现代谱估计

i =1
M
si (n) = A i e
j( ωi n + i )
= Ai e e
j i
jωi n
, i = 1, 2
M
x = [x(0) x(1) si = [si (0) si (1) v = [v(0) v(1)
x(N - 1)]T si (N - 1)]T v(N - 1)]T
A ci = A i e ji
M
=s+v
i =1

Rx = E{xx*T }
Rs = E{ss*T }
Rv = E{vv *T }
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25 MMVCLAB MMVCLAB
ei = [1 e jωi e j2ωi
e j(N-1)ωi ]T
x = ∑ A ci ei + v =s+v (4)自相关矩阵的性质（理论上）： 性质1：Rx= Rs +Rv，且Rs的秩为M， Rv的秩为N。 证明： M x = ∑ A ci ei + v
x = ∑ A ci ei + v
目标函数：
i =1
M
A ci , ωi , i =1, 2
Min
M
L(A c1 , A c2
A cM ; ω1 , ω2
M *T
ωM )
M
= ( x ∑ A ci ei ) ( x ∑ A ci ei )
i =1 i =1
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2）白噪声中正弦波序列与ARMA模型的关系： 以只有一个复正弦波序列的情况为例：
j( ωn + )
s(n) = A e 令： 目标：x(n) = ∑ ai x(n-i) + ∑ bj u(n-j) i =1 j= 0 x(n) = s(n) + v(n) x(n - 1) = s(n - 1) + v(n - 1) = A e j[ ω(n-1)+ ] + v(n - 1) AR和MA参数 = e- jω s(n) + v(n - 1) 相同的、特殊的 = e- jω [x(n) - v(n)] + v(n - 1) ARMA(1,1)模型 x(n) = e jω x(n - 1) + v(n) - e jω v(n - 1)
si = A ci ei
x = ∑ A ci ei + v
i =1 M
ei = [1 e jωi e j2 ωi
e j(N -1) ωi ]T
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MMVCLAB MMVCLAB
（2）基本思想：
M
x = ∑ A ci ei + v
i =1
x ∑ A ci ei ~ Ν (0 , σ2 I)
特殊性： 1- e jω z -1 ； 1. H (z) = 1- e jω z -1 2. 极点 e jω 在单位圆上，系统不稳定，不适合用ARMA模型法求解； 3. v(n) = u(n)。
p
q
可以证明：具有M个复正弦波的序列也可以用类似的 MMVCLAB 2008/11/1 M) 模型来表示。 6 2008/11/18 ARMA(M, MMVCLAB
i =1
M
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MMVCLAB MMVCLAB
(2)符号定义和表示：
si (n) = A i e j( ωi n +i ) = A i e ji e jωi n , i = 1, 2
x = [x(0) x(1) si = [si (0) si (1) v = [v(0) v(1) x(N - 1)]T si (N - 1)]T v(N - 1)]T
MMVCLAB MMVCLAB
（4）求解结果：
C(1, 1) C(1, 2) C(2, 1) C(2, 2) C(p, 1) C(p, 2)
p
C(1, p) ap1 C(1, 0) C(2, 0) C(2, p) ap2 = app C(p, p) C(p, 0)
21
MMVCLAB MMVCLAB
(b)求解结果：
ω1 , ω2
Max
ωM
x*T ET ( E*ET )-1 E*x , E = [e1 e2
eM ]T
(c)结论： 当白噪声中有多个复正弦信号时，最大似然估计 是非线性方程的最大化求解。最大似然估计容易 陷入局部极值点，难以得到好的估计结果。 如果各正弦波的频率能用周期图进行分辨，那么 最大似然估计结果将对应于周期图诸最大值所在 的频率。
MMVCLAB MMVCLAB
（5）估计性能： 当信噪比很高时，得到的频率估计是无偏估计且方 差接近于Cramer - Rao极限。 当信噪比很低时，估计性能却很差，出现偏倚同时 有大的方差。 （6）信噪比低时的改进方法： 适当增加AR模型的阶数。
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MMVCLAB MMVCLAB
ak , k =1, 2
ak , k =1, 2
Min
p
+ E{[e p (n)]2 }
+ E{[e p (n)]2 + [e (n)]2 } p
Min
p
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MMVCLAB MMVCLAB
（2）估计准则：
ak , k =1, 2
Min
p
+ ε = ∑ {[e p (n)]2 + [e (n)]2 } p n =p
第五章 现代谱估计
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MMVCLAB MMVCLAB
5.10 白噪声中正弦波频率的估计
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MMVCLAB MMVCLAB
一 问题的提出： 估计淹没在噪声中的正弦波的频率与幅度，是信号 处理中最有实际应用价值的技术之一。 估计淹没在噪声中的正弦波的频率，也是评价谱估 计方法性能的经常采用的谱估计问题。
其中：
σ 2 = C(0, 0) + ∑ api C(0, i)
i =1
N -1 1 N -1 * * C(i, j) = ∑ x (n - j)x(n - i) + ∑ x (n - p + i)x(n - p + N - p n=p n=p
j)
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L(A c1 , ω1 ) =0 A c1 L(A c1 , ω1 ) =0 ω1
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MMVCLAB MMVCLAB
（b）求解结果：
Max
ω1
1 N
x(n) e-jnω1 ∑
n =0
N-1
2
1 A1 = N
x(n) e-jnω1 ∑
n =0
N-1
（c）结论： 在白噪声中含有单个复正弦信号，其频率的最 大似然估计，可根据数据的周期图的最大值所在 的频率位置求出来。 2008/11/1 2008/11/18
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MMVCLAB MMVCLAB
三 白噪声中正弦波序列的性质： 1）一阶与二阶统计性质（时间平均和集合平均）：
E{x(n)} = E{∑ Ai e
i =1
M
M
j (ωi n +i )
+ v( n)} = 0
M
Rx (n, m) = E{x(n + m) x* (n)} = E{[∑ Ai e
i =1 j [( n + m )ωi +i ] k =1
x(n) = ∑ Ai e j (ωi n +i ) + v(n)
i =1
M
+ v(n + m)][∑ Ak e- j ( nωk +k ) + v(n)]}
= ∑ Pe i
i =1
M
jmωi
+ σ δ ( m)
2
S x (ω ) =
2
m=-∞ M
（二）根据问题特性寻找新的方法：
I)最大似然法 噪声是高斯白噪声。 II)特征分解频率估计法 通过研究自相关矩阵中正弦波信号和白噪声相互关 系的性质提出的。
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MMVCLAB MMVCLAB
I）最大似然法： (I)符号定义和表示：
x(n) = ∑ Ai e j (ωi n +i ) + v(n)
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MMVCLAB MMVCLAB
II) 特征分解频率估计法：
(1)问题的提出： 在低信噪比情况下，AR谱估计结果不理想，为了 提高谱估计结果的精度，要降低噪声的影响。 通过研究信号和噪声的特性及其关系，可能找到估 计白噪声中正弦波频率的其他思路。
x = ∑ A ci ei + v
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MMVCLAB MMVCLAB
二 问题的定义：
已知长度为N的离散随机时间序列模型为：
x(n) = ∑ Ai e j (ωi n +i ) + v(n) ,
i =1
M
n = 0, 1
N -1
其中： Ai、ωi是待估计的未知常数。 i是[0, 2π)内均匀分布的独立随机变量。 v(n)是均值为0，方差为σ2的高斯白噪声。 试根据这N个随机采样样本估计Ai、ωi，i=1, 2 ... M。