，其中正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AB AD BC CD DAB ABC ===∠=∠=︒，∵BP CQ =，∴BP AB CQ BC +=+，即AP BQ =，在△DAP 与ABQ △中，ADABDAP ABQ AP BQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAP ≌△ABQ ，∴P Q ∠=∠，∵90Q QAB ∠+∠=︒，∴90P QAB ∠+∠=︒，∴90AOP ︒=∠，∴AQ DP ⊥，则结论①正确；∵90DOA AOP ∠=∠=︒，90ADO P ADO DAO ∠+∠=∠+∠=︒，∴DAO P ∠=∠，∴△DAO ∽△APO ，∴OAODOP OA =，∴2OA OD OP =⋅，∵AE AB >，AB AD =，∴AE AD >，∴OD OE ≠，∴2OA OE OP ≠⋅；则结论②错误；在CQF △与△BPE 中，FCQ EBP Q P CQ BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CQF ≌△BPE ，∴CF BE =，∴CD CF BC BE -=-，即DF CE =，在△ADF 与△DCE 中，90AD CD ADF DCE DF CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△DCE，∴△△=ADF DCE S S ，∴ADF DFO DCE DOF S S S S -=-△△△△，即AOD OECF S S = 四边形，则结论③正确；综上，正确结论的个数是2个，故选：C ．例题2：（2021·河南·平顶山市第九中学九年级期中）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG ＝45°；②DEF ABG ∽△△；③32ABG FGH S S =△△；④AG +DF ＝FG ．其中正确的是（）（把所有正确结论的序号都选上）A ．①②B ．①④C ．①②③D ．①③④【答案】D 【解析】解：∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，∴∠CBE ＝∠FBE ，∠ABG ＝∠FBG ，BF ＝BC ＝10，BH ＝BA ＝6，AG ＝GH ，∴∠EBG ＝∠EBF ＋∠FBG ＝12∠CBF ＋12∠ABF ＝12∠ABC ＝45°，所以①正确；在Rt △ABF 中，AF 8==，∴DF ＝AD −AF ＝10−8＝2，设AG ＝x ，则GH ＝x ，GF ＝8−x ，HF ＝BF −BH ＝10−6＝4，在Rt △GFH 中，∵GH 2＋HF 2＝GF 2，∴x 2＋42＝（8−x ）2，解得x ＝3，∴GF ＝5，∴AG ＋DF ＝FG ＝5，所以④正确；∵△BCE 沿BE 折叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处∴∠BFE ＝∠C ＝90°，∴∠EFD ＋∠AFB ＝90°，而∠AFB ＋∠ABF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EFD ，∴△ABF ∽△DFE ，∴AB AF DF DE =，∴8463DE AF DF AB ===，而623AB AG ==，∴AB DE AG DF≠，∴△DEF 与△ABG 不相似；所以②错误．∵S △ABG ＝12×6×3＝9，S △GHF ＝12×3×4＝6，∴S △ABG ＝32S △FGH ．所以③正确．∴正确的结论有：①③④，故选：D ．考向02相似三角形的判定例题3：如图，每个小方格的边长都是1，则下列图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：因为△ABC中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有C，且满足两边成比例夹角相等，故选：C．例题4：（2021·上海浦东新·九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（）A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；∵∠EBM=∠DCA=45︒，∠MGC=∠BGF，∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；∵∠CAB=∠ACB=∠FBG=45°，∴∠ABF+∠CBG=45°，∴∠ABF与∠CBG不一定相等，∴△ABF与△CBG不一定相似，故选项C符合题意；∠=︒∠+∠∠=︒=∠+∠45=,45,FBG DBE DBM DBC DBM CBG∴∠=∠DBE CBG,∠=∠=︒EDB GCB45,∴△BDE∽△BCG，故D不符合题意；故选：C．考向03投影与视图例题5：（2021·广东深圳·九年级期末）如图所示的几何体，从左面看的图形是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：从左面看，是一列三个小正方形．故选A．例题6：（2021·江苏南京·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，故选D微练习一、单选题1．（2021·陕西武功·九年级期中）如图，直线123l l l ∥∥，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若:2:3AB BC =，9EF =，则DE 的长是（）A ．4B ．7C ．6D ．12【答案】C 【解析】解：∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB ：BC =DE ：EF ，∵AB ：BC =2：3，EF =9，∴2：3=DE ：EF ，∴DE =6．故选：C ．2．（2021·河南封丘·九年级期中）下列图形一定相似的是（）A ．两个平行四边形B ．两个矩形C ．两个正方形D ．两个等腰三角形【答案】C 【解析】解：A 、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；B 、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；C 、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确；D 、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选C ．3．（2021·上海市市西初级中学九年级期中）将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC 与△AFG 摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE ，那么图中一定相似的三角形是（）A ．△ABC 与△ADEB ．△ABD 与△AEC C ．△ABE 与△ACD D ．△AEC 与△ADC【答案】C 【解析】A.△ABC 是直角三角形，△ADE 不是直角三角形，故不能判断△ABC 与△ADE 相似；B.只有C B ∠=∠，不能判断B 选项中△ABD 与△AEC 相似；D.只有C C ∠=∠，不能判断D 选项中△AEC 与△ADC 相似；C.,ABC AFG △△是等腰直角三角形，则45,90ABE ACB DAE BAC ∠=∠=∠=︒∠=︒设BAD ∠=α，则45ADC BAD B α∠=∠+∠=︒+，90DAC BAC BAD α∠=∠-∠=︒-，9045EAC DAE BAD α∴∠=︒-∠-∠=︒-，∴AEB C EAC ∠=∠+∠454590αα=︒+︒-=︒-，DAC AEB ∴∠=∠45C B ∠=∠=︒ ∴ABE DCA △△∽,故选C ．4．（2021·福建周宁·九年级期中）如图，点P 是△ABC 的边AC 上一点，连结BP ，以下条件中，不能判定△ABP ∽△ACB 的是（）A ．AB AP ＝AC AB B ．BC BP ＝AC AB C ．∠ABP ＝∠CD ．∠APB ＝∠ABC【答案】B【解析】解：A 、∵∠A =∠A ，AB AP ＝AC AB ∴△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意；B 、根据BC BP ＝AC AB 和∠A =∠A 不能判断△ABP ∽△ACB ，故本选项符合题意；C 、∵∠A =∠A ，∠ABP =∠C ，∴△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意；D 、∵∠A =∠A ，∠APB =∠ABC ，∴△ABP ∽△ACB ，故本选项不符合题意；故选：B ．5．（2021·河南·郑州市第二初级中学九年级期中）如图，▱OABC 的顶点O （0，0），A （1，2），点C 在x 轴的正半轴上，延长BA 交y 轴于点D ，将△ODA 绕点O 顺时针旋转得到△OD 'A '，当点D 的对应点D '落在OA 上时，D 'A '的延长线恰好经过点C ，则点C 的坐标为（）A ．B ．C ．1,0)+D ．1,0)+【答案】B 【解析】解：延长A ′D ′交y 轴于点E ，延长D ′A ′，由题意D ′A ′的延长线经过点C ，如图，∵A （1，2），∴AD =1，OD =2，∴OA ==由题意：△OA ′D ′≌△OAD ，∴A ′D ′=AD =1，OA ′=OA OD ′=OD =2，∠A ′D ′O =∠ADO =90°，∠A ′OD ′=∠DOD ′．则OD ′⊥A ′E ，OA 平分∠A ′OE ，∴△A ′OE 为等腰三角形．∴OE =OA ED ′=A ′D ′=1．∵EO ⊥OC ，OD ′⊥EC ，∴△OED ′∽△CEO ．∴ED EO OD OC''=．∴12=．∴OC∴C （0）．故选：B ．6．（2021·安徽·阜阳实验中学九年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°．AB ＝BC ．点D 是线段AB 上的一点，连接CD ．过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD 、CA 于点E 、F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连接DF ，给出以下四个结论：①AG AB ＝AF FC ；②若点D 是AB 的中点，则AF＝3AB ；③当B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF ＝DB ；④若DB AD ＝12，则9=ABC BDF S S △△，其中正确的结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】解：依题意可得BC ∥AG ，∴△AFG ∽△CFB ，∴AG AF BC CF=，又AB ＝BC ，∴AG AF AB CF =．故结论①正确；如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4．在△ABG 与△BCD 中，3490AB BC BAG CBD ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，∴△ABG ≌△BCD （ASA ），∴AG ＝BD ，又∵BD ＝AD ，∴AG ＝AD ；∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC ；∴AG ＝AD ＝12AB ＝12BC ；∵△AFG ∽△BFC ，∴AG BC ＝AF FC，∴FC ＝2AF ，∴AF ＝13AC ＝3AB ．故结论②正确；当B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，∵∠ABC ＝90°，∴CD 是B 、C 、F 、D 四点所在圆的直径，∵BG ⊥CD ，∴，∴DF ＝DB ，故③正确；∵AG AF AB CF =，AG ＝BD ，12BD AD =，∴13BD AB =，∴AF CF ＝13，∴AF ＝14AC ，∴S △ABF ＝14S △ABC ；∴S △BDF ＝13S △ABF ，∴S △BDF ＝112S △ABC ，即S △ABC ＝12S △BDF ．故结论④错误．故选：C ．7．如图所示，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1米，继续往前走3米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度AB 等于（）A ．4.5米B ．6米C ．7.2米D ．8米【答案】B 【解析】解：如图所示，GC ⊥BC ，AB ⊥BC ，∵=王华的身高路灯的高度王华的影长路灯的影长，当王华在CG 处时，Rt △DCG ∽Rt △DBA ，即DC GC DB AB =，当王华在EH 处时，Rt △FEH ∽Rt △FBA ，即EF EH CG BF AB AB==，∴CD EF BD BF =，∵CG ＝EH ＝1.5米，CD ＝1米，CE ＝3米，EF ＝2米，设AB ＝x ，BC ＝y ，∴1215y y =++，解得y ＝3，则1.514x =，解得，x ＝6米．即路灯A 的高度AB ＝6米．故选：B ．8．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m 时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm ，当测试距离为3m 时，最大的“”字高度为（）A ．4.36B ．29.08C ．43.62D ．121.17【答案】C 【解析】根据题意，得CAB FAD ∠=∠，且90ABC ADF ∠=∠=︒∴ABC ADF△∽△∴BC DF AB AD=∴72.7343.62mm 5BC AD DF AB ⨯⨯===故选：C ．9．（2021·山东·济南市济阳区实验中学九年级期中）如图，四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，若OA ：OA ′ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为（）A ．4：9B ．2：5C ．2：3D ．5：5【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，OA ：OA∴DA ：D ′A ′=OA ：OA∴四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为：2：2=2：5，故选：B．10．下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①两个正方形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形，②两个等边三角形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形，③两个同心圆符合位似图形的定义，是位似图形，④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，∴正确的有③④，共2个，故选：B．11．（2021·江苏淮安·中考真题）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：从上面看该几何体，所看到的图形如下：故选：A．12．（2021·福建·中考真题）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】从上面看是一个正六边形，中间是一个圆，故选：A ．二、填空题13．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）在△ABC 中，点D 在边AC 上，且AD ：DC ＝1：2，E 为BD 中点，延长AE 交BC 于点F ，则BF ：FC 的值是___．【答案】1:3【解析】如图，过点D 作//DG AF 交BC 于点G ，AD FG DC GC ∴=12=即2GC FG=E 是BD 的中点，//DG AF1BE BF ED FG∴==即BF FG=:BF FC ∴=1:3故答案为：1:314．阳光下，同学们整齐地站在操场上做课间操，小勇和小宁站在同一列，小勇的影子正好落到后面一个同学身上，而小宁的影子却没有落到后面一个同学身上，据此判断他们的队列方向是______（填“背向太阳”或“面向太阳”），小宁比小勇_______（填“高”、“矮”、或“一样高”）．【答案】面向太阳矮【解析】∵小勇的影子正好落到后面一个同学身上，∴他们的队列方向是面向太阳，∵小宁的影子却没有落到后面一个同学身上，∴小勇的影子比小宁的影子长，∴小宁比小勇矮．故答案为：面向太阳，矮15．如图，在△ABC 中，O 是BC 的中点，以点O 为位似中心，作△ABC 的位似图形△DEF．若点A 的对应点D 是△ABC 的重心，则△ABC 与△DEF 的位似比为______．【答案】3:1【解析】∵点D 是△ABC 的重心，O 是BC 的中点∴2AD OD=∵O 是BC 的中点，以点O 为位似中心，作△ABC 的位似图形△DEF∴ODF OAC△∽△∴31AC OA OD AD DF OD OD +===故答案为：3:1．16．（2021·辽宁千山·九年级期中）如图，已知等边三角形ABC 绕点B 顺时针旋转60︒得BCD △，点E 、F 分别为线段AC 和线段CD 上的动点，若AE CF =，则下列结论：①四边形ABDC 为菱形；②△ABE ≌△CBF；③△BEF 为等边三角形；④CFB CGE ∠=∠；⑤若3CE =，1CF =，则154BG =．正确的有（填序号）________．【答案】①②③④【解析】解：由等边三角形和旋转的性质可知AB =AC =BD =CD ，即四边形ABDC 为菱形，故①正确；∵在△ABE 和△CBF 中，60AB CB BAE BCF AE CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≅△CBF (SAS)，故②正确；∵△ABE ≅△CBF ，∴BE =BF ，∠ABE =∠CBF ，∵∠ABC =∠ABE +∠EBC =60°，∴∠CBF +∠EBC =60°，即∠EBF =60°，∴△BEF 为等边三角形，故③正确；∵∠CFB =∠CFG +∠BFG ，∠CGE =∠CFG +∠FCG ，又∵∠FCG =60°，∠BFG =60°，∴∠CFB =∠CGE ，故④正确；∵AE =CF =1，∴BC =AC =AE +CE =4，∵∠CFB =∠CGE ，∠ECG =∠BC F=60°，∴△CFB ∼△CGE ，∴CG CE CF BC =，即314CG =∴CG =34，∴BG =BC −CG =4−34=134，故⑤错误．综上，①②③④正确．故答案为①②③④．三、解答题17．（2021·上海市奉贤区实验中学九年级期中）已知：线段a 、b 、c ，且345a b c ==．（1）求23a b c +的值；（2）如线段a 、b 、c 满足3a ﹣4b +5c ＝54，求a ﹣2b +c 的值．【答案】（1）1115；（2）0【解析】解：（1）由345a b c ==设3,4,5a k b k c k ===∴23241111=3351515a b k k k c k k ++⨯==⨯（2）把3,4,5a k b k c k ===代入3a ﹣4b +5c ＝54得33445554k k k ⨯-⨯+⨯=整理得，1854k =∴3k =∴9,12,15a b c ===∴2=9212150ab c +-⨯+=﹣18．（2021·河南原阳·九年级期中）如图，在△ABC 中，DF ∥AC ，DE ∥BC ．（1）求证：BF CE FC EA=；（2）若AE ＝4，EC ＝2，BC ＝10，求BF 和CF 长．【答案】（1）见解析；（2）103BF =，203CF =【解析】（1）证明：∵DF ∥AC ，∴BF BD FC AD=，∵DE ∥BC ，∴BD CE AD AE =，∴BF CE FC AE=；（2）解：设BF x =，∵10BC =，∴10CF x =-，∵BF CE FC AE =，且AE ＝4，EC ＝2，∴2104x x =-，解得：103x =，∴103BF =，∴10201033CF =-=．19．（2021·广东南海·九年级期中）如图，已知O 是坐标原点，AB 两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．（1）以点O 为位似中心，在y 轴的左侧将△OAB 放大2倍；（2）分别写出A ，B 两点的对应点A ′，B ′的坐标．【答案】（1）见详解；（2）A′（-6,2），B′（-4，-2）.【解析】解：(1)如图，△OB ꞌA ꞌ为所作；(2)∵236,2(1)2,224,212,-⨯=--⨯-=-⨯=--⨯=-∴A ，B 两点的对应点A ′，B ′的坐标为A ′（-6,2），B ′（-4，-2）.20．（2021·山东长清·九年级期中）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB 所示，他在地面上的影子如图中线段AC 所示．（1）请你通过画图确定灯泡所在的位置．（2）如果小明的身高AB ＝1.6m ，他的影子长AC ＝1.4m ，且他到路灯的距离AD ＝2.1m ，求灯泡的高．【答案】（1）见解析；（2）4m【解析】（1）解：如图，点O 为灯泡所在的位置，线段FH 为小亮在灯光下形成的影子；（2）解：由已知可得，OD BA∥∴ABC DOC△∽△∴AB DO ＝CA CD，∴1.6DO ＝ 1.41.4 2.1+，∴OD ＝4m ．∴灯泡的高为4m ．21．（2021·陕西兴平·九年级期中）如图，在锐角△OAB 中，点M ，N 分别在边OB ，OA 上，连接MN ，OG AB ⊥于点G ，OH MN ⊥于点H ，NOH GOB ∠=∠．（1）求证：OHN OGB V :V ；（2）若3OM =，7OA =，求MN AB的值．【答案】（1）见解析；（2）37【解析】（1）证明：∵90OHN OGB ∠=∠=︒，NOH GOB ∠=∠，∴OHN OGB V :V ．（2）解：由（1）得OHN OGB V :V ，∴ONH B ∠=∠，又∵AOB MON ∠=∠，∴OMN OAB △△:．∴37MN OM AB OA ==．22．（2021·广东·松岗实验学校九年级期中）如图①，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O 与坐标原点重合，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OC ＝5，点E 在边BC 上，点N 的坐标为（3，0），过点N 且平行于y 轴的直线MN 与EB 交于点M ．现将纸片折叠，使顶点C 落在MN 上，并与MN 上的点G 重合，折痕为OE ．（1）点G 的坐标为；点E 的坐标为；（2）如图②，若OG 上有一动点P （不与O ，G 重合），从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OG 方向向点G 匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ＜5），过点P 作PH ⊥OG 交OE 于点H ，连接HG ，求出△PHG 的面积s 与t 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，求当t 为何值时，以点P 、H 、G 为顶点的三角形与△OEG 相似？【答案】（1）（3，4），（53，5）；（2）()2150566S t t t =-+<<；（3）52或92【解析】解：（1）由翻折的性质可知，OC ＝OG ＝5，CE ＝EG ，∵N (3，0)，NM //OC ，∴∠ONG ＝90°，∴GN 22OG ON -2253-4．∴G (3，4)，∵MN //OC ，CM //ON ，∴四边形OCMN 是平行四边形，∵∠CON ＝90°，∴四边形OCMN 是矩形，∴CM ＝ON ＝3，设EC ＝EG ＝x ，在Rt △EMG 中，则有x 2＝12+(3﹣x )2，解得x ＝53，∴E (53，5)，故答案为：(3，4)，(53，5)；（2）∵∠OPH ＝∠OGE ＝90°，∠POH ＝∠GOE ，∴△OPH ∽△OGE ，∴OP OG ＝PH EG，∴553t PH =，∴PH ＝3t ，∴S ＝12•PG •PH ＝12×(5﹣t )×3t ＝﹣16t 2+56t （0＜t ＜5）；（3）∵∠GPH ＝∠EGO ＝90°，∴当PH EG ＝PG OP时，△GPH ∽△OGE ，∴1353t ＝55t -，解得t ＝52．当PH OG ＝PG EG时，△GPH ∽△EGO ，∴135t ＝553t -，解得t ＝92，综上所述，满足条件的t 的值为52或92．。
相似三角形的判定教案
13
三边对应成比例判定法
定理内容：三边对应成比 例的两个三角形相似。
判定步骤
2024/1/28
1. 确定已知条件，包括已 知的三组对应边。
3. 如果三组对应边的比值 相等，则根据三边对应成 比例定理判断两个三角形 是否相似。
2. 计算三组对应边的比值 ，判断是否相等。
14
2024/1/28
在几何、三角函数中，相似三角形都有着广泛的应用，如测量高度、距 离等。
25
思考题与课后作业布置
课后作业
列举生活中应用相似三角形的实 例，并解释其原理。
完成教材上的相关练习题，巩固 相似三角形的判定方法和性质。
思考题：已知两个三角形有两组 对应的角分别相等，那么这两个 三角形是否一定相似？为什么？
2024/1/28
思考并尝试证明：如果两个三角 形的三组对应边成比例，那么这 两个三角形是否一定相似？
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谢谢您的聆听
THANKS
2024/1/28
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2024/1/28
2. 测量角度
使用量角器测量这两组对应角 的度数。
实例分析
通过具体图形和角度测量，演 示如何利用两角对应相等判定 两个三角形相似。
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案例三：利用三边对应成比例判定相似三角形
判定定理
01 如果两个三角形的三组对应边
成比例，则这两个三角形相似 。
1. 标记对应边
02 在两个三角形中，分别标记出
2024/1/28
判定步骤
1. 确定已知条件，包括已知角或已知边 。
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两角对应相等判定法
判定步骤
定理内容：两角对应相等的 两个三角形相似。
01
1. 确定已知条件，包括已知
初中相似三角形解题技巧集锦
运用角平分线
1. 角平分线的基本概念和性质：角平分线是指将一个角平分成两个相等的 角的线段，具有对称性和比例性质。 2. 利用角平分线求相似三角形的边长比例：在一些相似三角形的题目中， 可以通过利用角平分线的比例性质，以及已知三角形中某个角的度数或边 长比例，求解出其他角的度数或相应边的比例。 3. 利用角平分线证明两条线段平行：当两条平行线段中夹角被角平分线平 分时，这两条线段与角平分线所形成的两个小三角形必定相似，因此它们 之间的对应边也成比例关系，从而可以通过此法证明两条线段平行。
利用比例求两直线平行
1. 利用角的对应性质确定直线之间的关系：当两直线上的对应角相等时，这两直线平行。 2. 利用对应线段成比例的性质求解：在相似三角形中，两直线与三角形相对的边成比例，因此可以利用已知边长求解未知边长，从而判断两直线是否 平行。
04
知识点巩固题型
Knowledge point consolidation question type
VIEW MORE
05
实例分析解题
Example analysis and problem-solving
实例分析解题
图形比较 关键词 关键词 关键词 关键词 关键词 关键词
边长比较 比较边长的大小关系
内角相等 边长比例
比例计算 比例的性质 求解未知量
实际应用
06
解题技巧总结
Summary of problem-solving techniques
02
角度相等法解题
Solving problems using the method of equal angles
相等角作边比
1. 什么情况下可以使用相等角作边比法？ 2.需要强调的是，只有在两个三角形中存在对应的相等角才能使用相等角作边比法进行解题。如果没有找到相等角，就不能使用这个解题方法。 3. 如何判断哪些边是对应边？ 4.可以观察两个三角形的图形，找出它们的相等角，然后根据对应角对应边的关系，就可以判断出两个三角形的对应边。
两边对应成比例且夹角相等两三角形相似
05
总结与展望
总结
两边对应成比例且夹角相等是判 断两三角形相似的充分必要条件， 这一结论在几何学中具有重要地
位。
在实际应用中，这一结论被广泛 应用于解决三角形相关问题，如
测量、建筑设计、航海等。
这一结论的证明过程涉及了比例、 相似三角形的性质、角的相等关 系等知识点，是几何学中较为经
典的一个证明题。
两边对应成比例且夹 角相等两三角形相似
目录
• 引言 • 两边对应成比例的三角形相似性质 • 夹角相等的三角形相似性质 • 两三角形相似性的综合应用 • 总结与展望
01
引言
主题引入
01
三角形是几何学中最基础和重要 的图形之一，研究三角形的相似 性质对于理解几何学的基本原理 和解决实际问题具有重要意义。
在工程领域，特别是在建筑设计、机械制造和航空航天等领域，相似三角形的性质被广泛 应用于测量、分析和优化设计方案。
实例3
在物理学中，特别是在研究波动、光学和力学等领域，相似三角形的性质也是非常重要的 。例如，在研究声波传播、折射和反射等现象时，我们需要利用相似三角形的性质来建立 数学模型并进行实验验证。
根据相似三角形的性质， 作辅助线AD垂直于BC于 点D，A'D'垂直于B'C'于 点D'。由于角ADB = 角 A'D'B'，且角A = 角A'， 因此三角形ADB与三角形 A'D'B'相似。
根据相似三角形的性质， 由于AD/A'D' = AB/A'B' = k，因此三角形ADC与 三角形A'D'C'相似。
03
夹角相等的三角形相似性 质
相似三角形的性质公开课教案
利用相似三角形解决面积和体积问题
计算不规则图形的面积
将不规则图形划分为若干个相似三角形，通过测量相似三角形的对应边长，利 用相似比计算每个三角形的面积，进而求出不规则图形的总面积。
05
学生自主探究活动设计与 实践
探究活动一：寻找生活中的相似三角形实例
任务描述
学生分组在生活中寻找相似三角 形的实例，如建筑物、日常用品
等，并拍照记录。
活动目的
通过寻找实际生活中的相似三角形 ，增强学生对相似三角形概念的理 解，培养学生的观察能力和小组合 作能力。
预期成果
各组收集到的相似三角形实例照片 及简要说明。
02
构造相似三角形
同样根据已知条件和相似三角 形的判定定理，构造出相似三
角形。
03
应用相似性质
利用相似三角形的性质，即相 似三角形的对应角相等，来证
明所需的角相等关系。
04
给出结论
根据证明过程得出结论，并强 调相似三角形在证明角相等关
系中的重要作用。
综合运用相似三角形性质进行几何证明
复杂几何问题的分析
可以通过相似三角形的定义和判定方法来 证明该定理。
ห้องสมุดไป่ตู้
在解决一些几何问题时，可以通过寻找相 似三角形并利用该定理来求解未知角度。
相似三角形对应边成比例定理
01
定理内容：如果两个三角形相似，那么它们的对应边成比 例。
02
比例性质
03
对应边之间的比例是常数，称为相似比。
04
相似比具有传递性，即如果△ABC∽△DEF且△DEF∽△GHI ，那么△ABC∽△GHI，且它们的相似比相等。
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平行线分线段成比例定理推论
其他两边（或两边延长线） ，所得的_______线段的比_________. 四、 巩 固 练 习 如图，在△ABC 中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求 AD 和 BD.
宝坻第五中学电子教案
本节课所学 内容及自己 四. 小结巩固 （1） 谈谈本节课你有哪些收获． “三角形相似的预备定理” ．这个 定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因 五、 课 此在三角形相似的解题中， 常作平行线构造三角形与已知三 堂 小 角形相似． 结 （2） 相似比是带有顺序性和对应性的：
教 材 分 析
教学 重难 点 考点 与 措施 环节
利用平行线分线段成比例定理辨别图形中相似图形是中考常见的考点， 要会认识 图形。
教 学 内 容 与 师 生 活 动
设计意图和 关注的学生 以旧引新， 帮助学生建 立新旧知识
一、 复 1、相似多边形的主要特征是什么？ 习 回 2、相似三角形有什么性质？ 顾
教 学 过 程
二、 合 作 学 习， 探 索 新 知
之间的关 1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在 △ABC 与 △A′B′C′ 中 ， 如 果 ∠A=∠A ′ , ∠B=∠B ′ , 系，使他们 AB BC CA ∠C=∠C′, 且 k． 很快投入到
AB BC CA
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DE︰EF 相等吗?任意平移 l5 , 再量度 AB, BC, DE, EF 的长度, AB 系，在培养 ︰BC 与 DE︰EF 相等吗? 学生空间感 的同时获得 新知，并用 得到的新知 解决新问 题，使学生 享受成功的 (2) 问题，AB︰AC=DE︰（ ） ，BC︰AC=（ ）︰DF．强调 喜悦。 “对应线段的比是否相等” (3) 归纳总结： 平行线分线段成比例定理 三条 _________ 截两条直线，所得的 ________线段的比________。 让学生进一 三、 知 思考：1、如果把图 27.2-1 中 l1 , l2 两条直线相交，交点 A 刚落到 步理解平行 识 应 l3 上，如图 27.2-2（1） ， ，所得的对应线段的比会相等吗？依据是 用 线分线段成 什么？ 比例定理， 通过反思， 形成对平行 线分线段成 比例定理及 其推论的理 性认识。 2、如果把图 27.2-1 中 l1 , l2 两条直线相交，交点 A 刚落到 l4 上， 如图 27.2-2（2） ，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？ 3、 归纳总结： 平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截 由学生进行 小结和互相 补充，让学 生畅所欲 言， 在民主、 和谐的气氛 中小结。
2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，找出对应角并写出对应 边的比例式．
教材 72 页 11 题 七、 布 置 作 业 以课件为主 八、 板 书 设 计
3
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整节课的教学，让学生在自主探索和交流中，经历了“操作-比较发现-归纳”
的思维过程，促进学生对数学的真正理解和把握。
教 学 反
平行线分线段成比例定理辨别图形中相似图形是中考常见的考点， 要会认识图形。
4
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思
5
AB BC CA k ，那么△A′ A B B C CA AB BC CA 1 B′C′∽△ABC 的相似比就是 ，它们的关系 AB BC CA k
的感悟。
如△ABC∽△A′B′C′的相似比
是互为倒数． 五、当堂检测 1．如图，△ABC∽△AED, 其中 DE∥BC，找出对应角并写出对应边 的比例式． 六、 应 用 练 习
我们就说△ABC 与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k 学 习 情 境 就是它们的相似比． 中，从而自 反之如果△ABC∽△A′B′C′， 然地引入新 AB BC CA 则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且 ． AB BC CA 课。 2）问题：如果 k=1，这两个三角形有怎样的关系？全等 （1）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形。 （2）用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △ AB C ; （3）当△ABC 与△ AB C 的相似比为 k 时，△ AB C 与△ABC 的 相似比为 1/k． 3) 活动 1 (1) 如图 27.2-1),任意画两条直线 l1 , l2,再画三条与 l1 , l2 相交的平行线 l3 , l4, l5.分别量度 l3 , l4, l5.在 l1 上截得的两条线 段 AB, BC 和在 l2 上截得的两条线段 1 DE, EF 的长度, AB︰BC 与 通过学生动 手操作，分 组交流，培 养了学生的 合作意识， 加强了新旧 知识的联
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课题
27.2.1 相似三角形的判定（1） 教学 目标
第
1 周第会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △ AB C ; (2)知道当△ABC 与△ AB C 的相似比为 k 时， △ AB C 与△ABC 的相似比为 1/k． (3)理解掌握平行线分线段成比例定理 重点: 理解掌握平行线分线段成比例定理及应用． 难点: 掌握平行线分线段成比例定理应用．