2012智轩概率统计第二基础导学桥--第七章 参数估计(数学3)

()
矩估计量。 矩估计适合未知总体的分布的情形，缺陷是估计值不唯一；如果知道分布的参数形式， 则需要使用最大似然法。
( 3) 方差的估计法
由于 DX = EX 2 - ( EX ) =
2
1 n 2 å Xi - X n i =1
( )
2
=
2ö 1æ n 2 1 n X n X = å i ÷ n å Xi - X nç i =1 è i =1 ø
(
)
2
µ = X, s µ2 = 1 m å Xi - X n i =1
1 -| x - m| e , 2 -¥ < x < +¥
(
)
2
【例 6】设随机变量(某产品指标) X 的密度为 f ( x ) =
其中 m 为未知参数.现从该产品中随机抽取 3 个,测得其该项指标值为 1028，968，1007。
联合分布的密度函数；离散型然函数形式为 L = p P ( xi ;q1 , q 2 ) 为联合分布律。
i =1 n
n
( 2 ) 为方便计算，取对数 LnL = å ln f
i =1
n
( 3) 当偏导存在时，求解方程组
¶LnL =0 ¶q i
ˆ 取代 (i = 1, 2, … , k ) 解出 q i ，然后用 q i
n n
åx
i =1
n
i
=
【例 5】求总体 X ~ N m , s 〖解〗 (1) 矩估计量计算
(
2
) 的矩估计量和最大似然估计量。
X X Þµ p= n n
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1 n 1 n ì ì EX = m = X = X m = X = å å Xi i ï ï n i =1 n i =1 ï ï Þí í n n 2 1 n 2 2 ï EX 2 = m 2 + s 2 = 1 ïs 2 = 1 X X X = å i ï å i å Xi - X ï n i =1 n i =1 n i =1 î î
$=X EX = l = X Þ l or DX = l =
l k e- l ( k = 1, 2,L) k!
1 n å Xi - X n i =1
(
)
2
$= Þl
1 n å Xi - X n i =1
(
)
2
n $= 1 or l å Xi - X n - 1 i =1
(
)
2
= S2
可见，矩估计是不唯一的。
$ 是 g (q ) 极大似然估计量。 $ 是 q 的最大似然估计量，g (q ) 有单值反函数， 设q 则g q
n 1 n 2 µ = 1 ( X - X )2 。 ( X X ) Þ s å i å i n i =1 n i =1 【例 3】设总体 X 分布律为 0 1 X 2 p 2q (1 - q ) q
2
2
(1) 单参数矩估计法
对于单参数，先计算总体一阶原点矩，即 EX ，再用一阶样本原点矩 X =
µ 表示估计量或估计值；当 EX = 0 时，继续求 立等式，即 EX = X ，解得的 m 用符号 m
出总体的 EX 2 ，再用样本二原点矩 X 2 =
1 n å Xi 联 n i =1
( 2 ) 双参数矩估计法
(
)
常用标准分布的点估计结论： 分布
B (1, p ) B ( n, p ) P (l ) E (l ) G ( p)
µ p=X µ p = X /n $=X l
$ = 1/ X l µ p = 1/ X
矩估计
µ p=X µ p = X /n $=X l
$ = 1/ X l µ p = 1/ X
最大似然估计
1 n 2 µ。 X i 联立等式，即 EX 2 = X 2 ，解得 m å n i =1
2
对于两个参数，先计算总体 EX 和 EX ，再用样本一二阶原点矩分别联立等式，列出
1 n ì EX = å Xi ï n i =1 ï 方程组，即 í ，求解参数的估计量或估计值。 n 1 2 2 ï EX = å Xi ï n i =1 î $ 为 g (q ) 的 $ 是 q 的矩估计量， 矩估计量的不变性原理 若 q 且 g ( x ) 为连续函数， 则g q
(
)
µ=X ìm ï Þ í¶ 1 n 2 2 ïs = å X i - X n i =1 î
(
)
2
当然，也可以根据本章前面的方差估计理论直接给出方差的估计量，即
1 n ì m = X = å Xi ï n i =1 ï í n ïs 2 = 1 Xi - X å ï n i =1 î
(
)
2
µ=X ìm ï Þ í¶ 1 n 2 s = å Xi - X ï n i =1 î
()
比如 s =
¶ 2
2
3
q
2
1 - 2q
其中 q Î ( 0,1/ 2 ) 未知，已知总体 X 有样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求 q 的最大似 然估计值。 〖解〗对于给定的 8 个样本值，有 1 个 0，2 个 1，1 个 2，4 个 3，故联合分布函数为
ln L = ln 4 + 6 ln q + 2 ln (1 - q ) + 4 ln (1 - 2q ) Þ
1 n ( X i - X )k å n i =1 前者是使用数学期望来定义的，后者是使用“算术平均值”形式定义的。 矩估计的原则是原点矩同阶估计，即总体的数字特征矩是几阶，就使用几阶的样本矩 形式来估计。考纲范围内只要求掌握一个（单参数，如数学期望 m ）和两个（双参数， Bk =
1 n k å Xi ； n i =1
( I ) 用矩估计法求 m 的估计值； ( II ) 用最大似然估计法求 m 的估计值。
+¥ 1 -| x - m | 1 ò-¥ x × 2 e dx t = x - m ò-¥ (t + m ) × 2 dt +¥ +¥ 1 +¥ 1 = ò t × e-|t| dt + m ò e -|t| dt = m ò e- t dt = m , -¥ -¥ 2 0 2 Ù Ù 1 所以 E ( X ) = m .故矩估计量 m = x .即 m = x = ´ (1028 + 968 + 1007) = 1001 。 3
1
2
3
p
q2
2
q2
1 - 2q
其中 q Î ( 0,1/ 2 ) 未知，总体 X 有样本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求 q 的矩估计值。 〖解〗 EX = 0 ´ q + 1´ 2q (1 - q ) + 2 ´ q + 3 ´ (1 - 2q ) = 3 - 4q
EX = x Þ 3 - 4q =
【例 1】求几何分布 G ( p ) 和泊松分布 P ( l ) 的估计量。
k -1
( k = 1, 2,L)
EX = å kp (1 - p )
k =1
¥
k -1
¢ 1 1 æ ¥ k ö = p ç -å (1 - p ) ÷ = = X Þ µ p= 。 p X è k =1 ø
P (l ) =
( 2 ) 中心矩
如数学期望 m 和方差 s ）未知参数估计的情形。矩估计具有幂增传递性，如 X 是 m 的
2
矩估计，则 X 是 m 的矩估计，反之不正确。用矩法构造未知参数估计量的 3 类定势如 下： 由于随机变量的数字特征都可以使用矩形式表示，故一般先计算数学期望和方差， 再用同阶样本矩形式联立。如果题中给出了样本值，则称为矩估计值；如果题中未给出 样本值，则称为矩估计量。
ì 2 (q - x ) ,0 < x <q ï 【例 2】设总体 X 的密度函数 f ( x, q ) = í q 2 ，求 q 的矩估计。 ï0, other î
〖解〗 EX =
ò
q
2 (q - x )
0
q
2
xdx =
q $ = 3X 。 = X Þq 3
2q (1 - q )
2
【例】设总体 X 分布律为 0 X
3 +1+ 3 + 0 + 3 +1+ 2 + 3 $ = 1 = 0.25 。 = 2 Þq 8 4
1.2 最大似然法 最大似然法的基本思想是： “当用联合分布函数来估计总体参数时，应使得当参数取 一定值时，使所观察到的样本出现的概率最大” 。具体计算定势如下：
f ( xi ;q1 ,q 2 ) ，它为 (1) 写出似然函数 L = L( x; q1 , q 2 ) 。连续型似然函数形式为 L = p i =1
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qi 。 如 果 偏 导 不 存 在 ， 则 使 用 极 大 似 然 法 的 基 本 思 想 讨 论 结 果 ， 也 就 是 使 µ, q µ 处取得最大值。 L = L( x ;q , q ) 在 q
1 2
(
1
2
)
最大似然估计量的不变性原理
对比矩估计，二者是很接近的，但不能确定谁更精确。 【例 4】求总体 X ~ B ( n, p ) ， p 为未知常数，求其最大似然估计量。 〖解〗设 x1 , x2 ,L , xn 为 X 1 , X 2 ,L , X n 的一个样本值，总体 X ~ B ( n, p ) 的联合分布律 为 f ( x, p ) = P { X = x} = Cn p (1 - p )
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