专题九三角换元.

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基本不等式三角换元法

基本不等式三角换元法
基本不等式是数学中重要的不等式之一，可以用于求解各种数学问题。

在解决一些特殊的不等式时，可以使用三角换元法来转化原不等式为基本不等式，从而得到更简单的解法。

三角换元法是指将不等式中的变量用三角函数进行替换。

一般地，我们可以将不等式中的正弦、余弦、正切等三角函数替换为一个新变量，然后运用三角函数的性质进行简化和变形，最终得到基本不等式形式的不等式。

常用的三角换元有以下几种：
1. 令 $x = sin t$ 或 $x = cos t$，其中 $t in
[0,frac{pi}{2}]$。

2. 令 $x = tan frac{t}{2}$，其中 $t in [0,pi)$。

3. 令 $x = cot frac{t}{2}$，其中 $t in (0,pi]$。

使用三角换元法可以将一些复杂的不等式转化为简单的形式，进而求解。

例如，对于不等式 $frac{sin x}{x} geq cos x$，我们可
以令 $x = sin t$，得到 $frac{t}{sin t} geq cos t$，再由基本
不等式得到 $frac{t}{sin t} geq 1$，进而得到 $t geq sin t$，
这是显然成立的，因此原不等式成立。

需要注意的是，在使用三角换元法时，需要注意选取合适的三角函数，并注意特殊情况的处理，比如分母为 $0$ 的情况等。

- 1 -。

数学方法之换元法篇

数学方法之换元法篇通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径的方法. 根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元；（2）平均数换元法；（3）比值换元法；（4）三角代换法；（5）不等量换元法；（6）根式换元法；（7）倒数换元法；（8）相反数换元法；（9）坐标换元法等等.一、整体换元例1：求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值.解析：设••t x x •y x x t .21cos sin ),22(cos sin 2-=∙≤≤-+=则 •t t t y .1)1(212122-+=+-=故当.221,2max +==••y •t 时二、三角换元例2：求函数25x x y -+=的值域.解析：令••••x ],2,2[,sin 5ππθθ-∈= ).4sin(10cos 5sin 5|cos |5sin 5πθθθθθ+=+=+∙=y 则因为22πθπ≤≤-，所以 .4344ππθπ≤+≤- 所以1)4sin(22≤+≤-πθ，得10)4sin(105≤+≤-πθ 所以函数的值域为[10,5•-]. 三、平均数换元法例3：已知正数.425)1)(1(:,1,≥++=+y y x x •••y x y x •求证满足证明：由题意可知x ，y 的平均数为21，令x =21+θ，y =21-θ（-21<θ<21）, 则.41162523)1)(1()1)(1(22422θθθ-++=++=++xy y x y y x x 显然分子的值大于等于1625，分母的值大于0小于等于41，从而得证.四、比值换元例4：已知x ，y ，z 满足x -1=3221-=+z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最小值？解析：由比例可以设t z y x =-=+=-322111，则 222z y x ++22)12()1(-++=t t +.61014)23(22++=+t t t 当145-=t 时，即149=x ，712-=y ，222,1413z y ••x z ++=时达到最小值. 五、根式换元例5：求函数y =2x +x 21-的值域.解析：设t =x 21-≥0，则x =212t -，f (t )=)0(21212≥++-t t t ，由二次函数的图象可以知f (t )≤1，所以原函数的值域是(].1,•••∞- 六、不等量换元例6：求证：47)1(1131211122322<++++++n n . 证明：对通项公式进行变形)1111(21)1)(1(111122+--∙=+-=-<k k k k k k . 令k =2，3，…n ，n +1，则47)2111211(211)1(1131211122322<+-+-++<++++++n n n n .。

三角函数换元精髓：借用基础,化繁为简

．在解决某些
ｒＸｘ－ｙ＝ｃｏｓ一ｓｉｎｃｏｓ０＋｛）＇
所以，当０＝０时，取得最大值１．
所以有／ｚ＝ｘ＋Ａｙ＝丁２ｘ／－Ｙｓｉｎ＋
以＝
（１孚
式的变形式：ｘ＝ｒｃｏｓ￣．ｙ＝ｒｓｉｎｏｔ－￣起到ｆ
降元的目的．
Ｂ半）．设＝
所以
借用恒等关系巧换元
三角恒等关系式ｓｉｎＯ＋ｃｏｓ０－１．
有ｃ（ｃ０胡，ｓｉｎＯ），其中［０ ’ 了＇ＩＴ３．
Ａ的取值范围为
Ｙ
变动，￣ｏ－ｄ＝＋，其中，ｙ ∈ Ｒ，
求 — Ｙ的最大值．
Ｙ
因为０＜＜｝所以争
．
日
要使得存在最大值，则＜号＜
Ｂ：
０
０
Ａ
盖
●
詈＋，所以詈＜＜号，
）．
－
．
点评：三角函数的定义体现了
ＣＯＡ的变化而变化．借助三角函数
￣ＬＢＯＣ＝Ｏ，￣ｆＣ（ｃｏｓ０，ｓｉｎＯ），其
角０ｆ终边上任一点Ｐ（，ｙ）与角的关系：ｃｏｓ＝三ｓｉｎａ：（其中，２＝＋，上）．
＝一
ｓＳ１ｉｎ， Ⅳ
３

椭圆中三角换元的例题

椭圆中三角换元的例题【最新版】目录1.椭圆三角换元的概念2.椭圆三角换元的例题3.椭圆三角换元的几何意义4.椭圆三角换元的应用场景正文一、椭圆三角换元的概念椭圆三角换元是一种数学方法，主要应用于解决椭圆曲线上的问题。

在椭圆曲线中，为了简化计算，我们通常会将椭圆曲线上的点用三角函数表示，这种换元方法被称为椭圆三角换元。

二、椭圆三角换元的例题假设我们有一个椭圆曲线，其方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1，其中 a 和 b 分别为椭圆的长半轴和短半轴。

我们现在要求解这个椭圆曲线上的点到原点的距离。

解：我们可以通过椭圆三角换元的方法来解决这个问题。

假设在椭圆曲线上任取一点 P(x, y)，我们可以设 x = a * cosθ，y = b * sinθ，其中θ为点 P 的极角。

这样，我们就将椭圆曲线上的点 P 用三角函数表示出来了。

接下来，我们可以利用三角函数的性质，将点 P 到原点的距离表示为：d = √(x^2 + y^2) = √(a^2 * cos^2θ + b^2 * sin^2θ) = √(a^2 - b^2 * sin^2θ)。

因此，椭圆曲线上的点到原点的距离可以表示为：d = √(a^2 - b^2 * sin^2θ)。

三、椭圆三角换元的几何意义椭圆三角换元的几何意义在于，它可以将椭圆曲线上的点用直角坐标系中的三角函数表示出来，从而简化计算。

在直角坐标系中，以原点为圆心，分别以 a，b（ab<0）为半径作两个圆，点 P 是大圆半径 OA 与小圆的交点，过 A 作 ANOX，垂足为 N，过 B 作 BMAN 垂足为 M。

当半径OA 绕原点 O 旋转时，M 的参数方程可以表示为：x = a * cosθ，y = b * sinθ。

四、椭圆三角换元的应用场景椭圆三角换元在数学中有广泛的应用，尤其在解决椭圆曲线上的问题时，可以大大简化计算过程。

公开高中复习三角换元法

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解：由题可知 0，, ] 2
则原式变为：y sin t cost 2 sin(t ， )
4
t ，[0, ] 2
所以：t
4
4
, 34，所以：
1 y ，2
即 y的值域是 [1, 2.]
小结：本题中令 x sin2 t 的形式，主要发现值域的联系，又有去根号的需要。
关系进行转换。
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四、总结
1.三角换元法适用的题型是应用于去根号，或者是变换三角函数形式易求时。注意“两种情形”.
2.当用三角换元时，换元之后一定要带上“新的自变量”的取值范围(注：是等量代换).
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五、暑期课程安排
1. 重点复习高一所学习的四本必修中的重点、难点以及易错点；
2. 在查缺补漏的基础上注重方法的教学，使各个知识点有机的结合，从而使学生能够将所学知识系统的联系在一起；
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谢谢大家！
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注意两种情形当用三角换元时换元之后一定要带上新的自变量的取值范围重点复习高一所学习的四本必修中的重点难点以及易错点
一、引入
换元法：又称变量代换法。通过引进新的变量，把分
散的条件联系起来，把条件与结论联系起来，变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
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二、三角换元法
三角换元法：是换元法的一种，应用于去根号，或者
解：y sin x cosx sin x cosx
令 sin x cosx t，则 t [ 2, 2] ，
则由 (sin x cos x)2 sin2 x cos2 x 2sin x cos x 得：
t2 1 sin x cos x

应用三角换元法求解最大(小)值难题

应用三角换元法求解最大(小)值难题于志洪【期刊名称】《《高中数理化》》【年(卷),期】2019(000)017【总页数】3页(P7-9)【作者】于志洪【作者单位】江苏省泰州中学附属初级中学【正文语种】中文用三角函数代替问题中的参数,再利用三角函数之间的关系使问题得以简化的方法,我们称之为三角换元法．这种换元法应用极其广泛,本文仅以部分高中数学竞赛题为例,介绍三角换元法在求最大值和最小值问题中的应用,供师生教与学时参考．例1 已知实数x,y满足3x2-4xy+3y2=4,若s=x2+y2,求s的最大值和最小值．因为s=x2+y2,故可设将其代入条件3x2-4xy+3y2=4中,可得3scos2θ-4ssin θcos θ+3ssin2θ=4.所以3s(sin2θ+cos2θ)-4s·sin θcos θ=4,从而可得3s-2ssin 2θ=4,因此由于-1≤sin 2θ≤1, 且当sin 2θ=-1时,当sin 2θ=1时,s=4,故s的取值范围是即s的最大值是4,最小值是上述解法是从结论入手,利用三角换元,通过代入已知条件,将题设代数等式转变为三角函数问题来处理,巧妙结合二倍角正弦公式和平方和公式sin2θ+cos2θ=1,最后根据正弦函数的有界性,求得最大值和最小值．这种解法,不仅减少了计算量,而且丰富了学生的解题思路,其构思巧妙,令人耳目一新．例2 已知实数为x,y满足x2+y2+xy=3,求x2+y2的最大值和最小值．设x2+y2=z(z>0),令代入x2+y2+xy=3,得z+zsin θcos θ=3,即得因为θ∈[0,2π),所以-1≤sin 2θ≤1,不等式两边同时加上2,得1≤2+sin 2θ≤3,所以故x2+y2的最大值是6,最小值是2.这是一道二元函数最值问题,本题借助sin2θ+cos2θ=1，巧妙利用三角换元,结合正弦函数的有界性求得结果．例3 已知实数x,y满足x2+y2-6x+4y+4=0,记u=x2+y2+2x-4y的最大值为M,最小值为m,计算M+m．由已知得u+5=(x+1)2+(y-2)2,设则将其代入已知条件式得整理得所以即u2-72u+144≤0.易知u的最大值和最小值就是一元方程u2-72u+144=0的两个根,故由根与系数的关系可求得M+m=72．上述解法从已知条件入手,先将题设式进行配方,再结合三角换元,将条件转化为三角函数代入目标函数,从而沟通了题设与结论的关系,实现了将代数最值问题化归为三角函数最值问题来求解,最后根据根与系数的关系巧妙地求得最大值和最小值之和．上述解法,减少了计算量,提高了学生的解题速度和正确率．例4 求的最大值和最小值．因为故令则这里则有所以当时,取得最大值，其最大值为当α=0时,取得最小值，其最小值为利用三角换元的一个目的是去根号．本题中,巧妙地使用特定的三角函数进行换元，消除了两个根号,其解法更加简捷流畅．例5 已知函数的最大值为M,最小值为m,则的值( ).根据题意所以可设也就是其中从而因为所以故由正弦函数的图象可知所以则故选D．本题是一道求无理函数最大值和最小值的竞赛题,用常规方法求解较为烦琐,然而根据题设,通过巧妙凑配系数使其出现了平方和为常数的关系,从而利用三角换元,将无理函数的最值问题转化为三角函数化简求最值的问题,方法较为新颖．例6 求函数的最大值和最小值．解法1 由待求函数可设将两边平方后,可得3x-6=y2cos4θ,①3-x=y2sin4θ,②②×3得 9-3x=3y2sin4θ.③因此，由①+③得y2cos4θ+3y2sin4θ=3,所以而cos4θ+3sin4θ=3sin4θ+(1-sin2θ)2=因而故所以1≤y2≤4,而f(x)=ycos2θ+ysin2θ=y,因此函数f(x)的最大值为2,最小值为1.解法2 因为3x-6≥0,3-x≥0,所以2≤x≤3.故可设因此而这时所以1≤f(x)≤2,从而可知f(x)的最大值为2,最小值为1．解答本题的关键是通过三角换元将形如的无理函数转化为三角函数．解法自然流畅、简捷明快，充分体现了三角换元法在解题中的重要性．例7 若实数a,b,c满足a2+b2≤c≤1,求a+b+c的最小值.根据题意，可设则a+b+c=rcos θ+rsin θ+c=因为故可知当且仅当时,等号成立．因此,a+b+c的最小值为此题设计精巧,可以从多角度研究,解法也较多．然而,根据题目中条件的结构特征,利用三角换元思想解题较为便捷．例8 若实数x,y满足求x的最大值和最小值．由条件可得故知x≥0,又所以可令则条件变为①易知当x=0时,式①成立．当x>0时,式①可变为即其中即所以当sin(θ+φ)=1时,取得最大值此时x取得最大值20;当时,取得最小值2,此时x取得最小值4．综上所述,x的最大值是20,最小值是0．本题含有两个根式,直接进行代数变形相当困难．注意到很自然联想到利用三角换元法进行求解,不仅降低了解题难度而且简捷明快,充分体现了三角换元法在解题中的重要作用．例9 若实数x,y,z满足:x+y+z=12,x2+y2+z2=54,分别求xy,yz,zx的最大值和最小值．设代入x+y+z=12,可得则54-z2+54-z2≥(12-z)2，解得2≤z≤6.又因为z2-12z+45=(z-6)2+9,从而有9≤xy≤25,同理9≤yz≤25,9≤zx≤25．即xy,yz,zx的最大值均为25,最小值均为9.本题妙用了三角换元法,提高了解题效率,降低了题目的难度．例10 已知实数x,y满足x2-xy+2y2=8,试求x2+xy+2y2的最大值和最小值．因为x2-xy+2y2=8,故配方可得设则①②将式①和式②同时代入x2+xy+2y2中,得其中故依据正弦函数的有界性,易知当sin(2θ-φ)=1时,x2+xy+2y2取得最大值当sin(2θ-φ)=-1时，x2+xy+2y2取得最小值上述解法从已知条件入手,先将x2-xy+2y2=8进行配方,再利用三角换元,将代数最值问题化归为三角函数最值问题,最后根据正弦函数的有界性,巧妙求得最大值和最小值．综上所述，例1、例2、例5、例6的解法1、例7、例9和例10都是利用两个变量sin θ,cos θ或sin2θ,cos2θ进行换元,而例4和例6的解法2则是利用一个变量进行换元．将已知条件中的一个或多个变量代换为同一个角的三角函数,这样就便于运用熟知的三角函数公式进行化简,利于迅速求得其解．上述几道高中数学竞赛题都是比较典型的三角代换题目,考题结构看似平常,其实构思精巧,有着良好的检测功能，值得我们一同来鉴赏与探寻．这种解法的优点在于可以将已知条件中的一个或多个变量代换为同一个角的三角函数来表示,从而利于我们运用熟知的三角公式进行化简,直至问题的解决.这种代换思想符合新课程改革的理念,利于学生融会贯通课本知识,激发学生学习的积极性,发展学生的数学才能,同时利于拓宽学生视野，启迪思维,利于提高教学质量,提高学生分析问题和解决实际问题的能力．故笔者认为在今后的教学过程中,教师应注重引导学生对这类最值问题的结构特征认真分析,发展学生的认知力,培养学生的创造力,这对学生的全面发展大有益处．。

三角函数万能换元公式

三角函数万能代换公式：(sinα)²+(cosα)²=11+(tanα)²=(secα)²1+(cotα)²=(cscα)²万能公式包括三角函数、反三角函数等。

万能公式可以把所有三角函数都化成只有tan(a/2)的多项式。

将sinα、cosα、tanα代换成含有tan(α/2)的式子，这种代换称为万能置换的代换公式。

万能公式架起了三角与代数间的桥梁。

(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式，只需将一式，左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC三角形面积公式三角形面积公式是指使用算式计算出三角形的面积，同一平面内，且不在同一直线的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形，符号为△。

常见的三角形按边分有等腰三角形（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）、不等腰三角形；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

正弦公式正弦公式是描述正弦定理的相关公式，而正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出：在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。

几何意义上，正弦公式即为正弦定理。

海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。

它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。

表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，它的特点是形式漂亮，便于记忆。

相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。

中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。

二倍角公式二倍角公式是数学三角函数中常用的一组公式，通过角α的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角2α的三角函数值，二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。

浅谈三角换元法

１ｘＺ＋２ｘｙ－ｙｚＩ＝Ｉｃｏｓ２ｏｔ＋２ｓｉｎａｃｏｓｃｔ— ｓｉｎ２ａｌ＝Ｉｃｏｓ２ａ＋ｓｉｎ２ｃ￣ｌ＝、／Ｔ ·
ｌ－ｃｏｓ２ａ＋Ｘ／２－ｓｉｎ２Ｉ１＝ ·
＋
≤
，
所以ｌＸ２＋２ｘｙ－ｙ２１≤、／．
例３已知＋６：１．求证 —１－ｂ＋ａ
—
：
１－ｂ
使用三角换元时。要注意换元后的变量的取值范围要与原变量的取值范围保持一致．
代数问题的三角解法
麓将复杂的代数问题转化为三角问
题．会使问题变得简单明了．例１已知ａ２＋ｂ１，Ｃ２＋ｄ２＝ｌ，求证
证明：由ａ２＋ｂ。＝１．ｃ２＋ｄ２＝１，可设ｎ＝ｓｉｎｏ￣，ｂ＝ｃｏｓａ，ｃ＝ｓｉｎｆｌ，ｄ＝ｃｏｓｆ１．
于是ｔｉｃ＋ｂｄ：ｓｉｎａｓｉｑ３＋ＣＯＳＯｔＣＯＳ￣＝
ＣＯＳ（）．因为ｌＣＯＳ（－ｆ１）Ｉ≤ｌ，所以Ｉａｃ＋ｂｄｌ≤１．
倒２若１，求证Ｉ＋２ｘｙ－ｙ２Ｉ≤
试题研究＞解题技巧
数学教学通讯《教师版）
投稿螂箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ１６３．ｃｏｍ
浅谈蜘～则重种三中学私一刚懈盯角～分一啊积换元法管能碧云南德宏师范高等专科学校６７８４００
换元的思想在整个数学中都是很重要的．本文主要是对三角换元法作讨论．ｊ三角换元法多用于条件不等式的证明或一些函数值的计算．也可用于解决一些几何中的问题．把某些代数问题或几何问题转化为三角问题．这就是代数问题或几何问题的三角解法．下面举例

高中数学多元函数最值问题(十二大题型)

多元函数最值问题目录题型一：消元法题型二：判别式法题型三：基本不等式法题型四：辅助角公式法题型五：柯西不等式法题型六：权方和不等式法题型七：拉格朗日乘数法题型八：三角换元法题型九：构造齐次式题型十：数形结合法题型十一：向量法题型十二：琴生不等式法方法技巧总结解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．必考题型归纳题型一消元法1(2023·全国·高三专题练习)已知正实数x，y满足ln x=ye x+ln y，则y-e-x的最大值为.2(2023·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习)已知实数m,n满足：m⋅e m=(n-1)ln(n-1)=t(t >0)，则ln tm(n-1)的最大值为.3(2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)对任给实数x>y>0,不等式x2-2y2≤cx(y-x)恒成立,则实数c的最大值为.题型二判别式法1(2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中)若x,y∈R，4x2+y2+xy=1，则当x=时，x+y取得最大值，该最大值为.2(2023·全国·高三竞赛)在△ABC中，2cos A+3cos B=6cos C，则cos C的最大值为．3(2023·高一课时练习)设非零实数a，b满足a2+b2=4，若函数y=ax+bx2+1存在最大值M和最小值m，则M-m=.1(2023·江苏·高三专题练习)若正实数x,y满足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，则x+12y的最大值为．2(2023·全国·高三专题练习)设a,b∈R，λ>0，若a2+λb2=4，且a+b的最大值是5，则λ=.题型三基本不等式法1设x、y、z是不全是0的实数.则三元函数f x,y,z=xy+yzx2+y2+z2的最大值是.2(2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)若实数x,y满足2x2+xy-y2=1，则x-2y5x2-2xy+2y2的最大值为.3(2023·全国·高三专题练习)已知正数a,b,c，则ab+bc2a2+b2+c2的最大值为．1(2023·江苏苏州·高三统考开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．2y=cos(α+β)+cosα-cosβ-1的取值范围是．题型五柯西不等式法1(2023·广西钦州·高二统考期末)已知实数a i，b i∈R，(i=1，2⋯，n)，且满足a21+a22+⋯+a2n=1，b21+b22 +⋯+b2n=1，则a1b1+a2b2+⋯+a n b n最大值为()A.1B.2C.n2D.2n2(2023·陕西渭南·高二校考阶段练习)已知x，y，z是正实数，且x+y+z=5，则x2+2y2+z2的最小值为.3(2023·江苏淮安·高二校联考期中)已知x2+y2+z2=1，a+3b+6c=16，则x-a22+y-b2+z-c 的最小值为.1(2023·全国·高三竞赛)已知x、y、z∈R+，且s=x+2+y+5+z+10，t=x+1+y+1+ z+1，则s2-t2的最小值为.A.35B.410C.36D.452(2023·全国·高三竞赛)设a、b、c、d为实数，且a2+b2+c2-d2+4=0.则3a+2b+c-4d 的最大值等于.A.2B.0C.-2D.-221(2023·甘肃·高三校联考)已知x>0，y>0，且12x+y+1y+1=1，则x+2y的最小值为 .2已知实数x,y满足x>y>0且x+y=1，则2x+3y+1x-y的最小值是3已知a>1,b>1，则a2b-1+b2a-1的最小值是．1已知x,y>0,1x+22y=1，则x2+y2的最小值是．题型七拉格朗日乘数法1x>0，y>0，xy+x+y=17，求x+2y+3的最小值．2设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．题型八三角换元法1(2023·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习)已知函数f(x)=-3x3-3x+3-x-3x+3，若f(3a2)+f(b2 -1)=6，则a1+b2的最大值是2(2023·浙江温州·高一校联考竞赛)2x2+xy+y2=1，则x2+xy+2y2的最小值为.题型九构造齐次式1(2023·江苏·高一专题练习)已知x>0，y>0，则2xyx2+8y2+xyx2+2y2的最大值是.2(2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知实数a,b>0，若a+2b=1，则3ab+1ab的最小值为()A.12B.23C.63D.83(2023·天津南开·高三统考期中)已知正实数a，b，c满足a2-2ab+9b2-c=0，则abc的最大值为．题型十数形结合法1(2023·全国·高三专题练习)函数f x =x2+ax+b(a，b∈R)在区间[0，c](c>0)上的最大值为M，则当M取最小值2时，a+b+c=2(2023·江苏扬州·高三阶段练习)已知函数f x =x ln x,x>02x+4e,x≤0，若x1≠x2且f x1 =f x2 ，则x1-x2的最大值为()A.2e-1e B.2e+1 C.5e D.52e3(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x ln x,x>0x+1,x≤0，若x1≠x2且f x1 =f x2 ，则x1-x2的最大值为()A.22B.2C.2D.11(2023·江苏·高三专题练习)已知函数f x =x,0≤x≤1,ln2x,1<x≤2,若存在实数x1，x2满足0≤x1<x2≤2，且f x1=f x2，则x2-x1的最大值为()A.e2B.e2-1 C.1-ln2 D.2-ln4向量法1(2023·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习)17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在△ABC 中，若三个内角均小于120°，则当点P 满足∠APB =∠APC =∠BPC =120°时，点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的向量，且|b |=2,|c |=3，则|a -b |+|a +b |+|a -c |的最小值是．2(2023·浙江嘉兴·高一统考期末)已知平面向量a ，b ，c 满足a =1，b =2，|a |2=a ⋅b ，c ⋅c -b2=0，则|c -a |2+|c -b|2的最小值为.3(2023·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期末)已知向量a ，b 满足a +b ⋅b =0，a+4b =4，则a +b+b 的最大值为．琴生不等式法1(2023·福建龙岩·高三校考阶段练习)若函数f x 的导函数f x 存在导数，记f x 的导数为f x ．如果对∀x ∈a ，b ，都有f x <0，则f x 有如下性质：f x 1+x 2+⋅⋅⋅+x nn ≥f (x 1)+f (x 2)+⋅⋅⋅+f (x n )n ．其中n ∈N *，x 1，x 2，⋯，x n ∈a ，b .若f x =sin x ，则在锐角△ABC 中，根据上述性质推断：sin A +sin B +sin C 的最大值为.2(2023·全国·高三竞赛)半径为R 的圆的内接三角形的面积的最大值是．3(2023·北京·高三强基计划)已知正实数a ，b 满足a +b =1，求a +1a b +1b的最小值．多元函数最值问题目录题型一：消元法题型二：判别式法题型三：基本不等式法题型四：辅助角公式法题型五：柯西不等式法题型六：权方和不等式法题型七：拉格朗日乘数法题型八：三角换元法题型九：构造齐次式题型十：数形结合法题型十一：向量法题型十二：琴生不等式法方法技巧总结解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．必考题型归纳题型一消元法1(2023·全国·高三专题练习)已知正实数x ，y 满足ln x =ye x +ln y ，则y -e -x 的最大值为.【答案】1e2/e -2【解析】由ln x =ye x +ln y 得ln x y =ye x ，所以x y ln x y =xe x ，则xe x=ln x y ⋅e ln xy ，因为x >0，e x>0，eln xy>0，所以lnxy>0，令f (x )=xe x x >0 ，则f (x )=e x (x +1)>0，所以f x 在0,+∞ 上单调递增，所以由xe x=ln x y ⋅e ln xy ，即f x =f ln x y，得x =ln x y ，所以y =x e x ，所以y -e -x =x e x -1e x =x -1e x，令g (x )=x -1e xx >0 ，则g (x )=2-xe x，令g (x )>0，得0<x <2；令g (x )<0，得x >2，所以g (x )在0,2 上单调递增，在2,+∞ 上单调递减，所以g (x )max =g (2)=1e 2，即y -e -x 的最大值为1e2．故答案为：1e2．2(2023·广东梅州·高三五华县水寨中学校考阶段练习)已知实数m ,n 满足：m ⋅e m =(n -1)ln (n -1)=t (t >0)，则ln tm (n -1)的最大值为.【答案】1e【解析】由已知得，m >0,n -1>0,ln n -1 >0，令f x =xe x (x >0)，则f x =x +1 e x >0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，又因为m ⋅e m =(n -1)ln (n -1)，所以f m =f ln n -1 ,∴m =ln n -1 ，∴m n -1 =(n -1)⋅ln n -1 =t ,∴ln t m n -1=ln t t ，令g t =ln tt(t >0),所以g t =1-ln tt 2，则当t ∈(0,e )时，g (t )>0，g (t )单调递增；当t ∈(e ,+∞)时，g (t )<0，g (t )单调递减；所以g (t )max =g (e )=1e.故答案为：1e.3(2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)对任给实数x >y >0,不等式x 2-2y 2≤cx (y -x )恒成立,则实数c 的最大值为.【答案】22-4【解析】因为对任给实数x >y >0,不等式x 2-2y 2≤cx (y -x )恒成立，所以c ≤x 2-2y 2xy -x 2=xy2-2x y-x y 2，令x y =t >1，则c ≤t 2-2t -t 2=f (t )，f(t )=t 2-4t +2t -t 2 2=(t -2+2)(t -2-2)t -t 22，当t >2+2时，f (t )>0，函数f (t )单调递增；当1<t <2+2时，f (t )<0，函数f (t )单调递减，所以当t =2+2时，f (t )取得最小值，f (2+2)=22-4，所以实数c 的最大值为22-4故答案为：22-4题型二判别式法1(2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中)若x ,y ∈R ，4x 2+y 2+xy =1，则当x =时，x +y 取得最大值，该最大值为.【答案】 1530/1301541515/41515【解析】令x +y =t ，则y =t -x ，则4x 2+y 2+xy =4x 2+t -x 2+x t -x =4x 2-tx +t 2=1，即4x 2-tx +t 2-1=0，由Δ=t 2-16t 2-1 ≥0，解得：-41515≤t ≤41515，故x +y ≤41515，故x +y =415154x 2+y 2+xy =1，解得：x =1530，y =71530，所以当且仅当x =1530，y =71530时，等号成立，故答案为：1530，415152(2023·全国·高三竞赛)在△ABC 中，2cos A +3cos B =6cos C ，则cos C 的最大值为．【答案】14-16【解析】令cos A =x ,cos B =y ,cos C =z ，则2x +3y =6z ，即y =2z -23x ．因为cos 2A +cos 2B +cos 2C +2cos A cos B cos C =1，所以x 2+2z -23x 2+z 2=1-2x 2z -23x z ，整理得139-43z x 2+4z 2-83z x +5z 2-1=0，Δ=4z 2-83z 2-45z 2-1 139-4z3≥0，化简得(z +1)(z -1)4z 2+4z 3-139≥0，于是4z 2+4z 3-139≤0，得z ≤14-16，所以cos C 的最大值为14-16．故答案为：14-16.3(2023·高一课时练习)设非零实数a ，b 满足a 2+b 2=4，若函数y =ax +bx 2+1存在最大值M 和最小值m ，则M -m =.【答案】2【解析】化简得到yx 2-ax +y -b =0，根据Δ≥0和a 2+b 2=4得到b -22≤y ≤b +22，解得答案.y =ax +bx 2+1，则yx 2-ax +y -b =0，则Δ=a 2-4y y -b ≥0，即4y 2-4yb -a 2≤0，a 2+b 2=4，故4y 2-4yb +b 2-4≤0，2y -b +2 2y -b -2 ≤0，即b -22≤y ≤b +22，即m =b -22,M =b +22，M -m =2.故答案为：2.1(2023·江苏·高三专题练习)若正实数x ,y 满足(2xy -1)2=(5y +2)(y -2)，则x +12y的最大值为．【答案】322-1【解析】令x +12y =t ,(t >0)，则(2xy -1)2=(2yt -2)2=(5y +2)(y -2)，即(4t 2-5)y 2+(8-8t )y +8=0，因此Δ=(8-8t )2-32(4t 2-5)≥0⇒2t 2+4t -7≤0，解得：0<t ≤-1+322，当t =-1+322时，y =4t -44t 2-5=62-817-122>0，x =35-242122-16>0，因此x +12y 的最大值为322-1故答案为：322-12(2023·全国·高三专题练习)设a ,b ∈R ，λ>0，若a 2+λb 2=4，且a +b 的最大值是5，则λ=.【答案】4【解析】令a +b =d ，由a +b =da 2+λb 2=4消去a 得：(d -b )2+λb 2=4，即(λ+1)b 2-2db +d 2-4=0，而b ∈R ，λ>0，则Δ=(2d )2-4(λ+1)(d 2-4)≥0，d 2≤4(λ+1)λ，-2λ+1λ≤d ≤2λ+1λ，依题意2λ+1λ=5，解得λ=4.故答案为：4题型三基本不等式法1设x 、y 、z 是不全是0的实数.则三元函数f x ,y ,z =xy +yzx 2+y 2+z 2的最大值是.【答案】22【解析】引入正参数λ、μ.因为λ2x 2+y 2≥2λxy ，μ2y 2+z 2≥2μyz ，所以，xy ≤λ2x 2+12λy 2，yz ≤μ2y 2+12μz 2.两式相加得xy +yz ≤λ2x 2+12λ+μ2 y 2+12μz 2.令λ2=12λ+μ2=12μ，得λ=2，μ=12故xy +yz ≤22x 2+y 2+z 2.因此，f x ,y ,z =xy +yz x 2+y 2+z2的最大值为22.2(2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习)若实数x ,y 满足2x 2+xy -y 2=1，则x -2y5x 2-2xy +2y 2的最大值为.【答案】24【解析】由2x 2+xy -y 2=1，得(2x -y )(x +y )=1，设2x-y=t,x+y=1t，其中t≠0.则x=13t+13t,y=23t-13t，从而x-2y=t-1t,5x2-2xy+2y2=t2+1t2，记u=t-1t，则x-2y5x2-2xy+2y2=uu2+2，不妨设u>0，则1u+2u≤12u×2u=24,当且仅当u=2u，即u=2时取等号，即最大值为24.故答案为：2 4.3(2023·全国·高三专题练习)已知正数a,b,c，则ab+bc2a2+b2+c2的最大值为．【答案】6 4【解析】∵ab+bc2a2+b2+c2=ab+bc2a2+13b2+23b2+c2≤ab+bc223ab+223bc=1223=64(当且仅当2a=3 3b，63b=c时取等号)，∴ab+bc 2a2+b2+c2的最大值为64.故答案为：6 4.题型四辅助角公式法1(2023·江苏苏州·高三统考开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．【答案】1,3 2【解析】因为角α、β均为锐角，所以sinα,cosα,sinβ,cosβ的范围均为0,1，所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα+sinβ，所以sinα+sinβ+cosα+β>sinα+β+cosα+β=2sinα+β+π4因为0<α<π2,0<β<π2,π4<α+β+π4<3π4，所以2sinα+β+π4>2×22=1，sinα+sinβ+cosα+β=sinα+sinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=1-sinβsinα+cosαcosβ+sinβ≤1-sinβ2+cos2β+sinβ=21-sinβ+sinβ，当且仅当1-sinβcosα=sinαcosβ时取等，令1-sinβ=t，t∈0,1，sinβ=1-t2，所以=21-sinβ+sinβ=2t+1-t2=-t-2 22+32≤32.则sinα+sinβ+cosα+β的范围是：1,3 2.故答案为：1,3 22y=cos(α+β)+cosα-cosβ-1的取值范围是．【答案】-4,1 2【解析】y=cosαcosβ-sinαsinβ+cosα-cosβ-1=(cosβ+1)cosα-(sinβ)sinα-(cosβ+1)=(cosβ+1)2+sin2βsin(α+φ)-(cosβ+1)=2+2cosβsin(α+φ)-(cosβ+1)因为sin(α+φ)∈[-1,1]，所以-2+2cosβ-(cosβ+1)≤y≤2+2cosβ-(cosβ+1)，令t=1+cosβ，则t∈[0,2]，则-2t-t2≤y≤2t-t2，所以y≥-2t-t2=-t+2 22+12≥-4，(当且仅当t=2即cosβ=1时取等)；且y≤2t-t2=-t-2 22+12≤12，(当且仅当t=22即cosβ=-12时取等)．故y的取值范围为-4,1 2．题型五柯西不等式法1(2023·广西钦州·高二统考期末)已知实数a i，b i∈R，(i=1，2⋯，n)，且满足a21+a22+⋯+a2n=1，b21+b22 +⋯+b2n=1，则a1b1+a2b2+⋯+a n b n最大值为()A.1B.2C.n2D.2n【答案】A【解析】根据柯西不等式，a21+a22+⋯+a2nb21+b22+⋯+b2n≥a1b1+a2b2+⋯+a n b n2，故a1b1+a2b2+⋯+a nb n≤1，又当a1=b1=a2=b2=...=a n=b n=1n时等号成立，故a1b1+a2b2+⋯+a n b n最大值为1故选：A2(2023·陕西渭南·高二校考阶段练习)已知x，y，z是正实数，且x+y+z=5，则x2+2y2+z2的最小值为.【答案】10【解析】由柯西不等式可得x2+2y2+z212+122+12≥(x+y+z)2，所以52x2+2y2+z2≥25，即x2+2y2+z2≥10，当且仅当x1=2y12=z1即x=2y=z也即x=2,y=1,z=2时取得等号，故答案为：103(2023·江苏淮安·高二校联考期中)已知x2+y2+z2=1，a+3b+6c=16，则x-a2+y-b2+z-c2的最小值为.【答案】9【解析】∵a +3b +6c =16≤12+32+6 2a 2+b 2+c 2=4a 2+b 2+c 2∴a 2+b 2+c 2≥4,当且仅当a 1=b 3=c6时等号成立，即a =1,b =3,c =6，∵x -a 2+y -b 2+z -c 2=1-2xa +by +cz +a 2+b 2+c 2≥1-2x 2+y 2+z 2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=1-2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 2-1 2≥9，当且仅当a x =b y =c z 时等号成立，可取x =14,y =34,z =64故答案为：91(2023·全国·高三竞赛)已知x 、y 、z ∈R +，且s =x +2+y +5+z +10，t =x +1+y +1+z +1，则s 2-t 2的最小值为.A.35 B.410C.36D.45【答案】C【解析】由s +t =x +2+x +1 +y +5+y +1 +z +10+z +1 ，s -t =1x +1+x +2+4y +1+y +5+9z +1+z +10.知s 2-t 2=s +t s -t ≥1+2+3 2=36.当x +1+x +2=12y +1+y +5 =13z +1+z +10 时，取得最小值36.故答案为C2(2023·全国·高三竞赛)设a 、b 、c 、d 为实数，且a 2+b 2+c 2-d 2+4=0.则3a +2b +c -4d 的最大值等于.A.2B.0C.-2D.-22【答案】D【解析】由题意得a 2+b 2+c 2+22=d 2，所以42d 2=a 2+b 2+c 2+22 32+22+12+2 2 ≥3a +2b +c +22 2(利用柯西不等式).从而，4d ≥3a +2b +c +22 ≥3a +2b +c +2 2.故3a +2b +c -4d ≤-2 2.当且仅当a =32，b =22，c =2，d =±42时，等号成立.题型六权方和不等式法1(2023·甘肃·高三校联考)已知x >0，y >0，且12x +y +1y +1=1，则x +2y 的最小值为.【答案】3+12【解析】设x +2y =λ1(2x +y )+λ2(y +1)+t ，可解得λ1=12,λ2=32,t =-32，从而x +2y =12(2x +y )+32(y +1)-32=12(2x +y )+32(y +1) 12x +y +1y +1-32≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．2已知实数x ,y 满足x >y >0且x +y =1，则2x +3y +1x -y的最小值是【答案】3+222【解析】2x +3y +1x -y ≥2+1 22x +2y =3+222．当2x +3y =1x -y 时，x =2-12,y =32-2取等号．3已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【解析】a +b -2=t >0，a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥8.当a +b -2=2a b -1=ba -1时，即a =2,b =2，两个等号同时成立．1已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【解析】1=1x +22y=132x 212+232y 212≥1+232x 2+y 212=33x 2+y2．即当1x 2=2y 21x +22y=1时，即x =3,y =32，有x 2+y 2的最小值为33．题型七拉格朗日乘数法1x >0，y >0，xy +x +y =17，求x +2y +3的最小值．【解析】令F (x ,y ,λ)=x +2y +3-λ(xy +x +y -17)F x ′=1-λy -λ=0，F y ′=2-λx -λ=0，F λ′=-(xy +x +y )+17=0，联立解得x =5，y =2，λ=13，故x +2y +3最小为12．2设x ,y 为实数，若4x 2+y 2+xy =1，则2x +y 的最大值是．【答案】2105【解析】令L =2x +y +λ(4x 2+y 2+xy -1)，由L x =2+8λx -3λy =0L y =1+2λy -3λx =0L λ=4x 2+y 2+xy -1=0，解得x =±1010y =±105，所以2x +y 的最大值是2⋅1010+105=2105．三角换元法1(2023·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习)已知函数f (x )=-3x 3-3x +3-x -3x +3，若f (3a 2)+f (b 2-1)=6，则a 1+b 2的最大值是【答案】33【解析】设g (x )=f (x )-3,所以g (x )= -3x 3-3x +3-x -3x ,所以g (-x )=-3(-x )3+3x +3x -3-x ,∴g (-x )+g (x )=0,所以g (-x )=-g (x ),所以函数g (x )是奇函数，由题得g (x )=-9x 2-3-3-x ln3-3x ln3<0，所以函数g (x )是减函数，因为f 3a 2 +f b 2-1 =6，所以f 3a 2 -3+f b 2-1 -3=0，所以g 3a 2 +g b 2-1 =0,所以g 3a 2 =g (1-b 2),所以3a 2=1-b 2,∴3a 2+b 2=1,设a =33cos θ,b =sin θ,不妨设cos θ>0，所以a 1+b 2=33cos θ1+sin 2θ=33(1+sin 2θ)cos 2θ=33(1+sin 2θ)(1-sin 2θ)=331-sin 4θ≤33，所以a 1+b 2的最大值为33.故答案为332(2023·浙江温州·高一校联考竞赛)2x 2+xy +y 2=1，则x 2+xy +2y 2的最小值为.【答案】-42+97【解析】根据条件等式可设x =2cos θ7,y =sin θ-cos θ7，代入所求式子，利用二倍角公式和辅助角公式化简，根据三角函数的性质可求出最值.∵2x 2+xy +y 2=1，则7x 24+x 24+xy +y 2=1，即7x 2 2+x 2+y 2=1，设7x 2=cos θ,x 2+y =sin θ，则x =2cos θ7,y =sin θ-cos θ7，∴x 2+xy +2y 2=2cos θ7 2+2cos θ7⋅sin θ-cos θ7 +2sin θ-cos θ72=4cos 2θ7-2sin θcos θ7+2sin 2θ=471+cos2θ2 -sin2θ7+1-cos2θ=-17sin2θ-57cos2θ+97=427sin 2θ+φ +97，其中φ是辅助角，且tan φ=357，当sin 2θ+φ =-1时，原式取得最小值为-42+97.故答案为：-42+97.题型九构造齐次式1(2023·江苏·高一专题练习)已知x >0，y >0，则2xy x 2+8y 2+xyx 2+2y 2的最大值是.【答案】23【解析】由题意，2xy x 2+8y 2+xy x 2+2y 2=3x 3y +12xy 3x 4+10x 2y 2+16y 4=3x y+4yxx y2+16yx 2+10=3x y+4yxx y+4y x2+2=3x y+4yxx y+4y x+2x y+4y x，设t =x y +4y x ，则t =x y +4y x ≥2x y ⋅4y x =4，当且仅当x y =4y x，即x =2y 取等号，又由y =t +2t 在[4,+∞)上单调递增，所以y =t +2t 的最小值为92，即t +2t ≥92，所以3x y+4yxxy +4y x+2x y+4y x≤3t +2t=23，所以2xy x 2+4y 2+xy x 2+2y 2的最大值是23.故答案为：23.2(2023·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知实数a ,b >0，若a +2b =1，则3a b +1ab的最小值为()A.12 B.23C.63D.8【答案】A 【解析】由3a b +1ab，a +2b =1，a ,b >0，所以3a b +1ab =3ab +a +2b 2ab=3a b +a 2+4ab +4b 2ab =3a b +a b+4+4b a =4a b+4b a +4≥24a b ⋅4b a +4=8+4=12，当且仅当4a b=4b a ⇒a =b =13时，取等号，所以3a b +1ab 的最小值为：12，故选：A .3(2023·天津南开·高三统考期中)已知正实数a ，b ，c 满足a 2-2ab +9b 2-c =0，则abc的最大值为．【答案】14/0.25【解析】由a 2-2ab +9b 2-c =0，得c =a 2-2ab +9b 2，∵正实数a ，b ，c∴则ab c =ab a 2-2ab +9b 2=1a b+9b a -2则a b+9b a ≥2a b ⋅9b a =6，当且仅当a b=9ba ，且a ，b >0，即a =3b 时，等号成立a b+9b a -2≥4>0则1a b +9b a -2≤14所以，ab c 的最大值为14.故答案为：14.题型十数形结合法1(2023·全国·高三专题练习)函数f x =x 2+ax +b (a ，b ∈R )在区间[0，c ](c >0)上的最大值为M ，则当M 取最小值2时，a +b +c =【答案】2【解析】解法一：因为函数y =x 2+ax +b 是二次函数，所以f x =x 2+ax +b (a ，b ∈R )在区间[0，c ](c >0)上的最大值是在[0，c ]的端点取到或者在x =-a2处取得．若在x =0取得，则b =±2；若在x =-a 2取得，则b -a 24=2；若在x =c 取得，则c 2+ac +b =2；进一步，若b =2，则顶点处的函数值不为2，应为0，符合题意；若b =-2，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不合题意；由此推断b =a 24，即有b =2，a +c =0，于是有a +b +c =2．解法二：设g x =x 2，h x =-ax -b ，则f x =g x -h x ．首先作出g x =x 2在x ∈0,c 时的图象，显然经过(0，0)和c ,c 2 的直线为h 1x =cx ，该曲线在[0，c ]上单调递增；其次在g x =x 2图象上找出一条和h 1x =cx 平行的切线，不妨设切点为x 0,x 20 ，于是求导得到数量关系2x 0=c ．结合点斜式知该切线方程为h 2x =cx -c 24．因此M min =120--c 24 =2，即得c =4．此时h x =cx -c 28，即h x =4x -2，那么a =-4，b =2．从而有a +b +c =2．2(2023·江苏扬州·高三阶段练习)已知函数f x =x ln x ,x >02x +4e ,x ≤0，若x 1≠x 2且f x 1 =f x 2 ，则x 1-x 2的最大值为()A.2e -1eB.2e +1C.5eD.52e 【答案】D【解析】当x >0时，f x =x ln x ，求导f x =ln x +1，令f x =0，得x =1e当x ∈0,1e 时，f x <0，f x 单调递减；当x ∈1e,+∞ 时，f x >0，f x 单调递增；作分段函数图象如下所示：设点A 的横坐标为x 1，过点A 作y 轴的垂线交函数y =f x 于另一点B ，设点B 的横坐标为x 2，并过点B作直线y =2x +4e 的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，x 1-x 2 =52d ，由图形可知，当直线l 与曲线y =x ln x 相切时，d 取最大值，令f x =ln x +1=2，得x =e ，切点坐标为e ,e ，此时，d =2e -e +4e5=5e ，∴x 1-x 2 max =52×5e =52e ，故选：D3(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =x ln x ,x >0x +1,x ≤0 ，若x 1≠x 2且f x 1 =f x 2 ，则x 1-x 2 的最大值为()A.22B.2C.2D.1【答案】B【解析】设点A 的横坐标为x 1，过点A 作y 轴的垂线交函数y =f x 于另一点B ，设点B 的横坐标为x 2，并过点B 作直线y =x +1的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，计算出直线l 的倾斜角为π4，可得出x 1-x 2 =2d ，于是当直线l 与曲线y =x ln x 相切时，d 取最大值，从而x 1-x 2 取到最大值.当x >0时，f x =x ln x ，求导f x =ln x +1，令f x =0，得x =1e当x ∈0,1e 时，f x <0，f x 单调递减；当x ∈1e ,+∞ 时，f x >0，f x 单调递增；如下图所示：设点A 的横坐标为x 1，过点A 作y 轴的垂线交函数y =f x 于另一点B ，设点B 的横坐标为x 2，并过点B 作直线y =x +1的平行线l ，设点A 到直线l 的距离为d ，x 1-x 2 =2d ，由图形可知，当直线l 与曲线y =x ln x 相切时，d 取最大值，令f x =ln x +1=1，得x =1，切点坐标为1,0 ，此时，d =1-0+12=2，∴x 1-x 2 max =2×2=2，故选：B .1(2023·江苏·高三专题练习)已知函数f x =x ,0≤x ≤1,ln 2x ,1<x ≤2, 若存在实数x 1，x 2满足0≤x 1<x 2≤2，且f x 1 =f x 2 ，则x 2-x 1的最大值为()A.e 2B.e 2-1 C.1-ln2 D.2-ln4【答案】B 【解析】f x =x ,0≤x ≤1,ln 2x ,1<x ≤2的图象如下存在实数x 1，x 2满足0≤x 1<x 2≤2，且f x 1 =f x 2 ，即x 1=ln 2x 2∴x 2∈1,e 2，则x 2-x 1=x 2-ln 2x 2 令g x =x -ln 2x ，x ∈1,e 2，则gx =x -1x∴g x 在1,e 2 上单调递增，故g x max =g e 2 =e2-1故选：B 向量法1(2023·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习)17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在△ABC 中，若三个内角均小于120°，则当点P 满足∠APB =∠APC =∠BPC =120°时，点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的向量，且|b |=2,|c |=3，则|a -b |+|a +b |+|a -c |的最小值是．【答案】3+23【解析】以b 为x 轴，c 为y 轴，建立直角坐标系如下图，设a=x ,y ，则b =2,0 ,c =0,3 ，a -c =x 2+y -3 2,a -b =x -2 2+y 2,a +b =x +2 2+y 2，∴a -c +a -b +a +b即为平面内一点x ,y 到0,3 ,2,0 ,-2,0 三点的距离之和，由费马点知：当点P x ,y 与三顶点A 0,3 ,B -2,0 ,C 2,0 构成的三角形ABC 为费马点时a -c+a -b +a +b最小，将三角形ABC 放在坐标系中如下图：现在先证明△ABC 的三个内角均小于120°：AB =BC =22+32=13,BC =4，cos ∠BAC =AB2+AC 2-BC 22AB ∙AC=1113>0，cos ∠ABC =cos ∠ACB =AB2+BC 2-AC 22AB ∙BC=113>0，∴△ABC 为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为△ABC 是等腰三角形，点P 必定在底边BC 的对称轴上，即y 轴上，∠BPC =120°,∴∠PCB =30°，PO =OC ∙tan ∠PCB =2×33=233，即P 0,233 ，现在验证∠BPA =120°：BP =22+233 2=43,AP =3-233，cos ∠BPA =BP 2+AP 2-AB 22BP ∙AP =-12，∴∠BPA =120°，同理可证得∠CPA =120°，即此时点P 0,233 是费马点，到三个顶点A ，B ，C 的距离之和为BP +CP +AP =2×43+3-233=3+23，即a -c +a -b +a +b 的最小值为3+23；故答案为：3+23.2(2023·浙江嘉兴·高一统考期末)已知平面向量a ，b ，c 满足a =1，b =2，|a |2=a ⋅b ，c ⋅c -b 2=0，则|c -a |2+|c -b |2的最小值为.【答案】72-3【解析】令OA =a ，OB =b ，OC =c ，OB 中点为D ，OD 中点为F ，E 为AB 的中点，由|a |=1，|b |=2，|a |2=a ⋅b ，得1=1×2×cos <a ,b >，则cos <a ,b >=12，<a ,b >=60°即∠AOB =60°，所以AB =OA 2+OB 2-2OA ⋅OB cos ∠AOB =22+12-2×2×1×12=3，所以AO 2+AB 2=OB 2，即∠OAB =90°，∠ABO =30°，所以EF =BF 2+BE 2-2BF ⋅BE cos ∠ABO =32 2+32 2-2×32×32×32=32，因为c ⋅c -b 2=0，所以OC ⋅OC -12OB =0，即OC ⋅OC -OD =0，所以OC ⋅DC =0，所以点C 的轨迹为以OD 为直径的圆，∵2(|c -a |2+|c -b |2)=2(|CA |2+|CB |2)=4|CE |2+|AB |2=4|CE |2+3 2=4|CE |2+3≥4EF -122+3=7-23，当且仅当C 、E 、F 共线且C 在线段EF 之间时取等号．∴|c -a |2+|c -b |2的最小值为72-3．故答案为：72-3．3(2023·湖北武汉·高一湖北省武昌实验中学校联考期末)已知向量a ，b 满足a +b ⋅b =0，a +4b =4，则a +b +b 的最大值为．【答案】4103/4310【解析】取平行四边形OACB ，连接OC设OA =a ,OB =b ，则OC =a +b ，因为向量a ，b 满足a +b ⋅b =0，所以a +b ⊥b ，即OC ⊥OB ，设OB =m ,OC =n ，m ,n >0，如图以O 为原点，OB ,OC 所在直线为x ,y 轴建立平面直角坐标系，则O 0,0 ,B m ,0 ,C 0,n ,A -m ,n 所以a =OA =-m ,n ,b =OB =m ,0 ，则a +4b =-m ,n +4m ,0 =3m ,n =9m 2+n 2=4，故9m 2+n 2=16，所以a +b +b =0,n +m ,0 =n +m因为9m 2+n 2=16，又sin 2θ+cos 2θ=1，可设3m =4sin θ,n =4cos θ,θ∈0,π2 即m =43sin θ,n =4cos θ，所以m +n =43sin θ+4cos θ=43 2+42sin θ+φ =4103sin θ+φ ，其中tan φ=443=3,φ∈0,π2 ，所以θ+φ∈0,π ，所以sin θ+φ ∈0,1 ，故m +n 的最大值为4103，即a +b +b 的最大值为4103.故选：4103.题型十二琴生不等式法1(2023·福建龙岩·高三校考阶段练习)若函数f x 的导函数f x 存在导数，记f x 的导数为f x ．如果对∀x ∈a ，b ，都有f x <0，则f x 有如下性质：f x 1+x 2+⋅⋅⋅+x n n ≥f (x 1)+f (x 2)+⋅⋅⋅+f (x n )n．其中n ∈N *，x 1，x 2，⋯，x n ∈a ，b .若f x =sin x ，则在锐角△ABC 中，根据上述性质推断：sin A +sin B +sin C 的最大值为.【答案】332/323.【解析】f x =sin x ，则f (x )=cos x ，f (x )=-sin x .在锐角△ABC 中，A ，B ，C ∈0，π2，则f (x )=-sin x <0∴ sin A +sin B +sin C 3≤sin A +B +C 3 =sin π3=32，∴ sin A +sin B +sin C 的最大值为332.故答案为：332.2(2023·全国·高三竞赛)半径为R 的圆的内接三角形的面积的最大值是．【答案】334R 2【解析】设⊙O 的内接三角形为△ABC ．显然当△ABC 是锐角或直角三角形时，面积可以取最大值(因为若△ABC 是钝角三角形，可将钝角(不妨设为A )所对边以圆心为对称中心作中心对称成为B C )．因此，S △AB C >S △ABC ．下面设∠AOB =2α，∠BOC =2β，∠COA =2γ，α+β+γ=π．则S △ABC =12R 2sin2α+sin2β+sin2γ ．由讨论知可设0<α、β、γ<π2，而y =sin x 在0,π 上是上凸函数．则由琴生不等式知sin2α+sin2β+sin2γ3≤sin 2α+β+γ 3=32．所以，S △ABC ≤12R 2×3×32=334R 2．当且仅当△ABC 是正三角形时，上式等号成立．故答案为334R 23(2023·北京·高三强基计划)已知正实数a ，b 满足a +b =1，求a +1a b +1b的最小值．【解析】设f (x )=ln x +1x ,0<x <1，则f (x )=x 2-1x 3+x，从而f (x )=-x 4+4x 2+1x 3+x2>0，故f (x )在(0,1)下凸，因此f (a )+f (b )2≥f a +b 2，即a +1a b +1b ≥254,当且仅当a =b =12时等号成立．所以a +1a b +1b的最小值为华254．。

三角函数换元求值题库

三角函数换元求值题库1.设3cos 5α=，求sin()2πα+的值为． 2设3cos 5α=，(0,)απ∈，求sin()4πα+的值为．3．若1sin()66πα-=，则2cos(2)3πα+的值为．1718-4. 设3cos()45πα+=，2πα≤，求sin α的值为．5.设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为．【解析1】设6x απ=+，263<x <ππ则6x απ=-，所以4212)6(2122ππππ-=+-=+x x a . 由4cos 5x =，263<x <ππ可得4sin 5x =.∴252454532cos sin 22sin =⨯⨯==x x x ，2571cos 22cos 2=-=x x .∴sin(2)=sin(2)=sin2cos cos2sin 12444a x x x ππππ+--247=2525-. 【解析2】设6x απ=+，263<x <ππ则6x απ=-，所以4212)6(2122ππππ-=+-=+x x a . 由4cos 5x =，263<x <ππ可得4sin 5x =.∴252454532cos sin 22sin =⨯⨯==x x x ，2571cos 22cos 2=-=x x .∴sin(2)=sin(2)=sin2cos cos2sin 12444a x x x ππππ+--247=2525-.6．设4tan 43απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，322ππα≤≤则sin(2)6a π+的值为 7．已知416sin =⎪⎭⎫⎝⎛-θπ，则___________26sin =⎪⎭⎫⎝⎛+θπ.87提示：设6πθα-=， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+αππθπ626sin 26sin αααπ2sin 212cos 22sin -==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8741212=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=.8．已知函数73()sin()cos()44f x x x ππ=++-，x ∈R ，()f x 的最小值为【解析】34t x π=-， ()2cos f t t =，∴最小值min ()2f x =-．9.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，π6B =．求cos sin A C +的取值范围．解析：cos sin cos sin()A C A A π+=+π--6cos sin()6A A π=++1cos cos 2A A A =+)3A π+．由ABC △为锐角三角形知，02A π<<，02B π<<，02C π<<，所以，32A ππ<<。

(完整版)三角换元(高二)

三角换元（一）三角换元是一种用三角函数中的角度θ代替问题中的字母参数，然后利用三角函数之间的关系而达到解题目的的一种换元方法，此方法应用非常广泛，本文主要介绍利用三角恒等式sin2⁡θ+cos2⁡θ=1及其变形形式，来处理多元代数式的最值或取值范围问题．x=cos θ2,y=tanθ, 其中θ∈[0,π2)，则|x|−|y|=cos θ2−tan θ=cos θsin θ-2, 表示点(0,2)与单位圆2x +2y =1,x ∈(0,1]上的点连线的斜率的相反数，如下图：因此，可计算得斜率的范围为(−∞,−3]，故题中所求代数式的最小值为3．例2 设 x,y 为实数，若2x −xy+2y =1，求x+2y 的取值范围．分析联想到θsin 2⁡+θcos 2=1，考虑将题中2x −xy+2y =1变形，然后用三角换元进行求解．解题中等式可化为22y -x ）（+2y 43=1, 进行三角换元，令x=2y +cos θ,y=sin θ32, 其中θ∈[0,2π)，解得x=31sin θ+cosθ,y=sin θ32,, 所以x+2y=35sinθ+cosθ=328sin(θ+φ),其中sinφ=1421,cosφ=1475．因此，x+2y 的取值范围为[−3212,3212]．总结(1)常用于三角换元的三角恒等式有sin 2θ+cos 2θ=1,αcos 12−tan 2α=1, (2) 利用三角恒等式，可将多元代数式的变元用θ代替，进而使变元减少，然后再结合辅助角公式等方式求最值或范围即可．(3)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也就是需要根据题意给出θ的合理范围；练习由(x −3)2+(4−x)2=1，可令x -4=cos ⁡θ, 其中θ∈[0,2π]，此时题中函数化为 f(θ)=sinθ+3cosθ,其中θ∈[0,2π]，结合辅助角公式，得 f(θ)=2sin(θ+3π), 其中 θ∈[0,2π]，因此，f(θ)的取值范围为[1,2]，故原函数的值域为[1,2]．总结(1)当题中出现两个无理式相加减的形式，且其“平方和”或“平方差”为定值时，可根据三角恒等式进行换元；(2)三角换元是换元法的一种，换元后一定注意新变元的范围，也。

三角换元解解析几何

三角换元解解析几何全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三角换元解解析几何，是指利用换元法对三角形相关问题进行求解的方法。

在解析几何中，三角形是一个非常重要且常见的几何形状，其性质和定理牵涉广泛，因此掌握三角换元解解析几何方法对于解析几何的学习具有重要意义。

首先，我们需要了解什么是三角换元。

三角换元是指将一个三角形中的一些变量用其他变量表示出来，通过代入新的变量并整理方程，解决三角形相关问题的方法。

在解析几何中，常见的换元方法有正弦定理换元、余弦定理换元、海伦公式换元等。

举个例子来说明三角换元解解析几何的应用。

假设我们需要求解一个三角形的面积，但是已知的条件只有三边的长度a、b、c，这时可以利用海伦公式进行换元。

海伦公式可以表示为：\[S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]其中，$s = \frac{a+b+c}{2}$为半周长。

我们可以将海伦公式中的$s$用$s = \frac{a+b+c}{2}$进行替换，代入a、b、c的值，最终求得三角形的面积。

另一个例子是通过正弦定理换元求解三角形的高。

正弦定理可以表示为：\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]如果我们需要求解三角形的高h，可以先假设三角形的高为h，那么h与三角形的底边a、对边A之间存在如下关系：\[h = a \sin A = b \sin B = c \sin C\]通过正弦定理换元，我们可以将三角形的底边a、对边A用高h表示出来，从而求解出三角形的高。

三角换元解解析几何的方法还可以应用在诸如三角形内切圆、外接圆、高角线等相关问题的求解中。

例如，在研究三角形的内切圆时，我们可以利用三角换元方法将内切圆的半径r与三角形的周长P、半周长s之间建立联系，然后通过代入、整理方程求解出内切圆的半径r。

总的来说，三角换元解解析几何是解析几何中一种重要的解题方法，通过将三角形中的各种变量进行换元，可以将问题简化并得到解答。

圆三角换元公式

圆三角换元公式圆三角换元公式，这可是数学中的一个有趣又实用的工具！咱们先来说说什么是圆三角换元。

简单来讲，就是把一个数学式子中的某些部分用圆或者三角函数的形式来表示，从而达到简化计算或者解决问题的目的。

比如说，有一个式子是 x² + y² = 1 ，这其实就是一个单位圆的方程嘛。

那咱们就可以令x = cosθ ，y = sinθ ，这样一来，原本复杂的式子可能就变得简单多啦。

我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙特别可爱。

他瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，为啥要这样换来换去的呀，多麻烦！”我笑着告诉他：“宝贝儿，这就像是你出门要换合适的衣服一样，数学里的式子也得换上合适的‘衣服’才能更好地解决问题呀！”这孩子似懂非懂地点点头，那模样别提多逗了。

再比如说，碰到像 x² + 4y² = 4 这样的式子，咱们就可以令 x =2cosθ ，y = sinθ 。

这样一换元，原本看着头疼的式子是不是瞬间就亲切了许多？圆三角换元在解决最值问题的时候也特别好用。

比如求函数 f(x, y)= x + 2y 在 x² + y² = 1 条件下的最值。

咱们通过圆三角换元，把 x 和 y用三角函数表示出来，然后代入函数中，就可以通过三角函数的性质来求最值啦。

还有在求一些积分的时候，圆三角换元也能大显身手。

比如说，对于∫√(1 - x²)dx 这样的积分，咱们令x = sinθ ，然后通过三角函数的变换和积分公式，就能顺利地求出积分的值。

在实际应用中，圆三角换元可不仅仅局限于数学题目哦。

比如说在物理学中，研究一些曲线运动的时候，也可能会用到这个方法来简化问题。

总之，圆三角换元公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开数学难题的大门。

同学们在学习的时候，可别被它一开始的样子吓到，多练习，多琢磨，你就会发现其中的乐趣和奥秘啦！希望大家都能掌握这个好用的工具，让数学学习变得更加轻松有趣！。

2018高考数学专题复习三角换元法

三角换元法摘要：本文归纳总结了三角换元法的基本用法，以常见例题的形式讲述了三角换元法在解题过程中的具体应用。

大家知道，换元法的实质是通过换元将原来比较复杂的、非标准的形式转化为简单的、标准的形式，以利于揭示问题的本质、题目的分析和解决。

三角换元法是众多换元法中的一种，它以三角函数为“元”，将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用。

一般情况下，在运用三角换元的题目中，往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征，这一点给三角换元法的应用提供了线索。

具体表现在该方法对于含有被开方式为二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用，因为二次根式c bx ax ++2总是可以转化为22t k -、t k +2或22k t -的形式，其中t 为变量，k 为非负常量。

现对于此类问题归纳如下：1．形如),(22x a x f y -=的形式，其中f 是x 和22x a -的代数函数。

令)22,0(,sin ππ≤≤->=t a t a x 此时，[]a a x ,-∈或令),0,0(,cos π≤≤>=t a t a x同理[]a a x ,-∈，2．形如),(22a x x f y +=的形式，其中f 是x 和22x a +的代数函数。

令),22,0(,tan ππ<<->=t a t a x 此时，),(+∞-∞∈x 或令),0,0(cot π<<>=t a t a x),(+∞-∞∈x 。

3．形如),(22a x x f y -=的形式，其中f 是x 和22a x -的代数函数。

令),23,20,0(,sec πππ<≤<≤>=t t a t a x 此时，),,[],(+∞⋃--∞∈a a x 或令t a x csc = ),20,02,0(ππ≤<<≤->t t a 其中),[],(+∞⋃--∞∈a a x 。

三角变换所有公式基础三角恒等式

三角变换公式有如下
1、sin(-α)=-sinα
2、cos(-α)=cosα
3、sin(π/2-α)=cosα
4、cos(π/2-α)=sinα
5、sα)=-sinα
7、sin(π-α)=sinα
8、cos(π-α)=-cosα
9、sin(π+α)=-sinα
由三条线段首尾顺次相连得到的封闭几何图形叫做三角形三角形是几何图案的基本图形
三角变换所有公式基础三角恒等式
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。由三条线段首尾顺次相连，得到的封闭几何图形叫做三角形，三角形是几何图案的基本图形。
10、tanα=sinα/cosα
11、tan（π/2＋α）＝－cotα
12、tan（π/2－α）＝cotα
13、tan（π－α）＝－tanα
14、tan（π＋α）＝tanα
基础三角恒等式
sin²α+cos²α=1
1+tan²α=sec²α
1+cot²α=csc²α
sinα/cosα=tanα
secα/cscα=tanα
cosα/sinα=cotα

三角换元法，巧解高考题

数学思想方法存在并发生于数学知识教学的过程中数学学科核心素养的培育也是依赖于具体的知识建构过程的!那么很显然数学思想方法与数学学科核心素养之间就存在对应关系!数学特级教师曹培英将核心素养分为两个层面即数学思想方法层面和数学内容领域层面!可见数学核心素养是数学思想方法的上位概念!在完成教学内容的过程中重视学生数学思想方法的培养方能真正落实核心素养的培养!
生的应变能力$会使过程有趣!
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而在我们的实际教学中我们是不是在完成数学
知识的教学过程中利用数学思想方法去指导数学教学和数学解题在数学教学和解题的过程中去落实核心素养的培养呢于是就有了新的理解数学知识教学是根本是载体数学思想方法是工具数学核心素养是目的!
参考文献 *!+张文贵!数学思想方法与数学学科核心素养的关
关键字换元,三角,参数范围,最值
! 引言
三角换元在代数和几何中都有广泛的应用!通过换元可以减少未知元的个数和幂次!从而使复杂式子简化达到解题的目的!
" 考题示例
例!%#(#!年全国理科数学乙卷第!!题&设 7

三角函数中常见的三种换元类型

三角函数中常见的三种换元类型在三角恒等变换中，我们常常把一个复杂的角或者三角函数式看成一个整体，这个方法又称保角或保式变换，事实上若引进新的变量，即利用换元法可以使计算简单，下面通过具体例子总结一下三角函数中常见的换元类型.一、角换元：例1、已知31)4cos(=+πx ，求)4cos(2cos π-x x的值.分析：一般地，我们直接把)4cos(2cos π-x x 凑为只含有4π+x 的形式，但是并不引进新的变量，事实上，若设θπ=+4x ，可以化“凑”为“算”，使解题思路变得更加简单. 解：令θπ=+4x ，则4πθ-=x ，于是原式)44cos()4(2cos ππθπθ---=)2cos()22cos(πθπθ--= θθsin 2sin =32cos 2sin cos sin 2===θθθθ. 例2、已知53)4cos(=+πα，232παπ<≤，求)42cos(πα+的值. 解：令θπα=+4，则4πθα-=，又232παπ<≤，所以4743πθπ<≤，而53cos =θ，所以54sin -=θ，于是原式]4)4(2cos[ππθ+-=)422cos(ππθ+-= )2cos 2(sin 22)42sin(θθπθ+=+= )sin cos cos sin 2(2222θθθθ-+=])54()53(53)54(2[2222--+⨯-⨯=50231-=. 二、三角式换元：例3、已知()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，3[,],44x ππ∈是否存在常数,,a b Q ∈使得()f x的值域为[1]-？若存在，求出,a b 的值；若不存在，说明理由.分析：把sin(2)6x π+看成一个整体，并设为一个新元，有利于书写简单，有利于发现()f x 与sin(2)6x π+之间的函数关系. 解：设sin(2)6x t π+=，则()22f x at a b =-++，又3[,],44x ππ∈∴252[,]633x πππ+∈，∴[t ∈-.令()22g t at a b =-++，（1）当 0a =时，()2g t a b =+，不合题意.（2）当0a >时，()22g t at a b =-++在[t ∈-是减函数， ∴(1)1g -=且32g =-，即2(1)212232a ab a a b ⎧--++=⎪⎨-⨯++=-⎪⎩，解得15a b =⎧⎪⎨=-+⎪⎩. （3）当0a <时，()22g t at a b =-++在[t ∈-是增函数， ∴ (1)3g -=-且12g =，即2(1)23221a a b a a b --++=-⎧⎪⎨-++=⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，符合题意.综上，存在有理数11a b =-⎧⎨=⎩满足条件.例4、求函数()sin cos sin cos f x x x x x =++⋅的值域.分析：这是一个很典型的三角换元类型，若设sin x a =，cos x b =，那么sin cos x x a b +=+是关于a b 、的一次式，而sin cos x x ab =是关于a b 、的二次式，根据用“低次”表示“高次”的思想，可设sin cos x x +为一个新元.解：设 sin cos t x x +=，两边平方得：212sin cos t x x +⋅=，2t 1sin cos 2x x -⋅=，又t sin cos ),4x x π=+=+∴t [∈.222t 1t 2t 1(t 1)2()t 222f x -+-+-=+==， 2(t 1)2g(t)2+-=的对称轴为t 1=-，因此其值域为[g(-，即1[1,]2-，∴()sin cos sin cos f x x x x x =++⋅的值域为1[1,]2-. 三、利用22sin cos 1αα+=换元：例5、已知椭圆22:1259x y C +=，直线:45400l x y -+=.求C 上一点到l 的最小距离. 分析：一般地，我们利用平移:45400l x y -+=与椭圆C 相切的办法，若注意到22:1259x y C +=具有22sin cos 1αα+=的形式，于是可以利用三角换元法. 解：22:()()153xy C +=即，因此令cos sin 53x y θθ==，，于是C 上一点可以设为P(5cos ,3sin )θθ，P 到:45400l x y -+=的距离d =其中t=20cos 15sin )25sin()θθθϕθϕ-+=+，所以min d ==。