北京市通州区2013-2014学年度3月高三一模数学理科

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北京市通州区2013—2014学年度高三第一学期期末考试物理试卷全国通用-备考策略

通州区2013—2014学年度高三摸底考试物理试卷2014年1月考生须知：1．本试卷共分两卷第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。

2．本试卷总分为100分，考试时间为120分钟。

3．所有试题答案均写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第Ⅰ卷（选择题部分，共42分）一、选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

把答案用2B 铅笔填涂在答题卡上。

） 1．根据热力学知识，下列说法正确的是 A ．任何物体都是由大量分子组成 B ．温度高的物体才具有内能C ．布朗运动是在显微镜中看到的液体分子的无规则运动D ．气体从外界吸收热量，其内能一定增加2．卢瑟福提出了原子的核式结构模型，这一模型建立的基础是A ．α粒子的散射实验B ．光电效应实验C ．电子的发现D ．中子的发现3．氦原子被电离一个核外电子，形成类氢结构的氦离子。

已知基态的氦离子能量为E 1=-54.4eV ，氦离子能级的示意图如图1所示。

在具有下列能量的光子中，不能．．被基态氦离子吸收而发生跃迁的是 A ．40.8eV B ．43.2eVC ．51.0eVD ．54.4eV4．下列现象中，属于光的衍射现象的是A ．雨后天空出现彩虹B ．通过一个狭缝观察日光灯可看到彩色条纹C ．一束白光通过三棱镜形成彩色光带D ．日光照射在肥皂泡上出现彩色条纹5．一束复色光沿半径方向射向一半圆形玻璃砖，发生折射而分为a 、b 两束单色光，其传播方向如图2所示。

下列说法中正确的是A ．玻璃砖对a 、b 的折射率关系为n a ＜n bB ．a 、b 在玻璃中的传播速度关系为v a ＞v bC ．单色光a 从玻璃到空气的全反射临界角小于单色光b 从玻璃到空气的全反射临界角D ．用同一双缝干涉装置进行实验可看到a 光干涉条纹的间距比b 光的宽E 1 54.4eVE 2 13.6eVE 3 6.0eV E 4 3.4eV E n 0图1 - - - -6．电磁波与机械波具有的共同性质是 A ．都是简谐波 B ．都能传输能量 C ．都能在真空中传播 D ．都具有恒定的传播速度7．一列沿x 轴正方向传播的简谐横波，某时刻的波形如图3所示。

2013年北京高三(一模)数学(理)分类汇编系列二解析版1集合

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】1：集合1.（2013届北京石景山区一模理科）1．设集合M= {x|x 2≤4），N={x|log 2 x≥1}，则MN 等于（）A ． [-2，2]B ．{2}C ．[2，+∞）D ． [-2,+∞）【答案】B{22}M x x =-≤≤,{2}N x x =≥,所以{2}{2}M N x x ===,选B.2.（2013届北京朝阳区一模理科）（2）已知集合{}23Mx x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则MN =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)-【答案】D{}lg(2)0{21}{1}N x x x x x x =+≥=+≥=≥-，所以{13}MN x x =-≤<，选D.3．（2013届北京海淀一模理科）集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则AB =（）A ．{3,4,5}B ．{4,5,6}C ．{|36}x x <≤D ．{|36}x x ≤<【答案】B{0,1,2,3,4,5,6}A =，{30}B x x x =><或，所以{4,5,6}AB =，选B.4．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知集合},3,1{m A =，},1{m B =，A B A = ，则=m （）A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或3【答案】B因为A B A = ，所以B A ⊆，即3m =或m =解得3m =，0m =或1m =，当1m =时，集合,A B 不成立。

所以3m =或0m =，选B.5．（2013届北京西城区一模理科）已知全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U AB =ð（）A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <≤C ．{|12}x x <<D ．{|12}x x ≤<【答案】B2{|10}={11}B x x x x x =->><-或，所以{|11}U B x x =-≤≤ð，所以{01}U AB x x =<≤ð，选B.6.（2013届东城区一模理科）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（）A ．{3}B ．{3,4}C ．{1,2}D ．{2,3}【答案】B因为{1,2}A =，所以={3,4}U A ð，选B.7．（2013届房山区一模理科数学）已知全集U =R ，集合2{|1},{|4}M x x N x x =≤=>，则()MC N =R（）A ．(2,1]-B ．[2,1]-C ．(,1]-∞-D ．(,2)-∞-【答案】B{22}N x x x =><-或,所以(){22}C N =x x -≤≤R ，所以(){21}MC N =x x -≤≤R ，选B.8．（2013届房山区一模理科数学）设集合M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为集合M 的聚点.则下列集合中以1为聚点的有：{|}1n n n ∈+N ； ②*2{|}n n∈N ； ③Z ； ④{|2}x y y = （）A ．①④B ．②③C ．①②D ．①②④【答案】A ①中，集合{|}1nn n ∈+N 中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大， ∴在12a <的时候，不存在满足得0＜|x|＜a 的x ， ∴0不是集合{|}1nn n ∈+N 的聚点 ②集合*2{|}n n∈N 中的元素是极限为0的数列，对于任意的a ＞0，存在2n a >，使0＜|x|=2a n<，∴0是集合*2{|}n n ∈N 的聚点③对于某个a ＜1，比如a=0.5，此时对任意的x ∈Z ，都有|x ﹣0|=0或者|x ﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x ﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z 的聚点 ④故选A9．（2013届门头沟区一模理科）已知全集U = R ，集合A {}24x x=≤，B {}1x x =<，则集合AB 等于（）A ．{}2x x ≥-B ．{}12x x ≤≤ C ．{}1x x ≥D ．R【答案】A{}24{22}A x x x x =≤=-≤≤,{1}U B x x =≥ð，所以={2}U A B x x ≥-ð，选A.10．（2013届北京丰台区一模理科）已知M 是集合{}1,2,3,,21(*,2)k k N k -∈≥的非空子集，且当x M ∈时，有2k x M -∈.记满足条件的集合M 的个数为()f k ，则(2)f = ；()f k = 。

北京市通州区2012届高三上学期理科数学期末摸底考试及答案

北京市通州区2012届高三上学期期末摸底考试数学（理科）试卷2012年1月本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷2至4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上．1．已知集合{} |10A x x =-<，{} |1,2B x x x =<->或，那么A B 等于 A ．{}1x x <-B ．{}1x x <C ．{}|1,2x x x <->或D ．{} |1,2x x x <>或 2．复数11ii-+等于 A ．1- B ．i - C ．1 D ．i3．已知向量()1,2=-a ，(),4m =b ，且//a b ，那么2-a b 等于 A ．()4,0 B ．()0,4 C ．()4,8-D ．()4,8-4．已知右图中的三个直角三角形是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于A ．30B ．20C ．15D ．105．已知,a b ∈R ，那么“1122log log a b >”是 “33ab<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如右图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B两点的距离为（其中2 1.414=⋅⋅⋅，3 1.732=⋅⋅⋅，精确到0.1） A ．70.7mB ．78.7mC ．86.6mD ．90.6m7．过圆()()22125x y -++=上一点()3,1M -的切线方程是 A ．270x y --= B ．250x y +-= C．210x y +-=D ．250x y --=8．当()3,4x ∈时，不等式()()2log 230a x x -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]1,2D ．[)2,+∞第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡相应的位置上.9．在二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是___________.10．已知x ，y 满足不等式组 3,1,30,x y x y x +⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≥≤ 那么2z x y =+的最小值是___________.11．如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，4PA =，圆O 的半径是23，那么__________.PB =12．已知数列{n a } 是公差为正数的等差数列，且121a a +=，2310a a ⋅=，那么数列{n a }的前5项的和5__________.S = 13．下面四个命题：①已知函数(),0,,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩≥ 且()()44f a f +=，那么4a =-；②一组数据18，21，19，a ，22的平均数是20，那么这组数据的方差是2；③已知奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数，且(1)0f -=，则不等式()0f x <的解集{}1x x <-；④在极坐标系中，圆4cos ρθ=-的圆心的直角坐标是()2,0-. 其中正确的是___________________.14．直线l 与椭圆()222210x y a b a b+=>>交于不同的两点M ，N ，过点M ，N 作x 轴的垂线，垂足恰好是椭圆的两个焦点，已知椭圆的离心率是22，直线l 的斜率存在且不为0，那么直线l 的斜率是___________.三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知函数()()2sin 22cos 1f x x x =π-+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16．（本小题共13分）如图，四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABEF ，四边形ABEF是梯形，90EFA FAB ∠=∠=︒，EF FA ==112AD AB ==，点M 是DF 的中点. （Ⅰ）求证：//BF 平面AMC ；（Ⅱ）求二面角B AC E --的余弦值.17．（本小题共13分）有甲、乙等7名选手参加一次讲演比赛，采用抽签的方式随机确定每名选手的演出顺序（序号为1，2，…，7）. （Ⅰ）甲选手的演出序号是1的概率；（Ⅱ）求甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；（Ⅲ）求甲、乙两名选手之间的演讲选手个数X 的分布列与期望.18．（本小题共13分）已知函数x ax x f ln )(=，在点))(,(e f e 处的切线与直线40x y -=平行.（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 在[](),20m m m +>上的最小值.19．（本小题共14分）已知数列{}n a 中，1a a =，22a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()123n n S n a a =+，n N *∈.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若()()1221,82,n n n n b n a a++=⎧⎪=⎨⎪⋅⎩≥ n T 是数列{}n b 的前n 项和，且2222n n n a T m a ++⋅<⋅+对一切n N *∈都成立，求实数m 取值范围.20．（本小题共14分）已知抛物线()2:0C x ay a =>，斜率为k 的直线l 经过抛物线的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且抛物线上一点(22,)(1)M m m >到点F 的距离是3.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若k > 0，且3AF FB =，求k 的值.（Ⅲ）过A ，B 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为点Q ，求证：0AB FQ =.(考生务必将答案答在答题卡上,在实体卷上作答无效)摸底考试参考答案2012、1 一、选择题1． D 2． B 3．C 4． D 5． A 6．A 7．B 8． B二、填空题9． 6 10．3 11．2 12．25 13．②，④ 14．22± 三、解答题15．解：（Ⅰ）因为()()2sin 22cos 1f x x x π=-+-，所以()sin 2cos2f x x x =+2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …………………………..3分所以2.2πωπ== ………………………….. 5分又因为1sin 214x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()22f x -≤≤.所以函数()f x 的最小正周期是π；最大值是2. ………………………….. 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为344x ππ≤≤，所以372444x πππ≤+≤. ………………………….. 9分所以当3244x ππ+=，即4x π=时，函数()f x 有最大值是1；当3242x ππ+=，即58x π=时，函数()f x 有最小值是2-.所以函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是2-. ………………………. 13分16．（Ⅰ）证明：连结BD ，交AC 于点G ，∴点G 是BD 的中点. ∵点M 是DF 的中点，∴MG 是BDF ∆的中位线. ∴//.BF MG ∵MG ⊂平面AMC ，BF ⊄平面AMC ， ∴//BF 平面A. ………………………….. 5分（Ⅱ）解：以A 为原点，以AF ，AB ，AD 分别为x ， y ，z 轴建立空间直角坐标系. ……………….. 4分∴()0,0,0A ，()0,2,1C ，()1,1,0E ，()1,0,0F ，∴()0,2,1AC = ，()1,1,0AE = ，()1,0,0AF =. 设平面ACE 的法向量(),,n x y z =， ∴0n AC ⋅= ，0n AE ⋅=.∴ 20,0.y z x y +=⎧⎨+=⎩令1x =，则1y =-，2z =.∴()1,1,2n =-.又AF是平面ACB 的法向量，∴cos ,n AF n AF n AF⋅=⋅16.661==⨯ 如图所示，二面角B AC E --为锐角.∴二面角B AC E --的余弦值是6.6………………………….. 13分17．解：（Ⅰ）设A 表示“甲选手的演出序号是1”，所以()1.7P A =所以甲选手的演出序号是1的概率为1.7………………………….. 3分（Ⅱ）设B 表示“甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数”，B 表示“甲、乙两名选手的演出序号都是偶数”.所以()()2327611.7A PB P B A =-=-=所以甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率为6.7……………………….. 6分（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5， ……………………….. 7分所以()2712207P X A ===，()27105121P X A ===，()2784221P X A ===， ()276137P X A ===，()2742421P X A ===，()2721521P X A ===. ……………………….. 10分所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5P27 521 421 17 221 121………………….. 12分所以2541210123457212172121EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.3= …………………..13分18．解：（Ⅰ）因为函数x ax x f ln )(=，所以定义域为()0,+∞，()'()ln 1f x a x =+. ………………………..2分因为在点))(,(e f e 处的切线与直线40x y -=平行，所以'()4f e =，即()ln 14a e +=. ………………………..4分所以 2.a =所以()2ln .f x x x = ……………………….. 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）()'()2ln 1f x x =+，令'()0f x =，得1x e=. 当1(0,)x e∈时，'()0f x <，所以函数()f x 在1(0,)e上单调递减；当),1(+∞∈e x 时，0)('>x f ，所以函数),1()(+∞e x f 在上单调递增.所以①若()1,2m m e ∈+时，函数()f x 的最小值是12()f e e =-；②若12m m e≤<+时，函数()[,2]f x m m +在上单调递增，所以函数()f x 的最小值是()2ln .f m m m = ………………….. 13分19．解：（Ⅰ）因为()123n n S n a a =+，11S a a ==，所以0.a = …………………….. 3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 2n n na S =，所以()111.2n n n a S +++=所以()1111.22n n n n n n a na a S S ++++=-=-所以()11.n n n a na +-=所以当2n ≥时，1.1n n a na n +=- 所以11n n a n a n +=-112n n a n a n --=-，，⋅⋅⋅，3221a a =，所以12.n a n a += 所以()21n a n =-，2n ≥. 因为10a a ==满足上式，所以()21n a n =-，n N *∈. ………………………….. 6分（Ⅲ）当2n ≥时，()()82112.22111n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪⋅+++⎝⎭…………………………..7分又12b =，所以12n n T b b b =++⋅⋅⋅+1111222231n n ⎛⎫⎛⎫=+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭………………………….. 9分112221n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭311n n +=+ 所以31.1n n T n +=+ ……………………….. 10分因为2222n n n a T m a ++⋅<⋅+对一切n N *∈都成立，即()()231214121n n m n n ++⋅<⋅+++对一切n N *∈都成立.所以2331..122122n m n n n n>=++++. ……………………….. 12分因为12n n+≥，当且仅当1n n =，即1n =时等号成立.所以124n n ++≥.所以11142n n ≤++所以3.8m > ……………………..14分20．解：（Ⅰ）因为点()22,M m 在抛物线()2:0C x ay a =>上，所以8am =.因为点()22,M m 到抛物线的焦点F 的距离是3，所以点()22,M m 到抛物线的准线4ay =-的距离是3.所以 3.4am += 所以8 3.4aa +=所以4a =，或8.a = ……………………….. 3分因为1m >，所以4a =. .. 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知24.x y =因为直线l 经过点()0,1T ，3AF FB =所以直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率是k . 所以直线l 的方程是1y kx =+，即10kx y -+=.所以联立方程组210,4,kx y x y -+=⎧⎨=⎩ 消去y ，得2440.x kx --= ………………………..5分所以221,24161622 1.2k k x k k ±+==±+ 因为3AF FB = ，且0k > 所以()222213212.k k k k ++=⋅+- …………………….. 7分所以212.k k += 所以21.3k = 所以33k =（舍负）所以k 的值是3.3 ………………….. 8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程组210,4,kx y x y -+=⎧⎨=⎩ 得2440.x kx --= 设()11,A x y ，()22,B x y ，所以()()()21212121,,.AB x x y y x x k x x =--=-- …………………….. 9分由24x y =，所以21.4y x = 所以1.2y x '= 所以切线QA 的方程是()11112y y x x x -=-，切线QB 的方程是()2221.2y y x x x -=- ………………………….. 11分所以点Q 的坐标是()2,1k -，所以()2,2.FQ k =-所以0.AB FQ ⋅= …………………………..14分。

北京市2013届高三上学期期末考试理科数学试

x y O π2π1-1北京市东城区普通校2013届高三第二学期3月联考数学（理科）命题校：北京27中学 2013年3月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知平面向量(1,2)=a , (2,)m =-b , 且a ∥b , 则m 的值为（）（A ）1- （B ）（C ）4- （D ）4 2．极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是（）（A ）22(2)4x y -+= （B ）224x y += （C ）22(2)4x y +-= （D ）22(1)(1)4x y -+-= 3．平面α∥平面β的一个充分条件是（）（A ）存在一条直线a a ααβ，∥，∥（B ）存在一条直线a a a αβ⊂，，∥（C ）存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ （D ）存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ 4. 执行如图所示的程序，输出的结果为20，则判断框中应填入的条件为（）（A ）2a ≥ （B ）3a ≥ （C ）4a ≥（D ）5a ≥第4题图5. 如图，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC OP ⊥，PC 交⊙O 于C ，若4AP =，2PB =，则PC 的长是（）（A ）3 （B）（C ）2 （D第5题图 6．已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( ) 第6题图ABCOP40 50 60 70 80 90 分数(分)频率(A)41sin(255y x =+ (B) 31sin(225y x =+ (C)441sin()555y x =- (D) 441sin()555y x =+ 7. 设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为( ) (A) 8 (B) 4 (C) 1 (D) 148.对实数a 与b ，定义新运算“⊗”：,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的零点恰有两个，则实数c 的取值范围是（）(A) (]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭ (B)(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭ (C) 11,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (D)第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在6)11(x+的展开式中，含1x 项的系数是________.（用数字作答）10．由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有个. 11.从某校高三学生中随机抽取100名同学，将他们的考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图（如图）．则图中a= ，由图中数据可知此次成绩平均分为 . 第11题图12.已知区域1,{(,)0,}1,y x x y y x ≤+⎧⎪Ω=≥⎨⎪≤⎩，1,{(,)}0,y x M x y y ⎧≤-+⎪=⎨≥⎪⎩，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为 .13．如图，1F 和2F 分别是双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双曲线的离心率为 . 第13题图 14.设S 为复数集C 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集。

北京2013西城高三数学一模理科试题及答案

北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（理科） 2013.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U A B = ð （A ）{|01}x x << （B ）{|01}x x <≤ （C ）{|12}x x << （D ）{|12}x x ≤<2．若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （A ）1- （B ）1 （C ）2- （D ）23．执行如图所示的程序框图．若输出y ==θ （A ）π6 （B ）π6- （C ）π3 （D ）π3-4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有（A ）60种（B ）72种（C ）84种（D ）96种 5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（A ）6 （B ）12+（C ）12+ （D ）24+6．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是（A ）1(0,]4 （B ）1[,)4+∞ （C ）1(0,]8 （D ）1[,)8+∞8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD上的动点，1PE AC ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是（A ）线段（B ）圆弧（C ）椭圆的一部分（D ）抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y =⎧⎨=+⎩αα（α为参数），则曲线C 的直角坐标方程为．10．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______．11．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC DB ⋅=______．12．如图，已知AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PC切圆O 于点C ，CD OP ⊥于D ．若6CD =，10CP =，则圆O 的半径长为______；BP =______．13．在直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称．点00(,)P x y 在抛物线24y x =上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则0x =______．14．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC 的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为max{,,}min{,a b ca tbc a b =⋅,}b cc a．（ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x x a x =-的一个零点是π4．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设()()()cos g x f x f x x x =⋅-+，求()g x 的单调递增区间． 16．（本小题满分13分）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测．（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x ax x =-，()e 3axg x x =+，其中a ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围． 19．（本小题满分14分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ，求12S S 的取值范围． 20．（本小题满分13分）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥N ．对于12(,,,)n A a a a = ，12(,,,)n n B b b b S =∈ ，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---；1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R λλλλλ；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．若(,)7d A B =，求5a ；（Ⅱ）（ⅰ）证明：若,,n A B C S ∈，且0∃>λ，使AB BC λ=，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=；（ⅱ）设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．是否一定0∃>λ，使AB BC λ=？说明理由；（Ⅲ）记(1,1,,1)n I S =∈ ．若A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，求(,)d A B 的最大值．北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． B ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．B ； 7．D ； 8．A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．22230x y y +--=； 10．5； 11．32-12．152，5； 13．1+ 14．1，．注：12、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得π()04f =， ………………1分即 ππsincos 04422a -=-=， ………………3分解得 1a =． ………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ()sin cos f x x x =-． ………………6分()()()cos g x f x f x x x =⋅-+(sin cos )(sin cos )2x x x x x =--- ………………7分22(cos sin )2x x x =- ………………8分cos 22x x =+ ………………9分π2sin(2)6x =+． ………………10分由 πππ2π22π262k x k -≤+≤+，得 ππππ36k x k -≤≤+，k ∈Z ． ………………12分所以 ()g x 的单调递增区间为ππ[π,π]36k k -+，k ∈Z ． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 (35):(22)2:1++=， ……………1分所以，从甲组抽取的学生人数为2323⨯=；从乙组抽取的学生人数为1313⨯=．………2分设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A ， ………………3分则 113528C C 15()C 28P A ⋅==，故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为1528．………5分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,1,2,3． ………………6分21522184C C 5(0)C C 28P X ⋅===⋅， 111213525221218484C C C C C 25(1)C C C C 56P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 211113235221218484C C C C C 9(2)C C C C 28P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 21322184C C 3(3)C C 56P X ⋅===⋅．……………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分5259350123285628564EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得 BC AC 3=，所以 BC AC ⊥． ………………2分又因为AC FB ⊥，所以⊥AC 平面FBC ． ………………4分（Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ． ………………5分所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyz C -． ………………6分在等腰梯形ABCD 中，可得 CB CD =．设1BC =，所以11(0,0,0),(0,1,0),,0),,1)22C A BDE --．所以 )1,21,23(-=，)0,0,3(=，)0,1,0(=．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以10,20.y z -+== 取1z =，得=n (0,2,1)． ………………8分设BC 与平面EAC 所成的角为θ，则||sin |cos ,|5||||CB CB CB ⋅=〈〉==θn n n ，所以 BC 与平面EAC 所成角的正弦值为552． ………………9分（Ⅲ）解：线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下： ………………10分假设线段ED 上存在点Q ，设 ),21,23(t Q - )10(≤≤t ，所以),21,23(t CQ -=．设平面QBC 的法向量为=m ),,(c b a ，则有0,0.CB CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 所以0,10.2b b tc =⎧-+= 取 1=c ，得=m )1,0,32(t -． ………………12分要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需0=⋅n m ， ………………13分即002110⨯+⨯+⨯=，此方程无解．所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ． ………………14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………1分且 11()ax f x a x x-'=-=． ………………2分 ① 当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减．从而)(x f 没有极大值，也没有极小值． ………………3分② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=． ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(0,)a ；单调增区间为(,)a+∞．从而)(x f 的极小值为1()1ln f a a=+；没有极大值． ………………5分（Ⅱ）解：()g x 的定义域为R ，且 ()e 3axg x a '=+． ………………6分 ③ 当0a >时，显然 ()0g x '>，从而()g x 在R 上单调递增．由（Ⅰ）得，此时()f x 在1(,)a+∞上单调递增，符合题意． ………………8分 ④ 当0a =时，()g x 在R 上单调递增，()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．……9分⑤ 当0a <时，令()0g x '=，得013ln()x a a=-． ()g x 和()g x '的情况如下表：当30a -≤<时，00x ≤，此时()g x 在0(,)x +∞上单调递增，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． ………………11分当3a <-时，00x >，此时()g x 在0(,)x -∞上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．综上，a 的取值范围是(,3)(0,)-∞-+∞ ． ………………13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60︒． ………………1分设 (,0)F c -，则tan 60bc︒==………………2分将 b =代入 222a b c =+，解得 2a c =．………………3分所以椭圆的离心率为 12c e a ==． ………………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为2222143x y c c+=． ………………5分设11(,)A x y ，22(,)B x y ．依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=，整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=． ………………7分则 2122843ck x x k -+=+，121226(2)43cky y k x x c k +=++=+，22243(,)4343ck ck G k k -++． ………………8分因为 GD AB ⊥，所以 2223431443Dckk k ck x k +⨯=---+，2243D ck x k -=+． ………………9分因为 △GFD ∽△OED ，所以 2222222212222243()()||434343||()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==-+ ………………11分 222242222242(3)(3)99999()ck ck c k c k ck c k k++===+>． ………………13分所以12S S 的取值范围是(9,)+∞． ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当5n =时，由51(,)||7iii d A B a b ==-=∑，得 5|12||24||12||21||3|7a -+-+-+-+-=，即 5|3|2a -=．由 *5a ∈N ，得 51a =，或55a =． ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）证明：设12(,,,)n A a a a = ，12(,,,)n B b b b = ，12(,,,)n C c c c = ．因为 0∃>λ，使 AB BC λ=，所以 0∃>λ，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=--- λ,,，即 0∃>λ，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n = ．所以 i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -= 同为非负数或同为负数． ………………5分所以 11(,)(,)||||n n iiiii i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑1(||||)niiiii b a c b ==-+-∑1||(,)ni i i c a d A C ==-=∑． ………………6分（ⅱ）解：设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=，此时不一定0∃>λ，使得AB BC λ=． ………………7分反例如下：取(1,1,1,,1)A = ，(1,2,1,1,,1)B = ，(2,2,2,1,1,,1)C ，则 (,)1d A B =，(,)2d B C =，(,)3d A C =，显然(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．因为(0,1,0,0,,0)AB = ，(1,0,1,0,0,,0)BC =，所以不存在>0λ，使得AB BC λ=． ………………8分（Ⅲ）解法一：因为 1(,)||niii d A B b a ==-∑，设(1,2,,)i i b a i n -= 中有()m m n ≤项为非负数，n m -项为负数．不妨设1,2,,i m = 时0i i b a -≥；1,2,,i m m n =++ 时，0i i b a -<．所以 1(,)||niii d A B b a ==-∑12121212[()()][()()]m m m m n m m n b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++因为 (,)(,)d I A d I B p ==，所以11(1)(1)n n iii i a b ==-=-∑∑，整理得 11n niii i a b ===∑∑．所以 12121(,)||2[()]niim m i d A B b a b bb a a a ==-=+++-+++∑ ．……………10分因为 121212()()m n m m n b b b b b b b b b +++++=+++-+++ ()()1p n n m p m ≤+--⨯=+；又 121m a a a m m +++≥⨯= ，所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++ 2[()]2p m m p ≤+-=．即 (,)2d A B p ≤．…12分对于 (1,1,,1,1)A p =+ ，(1,1,1,,1)B p =+ ，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ． ……………13分解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有 ||||||x y x y +≤+．证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，即 ||||||x y x y +≤+．所以 11(,)|||(1)(1)|n niiiii i d A B b a b a ===-=-+-∑∑1(|1||1|)niii b a =≤-+-∑11|1||1|2nni i i i a b p ===-+-=∑∑． ……………11分上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以 (,)2d A B p ≤． ……………12分对于 (1,1,,1,1)A p =+ ，(1,1,1,,1)B p =+ ，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ． ……………13分。

2014-2015年北京市通州区高三(上)期末数学试卷和参考答案(理科)

2014-2015学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x（x+2）≤0}，那么A∪B等于（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，0]C．（﹣1，+∞）D．[﹣2，1）2．（5分）计算的结果是（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．（5分）极坐标方程ρ=﹣4cosθ化为直角坐标方程是（）A．x﹣4=0 B．x+4=0 C．（x+2）2+y2=4 D．x2+（y+2）2=44．（5分）已知向量=（﹣1，﹣2），=（m2，4），那么“∥”是“m=”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a3=﹣2，前6项的和S6=﹣3，那么数列{n+a n}的前4项的和是（）A．﹣4 B．﹣1 C．5 D．66．（5分）下列函数是偶函数，且在（0，1）上是单调递增的是（）A．f（x）=x2+2x B．f（x）=cosx C．f（x）=（）﹣|x|D．f（x）=﹣x7．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A，B在抛物线y2=4x上，且满足•=﹣4，点F是抛物线的焦点，设△OFA，△OFB的面积分别是S1，S2，那么S1•S2等于（）A．2 B．C．3 D．48．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的侧面展开图放在正方形网格（横、纵的单位长度均为1）中的位置如图所示，那么其体积是（）A．B．C．D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9．（5分）某校为了解高一学生12月份的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[8，12]小时内的人数为．10．（5分）（x﹣2）5的二项展开式中第4项的系数是．11．（5分）已知x，y满足不等式，那么z=2x+y的最大值是．12．（5分）已知a＞1，且a﹣b=2，那么的最小值是．13．（5分）如图，C，D是两个校区的所在地，C，D到一条公路AB的垂直距离分别是CA=2km，DB=4km，AB两端之间的距离是6km．某移动公司将在AB之间找到一点M，在M处建造一个信号塔，使得M对C，D的张角与M对C，A的张角相等（即∠CMD=∠CMA），那么点M到点A的距离是．14．（5分）已知min{p，q}表示p，q中较小者，若函数f（x）=min{x﹣，|ln （x﹣1）|}，且存在x0∈（1，2e+1]，使得f（x0）﹣a﹣1≥0成立，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=4cos2x+4sinxcosx﹣3．（Ⅰ）求f（﹣）的值及f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值．16．（13分）甲、乙、丙三人去完成一项任务，已知甲、乙、丙各自完成该项任务的概率分别为，，，且他们是否完成任务互不影响．（Ⅰ）求三人中只有乙完成了任务的概率；（Ⅱ）求甲丙二人中至少有一人完成了任务的概率；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中完成了任务的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，BC=AC=CC1，∠ACB=60°，D，E分别是A1C1，BB1的中点．（Ⅰ）求证：B1D∥平面AC1E；（Ⅱ）求证：平面AC1E⊥平面AA1C1C；（Ⅲ）求直线AB与平面AC1E所成角的正弦值．18．（13分）已知函数f（x）=x+alnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．19．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长是4，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆上一点，且△OAB是等腰直角三角形（点O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C上异于其顶点的任意一点P，作圆x2+y2=的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN与x，y轴的交点分别是（m，0），（0，n），证明：+是定值．20．（14分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+a n2．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）证明：a n＜n（n∈N*）；（Ⅲ）当n≥3（n∈N*）时，证明：a n＞．2014-2015学年北京市通州区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x（x+2）≤0}，那么A∪B等于（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，0]C．（﹣1，+∞）D．[﹣2，1）【解答】解：由B中不等式解得：﹣2≤x≤0，即B=[﹣2，0]，∵A=（﹣1，1），∴A∪B=[﹣2，1），故选：D．2．（5分）计算的结果是（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：==i﹣1．故选：A．3．（5分）极坐标方程ρ=﹣4cosθ化为直角坐标方程是（）A．x﹣4=0 B．x+4=0 C．（x+2）2+y2=4 D．x2+（y+2）2=4【解答】解：由极坐标方程ρ=﹣4cosθ，化为ρ2=﹣4ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=﹣4x，配方为（x+2）2+y2=4．故选：C．4．（5分）已知向量=（﹣1，﹣2），=（m2，4），那么“∥”是“m=”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若∥，则，即m2=2，则m=±，故“∥”是“m=”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a3=﹣2，前6项的和S6=﹣3，那么数列{n+a n}的前4项的和是（）A．﹣4 B．﹣1 C．5 D．6【解答】解：设等差数列的{a n}的公差为d，∵a3=﹣2，前6项的和S6=﹣3，∴，解得，∴a n=﹣8+3（n﹣1）=3n﹣11．∴n+a n=4n﹣11∴数列{n+a n}的前4项的和==﹣4．故选：A．6．（5分）下列函数是偶函数，且在（0，1）上是单调递增的是（）A．f（x）=x2+2x B．f（x）=cosx C．f（x）=（）﹣|x|D．f（x）=﹣x【解答】解：A．f（x）=x2+2x的对称轴为x=﹣1，则函数不是偶函数，B．f（x）=cosx是偶函数，在（0，1）上是单调递减，不满足条件．C．f（x）=（）﹣|x|=2|x|，是偶函数，在（0，1）上是单调递增，满足条件，D．函数的定义域为（0，+∞），则函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．7．（5分）在平面直角坐标系中，已知点A，B在抛物线y2=4x上，且满足•=﹣4，点F是抛物线的焦点，设△OFA，△OFB的面积分别是S1，S2，那么S1•S2等于（）A．2 B．C．3 D．4【解答】解：设l过A、B的方程为：x=ty+b代入抛物线y2=4x，消去x得y2﹣4ty﹣4b=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4t，y1y2=﹣4b，∴•=（ty1+b）（ty2+b）+y1y2=t2y1y2+bt（y1+y2）+b2+y1y2=﹣4bt2+4bt2+b2﹣4b=b2﹣4b，令b2﹣4b=﹣4，∴b2﹣4b+4=0∴b=2．∴直线l过定点（2，0）．当x=2时，y=±2，此时|y1y2|取得最小值8，•S△OFB=×1××1×|y1y2|=×8=2．∴S△OFA故选：A．8．（5分）已知三棱锥A﹣BCD的侧面展开图放在正方形网格（横、纵的单位长度均为1）中的位置如图所示，那么其体积是（）A．B．C．D．4【解答】解：由题意，△ACD是等腰直角三角形，其面积为=1，BC=BA=BD=，B在平面ACD中的射影是CD的中点O，∴BO==2，=V B﹣ACD==．∴V A﹣BCD故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．9．（5分）某校为了解高一学生12月份的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[8，12]小时内的人数为38．【解答】解：根据频率分布直方图，得；阅读时间在[8，12]小时内的频率为（0.14+0.05）×2=0.38，∴阅读时间在[8，12]小时内的人数为100×0.38=38．故答案为：38．10．（5分）（x﹣2）5的二项展开式中第4项的系数是﹣80．=C5r x5﹣r（﹣2）r=C5r（﹣2）r x5﹣r 【解答】解：（x﹣2）5的展开式的通项为T r+1令r=3，故展开式中第4项的系数是C53（﹣2）3=﹣80．故答案为：﹣80．11．（5分）已知x，y满足不等式，那么z=2x+y的最大值是4．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（2，0）时，直线在y 轴上的截距最大，z最大等于2×2+0=4．故答案为：4．12．（5分）已知a＞1，且a﹣b=2，那么的最小值是3．【解答】解：∵a＞1，且a﹣b=2，∴b=a﹣2且a﹣1＞0，∴=a+=a+=a﹣1++1≥2+1=3当且仅当a﹣1=即a=2时取等号，故答案为：313．（5分）如图，C，D是两个校区的所在地，C，D到一条公路AB的垂直距离分别是CA=2km，DB=4km，AB两端之间的距离是6km．某移动公司将在AB之间找到一点M，在M处建造一个信号塔，使得M对C，D的张角与M对C，A的张角相等（即∠CMD=∠CMA），那么点M到点A的距离是2km．【解答】解：设PM=x，∠CMA=α，∠DMB=β．依题意有tanα=，tanβ=．由tanα=tanβ，得=，解得x=2，故点M应选在距A点2km处．故答案为：2km．14．（5分）已知min{p，q}表示p，q中较小者，若函数f（x）=min{x﹣，|ln （x﹣1）|}，且存在x0∈（1，2e+1]，使得f（x0）﹣a﹣1≥0成立，则a的取值范围是（﹣∞，ln2] ．【解答】解：若存在x0∈（1，2e+1]，使得f（x0）﹣a﹣1≥0成立，则等价为f（x0）≥a+1成立，即f（x）max≥a+1成立，作出函数f（x）的图象如图，对应的图象为曲线ABCD，其中B（1+，1），当x=2e+1时，f（2e+1）=|ln（2e+1﹣1）|=|ln2e|=ln2e=1+ln2＞1，故f（x）max=1+ln2，即1+ln2≥a+1，解得a≤ln2，故答案为：（﹣∞，ln2]三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=4cos2x+4sinxcosx﹣3．（Ⅰ）求f（﹣）的值及f（x）的对称轴方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=4cos2x+4sinxcosx﹣3=2cos2x﹣1+2sin2x=2sin（2x+）﹣1则：=﹣3令：（k∈Z）解得：（k∈Z）所以函数的对称轴方程为：（k∈Z）（Ⅱ）由于：所以：当x=时，函数取最大值为：．16．（13分）甲、乙、丙三人去完成一项任务，已知甲、乙、丙各自完成该项任务的概率分别为，，，且他们是否完成任务互不影响．（Ⅰ）求三人中只有乙完成了任务的概率；（Ⅱ）求甲丙二人中至少有一人完成了任务的概率；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中完成了任务的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．【解答】解：（Ⅰ）设事件A，B，C分别表示甲、乙、丙完成任务，则P（A）=，P（B）=，P（C）=，∴三人中只有乙完成了任务的概率：P1=P（）=（1﹣）×（1﹣）=．（Ⅱ）甲丙二人中至少有一人完成了任务的对立事件是甲、丙二人都没有完成任务，∴甲丙二人中至少有一人完成了任务的概率：P2=1﹣[P（）+P（）]=1﹣（）=1﹣=．（Ⅲ）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=P（）==，P（X=1）=P（A++）=++=，P（X=2）=P（AB+A C+BC）=+=，P（X=3）=P（ABC）==．∴X的分布列为：EX==．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，BC=AC=CC1，∠ACB=60°，D，E分别是A1C1，BB1的中点．（Ⅰ）求证：B1D∥平面AC1E；（Ⅱ）求证：平面AC1E⊥平面AA1C1C；（Ⅲ）求直线AB与平面AC1E所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：设AC1和A1C的交点为O，连接EO，连接OD．因为O为AC1的中点，D为A1C1的中点，所以OD∥AA1且OD=AA1．又E是BB1中点，所以B1E∥OD且B1E=OD．所以，四边形EB1DO为平行四边形．所以EO∥B1D．又B1D⊄平面AC1E，EO⊂平面AC1E，所以B1D∥平面AC1E；（Ⅱ）证明：由题意，B1D⊥平面AA1C1C，EO∥B1D，所以EO⊥平面AA1C1C，因为EO⊂平面AC1E，所以平面AC1E⊥平面AA1C1C；（Ⅲ）解：设BC=AC=CC1=2，则三角形AC1E的面积为=，设B到平面AC1E的距离为h，则由等体积可得=，所以h=所以直线AB与平面AC1E所成角的正弦值为．18．（13分）已知函数f（x）=x+alnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．【解答】解：（I）∵f（x）=x+alnx，∴x＞0，，∴当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞），没的减区间；当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：函数的增区间是（﹣a，+∞），减区间是（0，a）．（II）由（I）可知当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，且有f（e）=﹣1＜1﹣1=0，f（1）=1＞0，所以，此时函数有零点，不符合题意；当a=0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上没零点；当a＜0时，f（﹣a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，所以，当f（﹣a）=a[ln（﹣a）﹣1]＞0，即a＞﹣e时，函数f（x）没有零点，综上所述，当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．19．（13分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长是4，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆上一点，且△OAB是等腰直角三角形（点O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C上异于其顶点的任意一点P，作圆x2+y2=的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN与x，y轴的交点分别是（m，0），（0，n），证明：+是定值．【解答】（Ⅰ）解：如图，由△OAB是等腰直角三角形，且2a=4，得OA=2，B（1，1），代入，得，∴，则椭圆方程为；（Ⅱ）证明：设P（x0，y0）为椭圆上的点，则，以OP为直径的圆的方程为，整理得：x2+y2﹣x0x﹣y0y=0，①又圆x2+y2=，②②﹣①得，直线MN的方程为，取y=0，得，即m=；取x=0，得，即n=．∴+=（为定值）．20．（14分）已知数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+a n2．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）证明：a n＜n（n∈N*）；（Ⅲ）当n≥3（n∈N*）时，证明：a n＞．【解答】（I）解：∵a1=，a n+1=a n+a n2，∴a2==，a3==．（II）证明：利用数学归纳法证明．（1）当n=1时，a1=＜1成立．（2）假设当n=k∈N*时，不等式a k＜k成立．=a k+＜k+=k+1，则a k+1因此当n=k+1时，不等式a k＜k+1成立．+1综上可得：∀n∈N*，a n＜n．（III）证明：利用数学归纳法证明．（1）当n=3时，a3=，=，∵=＞1，∴，此时不等式成立．（2）假设当n=k≥3（k∈N*）时，a k．=a k+＞+×=，则当n=k+1时，则a k+1∵（5k+11）（5k2+6k+6）﹣（5k+6）2（k+1）=30＞0，∴＞，＞，∴a k+1即当n=k+1时，不等式成立．综上可得：当n≥3（n∈N*）时，a n＞．。

北京市西城区2013—2014学年度高三年级第一学期期末数学理科

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2014.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B = （）（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（）（A ）4（B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（）（A ）1-（B ）i -（C ）1（D ）i5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（）（A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-6．若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（）（A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b <<（D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（）（A ）116-（B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ，则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（）（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = ____． 10．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++= ______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13．如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．1侧(左)视图14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是；（2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=[π,π]α∈-，求α的值；（Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值；（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.甲组乙组 891 a822 F CEHD18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ， O 为坐标原点. （Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ；（Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4 10．125511． 12．24 13．1 214．(1,1) π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π，所以2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()2f α=22α=，即 cos 22α=， ……… 4分所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-，所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分1sin 222x x =πsin(2)3x =+， ……………10分由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． ………………12分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a = ，共有10种可能. ……………… 5分由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a = 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 7分（Ⅲ）解：当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种，它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， ……………… 9分则这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有取值为0,1,2,3,4. ……………… 10分因此2(0)9P X ==，2(1)9P X ==，1(2)3P X ==，1(3)9P X ==，1(4)9P X ==. ……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥. ……… 1分因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以 ED ⊥平面ABCD ， ……………… 2分又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. …………… 3分因为 ED BD D = ，所以 AC ⊥平面BDEF . …………… 4分（Ⅱ）解：设AC BD O = ，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点，所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ，由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……… 5分因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，3BF =，所以(0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F，C，13()22H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF的法向量AC =. …………7分设直线DH 与平面BDEF 所成角为α，由33(,)222DH = ，得sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⋅=<>=== ，所以直线DH 与平面BDEF. ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13()222BH =- ，(2,0,0)DB = .设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ………………10分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n . ………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，则00(01(3)1cos ,232ED ED ED⋅⨯+⨯+⨯-<>===-⨯n n n . ………………13分由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60 . ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分（Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x ax x -=，显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分当0x ≠时，方程可化简为e x ax -=.设函数()ex aF x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->，所以对于任意x ∈R ，()0F x >，因此方程e x a x -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，所以 114k ->，解得 34k <. ……………… 5分（Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. ……………… 8分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-，即2112y x x x =-. ……………… 9分同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =-.………………10分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-，所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. ………………11分因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==所以5OD ≥，当且仅当点42(,)55D --时等号成立． ………………13分由3125y k k =-=-，得k =.所以当k =OD………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =，得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<. ……………… 1分所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==. ……………… 2分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 4分因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥，第 11 页共 11 页所以 2012213q <<，即 120122()13q <<. ……………… 8分（Ⅲ）证明：（充分性）因为 1a N *Î，q N *Î，所以 11n n a a q N -*= ，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立.因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 9分（必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =.由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， ………………10分所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N Î，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r+整除. 又因为111211k k k k a p a a q r++++==，且p 与r 的最大公约数为1. 所以2k a Z +Ï，这与n a N *Î（n N *Î）矛盾.所以q *∈N .因此1a N *Î，q *∈N . ……………13分。

北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题：概率(含答案)

北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：概率一、选择题1 ．（2013届北京大兴区一模理科）若实数,a b 满足221a b +≤，则关于x 的方程220x x a b -++=有实数根的概率是（）A ．14 B ．34C ．3π24π+ D ．π24π- 2 ．（2013届东城区一模理科）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为（）A ．316B ．14C ．34D ．1163 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）A ．221B ．463C ．121 D ．2634 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学理试题）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是（）A ．13B ．12C ．23D ．565 ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤，表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是（）A ．413B ．513C ．825D ．925二、填空题6 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）已知随机变量X 的分布列如下，则EX 的值等于7 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）已知区域1,{(,)0,}1,y x x y y x ≤+⎧⎪Ω=≥⎨⎪≤⎩，1,{(,)}0,y x M x y y ⎧≤-+⎪=⎨≥⎪⎩，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为 .三、解答题8 ．（2013届北京大兴区一模理科）期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。

北京市通州区2013届高三第一次模拟考试数学(理)试题

通州区高三年级期末考试数学（理）试卷2013年1月本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2B =，则A B =（A ）φ （B ）{}0 （C ）{}0,1（D ）{}0,1,2 【答案】C【KS5U 解析】因为{}24{22}A x x x x =<=-<<，所以{0,1}A B = ，选C. 2．在复平面内，复数21ii-对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】B 【KS5U 解析】22(1)2(1)121(1)(1)2i i i i i i i i i ++===-+-+-,，对应的点的坐标为(1,2)-，所以在第二象限，选B.3．已知圆的直角坐标方程为2220x y x +-=．在以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（A ）2cos ρθ=（B ）2sin ρθ=（C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=- 【答案】A【KS5U 解析】因为在极坐标系中，cos ,sin x y ρθρθ==，代入方程2220x y x +-=得22cos ρρθ=，即2cos ρθ=，选A.4．设函数()22,0log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则()1f f -=⎡⎤⎣⎦（A ）2（B ）1（C ）2-（D ）1- 【答案】D【KS5U 解析】11(1)22f --==，所以()2111()log 122f f f -===-⎡⎤⎣⎦，选D. 5．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（A）16+B）12+C）8+D）4+【答案】B【KS5U 解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为122242⨯⨯⨯=，侧面积为(222)22++⨯=8412+=+B. 正（主）视图侧（左）视图俯视图6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）5122-（B ）5022-（C ）5121-（D ）5021- 【答案】B【KS5U 解析】由程序框图可知，当150k +=时，满足条件，即49k =，所以该程序是求249222S =+++ 的程序，所以49249502(12)2222212S -=+++==-- ，选B. 7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【KS5U 解析】若2c o s a b C =，由正弦定理得s i n 2s i n c AB C =，即s i n ()2s i n B C B C+=，所以s i n (B C B CB+==+，即s in BC B C -=，所以sin()0B C -=，即B C =，所以ABC ∆是等腰三角形。

北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题(word版)

通州区高三年级摸底考试数学（文）试卷2013年1月本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2B =，则AB =（A ）φ （B ）{}0 （C ）{}0,1（D ）{}0,1,22．在复平面内，复数21ii-对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．已知圆的方程为2220x y x +-=，则圆心坐标为（A ）()0,1 （B ）()0,1- （C ）()1,0（D ）()1,0-4．设函数()22,0,log ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则()1f f -=⎡⎤⎣⎦（A ）1- （B ）1 （C ）2-（D ）25．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（A）16+（B ）12+ （C ）8 （D ）46．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）5122- （B ）5022- （C）5121- （D ）5021-7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件8．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（A （B ）2 （C ）115（D ）3第Ⅱ卷（非选择题共110分）正（主）视图侧（左）视图俯视图二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9. 在等差数列{}n a 中，若11a =，前5项的和525S =，则2013a = ．10．已知,x y 满足约束条件24,24,0,0,x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥则z x y =+的最大值为．11．若10x +>，则11x x ++的最小值为．12．在边长为1的等边ABC ∆中，D 为BC 边上一动点，则AB AD ⋅的取值范围是． 13．奇函数()f x 的定义域为[]2,2-，若()f x 在[]0,2上单调递减，且()()10f m f m ++<，则实数m 的取值范围是．14．对任意两个实数12,x x ，定义()11212212,,,,.x x x max x x x x x ⎧=⎨<⎩≥若()22f x x =-，()g x x =-，则()()(),max f x g x 的最小值为．三、解答题（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数()21sin cos cos 2f x x x x =+-．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值． 16.（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ， AC =BC =2，AB =CC 1=4，M 是棱CC 1上一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥AM ；（Ⅱ）若M ，N 分别为CC 1，AB 的中点，求证：CN //平面AB 1M ． 17．（本小题满分13分）某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装2 1 2 4 43 1 1 1 1 0 2 57 1 0 8 9甲乙N MB 1A 1C 1CBA传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）.（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．18.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F 过焦点F 作直线l ，交椭圆于,A B 两点．（Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．19.（本小题满分13分）已知函数()()322,.f x x ax bx a a b R =+++∈ （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[)4,a ∈-+∞，()f x 在[]0,2x ∈上单调递增，求b 的最小值．20.（本小题满分13分）现有一组互不相同且从小到大排列的数据012345,,,,,a a a a a a ，其中00a =．记012345T a a a a a a =+++++，,5n n x =()011n n y a a a T=+++()0,1,2,3,4,5n =，作函数()y f x =，使其图象为逐点依次连接点()(),0,1,2,3,4,5n n n P x y n =的折线．（Ⅰ）求()0f 和()1f 的值；（Ⅱ）设直线1n n P P -的斜率为()1,2,3,4,5n k n =，判断12345,,,,k k k k k 的大小关系；（Ⅲ）证明：当()0,1x ∈时，()f x x <．通州区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷答案高三数学（文科） 2013.1第Ⅰ卷（选择题共40分）二、填空题9． 4025 10． 83 11． 112．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 13．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦ 14． 1- 三、解答题15．解：（Ⅰ）由已知，得()11sin 2cos222f x x x =+ ……………………2分 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ……………………4分所以 22T ππ==，即 ()f x 的最小正周期为π； ……………………6分（Ⅱ）因为 82x ππ-≤≤，所以 50244x ππ≤+≤． ……………… 7分于是，当242x ππ+=时，即8x π=时，()f x；…… 10分当5244x ππ+=时，即2x π=时，()f x 取得最小值12-．……………13分16．证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1中CC 1⊥平面ABC ，所以 CC 1⊥BC ． …………………………………………1分因为 AC =BC =2，AB =，所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ． ……………………………2分又因为AC ∩CC 1=C ，所以 BC ⊥平面ACC 1A 1． ……………………4分因为 AM ⊂平面ACC 1A 1，所以 BC ⊥AM ． ……………………6分（Ⅱ）过N 作NP ∥BB 1交AB 1于P ，连结MP ，则NP ∥CC 1． ………………8分因为 M ,N 分别为CC 1, AB 中点，所以 112CM CC =，112NP BB =． …………9分因为 BB 1=CC 1，所以 NP =CM ． ……………………10分所以四边形MCNP 是平行四边形．…………11分所以 CN //MP ． ……………………12分因为 CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ， ……………………13分所以 CN //平面AB 1 M ． ……………………14分17．解：（Ⅰ）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为X 甲、X 乙，方差分别为2s 甲、2s 乙，则1221141131111111071136X +++++==甲， ……………………1分PN MB 1A 1C 1CBA1241101121151081091136X +++++==乙， ……………………2分()()()222211221131141131131136s ⎡=-+-+-⎣甲()()()222111113111113107113⎤+-+-+-⎦21=， ……………………4分()()()222211241131101131121136s ⎡=-+-+-⎣乙 ()()()222115113108113109113⎤+-+-+-⎦29.33=， ……………………6分由于 22s s <甲乙，所以甲车间的产品的重量相对稳定；……………………7分（Ⅱ）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：()()()()()124,110,124,112,124,115,124,108,124,109, ()()()()()110,112,110,115,110,108,110,109,112,115,()()()()()112,108,112,109,115,108,115,109,108,109． ………………9分设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A ，则事件A 共有4个结果：()()()()110,112,110,108,110,109,108,109． (11)分所以 ()415P A =． ………………13分18．解: （Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，…………………… 1分则 a =2c =． …………………………………………2分所以 b === …………………………………3分所以椭圆方程为221106x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）若直线l x ⊥轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线l 对称，此时点C 坐标为()2,0c ．因为2c a > ，所以点C 在椭圆外，所以直线l 与x 轴不垂直． …………………………………………6分于是，设直线l 的方程为()2y k x =-，点()11,A x y ，()22,B x y ， …7分则()221,1062,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得，()2222352020300k x k x k +-+-= … 8分 21222035k x x k +=+， ………………………………………… 9分所以 1221235ky y k+=-+． ……………………………………… 10分因为四边形AOBC 为平行四边形，所以 OA OB OC +=， ……………………………………… 11分所以点C 的坐标为2222012,3535k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ……………………………12分所以 22222201235351106k k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， ……………………………13分解得21k =，所以1k =±． ………………………………14分19．解：（Ⅰ）()232f x x ax b '=++， ………………………………1分于是，根据题设有()()213201110f a b f a b a '=++==+++=⎧⎨⎩ 解得411a b =⎧⎨=-⎩ 或 33a b =-⎧⎨=⎩ ……………………3分当411a b =⎧⎨=-⎩时，()23811f x x x '=+-，641320∆=+> ，所以函数有极值点； ………………………………………………………………4分当33a b =-⎧⎨=⎩时，()()2310f x x '=-≥，所以函数无极值点． …………5分所以 11b =-． …… …………………………………………………… 6分（Ⅱ）法一：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，………7分所以()2230F a xa x b =++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立．8分因为 0x ≥,所以 ()F a 在[]4,a ∈-∞上为单调递增函数或为常数函数， ………9分所以 ()()2min 4830F a F x x b =-=-++≥对任意[]0,2x ∈都成立，即 ()2max38b x x≥-+. ……………………………………11分又2241616383333x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，所以当43x =时，()2max 16383x x -+=， ……………………………12分所以 163b ≥，所以 b 的最小值为163． ………………………………13分法二：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，…………… 7分即232b x ax ≥--对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，即()2max32b x ax ≥--． …………………………………………8分令()22232333a a F x x ax x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，…………………………… 9分当0a ≥时，()()max 00F x F ==，于是0b ≥；………………………10分当40a -≤<时，()2max33a aF x F ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，于是，23a b ≥ ．……11分又2max1633a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以163b ≥． ………………………………12分综上，b 的最小值为163． ………………………………13分 20．（Ⅰ）解：()001234500a f a a a a a a ==+++++， ……………………………… 2分()01234501234511a a a a a a f a a a a a a +++++==+++++；………………………………4分（Ⅱ）解：115n n n n n n y y k a x x T---==-，1,2,3,4,5n =． ……………………………… 6分因为 012345a a a a a a <<<<<，所以 12345k k k k k <<<<． ………………………………8分（Ⅲ）证：由于()f x 的图象是连接各点()(),0,1,2,3,4,5n n n P x y n =的折线，要证明()f x x <()01x <<，只需证明()n n f x x <()1,2,3,4n =．…………9分事实上，当()1,n n x x x -∈时，()()()()()1111n n n n n n f x f x f x x x f x x x -----=⋅-+-()()1111n n n n n n n n x x x x f x f x x x x x ------=+-- 1111n n n n n n n n x x x x x x x x x x ------<+--x =．下面证明()n n f x x <．法一：对任何n ()1,2,3,4n =，()()()121255n n a a a n n a a a +++=+-+++⎡⎤⎣⎦………………10分()()()12125n n n a a a n a a a =++++-+++()()125n nn a a a n na ≤++++-……………………………………11分()125n n n a a a n a =++++-⎡⎤⎣⎦()1215n n n a a a a a nT +<++++++= …………………………12分所以 ()125nn n a a a nf x x T+++=<=．…………………………13分法二：对任何n ()1,2,3,4n =，当1n k <时，()()()10211n n n y y y y y y y -=-+-++-()12155n n nk k k x =+++<=；………………………………………10分当1n k ≥时，()55n n y y y y =--()()()121541n n n n y y y y y y +++=--+-++-⎡⎤⎣⎦()125115n n k k k ++=-+++ ()115.55n nn x <--==综上，()n n f x x <． ………………………………………13分。

数学_2013年北京市通州区高考数学一模试卷(理科)(含答案)

2013年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 设集合A ={x|x 2−4<0}，B ={0, 1, 2}，则A ∩B 等于（） A {0} B {0, 1} C {0, 1, 2} D ⌀2. 在复平面内，复数21−i对应的点位于( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. 已知圆的直角坐标方程为x 2+y 2−2y =0．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（）A ρ=2cosθB ρ=2sinθC ρ=−2cosθD ρ=−2sinθ4. 已知函数f(x)={2x x ≤0log 2x ，x >0，则f[f(−1)]=( )A −2B 2C 1D −15. 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（）A 16+4√2B 12+4√2C 8+4√2D 4+4√26. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A 251−2B 250−2C 251−1D 250−17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a =2bcosC”是“△ABC 是等腰三角形”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 8. 已知直线l 1:4x −3y +6=0和直线l 2:x =−1，抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是（） A 3√55 B 2 C 115D 3二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9. 如图，已知AD =5，DB =8，AO =3√10，则圆O 的半径OC 的长为________．10. 已知x ，y 满足约束条件{2x +y ≤4x +2y ≤4x ≥0y ≥0，则z =x +y 的最大值为________．11. 若x +1>0，则x +1x+1的最小值为________．12. 在边长为1的等边△ABC 中，D 为BC 边上一动点，则AB →⋅AD →的取值范围是________． 13. 奇函数f(x)的定义域为[−2, 2]，若f(x)在[0, 2]上单调递减，且f(1+m)+f(m)<0，则实数m 的取值范围是________．14. 对任意两个实数x 1，x 2，定义max(x 1，x 2)={x 1，x 1≥x 2x 2，x 1<x 2若f(x)=x 2−2，g(x)=−x ，则max （f(x)，g(x)）的最小值为________．三、解答题（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知函数f(x)=sinxcosx +cos 2x −12．（1）求f(x)的最小正周期；（2）求函数f(x)在[−π8，π2]的最大值和最小值．16. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC =BC =2，AB =2√2，CC 1=4，M 是棱CC 1上一点．（1）求证：BC ⊥AM ；（2）若N 是AB 上一点，且AN AB =CMCC 1，求证：CN // 平面AB 1M ；（3）若CM =52，求二面角A −MB 1−C 的大小．17. 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔1小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据的茎叶图如图．（1）根据样品数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对较稳定；（2）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取的两件样品的重量之差不超过2克的概率．18. 已知椭圆的中心在原点O，短半轴的端点到其右焦点F(2, 0)的距离为√10，过焦点F作直线l，交椭圆于A，B两点．（1）求这个椭圆的标准方程；（2）若椭圆上有一点C，使四边形AOBC恰好为平行四边形，求直线l的斜率．19. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a, b∈R)（1）若函数f(x)在x=1处有极值为10，求b的值；（2）若对任意a∈[−4, +∞)，f(x)在x∈[0, 2]上单调递增，求b的最小值．20. 现有一组互不相同且从小到大排列的数据a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0．记T=a0+a1+a2+a3+a4+a5，x n=n5，y n=1T(a0+a1+⋯+a n)(n=0, 1, 2, 3, 4, 5)，作函数y=f(x)，使其图象为逐点依次连接点P n(x n, y n)(n=0, 1, 2, 3, 4, 5)的折线．（1）求f(0)和f(1)的值；（2）设直线P n−1P n的斜率为k n(n=1, 2, 3, 4, 5)，判断k1，k2，k3，k4，k5的大小关系；（3）证明：当x∈(0, 1)时，f(x)<x．2013年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. A3. B4. D5. B6. B7. A8. B9. 510. 8311. 112. [12, 1]13. (−12，1]14. −115. 解：（1）由已知，得f(x)=12sin2x+12cos2x=√22sin(2x+π4)，∵ ω=2，∴ T=π，则f(x)的最小正周期为π；（2）∵ −π8≤x≤π2，∴ 0≤2x+π4≤5π4，则当2x+π4=π2时，即x=π8时，f(x)取得最大值√22；当2x+π4=5π4时，即x=π2时，f(x)取得最小值−12．16. （1）证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1中CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥BC．因为AC=BC=2，AB=2√2，所以，由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．又因为AC∩CC1=C，所以BC⊥平面ACC1A1因为AM⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AM；（2）证明：如图，过N作NP // BB1交AB1于P，连结MP，则NP // CC1，且△ANP∽△ABB1．于是有NPBB1=ANAB．由已知ANAB =CMCC1，有NPBB1=CMCC1．因为BB1=CC1．所以NP=CM．所以四边形MCNP是平行四边形．所以CN // MP．因为CN⊄平面AB1M，MP⊂平面AB1M，所以CN // 平面AB1M；（3）因为BC⊥AC，且CC1⊥平面ABC，所以以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系C−xyz ．因为CM =52，所以C(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，B 1(0, 2, 4)，M(0,0,52)， AM →=(−2,0,52)，B 1M →=(0,−2,−32)．设平面AMB 1的法向量m →=(x,y,z)，则{m →⋅B 1M →=0˙，即{−2x +52z =0−2y −32z =0，令x =5，则y =−3，z =4，即m →=(5,−3,4)．又平面MB 1C 的一个法向量是CA →=(2,0,0)，所以cos <m →，CA →>=|m →|⋅|CA →|˙=√52+(−3)2+42√22=√22．由图可知二面角A −MB 1−C 为锐角，所以二面角A −MB 1−C 的大小为π4．17. x ¯=16(107+111+111+113+114+122)=113x ¯=16(108+109+110+112+115+124)=113，S 2=16[(107−113)2+(111−113)2+(111−113)2+(113−113)2+(114−113)2+(122−113)2]＝21， S 2=16[(108−113)2+(109−113)2+(110−113)2+(112−113)2+(115−113)2+(124−113)2] =883，∵ x ¯=x ¯，S 甲2<S 乙2，∴ 甲车间的产品的重量相对较稳定．从乙车间6件样品中随机抽取两件，共有15种不同的取法：(108, 109)， (108, 110)，(108, 112)，(108, 115)，(108, 124)，(109, 110)， (109, 112)，(109, 115)，(109, 124)，(110, 112)，(110, 115)， (110, 124)，(112, 115)，(112, 124)，(115, 124)．设A 表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过2克”，则A 的基本事件有4种：(108, 109)，(108, 110)，(109, 110)，(110, 112)．故所求概率为P(A)=415．18. 解：（1）由已知，可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则a =√10，c =2．所以b =√a 2−c 2=√10−4=√6，所以椭圆方程为x 210+y 26=1．（2）若直线l ⊥x 轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线l 对称，此时点C 坐标为(2c, 0)．因为2c >a ，所以点C 在椭圆外，所以直线l 与x 轴不垂直．于是，设直线l 的方程为y =k(x −2)，点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则{x 210+y 26=1y =k(x −2)，整理得，(3+5k 2)x 2−20k 2x +20k 2−30=0，x 1+x 2=20k 23+5k 2，所以y 1+y 2=−12k 3+5k 2．因为四边形AOBC 为平行四边形，所以OA →+OB →=OC →，所以点C 的坐标为(20k 23+5k 2，−12k3+5k 2)，所以(20k 23+5k 2)210+(−12k 3+5k 2)26=1，解得k 2=1，所以k =±1． 19. 解：（1）f ′(x)=3x 2+2ax +b则{f′(1)=3+2a +b =0f(1)=1+a +b +a 2=10⇒{a =4b =−11或{a =−3b =3…当{a =4b =−11时，f ′(x)=3x 2+8x −11，△=64+132>0，所以函数有极值点；当{a =−3b =3时，f′(x)=3(x −1)2≥0，所以函数无极值点；则b 的值为−11．…（2）解法一：f ′(x)=3x 2+2ax +b ≥0对任意的a ∈[−4, +∞),x ∈[0, 2]都成立则F(a)=2xa +3x 2+b ≥0对任意的a ∈[−4, +∞),x ∈[0, 2]都成立∵ x ≥0，F(a)在a ∈[−4, +∞)单调递增或为常数函数所以得F(a)min =F(−4)=−8x +3x 2+b ≥0对任意的x ∈[0, 2]恒成立，即b ≥(−3x 2+8x)max ，又−3x 2+8x =−3(x −43)2+163≤163，当x =43时(−3x 2+8x)max =163，得b ≥163，所以 b 的最小值为163． …解法二：f ′(x)=3x 2+2ax +b ≥0对任意的a ∈[−4, +∞),x ∈[0, 2]都成立即b ≥−3x 2−2ax 对任意的a ∈[−4, +∞),x ∈[0, 2]都成立，即b ≥(−3x 2−2ax)max ．令F(x)=−3x 2−2ax =−3(x +a3)2+a 23①当a ≥0时，F(x)max =0，∴ b ≥0； ②当−4≤a <0时，F(x)max =a 23，∴ b ≥a 23．又∵ (a 23)MAX =163，∴ b ≥163．综上，b的最小值为163．…20. （1）解：f(0)=a0a0+a1+a2+a3+a4+a5=0，…f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5a0+a1+a2+a3+a4+a5=1；…（2）解：k n=y n−y n−1x n−x n−1=5Ta n，n=1，2，3，4，5．…因为a0<a1<a2<a3<a4<a5，所以k1<k2<k3<k4<k5．…（3）证：由于f(x)的图象是连接各点P n(x n, y n)(n=0, 1, 2, 3, 4, 5)的折线，要证明f(x)<x(0<x<1)，只需证明f(x n)<x n(n=1, 2, 3, 4)．…事实上，当x∈(x n−1, x n)时，f(x)=f(x n)−f(x n−1)x n−x n−1⋅(x−x n−1)+f(x n−1)=x n−x x n−x n−1f(x n−1)+x−x n−1x n−x n−1f(x n)<x n−xx n−x n−1x n−1+x−x n−1x n−x n−1x n=x．下面证明f(x n)<x n．法一：对任何n(n=1, 2, 3, 4)，5(a1+a2+...+a n)=[n+(5−n)](a1+a2+...+a n)…= n(a1+a2+...+a n)+(5−n)(a1+a2+...+a n)≤n(a1+a2+...+a n)+(5−n)na n...= n[a1+a2+...+a n+(5−n)a n]<n(a1+a2+...+a n+a n+1+...+a5)=nT…所以f(x n)=a1+a2+⋯+a nT <n5=x n．…法二：对任何n(n=1, 2, 3, 4)，当k n<1时，y n=(y1−y0)+(y2−y1)+...+(y n−y n−1)=15(k1+k2+⋯+k n)<n5=x n；…当k n≥1时，y n=y5−(y5−y n)=1−[(y n+1−y n)+(y n+2−y n+1)+...+(y5−y4)]=1−15(k n+1+k n+2+⋯+k5)<1−15(5−n)=n5=x n．综上，f(x n)<x n．…。

北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题：立体几何(含答案)

北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：立体几何一、选择题1 ．（2013届北京大兴区一模理科）已知平面βα,，直线nm,，下列命题中不．正确的是（）A．若α⊥m，β⊥m，则α∥βB．若m∥n，α⊥m，则α⊥nC．若m∥α，n=βα ，则m∥nD．若α⊥m，β⊂m，则βα⊥．2 ．（2013届北京海滨一模理科）设123,,l l l为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：①i iA l∃∈(1,2,3)i=，使得123A A A∆是直角三角形；②i iA l∃∈(1,2,3)i=，使得123A A A∆是等边三角形；③三条直线上存在四点(1,2,3,4)iA i=，使得四面体1234A A A A为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．①②C．①③D．②③3 ．（2013届北京市延庆县一模数学理）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A．2B．22C．3D．324 ．（2013届北京西城区一模理科）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．6B．12（7题图）轨迹是（）A．线段B．圆弧C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分6 ．（2013届房山区一模理科数学）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）A．B．8C．D．837 ．（2013届门头沟区一模理科）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）A．21B．13C．65D．18 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）A．B．C．D．9 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）平面α∥平面β的一个充分条件是（）A．存在一条直线a aααβ，∥，∥B．存在一条直线a a aαβ⊂，，∥C．存在两条平行直线a b a b a bαββα⊂⊂，，，，∥，∥D．存在两条异面直线a b a b a bαββα⊂⊂，，，，∥，∥10．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1（）A．43πB．2πC．83πD．103π正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图主视图左视图俯视图11．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．B．C．D．12．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（）A．16+B．12+C．8+D．4+13．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学理试题）如图，正（主）视图侧（左）视图俯视图直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A B．C．1 D．214．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（）A．10+B．10+．14+D．14+15．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A B C．34D．116．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是（）A ．124 B ．112C ．16D ．1217．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ18．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A ．38B ．4C ．2D ．3419．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（）A．C．6+二、填空题20．（2013届北京丰台区一模理科）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_______.21．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．22．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题）三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.23．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（0r <<），记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）. 三、解答题24．（2013届北京大兴区一模理科）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，ABC D 是等边三角形，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：A 1B //平面ADC 1；（Ⅱ）若AB=BB 1=2，求A 1D 与平面AC 1D 所成角的正弦值．25．（2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN;（Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求MEMN的值..26．（2013届北京海滨一模理科）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠= ，点N 在线段PB 上，且PN =（Ⅰ）求证：BD PC ⊥；（Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ; （Ⅲ）求二面角A PC B --的余弦值．ABCD P -的底面27．（2013届北京市延庆县一模数学理）如图，四棱锥ABCD 为菱形， 60=∠ABC ，侧面PAB 是边长为2的正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD .(Ⅰ)设AB 的中点为Q ，求证：⊥PQ 平面ABCD （Ⅱ）求斜线PD 与平面ABCD 所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱PC 上存在一点M ，使得二面角C BD M --的大小为 60，求CPCM的值.28．（2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．29．（2013届东城区一模理科）如图，已知ACDE 是直角梯形，且//ED AC ，平面ACDE ⊥平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，AB AC AE ==2=，12ED AB =， P 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：//DP 平面EAB ；（Ⅱ）求平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角大小的余弦值．30．（2013届房山区一模理科数学）在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ， ABCD 为直角梯形，BC //AD ，90ADC ∠=︒，112BC CD AD ===，PA PD =，E F ,为AD PC,的中点．（Ⅰ）求证：P A //平面BEF ；（Ⅱ）若PC 与AB 所成角为45︒，求PE 的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A 的余弦值．31．（2013届门头沟区一模理科）在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12AD BC =，60ABC ∠= ，N 是BC 的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90 ，得到梯形ABC D ''（如图）．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面ABC '；（Ⅱ）求证：//C N '平面AD D '；（Ⅲ）求二面角A C N C '--的余弦值．DFECBAPADD 'C '32．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）(本小题满分13分) 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点．（1）求证：PC AD ⊥；（2）求证：//FG 平面BCP ；（3）线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ，若存在，求出AR 的长；若不存在，请说明理由．33．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）已知几何体A —BCED 的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（Ⅰ）求此几何体的体积V 的大小;（Ⅱ）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；（Ⅲ）试探究在棱DE 上是否存在点Q ，使得 AQ ⊥BQ ，若存在，求出DQ 的长，不存在说明理由.侧视图俯视图正视图F G P D CB A34．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，在菱形ABCD 中，60DAB ∠=，E 是AB的中点， MA ⊥平面ABCD ，且在矩形ADNM中，2AD =，7AM =．（Ⅰ）求证：AC ⊥BN ；（Ⅱ）求证：AN // 平面MEC ；（Ⅲ）求二面角M EC D --的大小.学）如35．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数图所示，正方形D D AA 11与矩形ABCD 所在平面互相垂直，22==AD AB ,点E 为AB 的中点。

北京市通州区高三数学上学期期末考试试题理新人教A版

通州区高三年级期末考试数学（理）试卷2013年1月本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2B =，则AB =（A ）φ （B ）{}0 （C ）{}0,1（D ）{}0,1,2 【答案】C【解析】因为{}24{22}A x x x x =<=-<<，所以{0,1}A B =，选C.2．在复平面内，复数21ii-对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】B 【解析】22(1)2(1)121(1)(1)2i i i i i i i i i ++===-+-+-,，对应的点的坐标为(1,2)-，所以在第二象限，选B.3．已知圆的直角坐标方程为2220x y x +-=．在以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（A ）2cos ρθ=（B ）2sin ρθ=（C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=- 【答案】A【解析】因为在极坐标系中，cos ,sin x y ρθρθ==，代入方程2220x y x +-=得22cos ρρθ=，即2cos ρθ=，选A.4．设函数()22,0log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则()1f f -=⎡⎤⎣⎦（A ）2（B ）1（C ）2-（D ）1- 【答案】D 【解析】11(1)22f --==，所以()2111()log 122f f f -===-⎡⎤⎣⎦，选D. 5．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（A）16+（B）12+（C）8+D）4+【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为122242⨯⨯⨯=，侧面积为(2228++⨯=+8412+=+B.正（主）视图侧（左）视图俯视图6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）5122-（B ）5022-（C ）5121-（D ）5021- 【答案】B【解析】由程序框图可知，当150k +=时，满足条件，即49k =，所以该程序是求249222S =+++的程序，所以49249502(12)2222212S -=+++==--，选B.7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若2cos a b C =，由正弦定理得sin 2sin cos A B C =，即s i n ()2s i nB C B C +=，所以sin(B C B CB+==+，即s in BC B C -=，所以sin()0B C -=，即B C =，所以ABC ∆是等腰三角形。

2013北京市高三理科数学一模立体几何

2013年一模海淀17.（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又4PA AB ==，120CDA ∠=，点N 在线段PB上，且PN = （Ⅰ）求证：BD PC ⊥；（Ⅱ）求证：//MN 平面PDC ; （Ⅲ）求二面角A PC B --的余弦值．西城17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．东城（16）（本小题共14分）如图，已知ACDE 是直角梯形，且//ED AC ，平面A C D E ⊥平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，AB AC AE ==2=，12ED AB =， P 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：//DP 平面EAB ；（Ⅱ）求平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角大小的余弦值．朝阳（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面A B C D ，且P A A C ⊥，2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,PB PC 上的点，且PE PFPB PCλ==．（Ⅰ）求证：EF 平面PAD ；（Ⅱ）当12λ=时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值；（Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．丰台16．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD，且NB=1，MD=2；（Ⅰ）求证：AM ∥平面BCN;（Ⅱ）求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；（Ⅲ）E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求MEMN的值.石景山 17．（本小题满分14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90o ，PD ⊥平面ABCD ，AD =1，BC =4。

北京市朝阳区2013-2014学年度3月高三一模数学理科

（第6题图）北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2014．3（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知集合1{|(1}2xA x =<，集合{|lg 0}B x x =>，则A B =（A ）{|0}x x > （B ）{|1}x x > （C ） {|1}{|0}x x x x >< （D ） ∅ （3）已知平面向量a ，b 满足2==a b ，(2)()=2⋅--a +b a b ，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ） 3π （C ） 32π （D ） 65π （4）如图，设区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤，向区域D 内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域3{(,)01,0}M x y x y x =≤≤≤≤的概率为（A ）14（B ）13（C ） 25 （D ） 27（5）在ABC △中，π4A =，BC =“AC =是“π3B =”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（A ）2 （B ）2- （C ）4 （D ）4-（7）已知函数2sin ()1xf x x =+．下列命题： ①函数()f x 的图象关于原点对称； ②函数()f x 是周期函数； ③当2x π=时,函数()f x 取最大值；④函数()f x 的图象与函数1y x=的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（A ） ①③ （B ）②③ （C ） ①④ （D ）②④（8）直线y x m =+与圆2216x y +=交于不同的两点M ，N ，且M N O N ≥+，其中O 是坐标原点，则实数m 的取值范围是（A ）(- （B）(⎡--⎣（C ） [2,2]- （D ）[-第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，2312a a +=，则该数列的前4项和为．（10）在极坐标系中，A 为曲线2cos ρθ=上的点，B 为曲线cos 4ρθ=上的点，则线段AB 长度的最小值是．（11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的体积为；表面积为．（12）双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点到其渐近线的距离是2，则b = ；此双曲线的离心率为．（13）有标号分别为1,2,3的红色卡片3张，标号分别为1,2,3的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为．（用数字作答）正视图俯视图（14）如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ,1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）已知函数22()2sin()cos sin cos f x x x x x =π-⋅+-，x ∈R ．（Ⅰ）求()2f π的值及函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在[]0,π上的单调减区间．（16）（本小题满分13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：例如，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25．（I ）求a ，b 的值；（II ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；（III ）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ．BCDESA（17）（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥． E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：EF ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求二面角E PD C --的余弦值．（18）（本小题满分13分）已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．（20）（本小题满分13分）从1,2,3,,n 中这n 个数中取m （,m n *∈N ，3m n ≤≤）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为(,)f n m ．（Ⅰ）当5,3n m ==时，写出所有可能的递增等差数列及(5,3)f 的值；（Ⅱ）求(100,10)f ；（Ⅲ）求证：()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-．A E BCDPF北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类） 2014.3三、解答题15. （本小题满分13分）解： ()f x =sin 2cos 2x x -)4x π=-.（Ⅰ）())12242f πππ=⋅-==.显然，函数()f x 的最小正周期为π. …………… 8分（Ⅱ）令ππ3π2π22π242k x k +-+≤≤得 37ππππ88k x k ++≤≤，k ∈Z .又因为[]0,πx ∈，所以3π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 函数()f x 在[]0,π上的单调减区间为3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …………… 13分 16. （本小题满分13分）解：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人．则62()205a P A +==．解得 2a =．所以4b =． …………… 4分（II ）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，至少有一项能力测试优秀的学生共有8人．则21222062()1()195C P B P B C =-=-=． …………… 7分（III ）ξ的可能取值为0，1，2．20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为8人．所以21222033(0)95C P C ξ===，1112822048(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95C P C ξ===．所以ξ的分布列为所以，0E ξ=⨯33951+⨯48952+⨯1495764955==． …………… 13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG .因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点，所以FG 是△PCD 的中位线. 所以FG ∥CD ，且12FG CD =．又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形，所以1122AE AB CD ==，且AE ∥CD . 所以AE ∥FG ，且AE FG =．所以四边形AEFG 是平行四边形．所以EF ∥AG ．又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，AE BCDPFG所以EF 平面PAD ． ……………4分（Ⅱ）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，且平面PAD 平面ABCD AD =，所以PA ⊥平面ABCD ．所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直.以点A 为原点，分别以, , AB AD AP 为, , x y z 轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题意易知AB AD AP ==，设2AB AD AP ===，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ,(1,0,0)E ,(1,1,1)F ．因为(0,11)EF = ，，(022)PD =- ，，，(200)CD =- ，，，且(0,11)(0,2,2)0EF PD ⋅=⋅-= ，，(0,11)(2,00)0EF CD ⋅=⋅-=，，所以EF PD ⊥，EF CD ⊥．又因为PD ，CD 相交于D ，所以EF ⊥平面PCD ． …………… 9分（Ⅲ）易得(102)EP =- ，，，(0,22)PD =- ,．设平面EPD 的法向量为(, , )x y z =n ，则0,0.EP PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 20,220. x z y z -+=⎧⎨-=⎩即2,. x z y z =⎧⎨=⎩令1z =，则(2,1,1)=n ．由（Ⅱ）可知平面PCD 的法向量是(0,11)EF =，，所以cos ,EF EF EF⋅〈〉===⋅n n n .由图可知，二面角E PD C --的大小为锐角，所以二面角E PD C --的余弦值为3． ……………14分 18. （本小题满分13分）解：函数()f x 的定义域是(0,)+∞， 1()f x ax x '=-21ax x-=．（Ⅰ）（1）当0a =时，1()0f x x'=-<，故函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（2）当0a <时，()0f x '<恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．（3）当0a >时，令()0f x '=，又因为0x >，解得x =①当x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在单调递减．②当)x ∈+∞时，()0f x '>，所以函数()f x 在)+∞单调递增．综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调减区间是(0,)+∞，当0a >时，函数()f x 的单调减区间是，单调增区间为)+∞．…7分（Ⅱ）（1）当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[1,e]上单调递减，所以()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，解得240ea =>，舍去．（2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，1，即1a ≥时，函数()f x 在[1,e]上单调递增，所以函数()f x 的最小值为1(1)12f a ==，解得2a =．②当1e <<，即211e a <<时，函数()f x 在上单调递减，在上单调递增，所以函数()f x 的最小值为11ln 122f a =+=，解得e a =，舍去．e ，即210e a <≤时，函数()f x 在[1,e]上单调递减，所以函数()f x 的最小值为21(e)e 112f a =-=，得24ea =，舍去．综上所述，2a =． ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得22=21314c a a b ⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得=2a ，1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=． …………… 4分（Ⅱ）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点.由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+．又因为点M 是椭圆C 的右顶点，所以点(2,0)M ．由题意可知直线AM 的方程为11(2)2y y x x =--，故点112(0,)2y P x --．直线BM 的方程为22(2)2y y x x =--，故点222(0,)2y Q x --．若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点0(,0)N x ，则等价于0PN QN ⋅=恒成立．又因为1012(,)2y PN x x =- ，2022(,)2y QN x x =- ，所以221212001212224022(2)(2)y y y y PN QN x x x x x x ⋅=+⋅=+=---- 恒成立．又因为121212(2)(2)2()4x x x x x x --=-++2222448241414k k k k -=-+++ 22414k k=+， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22222448(1)1414k k k k k -=-+++22314k k-=+，所以222212000212212414304(2)(2)14k y y k x x x k x x k -++=+=-=--+．解得0x =．故以线段PQ 为直径的圆过x轴上的定点(． …………… 14分 20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）符合要求的递增等差数列为1，2，3；2，3，4；3，4，5；1，3，5，共4个.所以(5,3)4f =. …………… 3分（Ⅱ）设满足条件的一个等差数列首项为1a ，公差为d ，d *∈N .1019a a d =+，10110011199a a d --==≤，d 的可能取值为1,2,,11 ．对于给定的d ，11091009a a d d =--≤，当1a 分别取1,2,3,,1009d - 时，可得递增等差数列1009d -个（如：1d =时，191a ≤，当1a 分别取1,2,3,,91 时，可得递增等差数列91个：1,2,3,,11 ；2,3,4,,12 ；；91,92,93,,100 ，其它同理）. 所以当d 取1,2,,11 时，可得符合要求的等差数列的个数为：(100,10)100119(1211)1100966506f =⋅-⋅+++=-⋅= ．…………… 8分（Ⅲ）设等差数列首项为1a ，公差为d ，1(1)m a a m d =+-，1111m a a n d m m --=--≤，记11n m --的整数部分是t ，则11111n n t m m ---<--≤，即111n m n t m m --<--≤． d 的可能取值为1,2,,t ，对于给定的d ，1(1)(1)m a a m d n m d =----≤，当1a 分别取1,2,3,,(1)n m d -- 时，可得递增等差数列(1)n m d --个.所以当d 取1,2,,t 时，得符合要求的等差数列的个数2(1)121(,)(1)222t t m n m f n m nt m t t +--+=--⋅=-+ 22121(21)()22(1)8(1)m n m n m t m m --+-+=--+-- 易证21112(1)1n m n m n m m m --+-<---≤．又因为211||12(1)2(1)n m n m m m m m --++-=---，2113||2(1)12(1)n m n m m m m -+---=---，所以21211||||12(1)2(1)1n m n m n m n m m m m --+-+-->-----．所以(1)(,)(1)2t t f n m nt m +=--⋅ (1)()(1)11(1)122(1)n m n m n m n m n m m n m m m --+--+-->⋅--⋅=--．即()(1)(,)2(1)n m n f n m m -+>-． …………… 13分。

北京市通州区2012届高三模拟考试(一)数学(理)试题

通州区2012年高三年级模拟考试（一）数学（理科）试卷2012年4月本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第I 卷 (选择题共40分)一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数11iz i+=-等于 A ．iB ．2iC ．1+iD ．1－i2．参数方程cos ,sin 3x y θθ==-⎧⎨⎩（θ为参数）化为普通方程是A ．()2231x y +-=B ．()2231y x ++= C ．30x y ++=D ．2213y x +=3．如图，程序框图所进行的求和运算是 A ．1+2+22+23+24+25 B ．2+22+23+24+25 C ．1+2+22+23+24 D ．2+22+23+244．已知在△ABC 中，D 是BC 的中点，那么下列各式中正确的是 A ．AB AC BC +=B ．12AB BC DA =+C ．AD DC AC -=D ．2CD BA CA +=5．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，那么该几何体的表面积是 A ．16B ．20C ．12+D ．16+6．有1位老师与2名女生2名男生站成一排合影，两名女生之间只有这位老师，这样的不同排法共有 A ．48种B ．24种C ．12种D ．6种7．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌车，在A 地的销售利润（单位：万元）是1913.5y x =-，在B 地的销售利润（单位：万元）是216.24y x =+，其中x 为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售11辆这种品牌车，则能获得的最大利润是A ．19.45万元B ．22.45万元C ．25.45万元D ．28.45万元8．定义集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”是b －a . 已知m ，n ∈R ，集合23M x m x m =+⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤，34N x n x n =-⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤，且集合M ，N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集，那么集合M ∩N的“长度”的最小值是 A ．23B ．12C ．512D ．13第II 卷 (共110分)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．已知等差数列{a n }中，a 2=－2，公差d =－2，那么数列{a n }的前5项和S 5= . 10．某班有50名学生，在一次百米测试中，成绩全部在13秒与18秒之间，将测试成绩分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩大于或等于15秒，且小于17秒认为良好，则该班在这次百米测试中成绩良好的人数是_________.11．已知x ，y 满足不等式组50,10,1,x y x y x +---⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 那么z =x +2y 的最大值是_____________.12．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，AB=BC =3，CD = 则cos D = .13．已知函数()12log 2f x x kx k =-+，且方程f (x )=0有且只有一个实数根，那么实数k 的取值范围是__________________.14．在直角坐标系中，点O 为坐标原点，已知11,04OA =-⎛⎫⎪⎝⎭，()121,0i i A A i +=-()1,2,,,i n =，()11,2,,,i i i A B A i n +∆=是等边三角形，且点12,,,,n B B B 在同一条曲线C 上，那么曲线C 的方程是____________；设点()1,2,,,n B i n =的横坐标是n (n ∈N *)的函数f (n )，那么f (n )= ____________.三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题13分）已知函数f (x )=2sin x cos x +2cos 2x +1. （I ）求f (x )的最小正周期；（II ）求f (x )在区间,02π-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16．（本题14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ，∠DAB =90°，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =BC =2，AD =1.（I ）求证：BC ⊥平面PAB ；（II ）求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值；（III ）在侧棱PA 上是否存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23，若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由.17．（本题13分）有甲、乙、丙三人到某公司面试，甲、乙通过面试的概率分别为25，12，丙通过面试的概率为p ，且三人能否通过面试相互独立. 记X 为通过面试的人数，其分布列为（I ）求p 的值；（II ）求至少有两人通过面试的概率；（III ）求数学期望EX .18．（本题13分）已知函数f (x )=ln x －a 2x 2+ax . （I ）若a =1，求函数f (x )的最大值；（II ）若函数f (x )在区间(1，+∞)上是减函数，求实数a 的取值范围.19．（本题13分）已知椭圆C 的焦点在y 轴上，离心率为2，且短轴的一个端点到下焦点F . （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）设直线y =－2与y 轴交于点P ，过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB面积的最大值.20．（本题14分）对于数列{a n }，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列{a n }的“差等比数列”，记为数列{b n }. 设数列{b n }的首项b 1=2，公比为q (q 为常数).（I ）若q =2，写出一个数列{a n }的前4项；（II ）（ⅰ）判断数列{a n }是否为等差数列，并说明你的理由；（ⅱ）a 1与q 满足什么条件，数列{a n }是等比数列，并证明你的结论；（III ）若a 1=1，1＜q ＜2，数列{a n +c n }是公差为q 的等差数列(n ∈N *)，且c 1=q ，求使得c n ＜0成立的n 的取值范围.(考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效)通州区一模参考答案（理科）2012年4月一、选择题：1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．C 7．A 8．C 二、填空题：9．20- 10．35 11．912 13．[)0,+∞ 14． 23y x =；212n ⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题：15．解：（Ⅰ）()sin 2cos 22f x x x =++ …………………………3分)24x π=++．所以)(x f 的最小正周期为π． …………………………6分（Ⅱ）因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，所以32[,]444x πππ+∈-，所以当244x ππ+=，即0x =时，sin(2)4x π+=所以()f x 取得最大值3；当242x ππ+=-，即38x π=-时，sin()16x π+=-，所以()f x 取得最小值2 …………………………13分 16．解；（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 是梯形，//AD BC ，90DAB ∠=︒， ∴.BC AB ⊥∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥ BC ， ∵PAAB A =，∴BC ⊥平面PAB . ………………………… 3分（Ⅱ）以A 为原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系. ∴()0,0,0A ，()1,0,0D ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()0,0,2P . ∴()2,2,2PC =-，()0,2,0AB =.∴cos ,34PC AB PC AB PC AB===⋅∴异面直线PC 与AB …………………………8分（Ⅲ）假设在侧棱PA 上存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23，设()()0,0,0.E m m > ∴()1,2,0DC =，()1,0,DE m =-. ∴设平面CDE 的法向量为(),,n x y z =， ∴0n DC =，0n DE =，∴20,0.x y x mz +=⎧⎨-+=⎩令2x =，所以1y =-，2z m =. ∴22,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又∵平面ACD 的法向量为()0,0,2AP =，∴2cos ,3n AP =，即42.3n APn AP==⋅ 解得 1.m =∴点E 的坐标是()0,0,1.∴在侧棱PA 上存在一点E ，使得平面CDE 与平面ADC 所成角的余弦值是23. ………………………… 14分17．解：设 “甲通过面试”为事件1A ， “乙通过面试”为事件2A ，设 “丙通过面试”为事件3A ， ………………………… 1分所以()125P A =，()212P A = ，()3P A p = . （Ⅰ）由已知得()9040P X ==，即()219111.5240p ⎛⎫⎛⎫---=⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以14p =. ………………………… 4分（Ⅱ）设“至少有两人通过面试”为事件B ，由题意知()()()()1231231232b P X P A A A P A A A P A A A ===++21123131111.54254254240=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ()()1233c P X P A A A ===2111.52420=⨯⨯=所以 ()()()1323.40P B P X P X ==+== ………………………… 10分（Ⅲ）由题意得 ()()()()911023.20a P X P X P X P X ===-=-=-== 所以99111230123.4020402020EX =⨯+⨯+⨯+⨯=………………………… 13分18．解：（I ）当1a =时，()2ln f x x x x =-+，定义域为()0,+∞，………………………… 1分所以()212121x x f x x x x -++'=-+=，令()0f x '=，解得12x =-，或1x =.因为0x >，所以 1.x = ………………………… 3分所以当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以函数()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减， ………………………… 4分所以当1x =时，函数()f x 取得最大值，即()f x 的最大值是()10.f = ………………………… 5分（II ）因为()22ln f x x a x ax =-+，定义域为()0,+∞，所以()()()221112.ax ax f x a x a x x-+-'=-+= ………………………… 7分 ①当0a =时，()10f x x'=>，所以()f x 在区间()0,+∞上为增函数，不符合题意. ………………………… 8分 ②当0a >时，由 ()0f x '<，即(21)(1)0ax ax +->，又0x >，所以1.x a >所以()f x 的单调减区间为（1a，+∞），所以11,0,a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩ 解得 1.a ≥ ………………………… 10分③当0a <时，()0f x '<，即(21)(1)0ax ax +->，又0x >，所以12x a >-，所以()f x 的单调减区间为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，所以11,20,a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩解得1.2a ≤- ………………………… 12分综上所述，实数a 的取值范围是[)1,1,.2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦………………………… 13分 19．解：（Ⅰ）因为椭圆C 的焦点在y 轴上，所以设椭圆C 的方程是()222210y x a b a b+=>>. ………………………… 1分因为短轴的一个端点到下焦点F所以a = 1.c = 所以2 1.b =所以椭圆C 的标准方程是22 1.2y x += ………………………… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()0,1F -，()0,2P -，且直线l 的斜率存在，设其方程为： 1.y kx =-，由 221,1,2y kx y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()222210.k x kx +--= ………………………… 6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以12222k x x k +=+，12212x x k -=+. ………………………… 7分所以PAB ∆面积1212PAB S PF x x ∆=⋅-（1x ，2x 异号）.所以PAB S ∆===………………………… 9分=≤= ………………………… 12分当且仅当22111k k+=+，即0k=时，PAB S ∆有最大值是2 所以当0k =时，PAB ∆面积的最大值是2………………………… 13分20．解：（Ⅰ）因为数列{}n b 是等比数列，且12b =，2q =，所以 24b =，38b =，所以11a =，23a =，37a =，1515a =. （写出满足条件的一组即可） ………………………… 2分（Ⅱ）（ⅰ）因为12b =，所以212a a -=，322a a q -=， 2432a a q -=，…，212n n n a a q ---=()2n ≥.所以()22121n n a a q q q --=++++.①若1q =，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列. ………………………… 3分 ②若1q ≠，所以()1121.1n n q a a q --=+-所以1n n a a +-=()()1212111n n q q qq------1221n n q q q--=-12n q -=.因为1q ≠，所以12n q-不是常数.所以数列{}n a 不是等差数列. ………………………… 5分（ⅱ）因为数列{}n b 是等比数列，首项12b =，公比为q ，所以22b q =，232b q =. 所以212a a =+，3122a a q =++.因为数列{}n a 是等比数列，所以2213a a a =⋅，即()()2211222.a a a q +=⋅++ 所以112a q a +=. 所以当112a q a +=时，数列{}n a 是等比数列. ………………………… 7分（Ⅲ）因为{}n n a c +是公差为q 的等差数列，所以()()11.n n n n a c a c q --+-+= 又212n n n a a q ---=，所以212.n n n c c q q ---=-所以3122n n n c c q q ----=-，…，322c c q q -=-，21 2.c c q -=-所以()2321n n n c nq q q q --=-++++()121.1n q nq q--=-- ………………………… 9分所以10c q =>，()2210c q =->，320c q =-<，4c =()2213212022q q q ⎛⎫--+=---< ⎪⎝⎭，…猜想：当3n ≥时，0n c <. 用数学归纳法证明：①当3n =时，30c <显然成立， ②假设当()3n k k =≥时，0k c <，那么当1n k =+时，()11212212.k k k n n c c q q q q q q ---+=+-<-=- 因为12q <<，3k ≥，所以2120.k q--<所以10.n c +<所以当1n k =+时，10n c +<成立.由①、②所述，当3n ≥时，恒有0n c <. ………………………… 14分。