3.1.3空间向量的数量积运算
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3.1.3空间向量的数量积运算 课件
＝12＋1×1×cos 60° －2×1×1×cos 60° ＋1×1×cos 60° ＋12－2×1×1×cos 60° ＝1. → → → (3)|OA＋OB＋OC|＝ → → → OA＋OB＋OC2
＝ 12＋12＋12＋2×1×1×cos 60° ×3＝ 6.
研一研· 问题探究、课堂更高效
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3.1.3 例 1 已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝ 2，AD
＝ 4， E 为侧面 AB1 的中心， F 为 A1D1 的中点．试计算： → → → → → → (1)BC· ED1；(2)BF· AB1； (3)EF· FC1. → → → 解 如图，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，
跟踪训练 2
如图所示，已知平行六面体
ABCD— A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形， 且∠ C1CB＝∠ C1CD＝∠ BCD＝ 60° .求证： CC1⊥ BD. → → → 证明 设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|.
→ → → → → ∵BD＝CD－CB＝b－a， ∴BD· CC1＝(b－a)· c＝b· c－a· c ＝|b||c|cos 60° －|a||c|cos 60° ＝0， → → ∴C1C⊥BD，即 C1C⊥BD.
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小结
3.1.3 求向量的模，可以转化为求向量的数量积，求两点
间的距离或某条线段的长度，可以转化为求对应向量的模， 其中的关键是将线段长度用向量的模表示出来．
跟踪训练 3 如图所示，已知线段 AB 在平面 α 内，线段 AC⊥α，线段 BD⊥AB，线段 DD′⊥α 于 D′， 如果∠ DBD′＝30° ，AB ＝ a， AC＝ BD＝b，求 CD 的长． → → 解 易知 AC⊥AB.，<CA，BD>＝60° ， → → → → → → ∵|CD|2＝CD· CD＝(CA＋AB＋BD)2 →2 →2 → 2 → → → → → → ＝|CA| ＋|AB| ＋|BD| ＋2(CA· AB＋CA· BD＋AB· BD)＝
3.1.3空间向量的数量积运算
例3 如图，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC ，线段 BD AB ，线段 DD ，DBD 30 ，如 果 AB a , AC BD b ，求 C 、D 之间的距离。 解：由 AC ，可知 AC AB .
C D b b a D'
由DBD 30 知 CA , BD 120.
P
O
A
a
l
a PO 0 , a OA 0 a PA a ( PO OA) a PO a OA 0 a PA, 即l PA .
注意①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3. 空间向量数量积的性质
2
2
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
② a b a b 0 (垂直的判断);
ab ③ cos a , b (求角度). ab
D' C' A' B'
D
4 3 5 2(0 10 7.5) 85
2 2 2
C
A
B
AC 85
练习 2 【例 3 】如图，在正三棱柱ABC A1 B1C1中，
解析：易知AB C1C , BB1 CB, )60 (A (B )90 AB, CB 120, BB1 , C1C 180 | AB | 2 | BB1 | AB1 C1B ( AB BB1 ) (C1C CB) AB C1C AB CB BB1 C1C BB1 CB
C D b b a D'
由DBD 30 知 CA , BD 120.
P
O
A
a
l
a PO 0 , a OA 0 a PA a ( PO OA) a PO a OA 0 a PA, 即l PA .
注意①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3. 空间向量数量积的性质
2
2
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
② a b a b 0 (垂直的判断);
ab ③ cos a , b (求角度). ab
D' C' A' B'
D
4 3 5 2(0 10 7.5) 85
2 2 2
C
A
B
AC 85
练习 2 【例 3 】如图，在正三棱柱ABC A1 B1C1中，
解析：易知AB C1C , BB1 CB, )60 (A (B )90 AB, CB 120, BB1 , C1C 180 | AB | 2 | BB1 | AB1 C1B ( AB BB1 ) (C1C CB) AB C1C AB CB BB1 C1C BB1 CB
课件9：3.1.3 空间向量的数量积运算
已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于 , 点 分别是 的中点，求下列向量的 数量积：
课堂小结
1．正确分清楚空间向量的夹角。
2．两个向量的数量积的概念、性质和计算方法。
而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn
要证l·g＝0,只需l· g= xl·m+yl·n=0
而l·m＝0 ，l·n＝0
故 l·g＝0
三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
对于非零向量 ，有：
5)空间向量的数量积满足的运算律
注意：
数量积不满足结合律
二、 课堂练习
全错
A
D
F
C
B
E
三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。
n
m
g
g
m
n
l
l
要证l与g垂直，只需证l·g＝0
3.1.3 空间向量的数量积运算
教学过程
一、几个概念
1） 两个向量的夹角的定义
O
A
B
同起点是关键
2）两个向量的数量积
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
A1
B1
B
A
E
4)空间向量的数量积性质
注意： ①性质2）是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
解：由 ，可知 . 由 知 .
例4 已知在平行六面体 中， , , 求对角线 的长。
课堂小结
1．正确分清楚空间向量的夹角。
2．两个向量的数量积的概念、性质和计算方法。
而m，n不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn
要证l·g＝0,只需l· g= xl·m+yl·n=0
而l·m＝0 ，l·n＝0
故 l·g＝0
三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
对于非零向量 ，有：
5)空间向量的数量积满足的运算律
注意：
数量积不满足结合律
二、 课堂练习
全错
A
D
F
C
B
E
三、典型例题 例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥
分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。
n
m
g
g
m
n
l
l
要证l与g垂直，只需证l·g＝0
3.1.3 空间向量的数量积运算
教学过程
一、几个概念
1） 两个向量的夹角的定义
O
A
B
同起点是关键
2）两个向量的数量积
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
A1
B1
B
A
E
4)空间向量的数量积性质
注意： ①性质2）是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
解：由 ，可知 . 由 知 .
例4 已知在平行六面体 中， , , 求对角线 的长。
3.1.3 空间向量的数量积运算
数乘向量与向量数量积的结合律
交换律
λ( a · b) (λa)· b＝______
b· a a· b＝____
a· b＋a· c a· (b＋c)＝________
分配律
知识点2：空间向量数量积的性质 a· b＝0 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔______ |a|· |b| ；若反向，则a· －|a|· |b| . ②若 a 与 b 同向，则 a · b ＝ b ＝ 两个向量 2 | a | 特别地，a· a＝ 或|a|＝ a· a 数量积的 a· b 性质 |a||b| ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_____
(1)空间向量的夹角
→ → ①定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA＝a，OB＝ b，则 ∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉. π ②范围：〈a，b〉∈ [0，π] .特别地：当〈a，b〉＝ 2 时，a⊥b.
知识点1：空间向量数量积的概念 (2)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积， 记作a· b. (3)数量积的运算律
＝12＋22＋12＋2×(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，
→ ∴|EF|＝ 2，∴EF 的长为 2.
1
2
3
4
5
课堂小结
空间向量数量积的性质可以看成定义的引申和拓展，空间向量数量积与向
量的模和夹角有关，更多的是以它为工具，解决立体几何中与夹角和距离
相关的问题：
①求空间两点间的距离或线段的长度的问题可以转化为求相应向量的模的
问题；
②求空间两条直线所成的角的问题可以转化为求两条直线对应向量的夹角
的问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围；
(原创)3.1.3空间向量的数量积
三平面、向空量间数向量积量的数运量算积律：的运算律：
(1)( a) b (a b)
(2)a b b a (交换律) (3)a (b c) a b a c (分配律)
思考：
(1)由a b a c，能得到b c 吗？
(2)对于向量 a, b, c ，（a b)c a(b c) 成立吗？
如果和这个平面的一条斜
线的射影垂直,那么它也
和这条斜线垂直.
αO
l l A
三垂逆线命定题理成的立逆定吗理? ：
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一
条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射
影垂直.
看课本 P92—P94：
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
课本 P92 练习1——3题 P94 练习 第3题
a b a b cos a, b 0 a,b
注意: ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
二、空间两个向量的数量积的性质
（向量的夹角）
(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完 全相同的性质. (2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5) 是用来求两个向量的夹角．
作业布置： P98：第3、4、5题
例 2．已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、
斜线， AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且
l OA，求证： l PA
P
D
变式：
αO
l A
若AD// l,OA=1,AD=2,PO=3,
(1)求 OD 和 AP 夹角的余弦值.
(2)求P, D间的距离；
斜线， AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且
§3.1.3空间向量的数量积运算
§3.1.3空间向量的数量积运算班级：_____姓名：__________ 编号：_____【预习·基础知识】学习目标1、掌握空间向量的数量积概念、有关简单性质以及数量积运算的运算律。
2、能运用向量的数量积，判断向量的共线与垂直，并用于证明两直线平行与垂直。
自主预习（预习课本自主掌握以下概念和原理） 1、空间向量的夹角（1）文字叙述：已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作==,则______叫做向量,a b 的夹角，记作______ ①范围:______________.,a b 〈〉 =0时,a b与________;,a b 〈〉 =π时,a b与_________.②,,a b b a 〈〉〈〉＝，那么_________.（2 ）如果2,π=〉〈b a ,则称a 与b _______,记作：___________；2、两个向量的数量积(1)定义：已知空间两个非零向量、a b,则______叫做、a b的数量积。
(2)记法：a b ∙. 即__________a b ∙= .3、空间两个向量的数量积性质（1）a e ⋅=____________（2）______a b ⊥⇔（3）2a a a =⋅4、空间向量的数量积满足的运算律思考1.⑵是显然成立的,你能证明(1)和(3)吗？思考2.对于三个均不为0的数,a,b,c,若ab=ac,则b=c.对于向量 a , b , c ,由∙=∙a b a c 能得到=b c 吗？如果不能，请举出反例.思考3.对于三个均不为0的数,a,b,c,若ab=c,则c a =b .(或cb =a )对于向量 a ,b ,若∙= a b k 能否写成= k a b ( 或=k b a )？也就是说向量有除法吗？思考 4.对于三个均不为0的数,a,b,c,若(ab)c=a(bc)对于向量 a , b , c ,()()=a b c a b c成立吗？也就是说，向量的数量积满足结合律吗？⑴()()a b a b λλ⋅=⋅ ⑵a b b a ⋅=⋅(交换律) ⑶()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律)【突破·核心知识】典型例题（合作.探究.展示） 题型一：空间向量的数量积的基本运算 例1.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求下列数量积： （1）_________11=∙C B （2）_________1=∙BA （3）_________11=∙B A （4）_________1=∙BC【典例训练】判断真假:1)若0,a b ⋅= 则0,0a b ==( )222222)()()()3)()()4)()a b c a b c p q p q p q p q p q ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅-=- 题型二：利用向量的数量积证明垂直问题例 2. 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.【典例训练】在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.成立吗？例3．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理．（写出已知求证）题型三：利用数量积求距离（即线段长度）例4、如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，BD =3CD =，30ABD ∠= ，60ABC ∠= ，求AB 与CD 的夹角的余弦值【归纳∙知识方法】【知识梳理】lm nm ng gl【随堂∙自我测评】1、下列式子中，正确的是（）A、2B、222)(∙=∙C、)()(∙∙=∙∙ D2、已知向量,,两两夹角都是060，其模都是1，+-（）A、5B、5C、6D、63、空间四边形OABC中，OB=OC,,3π=∠=∠AOCAOB则=〉〈BCOA,cosA、21B、22C、21- D、04、在正三棱柱111CBAABC-中，若,21BBAB=则BCAB11与所成角的大小为（）A、060 B、090 C、0105 D、0755、已知,1=++，则_________=∙+∙+∙6、在平行六面体1111DCBAABCD-中，,90,5,3,401=∠===BADAAADAB1160=∠=∠DAABAA,求1AC的长。
3.1.3 空间向量的数量积运算
不成立，左边是一个与向量c 共 线的向量，右边是一个与向量 a 共 线的向量，而向量c 与 a 连是否共线 都是一个未知数.
1.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大小为_1_3__5_.
2.判断真假:
1)若 a b 0,则 a 0, b 0 ( )
便.
⑵是显然成立的,你能证 明(1)和(3)吗？
(1)( a) b (a b). 证明：当 =0 时，等式显然成立.当 ≠0 时，因 为 ( a) b | a || b | cos a, b
| | (| a || b | cos a, b ) ，
所以，若 >0,则| | = ， a, b = a, b ， 故 ( a) b | | (| a || b | cos a, b )
回顾
F
S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
知 新 类似地，可以定义空间向量的
1)两个向量的夹角的定义:
数量积
如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取
一点 O ,作 OA a , OB b ,则角 AOB 叫做向
.
= (| a || b | cos a, b ) = (a b) .
若 <0,则| | =- ， a, b = π a, b ，
故 ( a) b [| a || b | cos(π a, b )]
= (| a || b | cos a, b ) = (a b) .
法一:发现 | a b |2 | a b |2 2(| a |2 | b |2)代入求得.
1.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大小为_1_3__5_.
2.判断真假:
1)若 a b 0,则 a 0, b 0 ( )
便.
⑵是显然成立的,你能证 明(1)和(3)吗？
(1)( a) b (a b). 证明：当 =0 时，等式显然成立.当 ≠0 时，因 为 ( a) b | a || b | cos a, b
| | (| a || b | cos a, b ) ，
所以，若 >0,则| | = ， a, b = a, b ， 故 ( a) b | | (| a || b | cos a, b )
回顾
F
S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
知 新 类似地，可以定义空间向量的
1)两个向量的夹角的定义:
数量积
如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取
一点 O ,作 OA a , OB b ,则角 AOB 叫做向
.
= (| a || b | cos a, b ) = (a b) .
若 <0,则| | =- ， a, b = π a, b ，
故 ( a) b [| a || b | cos(π a, b )]
= (| a || b | cos a, b ) = (a b) .
法一:发现 | a b |2 | a b |2 2(| a |2 | b |2)代入求得.
3.1.3空间向量的数量积运算
在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC． 中 在四面体 ⊥ ， ⊥ ，求证： ⊥ ．
3.1.3空间向量的数量积运算 空间向量的数量积运算
一、两个向量的夹角
两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角， 两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范 而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是 围是(0° ° 而向量的夹角可以是钝角 其取值范围是[0° ° 围是 °,90°],而向量的夹角可以是钝角 其取值范围是 °,180°]
(1)三垂线定理及其逆定理中都出 三垂线定理及其逆定理中都出 现了四条线AB， ， ， ， 现了四条线 ，AC，BC，l， 定理中所描述的是AC(斜线 、 斜线)、 定理中所描述的是 斜线 BC(射影 、l(面内的直线 之间的 射影)、 面内的直线 面内的直线)之间的 射影 关系． 关系． 在三垂线定理及其逆定理中， 在三垂线定理及其逆定理中， 涉及上面四条线， 涉及上面四条线，三个垂直 关系 垂线AB和平面 垂直； 和平面α ①垂线 和平面α垂直； 射影BC和直线 垂直； 和直线l垂直 ②射影 和直线 垂直； 斜线AC和直线 垂直， 和直线l垂直 ③斜线 和直线 垂直， 所以定理称为“ 所以定理称为“三垂线定 理”． (2)两个定理的区别 两个定理的区别 ①从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“线与射影垂直 从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是“ 线与斜线垂直” 逆定理相反． 推出 线与斜线垂直”，逆定理相反． 从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知“ ②从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知“共面直线垂直 异面直线垂直” 逆定理相反． 推出 异面直线垂直”，逆定理相反．
四、空间向量数量积的运算律
与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律： 与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：
3.1.3空间向量的数量积运算
1.已知a 2 2 , b 2 , a b 2 2
则a , b所夹的角为________.
解：cos a,b a b 2 2
ab 2 2 2
2
2
a,b 135
2.已知向量
uur uur
a,b
满足
uaur
1,
uur
b
2,
uaur
uur
5)空间向量的数量积满足的运算律
1) (a) b (a b)
2) a b b a (交换律） 3）a (b c) a b a c (分配律）
1.反例：如图，向量OC 与向量OA,OB
都垂直，因此 OC OA OC OB 0
显然 OA与OB不相等
a b a b cosa,b
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3）数量积的几何意义
a b 等于 a 的长度 a 与 a 在 b 的方向上的投影 b cos a,b 的乘积.
4)空间向量的数量积性质
rr 对于非零向量 a , b，有：
b
3
,
则
uur
a
uur
b
__1___.
解： a b 2
(a b)2
2
a
2
2a b b
2
2
a 2a b b 9
a b 2
ab
2
(a b)2
2
a
2
2a b b
a
2
2a b
b
2
1 ab 1
则a , b所夹的角为________.
解：cos a,b a b 2 2
ab 2 2 2
2
2
a,b 135
2.已知向量
uur uur
a,b
满足
uaur
1,
uur
b
2,
uaur
uur
5)空间向量的数量积满足的运算律
1) (a) b (a b)
2) a b b a (交换律） 3）a (b c) a b a c (分配律）
1.反例：如图，向量OC 与向量OA,OB
都垂直，因此 OC OA OC OB 0
显然 OA与OB不相等
a b a b cosa,b
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3）数量积的几何意义
a b 等于 a 的长度 a 与 a 在 b 的方向上的投影 b cos a,b 的乘积.
4)空间向量的数量积性质
rr 对于非零向量 a , b，有：
b
3
,
则
uur
a
uur
b
__1___.
解： a b 2
(a b)2
2
a
2
2a b b
2
2
a 2a b b 9
a b 2
ab
2
(a b)2
2
a
2
2a b b
a
2
2a b
b
2
1 ab 1
3.1.3空间向量的数量积运算(用)
导入新课
在平面向量里，除了向量的加、减、数乘 运算，还学习了数量积运算。
下面我们借助“类比思想”把平面向量 的数量积运算扩展到空间。
3.1.3空间向量的 数量积运算
1.空已间A知O两两B个个叫非向做零量向向量的量a夹a与角, bb,的作夹Oa角A, b.
[0, ]
a,
OB b, 则
记作: a, b
N C
例题2:已知空间四边形ABCD的每条边和对角
线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点.
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD .
M B
A
N C
(1)证明:
MN AB (MB BC CN) AB
[1 AB (AC AB) 1 (AD AC)] AB
2
2
1
1
1
( AB AC AD) AB
证明：由已知OA BC ，OB AC
所以 OA·BC 0 , OB·AC 0
O
OA·( OC OB ) 0
OB·( OC OA ) 0
所以 OA·OC OA·OB
A
C
OB·OC OB·OA
B
所 以 OA·OC OB·OC 0
( OA OB )·OC 0
BA·OC 0
所以 OC AB
（1）两个向量的数量积是数量，而不是向量. （2）规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
0a 0
（3）点乘符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能 省略，也不能用“×”代替.
3.空间向量数量积的常用性质
设a，b是两个非零向量
（1）a⊥b a·b=0，数量积为零是判定两非零向
量垂直的充要条件;
（2）当a与b同向时, a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,
在平面向量里，除了向量的加、减、数乘 运算，还学习了数量积运算。
下面我们借助“类比思想”把平面向量 的数量积运算扩展到空间。
3.1.3空间向量的 数量积运算
1.空已间A知O两两B个个叫非向做零量向向量的量a夹a与角, bb,的作夹Oa角A, b.
[0, ]
a,
OB b, 则
记作: a, b
N C
例题2:已知空间四边形ABCD的每条边和对角
线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点.
(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD .
M B
A
N C
(1)证明:
MN AB (MB BC CN) AB
[1 AB (AC AB) 1 (AD AC)] AB
2
2
1
1
1
( AB AC AD) AB
证明：由已知OA BC ，OB AC
所以 OA·BC 0 , OB·AC 0
O
OA·( OC OB ) 0
OB·( OC OA ) 0
所以 OA·OC OA·OB
A
C
OB·OC OB·OA
B
所 以 OA·OC OB·OC 0
( OA OB )·OC 0
BA·OC 0
所以 OC AB
（1）两个向量的数量积是数量，而不是向量. （2）规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
0a 0
（3）点乘符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能 省略，也不能用“×”代替.
3.空间向量数量积的常用性质
设a，b是两个非零向量
（1）a⊥b a·b=0，数量积为零是判定两非零向
量垂直的充要条件;
（2）当a与b同向时, a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,
3.1.3空间向量的数量积运算
3.1.3空间向量的数量积运算
回
平面向量
顾
夹角
已知两个非零向量 ，在平面中任取一点 ，
，则角
叫做向量
引
的夹角，记作：
入 数量积定义
数量积的
数量积
等于 的长度 与 在
几何意义
的方向上的投影
的乘积
数量积的性质
为非零向量， 为单位向量
①
②
③
①
②
数量积的运算律 ③
1.空间向量的夹角
已知两个非零向量a, b,在空间任取
一点O,作OA a,OB b,则AOB叫做
向量a, b的夹角,记作 a, b
a
(1)向量的夹角：0 a, b
b
A
a
B ObΒιβλιοθήκη (2) a, b ＝ b, a
(3)如果 a, b ，则称a与b垂直，记作a b
2
2.空间向量数量积的定义
已知空间两个非零向量 a, b, 则 a b cos a,b 叫做 a, b的数量积，记作 a b , 即
3、已知 a 3，b 2，a b 3，则 a，b
3.1.3空间向量的数量积运算
[例 1] 如图所示，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求值：
(1)E→F·B→A； (2)E→F·B→D； (3)E→F·D→C； (4)A→B·C→D.
跟踪训练 在四面体 OABC 中，棱 OA、OB、OC 两两垂 直，且 OA＝1，OB＝2，OC＝3，G 为△ABC 的重心，则O→G·(O→A ＋O→B＋O→C)＝________.
a b a b cos a,b 0 a,b
注意:
①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
回
平面向量
顾
夹角
已知两个非零向量 ，在平面中任取一点 ，
，则角
叫做向量
引
的夹角，记作：
入 数量积定义
数量积的
数量积
等于 的长度 与 在
几何意义
的方向上的投影
的乘积
数量积的性质
为非零向量， 为单位向量
①
②
③
①
②
数量积的运算律 ③
1.空间向量的夹角
已知两个非零向量a, b,在空间任取
一点O,作OA a,OB b,则AOB叫做
向量a, b的夹角,记作 a, b
a
(1)向量的夹角：0 a, b
b
A
a
B ObΒιβλιοθήκη (2) a, b ＝ b, a
(3)如果 a, b ，则称a与b垂直，记作a b
2
2.空间向量数量积的定义
已知空间两个非零向量 a, b, 则 a b cos a,b 叫做 a, b的数量积，记作 a b , 即
3、已知 a 3，b 2，a b 3，则 a，b
3.1.3空间向量的数量积运算
[例 1] 如图所示，在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，求值：
(1)E→F·B→A； (2)E→F·B→D； (3)E→F·D→C； (4)A→B·C→D.
跟踪训练 在四面体 OABC 中，棱 OA、OB、OC 两两垂 直，且 OA＝1，OB＝2，OC＝3，G 为△ABC 的重心，则O→G·(O→A ＋O→B＋O→C)＝________.
a b a b cos a,b 0 a,b
注意:
①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
《3.1.3空间向量的数量积运算》ppt课件
(4)错误.在△ABC中,向量 BA，BC 的夹角为∠B,而向量 AB，BC 的夹角与向量 BA，BC 的夹角互补,故此等式不正确. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若向量a与b满足|a|=1,|b|=2且a与b的夹角为 ,则
3
a·b=
.
(2)已知|a|=
2 ,|b|=
2 2
,a·b=-
2 2
,则a与b的夹角
为
.
(3)已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|= 7 ,
则cos<a,b>=
.
【解析】(1)a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1×2× 1 =1.
2
答案：1
(2)由a·b=|a||b|cos〈a，b〉= 2 2 ×cos〈a，b〉
【解析】EF
FC1
[1 2
c
a
1 2
b]
(1 2
b
a)
1 (a b c) (1 b a)
2
2
1 a 2 1 b 2 2. 24
【方法技巧】 1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b=|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进 行计算. (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同 一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
形△OAB，△BOC求 OE与 BF 的模.
2. PC
2
PC .
【自主解答】(1)设 OA=a，OB =b，
OC =c且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝ ，
3.1.3 空间向量的数量积运算
=13
������������
+
1 3
������������
+
1 3
������������ .
∴������������·(������������ + ������������ + ������������)=
1 3
������������
+
1 3
������������
+
1 3
������������
思路分析求出每个向量的模及其夹角,然后按照数量积的定义求 解,必要时,对向量进行分解.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
解(1)������������ ·������������=|������������||������������|cos <������������, ������������>
例 2 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求向量������������1与������������的夹角 的大小.
思路分析求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一
个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向
量的数量积定义a·b=|a||b|cos
<a,b>,求出cos
因 所为 以△向D量1A������C������1为与等���������边���的三夹角角形为,所π3.以∠D1AC=π3,即<������������1, ������������>=π3. (方法 2)设正方体的棱长为 1,
则������������1 ·������������=(������������ + ������������1)·(������������ + ������������)
3.1.3 空间向量的数量积运算
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
想一想 1.〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉相等 吗？
提示：相等；不相等．
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
2．空间向量的数量积 (1)定义：
|a||b|cos〈a，b〉 已知两个非零向量a，b，则__________________叫做a，b的 数量积，记作a· b. |a||b|cos〈a，b〉 即a· b＝_________________．
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
→ → 又∵|BC1 |＝ 2，|AC|＝ 2， → → BC1 · AC 1 1 → → ∴cos〈BC1 ，AC〉＝ ＝ ＝ . → → 2× 2 2 |BC1||AC| → → ∵〈BC1 ，AC〉∈[0° ，180° ]， → → ∴〈BC1 ，AC〉＝60° . → → ∴BC1 与AC夹角的大小为 60° .
答案：1
2．已知|a|＝ 2，|b|＝ __________． 2 2 ，a· b＝－ ，则 a 与 b 的夹角为 2 2
答案：135°
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
典题例证技法归纳题型探究来自题型一 空间向量数量积的运算 例1 已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2， AD＝4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点． 求下列向量的数量积． → → (1)BC· 1； ED → → (2)BF· 1 . AB
栏目 导引
第三章
空间向量与立体几何
→ 1 (2)由(1)知MN＝ (q＋r－p)， 2 → 2 1 ∴|MN| ＝ (q＋r－p)2 4 1 ＝ [q2＋r2＋p2＋2(q· r－p· q－r· p)] 4 a2 a2 a2 1 2 ＝ [a ＋a2＋a2＋2 2 － 2 － 2 ] 4 1 a2 ＝ ×2a2＝ . 4 2 2 2 → ∴|MN|＝ a，∴MN 的长为 a. 2 2
3.1.3空间向量的数量积运算(优秀经典公开课比赛教案)
3.1.3空间向量的数量积运算一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。
教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。
进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标：1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.三、教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．四、教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：六、教学方法：七、教学过程1、自主导学：2、合作探究（一）、复习引入1.复习平面向量数量积定义：2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.（二）、新课讲授1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a 与b ，在空间中任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a ,b ＞．说明：⑴规定：0≤＜a ，b ＞π≤． 当＜a 、b ＞＝０时，a 与b同向； 当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向；当＜a 、b ＞＝2π时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ． ⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a ,b ＞＝＜b ,a＞．⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．②＜a ,b ＞≠(a ,b )2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos ＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０；⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 几何意义：已知向量AB ＝a 和轴l ，e 是l 上和l 同方向的单位向量．作点A 在l 上的射影A ′，点B 在l 上的射影B ′，则''A B 叫做向量AB 在轴l 上或在e 方向上的正射影，简称射影．可以证明：''A B ＝｜AB ｜cos ＜a ,e ＞＝a ·e ．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a ·e 的几何意义．3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：⑴a ·e ＝｜a ｜·cos ＜a ,e ＞； ⑵a ⊥b ⇔a ·b ＝０⑶当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜.特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a ｜＝2a a a ⋅=.⑷cos ＜a ,b ＞＝a ba b ⋅⋅; ⑸｜a ·b ｜≤｜a ｜·｜b ｜.4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：⑴(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)； ⑵ a ·b ＝b ·a (交换律)；⑶a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)说明：⑴(a ·b )c ≠a （b ·с）；⑵有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b )2＝a 2＋２a ·b ＋b 2例题讲解：课本91页：例2、例33、巩固训练：课本92页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结：（1）空间向量夹角和模的概念及表示方法（2）两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；八、课外作业：课本97页：习题3.1 A组 4九、板书设计：。
课件11：3.1.3空间向量的数量积运算
②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.
A
a
B1
A1
b
B
类比平面向量,你能说出 a b 的几何意义吗?
如图 A1 B1 是 b 在 a 方向上的射影向量.
探究点 3 空间两个向量的数量积的性质
显然,对于非零向量 a, b ,有下列性质:
① a b ab 0;
2
② a a a ，也就是说 a
证明：在直线l上取向量,只要证× =
因为× = ，×=0
所以× = ×（ + ）
= × + ×
=0
P
所以 ⊥
O
A
即l⊥PA
l
逆命题成立吗?
a
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条
斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ π.
⑵ a , b＝ b, a .
a
A
a
b
O
B
b
探究点 2 两个向量的数量积
已知两个非零向量 a , b ,则 a b cos a , b
叫做 a , b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cos a , b .
注：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
这条斜线在平面内的射影
直，那么它也和________________________垂直．
即与斜线垂直⇔与射影垂直．
课堂探究
探究点 1 两个向量的夹角
如图，已知两个非零向量 a , b ,在空间上任取一点 O,作
OA a, OB b .则∠AOB 叫做 a , b 的夹角，记作 a, b .
A
a
B1
A1
b
B
类比平面向量,你能说出 a b 的几何意义吗?
如图 A1 B1 是 b 在 a 方向上的射影向量.
探究点 3 空间两个向量的数量积的性质
显然,对于非零向量 a, b ,有下列性质:
① a b ab 0;
2
② a a a ，也就是说 a
证明：在直线l上取向量,只要证× =
因为× = ，×=0
所以× = ×（ + ）
= × + ×
=0
P
所以 ⊥
O
A
即l⊥PA
l
逆命题成立吗?
a
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条
斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ π.
⑵ a , b＝ b, a .
a
A
a
b
O
B
b
探究点 2 两个向量的数量积
已知两个非零向量 a , b ,则 a b cos a , b
叫做 a , b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cos a , b .
注：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
这条斜线在平面内的射影
直，那么它也和________________________垂直．
即与斜线垂直⇔与射影垂直．
课堂探究
探究点 1 两个向量的夹角
如图，已知两个非零向量 a , b ,在空间上任取一点 O,作
OA a, OB b .则∠AOB 叫做 a , b 的夹角，记作 a, b .
高中数学选修2-1第三章 3.1 3.1.3 空间向量的数量积运算
证明：设 A1B1 ＝a，A1D1 ＝b，A1 A＝c，则 a·b＝0，b·c＝0，a·c
＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵ A1O ＝ A1 A＋ AO
＝ A1 A＋12( AB＋ AD)＝c＋12a＋12b，
BD＝ AD－ AB＝b－a，
OG＝OC ＋CG＝12( AB＋ AD)＋12CC1 ＝12a＋12b－12c.
3．1．3 空间向量的数量积运算
预习课本 P90～91，思考并完成以下问题 1．空间向量的数量积的定义是什么？
结束
2．空间向量的数量积满足哪些运算律？
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[新知初探]
结束
1．空间向量的夹角
(1)如图，已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA
＝a，OB＝b，则 ∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉．
又| AC |＝ 2，|BA1 |＝ 1＋2＝ 3，
∴cos〈 BA1
，
AC
〉＝ |
BA1 BA1
·AC || AC
＝－1＝－ |6
66，
则异面直线
BA1 与
AC
所成角的余弦值为
6 6.
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结束
利用空间向量的数量积证明垂直
[典例] 已知空间四边形 ABCD 中，AB⊥CD，AC⊥BD， 求证：AD⊥BC.
[解] 不妨设正方体的棱长为 1， 则 BC1 ·AC ＝(BC ＋CC1 )·( AB＋ BC ) ＝( AD＋ AA1 )·( AB＋ AD) ＝ AD·AB＋ AD2＋ AA1 ·AB＋ AA1 ·AD
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＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵ A1O ＝ A1 A＋ AO
＝ A1 A＋12( AB＋ AD)＝c＋12a＋12b，
BD＝ AD－ AB＝b－a，
OG＝OC ＋CG＝12( AB＋ AD)＋12CC1 ＝12a＋12b－12c.
3．1．3 空间向量的数量积运算
预习课本 P90～91，思考并完成以下问题 1．空间向量的数量积的定义是什么？
结束
2．空间向量的数量积满足哪些运算律？
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[新知初探]
结束
1．空间向量的夹角
(1)如图，已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA
＝a，OB＝b，则 ∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉．
又| AC |＝ 2，|BA1 |＝ 1＋2＝ 3，
∴cos〈 BA1
，
AC
〉＝ |
BA1 BA1
·AC || AC
＝－1＝－ |6
66，
则异面直线
BA1 与
AC
所成角的余弦值为
6 6.
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结束
利用空间向量的数量积证明垂直
[典例] 已知空间四边形 ABCD 中，AB⊥CD，AC⊥BD， 求证：AD⊥BC.
[解] 不妨设正方体的棱长为 1， 则 BC1 ·AC ＝(BC ＋CC1 )·( AB＋ BC ) ＝( AD＋ AA1 )·( AB＋ AD) ＝ AD·AB＋ AD2＋ AA1 ·AB＋ AA1 ·AD
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1) a e a cosa, e
2) a b a b 0
2
3) a a a 注意：
①性质2）是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
4)空间向量的数量积满足的运算律
1) (a) b (a b)
2) a b b a (交换律） 3）a (b c) a b a c (分配律）
求对角线 AC 的长。
D'
C'
A'
B'
| AC | 85
D C
A
B
练习：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
证明：由已知 OA BC，OB AC
O
所以 OA BC 0 , OB AC 0
OA (OC OB) 0
A
C
B
OB (OC OA) 0 所以 OA OC OA OB
例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ .
l
分析：要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可 知,就是要证明这条直线与平面内 的任意一条直线都垂直.
gl
m
m n mg
取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方 向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要 证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量 的条件与向量的目标的联系?
3.已知向量 a,b 满足 a 1, b 2, a b 3,
则 a b __1___.
2
2
22
法一:发现 a b a b 2( a b ) 代入求得.
22
2
法二:由 a b a 2ab b 代入求得 ab =-2.
22
2
∴ a b a 2ab b 得 a b 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
注意： 数量积不满足结合律 （a b)c a (bc)
思考
1.下列命题成立吗?
①若a b a c ,则b c
②若 a b k
,则
a
k b
③ (a b) c a (b c)
2.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大小为_1__3_5_.
l m 0, l m 0 , l g 0,即l g.
gl
m
m
n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
例3 如图，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC
，线段 BD AB，线段 DD ，DBD 30，如
果 AB a , AC BD b ，求 C、D 之间的距离。
A
E B
F
D G C
小 结：
通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中 的以下问题：
1、证明两直线垂直; 2、求两点之间的距离或线段长度; 3、求两直线所成角.
作业
P98 A组 3 4 5 B组 1 2
2
2）两个向量的数量积
设OA a,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模,记作：a 已知空间两个向量a,b，则 a b cosa,b叫做向量a,b的数量积， 记作：a b,即
a b a b cosa,b
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3)空间向量的数量积性质 对于非零向量a , b，有：
| AB | | BC | cos AB, BC
2 2 3 cos150 2 3 cos120 6 3 3
∴ cos AB,CD AB CD 3 1 ，
| AB | | CD | 2 3 2
∴ AB 与 CD 的夹角的余弦值为 1 ． 2
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如 AB, BD 150 易错写成 AB, BD 30 ，注意推敲！
已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA在平面 内的射影， l ，且 l OA ，
求证： l PA
分析：用向量来证明
P
两直线垂直，只需证
明两直线的方向向量 的数量积为零即可！
O A a
l
如图,已知: PO , AO为 射影, l , 且l OA 求证：l PA
a ，点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点。
求证：MN AB , MN CD 。
A
证明：因为 MN MA AD DN
所以 AB MN AB ( MA AD DN )
M
AB MA AB AD AB DN
D B
N
1 a2 1 a2 0 0 22
C
MN AB
同理，MN CD
即 a b | a || b | cos
并规定 a 0 0
你能类比平面向量的数量积的有关概 念、计算方法和运算律推导出空间向 量的数量积的有关概念、计算方法和 运算律
概念 1） 两个向量的夹角的定义
a
A
a
B O
b
b
范围：0 a,b 在这个规定下，两个向 量的夹角就
被唯一确定了，并且 a,b＝b, a 如果a, b ,则称a与b互相垂直，并记作： a b
A'
B' | AC |2 ( AB AD AA)2
| AB |2 | AD |2 | AA |2
D A
C B
2( AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85
| AC | 85
1.已知线段 AB 、BD在平面 内，BD AB，线段 AC
解：由 AC ，可知 AC AB .
C
由DBD 30知 CA , BD 120.
D
| CD |2 CD CD (CA AB BD)2
b
b D'
a
A
B
| CA |2 | AB |2 | BD |2 2CA AB 2CA BD 2AB BD
b2 a2 b2 2b2 cos120
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面
的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
成立吗？
已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA在平面 内的射影， l ，且 l PA，
3.1.3空间向量的数量积运算
复习：
平面向量数量积的相关知识
平面向量的夹角： 已知两个非零向量 a 和 b，在平面上取一点O，
作OA= a,OB= b,则AOB 叫做向量 a与 b的夹角。
B
B
A
O
A
平面向量的数量积
平面向量的数量积的定义：
已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos
叫做向量a, b的数量积，记作 a b
求证： l OA
P
分析:同样可用向量, 证明思路几乎一样,只 不过其中的加法运算 用减法运算来分析.
O A a
l
变式
设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足
AB AC 0, AB AD 0, AC AD 0
则△BCD是 (C )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定
，如果 AB a , BD b , AC c ，求 C 、D 之间的距离.
解：∵ | CD |2 (CA AB BD)2
| CA |2 | AB |2 | BD |2 2CA AB
C
c
D
a
b
A
B
2CA BD 2AB BD a2 b2 c2
CD a2 b2 c2
2.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于
0
A
C
OA BC
B
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD ，CD 和 DC相交于
点 O，连结 AO，求证：AO CD。
A'
D'
B'
C'
O
A B
D C
已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a , 点 E、F、G 分别是 AB、AD、DC 的中点，求下列向量的 数量积：
(1) AB AC ； (2) AD DB ； (3) GF AC ； (4) EF BC ； (5) FG BA ； (6) GE GF .
共面向量定理
例2:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l⊥ .
解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在l, m, n, g
上取非零向量 l, m, n, g,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数(x, y),使
g xm yn , l g xl m yl n , l
(1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角, 可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的 夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便.
(2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因 此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以 通过求向量的模得到.
典型例题
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
OB OC OB OA
所以 OAOC OB OC 0
(OA OB) OC 0
BAOC 0
所以 OC AB
例4 已知在平行六面体 ABCD ABCD中，AB 4 ,
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60,
求对角线 AC 的长。
D'
C'
解： AC AB AD AA
2) a b a b 0
2
3) a a a 注意：
①性质2）是证明两向量垂直的依据； ②性质3）是求向量的长度（模）的依据；
4)空间向量的数量积满足的运算律
1) (a) b (a b)
2) a b b a (交换律） 3）a (b c) a b a c (分配律）
求对角线 AC 的长。
D'
C'
A'
B'
| AC | 85
D C
A
B
练习：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
证明：由已知 OA BC，OB AC
O
所以 OA BC 0 , OB AC 0
OA (OC OB) 0
A
C
B
OB (OC OA) 0 所以 OA OC OA OB
例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理)
已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,
如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l ⊥ .
l
分析：要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可 知,就是要证明这条直线与平面内 的任意一条直线都垂直.
gl
m
m n mg
取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方 向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要 证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量 的条件与向量的目标的联系?
3.已知向量 a,b 满足 a 1, b 2, a b 3,
则 a b __1___.
2
2
22
法一:发现 a b a b 2( a b ) 代入求得.
22
2
法二:由 a b a 2ab b 代入求得 ab =-2.
22
2
∴ a b a 2ab b 得 a b 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
注意： 数量积不满足结合律 （a b)c a (bc)
思考
1.下列命题成立吗?
①若a b a c ,则b c
②若 a b k
,则
a
k b
③ (a b) c a (b c)
2.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大小为_1__3_5_.
l m 0, l m 0 , l g 0,即l g.
gl
m
m
n ng
l g,即l垂直于平面内任一直线.l .
例3 如图，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC
，线段 BD AB，线段 DD ，DBD 30，如
果 AB a , AC BD b ，求 C、D 之间的距离。
A
E B
F
D G C
小 结：
通过学习, 我们可以利用向量数量积解决立体几何中 的以下问题：
1、证明两直线垂直; 2、求两点之间的距离或线段长度; 3、求两直线所成角.
作业
P98 A组 3 4 5 B组 1 2
2
2）两个向量的数量积
设OA a,则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模,记作：a 已知空间两个向量a,b，则 a b cosa,b叫做向量a,b的数量积， 记作：a b,即
a b a b cosa,b
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
3)空间向量的数量积性质 对于非零向量a , b，有：
| AB | | BC | cos AB, BC
2 2 3 cos150 2 3 cos120 6 3 3
∴ cos AB,CD AB CD 3 1 ，
| AB | | CD | 2 3 2
∴ AB 与 CD 的夹角的余弦值为 1 ． 2
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如 AB, BD 150 易错写成 AB, BD 30 ，注意推敲！
已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA在平面 内的射影， l ，且 l OA ，
求证： l PA
分析：用向量来证明
P
两直线垂直，只需证
明两直线的方向向量 的数量积为零即可！
O A a
l
如图,已知: PO , AO为 射影, l , 且l OA 求证：l PA
a ，点 M、N 分别是边 AB、CD 的中点。
求证：MN AB , MN CD 。
A
证明：因为 MN MA AD DN
所以 AB MN AB ( MA AD DN )
M
AB MA AB AD AB DN
D B
N
1 a2 1 a2 0 0 22
C
MN AB
同理，MN CD
即 a b | a || b | cos
并规定 a 0 0
你能类比平面向量的数量积的有关概 念、计算方法和运算律推导出空间向 量的数量积的有关概念、计算方法和 运算律
概念 1） 两个向量的夹角的定义
a
A
a
B O
b
b
范围：0 a,b 在这个规定下，两个向 量的夹角就
被唯一确定了，并且 a,b＝b, a 如果a, b ,则称a与b互相垂直，并记作： a b
A'
B' | AC |2 ( AB AD AA)2
| AB |2 | AD |2 | AA |2
D A
C B
2( AB AD AB AA AD AA) 42 32 52 2(0 10 7.5) 85
| AC | 85
1.已知线段 AB 、BD在平面 内，BD AB，线段 AC
解：由 AC ，可知 AC AB .
C
由DBD 30知 CA , BD 120.
D
| CD |2 CD CD (CA AB BD)2
b
b D'
a
A
B
| CA |2 | AB |2 | BD |2 2CA AB 2CA BD 2AB BD
b2 a2 b2 2b2 cos120
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面
的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.
成立吗？
已知:如图, PO 、PA分别是平面 的垂线、斜线，
AO 是 PA在平面 内的射影， l ，且 l PA，
3.1.3空间向量的数量积运算
复习：
平面向量数量积的相关知识
平面向量的夹角： 已知两个非零向量 a 和 b，在平面上取一点O，
作OA= a,OB= b,则AOB 叫做向量 a与 b的夹角。
B
B
A
O
A
平面向量的数量积
平面向量的数量积的定义：
已知两个非零向量a, b，则|a| |b|cos
叫做向量a, b的数量积，记作 a b
求证： l OA
P
分析:同样可用向量, 证明思路几乎一样,只 不过其中的加法运算 用减法运算来分析.
O A a
l
变式
设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足
AB AC 0, AB AD 0, AC AD 0
则△BCD是 (C )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定
，如果 AB a , BD b , AC c ，求 C 、D 之间的距离.
解：∵ | CD |2 (CA AB BD)2
| CA |2 | AB |2 | BD |2 2CA AB
C
c
D
a
b
A
B
2CA BD 2AB BD a2 b2 c2
CD a2 b2 c2
2.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于
0
A
C
OA BC
B
4.如图，已知正方体 ABCD ABCD ，CD 和 DC相交于
点 O，连结 AO，求证：AO CD。
A'
D'
B'
C'
O
A B
D C
已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a , 点 E、F、G 分别是 AB、AD、DC 的中点，求下列向量的 数量积：
(1) AB AC ； (2) AD DB ； (3) GF AC ； (4) EF BC ； (5) FG BA ； (6) GE GF .
共面向量定理
例2:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 l⊥m, l ⊥n,求证: l⊥ .
解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在l, m, n, g
上取非零向量 l, m, n, g,因m与n相交,故向量m ,n
不平行,由共面向量定理,存在唯一实数(x, y),使
g xm yn , l g xl m yl n , l
(1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角, 可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的 夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便.
(2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因 此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以 通过求向量的模得到.
典型例题
例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
OB OC OB OA
所以 OAOC OB OC 0
(OA OB) OC 0
BAOC 0
所以 OC AB
例4 已知在平行六面体 ABCD ABCD中，AB 4 ,
AD 3 , AA 5 , BAD 90 , BAA DAA 60,
求对角线 AC 的长。
D'
C'
解： AC AB AD AA