2021高考数学大题规范练(4)

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高考数学一轮复习课时规范练4简单的逻辑联结词全称量词与存在量词理北师大版

课时规范练4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词基础巩固组1.命题“存在实数x0,使x0>1”的否定是()x,都有x>x0,使x0≤1x,都有xx0,使x0≤12.下列特称命题中真命题的个数为()①存在实数x0,使+2=0;②有些角的正弦值大于1;③有些函数既是奇函数又是偶函数.A.0B.13.设命题p:存在x0∈(0,+∞),x0+>3;命题q:任意x∈(2,+∞),x2>2x,则下列命题为真的是()A.p且( q)B.( p)且qC.p且qD.( p)或q4.若定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是()x∈R,f(-x)≠f(x)x∈R,f(-x)=-f(x)x0∈R,f(-x0)≠f(x0)x0∈R,f (-x0)=-f(x0)5.若命题“存在x0∈R,+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是()A.[-1,3]B.(-1,3)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)6.已知命题p:对任意x∈R,总有2x>x2;q:“ab>1”是“a>1,b>1”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p且qB.( p)且qC.p且( q)D.( p)且( q)7.(2018北京十四中月考,6)下列命题正确的是()A.“x<1”是“x2-3x+2>0”的必要不充分条件p:存在x∈R,使得x2+x-1<0,则 p:任意x∈R,均有x2+x-1≥0p且q为假命题,则p,q均为假命题D.命题“若x2-3x+2=0,则x=2”的否命题为“若x2-3x+2=0,则x≠2”8.已知命题p:任意x∈R,x3<x4;命题q:存在x0∈R,sin x0-cos x0=-,则下列命题为真命题的是()A.p且qB.( p)且qC.p且( q)D.( p)且( q)9.(2018湖南长郡中学一模,2)下列判断正确的是()p为真命题,命题q为假命题,则命题“p且q”为真命题B.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x≠0”C.“sin α=”是“α=”的充分不必要条件D.命题“对任意x∈R,2x>0成立”的否定是“存在x0∈R,≤0成立”10.已知命题“任意x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是.11.已知命题p:任意x∈[0,1],a≥e x;命题q:存在x0∈R,使得+4x0+a=0.若命题“p且q”为真命题,则实数a的取值范围是.12.下列结论:①若命题p:存在x0∈R,tan x0=2,命题q:任意x∈R,x2-x+>0,则命题“p且( q)”是假命题;②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;③“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.其中正确结论的序号为.综合提升组13.(2018河南郑州三模,2)下列命题中,正确的是()x0∈R,sin x0+cos x0=z1,z2,z3∈C,若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z3C.“a>0,b>0”是“≥2”的充要条件D.命题“存在x∈R,x2-x-2≥0”的否定是“任意x∈R,x2-x-2<0”14.若命题p:函数y=x2-2x的递增区间是[1,+∞),命题q:函数y=x-的递增区间是[1,+∞),则()A.p且q是真命题B.p或q是假命题C. p是真命题D. q是真命题15.已知命题p:关于x的不等式ax2+ax+1>0的解集为全体实数,则实数a∈(0,4);命题q:“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分条件,则下列命题正确的是()A.p且qB.p且( q)C.( p)且qD.( p)且( q)16.已知命题p:存在x0∈R,-mx0=0,q:任意x∈R,x2+mx+1≥0,若p或( q)为假命题,则实数m的取值范围是()A.(-∞,0)∪(2,+∞)B.[0,2]C.RD.⌀创新应用组17.(2018河北衡水中学十模,5)下面四个命题中,假命题是()A.“若a≤b,则2a≤2b”的否命题B.“任意a∈(0,+∞),函数y=a x在定义域内递增”的否定C.“π是函数y=sin x的一个周期”或“2π是函数y=sin 2x的一个周期”D.“x2+y2=0”是“xy=0”的必要条件18.将不等式组的解集记为D,有下面四个命题:p1:任意(x,y)∈D,x+2y≥-2;p2:存在(x,y)∈D,x+2y≥2;p3:任意(x,y)∈D,x+2y≤3;p4:存在(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是.参考答案课时规范练4 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.C特称命题的否定为全称命题,所以将“存在”改为“任意”,将“x>1”改为“x≤1”.故选C.2.B因为x2+2≥2,所以①是假命题;因为任意x∈R均有|sin x|≤1,所以②是假命题;f(x)=0既是奇函数又是偶函数,③是真命题.故选B.3.A命题p:存在x0∈(0,+∞),x0+>3,是真命题,例如取x0=4;命题q:任意x∈(2,+∞),x2>2x,是假命题,例如取x=4时,x2=2x.则命题为真的是p且( q).故选A.4.C不是偶函数是对偶函数的否定,定义域为R的偶函数的定义:任意x∈R,f(-x)=f(x),这是一个全称命题,所以它的否定为特称命题:存在x0∈R,f(-x0)≠f(x0).故选C.5.D因为命题“存在x0∈R,+(a-1)x0+1<0”等价于+(a-1)x0+1=0有两个不等的实根,所以Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.故选D.6.D命题p:对任意x∈R,总有2x>x2,它是假命题,例如取x=2时,2x与x2相等.q:由a>1, b>1⇒ab>1;反之不成立,例如取a=10,b=.∴“ab>1”是“a>1,b>1”的必要不充分条件,即q是假命题.∴真命题是( p)且( q).故选D.7.B因为x2-3x+2>0,所以x>2或x<1,因此“x<1”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,故A项错误;命题p:存在x∈R,使得x2+x-1<0的否定为:任意x∈R,均有x2+x-1≥0,故B项正确;若p且q为假命题,则p,q至少有一个为假命题,故C项错误;命题“若x2-3x+2=0,则x=2”的否命题为“若x2-3x+2≠0,则x≠2”,故D项错误.故选B.8.B由x3<x4,得x<0或x>1,∴命题p为假命题;由sin x-cos x=sin=-,得x-=+2kπ(k∈Z),即x=+2kπ(k∈Z),∴命题q为真命题,∴( p)且q为真命题.9.D对A项,若命题p为真,命题q为假,则“p且q”为假,故A错;对B项,因否命题是既否定条件也否定结论,故B错;对C项,“sin α=”是“α=”的必要不充分条件,故C错;对D项,根据全称命题的否定,换量词否结论,故选项正确.故选D.10.由“任意x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x2-5x+a>0对任意实数x恒成立.设f(x)=x2-5x+a,则其图像恒在x轴的上方,所以Δ=25-4×a<0,解得a>.故实数a的取值范围为.11.[e,4]由命题“p且q”是真命题,得命题p,q都是真命题.由任意x∈[0,1],a≥e x,得a≥e;由存在x0∈R,使+4x0+a=0,知Δ=16-4a≥0,得a≤4,因此e≤a≤4.12.①③在①中,命题p是真命题,命题q也是真命题,故“p且( q)”为假命题是正确的;在②中,l1⊥l2⇔a+3b=0,而=-3能推出a+3b=0,但a+3b=0推不出=-3,故②不正确;在③中,“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”,所以③正确.13.D选项A中,因sin x+cos x的最大值为,故A错;选项B中,由(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,得不出z1=z2,z2=z3,所以也得不出z1=z3;选项C中,a<0,b<0, +≥2也成立,故C错;由特称命题的否定知,D 正确.14.D因为函数y=x2-2x的递增区间是[1,+∞),所以p是真命题;因为函数y=x-的递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题.所以p且q为假命题,p或q为真命题, p为假命题, q为真命题.15.C命题p:当a=0时,不等式ax2+ax+1>0化为1>0,满足条件,当a≠0时,由不等式ax2+ax+1>0的解集为全体实数,得解得0<a<4,所以实数a∈[0,4),因此p是假命题.命题q:由x2-3x>0,解得x>3或x<0.所以“x2-3x>0”是“x>4”的必要不充分条件,即q是真命题.由以上可得( p)且q是真命题.故选C.16.B由p或( q)为假命题,知p为假命题,q为真命题.由e x-mx=0,得m=.设f(x)=,则f' (x)==,当x>1时,f'(x)>0,此时函数递增;当0<x<1时,f'(x)<0,此时函数递减;当x<0时,f'(x)<0,此时函数递减,∴当x=1时,f(x)=取得极小值f(1)=e,∴函数f(x)=的值域为(-∞,0)∪[e,+∞),∵p是假命题,∴0≤m<e.当命题q为真命题时,有Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2.∴m的取值范围是0≤m≤2.17.D对A项,“若a≤b,则2a≤2b”的否命题是“若a>b,则2a>2b”,A是真命题;对B项,“任意a∈(0,+∞),函数y=a x在定义域内单调递增”的否定为“存在a0∈(0,+∞),函数y=a x在定义域内不单调递增”,正确,例如a=时,函数y=在R上单调递减,B为真命题;对C项,“π是函数y=sin x的一个周期”,不正确,“2π是函数y=sin 2x的一个周期”正确,根据“或”命题的定义可知,C为真命题;对D项,“x2+y2=0”⇒“xy=0”,反之不成立,因此“x2+y2=0”是“xy=0”的充分不必要条件,D 是假命题,故选D.18.p1,p2画出题中不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示.作直线l0:y=-x,平移l0,当直线经过点A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:任意(x,y)∈D,x+2y≥-2为真.p2:存在(x,y)∈D,x+2y≥2为真.。

高考数学解题技巧及规范答题：立体几何大题

（2）当四棱锥体积为时，求二面角的正弦值.
【分析】
（1）分别取，的中点，，证明，可得平面，
可证，由等腰三角形的性质可得，证明三角形全等即可求证；
（2）在上取一点O，连接，使，根据已知条件证明O为正方形的中心，建立空间直角坐标系求出平面和平面的法向量，利用夹角公式即可求解.
又，所以，
故．
【此处由三角形的面积公式和体积公式求体积，若底面面积正确但体积计算错误，减1分.】
【评分细则】
①利用三线合一证明AO⊥BD，得1分
②利用面面垂直的性质证明AO⊥平面BCD，得2分.
③利用线面垂直的性质证明AO⊥CD，得1分.
④利用（1）结论证明三线垂直，合理建系得2分.
⑤正确写出和设出点的坐标，指出一个平面的法向量，得2分.
（1）若三棱锥体积是，求的值；
（2）若直线与平面所成角的正弦值是，求的值．
【分析】
（1）由题意知，、、两两垂直，建立空间直角坐标系，设，由，求得M的坐标，过作于，于，再由求解；
（2）由（1）知，求得平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，然后由求解.
，
又平面平面，
平面，
即，
又，
平面，
故为四棱锥的高，
为直线与平面所成角，
又，
即，
四棱锥的体积为；
（2）假设存在点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，
则，
则，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
则，令，则，
，令，
则，
二面角的余弦值为，

2021高考数学复习测试大题规范练6套

ax2－1
(1)解：函数 f(x)的定义域为(－∞ ，0)∪(0，＋∞ )，f′(x)＝
.
bx2
ax2－1
当 a≤0 时，f′(x)＝
<0，f(x)在(－∞ ，0)，(0，＋∞ )上分别递减．
bx2
1
1
( )( ) a x－
ax2－1
当 a>0 时，f′(x)＝
＝
bx2
a x＋ bx2
a ，
令 f′(x)>0，得 x<－
障维护费两种，对生产线设定维护周期为 20 天，即从开工运行到第 20 天(k∈N*)进行正常
维护，正常维护费为 2 千元/周期；在每个维护周期内，若生产线能连续运行，则不收取保障维护费；若生产线不能连续运行，则收取保障维护费，保障维护费在一个维护周期内只收
费一次，第一个需保障维护的周期收费为 1 千元，在后面的维护周期中，如出现保障维护，
(1)证明：A1D⊥平面 ABC； (2)求二面角 B1-A1B-C1 的余弦值． (1)证明：连接 BD，易知△ ABC 是等边三角形，且 D 为 AC 的中点，则 BD⊥AC，因为侧面 ACC1A1⊥底面 ABC，侧面 ACC1A1∩ 底面 ABC＝AC，BD⊂底面 ABC，
所以 BD⊥侧面 ACC1A1，因为 A1D⊂侧面 ACC1A1，所以 BD⊥A1D，因为 A1B＝ 6，BD＝ 3，所以 A1D＝ A1B2－BD2＝ 3，因为 AD＝1，AA1＝2，所以 A1D2＋AD2＝AA21，所以 A1D⊥AC，因为 AC∩ BD＝D，所以 A1D⊥底面 ABC. (2)解：由(1)可知，A1D，AD，BD 两两垂直，所以以 D 为原点，以 BD，AD，A1D 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，

高考数学几何大题

高考数学几何大题
1.已知矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm。

点E和F分别是
线段AB和CD上的两个点，且AE=CF。

连接EF，并延长交BC于点G。

如果条件AE=CF=4cm成立，求证：矩形ABCD
和三角形EFG的面积之比为2:1。

2.在平面直角坐标系中，点A(1,3)和点B(4,6)分别是函数y=f(x)的两个点。

已知函数y=f(x)对称于y轴，求函数y=f(x)的表达
式并绘制函数的图像。

3.柱体的底面半径为12cm，高度为20cm。

在柱体内部有一球，球正好与柱体的内壁相切。

求球的半径。

4.已知平面上的三角形ABC，点E和F分别是边BC和AB上
的两个点，且BE:EC=1:2，AF:FB=2:3，连接AE和CF交于
点G。

若点G恰好是三角形ABC的重心，求各边长之比。

5.已知正方形ABCD的边长为6cm，点E和F分别是边AB和BC上的两个点，连接线段EF并延长交于点G。

若AE=4cm，求证：线段AG与正方形对角线BD平分线垂直。

高考数学习题及答案 (4)

普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1、右图给出的是计算201614121++++ 的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）（A）10>i （B）10<i （C）20>i （D）20<i 2、数列}{n a 的通项公式为)(3)1(2N n n a n ∈+-=，则数列（）A、是公差为2的等差数列B、是公差为3的等差数列C、是公差为1的等差数列D、不是等差数列3、ABC ∆的两内角A、B 满足B A B A sin sin cos cos >，那么这个三角形（）A、是锐角三角形B、是钝角三角形C、是直角三角形D、形状不能确定4、函数13)(-=x x f 的反函数的定义域是（）A、),1(+∞-B、),1(+∞C、),2(+∞-D、)2,(--∞5、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个()A.棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对6、若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =（）A．32-B．32C．23-D．237、下面表述正确的是()A.空间任意三点确定一个平面B.直线上的两点和直线外的一点确定一个平面C.分别在不同的三条直线上的三点确定一个平面D.不共线的四点确定一个平面8、将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减9、已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A，B 两点．设A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1+d 2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=110、如图，在平面四边形ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E 为边CD 上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．311.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（）A．38C 种B．38A 种C．39C 种D．311C 种12.某师范大学的2名男生和4名女生被分配到两所中学作实习教师，每所中学分配1名男生和2名女生，则不同的分配方法有（）A．6种B．8种C．12种D．16种二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．2.已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____.3.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是___________，最大值是___________．4.已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = _____.三、大题：(满分70分)1.如果βα//，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AC AB ⊥，且2=AB ，直线AB 与平面α所成的角为︒30，求线段AC 长的取值范围．2.如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．已知：γα//，γβ//，求证：βα//．3.如图，已知a 、b 是异面直线，求证：过a 和b 分别存在平面α和β，使βα//．4.在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P.（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.5.知直线l 经过两条直线021=+y x l ：与010432=--y x l ：的交点，且与直线03253=+-y x l ：的夹角为4π，求直线l 的方程．6.直线02=-+y x l ：，一束光线过点)13,0(+P ，以︒120的倾斜角投射到l 上，经l 反射，求反射线所在直线的方程．参考答案：一、选择题：1-5题答案:AABAA 6-10题答案:ABACA 11-12题答案:AC 8、将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间满足：﹣+2kπ≤2x≤，k∈Z，减区间满足：≤2x≤，k∈Z，∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．9、已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，F是AB的中点，EF==3，EF==b，所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a=．则双曲线的方程为：﹣=1．故选：C．10、如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，∴AN=ABcos60°=，BN=ABsin60°=，∴DN=1+=，∴BM=，∴CM=MBtan30°=，∴DC=DM+MC=，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴=（﹣1，m），=（﹣，m﹣），0≤m≤，∴=+m2﹣m=（m﹣）2+﹣=（m﹣）2+，当m=时，取得最小值为．故选：A．二、填空题：2、4 33、0,4、{1,6}三、大题：1.如果βα//，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AC AB ⊥，且2=AB ，直线AB 与平面α所成的角为︒30，求线段AC 长的取值范围．解法1：如图所示：作β⊥AD 于D ，连结BD 、CD 、BC ∵BD AB >，DC AC >，222BC AC AB =+，∴在BDC ∆中，由余弦定理，得：022cos 222222=⋅-+<⋅-+=∠CDBD BC AC AB CD BD BC CD BD BDC ．∵β⊥AD ，∴ABD ∠是AB 与β所在的角．又∵βα//，∴ABD ∠也就等于AB 与α所成的角，即︒=∠30ABD ．∵2=AB ，∴1=AD ，3=BD ，12-=AC DC ，24AC BC +=，∴01324131222<-⋅---+≤-AC AC AC ，即：31102≤-<AC ．∴332≥AC ，即AC 长的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,332．解法2：如图：∵ACAB ⊥∴AC 必在过点A 且与直线AB 垂直的平面γ内设l =βγ ，则在γ内，当l AC ⊥时，AC 的长最短，且此时ABCAB AC ∠⋅=tan 33230tan =︒⋅AB 而在γ内，C 点在l 上移动，远离垂足时，AC 的长将变大，从而332≥AC ，即AC 长的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,332．说明：(1)本题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系，对于运算能力和空间想象能力有较高的要求，供学有余力的同学学习．(2)解法1利用余弦定理，采用放缩的方法构造出关于AC 长的不等式，再通过解不等式得到AC 长的范围，此方法以运算为主．(3)解法2从几何性质角度加以解释说明，避免了繁杂的运算推导，但对空间想象能力要求很高，根据此解法可知线段AC 是连结异面直线AB 和l 上两点间的线段，所以AC 是AB 与l 的公垂线段时，其长最短．2.如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．已知：γα//，γβ//，求证：βα//．分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力．由于两个平面没有公共点称两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明．另外也可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行来推理证明面面平行，或者也可以证明这两个平面同时垂直于某一直线．证明一：如图，假设α、β不平行，则α和β相交．∴α和β至少有一个公共点A ，即α∈A ，β∈A ．∵γα//，γβ//，∴γ∉A ．于是，过平面γ外一点A 有两个平面α、β都和平面γ平行，这和“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”相矛盾，假设不成立。

高考数学考前刷题大卷练4 集合、常用逻辑用语、函数与导数(文)(含解析)-人教版高三全册数学试题

大卷练4 集合、常用逻辑用语、函数与导数大卷练一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.[2019·东北三省四市模拟]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，B ＝{x |－2≤x ≤3}，那么阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤3} 答案：D解析：由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁U A )∩B ＝{x |－1≤x ≤3}，故选D. 2．[2017·卷，6]设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：由存在负数λ，使得m ＝λn ，可得m 、n 共线且反向，夹角为180°，则m ·n ＝－|m |·|n |<0，故充分性成立．由m ·n <0，可得m ，n 的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．故选A.3．[2019·某某马某某第一次教学质量检测]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 018)＝( )A ．44B ．45C ．1 009D ．2 018 答案：A解析：由442＝1 936,452＝2 025可得1，2，3，…， 2 018中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 018)＝44.4．[2019·某某模拟]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x＋log 2x ，则f (2 015)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2 答案：D解析：由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.5．[2019·某某某某五校联考]下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．f (x )＝2x －2－xB ．f (x )＝x 2－1 C ．f (x )＝log 12|x | D ．f (x )＝x sin x答案：B解析：f (x )＝2x－2－x是奇函数，故不满足条件；f (x )＝x 2－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故满足条件；f (x )＝log 12|x |是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件；f (x )＝x sin x 是偶函数，但是在(0，＋∞)上不单调．故选B.6．[2019·某某第一中学一诊模拟]设a ＝213，b ＝log 43，c ＝log 85，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a 答案：A解析：由指数函数的性质知a >1，由对数函数的性质得0<b <1,0<c <1.c 可化为log 235；b 可化为log 23，∵(35)6<(3)6，∴b >c ，∴a >b >c ，故选A.7．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋2的定义域为[1，t ]，f (x )的最大值与最小值之和为－3，则实数t 的取值X 围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．(2,3) 答案：B解析：f (x )＝x 2－4x ＋2的图象开口向上，对称轴为x ＝2，f (1)＝－1，f (2)＝－2.当1<t <2时，f (x )max ＝f (1)＝－1，f (x )min >f (2)＝－2，则f (x )max ＋f (x )min >－3，不符合题意；当t ≥2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，则f (x )max ＝－3－f (2)＝－1，令f (x )＝－1，则x 2－4x ＋2＝－1，解得x ＝1或x ＝3，∴2≤t ≤3.故选B.8．[2019·某某某某第一次大联考]若函数f (x )＝a x－k ·a －x(a >0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a (x ＋k )的大致图象是( )答案：B解析：由题意得f (0)＝0，得k ＝1，a >1，所以g (x )＝log a (x ＋1)为(－1，＋∞)上的单调递增函数，且g (0)＝0，故选B.9．[2019·某某大卷练]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11) 答案：C解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f1＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.10．[2019·某某某某郊联体模拟]如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2,3) 答案：C解析：由函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象得0<b <1，f (1)＝0，即有a ＝－1－b ，从而－2<a <－1.而g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a <0，g (1)＝ln1＋2＋a ＝2＋a >0，∴函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故选C. 11．[2019·某某某某第一中学模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x <0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3，满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤113，6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫203，263C.⎝⎛⎦⎥⎤203，263 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫113，6答案：D解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x <0的图象如图，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 2，x 3关于直线x ＝3对称，故x 2＋x 3＝6，且x 1满足－73<x 1<0，则－73＋6<x 1＋x 2＋x 3<0＋6，即x 1＋x 2＋x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫113，6.故选D. 12．[2019·某某某某一中质检]已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax .若g (x )＝1ex ，且对任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使f ′(x 1)≤g (x 2)成立，则实数a 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，e e －8 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e e －8，＋∞ C ．[2，e) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－33，e 2 答案：A解析：对任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使f ′(x 1)≤g (x 2)，∴[f ′(x )]max ≤[g (x )]max . 又f ′(x )＝(x ＋1)2＋a －1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，∴[f ′(x )]max ＝f ′(2)＝8＋a .而g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，则[g (x )]max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e e ，∴8＋a ≤e e ，则a ≤ee－8.故选A. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．log 327－log 33＋(5－1)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫9412＋cos 4π3＝________.答案：0解析：原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.14．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值X 围是__________．答案：{a |a ≤－2或a ＝1}解析：由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，因为x ∈[1,2]，所以a ≤1.要使q 成立，则有Δ＝4a2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≥1或a ≤－2.因为命题p 且q 是真命题，所以p ，q同时为真，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ≥1或a ≤－2，故a ≤－2或a ＝1.15．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1，x <1，3－5x ，x ≥1，则f (f (0))＝________.答案：－2解析：因为f (0)＝1，所以f (f (0))＝f (1)＝－2.16．[2019·某某八校联考]曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 为原点)是以∠A 为顶角的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为________．答案：60°解析：解法一因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2.设点B (x 0，x 30)(x 0≠0)，则k l ＝3x 20，所以切线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．取y ＝0，则x ＝23x 0，所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0，0.易知线段OB 的垂直平分线方程为y －x 302＝－1x 20x －x 02，根据线段OB 的垂直平分线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0，0可得－x 302＝－1x 20⎝⎛⎭⎪⎫23x 0－x 02，解得x 20＝33，所以k l ＝3x 20＝3，故切线l 的倾斜角为60°.解法二因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2.设点B (x 0，x 30)(x 0≠0)，则k l ＝3x 20，所以切线l 的方程为y －x 3＝3x 20(x －x 0)．取y ＝0，则x ＝23x 0，所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0，0.由|OA |＝|AB |，得4x 209＝x 209＋x 60，又x 0≠0，所以x 20＝33，所以k l ＝3x 20＝3，故切线l 的倾斜角为60°. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[]0，2，求m ，n 的值．解析：由y ＝f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得3y ＝mx 2＋8x ＋n x 2＋1，即()3y －m ·x 2－8x ＋3y－n ＝0∵x ∈R ，∴Δ＝64－4(3y －m )(3y －n )≥0，即32y －(m ＋n )·3y＋mn －16≤0 由0≤y ≤2，得1≤3y≤9，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1＋9mn －16＝1×9，解得m ＝n ＝5.18．(本小题满分12分)[2019·某某调研测试(二诊)]已知曲线f (x )＝ln 2x ＋a ln x ＋ax在点(e ，f (e))处的切线与直线2x ＋e 2y ＝0平行，a ∈R .(1)求a 的值； (2)求证：f x x >aex . 解析：(1)f ′(x )＝－ln 2x ＋2－a ln xx2，由f ′(e)＝－1＋2－a e 2＝－2e 2，解得a ＝3.(2)证明：f (x )＝ln 2x ＋3ln x ＋3x，f ′(x )＝－ln x ln x ＋1x 2.由f ′(x )>0，得1e<x <1，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 和(1，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上单调递增． ①当x ∈(0,1)时，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫3x e x ′＝31－x e x，∴3xex 在(0,1)上单调递增， ∴3x e x <3e <e ，∴f (x )>3x e x ，即f x x >3ex . ②当x ∈[1，＋∞)时，ln 2x ＋3ln x ＋3≥0＋0＋3＝3. 令g (x )＝3x 2ex ，则g ′(x )＝32x －x 2ex .∴g (x )在[1,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， ∴g (x )≤g (2)＝12e2<3，∴ln 2x ＋3ln x ＋3>3x 2e x ，即f x x >3ex .综上，对任意x >0，均有f x x >3ex . 19．(本小题满分12分)定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)． (1)判断k 为何值时，f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，某某数m 的取值X 围．解析：(1)k ＝0时，f (x )为R 上的奇函数，证明如下：令a ＝x ，b ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为R 上的奇函数．(2)k ＝－1时，令a ＝b ＝2，则f (4)＝2f (2)－1，f (2)＝3 ∴f (mx 2－2mx ＋3)>f (2)恒成立，又f (x )是R 上的增函数，∴mx 2－2mx ＋3>2恒成立即mx 2－2mx ＋1>0m ＝0时，3>2恒成立m ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0得0<m <1综上m 的取值X 围为[0,1)． 20．(本小题满分12分)[2019·某某馆陶县一中月考]设函数f (x )＝ln x －(a ＋1)x ，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当函数f (x )有最大值且最大值大于3a －1时，求a 的取值X 围．解析：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－(a ＋1)＝1－a ＋1xx.①当a ＋1≤0，即a ≤－1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ＋1>0，即a >－1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1a ＋1， (ⅰ)当0<x <1a ＋1时，f ′(x )>0，函数单调递增； (ⅱ)当x >1a ＋1时，f ′(x )<0，函数单调递减．综上所述，当a ≤－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >－1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ＋1上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1，＋∞上单调递减．(2)由(1)得，若f (x )有最大值，则a >－1，且f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＝ln 1a ＋1－1.∵函数f (x )的最大值大于3a －1. ∴ln1a ＋1－1>3a －1，即ln(a ＋1)＋3a <0(a >－1)．令g (a )＝ln(a ＋1)＋3a (a >－1)，∵g (0)＝0且g (a )在(－1，＋∞)上单调递增， ∴－1<a <0.故a 的取值X 围为(－1,0)．21.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R )．(1)当b ＝1时证明：函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点； (2)若当x ∈[1,2]，不等式f (x )<1有解．某某数b 的取值X 围．解析：(1)由b ＝1，得f (x )＝x 2＋x －1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12－1＝－14<0，f (1)＝12＋1－1＝1>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0，所以函数f (x )在区间(12，1)内存在零点．又由二次函数的图象，可知f (x )＝x 2＋x －1在(12，1)上单调递增，从而函数f (x )在区间(12，1)内存在唯一零点．(2)方法1：由题意可知x 2＋bx －1<1在区间[1,2]上有解，所以b <2－x 2x ＝2x－x 在区间[1,2]上有解．令g (x )＝2x－x ，可得g (x )在区间[1,2]上递减，所以b <g (x )max ＝g (1)＝2－1＝1 ，从而实数b 的取值X 围为(－∞，1)．方法2：由题意可知x 2＋bx －2<0在区间[1,2]上有解．令g (x )＝x 2＋bx －2，则等价于g (x )在区间[1,2]上的最小值小于0. 当－b2≥2即b ≤－4时，g (x )在[1,2]上递减，∴g (x )min ＝g (2)＝2b ＋2<0，即b <－1，所以b ≤－4；当1<－b 2<2即－4<b <－2时，g (x )在[1，－b2]上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b2，2上递增，∴g (x )min ＝g (－b 2)＝(b2)2－b 22－2＝－b 24－2<0恒成立．所以－4<b <－2；当－b2≤1即b ≥－2时，g (x )在[1,2]上递增，∴g (x )min ＝g (1)＝b －1<0 即b <1，所以－2≤b <1. 综上可得b ≤－4或－4<b <－2或－2≤b <1，所以b <1，从而实数b 的取值X 围为(－∞，1) 22．(本小题满分12分)[2018·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )＝e x －ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .解析：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x－1≤0.设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x－1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)·e －x＝－(x －1)2e －x. 当x ≠1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x.f (x )在(0，＋∞)只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．(i)当a ≤0时，h (x )>0，h (x )没有零点； (ii)当a >0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x.当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0; 当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)的最小值．①若h (2)>0，即a <e24，h (x )在(0，＋∞)没有零点．②若h (2)＝0，即a ＝e24，h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．③若h (2)<0，即a >e24，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)有一个零点；由(1)知，当x >0时，e x>x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a3e2a2>1－16a32a4＝1－1a>0，故h (x )在(2,4a )有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)只有一个零点时，a ＝e24.。

高考数学复习阶段测试卷四

阶段测试卷(四)统计(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．为了了解某年级学生每天参加体育锻炼的时间，比较恰当地收集数据的方法是()A．查阅资料B．问卷调查C．做试验D．以上均不对解析：选B问卷调查能达到目的，比较适合．2．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，其中某月生产的产品数量之比依次为m∶3∶2.现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本，已知A 种型号的产品抽取了45件，则实数m＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C根据分层随机抽样的特点，得mm＋3＋2＝45120，解得m＝3.故选C.3．某公司普通员工的年收入分别为x1，x2，…，x n(n≥3，n∈N*)，设这n 个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z.若加上收入最高的公司总经理的年收入x n＋1，则关于这(n＋1)个数据，下列说法正确的是()A．平均数大大增加，中位数一定变大，标准差可能不变B．平均数大大增加，中位数可能不变，标准差变大C．平均数大大增加，中位数可能不变，标准差也不变D．平均数可能不变，中位数可能不变，标准差可能不变解析：选B平均数受样本中每个数据的影响，极端值对平均数的影响很大，而中位数一般不受少数极端值的影响，标准差反映数据的离散程度，数据的离散程度也会受到x n＋1的影响而更加分散，从而标准差变大，故选B.4．(2020·山西太原高一月考)某机构对青年观众是否喜欢2020年跨年晚会进行了调查，调查结果如表所示．不喜欢喜欢男性青年观众/名3010女性青年观众/名3050n人，若在不喜欢跨年晚会的男性青年观众中抽取了6人，则n＝()A．12 B．16C．24 D．32解析：选C依题意，总人数为30＋30＋10＋50＝120，其中不喜欢跨年晚会的男性青年观众有30名，故30120＝6n，解得n＝24.故选C.5．(2020·湖南衡阳一中高一期中)在某次赛车中，50名参赛选手的成绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和18).现将比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18]，其频率分布直方图如图所示．若成绩在[13，15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为()A．11 B．15C．35 D．39解析：选A由题意可得，成绩在[13，15)内的频率为1－0.08－0.32－0.38＝0.22，又因为本次赛车中，共50名参赛选手，所以这50名选手中获奖的人数为50×0.22＝11.故选A.6．如图是某手机商城中A，B，C三种品牌的手机各季度销量的百分比条形图，根据该图，以下结论中一定正确的是()A.四个季度中，每季度B品牌和C品牌总销量之和均不低于A品牌的销量B．B品牌第二季度的销量小于第三季度的销量C．第一季度销量最大的为C品牌，销量最小的为B品牌D．A品牌的全年销量最大解析：选D对于A，第四季度中，A品牌销量大于50%，B品牌和C品牌总销量之和小于50%，故A错误；对于B，因为B品牌每个季度的销量不确定，所以无法判断，故B错误；对于C，第一季度销量最大的是A品牌，故C错误；对于D，由图知，四个季度A品牌的销量都最大，所以A品牌的全年销量最大，D正确．故选D.7．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本量为n)进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出如图所示的频率分布直方图，但不慎丢失了部分数据．已知得分在[50，60)的有8人，在[90，100]的有2人，由此推测频率分布直方图中的x＝()A．0.040 B．0.030C．0.020 D．0.010解析：选B∵得分在[50，60)的有8人，在[90，100]的有2人，∴由频率分布直方图，得82＝0.016y，所以y＝0.004，∴由频率分布直方图，得(0.004＋0.010＋0.016＋x＋0.040)×10＝1，解得x＝0.030.故选B.8．已知某地区中小学学生的人数和近视情况分布如图(1)和图(2)所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为()A.200，20 B．100，20C．200，10 D．100，10解析：选A由题图(1)知，总体个数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，∴样本量＝10 000×2%＝200.∵分层随机抽样抽取的比例为150，∴高中生抽取的学生数为40.∴抽取的高中生近视人数为40×50%＝20.故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列抽样方法不是简单随机抽样的是()A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B．某可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C．某连队从120名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号)解析：选ABC对于A，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故A中的抽样方法不是简单随机抽样；对于B，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取，故B中的抽样方法不是简单随机抽样；对于C，挑选的50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C中的抽样方法不是简单随机抽样；对于D，易知D中的抽样方法是简单随机抽样．10．统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分)，根据成绩依次分成六组：[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，得到如图所示的频率分布直方图，若不低于140分的人数为110，则下列说法正确的是()A．m＝0.031B．n＝800C．100分以下的人数为60D．成绩在区间[120，140)内的人数占大半解析：选AC分析可知，10×(m＋0.020＋0.016＋0.016＋0.011＋0.006)＝1，解得m＝0.031，故A说法正确；因为不低于140分的频率为0.011×10＝0.11，所以n＝1100.11＝1 000，故B说法错误；因为100分以下的频率为0.006×10＝0.06，所以100分以下的人数为1 000×0.06＝60，故C说法正确；成绩在区间[120，140)内的频率为0.031×10＋0.016×10＝0.47<0.5，人数占小半，故D说法错误．11．(2020·重庆一中高一期中)如图所示的折线图为某小区小型超市今年1月份到5月份的营业额和支出数据(利润＝营业额－支出)，根据折线图，下列说法中正确的是()A．该超市这五个月中的营业额一直在增长B．该超市这五个月的利润一直在增长C．该超市这五个月中五月份的利润最高D．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关解析：选ACD由题意可得，1月份的利润为3－2.5＝0.5(万元)；2月份的利润为3.5－2.8＝0.7(万元)；3月份的利润为3.8－3＝0.8(万元)；4月份的利润为4－3.5＝0.5(万元)；5月份的利润为5－4＝1(万元).所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，故选ACD.12．关于统计数据的分析，以下结论中正确的是()A．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化B．绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距C．一组数据的方差一定是正数D．如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在[50，60)的汽车大约有60辆解析：选AD对于A，正确．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变．因为方差反映一组数据的波动大小，整体变化不改变波动大小．对于B，错误．因为在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率．对于C，错误．因为根据方差的计算公式s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x n －x)2]得出方差是非负数．对于D，正确．根据题中的直方图得，时速在[50，60)的汽车大约有200×0.03×10＝60(辆).故选AD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知某高中共有2 400人，其中高一年级有600人．现对该高中全体学生进行一项调查，按年级利用分层随机抽样的方法进行抽样，需要从高一年级抽取30人，则全校一共应抽取________人．解析：设全校一共应抽取n人，则用分层随机抽样的方法可得6002 400＝30n，所以n＝120.答案：12014．某商场为了了解某日旅游鞋的销售情况，抽取了部分顾客所购鞋的尺寸，将所得数据整理后，画出如图所示的频率分布直方图．已知从左到右前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第4小组与第5小组的频率分布如图所示，第2小组的频数为10，则第4小组顾客的人数是________．解析：由题意得，第4小组与第5小组的频率分别为0.15×2＝0.3和0.05×2＝0.1，所以前3组的频率之和为0.6.又因为从左到右前3个小组的频率之比为1∶2∶3，所以从左到右第2小组的频率为0.2.因为第2小组的频数为10，所以抽取的顾客人数是100.2＝50.故第4小组顾客的人数是50×0.3＝15.答案：1515．(一题两空)某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间(单位：min)，记录如下表．等待时间 [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25] 频数 4 8 5 2 1用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x ＝________，病人等待时间方差的估计值s 2＝________．解析：x ＝120 (2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5，s 2＝120[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5.答案：9.5 28.516．为了让市场开发出更多适合消费者需求的房屋，以引导理性开发，理性消费，某房地产营销策划公司对2 000位客户的需求进行了调查，并利用专业的软件进行统计分析，绘制出如图所示的消费者对需求面积的统计分布图⎝⎛⎭⎪⎫其中需求率＝需求客户数被调查客户总数，请你观察并计算需求面积在100～140(含140，不含100)m 2的客户数是________．解析：由题设公式知所求客户数n ＝2 000×(49.5%＋12.2%)＝1 234.答案：1 234四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2020·广东广州六中期末考试)为了考察某校高三年级的教学水平，将抽查这个学校高三年级部分学生本学年的考试成绩．已知该校高三年级共有14个班，假定该校每班人数都相同．为了全面地反映实际情况，采取以下两种方法进行抽查：①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的成绩；②把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分层，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名).根据上面的叙述，试回答下列问题：(1)以上调查各自采用的是什么抽样方法？(2)分别写出上面两种抽样方法各自抽取样本的步骤．解：(1)①采用的是简单随机抽样；②采用的是分层随机抽样和简单随机抽样．(2)①的步骤如下：第一步，在这14个班中用抽签法任意抽取一个班．第二步，从这个班中用随机数法或抽签法抽取14名学生，这14人的考试成绩为样本．②的步骤如下：第一步，确定优秀学生、良好学生、普通学生三个层次抽取的人数．因为样本量与总体中的个体数的比为100∶700＝1∶7，所以在每个层次抽取的个体数依次为1057 ＝15，4207 ＝60，1757 ＝25.第二步，按层分别抽取，用简单随机抽样法分别在优秀学生中抽取15人，在良好学生中抽取60人，在普通学生中抽取25人．第三步，将所抽取的学生的考试成绩组合在一起构成样本．18．(12分)某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如表所示．(1)(2)若要开一个25人的座谈会来讨论单位发展与薪资调整方面的规划，则应怎样抽选出席人？(3)若要抽取20人调查对某运动会举办情况的了解，则应怎样抽样？解：(1)因为身体状况会因年龄而有差异，所以要抽取40人调查身体状况，应采用按年龄分层随机抽样方法．从老年人中抽取40×2002 000＝4(人)，从中年人中抽取40×6002 000＝12(人)，从青年人中抽取40×1 2002 000＝24(人).(2)要开一个25人的座谈会来讨论单位发展与薪资调整方面的规划，应采用按部门分层随机抽样法．从管理部抽取25×1602 000＝2(人)，从技术开发部抽取25×3202 000＝4(人)，从营销部抽取25×4802 000＝6(人)，从生产部抽取25×1 0402 000＝13(人).(3)要抽取20人调查对某运动会举办情况的了解，应采用按年龄分层随机抽样方法．从老年人中抽取20×2002 000＝2(人)，从中年人中抽取20×6002 000＝6(人)，从青年人中抽取20×1 2002 000＝12(人).19．(12分)(2020·北京高一期末考试)某校高一年级新入学360名学生，其中200名男生，160名女生．学校计划为家远的高一新生提供5间男生宿舍和4间女生宿舍，每间宿舍可住2名学生．该校“数学与统计”社团的学生为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层随机抽样，其中抽取的40名男生家庭居住地与学校的距离数据(单位：km)如下：5．0 6.07.07.58.08.4 4.0 3.5 4.5 4.35．0 4.0 3.0 2.5 4.0 1.6 6.0 6.5 5.5 5.73．1 5.2 4.4 5.0 6.4 3.57.0 4.0 3.0 3.46．9 4.8 5.6 5.0 5.6 6.5 3.0 6.07.0 6.6(1)根据以上样本数据推断，若男生甲的家庭居住地与学校的距离为8.3 km，他是否住校，并说明理由；(2)通过计算得到男生样本数据的平均数为5.1 km，女生样本数据的平均数为4.875 km，求所有样本数据的平均数，并估计总体数据的平均数．解：(1)能住宿．因为200名男生中有10名男生能住宿，所以40名男生样本中有2名男生能住宿．样本数据中距离为8.4 km 和8 km 的男生可以住宿，距离为7.5 km 以下的男生不可以住宿，由于8.3＞8，所以男生甲能住宿．(2)根据分层随机抽样的原则，抽取女生样本数为32人．所有样本数据平均数为40×5.1＋32×4.87540＋32＝5.所以估计总体数据的平均数为5.20．(12分)(2020·河南郑州高一期末考试)近年来，郑州经济快速发展，跻身新一线城市行列，备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形快速铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无能出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1 000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a ＝4b .(1)求a ，b 的值；(2)估计郑州市民的满意程度的平均数、众数、中位数．解：(1)依题意得(a ＋b ＋0.008＋0.027＋0.035)×10＝1，所以a ＋b ＝0.03，又因为a ＝4b ，所以a ＝0.024，b ＝0.006.(2)平均数为55×0.08＋65×0.24＋75×0.35＋85×0.27＋95×0.06＝74.9，由于分数在[50，70)内的频率为0.08＋0.24＝0.32，分数在[50，80)内的频率为0.08＋0.24＋0.35＝0.67，故中位数为70＋0.5－0.08－0.240.035≈75.14，众数为70＋802 ＝75.故估计郑州市民的满意程度的平均数、众数、中位数分别为74.9，75，75.14. 21．(12分)(2020·广东肇庆高一期末)学校教育非常关注学生的健康成长，某小学的教育行政主管部门为了了解小学生的体能情况，抽取该校二年级的部分学生进行两分钟跳绳次数测试，测试成绩分成[50，75)，[75，100)，[100，125)，[125，150]四个部分，并画出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右前三个小组的频率分别为0.1，0.3，0.4，且第一小组(从左向右数)的人数为5人．(1)求第四小组的频率；(2)求参加两分钟跳绳测试的学生人数；(3)若两分钟跳绳次数不低于100的学生体能为达标，估计该校二年级学生体能的达标率．(用百分数表示)解：(1)第四小组的频率为1－(0.1＋0.3＋0.4)＝0.2.(2)设参加两分钟跳绳测试的学生有x人，则0.1x＝5，解得x＝50.∴参加两分钟跳绳测试的学生人数为50.(3)由题意及频率分布直方图知，参加两分钟跳绳次数不低于100的学生所占频率为0.4＋0.2＝0.6，∴估计该校二年级学生体能的达标率为60%.22．(12分)(2020·广西桂林中学高一月考)某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率0≤t<5005≤t<10100.1010≤t<1510②15≤t<20①0.5020≤t≤25300.30合计100 1.00解答下列问题：(1)这次抽样的样本量是多少？(2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图．(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？解：(1)样本量是100.(2)①50②0.10所补频率分布直方图如图中的阴影部分．(3)设旅客平均购票用时为t min，则有t＝7.5×10＋12.5×10＋17.5×50＋22.5×30100＝17.5，所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组15≤t<20中．。

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习课时规范练4基本不等式北师大版

课时规范练4 基本不等式基础巩固组1.下列不等式正确的是( ) A.x-1+1x -1≥2(x>0) B.(a+4)1a +1≥8(a>0)C.lg x ·lg y ≤[lg(xy)]24(x>1,y>1)D.lg(a 2+1)>lg |2a|(a ≠0)2.(2021河北邯郸高三月考)函数y=4x 2(6-x 2)的最大值为( ) A.36 B.6C.9D.183.(2021广东惠州高三期末)若a<1则a+1a -1的最大值是( ) A.3 B.aC.-1D.2√aa -14.(2021北京西城高三月考)设正实数a ,b 满足a+b=1,则下列说法错误的是( ) A.√ab 有最大值12B.1a+2b+12a+b有最小值3C.a 2+b 2有最小值12D.√a +√b 有最大值√25.(2021浙江丽水高三模拟)设x ,y>1,z>0,z 为x 与y 的等比中项,则lgz 2lgx+lgz 4lgy的最小值为( )A.38+√24 B.2√2+12C.43+√22D.2√26.下列不等式一定成立的是( ) A.x+1x ≥2B.2x(1-x)≤14C.x2+3x2+1>2√3-1D.√x√x≥27.若非负实数a,b满足a+b2=1,则下列不等式不成立的是()A.ab2≤14B.a2+b4≥12C.√a+b≥√2D.a2+b2≥348.已知x>0,y>0,且x2+xy-x+5y=30,则()A.xy的最大值为9B.1x +1y的最小值为1C.x-1y的最小值为4 D.x2+y2的最小值为209.(2021湖北黄冈高三期中)当x>1时不等式x 2+3x-1>m2+1恒成立,则实数m的取值范围是.10.(2021天津耀华中学高三二模)如果a>b>0,那么a 4+1b(a-b)的最小值是.综合提升组11.(2021天津高三一模)已知a>0,b>0,且ab=a+b+3,则a+b的最小值为()A.4B.8C.7D.612.(2021贵州贵阳高三月考)若圆x2+y2-4x+2y+1=0被直线ax-2by-2=0(a>0,b>0)截得的弦长为4,则1a +1b的最小值是()A.9B.4C.12D.1413.(2021浙江镇海中学高三模拟)已知a,b,c是不同时为0的实数,则2ab+bca2+4b2+c2的最大值为.创新应用组14.(2021江苏南京高三期中)已知α,β∈0,π2,sin(2α+β)=2sin β,则tan β的最大值为()A.√33B.23C.1D.√32课时规范练4 基本不等式1.C 解析:当x>1,y>1时,lg x>0,lg y>0,所以lg x ·lg y ≤lgx+lgy22=lg(xy)22=[lg(xy)]24,当且仅当x=y 时,不等式中的等号成立,故C 正确.2.A 解析:由基本不等式可得y=4x 2(6-x 2)≤4·x 2+6-x 222=36,当且仅当x 2=6-x 2,即x=±√3时,等号成立,函数取得最大值36.3.C 解析:因为a<1,所以a-1<0,因此a+1a -1=a-1+1a -1+1≤-2√(1-a)·11-a +1=-1,当且仅当1-a=11-a ,即a=0时,等号成立,故a+1a -1(a<1)的最大值是-1,故选C .4.B 解析:对于A,由基本不等式可得√ab ≤a+b 2=12,当且仅当a=b=12时,等号成立,故A 正确;对于B,由基本不等式可得1a+2b +12a+b=13[(a+2b )+(2a+b )]1a+2b+12a+b=132+2a+b a+2b +a+2b 2a+b ≥132+2√a+2b 2a+b·2a+b a+2b=43,当且仅当a=b=12时,等号成立,故B 错误;对于C,因为1=(a+b )2=a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2),所以a 2+b 2≥12,当且仅当a=b=12时,等号成立,故C 正确;对于D,(√a +√b )2=a+b+2√ab ≤2(a+b )=2,则√a +√b ≤√2,当且仅当a=b=12时,等号成立,故D 正确.故选B . 5.A 解析:因为x ,y>1,z>0,且z 为x 和y 的等比中项,所以z 2=xy ,lgz 2lgx +lgz4lgy =12lg(xy)2lgx+12lg(xy)4lgy=lgx+lgy 4lgx+lgx+lgy 8lgy=38+lgy 4lgx +lgx 8lgy ≥38+2√lgy 4lgx ·lgx 8lgy =38+√24当且仅当lgy 4lgx =lgx8lgy ,即lg x=√2lg y 时,等号成立,故选A .6.D 解析:对于A,当x<0时,x+1x<0,故A 错误;对于B,2x (1-x )=-2x 2+2x=-2x-122+12≤12,故B 错误;对于C,x 2+3x 2+1=x 2+1+3x 2+1-1≥2√(x 2+1)·3x 2+1-1=2√3-1,当且仅当x 2=√3-1时,等号成立,故C 错误;对于D,√x +1√x≥2√√x ·1√x=2,当且仅当x=1时,等号成立,故D 正确.故选D .7.C 解析:对于A,利用基本不等式可得ab 2≤a+b 222=14,当且仅当a=b 2=12时,等号成立,故A 正确;对于B,1=(a+b 2)2=a 2+b 4+2ab 2≤2(a 2+b 4),所以a 2+b 4≥12,当且仅当a=b 2=12时,等号成立,故B 正确;对于C,(√a +b )2=a+b 2+2√ab 2≤2(a+b 2)=2,即√a +b ≤√2,当且仅当a=b 2=12时,等号成立,故C 错误;对于D,因为a+b 2=1≥a ,又a ≥0,所以0≤a ≤1,所以a 2+b 2=a 2+1-a=a-122+34≥34,当且仅当a=12时,等号成立,故D 正确.故选C .8.A 解析:由题可得(x 2-x-30)+(xy+5y )=0,整理得(x+5)·(x+y-6)=0,因为x>0,所以x+y=6.对于A,x+y ≥2√xy ,所以xy ≤9,当且仅当x=y=3时,等号成立,故A 正确;对于B,1x+1y=16(x+y )1x+1y=162+yx +xy ≥23,当且仅当x=y=3时,等号成立,故B 错误;对于C,x-1y =6-y-1y =6-y+1y ≤6-2=4,当且仅当x=5,y=1时,等号成立,故C 错误;对于D,x 2+y 2=(x+y )2-2xy=36-2xy ≥36-2x+y 22=18,当且仅当x=y=3时,等号成立,故D 错误.故选A . 9.(-√5,√5) 解析:因为x 2+3x -1=(x -1)2+2(x -1)+4x -1=(x-1)+4x -1+2≥2√4+2=6,当且仅当x=3时,等号成立,所以要使不等式恒成立,应有m 2+1<6,解得-√5<m<√5. 10.8 解析:因为a>b>0,所以a-b>0,所以b (a-b )≤b+a -b 22=a 24,当且仅当b=a-b ,即a=2b 时,等号成立.所以a 4+1b(a -b)≥4(a 4+1)a 2=4a 2+1a 2≥8,当且仅当a=1,b=12时,等号成立.故a 4+1b(a -b)的最小值是8.11.D 解析:∵ab=a+b+3,a>0,b>0,∴a+b+3≤a+b 22,当且仅当a=b ,即a=b=3时,等号成立,解得a+b ≥6或a+b ≤-2(舍去),∴a+b 的最小值为6,故选D .12.B 解析:圆x 2+y 2-4x+2y+1=0的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,它表示以(2,-1)为圆心,以2为半径的圆.设弦心距为d ,由题意可得22+d 2=4,求得d=0,可得直线经过圆心,故有2a+2b=2,即a+b=1.再由a>0,b>0,可得1a+1b =1a+1b(a+b )=2+b a+a b≥2+2√b a·a b=4,当且仅当a=b=12时,等号成立,故1a+1b的最小值是4,故选B .13.√54 解析:由于a 2+4b 2+c 2=a 2+165b 2+c 2+45b 2,又a 2+165b 2≥2a ×4√5b=8√55ab ,当且仅当a=4√5b 时,等号成立,c 2+45b 2≥2c ×2b√5=4√55bc ,当且仅当c=2√5b 时,等号成立,所以a 2+4b 2+c 2≥8√55ab+4√55bc=4√55(2ab+bc ),当且仅当a=2c=4√5b 时,等号成立,所以2ab+bca 2+4b 2+c 2≤2ab+bc 4√55(2ab+bc)=√54,当且仅当a=2c=4√5b 时,等号成立.14.A 解析:∵sin(2α+β)=sin2αcos β+cos2αsin β, ∴sin2αcos β=2sin β-cos2αsin β=sin β(1+2sin 2α). ∵α,β∈0,π2,∴tan β=sin2α1+2sin 2α=2sinαcosαcos 2α+3sin 2α=2tanα1+3tan 2α=21tanα+3tanα,且tan α∈(0,+∞),∴tan β=21tanα+3tanα≤2√1tanα·3tanα=√33,当且仅当tan α=√33时,等号成立,故选A .。

数学一轮复习练案46文第七章立体几何大题规范解答系列四_立体几何文练习含解析

高考大题规范解答系列(四）-—立体几何（文）1．(2016·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证:（1)A1B1∥平面DEC1；（2)BE⊥C1E.［解析](1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB∥A1B1,所以A1B1∥ED。

又因为ED⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1,所以A1B1∥平面DEC1。

（2）因为AB＝BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC．因为三棱柱ABC－A1B1C1是直棱柱，所以C1C⊥平面ABC．又因为BE⊂平面ABC，所以C1C⊥BE。

因为C1C⊂平面A1ACC1,AC⊂平面A1ACC1，C1C∩AC＝C,所以BE⊥平面A1ACC1。

因为C1E⊂平面A1ACC1，所以BE⊥C1E。

2。

(2021·河南开封模拟）如图，直棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形,E，F分别为棱A1B1,CD的中点，AB⊥EF。

（1）求证:AB⊥AD；(2）若AD＝AA1＝2，求几何体AA1DFBE的体积．[解析］（1)证明：直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形,所以A1E∥DF,又E，F分别为棱A1B1，CD的中点，所以A1E＝DF，所以A1EFD是平行四边形，所以EF∥A1D.因为AB⊥EF，所以AB⊥A1D,又AB⊥AA1,A1D∩AA1＝A1,所以AB⊥平面ADD1A1,AD⊂平面ADD1A1,所以AB⊥AD.（2)由已知AA1＝AD＝AB＝2，ABCD－A1B1C1D1为正方体，取AB的中点记为O，连接EO，FO，AB⊥平面EOF，易知EOF－A1AD为直三棱柱，B－EOF为三棱锥，所以VEOF－A1AD＝12×2×2×1＝2，V B－EOF＝错误!×错误!×1＝错误!，几何体AA1DFBE的体积V＝VEOF－A1AD＋V B－EOF＝2＋错误!＝2错误!.3．（2021·四川乐山调研)如图，边长为4的正方体ABCD中,点E是AB的中点，点F是BC的中点,将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起,使A，C两点重合于点A′.（1）求证：A′D⊥EF；（2)求三棱锥A′－EBF的体积．[解析］（1)证明：∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F＝A′，∴A′D⊥平面A′EF，且EF⊆平面A′EF,∴A′D⊥EF。

高考理科数学二轮复习练习：大题规范练1“17题～19题+二选一”46分练

大题规范练(一)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45 分钟分值：46 分)解答题(本大题共 4 小题，共46 分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知正项等差数列{ a n} 的前n项和为S n，且知足a1＋a5＝2a723，S7＝63.(1)求数列{a n} 的通项公式a n；(2)若数列{b n}知足b1＝a1 且b n＋1－b n＝a n＋1，求数列1b n的前n项和T n.【导学号：07804229】[解] (1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n} 的首项为a1，公差为d，易知a n＞0，2a1＋a1＋4d＝1＋2d7 a则2，7a1＋21d＝63a＝31解得，d 2＝∴a n＝2n＋1.22法二：(等差数列的性质)∵{ a n} 是等差数列且a1＋a5＝3，∴2a3＝a7 272 a3，又a n＞0，∴a3＝7.∵S7＝a1＋a72＝7a4＝63，∴a4＝9，∴d＝a4－a3＝2，∴a n＝a3＋( n－3)d＝2n＋1.＋1－b n＝a n＋1 且a n＝2n＋1，(2)∵b n∴b n＋1－b n＝2n＋3，当n≥2时，b n＝( b n－b n －1－b n－2)＋⋯＋(b2－b1)＋b1＝(2 n＋1)＋(2n－1)＋⋯＋5＋3＝－1)＋(b nn(n＋2)，当n＝1时，b1＝3知足上式，故b n＝n( n＋2)．1 1 ∴＝b nn n＋＝121 1－n n＋2.1 ∴T n＝＋b11＋⋯＋b21＋b n－1－11b n1＝2 1－13＋1 1－2 4＋1－315＋⋯＋1－n－11n＋1＋1n－1n＋212＝1＋12－1 1－n＋1 n＋23 ＝－42n＋3n＋n＋.18．如图1，已知直角梯形ABCD 中，AB＝AD＝12CD＝2，AB∥DC，AB⊥AD，E为C D 的中点，沿AE 把△DAE 折起到△PAE 的地点(D 折后变成P)，使得PB＝2，如图2.(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；(2)求直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图(1)，取AE 的中点O，连结PO，OB，BE.因为在平面图形中，如题图(图1)，连结BD，BE，易知四边形ABED为正方形，图(1)因此在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，因此PO⊥AE，OB⊥AE，PO＝OB＝2，因为PB＝2，因此PO2＋OB2＝PB2，因此PO⊥OB，又AE∩OB＝O，因此PO⊥平面ABCE，因为PO? 平面PAE，因此平面PAE⊥平面ABCE .(2)由(1)知，OB，OE，OP 两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OE，OP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系，如图(2)，则O(0,0,0)，P(0,0，2)，B( 2，0,0)，E(0，→→→＝( 2，0，－2)，EP＝(0，－2，2)，EC＝( 2，2，0)．2，0)，C( 2，2 2，0)，PB图(2)设平面PCE 的法向量为n＝(x，y，z)，→n·EP则→＝0，＝0，n·EC 即－2y＋2z＝0，2x＋2y＝0，令x＝1，得y＝－1，z＝－1，故平面PCE 的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．→因此cos〈PB，n〉＝→PB·n 2 2＝＝→2 3|PB| ·|n|6，36因此直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值为.319.某学校为鼓舞家校互动，与某手机通信商合作，为教师办理流量套餐．为认识该校教师手机流量使用状况，经过抽样，获得100 位教师近 2 年每人手机月均匀使用流量L(单位：M) 的数据，其频次散布直方图以下：图3若将每位教师的手机月均匀使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频次视为概率，回答以下问题．(1)从该校教师中随机抽取 3 人，求这3人中至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率；(2)现该通信商推出三款流量套餐，详情以下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA 20 300B 30 500C 38 700这三款套餐都有以下附带条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦高出套餐流量，系统就自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元；假如又高出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元，以此类推，假如当月流量有节余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购此中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并肩负系统自动充值的流量资费的75%，其他部分由教师个人肩负，问学校正购哪一款套餐最经济？说明原因．[解] (1)记“从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量不超出300 M ”为事件 D.依题意，P(D )＝(0.000 8＋0.002 2) ×100＝0.3.X～这3 人中手机月使用流量不超出300 M 的人数为X，则中随机抽取 3 人，设从该校教师B(3,0.3)，中随机抽取 3 人，至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率为P(X＝校教师因此从该0 03＋C31×0.3 ×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.0)＋P(X＝1)＝C3×0.3 ×(1－0.3)(2)依题意，从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量L∈(300,500] 的概率为(0.002 5(0.000 8＋0.000 2) ×100＝0.1.＋0.003 5) ×100＝0.6，L∈(500,700] 的概率为X1 元，则X1 的全部可能取值为当学校正购A 套餐时，设为学校为1位教师肩负的月花费20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P( X1＝50)＝0.1，因此X1 的散布列为X1 20 35 50P 0.3 0.6 0.1因此E(X1)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．费X2元，则X2的全部可能取值为30,45，肩负的月花为当学校正购B 套餐时，设学校为1位教师且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1，因此X2 的散布列为X2 30 45P 0.9 0.1因此E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝31.5(元)．为费X3 元，则X3 的全部可能取值为38，当学校正购C 套餐时，设学校为1位教师肩负的月花且P(X3＝38)＝1，因此E(X3)＝38×1＝38(元)．因为E(X2)＜E(X1)＜E(X3)，．济因此学校正购B 套餐最经(请在第22～23题中选一题作答，假如多做，则依据所做第一题计分)22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标方程为ρ系中，圆C的极坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O为原点，极轴所在成立平面直角坐标系.为x轴直线【导学号：07804230】(1)求圆C的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y 的最大值，并求出此时点P 的．直角坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，[解] (1)因为ρ因此x2＋y2－4x－4y＋3＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝5为方程，圆C 的直角坐标(θ为参数)．x＝2＋5cos θy＝2＋5sin θC的参数方程为因此圆2＋y2－4x－4y＋3＝0，整理得5y2＋4(1－t)y＋t2 (2)法一：设x＋2y＝t，得x＝t－2y，代入x－4t＋3＝0 (*) ，则对于y 的方程必有实数根．因此Δ＝16(1－t)2－20(t2－4t＋3) ≥0，化简得t2－12t＋11≤0，解得1≤t≤ 1 1，即x＋2y 的最大值为11.将t＝11 代入方程(*) 得y2－8y＋16＝0，解得y＝4，代入x＋2y＝11，得x＝3，故x＋2y 的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4)．法二：由(1)可设点P(2＋5cos θ，2＋5sin θ)，则x＋2y＝6＋5cos θ＋2 5sin θ＝6＋55 2 55 cos θ＋ 5 sin θ，设s in α＝5 2 5，则c os α＝，因此x＋2y＝6＋5sin(θ＋α)，5 5当sin(θ＋α)＝1时，(x＋2y)max＝11，π此时，θ＋α＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝2 π－α＋2kπk(∈Z)，2因此sin θ＝cos α＝2 55，cos θ＝sin α＝5，故点P 的直角坐标为(3,4)．523．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)．(1)解对于x 的不等式f( x)＞5；(2)若不等式f(x) ≥g(x)对随意x∈R恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)由f(x)＞5，得|x－2|＞3，∴x－2＜－3 或x－2＞3，解得x＜－1 或x＞5.故原不等式的解集为{ x|x＜－1 或x＞5} ．(2)由f(x) ≥g(x)，得|x－2|＋2≥m|x|对随意x∈R恒成立，当x＝0时，不等式|x－2|＋2≥0恒成立，|x－2|＋2当x≠0时，问题等价于m≤对随意非零实数恒成立，|x||x－2|＋2 |x－2＋2|∵＝1，∴m≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]．≥|x| |x|。

高考数学一轮总复习课时规范练40圆的方程北师大版

课时规范练40 圆的方程基础巩固组1.与圆(x-1)2+y 2=4圆心相同且过点P (-2，4)的圆的标准方程为( ) A.(x-1)2+y 2=17 B.(x+1)2+y 2=25 C.(x+1)2+y 2=17D.(x-1)2+y 2=252.若点P (1，1)在圆C :x 2+y 2+x-y+k=0外，则实数k 的取值范围是( ) A.(-2，+∞) B.[-2,-12)C.(-2,12)D.(-2，2)3.(2021安徽合肥第六中学模拟)点M (0，1)与圆x 2+y 2-2x=0上的动点P 之间的最近距离为( ) A.√2B.2C.√2+1D.√2-14.(2021北京高三二模)已知实数x ，y 满足x 2+y 2+4x-6y+12=0，则x 的最大值是( ) A.3B.2C.-1D.-35.已知圆M 的一般方程为x 2+y 2-8x+6y=0，则下列说法中错误的是( ) A.圆M 的圆心为(4，-3) B.圆M 截x 轴所得的弦长为8 C.圆M 的半径为25D.圆M 截y 轴所得的弦长为66.已知圆C 关于y 轴对称，过点(1，0)，且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的方程可能为( ) ①x 2+(y +√33)2=43 ②x2+(y -√33)2=43③(x-√3)2+y 2=43④(x+√3)2+y 2=43A.①②B.②③C.③④D.①④7.(2021江苏扬州中学模拟)已知a ∈R ，方程a 2x 2+(a+2)y 2+2x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是 .8.过圆x 2+y 2-4x=0的圆心且与直线2x+y=0垂直的直线方程为 .9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 截x 轴所得的线段长为2√2，截y 轴所得的线段长为2√3. (1)求圆心P 的轨迹方程;(2)若P 点到直线y=x 的距离为√22，求圆P 的方程.综合提升组10.(2021重庆巴蜀中学高三月考)圆C 为过点P (4，3)，Q (2，5)的圆中最小的圆，则圆C 上的任意一点M 到原点O 距离的取值范围为( ) A.[2，5]B.[3，6]C.[5-2√2，5+2√2]D.[5-√2，5+√2]11.实数x ，y 满足x 2+y 2+2x=0，则下列关于yx -1的判断正确的是( ) A.yx -1的最大值为√3 B.y x -1的最小值为-√3 C.yx -1的最大值为√33 D.y x -1的最小值为012.已知等腰三角形ABC 的底边BC 对应的顶点是A (4，2)，底边的一个端点是B (3，5)，则底边另一个端点C 的轨迹方程是 .13.在△ABC 中，AB=4，AC=2，A=π3，动点P 在以点A 为圆心，半径为1的圆上，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .14.已知圆O :x 2+y 2=1，点A (-1，0)，B (1，0)，且点P 是圆O 上异于A ，B 的动点. (1)证明:k AP k BP 是定值;(2)过点P 作x 轴的垂线，垂足为点Q ，点M 满足2PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点M 的轨迹方程; (3)在(2)的条件下证明:k AM k BM 是定值.创新应用组15.(2021江苏南京雨花台中学月考)现有△ABC ，AC=6，sin C=2sin A ，则当△ABC 的面积最大时，BC 的长为 .课时规范练40 圆的方程1.D 解析:由圆(x-1)2+y 2=4的方程可知圆心为(1，0). 设所求圆的方程为(x-1)2+y 2=r 2，代入(-2，4)得(-2-1)2+42=r 2，解得r=5，所以圆的标准方程为(x-1)2+y 2=25. 故选D .2.C 解析:由题意得{1+1+1−1+k >0,1+1−4k >0,解得-2<k<12.故选C .3.D 解析:将圆x 2+y 2-2x=0化为标准方程得(x-1)2+y 2=1，所以圆心为(1，0)，半径为1，所以点M 到圆心的距离为√(0-1)2+(1−0)2=√2，所以点M 与圆上的动点P 之间的最近距离为√2-1. 故选D .4.C 解析:方程可化为(x+2)2+(y-3)2=1，所以(x ，y )在圆心(-2，3)，半径r=1的圆上，所以x 的最大值是-2+1=-1. 故选C .5.C 解析:由x 2+y 2-8x+6y=0，得(x-4)2+(y+3)2=25，所以圆M 的圆心坐标为(4，-3)，半径为5，圆M 截x 轴所得的弦长为8，圆M 截y 轴所得的弦长为6.故选C .6.A 解析:由已知得圆C 的圆心在y 轴上，且被x 轴所截得的劣弧所对的圆心角为2π3.设圆心的坐标为(0，a )，半径为r ，则r sin π3=1，r cos π3=|a|，解得r=2√33，即r 2=43，|a|=√33，即a=±√33.故圆C 的方程为x 2+(y+√33)2=43或x2+(y -√33)2=43.故选A .7.(-1，-4) 解析:因为方程a 2x 2+(a+2)y 2+2x+8y+5a=0表示圆，所以a 2=a+2≠0，解得a=-1或a=2. 当a=-1时，方程x 2+y 2+2x+8y-5=0，即(x+1)2+(y+4)2=22，所求圆的圆心坐标为(-1，-4);当a=2时，方程4x 2+4y 2+2x+8y+10=0，即x 2+y 2+12x+2y+52=0，此时(12)2+22-4×52=-234<0，方程不表示圆.综上所述，圆心坐标是(-1，-4).8.x-2y-2=0 解析:由x 2+y 2-4x=0，得(x-2)2+y 2=4，所以圆心为(2，0).由2x+y=0得直线2x+y=0的斜率为-2，所以与直线2x+y=0垂直的直线的斜率为12，所以所求直线的方程为y-0=12(x-2)，即x-2y-2=0. 9.解(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ，则y 2+2=r 2，x 2+3=r 2， ∴y 2+2=x 2+3，即y 2-x 2=1， ∴圆心P 的轨迹方程为y 2-x 2=1. (2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则00√2=√22，即|x 0-y 0|=1， ∴y 0-x 0=±1，即y 0=x 0±1.①当y 0=x 0+1时，由y 02−x 02=1，得(x 0+1)2-x 02=1，∴{x 0=0,y 0=1,∴r 2=3， ∴圆P 的方程为x 2+(y-1)2=3.②当y 0=x 0-1时，由y 02−x 02=1，得(x 0-1)2-x 02=1，∴{x 0=0,y 0=−1,∴r 2=3， ∴圆P 的方程为x 2+(y+1)2=3.综上所述，圆P 的方程为x 2+(y-1)2=3或x 2+(y+1)2=3.10.D 解析:过点P ，Q ，以线段PQ 为直径的圆最小，则圆心为C (3，4)，半径为√2. ∵圆心到原点的距离为5，∴点M 到原点O 距离的取值范围为[5-√2，5+√2].故选D . 11.C 解析:由题意可得方程x 2+y 2+2x=0表示圆心为点C (-1，0)，半径为1的圆，则yx -1为圆上的点到定点P (1，0)的斜率.设过P (1，0)的直线为y=k (x+1)，即kx-y+k=0，则圆心到直线kx-y+k=0的距离d=r ，即√1+k 2=1，整理可得3k 2=1，解得k=±√33，所以yx -1∈[-√33,√33]，即yx -1的最大值为√33，最小值为-√33.故选C .12.(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3，5)，(5，-1)两点) 解析:设C (x ，y ).由题意知，|AB|=√(3-4)2+(5−2)2=√10.因为△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，所以|CA|=|AB|=√10，即点C 的轨迹是以点A 为圆心，√10为半径的圆.又点A ，B ，C 构成三角形，所以三点不可共线，所以轨迹中需去掉点B (3，5)及点B 关于点A 对称的点(5，-1)，所以点C 的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10(去掉(3，5)，(5，-1)两点).13.5-2√7 解析:如图，以点A 为原点，AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (4，0)，C (1，√3).设P (x ，y )，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x ，-y )，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x ，√3-y )，所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x )(1-x )-y (√3-y )=x 2-5x+y 2-√3y+4=(x -52)2+(y -√32)2-3.因为(x -52)2+(y -√32)2表示圆A 上的点P 与点M (52,√32)之间的距离|PM|的平方，由图得|PM|min =|AM|-1=√(52)2+(√32)2-1=√7-1，所以PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为(√7-1)2-3=5-2√7. 14.(1)证明由题意可知直线AP ，BP 的斜率均存在.因为线段AB 是圆O 的直径，所以AP ⊥BP ，所以k AP k BP =-1，即k AP k BP 是定值.(2)解设P (m ，n )，M (x ，y )，则Q (m ，0)，所以PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，-n )，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-m ，y-n ).因为2PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =-PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{2×0=−(x -m),-2n =−(y -n), 所以{m =x,n =13y.① 因为点P 在圆O 上，所以m 2+n 2=1. ②将①代入②，得x 2+y 29=1.又点P 异于A ，B 两点，所以m ≠±1，即点M 的轨迹方程为x 2+y 29=1(x ≠±1).(3)证明由题可知直线AM ，BM 的斜率均存在. 由M (x ，y )，得k AM =y x+1，k BM =yx -1. 由(2)可知x 2-1=-y 29，所以k AM k BM =yx+1·y x -1=y 2x 2-1=-9，即k AM k BM 是定值.15.2√5 解析:如图所示，以线段AC 的中点为原点，AC 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.因为AC=6，所以A (-3，0)，C (3，0).设B (x ，y ).因为sin C=2sin A ，由正弦定理可得c=2a ，即|AB|=2|BC|，所以(x+3)2+y 2=4(x-3)2+4y 2，化简得(x-5)2+y 2=16，且x ≠1或9，所以圆的位置如图所示，圆心为(5，0)，半径r=4.观察可得，三角形底边长AC 不变的情况下，当B 点位于圆心D 的正上方或正下方时，高最大，此时△ABC 的面积最大，B 点坐标为(5，4)或(5，-4)，所以BC=√(5-3)2+42=2√5.。

高考数学(文科)中档大题规范练(三角函数)(含答案)

中档大题规范练中档大题规范练——三角函数1．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －2cos 2x＝sin 2x －(1＋cos 2x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值．(1)求f (x )的值域及周期；(2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3. 因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]，所以f (x )的值域为[－2,2]．(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝c sin π4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34. 3．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a .(1)求函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2)当x ∈[0，π4]时，函数f (x )有最大值4，求实数a 的值．解 f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3]，从而sin(2x ＋π6)∈[12，1]． ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]， ∵f (x )有最大值4，∴a ＋3＝4，故a ＝1.4．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12. 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1，所以f (x )的最大值为32. 5．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)．最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1，从而f (x )＝2sin(2x －π6)．令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )． (2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]，所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22. 6.在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ，所以∠ACB ＝30°. 由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°. 在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.。

近年年高考数学一轮复习高考大题专项练4高考中的立体几何(2021学年)

2０19年高考数学一轮复习高考大题专项练４高考中的立体几何编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2０1９年高考数学一轮复习高考大题专项练４高考中的立体几何)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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高考大题专项练四高考中的立体几何１。

如图,四棱锥P—ABCＤ中，底面ABCD为矩形,ＰA⊥平面ＡＢCD,E为PD的中点。

（1）证明:PB∥平面AEC；(2)设AP=１,AD=,三棱锥P—ABＤ的体积V=,求点A到平面PBC的距离．2.如图,四棱锥P—AＢCD,侧面PAD是边长为２的正三角形,且与底面垂直,底面ABＣD是∠ABＣ＝60°的菱形,M为ＰC的中点．(1）求证:ＰC⊥AD;(2）证明在PB上存在一点Q,使得Ａ，Ｑ,M,D四点共面；(３）求点D到平面PAM的距离。

３.如图所示，△ABC为正三角形,CE⊥平面ABＣ,BD∥CE,CE＝CA=2ＢD，M是EA的中点。

求证:（1)DE=DＡ。

（2)平面BDM⊥平面ECＡ．4。

如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD—Ａ1B1Ｃ1D1中,∠ＡBＣ=6０°,AA1=AC=２,A1B＝A1D=２,点E在A1D上.(1)证明:AＡ1⊥平面ＡＢＣD;(２）当为何值时,A1B∥平面EＡC,并求出此时三棱锥D－AEC的体积.5。

（2017山东,文1８）由四棱柱ＡBCＤ—A１B1Ｃ1D1截去三棱锥C１—B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABＣD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点，Ａ1E⊥平面ABCD。

高考数学大题每日一题规范练(第四周)

高考数学大题每日一题规范练【题目1】 (本小题满分12分)已知向量a ＝(sin x ，m cos x )，b ＝(3，－1). (1)若a ∥b ，且m ＝1，求2sin 2x －3cos 2x 的值；(2)若函数f (x )＝a ·b 的图象关于直线x ＝2π3对称，求函数f (2x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，2π3上的值域.解 (1)当m ＝1时，a ＝(sin x ，cos x )，又b ＝(3，－1)，且a ∥b .∴－sin x －3cos x ＝0，即tan x ＝－3，∵2sin 2x －3cos 2x ＝2sin 2x －3cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x －3tan 2x ＋1＝2×（－3）2－3（－3）2＋1＝32，∴2sin 2x －3cos 2x ＝32.(2)∵f (x )＝a ·b ＝3sin x －m cos x 的图象关于直线x ＝2π3对称， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋x，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，即3＝32＋32m ，得m ＝3，则f (x )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴f (2x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，2π3，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π6，∴当x ＝π3时，f (2x )取最大值为23；当x ＝2π3时，f (2x )取最小值为－ 3. 即函数f (2x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，2π3上的值域为[－3，23].星期二 (概率统计) 2018年____月____日【题目2】 (本小题满分12分)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：(1)从5600的概率；(2)求特征量y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^：并预测当特征量x 为570时特征量y 的值.(附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为解 (1)从5次特征量y 的试验数据中随机地抽取两个数据，共有C 25＝10种方法，都小于600，有C 23＝3种方法，∴至少有一个大于600的概率P ＝1－C 23C 25＝1－310＝710.－1×1＋3×5＋（－5）×（－3）＋7×（－1）＋（－4）×（－2）（－1）2＋32＋（－5）2＋72＋（－4）2＝0.3，a ^＝y－b ^x ＝600－0.3×556＝433.2，线性回归方程为y ^＝0.3x ＋433.2，当x ＝570时，y ^＝0.3×570＋433.2＝604.2. 即当特征量x 为570时特征量y 的估计值为604.2.星期三 (数列) 2018年____月____日【题目3】 (本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，2＋a n ＋11＋a n ＋1＝11＋a n ＋32(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1＋a 2n (n ∈N *)，求数列{2nb n }的前n 项和S n .解 (1)∵2＋a n ＋11＋a n ＋1＝11＋a n ＋32，∴11＋a n ＋1＝11＋a n＋12，即11＋a n ＋1－11＋a n ＝12，设c n ＝1a n ＋1，由a 1＝1得c 1＝12，则数列{c n }是一个首项和公差均为12的等差数列， ∴c n ＝12＋12(n －1)＝n 2，则a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝1＋a 2n ＝22n ＝12n －1，所以2nb n ＝2n2n －1，则S n ＝2×1＋4×12＋6×122＋…＋2n ×12n －1①，∴12S n ＝2×12＋4×122＋6×123＋…＋2n ×12n ②， ①－②得12S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－2n ×12n ，即12S n ＝4－2n ＋42n .得S n ＝8－n ＋22n －2⎝⎛⎭⎪⎫或8－4n ＋82n .星期四 (立体几何) 2018年____月____日【题目4】 (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝2，M ，N 分别是AB ，A 1C 的中点.(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)若平面CMN ⊥平面B 1MN ，求直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值. (1)证明连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中点，又∵M 为AB 的中点，∴MN ∥BC 1，又BC 1⊂平面BB 1C 1C ，MN ⊄平面BB 1C 1C ，故MN ∥平面BB 1C 1C .(2)解由A 1A ⊥平面ABC 且CC 1∥A 1A ，得AC ⊥CC 1，BC ⊥CC 1.又∠ACB ＝90°，则AC ⊥BC ，以C 为原点，分别以CB ，CC 1，CA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设CC 1＝2λ(λ>0).则M (1，0，1)，N (0，λ，1)，B 1(2，2λ，0)，∴CM →＝(1，0，1)，MN →＝(－1，λ，0)，NB 1→＝(2，λ，－1). 取平面CMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由CM→·m ＝0，MN →·m ＝0. 得⎩⎨⎧x ＋z ＝0，－x ＋λy ＝0，令y ＝1，得m ＝(λ，1，－λ).同理可得平面B 1MN 的一个法向量为n ＝(λ，1，3λ)， ∵平面CMN ⊥平面B 1MN ，∴m ·n ＝λ2＋1－3λ2＝0，解得λ＝22，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，322，又AB →＝(2，0，－2)，设直线AB 与平面B 1MN所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|n ·AB →||n ||AB →|＝66.所以，直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值是66.星期五 (解析几何) 2018年____月____日【题目5】 (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(0<r <b )，若圆O 的一条切线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点.(1)当k ＝－12，r ＝1时，若点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E 的方程； (2)若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，探究a ，b ，r 是否满足1a 2＋1b 2＝1r 2，并说明理由.解 (1)依题意原点O 到切线l ：y ＝－12x ＋m 的距离为半径1，∴|m |1＋14＝1，解之得m ＝±52，又点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，则m >0， ∴切线l ：y ＝－12x ＋52，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫0，52，B (5，0)，∴B 为椭圆的右顶点，A 为椭圆的上顶点，则a ＝5，b ＝52， ∴椭圆E 的方程为：x 25＋y 254＝1.(2)a ，b ，r 满足1a 2＋1b 2＝1r 2成立，理由如下：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与圆x 2＋y 2＝r 2相切，则|m |1＋k 2＝r ，即m 2＝r 2(1＋k 2)，① 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2a 2km b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝b 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2，AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则∠AOB ＝90°，则OA→·OB →＝0， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2＋b 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2＝（a 2＋b 2）m 2－a 2b 2（1＋k 2）b 2＋a 2k 2＝0.则(a 2＋b 2)m 2＝a 2b 2(1＋k 2)，②将①代入②，得a 2＋b 2a 2b 2＝1r 2， ∴1a 2＋1b 2＝1r 2.星期六 (函数与导数) 2018年____月____日【题目6】 (本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a >0)的最小值是1. (1)求a ；(2)若关于x 的方程f 2(x )e x －6mf (x )＋9m e －x ＝0在区间[1，＋∞)有唯一的实根，求m 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝2x －ax ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2x(x >0).所以，当0<x <a2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >a2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增. 故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＝a 2－a 2ln a 2，由题意可得：a 2－a 2ln a 2＝1，即a 2－a 2ln a2－1＝0，记g (a )＝a 2－a 2ln a2－1(a >0)，则函数g (a )的零点即为方程a 2－a 2ln a2＝1的根；由于g ′(a )＝－12ln a2，故a ＝2时，g ′(2)＝0，且0<a <2时，g ′(a )>0；a >2时，g ′(a )<0，所以a ＝2是函数g (a )的唯一极大值点，所以g (a )≤g (2)，又g (2)＝0，所以a ＝2.(2)由条件可得f 2(x )e 2x －6mf (x )e x ＋9m ＝0，令g (x )＝f (x )e x ＝(x 2－2ln x )e x ，则g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x －2x －2ln x e x ，令r (x )＝x 2＋2x －2x －2ln x (x ≥1)，则r ′(x )＝2x ＋2＋2x 2－2x >2x －2x ＝2（x 2－1）x≥0，r (x )在区间[1，＋∞)内单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝e ；所以原问题等价于方程t 2－6mt ＋9m ＝0在区间[e ，＋∞)内有唯一解，当Δ＝0时可得m ＝0或m ＝1，经检验m ＝1满足条件. 当Δ>0时可得m <0或m >1，所以e 2－6m e ＋9m ≤0，解之得m ≥e 26e －9，综上，m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ＝1或m ≥e 26e －9.星期日 (选考内容) 2018年____月____日【题目7】在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.1.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(4cos θ＋3sin θ)－m ＝0(其中m 为常数).(1)若直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，求实数m 的值； (2)若m ＝4，求直线l 被曲线C 截得的弦长.解 (1)直线l 的极坐标方程可化为直角坐标方程：4x ＋3y －m ＝0，曲线C 的参数方程可化为普通方程：y 2＝4x ，由⎩⎨⎧4x ＋3y －m ＝0，y 2＝4x可得y 2＋3y －m ＝0， ∵直线l 和曲线C 恰好有一个公共点， ∴Δ＝9＋4m ＝0，∴m ＝－94.(2)当m ＝4时，直线l ：4x ＋3y －4＝0恰好过抛物线的焦点F (1，0)，由⎩⎨⎧4x ＋3y －4＝0，y 2＝4x可得4x 2－17x ＋4＝0，设直线l 与抛物线C 的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝174，故直线l 被抛物线C 所截得的弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋2＝174＋2＝254. 2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲. 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x ＋1＋|x |(x ∈R )的最小值为a .(1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求1m ＋1n 的最小值.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －1，x <－2，－12x ＋1，－2≤x ≤0，32x ＋1，x >0.当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减；当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增； ∴当x ＝0时，f (x )的最小值a ＝1.(2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得1mn ≥2，由于m >0，n >0，则1m ＋1n ≥21mn ≥22，当且仅当m ＝n ＝22时取等号.∴1m ＋1n 的最小值为2 2.。

人教B版高考总复习一轮数学精品课件第6章数列课时规范练40 数列中的构造问题

3
=1
1
an+2-an+1=- (an+1-an),又 a2-a1=1,所以{an+1-an}是以
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1
1
为首项,- 为公比
3
-1
1
1 n-1
1 0
1 1
1 n-2 1-(-3)
的等比数列,则 an+1-an=(-3) ,累加得 an-a1=(-3) +(-3) +…+(-3) =
=4,又a1-2=2,所以数列
-2
{an-2}是一个以2为首项,以4为公比的等比数列,所以an-2=2×4n-1,所以
an=22n-1+2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2.(2024·江苏盐城高三期中)已知数列{an}满足a1=2,an+1= 4 ,则a6的值为
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
3.(2024·山东菏泽模拟)已知数列{an}中,a1=1 且
3
an+1= +3(n∈N*),则

a16 为
(A )
1
A.6
1
B.4
1
C.
3
1
D.
2
解析由
3
1
an+1=
得
+3
+1
为公差的等差数列,∴
=
+3
nan+1=2(n+1)an,设bn=
,则下列结论正确的是( AD )

A.b3=4

2021年浙江省高考数学模拟试卷(4)(2021.04)(解析版)

2021年浙江省高考数学模拟试卷（4）（4月份）一、单选题（共10小题）.1．已知A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合B＝{﹣2，﹣1，1}，则集合{x|x∈A且|x|∉B}＝（）A．{0，2，3}B．{0，3}C．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}D．{﹣2，0，2，3}2．离心率为2的双曲线的渐近线方程是（）A．x±y＝0B．C．D．3．复数z满足z•i＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．l B．C．2D．44．在△ABC中，“A＞”是“sin A＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列结论一定成立的是（）A．若S2019＞0，则a1+a3＜0B．若S2020＞0，则a2+a4＜0C．若S2019＞0，则a3+a5＞0D．若S2020＞0，则a4+a6＞06．三个函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，，在同一平面直角坐标系中部分图象如图所示，则（）A．a为f（x），b为g（x），c为h（x）B．a为h（x），b为f（x），c为g（x）C．a为g（x），b为f（x），c为h（x）D．a为h（x），b为g（x），c为f（x）7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何体，由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），其直观图如右图．已知球的半径与扣合成牟合方盖的圆柱的底面半径相同，且牟合方盖与对应球的体积之比为4：π．若牟合方盖的体积为16，则此牟合方盖正视图的面积为（）A．3B．3πC．12D．8．已知P（x，y）是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）上任意一点，若|3x﹣4y|+|3x﹣4y+16|是定值，则实数r的取值范围是（）A．0＜r≤1B．1≤r≤2C．r≥1D．r≥29．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，现将△ABD沿BD折至△A'BD，使得二面角A'﹣BD ﹣C为锐角，设直线A'D与直线CD所成角的大小为α，直线A'C与平面ABCD所成角的大小为β，二面角B﹣A'D﹣C的大小为γ，则α，β，γ的大小关系是（）A．α＞β＞γB．α＞γ＞βC．γ＞α＞βD．不能确定10．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x|+|x+1|，若|f（x）+f（x﹣a）﹣2|+|f（x）﹣f（x﹣a）|＞4对任意的实数x都成立，则正数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）二、单空题（本大题共7小题，共36分，单选题每题4分，多选题每题6分）11．已知f（x）＝，则f（1）＝；f[f（3）]＝．12．若点（x，y）满足约束条件，则所对应的平面区域的面积为；目标函数z＝2x﹣y取得最小值时的最优解为．13．某研究机构采用实时荧光RT﹣PCR检测2019新型冠状病毒（2019﹣nCOV）．现有一组病例样本检测中发现有n（n＞1）份呈阴性和2份呈阳性，若从其中任取2份恰好有一份呈阳性的概率是，则n＝；该组病例样本检测呈阳性的病例数的方差是．14．已知平面向量、满足：|2+|＝|2﹣|，则与的夹角为．15．在二项式的展开式中，各项系数和为．16．已知函数y＝x的定义域为R，函数y＝x1.4的定义域为R，函数y＝x1.41的定义域为[0，+∞），函数y＝x1.414的定义域为.……，可推测在的定义域为．17．已知椭圆右顶点为A（2，0），上顶点为B，该椭圆上一点P 与A的连线的斜率，中点为E，记OE的斜率为k OE，且满足k OE+4k1＝0．若C、D分别是x轴、y轴负半轴上的动点，且四边形ABCD的面积为2，则三角形COD面积的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知函数．（1）若y＝f（ωx）的图象向左平移个单位所得函数是偶函数，若0＜ω＜12，求ω的值；（2）若，，求sin2α的值．19．已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC＝PC＝1，，AB⊥平面PAC．（1）求证：平面PCD⊥平面ABCD；（2）若直线AC与侧面PAD所成角的正弦值为，求AB的值．20．如图为函数f（x）＝ax3﹣3x2﹣9x﹣3的图象．（1）求a；（2）求f（x）在区间[﹣2，t]的最大值．21．过x轴上一点M作一直线l1与抛物线y2＝2px（p＞0）相切于A点，过点M作斜率为的直线l2与此抛物线y2＝2px（p＞0）交于B、C两点．若点M的坐标为（﹣1，0）时，l1的斜率为1．（1）求p的值；（2）若△ABC的面积为时，求点M的坐标．22．已知数列{a n}，a1＝，lna n+1＝a n﹣1．（1）求证：a n＜a n+1＜1；（2）求证：a1•a2•a3•…•a2019＜．参考答案一、单选题（共10小题）.1．已知A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合B＝{﹣2，﹣1，1}，则集合{x|x∈A且|x|∉B}＝（）A．{0，2，3}B．{0，3}C．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}D．{﹣2，0，2，3}【解答】【解析】可知|x|＝0或1或2或3，∴{x|x∈A且|x|∉B}＝{﹣2，0，2，3}．故选：D．2．离心率为2的双曲线的渐近线方程是（）A．x±y＝0B．C．D．解：根据题意，双曲线的离心率为2，其焦点在y轴上，其渐近线方程为y＝±x，又由其离心率e＝＝2，则c＝2a，则b＝＝a，即＝，则其渐近线方程x±y＝0．故选：C．3．复数z满足z•i＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．l B．C．2D．4解：∵复数z满足z•i＝1+i（i是虚数单位），∴﹣i2z＝﹣i（1+i），化为z＝1﹣i．∴|z|＝．故选：B．4．在△ABC中，“A＞”是“sin A＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：在△ABC中，“sin A＞”⇒“＞A＞”⇒“A＞”．必要性成立；反之，“A＞不能⇒“sin A＞”，如A＝时，sin A＝sin＝sin＜sin＝，即sin A，即充分性不成立，∴可判断A＞是sin A＞的必要而不充分条件．故选：B．5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列结论一定成立的是（）A．若S2019＞0，则a1+a3＜0B．若S2020＞0，则a2+a4＜0C．若S2019＞0，则a3+a5＞0D．若S2020＞0，则a4+a6＞0解：因为，∴a1＞0，∴，，∴A不正确，C正确；同理排除B、D．故选：C．6．三个函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，，在同一平面直角坐标系中部分图象如图所示，则（）A．a为f（x），b为g（x），c为h（x）B．a为h（x），b为f（x），c为g（x）C．a为g（x），b为f（x），c为h（x）D．a为h（x），b为g（x），c为f（x）解：3个函数，g（x），h（x）的最大值分别为，1，1，由于图象a的最大值最大，故a为f（x）；g（x），h（x）最小正周期分别为π，2π，图象b的最小正周期比c小，故b为g（x），c为h（x），故选：A．7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何体，由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），其直观图如右图．已知球的半径与扣合成牟合方盖的圆柱的底面半径相同，且牟合方盖与对应球的体积之比为4：π．若牟合方盖的体积为16，则此牟合方盖正视图的面积为（）A．3B．3πC．12D．解：由图可知，牟合方盖的正视图是圆柱的底面圆，因为，故，所以，所以S正视图＝3π．故选：B．8．已知P（x，y）是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）上任意一点，若|3x﹣4y|+|3x﹣4y+16|是定值，则实数r的取值范围是（）A．0＜r≤1B．1≤r≤2C．r≥1D．r≥2解：由题意可知此圆夹在两直线3x﹣4y＝0和3x﹣4y+16＝0之间时，|3x﹣4y|+|3x﹣4y+16|是定值，所以，∴0＜r≤1．故选：A．9．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，现将△ABD沿BD折至△A'BD，使得二面角A'﹣BD ﹣C为锐角，设直线A'D与直线CD所成角的大小为α，直线A'C与平面ABCD所成角的大小为β，二面角B﹣A'D﹣C的大小为γ，则α，β，γ的大小关系是（）A．α＞β＞γB．α＞γ＞βC．γ＞α＞βD．不能确定解：考虑利用极限位置的思想，若△ABD翻折至平面ABCD，此时0°＜α＜90°，β＝0°，γ＝180°，故γ＞α＞β．故选：C．10．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x|+|x+1|，若|f（x）+f（x﹣a）﹣2|+|f（x）﹣f（x﹣a）|＞4对任意的实数x都成立，则正数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）解：因为|f（x）+f（x﹣a）﹣2|+|f（x）﹣f（x﹣a）|≥max{|2f（x）﹣2|，|2f（x﹣a）﹣2|}，所以|2f（x）﹣2|＞4或|2f（x﹣a）﹣2|＞4，即f（x）＞3或f（x﹣a）＞3的解集为R，解f（x）＞3，得x＜﹣1或x＞1，所以当﹣1≤x≤1时，有f（x﹣a）＞3，解得x﹣a＜﹣1或x﹣a＞1，所以x＜a﹣1或x＞a+1，因为a＞0，所以a﹣1＞1，所以a＞2，所以a的取值范围为（2，+∞）．故选：C．二、单空题（本大题共7小题，共36分，单选题每题4分，多选题每题6分）11．已知f（x）＝，则f（1）＝；f[f（3）]＝．解：f（x）＝，所以，．故答案为：，．12．若点（x，y）满足约束条件，则所对应的平面区域的面积为4；目标函数z＝2x﹣y取得最小值时的最优解为（﹣2，0）．解：约束条件对应可行域为图中阴影部分，∴面积为，由z＝2x﹣y，得y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z经过点（﹣2，0）时，直线在y轴上的截距最大，z＝2x﹣y有最小值，则最优解为（﹣2，0）．故答案为：4，（﹣2，0）．13．某研究机构采用实时荧光RT﹣PCR检测2019新型冠状病毒（2019﹣nCOV）．现有一组病例样本检测中发现有n（n＞1）份呈阴性和2份呈阳性，若从其中任取2份恰好有一份呈阳性的概率是，则n＝2；该组病例样本检测呈阳性的病例数的方差是．解：由题意，解得n＝2，设病例数为变量ξ，则分布列为ξ012P∴E（ξ）＝1，，．故答案为：2，．14．已知平面向量、满足：|2+|＝|2﹣|，则与的夹角为．解：根据题意，平面向量、满足：|2+|＝|2﹣|，两边平方得，变形可得：，则与的夹角为，故答案为：．15．在二项式的展开式中，各项系数和为1．解：在'中，令x＝1，得，∴各项系数和为1，故答案为：1．16．已知函数y＝x的定义域为R，函数y＝x1.4的定义域为R，函数y＝x1.41的定义域为[0，+∞），函数y＝x1.414的定义域为[0，+∞）.……，可推测在的定义域为[0，+∞）．解：因为函数y＝x1.4＝的定义域为R，函数y＝x1.41＝的定义域为[0，+∞），函数y＝x1.414＝的定义域为[0，+∞），……，函数y＝＝的定义域为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞），[0，+∞）．17．已知椭圆右顶点为A（2，0），上顶点为B，该椭圆上一点P 与A的连线的斜率，中点为E，记OE的斜率为k OE，且满足k OE+4k1＝0．若C、D分别是x轴、y轴负半轴上的动点，且四边形ABCD的面积为2，则三角形COD面积的最大值是．解：设P（x1，y1），A（x2，y2），PA中点E（x0，y0），则有，，两式相减得，即，即，由A（2，0）为椭圆右顶点，所以a＝2，又，k OE+4k1＝0，得到k OE＝1，b＝1．设C（﹣m，0），D（0，﹣n），m＞0，n＞0，则由四边形ABCD的面积为2，又B为上顶点，有，即mn+m+2n＝2，由基本不等式得，解不等式得，所以三角形COD的面积，当且仅当m＝2n，即，时取等号．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18．已知函数．（1）若y＝f（ωx）的图象向左平移个单位所得函数是偶函数，若0＜ω＜12，求ω的值；（2）若，，求sin2α的值．解：（1）∵，∴y＝f（ωx）的图象向左平移个单位可得的图象，由于所得函数是偶函数，∴，∴ω＝12k+2，k∈Z．又∵ω∈（0，12），∴ω＝2．（2）∵，即，∵，∴，∴，故sin2α＝sin[（2α+）﹣]＝sin（2α+）cos﹣cos（2α+）sin＝+×＝．19．已知四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC＝PC＝1，，AB⊥平面PAC．（1）求证：平面PCD⊥平面ABCD；（2）若直线AC与侧面PAD所成角的正弦值为，求AB的值．【解答】（1）证明：因为AB⊥平面PAC，AB∥CD，所以CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC，CD⊥PC，因为AC＝PC＝1，，所以PA2＝AC2+PC2，所以PC⊥AC，因为CD∩AC＝C，AC、CD⊂平面ABCD，所以PC⊥平面ABCD，又因为PC⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面ABCD；（2）解：由（1）知CD、CA、CP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2t，t＞0,则各点坐标如下：D(t,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),＝(t,0,﹣1),＝(0,1,﹣1),＝(0,1,0),设平面PAD的法向量为＝(x,y,z),,令z＝t,＝(1,t,t),直线AC与侧面PAD所成角的正弦值为＝＝，解之得t＝1,所以AB的值为2．20．如图为函数f（x）＝ax3﹣3x2﹣9x﹣3的图象．（1）求a；（2）求f（x）在区间[﹣2，t]的最大值．解：（1）f'（x）＝3ax2﹣6x﹣9，由图可知，f'（﹣1）＝0，∴3a+6﹣9＝0，解得a＝1；（2）结合图像f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，+∞）递增，若﹣2＜t＜﹣1，则f（x）在[﹣2，t]递增，f（x）的最大值是f（t）＝t3﹣3t2﹣9t﹣3，﹣1≤t≤3时，f（x）在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，t]递减，故f（x）的最大值是f（﹣1）＝2，t＞3时，由f（x）＝2，解得：x＝﹣1或x＝5，（i）3＜t≤5时，f（x）在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，t]递减，f（t）≤f（5），故f（x）的最大值是f（﹣1）＝2，（ii）t＞5时，f（x）在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，t]递减，f（t）＞f（5），故f（x）的最大值是f（t）＝t3﹣3t2﹣9t﹣3，综上：﹣2＜t＜﹣1或t＞5时，f（x）max＝t3﹣3t2﹣9t﹣3，﹣1≤t≤5时，f（x）max＝2．21．过x轴上一点M作一直线l1与抛物线y2＝2px（p＞0）相切于A点，过点M作斜率为的直线l2与此抛物线y2＝2px（p＞0）交于B、C两点．若点M的坐标为（﹣1，0）时，l1的斜率为1．（1）求p的值；（2）若△ABC的面积为时，求点M的坐标．解：（1）．由题意，当直线l1方程为y＝x+1时，与抛物线y2＝2px相切，联立方程组，消去y，得x2+2（1﹣p）x+1＝0，令判别式△＝4（1﹣p）2﹣4＝0，又p＞0，解得p＝2．（2）．设M（m，0），直线l1方程为x＝ty+m，联立方程组，消去x，得y2﹣4ty﹣4m＝0，令△＝（4t）2+16m＝0，得m＝﹣t2，此时点A（t2，2t）．设B（x1，y1），C（x2，y2），直线l2方程为x＝﹣2y+m，联立方程组，消去x，得y2+8y﹣4m＝0，由韦达定理得y1+y2＝﹣8，y1⋅y2＝﹣4m，所以，点A（t2，2t）到直线l2的距离为，，解得，此时，m＝﹣3，故M（﹣3，0）．22．已知数列{a n}，a1＝，lna n+1＝a n﹣1．（1）求证：a n＜a n+1＜1；（2）求证：a1•a2•a3•…•a2019＜．【解答】证明：（1）①数学归纳法证a n＜1，（ⅰ），n＝1，成立；（ⅱ）假设n＝k时成立，则a k＜1，lna k+1＝a k﹣1＜0，∴a k+1＜1，综上，a n＜1．②证e x﹣1≥x，设f（x）＝e x﹣1﹣x，则f'（x）＝e x﹣1﹣1，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（1）＝e0﹣1＝0，∴e x﹣1≥x，当且仅当x＝1时取“＝”，∵a n＜1，∴，∵lna n+1＝a n﹣1，∴，综上①②可知a n＜a n+1＜1．证明：（2）．法一：用代替e x﹣1＞x中的x，得，即，∴，∴，令，则，令a n＝b n+1，由，得，，，∴，即，∴，∴，∴，∴，（n ≥2时），，∴，∴，当且仅当n＝1时取“＝”，∴．法二：数学归纳法证明，①n＝1时，满足，②假设n＝k时成立，即，则由lna n+1＝a n﹣1，得，要证，令，则要证，，构造，，，令h（x）＝e x（x﹣1）2﹣1，，则h'（x）＝e x（x﹣1）2+e x⋅2（x﹣1）＝e x（x2﹣1）＜0，∴f'（x）在上单调递减，∴f'（x）＞f'（0）＝0，∴f（x）在上单调递增，∴f（x）＜f（0）＝0，即成立，即，∴，综上，当且仅当n＝1时取“＝”，∴．。

2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷(4)

2021年山东省普通高中高考数学仿真试卷（4）一、单选题（本大题共20小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2+2x −3<0}，B ={x|2+3x >−4}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x <1}B. {x|−2<x <1}C. {x|−23<x <1}D. {x|−3<x <−2}2. 命题“∀x ∈[1,2]，x 2−3x +2≤0”的否定是( )A. ∀x ∈[1,2]，x 2−3x +2>0B. ∀x ∉[1,2]，x 2−3x +2>0C. ∃x 0∈[1,2],x 02−3x 0+2>0D. ∃x 0∉[1,2],x 02−3x 0+2>03. 已知复数z =21+i ，则正确的是( ) A. |z|=2B. z 的实部为−1C. z 的虚部为−iD. z 的共轭复数为1+i4. 函数f(x)=1lg(2x−1)的定义域为( ) A. {x|x >12}B. {x|x ≥12且x ≠1}C. {x|x >12且x ≠1}D. {x|x ≥12} 5. 若a <0，则0.5a 、5a 、5−a 的大小关系是( )A. 5−a <5a <0.5aB. 5a <0.5a <5−aC. 0.5a <5−a <5aD. 5a <5−a <0.5a6. 设函数f(x)=sin(2x +π3)，则下列结论正确的是( ) A. f(x)的图象关于直线x =π3对称B. f(x)的图象关于点(π4,0)对称C. f(x)的最小正周期为π2D. f(x)在[0,π12]上为增函数 7. 已知α为第二象限角，则α2所在的象限是( )A. 第一或第二象限B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限 8. 要得到函数y =sin(4x −π3)的图象，只需要将函数y =sin4x 的图象( )A. 向左平移π12个单位B. 向右平移π12个单位C. 向左平移π3个单位D. 向右平移π3个单位 9. 设A 、B 、C 为三角形的三个内角，sinA =2sinBcosC ，该三角形一定是( )A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形10. 已知向量a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为3π4，a ⃗ =(−3,4)，a ⃗ ⋅b ⃗ =−10，则|b ⃗ |=( )A. 2√2B. 2√3C. 3√3D. 4√211.如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于()A. AE⃗⃗⃗⃗⃗B. AC⃗⃗⃗⃗⃗C. DC⃗⃗⃗⃗⃗D. BC⃗⃗⃗⃗⃗12.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′=A′C′，A′B′//x′轴，A′C′//y′轴，那么△ABC是()A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形13.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的()A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件14.将A、B、C三大经营外卖的公司2019年的市场占有率统计如图所示，其中代表A公司的市场占有率，代表B公司的市场占有率，代表C公司的市场占有率.现有如下说法：①2019年A公司的市场占有率全年最大；②2019年仅第一季度，C公司的市场占有率超过30%；③2019年仅两个季度，B、C两公司的市场占有率之和超过A公司．则上述说法中，正确的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 315.某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n人中，抽取180人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为72人，那么高三被抽取的人数为()A. 48B. 60C. 72D. 8416.盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，取到白球的概率是()A. 13B. 12C. 23D. 117.已知x>3，y=x+1x−3，则y的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 518.已知不等式x2−ax+b<0的解是2<x<3，则a，b的值分别是()A. −5，6B. 6，5C. 5，6D. −6，519.函数y=a x+1−3(a>0，且a≠1)的图象一定经过的点时()A. (0,−2)B. (−1,−3)C. (0,−3)D. (−1,−2)20.已知函数f(x)是定义R上的奇函数，满足f(x+2)=−f(x)，且当−1≤x<0时，f(x)=−x2+1，则f(2020)=()A. 0B. 1C. −1D. −3二、单空题（本大题共5小题，共15.0分）21.f(x)=−x2+mx在(−∞,1]上是增函数，则m的取值范围是______ ．22.已知向量a⃗,b⃗ 满足a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=5且|a⃗|=2,|b⃗ |=1，则向量a⃗,b⃗ 的夹角为______．23.已知tanα=3，则sinαcosα=______．24.已知11+i =12−ni其中n是实数，i是虚数单位，那么n=______ ．25.第28届金鸡百花电影节将在福建省厦门市举办，近日首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映．若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为______．三、解答题（本大题共3小题，共25.0分）26.已知tanα=12，且α为第三象限角．(Ⅰ)求sinα+2cosαsinα−cosα的值；(Ⅱ)求cos(α−π4)的值．27.已知f(x)=b−2x2x+1+2是定义在R上的奇函数．(1)求b的值；(2)判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明；(3)若f(1−a)+f(1−a2)<0，求实数a的取值范围．28.2019年12月，全国各中小学全体学生都参与了《禁毒知识》的答题竞赛，现从某校高一年级参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(单位：分)整理后，得到如下频率分布直方图(其中分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[90,100])．(1)求成绩在[70,80)的频率，并补全此频率分布直方图；(2)求这次考试成绩的中位数的估计值；(3)若从抽出的成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，求他们的成绩在同一分组区间的概率．答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为A ={x|−3<x <1}，B ={x|x >−2}，所以A ∩B ={x|−2<x <1}．故选：B ．先分别求出A 和B ，由此能求出A ∩B ．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】C【解析】解：命题：“∀x ∈[1,2]，x 2−3x +2≤0的否定是∃x 0∈[1,2],x 02−3x 0+2>0，故选：C ．根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案．本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，∴z 的实部为1，虚部为−1，故选项B ，C 错误，又∵|z|=√12+(−1)2=√2，故选项A 错误，∵z −=1+i ，故选项D 正确，故选：D ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念和复数的实部和虚部的概念求解．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，同时考查了复数的实部和虚部，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：要使函数有意义，则{2x −1>0lg(2x −1)≠0，得{x >12x ≠1，得x >12且x ≠1，即函数的定义域为{x|x >12且x ≠1}，故选：C ．根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，利用函数成立的条件建立不等式是解决本题的关键，是基础题． 5.【答案】B【解析】解：∵5−a =(15)a =0.2a ，0.2<0.5<5，又∵幂函数y =x a ，a <0时，在(0,+∞)上单调递减，∴5a <0.5a <0.2−a ，故选B ．先化同底数的幂形式，再根据幂函数的单调性比较大小即可．本题主要考查幂函数的单调性及应用，利用函数的单调性是实数常用方法．6.【答案】D【解析】解：A.f(π3)=sin(2×π3+π3)=sinπ=0，不是最值，∴f(x)的图象关于直线x =π3对称错误．B .f(π4)=sin(2×π4+π3)=cos π3≠0，∴f(x)的图象关于关于点(π4,0)对称，错误．C .∵函数的周期T =2π2=π，∴函数的周期是π，∴C 错误． D .当x ∈[0,π12]时，2x +π3∈[π3,π2]，此时函数f(x)单调递增，∴D 正确．故选：D ．分别根据函数的对称性，单调性和周期性的性质进行判断即可得到结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数的对称性，周期性，单调性的性质的判断方法． 7.【答案】C【解析】【分析】用不等式表示第二象限角α，再利用不等式的性质求出α2满足的不等式，从而确定角α2的终边在的象限．本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限【解答】解：∵α是第二象限角，∴k ⋅360°+90°<α<k ⋅360°+180°，k ∈Z ，则k ⋅180°+45°<α2<k ⋅180°+90°，k ∈Z ，令k =2n ，n ∈Z有n ⋅360°+45°<α2<n ⋅360°+90°，n ∈Z ；在一象限；k =2n +1，n ∈z ，有n ⋅360°+225°<α2<n ⋅360°+270°，n ∈Z ；在三象限；故选：C8.【答案】B【解析】解：要得到函数y =sin(4x −π3)的图象，只需要将函数y =sin4x 的图象向右平移π12个单位，即：y =sin[4(x −π12)]=sin(4x −π3).直接利用三角函数关系式的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换的应用，主要考察学生对函数图象的变换能力，属于基础题型．9.【答案】A【解析】【分析】本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形形状的判断，考查计算能力，属于基础题．通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．【解答】解：因为sinA=2sinBcosc，所以sin(B+C)=2sinBcosC，所以sinBcosC−sinCcosB=0，即sin(B−C)=0，因为A，B，C是三角形内角，所以B=C．所以三角形是等腰三角形．故选A．10.【答案】A【解析】解：因为向量a⃗、b⃗ 的夹角为3π4，a⃗=(−3,4)，a⃗⋅b⃗ =−10，所以|a⃗|=√(−3)2+42=5，所以a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos3π4=5×(−√22)|b⃗ |=−10．则|b⃗ |=2√2．故选：A．先求出|a⃗|，然后利用数量积的定义式即可求出|b⃗ |．本题考查平面向量数量积的定义和性质，属于基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量的线性运算的应用，属于基础题．直接利用向量的线性运算求出结果．【解答】解：在矩形ABCD中，E为CD中点，所以12AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AE⃗⃗⃗⃗⃗ ．故选A．12.【答案】D【分析】本题考查了斜二测画法与应用问题，属于基础题．根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，且平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，即可判断出结果．【解答】解：根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，且平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，∴直观图△A′B′C′的原来图形△ABC是直角三角形，且AC=2AB，不是等腰直角三角形．故选：D．13.【答案】A【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充分、必要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选A．14.【答案】A【解析】解：由统计图可知，C公司的市场占有率均为最大，故2019年A公司的市场占有率不是全年最大，故选项①错误；C公司的市场全年的占有率均超过30%，故选项②错误；B、C两公司的市场占有率之和全年均超过A公司，故选项③错误．故选：A．根据题意，结合统计图，对每个选项进行逐一的分析，即可判断．本题考查了合情推理的应用，解题的关键是正确读取统计图中的信息，属于基础题．15.【答案】A=60人，则高三被抽取的人数180−72−60=48，【解析】解：高二年级抽取的人数为：2000×722400故选：A．根据分层抽样的定义，建立比例关系即可．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．16.【答案】A【解析】解：盒子里装有大小相同的2个红球和1个白球，从中随机取出1个球，基本事件总数n=3，取到白球包含的基本事件个数m=1，∴取到白球的概率是P=1．3基本事件总数n =3，取到白球包含的基本事件个数m =1，由此能求出取到白球的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．17.【答案】D【解析】解：因为y =x +1x−3=x −3+1x−3+3，又因为x >3，所以x −3>0，所以y ≥5，当且仅当x =4时，等号成立，故选：D ．x +1x−3=x −3+1x−3+3，由基本不等式可知y ≥5，即可得最小值．本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．18.【答案】C【解析】解：不等式x 2−ax +b <0的解是2<x <3，所以2和3是方程x 2−ax +b =0的解，由根与系数的关系知，{2+3=a 2×3=b，解得a =5，b =6．故选：C ．根据不等式x 2−ax +b <0的解得出对应方程的实数解，由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．19.【答案】D【解析】解：令x +1=0，求得x =−1，且y =−2，故函数f(x)=a x+1−3(a >0且a ≠1)恒过定点(−1,−2)，故选：D ．令x +1=0，求得x 和y 的值，从而求得函数f(x)=a x+1−3(a >0且a ≠1)恒过定点的坐标．本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．20.【答案】A【解析】解：因为f(x +2)=−f(x)，所以f(x +4)=f(x)，即函数的周期T =4，因为f(x)为奇函数，故f(0)=0，则f(2020)=f(0)=0．故选：A ．由已知可得函数的周期T =4，然后结合奇函数性质可得f(0)=0，利用周期性将f(2020)转化为求f(0)，即可求解．本题主要考查了函数的周期性及奇函数的性质，考查了转化思想，考查了逻辑推理的能力，运算求解能力． 21.【答案】[2,+∞)【解析】解：函数f(x)=−x 2+mx 是开口向下的二次函数∴函数f(x)在(−∞,m 2]上单调递增函数∵f(x)=−x2+mx在(−∞,1]上是增函数，∴m2≥1，解得m≥2故答案为：[2,+∞)．根据二次函数的性质求出函数的单调增区间，使(−∞,1]是其单调增区间的子集，建立不等关系，解之即可．本题主要考查了函数单调性的应用，以及二次函数的性质的运用，属于基础题．22.【答案】60°【解析】解：向量a⃗,b⃗ 满足a⃗⋅(a⃗+b⃗ )=5且|a⃗|=2,|b⃗ |=1，可得：a⃗2+a⃗⋅b⃗ =5，4+2×1×cos<a⃗,b⃗ >=5，所以cos<a⃗,b⃗ >=12，则向量a⃗,b⃗ 的夹角为60°．故答案为：60°．通过向量的数量积，结合向量的模转化求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，考查计算能力．23.【答案】310【解析】【分析】本题考查同角三角函数间的基本关系，把所求式子的分母“1”变形为sin2α+cos2α是解本题的关键，属于基础题目．把所求式子的分母“1”根据同角三角函数间的基本关系变形为sin2α+cos2α，然后分子分母同时除以cos2α，利用同角三角函数间的基本关系弦化切得到关于tanα的关系式，把tanα的值代入即可求出值．【解答】解：∵tanα=3，∴sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1=310．故答案为：310．24.【答案】12【解析】解：∵11+i =12−ni，其中n是实数，∴1−i(1+i)(1−i)=12−12i=12−ni，解得n=12．故答案为：12．利用复数的运算法则、复数相等即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25.【答案】710【解析】解：首批影展片单揭晓，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品将在电影节进行展映．从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，基本事件总数n =C 52=10，《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中包含的基本个数m =C 21C 31+C 22=7，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为p =m n =710．故答案为：710．基本事件总数n =C 52=10，《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中包含的基本个数m =C 21C 31+C 22=7，由此能求出《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 26.【答案】解：(Ⅰ)因为tanα=12，sinα+2cosαsinα−cosα=tanα+2tanα−1，所以sinα+2cosαsinα−cosα=12+212−1=−5． (Ⅱ)由tanα=12，得cosα=2sinα，又sin 2α+cos 2α=1，所以sin 2α=15，注意到α为第三象限角，可得sinα=−√55，cosα=−2√55．所以cos(α−π4)=cosαcos π4+sinαsin π4=−2√55×√22−√55×√22=−3√1010．【解析】(Ⅰ)化简sinα+2cosαsinα−cosα=tanα+2tanα−1，再代入已知得解； (Ⅱ)先根据已知求出sinα=−√55，cosα=−2√55，再代入cos(α−π4)即得解．本题主要考查同角的商数关系和平方关系，考查差角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．27.【答案】解：(1)f(x)=b−2x2x+1+2是定义在R 上的奇函数．所以f(0)=0⇒b −20=0⇒b =1；所以b =1，经验证，b =1符合题意．(2)f(x)在R 上是单调递减函数，由(1)知b =1，所以f(x)=1−2x 2x+1+2=−(2x +1)+22(2x +1)=−12+12x +1．任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(−12+12x 1+1)−(−12+12x 2+1)=−2x 1−2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)，因为x 1<x 2，所以0<2x 1<2x 2，所以f(x 1)−f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，所以f(x)在R 上是单调递减函数；(3)由f(x)为奇函数，且f(1−a)+f(1−a 2)<0，所以f(1−a)<−f(1−a 2)=f(a 2−1)，即1−a >a 2−1，整理得a 2+a −2<0，解得−2<a <1，所以实数a 的取值范围是(−2,1)．【解析】(1)根据定义在R 上的奇函数的性质：f(0)=0，解方程求出b 的值，检验可得；(2)写出f(x)的解析式，利用单调性的定义证明f(x)在R 上是单调递减函数；(3)由f(x)为奇函数，把不等式f(1−a)+f(1−a 2)<0化为关于a 的不等式，求解即可．本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合应用问题，涉及不等式的解法与应用，是中档题．28.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：成绩在[70,80)的频率为：1−(0.005+0.015+0.020+0.030+0.005)×10=0.25，补全此频率分布直方图如下：(2)频率在[40,70)的频率为：(0.005+0.015+0.020)×10=0.4，频率在[70,80)的频率为：0.025×10=0.25，∴这次考试成绩的中位数的估计值为：70+0.5−0.40.25×10=74．(3)现从某校高一年级参加考试的学生中抽出60名学生，则从成绩在[40,50)中抽取：60×0.005×10=3人，从成绩在[90,100]中抽取：60×0.005×10=3人，从抽出的成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，基本事件总数n =C 62=15，他们的成绩在同一分组区间包含的基本事件个数m =C 32+C 32=6，∴他们的成绩在同一分组区间的概率P=mn =615=25．【解析】(1)由频率分布直方图的性质求出成绩在[70,80)的频率，由此能补全此频率分布直方图．(2)求出频率在[40,70)的频率为0.4，频率在[70,80)的频率为0.25，由此能求出这次考试成绩的中位数的估计值．(3)从成绩在[40,50)中抽取3人，从成绩在[90,100]中抽取3人，再从抽出的成绩在[40,50)和[90,100]的学生中任选两人，分别求出基本事件总数和他们的成绩在同一分组区间包含的基本事件个数，由此能求出他们的成绩在同一分组区间的概率．本题考查频率、概率的运算，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等核心素养，是基础题．。

高考数学选修部分专题4绝对值不等式测试卷(含答案)

高考数学选修部分专题4绝对值不等式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.设集合M={x||x−1|<1}，N={x|x<2}，则M∩N=()A. (−1,1)B. (−1,2)C. (0,2)D. (1,2)2.若不等式|x+1|+|x−3|≥|m−1|恒成立，则m的取值范围为()A. [−3,5]B. [3,5]C. [−5,3]D. [−5,−3]3.若关于x的不等式|x+1|−|x−2|<a2−4a有实数解，则实数a的取值范围()A. a<1或a>3B. a>3C. a<1D. 1<a<34.不等式|x−3|−|x+1|≤a2−3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A. (−∞,−1]∪[4,+∞)B. [−1,4]C. [−4,1]D. (−∞,−4]∪[1,+∞)5.|x−2|−|x+3|≥4的解集为()A. (−∞,−3]B. [−3,−52]C. (−∞,−52] D. (−∞,−3)∪(−3,−52]6.已知全集U=R，集合A={x||x−1|<1}，B={x|2x−5x−1≥1}，则A∩(∁U B)=()A. {x|1<x<2}B. {x|1<x≤2}C. {x|1≤x<2}D. {x|1≤x<4}7.已知p:|x−1|≤1，q:x2−2x−3≥0，则p是¬q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.“-3<a<1”是“存在x∈R，使得|x-a|+|x+1| <2”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件9.对任意x，y∈R，|x−1|+|x|+|y−1|+|y+1|的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知实数x，y满足x2+4y2≤4，则|x+2y−4|+|3−x−y|的最大值为()A. 6B. 12C. 13D. 14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知关于x的不等式|x−a|+|x−3|≥2a的解集为R，则实数a的最大值为______．12.设x∈R，则不等式|x−3|<1的解集为______．−a|+a在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范13.已知a∈R，函数f(x)=|x+4x围是______ ．a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范14.若不等式|2x−1|+|x+2|≥a2+12围是______．三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）15.设函数f(x)=|x+1|+|x−a|(x∈R)(1)当a=2时，求不等式f(x)>5的解集；(2)对任意实数x，都有f(x)≥3恒成立，求实数a的取值范围．16.已知函数f(x)=|2x|+|2x+3|+m(m∈R)．(1)当m=−2时，求不等式f(x)≤3的解集；(2)若∀x∈(−∞,0)，都有f(x)≥x+2恒成立，求m的取值范围．x答案和解析1.【答案】C解：集合M={x||x−1|<1}=(0,2)，N={x|x<2}=(−∞,2)，∴M∩N=(0,2)，故选C．2.【答案】A解：|x+1|+|x−3|表示数轴上的x对应点到−1和3对应点的距离之和，它的最小值等于4，由不等式|x+1|+|x−3|≥|m−1|恒成立知，|m−1|≤4，所以m∈[−3,5]．故选A．3.【答案】A解：∵||x+1|−|x−2||≤|(x+1)−(x−2)|=3，∴−3≤|x+1|−|x−2|≤3，由不等式a2−4a>|x+1|−|x−2|有实数解，知a2−4a>−3，解得a>3或a<1．故选A．4.【答案】A解：令y=|x−3|−|x+1|，当x>3时，y=x−3−x−1=−4，当x<−1时，y=−x+3+x+1=4，当−1≤x≤3时，y=−x+3−x−1=−2x+2，所以−4≤y≤4，所以要使得不等式|x+3|−|x−1|≤a2−3a对任意实数x恒成立，只要a2−3a≥y max=4即可，∴a≤−1或a≥4，故选A．5.【答案】C解：当x<−3时，原式化为−(x−2)−[−(x+3)]≥4所以x<−3，，当−3≤x<2时，原式化为−(x−2)−(x+3)⩾4所以−3⩽x⩽−52当x⩾2时，原式化为(x−2)−(x+3)⩾4，无解，]．故选C．综上所述，原式解集为(−∞,−526.【答案】C≥1}={x|x<1或x≥4}；解：集合A={x||x−1|<1}={x|0<x<2}，B={x|2x−5x−1∴∁U B={x|1≤x<4}；∴A∩(∁U B)={x|1≤x<2}．故选C．7.【答案】A解：已知p:|x−1|⩽1，∴−1≤x−1≤1，∴0≤x≤2，，记A={x|0≤x≤2}q:x2−2x−3≥0，∴¬q:x2−2x−3<0，∴−1<x<3，记B={x|−1<x<3}，∴A⫋B，∴p是¬q的充分不必要条件，故选A．8.【答案】C解：根据绝对值不等式的性质得|x−a|+|x+1|≥|x−a−x−1|=|a+1|，即|x−a|+|x+1|的最小值为|a+1|，若“存在x∈R，使得|x−a|+|x+1|<2”，则|a+1|<2，即−2<a+1<2，得−3<a<1，即“−3<a<1”是“存在x∈R，使得|x−a|+|x+1|<2”的充要条件，故选C．9.【答案】C解：对任意x，y∈R，|x−1|+|x|+|y−1|+|y+1|=|x−1|+|−x|+|1−y|+|y+1|≥|x−1−x|+|1−y+y+1|=3，当且仅当x∈[0,1]，y∈[−1,1]等号成立．故选：C．10.【答案】B解：设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0,2π)．∴|x+2y−4|+|3−x−y|=|2cosθ+2sinθ−4|+|3−2cosθ−sinθ|=4−2cosθ−2sinθ+3−2cosθ−sinθ=7−4cosθ−3sinθ=7−5sin(θ+α)，∴|x+2y−4|+|3−x−y|的最大值为12，故选：B．设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0,2π)，|x+2y−4|+|3−x−y|=|2cosθ+2sinθ−4|+ |3−2cosθ−sinθ|=4−2cosθ−2sinθ+3−2cosθ−sinθ=7−4cosθ−3sinθ=7−5sin(θ+α)，即可得出结论．11.【答案】1解：化简得：|x−a|+|x−3|≥|(x−a)−(x−3)|=|a−3|≥2a，当a−3>0，即a>3时，上式化为a−3≥2a，解得a≤−3，所以实数a无解；当a−3≤0，即a≤3时，上式化为3−a≥2a，解得3a≤3，解得a≤1，综上，实数a的范围为a≤1，则实数a的最大值为1．故答案为1．12.【答案】(2,4)解：∵x∈R，不等式|x−3|<1，∴−1<x−3<1，解得2<x<4．∴不等式|x−3|<1的解集为(2,4)．故答案为：(2,4)．由含绝对值的性质得−1<x−3<1，由此能求出不等式|x−3|<1的解集．本题考查含绝对值不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．13.【答案】(−∞,92]解：由题可知|x +4x −a|+a ≤5，即|x +4x −a|≤5−a ，所以a ≤5，又因为|x +4x −a|≤5−a ，所以a −5≤x +4x −a ≤5−a ，所以2a −5≤x +4x ≤5，又因为1≤x ≤4，4≤x +4x ≤5，所以2a −5≤4，解得a ≤92，故答案为：(−∞,92].14.【答案】[−1,12]解：|2x −1|+|x +2|={−3x −1,x <−2−x +3,−2≤x ≤123x +1,x >12，∴x =12时，|2x −1|+|x +2|的最小值为52，∵不等式|2x −1|+|x +2|≥a 2+12a +2对任意实数x 恒成立， ∴a 2+12a +2≤52，∴a 2+12a −12≤0，∴−1≤a ≤12， ∴实数a 的取值范围是[−1,12].故答案为：[−1,12].15.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)=|x +1|+|x −2|>5，当x ≥2时，x +1+x −2>5，可得x >3；当−1≤x <2时，x +1−x +2>5，解得x ∈⌀；当x <−1时，−x −1−x +2>5，解得x <−2；综上x ∈(−∞,−2)∪(3,+∞)． (2)|x +1|+|x −a|≥|a +1|，对任意实数x ，都有f(x)≥3恒成立，∴|a +1|≥3，解得a ≥2或a ≤−4.16.【答案】解：(1)当m =−2时，f(x)=|2x|+|2x +3|+m ={4x +1,x ≥01,−32<x <0−4x −5,x ≤−32, 当{4x +1≤3x ≥0，解得0≤x ≤12；当−32<x <0,1≤3恒成立；当{−4x −5≤3x ≤−32解得−2≤x ≤−32；所以此不等式的解集为[−2,12]；(2)当x ∈(−∞,0)时，f(x)=|2x|+|2x +3|+m ={3+m,(−32<x <0)−4x −3+m,(x ≤−32), 当−32<x <0时，不等式化为3+m ≥x +2x ；由x +2x=−[(−x)+(−2x)]≤−2√(−x)(−2x)=−2√2，当且仅当−x =−2x 即x =−√2时等号成立，∴m +3≥−2√2，∴m ≥−3−2√2，当x ≤−32时，不等式化为−4x −3+m ≥x +2x ，∴m ≥5x +2x +3，令y =5x +2x +3，x ∈(−∞,−32],0'/>在x ∈(−∞,−32]恒成立，∴y =5x +2x+3在(−∞,−32]上是增函数，∴当x =−32时，y =5x +2x +3取到最大值为−356，∴m ≥−356，综上m 的取值范围是[−3−2√2,+∞)．。

高考数学二轮复习中档大题满分练四数列(B组)021323

中档大题满分练4.数列(B组)中档大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考满分根基!1.已知数列{a n}的前n项和为S n,满足a2=1,6S n=3a n+1-1.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)设b n=a2n,数列{b n}的前n项和与积分别为R n与T n,求R n与T n.【解析】(1)因为6S n=3a n+1-1,所以6S n-1=3a n-1 (n≥2),两式相减,得6a n=3a n+1-3a n (n≥2),所以a n+1=3a n (n≥2),又a2=1,所以当n≥2时,{a n}是首项为1,公比为3的等比数列,a n=a2·3n-2=3n-2,由6a1=3a2-1得a1=,满足上式,所以通项公式为a n=3n-2 (n∈N*).(2)b n=a2n=32n-2=9n-1,得b1=1,公比为9,R n==,T n=b1·b2·b3·…·b n=1·91·92·…·9n-1=91+2+…+n-1==3n(n-1).2.已知数列{a n}的前n项和是S n,且S n+a n=1(n∈N*).数列{b n}是公差d不等于0的等差数列,且满足b1=a1,b2,b5,b14成等比数列.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式.(2)设c n=a n·b n,求数列{c n}的前n项和T n.【解析】(1)n=1时,a1+a1=1,a1=.n≥2时,S n-S n-1=(a n-1-a n),所以a n=a n-1(n≥2).{a n}是以为首项,为公比的等比数列,a n=×=2×.b1=1,又=b2b14得:(1+4d)2=(1+d)(1+13d),d2-2d=0,因为d≠0,解得d=2,b n=2n-1.(2)c n=,T n=+++…+,T n=+++…++,T n=+4-,T n=+4×-,T n=--,所以T n=2-.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。