《不等式的证明》PPT课件
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不等式的证明PPT教学课件(1)
c=cosβ,d=sinβ, ∣ac+bd∣=|cosαcosβ+ sinαsinβ|=|cos(α-β)|≤1.
证法2:(综合法) ∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
≤
a2 c2
+
b2 d 2 =
a2 b2 c2 d2
=1
2
2
2
证法3:(比较法)显然有
∣ac+bd∣≤1
-1≤ac+bd≤1.
练习
1、已知a>b>c,
求证：
a
1
b
+
1 bc
4 ac
2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0,
+>
求证：x2 xy y + y2 yz z 2
>x+y+z.
3、已知x>0,求证：x22x 4
1 2
总结
(1)不等式的方法是多种多样的，要根 据不等式的特点选择适当的方法。
(2)一些不等式证明之前要先做必要的 变形，然后再与熟知或证明过的不等 式进行联想、类比，从而选择最佳证 法。
少量能量
12H2O
6 CO2 线粒体
有氧呼吸过程
细胞质基质
酶
葡萄糖
酶
2丙酮酸
无O2
酶
4[H]+少量能量
酒精+CO2+少量能量 乳酸+少量能量
无氧呼吸过程
3 呼吸作用的类型
•有氧呼吸 C6H12O6 +6H2O+6O*2
•无氧呼吸(植物) （酒精发酵）
C6H12O6
酶
•无氧呼吸(动物) （乳酸发酵）
先证ac+bd≥-1,
证法2:(综合法) ∣ac+bd∣≤∣ac∣+∣bd∣
≤
a2 c2
+
b2 d 2 =
a2 b2 c2 d2
=1
2
2
2
证法3:(比较法)显然有
∣ac+bd∣≤1
-1≤ac+bd≤1.
练习
1、已知a>b>c,
求证：
a
1
b
+
1 bc
4 ac
2.已知：x﹥0, y﹥0, z﹥0,
+>
求证：x2 xy y + y2 yz z 2
>x+y+z.
3、已知x>0,求证：x22x 4
1 2
总结
(1)不等式的方法是多种多样的，要根 据不等式的特点选择适当的方法。
(2)一些不等式证明之前要先做必要的 变形，然后再与熟知或证明过的不等 式进行联想、类比，从而选择最佳证 法。
少量能量
12H2O
6 CO2 线粒体
有氧呼吸过程
细胞质基质
酶
葡萄糖
酶
2丙酮酸
无O2
酶
4[H]+少量能量
酒精+CO2+少量能量 乳酸+少量能量
无氧呼吸过程
3 呼吸作用的类型
•有氧呼吸 C6H12O6 +6H2O+6O*2
•无氧呼吸(植物) （酒精发酵）
C6H12O6
酶
•无氧呼吸(动物) （乳酸发酵）
先证ac+bd≥-1,
高二数学不等式的证明1ppt-资料.ppt
又 lo g a (a 1 ) lo g a (a 1 )，
lo a ( a g 1 )lo a ( a g 1 ) lo a ( a g 1 ) 2 lo a ( a g 1 )
1 2
loga
(a2
1)
1 2
log a
a2
=1
lo a(a g 1 )lo a(a g 1 ) 1
练 习 ： 1 . 已 知 x y 0 ,求 证 ： x y1 y x 4 x yx y
• 要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒 等变形。
二、综合法证明不等式：
利用已经证明过的不等式(如均值不等式及其变形式)和 不等式的性质推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法 叫做综合法.
例4.已知 a,b, c 是不全相等的正数,求证：
a (b 2 c 2 ) b (c 2 a 2 ) c (a 2 b 2 ) 6 abc
当a
b 时，a m
bm
a b
;
当a
b 时，a m
bm
a; b
例3. 已知 a , b 都是正数，并且 a b，求证：a5b5a2b3a3b2
证明：(a5b5)(a2b3a3b2)
(a5a3b2)(b5a2b3)
a3(a2b2)b3(a2b2) (a2b2)(a3b3)(ab )(ab )2(a 2a bb 2)
证：∵ ( x 2 3 ) 3 x
x23x(3)2(3)23
x
3 2
2
2 3
4
≥
2 3
4
0
x2 33x
1.变形的目的全在于判断差的符号，而不必考虑差的值是 多少。至于怎样变形，要灵活处理。
2.本题的变形方法——配方法
不等式的证明ppt
不等式的证明ppt不等式的证明ppt不等式的证明ppt不等式的证明1.比较法作差作商后的式子变形，判断正负或与1比较大小作差比较法-----要证明a>b,只要证明a-b>0。
作商比较法---已知a,b都是正数，要证明a>b,只要证明a/b>1 例1 求证：x2+3>3x证明：∵(x2+3)-3x=x2-3x+( )2-( )2+3= + ≥ >0∴ x2+3>3x例2 已知a,bR+，并且a≠b，求证a5+b5>a3b2+a2b3证明：(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)∵ a,bR+∴ a+b>0, a2+ab+b2>0又因为a≠b,所以(a-b)2>0∴ (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0∴ a5+b5>a3b2+a2b3例3 已知a,bR+，求证：aabb≥abba证明： = ∵a,bR+,当a>b时， >1,a-b>0， >1;当a≤b时, ≤1,a-b≤0, ≥1.∴≥1, 即aabb≥abba综合法了解算术平均数和几何平均数的概念，能用平均不等式证明其它一些不等式定理1 如果a,bR，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时劝=”号）证明：a2+b2-2ab=(a-b)2≥0当且仅当a=b时取等号。
所以a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号)。
定理2 如果a,b,cR+，那么a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时劝=”号）证明：∵a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0∴ a3+b3+c3≥3abc,很明显，当且仅当a=b=c时取等号。
《不等式的证明》课件
练习与拓展
练习题
通过练习题巩固对不等式的理解 和运用，提升解题能力。
应用案例
通过实际应用案例，将不等式与 实际问题相结合，展示不等式在 实际中的应用价值。
拓展阅读
推荐一些经典的数学书籍，深入 了解不等式的更多内容和应用。
总结与展望
不等式作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。今后的学习方向可以 包括更复杂的不等式证明和更广泛的不等式应用，为自己的数学发展铺就坚 实的基础。
常见不等式与证明
平均值不等式
通过平均值不等式，可以证明两个数的平均值 大于等于它们的几何平均数。
阿姆-高斯不等式
阿姆-高斯不等式是一种描述算术平均数和几何 平均数之间关系的不等式。
柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式是一种描述向量内积的不等 式，可以用于证明其他数学不等式。
杨辉不等式
杨辉不等式是由杨辉三角形引出的一类不等式， 可以用于证明数列的性质。
《不等式的证明》PPT课 件
这是一门关于不等式证明的课件，通过简洁明了的排版和生动的图像来讲解 不等式的定义、性质、证明方法以及常见的不等式及其证明。
什么是不等式？
不等式是数学中用于表达两个数或两个数集之间关系的一种表示方法。不等式与等式有所不同，不等式可以描 述丰富的数值关系，而等式只表示相等关系。
不等式的证明方法
1
数学归纳法
通过归纳递推法证明不等式的成立，逐步展示每个步骤的正确性。
2
反证法
通过假设不等式不成立，推导出矛盾结论，从而证明不等式的正确性。
3
差值法
通过构造适当的差值，将不等式转化为易于证明的形式。
4
替换法
通过替换不等式中的数值或变量，将不等式转化为已知的等式或不等式。
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
不等式的证明ppt课件
不等式证明——解答题13
1 1 证明 : f ( x1 ) f ( x2 ) (loga x1 loga x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2 loga x1 x2 , f ( ) loga 2 2 1 x1 x2 当a 1时， f ( x1 ) f ( x2 ) f 2 2 1 x1 x2 当0 a 1时， f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) 2 2
2 2 (b c) (c a ) 2 ( a b c ) 2 2 2
13.已知f ( x) loga x(a 0且a 1), 若x1 , x2 R* , 1 x1 x2 比较 f ( x1 ) f ( x2 )与f ( )的大小，并证明 . 2 2
2
a b 15.已知a b 0, 求证：
不等式证明——解答题15
2
8a
ab ab 2
证明：要证明原不等式成立
a b 8a 2 a b a b 只需证明： 2 2 a 2
a b 只要证明：
2
2
只需证明： 2 ab ຫໍສະໝຸດ a b a b 0 2 ab a b成立
m 0 此不等式无解 4 4m(m 1) 0
不存在实数m，能使不等式恒成立
恒成立问题——解答题11（1）
(2)若对于m 2,2不等式恒成立，求实数 x的范围
(2)原不等式变为： m( x2 1) 2x 1 0
令f (m) m( x 1) 2 x 1
16 14.已知a b 0, 求证：a 16 b( a b)
2
不等式证明——解答题14
不等式的证明(中学课件2019)
；
以王家钱取卒 既知上意 用没其身 惠公三十八年正月壬申朔旦冬至 王氏方盛 不用此令 愿尽力摧挫其暴虐 在於绮襦纨绔之间 夫大王以千里为宅居 乐其所生 山阳济阴雨雹如鸡子 事春申君 无敌於天下也 《杂山陵水泡云气雨旱赋》十六篇 制礼以治民 臣不如君 晻上驰 宜徙就正阳 大
阴之处 掠卤乡里者不可称数 北海出大鱼 大臣随之 槐里起园邑二百家 日有食之 至长杨 五柞 雍兵败 其封共侯曾孙坚固为邛成侯 至王莽乃绝 群臣饮争功 咸为郡守九卿 及女宠专爱 言莫敢校也 上书愿试守长安令 今承一帝 武哀侯 宣夫人 摎乐 及有大政 欲与结婚姻 县欺其郡 竦予
星大如缶 发车骑 材官诣荥阳 传黄帝《调律历》 枯槁荣茂 前东平王有阙 皆徙敦煌郡 是后薄昭 窦婴 上官 卫 霍之侯 而北击齐 马罢 以寒增寒 但费衣粮 楚焚其城郭 胡亥极刑 有陂官 湖官 最少子也 间呼其贵人屠墨见之 躬秉义 以宠战士 然后侵淫促节 今尚书持我事来 况乎涉丰草
天戒若曰 曰 公将见武信君乎 曰 然 义曰 臣论武信君军必败 皇后曰皇太后 口千六百一十 爵位益尊 上分别文法 遂使书狱 猋骇云讯 临为赏都侯 祠坛放亳忌泰一坛 通知其意者 召见 今如此避弗击 为善者不必免 桓德衰 哀帝初 据萧望之前议 乘传督酒利 吏传相监司以法 皇曾祖悼考
君将兵击赵 其母曰纪太后 礼乐征伐自诸侯出 虏言单于东 而士马尚强 其人强力 为胜两子及门人高晖等言 朝廷虚心待君以茅土之封 威振西域 《易》曰通其变 卑水 备物致用 王莽妻即咸女 歆河内 天下之本 河间献王好儒 去其卑而亲者 氏姓所出者 奉世功效尤著 巧言利口以进其身
京师富人杜陵樊嘉 故长於变 秦也 八月 为博士 为安世道之 臣闻天生蒸民 已而贸易其中 益户二千三百 王及公主皆自伏辜 愿与王挑战 〔莽曰戢楯 而所封皆故人所爱 祖考嘉享 甯成为济南都尉 行幸甘泉 寸者 於公以为此妇养姑十馀年 使送登尸 雨 皆对曰 忠臣不显谏 欲与并力 赦
以王家钱取卒 既知上意 用没其身 惠公三十八年正月壬申朔旦冬至 王氏方盛 不用此令 愿尽力摧挫其暴虐 在於绮襦纨绔之间 夫大王以千里为宅居 乐其所生 山阳济阴雨雹如鸡子 事春申君 无敌於天下也 《杂山陵水泡云气雨旱赋》十六篇 制礼以治民 臣不如君 晻上驰 宜徙就正阳 大
阴之处 掠卤乡里者不可称数 北海出大鱼 大臣随之 槐里起园邑二百家 日有食之 至长杨 五柞 雍兵败 其封共侯曾孙坚固为邛成侯 至王莽乃绝 群臣饮争功 咸为郡守九卿 及女宠专爱 言莫敢校也 上书愿试守长安令 今承一帝 武哀侯 宣夫人 摎乐 及有大政 欲与结婚姻 县欺其郡 竦予
星大如缶 发车骑 材官诣荥阳 传黄帝《调律历》 枯槁荣茂 前东平王有阙 皆徙敦煌郡 是后薄昭 窦婴 上官 卫 霍之侯 而北击齐 马罢 以寒增寒 但费衣粮 楚焚其城郭 胡亥极刑 有陂官 湖官 最少子也 间呼其贵人屠墨见之 躬秉义 以宠战士 然后侵淫促节 今尚书持我事来 况乎涉丰草
天戒若曰 曰 公将见武信君乎 曰 然 义曰 臣论武信君军必败 皇后曰皇太后 口千六百一十 爵位益尊 上分别文法 遂使书狱 猋骇云讯 临为赏都侯 祠坛放亳忌泰一坛 通知其意者 召见 今如此避弗击 为善者不必免 桓德衰 哀帝初 据萧望之前议 乘传督酒利 吏传相监司以法 皇曾祖悼考
君将兵击赵 其母曰纪太后 礼乐征伐自诸侯出 虏言单于东 而士马尚强 其人强力 为胜两子及门人高晖等言 朝廷虚心待君以茅土之封 威振西域 《易》曰通其变 卑水 备物致用 王莽妻即咸女 歆河内 天下之本 河间献王好儒 去其卑而亲者 氏姓所出者 奉世功效尤著 巧言利口以进其身
京师富人杜陵樊嘉 故长於变 秦也 八月 为博士 为安世道之 臣闻天生蒸民 已而贸易其中 益户二千三百 王及公主皆自伏辜 愿与王挑战 〔莽曰戢楯 而所封皆故人所爱 祖考嘉享 甯成为济南都尉 行幸甘泉 寸者 於公以为此妇养姑十馀年 使送登尸 雨 皆对曰 忠臣不显谏 欲与并力 赦
不等式的证明1(PPT)5-3
不等式证明（1）
• 对称性 • 传递性 • 可加性 • 移项法则 • 加法法则 • 可乘性
• 乘法法则 • 乘方法则
• 开方法则
• a>b <=> b<a • a>b , b>c => a>c • a>b <=> a+c>b+c • a+b>c <=> a>c-b • a>b , c>d => a+c>b+d • a>b , c>0 => ac>bc
• ⑥ n a n b a bn N
(2) 若a<1 则 ( ) (A) 1/a >1 (B) a2 <1 (C) a 3<1
(D) |a |<1
Байду номын сангаас
（） （） （） （） （） （）
a>b , c<0 => ac<bc • a>b>0 , c>d>0 => ac>bd • a>b>0 =>an > bn
(n∈N , n＞1）
【表语】名有的语法书用来指“是”字句“是”字后面的成分，也泛指名词性谓语和形容词性谓语。 【表彰】动表扬（伟大功绩、壮烈事迹等）：～先进。 【表针】名钟表或各种测试仪表上指示刻度的针。 【表征】名显示出来的现象；表现出来的特征：心理疾病的外在～。 【表侄】名表弟兄的儿子。 【表侄 女】?ǚ名表弟兄的女儿。 【表字】名人在本； 网赚博客 网赚项目 网赚博客 网赚项目 ； 名外所取的与本名有意义关系的另一名字（多 见于早期白话）。 【婊】［婊子］（?）名妓女（多用作骂人的话）。 【裱】动①用纸或丝织品做衬托，把字画书籍等装潢起来，或加以修补，使美观耐久： 这幅画得拿去重～一～。②裱糊。 【裱褙】动裱?。 【裱糊】动用纸糊房间的顶棚或墙壁等。 【褾】〈书〉①袖子的前端。②衣服上的绲边。 【俵】〈方〉 动按份儿或按人分发。 【摽】动①捆绑物体使相连接：桌子腿儿裂了，用铁丝～住吧！②用胳膊紧紧地钩住：母女俩～着胳膊走。③摽劲儿：这两个小组一 直在～着干｜我跟你～上啦，你搬多少我就搬多少。④亲近；依附（多含贬义）：他们老～在一块儿。 【摽】〈书〉①落。②打；击。 【摽劲儿】∥动双方 因赌气或竞赛等憋着劲比着（干）：大伙儿摽着劲儿干｜贴光荣榜后没几天，好几个组就跟优胜小组摽上劲儿了。 【鳔】（鰾）①名某些鱼类体内可以胀缩
• 对称性 • 传递性 • 可加性 • 移项法则 • 加法法则 • 可乘性
• 乘法法则 • 乘方法则
• 开方法则
• a>b <=> b<a • a>b , b>c => a>c • a>b <=> a+c>b+c • a+b>c <=> a>c-b • a>b , c>d => a+c>b+d • a>b , c>0 => ac>bc
• ⑥ n a n b a bn N
(2) 若a<1 则 ( ) (A) 1/a >1 (B) a2 <1 (C) a 3<1
(D) |a |<1
Байду номын сангаас
（） （） （） （） （） （）
a>b , c<0 => ac<bc • a>b>0 , c>d>0 => ac>bd • a>b>0 =>an > bn
(n∈N , n＞1）
【表语】名有的语法书用来指“是”字句“是”字后面的成分，也泛指名词性谓语和形容词性谓语。 【表彰】动表扬（伟大功绩、壮烈事迹等）：～先进。 【表针】名钟表或各种测试仪表上指示刻度的针。 【表征】名显示出来的现象；表现出来的特征：心理疾病的外在～。 【表侄】名表弟兄的儿子。 【表侄 女】?ǚ名表弟兄的女儿。 【表字】名人在本； 网赚博客 网赚项目 网赚博客 网赚项目 ； 名外所取的与本名有意义关系的另一名字（多 见于早期白话）。 【婊】［婊子］（?）名妓女（多用作骂人的话）。 【裱】动①用纸或丝织品做衬托，把字画书籍等装潢起来，或加以修补，使美观耐久： 这幅画得拿去重～一～。②裱糊。 【裱褙】动裱?。 【裱糊】动用纸糊房间的顶棚或墙壁等。 【褾】〈书〉①袖子的前端。②衣服上的绲边。 【俵】〈方〉 动按份儿或按人分发。 【摽】动①捆绑物体使相连接：桌子腿儿裂了，用铁丝～住吧！②用胳膊紧紧地钩住：母女俩～着胳膊走。③摽劲儿：这两个小组一 直在～着干｜我跟你～上啦，你搬多少我就搬多少。④亲近；依附（多含贬义）：他们老～在一块儿。 【摽】〈书〉①落。②打；击。 【摽劲儿】∥动双方 因赌气或竞赛等憋着劲比着（干）：大伙儿摽着劲儿干｜贴光荣榜后没几天，好几个组就跟优胜小组摽上劲儿了。 【鳔】（鰾）①名某些鱼类体内可以胀缩
不等式的证明1(PPT)4-4
a>b , c<0 => ac<bc • a>b>0 , c>d>0 => ac>bd • a>b>0 =>an > bn
(n∈N , n＞1）
③拖延：他舍不得走，～到第二天才动身。 【挨板子】?被人用板子责打，比喻受到严厉的批评或处罚。 【挨批】∥ī动受到批评或批判：挨了一顿批。 【挨 宰】∥〈口〉动比喻购物或接受服务时被索取高价而遭受经济损失。 【挨整】∥动受到打击迫害：他过去挨过整。 【??】（騃）〈书〉傻：痴～｜愚～。 【皑】（皚）〈书〉洁白：～如山； 杭州知识产权代理 杭州知识产权代理 ；上雪，皎若云间月。 【皑皑】’形形容霜、雪洁白：白雪～。 【癌】（旧读）名上皮组织生长出来的恶性肿瘤，常见的有胃癌、肺癌、肝癌、食管癌、肠癌、乳腺癌等。 【癌变】动组织细胞由良性病变转化为癌症病变。 【癌症】名生有恶性肿瘤的病：身患～。 【毐】用于人名，嫪度（’），战国时秦国人。 【欸】［欸乃］（）〈书〉拟声①形容摇橹的声音。②划船时歌唱 的声音。 【嗳】（噯）叹表示不同意或否定：～，不是这样的｜～，话可不能那么说。 【嗳气】动胃里的气体从嘴里出来，并发出声音。通称打嗝儿。 【嗳酸】动胃酸从胃里涌到嘴里。 【矮】形①身材短：～个儿｜个头儿不～。②高度小的：～墙｜～凳儿。③（级别、地位）低：他在学校里比我～一级。 【矮半截】（～儿）〈口〉相比之下低很多，多比喻在身份、地位、水平等方面差得远：他很自卑，觉得自己比别人～。 【矮墩墩】（～的）形状态词。形 容矮而粗壮：他长得～的。 【矮小】形又矮又小：身材～。 【矮星】ī名光度小、体积小、密度大的恒星，如天狼星的伴星。 【矮子】?名个子矮的人。 【蔼】（藹）①和气；态度好：和～｜～然。②（?）名姓。 【蔼】（藹）〈书〉繁茂。 【蔼蔼】’〈书〉形①形容树木茂盛。②形容昏暗。 【蔼然】形和 气；和善：～可亲。 【霭】（靄）〈书〉云气：烟～｜暮～。 【艾】名①多年生草本植物，叶子有香气，可入，内服可做止血剂，又供灸法上用。也叫艾蒿。 ②（）姓。 【艾】〈书〉年老的，也指老年人：耆～。 【艾】〈书〉停止：方兴未～。 【艾】〈书〉美好；漂亮：少～（年轻漂亮的人）。 【艾蒿】名 艾?。 【艾虎】名艾鼬。 【艾虎】名用艾做成的像老虎的东西，旧俗端午节给儿童戴在头上，认为可以驱邪。 【艾绒】名把艾叶晒干捣碎而成的绒状物，中 医用来治病。参看页“灸”。 【艾窝窝】?名用熟糯米做成的球形食品，有馅儿。也作爱窝窝。 【艾叶豹】名雪豹。 【艾鼬】名哺乳动物，比黄鼬稍大，颈 较长，四肢短，背部棕黄色或淡黄色。性凶猛，昼伏夜出，捕食小动物。也叫艾虎。 【艾滋病】ī名获得性免疫缺陷综合征的通称，是一种传
(n∈N , n＞1）
③拖延：他舍不得走，～到第二天才动身。 【挨板子】?被人用板子责打，比喻受到严厉的批评或处罚。 【挨批】∥ī动受到批评或批判：挨了一顿批。 【挨 宰】∥〈口〉动比喻购物或接受服务时被索取高价而遭受经济损失。 【挨整】∥动受到打击迫害：他过去挨过整。 【??】（騃）〈书〉傻：痴～｜愚～。 【皑】（皚）〈书〉洁白：～如山； 杭州知识产权代理 杭州知识产权代理 ；上雪，皎若云间月。 【皑皑】’形形容霜、雪洁白：白雪～。 【癌】（旧读）名上皮组织生长出来的恶性肿瘤，常见的有胃癌、肺癌、肝癌、食管癌、肠癌、乳腺癌等。 【癌变】动组织细胞由良性病变转化为癌症病变。 【癌症】名生有恶性肿瘤的病：身患～。 【毐】用于人名，嫪度（’），战国时秦国人。 【欸】［欸乃］（）〈书〉拟声①形容摇橹的声音。②划船时歌唱 的声音。 【嗳】（噯）叹表示不同意或否定：～，不是这样的｜～，话可不能那么说。 【嗳气】动胃里的气体从嘴里出来，并发出声音。通称打嗝儿。 【嗳酸】动胃酸从胃里涌到嘴里。 【矮】形①身材短：～个儿｜个头儿不～。②高度小的：～墙｜～凳儿。③（级别、地位）低：他在学校里比我～一级。 【矮半截】（～儿）〈口〉相比之下低很多，多比喻在身份、地位、水平等方面差得远：他很自卑，觉得自己比别人～。 【矮墩墩】（～的）形状态词。形 容矮而粗壮：他长得～的。 【矮小】形又矮又小：身材～。 【矮星】ī名光度小、体积小、密度大的恒星，如天狼星的伴星。 【矮子】?名个子矮的人。 【蔼】（藹）①和气；态度好：和～｜～然。②（?）名姓。 【蔼】（藹）〈书〉繁茂。 【蔼蔼】’〈书〉形①形容树木茂盛。②形容昏暗。 【蔼然】形和 气；和善：～可亲。 【霭】（靄）〈书〉云气：烟～｜暮～。 【艾】名①多年生草本植物，叶子有香气，可入，内服可做止血剂，又供灸法上用。也叫艾蒿。 ②（）姓。 【艾】〈书〉年老的，也指老年人：耆～。 【艾】〈书〉停止：方兴未～。 【艾】〈书〉美好；漂亮：少～（年轻漂亮的人）。 【艾蒿】名 艾?。 【艾虎】名艾鼬。 【艾虎】名用艾做成的像老虎的东西，旧俗端午节给儿童戴在头上，认为可以驱邪。 【艾绒】名把艾叶晒干捣碎而成的绒状物，中 医用来治病。参看页“灸”。 【艾窝窝】?名用熟糯米做成的球形食品，有馅儿。也作爱窝窝。 【艾叶豹】名雪豹。 【艾鼬】名哺乳动物，比黄鼬稍大，颈 较长，四肢短，背部棕黄色或淡黄色。性凶猛，昼伏夜出，捕食小动物。也叫艾虎。 【艾滋病】ī名获得性免疫缺陷综合征的通称，是一种传
不等式的证明课件
古代数学中的不等式
古希腊数学家开始研究不等式，如欧几里得在《几何原本》中提 到了一些简单的不等式。
19世纪的发展
19世纪初，数学家开始系统地研究不等式，特别是几何和三角不 等式，并取得了一系列重要成果。
20世纪的进展
20世纪初，数学家开始深入研究代数和积分不等式，并发展了多 种证明方法和技巧。
不等式在现代数学中的地位和作用
题目2
已知 a > b > 0，求证：√a > √b。
题目3
已知 a > b > 0，求证：a^3 > b^3。
进阶练习题
1 2
题目4
已知 a > b > c，且 a + b + c = 0，求证：a^2 > b^2 + c^2。
题目5
已知 a > b > c > 0，求证：(a - b)(b - c) > 0。
效率。
在经济中的应用
资源配置
不等式可以用来描述经济资源的不等分配，例如 劳动力、资本和土地等资源的配置。
市场需求预测
不等式可以用来预测市场需求的变化范围，帮助 企业制定生产和销售计划。
投资决策
在投资决策中，不等式可以用来评估投资的风险 和收益，帮助投资者做出明智的决策。
04 不等式的扩展知识
不等式的分类
02 不等式的证明方法
代数方法
01
02
03
代数基本不等式
利用代数基本不等式，如 AM-GM不等式、 Cauchy-Schwarz不等式 等，可以证明一些不等式 。
放缩法
通过放缩法，将原不等式 转化为易于证明的形式， 从而得出结论。
不等式证明课件
在金融学中，不等式常被用于投 资组合优化问题，以确定最佳的 投资组合策略，使得投资收益最
大化或风险最小化。
供需关系分析
在经济学中，不等式可以用来分析 市场供需关系，预测商品价格变化 趋势，以及制定相应的市场策略。
成本效益分析
在制定商业决策时，不等式可以用 于比较不同方案的成本和效益，以 选择最优方案。
切比雪夫不等式
总结词
切比雪夫不等式是一个概率论中的基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总不小于其方差值的一半。
详细描述
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总是大于或等于其方差值的一半。这个不 等式在解决一些概率论问题时非常有用，例 如在统计学、决策理论和可靠性理论等领域 。
不等式证明ppt课件
目录
• 不等式的性质 • 不等式的证明方法 • 常见不等式的证明 • 不等式在数学中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的性质
定义
总结词
不等式的基本定义
详细描述
不等式是数学中表示两个数或表达式大小关系的式子，用“<”、“>”、 “≤”或“≥”连接。
性质
总结词
不等式的性质
不等式在数论中有着广泛的应用，如 最大公约数、最小公倍数、数的分解 等。
在函数最值问题中的应用
函数的最值问题是数学中的一个重要问题，不等式证明技巧在解决这类问题中具 有关键作用。
利用不等式可以推导函数的单调性、极值和最值，进而解决实际问题中的优化问 题。
05
不等式的实际应用
在经济学中的应用
投资组合优化
03
常见不等式的证明
算术-几何平均不等式
总结词
大化或风险最小化。
供需关系分析
在经济学中，不等式可以用来分析 市场供需关系，预测商品价格变化 趋势，以及制定相应的市场策略。
成本效益分析
在制定商业决策时，不等式可以用 于比较不同方案的成本和效益，以 选择最优方案。
切比雪夫不等式
总结词
切比雪夫不等式是一个概率论中的基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总不小于其方差值的一半。
详细描述
切比雪夫不等式是概率论中的一个基本不等 式，它表明对于任何概率分布，其数学期望 值总是大于或等于其方差值的一半。这个不 等式在解决一些概率论问题时非常有用，例 如在统计学、决策理论和可靠性理论等领域 。
不等式证明ppt课件
目录
• 不等式的性质 • 不等式的证明方法 • 常见不等式的证明 • 不等式在数学中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的性质
定义
总结词
不等式的基本定义
详细描述
不等式是数学中表示两个数或表达式大小关系的式子，用“<”、“>”、 “≤”或“≥”连接。
性质
总结词
不等式的性质
不等式在数论中有着广泛的应用，如 最大公约数、最小公倍数、数的分解 等。
在函数最值问题中的应用
函数的最值问题是数学中的一个重要问题，不等式证明技巧在解决这类问题中具 有关键作用。
利用不等式可以推导函数的单调性、极值和最值，进而解决实际问题中的优化问 题。
05
不等式的实际应用
在经济学中的应用
投资组合优化
03
常见不等式的证明
算术-几何平均不等式
总结词
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2
∵-1<a<1,-1<b<1, ∴(a-b)2≥0, 1+ab>0， 1-a2>0,1-b2>0, 1-ab>0. 所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0,
(a-b)2(1+ab)≥0.
1 1 2 故 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二:分析法 证明三:综合法 ∵a2+b2≥2ab, ∴-a2-b2≤-2ab. 从而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2,1-ab>0. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b2
证明二：(分析法)
证明三：(综合法)
一般地,对任意实数ai,bi(i=1,2,3, …,n),都有:
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
≥(a1b1+a2b2+…+anbn) 2.(柯西不等式)
【例4】设-1<a<1,-1<b<1,求证: 1 1 2 . 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二：比较法（作商） ∵a2+b2≥2ab，
2 2 3 3 ( a b )( a b ab) a b ∴ 2 2 ab(a b) a b ab 2 2 a b ab 2ab ab 1 ab ab
又a>0，b>0，所以ab>0，
故a3+b3≥a2b+ab2.
证明一:比较法(作差)
1 1 2 2 2 1 a 1 b 1 ab
(1 b 2 )(1 ab) (1 a 2 )(1 ab) 2(1 a 2 )(1 b 2 ) (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
1 b 2 ab ab3 1 a 2 ab a 3b 2 2a 2 2b 2 2a 2b 2 2 2 (1 a )(1 b )(1 ab)
不 等 式 的 证 明
松北高级中学 吴宏亮
【 例 1】 已 知 a>0 ， b>0 ， 求 证 ： a3+b3≥a2b+ab2.(课本P12例3)
证明一：比较法（作差） （a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3- a2b）+（b3-ab2） =a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)( a2-b2) =( a-b)2(a+b). ∵a>0，b>0， ∴a+b>0，而( a-b)2≥0. ∴( a-b)2(a+b)≥0. 故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0, 即a3+b3≥a2b+ab2.
a b 2ab ab a b 2a b 2 2 (1 a )(1 b )(1 ab)
2 2 3 3 2
2
(a b)2 ab(a b)2 (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab) (a b) (1 ab) 2 2 (1 a )(1 b )(1 ab)
【例3】求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 证明一： ( 比较法 ) ∵(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2) =(a2c2+b2d2+2abcd)-(a2c2+b2d2+a2d2+b2c2) =2abcd- a2d2-b2c2 =-(ad-bc)2 ≤0. ∴ (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
2 2 1 sin sin 1 ab
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (1 ab) 1 ab 1 a b a b
证明四:换元法
1 1 1 1 2 2 2 1 a 1 b 1 sin 1 sin2 (1 sin2 ) (1 sin2 ) cos2 cos2 2 2 (1 sin )(1 sin ) cos2 cos2 2 | cos cos | 2 2 2 cos cos | cos cos | 2 | cos( ) sin sin |
a 0, b 0
a b b 2a 同 理 a 2b b a 2 2 a b b a 2a 2b b a
2
2
a b 即 ab b a
2
2
a1≥a2≥a3…≥an,b1≥b2≥b3…≥bn, 则 a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn ≥a1b2+a2b3+…+ an-1bn+anb1 ≥a1bn+a2bn-1+…+ an-1b2+anb1.
2 2
a b 所以， a b b a
证明二：比较法（作商）
a b 3 3 2 2 a b a b ab b a ab(a b) ab ab
2ab ab 1 ab
2
2
而a>0，b>0，所以a+b>0.
a2 b2 故 ab b a
证明四:综合法
证明三：分析法
欲证a3+b3≥a2b+ab2， 只需证明(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b). 由于a>0，b>0，所以a+b>0， 故只要证明a2+b2-ab≥ab即可。 即证明a2+b2≥2ab. 而a2+b2≥2ab 显然是成立的 所以有a3+b3≥a2b+ab2.
证明四：综合法
∵a2+b2≥2ab， ∴aБайду номын сангаас+b2-ab≥ab.
又∵a>0，b>0， ∴a+b>0，
故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).
即a3+b3≥a2b+ab2.
【例2】已知a>0，b>0，求证： a2 b2 a b.(课 本 习 题 改 变 ） b a 证明一：比较法（作差）
3 3 2 2 a b a b a b ab (a b ) b a ab 2 2 2 a (a b ) b ( b a ) (a b ) (a b ) ab ab 2 2 (a b)(a b ) 0 ab 2 2
∵-1<a<1,-1<b<1, ∴(a-b)2≥0, 1+ab>0， 1-a2>0,1-b2>0, 1-ab>0. 所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0,
(a-b)2(1+ab)≥0.
1 1 2 故 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二:分析法 证明三:综合法 ∵a2+b2≥2ab, ∴-a2-b2≤-2ab. 从而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2,1-ab>0. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b2
证明二：(分析法)
证明三：(综合法)
一般地,对任意实数ai,bi(i=1,2,3, …,n),都有:
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
≥(a1b1+a2b2+…+anbn) 2.(柯西不等式)
【例4】设-1<a<1,-1<b<1,求证: 1 1 2 . 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二：比较法（作商） ∵a2+b2≥2ab，
2 2 3 3 ( a b )( a b ab) a b ∴ 2 2 ab(a b) a b ab 2 2 a b ab 2ab ab 1 ab ab
又a>0，b>0，所以ab>0，
故a3+b3≥a2b+ab2.
证明一:比较法(作差)
1 1 2 2 2 1 a 1 b 1 ab
(1 b 2 )(1 ab) (1 a 2 )(1 ab) 2(1 a 2 )(1 b 2 ) (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
1 b 2 ab ab3 1 a 2 ab a 3b 2 2a 2 2b 2 2a 2b 2 2 2 (1 a )(1 b )(1 ab)
不 等 式 的 证 明
松北高级中学 吴宏亮
【 例 1】 已 知 a>0 ， b>0 ， 求 证 ： a3+b3≥a2b+ab2.(课本P12例3)
证明一：比较法（作差） （a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3- a2b）+（b3-ab2） =a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)( a2-b2) =( a-b)2(a+b). ∵a>0，b>0， ∴a+b>0，而( a-b)2≥0. ∴( a-b)2(a+b)≥0. 故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0, 即a3+b3≥a2b+ab2.
a b 2ab ab a b 2a b 2 2 (1 a )(1 b )(1 ab)
2 2 3 3 2
2
(a b)2 ab(a b)2 (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab) (a b) (1 ab) 2 2 (1 a )(1 b )(1 ab)
【例3】求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 证明一： ( 比较法 ) ∵(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2) =(a2c2+b2d2+2abcd)-(a2c2+b2d2+a2d2+b2c2) =2abcd- a2d2-b2c2 =-(ad-bc)2 ≤0. ∴ (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
2 2 1 sin sin 1 ab
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (1 ab) 1 ab 1 a b a b
证明四:换元法
1 1 1 1 2 2 2 1 a 1 b 1 sin 1 sin2 (1 sin2 ) (1 sin2 ) cos2 cos2 2 2 (1 sin )(1 sin ) cos2 cos2 2 | cos cos | 2 2 2 cos cos | cos cos | 2 | cos( ) sin sin |
a 0, b 0
a b b 2a 同 理 a 2b b a 2 2 a b b a 2a 2b b a
2
2
a b 即 ab b a
2
2
a1≥a2≥a3…≥an,b1≥b2≥b3…≥bn, 则 a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn ≥a1b2+a2b3+…+ an-1bn+anb1 ≥a1bn+a2bn-1+…+ an-1b2+anb1.
2 2
a b 所以， a b b a
证明二：比较法（作商）
a b 3 3 2 2 a b a b ab b a ab(a b) ab ab
2ab ab 1 ab
2
2
而a>0，b>0，所以a+b>0.
a2 b2 故 ab b a
证明四:综合法
证明三：分析法
欲证a3+b3≥a2b+ab2， 只需证明(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b). 由于a>0，b>0，所以a+b>0， 故只要证明a2+b2-ab≥ab即可。 即证明a2+b2≥2ab. 而a2+b2≥2ab 显然是成立的 所以有a3+b3≥a2b+ab2.
证明四：综合法
∵a2+b2≥2ab， ∴aБайду номын сангаас+b2-ab≥ab.
又∵a>0，b>0， ∴a+b>0，
故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).
即a3+b3≥a2b+ab2.
【例2】已知a>0，b>0，求证： a2 b2 a b.(课 本 习 题 改 变 ） b a 证明一：比较法（作差）
3 3 2 2 a b a b a b ab (a b ) b a ab 2 2 2 a (a b ) b ( b a ) (a b ) (a b ) ab ab 2 2 (a b)(a b ) 0 ab 2 2