电磁场6镜像法、电轴法、电容

的 ε 值有关；
•互有部分电容 Ci, j C j,i ，即C 为对称阵；
• 部分电容是否为零,取决于两导体之间有否电力线相连。
静电网络与等效电容
在(n+1)个导体构成的静电独立系统中，共有n(n+1)/2个部分电容，这 些电容构成了电容网络。可以把静电场问题转变为电容电路问题。
例1.8.2 试计算考虑大地影响时，两线传输线的各部分电容 及二线输电线的等效电容。已知 d a, a h 如图示：
q1 111 122 1kk 1nn

qk k11 k 22 kkk knn

qn n1 1 n22 nkk nnn
i i i,i —— 自有电位系数，表明导体 上电荷对导体 电位的贡献；
i, j —— 互有电位系数，表明导体 j 上的电荷对导体 i 电位的贡献 ；
（静电独立系统方程）
q0 q1 q2
qk qn 0
2.已知带电导体的电位，求电荷。
多导体系统中电位、电荷之间的关系，也可用电荷为电 位的函数来表示。

k k1q1 k 2q2 kkqk knqn

n n1q1 n2q2 nk qk nnqn
写成矩阵形式为 q
—— 电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；
图1.8.4 两线输电线及其电容网络
解: 部分电容个数
n(n 1) 2(2 1) 3 , 如图 (b)。
2
2
线电荷与电位的关系为 1 C101 C12 (1 2 )
2 C21 ( 2 1 ) C20 2
令 1 1, 2 0, 则
确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置；
4.应用镜像法（电轴法）解题时，注意： 镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。
叠加时，要注意场的适用区域。
1.8 电容及部分电容
1.8.1 电容器的电容
定义： C Q 单位： F, μF, pF U
电容表征单位电压下导体能够容纳电荷的能力。 电容只与两导体的几何尺寸、相互位置及周围的介质有关。 工程上的电容器：电力电容器、电子线路常用小电容器。
b2
b
2

h12 h22
a12 a22
d h1 h2
h1

d2
a12 2d
a22
h2

d2
a12 2d

a22
镜像法（电轴法）小结
1.镜像法（电轴法）的理论基础是： 静电场惟一性定理；
2.镜像法（电轴法）的实质是： 用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布， 使计算场域为无限大均匀媒质； 3.镜像法（电轴法）的关键是：
q0 +q1 +q2 =0
q0 (q1 q2 )
10 11q1 12q2 20 21q1 22q2
以此类推 ( n + 1 )个多导体系统只有 n 个电位线性独立方程， 即
1 11q1 12q2 1k qk 1nqn
写成矩阵形式为：
q
3. 已知带电导体之间的电压差 Ukn，求电荷。
qk k1(k 1) k 2 (k 2 ) ( k 1 k 2 kk kn ) k kn ( k n )
Ck1Uk1 Ck 2U k 2 Ck0Uk0 CknUkn
中间对称面处
s D dS q
（S 为包围q 的闭合面）
可以用电荷-q作为+q的镜像，代替平面导体的感应电荷作用。
镜像法:用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布, 虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。
例1.7.1 试求空气中点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布。
• 静电独立系统——D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统
中的其余带电体，与外界无任何联系，即
部分电容概念
n1
qK 0 .
K 1
接地三导体静电独立系统
1.若已知导体的电荷，求电位和电位系数
以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷的关系为
10 a0q0 a1q1 a2q2 20 b0q0 b1q1 b2q2
导体B const
长直平行双传输线
S D dS , 电荷分布不均
1. 理想两根细导线产生的电位
1
Q 1
d 2π 0


2π 0
ln
1

C1
E0

2 0
2


2π 0
ln
2

C2
P
1
2

2π 0
ln
2 1
q CU （矩阵形式）
式中： C——部分电容，它表明各导体间电压对各导体电荷的贡献；
Ck1 k1 ,Ck 2 k 2 ,,Ckn kn
（互有部分电容）；
Ck0 ( k1 k 2 kk kn )
（自有部分电容）。
• 所有部分电容都是正值，且仅与导体的形状、尺寸、相互位置及介质
2 2
1 b)2 1

y2

(
2bK K2
) 1
2
圆心坐标
h, 0
h

K K
2 2
1b 1
圆半径
a
2bK K 2 1
当K取不同值时，得到不同半径的偏心圆族。理想细导线的等位线
等位线圆族中，必能找到与实际圆柱导体表面重合的圆。
尝试寻找（b、a、h）数值之间的关系：
a
2

b 2
将 r1, r2 代入方程 qr2 q ' r1 0，得
[q 2 (b2 R 2 ) q'2 (d 2 R 2 )] 2R(q'2 d q 2b) cos 0
联立求解
q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 ) 0 q'2 d q2b 0
程或拉普拉斯方程的解的过程。(解二阶偏微分方程)
电磁场问题求解
• 电磁场问题可以分为电磁场分析（正问题）、逆问题 （含优化设计问题）和电磁场工程三个部分。
求解电磁场问题的方法，归纳起来可分为三大类，分别 是解析法、数值法和半解析数值法。
解析法包括积分法、分量变量法、镜像法、电轴法等 ； 数值计算方法包括有限元法（FEM）、时域有限差分法 （FDTD）、矩量法（MOM）和边界元法等 ； 半解析数值法是解析法和数值法的综合。
(
2bK K2
) 1
2

b 2
(
K K
2 2
1 1
b)2

h2
等效线电荷的位置为：
b h2 a2
实际圆柱导体传输线
根据 E ，得到 Ex 和 Ey 分量
E 线方程
dy E y dx Ex
x2 ( y K1 )2 b2 K12
2
4
平行传输线附近的电位和电场
C
以 y 轴为参考电位， C=0， 则 理想两根带电细导线
P
ln 2 2π0 1

2π 0
ln
(x b)2 y2 (x b)2 y2
令： P
const,等位线方程
(x b)2 y2 (x b)2 y2
K2
整理后，等位线方程
(x

K K

ln
b b

(h (h

a)
a)

所以

2 ln
U0 b (h a)
ln
2 1
b (h a)
图1.7.19 电压为U0的传输线
例1.7.4 试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。
图1.7.17 不同半径传输线的电轴位置
解：求得h1和h2 ，就可以确定等效电轴位置
1.4 静电场定解问题（边值问题）
微 环路定律 E 0
泊松方程
分
E
方
程 高斯定律 D
2
静 电
边
DE
外边界条件
（＋
)
n S

f3(s)
场 定 解
界 条
1＝ 2
问 题
件
内分界条件
1
1
n
2
2
n

所有静电场问题的求解都可归结为在一定条件下寻求泊松方
得到
R2 b
d
镜像电荷位置
q' b q R q 镜像电荷大小 dd
图1.7.4 球外的电场计算
球外任一点 P 的电位与电场为
p

q
4π 0r1

q'
4π 0r2
EP

q
4π 0r12
er1

qR
4π 0dr22
er2
镜像电荷放在当前求解的场域外。 镜像电荷等于负的感应电荷总量。
根据惟一性定理可得电位边值问题，即边界条件：
E1t E2 t
q
4π1r 2
cos

q'
4π1r 2
cos

q''
4π 2r 2
cos
D1n D2n
q sin q' sin q'' sin
4πr 2
4πr 2
4πr 2
解得 q' 1 2 q 和 q'' 2 2 q