高中数学《椭圆》教案1 苏教版选修2-1

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选修2-1教案2.2.1椭圆及其标准方程、几何性质

2.2.1圆及其标准方程教学要求：从具体情境中抽象出椭圆的模型，掌握椭圆的定义，标准方程教学重点：椭圆的定义和标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导教学过程：一、新课导入：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？（学生动手，观察结果）思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离之和等于常数. 二、讲授新课：1. 定义椭圆：把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.2.椭圆标准方程的推导：以经过椭圆两焦点12,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy .设(,)M x y 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为()20c c >，那么焦点12,F F 的坐标分别为(),0c -，(),0c ，又设M 与12,F F 的距离之和等于2a ，根据椭圆的定义，则有122MF MF a +=，用两点间的距离公式代入，画简后的222221x y a a c+=-，此时引入222b ac =-要讲清楚. 即椭圆的标准方程是()222210x y a b a b+=>>. 根据对称性，若焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程是()222210x y a b b a+=>>.两个焦点坐标()()12,0,,0F c F c -.通过椭圆的定义及推导，给学生强调两个基本的等式：122MF MF a +=和222b c a +=3. 例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a c ==y 轴上；⑶10,a b c +==（教师引导——学生回答）例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程.（教师分析——学生演板——教师点评）三、巩固练习：1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -；⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=. 2. 作业：40P 第2题.2.2椭圆及其标准方程教学要求：掌握点的轨迹的求法，坐标法的基本思想和应用. 教学重点：求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用. 教学难点：求点的轨迹方程，坐标法的基本思想和应用. 教学过程：一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.关于椭圆的两个基本等式. 二、讲授新课：1. 例1 设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程. 求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式. （教师引导——示范书写）2. 练习：1.点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？（教师分析——学生演板——教师点评）2.求到定点()2,0A 与到定直线8x =的距离之比为2的动点的轨迹方程. （教师分析——学生演板——教师点评）3. 例2 在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程.（教师引导——示范书写） 4. 练习： 1.47P 第7题.2.已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程. 5.知识小结：①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式.②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程. 三、作业： 40P 第4题精讲精练第8练.2.2椭圆的简单几何性质教学要求：根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图. 教学重点：通过几何性质求椭圆方程并画图. 教学难点：通过几何性质求椭圆方程并画图. 教学过程：一、复习：1.椭圆的定义，椭圆的焦点坐标，焦距.2.椭圆的标准方程. 二、讲授新课：1.范围——变量,x y 的取值范围，亦即曲线的取值范围：横坐标a x a -<<；纵坐标b x b -<<.方法：①观察图像法； ②代数方法.2.对称性——既是轴对称图形，关于x 轴对称，也关于y 轴对称；又是中心对称图形. 方法：①观察图像法； ②定义法.3.顶点：椭圆的长轴122A A a =，椭圆的短轴122B B b =，椭圆与四个对称轴的交点叫做椭圆的顶点，()()()()1212,0,,0,,0,,0A a A aB b B b --.4.离心率：刻画椭圆的扁平程度.把椭圆的焦点与长轴长的比c a 称为离心率.记ce a=. 可以理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度.5.例题例4 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长，离心率，焦点和定点坐标. 提示：将一般方程化为标准方程. （学生回答——老师书写）练习：求椭圆22416x y +=和椭圆22981x y +=的长轴和短轴长，离心率，焦点坐标，定点坐标.（学生演板——教师点评）例5 点(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25:4l x =的距离之比是常数45，求点M 的轨迹.（教师分析——示范书写）三、课堂练习：①比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y +=与2211612x y += ⑵22936x y +=与221610x y +=（学生口答，并说明原因）②求适合下列条件的椭圆的标准方程.⑴经过点()(,P Q -⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点()3,0P ⑶焦距是8，离心率等于0.8 （学生演板，教师点评） ③作业：47P 第4题.。

苏教版高中数学选修椭圆教案(1)

2.2椭圆的标准方程教学目标：（1）知识与技能：理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标．（2）过程与方法：让学生经历随圆标准方程的推导过程，进一瞠掌握求曲线方程的一般方法，体会数形合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题．（3）情感态度与价值观：通过具体的情境感知研究随圆标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度．教学重点：椭圆的标准方程教学难点：椭圆标准方程的推导教学方法：引导启发、自主探究教学手段：多媒体教学过程：一、问题情境：师：生活是一个五彩缤纷的万花筒，而在这个万花筒中存在着很多美丽的图形和轮廓，比如餐桌的桌面、汽车贮油罐的横截面的外轮廓线，同学们怎样称呼它们？生：椭圆师：很多，这就是我们今天要研究的一个很优美的图形．这样一个优美的图形椭手能描绘它吗？这里我有一个画椭圆的工具：将绳子的两端用图钉固定，使绳子长大于两定点之间的位置，用粉笔拉紧绳子并在黑板上慢慢移动，就可以勾勒出一个椭圆，哪位同学愿意试一试？生：（尝试画椭圆）师：在这个过程中，同学们可以发现椭圆上的点都有什么共同特点？生：到两定点的距离等于定长．师：好的．所以我们将在平面内到两定点1F ，2F 距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，两定点称为椭圆的焦点，两定点之间的距离叫做焦距，通常用2c 来表示．（板书：12122(2)PF PF a a >F F +=，焦点：1F ，2F ，焦距：122F F c =）师：对于椭圆这样一个优美的图形，其中也蕴涵了许多性质，那如何研究这些性质呢？生：（思考）师：在解析几何中，我们学过的图形有哪些？生：直线和圆．师：不错．那以圆为例，在解析几何中我们通过什么研究圆的性质呢？生：圆的方程．师：大家还记得圆的方程是怎样建立的吗？（个别提问）生：（回答问题，教师加以引导）得出圆的标准方程的基本步骤：建坐标系、设点、列等式、代坐标、化简．师：那么大家觉得这样方程是否适用于椭圆呢？生：可以．师：那么请大家来研究一下椭圆的方程是什么？生：（研究探索椭圆的方程，教师适时加以引导）二、建构数学（1）如何建立适当的坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；（一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴．） ①建立适当的直角坐标系：以直线12F F 为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示坐标系．②设点：设()P x y ，是椭圆上的任意一点，122F F c =Q ，1(0)F c ∴-，，1(0)F c ，； ③根据条件112PF PF a +=2a =（1） ④化简：（移项，两边平方）22222222()()a c x a y a a c -+=-，师：能否美化结论的形象？0a c >>Q ，220a c ∴->，令222a c b -=，则：222222b x a x a b +=．师：由直线方程的截距式是否可以得到启发？∴椭圆方程为：22221x y a b+=．（a ，b 即为椭圆在x ，y 轴上的截距）师：怎样推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程？（用小黑板做演示）生：交换x ，y 就可以得到．师：（板书两种方程和图形）师：椭圆标准方程的特点是什么？生：x ，y 轴分别为椭圆的两个对称轴，焦点在坐标轴上，焦点的中心是原点．师：焦点位于x ，y 轴上时的焦点坐标分别是什么？生：（回答，教师板书）师：a b c ，，之间存在一个什么关系？生：222a b c =+三、数学运用例1、将下列椭圆方程转化成标准方程（1）22431x y += （2）22561x y +=思考：上述两个方程的焦点位于哪根坐标轴上？师：如何判断椭圆的焦点的位置？生：在分母较大的对应轴上．练习：若P 为椭圆22194x y +=上一个动点，则P 到两个焦点1F ，2F 之间的距离是____．若P 到其中一个焦点1F 的距离是4，则P 到另外一个焦点2F 的距离是________．其中a =________，b =________，焦点位于________轴上，焦点坐标为________．例2、求椭圆的方程为22167112x y +=的焦点坐标．例3、若动点P 到两定点1(40)F -，，2(40)F ，的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（）Ａ．椭圆Ｂ．线段12F FＣ．直线12F FＤ．不存在师：若绳长12F F =，则轨迹是什么？生：线段12F F师：若绳子12F F <，则轨迹是什么？生：不存在．例4、求适合下列条件的椭圆方程．（1）4a =，1b =，焦点在x 轴上；（2）4a =，1c =，焦点在y 轴上；（3）1b =，c =，焦点在坐标轴上．师：由第三题可知：求椭圆方程的第一种方法是直接法，先定位再定量．例5、若一椭圆两焦点的坐标分别是椭圆229436x y +=的两焦点，并且经过点(23)A -，，求该椭圆的标准方程．（由学生板书）师：这是我们学到的又一种求曲线方程的方法：待定系数法．四、课堂小结：这节课我们学习了椭圆的标准方程，掌握了求焦点在x 轴上和在y 轴上的标准方程，求标准方程常用的方法：直接法、待定系数法．0)五、作业布置1．教材P28页习题2.2（1）第2，3，4题 2．推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．。

苏教版高中数学选修2-1 椭圆教案

椭圆基础知识整合1．椭圆的概念在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做□0102焦点，两焦点间的距离叫做□03焦距．椭圆．这两定点叫做椭圆的□集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若□04a>c，则集合P表示椭圆；(2)若□05a＝c，则集合P表示线段；(3)若□06a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质续表椭圆的常用性质(1)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x ＝±a 时，|OP |有最大值a ，P 点在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 为斜边，a 2＝b 2＋c 2.(3)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . (4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为2b2a.(5)椭圆离心率e ＝1－b 2a2.1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8答案 D解析椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m .又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝c 2＝4.∴m ＝8.2．(2018·广西模拟)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )A.12B.33C.22D.24答案 C解析因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22，故选C.3．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于13，则椭圆C 的方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 29＋y 28＝1 答案 D解析依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝13，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝9，b 2＝8.故椭圆C 的方程为x 29＋y 28＝1.4．(2019·西安模拟)已知点P (x 1，y 1)是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2是其左、右焦点，当∠F 1PF 2最大时，△PF 1F 2的面积是( )A.1633B ．12C ．16(2＋3)D ．16(2－3)答案 B解析 ∵椭圆的方程为x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝25－16＝3，∴F 1(－3,0)，F 2(3,0)．根据椭圆的性质可知当点P 与短轴端点重合时，∠F 1PF 2最大，此时△PF 1F 2的面积S ＝12×2×3×4＝12，故选B.5．椭圆3x 2＋ky 2＝3的一个焦点是(0，2)，则k ＝________. 答案 1解析方程3x 2＋ky 2＝3可化为x 2＋y 23k＝1.a 2＝3k >1＝b 2，c 2＝a 2－b 2＝3k－1＝2，解得k＝1.6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．答案33解析设|PF 2|＝x ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，∴|PF 1|＝2x ，|F 1F 2|＝3x .又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c .∴2a ＝3x,2c ＝3x ，∴C 的离心率为e ＝c a ＝33. 核心考向突破考向一椭圆定义的应用例1 (1)(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59答案 B解析由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513.故选B. (2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |，且|AB |＝4，△ABF 2的周长为16.则|AF 2|＝________.答案 5解析由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3.∵△ABF 2的周长为16，∴4a ＝16，∴a ＝4.则|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，∴|AF 2|＝8－|AF 1|＝8－3＝5.触类旁通椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|，通过整体代入可求其面积等.即时训练 1.(2019·甘肃联考)设A ，B 是椭圆C ：x 212＋y 22＝1的两个焦点，点P 是椭圆C 与圆M ：x 2＋y 2＝10的一个交点，则||PA |－|PB ||＝( )A ．2 2B ．4 3C ．4 2D ．6 2答案 C解析由题意知，A ，B 恰好在圆M 上且AB 为圆M 的直径，∴|PA |＋|PB |＝2a ＝43，|PA |2＋|PB |2＝(2c )2＝40，∴(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA ||PB |，解得2|PA ||PB |＝8，∴(|PA |－|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2－2|PA ||PB |＝32，则||PA |－|PB ||＝42，故选C.2．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与椭圆C 的焦点不重合．若M 关于椭圆C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则|AN |＋|BN |＝________.答案 12解析取MN 的中点为G ，点G 在椭圆C 上．设点M 关于椭圆C 的焦点F 1的对称点为A ，点M 关于椭圆C 的焦点F 2的对称点为B ，则有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12.考向二椭圆的标准方程例2 (1)(2019·杭州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 答案 A解析由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a＝c3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1.选A.(2)已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋43y 2＝1解析如图，由题意知|PA |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|PA |＋|PF |＝2且|PA |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.触类旁通求椭圆方程的常用方法(1)定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．待定系数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a ，b .当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝m >0，n >0，m ≠n ，再用待定系数法求出m ，n 的值即可.即时训练 3.(2019·青岛模拟)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 C解析如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义，得|AF 1|＝2a －32. ①在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22. ②由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，应选C.4．设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为________．答案x 29＋y 26＝1 解析 l 经过F 1垂直于x 轴，得y A ＝b 2a ，在Rt △AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°，得b 2a ＝33×2c ，12×2c ×2b 2a ＝43，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝9，b 2＝6，c 2＝3.所求的椭圆方程为x 29＋y 26＝1.考向三椭圆的几何性质例3 (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223答案 C解析根据题意，可知c ＝2，因为b 2＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝8，即a ＝22，所以椭圆C 的离心率为e ＝222＝22.故选C. (2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，且满足c 2－b 2＋ac <0，则该椭圆的离心率e 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析 ∵c 2－b 2＋ac <0，∴c 2－(a 2－c 2)＋ac <0，即2c 2－a 2＋ac <0，∴2c 2a 2－1＋ca<0，即2e 2＋e －1<0，解得－1<e <12.又∵0<e <1，∴0<e <12.∴椭圆的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.触类旁通椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．即时训练 5.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3 C.3－12D.3－1答案 D解析在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，设|PF 2|＝m ，则2c ＝|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝3m ，又由椭圆定义可知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(3＋1)m ，则离心率e ＝c a ＝2c 2a＝2m 3＋m＝3－1.故选D.6．(2019·江苏模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A 为左顶点，B 为上顶点，F 为右焦点且AB ⊥BF ，则这个椭圆的离心率等于________．答案5－12解析由题意得A (－a,0)，B (0，b )，F (c,0)，∵AB ⊥BF ，∴AB →·BF →＝0，∴(a ，b )·(c ，－b )＝ac －b 2＝ac －a 2＋c 2＝0，∴e －1＋e 2＝0，解得e ＝5－12. 考向四直线与椭圆的位置关系角度1 弦的中点问题例4 (2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且F P →＋F A →＋F B →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得m <⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×3＝32，且m >0，即0<m <32，故k <－12. (2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则由(1)及题设得(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)，x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，|F P →|＝32. 于是|F A →|＝x 1－2＋y 21＝ x 1－2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理|F B →|＝2－x 22. 所以|F A →|＋|F B →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|F P →|＝|F A →|＋|F B →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则 2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2.②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.角度2 弦长的问题例5 (2019·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△PAB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，∴4a 2＋1b2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14× x 1＋x 22－4x 1x 2＝－m2.点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m|5×－m2＝m2－m2≤m 2＋4－m 22＝2.当且仅当m 2＝2，即m＝±2时取得最大值．触类旁通解决直线与椭圆的位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题.(3)直线与椭圆相交时常见问题的处理方法即时训练 7.(2019·广西联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >1)的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为4π3，过椭圆C 的右焦点作斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 垂直于AB 的直线与x 轴交于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫17，0，求k 的值．解 (1)由题易得，过椭圆短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为 43. 设椭圆的右焦点的坐标为(c,0)，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b －432＋c 2＝43.又因为b >1，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意，过椭圆C 的右焦点的直线l 的方程为y ＝k (x －1)，将其代入x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k3＋4k 2.因为P 为线段AB 的中点，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2.又因为直线PD 的斜率为－1k，所以直线PD 的方程为 y －－3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2. 令y ＝0，得x ＝k 23＋4k2，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 23＋4k 2，0，则k 23＋4k 2＝17，解得k ＝±1. 8．(2019·云南昆明模拟)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点C (0,1)，离心率为22. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由已知，直线l 过左焦点F (－1,0)．当直线l 与x 轴垂直时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，此时|AB |＝2，则S △OAB ＝12×2×1＝22，不满足条件．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.因为S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|，由已知S △OAB ＝23得|y 1－y 2|＝43.因为y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝k · －4k 21＋2k 2＋2k ＝2k1＋2k2，y 1y 2＝k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝k 2(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＝－k 21＋2k 2，所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝4k2＋2k22＋4k 21＋2k 2＝43，所以k 4＋k 2－2＝0，解得k ＝±1，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.1．已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 2答案 C解析解法一：设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，所以PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，所以|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.因为点P 在椭圆上，所以0≤y 20≤1，所以当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.解法二：由PF 1→＋PF 2→＝PO →＋OF 1→＋PO →＋OF 2→＝2PO →求解．故选C.2．已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，求|PA |＋|PF |的最大值和最小值．解由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2,0)．设椭圆右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2，或者最小值－|AF ′|＝－ 2.所以|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.3．在椭圆x 218＋y 28＝1上求一点，使它到直线2x －3y ＋15＝0的距离最短．解设所求点坐标为A (32cos θ，22sin θ)，θ∈R ，由点到直线的距离公式得 d ＝|62cos θ－62sin θ＋15|22＋－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1513，当θ＝2k π＋3π4，k ∈Z 时，d 取到最小值31313，此时A 点坐标为(－3,2)．答题启示椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：(1)利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e )；(2)根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；(3)用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．对点训练1．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2答案 D解析解法一：设椭圆上任意一点为Q (x ，y )，则圆心(0，6)到点Q 的距离d ＝x 2＋y －2＝－9y 2－12y ＋46＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋232＋50≤52， P ，Q 两点间的最大距离d ′＝d max ＋2＝6 2.解法二：易知圆心坐标为M (0,6)，|PQ |的最大值为|MQ |max ＋2，设Q (10cos θ，sin θ)，则|MQ |＝10cos 2θ＋θ－2＝－9sin 2θ－12sin θ＋46 ＝－9⎝⎛⎭⎪⎫sin θ＋232＋50，当sin θ＝－23时，|MQ |max ＝52，所以|PQ |max ＝52＋2＝6 2.故选D.2．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案 4解析设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. 因为F (－1,0)，A (2,0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.。

【备课精选】2012年高中数学苏教版选修2-1教案2.2《椭圆》

高二年级数学预学教学案
怎样判断其焦点的位置？。

，则点P到另一个焦点的距离。

高二年级数学预学教学案
椭圆的焦点决定椭圆的位置，范围决定椭圆的大小，离心率决定了椭圆的扁圆程度，对称性是椭圆的重要特征，顶点是椭圆与对称轴的交点，是椭圆重要的特殊点，若已知椭圆的标准方
三、例题讲解
类型一：求椭圆的几何性质
．已知椭圆的方程为369422=+y x ，
，离心率为
高二年级数学预学教学案
是椭圆的一点，当点M移动到何位
为椭圆上的动点，求PF长的最大值和最小值，。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.2.1 椭圆的标准方程》5

§ 椭圆及其标准方程（第一课时）汕头市澄海中学授课教师：郑泽萍一、学科素养1.在椭圆定义的抽象概括过程中，掌握椭圆的数学本质，体会从具体实例中提炼数学概念的方法，培养数学抽象素养和数学建模能力；2.在椭圆标准方程的推导及运用过程中，发展数学运算能力，在数形结合、类比、分类讨论及方程思想等数学思想方法的不断渗透过程中，提高分析和解决问题的能力；3.在合作探究、归纳总结的学习过程中，促进形成研究氛围和合作意识，提高探究意识，培养扎实严谨的科学作风，体会数学的简洁美、对称美、数与形的和谐美。

二、教学重点与难点1．重点：椭圆定义的理解和标准方程的运用；2 难点：椭圆标准方程的推导。

三、教学过程（一）新知探索Ⅰ问题1：生活中你见过哪些椭圆模型？【设计意图】通过展示现实生活中有关椭圆形状的实物，给学生以直观上的感知，并引导其将圆与椭圆进行联系，将圆的相关知识迁移到椭圆中。

问题2：初中对于圆是怎么定义的？分析：平面内到一个定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

实践1：取一条长度一定且没有弹性的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点F处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖一周，这时笔尖M画出的轨迹即是一个圆。

分析：记绳长为2a，则点M满足|MF|=2a【设计意图】通过动手实践，让学生更好地感知圆的形成，同时也为后面椭圆的由来做好铺垫，使其产生顺理成章。

实践2：若将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板上不同的两点F1、F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖M画出的轨迹是什么图形呢？【设计意图】本环节教师通过事先制作的卡板道具，同桌之间互相合作，利用卡板道具体会椭圆的形成过程；同时可通过改变两定点之间的距离，让学生体会其对椭圆形状所产生的影响，为研究椭圆的性质提供帮助。

问题3：此时，轨迹上的点M 满足什么几何条件？分析：到两个定点的距离之和等于常数，即|MF 1||MF 2|=2a 结论：绳长记为2a ，两定点间的距离记为2cc >0 （1）当2a >2c 时，轨迹是椭圆；（2）当2a =2c 时，轨迹是线段F 1F 2；（3）当2a则焦点12(,0),(,0),F c F c - 根据定义，|MF 1||MF 2|=2a2222()()2x c y x c y a ++-+=2222()2()x c y a x c y ++=-+两边同时平方得2222222()44()()x c y a x c y x c y ++=--+-+整理得222()x c y a cx -+-两边同时平方得2222222422222a x a cx a c a y a a cx c x -++=-+ 整理得22222222()()a c x a y a a c -+=-两边同除以222()a a c - 得222221x y a a c+=- 由曲线与方程的关系可得，上述方程为椭圆的方程【设计意图】椭圆标准方程的推导是本节课的一个难点，故此处教师通过逐步板演，引导学生学会分析和处理式子化简。

高中数学 2.2椭圆学案苏教版选修2-1

2．2 椭圆一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)掌握椭圆的标准方程以及a、b、c间的关系；(2)能熟练地利用待定系数法、定义法或转移代入法求椭圆方程；(3)掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；(4)了解直线与椭圆的位置关系的处理方法；(5)体会数形结合、分类讨论等思想方法．2．预习提纲(1)回顾必修2中直线与圆的相关知识，回答下列问题：①直线的点斜式方程是如何建立的?②圆的标准方程是如何建立的?③你能根据直线及圆的方程的建立过程，总结出建立曲线方程的一般步骤吗?(2)阅读课本第28－33页，回答下列问题：①建立适当的坐标系可以使方程的形式简单，你认为要推导椭圆的方程怎样建系比较合适?②焦点在x轴上的椭圆的标准方程为_________________，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为____________________，其中a，b，c的关系为________________；③椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)上的点中，横坐标x的范围是，纵坐标y的范围是；④椭圆关于____________都是对称的，椭圆的对称中心叫做；之间的关⑤椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)的四个顶点是A1(______)、A2(______)、B1(______)、B2(______)，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的；⑥椭圆的焦距与长轴长的比e=ca，叫做椭圆的．(3)课本第29页例1求椭圆的标准方程，这是同学们熟悉的实际模型，采用的方法是__________；第29页例2求椭圆的标准方程，采用的方法是_____________，例2运用方程证实猜想：椭圆可用圆通过压缩变换得到，它揭示了椭圆与圆的内在关系，这种内在联系有利于进行类比探索，请同学们思考课本第35页探究拓展第12题；第32页例1，先由方程研究椭圆的几何性质，再运用几何性质解决有关问题(如作图等)，请同学们体会数形结合的思想方法；第33页例2希望同学们进一步感受圆锥曲线的实际背景，思考为什么长轴端点分别是近地点和远地点?3．典型例题(1)椭圆的标准方程①待定系数法：已知焦点、焦距或椭圆上一点求椭圆的标准方程：先确定方程的形式，再根据条件求a、b．例1 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，a：b=2：1，c=6；(2)焦点在y轴上，a2+b2=5，且过点(－2，0)；(3)焦距为6，a－b=1．分析：求椭圆的标准方程首先需确定焦点的位置，然后利用条件通过解方程或方程组解得a、b，从而得出椭圆方程．解：(1)由题意设椭圆方程为：22221x ya b+=(a>b>0)，则a：b=2：1，c=6．又a2－b2=c2=6，由226,2,a ba b⎧-=⎨=⎩得：228,2.ab⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆方程为：221 82x y+=；(2)由题意设椭圆方程为：22221y xa b+=(a>b>0)，则椭圆过点(，0)，∴b2=2．又 a2+b2=5，∴a2=3．故椭圆方程为： 22132y x +=；(3)若焦点在x 轴上，则设椭圆方程为：22221x y a b+=(a >b >0)，焦距为6，∴a 2－b 2=9．又a －b =1，∴ a 2=25，b 2=16即椭圆方程为：2212516x y +=；若焦点在y 轴上，则可设椭圆方程为： 22221y x a b += (a >b >0)，同上可得：a 2=25，b 2=16，即方程为：2212516y x +=．故椭圆方程为：2212516x y +=或2212516y x +=．点评：求符合条件的椭圆方程常用待定系数法，在计算a 、b 的过程中注意准确运用a 2=b 2+c2这一条件．对焦点位置不确定的椭圆方程除了分类讨论以外，也可以设为mx 2+ny 2=1(m >0，n >0且m ≠n )的形式．例2 已知方程(2－k )x 2+ky 2=2k －k 2表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围．分析：二元方程表示椭圆可先将二元方程化成标准式．解：由(2－k )x 2+ky 2=2k －k 2得：当2k －k 2≠0时有：2212x y k k+=-． ∵ 方程表示焦点在x 轴上的椭圆，∴ k ＞2－ k ＞0 ，即：1＜k ＜2．点评：二元方程221x y m n+=表示焦点在x 轴或y 轴上的椭圆首先是要求0,0m n m n >>≠且，其次若m n >，则焦点在x 轴上；若m n <，则焦点在y 轴上．②定义法：正确理解椭圆的定义是熟练运用定义的前提，准确运用定义的关键是注意定义中的限制条件“2a >F 1F 2”及对题设条件的正确转化．例3 在圆C ：22(1)25x y ++=内有一点A (1，0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C 、Q 的连线的交点为M ，求M 点的轨迹方程．分析：定义法求轨迹方程关键是找到动点满足的条件，本题中M 在CQ 上，且有：MA =MQ ．解：由题意M 在线段CQ 上，从而有C Q=MQ +MC ．又M在AQ的垂直平分线上，∴MA=MQ．即：MA+MC=CQ=5．A(1，0)、C(－1，0)，∴点M的轨迹是以A(1，0)、C(－1，0)为焦点，a=52的椭圆．故M点的轨迹方程为：221 252144x y+=．点评：本题在解答过程巧妙地利用点M是AQ垂直平分线上的点，将条件转化为：MA=MQ，再利用M是CQ上的点，结合A、C是定点得出点M满足的条件：MA+MC=5，从而避免了烦琐的解题过程，这在解析几何中会经常遇到，因此在解题过程中应充分挖掘隐含的条件，以达到简化之目的．③坐标转移法：若一动点(x，y)随着另一动点(x0，y0)变化，且x0，y0的关系已知，则将x0，y0用x、y 表示代入已知关系式即可．例4 将圆x2+y2=9上任意一点P的横坐标不变，纵坐标变为原来的13得到点M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．分析：利用条件得出点M(x，y)的坐标与P(x0，y0)的坐标间的关系，将x0，y0用x，y表示代入方程x2+y2=9即可．解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则由题意的：x0= x，y0=3 y．点P(x0，y0)在圆x2+y2=9上，∴x02+y02=9，∴x2+9y2=9，即点M的轨迹方程为：221 9xy+=．故点M的轨迹为：以(－22，0)、(22，0)为焦点，a=3的椭圆．点评：此例的解题步骤是先写出P点与M点的坐标之间的关系，然后用M点的坐标表示P 点坐标并代入P点的坐标所满足的方程，整理即得所求轨迹方程．转移代入法的基本步骤是：先求出相关的动点间的坐标关系，并且用从动点的坐标表示主动点的坐标，然后代入主动点的坐标所满足的方程并整理即得所求方程．(2)椭圆的几何性质①已知椭圆方程得椭圆的几何性质：化方程为标准形式．例5 已知椭圆25x2+16y2=400，写出其长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率．分析：将椭圆方程化为椭圆的标准方程．解：由25x2+16y2=400得：221 1625x y+=，则a＝5，b＝4，故c＝3．故椭圆的长轴长为10，短轴长为8，焦点坐标为(0，3)、(0，－3)，四个顶点坐标为(0，5)、(0，－5)、(4，0)、(－4，0)，离心率e=35．点评：由椭圆方程求描述椭圆几何性质的量时，应首先将方程化为标准式并判断焦点所在的坐标轴，写出a 、b 、c 三个基本量，再写其他的特征量．②已知椭圆的几何性质求椭圆的标准方程；一是定型，二是定a 、b ．例6 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两轴之和为20，焦距为45 ； (2)长轴长是短轴长的3倍，且过点(0，3)； (3)与椭圆4x 2+9y 2=36有相同的焦距，且离心率为55．分析：涉及到椭圆标准方程问题必须先考虑焦点位置，然后用待定系数法．解：(1)由题意：a ＋b ＝10， a 2－b 2=20，解方程组2210,20,a b a b +=⎧⎨-=⎩得：a ＝6，b ＝4．若焦点在x 轴上，则椭圆方程为：2213616x y +=；若焦点在y 轴上，则椭圆方程为：2213616y x +=．故椭圆方程为：2213616x y +=或2213616y x +=． (2)由题意得：a ＝3b ，若焦点在x 轴上，则设椭圆方程为： 222219x y b b+= ，∵ 椭圆过点(0，3)，∴ b 2=9，即：椭圆方程为：221819x y +=．若焦点在y 轴上，则设椭圆方程为： 222219y x b b+=，∵ 椭圆过点(0，3)，∴ b 2=1，即：椭圆方程为：2219y x +=．故椭圆的标准方程为：221819x y +=或2219y x +=． (3)由题意得：c ＝5．又e =c a =55 ，∴ a ＝5，∴ b 2= a 2－c 2=20，若焦点在x 轴上，则椭圆方程为：2212520x y +=，若焦点在y 轴上，则设椭圆方程为：2212520y x +=，故椭圆的标准方程为：2212520x y +=或2212520y x +=．(3)直线与椭圆的位置关系直线与椭圆位置关系的讨论类似于直线与圆的位置关系的讨论，但由于圆的几何特性，它既可以利用代数法(即联立方程，利用判别式)，也可以利用几何法(即圆心到直线的距离与半径的关系)来处理．直线与椭圆位置关系常联立两曲线方程，消元转化为关于x 或y 的方程，利用判别式结合韦达定理来解决．中点弦问题可用点差法来处理．例7 已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆与直线x +y =1相交于A 、B 两点，且AB =22，连结AB 的中点与原点的直线的斜率为22，求此椭圆方程．分析：焦点所在坐标轴无法确定时，设椭圆方程为：ax 2+by 2=1(a ，b ＞0)．解：设椭圆方程为：ax 2+by 2=1(a ，b ＞0)，A (x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，AB 的中点P (x 0，y 0)由221,1x y ax by +=⎧⎨+=⎩得：(a +b )x 2－2bx +b －1=0∵ 直线与椭圆交于A 、B 两点，∴ △=4(a +b －ab )＞0且121221,b b x x x x a b a b-+==++12|x x -==∴ a +b －ab =(a +b )2又12000,12x x b a x y x a b a b+===-=++，且AB 中点与原点连结的斜率为22故2a b =，即b =2a解方程组2(),a b ab a b b ⎧+-=+⎪⎨=⎪⎩得：1,33a b ==检验知：1,33a b ==故椭圆方程为：22133x +=点评：涉及到弦长、弦的中点问题时，常设出弦的端点坐标．例8 已知椭圆13422=+y x ，直线m x y l +=4:，若椭圆上存在两个不同的点关于该直线对称，求m 的取值范围．分析：若存在21,P P 关于直线l 成轴对称，则直线l 是线段21P P 的垂直平分线．要根据这几个条件，寻求它们与所求之间的联系，设计自己的解题方案，然后再实施解题方案．解：法一假设存在),(),,(222111y x P y x P 关于直线m x y +=4对称l P P ⊥21 ，4121-=∴P P k ，b x y l P P +-=41:21设可，代入13422=+y x 化简得：0481681322=-+-b bx x 4130)1239(6422<⇒>-=∴b b ∆设21P P 的中点为M ，则131241,134221bb x y b x x x M M M =+-==+= 将M 坐标代入直线m x y +=4得：m b 413-=1313213132134413)413(2222<<-⇒<⇒<=⇒m m m b 法二假设存在),(),,(222111y x P y x P 关于直线m x y +=4对称，它们的中点为),(00y x M则：)2(1243)1(124322222121--=+--=+y x y xm y m x m x y x y y x x x y y k 3,4,34143)2()1(000000002121-=-=⇒+==⇒-=-=--=-又得：)(413:)3,(21m x m y l m m M P P +-=+⇒--∴，代入椭圆方程得：048169261322=-++m mx x ，令13402<>∆m 得： 1313213132<<-⇒m 法三 ……，(,3)M m m --在椭圆内 131321313213)3(4)(22<<-⇒<-+-⇒m m m 点评：法一先利用0>∆求出b 的范围，再找到m b 与的关系，从而求出m 的取值范围．法二法三点差法是通过设弦的端点坐标代入曲线方程，然后将两式作差得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率间的关系，在处理中点弦时较为简便，但在求弦中点轨迹时无法确定取值范围，需按几何意义确定． 4．自我检测(1)若动点P 到点F 1(－3，0)、F 2(3，0)的距离之和为10，则动点P 的轨迹方程是___________． (2)若动点P 到点F 1(0，－2)、F 2(0，2)的距离之和为12，则动点P 的轨迹方程是____________．(3)已知方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ________． (4)若椭圆的一个长轴端点到一个短轴端点的距离恰等于该椭圆的焦距，则该椭圆的离心率为_________．(5)已知椭圆2214x y m+=的离心率为12，则m 的值为_________________．三、课后巩固练习A 组1．有下列命题：①平面内与两个定点F 1、F 2的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆；②平面内与两个定点F 1、F 2的距离和等于常数(大于F 1 F 2)的点的轨迹是椭圆；③方程222221x y c a c +=-(a ＞c ＞0)表示焦点在x 轴上的椭圆；④方程22221y x a b +=(a ＞0，b ＞0)表示焦点在y 轴上的椭圆．其中真命题的序号为_________________．2．椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是．3．椭圆9x 2+4y 2=1的焦点坐标为，焦距为．4．已知椭圆的两个焦点为F 1(－2，0)、F 2(2，0)，并且点M (0，2)在该椭圆上，则其方程为 ______ ．510=，化简的结果是_______________．6．设F 1、F 2为椭圆16x 2+25y 2=400的焦点，P 为椭圆与y 轴的一个交点，则P 到F 1、F 2的距离和为．7．已知F 1、F 2是椭圆221916x y +=的两个焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为__________．8．若椭圆经过两点(2，0)、(0，1)，则椭圆的标准方程为．9．两个焦点的距离为8，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于是10，则椭圆的标准方程为．10．∆ABC 的两个顶点坐标A (－4，0)、B (4，0)，∆ABC 的周长是18，顶点C 的轨迹方程为．11．将圆x 2+y 2=4上任意一点P 的纵坐标不变，横坐标变为原来的23得到点Q ，则动点Q 的轨迹方程是_______________．12．已知圆x 2+y 2=4，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP’，则线段PP’的中点M 的轨迹方程是_______________．13．若椭圆有两个焦点F 1 (－4，0)、F 2 (4，0)，过F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点．当∆ABF 2的周长为20时椭圆方程为_________ __．14．椭圆6x 2+y 2=6的长轴的端点坐标是_______________．15．椭圆22231x y +=的长轴长为，短轴长为．16．椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则长轴长是短轴的__________倍．17．与椭圆x 2+ky 2=2(0＜k ＜1)， k 越接近，椭圆越扁，k 越接近，椭圆越接近圆．18．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32a x =上一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形,则E 的离心率为_________________． 19．椭圆的一个焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为___________．20．设21,F F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，以1F 为圆心、且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，若直线M F 2与圆1F 相切，则该椭圆的离心率为___________．21．椭圆22221()x y a b a b+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是_____________．22．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是_______________．23．椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离是5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是_______________．24．已知F 1、F 2为椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B的周长为16，椭圆离心率e =_______________．25．经过椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为________．26．求出符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a =6，b =1焦点在x 轴上； (2)a +c =10， a －c =4；(3)焦距为4，过P (3，－26)，焦点在x 轴上．27．已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且F 1 F 2是PF 1和PF 2的等差中项．试求椭圆的标准方程．28．求以椭圆9x 2+5y 2=45的焦点为焦点，且经过点M 的椭圆的标准方程．29．已知椭圆过点M (4、N 3)，求椭圆的标准方程． 30．∆ABC 中，已知顶点B (－2，0)、C (2，0)，顶点A 满足：sin B +sin C =A sin 23． (1)求∆ABC 的周长； (2)求点A 的轨迹方程．31．求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点为(±2，0)，过M (0，2)； (2)过点(0，－22)，(5，0)． 32．求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为8，离心率为0．8；(2)焦点与长轴较近端点距离为510-，焦点与短轴两端点的连线互相垂直． 33．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA ＝32，求椭圆方程． B 组34．椭圆ax 2+by 2+ab =0 (a <b <0)的焦点坐标为_______________．35．方程22173x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围为．36．已知)2,0(πα∈，方程22sin cos 1x y αα+=，表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围为_______________．37．椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m 的值等于_______________．38．已知椭圆2215x y m +=的离心率e =m 的值为_______________．39．若椭圆2kx 2+ky 2=1的一个焦点是(0，－4)，则k 的值为______________．40．过点F 1(0，2)且与圆x 2+(y +2)2=36内切的动圆圆心的轨迹方程为___________．41．我国发射的“神舟”五号载人飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面为m 千米，远地点距地面为n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为_______________．42．设椭圆22143x y +=的长轴两端点为M 、N ，异于M 、N 的点P 在椭圆上，则PM 、PN 的斜率之积为_______________． 43．已知椭圆2214x y +=的左右顶点分别为M 、,N P 为椭圆上任意一点，且直线PM 的斜率的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则直线PN 的斜率的取值范围是．44．∆ABC 中，A 、B 坐标分别为(－6，0)、(6，0)，边AC 、BC 所在直线斜率之积为49-，求顶点C 的轨迹方程．45．若焦点是(0，25±)的椭圆截直线3x －y －2=0所得的弦的中点的横坐标为21，则该椭圆方程为_______________．46．直线y =2x +m 与椭圆22194x y +=有两个公共点，则实数m 的取值范围是______________． 47．过椭圆x 2+2y 2=4的左焦点F 且倾斜角为3π的直线l 被椭圆截得的弦长为________． 48．直线y =x +1被椭圆x 2+2y 2=4截得的弦的中点坐标为____________．49．椭圆x 2+2y 2=1中斜率为2的平行弦的中点轨迹方程为_________________．50．过点P (1，1)作椭圆22142x y +=的弦AB ，则弦AB 的中点的轨迹方程为_____________． 51．椭圆的两个焦点F 1、F 2在x 轴上，以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点为(3，4)，求椭圆标准方程．52．点P 是椭圆221259x y +=上一点，以点P 以及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积等于8．求点P 的坐标．53．已知x 轴上的一定点A (1，0)，Q 为椭圆2214x y +=上的动点，求AQ 中点M 的轨迹方程．54．已知定圆C 1：x 2+y 2+4x =0，圆C 2 ： x 2+y 2－4x －60=0，动圆M 和定圆C 1外切和圆C 2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．55．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P ，F 1、F 2为椭圆的焦点，若12F PF θ∠=，求12F PF ∆的面积．56．过点P (1，1)作椭圆22142x y +=的弦，并使P 为弦的中点，求这弦所在直线方程，并求弦长．57．过椭圆2219x y +=的左焦点1F 作直线l 和椭圆相交于A 、B 两点，若弦长恰好等于短轴长，求直线l 的方程．C 组58．已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率． (1)求椭圆2C 的方程；(2)设O 为坐标原点，点A 、B 分别在椭圆1C 和2C 上，2OB OA =，求直线AB 的方程．59．如图，已知椭圆C：2221(2x y a a +=>的左右焦点分别为F 1、F 2，点B 为椭圆与y 轴的正半轴的交点，点P 在第一象限内且在椭圆上，且PF 2与x 轴垂直，1O 5.F P P ⋅= (1)求椭圆C 的方程；(2)设点B 关于直线:y x m =-+的对称点E （异于点B ）在椭圆C 上，求m 的值。

椭圆的标准方程苏教版选修2-1 教案

第一课时椭圆的标准方程一、教学目标1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2．根据条件确定椭圆的标准方程；3．熟练运用这两个公式解决问题二、教学重点、难点重点：椭圆的标准方程的应用；难点：椭圆标准方程的推导；三、教学过程1．复习回顾上节课我们已经学习了椭圆，请大家回忆一下椭圆的定义，想一想我们是怎么画椭圆的？平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

注：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？(1)平面内；若把“平面内”去掉，则轨迹是什么？(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a＞F1F2思考：（1）2a= F1F2，则轨迹是什么？ (线段F1F2)（2）2a< F1F2,则轨迹是什么？ (无轨迹)2．椭圆的标准方程的推导问题1：回忆求圆的方程的一般步骤是什么？（建系、设点、列式、化简）问题2：本题中可以怎样建立直角坐标系？设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1、F2的距离的和为2a ( 2a > 2c )．方案1：如图，焦点落在x轴上⑴建系：以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy．⑵设点：设点P（x，y）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为()()120,0F c F c- ,、．⑶列式：依据椭圆的定义式PF1 + PF2 = 2a列方程，并将其坐标化为()()22222x c y x c y a+++-+=．这是一个比较复杂的根式变形，化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，那怎样平方去根式会较简单呢？⑷化简：通过移项、两次平方后得,()()22222222a c x a y a a c-+=-，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令222b a c=-，可的椭圆的标准方程为()222210x ya ba b+= >>．总结含有根式的化简步骤：（1）方程中只有一个根式时，需将根式单独留在方程的一边，把其他项移到方程的另一边，然后两边平方；（2）方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项，再两边平方．方案2：类似地，如图，焦点落在y轴上试想：推断此时椭圆的标准方程又是什么？焦点()()120,0,F c F c - 、，焦距为2c ，椭圆的方程为()222210x y a b b a+= >>根据所学知识让同学们完成下表注：①是0a b >>；②是222a b c =+（要区别与习惯思维下的勾股定理222c a b =+）；③是定方程“型”与曲线“形”．3．典型例题：例1．化简（1）2222(3)(3)10x y x y ++++-=化简（2）2222(3)(3)6x y x y ++++-=例2．（1）已知5a =,3c =，求焦点分别在x 、y 轴上的椭圆的标准方程（2）已知椭圆的焦点坐标是()14,0F -，()24,0F ，椭圆上的任意一点到1F 、2F 的距离之和是10，求椭圆的标准方程．例3．（1）平面内有两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程。

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例4：椭圆的离心率的离心率为，求的值。
使学生学会分类讨论的数学思想，尤其对于椭圆中焦点位置的讨论。
师：引导学生学会分类讨论去处理数学问题。
生：阅读思考例4。
8．例5:F1为椭圆的左焦点,A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB〔O为椭圆的中心〕时，求椭圆的离心率。
使学生在掌握了椭圆的简单几何性质之后，学会却解决更复杂一些的问题，提升学生的思维高度。
生：阅读例5。
师：分析例5，并展示解答过程；启发学生如何由题目信息去挖掘对我们有用的条件，从而作为解题的切入点，注意给学生留有总结思考的时间。
生：交流自己总结的步骤。
师：展示解题步骤。
9．练习：〔2021全国Ⅲ设椭圆的两个焦点为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,ΔF1PF2为等腰三角形,那么椭圆的离心率为〔〕
哪些有用的几何性质，大家还能回忆起来吗？
使学生回忆椭圆的有关几何性质。
师：课件呈现出椭圆的图像以及标准方程，引导学生回忆椭圆的几何性质。
生：回忆椭圆的几何性质：范围，对称性，定点，离心率等。
3．常见题型一：椭圆的几何性质的简单运用。
例1：椭圆方程为162252=400，求椭圆的长轴，短轴，焦距，离心率，焦点坐标，顶点坐标等。
6．例3：椭圆的对称轴为坐标轴，中心在原点，求适合以下条件的椭圆的标准方程:
〔1〕经过点P〔-3，0〕，Q〔0，-2〕，
〔2〕长轴长为2021心率为3/5。
椭圆的几何性质的简单应用。
师：引导学生根据条件如何去求椭圆的标准方程。
生：在老师的指引下，试图用刚刚所学的方法完成练习。
7．常见题型二：有关椭圆的离心率
画图分析，数形结合。
师：提示方法，引导学生思考。

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《椭圆的标准方程》教学设计
课题：椭圆的标准方程
教材：普通高中课程标准实验教科书（苏教版）选修2-1 第二章授课教师：夏晔丰城市第三中学
一、教学目标：
1．知识与技能目标：
（1）掌握椭圆定义和标准方程。

（2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题。

2．过程与方法目标：
（1）让学生在椭圆定义的归纳和标准方程的推导过程中，体会探索的乐趣。

（2）培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。

（3）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合、化归等思想和方法
3．情感态度与价值观目标：
（1）通过椭圆定义的获得培养学生对数学的兴趣，通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”。

（2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。

二、教学重点、难点：
1．重点：椭圆定义及其标准方程
2．难点：椭圆标准方程的推导
三、教学过程。

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课题：椭圆的几何性质授课教师：何晓勤教材：苏教版高中数学选修2-1第二章第2节〔〕【教学目标】1给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率；在图形中，能清晰解释椭圆标准方程中a,b,c,e的几何意义及其相互关系2通过方程研究椭圆的几何性质，让学生感受到解析几何的目的——代数法研究几何问题；对椭圆的几何性质从数和形两个角度进行分析，让学生进一步体会数形结合思想的应用；通过设置思考探究问题和填表，让学生体会类比法的应用3合作讨论突破难点，培养学生合作意识；通过对椭圆对称性及离心率对椭圆形状影响的研究，让学生感受到数学美；培养学生用数学家的眼光看数学、学数学的数学思维【教学重点、难点】1重点：椭圆的几何性质；用方程研究椭圆上点的横、纵坐标范围及对称性2难点：用方程研究椭圆的范围和对称性及离心率的引入【教学方法与教学手段】1思考问题引导学生探究式法，活动和探究相结合，引发积极思考2利用现代教学手段，关注教学内容与现代教育手段的合理整合利用几何画板软件感受动态过程，利用实物投影仪投影学生的作图情况，提高课堂效率3在研究范围和离心率时，学生自主探究与合作讨论相结合突破重、难点【教学过程】一问题情境问题1：前面学习了椭圆的哪些知识？接下来要研究什么？【设计意图】从数学的内部提出问题，引导学生回忆椭圆的定义和方程，并引出今天的研究任务——椭圆的几何性质问题2：如何研究椭圆的几何性质呢？研究椭圆的哪些性质呢？【设计意图】学生可能会说“画图→观察→猜测→证明〞，给予肯定突出本节课的研究方法为解析法，即通过方程来研究椭圆的性质明确研究的目标，从椭圆的范围和形状出发进行研究二构建数学1椭圆的范围思考1：椭圆的范围是指什么？如何通过方程研究其范围？预案一：利用和的特点，即：设P,是椭圆上任意一点，由可得=1﹣≤1，即-a≤≤≤≤b预案二：与函数定义域和值域联系，预案三：观察方程的形式，由联系到〕学生活动：画出不等式组表示的平面区域，通过形体验椭圆的范围由此可见，椭圆位于直线=±a和=±b所围成的矩形区域〔含边界〕内研究了范围给我们带来了好处，如：该椭圆在该矩形框内，方便于画图【设计意图】学生观察方程形式特点，利用方程去说明范围，能体会到方程研究性质的应用，同时通过作图加以体验2椭圆的对称性问：椭圆方程还有什么特点呢？思考2：在椭圆方程中，把换成-方程是否改变？这说明什么？指明图形对称的本质是点的对称，在学生答复过程中，强调“任意取一点〞，并引导学生从方程角度判断曲线的对称性椭圆的对称中心叫做椭圆的中心【设计意图】用代数法判断对称性具有相当难度，老师适当引导，突出“任意取一点〞，让学生感知如何通过方程来研究椭圆的对称性，并让学生体会到用方程判断曲线对称性的好处3椭圆的顶点思考3：从方程角度来看，你能否得到椭圆的一些特殊点？它们的坐标是什么？指出轴和轴为该椭圆的对称轴，这四个交点为椭圆的顶点；指出长轴长，短轴长和长半轴长，短半轴长由于坐标轴为椭圆的对称轴，我们把椭圆与其对称轴的交点成为椭圆的顶点【设计意图】让学生明确椭圆方程中的几何意义；让学生明白求两曲线的交点坐标即为求两曲线方程构成的方程组的解学生活动：利用描点法作出椭圆【设计意图】通过实际具体的椭圆，运用几何性质作图，进一步体会数形结合思想4椭圆的离心率思考4：所有的圆都是相似的，那椭圆呢？〔椭圆有的比拟“圆〞，有的比拟“扁〞〕从方程角度看，用什么量来刻画椭圆的“扁〞的程度呢？学生探究同学说用的大小衡量椭圆的圆扁程度，给予肯定〕为什么采用来刻画椭圆的扁平程度？a和c是椭圆定义中的原始量，另外也为了后边研究圆锥曲线的统一定义的方便椭圆的离心率的定义：焦距与长轴长的比值，即e ==∈0,1思考5：离心率e的大小如何影响椭圆“扁〞的程度呢？先独立思考，再小组合作探究学生猜测：离心率越小，椭圆越接近于圆；离心率越大，椭圆越扁实验：用几何画板验证上述猜测的正确性思考6：长轴A1A2和短轴B1B2，怎样确定椭圆的焦点？【设计意图】让学生熟知椭圆的焦点到短轴的端点的距离为长半轴长学生活动：填下表：【设计意图】通过填表，一方面让学生稳固刚学椭圆的性质；另一方面让学生类比已有的知识，研究椭圆的性质三数学应用例题求以下椭圆的长轴长,短轴长，离心率，焦点坐标和顶点坐标：1；2【设计意图】稳固学生对研究椭圆几何性质的方法的掌握；学会研究椭圆的几何性质；学会先通过方程研究曲线的几何性质四回忆反思本节课有何收获？1知识椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率对椭圆知识的学习过程：定义→方程→几何性质2方法数形结合思想华罗庚：数缺形时少直观，形少数时难入微五分层作业1必做局部：课本P37习题2 第1，2，3，4，5，8题2选做局部：收集有关笛卡尔与解析几何，费马与解析几何的资料，了解与本节课有关的数学史知识，撰写数学小论文【教学设计说明】用代数方法研究几何问题是解析几何的核心思想，本课的设计始终围绕这条主线出发，椭圆的所有几何性质都是通过椭圆的方程研究出来的，研究过程中充分表达了椭圆的几何性质在“数〞和“形〞上的本质联系，并通过学生作图加以体验，让学生进一步体会数形结合思想用方程研究椭圆的范围时，通过引导学生观察方程的形式特征，学生独立思考和小组合作相结合，此时学生发现了多种方法，特别函数法的出现，更加激起了学生用方程研究性质的兴趣同时，结合图形加以说明研究对称性时，用代数法说明具有相当的难度，所以设计思考问题“在椭圆方程中，把换成-方程是否改变？这说明什么？〞一方面引导学生从代数上研究椭圆的对称性，另一方面让学生明白“图形对称的本质是构成图形的点的对称性〞，让学生理解关键是椭圆上“任意取一点〞轴对称之后，启发学生用类似的方法自主推导出椭圆的其它对称性并揭示对称性在作图中的应用研究顶点时，设计问题“从方程上看，椭圆上有没有一些比拟特殊的点？它们的坐标是什么？〞这样做使学生理解得更自然和深刻并引出长轴、短轴的概念，理解椭圆方程中的a,b的几何意义，并在图形中加以说明探究离心率时，提出“所有的圆都是相似的，椭圆呢？〞，进而提出思考“用什么量可以刻画椭圆的‘扁’的程度？如何影响的？〞同时，通过几何画板验证学生猜测的结论，培养学生严谨的学习态度通过学生活动和例题稳固学生对研究椭圆几何性质的方法的掌握，让学生学会先通过方程研究曲线的几何性质，再运用几何性质解决有关问题〔如作图等〕，进一步体会数形结合思想在课堂小结时，注意让学生总结研究的方法，并强调这是解析几何问题的一般方法，在后面的学习中还会继续用作业设计方面做到分层，特别是布置搜集笛卡尔、费马与解析几何有关的数学史料，并撰写小论文，让学生体会数学文化的魅力。

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2.2.2椭圆的几何性质----江苏省江阴长泾中学沈书龙【教学目标】〔1〕通过对椭圆标准方程的讨论，让学生掌握椭圆的几何性质，并能正确作出图形．〔2〕让学生感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法．〔3〕学生能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题．【教学重点】探究椭圆的几何性质；理解椭圆根本量的几何意义．【教学难点】理解椭圆离心率的几何意义．【教学过程】一、问题情境热爱生活的同学会发现生活中有很多椭圆形的物件，它们都给我们以美的感觉，但是图形有大小之分，也有扁圆之别，那么“想画出这些椭圆的图形吗？〞是随便画一下，还是有章可循？二、学生活动探究〔一〕问题1、比方：给你一个方程，你能否根据这个方程画出它对应的图形，而且大小适合，具有美感？提示：①怎么画？②大小怎么确定？③怎样表达图形的美感。

问题2、怎么样取点？取，对应，取，不好算，对应两个值，取，也如此，取，对应，取？说明方程中有范围，怎么从方程中得到？研究方程得到范围获得结论：椭圆应该限制在这样四条直线之间，也就是椭圆应该在这个矩形框内由四个点，加上范围，我们在要求不太精确的前提下，可以画出椭圆图形探究〔二〕问题1、由上述我们画的椭圆，请同学们观测一下，椭圆图形的美吗？美在哪里？得到：椭圆关于轴对称的，除了轴对称外，还有其他的对称吗？怎么从方程的角度加以说明呢？当在椭圆上时，它关于轴的对称点，也在椭圆上，即在椭圆方程中把改成，方程并不改变，即得到椭圆是关于轴对称的获得结论：椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形。

轴和轴是它的对称轴，坐标原点是它的对称中心，对称中心也叫椭圆的中心---刚刚我们通过对椭圆的方程的研究得到椭圆的范围，对称性，这些称为椭圆的几何性质，对于一般的椭圆方程，又具有怎么样的几何性质呢？这个就是我们今天要研究的椭圆的几何性质----揭示课题我们把中的换成，首先它的范围怎么样？，，另外，对称性有没有变？还是关于，轴，原点对称获得结论：1、范围：椭圆位于这样四条直线所围成的矩形内2、对称性：椭圆是关于坐标轴、原点对称的探究〔三〕问题1、刚刚在画椭圆的图形中取到四个特殊的点，即令，得，，得，分别是，，，，这些是椭圆与两坐标轴的交点，而这两个坐标轴正好是对称轴，所以它们也是椭圆与对称轴的四个交点。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.2.1 椭圆的标准方程》2

椭圆的标准方程（2）
一、学习目标
1．知识与技能
⑴．进一步掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式
⑵．能从椭圆的标准方程中指出基本量a,b,并能运用a 2−b 2=c 2,求出c,并求出焦点坐标和焦距
2．过程与方法
习题课形式，渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。

二、学习重点、难点、盲点
重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．
难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法．盲点是对于定义的理解
三、考试说明要求
高考:B 级（理解），要求对所学内容有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题。

四、教学设计
（一）课前预学
1预习：书19
252
2=++-m y m x ∈ 变：①表示焦点在轴上的椭圆？②表示焦点在轴上的椭圆？
22=8与92252=100的焦距相等，则a =
例3若椭圆19
252
2=+y x 上一点到一个焦点的距离为3，则它到另一个焦点的距离为变：①延长（2，2），求PMPA 的最大值与最小值。

（三）归纳小结，课堂练习。

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椭圆的几何性质设计一．教学目标设置：一知识与技能：1能运用方程来研究椭圆的简单几何性质；2掌握椭圆的简单几何性质；3了解离心率对椭圆扁平程度的影响，以及根本量的相互关系；二过程与方法：感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法；三情感态度与价值观：在运用方程探究椭圆的几何性质过程中，让学生知道解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。

二．学生学情分析：学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力；学生接触过由函数解析式研究函数图像的性质，由方程求过直线和圆的一些特殊点；离心率概念比拟抽象，直接引入比拟突兀，给学生明确的问题，结适宜当的点拨与演示，是非常必要的。

三．重难点：重点：1用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；2椭圆的简单几何性质。

难点：1用方程研究椭圆的范围和对称性；2离心率的引入四．教学策略分析：1问题串引导学生探究式法，活动和探究相结合，问题作引导，引发积极思考；2在研究范围和离心率时，学生自主探究与合作讨论相结合突破重难点；3几何画板动态演示离心率对椭圆形状的影响，加深学生对离心率的认识。

五．教学过程：一课前准备活动创设：运用所学的知识，在平面直角坐标系中画出方程所对应的曲线C1？〔方案一：利用椭圆的定义画图；方案二：根据所学先判断其为椭圆，求与轴轴的交点再连结；方案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比拟精确地画出第一象限的局部；方案四：学生可能会联系函数描点法画图〔对学生方程与函数理解要求较高〕〕【设计意图】：让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点〔与对称轴的交点〕，即椭圆的顶点。

二探究新知：师：研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置。

探究一：问题1：该椭圆上点横坐标的范围是什么？纵坐标呢？〔预案：学生会利用图形观察得知，老师要给予肯定:图形观察很直观〕〔师：在解析几何中，如果说由曲线的条件去求曲线的方程是解析几何的手段的话，那么有曲线的方程去研究曲线的性质那么是解析几何的目的。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.2.1 椭圆的标准方程》66

让学生思考问题，并通过小组讨论的方式让学生可以参与教学过程，积极作答。
通过自主学习有利于培养学生的思维能力和分析问题能力。
通过小组讨论培养学生团结协作的精神，并得出椭圆的定义。
培养学生思辨的习惯和认真严谨的学习态度，并在此根底上掌握椭圆的标准方程。
应用知识
加深认识
例1:两焦点的坐标是-4,0,4,0,椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10，求椭圆的标准方程。
教学重点
椭圆的定义及标准方程
教学难点
椭圆标准方程的推导
教学方法
数形结合、分类讨论法
教学手段
多媒体课件
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
创设情境
引入新课
通过向学生展示生活中椭圆的图片，激发学生好奇心，并通过复习圆的定义来启发、引导学生思考椭圆的定义。
思考问题
为新课做铺垫。
直观感知、
得出猜测
思辨论证
获取新知
引导分析
深化稳固
效果检验
课后作业
见导学索引
板书设计：
椭圆及其标准方程
一、椭圆的定义变式训练：
二、椭圆的标准方程
教学反思
动手操作：
1、取一条长度一定的细绳长度设为2a>0；
2、两端用图钉固定在铺白板的两个定点
F1、F2处〔|F1F2|<2a〕；
3、用笔尖将细绳拉紧，在纸上慢慢移动；
4、看看观察你得到什么样的图形？
合作探究：
〔1〕如何推导椭圆的标准方程呢？
〔2〕如何根据椭圆标准方程判断焦点在哪个轴上呢？
学生思考后，小组共同探讨，得出结论
高二数学?椭圆及其标准方程?教学设计
单位
辽源市实验高中

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.2.1 椭圆的标准方程》60

§2.2.1 椭圆的标准方程▲教学目标1.知识与技能：理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标等。

2.过程与方法：让学生经历椭圆标准方程的推导过程，进一步感受曲线方程的概念，进一步掌握求曲线方程的一般方法；体会数形结合、分类讨论等数学思想，培养学生运用类比、联想等方法提出问题。

3.情感态度与价值观：通过具体的情境感知研究椭圆标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度。

▲教学重点1.感受建立曲线方程的基本过程2.掌握椭圆的标准方程及其推导方法▲教学难点椭圆的标准方程的推导▲教学过程一问题情境:1 我们都知道，地球绕太阳运行、月球绕地球运行，它们的运行轨道都是椭圆2 在本章第一节中,我们用平面去截圆锥面,根据平面位置的不同,可以得到不同的曲线,其中有一类就是椭圆3 生活中也存在着大量的椭圆,比如: 椭圆形餐桌、汽车贮油罐的横截面等;科学实验中也有椭圆的例子，如：“嫦娥2号”卫星在发射约17分钟后进入周期约小时的椭圆环月轨道等【问题1】汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状是椭圆，怎样设计才能精确地制造它们？【问题2】把一个圆压扁了，像一个椭圆，那么它究竟是不是椭圆呢？【问题3】电影放映机上的聚光灯的反射镜、运用高能冲击波击碎肾结石的碎石机等仪器设备都是运用椭圆的性质制造的怎样设计才能精确地制造它们？要解决以上问题,必须借助于椭圆的方程! 那么●怎样建立椭圆的方程●如何根据方程研究椭圆的性质这节课,我们先研究 “椭圆的标准方程”§ 椭圆的标准方程二师生互动学生回忆:椭圆的定义:平面内到两个定点12F F 、的距离的和等于常数大于12F F 的点的轨迹叫做椭圆,两个定点12F F 、叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距【注意】定义中有三个关键条件：(1) 平面内;此处我们研究的是平面图形(2) 椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数,记为2a ;两个焦点之间的距离称为焦距, 记为2c即122F F c =(3) 常数122a F F >,即22a c >思考: 若22a c =,则轨迹是什么若22a c <,则轨迹又是什么三建构数学:(1) 先回顾求圆的标准方程的基本步骤:建立坐标系,设点的坐标,找等量关系,代入坐标,化简(2) 现在,如何建立适当的坐标系呢原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴①.建立适当的直角坐标系: 以直线12F F 为x 轴，以线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系 ②.设点: 设(,)P x y 是椭圆上的任意一点,12122,(,0),(,0).F F c F c F c =∴-③.根据条件 122,2,PF PF a a +==④.化简移项后两边平方,整理后再平方┄┄课本P3022222222()()a c x a y a a c -+=-问：①能否美化结论的形象？2222222220,0,0,0,=(0)a c a c a c a c a c b b >>∴>>∴>>∴->∴->可令则以上方程可化为222222b x a y a b +=②联想到直线方程的截距式，对上式能否再化简？再化简得，椭圆的方程为： 22221,(0)x y a b a b+=>> ① 【说明】 222222=,(0,0),0a c b a b c b c a b -∴=+>>∴>>，所以，当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程中，2x 对应的分母比2y 对应的分母大！【思考】怎样推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程？（实际上是将课本P30推导过程中的字母x 与字母y 互换一下即可！）能否猜想结论是什么？此时，椭圆的方程为： 22221,(0)y x a b a b+=>> ② 【说明】当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程中，2y 对应的分母比2x 对应的分母大！以上两种方程①、②都叫做椭圆的标准方程（其中222b a c =-）填写下表：四数学应用：【思考】下列方程是否表示椭圆？为什么？ 1 221,44x y += 2 220,34x y += 3 225 1.x y +=【问】方程221mx ny +=何时表示椭圆？0,0.m n m n >>≠当，且时，表示椭圆【例题分析】例1. 已知：a ＝4 , b ＝3 , 则焦点在轴上的椭圆标准方程为221169x y += 【变式】已知：a ＝4 , b ＝3 ,则椭圆的标准方程为例2. 已知椭圆的焦点坐标是12(4,0),(4,0),F F -椭圆上的任意一点到12F F 、的距离之和是10，求椭圆的标准方程定义法【变式】已知椭圆的焦距为8, 椭圆上的任意一点到12F F 、的距离之和是10，求椭圆的标准方程（定义法，分两类讨论）例3. 已知椭圆的焦点在轴上, 焦距为4,且经过点(3,P -求椭圆的标准方程定义法引导学生思考分析,教师只板书主要过程例4.已知椭圆过两点(2,(),22A B --求椭圆的标准方程【法一】分类讨论【法二】合设（待定系数法）引导学生思考分析,教师板书全过程例5. （课本P31例2）将圆上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得曲线的方程,并说明它是什么曲线引导学生思考分析,教师板书全过程坐标转移法五．课堂小结【总结提升】222211169169x y y x +=+=或224x y +=1. 基础知识：两类方程（焦点分别在轴,轴上的标准方程）2. 基本方法：（定义法、待定系数法、坐标转移法）3. 数学思想：（数形结合、类比思想、整体思想、换元化归）六．巩固练习【课外思考题】1 求以椭圆225945x y +=的焦点为焦点，且经过点(3,P -的椭圆的标准方程 2. 已知方程22153x y k k+=---表示椭圆，则k 的取值范围为七．课外作业：（见《评测练习》） )0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a b x a y。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.2.1 椭圆的标准方程》99

《椭圆及其标准方程》教学设计
阜阳二中数学组吴生才
一、教学目标：
知识目标：探究椭圆的定义及有关概念；弄懂椭圆的标准方程的形式，能区分椭圆的焦点在X轴与Y轴上的不同；能够根据给定的条件求椭圆的标准方程。

能力目标：培养学生试验、观察、分析、抽象概括的能力；渗透数形结合和分类讨论等数学思想方法。

情感目标：通过让学生探究定义的形成，鼓励学生积极、主动的参与教学，激发其求知的欲望，同时在教学的过程中带领学生体会数学的对称美和简洁美，并对学生进行学
法指导和爱国主义教育。

二、教学重点、难点：
重点：椭圆的定义和标准方程的的形式、特点; 焦点坐标的对应关系。

难点:1标准方程的推导，这过程涉及到适当的坐标系的建立和无理方程的变形。

2椭圆定义中焦距与长轴的大小关系以及椭圆焦点分别在X轴和Y轴上时的方程的标准形式的区别与联系。

三、教学辅助手段：多媒体、试验工具
四、教学方法：探究式
五、教学程序及设计：
六、板书设计：。

数学苏教版选修2-1教案：2.2.2 椭圆的几何性质 Word版含解析

2．2.2椭圆的几何性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握椭圆基本量的几何意义以及其相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．2．过程与方法利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次应用，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力．3．情感、态度与价值观通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．●重点难点重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法．难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质．通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程．(教师用书独具)●教学建议本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气．根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度．使用实物投影及多媒体辅助教学．借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次，●教学流程通过复习和预习，知道由对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？⇒由范围、对称性、顶点及离心率等研究椭圆的几何性质．既要数形结合直观感知，又要根据标准方程严格推证．⇒采用类比教学的方法，由焦点在x轴上的情形得出焦点在y轴上的情形．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握由椭圆方程求其几何性质的方法，首先将方程化为标准方程，由方程得出基本量a，b，c，再写出相应的几何性质．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握由椭圆的几何性质求其方程的方法，由几何性质得出基本量a，b，c，从而求出其标准方程．注意焦点位置的两种情形．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握椭圆离心率或其范围的求解方法，求椭圆的离心率，即找基本量a，b，c的等式关系；求椭圆的离心率的取值范围，即找基本量a，b，c的不等式关系．⇒通过例4及变式训练，使学生掌握直线与椭圆位置关系的研究方法，会讨论公共点个数，会求弦长，弦中点等问题．体会方程思想的应用．⇒通过易错易误辨析，体会椭圆范围的应用，注意椭圆上点的坐标不是在整个实数范围内，解题时应作为一个隐含条件考虑，否则将会导致错误．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力．图中椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．1．椭圆具有对称性吗？【提示】有，椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形．2．可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？【提示】可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a，0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．3．椭圆方程中x，y的取值范围是什么？【提示】x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．4．当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？【提示】b越小，椭圆越扁．1．椭圆的简单几何性质当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆.求椭圆x 2＋9y 2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．【思路探究】化为标准方程→求a，b→求几何性质【自主解答】把已知方程化成标准方程x281＋y29＝1，于是a＝9，b＝3，c＝81－9＝62，所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝ca ＝223，焦点为F1(－62，0)，F2(62，0)，顶点为A1(－9，0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．将方程变形为y＝±1381－x2，根据y＝1381－x2算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示)：1．由椭圆方程求其几何性质，首先应将方程化为标准形式．2．画椭圆时，应充分利用椭圆的对称性，可简化作图过程，增强准确度．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．【解】把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1.可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3，短半轴长b ＝2，故半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.因此，椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；离心率e ＝c a ＝53，两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．为画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为 y ＝±239－x 2(－3≤x ≤3)．由y ＝239－x 2(0≤x ≤3)，可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x ，y )，列表如下：称性画出整个椭圆，如图所示．求符合下列条件的椭圆标准方程：(1)焦距为8，离心率为0.8；(2)焦点与长轴较接近的端点的距离为10－5，焦点与短轴两端点的连线互相垂直； (3)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．【思路探究】由几何性质→寻求a ，b ，c 关系→求a ，b →得方程【自主解答】 (1)由题意：∵2c ＝8，∴c ＝4. 又∵ca＝0.8，∴a ＝5，∴b 2＝9，焦点在x 轴上时椭圆标准方程为：x 225＋y 29＝1；焦点在y 轴上时椭圆标准方程为：y 225＋x 29＝1.(2)由题意：a －c ＝10－5，b ＝c ，a 2＝b 2＋c 2， ∴解得a 2＝10，b 2＝5，焦点在x 轴上时椭圆标准方程为：x 210＋y 25＝1；焦点在y 轴上时椭圆标准方程为：y 210＋x 25＝1.(3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1.又过点(2，－6)，因此有22a 2＋(－6)2b 2＝1或(－6)2a 2＋22b2＝1. 由已知a ＝2b ，得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13.故所求的方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.1．利用椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法．其步骤是：首先确定焦点的位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．2．当椭圆焦点位置不完全确定时，其标准方程有两种形式，不要漏掉焦点在y 轴上的情形．求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A (2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 【解】 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (2,0)，∴4a 2＝1，a ＝2，∵2a ＝2·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 24＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (2,0)，∴02a 2＋4b2＝1，∴b ＝2,2a ＝2·2b ，∴a ＝4，∴方程y 216＋x 24＝1.综上所述，椭圆方程为x 24＋y 2＝1或y 216＋x 24＝1.(2)由已知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2c a －c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23c ＝3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.(1)(2012·江西高考)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为________．(2)已知F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，求椭圆离心率的最小值．【思路探究】(1)用a，c表示出AF1，F1B，依据AF1，F1F2，F1B成等比数列，建立a，c间的关系式．(2)法一，利用勾股定理及基本不等式寻求基本量a，c间的不等关系；法二，利用短轴端点对两焦点张角为椭圆上任一点对两焦点张角最大值；法三，利用圆半径c≥b求解．【自主解答】(1)椭圆的顶点为A(－a,0)，B(a,0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，所以AF1＝a－c，F1B＝a＋c，F1F2＝2c.因为AF1，F1F2，F1B成等比数列，所以有4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，即5c2＝a2，所以a＝5c，所以离心率为e＝ca ＝55.【答案】5 5(2)法一设PF1＝m，PF2＝n，∴m2＋n2＝4c2，又2a＝m＋n，∴4a2＝m2＋n2＋2mn≤2(m2＋n2)＝8c2.即：a2≤2c2，∴e＝ca≥22.∴e min＝22.法二设椭圆与y 轴上方交点为B .∵∠F 1BF 2≥90°，∴cos ∠F 1BF 2＝a 2＋a 2－4c 22a 2≤0，即：a 2≤2c 2.∴e ＝c a ≥22，∴e min ＝22. 法三以F 1F 2为直径的圆的方程为：x 2＋y 2＝c 2，由题意c ≥b ，∴c 2≥a 2－c 2，∴2c 2≥a 2，∴c a ≥22，∴e ＝c a ≥22，∴e min ＝22.1．求椭圆的离心率，就是由题意求基本量a ，b ，c 的等式关系．2．求椭圆离心率的取值范围，就是求基本量a ，b ，c 间的不等关系，然后利用定义或列出关于e 的不等式进行求解，应注意e 还应受到0<e <1的限制．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．【解析】在△ABF 中，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6.由|AB |2＝|AF |2＋|BF |2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝|OF |＝|AB |2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以|BF |＝|AF 1|＝8.由椭圆的性质可知|AF |＋|AF 1|＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝ca ＝57. 【答案】 57已知椭圆x 24＋y 2＝1，(1)当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆有两个不同的交点？(2)当m ＝2时，求直线被椭圆截得的线段长．【思路探究】联立，消y 得一元二次方程→Δ判别式→m 的范围→根与系数的关系→由弦长公式求弦长【自主解答】 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝x ＋m 消去y 得，5x 2＋8mx ＋4(m 2－1)＝0(Ⅰ)．∵Δ＝64m 2－80(m 2－1)>0， ∴－5<m <5，∴当－5<m <5时直线与椭圆有两个不同交点． (2)当m ＝2时，方程(Ⅰ)化为：5x 2＋16x ＋12＝0，设线段端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理得 x 1＋x 2＝－165，x 1x 2＝125，又k ＝1，∴AB ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝452.1．直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由Δ判别式进行判别． 2．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用弦长公式AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2进行求解，也可利用AB ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2· (y 1＋y 2)2－4y 1y 2进行求解．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程．【解】设x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，且a 2－b 2＝(52)2＝50.①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2b 2＋y 2a 2＝1y ＝3x －2， ∴(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0， ∵x 1＋x 22＝12，∴6b 2a 2＋9b 2＝12， ∴a 2＝3b 2，② 此时Δ>0，由①②得：a 2＝75，b 2＝25， ∴x 225＋y 275＝1.忽略椭圆的范围导致错误设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到椭圆的最远距离是7，求椭圆的标准方程．【错解】依题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2＝34，所以b 2a 2＝14，即a ＝2b . 设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2(1－y 2b 2)＋y 2－3y ＋94＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3.所以当y ＝－12时，d 2有最大值，从而d 也有最大值，所以4b 2＋3＝(7)2，由此解得b 2＝1，a 2＝4.于是所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.【错因分析】错解中“当y ＝－12时，d 2有最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中y 的取值范围．事实上，由于点(x ，y )在椭圆上，所以有－b ≤y ≤b ，因此在求d 2的最大值时，应分类讨论．【防范措施】涉及到椭圆上点的坐标时，应注意坐标的范围，对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，x ∈[－a ，a ]，y ∈[－b ，b ]；对于椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，x ∈[－b ，b ]，y ∈[－a ，a ]．【正解】同错解得到d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2(1－y 2b 2)＋y 2－3y ＋94＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3.若b <12，则当y ＝－b 时，d 2有最大值，从而d 有最大值，于是(7)2＝(b ＋32)2，从而解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．所以必有b ≥12，此时当y ＝－12时，d 2有最大值，从而d 有最大值，所以4b 2＋3＝(7)2，解得b 2＝1，a 2＝4.于是所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.1．椭圆的性质可分为两类，一类是与坐标无关的本身固有的性质，如长轴长，短轴长，焦距，离心率；另一类是与坐标有关的性质，如顶点坐标，焦点坐标．2．椭圆的标准方程和椭圆的几何性质密不可分，由椭圆的方程可以得出椭圆的几何性质，由其几何性质可以得出椭圆的方程．3．求椭圆的离心率或其取值范围，是高考的重点内容，其实质就是找出基本量a ，b ，c 的相等或不等关系，从而得出关于e 的方程或不等式．4．直线与椭圆的位置关系，公共点个数利用Δ判别式，弦长问题利用弦长公式和韦达定理，解题主要是利用了转化思想和方程思想.1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是________．【解析】∵x 2＋y 26＝1，∴焦点在y 轴上，∴长轴端点坐标为(0，±6)．【答案】 (0，±6)2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e ＝________. 【解析】如图，△F 1B 2F 2为等边三角形， ∴∠B 2F 2O ＝60°， ∴e ＝c a ＝OF 2B 2F 2＝cos 60°＝12.【答案】 123．若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于________．【解析】 ∵1－m 2＝14或1－2m ＝14，∴m ＝32或83.【答案】 32或834．椭圆经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率e ＝12，求椭圆的标准方程．【解】设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2.∴椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2，∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.一、填空题1．(2013·厦门高二检测)椭圆x 24＋y 29＝1的离心率是________．【解析】 e ＝1－b 2a2＝1－49＝53. 【答案】532．(2012·上海高考)已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则下列说法正确的是________．①C 1与C 2顶点相同； ②C 1与C 2长轴长相同； ③C 1与C 2短轴长相同； ④C 1与C 2焦距相等．【解析】由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.只有④正确．【答案】 ④3．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则椭圆的方程为________．【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2a 32a ＝18a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝81b 2＝72，因为焦点在x 轴上，所以所求椭圆的方程为x 281＋y 272＝1.【答案】 x 281＋y 272＝14．若椭圆的焦点在y 轴上，长轴长为4，离心率为e ＝32，则其标准方程为________．【解析】依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1. 【答案】 y 24＋x 2＝15．(2013·无锡高二检测)若椭圆x 29＋y 2m ＝1(0<m <9)的焦距为23，则m ＝________.【解析】 ∵0<m <9，∴9－m ＝(3)2，∴m ＝6. 【答案】 66．(2012·课标全国卷改编)设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．【解析】 ∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形， ∴∠PF 2A ＝60°，PF 2＝F 1F 2＝2c ，∴AF 2＝c ， ∴2c ＝32a ，∴e ＝34.【答案】 347．(2013·哈师大附中高二检测)椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________．【解析】 ∵|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，∴|PF 1→|·|PF 2→|≤(|PF 1→|＋|PF 2→|2)2＝a 2，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴13≤e 2≤12， ∴33≤e ≤22. 【答案】 [33，22]图2－2－38．“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2＞a 1c 2； ④c 1a 1＜c 2a 2. 其中正确式子的序号是________．【解析】由题图知a 1＋c 1>a 2＋c 2，故①错误．又a 1－c 1＝PF ，a 2－c 2＝PF ，故a 1－c 1＝a 2－c 2，即②正确．由题图知椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ扁，则e 1>e 2，即c 1a 1>c 2a 2.又a 1，a 2均大于0，故c 1a 2>a 1c 2，故③正确．显然④错误，故②③正确．【答案】 ②③ 二、解答题9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，求椭圆的方程．【解】椭圆的长轴长为6，cos ∠OF A ＝23，∴点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点， ∴OF ＝c ，OA ＝b . AF ＝OA 2＋OF 2＝b 2＋c 2＝a ＝3，c 3＝23，∴c ＝2，b 2＝32－22＝5.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.10．已知椭圆C 的中心O 在原点，长轴在x 轴上，焦距为6，短轴长为8. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点(－5,0)作倾斜角为π4的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求△ABO 的面积．【解】 (1)设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得c ＝3，b ＝4，a ＝5，所以椭圆C 方程为x 225＋y 216＝1.(2)不妨设A (－5,0)，直线AB 方程为：y ＝x ＋5，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋5x 225＋y 216＝1得⎩⎨⎧x ＝－4541y ＝16041.所以S △OAB ＝12OA ·|y B |＝12×5×16041＝40041.11．(2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．【解】 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3，于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.(教师用书独具)已知椭圆4x 2＋5y 2＝20的一个焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，求弦长AB .【思路探究】求出焦点F 的坐标→求出直线l 的斜率→设直线l 的方程→联立方程→利用根与系数的关系设而不解→由弦长公式求解【自主解答】椭圆方程为x 25＋y 24＝1，a ＝5，b ＝2，c ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1(不失一般性，设l 过左焦点)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，4x 2＋5y 2＝20，消去y ，得9x 2＋10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－109，x 1·x 2＝－53，AB ＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·(－109)2－4·(－53)＝2·8109＝1659.1．解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解． 2．利用弦长公式求弦长时，没必要验证方程的Δ>0.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果AB ＝154，求椭圆C 的方程．【解】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1<0，y 2>0)， (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －c )x 2a 2＋y 2b 2＝1消去x 得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0. 解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2， y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2，因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2，得离心率e ＝c a ＝23. (2)因为AB ＝1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b 2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a .所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5. 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。