《初等数论》期期末复习资料

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初等数论期末复习提纲模板

2012 2013 学年第一学期《教育科研导引n》期末复习提纲10 初教）、多项选择、简答题、论述题四、计算题章教育行动研究法一、教育行动研究法概述教育行动研究是目前国际上流行的一种教师研究和教师校本培训模式。

1.实践性2.参与性3.民主性4.尝试性二、教育行动研究的意义1.消除学校的科研泡沫和教科研的“两张皮”现象，增加学校教科研的实效性。

2.增强教师的专业素质和敬业精神。

3.行动研究使学校教师能够将理论、经验和实际问题的解决有机地结合起来，真正实现“科研兴校”。

4.增强学校和教师的服务意识，提升学校和教师的竞争力。

5.行动研究是一种校本培训的方式，使学校的在职培训结构更加完整。

三、行动研究的一般程序（一）问题的提出（二）问题的归因（三）措施与行动（四）评估与反思四、行动研究的适用范围和可行性（一）行动研究一般地适用于下列研究范围1.在教学过程中将新的改革措施引入固有的体系中，使之得到创新；2. 作为职业训练的手段，提供新的技术和方法，提高教师的职业分析能力和自我意识；3. 在特殊情况下，对已确诊的问题加以补救，或使环境因素得到改善；4. 对课程进行中、小规模的研究与改革。

（二）行动研究的优点和局限1. 行动研究法的优点主要表现为：（1）（2）（3）五、（一）有效教学与教学行动研究2. 行动研究对有效教学的改善（1）利用率。

通过教师教学行动的边际优化，提高教师与学生学习时间的利用率。

改善教育情境，提高教学方法与便宜，发挥教师的教学潜能。

探索适合特定学生的学习方法与学习指导策略 , 提高学生学习潜能使用度。

、研究数据、资料的整理和统计图表一）数据检查、分类和整理1. 数据审核（1）数据审核指两个方面的内容：研究的总体和个体。

（2）质量审核的方法有两种：计量审核和逻辑审核。

2. 数据的类型 1）数据分类的含义数据的分类，也称统计分类或统计归组，指根据研究的目标、任务，运用统计方法，将收集的研究材料按照研究对象的不同特点，进行归类分组、整理筛选，并记录数据形式的过程。

初等数论总复习题及知识点总结

初等数论总复习题及知识点总结最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。

数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。

初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法最大公因数和辗转相除法整除的进一步性质和最小公倍数素数、算术基本定理[x]和{x}的性质及其在数论中的应用习题要求：2，3 ；：4 ；：1；：1，2，5；：1。

第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程多元一次不定方程勾股数费尔马大定理。

习题要求：1，2，4；：2，3。

第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质剩余类和完全剩余系欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用习题要求：2，6；：1；：2，3；1，2。

第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念孙子定理高次同余方程的解数和解法素数模的同余方程威尔逊定理。

习题要求：1；：1，2；：1，2。

第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时二次同余式单素数的平方剩余与平方非剩余勒让德符号二次互反律雅可比符号、素数模同余方程的解法习题要求：2；：1，2，3；：1，2；：2；：1。

第一章：原根与指标（2学时）自学8学时指数的定义及基本性质原根存在的条件指标及n次乘余模2及合数模指标组、特征函数习题要求：3。

第一章整除一、主要内容整除的定义、带余除法定理、余数、最大公因数、最小公倍数、辗转相除法、互素、两两互素、素数、合数、算术基本定理、Eratosthesen筛法、[x]和{x}的性质、n！的标准分解式。

二、基本要求通过本章的学习，能了解引进整除概念的意义，熟练掌握整除整除的定义以及它的基本性质，并能应用这些性质，了解解决整除问题的若干方法，熟练掌握本章中二个著名的定理：带余除法定理和算术基本定理。

初等数论总复习

初等数论学习总结本课程只介绍初等数论的的基本内容。

由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系，因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师范院校)的本科生来说，是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的．一方面通过这些内容可加深对数的性质的了解，更深入地理解某些他邻近学科，另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训练，这些训练在很多方面都是有益的．正因为如此，许多高等院校，特别是高等师范院校，都开设了数论课程。

最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。

初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法最大公因数和辗转相除法整除的进一步性质和最小公倍数素数、算术基本定理[x]和{x}的性质及其在数论中的应用习题要求3p ：2，3 ； 8p ：4 ；12p ：1；17p ：1，2，5；20p ：1。

第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程c by ax =+多元一次不定方程c x a x a x a n n =++ 2211勾股数费尔马大定理。

习题要求29p ：1，2，4；31p ：2，3。

第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质剩余类和完全剩余系欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用习题要求43p ：2，6；46p ：1；49p ：2，3；53p 1，2。

第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念孙子定理高次同余方程的解数和解法素数模的同余方程威尔逊定理。

习题要求60p ：1；64p ：1，2；69p ：1，2。

福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案

福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案复习题及参考答案一一、填空(40%)1 、求所有正约数的与等于15的最小正数为考核知识点：约数，参见P14-19 2、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则121181,81,,81b b b +++也是模11的剩余系.考核知识点：完全剩余系，参见P54-573．模13的互素剩余系为考核知识点：互素剩余系，参见P584.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为考核知识点：倍数，参见P11-13 5、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者考核知识点：整除，参见P1-4 6、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的 .考核知识点：最小公倍数，参见P11-13 7、如果b a ,是两个正整数,则存在整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.考核知识点：整除，参见P1-4 8、如果n 3，n 5，则15（）n . 考核知识点：整除，参见P1-4二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。

考核知识点：整除的性质，参见P9-12 提示：i)若则ii)若则iii)若则又三、(10%)假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2103或a a (mod )+≡203考核知识点：二次同余式，参见P88提示:要证明原式成立，只须证明231a a ++，或者23a a +成立即可。

四、（10％）设p 是不小于5的素数，试证明21(mod24)p ≡ 考核知识点：同余的性质，参见P48-52 提示：且是不小于5的素数．又且是不小于5的素数．只能是奇数且即即五、(15%)解同余式组 51(mod7)142(mod8)x x ≡⎧⎨≡⎩考核知识点：同余式，参见P74-75 提示∵ (14，8)=2 且 2 | 2 ∴ 14x ≡2(mod8) 有且仅有二个解解7x ≡1(mod4) ⇒ x ≡3 (mod4) ∴ 6x ≡10(mod8)的解为 x ≡3，3+4(mod8) 原同余式组等价于()()3mod 73mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 或()()3mod 77mod8x x ≡⎧⎪⎨≡⎪⎩ 分别解出两个解即可。

《初等数论》复习资料

《初等数论》考试复习资料一、叙述题1.完全剩余系2.二次反转定律3.雅可比符号4.费马小定理5.平方非剩余6.欧拉定理二、计算和证明题1.已知正整数a=35,b=21,求(a,b),并将其表成a,b 的线性组合。

2.求同余式)32(m od 172≡x 的解. 3.求同余式组1(mod 4)2(mod5)3(mod 7)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩的解。

4.已知正整数,a b 满足(,)7,[,]105a b a b ==，求,.a b5.求不定方程9125200.x y z +-=的通解.6.证明： 176212535|(17631254).-7.若今天是星期天，证明：再过101010天是星期四。

参考答案一、叙述题1.完全剩余系从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系2.二次反转定律设a,b是两个非零整数，我们定义雅克比符号括号下a除b，若存在整数x，使得x的平方恒等于a，那么就记括号下a除b等于1；否则就记括号下a除b等于负13.雅可比符号4.费马小定理费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况：假如n和a的最大公约数是1的话，那么a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod在这里φ(n)是欧拉商数。

欧拉商数的值是所有小于n的自然数中与n没有公约数的数的量。

假如n是一个质数，则φ(n) = n-1，即费马小定理。

5.平方非剩余设x为任意正整数，若p为4k+1型素数，且g是素数p的最小原根，设g^(2n-1) mod p = r（1<=n<=(p-1)/2）,则y^2=p*x+r 与y^2=p*x -r 都无整数解。

设x为任意正整数，若p为4k-1型素数，且g是素数p的最小原根，设g^(2n-1) mod p = r（1<=n<=(p-1)/2）则y^2=p*x+r 都无整数解，但y^2=p*x -r 都有整数解。

6.欧拉定理二、计算和证明题1.已知正整数a=35,b=21,求(a,b),并将其表成a,b 的线性组合。

初等数论期末练习

初等数论期末练习一、单项选择题2、如果（a,b） = l9则（ab,a + b）=（）・A aB bC 1D a + b3、小于30的素数的个数（）•A 10B 9C 8D 74、如果a = /?（mod 〃?），c是任意整数，则A ac =B a = bC ac T bc（modm）D a * b5、不定方程525x+231y = 210 （）.A有解B无解C有正数解D有负数解6、整数5874192能被（）整除.A 3 B3 与9 C 9 D3 或98、公因数是最大公因数的（）.A因数E倍数C相等D不确定9、大于20且小于40的素数有（）•A4个E5个C2个D3个11、因为（）,所以不定方程12v+15>- = 7没有解.A [12, 15]不整除7B （12, 15）不整除7C 7不整除（12, 15 ）D 7不整除[12, 15]二、填空题1、有理数纟，0YdYb,（m）= l,能写成循环小数的条件是（）・b2、同余式1力+15三0（mod45）有解，而且解的个数为（）.3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为（）.4、设“是一正整数，Euler函数久“）表示所有（）“，而且与“（）的正整数的个数.5、设a,b 整数，则（a,b）（）= ab.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、x = [x] +（）.8、同余式llLv = 75（mod321）有解，而且解的个数（）.9、在176与545之间有（）是17的倍数.10、如果肋A0,则[d,b]（d,b）=（）.11、a,b的最小公倍数是它们公倍数的（）.12、如果（a,b） = l,那么（ab,a+b）=（）.三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程107A-+37J =25. （8分）$429、3、求—L其中563是素数•（8分）4、解同余式lllx三75(mod321)・(8分)5、求[525,231]=?6、求解不定方程6.v-lly = 18.7、判断同余式A2 =365(modl847)是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个〃位数①“一…你①与其按逆字码排列得到的数勺①…的差必是9的倍数.(11分)2、证明当〃是奇数时，有3怦+1)・(10分)3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘枳，仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积，也是一个两个平方数和的数.(11分)4、如果整数“的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果("是两个整数上A0,则存在唯一的整数对如•，使得a = bq+r^中0"Yd《初等数论》期末练习答案一、单项选择题2、C3、A4、A5、A6、E 8、A 9、A 11、B二、填空题1、有理数纟，0YdYb,(m)= l,能写成循环小数的条件是((M0) = l )・b2、同余式1S+15三0(mod45)有解，而且解的个数为(3 ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为(41 ).4、设〃是一正整数，Euler函数处“)表示所有(不大于"，而且与“(互素)的正整数的个数.5、设整数,则(a,b) ( [a,b] ) = ab.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的(十进位)数码的和能被3整除.7、X =[A]+({x} ).8、同余式llLz75(mod321)有解,而且解的个数(3 ).9、在176与545之间有(12 )是17的倍数.10、如果ab >■ 0,则[«,/?](«, b) =( ab ).11、a,b的最小公倍数是它们公倍数的(因数).12、如果(a,b) = l,那么(",a + b)=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?解：因为(24871,3468) =17所以[24871,3468]= 24871x3468 17=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

《初等数论》期期末复习资料

《初等数论》期期末复习资料一、单项选择题1、如果n 2，n 15，则30（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定 2、大于10且小于30的素数有（）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 3、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,4 4、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 95、不定方程210231525=+y x （）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 6、求525与231的最大公因子（） A 、63 B 、21 C 、42 D 、12 7、同余式)593(m od 4382≡x （）.A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解 8、不定方程210231525=+y x （）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 9、公因数是最大公因数的（）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 10、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 911、求525与231的最大公因子（） A 、63 B 、21 C 、42 D 、12 12、同余式)593(m od 4382≡x （）.A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解13、不定方程210231525=+y x （）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 14、公因数是最大公因数的（）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 15、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 16、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定 17、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ Bb a =C ac T )(m od m bcD b a ≠19、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠20、=),0(b （）. A b Bb -C bD 021、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）. A a BbC 1D b a +22、小于30的素数的个数（）. A 10 B 9 C 8 D 7 三、计算题1、求50!中2的最高次幂.2、令 =-1859， =1573，求( )=?3、求525与231的最大公因子?4、解同余式)321(m od 75111≡x .5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116=-y x .7、解不定方程525x+231y=42.8、求7x+4y=100的一切整数解. 9、求-15x+25y=-100的一切整数解. 10、求9x+24y-5z=1000的一切整数解。

初等数论期末复习

2015年5月8日9时1分
性质(9)
若 a ≡b (mod m1), a ≡b (mod m2), m=[ m1, m2 ], 则 a ≡ b (mod m) .
性质(10) 设d ≥1， d | m，若a ≡b (mod m) ，
则 a ≡ b (mod d ) .
性质(11) 若a ≡b (mod m)，则 (a，m) = (b，m).
则一次同余方程ax ≡ b ( mod m )恰有一个解 .
一次同余方程有解的判定
定理3.1.3 设m为正整数， a, b是整数， (a, m)=d，则同
余方程 ax≡b (mod m) 有解的充分必要条件为 d | b.
定理3. 1. 4 设m为正整数, a为整数, (a, m)=d，
d | b，则同余方程 ax ≡ b (mod m) 恰有 d 个解．
变形(1)：加上或减去模的倍数，推广的加减变形，
即 a≡b+mk (mod m); 变形(2)：移项变形，由 a≡b+c(mod m) 可得 a－c≡b(mod m); 变形(3)：约去同余式两端的公约数，约简变形，
2015年5月8日9时1分
简化剩余系的充要条件
定理2.2 7 整数集合 {a1 , a2 , , a ( m) }为模m的简化剩余系的充要条件是： ( i ) (ai, m) =1 ( 1≤i ≤ϕ (m) ); ( ii ) 各数关于模m两两不同余．
2015年5月8日9时1分
定理 2.2.8 若( a，m ) = 1 , x 通过模 m 的简化剩余系，则 ax 也通过模 m 的简化剩余系。
2015年5月8日9时1分
பைடு நூலகம்
利用同余解答整除问题

0初等数论复习题题库及答案.doc

《初等数论》本科一、填空题（每空2 分）1.写出 30 以内的所有素数 2， 3， 5， 7，11，13， 17，19，23， 29.2.设 a,b 是任意两个不为零的整数a b1., 则(,)(a,b) ( a, b)3.若 a,b 是非零整数，则 a 与 b 互素的充要条件是存在整数 x, y ，使 ax by 14.写出 180 的标准分解式是 180= 22 32 5 ，其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18 个 .5. a b, 则在 1,2,L , a b整除的整数恰有 [ ] 个.设与是正整数中能被 ab6.设 a,b 是非零整数， c 是整数，方程 axby c 有整数解 ( x, y )的充要条件是 ( a, b) | c7.若整数集合 A 是模 m 的完全剩余系，则 A 中含有 m 个整数 .8. (3)= 2; (4)= 2.9.当 p 素数时， (1) ( p) p 1 ;(2)( p k ) p k p k 1 .10.设 m 是正整数 ,( a, m) 1,则 a ( m) 1 0 (mod m).11.设 p 是素数 , 则对于任意的整数 a,有 a p a 0 (mod p).12.已知 2x 3 5(mod7) ，则 x 1 (mod7) .13.同余方程 x 2 2(mod 7) 的解是± 3(mod7).14.同余方程 3x 210 x 12 0(mod 9) 的解是 X=6+9t( t ∈ Z).p -115.若 (n, p) 1， n 是模 p 的二次剩余的充要条件是n 2 1(mod p). .p-116.若 (n, p) 1， n 是模 p 的二次非剩余的充要条件是n 21(mod p). .( 3)=( 4)= 1.17.5 － 1;518.设 p 是奇素数 ,则 ( 2) p21( 1) 8 . .p1 -1p -1) (-1) 2. .19.设 p 是奇素数 ,则 ( )1; (pp20.( 5)= 1;(2)= － 1.945二、判断题。

初等数论知识点总结

初等数论知识点总结初等数论是数论中的一个分支，它主要研究自然数的整除性质以及其它基本性质。

初等数论主要包括素数与合数、整数表示、整数方程、模运算、同余方程、数乘次幂循环节等内容。

下面将对初等数论的关键知识点进行总结。

1.素数与合数：素数（质数）是只能被1和自身整除的自然数，合数是除了1和自身以外还能被其它数整除的自然数。

质数有无穷多个，这个结论由欧几里得证明。

常见的质数有2、3、5、7等。

2.素因子分解：任何一个自然数都可以唯一分解成若干个素数的乘积形式，这个分解过程称为素因子分解。

例如，24可以分解为2^3*3，其中2和3是24的素因子。

3.最大公约数与最小公倍数：最大公约数（GCD）是指两个或多个数中最大的能够整除所有这些数的自然数，最小公倍数（LCM）是指两个或多个数中最小的能够被这些数整除的自然数。

GCD可以通过欧几里得算法进行计算，而LCM可以通过两个数的乘积除以它们的GCD得到。

4.模运算与同余方程：模运算是将一个数除以另一个数所得到的余数，同余方程是指具有相同余数的整数关系。

例如，如果a除以n与b除以n得到相同的余数，即a≡b (mod n)，则称a与b在模n下是同余的。

5.素数定理与欧拉定理：素数定理是指当自然数x趋于无穷大时，小于等于x的素数的数量约等于x / ln(x)，其中ln(x)是自然对数。

欧拉定理是指当正整数a与自然数n互质时，a^(φ(n)) ≡ 1 (mod n)，其中φ(n)是小于n且与n互质的自然数的个数。

6.立方与四方数：立方数是指一个数的立方，四方数是指一个数可以表示为四个整数的平方和。

高斯数学说是指四方数的性质，它由高斯证明，表示为四个整数的平方和的非负整数解的个数等于该数的除以8的余数。

7.费马小定理与小费马定理：费马小定理是费马定理的一个特殊情况，它表明如果p是一个素数，a是一个与p互质的整数，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

小费马定理是费马小定理的推广，它表明如果a是一个整数，m是一个大于1的自然数，且a与m互质，那么a^φ(m) ≡ 1 (mod m)，其中φ(m)是小于m且与m 互质的自然数的个数。

初等数论期末复习

数论教案§1整数的整除带余除法1 整数的整除设a,b 是整数,且b ≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b 整除a,记为b|a,也称b 是a 的因数,a 是b 的倍数. 如果没有整数q,使得a=bq,则称b 不能整除a,记为b ∤a.例如 2|4, 4|-12, -5|15; 2∤3， -3∤22. 在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负. 判断是否b|a ？当a,b 的数值较大时,可借助计算器判别.如果b 除a 的商数是整数,说明b|a;如果b 除a 的商不是整数,说明b ∤a.例1判断下列各题是否b|a ？(1) 7|127? (2) 11|129? (3) 46|9529? (4) 29|5939? 整除的简单性质(1)如果c|b,b|a,那么c|a;(2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb. (3)如果12,,,n a a a L 都是m 的倍数,12,,,n q q q L 是任意整数,那么1122n n q a q a q a +++L 是m 的倍数.(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab 。

例如： 2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6). 2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6). 例2证明任意2个连续整数的乘积,一定可被2整除. 练习证明任意3个连续整数的乘积,一定可被3整除. 2.带余除法设a,b 是整数,且b>0,那么有唯一一对整数q,r 使得 a=bq+r,0≤r ＜ b . (1) 这里q 称为b 除a 的商,r 称为b 除a 的余数.例如-5=3×(-2)+1 5=3×1+2 -5=(-3)×2+1 5=(-3)×(-1)+2 15=(-5)×(-3), -24=(-2)×12. 事实上,以b 除a 的余数也可以是负的.例如 -5=3×(-1)-2=3×(-2)+1.求b 除a 的余数,也称为模运算(取余):mod.可用计算器进行.具体操作:输入a-按mod(取余)键-输入b-按=键得出余数.如果b 除a 的余数=0,则b|a;如果b 除a 的余数≠0,则b ∤a.例3 利用计算器求余数:(1) 7除127;(2)11除-129 ;(3)46除-9529;(4)-29除5939 奇数、偶数及性质能被2整除的整数称为偶数.如,0,4,10,-6,-8都是偶数. 不能被2整除的整数称为奇数.如,-5,-3,1,7,11都是奇数. 偶数的形式为2n(n 是整数);奇数的形式为2n-1(n 是整数).奇数、偶数的性质: 偶数±偶数=偶数,奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数.例如 2+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5设a,b 是任意两个整数,则a+b 与a-b 同奇同偶. 例如3+5,3-5,6+3,6-3,例4设a,b,n 是任意3个整数,而且222a b n -=,证明n 是偶数. 例5设a 是任一奇数,试证明8|21a -. 例6设n 是正整数,证明形如3n-1整数不是完全平方数.证明对任意整a,设a=3q 或a=3q ±1,于是2a=92q或 2a =92q ±6q+1=3(32q ±2q)+1.即2a ≠3n-1,故3n-1不是完全平方数.练习设n 是正整数,证明形如4n-1、4n+2的整数都不是完全平方数. 习题:P3-4:1t,2t.§2公因数、最大公因数 1.最大公因数、辗转相除法中小学里的公因数、最大公因数的概念：几个数的公有因数叫做这几个数的公因数.公因数中最大的整数称为这几个数的最大公因数. (1)几个数:不能确定;(2)因数、公因数:都是正整数; 最大公因数:没有专门的符号. 定义设12,,,n a a a L ,d 都是整数,d ≠0,如果i d a ,i=1,2,…,n,称d 是12,,,n a a a L 的公因数,12,,,n a a a L 的公因数中最大的整数称为最大公因数.记为12(,,,)n a a a L .如果12(,,,)n a a a L =1,则称12,,,n a a a L 互质。

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第一章考点1、会求最大公因数与最小公倍数解法：最大公因数用辗转相除法最小公倍数为两个数的乘积除以两者的最大公约数，所以也是要先求出两者的最大公约数2、判别一个数是为质数还是合数判别法：用小于√x的所有质数除此数，看能否被整除3、证明整除（最好用同余证）例1证：73|8n+2+92n+1（n∈N）解：法一 8n+2+92n+1=64×8n+9×81n=64×8n+9×（73+8）n=64×8n+9×（C0n73n+C1n73n-1×8+…+C n n8n）=64×8n+9(73q+8n)( q∈Z)=73×8n+9q×73所以73|8n+2+92n+1法二 8n+2+92n+1≡64×8n+9×81n≡64×8n+9×8n≡73×8n≡0（mod73）所以73|8n+2+92n+1例2已知17|2x+3y,证明17|9x+5y解：因为9x+5y=17（x+y）- 4(2x+3y) 且17|2x+3y所以17|9x+5y例3设k为正奇数，证：1+2+3+....+9|1k+2k+3k+ (9)证：记S=1k+2k+3k+ (9)则2S=（1k+9k）+（2k+8k）+…+（9k+1k）=（1+9）q1 （q1∈Z)所以10|2S又因为2S=（0k+9k）+（1k+8k）+…+(9k+0k)=（0+9）q2（q2∈Z）所以9|2S又因为（9,10）=1所以90|2S 即45|S从而1+2+3+....+9|1k+2k+3k+ (9)4、证明某种类型的质数有无穷多个例：证明4n+1形的质数的个数为无穷。

（最后一节课讲的）第三章同余考点：1、同余的性质；（应用在同余解题中）P482、简化剩余系和欧拉函数；（求简化剩余系的个数）P583、欧拉定理和费马定理对循环小数的应用；（利用欧拉定理解题；判断是纯循环还是混循环，若是混循环，从第几位开始）P61具体分析：一、同余的性质1、a≡a (mod m)2、若a≡b (mod m),则b≡a (mod m)3、若a≡b (mod m) b≡c (mod m) 则 a≡c (mod m)4、i.若a1≡b1 (mod m) a2≡b2 (mod m) 则 a1+a2≡b1+b2 (mod m)ii. a+b≡c (mod m) 则 a≡c-b (mod m)5、a1≡b1 (mod m) a2≡b2 (mod m) 则 a1a2≡b1b2 (mod m)特别的，若a≡b (mod m) 则 ak≡bk (mod m)6、若a≡b (mod m) 且a=a1d b=b1d (d,m)=1 则 a1≡b1 (modm)7、i.若a≡b (mod m) k>0 则 ak≡bk （mod mk）ii.若a≡b (mod m) d为a,b及m的任一正公因数，则a/d≡b/d (mod m/d)8、若a≡b (mod m) i=1、2…k 则a≡b(mod m1m2…m k)例：一个小于4000的四位数，被3、4、5、7、9除皆余2，求这个数。

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2015年5月8日9时1分
二、剩余类与剩余系
定理2.2.1 设m为正整数，则全部整数可分成m个集合,记作[0]，[1]，…，[m－1]，其中[r] (0 ≤ r ≤m－1)是由一切形如 mq + r (q∈Z) 的整数所组成的，并且具有下列性质： (1)每一整数必包含在而且仅在上述的一个集合中.
(2) x3 + 2x－12≡0 (mod7)． 0, 1, …, 6逐一代入(2) 求解
定义: 如果 a , b 都是整数， m 是一个正整数，那么当 a ≡ 0 ( mod m）时，我们把 ax ≡ b ( mod m ) 叫做模m的一次同余方程（或同余式） . 定理 3.1.1 若设m为正整数, a , b为整数, (a，m)=1，
一次同余方程有解的解法一、欧拉定理法解一次同余方程
定理 3.1.2 若 m 为正整数, a , b为整数, (a， m)=1，则一次同余方程ax ≡ b ( mod m )的唯 m 1 一解为 x ba mod m .
二．同余变形法（系数消去法）
根据同余性质，施行适当的变形求解a≡b(modm):
第二章
同余
一、同余的概念及基本性质
1、同余的概念:
定义2. 1
设m为正整数，称为模。若用m去除两个整数 a 和 b 所得的余数相同，则称a 和b 对模 m 同余, 记作 a ≡b (mod m). （ 1）读作a 同余于b 模m。若a 和b 除以m 所得余数不同，则称a， b 对模m 不同余，记作 a b (mod m).
2015年5月8日9时1分
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弃九法
正整数四则运算(含乘方) 的快速验算方法
若通过计算，a、b的和与积分别是s与p. 而r1、r2、

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2020年10月22日4时30分
利用同余解答整除问题
数 a 能被 m 整除等价于a ≡0 (mod m).
例1 求7406写成十进制数时的个位数。 72 ≡49 ≡－ 1(mod 10), (72 )203 ≡－1 ≡9 (mod 10),
或 74 ≡ 1(mod 10), 7406 ≡ 7404 ·72≡9 (mod 10).
有两个数对模 m 同余。（2）存在 m 个数两两对模m不同余。
完全剩余系
定义2. 3 设 m 为正整数，则从模 m 的每个剩余类中各取一个数所作成的集合，称为模 m 的一个完全剩余系.
2020年10月22日4时30分
定理2.2.3 设m 为正整数，整数集合{ a1, a2 , … , am}是模 m 的完全剩余系的充分必
要条件是：ai aj (mod m) ( i≠ j ).
定理2.2.4 若 a1, a2，…, am 是模m的完全剩余系，且(a, m) =1, b 为任意整数，则 aa1 +b, aa2 +b, …,
aam +b 也是模 m 的一个完全剩余系。
2020年10月22日4时30分
注：最常见的完全剩余系是0,1, , m 1,它们称为模m的非负最小完全剩余系.
2020年10月22日4时30分
三、欧拉函数和简化剩余系定义 2.4
设 m 是正整数，用ϕ (m)表示不大于 m 且与 m 互质的自然数的个数．称 ϕ (m)为欧拉函数．
m 1 时，1 (m) m 1. m为质数当且仅当 (m) m 1.
E
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性质(6)
性质(7)
若a =a1d, b =b1d, (m, d) =1, a ≡b (mod m)，则 a1 ≡ b1 (mod m) .

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10 级数学与应用数学专业《初等数论》复习一、填空题（每题3分，共60分）1. 试写出8除以（—5）的商、余数、表达式2. 最小的合数是3. n 是整数，则),0(n =4. c b a ,,是任意三个非0整数，q 是整数，c bq a +=，则),(),(c b b a 与的关系是 5. 今天是星期一，过101010天是星期6. b a ,是不全为0的整数，则)),(,),((b a b b a a ＝ 7. b a ,是整数，则)(],[b a b a ，⋅＝8. 两整数b a ,互质的充要条件是存在两个整数t s ,，使得9. 任意大于1的整数a ，其标准分解式为10. 费马数形如11. ]23[-＝12. 50以内的质数是13. )(mod m b a ≡充分必要条件是m 是的因数。

14. 1),(,)(mod 11=≡m d m d b d a ，则m b a ,,11的关系是15. =a 8793267与13的关系是16. 模10的一个完全剩余系是17. 模10的一个剩余类是 18. 1x 是模3的简化剩余系，2x 是模4的简化剩余系，则1243x x +关于模12的简化剩余系是19. 最简真分数a b 是混循环小数的条件是 20. p 是素数，则)(p ϕ＝二、计算题（每题6分，共30分）21. 求20！的标准分解式；22. 求535625的标准分解式；23. 求(50)φ三、应用题（10分）1. （中国古代问题）二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数。

2. 解同余方程 433157961910(mod 225)x x x +++≡3. 证明：（1）整数b 分别除2310,10,10,,10,n ，必有相同的余数；（2）若(10,)1b =，则a b 是纯循环小数。

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题目：一、求同余式的解：111x 75(mod321)≡二、求高次同余式的解：)105(m od 0201132≡-+x x 。

三、求高次同余式的解: 27100x x ++≡(mod 13). 四、计算下列勒让德符号的值:105223-⎛⎫⎪⎝⎭, 91563⎛⎫⎪⎝⎭五、计算下列勒让德符号的值：)593438(，)1847365(六、韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人。

求兵数。

七、设 b a ,是两个正整数，证明: b a ,的最大公因子00(,)a b ax by =+,其中00ax by +是形如ax by +(,x y 是任意整数)的整数里的最小正数. 八、证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为p a +2（a > 0是整数，p 为素数）的形式。

九、证明: 若方程 11...0n n n x a x a -+++= (0,i n a > 是整数,1,...,i n =)有有理数解,则此解必为整数.十、证明: 若(,)1a b =，则(,)12a b a b +-=或十一、证明：设N ∈c b a ,,，c 无平方因子，c b a 22，证明：b a 。

十二、设p 是奇素数,1),(=p n , 证明: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≡-p n np 21 (mod p ). 十三、设m > 1，模m 有原根，d 是)(m ϕ的任一个正因数，证明：在模m 的缩系中，恰有)(d ϕ 个指数为d 的整数，并由此推出模m 的缩系中恰有))((m ϕϕ个原根。

十四、设g 是模m 的一个原根，证明：若γ通过模()m ϕ的最小非负完全剩余系, 则g γ通过模m 的一个缩系。

第一题：求同余式的解：111x 75(mod321)≡ 解答：(111,321)3,375=∴同余式有三个解11175321x (m o d )333≡ 即 37x 25(mod107)≡ 4x 75(m o d 10≡ 又x 2775(mod107)99(mod107)≡⨯≡因此同余式的解为x 99,206,313(mod321)≡。

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