浙教版-数学-七年级上册-6.8余角和补角 同步课件
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浙教版七年级数学上6.8余角与补角课件(共17张PPT)
3. 与位置无关
互为补角的概念
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角 互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另 一个角的补角.
数学表达式
1. ∵∠α+∠β=180°
∴∠α、∠β互补
2. ∵ ∠α、∠β互补
∴ ∠α+∠β=180°
图
三点说明：1.两个角，其中一个角大于或等于直角，
另一个角小于或等于直角.
钝角n( o )
(4) (4)如果一个角的余角和补角都存在，那么这个
角的余角一定比这个角的补角小y.(es )
例1 如图，已知∠AOC =∠BOD =Rt∠.指出
图中还有哪些角相等，并说明理由.
C
解 ∠AOB = ∠COD
D
理由：∵∠AOC = ∠BOD =Rt∠， B
∴∠AOB＋∠BOC ＝ Rt∠，
∠α＝∠β
∠α的余角 = ∠β的余角 ∠α的补角 = ∠β的补角
余角与补角性质：同角或等角的余角相等. 同角或等角的补角相等.
是非题 yes or no ：
(1) 90°的角叫余角( no ) (2) (2)一个角的补角一定是钝角n(o )
(3) (3)两个角互补, 则两个角中一个是锐角, 一个是
2. 和为180° 3. 与位置无关
比一比，看谁填得快
∠α
5° 30°
∠α的余
∠α的补
角
角
85°
175°
60°
150°
42°
48°
138°
55°
35°
125°
26°45′
116°45′
你还63发°现15了′ 什么？ ∠α的补角 = ∠α的余角＋90°
浙教版数学七年级上册6.8《余角和补角》ppt课件
观察上图, ∠ +∠ 与∠AOB相等吗?
你是怎样判断的? 叠合法
度量法
合作 学习 请你再观察下图,∠ +∠与平角∠AOB相 等吗?你是怎样判断的?
A
O
B
互为补角的概念
如果两个角的和是一个平角,就称这两个角 互为补角,简称互补.也可以说其中一个角是 另一个角的补角.
数学表达式:
0
∠α是∠β的补角 ∠β是∠α的补角
1角的大小有关，与两角位置无关， 也无需相邻
做一做
２ ∵ ∠ １＋ ∠ ３＝ ４２°＋ ４８°＝９０ °， ∴ ∠ １与 ∠ ３互余.
１.如图，已经∠ １＝４２°， ∠ ２＝１３８°，∠ ３＝４８° 问图中有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并 说明理由。
如果两个锐角的和是一个直角,就称这两个 角互为余角,简称互余.也可以说其中一个角 是另一个角的余角. ∠α是∠β的余角 数学表达式:
0
∠β是∠α的余角
90 与互余
余
注意：两个角是否互余只跟这两个角的大小 有关，与两角位置无关，不要误以为互余的 两个角必须相邻
A O B
∵ ∠ＡＯＣ＋∠ＢＯＣ＝１８０
∠ＡＯＤ＋∠ＢＯＤ＝１８０ °，
∴ ∠ＡＯＣ与∠ＢＯＣ互补， ∠ＡＯＤ＋∠ＢＯＤ互补．
余角的性质 同角或等角的余角相等
(1)已知∠1与∠2互为余角, ∠1与∠3互为余角, 则∠2与∠3是什么关系? (2)已知∠1与∠2互为余角 , 利用三角尺画出∠ 1的余角
数学表达式: ∵∠1+∠2=90° ∠1+∠3=90° ∴∠2=∠3
注意 ①互余、互补都是指两个角； ②互余、互补只与角度大小有关，与位置无关。
浙教版数学七年级上册6.8 余角和补角课件
(1) 正东, 正南, 正西, 正北
北
射线OA OB OC (2) 西北方向:__射__线__O_E__
OD
E
西
D 45°45°
H 东
西南方向:__射__线__O__F__ 东南方向:__射__线__O__G__ 东北方向:__射__线__O__H__
C
O
A
F
45° G
B
南
【例】如图,轮船O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏
【例】如图，A，O，B在同一直线上,射线OD和射线OE分别
平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？
D
C
解：因为点A，O，B在同一条直线上，
E
所以∠AOC+∠BOC=180°
A
O
B
又因为OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= 1∠AOC+ 1∠BOC
1
2
2
= 2(∠AOC+∠BOC )=90°
东60°的方向上，同时，在它北偏东40°，南偏西10°、
西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B、货
轮C、和海岛D，仿照表示灯塔方位的 北
方法，画出表示客轮B、货轮C和
海岛D方向的射线．
西
东
60°
A
南
【画法】以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，
画40°的角，使它的另一边OB落在东和北之间.
射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.
北
B
40°
西
O
东
60°
A
南
同理可画出货轮C、海岛D方向的射线.
D
北
【浙教版】七年级上册：6.8《余角和补角》ppt课件
【典例1】 如图6.8－1，∠AOD＝∠BOD＝∠COE＝90° . (1)请指出图中互余的角和互补的角(除直 角外)； (2)图中除直角外还有哪些角相等？并说 明理由； (3)若∠COD＝20° ，求∠AOE的度数．
【点拨】 理解．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)本题主要考查对互余、互补及余、补角性质的
(2)同角或等角的余角相等是推理两角相等的常用方法．
(1)本题主要考查将几何问题转化为代数问题进行
【解析】 设这个角为x度，则这个角的余角为(90－x) 度，补角为(180－x)度．由题意，得 180－x＝3(90－x)－20，解得x＝35. 即这个角为35° .
【答案】
35°
【跟踪练习2】 一个角的补角减去20° 后，等于这个角 的余角的2倍，求这个角的度数．
【解析】
(1)互余的角有：∠AOC与∠COD，∠AOC与
∠BOE，∠COD与∠DOE，∠DOE与∠BOE. 互补的角有：∠AOC与∠BOC，∠DOE与∠BOC，∠COD与 ∠AOE，∠BOE与∠AOE.
(2)相等的角还有：∠AOC＝∠DOE，∠COD＝∠BOE. 理由：∵∠AOD＝∠COE＝90° ， ∴∠AOC＋∠COD＝90° ，∠DOE＋∠COD＝90° . ∴∠AOC＝∠DOE(同角的余角相等 )． 同理，∠COD＝∠BOE. (3)∵∠BOE＋∠AOE＝∠BOD＋∠AOD＝180° ，
课前预练
1． 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互 为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个 角的余角．
2． 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为 补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角 的补角．
3． 同角或等角的余角相等．
4． 同角或等角的补角相等．
【点拨】 理解．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)本题主要考查对互余、互补及余、补角性质的
(2)同角或等角的余角相等是推理两角相等的常用方法．
(1)本题主要考查将几何问题转化为代数问题进行
【解析】 设这个角为x度，则这个角的余角为(90－x) 度，补角为(180－x)度．由题意，得 180－x＝3(90－x)－20，解得x＝35. 即这个角为35° .
【答案】
35°
【跟踪练习2】 一个角的补角减去20° 后，等于这个角 的余角的2倍，求这个角的度数．
【解析】
(1)互余的角有：∠AOC与∠COD，∠AOC与
∠BOE，∠COD与∠DOE，∠DOE与∠BOE. 互补的角有：∠AOC与∠BOC，∠DOE与∠BOC，∠COD与 ∠AOE，∠BOE与∠AOE.
(2)相等的角还有：∠AOC＝∠DOE，∠COD＝∠BOE. 理由：∵∠AOD＝∠COE＝90° ， ∴∠AOC＋∠COD＝90° ，∠DOE＋∠COD＝90° . ∴∠AOC＝∠DOE(同角的余角相等 )． 同理，∠COD＝∠BOE. (3)∵∠BOE＋∠AOE＝∠BOD＋∠AOD＝180° ，
课前预练
1． 如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互 为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个 角的余角．
2． 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为 补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角 的补角．
3． 同角或等角的余角相等．
4． 同角或等角的补角相等．
2019年秋浙教版七年级上册数学课件：6.8 余角和补角(共22张PPT)
9
7．如图，∠ACB＝∠CDB＝90°，图中与∠ACD 互余的角有___2_____个． 8．如图，点 A 位于点 O 北偏西___2_5_°___.
9．如果∠1 与∠2 互余，∠3 与∠2 互补，且∠3＝120°，那么∠1＝__3_0_°____.
10
10．一个角的余角比它的12少 30°，请你计算出这个角的大小． 解：设这个角的度数为 x，则它的余角为(90°－x)．由题意，得12x－(90°－x)＝30°， 解得 x＝80°.即这个角的度数是 80°.
• C．α－β＝90° D．α＋β＝180°
8
5．将一副三角板按照如图所示的位置摆放，则下列关于∠α 和∠β 的关系一定 成立的是( C )
A．∠α 与 β 互余
B．∠α 与∠β 互补
C．∠α 与∠β 相等
D．∠α 比∠β 小
6．一个锐角的补角和它的余角的差是( B )
A．锐角
B．直角
C．钝角
D．不能确定
3
• 【典例1】已知∠α＝43°26′18″，则∠α的余角是( ) • A．16°33′42″ B．46°33′42″ • C．17°34′42″ D．47°34′42″ • 分析：根据余角的概念求解.90°－43°26′18″＝46°33′42″. • 答案：B
4
• 知识点2 余角和补角的性质 • (1)同角或等角的余角相等． • (2)同角或等角的补角相等． • 【典例2】因为∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3.理由
21
图2
图3 当点 D 在∠BOC 外时(如图 3)，∠AON＝∠CON－∠AOC＝12∠COD－α＝45°， 故∠COD＝90°＋2α.依题意可得，45°＋90°＋2α＝180°，解得 α＝22.5°.综上，α 的取 值为 45°或 22.5°.
浙教版七年级数学上册习题课件：6.8 余角和补角 (共14张PPT)精品
仅供学习交流！
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
谢谢！
墨子，(约前468～前376)名翟，鲁人 ，一说 宋人， 战国初 期思想 家，政 治家， 教育家 ，先秦 堵子散 文代表 作家。 曾为宋 国大夫 。早年 接受儒 家教育 ，后聚 徒讲学 ，创立 与儒家 相对立 的墨家 学派。 主张•兼 爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反 映了小 生产者 反对兼 并战争 ，要求 改善经 济地位 和社会 地位的 愿望， 他的认 识观点 是唯物 的。但 他一方 面批判 唯心的 宿命论 ，一方 面又提 出同样 是唯心 的“天 志”说 ，认为 天有意 志，并 且相信 鬼神。 墨于的 学说在 当时影 响很大 ，与儒 家并称 为•显 学”。 《墨子》是先秦墨家著作，现存五 十三篇 ，其中 有墨子 自作的 ，有弟 子所记 的墨子 讲学辞 和语录 ，其中 也有后 期墨家 的作品 。《墨 子》是 我国论 辩性散 文的源 头，运 用譬喻 ，类比 、举例 ，推论 的论辩 方法进 行论政 ，逻辑 严密， 说理清 楚。语 言质朴 无华， 多用口 语，在 先秦堵 子散文 中占有 重要的 地位。 公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称 鲁班， 山东人 ，是我 国古代 传说中 的能工 巧匠。 现在， 鲁班被 人们尊 称为建 筑业的 鼻祖， 其实这 远远不 够．鲁 班不光 在建筑 业，而 且在其 他领域 也颇有 建树。 他发明 了飞鸢 ，是人 类征服 太空的 第一人 ，他发 明了云 梯(重武 器)，钩 钜(现 在还用) 以及其 他攻城 武器， 是一位 伟大的 军事科 学家， 在机械 方面， 很早被 人称为 “机械 圣人” ，此外 还有许 多民用 、工艺 等方面 的成就 。鲁班 对人类 的贡献 可以说 是前无 古人， 后无来 者，是 我国当 之无愧 的科技 发明之 父。
浙教版七年级数学上册 6.8《余角补角》 课件 (共29张PPT)
∴ ∠1 + ∠2 =90 °. ( 互余定义)
3
∵∠3 + ∠4 =180 °, ( 已知 )
∴ ∠3和∠4互补 . (互补定义 )
∵ ∠3和∠4互补, ( 已知 )
4
∴ ∠3 + ∠4 =180 ° .(互补定义 )
考考你
1. 图中给出的各角，哪些互为余角？
10° 25°
44° 65° 46°
拓展提升
如图，是O直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°, OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的角有哪些？
与∠DOE互补的角有哪些？
祝同学们 学习进步
29
试一试
1、填空 （1）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余， 则__∠__1_＝_∠__3___，根据是＿同＿角＿的余＿角＿相＿等.
(2)若∠3与∠4互补，∠6与∠5互补， 且∠3＝∠6, 则_∠_4___＝__∠__5__，根据是 ＿等＿角＿的＿补角＿相＿等＿.
试一试
2、如图，直线a、b相交于一点，∠1和∠2 互补，∠1和∠4互补，则∠2=∠4的依据是 （ B ）. A.同角的余角相等 B.同角的补角相等 C.等角的余角相等 D.等角的补角相等
A
C
D
1. 下列四个角中,最有可能与70°角互补的角是( D )
2.已知∠α=26°,则∠α的补角是_1_5_4_°_ 度. 3.一个角的补角是36°35′,这个角是 _1_4_3_°__2_5.′ 4.一个角的补角是150°，则这个角的余角是_____. 5.一个角是70°，则它的余角的补角是_______. 6.一个角的补角是它的3倍，则这个角是_______.
900
1350
100035'
2024年浙教版七年级数学上册 6.8 余角和补角 (课件)
的余角是，这个角是 ，这个角的补角是 。
1.余角的性质：同角或等角的余角相等。
2.补角的性质：同角或等角的补角相等。
典例2 （1）如图（1）所示， ， 与 相等吗？为什么？
解：相等。因为 ，所以 。因为 ,所以 ，所以 。
（2）如图（2）所示，直线与直线相交于点， 与 相等吗？为什么？
方向角通常先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东 ”一般不写成“东偏北 ”。
典例3 (绍兴柯桥区期末)如图，甲从点 出发沿北偏东 方向走到点，乙从点 出发沿南偏西 方向走到点，则 的度数是( )
D
A. B. C. D.
解析：由题意知， , ，所以 。
若， 则与互余，是 的余角，也是 的余角。
_
名称
概念
数学语言
图示
互为补角
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。
若， 则与互补，是 的补角，也是 的补角。
_
（1）两个角互余或互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。（2）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角。
第6章 图形的初步知识
6.8 余角和补角
七上数学 ZJ
1.了解互为余角、互为补角的概念，会求一个角的余角或补角。2.掌握同角或等角的余角（补角）相等，并能说明两角相等，培养推理能力。3.会用方向角表示方向，发展几何直观。
名称
概念
数学语言
图示
互为余角
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。
解：相等。因为点，，在同一条直线上，所以 ，即 。因为点，，在同一条直线上，所以 ，即 ，所以 。
1.余角的性质：同角或等角的余角相等。
2.补角的性质：同角或等角的补角相等。
典例2 （1）如图（1）所示， ， 与 相等吗？为什么？
解：相等。因为 ，所以 。因为 ,所以 ，所以 。
（2）如图（2）所示，直线与直线相交于点， 与 相等吗？为什么？
方向角通常先写北或南，再写偏东或偏西，如“北偏东 ”一般不写成“东偏北 ”。
典例3 (绍兴柯桥区期末)如图，甲从点 出发沿北偏东 方向走到点，乙从点 出发沿南偏西 方向走到点，则 的度数是( )
D
A. B. C. D.
解析：由题意知， , ，所以 。
若， 则与互余，是 的余角，也是 的余角。
_
名称
概念
数学语言
图示
互为补角
如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补，也可以说其中一个角是另一个角的补角。
若， 则与互补，是 的补角，也是 的补角。
_
（1）两个角互余或互补是两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。（2）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能一个是锐角，另一个是钝角。
第6章 图形的初步知识
6.8 余角和补角
七上数学 ZJ
1.了解互为余角、互为补角的概念，会求一个角的余角或补角。2.掌握同角或等角的余角（补角）相等，并能说明两角相等，培养推理能力。3.会用方向角表示方向，发展几何直观。
名称
概念
数学语言
图示
互为余角
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角。
解：相等。因为点，，在同一条直线上，所以 ，即 。因为点，，在同一条直线上，所以 ，即 ，所以 。
6.8 余角和补角(课件)七年级数学上册(浙教版)
2
1
如图：∠1与∠2互为余角，也可以说∠1是∠2的余角，或者∠2 是∠1 的余角. 余角是成对出现的，所以不能说某个角是余角.
讲授新课
类似地，如下图，如果两个角的和等于180°（平角）， 就说这两个角互为补角( 简称为两个角互补 )，即其中一个角 是另一个角的补角.
4 3
如图：∠3与∠4互为补角，也可以说∠3是∠4的 补角，或者∠4是∠3的补角.
当堂检测
4、已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数．
解:设这个角为x度，则这个角的余角是(90－x) 度， 补角是(180－x)度，由题意得, 180－x=4(90－x)， 解得x=60，
答：这个角的度数为60°．
当堂检测
5.已知∠1与∠2互为补角，且∠1比∠2大20°，求∠1、∠2的度数．
两角间的 1 2 90
数量关系 (1 90 2)
互补
1 2 180 (1 180 2)
对应图形
性质
同角或等角的 余角相等
同角或等角的 补角相等
课堂小结
定义 方位角
物体运动的方向与正北、正南方向之 间的夹角称为方位角，一般以正北、 正南为基准，用向东或向西旋转的角 度表示方向
书写 通常要先写北或南，再写偏东或偏西
在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，
货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射
线. 画法：1. 以点O为顶点，表示正北 方的射线为角的一边，画40°的角， 使它的另一边OB落在东与北之间.
北
●D
●B
40°
射线OB的方向就是北偏东40°，即
C D
浙教版七年级数学上册6.8《 余角和补角 》课件
∠2和∠β互余
O
D
同角或等角的余角相等 。
3α
∠α =∠β
β
2
例1 如图，已知∠AOC= ∠BOD=Rt∠。指出图 中还有哪些角相等, 并说明理由。
DC B
O
A
准备一长方形纸片，按如图所示沿虚线折叠， 并标出∠3与∠4. 思考问题：∠3与∠4之间的角度有什么关系?
∠3+ ∠4 = 180 °
34
强化概念
（1）互余与互补是指几个角的关系？
答 互余与互补是指两个角之间的关系。
（2）两个角是否互余或互补由它们的位置决定吗？
答 两个角是否互余或互补只与这两个角的 大小有关，与它们的位置无关。
（3）互余或互补的两个角有怎样的数量关系？ 答 互余：∠1+∠2 ＝90°；互补： ∠1+∠2 ＝180°
例2 已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，
求这个角的度数。
做一做
1.已知∠α的余角是∠α的2倍, 求 ∠α的度数。 2 .若∠1的补角是∠1的3倍, 求∠1的度数。 3 .已知一个角的补角是它的2.5倍, 求这个角的余角。
能说出你这节课的收获和体验 让大家与你分享吗？
布置作业
1、作业本 2、课后练习
准备一长方形纸片，按如图所示沿虚线折叠， 并标出∠1与∠2.
思考问题：∠1与∠2之间的角度有什么关系?
2
∠1 + ∠2 = 90 °
1
如果两个角的和是直角,那么这两个角互为余角。 简称互余。
找朋友:图中给出的各角中,哪些互为余角?
1°0
30°
60°
80 °
° 100
° 120
° 150
° 170
(浙教版)七年级数学上册：6.8 余角和补角 (共21张PPT)
D．62°
3．(2016· 丽水模拟)如图，△ABC是直角三角形，
∠ADC＝90°，图中与∠CAB互余的角有(
A．1个 B．2个
B
)
C．3个
D．4个
4．如图，∠α和∠β的关系是①_______ 互余 ； ②_______ 互补 ．
知识点2：余角、补角的性质
5．若∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，则∠1与∠3
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
2 13．一个角的余角比它的补角的3还少 40°，求 这个角的度数．
解：设这个角为∠A，根据题意，得 90°－∠A 2 ＝3(180°－∠A)－40°，解得∠A＝30°，所以 这个角的度数是 30°.
14．如图，点O在直线AD上，∠EOC＝90°，∠DOB＝90°.
(1)图中除∠EOC，∠DOB外，还有哪些角是直角？ (2)图中有哪些相等的角(除直角外)?
(3)∵∠MON＝55°，∴∠AOM－∠AON＝55 1 1 °，∴2∠AOC－2∠AOB＝55°，∴∠AOC－ ∠AOB＝110°，∴∠AOC－(180°－∠AOC)＝ 110°，解得∠AOC＝145°.故∠AOC 的度数是 145°.
3．(2016· 丽水模拟)如图，△ABC是直角三角形，
∠ADC＝90°，图中与∠CAB互余的角有(
A．1个 B．2个
B
)
C．3个
D．4个
4．如图，∠α和∠β的关系是①_______ 互余 ； ②_______ 互补 ．
知识点2：余角、补角的性质
5．若∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，则∠1与∠3
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
2 13．一个角的余角比它的补角的3还少 40°，求 这个角的度数．
解：设这个角为∠A，根据题意，得 90°－∠A 2 ＝3(180°－∠A)－40°，解得∠A＝30°，所以 这个角的度数是 30°.
14．如图，点O在直线AD上，∠EOC＝90°，∠DOB＝90°.
(1)图中除∠EOC，∠DOB外，还有哪些角是直角？ (2)图中有哪些相等的角(除直角外)?
(3)∵∠MON＝55°，∴∠AOM－∠AON＝55 1 1 °，∴2∠AOC－2∠AOB＝55°，∴∠AOC－ ∠AOB＝110°，∴∠AOC－(180°－∠AOC)＝ 110°，解得∠AOC＝145°.故∠AOC 的度数是 145°.
余角和补角课件数学浙教版七年级上册
1
1
∴∠COD=
2
∠BOC，∠EOC=
1
2 ∠AOC，
1
∴∠COD+∠EOC= 2 （∠BOC+∠AOC）= 2 ×180°=90°，
∴∠COD与∠EOC互余．
例2 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数．
解:设这个角为x度，则这个角的余角是(90－x) 度， 补角是(180－x)度，由题意得, 180－x=4(90－x)， 解得x=60， 答：这个角的度数为60°．
学以致用
如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC， OE平分∠AOC． （1）指出图中∠AOD的补角，∠BOE的补角； （2）若∠BOC=68°，求∠COD和∠EOC的度数； （3）∠COD与∠EOC具有怎样的数量关系？
解：（1）∠AOD的补角为∠BOD，∠BOE的补角为∠AOE；
（2）∵OD平分∠BOC，∠BOC=68°，
∴∠COD= 1 ∠BOC= 1 ×68°=34°，
∵∠BOC=628°，
2
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-68°=112°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC=
1∠AOC=
2
1 2
×112°=56°；
学以致用
（3）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
新课讲解
例1 如图，已知∠AOC=∠BOD=Rt∠．指出图中还有哪些
角相等，并说明理由．
DC
解：∠AOB=∠COD． 理由：∵∠AOC=∠BOD=Rt∠，
B
O
A
∴∠AOB+∠BOC=Rt∠，
∠COD+∠BOC=Rt∠．
即∠AOB与∠COD都是∠BOC的余角，
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6.8 余角和补角
1
2
∠1+ ∠2=90°
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说 这两个角互为余角（简称互余）。也可以 说其中一个角是另一个角的余角。
如果两个角的和是一个平 角，我们就说这两个角互 为补角（简称互补）。也 可以说其中一个角是另一 个角的补角。
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
∠3+ ∠4=180°
想一想
若已知一个角∠A=50°17′，那么∠A的 余角和补角分别是多少度？
２、如下图，点Ｏ为直线ＡＢ上一点， ∠ＡＯＣ＝Ｒt ∠ ，
ＯＤ是∠ＢＯＣ 内的一条射线．图中有哪些角互补？有哪
些角互余？说明你的理由．
∠A0C与∠BOC互补 ∠A0D与∠DOB互补 ∠COD与∠DOB互余
做一做
3、如果给你一个角，你能画出它的余角吗？
2
3
β
θ
∠2= ∠3
∠β= ∠θ
余角的性质：同角或等角的余角相等。
变式1：已知一个角的补角是这个角的余角 的4倍，求这个角的度数。
变式2：已知一个角的补角减去30°后，等 于这个角的余角的4倍，求这个角的度数。
做一做
１、如图，已经∠1＝42°， ∠2＝138°，∠3＝48°请问图中 有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由。
两个角是否互余或 互补只跟两个角的 度数大小有关，与 它们的位置无关。
请利用互余互补的关系完成下表
∠α
∠α的余角 ∠α的补角
5°
85°
175°
32°
58°
148°
45° 77° 62°23′
x
45° 13° 27°37′ 90°- x°
135° 103° 117°37′ 180°- x°
从上面这张表格中，你发现了什么?
例2 已知一个角的补角是这个角的4倍， 求这个角的度数。
(5)一个角的余角一定比这个角的补角小。 ( )
(6)若 AOB与 BOC互补，则A、O、C同在一直线
上。
(× )
⑺若∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1、∠2、∠3互为
补角
（×）
北
在如图所示的方向标中， A 你能说出射线OA、OB、
P
B
OC、OD所表示的方向
吗？
30°40°
西M
37° O 45° N 东
D
C
Q
南
生活中的数学知 识
有两堵围墙，有人想测地
面上形成的∠AOB 的度数，
但人又不能进入围墙，只能
站在墙外，怎么测量呢？
A
延长BO到C。 C
只要测出∠AOC 的度数，
即可求出∠AOB 的大小。
O
D
B
补角的性质：同角或等角的补角相等。
试
2
一
1
3
试
4
∠1和∠2互余，∠3和∠4互余，如果 ∠1=∠3，那么， ∠2和∠4相等吗？ 为什么？ 等角的余角相等
灵活运用
2 如下图所示，已知∠AOC=∠BOD=Rt∠，
指出图中还有哪些角相等，并说明理由。
课堂小结
互余的角
互补的角
数量 关系
1＋ 2＝90°
1＋ 2＝180°
对应 图形
C N
D
E
M AO B
性质 同角(等角)的余角相等 同角(等角)的补角相等
请用你所学的知识判断下列说法是否正确：
(1)互余的两个角必定都是锐角。 (2) ＝90°，那么它是余角。
( ) ( )
(3)一个角的补角必定是钝角。
( )
(4)两个角互补，那么这两个角中，必定一个是锐角，
另一个是钝角。 （ ）
1
2
∠1+ ∠2=90°
如果两个锐角的和是一个直角，我们就说 这两个角互为余角（简称互余）。也可以 说其中一个角是另一个角的余角。
如果两个角的和是一个平 角，我们就说这两个角互 为补角（简称互补）。也 可以说其中一个角是另一 个角的补角。
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4
∠3+ ∠4=180°
想一想
若已知一个角∠A=50°17′，那么∠A的 余角和补角分别是多少度？
２、如下图，点Ｏ为直线ＡＢ上一点， ∠ＡＯＣ＝Ｒt ∠ ，
ＯＤ是∠ＢＯＣ 内的一条射线．图中有哪些角互补？有哪
些角互余？说明你的理由．
∠A0C与∠BOC互补 ∠A0D与∠DOB互补 ∠COD与∠DOB互余
做一做
3、如果给你一个角，你能画出它的余角吗？
2
3
β
θ
∠2= ∠3
∠β= ∠θ
余角的性质：同角或等角的余角相等。
变式1：已知一个角的补角是这个角的余角 的4倍，求这个角的度数。
变式2：已知一个角的补角减去30°后，等 于这个角的余角的4倍，求这个角的度数。
做一做
１、如图，已经∠1＝42°， ∠2＝138°，∠3＝48°请问图中 有没有互余或互补的角？若有，请把它们写出来，并说明理由。
两个角是否互余或 互补只跟两个角的 度数大小有关，与 它们的位置无关。
请利用互余互补的关系完成下表
∠α
∠α的余角 ∠α的补角
5°
85°
175°
32°
58°
148°
45° 77° 62°23′
x
45° 13° 27°37′ 90°- x°
135° 103° 117°37′ 180°- x°
从上面这张表格中，你发现了什么?
例2 已知一个角的补角是这个角的4倍， 求这个角的度数。
(5)一个角的余角一定比这个角的补角小。 ( )
(6)若 AOB与 BOC互补，则A、O、C同在一直线
上。
(× )
⑺若∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1、∠2、∠3互为
补角
（×）
北
在如图所示的方向标中， A 你能说出射线OA、OB、
P
B
OC、OD所表示的方向
吗？
30°40°
西M
37° O 45° N 东
D
C
Q
南
生活中的数学知 识
有两堵围墙，有人想测地
面上形成的∠AOB 的度数，
但人又不能进入围墙，只能
站在墙外，怎么测量呢？
A
延长BO到C。 C
只要测出∠AOC 的度数，
即可求出∠AOB 的大小。
O
D
B
补角的性质：同角或等角的补角相等。
试
2
一
1
3
试
4
∠1和∠2互余，∠3和∠4互余，如果 ∠1=∠3，那么， ∠2和∠4相等吗？ 为什么？ 等角的余角相等
灵活运用
2 如下图所示，已知∠AOC=∠BOD=Rt∠，
指出图中还有哪些角相等，并说明理由。
课堂小结
互余的角
互补的角
数量 关系
1＋ 2＝90°
1＋ 2＝180°
对应 图形
C N
D
E
M AO B
性质 同角(等角)的余角相等 同角(等角)的补角相等
请用你所学的知识判断下列说法是否正确：
(1)互余的两个角必定都是锐角。 (2) ＝90°，那么它是余角。
( ) ( )
(3)一个角的补角必定是钝角。
( )
(4)两个角互补，那么这两个角中，必定一个是锐角，
另一个是钝角。 （ ）