2020-2021学年 苏科版九年级数学下册 第七章 锐角三角函数 单元检测试题(有答案)

第七章锐角三角函数单元检测试题班级：_____________姓名：_____________一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=5，BC=3，则sin A的值为()A.34B.43C.35D.452. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘,延长斜边BC到点D，使CD=12BC，连接AD，若sin B=45，则tan∠CAD的值()A.√33B. √32C.13D. 143. 如图，小正方形的边长均为1，有格点△ABC，则sin C=()A.23B.√55C.12D.√224. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，下列式子中最大的一个是（）A.tan A+cot AB.sin A+cos AC.tan A+cos AD.cot A+sin A5. 已知∠A为锐角，且cos A=1213，则sin A等于（）A.1312B.513C.512D.1256. 若斜坡的坡比为1:√33，则斜坡的坡角等于（）A.30∘B.45∘C.50∘D.60∘7. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，cos A=35，则sin B的值为()A.54B.45C.53D.358. 如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60∘方向上，渔船正向东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（）A.12√3海里B.6√3海里C.6海里D.4√3海里9. 已知BD是△ABC的中线，AC＝6，且∠ADB＝45∘，∠C＝30∘，则AB＝（）A.√6B.2√3C.3√2D.610. 如图，已知△ABC中，∠B=90∘，AB=3，BC=√3，OA=OC=√6，则∠OAB的度数为（）A.10∘B.15∘C.20∘D.25∘二、填空题（本题共计11 小题，每题3 分，共计33分，）11. 已知三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40∘，那么满足这一条件且彼此不全等的三角形共有________个．12. 在△ABC中，∠C=90∘，若sin B=513，则cos A=________.13. 如果∠A为锐角，且cos A=14，那么∠A的范围是________.14. 如图，斜靠在墙上的梯子AB的A底端到墙脚距离AC=3米，cos A=34，则梯子长AB为________米．15. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2√5米，则这个坡面的坡度比为________．16. 地面控制点测得一飞机的仰角为45∘，若此时地面控制点与该飞机的距离为2000米，则此时飞机离地面的高度是________米（结果保留根号）．17. 已知Rt△ABC中，两直角边a=7，b=10，则tan B⋅sin A=________．18. 一个人从山下沿30∘的山坡走了500米，则此人上升了________米．19. 在△ABC中，已知sin A=12，cos B=√22，则∠C=________．20. 如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30∘、45∘，如果此时热气球C处的高度CD 为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是________．21. 如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60∘的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30∘的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于________海里．三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，共计57分 ， ）22. 化简下列各式：（1）√cos 228∘−2cos 28∘+1+|sin 60∘−cos 28∘|．（2）sin 45∘1+sin 60∘−cos 45∘1−sin 60∘+√2(sin 30∘−cos 30∘)2．23. 在Rt △ABC 中，∠C =90∘，BC =5，sin A =513，求AC 的长．24. 如图，甲、乙两栋高楼的水平距离BD 为90米，从甲楼顶部C 点测得乙楼顶部A 点的仰角α为30∘，测得乙楼底部B 点的俯角β为60∘，求甲、乙两栋高楼各有多高？（计算过程和结果都不取近似值）25. 如图，专业救助船“沪救1”轮、“沪救2”轮分别位于A、B两处，同时测得事发地点C在A的南偏东60∘且C在B的南偏东30∘上．已知B在A的正东方向，且相距100里，请分别求出两艘船到达事发地点C的距离．（注：里是海程单位，相当于一海里．结果保留根号）26. 如图，一艘渔船位于海洋观测站P的北偏东60∘方向，渔船在A处与海洋观测站P的距离为60海里，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海洋观测站P的南偏东45∘方向上的B处．求此时渔船所在的B处与海洋观测站P的距离（结果保留根号）．参考答案与试题解析一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1.【答案】C【解答】解：在Rt △ABC 中，∠C =90∘，AB =5，BC =3，如图：则sin A =BC AB =35.故选C .2.【答案】D【解答】解：如图，延长AC ，过点D 作DE ⊥CE ，垂足为E ，∵ sin B =45，即AC BC =45，∵ 设AC =4x ，则BC =5x ，∵ ∠ACB=∠ECD，∠ABC=∠EDC，∵ △CDE∽△CBA，∵ CEAC =DEAB=CDBC=12，∵ DE=32x，CE=2x，∵ AE=6x，∵ tan∠CAD=EDAE =14．故选D．3.【答案】B【解答】解：如图，连接BD，由正方形的性质可知，∠CDB=90∘，BD=√2，BC=√10，则sin C=BDBC =√55，故选：B．4.【答案】A【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∵ 0∘<∠A<90∘，∵ tan A=sin Acos A，0<sin A<1，0<cos A<1，∵ tan A>sin A，∵ cot A=cos Asin A，∵ cot A>cos A，故：tan A+cot A>sin A+cos A，tan A+cot A>tan A+cos A，tan A+cot A>cot A+sin A，则式子中最大的一个是tan A+cot A．故选：A．5.【答案】B【解答】解：由cos A=1213知，如果设b=12x，则c=13x，结合a2+b2=c2得a=5x；∵ sin A=ac =5x13x=513．故sin A=513，故选B．6.【答案】D【解答】∵ 斜坡的坡比为1:√33，设坡角为α，∵ tanα=√33=√3，∵ α＝60∘．7.【答案】D【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，cos A=35，则sin B =cos A =35.故选D ． 8.【答案】D【解答】解：由已知得：∠BAC =90∘−60∘=30∘，在直角三角形ABC 中，BC =AB ⋅tan 30∘=12×√33 =4√3（海里）．故选：D ．9.【答案】C【解答】过点B 作BE ⊥AC 交AC 于点E ．如下图设BE ＝x ，∵ ∠BDA ＝45∘，∠C ＝30∘，∵ DE ＝x ，BC ＝2x ，∵ tan ∠C =BE CE ， ∵ x 3+x =tan 30∘，∵ 3x ＝(3+x)√3，解得x =3+3√32， 在Rt △ABE 中，AE ＝DE −AD =3+3√32−3=3√3−32， 由勾股定理得：AB 2＝BE 2+AE 2，AB =(3+3√32)(3√3−32)=3√2．10.【答案】B【解答】解：∵ AC2=AB2+BC2=32+(√3)2=12，AO2+CO2=(√6)2+(√6)2=12，∵ AC2=AO2+OC2，∵ ∠O=90∘，∵ OA=OC，∵ ∠OAC=45∘，在Rt△ACB中，∵ tan∠BAC=√3，3∵ ∠BAC=30∘，∵ ∠OAB=45∘−30∘=15∘，故选B．二、填空题（本题共计11 小题，每题 3 分，共计33分）11.【答案】4【解答】解：如图满足这样条件的三角形有4个，分别是：a=3，b=4，∠C=40∘；a=3，∠B=40∘b=4；a=3，b=4，∠A=40∘有2解．先画一条直线，确定一点A作40∘的角，取4cm，得到C，以C为圆心，3cm为半径，交直线于2点，B 和B1，符合条件三角形有2个△ABC和△AB1C．故答案为：4．12.【答案】513【解答】解：在△ABC中，∠C=90∘，所以∠A+∠B=90∘，则cos A=sin B=513.故答案为：513.13.【答案】60∘<∠A<90∘【解答】解：∵ cos60∘=12，1 4<12，而锐角的余弦随角度的增大而减小，故锐角A的范围是60∘<∠A<90∘．故答案为：60∘<∠A<90∘.14.【答案】4【解答】解：∵ AC=3米，cos A=34，∠C=90∘，∵ cos A=ACAB =34=3AB，解得：AB=4，即梯子长AB为4米．故答案为：4．15.【答案】1:2【解答】解：∵ 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米．此时他与水平地面的垂直距离为2√5米，根据勾股定理可以求出他前进的水平距离为4√5米．所以这个坡面的坡度比为2√5:4√5=1:2．16.【答案】1000√2【解答】解：如图所示：由题意得，∠CAB=45∘，AC=2000m，=1000√2m；则BC=AC sin∠CAB=2000×√22即飞机离地面的高度是1000√2米．故答案为：1000√2．17.【答案】10√149149【解答】解：∵ 在Rt△ABC中，两直角边a=7，b=10∵ 斜边c=√a2+b2=√72+102=√49+100=√149∵ tan B =b a =107，sin A =a c =149=7√149149 ∵ tan B ⋅sin A =107×7√149149=10√14914918.【答案】 250【解答】解：由30∘所对的直角边是斜边的一半，得此人上升的高度=500÷2=250m ． 故答案为250．19.【答案】105∘【解答】解：∵ sin A =12，cos B =√22， ∵ ∠A =30∘，∠B =45∘，∵ ∠C =180∘−30∘−45∘=105∘．故答案为：105∘．20.【答案】100(√3+1)米【解答】∵ 从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30∘、45∘，∵ ∠BCD ＝90∘−45∘＝45∘，∠ACD ＝90∘−30∘＝60∘，∵ CD ⊥AB ，CD ＝100m ，∵ △BCD 是等腰直角三角形，∵ BD ＝CD ＝100m ，在Rt △ACD 中，∵ CD ＝100m ，∠ACD ＝60∘，∵ AD ＝CD ⋅tan 60∘＝100×√3=100√3m ，∵ AB ＝AD +BD ＝100√3+100＝100(√3+1)m ．21.【答案】 10√3【解答】根据题意可知∠CAD ＝30∘，∠CBD ＝60∘，∵ ∠CBD ＝∠CAD +∠ACB ，∵ ∠CAD ＝30∘＝∠ACB ，∵ AB ＝BC ＝20海里，在Rt △CBD 中，∠BDC ＝90∘，∠DBC ＝60∘，sin ∠DBC =CD BC ， ∵ sin 60∘=CD BC ，∵ CD ＝20×sin 60∘＝20×√32=10√3海里，三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 10 分 ，共计50分 ） 22.【答案】解：(1)√cos 228∘−2cos 28∘+1+|sin 60∘−cos 28∘|=√(cs28∘−1)2+cos 28∘−sin 60∘=1−cos 28∘+cos 28∘−sin 60∘=1+√32； （2）sin 45∘1+sin 60∘−cos 45∘1−sin 60∘+√2(sin 30∘−cos 30∘)2=√221+√32−√221−√32√2(12−√32)2 =√22+√3√22−√3+√2(√32−12) =√2(2−√3)−√2(2+√3)−√62+√22=−5√62+√22． 【解答】解：(1)√cos 228∘−2cos 28∘+1+|sin 60∘−cos 28∘|=√(cs28∘−1)2+cos 28∘−sin 60∘=1−cos 28∘+cos 28∘−sin 60∘=1+√32； （2）sin 45∘1+sin 60∘−cos 45∘1−sin 60∘+√2(sin 30∘−cos 30∘)2=√221+√32−√221−√32√2(12−√32)2 =√22+√3√22−√3+√2(√32−12) =√2(2−√3)−√2(2+√3)−√62+√22 =−5√62+√22． 23.【答案】解：∵ sin A =BC AB =513，BC =5，∵ AB =13， 根据勾股定理，AC =√AB 2−BC 2=12．【解答】解：∵ sin A =BC AB =513，BC =5，∵ AB =13， 根据勾股定理，AC =√AB 2−BC 2=12． 24.【答案】甲楼高为90√3米，乙楼高为120√3米．【解答】解：作CE⊥AB于点E．∵ CE // DB，CD // AB，且∠CDB=90∘，∵ 四边形BECD是矩形．∵ CD=BE，CE=BD．在Rt△BCE中，β=60∘，CE=BD=90米．∵ tanβ=BE，CE∵ BE=CE⋅tanβ=90×tan60∘=90√3（米）．∵ CD=BE=90√3（米）．在Rt△ACE中，α=30∘，CE=90米．∵ tanα=AE，CE=30√3（米）．∵ AE=CE⋅tanα=90×tan30∘=90×√33∵ AB=AE+BE=30√3+90√3=120√3（米）．25.【答案】A船到达事发地点C的距离是100√3里，B船到达事发地点C的距离是100里．【解答】解：作BG⊥AC于G，∵ 点C在A的南偏东60∘，∵ ∠A=90∘−60∘=30∘，∵ C在B的南偏东30∘，∵ ∠ABC=120∘，∵ ∠C=30∘，∵ BC=AB=100里，∵ BG=BC⋅sin30∘=50里，CG=BC⋅cos30∘=50√3里，∵ AC=2CG=100√3里．26.【答案】当渔船位于P南偏东45∘方向时，渔船与P的距离是30√6海里．【解答】解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，根据题意可得出：∠APC=30∘，∠BPC=45∘，AP=60，在Rt△APC中，∵ cos∠APC=PCPA，∵ PC=PA⋅cos∠APC=30√3，在Rt△PCB中，∵ cos∠BPC=PCPB，∵ PB=PCcos∠BPC =30√3cos45∘=30√6．。