《初等数论》期期末复习资料
初等数论复习
定理 下面的等式成立： (ⅰ) [a, 1] = |a|，[a, a] = |a|； (ⅱ) [a, b] = [b, a]； (ⅲ) [a1, a2, , ak] = [|a1|, |a2| , |ak|]； (ⅳ) 若ab，则[a, b] = |b|。
辗转相除法
定义1 下面的一组带余数除法，称为辗转相除法。 设a和b是整数，b 0，依次做带余数除法： a = bq1 r1， 0 < r1 < |b|， b = r1q2 r2， 0 < r2 < r1 ， rk 1 = rkqk + 1 rk + 1，0 < rk + 1 < rk ， (1) rn 2 = rn 1qn rn， 0 < rn < rn-1 ， r n 1 = r nq n + 1 由于b是固定的，而且 |b| > r1 > r2 > ， 所以式(1)中只包含有限个等式。
2.1.2 完全剩余系
定义 给定正整数m，对于每个整数i，0 i m 1，称集合 Ri(m) = { n；n i (mod m)，nZ }。 是模m的一个剩余类。
也可表示为
Mi={i+km|k Z}，i=0,1,2,…,m-1
m＝2时，Z可以分为2类，一类是奇数，一类 是偶数。 m=3时，Z可以分为3类，3k-1,3k,3k+1 m=4时，Z可以分为4类，4k,4k+1,4k+2,4k+3
初等数论总复习题及知识点总结
初等数论总复习题及知识点总结
最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题
的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经
说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相
当于只身来到宝库而空手返回而异。数论有丰富的知识和悠久的
历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅
导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马
大定理的阅读材料。初等数论自学安排第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时整除的定义、带余数除法最大公因数和辗转相除法整除的进一步性质和最小公倍数素数、算术基本定理[x]和{x}的性质及其在数论中的应用习题要求：2，3 ；：4 ；：1；：
1，2，5；：1。第二章：不定方程（4学时）自学12学时二元一次不定方程多元一次不定方程勾股数费尔马大定理。习题要求：1，2，4；：2，3。第三章：同余（4学时）自学12学时同余的定义、性质剩余类和完全剩余系欧拉函数、简化剩余系欧拉定理、
费尔马小定理及在循环小数中的应用习题要求：2，6；：1；：
2，3；1，2。第四章：同余式（方程）（4学时）自学12学时同余方程概念孙子定理高次同余方程的解数和解法素数模的同余方
程威尔逊定理。习题要求：1；：1，2；：1，2。第五章：二次同余式和平方剩余（4学时）自学12学时二次同余式单素数的平方剩余与平方非剩余勒让德符号二次互反律雅可比符号、素数模同
余方程的解法习题要求：2；：1，2，3；：1，2；：2；：1。第一章：原根与指标（2学时）自学8学时指数的定义及基本性质原根存在的条件指标及n次乘余模2及合数模指标组、特征函数习题要求：3。
初等数论期末考试试卷张
初等数论试卷 (B)
一，选择题 （满分 15 分，每题
3 分）
1，下列不正确的是（
）
A 设 m ∈ N ， a , b ∈ Z , 若 a
b(mod m) ，则 b a(mod m) 。 B 设 m ∈ N ， a , b , c ∈ Z , 若 a b c(mod m) , 则 a
c b(mo
d m) .
C
设 m ∈ N
， a 1 ,b 1 , a 2 ,b 2
∈ Z ， , 若 a 1 b 1 (mod m) ， a 2 b 2 (mod m) ， 则
a 1 a 2
b 1b 2 ( m o md) 。
D
设 m ∈ N ， a , b ∈ Z , 若 a 2
b 2 (mod m)
，则 a
b(mod m) 。
2，下列哪一个为模 12 互质的剩余类（
）
A
[2] ，B [5] ，C [6]， D [3] 。
3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ）
A
3
， B
7
， C
1
， D 19 。
20
60 5
100
4，同余方程 x 2 2 0(mod 5) 的解为（
）
A
x 0(mod 5) ， B x 4(mod 5) ， C
x 2(mod 5) ， D 此方程无解。
5，下列哪一个同余方程组无解（
）
x
9(mod 25)
x
4(mod 9)
A
， B
x 7(mod 10) x 1(mod 6)
x
17(mod 25)
x 19(mod14)
C
， D
。
x 2(mod 45) x 26(mod 7)
二，填空题（满分 10 分，每题 2 分）
1，当 m =
时， 32
11(mod m) 和 17 11(mod m) 同时成立。
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案本复习题页码标注所用教材为：
教材名称单价作者版本出版社
初等数论14.20闵嗣鹤，严士健第三版高等教育出版社
复习题及参考答案一
一、填空(40%)
1、求所有正约数的和等于15的最小正数为
考核知识点：约数，参见P14-19
2、若b1,b2,L L,b11是模11的一个完全剩余系，则
8b1+1,8b2+1,L L,8b11+1也是模11的
剩余系.考核知识点：完全剩余系，参见P54-57
3．模13的互素剩余系为
考核知识点：互素剩余系，参见P58
4.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为
考核知识点：倍数，参见P11-13
p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者
5、如果
考核知识点：整除，参见P1-4
a,b的公倍数是它们最小公倍数的.
6、
提示:要证明原式成立，只须证明 3 a + a +1，或者 3 a + a 成立即可。 四、（10％）设 p 是不小于 5 的素数，试证明 p ≡ 1(mod 24)
考核知识点：最小公倍数，参见 P11-13
7、如果 a , b 是两个正整数,则存在 整数
q , r ,使 a = bq + r , 0 ≤ r p b .
考核知识点：整除，参见 P1-4
8、如果 3 n ， 5 n ，则 15（ ） n .
考核知识点：整除，参见 P1-4
二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里 n 是任意整数。 考核知识点：整除的性质，参见 P9-12
提示： i)若 则
ii)若 则
iii)若 则
又
三、(10%)假定 a 是任意整数，求证 a 2
初等数论期末复习资料
初等数论期末复习资料
数论教案
§1整数的整除带余除法
1 整数的整除
设a,b 是整数,且b ≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b 整除a,记为b|a,也称b 是a 的因数,a 是b 的倍数. 如果没有整数q,使得a=bq,则称b 不能整除a,记为b ?a.例如 2|4, 4|-12, -5|15; 2?3， -3?22. 在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负. 判断是否b|a ？当a,b 的数值较大时,可借助计算器判别.
如果b 除a 的商数是整数,说明b|a;如果b 除a 的商不是整数,说明b ?a.
例1判断下列各题是否b|a ？(1) 7|127? (2) 11|129? (3) 46|9529?
(4) 29|5939? 整除的简单性质
(1)如果c|b,b|a,那么c|a;
(2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb.
(3)如果
12,,,n a a a L 都是m 的倍数,12,,,n q q q L 是任意整数,那么
1122n n q a q a q a +++L 是m 的倍数.
(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab 。
例如：2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6). 2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6). 例2证明任意2个连续整数的乘积,一定可被2整除. 练习证明任意3个连续整数的乘积,一定可被3整除.
2.带余除法
设a,b是整数,且b>0,那么有唯一一对整数q,r使得a=bq+r,0≤r ＜b. (1)
初等数论总复习题及知识点总结
初等数论学习总结
本课程只介绍初等数论的的基本内容。由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系，因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师范院校)的本科生来说，是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的．一方面通过这些内容可加深对数的性质的了解，更深入地理解某些他邻近学科，另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训练,这些训练在很多方面都是有益的．正因为如此,许多高等院校，特别是高等师范院校，都开设了数论课程。
最后,给大家提一点数论的学习方法,即一定不能忽略习题的作用,通过做习题来理解数论的方法和技巧,华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异.
数论有丰富的知识和悠久的历史,作为数论的学习者,应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想"和费马大定理的阅读材料。
初等数论自学安排
第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时
整除的定义、带余数除法
最大公因数和辗转相除法
整除的进一步性质和最小公倍数
素数、算术基本定理
［x]和｛x｝的性质及其在数论中的应用
习题要求：2，3 ；：4 ；：1；：1,2，5；：1。
第二章：不定方程（4学时）自学12学时
二元一次不定方程
多元一次不定方程
勾股数
费尔马大定理。
习题要求:1,2,4；:2,3。
第三章：同余(4学时)自学12学时
同余的定义、性质
剩余类和完全剩余系
欧拉函数、简化剩余系
欧拉定理、费尔马小定理及在循环小数中的应用
习题要求：2，6；：1；：2，3； 1，2。
初等数论期末复习
一次同余方程有解的解法 一、欧拉定理法解一次同余方程
定理 3.1.2 若 m 为正整数, a , b为整数, (a， m)=1，则一次同余方程ax ≡ b ( mod m )的唯 m 1 一解为 x ba mod m .
二．同余变形法（系数消去法）
根据同余性质，施行适当的变形求解a≡b(modm):
2015年5月8日9时1分
三、 欧拉函数和简化剩余系
定义 2.4
设 m 是正整数，用ϕ (m)表示不大于 m 且
与 m 互质的自然数的个数．称 ϕ (m)为欧 拉函数．
时， m 1 1 (m) m 1. m为质数当且仅当 (m) m 1.
2015年5月8日9时1分
p p 1;
p p p 1
例 4 计算ϕ (588000) 解：因 588000＝25 · 3· 53 · 7，故由公式 可得
ϕ (588000) ＝(25 －24) (3－1) (53－ 52) (72 － 7)=19200.
2015年5月8日9时1分
例如同余方程 x3 + 2x－12≡0 (mod5)．
n n1 若 f ( x) an x an1x
定义3.2 如果整数 a 满足 f (a)≡0 (mod m) , 那么我们
把 x ≡ a ( mod m）叫做同余方程 (1)的一个解.
《初等数论》期末模拟试题
《初等数论》模拟练习题及参考答案
1、（15分）若00ax by +是形如ax by +（,x y 是任意整数，,a b 是两个不全为零的整数）的数中的最小正数，则()()00ax by ax by ++，其中,x y 是任何整数 证明：由题意可知，,a b 不全为0，
从而在整数集合{}|,S ax by x y Z =+∈中存在正整数， 因而有形如ax by +的最小整数00ax by +，
,x y Z ∀∈，由带余数除法有 0000(),0ax by ax by q r r ax by +=++≤<+,
则00()()r x x q a y y q b S =-+-∈，
由00ax by +是S 中的最小整数知0r =，故00|ax by ax by ++
由于,x y 为任意整数，则可知0000|,|ax by a ax by b ++ 从而有00|(,).ax by a b +又有(,)|a b a ，(,)|a b b
得证00(,)|a b ax by +，故00(,)ax by a b +=.
2、（10分）若(mod )a b c m +≡，求证(mod )a c b m ≡- 证明：由同余可加性，且(mod )a b c m +≡，从而得
()()()(mod )c b c b a b b a m -≡+-≡++-≡，得证.
3、（10分）求1525100x y +=的一切整数解.
解：(15,25)5=,而5100，故有解，且原方程的解与3520x y +=的解完全相同.
现先解531x y +=.
初等数论复习资料
初等数论
一、计算题
求解不定方程9x +21y =144.
解：因为（9，21）=3，3，所以有解；
化简得3x +7y =48；
考虑3x +7y =1，有x =-2, y =1，
所以原方程的特解为x =-96, y =48，
因此，所求的解是x =-96+7t , y =48-3t , t ∈Z 。
求不定方程x + 2y + 3z = 41的所有正整数解。
解：分别解x + 2y = t
t + 3z = 41
得x = t - 2u
y = u u∈Z，
t = 41 - 3v
z = v v∈Z，
消去t得x = 41 - 3v - 2u
y = u
z = v u，v∈Z。
由此得原方程的全部正整数解为
(x, y, z) = (41 - 3v - 2u, u, v)，u > 0，v > 0，41 - 3v - 2u > 0。求[136,221,391]=?
设n 的十进制表示是z xy 4513，若792∣n ，求x ，y ，z 。
解：因为792 = 8⋅9⋅11，故792∣n ⇔ 8∣n ，9∣n 及11∣n 。
我们有8∣n ⇔ 8∣z 45 ⇒ z = 6，以及
9∣n ⇔ 9∣1 + 3 + x + y + 4 + 5 + z = 19 + x + y ⇔ 9∣x + y + 1， (1) 11∣n ⇔ 11∣z - 5 + 4 - y + x - 3 + 1 = 3 - y + x ⇔ 11∣3 - y + x 。 (2) 由于0 ≤ x, y ≤ 9，所以由式(1)与式(2)分别得出
初等数论期末考试试卷张
初等数论试卷(B)
一，选择题（满分15分，每题3分）
1，下列不正确的是（ ）
A 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(mod m b a ≡ ，则)(mod m a b ≡。
B 设m ∈+N ，a ,b ,c ∈Z ,若)(mod m c b a ≡+,则)(mod m b c a -≡.
C 设m ∈+N ，,,11b a 22,b a ∈Z ，,若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，
则
)(mo d 2121m b b a a ≡。
D 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(m od 2
2m b a ≡ ，则)(mod m b a ≡。
2，下列哪一个为模12互质的剩余类（ ）
A [2]，
B [5]，
C [6]，
D [3]。
3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ）
A 203
，B 607
，C 51，D 10019
。
4，同余方程)5(m od 022≡+x 的解为（ ）
A )5(mod 0≡x ，
B )5(mod 4≡x ，
C )5(mod 2≡x ，
D 此方程无解。
5，下列哪一个同余方程组无解（ ）
A ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)10(mod 7)25(mod 9x x ，
B ⎪⎩⎪⎨⎧≡≡)
6(mod 1)
9
(mod 4x x
C ⎪⎩⎪⎨⎧
≡≡)45(mod 2)25(mod 17x x ，D ⎪⎩⎪⎨⎧
≡≡)
7(mod 26)
14(mod 19x x 。
二，填空题（满分10分，每题2分）
1，当m = 时，)(mod 1132m ≡和)(mod 1117m ≡同时成立。
初等数论期末复习
数论教案
§1整数的整除 带余除法
1 整数的整除
设a,b 是整数,且b ≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b 整除a,记为b|a,也称b 是a 的因数,a 是b 的倍数. 如果没有整数q,使得a=bq,则称b 不能整除a,记为b ∤a.例如 2|4, 4|-12, -5|15; 2∤3， -3∤22. 在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负. 判断是否b|a ？当a,b 的数值较大时,可借助计算器判别.
如果b 除a 的商数是整数,说明b|a;如果b 除a 的商不是整数,说明b ∤a.
例1判断下列各题是否b|a ？(1) 7|127? (2) 11|129? (3) 46|9529? (4) 29|5939? 整除的简单性质
(1)如果c|b,b|a,那么c|a;
(2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb. (3)如果
12,,,n a a a L 都是m 的倍数,12,,,n q q q L 是任意整数,那么
1122n n q a q a q a +++L 是m 的倍数.
(4)如果c|a,d|b,那么cd|ab 。
例如： 2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6). 2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6). 例2证明任意2个连续整数的乘积,一定可被2整除. 练习 证明任意3个连续整数的乘积,一定可被3整除. 2.带余除法
设a,b 是整数,且b>0,那么有唯一一对整数q,r 使得 a=bq+r,0≤r ＜ b . (1) 这里q 称为b 除a 的商,r 称为b 除a 的余数.
初等数论期末复习精选例题1
《初等数论》例题选讲1
一、计算题
1、求24871与3468的最大公因数?
分析：利用辗转相除法，r n 即最大公因数
解：
24871=3468⨯7+595
3468=595⨯5+493
595=493⨯1+102
493=102⨯4+85
102=85⨯1+17
85=17⨯5,
所以,(24871,3468)=17.
2、求[24871,3468]=?
解：因为
（24871,3468）=17
所以[24871,3468]=17
3468
24871⨯=5073684
所以24871与3468的最小公倍数是5073684。
3、求[525,231]=?
解：解：因为
（525,231）=21
所以[525,231]=17
231
525⨯=5775
4、求[136,221,391]=?
分析：如果i a (k i ≤≤1)是k 个整数，则],,[1k a a =k m .先求[136,221]=1768，再求
[1768,391]=40664，即是136,221,391三数的最大公倍数
解：[136,221,391]=[[136,221],391]=[
391,17221136⨯]=[1768,391]=173911768⨯=104⨯391=40664.二、证明题
1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.分析：注意“存在唯一”的含义，即证明存在性、唯一性。
证明：首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即
r q b a '+'=,b r '≤0.
所以r bq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于b r ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立.因此q q '=,r r '=.
初等数论期末复习
m-1 m-1 当m是奇数时, , 1, , 1, 0,1, 2 2 是模m的绝对最小完全剩余系.
m-1 , 2
例3 验证：{－11, －4, 18, 20, 32 }是模 5 的一 个完全剩余系。 证：只要证两两不同余即可, 也就是它们各 属于不同的剩余类. 从而只要证明它们各 与最小非负完全剩余系中的某一个数同余 即可. －11与4, －4与1, 18与3, 20与0, 32与2分 别对模5同余，所以结论成立。
(2) x3 + 2x－12≡0 (mod7)． 0, 1, …, 6逐一代入(2) 求解
定义: 如果 a , b 都是整数， m 是一个正整数，那么 当 a ≡ 0 ( mod m）时，我们把 ax ≡ b ( mod m ) 叫做 模m的一次同余方程（或同余式） . 定理 3.1.1 若设m为正整数, a , b为整数, (a，m)=1，
完全剩余系
定义2. 3 设 m 为正整数，则从模 m 的每个 剩余类中各取一个数所作成的集合，称为 模 m 的一个完全剩余系.
2015年5月8日9时1分
定理2.2.3 设m 为正整数，整数集合{ a1, a2 , … , am}是模 m 的完全剩余系的充分必 要条件是：ai aj (mod m) ( i≠ j ). 定理2.2.4 若 a1, a2，…, am 是模m的完全剩余系， 且(a, m) =1, b 为任意整数，则 aa1 +b, aa2 +b, …, aam +b 也是模 m 的一个完全剩余系。
《初等数论》期末模拟试题
2
∴ a
k
≡ (1 + q2
k+2
k+2 2
k
) = 1 + q2
≡ 1(mod2
k+3
k+3
这说明当n
这说明当n = k + 1时原式成立。
k+2
k+2
2
)⇒a
k+3
k+3
≡ 1(mod2
k
k+2
k+2
= 1 + q2
，其中q
，其中q ∈ Z，
)，其中ｑ是某个整数，
由归纳法知原式对所有正整数ｎ成立。
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《初等数论》模拟练习题及参考答案
1、（15 分）若 ax
正数，则 ax
by0
0
by0
0
是形如 ax by （ x, y 是任意整数，a, b 是两个不全为零的整数）的数中的最小
ax by ，其中 x, y 是任何整数
证明：由题意可知， a , b 不全为 0，
p
2
( p!) (1) 1 0(mod 2 p 1)
即可证明
17、
17、（10 分）证若 Mn 为素数，则 n 一定为素数
证明：若 n 为合数，则设 n ab, (1 a, b n)
初等数论期末复习题
一、填空
1. 若b 是任一正整数，则=),0(b 。
2. 若b 是任一整数，则=),0(b 。
3. [5.7]= {5.7}= [ 5.9]-= { 5.8}-=
4. [1.2]= =}2.1{ [ 1.2]-= =-}2.1{
5. 写出标准分解式
(1)!20= .
(2)30!=
(3)32!= .
6. !20中质因数2的指数是 。在!40的标准分解式中质因数3的指数是 。
7. 同余式(mod )ax b m ≡有解的充要条件是 。
8. 不定方程ax by c +=，其中a,b 都是整数，且都不为零，方程有解的充分必要条件是 。
9. 设模为正整数m ，则整数的同余关系作为等价关系满足的三个基本性质是：
(1) (自反性) ；
(2) (对称性)若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡；
(3) （传递性） 。
10. 写出模7的绝对最小完全剩余系： ，写出模7的最小非负完全剩余系： 模7的一组简化剩余系： .
11. 欧拉函数2(7)ϕ= ， =)10(ϕ ，=)37(ϕ ，
=)120(ϕ 。
12. 求最大公因数 (169, 121)= ，(1859, 1753)= ， (76501, 9719)= ，（48, 72, 108）= 。
13. 求最小公倍数 [21, 35 ]= ，[123, 321]= ，[138, 36]= ，
[125, 725, 1125]= [128, 234, 524]= .
14. 写出82798848的标准分解式 。
15. 写出51480的标准分解式 。
初等数论总复习题及知识点总结
初等数论学习总结
本课程只介绍初等数论的的基本容。由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系， 因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师院校)的本科生来说，是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础容是有益的．一方面通过这些容可加深对数的性质的了解，更深入地理解某些他邻近学科，另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训练，这些训练在很多方面都是有益的．正因为如此，许多高等院校，特别是高等师院校，都开设了数论课程。
最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。
数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。
初等数论自学安排
第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时
整除的定义、带余数除法 最大公因数和辗转相除法 整除的进一步性质和最小公倍数 素数、算术基本定理
[x]和{x}的性质及其在数论中的应用
习题要求3p ：2，3 ； 8p ：4 ；12p ：1；17p ：1，2，5；20p ：1。
第二章：不定方程（4学时）自学12学时
二元一次不定方程c by ax =+
多元一次不定方程c x a x a x a n n =++ 2211 勾股数 费尔马大定理。
习题要求29p ：1，2，4；31p ：2，3。
第三章：同余（4学时）自学12学时
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《初等数论》期期末复习资料
一、单项选择题
1、如果n 2，n 15，则30（ ）n .
A 整除
B 不整除
C 等于
D 不一定 2、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 3、模5的最小非负完全剩余系是( ).
A -2,-1,0,1,2
B -5,-4,-3,-2,-1
C 1,2,3,4,5
D 0,1,2,3,4 4、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 9
5、不定方程210231525=+y x （ ）.
A 有解
B 无解
C 有正数解
D 有负数解 6、 求525与231的最大公因子（ ） A 、63 B 、21 C 、42 D 、12 7、同余式)593(m od 4382≡x （ ）.
A 有解
B 无解
C 无法确定
D 有无限个解 8、不定方程210231525=+y x （ ）.
A 有解
B 无解
C 有正数解
D 有负数解 9、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 10、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 9
11、 求525与231的最大公因子（ ） A 、63 B 、21 C 、42 D 、12 12、同余式)593(m od 4382≡x （ ）.
A 有解
B 无解
C 无法确定
D 有无限个解
13、不定方程210231525=+y x （ ）.
A 有解
B 无解
C 有正数解
D 有负数解 14、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 15、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 16、在整数中正素数的个数（ ）.
A 有1个
B 有限多
C 无限多
D 不一定 17、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B
b a =
C ac T )(m od m bc
D b a ≠
19、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a =
C ac T )(m od m bc
D b a ≠
20、=),0(b （ ）. A b B
b -
C b
D 0
21、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B
b
C 1
D b a +
22、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 三、计算题
1、 求50!中2的最高次幂.
2、令 =-1859， =1573，求( )=?
3、 求525与231的最大公因子?
4、解同余式)321(m od 75111≡x .
5、求[525,231]=?
6、求解不定方程18116=-y x .
7、 解不定方程525x+231y=42.
8、 求7x+4y=100的一切整数解. 9、 求-15x+25y=-100的一切整数解. 10、 求9x+24y-5z=1000的一切整数解。余 11、求24871与3468的最小公倍数?
12、求解不定方程2537107=+y x .
13、求⎪⎭
⎫
⎝⎛563429,其中563是素数.
14、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？
15、求11的平方剩余与平方非剩余.
二、填空题
1、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ).
2、设 ， ， 是整数，则
(ⅰ)如果 是 的倍数， 是 的倍数，则 是 的倍数，即———————————
—————————————
(ⅱ)如果 ， 是 的倍数，则 ————————————————的倍数；
(ⅲ)如果 ， ，则————————————————————
(ⅳ)设 ， 是 的倍数，则
是
的________________。
3、 如果
， 是两个整数， ，则存在唯一的整数对 ，
，使得
___________________
4、设 (
)是 个整数，则
(
)的公因子与
(
)
的___________________。特别地， =
。
5、
的公倍数是它们的最小公倍数_________________的倍数。
6、如果 ，那么[
](
)= _______________________________
7、如果
(
)是 个整数，则______________________________________
8、 设 是任意一个大于1的整数，则 的除1外的最小因数 是素数，并且当 是合数时，有 _______________________________
9、 在整数中素数的个数是_____________________。
10、不定方程
有整数解的充分必要条件是
____________________ 四、证明题
1、设 是任意一个大于1的整数，则 的除1外的最小因数 是素数，并且当
是合数时，有 。
2、 设
，那么
。
3、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.
4、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.