基本不等式综合检测

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基本不等式专题训练试卷

基本不等式专题训练试卷一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a,b∈ R，且ab > 0，则下列不等式中，恒成立的是（）A. a + b≥slant2√(ab)B. (1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))C. (b)/(a)+(a)/(b)≥slant2D. a^2+b^2>2ab解析：- 选项A：当a <0，b <0时，a + b≥slant2√(ab)不成立，因为a + b<0，2√(ab)>0。

- 选项B：当a <0，b <0时，(1)/(a)+(1)/(b)<0，(2)/(√(ab))>0，所以(1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))不成立。

- 选项C：因为ab>0，则(b)/(a)>0，(a)/(b)>0，根据基本不等式(b)/(a)+(a)/(b)≥slant2√(frac{b){a}×(a)/(b)} = 2，当且仅当a = b时取等号，该式恒成立。

- 选项D：当a=b时，a^2+b^2=2ab，所以a^2+b^2>2ab不恒成立。

所以答案是C。

2. 已知x>0，y>0，且x + y=1，则(1)/(x)+(1)/(y)的最小值为（）A. 2B. 2√(2)C. 4D. 2 + 2√(2)解析：因为x + y = 1，x>0，y>0，则(1)/(x)+(1)/(y)=(x + y)/(x)+(x +y)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)。

根据基本不等式(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2√(frac{y){x}×(x)/(y)}=2，当且仅当x=y=(1)/(2)时取等号。

所以(1)/(x)+(1)/(y)=2+(y)/(x)+(x)/(y)≥slant2 + 2=4，答案是C。

3. 设a>0，b>0，若√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(1)/(a)+(1)/(b)的最小值为（）A. 8B. 4C. 1D. (1)/(4)解析：因为√(3)是3^a与3^b的等比中项，则(√(3))^2=3^a×3^b=3^a + b，所以a + b = 1。

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第三章综合检测一、选择题4．设M ＝a ＋1a －2(2＜a ＜3)，N ＝log 0.5(x 2＋116)(x ∈R)那么M 、N 的大小关系是( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定 [答案] A[解析] M ＝a ＋1a －2＝a －2＋1a －2＋2＞4，(∵2＜a ＜3)N ＝log 0.5(x 2＋116)＜log 0.5116＝4，∴M ＞N .5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 x ≤0－x ＋2 x >0则不等式f (x )≥x 2的解集为 ( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2] [答案] A[解析] 本题考查分段函数的概念及一元二次不等式的解法．解法一：(排除法)当x ＝2时，f (x )＝0，不等式f (x )≥x 2不成立，排除B 、D 选项；当x ＝－2时f (x )＝0，不等式f (x )≥x 2不成立，排除C 选项．解法二：(直接法)当x ≤0时，原不等式化为x ＋2≥x 2， ∴－1≤x ≤2，又∵x ≤0，∴－1≤x ≤0；当x >0时，原不等式化为－x ＋2≥x 2， ∴－2≤x ≤1，又∵x >0，∴0<x ≤1，综上可知，不等式f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．6．如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，则点(a ，b )在aOb 平面上的区域(不含边界)为( )[答案] C[解析] 由题意知Δ＝b 2－4a 2>0 ∴(b －2a )(b ＋2a )>0 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －2a >0b ＋2a >0或⎩⎪⎨⎪⎧b －2a <0b ＋2a <0画图知选C. 7．已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ， β＝b ＋1b则α＋β的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6 [答案] C[解析] 由题意a ＋b ＝1，则α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋1ab ≥1＋1(a ＋b 2)2＝5.8．设b ＞a ＞0，a ＋b ＝1，则下列四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中，最大的数是 ( )A.12B ．BC ．2abD ．a 2＋b 2 [答案] B[解析] 因为b ＞a ＞0，a ＋b ＝1，所以0＜a ＜12＜b ＜1，a 2＋b 2＞2ab .又因为a 2＋b 2－b ＝a 2＋b (b －1)＝a 2－ab ＝a (a －b )＜0. 所以a 2＋b 2＜b ，故四个数中最大的数是b .9．(2008·湖北理)函数f (x )＝1xln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( )A ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)B ．(－4,0)∪(0,1)C ．[－4,0)∪(0,1]D ．[－4,0)∪(0,1) [答案] D[解析] 特值检验法．x ＝1时，x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4＝0无意义，排除C ； x ＝3时，－x 2－3x ＋4<0，排除A ；x ＝－4时，f (x )有意义，排除B ，∴选D. 直接解法：要使函数有意义，须 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0x 2－3x ＋2≥0－x 2－3x ＋4≥0x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4≠0，∴－4≤x <0或0<x <1.10．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≤0x (x －a )≥0与不等式(x －2)(x －5)≤0同解，则a 的取值范围是( )A ．a ＞5B ．a ＜2C ．a ≤5D ．a ≤2[答案] D[解析] 由(x －2)(x －5)≤0可得2≤x ≤5，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －5)≤0x (x －a )≥0的解集为{x |2≤x ≤5}．∴[2,5]⊆[a ，＋∞)，故a ≤2.11．设f (x )＝3ax －2a ＋1，若存在x 0∈(－1,1)，使f (x 0)＝0则实数a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜15B ．a ＜－1C ．a ＜－1或a ＞15D ．a ＞15[答案] C[解析] 由题意知f (－1)f (1)＜0，∴(－5a ＋1)(a ＋1)＜0， ∴a ＜－1或a ＞15.12．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2000元B ．2200元C ．2400元D ．2800元 [答案] B[解析] 设需甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，x ∈N *y ≤8，y ∈N *20x ＋10y ≥100，作出其可行域如图所示．可知目标函数z ＝400x ＋300y 在点A 处取最小值，z ＝400×4＋300×2＝2200(元)．二、填空题13．不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为____________．[答案] [－3,1][解析] 不等式2x 2＋2x －4≤12化为2x 2＋2x －4≤2－1，∴x 2＋2x －4≤－1，∴x 2＋2x －3≤0， ∴－3≤x ≤1，∴原不等式的解集为[－3,1]．14．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}则关于x 的不等式bx 2－ax －2＞0的解集为________________．[答案] {x |x ＞1或x ＜－2}[解析] ∵ax 2＋bx ＋2＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，∴⎩⎨⎧2a ＝－2－b a＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1.∴bx 2－ax －2＞0，即x 2＋x －2＞0，解得x ＞1或x ＜－2.15．已知实数x ，y 满足2x ＋y ≥1，则u ＝x 2＋y 2＋4x －2y 的最小值为________．[答案] －95[解析] 由u ＝x 2＋y 2＋4x －2y ＝(x ＋2)2＋(y －1)2－5知，u 表示点P (x ，y )与定点A (－2,1)的距离的平方与5的差．又由约束条件2x ＋y ≥1知，点P (x ，y )在直线l ：2x ＋y ＝1上及其上方．问题的转化为求定点A (－2,1)到由2x ＋y ≥1所确定的平面区域G 的最近距离．故A 到直线l 的距离为A 到区域G 上点的距离的最小值．d ＝|2×(－2)＋1－1|22＋12＝45，∴d 2＝165，∴u min ＝d 2－5＝－95.16．当x ＞1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的最大值为________．[答案] 3[解析] x ＋1x －1≥a 恒成立⇔(x ＋1x －1)min≥a∵x ＞1即x －1＞0∴x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)·1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．∴a ≤3即a 的最大值为3. 三、解答题17．知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围．[解析] 当a 2－4＝0，即a ＝±2.若a ＝2时，原不等式化为4x －1≥0，∴x ≥14.此时，原不等式的解集不是空集．若a ＝－2时，原不等式化为－1≥0，无解．此时，原不等式的解集为空集．当a 2－4≠0时，由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0Δ＝(a ＋2)2－4(a 2－4)×(－1)<0， ∴－2<a <65. 综上所述，a 的取值范围为－2≤a <65.18．已知x ，y 都是正数．(1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值； (2)若x ＋2y ＝3，求1x ＋1y的最小值．[解析] (1)xy ＝16·3x ·2y ≤16⎝⎛⎭⎫3x ＋2y 22＝6.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＝2y ，3x ＋2y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3时取“＝”号．所以当x ＝2，y ＝3时，xy 取得最大值6.(2)1x ＋1y ＝13(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ＝13⎝⎛⎭⎫3＋x y ＋2y x ≥13⎝⎛⎭⎫3＋2x y ·2y x ＝1＋223.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x y ＝2y xx ＋2y ＝3即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32y ＝3－322时，取“＝”号．所以，当x ＝－3＋32，y ＝3－322时，1x ＋1y 取得最小值1＋223.19．设z ＝2x ＋y ，变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25，x ≥1求z 的最大值与最小值．[解析] 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1的可行域如图，将目标函数z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，直线y ＝－2x ＋z 是斜率k ＝－2的平行线系，z 是它们的纵戴距．作平行直线过平面区域内的点A 、B 时直线的纵截距取最值．求A 、B 点坐标，代入z ＝2x ＋y ，过A 点时z max ＝12，过B 点时z min ＝3.20．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？[解析] 解法一：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝9000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a >0，b >0.广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18500＋25a ＋40b ≥18500＋225a ·40b ＝18500＋21000ab ＝24500.当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75.即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24500，故广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小．解法二：设广告的高和宽分别为x cm 、y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18000，由此得y ＝18000x －20＋25广告的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫18000x －20＋25＝18000xx －20＋25x整理得S ＝360000x －20＋25(x －20)＋18500.因为x －20>0所以S ≥2360000x －20＋25(x －20)＋18500＝24500.当且仅当360000x －20＝25(x －20)时等号成立，此时有(x －20)2＝14400(x >20) 解得x ＝140代入y ＝18000x －20＋25，得y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24500.故广告的高为140cm ，宽为175cm 时，可使广告的面积最小．21．已知函数f (x )＝x 2ax ＋b(a 、b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式； (2)设k >1，解关于x 的不等式f (x )<(k ＋1)x －k2－x.[解析] (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b－x ＋12＝0，得⎩⎨⎧93a ＋b ＝－9164a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2.∴f (x )＝x 22－x(x ≠2)(2)原不等式即为x 22－x <(k ＋1)x －k2－x ，可化为x 2－(k ＋1)x ＋k 2－x<0.即(x －2)(x －1)(x －k )>0.①当1<k <2时，1<x <k 或x >2; ②当k ＝2时，x >1且x ≠2； ③当k >2时，1<x <2或x >k .综上所述，当1<k <2时，原不等式的解集为{x |1<x <k 或x >2}；当k ＝2时，原不等式的解集为{x |x >1且x ≠2}；当k >2时，原不等式的解集为{x |1<x <2或x >k }．22．如图，公园要把一块边长为2a 的等边三角形ABC 的边角地修成草坪，DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上．(1)设AD ＝x (x ≥a )，DE ＝y ，试用x 表示函数y ；(2)如果DE 是灌溉水管，希望它最短，DE 的位置应该在哪里？[解析] (1)∵△ABC 的边长为2a ，D 在AB 上，且x ≥a ，∴a ≤x ≤2a .∵S △ADE ＝12S △ABC∴12x ·AE ·sin60°＝12·12(2a )2sin60° ∴AE ＝2a 2x.在△ADE 中，由余弦定理得y 2＝x 2＋AE 2－2x ·AE ·cos60°＝x 2＋4a 4x2－2a 2∴y ＝x 2＋4a 4x2－2a 2(a ≤x ≤2a )．(2)令x 2＝t (a 2≤t ≤4a 2)，则y ＝t ＋4a 4t－2a 2∵t ＋4a 4t －2a 2≥2t ·4a4t－2a 2＝2a 2∴y ≥2a 2＝2a . 当且仅当t ＝4a 4t，即t ＝2a 2时，取“＝”号，故y min ＝2a ，此时x ＝2a ，所以以A 为基点，分别在AB 、AC 上截取AD ＝AE ＝2a 时，线段DE 最短．基本不等式一、基础夯实1.已知x ,y ∈R ,且2x 2+y 2-4x ≤0,则 ( )A.y 2>4xB.y 2<4xC.y 2≥4xD.y 2≤4x 2.已知三个不等式:ab >0,-bda c -<,bc >ad ,以其中两个作条件，余下一个作结论，可以组成正确命题的个数是 ( ) A. 0 B.1 C.2 D.3３.对于x ∈［0,1］的一切值，则a +2b >0是使ax +b >0恒成立的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件４.某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ,则有 ( ) A.x =21(a+b ) B.x ≤21(a +b ) C.x >21(a +b ) D.x ≥21(a +b ) ５.若不等式x +2xy ≤a (x +y )对一切正数x ,y 恒成立，则正数a 的最小值为 ( )A.1B.2C.212+D.22+1 ６.建造一个容积为8 m 3,深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元，那么水池的最低总造价为( )元.A.1000B.1500C.2000D.2500７.设x ,y 是满足2x +y =20的正数,则lg x +lg y 的最大值是 ( ) A.50 B.2 C.1+lg5 D.18.已知正数a ,b 满足ab =a +b +5,则ab 的取值范围是 ( )A.［7+6,+∞)B.［7-6,+∞)C.［7+26,+∞)D.［7-26,+∞) 二、思维激活9.点P (x ,y )是直线x +3y -2=0上的动点,则代数式3x +27y 的最小值是 . 10.如果|x |≤4π,则函数f (x )=cos 2x +s in x 的最大值是 . 11.如果圆柱轴截面的周长L 的定值，则圆柱体积的最大值为 .12.某厂年产值第二年比第一年增长的百分率为P 1，第三年比第二年增长的百分率为P 2，第四年比第三年增长的百分率为P 3，若P 1+P 2+P 3为定值，则年平均增长率的百分率P 的最大值为 . 三、能力提高13.已知2b +ab +a =30(a >0,b >0),求y =ab1的最小值. 14.求函数y =1)2)(5(+++x x x (x >-1)的值域.15.已知:a >b >0,求2223196bab b a b a -+-的最小值.16.甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米／时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v (千米／时)的平方成正比，比例系数为b ;固定部分为a 元. (1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米／时)的函数，并指出该函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶.第2课基本不等式习题解答1.D 因2x 2≤4x -y 2成立,故必有4x -y 2≥0即y 2≤4x .2.D 可逐一检验.３.B 由条件,x =0时,b >0,x =1时,a +b >0⇒a +2b >0. ４.B 由(1+x )2=(1+a )(1+b )≤(1+2b a +)2. ５.B 2xy ≤(a -1)x +ay 恒成立,而(a -1)x +ay ≥2xy a a )1(-,令2xy =2xy a a )1(- ,a (a -1)=2,∴a =2.６.C 设池底的一边长为x m,总造价为y 元,则池底的邻边之长为x 4 m,由条件得:y =180·x ·x4 +80·2(2x +x 8)=720+320(x +x4)≥720+320·2·x x 4+=2000.7.C lg x +lg y =lg xy =lg x ·(20-2x )=lg ［2·x ·(10-x )］≤lg ［2·2210⎪⎭⎫⎝⎛-+x x =lg50=1+lg5.8.C 由ab =a +b +5≥2ab +5,得(ab )2-2ab ≥5(ab -1)2≥6ab ≥7+26 . 9.3x +27y =32-3y +33y ≥2y y33233∙-=6,,故最小值为6.10.f (x )=1-sin 2x +sin x =1+sin x (1-sin x )≤1+(21)2=45. 11.4R +2h =L 为定值，故V 柱=πR 2·h =π·(2R )·(2R )·(2h )·81≤8π·33222⎪⎭⎫ ⎝⎛++h R R =8π ·(3L )3=2161πL 3为所求最大值.12.由题意:(1+P 1)·(1+P 2)·(1+P 3)=(1+x )3,∴(1+x )3≤332113⎪⎭⎫⎝⎛+++P P P , ∴x ≤31(P 1+P 2+P 3),故P 的最大值为31(P 1+P 2+P 3). 13.∵2b +ab +a =30,∴30≥ab +22·ab ,∴-52 ≤ab ≤32,当且仅当a =2b 时,取等号,解方程组⎩⎨⎧=++=3022a ab b b a 得a =6且b =3⇒y min =181. 14.∵x >-1,∴x +1>0,令m =x +1,则m >0且y =54)1)(4(++=++mm m m m ≥2m m 4∙+5=9,当且仅当m =2时取等号,故y min =9.又当m →∞时,y →∞,故原函数的值域是［9,+∞). 15.因为a >b >0所以a -b >0)(196)(196)(196222223b a b a b a b b a b a bab b a b a -+=-+-=-+-而b ·(a -b )=[]2)(b a b -≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b a b =42a (当且仅当b =a -b 即2b =a 时取等号).故b ·(a -b )有最大值42a . 故原式=a 2+)(196b a b -∙≥a 2+24196a ⨯≥2224196a a ⨯∙=56.(当且仅当a 2=24196a⨯,2b =a ,即a =27,7=b 时取等号).故原式的最小值为56. 16.(1)由条件知:汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为s ／v ,全程运输成本为y =a ·vs +bv 2·vs =s (va+bv ),故所求函数及定义域为:y =s ·(va+bv ),v ∈(0,c ). (2)因s 、a 、b 、v 都为正数，故有s ·(v a +bv )≥2s ·ab ,当且仅当va=bv ,即v =b a 时取等号.，若b a ≤c ,则当v =b a 时,全程运输成本y 最小; 若b a >c ,当v ∈(0,c ］时有s ·(v a +bv )-s ·(c a +bc )=s ·［a ⎪⎭⎫⎝⎛-c v 11+b (v -c )］=vc s ·(c -v )·(a -bcv ). 因为c -v ≥0且a >bc 2,故a -bcv >a -bc 2>0. 所以s ·⎪⎭⎫⎝⎛+bv v a ≥s ⎪⎭⎫⎝⎛+bc c a . 当且仅当v =c 时等号成立，也即v =c 时，全程运输成本y 最小; 综上所述知：为使全程运输成本y 最小，当ba≤c 时,行驶速度应为v =b a ;当ba >c 时,行驶速度应为v =c。

基本不等式综合练习

专题五《基本不等式》综合检测一、选择题1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是（）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0ab <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是（）Ａ．12 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为（）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B.C.D. 5. 若x , y 是正数，且141x y +=，则xy 有（）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6、已知正数x 、y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是（）Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．107. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是（）A ．114x y ≤+B ．111x y+≥ C 2≥ D ．11xy ≥8. a ,b 是正数，则2,2a b ab a b ++三个数的大小顺序是（）Ａ．22a b ab a b +≤≤+ 22a b ab a b +≤≤+Ｃ．22ab a b a b +≤≤+ Ｄ．22ab a b a b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是（）Ａ．4y x x=+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为A 、11{|}32x x -<<B 、11{|}32x x x <->或 C 、{|32}x x -<< D 、{|32}x x x <->或二、填空题1．不等式0121>+-x x 的解集是 2．已知x ＞2，则y ＝21-+x x 的最小值是． 3．对于任意实数x ，不等式23208kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是三、解答题1. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c---≥2. 若1->x ，则x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为多少？3.某场拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元。

基本不等式练习题

基本不等式练习题1. 判断下列不等式的真假，并给出证明：a) 对于任意正实数x，有x+1 > xb) 对于任意非零实数x和y，有x^2 > xyc) 对于任意正实数x和y，有x^3 + y^3 > xy解答：a) 不等式x+1 > x对于任意正实数x都成立。

首先，考虑不等式左侧的值x+1，它可以通过将x+1按照加法的定义进行展开，得到x+1 =x + (1 + 0) = (x + 1) + 0 > x + 0 = x。

因此，不等式左侧的x+1的值大于x。

b) 不等式x^2 > xy对于任意非零实数x和y都成立。

首先，考虑不等式的左侧x^2，它可以通过将x^2按照乘法的定义进行展开，得到x^2 = x * x。

由于x是非零实数，所以x*x的值大于0。

另一方面，考虑不等式的右侧xy，由于x和y是非零实数，所以xy的值不可能为0。

因此，不等式左侧x^2的值大于右侧xy。

c) 不等式x^3 + y^3 > xy对于任意正实数x和y都成立。

首先，考虑不等式的左侧x^3 + y^3，它可以通过将x^3 + y^3按照加法的定义进行展开，得到x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)。

由于x和y都是正实数，所以x+y的值大于0。

另一方面，考虑不等式的右侧xy，由于x和y是正实数，所以xy的值大于0。

因此，不等式左侧x^3 + y^3的值大于右侧xy。

2. 解决下列不等式，并给出解集：a) |2x - 3| > 4b) (x + 2)(x - 3) < 0解答：a) 首先，将不等式|2x - 3| > 4拆分成两个不等式2x - 3 > 4和2x - 3 < -4。

解第一个不等式得到2x > 7，即x > 3.5。

解第二个不等式得到2x < -1，即x < -0.5。

因此，根据不等式的定义域和解集的定义域，解集为x < -0.5 或 x > 3.5。

基本不等式综合测试(A)卷答案与提示

一ｏ２５（ｚ＋）＋２．５（ｏ．３ｚ＋ｏ．１）。
取得最大值时，２最大。
＋Ｏ３ｎ一１，
．
ｆｍ — Ｏ．２５，
Ｉ，（１）一３ —２口 ≥ｏ
解得１＜
，
口≤ ÷。
亚滁：＝｜Ｊ＝Ｌ队
‘
’队２
一
ｚ。－３ｘｙ＋４ｙ。
、
１
一
、
，、
＾ｌ
～
．、．
，４
值为
。 Biblioteka 詈＋一３一～～≥ ４， ≤ …
２
＇ｕ－４４
一
脚
一
／１
…
、．
，
，
解答题
１），￣ａｒｉｎ
ｍ＂
－
４；
４Ｘ（２口＋２）＜ｏ，解得一１＜
口＜１，此时有
Ｍ一，满足Ｍｍ＿Ｅ１，４３；（２）当 △一０时，解
５Ｏ・设投资人分别用ｚ万元、Ｙ万元投资
甲、乙两个项目，则由题意知：
得口一一专或口一１，时对应的Ｍ一｛一１）或
一 ■广 ’
［告，＋ｏ。）
３６．１提示：由
… 一
当一儡
一３ｘｙ＋４ｙ。一２— ０得
一
且ｚ＋２２一，即一，
的最大
一
：
。…
一
一

基本不等式综合测试题

（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16．4
【分析】
【详解】
A.由基本不等式可知，故A不正确；
B. ，即恒成立，故B正确；
C.当时，不等式不成立，故C不正确；
D.当时，不等式不成立，故D不正确.
故选：B.
8．C
【分析】
将所求式子整理为，利用，配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值.
【详解】
，，
（当且仅当，即时取等号），
【详解】
分别令排除A，D．选项C等号不成立，排除C.（即不合题意.）
对于B选项，，所以B选项正确.
故选：B．
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式判断不等式是否成立，属于基础题.
3．C
【分析】
由题意可得 ,可得 ,利用基本不等式求最小值,并验证等号成立即可.
【详解】
解:已知 ,则
,
当且仅当 ,即时等号成立.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

不等式综合练习(含答案)

一、选择题（每小题6分，共42分） 1.不等式ax 2+5x+c>0的解集为（21,31），那么a,c 为（） A.a=6,c=1 B.a=-6,c=-1 C.a=1,c=6 D.a=-1,c=-6 答案：B解析：由题意得21,31为方程ax 2+5x+c=0的两根是a<0. 故2131+=-ac a =⨯2131,5, ∴a=-6,c=-1.2.不等式|x-1|+|x-2|≤3的最小整数解是（）A.0B.-1C.1D.2 答案：A解析：将x=-1代入不等式知不成立，将x=0代入不等式成立，故选A. 3.不等式|x+1|(2x-1)≥0的解集为（）A.［21，+∞） B.（-∞,-1]∪［21,+∞) C.{-1}∪［21，+∞） D.［-1，21］答案：C解析：当|x+1|=0即x=-1时不等式成立，当|x+1|≠0时不等式等价于2x-1≥0，即x ≥21. 4.设a>0,不等式|ax+b|<c 的解集是{x|-2<x<1},则a ∶b ∶c 等于（） A.1∶2∶3 B.2∶1∶3 C.3∶1∶2 D.3∶2∶1 答案：B解析：|ax+b|<c a c b --⇔<x<a b c -，故a c b --=-2,abc -=1即a ∶b ∶c=2∶1∶3.5.设U=R ，A={x|mx 2+8mx+21>0},A=∅,则m 的取值范围是（）A.0≤m<1621 B.m>1621或m=0 C.m ≤0 D.m ≤0或m>1621答案：A 解析：∵A=∅,∴A=R,即mx 2+8mx+21>0恒成立. 当m=0时，不等式恒成立. 当m ≠0时，则⇒⎩⎨⎧<⨯-=∆>0214)8(,02m m m 0<m<1621.∴m 的取值范围为［0，1621）. 6.已知a>0,集合A={x||x+2|<a},B={x|a x>1},若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是（） A.（2，+∞） B.（0，1）C.（0，1）∪（2，+∞）D.(0,1)∪（1，+∞）答案：C解析：A={x|-a-2<x<a-2}当0<a<1时，B={x|x<0}又a-2<0故此时A ⊆B ，则A ∩B ≠∅. 当a>1时，B={x|x>0},∵A ∩B ≠∅,∴a-2>0,即a>2.∴a 的取值范围为（0，1）∪（2，+∞）. 7.(2010辽宁沈阳模拟，1)若不等式xxa ++12-3≥0的解集是{x|-7≤x<-1},则实数a 等于（） A.0 B.-4 C.-6 D.-8 答案：B 解析：∵不等式xxa ++12≥0，即为1)3(+--x a x ≤0的解集为{x|-7≤x<-1},∴a-3=-7. ∴a=-4.选B.二、填空题（每小题5分，共15分） 8.不等式2||||3+-x x ≥21的解集是__________________.答案：［-34,34］解析：∵|x|+2>0故原不等式为6-2|x|≥|x|+2即|x|≤34,-34≤x ≤34. 9.若关于x 的不等式a 2-4+4x-x 2>0成立时，不等式|x 2-4|<1成立，则正数a 的取值范围是_______. 答案：（0，5-2]解析：a 2-4+4x-x 2>0⇒2-a<x<2+a.|x 2-4|<1⇒-5<x<5,由已知得⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-.52,52a a 即0<a ≤5-2.10.(2010江苏南通一模，14)若不等式|x-4|+|3-x|<a 的解集是空集，则实数a 的取值范围是_____________________. 答案：（-∞,1］解析：由|x-4|+|3-x|≥|x-4+3-x|=1,故原不等式解集为空集，a 的取值范围是（-∞,1］. 三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.(2010福建厦门一中模拟，17)解不等式：|x 2-3x-4|<x+1.解析：不等式等价于⎩⎨⎧>--<--⇔⎪⎩⎪⎨⎧--<+-+<--)2(.032)1(,054,43)1(,1432222x x x x x x x x x x 解①得-1<x<5,解②得x<-1或x>3，故原不等式的解集为{x|3<x<5}. 12.已知|x-1|≤2且|x-a|≤2,求：（1）当a<0时，求x 的范围；（2）若x 的范围构成的集合是空集，求a 的取值范围. 解析：|x-1|≤2⇒-1≤x ≤3. |x-a|≤2⇒-2+a ≤x ≤a+2. (1)当a<0时，a+2<3,-2+a<-1.①当a+2≥-1,即a ≥-3时，x 的取值范围为［a+2,3］; ②当a+2<-1,即a<-3时，x . (2)由题意得 a+2<-1或-2+a>3. 故所求a 的取值范围为a<-3或a>5.13.已知全集U=R ，A={x|x 2-2x-8<0},B={x||x+3|>2},C={x|x 2-4ax+3a 2<0}. (1)C ⊆(A ∩B),求a 的取值范围；（2）C ⊆（A ）∩（B ），求a 的取值范围.解析：A={x|-2<x<4},B={x|x>-1或x<-5}. ∴A ∩B={x|-1<x<4}.当a>0时，C={x|a<x<3a}; 当a=0时，C=∅;当a<0时，C={x|3a<x<a}. (1)若C ⊆A ∩B,则a=0或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥>⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥<.43,1,04,13,0a a a a a a 或∴a ∈［-34,31］. （2）（A ）∩（B ）={x|-5≤x ≤-2}.若C ⊇(A)∩(B),则⎪⎩⎪⎨⎧->-<<.2,53,0a a a∴-2<a<-35,即a ∈(-2,-35). 14.已知a>1,设P ：a(x-2)+1>0,Q:(x-1)2>a(x-2)+1,试寻求使得P 、Q 都成立的x 集合.解析：由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>--->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++-->⇒⎩⎨⎧+->->+-.0)2)((,12,02)2(,12,1)2()1(,01)2(22x a x a x a x a x a x x a x x a 若1<a<2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12a x x ax 或而a-(2-a 1)=a+a 1-2>0,所以a>2-a1, 故x ∈{x|x>2或2-a 1<x<a};若a=2,则有x ∈{x|x>23,且x ≠2};若a>2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12x a x ax 或若x ∈{x|x>a 或2-a1<x<2}. 高三数学单元练习题：不等式（Ⅳ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用素养评价检测含解析5

基本不等式的应用(20分钟35分）1。

某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。

若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品()A。

60件B。

80件 C.100件D。

120件【解析】选B.设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=+≥2=20.当且仅当=（x>0)，即x=80时“="成立.2.若xy是正数,则+的最小值是()A.3 B。

C.4 D。

【解析】选C.+=x2+y2+++=+++≥1+1+2=4。

当且仅当x=y=或x=y=-时取等号.3。

已知m〉0,n〉0,+=1，若不等式m+n≥—x2+2x+a对已知的m,n及任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是(）A.[8，+∞)B。

［3，+∞）C。

（—∞，3] D.（—∞，8]【解析】选D。

因为m+n=（m+n)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即m=3,n=6时等号成立,所以—x2+2x+a≤9，即a≤x2-2x+9=(x-1）2+8，所以a≤8。

4。

已知x>0,y>0,且+=1,则3x+4y的最小值是.【解析】因为x〉0,y〉0,+=1,所以3x+4y=(3x+4y）=13++≥13+3×2=25(当且仅当x=2y=5时取等号),所以(3x+4y）min=25。

答案：255.若a，b均为正实数,且满足a+2b=1,则的最小值为.【解析】a+2b=1,则===+,则（a+2b）=4+3++≥7+2=7+4，当且仅当=,即a=b时取等号.答案：4+76。

共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析，每辆单车的营运累计收入f（x)(单位：元)与营运天数x(x∈N*）满足f(x）=—x2+60x—800.（1)要使营运累计收入高于800元，求营运天数的取值范围；（2)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运收入最大?【解析】（1)要使营运累计收入高于800元，则f（x)>800⇒-x2+60x—800>800⇒(x—40）（x—80)<0⇒40〈x〈80，所以要使营运累计收入高于800元，营运天数应该在(40,80）内取值.(2)每辆单车每天的平均营运收入为y===—x—+60≤-2+60=20，当且仅当x=时等号成立,解得x=40，即每辆单车营运40天，可使每天的平均营运收入最大。

高中数学第3章基本不等式综合检测(苏教版必修5)

苏教版高中数学必修5专题五《基本不等式》综合检测一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是（）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为（）Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 1835. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有（）Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是（）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．111abc++≥ D ．a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是（）A ．114x y ≤+ B ．111x y+≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是（）Ｃ．22ab a ba b ++ Ｄ．22ab a ba b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（）Ａ．2p q x +=Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥10. 下列函数中，最小值为4的是（）Ａ．4y x x=+Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<<Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上.11. 函数y =的最大值为 .13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.一、选择题二．填空题11.1212.3600 13. 1214.对三、解答题15．ab 16. 略 17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)174 18．存在，23c =。

基本不等式练习题

基本不等式练习题一、选择题1. 若a、b均为正数，则下列不等式中正确的是（）A. (a+b)/2 ≥ √(ab)B. (a+b)/2 ≤ √(ab)C. a^2 + b^2 ≥ 2abD. a^2 + b^2 ≤ 2ab2. 已知x > 0，则下列不等式中正确的是（）A. x + 1/x ≥ 2B. x + 1/x ≤ 2C. x 1/x ≥ 0D. x 1/x ≤ 03. 若a、b、c均为正数，且a+b+c=1，则下列不等式中正确的是（）A. a^2 + b^2 + c^2 ≥ 1/3B. a^2 + b^2 + c^2 ≤ 1/3C. a^3 + b^3 + c^3 ≥ 1/3D. a^3 + b^3 + c^3 ≤ 1/3二、填空题1. 若a、b均为正数，且a+b=1，则a^2 + b^2 的取值范围是______。

2. 已知x > 0，则x + 1/x 的最小值是______。

3. 若a、b、c均为正数，且a+b+c=abc，则a+b+c 的最小值是______。

三、解答题1. 设x、y均为正数，证明：x^2 + y^2 ≥ 2xy。

2. 已知a、b均为正数，且a+b=1，求证：(a^2 + b^2) / (a + b) ≥ 1/2。

3. 设x、y、z均为正数，证明：(x+y+z) / (1/x + 1/y + 1/z)≤ (x^2 + y^2 + z^2) / (x + y + z)。

4. 已知a、b、c均为正数，且a+b+c=3，求证：a^2 + b^2 + c^2 ≥ 3。

5. 设x、y均为实数，证明：(x+y)^2 ≤ 2(x^2 + y^2)。

四、应用题1. 在一个矩形中，长比宽大2厘米，如果矩形的周长不超过20厘米，求矩形面积的最大值。

2. 某企业生产两种产品A和B，生产每吨A产品可获利1000元，生产每吨B产品可获利1500元。

若企业每月的生产能力为生产A产品10吨和B产品8吨，且每月的总利润不少于12000元，求该企业每月生产A、B产品的最佳利润分配方案。

不等式综合试卷(含答案)

不等式练习一、选择题1．已知a 、b 、c 满足c b a <<,且ac <0,那么下列选项中不一定成立的（）A ．ac ab >B ．c b a ()-<0C ．cb ab 22< D ．0)(<-c a ac 2．若,111ba <<则下列结论中不．正确的是（）A ．a b b a log log >B ．2|log log |>+a b b aC ．1)(log 2<a bD ．|log log ||log ||log |a b a b b a b a +>+3．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是（）A ．4)11)((≥++ba b a B ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++ D ．b a b a -≥-||4．对于10<<a ，给出下列四个不等式（）①)11(log )1(log aa a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aaaa 111++<④aaaa111++>其中成立的是（）A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④5．设μμ则且,10)(4,4,0,022++-⋅==+≥≥y x y x y x y x 的最值情况是（）A ．有最大值2，最小值2)22(2-B ．有最大值2，最小值0C ．有最大值10，最小值2)22(2-D ．最值不存在6．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值（）A ．3－21B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3 7．已知有则4254)(,252-+-=≥x x x x f x （）A ．25最大值B ．25最小值 C ．1最大值 D ．1最小值8．已知0<a<b<1,则a b 、log b a 、b a1log 的大小关系是（）A ．a a b b balog log 1<<B ．bb aa ab <<log log 1C ．log b a<baa b <1logD ．a b <a b b alog log 1<9．下列命题中，（1）x x 1+的最小值是2，（2）1222++x x 的最小值是2，（3）4522++x x 的最小值是2，（4）xx 432--的最小值2，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．设,,R y x ∈若0<x ·y<1 , 0<x+y<1+xy , 则x ,y 满足条件（）A ．x >1 , y>1B ．0<x<1 , 0<y<1C ．0<x<1 , y<1D ．x>1 , 0<y<1二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知⎩⎨⎧≥〈-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式2)(≤+x x xf 的解集是 .12．若0,0>>b a ，则函数)10(,1)(22<<-+=x xb x a x f 的最小值是 ________. 14．实数已知两个正数x,y 满足x ＋y =4，则使不等式yx 41+≥m ，恒成立的实数m 的取值范围是15．方程()02lg 222=-+-a a x x 有一正根一负根，则实数a 的取值范围是． 16、设1x <，则421x x +-的最大值是_________. 17、已知0,1,23x y x y >>+≤，则()1x y -的最大值是________,121x y +-的最小值是________.18、设,,0a b c >，则232323a b c b c ac a ba bc++++++++的最小值是_________，232323a b ca b c b c a c a b++++++++的最小值是_________.19、若,0x y >，则221122x y y x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是_______，21122x y y x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是_______.20、设[]0,1x ∈，则x +的最小值是_______，x +的最小值是_______.21、已知两非负数,a b 之和为1______，最小值是______；______，最小值是______.22、若正实数,x y 满足26x y xy ++=，则2x y +的最小值是__________，2x y +的最小值是__________.23、若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是______，23a b c ++的最小值是________.参考答案(3)一、选择题（每小题5分，共50分）：8．答：A要点：∵ 0 < a <1 ∴,1011<<>b a 又∴0log 1<b a,∵0<a <b <1, ∴0< a b < 1 , log b a>log b b =1 , ∴log a a b b balog 10log 1<<<< ,应选A 9．答：A要点：当120)1(1022++=+<x x ，x ，，x ，x x 时当错误故无最小值时的最小值是2，（2）正确，当,324544122222-=+++=+x ，x x ，x x 但此时取得最小值时所以4522++x x取不到最小值2，故（3）错误，当)4(,04320故时<-->xx ，x 错误，所以选A 10．答案：B分析：由0<xy<1可知x 、y 同号，且有x+y>0可知x ,y 同正。

基本不等式(同步检测)(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册

2.2　基本不等式（同步检测）一、选择题1.(多选)已知实数a ，b ，下列不等式一定正确的有( )A.a ＋b 2≥abB.a ＋1a ≥2C.|ab ＋ba|≥2 D.2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)22.(多选)下列条件可使b a ＋ab ≥2成立的是( )A .ab>0 B.ab<0C .a>0，b>0D.a<0，b<03.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2C.22D.44.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 m B.6.8 m C.7 mD.7.2 m5.“ab ＜a 2＋b 22”是“a ＞b ＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为（）A.2B.3C.22D.237.如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )A .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一B .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一C .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一D .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一8.已知a>1，则a ＋12，a ，2a a ＋1三个数的大小顺序是( )A.a＋12<a<2aa＋1B.a<a＋12<2aa＋1C.2aa＋1<a<a＋12D.a<2aa＋1≤a＋129.若－4<x<1，则y＝x2－2x＋22x－2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－1二、填空题10.已知x＞3，则x＋4x－3的最小值为________11.设x＞0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为________12.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．13.二十大报告中提到：“我国制造业规模稳居世界第一”．某公司为提高产能，购买一批新型设备，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．三、解答题14.设a，b，c都是正数，求证：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.已知a，b，c都是正数，且abc＝1，证明：1a＋1b≥2c．16.已知正数x，y满足4x＋y－xy＋8＝0．求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．参考答案及解析：一、选择题1.CD　解析：当a＜0，b＜0时，a＋b2≥ab不成立；当a＜0，时，a＋1a≥2不成立；因为|a b＋b a|＝|a b|＋|b a|≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．2.ACD　解析：当且仅当ba＝ab>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD．3.C　解析：由ab＝1a＋2b≥22ab，得ab≥22，当且仅当1a＝2b时取“＝”．4.C　解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则12ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，所以选7 m最合理．5.B　解析：∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＜a2＋b22⇒a≠b，a，b∈R，∴充分性不成立．∵a＞b＞0⇒a2＋b2＞2ab，∴必要性成立．故选B．6.A　解析：∵x＋y＋xy＝3，∴y＋1＝4x＋1，∴x＋y＝x＋1＋4x＋1－2≥2(x＋1)4x＋1－2＝2，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝y＝1时取等号．故选A．7.A　解析：由a＋b≥2ab可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤(c＋d2)2，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab．故选A．8.C　解析：当a，b是正数时，2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22，令b＝1，得2aa＋1≤a≤a＋12．又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，故选C．9.D　解析：y＝x2－2x＋22x－2＝12[(x－1)＋1x－1]，又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．故y＝－12[－(x－1)＋1－(x－1)]≤－1．当且仅当x－1＝1x－1，即x＝0时等号成立．故选D．二、填空题10.答案：7解析：∵x＞3，∴x－3＞0，4x－3＞0．∴x＋4x－3＝x－3＋4x－3＋3≥2(x－3)·4x－3＋3＝7，当且仅当x－3＝4x－3，即x＝5时，x＋4x－3取得最小值7．11.答案：0　解析：y＝x＋22x＋1－32＝(x＋12)＋1x＋12－2≥2(x＋12)·1x＋12－2＝0，当且仅当x＋1 2＝1x＋12，即x＝12时等号成立．所以函数的最小值为0．12.答案：25　解析：设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y m2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤[x＋(10－x)2]2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y取最大值25．13.答案：5，8　解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－(x＋25x)，且x＞0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．三、解答题14.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ba＋ab≥2，ca＋ac≥2，cb＋bc≥2，所以(b a＋a b)＋(c a＋a c)＋(c b＋b c)≥6，当且仅当b a＝a b，c a＝a c，c b＝b c，即a＝b＝c时，等号成立，所以b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.证明：因为a，b，c都是正数，且abc＝1，所以c＝1 ab．所以1a＋1b≥21ab＝2c，当且仅当1a＝1b，即a＝b＝1c时取等号．故1a＋1b≥2c成立．16.解：(1)由题意知x，y为正数，xy－8＝4x＋y≥24xy＝4xy，当且仅当4x＝y，即x＝1＋3，y＝4＋43时等号成立，则(xy)2－4xy－8≥0，解得xy≥2＋23或xy≤2－23(舍去)，所以xy≥(2＋23)2＝16＋83，即xy的最小值为16＋83．(2)由题意知x，y为正数，4x－xy＝－y－8，故x＝y＋8 y－4，因为x＞0，y＞0，所以y＞4，则x＋y＝y＋8y－4＋y＝y＋12y－4＋1＝(y－4)＋12y－4＋5．因为y＞4，y－4＞0，12y－4＞0，(y－4)＋12y－4＋5≥43＋5，即x＋y≥43＋5，当且仅当y－4＝12y－4，即y＝4＋23时等号成立．所以x＋y的最小值为5＋43．。

一元二次二元一次基本不等式章节综合检测专题练习(三)带答案人教版高中数学

高中数学专题复习《一元二次二元一次基本不等式》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．1 ．（汇编年高考福建卷（文））若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ,则y x z +=2的最大值和最小值分别为（）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和02．已知不等式(x +y)(1x + ay )≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A.2B.4C.6D.8(汇编陕西理)3．小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b (a <b),其全程的平均时速为v,则（）A ．a<v<abB ．v=abC ．ab<v <2a b+ D ．v=2a b+（汇编陕西文）4．已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =+的最大值为（）A ．12B ．11C ．3D ．1-（汇编广东理）5．“a c b d +>+”是“a ＞b 且c ＞d ”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(汇编安徽文)6．若0x >，则2x x+的最小值为 . （汇编湖南文）7．“0x >”是“0x ≠”的（）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（汇编浙江文）A 【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．8．若变量,x y 满足约束条件3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，则34z x y =+的最大值是（）A 、12B 、26C 、28D 、339．已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z =－x+y 的取值范围是（A ）(1－3，2) （B ）(0，2) （C ）(3－1，2) （D ）(0，1+3)10．设方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )+2，则f (2) f(0) f(3)大小关系为____________ A ．f (2)＝f (0)<f (3) B ．f (0)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (0)＝f (2)D ．f (0)<f (3)<f (2)11．已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（）（陕西卷10） A ．7B ．5C ．4D ．312．已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是（） A ．（0，11a ） B ． (0，12a ） C ． (0，31a ） D ． (0，32a ）（海南卷6）第II 卷（非选择题）请点击修改第I I 卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．下列四个命题中：①a +b ≥2ab ；②si n 2x +x2sin 4≥4；③设x ，y 都是正数，若yx 91+=1，则x +y 的最小值是12；④若0ab >, 则baa b +≥2，其中所有真命题的序号是___________．14．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为 ▲ ．15．若不等式02〉++c bx ax 的解集为（n m ,）（n m 〈〈0），则不等式02〈++a bx cx 的解集是。

基本不等式检测-2025届高三数学一轮复习

课时跟踪检测(四) 基本不等式一、强基训练，提高自信心1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2ab B.a b ＋b a ≥2C.⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D ．a 2＋b 2>2ab2．已知正数a ，b 满足a 2＋b 2＝13，则a b 2＋3的最大值为( )A ．6B ．8C ．4D ．113．已知5x ＋3y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( )A ．1B ．30C ．60D ．154．(2023·武汉二模)已知正实数x ，y ，则“x ＋y ＝1”是“1x ＋1y ≥4”的() A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若对x >0，y >0，有(x ＋2y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的取值范围是() A ．(－∞，4] B ．(4，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，8]6．设x >0，则函数y ＝2x 2＋x ＋22x ＋1－52的最小值为( )A ．0 B.12C ．－1 D.327．[多选]已知a >0，b >0，且a ＋b ＝ab ，则( )A ．(a －1)(b －1)＝1B ．ab 的最大值为4C ．a ＋4b 的最小值为9D.1a 2＋2b 2的最小值为238．(2023·济南三模)已知正实数a ，b 满足ab ＝4，则1a ＋9b的最小值为________． 9．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg ()a ＋b ，则2ab 的最小值为__________．10．已知x ，y 均为正数，x ＋2y ＝a ，若xy 的最大值为b ，且1≤b ≤2，则满足条件的一个实数a 的值为__________．11．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋xy ＝30，求：(1)xy 的最大值；(2)2x ＋y 的最小值．12.某厂家拟在2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝8－k m ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是4万件．已知生产该产品的固定投入为24万元，每生产一万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍⎝⎛⎭⎫此处每件产品年平均成本按24＋18x x 元来计算. (1)计算k 的值为多少,并将2024年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？二、创优训练，冲刺“双一流”13．已知x ，y 为正实数，则y x ＋16x 2x ＋y的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．814．设0<m <12，若1m ＋21－2m≥k 恒成立，则k 的最大值为( ) A ．16 B ．2 C ．8 D ．115．已知正实数a ，b 满足a 2＋2ab ＋4b 2＝6，则a ＋2b 的最大值为( )A ．2 5B ．2 2 C. 5 D ．216．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：(1)整体观察；(2)整体设元；(3)整体代入；(4)整体求和等．例如，ab ＝1，求证：11＋a ＋11＋b＝1. 证明：原式＝ab ab ＋a ＋11＋b ＝b 1＋b ＋11＋b＝1. 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．请根据阅读材料解答下列问题．(1)已知ab ＝1，求11＋a 2＋11＋b 2的值． (2)若abc ＝1，解方程5ax ab ＋a ＋1＋5bx bc ＋b ＋1＋5cx ca ＋c ＋1＝1.11＋a＋11＋2b的最小值．(3)若正数a，b满足ab＝1，求M＝。

基本不等式练习题(带答案)

基本不等式
，下列不等式恒成立的是
1. 若
（）
A
且，则下列四个数中最大的是
2. 若
（）
Ｃ．2abＤ．a
3.设x>0,（）
Ａ．3 1
( )
4.
5.若x, y xy有（）
Ａ．最大值1616
6.若a,b,c∈R，且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是（）
A
C
则下列不等式中恒成立的是（）
7.若x>0,y>0,且x+
A
8.a,b（）
9.某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设
这两年平均增长率为x，则有（）
10.下列函数中，最小值为4的是（）
11..
12.建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池
底和池壁每m2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.
13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是.
14.若x,y
吗？答.
三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答
应写出需要的文字说明、证明过程和演算步调.
求mx+ny的最大值.
15.
a+b+c=1
16.设a, b,
17.已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求
.
18.是否存在常数c,
任意正数x,y恒成立？试证明你的结论.
《基本不等式》综合检测
一、选择题
二．填空题
.3600 .对三、解答题
15略17。

基本不等式综合练习

基本不等式练习1.已知向量且，若x,y 均为正数，则的最小值为（）A 、24B 、8C 、D 、2.已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是（）A 、3B 、4C 、D 、3.设，且，则的最大值是（）A 、 40B 、10C 、4D 、24.不等式对任意恒成立，则实数x 的取值范围是（）A 、B 、C 、D 、 5.若正数满足，，则的最小值是（）A 、2B 、C 、D 、6.若两个正实数满足，且不等式有解，则实数m 的取值范围是（）A 、B 、C 、D 、7.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是。

8.已知，，则的最小值是。

9．若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是。

10.若直线过点（1，2），则的最小值是。

a =(3,2),b =(x ,1-y )a //b 3x +2y 835392112x >0,y >0x +4y =40lg x +lg y x 2+2x <a b +16b a a ,b Î(0,+¥)(-2,0)(-¥,-2)È(0,+¥)(-4,2)(-¥,-4)È(2,+¥)a ,b 1a +2b =12a -1+1b -22521+4x ,y 1x +4y =1x +4y <m 2-3m (-1,4)(-¥,-1)È(4,+¥)(-4,1)(-¥,0)È(3,+¥)x >1x +1x -1³a a x >0,y >0lg2x +lg8y =lg21x +13y x >0xx 2+3x +1£a a x a +yb =1(a >0,b >0)2a +b11.已知正实数满足，那么的最小值是。

12.已知函数只有一个零点，则的最小值是。