2019中考数学试题分类汇编考点20 等腰三角形、等边三角形和直角三角形(含解析)

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2019年中考数学真题分类汇编—等腰三角形、等边三角形综合运用

【解后反思】如图所示，本题是含有 60°内角的菱形问题的变式，掌握其中等边三角形和全等三角形的判定有助于我们解决此题.
【关键词】等边三角形的判定和性质；全等三角形的判定；存在性问题 3. （湖南省怀化市，8，4 分）等腰三角形的两边长分别为 4cm 和 8cm，则它的周长为（） A. 16cm B. 17cm C. 20cm D. 16cm 或 20cm 【答案】C. 【逐步提示】此题考查等腰三角形的定义和三角形三边的关系.题中给出了等腰三角形的两条边长，而没有明确
BC,CE,EG,GI 在同一直线上，且 AB=2，BC=1，连接 AI,交 FG 于点 Q,则 QI= 。
4 【答案】 3
【逐步提示】本题考查了三角形相似的判定和性质，解题的关键就是掌握三角形相似的判定方法，并能运用三 QI GI
角形相似的性质求线段的长。由四个三角形全等可知∠ACB=∠FGE,则 GQ∥AC,所以 AI CI ,GI 和 CI 的长度
2
又∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=350.
，故答案为 350 .
【解后反思】圆周角定理能有效地把圆心角与圆周角联系起来，即在同圆或等圆中圆周角的度数等于同弧或等
弧所对的圆心角的一半.
【关键词】圆周角定理；等腰三角形的性质。 4. （湖北省黄冈市， 14， 3 分）如图，已知 ΔABC,ΔDCE,ΔFEG,ΔHGI 是四个全等的等腰三角形，底边
分面积的最小，此时每次都要考虑以最大边做斜边才使得剪去的等腰直角三角形面积最大．
【详细解答】解：如图所示，剩余三角形的面积为 24— 1 ´ 4´ 4 — 1 ´ 3 2 ´ 3 2 — 1 ´ 3´ 3 =2．5，故选择

中考数学试题分类汇编考点20 等腰三角形、等边三角形和直角三角形(含解析)

解析）一．选择题（共5小题）1．（xx•湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=∠ACB=35°．故选：B．2．（xx•宿迁）若实数m、n满足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【解答】解：∵|m﹣2|+=0，∴m﹣2=0，n﹣4=0，解得m=2，n=4，解析）当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．故选：B．3．（xx•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故选：C．4．（xx•淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC 交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（）解析）A．4 B．6 C． D．8【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC 于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，∴∠ACB=2∠B，NM=NC，∴∠B=30°，∵AN=1，∴MN=2，∴AC=AN+NC=3，∴BC=6，故选：B．5．（xx•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2 B．3 C．4 D．2【分析】根据直角三角形的性质得出AE=CE=5，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=5，解析）∴AE=CE=5，∵AD=2，∴DE=3，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD=，故选：C．二．填空题（共12小题）6．（xx•成都）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为80°．【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．【解答】解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2=80°，∴顶角为80°．故填80°．7．（xx•长春）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为37 度．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=32°，解析）∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=DC，∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．故答案为：37．8．（xx•哈尔滨）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为130°或90°．【分析】根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，∴∠ADC=130°，当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°，故答案为：130°或90°．9．（xx•吉林）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为36 度．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A=180°，求出即可．解析）【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，∴∠A：∠B=1：2，即5∠A=180°，∴∠A=36°，故答案为：36．10．（xx•淮安）若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于65 °．【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案．【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于50°，又∵等腰三角形的底角相等，∴底角等于（180°﹣50°）×=65°．故答案为：65．11．（xx•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC 于点F，DE=3cm，则BF= 6 cm．解析）【分析】先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，又S△ABC=AC•BF，将AC=AB代入即可求出BF．【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S△ABC=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，∵S△ABC=AC•BF，∴AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案为6．12．（xx•桂林）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是 3 ．【分析】首先根据已知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数，然后根据等腰三角形的判定：等角对等边解答，做题时要注意，从最明显的找起，由易到难，不重不漏．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°∴△ABC是等腰三角形，解析）∠ABC=∠ACB==72°，BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36°，∴在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，在△ABC中，∠C=∠ABC=72°，AB=AC，△ABC是等腰三角形，在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，所以共有3个等腰三角形．故答案为：313．（xx•徐州）边长为a的正三角形的面积等于．【分析】根据正三角形的性质求解．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵AD⊥BC∴BD=CD=a，∴AD==a，面积则是：a•a=a2．14．（xx•黑龙江）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则S n= （）n．解析）【分析】由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形AB n C n的面积．【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1=1，AB=2，根据勾股定理得：AB1=，∴第一个等边三角形AB1C1的面积为×（）2=（）1；∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，∴B1B2=，AB1=，根据勾股定理得：AB2=，∴第二个等边三角形AB2C2的面积为×（）2=（）2；依此类推，第n个等边三角形AB n C n的面积为（）n．故答案为：（）n．15．（xx•湘潭）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD= 30°．解析）【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．又点D是边BC的中点，∴∠BAD=∠BAC=30°．故答案是：30°．16．（xx•天津）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．【分析】直接利用三角形中位线定理进而得出DE=2，且DE∥AC，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出EG以及DG的长．【解答】解：连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=2，且DE∥AC，BD=BE=EC=2，∵EF⊥AC于点F，∠C=60°，∴∠FEC=30°，∠DEF=∠EFC=90°，解析）∴FC=EC=1，故EF==，∵G为EF的中点，∴EG=，∴DG==．故答案为：．17．（xx•福建）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD= 3 ．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AB=×6=3．故答案为：3．三．解答题（共2小题）18．（xx•绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：解析）例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．（1）请你解答以上的变式题．（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．【分析】（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）若∠A为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°﹣2×80°=20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°；故∠B=50°或20°或80°；（2）分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B=（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．解析）19．（xx•徐州）（A类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠C．（B类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求证：AD=CD．【分析】（A类）连接AC，由AB=AC、AD=CD知∠BAC=∠BCA、∠DAC=∠DCA，两等式相加即可得；（B类）由以上过程反之即可得．【解答】证明：（A类）连接AC，∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即∠A=∠C；（B类）∵AB=AC，∴∠BAC=∠BCA，又∵∠A=∠C，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD．解析）【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】。

2019年中考数学专题《等腰三角形》复习试卷含答案解析

2019年中考数学总复习等腰三角形专题综合训练题1．在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°.在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A．7条 B．8条C．9条D．10条2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( )A．80° B．75° C．65° D．45°3. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )A．3 B．4 C．5 D．64. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( )A．6 B．3 C．2.5 D．25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠B AC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．106. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于____．7. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是____．8. 在△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC 中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC 的关于点B的伴侣分割线．(1)如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°.请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；(2)△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x.试探索y与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．9. 如图，抛物线y＝ax2＋bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.(1)求抛物线的表达式；(2)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．解析：第(2)题分别以点C，M，N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)11. 在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，求点F 到直线BC的距离．12. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)点M 是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，求出所有符合条件的点M 的坐标．13. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，CE ⊥BD ，垂足是E ，BA 和CE 的延长线交于点F.(1) 在图中找出与△ABD 全等的三角形，并证明你的结论； (2) 证明：BD ＝2EC.参考答案: 1. C2. D 【解析】∠BCA＝12(180°－∠A)＝75°，∠BCD ＝∠BCA－∠DCA＝∠BCA－∠A＝75°－30°＝45°.3. C【解析】作PQ⊥MN 于Q ，由PM ＝PN 知PQ 垂直平分MN∴MQ＝1.∠AOB＝60°，OP ＝12，∴OQ ＝12OP ＝6，OM＝OQ －MQ ＝6－1＝5. 4. C【解析】如图，以BC 为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE 交AD 于F ，得△ABF 是等腰直角三角形，作EG⊥CD 于G ，得△EGC 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中剪去△ABF，△BCE ，△ECG 得到四边形EFDG ，此时剩余部分的面积最小，最小值为4×6－12×4×4－12×3×6－12×3×3＝2.5，故选C.5. C 【解析】∵AB＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴BD ＝AB 2－AD 2＝4，∴BC ＝2BD ＝8，故选C. 6. 20° 【解析】过点A 作AD∥l 1，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠β.AD∥l 2，从而得到∠DAC＝∠α＝40°.再根据等边△ABC 可得到∠BAC＝60°，∴∠β＝∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝60°－40°＝20°.7. 12° 【解析】设∠A＝x ，∵AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，∴∠A ＝∠AP 2P 1＝∠AP 13P 14＝x ，∴∠P 2P 1P 3＝∠P 13P 14P 12＝2x ，∴∠P 3P 2P 4＝∠P 12P 13P 11＝3x ，……，∠P 7P 6P 8＝∠P 8P 9P 7＝7x ，∴∠AP 7P 8＝7x ，∠AP 8P 7＝7x.在△AP 7P 8中，∠A ＋∠AP 7P 8＋∠AP 8P 7＝180°，即x ＋7x ＋7x ＝180°，解得x ＝12°.8. 解：(1)画图正确，角度标注正确，如图① (2)考虑直角顶点，只有点A ，B ，D 三种情况．当点A 为直角顶点时，如图②，此时y ＝90°－x.当点B 为直角顶点时，再分两种情况：若∠DBC＝90°，如图③，此时y ＝90°＋12(90°－x)＝135°－12x.若∠ABD＝90°，如图④，此时y ＝90°＋x.当点D 为直角顶点时，又分两种情况：若△ABD 是等腰三角形，如图⑤，此时y ＝45°＋(90°－x)＝135°－x.若△DBC 是等腰三角形，如图⑥，此时x ＝45°，45°＜y ＜90°9. 解：(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ，3＝a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，∴抛物线表达式为：y ＝－x 2＋4x (2)点C 的坐标为(3，3)，点B 的坐标为(1，3)，以点C ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M 为直角顶点且M 在x 轴上方时，如图2，CM ＝MN ，∠CMN＝90°，则△CBM≌△MHN，∴BC ＝MH ＝2，BM ＝HN ＝3－2＝1，∴M(1，2)，N(2，0)，由勾股定理得MC ＝22＋12＝5，∴S △CMN ＝12×5×5＝52；②以点M 为直角顶点且M 在x 轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt △NEM 和Rt △MDC ，得Rt △NEM ≌Rt △MDC ，∴MD ＝ME ＝2，EM ＝CD ＝5，由勾股定理得CM ＝22＋52＝29，∴S △CMN＝12×29×29＝292；③以点N 为直角顶点且N 在y 轴左侧时，如图4，CN ＝MN ，∠MNC ＝90°，作辅助线，同理得CN ＝32＋52＝34，∴S △CMN ＝12×34×34＝17；④以点N 为直角顶点且N 在y 轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得CN ＝32＋12＝10，∴S △CMN ＝12×10×10＝5；⑤以C 为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形．综上所述，△CMN 的面积为52或292或17或510. 解：满足条件的所有等腰三角形如下图所示：解析：利用等腰三角形的性质，分别以长度为3的边为等腰三角形的底边和腰长进行分类．11. 解：①如图a ，延长AC ，作FD⊥BC 于点D ，FE ⊥AC 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF＝FE ＝EC.∵在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝AF ，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝12＋12＝2，∴AF ＝ 2.在Rt △AEF 中，(1＋EC)2＋EF 2＝AF 2，即 (1＋DF)2＋DF 2＝(2)2，解得DF ＝3－12；②如图b ，延长BC ，作FD⊥BC 于点D ，延长CA ，作FE⊥CA 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF ＝FE ＝EC.在Rt △AEF 中，(EC －1)2＋EF 2＝AF 2，即(FD －1)2＋FD 2＝(2)2，解得FD ＝3＋12.综上可知，点F 到BC 的距离为3＋12或3－1212. 解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，故抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3 (2)如图，抛物线的对称轴为x ＝－b 2a＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)，C(0，－3)，则MA 2＝m 2＋4，MC 2＝(3＋m)2＋1＝m 2＋6m ＋10，AC 2＝10.①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得m 2＋4＝m 2＋6m ＋10，解得m ＝－1；②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得m 2＋4＝10，得m ＝±6；③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得m 2＋6m ＋10＝10，得m 1＝0，m 2＝－6，当m ＝－6时，M ，A ，C 三点共线，不构成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M 点的坐标为 (1，6)(1，－6)(1，－1)(1，0)13. 解：(1)△ABD≌△ACF，证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠FAC ＝∠BAC＝90°，∵BD ⊥CE ，∠BAC ＝90°，∠ADB ＝∠EDC，∴∠ABD ＝∠ACF，∴△ABD ≌△ACF(ASA)(2)∵△ABD≌△ACF，∴BD ＝CF ，∵BD ⊥CE ，∴∠BEF ＝∠BEC，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠FBE ＝∠CBE，∵BE ＝BE ，∴△FBE ≌△CBE(ASA)，∴CF ＝2CE ，∴BD ＝2CE2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，以边长为a 的等边三角形各定点为圆心，以a 为半径在对边之外作弧，由这三段圆弧组成的曲线是一种常宽曲线．此曲线的周长与直径为a 的圆的周长之比是( )A ．1：1B ．1：3C ．3：1D ．1：22．昆明市有关负责人表示，预计年昆明市的地铁修建资金将达到亿元，将亿用科学记数法表示为（）A.B.C. D.3．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点P 在边AB 上，∠CPB 的平分线交边BC 于点D ，DE ⊥CP 于点E ，DF ⊥AB 于点F ．当△PED 与△BFD 的面积相等时，BP 的值为（）A. B. C. D.4．下列计算的结果是a 6的为（） A ．a 12÷a 2B ．a 7﹣aC ．a 2•a 4D ．（﹣a 2）35．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π6．如图，抛物线()()142L y x t x t =---+：（常数0t >），双曲线6(0)y x x=>.设L 与双曲线有个交点的横坐标为0x ，且满足034x <<，在L 位置随t 变化的过程中，t 的取值范围是（）A ．322t << B ．34t << C ．45t << D ．57t <<7．如图所示的几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC ＝20°，则∠ADC 的度数是( )A ．90°B ．100°C ．110°D ．130°9．如图，一次函数y ＝kx+b 与y ＝x+2的图象相交于点P （m ，4），则关于x ，y 的二元一次方程组2kx y by x -=-⎧⎨-=⎩的解是（）A ．34x y =⎧⎨=⎩B ． 1.84x y =⎧⎨=⎩C ．24x y =⎧⎨=⎩D ． 2.44x y =⎧⎨=⎩10．如图1，△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿折线A→C→B 运动，点Q 从点A 出发以vcm/s 的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v ＝1；②sinB ＝13；③图象C 2段的函数表达式为y ＝﹣13x 2+103x ；④△APQ 面积的最大值为8，其中正确有（）A ．①②B ．①②④C ．①③④D ．①②③④11．已知函数6y x -= 与y ＝﹣x+1的图象的交点坐标是（m ，n ），则11m n+的值为（） A ．﹣16B ．16C ．﹣6D ．612．整数a 满足下列两个条件，使不等式﹣2≤352x +＜12a+1恰好只有3个整数解，使得分式方程135-22ax x x x----＝1的解为整数，则所有满足条件的a 的和为（）A ．2B ．3C ．5D ．6二、填空题13．任意写出一个3的倍数(例如：111)，首先把这个数各数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数重复上述运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数M ，它会掉入一个数字“黑洞”.那么最终掉入“黑洞”的那个数M 是______．14．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是_______.15．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，BC=8，D 、E 两点分别在边BC 、AB 上，将△ABC 沿着直线DE 翻折，点B 正好落在边AC 上的点M 处，并且AC=4AM ，设BD=m ，那么∠ACD 的正切值是______（用含m 的代数式表示）16．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在3x轴的正半轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上.若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A6B7A7的周长是______.17 ______.18．如图，AB是圆O的弦，AB＝，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是_____．三、解答题19．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B（3，0），交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB，⊙O及CB延长线交于点F、G、M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若N为MF中点，求证：NB是⊙O的切线；（3）若F为GE中点，且DE＝6，求⊙O的半径．21．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大.22．已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x＝﹣2时，y＝﹣5；当x＝1时，y＝4(1)求这个二次函数表达式．(2)此函数图象与x轴交于点A，B(A在B的左边)，与y轴交于点C，求点A，B，C点的坐标及△ABC的面积．(3)该函数值y能否取到﹣6？为什么？23．某高速铁路位于某省南部，是国家“八纵八横”高速铁路网的重要连接通道，也是某省“三横五纵”高速铁路网的重要组成部分．东起日照，向西贯穿临沂、曲阜、济宁、菏泽，与郑徐客运专线兰考南站接轨．工程有一段在一条河边，且刚好为东西走向．B处是一个高铁维护站，如图①，现在想过B处在河上修一座桥，需要知道河宽，一测量员在河对岸的A处测得B在它的东北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进300米到达点C处，测得B在C的北偏西30度方向上．（1）求所测之处河的宽度；（结果保留的十分位）（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量河宽的方案，并在图②中画出图形．24．如图，已知△ABC．按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45°，BC ＝2； ①求∠BAD 所对的弧BD 的长；②直接写出AC 的长．25．解不等式组1531x x x +≤⎧⎨->⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答. (Ⅰ)解不等式①，得_________； (Ⅱ)解不等式②，得_________；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(Ⅳ)原不等式组的解集为________.【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．153 14．1215．316． 17．18．20 三、解答题19．（1）y ＝﹣x 2+2x+3；（2）点P 的坐标为（97，127）；（3）当Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似．【解析】【分析】（1）根据点B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A 的坐标，由点B ，C 的坐标可得出直线BC 的解析式，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3），由两地之间线段最短可得出当A，P，O′共线时，PO+PA取最小值，由点O′，A的坐标可求出该最小值，由点A，O′的坐标，利用待定系数法可求出直线AO′的解析式，联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；（3）由点B，C，D的坐标可得出BC，BD，CD的长，由CD2+BC2＝BD2可得出∠BCD＝90°，由点A，C的坐标可得出OA，OC的长度，进而可得出OA OCCD CB=，结合∠AOC＝∠DCB＝90°可得出△AOC∽△DCB，进而可得出点Q与点O重合时△AQC∽△DCB；连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q，则△ACQ∽△AOC∽△DCB，由相似三角形的性质可求出AQ的长度，进而可得出点Q的坐标．综上，此题得解．【详解】（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+PA＝5．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣1，0），Q′（3，3）代入y＝kx+m，得：-k0 33mk m+=⎧⎨+=⎩，解得：3k434m⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AO′的解析式为y ＝34x+34．联立直线AO′和直线BC 的解析式成方程组，得：33y 443x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得：9x 7127y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标为（97，127）．（3）∵y ＝﹣x 2+2x+3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴点D 的坐标为（1，4）．又∵点C 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（3，0）， ∴CD，BC，BD∴CD 2+BC 2＝BD 2， ∴∠BCD ＝90°．∵点A 的坐标（﹣1，0），点C 的坐标为（0，3）， ∴OA ＝1，OC ＝3， ∴OA OC CD CB ==．又∵∠AOC ＝∠DCB ＝90°， ∴△AOC ∽△DCB ，∴当Q 的坐标为（0，0）时，△AQC ∽△DCB ．如图2，连接AC ，过点C 作CQ ⊥AC ，交x 轴与点Q ． ∵△ACQ 为直角三角形，CO ⊥AQ ， ∴△ACQ ∽△AOC ．又∵△AOC ∽△DCB ， ∴△ACQ ∽DCB ，∴AC AQDC DB =AQ=， ∴AQ ＝10，∴点Q 的坐标为（9，0）．综上所述：当Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短确定点P 的位置；（3）分两种情况，利用相似三角形的性质求出点Q 的坐标．20．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）⊙O 的半径是2．【解析】【分析】（1）根据AC 为⊙O 直径，得到∠ADC ＝∠CBA ＝90°，通过全等三角形得到CD ＝AB ，推出四边形ABCD 是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到NB ＝12MF ＝NF ，根据等腰三角形的性质和余角的性质即可得到NB 是⊙O 的切线；（3）根据垂径定理得到DE ＝GE ＝6，根据四边形ABCD 是矩形，得到∠BAD ＝90°，根据余角的性质得到∠FAE ＝∠ADE ，推出△AEF ∽△DEA ，根据相似三角形的性质列比例式得到AE ＝，连接OD ，设⊙O 的半径为r ，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵AC 为⊙O 直径， ∴∠ADC ＝∠CBA ＝90°，在Rt △ADC 与Rt △CBA 中，AC ACAD BC =⎧⎨=⎩，∴Rt △ADC ≌Rt △CBA ， ∴CD ＝AB ， ∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵∠CBA ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形；（2）连接OB ，∵∠MBF ＝∠ABC ＝90°， ∴NB ＝12MF ＝NF ， ∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵OB＝OA，∴∠5＝∠4，∵DG⊥AC，∴∠AEF＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∴OB⊥NB，∴NB是⊙O的切线；（3）∵AC为⊙O直径，AC⊥DG，∴DE＝GE＝6，∵F为GE中点，∴EF＝GF＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴∠FAE+∠DAE＝90°，∵∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠FAE＝∠ADE，∵∠AEF＝∠DEA＝90°，∴△AEF∽△DEA，∴AE EF DE AE，∴AE＝，连接OD，设⊙O的半径为r，∴OA＝OD＝r，OE＝r﹣，∵OE2+DE2＝OD2，∴（r﹣）2+62＝r2，∴r，∴⊙O的半径是2．【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，证得AEF∽△DEA是解决（3）的关键．21．（1）该种水果每次降价的百分率是10%；（2）第10天时销售利润最大；【解析】【分析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润=（售价-进价）×销量-费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；【详解】（1）设该种水果每次降价的百分率是x，10（1﹣x）2=8.1，x=10%或x=190%（舍去），答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）=﹣17.7x+352，∵﹣17.7＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=1时，y有最大值，y大=﹣17.7×1+352=334.3（元），当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，∴y=（8.1﹣4.1）﹣（3x2﹣64x+400）=﹣3x2+60x+80=﹣3（x﹣10）2+380，∵﹣3＜0，∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，∴当x=10时，y有最大值，y大=380（元），综上所述，第10天时销售利润最大.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x 的取值，两个取值中的最大值才是最大利润．22．(1)y ＝x 2+4x ﹣1；(3)函数值y 不能取到﹣6；理由见解析. 【解析】【分析】(1)把x ＝﹣2时，y ＝﹣5；x ＝1时，y ＝4代入y ＝ax 2+4x+c ，求得a 、c 的值即可求得；(2)令y ＝0，解方程求得A 、B 点的坐标，令x ＝0，求得y ＝﹣1，得到C 点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△ABC 的面积；(3)把(1)中求得的解析式化成顶点式，求得函数y 的最小值为﹣5，故函数值y 不能取到﹣6．【详解】解：(1)把x ＝﹣2时，y ＝﹣5；x ＝1时，y ＝4代入y ＝ax 2+4x+c 得48544a c a c -+=-⎧⎨++=⎩，解得11a c =⎧⎨=-⎩，∴这个二次函数表达式为y ＝x 2+4x ﹣1； (2)令y ＝0，则x 2+4x ﹣1＝0，解得x∴A(﹣20)，B(﹣0)，令x ＝0，则y ＝﹣1， ∴C(0，﹣1)，∴△ABC 的面积：12AB•OC＝12(﹣ (3)∵y ＝x 2+4x ﹣1＝(x+2)2﹣5， ∴函数y 的最小值为﹣5， ∴函数值y 不能取到﹣6．【点睛】本题考查了抛物线和x 轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 23．（1）所测之处江的宽度为190.5m ；（2）见解析. 【解析】【分析】解：（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，根据题意得到∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ，求得∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°，得到BF ＝AF ，解直角三角形即可得到结论；（2）构造相似三角形，根据相似三角形的性质得到方程即可得到结论．．【详解】（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，由题意得：∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ， ∴∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°，∴FC ＝300﹣AF ＝300﹣BF （m ），在Rt △BFC 中，tan ∠CBF ＝FCFB， ∴tan30°＝300BFBF-，300BFBF-=，解得：BF ﹣150（3m ），答：所测之处江的宽度为190.5m ；（2）①在河岸取点A ，使B 垂直于河岸，延长BA 至C ，测得AC 做记录， ②从C 沿平行于河岸的方向走到D ，测得CD ，做记录， ③B0与河岸交于E ，测AE ，做记录．根据△BAE ～△BCD ，得到比例线段，从而求出河宽AB ．【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解是关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．24．（1）见解析；（2）①BD ；②AC =【解析】【分析】（1）由“SSS”可证△ABC ≌△ADC ；（2）①由题意可得AC 垂直平分BD ，可得BE=DE ，AC ⊥BD ，由直角三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得∠BAD=2∠BAC=60°，由弧长公式可求弧BD 的长；②由AC=AE+CE 可求解．【详解】证明：（1）由题意可得AB ＝AD ，BC ＝CD ，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）；（2）①∵AB ＝AD ，BC ＝CD ∴AC 垂直平分BD ∴BE ＝DE ，AC ⊥BD ∵∠BCA ＝45°，BC ＝2；∴BE ＝CE ，且∠BAC ＝30°，AC ⊥BD∴AB ＝2BE ＝，AE ∵AB ＝AD ，AC ⊥BD ∴∠BAD ＝2∠BAC ＝60°∴60BD 1803π︒︒⨯⨯==②∵AC ＝AE+CE∴AC +【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，弧长公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 25．(Ⅰ)4x ≤；(Ⅱ)12x >；(Ⅲ)见解析；(Ⅳ)142x <≤. 【解析】【分析】(Ⅰ)直接移项即可得出答案；(Ⅱ)移项，两边同时除以2，即可得答案；（Ⅲ）根据解集在数轴上的表示方法表示出①②的解集即可；(Ⅳ)根据数轴找出两个解集的公共部分即可. 【详解】 (Ⅰ)15x +≤ 移项得：x≤4，故答案为：x≤4 (Ⅱ) 31x x -> 移项得：2x>1，解得：x>12，故答案为：x>12（Ⅲ）不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：(Ⅳ) 由数轴可得①和②的解集的公共解集为142x<≤，故原不等式的解集为：142x<≤，故答案为：14 2x<≤【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，会求一元一次不等式组的解集是解决此类问题的关键．求不等式组的解集，借助数轴找公共部分或遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某商品价格为a 元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（）A.0.96a 元B.0.972a 元C.1.08a 元D.a 元 2．如图，一次函数y=－x 与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相交于点M 、N ，则关于x 的一元二次方程ax 2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确 3．把抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y ＝x 2+5x+6，则a ﹣b+c 的值为（）A.2B.3C.5D.12 4．如图所示，小兰用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH ，作法如下：①分别以点DE 为圆心，大于DE 的长为半径作弧两弧交于F ；②作射线BF ，交边AC 于点H ；③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ；④取一点K 使K 和B 在AC 的两侧；所以BH 就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（）A.①②③④B.④③①②C.②④③①D.④③②①5．在平面直角坐标系中，点P(3,-5)关于原点对称的点的坐标是（）A ．(3,5)B ．(3,-5)C ．(-3,-5)D ．(-3,5)6．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A ．18B ．36C ．41D ．58o7．港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工导，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（）A ．1269×108B ．1.269×108C ．1.269×1010D ．1.269×10118．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线且交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，若AB ＝8cm ，则△DBE 的周长（）A ．B ．cmC ．8cmD ．cm9．如图，在锐角ABC 中，延长BC 到点D ，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN BC ，MN 分别交ACB ∠、ACD ∠的平分线于E ，F 两点，连接AE 、AF .在下列结论中.①OE OF =；②CE CF =；③若12CE =，5CF =，则OC 的长为6；④当AO CO =时，四边形AECF 是矩形.其中正确的是( )A ．①④B ．①②C ．①②③D ．②③④ 10．如图，在菱形中，，，点是这个菱形内部或边上的一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则，（，两点不重合）两点间的最短距离为（）A. B. C. D.11．如图，在Rt ABC ∆中，90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，则Rt ABC ∆的中线CD 的长为（）A.5B.6C.8D.1012．如果方程x 2﹣8x+15＝0的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为（） A.34 B.35 C.45 D.34或35二、填空题13．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为_______。

2020中考数学总复习：三角形基础知识(结合2019中考真题)

90°,BC=6,AC=8,D,E分别为AC,AB的中点, [解析]∵D,E 分别是边 AC,AB 的中
连接DE,则△ADE的面积是
.
点 , ∴ DE ∥ BC,BC=2DE, ∴ △ ADE
∽△ACB,∴△ ADE 与△ ABC 的面
积比为 1∶4.∵△ ABC 的面积=12BC·
AC=
1 2
×6×8=24,
图18-4
例3 (2)[2019·大庆]如图18-5,在△ABC中,BE [答案] B
是∠ABC的平分线,CE是外角∠ACM的平分 [解析]因为∠ACM=∠A+∠ABC,
线,BE与CE相交于点E,若∠A=60°,则∠BEC 所以∠ECM=∠EBC+30°.又因为
是( )
∠ECM=∠EBC+∠BEC,所以
名称中线
高线
图形
性质
重要结论
��
(1)三角形的三条中线的交点在三
BD=⑤ DC =⑥ �� BC 角形的⑦ 内部;(2)中线将三角形
分成两个面积相等的三角形锐角三角形的三条高的交点在三
AD⊥⑧ BC ⑨∠ADC =90°
角形的内部;直角三角形的三条高的 ,即∠ADB=
交点是直角顶点;钝角三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部,
2.三角形的内角、外角 (1)内角和定理: 三角形三个内角的和等于③ 180° . (2)内外角关系: a.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的④ 和 ; b.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 3.边角关系在同一个三角形中,等边对等角,等角对等边,大边对大角,小边对小角.
考点三与三角形有关的重要线段或直线
能组成一个三角形,则a的值可以是( ) [解析]根据三角形的三边关系,得

专题20 等腰、等边三角形问题-2019年中考数学年年考的28个重点微专题(原卷版)

专题20 等腰、等边三角形问题一、基础知识1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．4.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

二、对理解本专题知识点的例题及其解析【例题1】如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．EDCAB【例题2】已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）．求证：AB=AC．【例题3】已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．三、等腰、等边三角形问题训练题及其答案和解析1.已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．2.证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的平分线．求证：BD=CE．3.证明：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF分别是△ABC的高．求证：BE=CF．4.证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是两腰上的中线．5.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．求：CD的长．6．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．求证：BD=14 AB．7.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．8.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．39．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．求证：AD=BC．10．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB= cm．11.已知，如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．求证：AD=CE．12.若实数m、n满足，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A. 12B. 10C. 8D. 613．等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为．14.证明：等腰三角形的两个底角相等15.证明：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合。

2019年中考真题等腰三角形与等边三角形分类汇编(PDF版含解析)

）．
A． 2 3 3
B． 3 3
C． 3 2
D． 2 3 3
【答案】D 【解题过程】连接 OC，
因为 AD DE ， BE DE ，所以 ADC CEB 90 所以 DAC ACD 90 因为 AB 是 O 的直径，所以 ACB 90 ，所以 BCE ACD 90 ，所以 BCE DAC ，
.（2019 浙江省杭州市，19，8 分）(本题满分 8 分) 如图在△ABC 中，AC＜AB＜BC. (1)已知线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P，连接 AP，求证:∠APC= 2∠B. (2)以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧，与 BC 边交于点 Q，连接 AQ.若∠AQC= 3∠B，求∠B 的度数
2
2019 中考试题分类汇编
A． 3 3 2
B． 3 21 7
第
C． 7
D． 13
【答案】B 【解析】如答图，过点 D 作 DM⊥ BC 于点 M，过点 B 作 BN⊥ DC 于点 N，由翻折可知 DC ＝DC＝AD＝2，∠ BDC＝∠B DC ．∵AD＝ AC ＝2，∴△ ADC' 是等边三角形，从而∠ ADC ＝∠B DC ＝∠BDC＝60°．在 Rt
AB 2BC 5 ∴AB= 2BC ,CD= 2CH 2 AD ,∴ CD 2 AD
∵AB＋CD＝2( 5 ＋1)，∴ 5 CD+CD=2( 5 ＋1)，∴CD=2，∴CH= 2
．（2019·常德）在等腰三角形△ABC 中，AB＝AC，作 CM⊥AB 交 AB 于点 M，BN⊥AC 交 AC 于点 N．（1）在图 12 中，求证：△BMC≌△CNB；（2）在图 13 中的线段 CB 上取一动点 P，过 P 作 PE∥AB 交 CM 于点 E，作 PF∥AC 交 NB 于点 F，求证：PE+PF ＝BM；（3）在图 14 中动点 P 在线段 CB 的延长线上，类似（2）过 P 作 PE∥AB 交 CM 的延长线于点 E，作 PF∥AC 交 NB 的延长线于点 F，求证：AM·PF+OM·BN＝AM·PE．

(人教版)2020中考数学试题分类汇编考点20 等腰三角形、等边三角形和直角三角形(含解析)

考点20 等腰三角形、等边三角形和直角三角形一．选择题（共5小题）1．（2019•湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20° B．35° C．40° D．70°【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=∠ACB=35°．故选：B．2．（2019•宿迁）若实数m、n满足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【解答】解：∵|m﹣2|+=0，∴m﹣2=0，n﹣4=0，解得m=2，n=4，当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．故选：B．3．（2019•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故选：C．4．（2019•淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（）A．4 B．6 C．D．8【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，∴∠ACB=2∠B，NM=NC，∴∠B=30°，∵AN=1，∴MN=2，∴AC=AN+NC=3，∴BC=6，故选：B．5．（2019•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠A CB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2 B．3 C．4 D．2【分析】根据直角三角形的性质得出AE=CE=5，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=5，∴AE=CE=5，∵AD=2，∴DE=3，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD=，故选：C．二．填空题（共12小题）6．（2019•成都）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为80°．【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．【解答】解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2=80°，∴顶角为80°．故填80°．7．（2019•长春）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为37 度．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=DC，∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．故答案为：37．8．（2019•哈尔滨）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为130°或90°．【分析】根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，∴∠ADC=130°，当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°，故答案为：130°或90°．9．（2019•吉林）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为36 度．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A=180°，求出即可．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，∴∠A：∠B=1：2，即5∠A=180°，∴∠A=36°，故答案为：36．10．（2019•淮安）若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于65 °．【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案．【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于50°，又∵等腰三角形的底角相等，∴底角等于（180°﹣50°）×=65°．故答案为：65．11．（2019•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF= 6 cm．【分析】先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，又S△ABC=AC•BF，将AC=AB 代入即可求出BF．【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S△ABC=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，∵S△ABC=AC•BF，∴AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案为6．12．（2019•桂林）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是 3 ．【分析】首先根据已知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数，然后根据等腰三角形的判定：等角对等边解答，做题时要注意，从最明显的找起，由易到难，不重不漏．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36°，∴在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，在△ABC中，∠C=∠ABC=72°，AB=AC，△ABC是等腰三角形，在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，所以共有3个等腰三角形．故答案为：313．（2019•徐州）边长为a的正三角形的面积等于．【分析】根据正三角形的性质求解．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵AD⊥BC∴BD=CD=a，∴AD==a，面积则是：a•a=a2．14．（2019•黑龙江）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则S n= （）n．【分析】由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形AB n C n的面积．【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1=1，AB=2，根据勾股定理得：AB1=，∴第一个等边三角形AB1C1的面积为×（）2=（）1；∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，∴B1B2=，AB1=，根据勾股定理得：AB2=，∴第二个等边三角形AB2C2的面积为×（）2=（）2；依此类推，第n个等边三角形AB n C n的面积为（）n．故答案为：（）n．15．（2019•湘潭）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD= 30°．【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．又点D是边BC的中点，∴∠BAD=∠BAC=30°．故答案是：30°．16．（2019•天津）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．【分析】直接利用三角形中位线定理进而得出DE=2，且DE∥AC，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出EG以及DG的长．【解答】解：连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=2，且DE∥AC，BD=BE=EC=2，∵EF⊥AC于点F，∠C=60°，∴∠FEC=30°，∠DEF=∠EFC=90°，∴FC=EC=1，故EF==，∵G为EF的中点，∴EG=，∴DG==．故答案为：．17．（2019•福建）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD= 3 ．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AB=×6=3．故答案为：3．三．解答题（共2小题）18．（2019•绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．（1）请你解答以上的变式题．（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．【分析】（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）若∠A为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°﹣2×80°=20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°；故∠B=50°或20°或80°；（2）分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B=（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．19．（2019•徐州）（A类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠C．（B类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求证：AD=CD．※精品※试卷※【分析】（A类）连接AC，由AB=AC、AD=CD知∠BAC=∠BCA、∠DAC=∠DCA，两等式相加即可得；（B类）由以上过程反之即可得．【解答】证明：（A类）连接AC，∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即∠A=∠C；（B类）∵AB=AC，∴∠BAC=∠BCA，又∵∠A=∠C，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD．※推荐※下载※。

等腰三角形与等边三角形的性质知识点总结

等腰三角形与等边三角形的性质知识点总结等腰三角形和等边三角形是我们在初中数学学习中经常遇到的两种特殊三角形。

它们具有一些独特的性质，这些性质对于我们理解三角形的性质和解题都有很大的帮助。

下面将对等腰三角形和等边三角形的性质进行总结和归纳，帮助大家更好地理解和应用这些知识点。

一、等腰三角形的性质1. 定义：等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

2. 底角和顶角：等腰三角形的两个底角（底边两侧的角）是相等的，称为底角；顶角是等腰三角形的顶点所对的角，也是两个底角。

3. 对称性质：等腰三角形具有对称性，即等腰三角形可以通过一条对称轴分成两个对称部分。

4. 高度：等腰三角形的高度是从顶点到底边的垂直距离，高度所在的线段与底边垂直，并且把底边分为两个相等的线段。

5. 角平分线：等腰三角形的顶角所在的角平分线同时也是底边的中线和高线。

6. 等腰定理：等腰三角形的两个底角相等。

7. 等腰三角形的面积：等腰三角形的面积可以通过高度和底边的长度来计算，公式为：面积 = 底边长度 ×高度 ÷ 2。

8. 等腰三角形的判定：当我们知道一个三角形的两边相等时，可以判断它是否为等腰三角形。

二、等边三角形的性质1. 定义：等边三角形是指三条边长度都相等的三角形。

2. 角度：等边三角形的三个角都是60度。

3. 高度：等边三角形的高度是从顶点到底边的垂直距离，高度所在的线段与底边垂直。

4. 三角形内角和：等边三角形的三个角的和为180度，因为每个角都是60度，所以三角形的三个角相加为180度。

5. 等边定理：如果一个三角形的三边相等，则它是等边三角形。

6. 等边三角形的面积：等边三角形的面积可以通过边长来计算，公式为：面积 = 边长的平方× √3 ÷ 4。

7. 等边三角形的判定：当我们知道一个三角形的三边相等时，可以判断它是否为等边三角形。

三、等腰三角形与等边三角形的关系1. 等腰三角形也可以是等边三角形：当等腰三角形的两个底角为60度时，它就是等边三角形。

初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形

初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。

一、等腰三角形的概念1. 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。

2. 性质（1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）（2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。

（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。

3. 判定（1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形（2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形二、等边三角形1. 定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形。

2. 性质（1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴（2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º（3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。

3. 判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。

三、直角三角形1. 定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2. 性质（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半（4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）3. 判定（1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。

（2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。

（3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形四、基础题型1. 例题1如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？解：连接DE，因为：EF⊥AC，∠C=60º所以∠FEC=30º,因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线所以有：2. 考察知识点（1）等边三角形及内角为60º（2）三角形中位线（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半（4）直角三角形勾股定理3. 解题思路和技巧DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。

2019年中考数学试题汇编—— 等腰三角形与等边三角形2019

一、选择题1. （2019山东省潍坊市，8，3分）如图已知∠AOB，按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．②分别以点C，D为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中错误的是（）A．∠CEO=∠DEO B．CM=MD C．∠OCD=∠ECD D．S四边形OCED=12 CD·OE【答案】C【解析】由作图可知OC=OD，CE＝DE，OE＝OE，所以△OCE≌ODE，∴∠CEO=∠DEO，选项A正确，根据“三线合一”可知，CM=MD，CD⊥OE，所以选项B、D正确；选项C错误；故答案选择C.【知识点】尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质2. （2019浙江省衢州市，7，3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。

这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。

C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是A.60°B.65°C.75°D.80°【答案】D【解析】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因为OC=CD=DE，所以∠O=∠CDO, ∠DCE=∠CED.所以∠DCE=2∠O，∠EDB=3∠O=75°, 所以∠O=25°, ∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°，故选D。

【知识点】等腰三角形的判定等腰三角形的判定三角形内角和三角形外角的性质3.（2019重庆A卷，12，4）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC′沿BD翻折，得到△BDC'，DC'与AB交于点E，连结AC'，若AD＝AC'＝2，BD＝3，则点D到BC'的距离为（）A．233B．721 3C．7D．13【答案】B．【解析】如答图，过点D作DM⊥BC'于点M，过点B作BN⊥DC'于点N，由翻折可知DC'＝DC＝AD＝2，∠BDC＝∠B DC'．∵AD＝AC'＝2，∴△ADC'是等边三角形，从而∠ADC'＝∠B DC'＝∠BDC＝60°．在Rt△BDN中，DN＝12BD＝32，BN＝332，从而C N'＝12．于是，BC'＝22133()()22+＝7．∵BDCS'∆＝1122DC BN BC DM''⋅=⋅，∴DM＝DC BNBC'⋅'＝33227⨯＝3217．故选B．【知识点】翻折；等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；面积桥法．4. (2019山东聊城,11,3分)如图在等腰直角三角形ABC中,∠BAC＝90°,一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O 重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,下列结论中错误的是A.AE+AF＝ACB.∠BEO+∠OFC＝180°C.OE+OF＝2BC D.S四边形AEOF＝12S△ABC第11题图【答案】C【解析】连接AO,易得△AEO≌△CFO,∴AE+AF＝CF+AF＝AC,故A正确；∠BEO+∠OFC＝∠BEO+∠AEO＝180°,故B正确；随着三角形的转动,OE和OF的长度会变化,故C错误；S四边形AEOF＝S△AEO+S△AFO＝S△CFO+S△AFO第12题图第12题答图＝12S △ABC ,故D 正确；故选C.第11题答图【知识点】旋转,三角形全等5. （2019四川宜宾，7，3分）如图，EOF ∠的顶点O 是边长为2的等边ABC ∆的重心，EOF ∠的两边与ABC ∆的边交于E ，F ，120EOF ∠=︒，则EOF ∠与ABC ∆的边所围成阴影部分的面积是( )A B C D 【答案】C 【解析】解：连接OB 、OC ，过点O 作ON BC ⊥，垂足为N ，ABC ∆Q 为等边三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒，Q 点O 为ABC ∆的内心12OBC OBA ABC ∴∠=∠=∠，12OCB ACB ∠=∠． 30OBA OBC OCB ∴∠=∠=∠=︒．OB OC ∴=．120BOC ∠=︒，ON BC ⊥Q ，2BC =，1BN NC ∴==，tan 1ON OBC BN ∴=∠==g12OBC S BC ON ∆∴==g ． 120EOF AOB ∠=∠=︒Q ，EOF BOF AOB BOF ∴∠-∠=∠-∠，即EOB FOC ∠=∠．在EOB ∆和FOC ∆中，30OBE OCF OB OCEOB FOC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()EOB FOC ASA ∴∆≅∆．OBC S S ∆∴==阴影故选：C ．【知识点】三角形的重心；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质6.（2019台湾省，15，3分）如图，ABC ∆中，AC BC AB =<．若1∠、2∠分别为ABC ∠、ACB ∠的外角，则下列角度关系何者正确( )A ．12∠<∠B ．12∠=∠C ．2180A ∠+∠<︒D ．1180A ∠+∠>︒【答案】C【解析】解：AC BC AB =<Q ， A ABC ACB ∴∠=∠<∠，1∠Q 、2∠分别为ABC ∠、ACB ∠的外角，2A ABC ∴∠=∠+∠，2180A A A ABC ACB A ABC ∴∠+∠=∠+∠+∠<∠+∠+∠=︒，故选：C ．【知识点】等腰三角形的性质；三角形的外角性质定理；三角形的内角和7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1. （2019湖南怀化，14，4分）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为【答案】36°.【解析】解：∵等腰三角形的一个底角为72°，∵这个等腰三角形的顶角为180°-72°×2=36°.故答案为36°.【知识点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理2. （2019四川南充，14，4分）在ABC ∆中，AB AC =，40A ∠=︒，则B ∠= ︒．【答案】70【解析】解：AB AC =Q ，B C ∴∠=∠，180A B C ∠+∠+∠=︒Q ，1(18040)702B ∴∠=︒-︒=︒．故答案为70．【知识点】等腰三角形的性质3. （2019甘肃武威，17，4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则它的特征值k = ．【答案】85或14【解析】解：①当A ∠为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：18080502︒-︒=︒， ∴特征值808505k ︒==︒ ②当A ∠为底角时，顶角的度数为：180808020︒-︒-︒=︒∴特征值201804k ︒==︒ 故答案为85或14【知识点】等腰三角形的性质4. （2019贵州黔东南，13，3分）如图，以△ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD ．若∠B ＝40°，∠C ＝36°，则∠DAC 的大小为．【答案】34°【解析】解：∵∠B ＝40°，∠C ＝36°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝104°∵AB ＝BD∴∠BAD ＝∠ADB ＝（180°﹣∠B ）÷2＝70°，∴∠DAC ＝∠BAC ﹣∠BAD ＝34°故答案为：34°．【知识点】等腰三角形的性质5. （2019四川广安，13，3分）等腰三角形的两边长分别为6cm ，13cm ，其周长为 cm ．【答案】32【解析】解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为6cm 时，三角形三边长为6，6，13，6613+<，不能构成三角形；（2）当腰长为13cm 时，三角形三边长为6，13，13，周长213632cm =⨯+=．故答案为32．【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质6.（2019四川绵阳，18，3分）如图，△ABC 、△BDE 都是等腰直角三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，AC ＝4，DE ＝2√2．将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转后得△BD ′E ′，当点E ′恰好落在线段AD ′上时，则CE ′＝．【答案】√2+√6．【解析】解：如图，连接CE ′，∵△ABC 、△BDE 都是等腰直角三角形，BA ＝BC ，BD ＝BE ，AC ＝4，DE ＝2√2，∴AB ＝BC ＝2√2，BD ＝BE ＝2，∵将△BDE 绕点B 逆时针方向旋转后得△BD ′E ′，∴D ′B ＝BE ′＝BD ＝2，∠D ′BE ′＝90′，∠D ′BD ＝∠ABE ′，∴∠ABD ′＝∠CBE ′，∴△ABD ′≌△CBE ′（SAS ），∴∠D ′＝∠CE ′B ＝45°，过B 作BH ⊥CE ′于H ，在Rt △BHE ′中，BH ＝E ′H =√22BE ′=√2，在Rt △BCH 中，CH =√BC 2−BH 2=√6，∴CE ′=√2+√6，故答案为：√2+√6．【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质7. （2019浙江嘉兴，16，4分）如图，一副含30︒和45︒角的三角板ABC 和EDF 拼合在个平面上，边AC 与EF 重合，12AC cm =．当点E 从点A 出发沿AC 方向滑动时，点F 同时从点C 出发沿射线BC 方向滑动．当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长为 cm ；连接BD ，则ABD ∆的面积最大值为．2cm ．【答案】(24-，【解析】解：12AC cm =Q ，30A ∠=︒，45DEF ∠=︒BC ∴=，AB =，ED DF ==如图，当点E 沿AC 方向下滑时，得△E D F '''，过点D '作D N AC '⊥于点N ，作D M BC '⊥于点M90MD N '∴∠=︒，且90E D F '''∠=︒E D NF D M ''''∴∠=∠，且90D NE D MF ''''∠=∠=︒，E D D F ''''=∴△D NE ''≅△()D MF AAS ''D N D M ''∴=，且D N AC '⊥，D M CM '⊥CD '∴平分ACM ∠即点E 沿AC 方向下滑时，点D '在射线CD 上移动，∴当E D AC ''⊥时，DD '值最大，最大值(12CD cm =-=-∴当点E 从点A 滑动到点C 时，点D 运动的路径长2(12(24cm =⨯-=-如图，连接BD '，AD '，AD B ABC AD C BD C S S S S '''∆=+-V V V Q1111(122222AD B S BC AC AC D N BC D M D N ''''∴=⨯+⨯⨯-⨯⨯=-⨯V 当E D AC ''⊥时，AD B S 'V 有最大值，AD B S '∴V 最大值21(122cm =-⨯．故答案为：(24-，【知识点】轨迹；全等三角形的判定和性质；等腰直角三角形的性质；角平分线的性质；三角形的面积 8.9.10.11.12.13.14.15. 16. 17. 18.19.20.21.22. 23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.三、解答题1. （2019重庆A 卷，20，10）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ．（1）若∠C ＝36°，求∠BAD 的度数；（2）求证：FB ＝FE ．【思路分析】（1）先利用“等边对等角”求出∠ABC 的度数，然后利用三角形内角和定理，得到∠BAC 的度数，最后利用“三线合一”性质，即可求出∠BAD 的度数；（2）由角平分线定义，得∠ABE ＝∠CBE ，再由平行线性质，得到∠FEB ＝∠CBE ，从而∠ABE ＝∠FEB ，于是FB ＝FE ．【解题过程】（1）解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝36°．∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝108°．第20题图 F ED CB A∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC．∴∠BAD＝12∠BAC＝54°．（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE．∴∠ABE＝∠FEB．∴FB＝FE．【知识点】等腰三角形的性质与判定；角平分线定义；平行线的性质；三角形内角和定理．2.（2019重庆市B卷，20，10）如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D．（1）若∠C=42°，求∠BAD的度数；（2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE=FE【思路分析】（1）根据∠C=42°,AB=AC结合等腰三角形的性质及内角和180°可得顶角度数．由AD⊥BC根据三线合一推出∠BAD的度数为顶角一半．（2）根据EF∥AC可以得出内错角∠F=∠BAF,利用等角对等边得出结果．（3）考虑到△ABD为直角三角形，也可以结合内角和算出∠BAD．【解题过程】（1）证明：（方法一）：∵AB=AC，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°，∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－42°－42°=96°∵AD⊥BC∴∠BAD=12∠BAC=12×96°=48°（方法二）：∵AB=AC ∠C=42°∴∠B=∠C=42°∵AD⊥BC于点D∴∠ADB=90°∴∠BAD=180°－90°－42°=48°（2）证明：∵EF∥AC∴∠CAF=∠F∵AB=AC，AD⊥BC∴∠CAF =∠BAF∴∠F=∠BAF∴AE=FE【知识点】等腰三角形的性质，平行线性质，三线合一，等边对等角，等角对等边．3. （2019四川省眉山市，21，8分）如图，在四边形ABCD 中AB ∥DC ，点E 是CD 的中点，AE =BE ．求证：∠D =∠C ．【思路分析】根据AE=BE ，求出∠EAB=∠EBA ，根据平行线的性质，可证∠DEA=∠CEB ，进而利用三角形全等的判定和性质即可得证.【解题过程】证明：∵AE=BE ，∴∠EAB=∠EBA ，∵DC ∥AB ，∴∠DEA=∠EAB ，∠CEB=∠EBA ，∴∠DEA=∠CEB ，在△EDA 和△CEB 中，DE CE DEA CEB AE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EDA ≌△CEB （SAS ），∴∠D=∠C.【知识点】等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定4. （2019江苏省无锡市，21，8）如图，在△ABC 中，AB =AC ,点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ；求证：（1）△DBC ≌△ECB ;（2）OC OB =.第21题图【思路分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识.（1）利用边角边证明全等即可；(2)由全等得到等角，再得到等边.【解题过程】解：（1）证明：∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在△DBC 与△ECB 中， BD = CE ，∠DBC =∠ECB ，BC = CB ，∴ △DBC ≌△ECB （SAS ）；(2)证明：由(1)知△DBC ≌△ECB ， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC .【知识点】考查全等三角形的判定和性质；等腰三角形的判定和性质5. 2019浙江绍兴，23，8分）如图1是实验室中的一种摆动装置，BC 在地面上，支架ABC 是底边为BC 的等腰B直角三角形，摆动臂AD 可绕点A 旋转，摆动臂DM 可绕点D 旋转，30AD =，10DM =．（1）在旋转过程中，①当A ，D ，M 三点在同一直线上时，求AM 的长．②当A ，D ，M 三点为同一直角三角形的顶点时，求AM 的长．（2）若摆动臂AD 顺时针旋转90︒，点D 的位置由ABC ∆外的点1D 转到其内的点2D 处，连结12D D ，如图2，此时2135AD C ∠=︒，260CD =，求2BD 的长．【思路分析】（1）①分两种情形分别求解即可．②显然M AD ∠不能为直角．当AM D ∠为直角时，根据222AM AD DM =-，计算即可，当90ADM ∠=︒时，根据222AM AD DM =+，计算即可．（2）连接CD ．首先利用勾股定理求出1CD ，再利用全等三角形的性质证明21BD CD =即可．【解题过程】解：（1）①40AM AD DM =+=，或20AM AD DM =-=． ②显然M AD ∠不能为直角．当AM D ∠为直角时，222223010800AM AD DM =-=-=，AM ∴=(-．当90ADM ∠=︒时，2222230101000AM AD DM =+=+=，AM ∴=(-．综上所述，满足条件的AM 的值为（2）如图2中，连接CD ．由题意：1290D AD ∠=︒，1230AD AD ==，2145AD D ∴∠=︒，12D D =2135AD C ∠=︒Q ，2190CD D ∴∠=︒，1CD ∴=1290BAC A AD ∠=∠=︒Q ，2212BAC CAD D AD CAD ∴∠-∠=∠-∠，12BAD CAD ∴∠=∠，AB AC =Q ，21AD AD =，21()BAD CAD SAS ∴∆≅∆，21BD CD ∴==【知识点】等腰直角三角形的性质；勾股定理；全等三角形的判定和性质6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.。

2019中考数学分类汇编汇总知识点29等腰三角形与等边三角形(第一期)解析版

2 7、选择题1. （20佃山东省潍坊市，8, 3分）如图已知/ AOB ，按照以下步骤作图： ①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交/AOB 的两边于C , D 两点，连接CD .A . Z CEO = Z DEOB . CM = MDC . Z OCD=Z ECD1D . SOCED = CD• OE2【答案】C【解析】由作图可知 OC=OD , CE = DE , OE = OE ,所以△ OCE 也ODECEO= / DEO ，选项 A 正确，根据“三线合一”可知， CM=MD , CD 丄OE ,所以选项B 、D 正确；选项 C 错误；故答案选择 C. 【知识点】尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质2. （20佃浙江省衢州市，7, 3分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。

这个三等分角仪由两根有槽的棒OA , OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动。

C 点固定，OC=CD=DE ，点D , E 可在槽中滑动，若/ BDE=75°,则/ CDE 的度数是A. 60°B.65°C. 75°D. 80°【答案】D【解析】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因为 OC=CD=DE ,所以/ 0= / CDO, / DCE= / CED.所以/ DCE=2 / 0，/ EDB=3 / 0= 75 ° ,所以/ 0= 25° , / CED= / ECD= 50° ,所以 / CDE=180 ° - / CED- / ECD= 180°-50° -50°=80°，故选 D 。

【知识点】等腰三角形的判定等腰三角形的判定三角形内角和三角形外角的性质3. （2019重庆A 卷，12, 4）如图，在△ ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结 BD ，把△ BDC '沿BD 翻折，得到厶BDC' ,DC 与AB 交于点E ,连结AC'，若AD = AC = 2, BD = 3,则点D 到BC 的距离为（）②分别以点C , D 为圆心，以大于线段 OC 的长为半径作弧,两弧在/AOB 内交于点E ,连接CE , DE .3、21D. 13 27【答案】B .【解析】如答图，过点 D 作DM 丄BC 于点M ，过点B 作BN 丄DC •于点N ,由翻折可知 DC = DC = AD = 2，/BDC = Z B DC .••• AD = AC = 2,•••△ ADC'是等边三角形，从而/ ADC ' = Z B DC ' = Z BDC = 60° .在 Rt13 3/3 1△ BDN 中，DN = - BD = - , BN = ，从而 CN =—.于是，BC =22 2 2【知识点】翻折；等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；面积桥法.4. （2019山东聊城，11,3分）如图在等腰直角三角形 ABC 中，/ BAC = 90°，一个三角尺的直角顶点与 BC 边的中点0 重合，且两条直角边分别经过点A 和点B,将三角尺绕点 0按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB ，AC 分别交于点E ，F 时，下列结论中错误的是第11题图【答案】C 【解析】连接 AO,易得△ AEO ◎△ CFO, • AE+AF = CF+AF = AC,故 A 正确；/ BEO+ / OFC =Z BEO+ / AEO = 180 °，故B 正确；随着三角形的转动，OE 和OF 的长度会变化，故C 错误；S 四边形AEOF = S A AEO +S S FO = S^ CFO +S △AFO第i2题图1 2 3： f3 2(?) (2 ) = l 7 .T S BDC2DC BN 中C DM ,•DM=DC 存.故选B .A.AE+AF = ACB. / BEO+ / OFC = 180°第品答图“C.OE+OF =^BC1D.S 四边形 AEOF = ABC 21=一S A ABC,故D正确；故选C.25. （ 2019四川宜宾，7, 3分）如图，.EOF 的顶点O 是边长为2的等边AABC 的重心，.EOF 的两边与AABC 的边交于E , F , . EOF =120，则.EOF 与 ABC 的边所围成阴影部分的面积是（）7 ABC 为等边三角形, .ABC = ACB =60 ,T 点O 为ABC 的内心1.■ OBC 二■ OBA ABC ,2OBA =/OBC »OCB =30 . OB =OC . - BOC =120 ,；ON _BC , BC =2 ,BN 二 NC =1,.ON =tan • OBCLBN 31 3, 33S OBC 」BC[_ON.237 EOF “AOB =120 ,EOF - BOF »AOB - BOF ，即 EOB ^FOC .在 EOB 和 FOC 中, ZOBE /OCF =30 OB =OCA .乜2 【答案】CB .2 ~5~【解析】解：连接OB 、OC ，过点O 作1.OCB ACB .2第11题答图【知识点】旋转，三角形全等CZEOB ZFOC ..：EOB = . ：FOC(ASA).二S.OBC 韦.S阴影故C .选：【知识点】三角形的重心；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质6. （2019台湾省，15 , 3分）如图，.VABC中，AC=BC :: AB .若.1、. 2分别为ZABC、.乙ACB的外角，则下列角度关系何者正确（）A. 1：：：.2B. 1-2C. Z A £2叮80D. Z A G 180【答案】C【解析】解：；AC =BC ：：：AB ,A =/ABC ：：ACB ,1/ 1、• 2分别为• ABC、• ACB的外角，2 二A ABC ,A 2 二A A ABC ：：ACB A ABC =180 ,故选：C.【知识点】等腰三角形的性质；三角形的外角性质定理；三角形的内角和:■、填空题1. （2019湖南怀化，14, 4分）若等腰三角形的一个底角为72 °则这个等腰三角形的顶角为【答案】36°【解析】解：：•等腰三角形的一个底角为72°•••这个等腰三角形的顶角为180°72 °°2=36° .故答案为36°【知识点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理2. （2019 四川南充，14，4 分）在.ABC 中，AB=AC，. A =40，则/ B = .【答案】70【解析】解：；AB 二AC , . . B=/C , 7 A . B C =180 , . B 今（180 _40 ）=70 .故答案为70.【知识点】等腰三角形的性质3. （2019甘肃武威，17, 4分）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值” •若等腰ABC中，.A =80，则它的特征值k二.【答案】8或15 4【解析】解：①当.A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：型5=50 ,280 8•特征值k =50° 5②当.A为底角时，顶角的度数为：180 -80 —80’=2020 °1•••特征值k =丝二180* 4故答案为8或15 4【知识点】等腰三角形的性质，则/ DAC的大小为4. （2019贵州黔东南，13, 3分）如图，以△ ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D,连接【解析】解：•••/ B= 40°,/ C = 36•••/ BAC = 180°—/ B -/ C= 104 •/ AB = BD•/ BAD = / ADB =( 180° -/ B)- 2= 70•/ DAC =/ BAC -/ BAD = 34°故答案为：34°.【知识点】等腰三角形的性质【答案】32【解析】解：由题意知，应分两种情况：(1 )当腰长为6cm时，三角形三边长为6, 6,13, 6 6 ：：:13，不能构成三角形;5 （2019四川广安，13, 3分）等腰三角形的两边长分别为6cm , 13cm，其周长为_____ cm.(2 )当腰长为13cm时，三角形三边长为6，13，13，周长=213・6=：32cm .故答案为32.【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质6. (2019四川绵阳，18, 3分)如图，△ ABC、△ BDE都是等腰直角三角形，BA= BC, BD = BE, AC= 4, DE=2 .将△ BDE绕点B逆时针方向旋转后得△ BD ' E',当点E '恰好落在线段AD '上时，则CE '=【答案】【解析】解：如图，连接CE ',•/△ ABC>△ BDE 都是等腰直角三角形，BA = BC, BD = BE, AC = 4, DE = 2AB = BC= 2 , BD = BE = 2,•••将△ BDE绕点B逆时针方向旋转后得△ BD' E',.D ' B = BE'= BD= 2，/ D ' BE ' = 90',/ D ' BD = Z ABE ',•••/ ABD ' =/ CBE ',•••△ABD ' ◎△ CBE ' ( SAS),•••/ D ' =/ CE ' B= 45°,过B作BH丄CE '于H ,在Rt△ BHE '中，BH = E ' H —BE ' ,在Rt△ BCH 中，CH ,【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质7. ( 2019浙江嘉兴，16, 4分)如图，一副含30和45角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边重合，AC =12cm •当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动. 点A滑动到点C时，点D运动的路径长为cm;连接BD，则ABD的面积最大值为【答案】(24 -12,2) , (24.3 36 2 _12.6)【解析】解：；AC=12cm, ./A=30，乙DEF =45.BC =4』3cm , AB =8.3cm , ED =DF =6.2cm如图，当点E沿AC方向下滑时，得△ EDF •，过点D作D N _ AC于点N，作D M _ BC于点MMD N =90，且EDF =90. EDN = FDM，且DNE = DMF =90 , EDfF.△ DNE =△ D MF (AAS).D N ^D M，且D N _ AC , D M _CM.CD平分ACM即点E沿AC方向下滑时，点D在射线CD上移动，.当ED_AC 时，DD 值最大，最大值=/2ED -CD =(12-6、.2)cm.当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长=2 (12-6.2) =(24 -12.2)cm AC 与EF 当点E从2 • cm •11 1 1S AD B BC AC AC D N BC DM =24 3(12-4./3) D N2 2 2 2当ED_AC 时，S ADB 有最大值，最大值 =24 3 1(12—4.3) ^2 =(24 3 36.2 -12. 6) cm 2.故答案为：(24 _12 ..2) , (24 336 .、2 _12.6)【知识点】轨迹；全等三角形的判定和性质；等腰直角三角形的性质；角平分线的性质；三角形的面积三、解答题1. ( 2019重庆 A 卷，20，10)如图，在△ ABC 中，AB = AC , D 是BC 边上的中点，连结 AD , BE 平分/ ABC 交AC 于点E ,过点E 作EF // BC 交AB 于点F .(1) 若/ C = 36 °，求/ BAD 的度数；(2)求证：FB = FE .【思路分析】(1)先利用“等边对等角”求出/ ABC 的度数，然后利用三角形内角和定理，得到/ BAC 的度数，最后利用“三线合一”性质，即可求出/ BAD 的度数；(2)由角平分线定义，得/ ABE =Z CBE ，再由平行线性质，得到/ FEB = Z CBE ，从而/ ABE = Z FEB ，于是 FB = FE . 【解题过程】(1)解：••• AB = AC ,.•./ B = Z C = 36°.•••/BAC = 180°—/ B -Z C = 108° .••• AB = AC , D 是BC 边上的中点， • AD 平分Z BAC . 1 • Z BAD =/ BAC = 54°.2(2) 证明：T BE 平分Z ABC ,• Z ABE = Z CBE . •/ EF // BC ,2(2019重庆市 B 卷，20, 10)如图，在 △ABC 中，AB=AC ,AD 丄BC 于点D . (1) 若Z C= 42°,求Z BAD 的度数；(2)若点E 在边AB 上, EF // AC 交AD 的延长线于点 F . 求证：AE=FEC如图，连接BD : AD :■ S|_AD B = S.ABCS AD C _S . BD C•Z FEB = Z CBE .•Z ABE = Z FEB .•FB= FE.【知识点】等腰三角形的性质与判定；角平分线定义；平行线的性质；三角形内角和定理.io® a【思路分析】(1)根据/ C=42°AB=AC结合等腰三角形的性质及内角和180。

第15讲三角形 2019各省市中考数学优选知识点题型汇编

第15讲三角形一、考点知识梳理【考点1 三角形及相关概念】1．三角形的分类(1)按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形(2)按边分类不等边三角形: 等腰三角形、等边三角形、腰与底边不相等的三角形2．三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．任意两边之差小于第三边.3．内角和定理：三角形的内角和等于180°．4．内外角关系：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．5．三角形中的四条重要线段中线：连接一个顶点与它对边中点的线段高线高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段中位线：连接三角形两边中点的线段【考点2 全等三角形及其性质】1．全等三角形的定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应周长相等，对应面积相等3．判定两个三角形全等的一般方法有：（1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：边边边SSS ；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：角边角ASA ；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：角角边AAS ；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：边角边SAS ．【考点3 直角三角形及勾股定理】1.性质：直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的边等于斜边的一半；（2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

2. 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；即222c a b =+（ａ、ｂ为直角三角形的直角边，c 为斜边）。

3.勾股定理的逆定理如果一个三角形有两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；即：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，若222c a b =+，则∠C=90°（即△ABC 是直角三角形）4.直角三角形的判定：（1）有一个角等于90°的三角形是直角三角形；（2）勾股定理的逆定理。

2019年浙江省中考数学分类汇编专题三角形部分(解析版)

2019年浙江省中考数学分类汇编专题三角形部分（解析版）一、单选题1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A. 3，4，8B. 5，6，10C. 5，5，11D. 5，6，11【答案】B【考点】三角形三边关系【解析】【解答】解：A.∵3+4＜8，故不能组成三角形，A不符合题意；B.∵5+6＞10，故能组成三角形，B符合题意；C.∵5+5＜11，故不能组成三角形，C不符合题意；D.∵5+6=11，故不能组成三角形，D不符合题意；故答案为：B.【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依此即可得出答案.2.已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为（）A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°【答案】C【考点】平行线的性质，三角形的外角性质【解析】【解答】解：设直线n与AB的交点为E。

∵∠AED是△BED的一个外角，∴∠AED=∠B+∠1，∵∠B=45°，∠1=25°，∴∠AED=45°+25°=70°∵m∥n，∴∠2=∠AED=70°。

故答案为：C。

【分析】设直线n与AB的交点为E。

由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AED=∠B+∠1，再根据两直线平行内错角相等可得∠2=∠AED可求解。

3.若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A. 1B. 2C. 3D. 8【答案】C【考点】三角形三边关系【解析】【解答】解：∵三角形三边长分别为：a，3，5，∴a的取值范围为：2＜a＜8，∴a的所有可能取值为：3，4，5，6，7.故答案为：C.【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此得出a的取值范围，从而可得答案.4.如图，墙上钉着三根木条，a，b，c，量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）A. 5°B. 10°C. 30°D. 70°【答案】B【考点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：如图，∵∠2=∠3=100°，∠1=70°∴a、b两直线所夹的锐角为：180°-∠1-∠3=180°-70°-100°=10°故答案为：B【分析】根据对顶角相等，可求出∠3的度数，再利用三角形内角和定理就可求出a、b两直线所夹的锐角的度数。

专题20 等腰三角形与等边三角形篇(解析版)

专题20 等腰三角形与等边三角形考点一：三角形的中位线1. 中位线的定义：三角形任意两边中点的连线段叫做这个三角形的中位线。

2. 中位线的性质：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。

1．（2022•南充）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在AB外选择一点C，测得AC，BC两边中点的距离DE为10m（如图），则A，B两点的距离是 m．【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可．【解答】解：∵CD＝AD，CE＝EB，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE，∵DE＝10m，∴AB＝20m，故答案为：20．2．（2022•福建）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．若BC＝12，则DE的长为．【分析】直接利用三角形中位线定理求解．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝×12＝6．故答案为：6．3．（2022•西藏）如图，如果要测量池塘两端A，B的距离，可以在池塘外取一点C，连接AC，BC，点D，E分别是AC，BC的中点，测得DE的长为25米，则AB的长为米．【分析】应用三角形的中位线定理，计算得结论．【解答】解：∵D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴AB＝2DE＝2×25＝50（米）．故答案为：50．4．（2022•丽水）如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是（）A．28B．14C．10D．7【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，∴DE＝BF＝AB＝3，∵E、F分别为AC、AB中点，∴EF＝BD＝BC＝4，∴四边形BDEF 的周长为：2×（3+4）＝14，故选：B ．5．（2022•眉山）在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，AC ＝8，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，则△DEF 的周长为（）A ．9B ．12C ．14D ．16【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出△ABC 的周长＝2△DEF 的周长．【解答】解：如图，点D ，E ，F 分别为各边的中点，∴DE 、EF 、DF 是△ABC 的中位线，∴DE ＝BC ＝3，EF ＝AB ＝2，DF ＝AC ＝4，∴△DEF 的周长＝3+2+4＝9．故选：A ．6．（2022•广东）如图，在△ABC 中，BC ＝4，点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则DE ＝（）A ．41B ．21C ．1D ．2【分析】由题意可得DE 是△ABC 的中位线，再根据三角形中位线的性质即可求出DE 的长度．【解答】解：∵点D ，E 分别为AB ，AC 的中点，BC ＝4，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝BC ＝×4＝2，故选：D ．7．（2022•沈阳）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，点D 、E 分别是直角边AC 、BC 的中点，连接DE ，则∠CED 的度数是（）A ．70°B ．60°C ．30°D ．20°【分析】根据直角三角形的性质求出∠B ，根据三角形中位线定理得到DE ∥AB ，根据平行线的性质解答即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，则∠B ＝90°﹣∠A ＝60°，∵D 、E 分别是边AC 、BC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB ，∴∠CED ＝∠B ＝60°，故选：B ．8．（2022•常州）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点．若DE ＝2，则BC 的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴BC ＝2DE ，∵DE ＝2，∴BC ＝4，故选：B ．考点二：等腰三角形3. 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

中考数学试题按知识点分类汇编(等腰三角形和等边三角形、直角三角形性质)

知识点6：等腰三角形和等边三角形，直角三角形性质（1）（2008四川内江）如图，在中，，三边分别为，则等于（D ）A．B．C．D．（2） (2008 台湾)如图， ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，则AB=AC，CD=DE。

若∠A=40︒，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=( B )(A) 25︒ (B) 30︒ (C) 35︒ (D) 40︒（3）（2008湖北黄石）．如图，在等腰三角形中，，点是底边上一个动点，分别是的中点，若的最小值为2，则的周长是（ D ）A．B．C．D．（4）(2008安徽)如图，在中，，，点为的中点，于点，则等于（ C ）A．B．C．D．（5）（2008年湖北省咸宁市）如图，在Rt△ABC中，，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△绕点顺时针旋转90后，得到△，连接，下列结论：①△≌△；②△∽△；③；④其中正确的是（B）A．②④；B．①④；C．②③；D．①③．（6）（2008年南京市）如图，是等边三角形的外接圆，的半径为2，则等边三角形的边长为（ C ）A．B．C．D．（7）（云南省2008年）．菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（ B ）A．24 B．20C．10D．5（8）(2008年安徽省)如图是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是（D）A．a＞c B．b＞c C．4a2+b2=c2D．a2+b2=c2（9）（2008年泰安市）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（C ）A．B．C．D．（10）（2008年甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 4 ．（11）（2008湖北孝感）如图，AB=AC，，AB的垂直平分线交BC于点D，那么 60°。

；（12）（2008浙江湖州）已知等腰三角形的一个角为70°，则它的顶角为40 度. （13）（2008广东中山）已知等边三角形ABC的边长为，则ΔABC的周长是__；（14）（08山东省日照市）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的有__①②③⑤____________（把你认为正确的序号都填上）．（15）（2008江苏南京）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为 110°或35°度.（16）（2008江苏宿迁）等腰三角形的两边长分别是和，则其周长为___17___．（17）（2008 江西）如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是125°．（18）（2008徐州）边长为a的正三角形的面积等于______.(19)（2008福建福州）如图，是⊙O的弦，于点，若，，则⊙O的半径为 5 cm．(20) (2008年湖州市)利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为勾股定理，该定理的结论其数学表达式是a2+b2=c2．(21)（2008年沈阳市）如图所示，某河堤的横断面是梯形，，迎水坡长13米，且，则河堤的高为12 米．(22)（2008年荆州市）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝，小孔到图中边AB距离为1㎝，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h㎝，则h的最小值大约为_____2____㎝.（精确到个位，参考数据：）(23)（2008广东）（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠)，求∠AEB的大小.解：（1）如图.∵△BOC和△ABO都是等边三角形，且点O是线段AD的中点，∴ OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°,∴∠4=∠5.又∵∠4+∠5=∠2=60°,∴∠4=30°.同理，∠6=30°.∵∠AEB=∠4+∠6,∴∠AEB=60°.（2）如图8.∵△BOC和△ABO都是等边三角形，∴ OD=OC, OB=OA,∠1=∠2=60°，又∵OD=OA,∴ OD＝OB，OA＝OC，∴∠4=∠5，∠6=∠7.∵∠DOB=∠1+∠3,∠AOC=∠2+∠3,∴∠DOB=∠AOC.∵∠4+∠5+∠DOB=180°, ∠6+∠7+∠AOC=180°,∴ 2∠5=2∠6,∴∠5=∠6.又∵∠AEB=∠8-∠5，∠8=∠2+∠6，∴∠AEB＝∠2＋∠5－∠5＝∠2，∴∠AEB＝60°.(24)（2008广东中山）如图3，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=8．用尺规作图作BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD的长．解：（1）作图正确得2分（不保留痕迹的得1分）（2）在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝4，.(25)（2008广东中山）如图5，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.（1）求证：EF∥BC.（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.（1）证明：∴又∵∴ CF是△ACD的中线∴点F是AD的中点.∵点E是AB的中点∴ EF∥BD,即 EF∥BC（2）解：由（1）知，EF∥BD∴△AEF∽△ABD∴又∵,∴∴,∴的面积为8(26)（08浙江温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点作的中垂线，垂足为”；彬彬：“作的角平分线”．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．解：（1）只要合理即可．（2）证明：作的角平分线，则，又，，，．(27)(2008 湖南益阳)如图，在△ABC中，AB=BC=12cm，∠ABC=80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.(1)求∠EDB的度数；(2)求DE的长.5、解：（1）∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC＝（2）∵AB＝BC， BD是∠ABC的平分线，∴D为AC的中点∵DE∥BC，∴E为AB的中点，∴DE＝(28) (2008 福建龙岩)如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，找出图中的一个等腰三角形，并给予证明.我找的等腰三角形是： .证明：所找的等腰三角形是：△ABC（或△BDC或△DAB）证明：在△ABC中，∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°－（72°＋36°）=72°.∵∠C=∠ABC，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.[注]若找△BDC或△DAB参照给分.(29)（2008 四川内江）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点，试判断的形状，并说明理由．简证：由条件可证故可证，(30)（2008年湖北省咸宁市）如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C，AC与BD的延长线相交于点E．(1)试探究A E与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)已知EC＝a，ED＝b，AB＝c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O的半径r的一种方案：①你选用的已知数是；②写出求解过程（结果用字母表示）．解：（1）A E与⊙O相切理由：连接OC．∵CD∥OA∴，又∵OD OC，∴∴在△AOC和△AOB中OA=OA，，OB=OC∴△AOC≌△AOB，∴∵AB与⊙O相切，∴=90°∴A E与⊙O相切（2）①选择a、b、c，或其中2个②解答举例：若选择a、b、c，方法一：由CD∥OA，，得．方法二：在Rt△ABE中，由勾股定理，得．方法三：由Rt△OCE∽Rt△ABE，，得．若选择a、b方法一：在Rt△OCE中，由勾股定理：，得；方法二：连接BC，由△DCE∽△CBE，得．若选择a、c；需综合运用以上多种方法，得．(31) (2008年宁波市)如图，点是半圆的半径上的动点，作于．点是半圆上位于左侧的点，连结交线段于，且．（1）求证：是的切线．（2）若的半径为，，设．①求关于的函数关系式．②当时，求的值．解：（1）连结，，，是圆的切线（2）①连结，在中，在中．②当时，，而在中(32)（2008年义乌市）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb (a b，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．解：(1) ①仍然成立在图（2）中证明如下∵四边形、四边形都是正方形∴，，∴∴（SAS）∴又∵∴∴∴（2）成立，不成立简要说明如下∵四边形、四边形都是矩形，且，，，(，)∴，∴∴∴又∵∴∴∴（3）∵∴又∵，，∴∴（33）（2008恩施自治州）如图8,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.解: (1)(2)当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小(3)如下图所示,作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,连结交BD于点C.AE的长即为代数式的最小值.过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得矩形ABDF,则AB=DF=2,AF=BD=8.所以AE==13即的最小值为13.（34）（2008年广东湛江市）25．如图9所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：ACO=BCD．（2）若E B=，CD=，求⊙O的直径．证明：(1)∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB CD于E，∴CE=ED，∴BCD=BAC∵O A=O C∴O AC=O CA∴AC O=BCD(2)设⊙O的半径为Rcm，则O E=O B EB=R8CE=CD=24=12在Rt CE O中，由勾股定理可得O C=O E+CE即R= (R8)+12解得R=13 ∴2R=213=26答：⊙O的直径为26cm．（35）（2008年上海市）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆的半径所在的直线为对称轴的轴对称图形，是与圆的交点．（1）请你帮助小王在下图中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆的半径的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中是坡面的坡度），求的值．（1）（图形正确）（2）解：由已知，垂足为点，则，在中，．设，，又得，解得．，，，在中，，解得（36）(2008年益阳) △ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上.Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF；Ⅱ.探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.小聪和小明各给出了一种想法，请你在．．b．的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答．．．．．．．．．．．．．．．．．．. ．．．．Ⅱ．a．和Ⅱ如果两题都解，只以．．．．．.Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出．．．．．．．．．Ⅱ．a．的解答记分正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了. 设△ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .Ⅱb.小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是：①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；②连结BF’并延长交AC于F；③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求.你认为小明的作法正确吗？说明理由.Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形，∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°∴△BDG≌△CEF(AAS)Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH，求得由△AGF∽△ABC得：解之得：(或)解法二：设正方形的边长为x，则在Rt△BDG中，tan∠B=，∴解之得：(或)解法三：设正方形的边长为x，则由勾股定理得：解之得：Ⅱb.解：正确由已知可知，四边形GDEF为矩形∵FE∥F’E’，∴，同理，∴又∵F’E’=F’G’，∴FE=FG因此，矩形GDEF为正方形（37）（2008年湖北省宜昌市）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点，过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E、F恰好分别在边BC、AC上. （1）△ABC与△SBR是否相似？说明理由；（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；（3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值.解：(1)∵RS是直角∠PRB的平分线，∴∠PRS＝∠BRS＝45°.在△ABC与△SBR中，∠C＝∠BRS＝45°，∠B是公共角，∴△ABC∽△SBR..(2)线段TS的长度与P A相等.∵四边形PTEF是正方形，∴PF＝PT，∠SPT＋∠FP A＝180°－∠TPF＝90°,在Rt△PF A中，∠PF A＋∠FP A＝90°,∴∠PF A＝∠TPS，∴R t△P AF≌Rt△TSP，∴P A＝TS.当点P运动到使得T与R重合时，这时△PF A与△TSP都是等腰直角三角形且底边相等，即有P A＝TS.(若下面解题中没有求出x的取值范围是0≤x≤，以上的讨论可评1分)由以上可知，线段ST的长度与P A相等.(3)由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高，∴PS＝BS, ∴BS＋PS＋P A＝1, ∴PS＝.设P A的长为x，易知AF=PS，则y＝PF＝P A＋PS,得y＝x＋(),即y＝根据二次函数的性质，当x＝时，y有最小值为.如图2，当点P运动使得T与R重合时，P A＝TS为最大.易证等腰Rt△P AF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，∴P A＝.如图3，当P与A重合时，得x＝0.∴x的取值范围是0≤x≤. (此处为独立得分点，只要求出x≤即可得1分)∴①当x的值由0增大到时，y的值由减小到∴②当x的值由增大到时，y的值由增大到. (说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分) ∵≤≤，∴在点P的运动过程中，正方形PTEF面积y的最小值是，y的最大值是.。

中考总复习之等腰三角形与直角三角形

中考总复习之等腰三角形与直角三角形在中考数学的复习中，等腰三角形和直角三角形是两个非常重要的知识点。

它们不仅在几何题目中经常出现，而且在解决实际问题中也有着广泛的应用。

接下来，让我们系统地复习一下这两个重要的三角形类型。

一、等腰三角形（一）定义等腰三角形是指至少有两边相等的三角形。

相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边称为底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

（二）性质1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

例如，在等腰三角形 ABC 中，AB ＝ AC，那么∠B ＝∠C。

2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。

若 AD 是等腰三角形 ABC 的顶角平分线，则 AD 也是底边 BC 上的中线和高；反之亦然。

（三）判定1、有两条边相等的三角形是等腰三角形。

2、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

（四）常见题型1、计算角度：利用等腰三角形的性质，求出顶角或底角的度数。

例如，已知等腰三角形的一个底角为 70°，则顶角为 180° 70°× 2 ＝40°。

2、证明线段相等：通过证明三角形是等腰三角形，得出两条线段相等。

3、求边长：根据等腰三角形的性质和已知条件，计算出三角形的边长。

二、直角三角形（一）定义有一个角为 90°的三角形，叫做直角三角形。

直角所对的边称为斜边，其余两边称为直角边。

（二）性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。

若直角三角形的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，则 a²＋ b²＝c²。

2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

例如，在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，D 是斜边 AB 的中点，则 CD ＝ 1/2 AB 。

3、直角三角形的两个锐角互余。

（完整版）2019中考数学等腰三角形

（完整版）2019中考数学等腰三⾓形等腰三⾓形⼀、选择题1．（2018?⼭东枣庄?3 分）如图是由8个全等的矩形组成的⼤正⽅形，线段AB的端点都在⼩矩形的顶点上，如果点P 是某个⼩矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ ABP为等腰直⾓三⾓形的点P 的个数是（）A．2 个B． 3 个C．4 个D．5个【分析】根据等腰直⾓三⾓形的判定即可得到结论．【解答】解：如图所⽰，使△ ABP为等腰直⾓三⾓形的点P的个数是3，故选：B．点评】本题考查了等腰直⾓三⾓形的判定，正确的找出符合条件的点P 是解题的关键．2 2018?⼭东枣庄?3 分）如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂⾜为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）分析】根据三⾓形的内⾓和定理得出∠ CAF+∠CFA=90°，∠ FAD+∠AED=90°，根据⾓平分和对顶⾓相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利⽤相似三⾓形的判定与性质得出答案．【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，C．A．B．∴∠CDA=9°0 ，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠ FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=C，F∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，==∵AC=3，AB=5，∠ ACB=90°，∴BC=4，FC=FG，解得：FC= ，即CE ．故选：【点评】本题考查了直⾓三⾓形性质、等腰三⾓形的性质和判定，似三⾓形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．3. （2018?⼭东淄博?4 分）如图，P为等边三⾓形ABC内的⼀点，且P到三个顶点A，B，C 的距离分别为3，4，5，则△ ABC的⾯积为（）三⾓形的内⾓和定理以及相考点】R2：旋转的性质；KK：等边三⾓形的性质；KS：勾股定理的逆定理．分析】将△ BPC绕点B逆时针旋转60°得△ BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，则△ BPE 为等边三⾓形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△ AEP 中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP 于点FAP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△ APE 为直⾓三⾓形，且∠APE=90°，即可得到∠ APB 的度数，在直⾓△APF 中利⽤三⾓函数求得AF和PF 的长，则在直⾓△ ABF中利⽤勾股定理求得AB的长，进⽽求得三⾓形ABC的⾯积．【解答】解：∵△ ABC为等边三⾓形，∴BA=BC，可将△ BPC绕点B逆时针旋转60°得△ BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，∴△BPE为等边三⾓形，∴PE=PB=，4 ∠ BPE=60°，在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，222∴AE2=PE2+PA2，∴△ APE为直⾓三⾓形，且∠ APE=90°，∴∠APB=90°+60°=150°∴∠APF=30°，【点评】本题考查了等边三⾓形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中⼼的连线段的夹⾓等于旋转⾓，对应点到旋转中⼼的距离相等．4. （2018?江苏扬州?3 分）如图，点 A 在线段BD 上，在 BD 的同侧做等腰 Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ， CD 与 BE 、AE 分别交于点 P ，M ．对于下列结论：12）通由等过等腰积Rt 式△倒A 推BC 可和知等，腰证R 明t △ADPE 三A M ∽边△份E 数M 关D 系即可可证；23）2CB 2 转化为 AC2，证明△ ACP ∽△ MCA ，问题可证．解答】解：由已知： AC= AB ，AD= AE ∴∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE ∽△CAD所以①正确∵△BAE ∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠ PME ∠= AMD ∴△PME ∽△AMD ∴∴∴MP?MD=MA?ME 所以②正确∵∠BEA=∠CDA ∠PME ∠= AMD ∴P 、 E 、 D 、 A 四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=18°0 ﹣∠ BAC ﹣∠EAD=90° ∴△CAP ∽△CMA ∴AC 2=CP?CM ∵AC= AB∴在直⾓△ APF AP= ， PF= AP= ．∴在直⾓△ ABF ) + △ABC ?AB 2=)2=25+12(25+12则故选： A ．所以③正确故选：A．【点评】本题考查了相似三⾓形的性质和判断．在等积式和⽐例式的证明中应注意应⽤倒推⽅法寻找相似三⾓形进⾏证明，进⽽得到答案．（2018·湖南省常德·3 分）如图，已知BD是△A BC的⾓平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为（）A．6 B． 5 C．4 D．3【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据⾓平分线的定义、三⾓形内⾓和定理出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直⾓三⾓形的性质解答．【解答】解：∵ ED 是BC的垂直平分线，∴DB=D，C∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的⾓平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=，6∴ CE=CD× co s∠ C=3 ，故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直⾓三⾓形的性质，掌握线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等是解题的关键．6. （2018·台湾·分）如图，锐⾓三⾓形ABC中，BC>AB>AC，甲、⼄两⼈想找⼀点P，得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：（甲）以A为圆⼼，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；（⼄）作过B点且与AB垂直的直线l ，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求对于甲、⼄两⼈的作法，下列叙述何者正确？（）C．甲正【分析】甲：根据作图可得AC=AP，利⽤等边对等⾓得：∠ APC=∠ACP，由平⾓的定义可知：∠BPC+∠APC=18°0 ，根据等量代换可作判断；⼄：根据四边形的内⾓和可得：∠BPC+∠A=180°．【解答】解：甲：如图1，∵ AC=AP，∴∠APC=∠ACP，∵∠BPC+∠APC=18°0 ∴∠ BPC+∠ACP=18°0 ，∴甲错误；⼄：如图2，∵ AB⊥PB，AC⊥PC，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BPC+∠A=180°，∴⼄正确，故选：D．【点评】本题考查了垂线的定义、四边形的内⾓和定理、等腰三⾓形的性质，正确的理解题意是解题的关键．7．（ 2018?湖北荆门?3分）如图，等腰 Rt △ABC 中，斜边 AB 的长为 2，O 为AB 的中点，P为AC 边上的动点， OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为 PQ 的中点，当点 P 从点A 运动到点 C 时，点M 所经过的路线MH ⊥AB 于 H ，QF ⊥AB 于F ，如图，利⽤等腰直⾓三⾓形的性质得，∠A=∠B=45°，OC ⊥AB ， OC=OA=OB ，=1∠ OCB=4°5 ，再证明 Rt △AOP ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ， OC 平分∠ACB ， OC=OA=OB ，=1∴∠ OCB=4°5 ，∵∠POQ=9°0 ，∠ COA=9°0 ，∴∠AOP=∠COQ ，在Rt △AOP 和△COQ 中，∴Rt △AOP ≌△COQ ，∴AP=CQ ，易得△ APE 和△BFQ 都为等腰直⾓三⾓形，≌△ COQ 得到 AP=CQ ，接着利⽤△ APE 和△ BFQ 都为等腰直⾓三⾓形得到 AP=CQ ，QF=BQ ，所以 BC=1，然后证明 MH 为梯形 PEFQ 的中位线得到AB ，从⽽得到点 M 的运动路线为△ ABC 的中位线，所经过的，即可判定最后利⽤三⾓形中位线性质得到点 M【解答】解：连接 OC ，作 PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直⾓三⾓形，1 D ． 2，∠A=∠B=45°，∴MH为梯形PEFQ的中位线，CO=1，∴点M的运动路线为△ ABC的中位线，点评】本题考查了轨迹：通过计算确定动点在运动过程中不变的量，从⽽得到运动的轨8. （2018?河北?3 分）已知：如图 4 ，点P在线段AB 外，且PA PB .求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上. 在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不．正确的是（）A．作APB 的平分线PC 交AB 于点C B．过点P 作PC AB 于点C 且AC BC C.取AB 中点C ，连接PC D．过点P作PC AB ，垂⾜为CAP= CQ，QF= BQ，CQ+BQ) = B∴PE=∴PE+QF=∵M点为PQ的中点，C= ×=1，∴MH= PE+QF）=即点M到AB ，∴当点P 从点 A 运动到点 C 时，点M AB=1．故迹．也考查了等腰直⾓三⾓形的性质．9. （2018 四川省绵阳市）如图，△ ACB和△ECD都是等腰直⾓三⾓形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点 A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE= ，AD= ，则两个三⾓形重叠部分的⾯积为（）考点】三⾓形的⾯积，全等三⾓形的判定与性质，勾股定理，相似三⾓形的判定与性质，腰直⾓三⾓形A.C.答案】 D解析】【解答】解：连接BD，作CH⊥DE，∵△ ACB和△ECD都是等腰直⾓三⾓形，∴∠ACB=∠ECD=9°0 ,∠ADC=∠CAB=45°, 即∠ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°，∴∠DCB=∠ACE，在△DCB和△ECA中，∴△DCB≌△ECA，∴DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°,∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，在Rt △ABD中，∴AB= =2 ，在Rt △ABC中，∴2AC2=AB2=8，∴AC=BC=，2在Rt △ECD中，∵∠ACO∠= DCA，∠ CAO∠= CDA，∴△CAO∽△CDA，∴CH=∴=（4-2 ）× =3- .即两个三⾓形重叠部分的⾯积为3-故答案为： D.【分析】解：连接BD，作CH⊥DE，根据等腰直⾓三⾓形的性质可得∠ ACB=∠ECD=9°0 , ∠ADC=∠CAB=45°, 再由同⾓的余⾓相等可得∠ DCB=∠ACE；由SAS 得△DCB≌△ECA，根据全等三⾓形的性质知DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°, 从⽽得∠ ADB=90°，在Rt△ABD 中，根据勾股定理得AB=2 ，同理可得AC=BC=2，CD=CE= +1；由相似三⾓形的判定得△ CAO∽△ CDA，根据相似三⾓形的性质：⾯积⽐等于相似⽐的平⽅从⽽得出两个三⾓形重叠部分的⾯积. ⼆.填空题1．（2018四川省泸州市 3 分）如图，等腰△ ABC的底边BC=20，⾯积为120，点 F 在边BC 上，且∴2CD2=DE2= ，∴CD=CE= +1，∴：=⼜∵ = CE = DE·CH，∴ = AD·CH= × ×=4-2 ，BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△ CDF周长的最⼩值为18 ．【分析】如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA=D，C推出DF+DC=AD+D，F 可得当A、D、F 共线时，DF+DC的值最⼩，最⼩值就是线段AF 的长；【解答】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=D，C∴DF+DC=AD+，DF∴当A、D、F 共线时，DF+DC的值最⼩，最⼩值就是线段AF的长，∵ ?BC?AH=12，0∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=1，0∵BF=3FC，∴CF=FH=，5∴AF= = =13，∴DF+DC的最⼩值为13．∴△ CDF周长的最⼩值为13+5=18；故答案为18．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三⾓形的性质等知识，解题的关键是学会利⽤轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．2. （2018?⼴西桂林?3 分）如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ ABC，则图中等腰三⾓形的个数是详解：∵ AB=AC，∴△ ABC 是等腰三⾓形．∵∠A=36°，∴∠ C=∠ABC=72°．BD 平分∠ ABC交AC于D，∴∠ ABD=∠DBC=3°6 ，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三⾓形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三⾓形．∴共有3个等腰三⾓形．故答案为：3．点睛：本题考查了等腰三⾓形的判定与性质及三⾓形内⾓和定理；求得⾓的度数是正确解答本题的关键．3. （2018·新疆⽣产建设兵团·5 分）如图，△ ABC是⊙O的内接正三⾓形，⊙O 的半径为2，则图中阴影部的⾯积是．【分析】根据等边三⾓形性质及圆周⾓定理可得扇形对应的圆⼼⾓度数，再根据扇形⾯积公式计算即可．【解答】解：∵△ ABC是等边三⾓形，∴∠ C=60°，根据圆周⾓定理可得∠AOB=∠2 C=120°，∴阴影部分的⾯积是= π，故答案为：【点评】本题主要考查扇形⾯积的计算和圆周⾓定理，根据等边三⾓形性质和圆周⾓定理求得圆⼼⾓度数是解题的关键．4. （2018·四川宜宾· 3 分）刘徽是中国古代卓越的数学家之⼀，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即⽤内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的⾯积，设圆O 的半径为1，若⽤圆O 的外切正六边形的⾯积来近似估计圆O 的⾯积，则S= 2 ．（结果保留根号）【考点】MM：正多边形和圆；1O：数学常识．【分析】根据正多边形的定义可得出△ ABO 为等边三⾓形，根据等边三⾓形的性质结合OM 的长度可求出AB的长度，再利⽤三⾓形的⾯积公式即可求出S的值．【解答】解：依照题意画出图象，如图所⽰．∵六边形ABCDEF为正六边形，∴△ABO为等边三⾓形，∵⊙O的半径为1，∴OM=，1 ∴BM=AM= ，，∴AB，∴S=6S△ABO=6×1=2【点评】本题考查了正多边形和圆、三⾓形的⾯积以及数学常识，根据等边三⾓形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．∴DE ∥AC ， DE=AC 边∵长Δ ABC 是等边三⾓形，且 BC=4 为∴∠DEB=60°,DE=2 ∵EF ⊥AC ，∠C=60°,EC=24∴∠ FEC=30°， EF=∴∠DEG=18°0 - 60° - 30°=90°，分别为的中点则的长为∵G 是EF 的中点，∴EG= .天津【解析】分析：连接 DE ，根据题意可得 ΔDEG 是直⾓三⾓形，的长.然后根据勾股定理即可求解 DG于点，为的中点，连接故答案为： 2 ．在RtΔDEG中，DG=故答案为：.点睛：本题主要考查了等边三⾓形的性质，勾股定理以及三⾓形中位线性质定理，记住和熟练运⽤性质是解题的关键6．（2018·湖北省武汉· 3 分）如图．在△ ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点， E 是边BC上⼀点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是．【分析】延长BC⾄M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三⾓形中位线定理得到AM，根据等腰三⾓形的性质求出∠ ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．【解答】解：延长BC⾄M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长，∴ME=E，B ⼜AD=DB，∴DE= AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=12°0 ，∵CM=C，A ∴∠ ACN=6°0 ，AN=MN，∴AM= ，∴AN=AC?sin ∠ACN故答案为：．【点评】本题考查的是三⾓形中位线定理、等腰三⾓形的性质、解直⾓三⾓形，掌握三⾓形中位线定理、正确作出辅助性是解题的关键．”或答案】解析】如下图所⽰，△ AFG 是等腰直⾓三⾓形，∴ FAG BAC 45 ，∴ BAC DAE ．另：此题也可直接测量得到结果．考点】等腰直⾓三⾓形8. （2018?江苏盐城 ?3 分）如图，在直⾓中，，，，、分别为边、上的两个动点，若要使是等腰三⾓形且是直⾓三⾓形，则．16. 【答案】7．（2018?北京?2分）右图所⽰的⽹格是正⽅形⽹格， BAC DAE ．（填“或【考点】等腰三⾓形的判定与性质，相似三⾓形的判定与性质【解析】【解答】解：当△ BP是Q直⾓三⾓形时，有两种情况：∠ BPQ=90度，∠ BQP=90度。

中考数学复习《等腰、等边及直角三角形》经典题型(含答案)

中考数学复习《等腰、等边及直角三角形》经典题型（含答案）知识点一：等腰和等边三角形1.等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；注意：1.实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：1）、“角平分线+平行线”构造等腰三角形。

2）、“角平分线+垂线”构造等腰三角形。

3）、用“垂直平分线”构造等腰三角形；4）、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。

2.当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.变式练习1：如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.3.三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.变式练习2：如右图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.变式练习3：一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为( ) A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17【解析】A ①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3＋3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3＋7＋7＝17，故这个等腰三角形的周长是17.变式练习4：如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为 __7__．变式练习5：一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为( C )A．12 B．16 C．20 D．16或202.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.变式练习1：△ABC中，∠B=60°，AB=A C，BC=3，则△ABC的周长为9.变式练习2：在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D 作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE＝DC＝2，在Rt△DEF，∵∠DEF＝90°，DE＝2，∴DF＝2DE＝4，∴EF＝DF2－DE2＝42－22＝2 3.变式练习3：如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝__2__.知识点二：角平分线和垂直平分线1.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．21P C OBAPCO B A注意：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.变式练习：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.知识点三：直角三角形的判定与性质1.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .2.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ ABC是Rt△(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.3.直角三角形相似判定定理1).斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。