4数列2

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高中数学第四章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第二课时等差数列的性质及其应用课件新人教A版

二、应用性——强调学以致用 2.如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数
列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2. (1)求AB，BC，CD的长； (2)以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
解：(1)设公差为 d(d>0)，BC＝x，则 AB＝x－d，CD＝x＋d. 由题意得xx－－dd＋ 2＋xx＋2＋x＋x＋dd＝2＝211，79，解得dx＝＝47，或dx＝＝－7，4 (舍去)．所以 AB＝3(cm)，BC＝7(cm)， CD＝11(cm)． (2)正方形的边长组成首项是 3，公差是 4 的等差数列{an}，所以 a10＝3＋(10－1)×4＝39， a210＝392＝1 521(cm2)．所求正方形的面积为 1 521 cm2.
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋
an＋k－1＋an＋k＝2kan，对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．
(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”； (2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．
年12月末人口总数为万，则2019年10月末的人口总数为

数列(2)

规律？钢管的总数是多少？如果增
加钢管的层数，有没有更快捷的方
法求出总数？
76-------54--3---2----------1----
45，，67，8，9，1，0
an n 3(1 n 7, n N )
例1 已知数列 an 的第1项是1，
以后的各项由公式 an 1 写出这个数列的前5项。
1
an1
给出，
a1 1
a2
1
1 a1
1
1 1

2
a3
1
1 a2
1
1 2

3 2
a4
1
1 a3
1
2 3

5 3
a5
1
1 a4
1
3 5

8 5
例2 若a1 2,a2 4,an log2(an1 an2 )(n 3)
写出an 前4项
1. a1 5, an1 an 3. 5，8，11，14，17
an 3n+2(n 1)
2. a1 2, an1 2an 2，4，8，16，32
an 2n(n 1)
1 3. a1 1, an1 an an
1，2，5/2， 29/10，941/290
常数列 : a n = a n + 1
摆动数列 : a n －1 ＜a n 且 a n ＞a n + 1
写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
1
3 2
,
1,
7 10
,
9 17
, 11 26
,
（2）
1，85 ，

人教版高中数学必修五课件：第二章数列2-4-2 等比数列的性质

【所以自主{an解2}答是】首1项.因为为1，an公=2比n-为1，4所的以等a比ann数122 列，22nn=故1 242a，n2=4n-1.
答案：an2=4n-1
2.由a4·a7=-512，得a3·a8=-512.
由
解得a3=-4，a8=128或a3=128，a8=-4(舍).
所以aaq33 =a8a
am·an=ak·al
2.等比数列的单调性
(1)当a1>0，_q_>_1_或a1<0，_0_<_q_<_1_时，{an}为递增数列. (2)当____，0<q<1或a1<0，____时，{an}为递减数列. (3)当_a_1>_0_时，{an}为常数列q.>1
q=1
1.在等比数列{an}中，a6=6，a9=9，则a3=( )
(3)若m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？提示：相等，aman=2m-1×2n-1=2m+n-2， apal=2p-1×2l-1=2p+l-2，因为m+n=p+l，所以m+n-2=p+l-2，所以aman=apal.
探究2：对任意的等比数列{an}，若有m+n=p+l(m，n，p，l∈N*)，那么aman=apal吗？提示：相等，设等比数列{an}的公比为q，则am=a1qm-1， an=a1qn-1，ap=a1qp-1，al=a1ql-1，aman= a1qm-1×a1qn-1=a12 qm + n-2， apal= a1qp-1×a1ql-1=a12qp + l-2，因为m+n=p+l，所以aman=apal.

数列的概念

数列的概念1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项。

(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列。

(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，…。

(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n。

(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别。

如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合。

2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列。

在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列。

(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。

3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一。

苏教版高中数学选择性必修第一册第4章数列4-2-3等差数列的前n项和(1)

4.2.3 等差数列的前n项和(1)
活动方案
活动一探求等差数列的前n项和公式
问题：某仓库堆放着一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根，怎样计算这堆钢管的总数呢？
【解析】 4＋5＋6＋7＋8＋9＝6×42＋9＝39(根)．等差数列的前n项和公式：【解析】 Sn＝na1＋2 an＝na1＋nn－ 2 1d. 推导方法：例序相加.
A. Sn＝n2－3n
B. Sn＝3n2－2 9n
C. an＝3n－6
D. an＝2n
【解析】设等差数列{an}的公差为 d，因为 S3＝0，a4＝6，所以
3a1＋3×2 以 an＝a1＋(n－1)d＝－3＋3(n－1)
＝3n－6，Sn＝na1＋nn－2 1d＝－3n＋3nn2－1＝3n2－2 9n.故选 BC. 【答案】 BC
A. n
B. n(n＋1)
C. n(n－1)
nn＋1 D. 2
【解析】
因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋
nn－1 2
×1＝
2n＋n2－n 2
＝
n2＋2 n＝nn＋ 2 1.
【答案】 D
2. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则 n 的值是( )
所以an＝Sn－Sn－1＝n2＋12n－n－12＋21n－1＝2n－12. 因为a1＝32满足上式，所以an＝2n－12. 当n≥2时，an－1＝2(n－1)－12，所以an－an－1＝2，所以数列{an}是等差数列．
思考►►►
(1) 已知数列{an}的前n项和为Sn，如何求an?
【解析】
活动三探求等差数列前n项和公式的特征并应用其解决问题

高中数学第4章数列第2课时等差数列的性质课件苏教版选择性必修第一册

培养数学建模及数学运算素养．
NO.1
情境导学·探新知
知识点1 知识点2
如图，第一层有 1 个球，第二层有 2 个球，最上层有 16 个球，那么，从上面数第二层有几个球？
每隔一层的球数有什么规律？每隔二层呢？每隔三层呢？
知识点 1 等差数列的图象等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，当 d＝0 时，an 是一个固定常数；当 d≠0 时，an 相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以_d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
知识点 2 等差数列的性质 (1){an}是公差为 d 的等差数列，若正整数 m，n，p，q 满足 m＋ n＝p＋q，则 am＋an＝a_p_＋__a_q_． ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak． ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和__，即 a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…．
[解] 记 2017 年为第 1 年，由题设可知第 1 年获利 200 万元，第 2 年获利 180 万元，第 3 年获利 160 万元，……则该公司每年获得的利润构成等差数列{an}，且当 an＜0 时，该公司生产此产品将出现亏损．
设第 n 年的利润为 an，因为 a1＝200，公差 d＝－20，所以 an＝a1＋(n－1)d＝220－20n．
2．已知在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝ ________．
15 [由等差数列的性质得 a7＋a9＝a4＋a12＝16，又∵a4＝1，∴a12 ＝15．]
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 灵活设元解等差数列【例 1】已知递减等差数列{an}的前三项和为 18，前三项的乘积为 66，求数列的通项公式，并判断－34 是否为该数列的项．

数列(第2课时)(教学课件)高二数学同步备课系列(人教A版2019选修第二册)

验证当n＝1时上式成立，
所以an＝4n－32，n∈N*.
延伸探究
将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不
变，求an.
解
因为Sn＝2n2－30n＋1，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32.
1
A.1
B.4
3
5
C.4
D.8
1
1
1
解析:a2=2a1+2=1,a3=2a2+
1
22
答案:C
3
= 4.
)
2.已知数列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于(
2
A.0
B. 5
D.5
C.2
解析:由题意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,
2
解得 m=5.
答案:B
)
a4 a3 23 7 8 15，
a5 a4 24 15 16 31.
2
an 1 1( n 2).
3
(2) a1 3,
2
2
a1 1 3 1 3，
3
3
2
2
a3 a2 1 3 1 3，
3
3
2
2
a4 a3 1 3 1 3，
当n＝1时不符合上式.
－27，n＝1，
所以 an＝
4n－32，n≥2.
归纳总结
由Sn求通项公式an的步骤

2024届高考数学一轮总复习第四章数列第二讲等差数列及其前n项和课件

把n换成n＋1，2Sn＋1＋(n＋1)2＝2(n＋1)an＋1＋n＋1，② ②－①可得2an＋1＝2(n＋1)an＋1－2nan－2n，整理得an＋1＝an＋1，由等差数列定义有{an}为等差数列.
(2)解：由已知有 a72＝a4·a9，设等差数列{an}的首项为 x，由(1) 知其公差为 1，
证明：由题意可知，数列{ Sn}的首项为 a1，设等差数列{ Sn} 的公差为 d，
则 d＝ S2－ S1＝ a1＋a2－ a1＝ a1，所以 Sn＝ S1＋( S2－ S1)＋( S3－ S2)＋…＋( Sn－ Sn－1) ＝ a1＋(n－1) a1＝n a1，即 Sn＝a1·n2，
所以 an＝aS1n，－nS＝ n－11＝，(2n－1)a1，n≥2，当 n＝1 时，(2×1－1)a1＝a1，所以 an＝(2n－1)a1，所以 an＋1－an＝2a1，所以数列{an}是以 a1 为首项，2a1 为公差的等差数列.
①当
a1>0，d<0
am≥0，时，满足am＋1≤0
的项数 m 使得 Sn 取得最
大值为 Sm(当 am＋1＝0 时，Sm＋1 也为最大值)；
a8＋a10＝80，则 a7－12a8＝(
)
A.4
B.6
C.8
D.10
解析：∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80， ∴a6＝16，又 a6＋a8＝2a7，∴a7＝21a6＋12a8，即 a7－12a8＝
12a6＝8，故选 C. 答案：C
【题后反思】等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

2021_2022学年新教材高中数学第4章数列4.2.1_4.2.2等差数列的概念等差数列的通项公式

二十三等差数列的概念等差数列的通项公式(15分钟30分)1．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是()A．92 B．47 C．46 D．45【解析】1，公差为d，a1＝1，d＝(－1)－1＝－2，故a n＝a1＋(n－1)d＝3－2n，令－89＝3－2n，解得n＝46.n∈N*，且a5＝10，a7＝14，则2．已知数列{}a n满足a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n()a2 020－a2 019＝()A．2 B．1 C．－2 D．－1【解析】选A.由题意可知，数列{}a n为等差数列，故设数列{}a n的公差为d，则a7－a5＝4＝2d，所以a2 020－a2 019＝d＝2.3．(2021·某某高二检测)若数列{a n}满足a n＋1＝a n＋4且a1＝1，a n＞0，则a n＝() A．4n－1 B．4n－3C．(4n－3)2D．(4n－1)2【解析】a n＋1＝a n＋4，所以a n＋1－a n＝4，所以a n＝a1＋4(n－1)＝4n－3，所以a n ＝(4n －3)2.4．等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是第________项．【解析】设等差数列的首项为a 1，公差为d ，因为a 1＝20，d ＝－3，所以a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ，所以a 7＝2＞0，a 8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项．答案：85．(2021·威海高二检测)《周髀算经》里提到：在周城的平地立八尺高的周髀(表竿)，日中测影，在二十四节气中，冬至影长1丈3尺5寸，以后每一节气递减9寸9分(以10寸计算)，那么9尺5寸应是二十四节气中的哪个节气？【解析】用{a n }表示从冬至开始的“影长”组成的等差数列，则a 1＝135，a n ＝95，公差d ＝－10，所以由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得n ＝a n －a 1d ＋1＝5.所以9尺5寸应是二十四节气中的雨水．(30分钟 60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．(2021·某某高二检测)已知数列{}a n 是无穷数列，则“2a 2＝a 1＋a 3”是“数列{}a n 为等差数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】选B.若“数列{}a n 为等差数列”成立，必有“2a 2＝a 1＋a 3”，而仅有“2a 2＝a 1＋a 3”成立，不能断定“数列{}a n 为等差数列”成立，必须满足对任何的n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2成立才可以，故“2a 2＝a 1＋a 3”是“数列{}a n 为等差数列”的必要不充分条件．2．(2021·某某高二检测)已知数列{}a n 对于任意正整数m ，n ，有a m ＋n ＝a m ＋a n ，若a 20＝1，则a 2 020＝( )A ．2 020B ．1C ．20D ．101【解析】m ＋n ＝a m ＋a n ，令m ＝1得a n ＋1－a n ＝a 1，所以数列{}a n 是以a 1为首项，a 1为公差的等差数列，从而a n ＝na 1.因为a 20＝1，所以a 1＝120 ，a 2 020＝101.3．(2021·高二检测)在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．40B ．42C ．43D ．45【解析】{}a n 中，设公差为d ，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，所以d ＝3，a 4＝11，a 5＝14，a 6＝17，从而a 4＋a 5＋a 6＝42.4．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则a b 等于( )A ．14B ．12C ．13D ．23【解析】选C.因为b 是x ，2x 的等差中项，所以b ＝x ＋2x 2 ＝3x 2 ，又因为x 是a ，b 的等差中项，所以2x ＝a ＋b ，所以a ＝x 2 ，所以a b ＝13 .二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．(2021·某某高二检测)已知数列{}a n 是等差数列，数列{}b n 分别满足下列各式，其中数列{}b n必为等差数列的是( )A ．b n ＝3a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝1a nD ．b n ＝－a n 2 【解析】{}a n 的公差为d ，选项A 中b n －b n －1＝3a n －3a n －1＝3d ，同理可证B ，C 都不满足b n －b n －1＝同一常数，所以选项都是错误的；对于选项D ，b n －b n －1＝－a n 2 ＋a n －12 ＝a n －1－a n 2 ＝－d 2 ，所以数列{}b n 必为等差数列． 6．在数列{a n }中，已知a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1 是等差数列，公差为d ，则( ) A ．a 4＝12 B ．a 3＝1C ．d ＝14D ．d ＝16【解析】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1 的公差为d ，则1a 6＋1 －1a 2＋1 ＝4d ，代入数据可得d ＝16 .因此1a 4＋1 ＝1a 2＋1＋2d ＝23 ，故a 4＝12 ，1a 3＋1 ＝1a 2＋1 ＋16 ＝12＋1＋16 ＝12 ，解得a 3＝1. 三、填空题(每小题5分，共10分)7．若a≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1，d 2，则d 1d 2的值为________．【解析】由题意，得b ＝a ＋3d 1＝a ＋4d 2，所以3d 1＝4d 2，所以d 1d 2＝43 . 答案：438．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．【解析】a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1， b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6，令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，所以n ＝5.答案：5四、解答题(每小题10分，共20分)9．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，求b n 及b 15.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝6，a 5＝a 1＋4d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝3.所以a nn ＝a 2n ＝3×2n ＝6n.所以b 15＝6×15＝90.10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N *). (1)证明：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)由1a n ＋1－2 ＝16a n －4a n ＋2－2 ＝a n ＋2（6a n －4）－2（a n ＋2）＝a n ＋24a n －8＝（a n －2）＋44（a n －2）＝1a n －2＋14 ，得1a n ＋1－2 －1a n －2＝14 ，n ∈N *，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －2 是等差数列．(2)由(1)知1a n －2 ＝1a 1－2 ＋(n －1)×14 ＝n ＋34 ，所以a n ＝2n ＋10n ＋3，n ∈N *.1．等差数列{a n }的首项为a ，公差为1，数列{b n }满足b n ＝a na n ＋1 .若对任意n ∈N *，b n ≤b 6，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－8，－6)B ．(－7，－6)C ．(－6，－5)D ．(6，7)【解析】选B.因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ＋a －1.所以b n ＝a n a n ＋1 ＝1－1n ＋a. 又因为对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 6成立，可知16＋a ≤1n ＋a，则必有7＋a －1<0且8＋a －1>0，所以－7<a<－6.2．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n ∈N *).(1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{a n }为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．【解析】(1)因为a 1＝2，a 2＝－1，a 2＝(λ－3)a 1＋2，所以λ＝32 ，所以a 3＝－32 a 2＋22，所以a 3＝112 .(2)因为a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n ，所以a 2＝(λ－3)a 1＋2＝2λ－4.a 3＝(λ－3)a 2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{a n}为等差数列，则a1＋a3＝2a2.即λ2－7λ＋13＝0.因为Δ＝49－4×13<0，所以方程无实数解．所以λ值不存在．所以不存在λ的值使{a n}成等差数列．。

2019届高考数学大二轮复习精品练习：第1部分专题4 数列第2讲 Word版含解析

第一部分专题四第二讲A 组1．设{a n }的首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝(D )A ．2B ．－2C ．12D ．－12[解析]由题意知S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以S 2＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.故选D ．2．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1等于( B )A ．1－14nB ．23(1－14n )C ．1－12nD ．23(1－12n)[解析]因为a n ＝1×2n －1＝2n －1，所以a n ·a n ＋1＝2n －1·2n ＝2×4n －1，所以1anan ＋1＝12×(14)n －1，所以{1anan ＋1}也是等比数列，所以T n ＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan ＋1＝12×错误!＝错误!(1－错误!)，故选B ．3．(2018·烟台模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( C)A ．30B ．45C ．90D ．186[解析]设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋d ＝6，a1＋4d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝3，d ＝3，所以a n ＝3n ，所以b n ＝a 2n ＝6n ，且b 1＝6，公差为6，所以S 5＝5×6＋5×42×6＝90.4．等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，S n )在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( C )[解析]∵S n ＝na 1＋错误!d ，∴S n ＝错误!n 2＋(a 1－错误!)n ，又a 1>0，公差d <0，所以点(n ，S n )所在抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧．[点评] 可取特殊数列验证排除，如a n ＝3－n .5．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2; ②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x|； ④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( C )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ [分析]保等比数列函数指：①定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数；②若{a n }是等比数列，则{f (a n )}仍是等比数列．[解析]解法一：设{a n }的公比为q .①f (a n )＝a 2n ，∵a2n ＋1a2n ＝(an ＋1an )2＝q 2，∴{f (a n )}是等比数列，排除B 、D ．③f (a n )＝|an|，∵|an ＋1||an|＝|an ＋1an|＝|q|，∴{f (a n )}是等比数列，排除A ．解法二：不妨令a n ＝2n .①因为f (x )＝x 2，所以f (a n )＝a 2n ＝4n .显然{f (a n )}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f (x )＝2x ，所以f (a 1)＝f (2)＝22，f (a 2)＝f (4)＝24，f (a 3)＝f (8)＝28，所以错误!＝错误!＝4≠错误!＝错误!＝16，所以{f (a n )}不是等比数列．③因为f (x )＝|x|，所以f (a n )＝2n ＝(2)n .显然{f (a n )}是首项为2，公比为2的等比数列．④因为f (x )＝ln|x |，所以f (a n )＝ln2n ＝n ln2.显然{f (a n )}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列，故选C ．6．(2018·邵阳一模)已知数列{b n }为等比数列，且b 1009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1.2_017的值为2018a 则ln ，n b ·n a ＝＋1n a 且，[解析]因为数列{b n }为等比数列，且b 1009＝e(e 为自然对数的底数)，数列{a n }的首项为1，且a n ＋1＝a n ·b n ，所以a 2018＝b 1·b 2·b 3·b 4·…·b 2017＝b 20171009＝e 2017，ln a 2018＝lne 2017＝2017.7．已知数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a10的值为1 023128.[解析]数列{a n }是等比数列，其公比为2，设b n ＝log 2a n ，且数列{b n }的前10项的和为25，所以b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝log 2(a 10121＋2＋…＋9)＝25，所以a 101×245＝225，可得：a 1＝14.那么1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a10＝4(1＋12＋122＋…＋129)＝4×1－12101－12＝1023128.8．已知等比数列{a n }的公比q >1,42是a 1和a 4的一个等比中项，a 2和a 3的等差中项为6，若数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .[解析](1)因为42是a 1和a 4的一个等比中项，所以a 1·a 4＝(42)2＝32.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a2·a3＝32，a2＋a3＝12.因为q >1，所以a 3>a 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，a3＝8.所以q ＝a3a2＝2.故数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)由于b n ＝log 2a n (n ∈N *)，所以a n b n ＝n ·2n ， S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，①2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得，－S n ＝1·2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝错误!－n ·2n ＋1.所以S n ＝2－2n ＋1＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.9．(文)(2018·天津卷，18)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n∈N *)．已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值．[解析](1)设等比数列{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以T n ＝1－2n1－2＝2n －1.设等差数列{a n }的公差为d .由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4.由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n ，所以S n ＝错误!. (2)由(1)，知T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－n －2.由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得错误!＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1，整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)，或n ＝4.所以n 的值为4.(理)(2018·天津卷，18)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n∈N *)，{b n }是等差数列.已知a 1＝1，a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6.(1)求{a n }和{b n }的通项公式．(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)，①求T n ；②证明[解析](1)设等比数列{a n }的公比为q .由a 1＝1，a 3＝a 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故a n ＝2n －1.设等差数列{b n }的公差为d ，由a 4＝b 3＋b 5，可得b 1＋3d ＝4.由a 5＝b 4＋2b 6，可得3b 1＋13d ＝16，从而b 1＝1，d ＝1，故b n ＝n .所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，数列{b n }的通项公式为b n ＝n .(2)①由(1)，有S n ＝1－2n1－2＝2n －1，故T n ＝k ＝1n(2k －1)＝k ＝1n 2k－n ＝错误!－n ＝2n ＋1－n －2.②因为错误!＝错误!＝错误!＝错误!－错误!，B 组1．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列{错误!}的前n 项和T n ＝( C ) A ．－n2n ＋1B ．n2n ＋1C ．－2n2n ＋1D ．2n2n ＋1[解析]本题主要考查等差、等比数列的性质以及裂项法求和．设{a n }的公差为d ，因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋a3－a12＝32a 1－54，S 4＝3a 3＋a 1＝a 1－152，因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(32a 1－54)2＝(a 1－152)a 1，整理得4a 21＋12a 1＋5＝0，所以a 1＝－52或a 1＝－12.当a 1＝－52时，公差d ＝0不符合题意，舍去；当a 1＝－12时，公差d ＝a3－a12＝－1，所以a n ＝－12＋(n －1)×(－1)＝－n ＋12＝－12(2n －1)，所以错误!＝－错误!＝－(错误!－错误!)，所以其前n 项和T n ＝－(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝－(1－12n ＋1)＝－2n2n ＋1，故选C ．2．(文)以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等关系不一定成立的是( D )A ．2a 3>3a 4B ．5a 5>a 1＋6a 6C ．a 5＋a 4－a 3<0D ．a 3＋a 6＋a 12<2a 7[解析]依题意得a 6＝S 6－S 5<0,2a 3－3a 4＝2(a 1＋2d )－3(a 1＋3d )＝－(a 1＋5d )＝－a 6>0,2a 3>3a 4；5a 5－(a 1＋6a 6)＝5(a 1＋4d )－a 1－6(a 1＋5d )＝－2(a 1＋5d )＝－2a 6>0,5a 5>a 1＋6a 6；a 5＋a 4－a 3＝(a 3＋a 6)－a 3＝a 6<0.综上所述，故选D ．(理)已知a n ＝32n －11，数列{a n }的前n 项和为S n ，关于a n 及S n 的叙述正确的是( C )A ．a n 与S n 都有最大值B ．a n 与S n 都没有最大值C ．a n 与S n 都有最小值D ．a n 与S n 都没有最小值[解析]画出a n ＝32n －11的图象，点(n ，a n )为函数y ＝32x －11图象上的一群孤立点，(112，0)为对称中心，S 5最小，a 5最小，a 6最大．3．已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( A )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 [解析]∵S 20＝a1＋a202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10.∵a n >0，∴a 7·a 14≤(a7＋a142)2＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( B )A ．2n －1B ．(32)n －1C ．(23)n －1D ．12n －1[解析]由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，∴Sn ＋1Sn ＝32，∵a 1＝1，S 1＝2a 2，∴a 2＝12a 1＝12，∴S 2＝32，∴S2S1＝32，∴S n ＝(32)n －1.5．(2018·山东省实验中学调研)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，则a n ＝( A )A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n[解析]a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln2－ln1＋2＝2＋ln n .6．(2018·西安一模)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n n ＋1(n∈.16的值为n 4成立的最小自然数－<n S 则使，n S 项和为n 设其前)，*N[解析]因为a n ＝log 2nn ＋1，所以S n ＝log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 2n n ＋1＝log 2(12·23·34·…·n n ＋1)＝log 21n ＋1，若S n <－4，则1n ＋1<116，即n >15，则使S n <－4成立的最小自然数n 的值为16.7．如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，.－3n －2n 3·2个数的和是n 群中n 则第，个数n 群恰好n 第，…，群n 第，…[解析]由图规律知，第n 行第1个数为2n －1，第2个数为3·2n －2，第3个数为5·2n －3……设这n 个数的和为S则S ＝2n －1＋3·2n －2＋5×2n －3＋…＋(2n －3)·2＋(2n －1)·20①2S n ＝2n ＋3·2n －1＋5·2n －2＋…＋(2n －3)·22＋(2n －1)·21②②－①得S n ＝2n ＋2·2n －1＋2·2n －2＋…＋2·22＋2·2－(2n －1)＝2n ＋2n ＋2n －1＋…＋23＋22－(2n －1)＝2n ＋错误!－(2n －1) ＝2n ＋2n ＋1－4－2n ＋1＝3·2n －2n －3.8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．[分析](1)利用a n ＋1＝S n ＋1－S n 用配凑法可获证；(2)假设存在λ，则a 1，a 2，a 3应成等差数列求出λ的值，然后依据a n ＋2－a n ＝λ推证{a n }为等差数列．[解析](1)由题设：a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1.由(1)知，a 3＝λ＋1，令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列． 9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝－1an ＋2，a 1＝－12.(1)求证{1an ＋1}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1.若T n ≥p －n 对任意的n ∈N *恒成立，求p 的最大值．[解析](1)证明：∵a n ＋1＝－1an ＋2，∴a n ＋1＋1＝－1an ＋2＋1＝an ＋2－1an ＋2＝an ＋1an ＋2，由于a n ＋1≠0，∴1an ＋1＋1＝an ＋2an ＋1＝1＋1an ＋1， ∴{1an ＋1}是以2为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)题结论知：1an ＋1＝2＋(n －1)＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1－1＝－nn ＋1(n ∈N *)．(3)∵T n ＝a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P －n ，∴n ＋a n ＋a n ＋1＋…＋a 2n －1≥P ，即(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋(1＋a n ＋2)＋…＋(1＋a 2n －1)≥p ，对任意n ∈N *恒成立，而1＋a n ＝1n ＋1，设H (n )＝(1＋a n )＋(1＋a n ＋1)＋…＋(1＋a 2n －1)，∴H (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，H (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴H (n ＋1)－H (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0，∴数列{H (n )}单调递增，∴n ∈N *时，H (n )≥H (1)＝12，故P ≤12.1 2.∴P的最大值为。

第四章数列(单元解读)(人教A版2019选择性必修第二册)

约2课时约4课时约4课时约2课时约2课时
四、本章知识网络
五、本章重点
数列的概念是研究数列的基础，因此是本章教学的重点. 此外，等差数列、等比数列是两种 “最基本”的数列，对它们的概念、取值规律与应用的研究，将为学生今后进一步学习其他类型的数列打下基础，因此等差数列、等比数列的概念、性质与应用也是本章的重点内容.
十一、本章知识梳理
4.项的个数的“奇偶”性质： (1)若等差数列的项数为 2n，则 S 偶－S 奇＝nd，SS偶奇＝aan＋n 1. (2)若等差数列的项数为 2n－1，则 S 奇－S 偶＝an，SS奇偶＝n－n 1(S 奇＝nan，S 偶＝(n－1)an). 5.已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则abnn＝TS22nn－－11，abmn＝ 2n－1 S2m－1 2m－1·T2n－1.
十一、本章知识梳理
等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中，
an≥0，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组__a_n_＋_1≤__0__ 确定；
an≤0，当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取得最值的n可由不等式组__a_n_＋_1≥__0__ 确定.
人教版高中数学选择性必修二
第四章《数列》单元解读
一、总体设计
数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用。
本章通过对具体例子的分析，抽象出了数列的概念，通过数学运算、逻辑推理等研究了两类特殊的数列——等差数列和等比数列的取值规律，并运用它们解决了一些问题。因为数列是一类特殊的函数，所以本章注重函数思想和方法的应用。

高中数学选择性必修二 4 1 2数列的递推公式

= ቊ
− − ,
= ,
≥
合作探究
思考
已知数列{ }的前n项和公式为 = + ,你能求出{ }的通项公式吗？
解答：
因为 = = ，
= − − = + − [ − ) + −
并且当n=1时， = × = 依然成立.
=+ =

= +
=+ =

= +
=+ =

−
（ ≥ ）,
新知讲解
数列前n项和的定义、前n项和公式
1 把数列{ }从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{ }的前n项和，
记作 ,
即 = + + ⋯ + .
所以{ }的通项公式是 = .
= ( ≥ )
课堂练习
1 填空
（1）数列{ } 中, = − ，+ = − ,则 = _____.
（2）数列{ } 中, = ，且 + = ,则 = _____.
（3）数列{ } 中, + − −n=0,则 − = _____.
设数列{an}中, = , = −
解：
∵ = , = −
∴

−
=
=
−

− ≥ ,求数列的通项公式 .
− ≥ ,
,

− −

×
×
×⋯×
×
×
− − −

人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件第四章数列 4.1 第2课时数列的递推公式

探究点一
由递推公式求前若干项
【例1】 [苏教版教材例题]试分别根据下列条件,写出数列{an}的前5项:
(1)a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*;
1
(2)a1=2,an+1=2- ,其中

n∈N*.
解 (1)因为a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*,所以
所以a2=3+2=5,a3=5+2=7,a4=7+2=9,a5=9+2=11,综上所
述,a1=3,a2=5,a3=7,a4=9,a5=11.
知识点2
数列的通项公式与前n项和
共有n项
1.数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作
Sn,即Sn=a1+a2+…+an.如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应
思考辨析
已知数列{an}的前n项和Sn=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+n,那么a1, Sn -1
(n≥2),an分别是什么?(Sn-1可以用一个式子表示)
提示 a1=1,Sn-1=1+2+3+…+(n-2)+(n-1),an=n.
自主诊断
1.[人教B版教材习题改编]已知数列{an}的前n项和为Sn=2n+1,则
式.
3, = 1,
∴an=
2 , ≥ 2.
★【例3-2】已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n2(n∈N*),求数列{an}

高中二年级数学第二章数列§2.1 数列的概念与简单表示法(一)

第二章数列§2.1 数列的概念与简单表示法(一) 课时目标1．理解数列及其有关概念；2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }．3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．一、选择题1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2n答案 B2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 答案 A3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )A ．a n ＝12[1＋(－1)n －1] B ．a n ＝12[1－cos(n ·180°)] C ．a n ＝sin 2(n ·90°)D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12[1＋(－1)n －1] 答案 D解析令n ＝1,2,3,4代入验证即可．4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项答案 C解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋1 答案 C解析令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C.6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2答案 D解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2. 二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为正奇数)4n －1(n 为正偶数) .则它的前4项依次为____________．答案 4,7,10,158．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项．答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120， ∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．答案 55解析三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.三、解答题11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…(2)0.8,0.88,0.888，…(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…(4)32，1，710，917，… (5)0,1,0,1，…解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N *)．(2)数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)， 89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n (n ∈N *)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…， ∴a n ＝(－1)n ·2n －32n (n ∈N *)． (4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1(n ∈N *)． (5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N *) 或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N *)． 12．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1； (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．(1)解设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)解令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，则⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2，即⎩⎨⎧ n >76n <83.∴76<n <83. 又∵n ∈N *，∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47. 能力提升13．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是______________________．答案 a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2解析 a ＝a ＋b 2＋a －b 2，b ＝a ＋b 2－a －b 2，故a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2.14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．解图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，还可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 (n ＝2k －1)，1 (n ＝2k )，其中k ∈N *.。

四年级等差数列 (2)

四年级等差数列【专题导引】和、差的变化规律见下表【m ≠0】一个加数【a 】另一个加数【b 】和【c 】 ±m 不变 ±m 不变 ±m±m ±m m 不变【典型例题】【C 1】两个数相加，一个加数增加3，另一个加数减少3，和是否会起变化？【试一试】1、两个数相加，一个加数增加5，另一个加数减少5，和是否会起变化？2、两个数相加，一个加数减少6，另一个加数增加2，和是否会起变化？【C 2】如果a －b=20，那么a －【b －2】=20+【】。

【试一试】1、如果a －b=18，那么【a+2】－b=18+【】。

2、如果a －b=18，那么【a －2】－b=18－【】。

【B 1】两个数相加，一个加数减少10，另一个加数增加10，和是否会起变化？【试一试】被减数【a 】减数【b 】差【c 】 ±m 不变 ±m 不变 ±m m ±m±m不变＋＋1、两个数相加，一个加数增加15，另一个加数减少15，和是否会起变化？2、两个数相加，一个加数增加6，另一个加数也增加6，和是否会起变化？】两个数相加，如果一个加数减少8，要使和增加8，另一个加数应有什么变化？【B2【试一试】1、两个数相加，如果一个加数增加9，要使和增加17，另一个加数应有什么变化？2、两个数相加，如果一个加数增加11，要使和减少11，另一个加数应有什么变化？【B】两数相减，如果被减数减少2，减数也减少2，差是否会起变化？3【试一试】【1】两数相减，如果被减数增加30，减数也增加30，差是否会起变化？【2】两数相减，如果被减数增加23，减数减少23，差是否会起变化？【A】两数相减，如果被减数增加20，要使差减少16，减数应有什么变化？1【试一试】【1】两数相减，被减数减少12，要使差增加8，减数应有什么变化？【2】两数相减，被减数减少36，要使差减少40，减数应有什么变化？】被减数、减数、差相加得2076，差是减数的一半。