高中数学苏教版选修21第3章空间向量与立体几何2.3word学案

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高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(2.3)word学案

3．2.3 空间的角的计算[学习目标] 1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用．[知识链接]1．怎样求两条异面直线所成的角？答：(1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解．(2)向量法：设a 、b 分别为异面直线l 1、l 2上的方向向量，θ为异面直线所成的角，则异面直线所成角公式cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b ||a ||b |. 2．如何用平面的法向量表示二面角？答：设n 1、n 2是二面角αlβ的两个面α，β的法向量，则向量n 1与向量n 2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小． [预习导引]1．两条异面直线所成的角(1)定义：设a 、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角．(2)范围：两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤π2.(3)向量求法：设直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为φ，则a ，b 所成角的余弦值为cos θ＝|cos φ|＝|a·b ||a|·|b |.2．直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角． (2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤π2.(3)向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有 sin θ＝|cos φ|＝|a·u||a|·|u|或cos θ＝sin φ. 3．二面角(1)二面角的取值范围：[0，π]．(2)二面角的向量求法：①若AB ，CD 分别是二面角αlβ的两个面内与棱l 垂直的异面直线(垂足分别为A ，C )，如图，则二面角的大小就是向量AB →与CD →的夹角．②设n 1、n 2是二面角αlβ的两个面α，β的法向量，则向量n 1与向量n 2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.要点一求两条异面直线所成的角例1 如图所示，三棱柱OABO 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值的大小．解建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)， O 1(0,1，3)，A (3，0,0)，A 1(3，1，3)，B (0,2,0)， ∴A 1B →＝(－3，1，－3)，O 1A →＝(3，－1，－3)． ∴|cos 〈A 1B →，O 1A →〉|＝|A 1B →·O 1A →||A 1B →|·|O 1A →|＝|(－3，1，－3)·(3，－1，－3)|7·7＝17.∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.规律方法建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角计算思路简便，要注意角的范围．跟踪演练1 正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1、A 1C 1的中点，求异面直线AE 与CF 所成角的余弦值．解不妨设正方体棱长为2，分别取DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A (2,0,0)、C (0,2,0)、E (1，0,2)、F (1,1,2)，则AE →＝(－1,0,2)，CF →＝(1，－1,2)∴|AE →|＝5，|CF →|＝ 6.AE →·CF →＝－1＋0＋4＝3. 又AE →·CF →＝|AE →||CF →|cos 〈AE →，CF →〉＝30cos 〈AE →，CF →〉，∴cos 〈AE →，CF →〉＝3010，∴异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为3010.要点二求直线和平面所成的角例2 已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，M 为A 1B 1的中点，求BC 1与平面AMC 1所成角的正弦值．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，M (0，a 2，2a )，C 1(－32a ，a2，2a )，B (0，a,0)，故AC 1→＝(－32a ，a 2，2a )，AM →＝(0，a 2，2a )．设平面AMC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n ＝0，AM →·n ＝0.∴⎩⎨⎧－32ax ＋a2y ＋2az ＝0，a2y ＋2az ＝0，令y ＝2，则z ＝－22，x ＝0.∴n ＝(0,2，－22)．又BC 1→＝(－32a ，－a 2，2a )，∴cos 〈BC 1→，n 〉＝BC 1→·n |BC 1→||n |＝－a －a 3a ×92＝－269.设BC 1与平面AMC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈BC 1→，n 〉|＝269.规律方法借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系．跟踪演练2 如图所示，已知直角梯形ABCD ，其中AB ＝BC ＝2AD ，AS ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且AS ＝AB .求直线SC 与底面ABCD 的夹角θ的余弦值．解由题设条件知，以点A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (0,1,0)， C (1,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，S (0,0,1)． ∴AS →＝(0,0,1)，CS →＝(－1，－1,1)．显然AS →是底面的法向量，它与已知向量CS →的夹角β＝π2－θ，故有sin θ＝cos β＝AS →·CS →|AS →||CS →|＝11×3＝33，∵θ∈[0，π2]．∴cos θ＝1－sin 2θ＝63.要点三求二面角例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求二面角A 1－BD －C 1的余弦值．解不妨设正方体的棱长为1，以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，取BD 的中点E ，连结A 1E ，C 1E .因为△DBA 1和△BDC 1都是正三角形，所以A 1E ⊥BD ，C 1E ⊥BD ，故∠A 1EC 1是二面角A 1－BD －C 1的平面角，也就是EA 1→与EC 1→的夹角．又E (12，12，0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，可得EA 1→＝(12，－12，1)，EC 1→＝(－12，12，1)．EA 1＝14＋14＋1＝62，EC 1＝14＋14＋1＝62， EA 1→·EC 1→＝－14－14＋1＝12.cos 〈EA 1→，EC 1→〉＝1262·62＝13.即二面角A 1－BD －C 1的余弦值为13.规律方法 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的．(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．跟踪演练3 如图所示，正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点，求二面角AA 1DB 的余弦值．解如图所示，取BC 中点O ，连结AO .因为△ABC 是正三角形，所以AO ⊥BC ，因为在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1中点为O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，A (0,0，3)，B 1(1,2,0)．设平面A 1AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，AD →＝(－1,1，－3)，AA 1→＝(0,2,0)．因为n ⊥AD →，n ⊥AA 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AA 1→＝0，得⎩⎨⎧ －x ＋y －3z ＝0，2y ＝0，所以⎩⎨⎧y ＝0，x ＝－3z .令z ＝1，得n ＝(－3，0,1)为平面A 1AD 的一个法向量．又因为AB 1→＝(1,2，－3)，BD →＝(－2,1,0)，BA 1→＝(－1,2，3)，所以AB 1→·BD →＝－2＋2＋0＝0， AB 1→·BA 1→＝－1＋4－3＝0，所以AB 1→⊥BD →，AB 1→⊥BA 1→，即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1，又BD ∩BA 1＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD ，所以AB 1→是平面A 1BD 的一个法向量，所以cos 〈n ，AB 1→〉＝n ·AB 1→|n ||AB 1→|＝－3－32·22＝－64，所以二面角AA 1DB 的余弦值为64.1．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量，法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为________．答案 30°解析设l 与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12.∴θ＝30°.2．正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为________．答案63解析建系如图，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)， B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，A (1,0,0)，∴BC 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(－1,1,1)，A 1B →＝(0,1，－1)， A 1D →＝(－1,0，－1)．∴AC 1→·A 1B →＝1－1＝0，AC 1→·A 1D →＝1－1＝0. ∴AC 1⊥平面A 1BD .∴AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．∴cos 〈BC 1→，AC 1→〉＝BC 1→·AC 1→|BC 1→||AC 1→|＝1＋12×3＝63.∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. 3．在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为________．答案 90°解析建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)， B 1⎝⎛⎭⎫62，22，0，C 1(0，2，0)， B ⎝⎛⎭⎫62，22，1.∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，C 1B →＝⎝⎛⎭⎫62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，∴AB 1→⊥C 1B →.即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.4.如图，在三棱锥VABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A 、B 、V 分别在x 、y 、z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝θ.当θ＝π3时，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值．解由于AC ＝BC ＝2，D 是AB 的中点，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,1,0)．当θ＝π3时，在Rt △VCD 中，CD ＝2，故V (0,0，6)．所以AC →＝(－2,0,0)，VD →＝(1,1，－6)．所以cos 〈AC →，VD →〉＝AC →·VD →|AC →||VD →|＝－22·22＝－24.所以异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24.利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．一、基础达标1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角等于________．答案 60°解析直线l 与平面α所成的角范围是[]0°，90°.2．直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1，v 2，若v 1与v 2所成的角为θ，直线l 1，l 2所成的角为α，则下列说法正确的是________．①α＝θ ②α＝π－θ ③cos θ＝|cos α| ④cos α＝|cos θ| 答案 ④解析 α＝θ或α＝π－θ，且α∈[0，π2],因而cos α＝|cos θ|.3．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l与α所成的角为________．答案 30°解析 ∵cos 〈m ，n 〉＝－12，∴sin α＝|cos 〈m ，n 〉|＝12.又∵直线与平面所成角α满足0°≤α≤90°， ∴α＝30°.4．已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3)，则平面ABC 与平面xOy 所成锐二面角的余弦值为________．答案 27解析 AB →＝(－1,2,0)，AC →＝(－1,0,3)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由n ·AB →＝0，n ·AC→＝0知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，－x ＋3z ＝0.令x ＝2，则y ＝1，z ＝23.∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(2,1，23)．平面xOy 的一个法向量为OC →＝(0,0,3)．由此易求出所求二面角的余弦值为cos θ＝n ·OC →|n |·|OC →|＝23×73＝27.5．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成角是________．答案 30°解析建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，2，0)，PC →＝(1，2，－1)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈PC →，n 〉＝PC →·n |PC →|·|n |＝－12，因为〈PC →，n 〉∈[0°，180°]．所以〈PC →，n 〉＝120°，所以斜线PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成角为60°，所以斜线PC 与平面ABCD 所成角为30°.6．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为________．答案 60°解析由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD → ＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2.∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，∵〈CA →·BD →〉∈[0°，180°]，∴〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°.7．如图，四棱锥F ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ＝2，BD ＝ 2.CF 与平面ABCD 垂直，CF ＝2.求二面角BAFD 的大小．解过点A 作AE ⊥平面ABCD .以A 为坐标原点，BD →、AC →、AE →方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．于是B ⎝⎛⎭⎫－22，1，0， D ⎝⎛⎭⎫22，1，0，F (0,2,2)．设平面ABF 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－22x ＋y ＝0，2y ＋2z ＝0.令z ＝1，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1.所以n 1＝(－2，－1,1)．同理，可求得平面ADF 的法向量n 2＝(2，－1,1)．由n 1·n 2＝0知，平面ABF 与平面ADF 垂直，所以二面角BAFD 的大小等于π2.二、能力提升8．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成角的余弦值为________．答案33解析令正四棱锥的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则A (1，－1,0)，D (－1，－1,0)，S (0,0，2)，E (12，12，22)，∴AE →＝(－12，32，22)，SD →＝(－1，－1，－2)，∴cos 〈AE →，SD →〉＝AE →·SD →|AE →||SD →|＝－33.∴AE 、SD 所成角的余弦值为33. 9．若两个平面α，β的法向量分别是n ＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角是________．答案 60°解析 ∵cos 〈n ，ν〉＝－12·2＝－12.〈n ，v 〉∈[0°，180°]，∴〈n ，ν〉＝120°.故两平面所成的锐二面角为60°.10．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．答案 0解析 OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →) ＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos π3－|OA →|·|OB →|·cos π3＝12|OA →|(|OC →|－|OB →|)＝0.∴cos 〈OA →，BC →〉＝|OA →·BC →||OA →||BC →|＝0.11．如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成角的大小； (2)证明平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角ACDE 的余弦值．(1)解如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0，1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，12)． BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12. 因为〈BF →·DE →〉∈[0°，90°]，所以异面直线BF 与DE 所成角的大小为60°.(2)证明由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1,0,1)， AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．所以，cos 〈u ，v 〉＝u·v |u||v |＝0＋0＋13×1＝33. 因为二面角ACDE 为锐角，所以其余弦值为33. 12.如图，已知点P 在正方体ABCDA ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．解如图，以D 为坐标原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D －xyz .则DA →＝(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)．连结BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H .设DH →＝(m ，m,1) (m >0)，由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1. (1)因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，〈DH →·CC ′→〉∈[0°，90°]，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)．因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°.可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.三、探究与创新13．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明AB⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ＝2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．(1)证明取AB 中点E ，连结CE ，A 1B ，A 1E ，∵AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，∴△BAA 1是正三角形，∴A 1E ⊥AB ，∵CA ＝CB ，∴CE ⊥AB ，∵CE ∩A 1E ＝E ，∴AB ⊥面CEA 1，又AC ⊂平面CEA 1，∴AB ⊥A 1C ；(2)解由(1)知EC ⊥AB ，EA 1⊥AB ，又∵面ABC ⊥面ABB 1A 1，面ABC ∩面ABB 1A 1＝AB ，∴EC ⊥面ABB 1A 1，∴EC ⊥EA 1，∴EA ，EC ，EA 1两两相互垂直，以E 为坐标原点，EA →的方向为x 轴正方向，|EA →|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系Exyz ，由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)，则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)，设n ＝(x ，y ，z )是平面CBB 1C 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BC →＝0，n ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，x ＋3y ＝0，可取n ＝(3，1，－1)， ∴cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝－105， ∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.。

高中数学苏教版选修21第3章空间向量与立体几何2.2word学案

空间线面关系的判定[学习目标] 1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系.2.能用向量方式证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).3.能用向量方式判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．[知识链接]1．用向量法如何证明线面平行？答：证平面外的直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行或直线的方向向量与平面的法向量垂直即可．2．用向量法如何证明线面垂直？答：证直线的方向向量与平面的法向量平行即可．[预习导引]1．空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量别离为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝k b⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈R.(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)面面平行设平面α，β的法向量别离为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔u∥v⇔u＝k v⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2，k∈R.2．空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔a ⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(2)线面垂直设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量是v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v .(3)面面垂直若平面α的法向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.要点一证明线线垂直例1 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线别离为x 轴、y 轴、z轴成立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，∴AC →·BC 1→＝0.∴AC →⊥BC 1→，即AC ⊥BC 1.规律方式证明两直线垂直的大体步骤：成立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→取得两直线垂直．跟踪演练1 已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN . 证明方式一 (基向量法)设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a |＝|b |＝|c |＝1，a·c ＝b·c ＝0，AB 1→＝a ＋c ，AM →＝12(a ＋b )， AN →＝b ＋14c ，MN →＝AN →－AM →＝－12a ＋12b ＋14c ，∴AB1→·MN→＝(a＋c)·(－12a＋12b＋14c)＝－12＋12cos60°＋14＝0.∴AB1→⊥MN→，∴AB1⊥MN.方式二 (坐标法) 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OO 1为z 轴成立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A (－12，0,0)，B (12，0,0)，C (0，32，0)，N (0，32，14)，B 1(12，0,1)，M (14，34，0)． ∴MN →＝(－14，34，14)，AB 1→＝(1,0,1)， ∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0. ∴MN →⊥AB 1→，∴AB 1⊥MN .要点二利用空间向量证明平行关系例2 如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面彼此垂直，点M ，N 别离在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .证明因为矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面彼此垂直，所以AB ，AD ，AF 彼此垂直．不妨设AB ，AD ，AF 的长别离为3a,3b,3c ，以AB →，AD →，AF →为正交基底，成立如图所示的空间直角坐标系A —xyz .则各点坐标为B (3a ，0,0)，D (0,3b,0)，F (0,0,3c )，E (0,3b,3c )，所以BD →＝(－3a,3b,0)，EA →＝(0，－3b ，－3c )．因为BM →＝13BD →＝(－a ，b,0)，NA →＝13EA →＝(0，－b ，－c )，所以NM →＝NA →＋AB →＋BM →＝(0，－b ，－c )＋(3a,0,0)＋(－a ，b,0)＝(2a,0，－c )．又平面CDE 的一个法向量是AD →＝(0,3b,0)，由NM →·AD →＝(2a,0，－c )·(0,3b,0)＝0，取得NM →⊥AD →.因为MN不在平面CDE内，所以MN∥平面CDE.规律方式利用向量证明平行问题，可以先成立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后按照向量之间的关系证明平行问题．跟踪演练2 如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是不是存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，说明理由．解别离以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴成立空间直角坐标系，∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，设E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)，PD →＝(0,2，－1)，∵PE →∥PD →，∴y (－1)－2(z －1)＝0，①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量，又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ，∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0.∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点， ∴存在E 点为PD 中点时，CE ∥平面P AB .要点三探索性问题(垂直、平行问题)例3 如图所示，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD .(2)若SD ⊥平面P AC ，则侧棱SC 上是不是存在一点E ，使得BE ∥平面P AC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．(1)证明连结BD ，设AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD .由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →别离为x 轴、y 轴、z 轴正方向，成立空间直角坐标系如图．设底面边长为a ，则高SO ＝62a ，于是S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0， B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0， SD →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a ，则OC →·SD →＝0. 故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD .(2)解棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC .理由如下：由已知条件知DS →是平面P AC 的一个法向量，且DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ， BC →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0. 设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at ，而BE →·DS →＝0⇔t ＝13. 即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →.而BE 不在平面P AC 内，故BE ∥平面P AC .规律方式在数学命题中，结论常以“是不是存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来；可能不存在，则需要说明理由．解答这一类问题时，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在．跟踪演练3 空间图形P ABCD 中，ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，P A ＝AC ＝a ，PB ＝PD ＝2a ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1.在PC 上是不是存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．解以A 为坐标原点，AD 、AP 所在直线别离为y 轴、z 轴，过A点垂直于平面P AD 的直线为x 轴，成立空间直角坐标系如图所示．由题设条件可得，相关各点的坐标别离为A (0,0,0)，B (32a ，－12a,0)，C(32a，12a,0)，D(0，a,0)，P(0，0，a)，E(0，23a，13a)，所以AE→＝(0，23a，13a)，AC→＝(32a，12a,0)，AP→＝(0,0，a)，PC→＝(32a，12a，－a)，BP→＝(－32 a，12a，a)，设点F是棱PC上的点，PF→＝λPC→＝(32aλ，12aλ，－aλ)，其中0<λ<1，则BF→＝BP→＋PF→＝(－32a，12a，a)＋(32aλ，12aλ，－aλ)＝(32a(λ－1)，12a(1＋λ)，a(1－λ))，令BF→＝λ1AC→＋λ2AE→，得⎩⎪⎨⎪⎧32a(λ－1)＝32aλ1，12a(1＋λ)＝12aλ1＋23aλ2，a(1－λ)＝13aλ2，即⎩⎨⎧λ－1＝λ1，1＋λ＝λ1＋43λ2，1－λ＝13λ2，解得λ＝12，λ1＝－12，λ2＝32，即λ＝12，BF→＝－12AC→＋32AE→，所以当F是PC的中点时，BF→，AC→，AE→共面．又BF⊄平面AEC，所以BF∥平面AEC.1．若平面α、β的法向量别离为u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)，则________．①α∥β②α⊥β③α、β相交但不垂直④以上均不正确答案③解析平面α、β的法向量既不共线又不垂直．2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则________．①l∥α②l⊥α③l⊂α④l与α斜交答案②解析∵a∥u，∴l⊥α.3．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________．答案垂直解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直．4．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD 垂直于底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .求证：(1)P A ∥平面EDB ；(2)PB ⊥平面EFD .证明成立如图所示的空间直角坐标系．D 是坐标原点，设DC ＝a .(1)连结AC 交BD 于点G ，连结EG ，依题意得D (0,0,0)，A (a ，0,0)，P (0,0，a )，E (0，a 2，a 2)．因为底面ABCD 是正方形，所以G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为(a 2，a 2，0)，所以EG →＝(a 2，0，－a 2)．又P A →＝(a,0，－a )，所以P A →＝2EG →，这表明P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，且P A ⊄平面EDB ，所以P A ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB →＝(a ，a ，－a )，DE →＝(0，a 2，a 2)，所以PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB →⊥DE →，即PB ⊥DE .又已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ，所以PB ⊥平面EFD .1．用向量方式证明空间中的平行关系(1)线线平行设直线l 1、l 2的方向向量别离是a 、b ，则要证明l 1∥l 2，只需证明a ∥b ，即a ＝k b (k ∈R )．(2)线面平行①设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.②按照线面平行的判定定理：“若是直线(平面外)与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③按照共面向量定理可知，若是一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量肯定的平面一定平行，因此要证明平面外的一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．(3)面面平行①转化为线线平行、线面平行处置．②证明这两个平面的法向量是共线向量．2．正确应用向量方式解决空间中的垂直关系(1)线线垂直设直线l 1、l 2的方向向量别离是a 、b ，则要证明l 1⊥l 2，只要证明a ⊥b ，即a·b ＝0.(2)线面垂直①设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证l ⊥α，只需证明a ∥u .②按照线面垂直的判定定理，转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．即：设a 、b 在平面α内(或与平面α平行)且a 与b 不共线，直线l 的方向向量为c ，则l ⊥α⇔c ⊥a 且c ⊥b ⇔a ·c ＝b ·c ＝0.(3)面面垂直①按照面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量彼此垂直．一、基础达标1．若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的值为________．答案－13解析因为k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3,5－k )，a －3b ＝(7，－4，－16)，由(k a ＋b )∥(a －3b )得k －27＝5k ＋3－4＝5－k －16，解得k ＝－13. 2．已知点A (1,2,1)、B (－1,3,4)、D (1,1,1)，若AP →＝2PB →，则|DP →|的值是________．答案 773解析设点P (x ，y ，z )，则由AP →＝2PB →，得(x －1，y －2，z －1)＝2(－1－x,3－y,4－z )，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝－2－2x ，y －2＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎨⎧ x ＝－13，y ＝83，z ＝3. ∴|DP →|＝(－13－1)2＋(83－1)2＋(3－1)2＝773. 3．已知在四面体ABCD 中，G 、H 别离是△ABC 和△ACD 的重心，则GH 与BD 的位置关系是________．答案平行解析设E 、F 各为BC 和CD 的中点，则GH →＝GA →＋AH →＝23(EA →＋AF →)＝23EF →，所以GH ∥EF ，所以GH ∥BD .4．已知空间四点A (－2,3,1)，B (2，－5,3)，C (10,0,10)，D (8，4，a )，若是四边形ABCD 为梯形，则实数a 的值为________．答案 9解析因为AB →＝(4，－8,2)，BC →＝(8,5,7)，DC →＝(2，－4，10－a )，AD →＝(10,1，a －1)，四边形ABCD 为梯形，则AB →∥DC →，解得a ＝9，此时BC →与AD →不平行．5．若平面α、β的法向量别离为n 1＝(1,2，－2)，n 2＝(－3，－6，6)，则平面α，β的位置关系是________．答案平行解析 ∵n 2＝－3n 1，∴n 1∥n 2，∴α∥β.6．已知平面α上的两个向量a ＝(2,3,1)，b ＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为________．答案 (－2,1,1)解析显然a 与b 不平行，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ·n ＝0，b ·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0.令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1， ∴n ＝(－2,1,1)．7.如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、M 、N 别离是正方体六个表面的中心，试肯定平面EFG 和平面HMN 的位置关系．解如图，成立空间直角坐标系D —xyz ，设正方体的棱长为2，易患E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)．∴EF →＝(0，－1,1)，EG →＝(1,0,1)，HM →＝(0,1，－1)，HN →＝(－1,0，－1)．设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)别离是平面EFG ，平面HMN 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·EF →＝0m ·EG →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－y 1＋z 1＝0，x 1＋z 1＝0，令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·HM →＝0，n ·HN →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－z 2＝0，－x 2－z 2＝0，令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)．∴m ＝n ，故m ∥n ，即平面EFG ∥平面HMN .二、能力提升8．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥面ABC ，则BP →等于________．答案 (337，－157，－3) 解析因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，解得z ＝4，又因为BP →⊥面ABC ，所以BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，解得x ＝407，y ＝－157，所以BP →＝(337，－157，－3)． 9．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是________三角形．答案直角解析求得AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，因为AC →·BC →＝0，所以AC →⊥BC →，所以△ABC是直角三角形．10.如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 为A 1B 1上任意一点，则DP与BC 1始终________．(填“垂直”或“平行”)答案垂直解析因为DP →·C 1B →＝(DA 1→＋A 1P →)·C 1B →＝(CB 1→＋A 1P →)·C 1B →＝CB 1→·C 1B →＋A 1P →·C 1B →＝A 1P →·C 1B →＝A 1P →·(C 1C →＋CB →)＝A 1P →·C 1C →＋A 1P →·CB →＝0，所以DP →⊥C 1B →，即DP 与BC 1始终垂直．11.如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2，BB 1＝3，D 是A 1C 1的中点．证明：A 1B ∥平面B 1DC .证明如图，以B 为坐标原点，别离以BA ，BC ，BB 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴成立空间直角坐标系，则B 1(0,0,3)，C (0，2，0)，D ⎝⎛⎭⎫22，22，3，A 1(2，0,3)． A 1B →＝(－2，0，－3)，DB 1→＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，0， DC →＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－3，设平面B 1DC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ DB 1→·n ＝0⇒－22x －22y ＝0，DC →·n ＝0⇒－22x ＋22y －3z ＝0.取n ＝⎝⎛⎭⎫1，－1，－23，由于A 1B →·n ＝0，且A 1B ⊄平面B 1DC ，所以A 1B ∥平面B 1DC . 12.如图所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．求证：平面DEA ⊥平面ECA .证明成立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ，不妨设CA ＝2，则CE ＝2，BD ＝1，C (0,0,0)，A (3，1,0)，B (0,2,0)，E (0,0,2)，D (0,2,1)．所以EA →＝(3，1，－2)，CE →＝(0,0,2)，ED →＝(0,2，－1)．别离设面CEA 与面DEA 的法向量是n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·EA →＝0，n 1·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋y 1－2z 1＝0，2z 1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＝－3x 1，z 1＝0. ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EA →＝0，n 2·ED →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 2＋y 2－2z 2＝0，2y 2－z 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2，z 2＝2y 2.不妨取n 1＝(1，－3，0)，n 2＝(3，1,2)，因为n 1·n 2＝0，所以两个法向量彼此垂直．所以平面DEA ⊥平面ECA .三、探讨与创新13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试肯定E 点的位置．(1)证明以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线别离为x 轴，y 轴，z 轴，成立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e ) (0≤e ≤a )．A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a,0)，A 1E →·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0，∴A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量别离为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)．∵DB →＝(a ，a,0)，DA 1→＝(a,0，a )，DE →＝(0，a ，e )，∴n 1·DB →＝0，n 1·DA 1→＝0，n 2·DB →＝0，n 2·DE →＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0.取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，a e)．由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2.∴2－a e ＝0，即e ＝a 2. ∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

江苏省苏州市第五中学高中数学教案苏教版选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》3.1空间向量及其运算

第3章空间向量与立体几何3．1 空间向量及其运算一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解空间向量的概念及空间向量的几何表示法、字母表示法和坐标表示法；(2)了解共线或平行向量概念、向量与平面平行(共面)意义，掌握它们的表示方法；(3)会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；(4)了解空间向量基本定理及其意义；会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量；(5)会用向量解决立体几何中证明直线和平面垂直、直线和直线垂直、求两点距离或线段长度等问题的基本方法步骤．(6)掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；(7)理解空间向量夹角和模的概念及表示方法，理解两个向量的数量积的概念、性质知识、方法要求学习建议空间向量的概念了解空间向量的定义、表示方法及相等关系都与平面向量相同．可在复习平面向量的定义、表示方法及其相等关系后类比进行理解﹒空间向量共线、共面的充分必要条件理解共面向量与共线向量的定义对象不同，但定义形式相同．空间向量的加法、减法及数乘运算理解掌握空间向量的加法、减法和数乘运算．利用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律﹒空间向量的坐标表示理解空间向量的坐标运算，加法、减法和数量积同平面向量类似，具有类似的运算法则，学习中可类比推广．空间向量的数量积理解掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握空间向量的坐标表示；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；理解向量长度公式及空间两点间距离公式．空间向量的共线与垂直理解能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．AB C OM N G 和计算方法及运算律．(8)理解向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式，并会用这些公式解决有关问题．2．预习提纲(1)回顾平面向量的相关知识：①平面向量的基本要素是什么? ②平面向量是如何表示的?③特殊的平面向量有那些? ④什么是平行向量(共线向量)?⑤什么是相等向量? ⑥什么是相反向量?⑦平面向量共线定理是什么? ⑧平面向量基本定理你知道吗?(2)请你填一填：①对平面内任意的四点A ，B ，C ，D ，则AB BC CD DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r ； ②设1(2,3),(1,5),,33A B AC AB AD AB -==u u u r u u u r u u u r u u u r 且，则C 、D 的坐标分别是____________； ③已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m = ；④若三点(1,1),(2,4),(,9)P A B x --共线，则x = ____________；⑤已知正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则a b c ++r r r 的模等于____________；⑥已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，且,,A B C 三点共线，则k = ；⑦等腰Rt ABC ∆中，2,AB AC AB BC ==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 则= ；⑧已知(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=r r r ，则()a b c ⋅r r r 的值= ____________；⑨1,9a b a b ==⋅=-r r r r ，则a r 与b r 的夹角是____________；⑩已知,a b r r 是两个非零向量，且,a b a b a a b ==-+r r r r r r r 则与的夹角= ____________．(3)研读教材P71—P833．典型例题例1 如图，已知四面体OABC ，,M N 分别是棱,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 表示向量OG u u u r ．解：23OG OM MG OM MN =+=+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 121211()[()]232322111111()233633OA ON OM OA OB OC OA OA OB OC OA OA OB OC =+-=++-=++-=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴313161++=点评：若变题为已知OG xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，求,,x y z ﹒则由空间向量基本定理存在一个唯一的有序实数组),,(z y x 知111,,633x y z ===．例 2 设空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ，若点P 满足向量关系z y x ++=(其中1x y z ++=)．试问：,,,P A B C 四点是否共面?解：由z y x ++=可以得到z y +=(见教材P75)由,,A B C 三点不共线，可知与不共线，所以，，共面且具有公共起点A ．从而,,,P A B C 四点共面．点评：若,,M A B 三点不共线，则空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对,x y 使得：y x +=，或对空间任意一点O 有：y x ++=．例3 已知空间四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 中点，求证：1()2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ．证明：(法一)如图， 0EF FC CD DE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，0EF FB BA AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，两式相加得： 2()()()EF FC FB CD BA DE EA ++++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 20EF BA CD =++=u u u r u u u r u u u r r 所以，11()()22EF BA CD AB DC =-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，得证． (法二)如图，在平面上任取一点O ，作OE uuu r 、OF u u u r ， ∵1()2OE OA OD =+u u u r u u u r u u u r ，1()2OF OB OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴11()()22EF OE OF OB OC OA OD =-=+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 111()()()222OB OA OC OD AB DC =-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．点评：若表示向量1a u r ，2a u u r ，…，n a u u r 的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则210n a a a +++=u r u u r u u r r L ．这一结论的使用往往能够给解题带来很大的方便．例4 如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=o ，60OAB ∠=o ，求OA 与BC 的夹角的余弦值．分析：OA 与BC 的夹角即为OA u u u r 与BC uuu r 的夹角，可根据夹角公式求解．解：∵BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r84cos13586cos12024=⨯⨯-⨯⨯=-o o∴243cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以，OA 与BC的夹角的余弦值为35-．点评：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=o u u u r u u u r 易错写成,45OA AC <>=o u u u r u u u r ．例5 已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积．分析：可用公式1||||sin 2S AB AC A =⋅⋅u u u r u u u r 来求面积解：∵(1,2,2)AB =-u u u r ，(2,0,3)AC =--u u u r ，∴||3AB ==u u u r，||AC ==u u u r(1,2,2)(2,0,3)264AB AC ⋅=-⋅--=-+=u u u r u u u r ，∴cos cos ,||||AB AC A AB AC AB AC ⋅=<>===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rsin sin ,A AB AC =<>=u u u r u u u r ，∴1||||sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=u u u r u u u r 例6 已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,2)C ，求满足//DB AC ，//DC AB 的点D 的坐标．分析：已知条件//DB AC ，//DC AB ，也即//DB AC u u u r u u u r ，//DC AB u u u r u u u r ，可用向量共线的充要条件处理．解：设点(,,)D x y z ，∴(,1,)DB x y z =---u u u r ，(1,0,2)AC =-u u u r ，∵//DB AC u u u r u u u r ，∴DB AC λ=u u u r u u u r ，∴(,1,)(,0,2)x y z λλ---=-，∴102x y z λλ-=-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，∴12x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴(,1,2)D λλ-，∴(,1,22)DC λλ=--+u u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，又∵//DC AB u u u r u u u r ，∴设DC u AB =u u u r u u u r ，∴(,1,22)(,,0)u u λλ--+=-，∴1220u u λλ-=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩∴1u λ==-，所以，D 点坐标为(1,1,2)-．点评：本题采用的方法是用向量坐标运算处理空间向量共线问题的常用方法．4．自我检测(1)已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为____________．(2)设(2,6,3)a =-r ，则与a r 平行的单位向量的坐标为．(3)已知(1,1,),(2,,)a t t t b t t =--=r r ，则||a b -r r 的最小值是．(4)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c ．则M B 1= ．(用a ，b ，c 表示)﹒(5)已知四边形ABCD 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1),(3,7,5)A B C --，则点D 的坐标为．(6)设向量(1,3,2),(4,6,2),(3,12,)a b c t =-=-=-r r r ，若c ma nb =+r r r ，则t = ，m n += ．(7)已知(cos ,1,sin ),(sin ,1,cos )a b θθθθ==r r ，则向量a b +r r 与a b -r r 的夹角是．三、课后巩固练习A 组1．已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： (1)AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ； (2)1()2AB BD BC ++u u u r u u u r u u u r ； (3)1()2AG AB AC -+u u u r u u u r u u u r ． 2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，设→---AB =a r ，→---AD =b r ，→---1AA =c r ，E 、F 分别是AD 1、BD 中点，试用a r 、b r 、c r 表示下列向量：(1)→---B D 1；(2)→---AF ；(3)→---C D 1；(4)→---EF ． 3．正方体OASB CQRP -中，→--OA = i r ，→--OB =j r ，→--OC =k r ，→--OP =a r ，→--OQ =b r ，→--OS =c r ，设→z =λa r ＋μb r ＋γc r ，则→z = i r ＋ j r ＋ k r ． 4．设a r 、b r 、c r 不共面，2,,453m a b n b c p a b c =-=+=--u r r r r r r u r r r r ，判断m u r 、n r 、p u r 是否共面． 5﹒已知空间四边形ABCD ，AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，AD c =u u u r r ，点M 在AB 上，且2AM MB =，N 为CD 中点，试用,,a b c r r r 表示MN u u u u r ．B 组6．已知,,A B C 三点不共线，O 为空间任意一点，若111333OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r ，试证：点M 与,,A B C 共面．7．证明四点()()()()1,0,1,4,4,6,2,2,3,10,14,17A B C D 在同一平面上． 8．已知()()3,1,5,1,2,3a b ==-r r ，若9,4a c b c ⋅=⋅=-r r r r ，且→c 垂直于Oz 轴，求→c ．9．已知a r 、b r 、c r 是两两垂直的单位向量，求：(1)()a b c ⋅+r r r ； (2)()()23a b b c -⋅+r r r r ； (3)()()4332a b c a b c -+⋅+-r r r r r r ．10．已知直角坐标系内的a r 、b r 、c r 的坐标，判断这些向量是否共面?如果不共面，求出以它们为三邻边所作的平行六面体的表面积：(1)()()()3,4,5,1,2,2,9,14,16a b c ===r r r ； (2)()()()3,0,1,4,3,0,1,2,2a b c =-=-=--r r r ．11．已知()()322,0,4,2,1,2,2,4,a b c a c b θ-=-=-⋅==r r r r r r 为,b c r r 夹角，求cos θ．12．已知()()1,0,2,2,1,0a b =--=--r rB CD M G A(1)求a r 与b r 夹角余弦值的大小； (2)若c =r c r 分别与,a b r r 垂直，求c r ．13. 平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为600，求1AC 的长．14．已知()()()1,2,3,2,1,5,3,2,5A B C --，求：(1)△ABC 的面积； (2)△ABC 的AB 边上的高． 15．空间两个不同的单位向量()(),,0,,,0OA p q OB r s ==u u u r u u u r ，都与()1,1,1OC =u u u r 成4π角． (1)分别求出p q +和pq 的值；(2)若AOB ∠为锐角，求AOB ∠．四、学习心得五、拓展视野N 维向量空间的起源宇宙，一个人类永远的话题，也是人类永远探索的目标．“没人确切的知道宇宙是怎么开始的．有人推论是一场无序的灾难性爆炸使无尽的世界群不断旋转向黑暗--这些世界随后有了不可思议的生命形态和天差地别的炯异．也有人相信宇宙是被某个强大实体以整体形式创造出来的．”宇宙，是一个空间概念．它包括行星，星系等实体．宇宙同时也是一个时间概念．现代有人解释宇宙为“无限的空间与时间”，正好印证了中国的一本古书<淮南子>对宇宙的定义，其中说“四方上下谓之宇，古往来今谓之宙”． “四方上下”概括了所有空间， "古往来今"则概括了部分的时间．为什么说是部分的时间呢? “古往来今”的含义是从永远的过去到现在的今天．这样的定义没有把从现在到无限的未来包括进来．如果我们把时间用一个变量 t 表示．那么“古往来今”则表示的是 t 在负无穷大到零的区间，即(-∞， 0]，如果我们设定坐标零点为现在，负方向代表过去，正方向代表将来．对于无限的空间的定义(即，时间 t从永远的过去到永远的将来)，就成为了(-∞，＋∞)．那么空间呢?同样我们可以用坐标系的方式来定义空间．问题的关键就在于，我们怎么看待我们生存的空间．我们不是生活在一个2维的平面上(而古代的中国人认为地是方的，就如同我小时候想得一样．)，而是生活在一个类似于球体的物体上．这样，很多人会说，我们生活在一个3维空间里面．这样一个3维空间由三个坐标轴 X ， Y ， Z 组成．在这样一个3维空间中，任何一个位置p 都可以用三个数(x ， y ， z )表示，x 为位置p 在X 轴上的取值(也是投影)，同理，y 和z 也是．同时，这三条坐标轴是正交的．何谓正交，就是三条坐标轴互相垂直．在这个3维空间中，我们有两点111,,)P y z 1（x (可能是伦敦)和2222,,)P x y z （(可能是巴黎)，从1P到2P 之间(伦敦到巴黎)的最小距离(直线距离)为D=||1P -2P ||=sqrt((1x -2x )2＋(1y -2y )2＋(1z -2z )2)．在一般情况，因为各种限制，我们可能用不了最小距离，但是最小距离给我们找到一个下限．宇宙不仅包括空间，而且包括时间，所以，我们的这个宇宙就变成了3＋1=4维的了．那么宇宙就可以描述为(),,,x y z t ，有了四条正交的坐标轴,,,X Y Z T ．比如说事件A 为(),,,x y z t 表示，事件A 发生在(),,x y z 地点，发生在t 时间．在这样一个4维空间中，两个事件之间的最小距离也可以表示出来．但是这个“距离”就不是空间上的相对位置的改变，而是表示两个事件之间的“关系”．跳出我们仅仅对宇宙作为时间＋空间的定义．如果我们将宇宙描述为包容万象的，我们就会看到仅仅用时间＋空间不能来完整来表示．比如说，如何表述一个人?如何表述我们情感?仅仅用四条坐标轴很难去表述这些东西．显然，我们需要更多的坐标轴．如果要表示我是高兴还是悲伤，我们可以加一条坐标轴e ，e=0表示我即不高兴也不悲伤，当e 取负值，越远离坐标原点，说明我越不happy ，相反，当e 取正值，越远离坐标原点，说明我越happy ．如果我们要描叙其他的属性，我们有加入了新的坐标轴．如果，要描述的属性不计其数，要加入的坐标轴也不计其数了．显然，这是有可能的，因为我们对事物的认识是没有止境的，所以，当我们要描叙一个事物时，其属性可能无限多．这也反过来说明了宇宙的包容一切．所以，宇宙是一个无限维的空间，定为n 维空间(n=∞)，其存在n 条正交的坐标轴．无数的基本元素组成了宇宙(注意，这里的元素与化学中提到的元素不同，这里的元素是指单元)．每个元素是一个向量v ， v = {v1， v2， v3，．．．， vn}， n =∞，(其实就相当于3维和2维空间中的一个点)．无数个向量组成的空间叫做向量空间．向量空间的维度就是坐标轴的个数．宇宙就是一个n 维向量空间。

苏教版高中数学选修2第三章空间向量与立体几何教案

选修2第三章空间向量与立体几何教案课题：平面向量知识复习教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备教学重点：平面向量的基础知识教学难点：运用向量知识解决具体问题教学过程：一、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。

二、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a = ；注意)(21+=,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件：⑴ //a b 的充要条件是：；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是：；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件：⑴ a b ⊥的充要条件是：；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥的充要条件是：；（坐标表示）三、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则∆ABC 是（）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（） A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||22p =||3q =，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（）A ．15B C ． 14D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=||||(AC AB ++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，-1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（） A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 7．若()(),,7,4,3,2=+-==方向在则b c 上的投影为。

(教师用书)高中数学第三章空间向量与立体几何教案苏教版选修2-1

第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．1.1 空间向量及其线性运算3．1.2 共面向量定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解空间向量与平面向量的联系与区别．(2)理解空间向量的线性运算及其性质．(3)理解共面向量定理．2．过程与方法(1)学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程．(2)通过类比平面向量基本定理，得出共面向量基本定理，并能利用共面向量基本定理证明向量共面，学会判定与证明向量共面及四点共面的方法．3．情感、态度与价值观逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知能力．●重点难点重点：了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质．难点：共面向量定理的理解及应用．先回顾平面向量的定义及线性运算法则，类比得出空间向量的有关定义及运算法则，并通过空间图形进行严格的理论验证，从而突出教学重点．对于共面向量定理，完全可由平面向量基本定理类比得出，重在应用其证明共面问题，通过例题，体现向量法证明线线平行、线面平行的方法与步骤，从而突破教学难点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是第三章《空间向量与立体几何》的第一节，由于是起始节，所以这节课中也包含了章引言的内容．章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算．向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用．本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具．采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，紧紧围绕教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，努力突破教学难点．●教学流程回顾平面向量的定义，类比得出空间向量的定义、几何表示、符号表示；找出空间向量与平面向量的区别与联系．⇒回顾平面向量的线性运算法则，得出空间向量的线性运算法则，并通过空间图形加以验证，得出空间向量线性运算满足的运算律．理解单位向量、共线向量、平行向量等概念，理解共线向量定理成立的条件及作用．⇒理解共面向量的定义，区分向量共面与直线共面的区别，理解共面向量定理的内涵，会用共面向量定理证明向量共面，从而证明立体几何问题如共面问题、线面平行问题等．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握空间向量的线性运算法则，在常见的立体图形中，灵活的应用三角形和平行四边形法则进行空间向量的运算，实现利用给定向量表示某一向量的目的．⇒通过例2及变式训练，使学生体会共线向量定理的两个应用，正向可用来证明线线平行，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解证立体几何问题的步骤与规律．⇒通过例3及变式训练，使学生体会共面向量定理的两个应用，正向可用来证明线面平行，四点共面，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解证立体几何问题的步骤与规律．⇒通过易错易误辨析，体会零向量的特殊性，在分析向量间关系及向量运算时，应注意零向量的特殊性．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量．已知空间四边形ABCD ，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0还成立吗？【提示】成立．根据向量的加法法则，表示相加向量的有向线段依次首尾相接，其和为从第一个向量的首指向最后一个向量的尾，故AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AA →＝0.向量加法可以推广到有限个向量的和，并且可用口诀记忆：首尾首尾首指向尾．【问题导思】共线向量一定是同一直线上的向量吗？【提示】共线向量不一定是同一直线上的向量，而是表示向量的有向线段只要可以平移到同一直线上即可，因此共线向量也叫平行向量．对空间任意两个向量a，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .如果两个向量a 、b )，使得p ＝x a ＋y b .图3－1－1如图3－1－1，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：【思路探究】观察各式涉及的向量在图形中的位置特点，将减法运算转化为加法运算，利用向量加法的三角形法则即可化简．【自主解答】(3)设M 是线段AC ′的中点，则12AD →＋12AB →－12＝12AD →＋12AB →＋12＝12(AD →＋AB →＋)＝12＝AM →.向量，AM →如图所示．1．进行向量的线性运算，实质是进行向量求和，解题时应抓住两条主线：一是基本“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和；二是基于“数”，熟练掌握AB →＋BC →＝AC →及向量中点公式．2．用已知向量表示空间向量，实质是向量的线性运算的反复应用．图3－1－2如图3－1－2，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别为AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示：(1)AC 1→；(2)AP →； (3)A 1N →；(4)MP →＋NC 1→.【解】 (1)AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝b ＋c ＋a . (2)∵P 为D 1C 1→的中点， ∴D 1P →＝12D 1C 1→＝12AB →＝12b ，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(3)A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－AA 1→＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(4)∵MP →＝MA 1→＋A 1D 1→＋D 1P → ＝12AA 1→＋AD →＋12AB → ＝12a ＋c ＋12b . NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a .∴MP →＋NC 1→＝(12a ＋c ＋12b )＋(12c ＋a )＝32a ＋12b ＋32c .图3－1－3如图3－1－3，已知点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，其中E ，H 是中点，F ，G是三等分点，且CF ＝2FB ，CG ＝2GD .试判断四边形EFGH 的形状．【思路探究】证明向量EH →∥FG →且模不相等．【自主解答】 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →. 又∵CF →＝2FB →，CG →＝2GD →， ∴CF →＝23CB →，CG →＝23CD →，∴FG →＝CG →－CF →＝23CD →－23CB →＝23(CD →－CB →)＝23BD →， ∴BD →＝32FG →，∴EH →＝34FG →，∴EH →∥FG →，|EH →|＝34|FG →|.又点F 不在直线EH 上，∴EH ∥FG ，且EH ≠FG ， ∴四边形EFGH 是梯形．1．证明EFGH 为梯形，必须证明两点：①EH →∥FG →； ②|EH →|≠|FG →|.2．利用向量共线可证空间图形中的两直线平行，为向量法证明立体几何问题奠定了基础．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A 、B 、D 三点共线，求实数k 的值．【解】 ∵BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2. ∴BD →＝BC →＋CD →＝(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝6e 1＋6e 2. ∵A ，B ，D 三点共线， ∴AB →＝λBD →.∴e 1＋k e 2＝λ(6e 1＋6e 2)．∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝6λ ，k ＝6λ ，∴k ＝1.(2012·辽宁高考)如图3－1－4，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．证明：MN ∥平面A ′ACC ′.图3－1－4【思路探究】利用向量的线性运算得到向量MN →可以由平面A ′ACC ′内两个不共线的向量表示即可．【自主解答】因为MN →＝MA ′→＋A ′N →，且点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点，所以MN →＝12BA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′C ′→)＝12(B ′A ′→＋AA ′→)＋12(A ′B ′→＋A ′C ′→)＝12AA ′→＋12A ′C ′→. 因为MN ⊄平面A ′ACC ′，所以MN ∥平面A ′ACC ′.1．判断三个向量共面，即利用向量的线性运算实现其中一个向量能用另外两个向量惟一表示．2．利用向量判断线面平行有两种方法：一是利用共线向量定理，找出平面内的一个向量与直线上的向量共线；二是利用共面向量定理，找出平面内不共线的两个向量能表示出直线上的向量．两种方法中注意说明直线不在平面内．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，C ，D 四点共面．【证明】令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋ν(3e 1－3e 2)＝0，则(λ＋2μ＋3ν)e 1＋(λ＋8μ－3ν)e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＋3ν＝0，λ＋8μ－3ν＝0，解得λ＝－5，μ＝1，ν＝1是其中一组解，则AB →＝15AC →＋15AD →，∴A 、B 、C 、D 四点共面.忽略零向量导致错误下列命题：①空间任意两个向量a ，b 不一定是共面的； ②a ，b 为空间两个向量，则|a |＝|b |⇔a ＝b ； ③若a ∥b ，则a 与b 所在直线一定平行； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中错误命题的序号是________．【错解】 ②【错因分析】 ①空间任意两个向量都是共面的．②向量的模相等时，两个向量不一定相等，还要看向量的方向．③当a ∥b 时，它们所在直线平行或重合．④当b ＝0时，a 与c 不一定平行．【防范措施】向量的平行(共线)不具备传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，不一定有a ∥c ，但当b 为非零向量时，向量平行(共线)具备传递性，即若b ≠0，则当a ∥b ，b ∥c 时，有a ∥c .【正解】 ①②③④1．空间向量是平面向量的拓广和延伸，空间向量的线性运算法则和运算律与平面向量具有可类比性，但空间向量比平面向量应用范围更广泛．2．共线向量定理是判定两向量共线的充要条件，利用共线向量定理可以解决两方面的问题：(1)判定两向量共线；(2)由两向量共线，求待定字母的值．3．共面向量定理是判断三向量共面的理论依据，依此可以证明三向量共面，从而证明四点共面与线面平行问题．1．在空间四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝______. 【解析】 AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0. 【答案】 02．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简式子：DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋CB 1→－CB →＝________. 【解析】 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋CB 1→－CB →＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD 1→. 【答案】 BD 1→3．有下列命题：①平行于同一直线的向量是共线向量；②平行于同一平面的向量是共面向量；③平行向量一定是共面向量；④共面向量一定是平行向量．其中正确的命题有________．【解析】 “共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线．①②③均正确．【答案】 ①②③图3－1－54．如图3－1－5，在空间四边形ABCD 中，E 、F 为AB 、CD 的中点，试证EF →，BC →，AD →共面．【证明】空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，利用多边形加法法则可得⎭⎬⎫EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →.①又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA →＝－EB →，DF →＝－CF →.②将②代入①中，两式相加得2EF →＝AD →＋BC →. 所以EF →＝12AD →＋12BC →，即EF →与BC →、AD →共面．一、填空题1．下列命题中真命题的个数是________． ①空间中任两个单位向量必相等；②将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆； ③若两个非零向量a ，b 满足a ＝k b ，则a ，b 同向； ④向量共面即它们所在的直线共面．【解析】 ①是假命题，单位向量模相等，但方向不一定相同，因此空间中任两个单位向量不一定相等； ②是假命题，将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个球面； ③是假命题，当k >0时，a ，b 同向，当k <0时，a ，b 反向；④是假命题，表示共面向量的有向线段所在的直线可以“平移”(平行移动)到同一平面，但不一定共面．【答案】 02．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →＝________. 【解析】 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝c ＋12BD →＝c ＋12B 1D 1→＝c ＋12b －12a ＝－12a ＋12b ＋c .【答案】－12a ＋12b ＋c3．非零向量e 1、e 2不共线，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k ＝________. 【解析】若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1，∴k ＝±1.【答案】 ±14．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA →上，且OM →＝2MA →，N 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)【解析】如图， MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .【答案】－23a ＋12b ＋12c5．如图3－1－6，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为BD 1→的是________．图3－1－6①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.【解析】 (A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→，(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→. 【答案】 ①② 6．有四个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面； ④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题是________(填序号)．【解析】由共面向量定理知，①真；若p 与a ，b 共面，当a 与b 共线且p 与a 和b 不共线时，就不存在实数组(x ，y )使p ＝x a ＋y b 成立，故②假．同理③真，④假．【答案】 ①③7．在下列各式中，使P ，A ，B ，C 四点共面的式子的序号为________． ①OP →＝OA →－OB →－OC →； ②OP →＝17OA →＋14OB →＋12OC →；③PA →＋PB →＋PC →＝0； ④OP →＋OA →＋OB →＋OC →＝0； ⑤OP →＝12OA →－OB →＋32OC →.【解析】根据四点共面的充要条件，易知①②④不适合，③⑤适合．【答案】 ③⑤8．(2013·平遥高二检测)已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.【解析】如图，取AB 的中点D ， OG →＝OC →＋CG → ＝OC →＋23CD →＝OC →＋23·12(CA →＋CB →)＝OC →＋13[(OA →－OC →)＋(OB →－OC →)]＝13OA →＋13OB →＋13OC →. ∴OA →＋OB →＋OC →＝3OG →. 【答案】 3 二、解答题图3－1－79．如图3－1－7，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，M 是线段CC ′的中点，G 是线段AC ′的三等分点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)AB →＋BC →； (2)AB →＋AD →＋AA ′→； (3)AB →＋AD →＋12CC ′→；(4)13(AB →＋AD →＋AA ′→)．【解】 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′→＝AC →＋AA ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→. (3)AB →＋AD →＋12CC ′→＝AB →＋BC →＋CM →＝AC →＋CM →＝AM →.(4)13(AB →＋AD →＋AA ′→)＝13AC ′→＝AG →. 向量AC →，AC ′→，AM →，AG →如图所示．10．如图3－1－8所示，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．图3－1－8【解】 ∵M 、N 分别是AC 、BF 的中点，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →，MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)＝2MN →， ∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．图3－1－911．如图3－1－9，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB . 【证明】因为H 为BC 的中点，所以FH →＝12(FB →＋FC →)＝12(FE →＋EB →＋FE →＋ED →＋DC →)＝12(2FE →＋EB →＋ED →＋DC →)．因为EF ∥AB ，CD ∥AB ，且AB ＝2EF ，所以2FE →＋DC →＝0，所以FH →＝12(EB →＋ED →)＝12EB →＋12ED →.因为EB →与ED →不共线，由共面向量定理知，FH →，EB →，ED →共面．因为FH ⊄平面EDB ，所以FH ∥平面EDB .(教师用书独具)已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定下列各条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面． (1)OB →＋OM →＝3OP →－OA →； (2)OP →＝4OA →－OB →－OM →.【思路探究】判断点P 是否在平面MAB 内，可先看MP →能否用向量MA →、MB →表示．当MP →能用MA →、MB →表示时，点P 位于平面MAB 内，否则点P 不在平面MAB 内．【自主解答】 (1)原式可变形为 OP →＝OM →＋(OA →－OP →)＋(OB →－OP →) ＝OM →＋PA →＋PB →，∴OP →－OM →＝PA →＋PB →， ∴PM →＝－PA →－PB →，∴P 与M 、A 、B 共面． (2)原式可变形为 OP →＝2OA →＋OA →－OB →＋OA →－OM →＝2OA →＋BA →＋MA →， ∴AP →＝－AO →－AB →－AM →，表达式中还含有AO →， ∴P 与A 、B 、M 不共面．1．解答本题中注意构造以P 、A 、B 、M 中某一点为起点，另三点为终点的三个向量来判断此三向量是否共面，若共面又共起点，此四点必共面，否则不共面．2．要证四点共面，可先作从同一点出发的三个向量，由向量共面推知点共面，应注意待定系数法的应用．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．【解】 (1)∵OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴13(OA →－OM →)＋13(OB →－OM →)＋13(OC →－OM →)＝0， ∴MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴MA →＝－MB →－MC →，∴MA →、MB →、MC →三个向量是共面向量． (2)由(1)知MA →、MB →、MC →三个向量共面，又有共同起点M ，所以M 、A 、B 、C 四点共面，即点M 在平面ABC 内．3．1.3 空间向量基本定理 3．1.4 空间向量的坐标表示(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)掌握空间向量基本定理，能恰当地选择基底，用基向量表示空间任一向量． (2)理解空间向量的正交分解，理解向量坐标的意义．(3)掌握向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，会应用向量坐标进行线性运算，能判断向量共线． 2．过程与方法(1)由平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，体会定理的条件及内涵；会在具体空间图形中，选取基底表示空间向量． (2)类比平面向量坐标运算法则，得出空间向量坐标运算法则，并运用这些法则进行向量坐标线性运算． (3)运用向量坐标进行向量共线的判定与应用． 3．情感、态度与价值观能过教师的引导，学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生具备探究、归纳、应用的能力，形成严谨的思维习惯． ●重点难点重点：用基底表示空间向量，向量线性运算的坐标表示．难点：用基底表示空间向量．教学时，应采用类比思维的方法，先回顾平面向量基本定理及坐标表示，得出空间向量基本定理及坐标表示，降低问题的难度，在具体的常见几何体(正方体、三棱锥、棱柱)中，展示用基底表示空间向量的方法与过程，突出本节的重点，化解教学的难点．(教师用书独具)●教学建议空间向量基本定理是向量法研究立体几何问题的基石，是本章的重中之重，空间向量的坐标表示及坐标运算，是坐标法研究立体几何的工具．因此本节课是全章内容的工具性内容，为学生学习立体几何提供新角度、新手段、新方法．由于学生已学习了平面向量基本定理及坐标运算，因而本节宜采用类比教学法，多发挥学生自主探究能力，通过回顾→类比→完善→应用的环节获取新知识，应用新知识．除使用常规的教学手段外，还将使用多媒体投影和计算机辅助教学，增加教学的直观性和趣味性．●教学流程回顾平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，强调基向量的不共面性，线性表示的惟一性，常见几何体中基底的一般选法，定义单位正交基，推导空间向量基本定理的推论 .⇒回顾平面向量的坐标表示，得出空间向量的坐标表示，理清向量坐标的实际意义，向量坐标与点坐标的关系．⇒回顾平面向量线性运算的坐标表示，得出空间向量的线性运算的坐标表示，向量坐标与起始点坐标的关系，共线向量的坐标条件．⇒通过例1及变式训练，让学生掌握基底的选取条件，即不共面向量，加深对基底概念的理解．⇒通过例2及变式训练，让学生掌握如何选取基向量，如何用基底表示某一向量，在具体操作中运用向量的线性运算法则．⇒通过例3及变式训练，让学生掌握向量坐标运算法则，掌握如何运用起点、终点坐标表示向量坐标．⇒通过例4及变式训练，让学生掌握向量共线的坐标条件的应用，由此判定向量共线或求值．⇒通过易错易误辨析，让学生分清向量共线与向量同向的区别，以免概念混淆，解题出错．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.p＝x e1＋y e2＋z e3.如果三个向量e1，e2，e3如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i ，j ，k }表示．设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP ＝xOA →＋yOB →＋zOC →.【问题导思】空间直角坐标系中，点的坐标与向量坐标有何联系与区别？【提示】在空间直角坐标系中，当起点为原点时，向量坐标就是其终点坐标；当起点不是原点时，向量坐标是终点坐标减去起点坐标．所以向量坐标不是点的坐标，而是终点坐标与起点坐标的差值．在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a 的坐标．【问题导思】空间向量的坐标运算与几何运算相比较，有哪些好处？【提示】坐标运算实际上是实数间的运算，运算起来更为简捷方便．设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD →＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．【思路探究】判断{OA →，OB →，OC →}能否作为基底，关键是判断它们是否共面，一般假设其共面，利用共面向量定理分析；求OD →的表示式，设OD →＝pOA →＋qOB →＋zOC →，利用待定系数法求系数．【自主解答】假设OA →、OB →、OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x 、y 使OA →＝xOB →＋yOC →成立． ∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3，∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA →＝xOB →＋yOC →， ∴OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底．设OD →＝pOA →＋qOB →＋zOC →，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p (e 1＋2e 2－e 3)＋q (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)＝(p －3q ＋z )e 1＋(2p ＋q ＋z )e 2＋(－p ＋2q －z )e 3 ∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，∴⎩⎪⎨⎪⎧p －3q ＋z ＝2，2p ＋q ＋z ＝－1，－p ＋2q －z ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝17，q ＝－5，z ＝－30，∴OD →＝17OA →－5OB →－30OC →.1．判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断．2．求一向量在不同基底下的表示式(或坐标)，一般采用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式(或坐标)，转化为在原基底下的表示式，对比系数．若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为空间的一个基底．【解】假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )成立，即a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ)c . ∵{a ，b ，c }是空间的一个基底， ∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧μ＝1λ＝1λ＋μ＝0，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )成立，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面．故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．图3－1－10如图3－1－10，四棱锥P －OABC 的底面为矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.【思路探究】选取基向量→观察空间图形→利用线性运算→用基底表示向量【自主解答】连结OB ，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(－OA →－OC →＋OP →)＝－12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a ＋12(－b ＋c )＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12PC →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝－12a .1．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的． 2．用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则以及平行四边形法则的应用．图3－1－11如图3－1－11，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，＝c ，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AM →；(2)AN →.【解】 (1)AM →＝12(AC →＋)＝12(AB →＋AD →＋AD →＋)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (2)AN →＝12(＋)＝12[(AB →＋AD →＋)＋(AD →＋)]＝12(AB →＋2AD →＋2)＝12a ＋b ＋c .已知A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P 的坐标．(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)．【思路探究】利用向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标求出AB →，AC →，然后进行坐标运算得到OP →，AP →，从而可确定点P 的坐标．【自主解答】 AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．(1)OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32，－2)．(2)设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．由(1)知，AP →＝12(AB →－AC →)＝(3，32，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3y ＋1＝32z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y＝12z ＝0，则点P 的坐标为(5，12，0)．1．牢记运算法则是正确进行向量线性运算的关键．2．涉及已知点的坐标进行向量运算时，注意利用终点的坐标减去起点的坐标得到向量的坐标，这是向量运算的前提．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，求AB →，AC →及2AB →＋3AC →. 【解】 AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)，2AB →＋3AC →＝2(1,1,0)＋3(－1,0,2)＝(2,2,0)＋(－3，0,6)＝(－1,2,6)．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，求满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D 的坐标．【思路探究】由已知条件DB ∥AC ，DC ∥AB ，转化为向量平行，用共线向量定理及空间向量平行的坐标表示，可求得D 点的坐标．【自主解答】设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)，由DB ∥AC ，设DB →＝λAC →，即(－x,1－y ，－z )＝(－λ，0,2λ)，则⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－λ，1－y ＝0，－z ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝1，z ＝－2λ，得D (λ，1，－2λ)．∴DC →＝(－λ，－1,2＋2λ)，AB →＝(－1,1,0)．又DC →∥AB →，设DC →＝μAB →，即(－λ，－1,2＋2λ)＝(－μ，μ，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧－λ＝－μ，－1＝μ，2＋2λ＝0.解得λ＝μ＝－1.∴点D 的坐标为(－1,1,2)．1．本例中，求点D 的坐标，主要是利用两向量平行的坐标条件，列出关于点D 的坐标的方程组，通过解方程组求得．2．两向量平行的充要条件有两个：①a ＝λb ，②⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2y 1＝λy 2z 1＝λz 2，依此，既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值．设a ＝(2,3,0)，b ＝(－3，－2,1)，计算2a ＋3b,5a －6b ，并确定λ，μ的值，使λa ＋μb 与向量b 平行．【解】 ∵a ＝(2,3,0)，b ＝(－3，－2,1)，∴2a ＋3b ＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)， 5a －6b ＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)． ∵λa ＋μb ＝λ(2,3,0)＋μ(－3，－2,1)＝(2λ－3μ，3λ－2μ，μ)，且(λa ＋μb )∥b ， ∴2λ－3μ－3＝3λ－2μ－2＝μ1. ∴λ＝0，μ∈R ，即λ＝0，μ∈R 时，λa ＋μb 与b 平行.误解“两向量平行”和“两向量同向”已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，求x ，y 的值．【错解】由题意知a ∥b ，则x 1＝x 2＋y －22＝y3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ②，把①代入②得x 2＋x －2＝0，解得x ＝－2或x ＝1.当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.【错因分析】 “两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解忽略了“同向”这一条件的限制，扩大了范围．【防范措施】由于向量具有平移不变性，因此有关向量的平行问题与直线的平行是有区别的，并且两向量同向与向量平行也是不等价的，向量平行则两向量可能同向也可能反向，因此，解决这类问题时要特别注意限制条件．【正解】由题意知a ∥b ，则x 1＝x 2＋y －22＝y3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ②，把①代入②得x 2＋x －2＝0，解得x ＝－2或x ＝1.当x＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，向量a 与b 反向，不符合题意，故舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，向量a 与b 同向，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3.1．用基底表示空间几何体中一向量时，应结合立体图形，根据空间向量线性运算法则，写出要求的向量表达式． 2．建立空间直角坐标系后，空间向量都有惟一的坐标(x ，y ，z )，两向量间的线性运算也有相应的坐标运算法则．3．对于两向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，a ∥b ⇔a ＝λb ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2y 1＝λy 2z 1＝λz 2(b ≠0)，依此可以判定两向量平行或由两向量平行求待定字母的值.1．下列说法正确的是________．①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底； ②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底； ③单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直；④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底．【解析】根据基底的有关概念可知：任何三个不共面的向量都可以构成一个基底，当这三个基向量是模为1且两两垂直的向量时，称此基底为单位正交基底，故有③正确，①②④错误．【答案】 ③图3－1－122．如图3－1－12，已知平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′中，OA →＝a ，OC →＝c ，＝b ，D 是四边形OABC 的中心，则OD →＝________.【解析】结合图形，充分利用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则，利用基向量a 、b 、c 表示OD →.仔细观察会发现OD →与OA →、OC →是共面向量，故它们三者之间具有线性关系，即可得到答案．【答案】 12a ＋12c3．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b ＝______. 【解析】设b ＝(x ，y ，z )，则a ＋b ＝(x ＋1，y －2，z ＋1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－1，y －2＝2，z ＋1＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4，z ＝－2.∴b ＝(－2,4，－2)．【答案】 (－2,4，－2)4．设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k . 【解】法一 ∵a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．∴k a ＋b ＝k (1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)．a －3b ＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(7，－4，－16)．∵(k a ＋b )∥(a －3b )． ∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16.∴k ＝－13.法二 ∵(k a ＋b )∥(a －3b )． ∴k a ＋b ＝λ(a －3b )．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－3λ，∴k ＝－13.一、填空题1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．【解析】命题q 中，{a ，b ，c }为空间的一个基底，则根据基底的定义，可知a ，b ，c 为非零向量，且为不共面向量．故q ⇒p ，pD⇒/q ，所以命题p 是命题q 的必要不充分条件．【答案】必要不充分2．设向量a ，b ，c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是________．①{a ＋b ，b －a ，a }； ②{a ＋b ，b －a ，b }； ③{a ＋b ，b －a ，c }; ④{a ＋b ＋c ，a ＋b ，c }．【解析】因为只有③中三个向量不共面，所以可以作为一个基底．【答案】 ③3．已知{i ，j ，k }为空间的一个基底，若a ＝i －j ＋k ，b ＝i ＋j ＋k ，c ＝i ＋j －k ，d ＝3i ＋2j －4k ，又d ＝α a ＋β b ＋γc ，则α＝________，β＝________，γ＝________.【解析】由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝3－α＋β＋γ＝2α＋β－γ＝－4，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧α＝12β＝－1γ＝72.【答案】 12 －1 72图3－1－134．如图3－1－13，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 是底面A ′B ′C ′D ′的中心，a ＝12AA ′→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，AE →＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 的值分别为x ＝________，y ＝________，z ＝________.【解析】由题意知AA ′→，AB →，AD →为不共面向量，而AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12AB →＋12AD →＝2a ＋b ＋32c ，∴x ＝2，y ＝1，z ＝32.【答案】 2 1 325．已知A (3,2,1)，B (－4,5,3)，C (－1,2,1)，则2AB →＋5AC →的坐标为________．【解析】 2AB →＋5AC →＝2(－7,3,2)＋5(－4,0,0) ＝(－14－20,6＋0,4＋0)＝(－34,6,4)．【答案】 (－34,6,4)6．(2013·平遥高二检测)已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝ (6,2μ－1,2)，a ∥b ，则λ与μ的值分别为________．。

高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(2.1)word学案

3．2空间向量的应用3．2.1直线的方向向量与平面的法向量[学习目标] 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法向量．[知识链接]1．平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？答：相互平行．2．一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？答：不惟一，它们相互平行，但不一定相等．[预习导引]1．直线的方向向量直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量．2．平面的法向量如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n ⊥α，此时，我们把向量n叫做平面α的法向量.要点一直线的方向向量及其应用例1设直线l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，直线l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝________.答案2解析由题意，得a⊥b，所以a·b＝(1,2，－2)·(－2,3，m)＝－2＋6－2m＝4－2m＝0，所以m ＝2.规律方法若l1⊥l2，则l1与l2的方向向量垂直；若l1∥l2，则l1与l2的方向向量平行．跟踪演练1若直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，则l1与l2的位置关系是________．答案垂直解析因为a·b＝(1，－3，－1)·(8,2,2)＝8－6－2＝0，所以a⊥b，从而l1⊥l2.要点二求平面的法向量例2 已知点A (a,0,0)、B (0，b,0)、C (0,0，c )，求平面ABC 的一个法向量．解设坐标原点为O ，由已知可得：AB →＝OB →－OA →＝(0，b,0)－(a,0,0)＝(－a ，b,0)，AC →＝OC →－OA →＝(0,0，c )－(a,0,0)＝(－a,0，c )．设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AB →＝(x ，y ，z )·(－a ，b,0)＝－ax ＋by ＝0， n ·AC →＝(x ，y ，z )·(－a,0，c )＝－ax ＋cz ＝0. 于是得y ＝a b x ，z ＝acx .不妨令x ＝bc ，则y ＝ac ，z ＝ab .因此，可取n ＝(bc ，ac ，ab )为平面ABC 的一个法向量．规律方法平面的法向量有无数条，一般用待定系数法求解，解一个三元一次方程组，求得其中一条即可，构造方程组时，注意所选平面内的两向量是不共线的，赋值时保证所求法向量非零，本题中法向量的设法值得借鉴．跟踪演练2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．解 ∵AD 、AB 、AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，以AD →、AB →、AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示坐标系，则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝(12，0,0)是平面SBA 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，有n ⊥DC →，n ⊥DS →，则n ·DC →＝(1，λ，u )·(12，1,0)＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·(－12，0,1)＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝(1，－12，12)．要点三证明平面的法向量例3 在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．求证：D 1F →是平面ADE 的法向量．证明如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，E (1,1，12)，F (0，12，0)，所以AD →＝(－1,0,0)，D 1F →＝(0，12，－1)，AE →＝(0,1，12)，所以AD →·D 1F →＝(－1,0,0)·(0，12，－1)＝0，AE →·D 1F →＝(0,1，12)·(0，12，－1)＝0，所以AD →⊥D 1F →，AE →⊥D 1F →，又AD ∩AE ＝A ，所以D 1F →⊥平面ADE ，从而D 1F →是平面ADE 的法向量．规律方法用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直．跟踪演练3 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，在BC 、DD 1上是否存在点E 、F ，使B 1E →是平面ABF 的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E 、F 满足的条件；若不存在，请说明理由．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,1)，B (1,1,1)，B 1(1,1,0)，设F (0,0，h )，E (m,1,1)，则AB →＝(0,1,0)，B 1E →＝(m －1,0,1)，F A →＝(1,0,1－h )．∵AB →·B 1E →＝0，∴AB ⊥B 1E .若B 1E →是平面ABF 的法向量，则B 1E →·F A →＝m－1＋1－h ＝m －h ＝0，∴h ＝m .即E 、F 满足D 1F ＝CE 时，B 1E →是平面ABF 的法向量．故存在，且E 、F 满足D 1F ＝CE .1．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量．若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________. 答案 6152解析由l 1∥l 2得，23＝4x ＝5y ，解得x ＝6，y ＝152.2．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为________．答案 (1,2,3)解析 ∵AB →＝(2,4,6)，而与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．3．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是________． ①(0,1,2) ②(3,6,9) ③(－1，－2,3) ④(3,6,8) 答案 ②解析向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线．4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，则m ＝________.答案－8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为(1，12，2)，∴(2，m,1)·(1，12，2)＝0.∴2＋12m ＋2＝0.∴m ＝－8.1.直线的方向向量的应用利用方向向量可以确定空间中的直线．若有直线l ，点A 为直线上的点，向量a 是l 的方向向量，在直线l 上取AB →＝a ，则对于直线l 上任意一点P ，一定存在实数t ，使AP →＝tAB →，这样，点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置还可以具体地表示出直线l 上的任意点． 2．平面的法向量的求法若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：(1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．(3)根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n·b ＝0.(4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量．一、基础达标1．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列向量中不是y 轴方向向量的序号是________． ①(0,1,0)；②(0，－1,0)；③(0,2,0)；④(0,1,1)．答案 ④解析 y 轴方向向量可以表示为(0，k,0)(k ≠0)，所以只有④(0,1,1)不是y 轴方向向量． 2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________. 答案 4解析 α∥β⇒(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)， ∴λ＝－2，k ＝4.3．在空间直角坐标系Oxyz 中，平面xOy 的一个法向量是________．答案 (0,0,1)解析答案不惟一，只要与向量(0,0,1)平行的非零向量都可以．4．在空间直角坐标系Oxyz 中，法向量(1,0,0)对应的坐标平面是________．答案 yOz 平面解析因为向量(1,0,0)平行于x 轴，所以对应的坐标平面是垂直于x 轴的平面．5．在空间直角坐标系Oxyz 中，设平面α经过点P (1,0,0)，平面α的法向量为e ＝(1,0,0)，M (x ，y ，z )为平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系是________．答案 x ＝1解析由题意可知e ·PM →＝0，代入坐标计算即可得x ＝1.6．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________________．答案 (33，33，33)或(－33，－33，－33) 解析设单位法向量n 0＝(x ，y ，z )，AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)．由n 0·AB →＝0，且n 0·AC →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝1，y －x ＝0，z －x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝33，y ＝33，z ＝33，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－33，y ＝－33，z ＝－33.7．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)， ∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )．依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，z ＝0.令y ＝1，则x ＝2. ∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．二、能力提升8．已知点A 、B 、C 的坐标分别是(0,1,0)、(－1,0,1)、(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，则点P 的坐标为________．答案 (13，0，－23)解析 ∵A (0,1,0)，B (－1,0,1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )， ∴AB →＝(－1，－1,1)，AC →＝(2,0,1)，P A →＝(－x,1，－z )． ∵P A →⊥AB →，P A →⊥AC →，∴P A →·AB →＝(－x,1，－z )·(－1，－1,1)＝0， P A →·AC →＝(－x,1，－z )·(2,0,1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1－z ＝0，－2x －z ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝13，z ＝－23，∴点P 的坐标为(13，0，－23)．9．若不重合的两个平面的法向量分别是a ＝(3，－3，－3)，b ＝(－1,1,1)，则这两个平面的位置关系是________．答案平行解析因为a ＝－3b ，所以a ∥b ，所以这两个平面平行．10．不重合的直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，且a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，则l 1，l 2的位置关系是________．答案平行解析因为b ＝－3a ，所以a ∥b ，所以l 1∥l 2.11．△ABC 中，A (1，－1,2)，B (3,3,1)，C (3,1,3)，设M (x ，y ，z )是平面ABC 上任一点． (1)求平面ABC 的一个法向量； (2)求x ，y ，z 满足的关系式．解 (1)设平面ABC 的法向量n ＝(a ，b ，c )， ∵AB →＝(2,4，－1)，AC →＝(2,2,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝2a ＋4b －c ＝0，n ·AC →＝2a ＋2b ＋c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝b ，a ＝－32b . 故可取n ＝(－3,2,2)．∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(－3,2,2)． (2)∵点M (x ，y ，z )是平面ABC 上任一点， ∴－3(x －1)＋2(y ＋1)＋2(z －2)＝0. ∴3x －2y －2z －1＝0.这就是所求的x 、y 、z 满足的关系式．12．如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，求证：AC 1→是平面B 1D 1C 的法向量．证明如图，以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)．所以AC 1→＝(－1,1,1)，D 1B 1→＝(1,1,0)，CB 1→＝(1,0,1)，所以AC 1→·D 1B 1→＝(－1,1,1)·(1,1,0)＝0，AC 1→·CB 1→＝(－1,1,1)·(1,0,1)＝0，所以AC 1→⊥D 1B 1→，AC 1→⊥CB 1→，又B 1D 1∩CB 1＝B 1，所以AC 1→是平面B 1D 1C 的法向量．三、探究与创新13.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点． (1)求BN 的长；(2)求BA 1→与CB 1→夹角的余弦值；(3)求证：BN →是平面C 1MN 的一个法向量． (1)解如图所示，以CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C —xyz . 依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)， ∴|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2 ＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)解依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)， ∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010.(3)证明依题意得A 1(1,0,2)，C 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，N (1,0,1)． ∴M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0，C 1N →＝(1,0，－1)， BN →＝(1，－1,1)，∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋1×0＝0，C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0. ∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →，又C 1M ∩C 1N ＝C 1，∴BN →⊥平面C 1MN .∴BN →是平面C 1MN 的一个法向量．。

苏教版高中数学 ( 选修2-1)学案：第3章空间向量与立体几何 1

苏教版高中数学课时精选知识汇总序言：数学是一门伟大的学科，汇集了人类的只会与结晶！高考数学主要知识点：第一，函数与导数第二，平面向量与三角函数第三，数列及其应用第四，不等式第五，概率和统计第六，空间位置关系的定性与定量分析垂直，求角和距离第七，解析几何。

是高考的难点，运算量大，一般含参数3．1.3　空间向量基本定理 3．1.4　空间向量的坐标表示[学习目标]　1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.3.掌握空间向量线性运算的坐标运算．[知识链接]1．空间的基底惟一吗？答：不惟一．只要三个向量不共面，则这三个向量皆可以组成空间的一个基底．2．设向量a ＝(x 1，y 1，z 1)与向量b ＝(x 2，y 2，z 2)共线，若x 2y 2z 2≠0，则满足的条件是什么？答：若x 2y 2z 2≠0，则a ∥b 的充要条件是＝＝.x 1x 2y 1y 2z 1z 2[预习导引]1．空间向量基本定理 (1)定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组{x ，y ，z }，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3. (2)基底与基向量如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e 1，e 2，e 3线性表示．我们把{e 1，e 2，e 3}称为空间的一个基底，e 1，e 2，e 3叫做基向量．空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． (3)正交基底与单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i ，j ，k }表示． (4)推论设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得＝x ＋y ＋z .OP → OA → OB → OC →2．空间向量的坐标表示空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 分别为x ，y ，z 轴方向上的单位向量，对于空间任一个向量a ，若有a ＝x i ＋y j ＋z k ，则有序实数组(x ，y ，z )叫向量a 在空间直角坐标系中的坐标．→特别地，若A(x，y，z)，则向量的坐标为(x，y，z)．OA3．坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；λa＝(λa1，λa2，λa3) (λ∈R)．a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3 (λ∈R).要点一　空间向量的基底例1　若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？解　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c不共面．∴Error!　此方程组无解．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．规律方法　空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．跟踪演练1　以下四个命题中正确的是________．①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．答案　②③解析　因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．要点二　用基底表示向量→例2　如图，四棱锥POABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设OA＝a ，＝b ，＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示，，，.OC → OP → BF → BE → AE → EF → 解　连结BO ，则＝BF → 12BP →＝(＋)＝(c －b －a )12BO → OP → 12＝－a －b ＋c .121212＝＋＝－a ＋ BE → BC → CE →12CP → ＝－a ＋(＋)12CO → OP → ＝－a －b ＋c .1212＝＋＝＋＋(＋) AE → AP → PE → AO → OP → 12PO → OC →＝－a ＋c ＋(－c ＋b )＝－a ＋b ＋c .121212＝＝＝a . EF → 12CB → 12OA → 12规律方法　(1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的；(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用．跟踪演练2　如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设＝a ，＝b ，＝c .试用向量a ，b ，c 表示向量.OA → OB → OC → GH →解　∵H 为△OBC 的重心，D 为BC 的中点， ∴＝(＋)，＝， OD → 12OB → OC → OH → 23OD →从而＝×(＋)＝(b ＋c )．OH → 2312OB → OC →13又＝＋＝＋，＝－， OG → OA → AG → OA → 23AD → AD → OD → OA → ∴＝＋×(＋)－ OG → OA → 2312OB → OC →23OA → ＝(＋＋)＝(a ＋b ＋c )．13OA → OB → OC → 13∵＝－， GH → OH → OG →∴＝(b ＋c )－(a ＋b ＋c )＝－a . GH → 131313要点三　空间向量的坐标表示例3　已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的三等分点且PN ＝2NC ，AM ＝2MB ，PA ＝AB ＝1，求的坐标．MN →解　∵PA ＝AB ＝AD ＝1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ， ∴可设＝i ，＝j ，＝k .AD → AB → AP →以i ，j ，k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． ∵＝＋＋ MN → MA → AP → PN →＝－＋＋23AB →AP → 23PC → ＝－＋＋(－＋＋)23AB → AP → 23AP → AD → AB →＝＋＝i ＋k ， 13AP → 23AD → 2313∴＝. MN →(23，0，13)规律方法　建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．跟踪演练3　已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1，建立适当坐标系，求的坐标．MN →解　以AD ，AB ，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则M (0，，0)，N (，，)．12121212∴＝(，0，)． MN →12121．有以下命题：①单位正交基底中的基向量模为1且互相垂直；②O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O ，A ，B ，C 一定共面；③已知向OA → OB → OC → 量a ，b ，c 是空间的一个基底，则向量a ＋b ，a －b ，c ，也是空间的一个基底．其中正确的命题序号是________．答案　①②③2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，若k a ＋b 与2a －b 平行，则实数k ＝________. 答案　－2解析　计算得k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，由k a ＋b 与2a －b 平行得＝＝k －13k2，解得k ＝－2. 2－23．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若＝，则C 的坐标是________________OC → 25AB →答案　(－65，－45，－85)解析　设点C 坐标为(x ，y ，z )，则＝(x ，y ，z )．OC →又＝(－3，－2，－4)，＝， AB → OC → 25AB → ∴x ＝－，y ＝－，z ＝－.6545854．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．答案　x ＝y ＝z ＝0解析　若x ≠0，则a ＝－b －c ，即a 与b ，c 共面．y x zx 由{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0.1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底惟一表示．2．向量的坐标是在单位正交基底下向量的表示．在表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算．一、基础达标1．在空间直角坐标系O －xyz 中，下列说法正确的是________． ①向量与点B 的坐标相同；AB →②向量与点A 的坐标相同；AB →③向量与向量的坐标相同；AB → OB →④向量与向量－的坐标相同．AB → OB → OA →答案　④解析　∵＝－，∴与－的坐标相同．AB → OB → OA → AB → OB → OA →2．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是底面A 1C 1和侧面CD 1的中心，若＋λEF → A 1D→＝0 (λ∈R )，则λ＝______. 答案　－12解析　如图，连结A 1C 1，C 1D ，则E 在A 1C 1上，F 在C 1D 上易知 EF 綊A 1D ，∴＝，12EF → 12A 1D → 即－＝0， EF → 12A 1D →∴λ＝－.123.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，点M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，用基底向量，，表示向量为________________． OA → OB → OC → OG → 答案　＋＋16OA → 13OB → 13OC →解析　＝＋＝＋OG → OM → MG → OM → 23MN →＝＋(－)12OA → 23ON → OM →＝＋[(＋)－]12OA → 2312OB → OC → 12OA →＝＋(＋)－12OA → 13OB → OC → 13OA →＝＋＋. 16OA → 13OB → 13OC →4．已知a ＝{3λ，6，λ＋6}，b ＝{λ＋1,3,2λ}，若a ∥b ，则λ＝________. 答案　2解析　由a ∥b ，得＝＝，解得λ＝2. 3λλ＋163λ＋62λ5．与a ＝(2，－1,2)共线且满足a·z ＝－18的向量z ＝________.答案　(－4,2，－4)解析　∵z 与a 共线，设z ＝(2λ，－λ，2λ)．又a ·z ＝4λ＋λ＋4λ＝－18， ∴λ＝－2，∴z ＝(－4,2，－4)．6．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则＝＝是a ∥b 的________________条件．a 1b 1a 2b 2a 3b 3答案　充分不必要解析　设＝＝＝k ，易知a ∥b ，即条件具有充分性．又若b ＝0时，b ＝(0,0,0)，显然有a 1b 1a 2b 2a 3b 3a ∥b ，但条件＝＝显然不成立，所以条件不具有必要性．a 1b 1a 2b 2a 3b37.在直三棱柱ABOA 1B 1O 1中，∠AOB ＝，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，Dπ2为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求、的坐标．DO → A 1B →解　∵＝－＝－(＋)DO → OD → OO 1→ O 1D →＝－[＋(＋)]＝－－－.OO 1→ 12OA → OB → OO 1→ 12OA → 12OB →又||＝4，||＝4，||＝2，OO 1→ OA → OB →∴＝(－2，－1，－4)． DO →∵＝－＝－(＋)A 1B → OB → OA 1→ OB → OA → AA 1→ ＝－－. OB → OA → AA 1→又||＝2，||＝4，||＝4，OB → OA → AA 1→∴A 1B ＝(－4,2，－4)．二、能力提升8．如图，点M 为OA 的中点，以{，，}为基底，＝x ＋OA → OC → OD → DM → OA → y ＋z ，则实数对(x ，y ，z )＝________. OC → OD →答案　(，0，－1)12解析　因为＝－DM → OM → OD →＝＋0－，所以实数对(x ，y ，z )＝(，0，－1)．12OA → OC → OD →129．已知a ＝2(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ的值为________．答案　657解析　由共面向量定理知存在实数x ，y 使得a ＝x b ＋y c ，即(4，－2,6)＝(－x,4x ，－2x )＋(7y,5y ，λy )，即Error!解得Error!10．一个向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，则p 在{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为__________．答案　(32，－12，3)解析　设p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋z c ，则p ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋z c ，又p ＝a ＋2b ＋3c ，∴Error!，∴x ＝，y ＝－，z ＝3.3212∴p 在{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为.(32，－12，3)11．已知O ，A ，B ，C 四点的坐标分别是(0,0,0)，(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求P 点坐标，分别满足：(1)＝(－)；(2)＝(－)．OP → 12AB → AC → AP → 12AB → AC →解　＝－＝(2,6，－3)，AB → OB → OA →＝－＝(－4,3,1)． AC → OC → OA →(1)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则＝(x ，y ，z )，(－)＝(3，，－2)， OP →12AB → AC → 32所以＝(3，，－2)，即P 点坐标为(3，，－2)；OP →3232(2)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则＝－＝(x －2，y ＋1，z －2)， AP → OP → OA →(－)＝(3，，－2)，所以Error!12AB → AC → 32解得Error!所以P 点坐标为(5，，0)．1212．在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出，，的坐标． AA 1→ AB 1→ AC 1→解　分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为原点，分别以，，DA → DC →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所DD 1→示，则A ，A 1， (32，0，0)(32，0，2)B 1，C 1， (0，－12，2)(0，12，2)所以＝(0,0,2)，＝，＝. AA 1→ AB 1→ (－32，－12，2)AC 1→ (－32，12，2)三、探究与创新13.如图所示，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：－－； A 1O → 12AB → 12AD →(2)设E 是棱DD 1上的点且＝，若＝x ＋y ＋z ，试求x 、y 、z 的值． DE → 23DD 1→ EO → AB → AD → AA 1→解　(1)∵＋＝， AB → AD → AC →∴－－＝－(＋) A 1O → 12AB → 12AD → A 1O → 12AB →AD → ＝－＝－＝. A 1O → 12AC →A 1O → AO → A 1A → (2)∵＝＋ EO → ED → DO →＝＋ 23D 1D → 12DB →＝＋(＋) 23D 1D → 12DA →AB → ＝＋＋ 23A 1A → 12DA → 12AB →＝－－. 12AB → 12AD → 23AA 1→即x ＝，y ＝－，z ＝－.学好高中数学 121223不能死记硬背，要多加思考。

苏教版高中数学选修2-1第3章空间向量与立体几何

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）第3章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其线性运算双基达标 (限时20分钟)1.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，且向量BM →＝x a ＋y b＋z c ，则8xyz ＝________.解析显然BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c ，即x ＝－12，y ＝12，z ＝1，所以8xyz ＝－2. 答案－22．四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)化简的结果是________．解析如图所示，因12(BD →＋BC →)＝BM →，所以AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BM →＝AM →. 答案 AM →3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化简后的结果是________．解析如图所示，因DD 1→＝AA 1→，DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝BA 1→，BA 1→＋BC →＝BD 1→，∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.答案 BD 1→4．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则下列叙述正确的是________．①AB →＝AC →＋BC →②AB →＝－AC →－BC →③AC →与BC →同向④AC →与CB →同向解析由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向．答案 ④5．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.(用向量a ，b ，c 表示)解析 EF →＝AB →＋CD →2＝a －2c ＋5a ＋6b －8c 2＝3a ＋3b －5c. 答案 3a ＋3b －4c6．已知平面四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，运用向量法证明EF ∥AB .解因为EF →＝OF →－OE →＝k (OB →－OA →)＝kAB →，所以向量EF →与AB →是共线向量，且所在直线了不重合，所以EF ∥AB .综合提高（限时25分钟）7.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则用向量a ，b ，c 表示向量MN →＝________.解析 MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝－23a ＋12b ＋12c . 答案－23a ＋12b ＋12c8.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量BD 1→的是________(填序号)．①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.解析 ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝A 1D 1→＋AA 1→＋BA →＝BD 1→；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC →＋BB 1→＋C 1D 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →＋D 1D →＝BD →－DD 1→＝BD →＋DD 1→－2DD 1→＝BD 1→－2DD 1→≠BD 1→； ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋AA 1→＋DD 1→＝B 1D 1→＋BB 1→＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→≠BD 1→.因此，①②两式的运算结果为向量BD 1→，而③④两式运算的结果不为向量BD 1→.故填①②。

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1学案第三章空间向量与立体几何总结

第11课时本章复习教学过程一、数学运用【例1】如图,在▱ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB和CD成60°角,求B,D间的距离.(见学生用书P71)(例1)[规范板书]解因为∠ACD=90°,所以·=0.同理·=0.因为AB和CD成60°角,所以<·>=60°或120°.因为=++,所以2=+2++2·+2·+2·=+++2·=3+2×1×cos<,>,所以||=2或,即B,D间的距离为2或.[题后反思]用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求两条异面直线所成的角,求两点间的距离或线段的长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题.(1)求向量m和n所成的角:首先应选择合适的基底,将目标向量m和n用该组基底表示出来,再求其自身的数量积及长度,最后利用公式cos<m,n>=.(2)由于线段的长度是实数,实数与向量之间如何转化,是常见的思维障碍.向量性质中的|a|2=a·a提供了向量与实数相互转化的工具,运用此公式,可将线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题.变式如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.(变式)(1)求证:C1C⊥BD;(2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?(见学生用书P71)[处理建议]用基向量法解此类问题的关键是找出合适的基底,本题可以用{,,}作为一个基底.[规范板书]解(1)设=a,=b,=c,|a|=|b|=r,|c|=t,则a·b=r2,a·c=rt,b·c=rt.而·=·(-)=-c·(b-a)=a·c-b·c=rt-rt=0,∴C1C⊥BD.(2)=++=---=-(a+b+c),=-=a-c,=-=b-c.∵A1C⊥平面C1BD,∴即∴即得r2-rt-t2=0,解得r=t.因此,当=1时,A1C⊥平面C1BD.[题后反思]当空间图形不适合建立空间直角坐标系时,一般选用基向量法.【例2】如图(1),在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F.(例2(1))(1)求证:PA∥平面EDB;(2)求证:PB⊥平面EFD;(3)求二面角C-PB-D的大小.(见学生用书P71)[规范板书]解(1)连结AC,交BD于点G,连结EG.以D为坐标原点,建立如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz.设DC=a,则A(a,0,0,),P(0,0,a),E,G,(例2(2))所以=(a,0,-a),=,所以=2,则PA∥EG.而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB.(2)依题意得B(a,a,0),所以=(a,a,-a).又=,故·=0+-=0,所以PB⊥DE.又EF⊥PB,且EF∩DE=E,所以PB⊥平面EFD.(3)设点F的坐标为(x0,y0,z0),=λ,则(x0,y0,z0-a)=λ(a,a,-a),从而x0=λa,y0=λa,z0=(1-λ)a,所以==.由EF⊥PB知,·=0,即-λa2+a2-a2=0,解得λ=,所以点F的坐标为,且=,=-,-,-,所以·=--+=0,即PB⊥FD,故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角.因为·=-+=,且||==a,||==a,所以cos∠EFD===,所以∠EFD=60°,即二面角C-PB-D的大小为60°.[题后反思](1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;②证明平面内某条直线的方向向量与已知直线的方向向量共线;③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法:①转化为线线平行、线面平行处理;②证明这两个平面的法向量是共线向量.(4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量的数量积为0.(5)证明线面垂直的方法:①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量;②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法:①转化为线线垂直、线面垂直处理;②证明两个平面的法向量互相垂直.变式如图(1),在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.(变式(1))(1)求证:B1E⊥AD1.(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,请说明理由.(3)若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长.(见学生用书P72)[规范板书]解(1)以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图(2)).设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),故=(0,1,1),=,=(a,0,1),=.(变式(2))∵·=-×0+1×1+(-1)×1=0,∴B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0).设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z).由n⊥,n⊥,得令x=1,则n=.要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,故有-az0=0,解得z0=.又DP⊄平面B1AE,∴在棱AA1上存在一点P,使得DP∥平面B1AE,此时AP=.(3)连结A1D,B1C.由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.又由(1)知B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1,∴AD1⊥平面DCB1A1,∴是平面A1B1E的一个法向量.设与n所成的角为θ,则cosθ==.又∵二面角A-B1E-A1的大小为30°,∴|cosθ|=cos30°,即=,解得a=2,即AB的长为2.【例3】如图(1),已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;(2)求二面角A-BE-C的余弦值.(见学生用书P72)(例3(1))[规范板书]解(1)以O为坐标原点,OB,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,(例3(2))则A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0),所以=(2,-1,0),=(0,2,-1),所以cos<,>==-.由于异面直线BE与AC所成的角是锐角,故其余弦值是.(2)=(2,0,-1),=(0,1,-1).设平面ABE的一个法向量为n1=(x,y,z),则由n1⊥,n1⊥,得令x=1,则n=(1,2,2).易知平面BEC的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cos<n1,n2>===.由于二面角A-BE-C的平面角是n1与n2的夹角的补角,所以其余弦值是-.[题后反思](1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得,即cosθ=|cos φ|;(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得,即sinθ=|cosφ|;(3)二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得,它等于两个法向量的夹角或其补角.变式如图(1),在直三棱柱ABC-A'B'C'中,∠BAC=90°,AB=AC=λAA',M,N分别为A'B和B'C'的中点.(变式(1))(1)求证:MN∥平面A'ACC';(2)若二面角A'-MN-C为直二面角,求λ的值.(见学生用书P72)[规范板书](1)证法一连结AB',AC'.由∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,所以M为AB'的中点.又因为N为B'C'的中点,所以MN∥AC'.又MN⊄平面A'ACC',AC'⊂平面A'ACC',因此MN∥平面A'ACC'.证法二取A'B'的中点P,连结MP,NP.而M,N分别为AB'与B'C'的中点,所以MP∥AA',PN∥A'C',所以MP∥平面A'ACC',PN∥平面A'ACC'.又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A'ACC'.而MN⊂平面MPN,所以MN∥平面A'ACC'.(2)解以A为坐标原点,AB,AC,AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图(2)).(变式(2))设AA'=1,则AB=AC=λ,于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A'(0,0,1),B'(λ,0,1),C'(0,λ,1),所以M,N.所以=,=,=.设m=(x1,y1,z1)是平面A'MN的一个法向量,由得令x1=1,则m=(1,-1,λ).设n=(x2,y2,z2)是平面MNC的一个法向量,由得令x=-3,则n=(-3,-1,λ).因为A'-MN-C为直二面角,所以m·n=0.即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得λ=(负值舍去).二、补充练习1.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为.(第2题)2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.3.如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.(第3题)(1)求证:EM⊥BF;(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.提示以A为坐标原点,平面ABC内垂直于AC的直线,AC,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.(1)可得=(0,-3,3),=(-,1,1),故ME⊥BF;(2)可求出平面BEF的法向量为(,1,2),平面ABC的法向量为=(0,0,3),从而得到两个平面所成的锐二面角的余弦值为.三、课堂小结1.本节课我们复习了空间向量及其运算,并运用向量的方法解决了有关空间直线及平面的平行、垂直和夹角等问题.2.用空间向量解立体几何问题,其基本思路:先选择向量的基底或建立空间直角坐标系,再分析已知向量和需要求解向量之间的差异,最后运用向量的代数运算或坐标运算.从已知向求解转化,体现了数形结合的重要思想.。

数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何 3.2.2(二) Word版

3.2.2 空间线面关系的判定(二)——垂直关系学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．知识点一向量法判断线线垂直设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二向量法判断线面垂直思考若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直．判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内． (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.梳理设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R )．知识点三向量法判断面面垂直思考平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．判断下面结论的对错： 1．AP ⊥AB ；(√) 2．AP ⊥AD .(√)3.AP →是平面ABCD 的法向量．(√) 4.AP →∥BD →.(×)类型一证明线线垂直例1 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明设AB 的中点为O ，连结OC ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0， B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0， N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1，∵M 为BC 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1—→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1—→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1—→，∴AB 1⊥MN .反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC ，AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)， ∴AC →＝(－3,0,0)， BC 1—→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1—→＝0，∴AC ⊥BC 1.类型二证明线面垂直例2 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明方法一设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)， E (2,2,1)，F (1,1,2)． ∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1，1)． AB 1—→＝(2,2,2)－(2,0,0) ＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．而EF →·AB 1—→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ，AB 1⊂平面B 1AC ，AC ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .方法二设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1—→＝b ，则EF →＝EB 1—→＋B 1F —→＝12(BB 1—→＋B 1D 1—→)＝12(AA 1—→＋BD →)＝12(AA 1—→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1—→＝AB →＋AA 1—→＝a ＋b ， ∴EF →·AB 1—→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1—→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1⊂平面B 1AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .反思与感悟用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)基向量法：①设出基向量，然后表示直线的方向向量； ②找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示； ③利用数量积计算． (2)坐标法：①建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示； ②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量；③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行．跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点．求证：直线PB 1⊥平面P AC .证明如图，以D 为坐标原点，DC →，DA →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)，PC →＝(1,0，－1)，P A →＝(0,1，－1)，PB 1—→＝(1,1,1)， B 1C —→＝(0，－1，－2)， B 1A —→＝(－1,0，－2)．PB 1—→·PC →＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，所以PB 1—→⊥PC →，即PB 1⊥PC . 又PB 1—→·P A →＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，所以PB 1—→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，P A ，PC ⊂平面P AC ，所以PB 1⊥平面P AC . 类型三证明面面垂直例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，故AA 1—→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1—→＝(－2,2,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫－2，0，12. 设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AA 1—→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1—→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1,4)．因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n 1⊥n 2. 所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C . 反思与感悟证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练3 如图，底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .证明设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，12，连结AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连结OE ，则点O 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0. 因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝⎝⎛⎭⎫0，0，12，所以OE →＝12AS →，所以OE →∥AS →.又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ，又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD .1．若直线l 1的方向向量为a ＝(2，－4,4)，l 2的方向向量为b ＝(4,6,4)，则l 1与l 2的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案垂直解析因为a ·b ＝2×4＋(－4)×6＋4×4＝0，所以l 1⊥l 2.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则l 与α的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案垂直解析 ∵a ∥μ，∴l ⊥α.3．平面α的一个法向量为m ＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n ＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案垂直解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0， ∴两法向量垂直，从而两平面垂直．4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t 的值为________．答案 5解析 ∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直， ∴μ·ν＝0，即(－1)×t ＋0×5＋5×1＝0，解得t ＝5.5．在菱形ABCD 中，若P A →是平面ABCD 的法向量，则下列等式中可能不成立的是________．(填序号)①P A →⊥AB →；②P A →⊥CD →；③PC →⊥BD →；④PC →⊥AB →. 答案 ④解析由题意知P A ⊥平面ABCD ，所以P A 与平面上的线AB ，CD 都垂直，①②正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD ⊥平面P AC ，故PC ⊥BD ，③正确．证明垂直问题的方法：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．一、填空题1．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________. 答案 10解析因为a ⊥b ，故a ·b ＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m ＝0，解得m ＝10.2．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1,2,4)，b ＝(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案－10解析因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a ·b ＝(－1,2,4)·(x ，－1，－2)＝0，解得x ＝－10.3．已知直线l 的方向向量为e ＝(－1,1,2)，平面α的法向量为n ＝⎝⎛⎭⎫12，λ，－1(λ∈R )．若l ⊥α，则实数λ的值为________．答案－12解析 ∵l ⊥α，∴e ∥n ，∴－112＝1λ＝2－1，∴λ＝－12. 4．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为________．答案 (－1,0,2)解析由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0，① AC →·AP →＝(2,0,1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，② 联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1,0,2)．5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则下列结论成立的是________．(填序号)①CE ⊥BD ；②A 1C 1⊥BD ；③AD ⊥BC 1；④CD ⊥BE . 答案 ①②解析以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0，1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AC →＝(－1,1,0)， BD →＝(－1，－1,0)，A 1D —→＝(－1,0，－1)， A 1A —→＝(0,0，－1)，∵CE →·BD →＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎫－12＋0×1＝0， ∴CE ⊥BD .显然A 1C 1⊥BD ，故只有①②正确．6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，若AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量；④AP →∥BD →.其中正确的结论是________．(填序号) 答案 ①②③解析因为AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ； AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．BD →＝AD →－AB →＝(4,2,0)－(2，－1，－4)＝(2,3,4)，所以AP →与BD →不平行．7.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为________．答案垂直解析以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，依题意可得D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)， M (2，2,0)．∴PM →＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)， AM →＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)， ∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0，即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .8．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]．若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．答案 π2或π3解析由题意得OP →⊥OQ →， ∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0， ∴cos x ＝0或cos x ＝12.又∵x ∈[0，π]， ∴x ＝π2或x ＝π3.9．在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3,1)，C (2，－2,1)．若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________．答案 (－2,4,1)或(2，－4，－1)解析据题意，得AB →＝(－1，－1,2)，AC →＝(1,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )， ∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，x ＝－2z .∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得z ＝1或z ＝－1. 当z ＝1时，y ＝4，x ＝－2；当z ＝－1时，y ＝－4，x ＝2， ∴n ＝(－2,4,1)或n ＝(2，－4，－1)．10．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则(x ，y ，z )＝________. 答案 ⎝⎛⎭⎫407，－157，4 解析 AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4.BP →·AB →＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP →·BC →＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.所以(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫407，－157，4. 二、解答题11.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .证明设正方体的棱长为1，如图所示，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)， F ⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，A 1D 1—→＝(－1,0,0)，D 1F —→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1， ∴AE →·A 1D 1—→＝0×(－1)＋1×0＋12×0＝0，AE →·D 1F —→＝12－12＝0，∴AE →⊥A 1D 1—→，AE →⊥D 1F —→，即AE ⊥A 1D 1，AE ⊥D 1F ，又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， A 1D 1，D 1F ⊂平面A 1D 1F ， ∴AE ⊥平面A 1D 1F .12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用向量法证明：(1)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1； (2)AC 1⊥平面A 1BD .证明以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标，设正方体的棱长为1.则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，C 1(0,1,1)．(1)∴A 1D —→＝(－1,0，－1)， A 1B —→＝(0,1，－1)， D 1B 1—→＝(1,1,0)， D 1C —→＝(0,1，－1)，设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1D —→＝0，n 1·A 1B —→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝1.∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)．设平面CB 1D 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·D 1B 1—→＝0，n 2·D 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝－1，z 2＝1， ∴n 2＝(－1,1,1)， ∴n 1＝n 2，即n 1∥n 2. ∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. (2)又AC 1—→＝(－1,1,1)，∴AC 1—→∥n 1. ∴AC 1—→是平面A 1BD 的法向量， ∴AC 1⊥平面A 1BD .13.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .证明以A 为坐标原点，AD →，AB →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0，设BE ＝x (0≤x ≤3)，则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0，即PE →⊥AF →. 所以当x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF . 三、探究与拓展14．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是______．答案－3或1解析 ∵|a |＝22＋42＋x 2＝6，∴x ＝±4，又∵a ⊥b ，∴a·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－12x ，∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3.15．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点． (1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．(1)证明以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )，A 1E —→＝(－a ，a ，e －a )， BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E —→·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴A 1E —→⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∵DB →＝(a ，a,0)，DA 1—→＝(a,0，a )，DE →＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0. 取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝⎝⎛⎭⎫1，－1，ae ，由平面A 1BD ⊥平面EBD ，得n 1⊥n 2， ∴2－a e ＝0，即e ＝a2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(2.3)word学案

3．2.3 空间的角的计算[学习目标] 1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用．[知识链接]1．怎样求两条异面直线所成的角？答：(1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解．(2)向量法：设a 、b 分别为异面直线l 1、l 2上的方向向量，θ为异面直线所成的角，则异面直线所成角公式cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝|a·b ||a ||b |. 2．如何用平面的法向量表示二面角？答：设n 1、n 2是二面角αlβ的两个面α，β的法向量，则向量n 1与向量n 2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小． [预习导引]1．两条异面直线所成的角(1)定义：设a 、b 是两条异面直线，过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做a 与b 所成的角．(2)范围：两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤π2.(3)向量求法：设直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为φ，则a ，b 所成角的余弦值为cos θ＝|cos φ|＝|a·b ||a|·|b |.2．直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角． (2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤π2.(3)向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有 sin θ＝|cos φ|＝|a·u||a|·|u|或cos θ＝sin φ.(1)二面角的取值范围：[0，π]． (2)二面角的向量求法：①若AB ，CD 分别是二面角αlβ的两个面内与棱l 垂直的异面直线(垂足分别为A ，C )，如图，则二面角的大小就是向量AB →与CD →的夹角．②设n 1、n 2是二面角αlβ的两个面α，β的法向量，则向量n 1与向量n 2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.要点一求两条异面直线所成的角例1 如图所示，三棱柱OABO 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值的大小．解建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，O 1(0,1，3)，A (3，0,0)，A 1(3，1，3)，B (0,2,0)， ∴A 1B →＝(－3，1，－3)，O 1A →＝(3，－1，－3)． ∴|cos 〈A 1B →，O 1A →〉|＝|A 1B →·O 1A →||A 1B →|·|O 1A →|＝|(－3，1，－3)·(3，－1，－3)|7·7＝17.∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.规律方法建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角计算思路简便，要注意角的范围．跟踪演练1 正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1、A 1C 1的中点，求异面直线AE 与CF 所成角的余弦值．解不妨设正方体棱长为2，分别取DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A (2,0,0)、C (0,2,0)、E (1，0,2)、则AE →＝(－1,0,2)，CF →＝(1，－1,2)∴|AE →|＝5，|CF →|＝ 6.AE →·CF →＝－1＋0＋4＝3. 又AE →·CF →＝|AE →||CF →|cos 〈AE →，CF →〉＝30cos 〈AE →，CF →〉，∴cos 〈AE →，CF →〉＝3010，∴异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为3010.要点二求直线和平面所成的角例2 已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，M 为A 1B 1的中点，求BC 1与平面AMC 1所成角的正弦值．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，M (0，a 2，2a )，C 1(－32a ，a2，2a )，B (0，a,0)，故AC 1→＝(－32a ，a 2，2a )，AM →＝(0，a 2，2a )．设平面AMC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n ＝0，AM →·n ＝0.∴⎩⎨⎧－32ax ＋a 2y ＋2az ＝0，a2y ＋2az ＝0，令y ＝2，则z ＝－22，x ＝0.∴n ＝(0,2，－22)．又BC 1→＝(－32a ，－a 2，2a )，∴cos 〈BC 1→，n 〉＝BC 1→·n |BC 1→||n |＝－a －a 3a ×92＝－269.设BC 1与平面AMC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈BC 1→，n 〉|＝269.规律方法借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系．跟踪演练2 如图所示，已知直角梯形ABCD ，其中AB ＝BC ＝2AD ，AS ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且AS ＝AB .求直线SC 与底面ABCD 的夹角θ的余弦值．解由题设条件知，以点A 为坐标原点，分别以AD 、AB 、AS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (0,1,0)， C (1,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，S (0,0,1)． ∴AS →＝(0,0,1)，CS →＝(－1，－1,1)．显然AS →是底面的法向量，它与已知向量CS →的夹角β＝π2－θ，故有sin θ＝cos β＝AS →·CS →|AS →||CS →|＝11×3＝33，∵θ∈[0，π2]．∴cos θ＝1－sin 2θ＝63.要点三求二面角例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求二面角A 1－BD －C 1的余弦值．解不妨设正方体的棱长为1，以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，取BD 的中点E ，连结A 1E ，C 1E .因为△DBA 1和△BDC 1都是正三角形，所以A 1E ⊥BD ，C 1E ⊥BD ，故∠A 1EC 1是二面角A 1－BD －C 1的平面角，也就是EA 1→与EC 1→的夹角．又E (12，12，0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，可得EA 1→＝(12，－12，1)，EC 1→＝(－12，12，1)．EA 1＝14＋14＋1＝62，EC 1＝14＋14＋1＝62， EA 1→·EC 1→＝－14－14＋1＝12.cos 〈EA 1→，EC 1→〉＝1262·62＝13.即二面角A 1－BD －C 1的余弦值为13.规律方法 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的．(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．跟踪演练3 如图所示，正三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点，求二面角AA 1DB 的余弦值．解如图所示，取BC 中点O ，连结AO .因为△ABC 是正三角形，所以AO ⊥BC ，因为在正三棱柱ABCA 1B 1C1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1中点为O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，A (0,0，3)，B 1(1,2,0)．设平面A 1AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，AD →＝(－1,1，－3)，AA 1→＝(0,2,0)．因为n ⊥AD →，n ⊥AA 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AA 1→＝0，得⎩⎨⎧ －x ＋y －3z ＝0，2y ＝0，所以⎩⎨⎧y ＝0，x ＝－3z .令z ＝1，得n ＝(－3，0,1)为平面A 1AD 的一个法向量．又因为AB 1→＝(1,2，－3)，BD →＝(－2,1,0)，BA 1→＝(－1,2，3)，所以AB 1→·BD →＝－2＋2＋0＝0， AB 1→·BA 1→＝－1＋4－3＝0，所以AB 1→⊥BD →，AB 1→⊥BA 1→，即AB 1⊥BD ，AB1⊥BA 1，又BD ∩BA 1＝B ，所以AB 1⊥平面所以AB 1→是平面A 1BD 的一个法向量，所以cos 〈n ，AB 1→〉＝n ·AB 1→|n ||AB 1→|＝－3－32·22＝－64，所以二面角AA 1DB 的余弦值为64.1．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量，法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l与α所成的角为________．答案 30°解析设l 与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|＝12.∴θ＝30°.2．正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为________．答案63解析建系如图，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)， B (1,1,0)，C 1(0,1,1)，A (1,0,0)，∴BC 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(－1,1,1)，A 1B →＝(0,1，－1)， A 1D →＝(－1,0，－1)．∴AC 1→·A 1B →＝1－1＝0，AC 1→·A 1D →＝1－1＝0. ∴AC 1⊥平面A 1BD .∴AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．∴cos 〈BC 1→，AC 1→〉＝BC 1→·AC 1→|BC 1→||AC 1→|＝1＋12×3＝63.∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. 3．在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为________．解析建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)， B 1⎝⎛⎭⎫62，22，0，C 1(0，2，0)， B ⎝⎛⎭⎫62，22，1. ∴AB 1→＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，C 1B →＝⎝⎛⎭⎫62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，∴AB 1→⊥C 1B →.即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.4.如图，在三棱锥VABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A 、B 、V 分别在x 、y 、z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝θ.当θ＝π3时，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值．解由于AC ＝BC ＝2，D 是AB 的中点，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,1,0)．当θ＝π3时，在Rt △VCD 中，CD ＝2，故V (0,0，6)．所以AC →＝(－2,0,0)，VD →＝(1,1，－6)．所以cos 〈AC →，VD →〉＝AC →·VD →|AC →||VD →|＝－22·22＝－24.所以异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24.利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系．首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系)表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系．一、基础达标1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l 与平面α所成的角等于________．答案 60°解析直线l 与平面α所成的角范围是[]0°，90°. 2．直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1，v 2，若v 1与v 2所成的角为θ，直线l 1，l 2所成的角为α，则下列说法正确的是________．①α＝θ ②α＝π－θ ③cos θ＝|cos α| ④cos α＝|cos θ| 答案 ④解析 α＝θ或α＝π－θ，且α∈[0，π2],因而cos α＝|cos θ|.3．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l与α所成的角为________．答案 30°解析 ∵cos 〈m ，n 〉＝－12，∴sin α＝|cos 〈m ，n 〉|＝12.又∵直线与平面所成角α满足0°≤α≤90°， ∴α＝30°.4．已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3)，则平面ABC 与平面xOy 所成锐二面角的余弦值为________．答案 27解析 AB →＝(－1,2,0)，AC →＝(－1,0,3)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由n ·AB →＝0，n ·AC →＝0知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y ＝0，－x ＋3z ＝0.令x ＝2，则y ＝1，z ＝23.∴平面ABC 的一个法向量为n ＝(2,1，23)．平面xOy 的一个法向量为OC →＝(0,0,3)．由此易求出所求二面角的余弦值为cos θ＝n ·OC →|n |·|OC →|＝23×73＝27. 5．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成角是________．答案 30°解析建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，2，0)，PC →＝(1，2，－1)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，所以cos 〈PC →，n 〉＝PC →·n |PC →|·|n |＝－12，因为〈PC →，n 〉∈[0°，180°]．所以〈PC →，n 〉＝120°，所以斜线PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成角为60°，所以斜线PC 与平面ABCD 所成角为30°.6．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为________．答案 60°解析由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD → ＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2.∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，∵〈CA →·BD →〉∈[0°，180°]，∴〈CA →，BD →〉＝120°，∴二面角的大小为60°.7．如图，四棱锥F ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ＝2，BD ＝ 2.CF 与平面ABCD 垂直，CF ＝2.求二面角BAFD 的大小．解过点A 作AE ⊥平面ABCD .以A 为坐标原点，BD →、AC →、AE →方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．于是B ⎝⎛⎭⎫－22，1，0， D ⎝⎛⎭⎫22，1，0，F (0,2,2)．设平面ABF 的法向量n 1＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－22x ＋y ＝0，2y ＋2z ＝0.令z ＝1，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1.所以n 1＝(－2，－1,1)．同理，可求得平面ADF 的法向量n 2＝(2，－1,1)．由n 1·n 2＝0知，平面ABF 与平面ADF 垂直，所以二面角BAFD 的大小等于π2.二、能力提升8．已知正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE 、SD 所成角的余弦值为________．答案33解析令正四棱锥的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则A (1，－1,0)，D (－1，－1,0)，S (0,0，2)，E (12，12，22)，∴AE →＝(－12，32，22)，SD →＝(－1，－1，－2)， ∴cos 〈AE →，SD →〉＝AE →·SD →|AE →||SD →|＝－33.∴AE 、SD 所成角的余弦值为33. 9．若两个平面α，β的法向量分别是n ＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．则这两个平面所成的锐二面角是________．答案 60°解析 ∵cos 〈n ，ν〉＝－12·2＝－12.〈n ，v 〉∈[0°，180°]，∴〈n ，ν〉＝120°.故两平面所成的锐二面角为60°.10．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．答案 0解析 OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →) ＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos π3－|OA →|·|OB →|·cos π3＝12|OA →|(|OC →|－|OB →|)＝0.∴cos 〈OA →，BC →〉＝|OA →·BC →||OA →||BC →|＝0.11．如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成角的大小； (2)证明平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角ACDE 的余弦值．(1)解如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0，1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，12)．BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)，于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12×2＝12.因为〈BF →·DE →〉∈[0°，90°]，所以异面直线BF 与DE 所成角的大小为60°. (2)证明由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0. 因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．所以，cos 〈u ，v 〉＝u·v |u||v |＝0＋0＋13×1＝33.因为二面角ACDE 为锐角，所以其余弦值为33. 12.如图，已知点P 在正方体ABCDA ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．解如图，以D 为坐标原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D －xyz .则DA →＝(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)．连结BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H . 设DH →＝(m ，m,1) (m >0)，由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1. (1)因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，〈DH →·CC ′→〉∈[0°，90°]，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°. (2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)．因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°.可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°. 三、探究与创新13．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. (1)证明AB ⊥A 1C ；(2)若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ＝2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值．(1)证明取AB 中点E ，连结CE ，A 1B ，A 1E ，∵AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°， ∴△BAA 1是正三角形，∴A 1E ⊥AB ，∵CA ＝CB ，∴CE ⊥AB ， ∵CE ∩A 1E ＝E ，∴AB ⊥面CEA 1，又AC ⊂平面CEA 1，∴AB ⊥A 1C ；(2)解由(1)知EC ⊥AB ，EA 1⊥AB ，又∵面ABC ⊥面ABB 1A 1，面ABC ∩面ABB 1A 1＝AB ，∴EC ⊥面ABB 1A 1，∴EC ⊥EA 1， ∴EA ，EC ，EA 1两两相互垂直，以E 为坐标原点，EA →的方向为x 轴正方向，|EA →|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系Exyz ，由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)，则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)，设n ＝(x ，y ，z )是平面CBB 1C 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，x ＋3y ＝0，可取n ＝(3，1，－1)，∴cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝－105，∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.。

高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(1.2)word学案

3．1.2 共面向量定理[学习目标] 1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件．[知识链接]1．空间两向量共线，一定共面吗？反之还成立吗？答：一定共面，反之不成立．2．空间共面向量定理与平面向量基本定理有何关系？答：空间共面向量定理中，当向量a ，b 是平面向量时，即为平面向量基本定理． [预习导引] 1．共面向量能平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b ，即向量p 可以由两个不共线的向量a ，b 线性表示． 3．空间四点共面的条件若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O ，存在实数x 、y 、z 使得OA →＝xOB →＋yOC →＋zOD →，且x 、y 、z 满足x ＋y ＋z ＝1，则A 、B 、C 、D 共面．要点一应用共面向量定理证明点共面例1 已知A 、B 、C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．解 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)． ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →. 又MB →与MC →不共线．∴向量MA →、MB →、MC →共面．(2)∵向量MA →、MB →、MC →共面且具有公共起点M ， ∴M 、A 、B 、C 共面．即点M 在平面ABC 内．规律方法利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．跟踪演练1 已知两个非零向量e 1、e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A 、B 、C 、D 共面．证明 ∵AD →＋AC →＝5e 1＋5e 2＝5AB →，∴AB →＝15(AD →＋AC →)＝15AD →＋15AC →，又AD →与AC →不共线．∴AB →、AD →、AC →共面，又它们有一个公共起点A . ∴A 、B 、C 、D 四点共面．要点二应用共面向量定理证明线面平行例2 如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABCA 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD .证明记AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，则 AB 1→＝a ＋c ，DB →＝AB →－AD →＝a －12b ，DC 1→＝DC →＋CC 1→＝12b ＋c ，所以DB →＋DC 1→＝a ＋c ＝AB 1→，又DB →与DC →1不共线，所以AB 1→，DB →，DC 1→共面．又由于AB 1不在平面C 1BD 内，所以AB 1∥平面C 1BD .规律方法在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化．要熟悉其证明过程和证明步骤．跟踪演练2 如图所示，已知斜三棱柱ABCA 1B 1C 1，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，在面对角线AC 1上和棱BC 上分别取点M 、N ，使AM →＝kAC 1→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．求证：MN ∥平面ABB 1A 1.证明 AM →＝k ·AC 1→＝k (AA 1→＋AC →)＝k b ＋k c ，又∵AN →＝AB →＋BN →＝a ＋kBC →＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b ， ∴MN →＝AN →－AM →＝(1－k )a ＋k b －k b －k c ＝(1－k )a －k c .又a 与c 不共线． ∴MN →与向量a ，c 是共面向量．又MN 不在平面ABB 1A 1内， ∴MN ∥平面ABB 1A 1.要点三向量共线、共面的综合应用例3 如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是ABCD 所在平面外的一点，连结P A ，PB ，PC ，PD .设点E ，F ，G ，H 分别为△P AB ，△PBC ，△PCD ，△PDA 的重心．试用向量方法证明E ，F ，G ，H 四点共面．解分别连结PE ，PF ，PG ，PH 并延长，交对边于点M ，N ，Q ，R ，连结MN ，NQ ，QR ，RM .∵E ，F ，G ，H 分别是所在三角形的重心，∴M ，N ，Q ，R 是所在边的中点，且PE →＝23PM →，PE →＝23PN →，PG →＝23PQ →，PH →＝23PR →.由题意知四边形MNQR 是平面四边形， ∴MQ →＝MN →＋MR →＝(PN →－PM →)－(PR →－PM →)＝32(PF →－PE →)＋32(PH →－PE →)＝32(EF →＋EH →)．又MQ →＝PQ →－PM →＝32PG →－32PE →＝32EG →.∴EG →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．规律方法选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素之间的关系，这是解决立体几何常用的方法．跟踪演练3 已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点(如图所示)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面； (2)AC →∥EG →； (3)OG →＝kOC →.证明 (1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →知A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵EG →＝EH →＋mEF → ＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →) ＝kAD →＋kmAB →＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →.(3)由(2)知OG →＝EG →－EO →＝kAC →－kAO →＝k (AC →－AO →)＝kOC →，∴OG →＝kOC →.1．给出下列几个命题：①向量a ，b ，c 共面，则它们所在的直线共面； ②零向量的方向是任意的；③若a ∥b ，则存在惟一的实数λ，使a ＝λb .其中真命题的个数为________．答案 1解析 ①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b ＝0，则有无数多个λ使之成立． 2．已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R 且λ，μ≠0)，则a 与e 1，e 2的关系为________．答案 a 与e 1，e 2共面解析若a ∥e 1，则存在实数t 使得a ＝t e 1， ∴t e 1＝λe 1＋μe 2，∴(t －λ)e 1＝μe 2，则e 1与e 2共线，不符合题意．同理，a 与e 2也不平行．由向量共面的充要条件知a 与e 1，e 2共面．3．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为________．答案 13解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，x ＝13.4．空间的任意三个向量a ，b,3a －2b ，它们一定是________．答案共面向量解析如果a ，b 是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a ，b,3a －2b 共面；若a ，b 共线，则a ，b,3a －2b 共线，当然也共面．共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量a ，b 总是共面向量，空间中三个向量a ，b ，c 则不一定共面． (2)空间中四点共面的条件空间点P 位于平面MAB 内，则存在有序实数对x 、y 使得MP →＝xMA →＋yMB →，①此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，MA →，MB →实质就是面MAB 内平面向量的一组基底．另外有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →，② 或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)③①、②、③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用．一、基础达标1．已知ABCD 为矩形，P 点为平面ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，G 为△PCD 的重心，若AG →＝xAB →＋yAD →＋zAP →，则x ＝________，y ＝________，z ＝________. 答案 13 23 13解析 ∵AG →＝AP →＋PG →＝AP →＋23[12(AD →－AP →)＋12(AD →＋AB →－AP →)]＝AP →＋13(AD →－AP →＋AD →＋AB →－AP →)＝13AP →＋23AD →＋13AB →. ∴x ＝13，y ＝23，z ＝13.2．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是________． ①OM →＝2OA →－OB →－OC →； ②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →；③MA →＋MB →＋MC →＝0； ④OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0. 答案 ③解析若有MA →＝xMB →＋yMC →，则M 与点A 、B 、C 共面，或者OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →且x ＋y ＋z ＝1，则M 与点A 、B 、C 共面，①、②、④不满足x ＋y ＋z ＝1，③满足MA →＝xMB →＋yMC →，故③正确．3．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝________. 答案－2解析 P 与不共线三点A ，B ，C 共面，且OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则有x ＋y ＋z ＝1.从而λ＝－2.4．设a ，b ，c 是不共面向量，m ＝2a －b ，n ＝b ＋c ，p ＝4a －5b －3c ，则向量m ，n ，p 的关系是________(填“共面”或“不共面”)．答案共面解析因为p ＝2(2a －b )－3(b ＋c )＝2m －3n ，所以m ，n ，p 必共面．5．下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面；②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝x ·MA →＋y ·MB →，则P 、M 、A 、B 四点共面；④若P 、M 、A 、B 四点共面，则MP →＝x ·MA →＋y ·MB →，其中正确的是________．答案 ②④解析 ①与③中取x ＝0或y ＝0，则结论不一定成立．反之，②④正确．6．已知A 1B 1C 1ABC 是正三棱柱，D 是AC 上一点，若AB 1∥平面DBC 1，则D 在AC 上的位置是________．答案 D 是AC 的中点解析取BC 1的中点为O ，由AB 1∥平面DBC 1知，存在实数x ，y 满足AB 1→＝xDB →＋yDC 1→，又AB 1→＝AD →＋DO →＋OB 1→＝AD →＋DO →＋CO → ＝AD →＋DO →＋DO →－DC →＝AD →－DC →＋DB →＋DC 1→，所以AD →＝DC →，即D 是AC 的中点．7．设A 、B 、C 及A 1、B 1、C 1分别是异面直线l 1、l 2上的三点，而M 、N 、P 、Q 分别是线段AA 1、BA 1、BB 1、CC 1的中点．求证：M 、N 、P 、Q 四点共面．证明因为NM →＝12BA →，NP →＝12A 1B 1→，所以BA →＝2NM →，A 1B 1→＝2NP →，又因为PQ →＝12(BC →＋B 1C 1→)，(*)A 、B 、C 及A 1、B 1、C 1分别共线，所以BC →＝λBA →＝2λNM →，B 1C 1→＝ωA 1B 1→＝2ωNP →. 代入(*)式得PQ →＝12(2λNM →＋2ωNP →)，又NM →与NP →不共线．所以PQ →、NM →、NP →共面，所以M 、N 、P 、Q 四点共面．二、能力提升8．平面α内有点A ，B ，C ，D ，E ，其中无三点共线，O 为空间一点，满足OA →＝12OB →＋xOC →＋yOD →，OB →＝2xOC →＋13OD →＋yOE →，则x ＋3y ＝________.答案 76解析由点A ，B ，C ，D 共面得x ＋y ＝12，又由点B ，C ，D ，E 共面得2x ＋y ＝23，联立方程组解得x ＝16，y ＝13，所以x ＋3y ＝76.9.如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AE ＝3EA 1，AF ＝FD ，AG ＝12GB ，过E 、F 、G 三点的平面与对角线AC 1交于点P ，则AP ∶PC 1的值为________．答案316解析设AP →＝mAC 1→，因为AC 1→＝AB →＋BB 1→＋B 1C 1→ ＝AB →＋AA 1→＋AD → ＝3AG →＋43AE →＋2AF →，所以AP →＝3mAG →＋43mAE →＋2mAF →，又因为E 、F 、G 、P 四点共面，所以3m ＋43m ＋2m ＝1，所以m ＝319，所以AP ∶PC 1＝3∶16.10．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2.则A 、B 、C 、D 四点的位置关系为________．答案共面解析令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋v (3e 1－3e 2)＝0. 则(λ＋2μ＋3v )e 1＋(λ＋8μ－3v )e 2＝0.∵e 1、e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＋3v ＝0，λ＋8μ－3v ＝0，易知⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－5μ＝1v ＝1是其中一组解，则－5AB →＋AC →＋AD →＝0，∴A 、B 、C 、D 共面．11．已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中点O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值． (1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 解 (1)如图所示∵OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12P A →－12PC →，∴x ＝y ＝－12.(2)∵P A →＋PC →＝2PO →，∴P A →＝2PO →－PC →. 又PC →＋PD →＝2PQ →，∴PC →＝2PQ →－PD →. ∴P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.12．对于任意空间四边形ABCD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点．试判断：EF →与BC →、AD →的关系．解如图所示．空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，利用多边形加法法则可得：EF →＝EA →＋AD →＋DF →，① EF →＝EB →＋BC →＋CF →，②又E 、F 分别是AB 、CD 的中点．故有EA →＝－EB →，DF →＝－CF →，③ 将③代入①得EF →＝－EB →＋AD →－CF →，④ ②＋④得：2EF →＝AD →＋BC →，所以EF →＝12AD →＋12BC →，即EF →与BC →、AD →共面．三、探究与创新13.如图所示，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C →，OD →，OC 1→是共面向量．证明设C 1B 1→＝a ， C 1D 1→＝b ，C 1C →＝c ，∵四边形B 1BCC 1为平行四边形，∴B 1C →＝c －a ，又O 是B 1D 1的中点， ∴C 1O →＝12(a ＋b )，∴OC 1→＝－12(a ＋b )，OD 1→＝C 1D 1→－C 1O →＝b －12(a ＋b )＝12(b －a )．∵D 1D 綊C 1C ，∴D 1D →＝c ， ∴OD →＝OD 1→＋D 1D →＝12(b －a )＋c .若存在实数x 、y ，使B 1C →＝xOD →＋yOC 1→(x ，y ∈R )成立，则 c －a ＝x ⎣⎡⎦⎤12(b －a )＋c ＋y ⎣⎡⎦⎤－12(a ＋b )＝－12(x ＋y )a ＋12(x －y )b ＋x c .∵a 、b 、c 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧12(x ＋y )＝1，12(x －y )＝0，x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴B 1C →＝OD →＋OC 1→，又OD →与OC →1不共线． ∴B 1C →、OD →、OC 1→是共面向量．。

高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(1.5)word学案

3．1.5 空间向量的数量积[学习目标] 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．[知识链接]空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？答：已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．规定：0≤〈a ，b 〉≤π. [预习导引] 1．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角记法〈a ，b 〉范围〈a ，b 〉∈[0，π]．当〈a ，b 〉＝π2时，a _⊥_b2.(1)定义已知两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a·b )(λ∈R )交换律 a·b ＝b·a 分配律a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c(3)两个向量数量积的①若a ，b 是非零向量，则a ⊥b ⇔a·b ＝0 ②若a 与b 同向，则a·b ＝|a |·|b |；若反向，则a·b ＝－|a |·|b |. 特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a性质③若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |④|a·b |≤|a |·|b |要点一空间向量的数量积运算例1 已知长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→. 解如图，设AB →＝a ，AD →＝b ， AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4， a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋12b ·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫12b ＋a ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.规律方法计算两个向量的数量积，可先将各向量用同一顶点上的三条棱对应向量表示，再代入数量积公式进行运算．跟踪演练1 已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为________．答案－13解析 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13.要点二利用数量积求夹角例2 如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值．解因为BC →＝AC →－AB →，所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120° ＝－162＋24.所以cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225.即OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.规律方法利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；②将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；③利用向量的数量积求角的大小；④证两向量垂直可转化为数量积为零．跟踪演练2 如图所示，正四面体ABCD 的每条棱长都等于a ，点M ，N 分别是AB ，CD 的中点，求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD . 证明 MN →·AB →＝(MB →＋BC →＋CN →)·AB →＝(MB →＋BC →＋12CD →)·AB →＝(MB →＋BC →＋12AD →－12AC →)·AB →＝12a 2＋a 2cos120°＋12a 2cos60°－12a 2cos60°＝0，所以MN →⊥AB →，即MN ⊥AB .同理可证MN ⊥CD . 要点三利用数量积求距离例3 正三棱柱ABCA 1B 1C 1的各棱长都为2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1的中点，求EF 的长．解如图所示，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .由题意知|a |＝|b |＝|c |＝2，且〈a ，b 〉＝60°，〈a ，c 〉＝〈b ，c 〉＝90°. 因为EF →＝EA →＋AA 1→＋A 1F → ＝－12AB →＋AA 1→＋12AC →＝－12a ＋12b ＋c ，所以EF 2＝|EF →|2＝EF →2＝14a 2＋14b 2＋c 2＋2⎝⎛⎭⎫－12a ·12b ＋12b·c －12a·c ＝14×22＋14×22＋22＋2×⎝⎛⎭⎫－14×2×2cos60° ＝1＋1＋4－1＝5，所以EF ＝ 5.规律方法利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．跟踪演练3 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．解因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→，所以AC 1→2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→)．因为∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，所以〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°. 所以AC 1→2＝1＋4＋9＋2(1×3×cos60°＋2×3×cos60°)＝23. 因为|AC 1→|2＝AC 1→2，所以|AC 1→|2＝23，|AC 1→|＝23，即AC 1＝23.1．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的________条件．答案充分不必要解析 a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，a·b ＝|a|·|b|不能成立．2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于________．答案13解析 |a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2 ＝1＋6·cos60°＋9＝13.∴|a ＋3b |＝13.3．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是________． ①若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0；③若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b ； ④若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c . 答案 ②解析对于①，可举反例：当a ⊥b 时，a ·b ＝0；对于③，a 2＝b 2，只能推得|a |＝|b |，而不能推出a ＝±b ；对于④，a ·b ＝a ·c 可以移项整理推得a ⊥(b －c )．4．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是________． ①2BA →·AC → ②2AD →·DB → ③2FG →·AC → ④2EF →·CB → 答案 ③解析 2BA →·AC →＝－a 2，故①错； 2AD →·DB →＝－a 2，故②错；2EF →·CB →＝－12a 2，故④错，只有③正确．空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模．一、基础达标1．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是________．答案 90°解析 ∵|a|＝|b|＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝0.故向量a ＋b 与a －b 的夹角是90°. 2．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________. 答案 18解析将|a －b |＝7化为(a －b )2＝7，求得a ·b ＝12，再由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求得cos 〈a ，b 〉＝18. 3．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于________．答案61解析 |2a －3b |2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2 ＝4×22－12×2×3×cos60°＋9×32＝61， ∴|2a －3b |＝61.4．已知向量a 和b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a 等于________．答案 13解析 (2a －b )·a ＝2a 2－b ·a ＝2|a |2－|a ||b |cos120°＝2×4－2×5×⎝⎛⎭⎫－12＝13. 5．已知|a |＝1，|b |＝2，且a －b 与a 垂直，则a 与b 的夹角为________．答案 45°解析 ∵a －b 与a 垂直，∴(a －b )·a ＝0， ∴a ·a －a ·b ＝|a |2－|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1－1·2·cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝22. ∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴〈a ，b 〉＝45°.6．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是________三角形．答案锐角解析 BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AC →·AD →－AC →·AB →－AB →·AD →＋AB →·AB →＝AB →2>0，同理，可证CB →·CD →＞0，DB →·DC →＞0，∴三角形的三个内角均为锐角．7.如图所示，已知平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.求证：CC 1⊥BD . 证明设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ，则|a |＝|b |. ∵BD →＝CD →－CB →＝b －a ， ∴BD →·CC 1→＝(b －a )·c ＝b·c －a·c ＝|b||c |cos60°－|a||c |cos60°＝0， ∴CC 1→⊥BD →，即CC 1⊥BD . 二、能力提升8．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________.答案7解析 |a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×1×2×cos π3＋22＝7，∴|a ＋b |＝7.9．已知a 、b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是________．答案 60°解析 AB →＝AC →＋CD →＋DB →， ∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋CD →2＋DB →·CD →＝0＋12＋0＝1，又|AB →|＝2，|CD →|＝1.∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12×1＝12.∵〈AB →，CD →〉∈[0°，180°]， ∴a 与b 所成的角是60°.10．已知在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC 1的长为________．答案6解析 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→∴AC 1→22＝(AB →＋AD →＋AA 1→2)2＝AB →22＋AD →22＋AA 1→22＋2AB →2·AD →＋2AB →2·AA 1→＋2AD →2·AA 1→＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴|AC 1→|＝ 6.11．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，且P A ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，求PB 与CD 所成的角．解由题意知|PB →|＝2，|CD →|＝2，PB →＝P A →＋AB →，DC →＝DA →＋AB →＋BC →， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A →·DA →＝P A →·AB →＝P A →·BC →＝0，∵AB ⊥AD ，∴AB →·DA →＝0，∵AB ⊥BC ，∴AB →·BC →＝0， ∴PB →·DC →＝(P A →＋AB →)·(DA →＋AB →＋BC →) ＝AB →2＝|AB →|2＝1，又∵|PB →|＝2，|CD →|＝2，∴cos 〈PB →，DC →〉＝PB →·DC →|PB →||DC →|＝12×2＝12，∴〈PB →，DC →〉∈[0°，180°]，∴〈PB →，DC →〉＝60°，∴PB 与CD 所成的角为60°. 12．已知四面体OABC 的棱长均为1.求： (1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)； (3)|OA →＋OB →＋OC →|.解 (1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝1×1×cos60°＝12.(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →) ＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1. (3)|OA →＋OB →＋OC →|＝OA →＋OB →＋OC →2)＝12＋12＋12＋(2×1×1×cos60°)×3＝ 6. 三、探究与创新13．在棱长为1的正方体ABCDA ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别是D ′D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C ′G 的中点．(1)求EF ，C ′G 所成角的余弦值； (2)求FH 的长．解设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，|a|2＝a 2＝1，|b|2＝b 2＝1，|c|2＝c 2＝1. (1)∵EF →＝ED →＋DF →＝－12c ＋12(a －b )＝12(a －b －c )，C ′G →＝C ′C →＋CG →＝－c －14a ，∴EF →·C ′G →＝12(a －b －c )·(－c －14a )＝12(－14a 2＋c 2)＝38， |EF →|2＝14(a －b －c )2＝14(a 2＋b 2＋c 2)＝34，|C ′G →|2＝(－c －14a )2＝c 2＋116a 2＝1716，∴|EF →|＝32，|C ′G →|＝174，cos 〈EF →，C ′G →〉＝EF →·C ′G →|EF →||C ′G →|＝5117，∴EF ，C ′G 所成角的余弦值为5117. (2)∵FH →＝FB →＋BC →＋CC ′→＋C ′H → ＝12(a －b )＋b ＋c ＋12C ′G → ＝12(a －b )＋b ＋c ＋12(－c －14a )＝38a ＋12b ＋12c ， ∴|FH →|2＝(38a ＋12b ＋12c )2＝964a 2＋14b 2＋14c 2＝4164，∴FH 的长为418.。

数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何 3.1.1 Word版

§3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其线性运算学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律．知识点一空间向量的概念思考类比平面向量的概念，给出空间向量的概念．答案在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．梳理 (1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. (2)几类特殊的空间向量知识点二空间向量及其线性运算 1．空间向量的线性运算已知空间向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，AB →＝c ，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋c ； BA →＝OA →－OB →＝a －b ＝－c .若P 在直线OA 上，则OP →＝λa (λ∈R )．2．空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： (1)a ＋b ＝b ＋a ；(2)(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb (λ∈R )．知识点三共线向量(或平行向量)1．定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．若向量a 与b 平行，记作a ∥b ，规定零向量与任意向量共线． 2．共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .1．在空间中，单位向量唯一．(×)2．在空间中，任意一个向量都可以进行平移．(√) 3．在空间中，互为相反向量的两个向量必共线．(√)4．空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．(×)类型一空间向量的概念及应用例1 如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1—→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1—→的模．解 (1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1—→，DC →及D 1C 1—→，共3个． (2)向量AA 1—→的相反向量有A 1A —→，B 1B —→，C 1C —→，D 1D —→，共4个． (3)|AC 1—→|＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1—→|2＝22＋22＋12＝9＝3. 引申探究如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量．解 (1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′—→，A ′A —→，BB ′—→，B ′B —→，CC ′—→，C ′C ——→，DD ′—→，D ′D ——→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．(2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为5，故模为5的向量有AD ′—→，D ′A ——→，A ′D ——→，DA ′—→，BC ′—→，C ′B ——→，B ′C ——→，CB ′—→.反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同； ②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ； ③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p . 其中不正确的命题的序号为________．答案 ①②解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则不一定能判断出a ＝b ，故②不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1—→成立，故③正确；④显然正确．类型二空间向量的线性运算例2 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→.解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→.(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．引申探究利用本例题图，化简AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→. 解结合加法运算，得AA ′—→＋A ′B ′——→＝AB ′—→，AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→，AC ′—→＋C ′A —→＝0. 故AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→＝0.反思与感悟 1.化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止．2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.跟踪训练2 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→.证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′—→＝AB →＋AA ′—→，AD ′—→＝AD →＋AA ′—→， ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′—→)．又∵AA ′—→＝CC ′—→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AC ′—→. ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→. 类型三向量共线定理的理解与应用例3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E —→＝2ED 1—→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F —→＝23FC —→.求证：E ，F ，B 三点共线．证明设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，因为A 1E —→＝2ED 1—→，A 1F —→＝23FC →，所以A 1E —→＝23A 1D 1—→，A 1F —→＝25A 1C —→，所以A 1E —→＝23AD →＝23b ，A 1F —→＝25(AC →－AA 1—→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c . 所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a ＋25b －25c －23b ＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，又因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．反思与感悟 1.判定共线：判定两向量a ，b (b ≠0)是否共线，即判断是否存在实数λ，使a ＝λb .2．求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若a ∥b ，则a ＝λb (λ∈R )． 3．判定或证明三点(如P ，A ，B )是否共线 (1)是否存在实数λ，使P A →＝λPB →.(2)对空间任意一点O ，是否有OP →＝OA →＋tAB →.(3)对空间任意一点O ，是否有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．跟踪训练3 如图，在四面体ABCD 中，点E ，F 分别是棱AD ，BC 的中点，用AB →，CD →表示向量EF →.解 EF →＝AF →－AE → ＝12(AB →＋AC →)－12AD → ＝12AB →－12(AD →－AC →)＝12AB →－12CD →.1．下列说法中正确的是________．(填序号)①若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反； ②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |； ③空间向量的减法满足结合律；④在四边形ABCD 中，一定是AB →＋AD →＝AC →. 答案 ②解析若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向不确定，故①不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故②正确；空间向量的减法不满足结合律，故③不正确；在▱ABCD 中，才有AB →＋AD →＝AC →，故④不正确．2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′的各条棱所在的向量中，与向量A ′B ′→相等的向量有________个．答案 33．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1—→；②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→；③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→；④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→.其中运算的结果为AC 1—→的有________个．答案 4解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC 1—→＝AC →＋CC 1—→＝AC 1—→；②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→＝AD 1—→＋D 1C 1—→＝AC 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→. 所以4个式子的运算结果都是AC 1—→.4．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________. 答案 0解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →＝0. 5．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k ＝________. 考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案 ±1解析由k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，得k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，故k ＝±1.空间向量加法、减法运算的两个技巧：(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．一、填空题1．下列命题中，假命题是________．(填序号) ①任意两个向量都是共面向量；②空间向量的加法运算满足交换律及结合律； ③只有零向量的模等于0； ④共线的单位向量都相等．答案 ④解析容易判断④是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量．2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →＝________.(用a ，b ，c 表示) 答案 c －a －b 解析如图，∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，即a ＋b ＋CD →－c ＝0， ∴CD →＝c －a －b .3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →－CD →＋BC →－DA →＝________. 答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →) ＝AC →－CA →＝2AC →.4．对于空间中的非零向量AB →，BC →，AC →，有下列各式：①AB ＋BC →＝AC →；②AB →－AC →＝BC →；③|A B →|＋|B C →|＝|A C →|；④|A B →|－|A C →|＝|B C →|.其中一定不成立的是____________．(填序号) 答案 ②解析根据空间向量的加减法运算，对于①：A B →＋B C →＝A C →恒成立；对于③：当A B →，B C →，A C →方向相同时，有|A B →|＋|B C →|＝|A C →|；对于④：当B C →，A B →，A C →在一条直线上且B C →与A B →，A C →方向相反时，有|A B →|－|A C →|＝|B C →|. 只有②一定不成立．5．在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．答案 0解析延长DE 交边BC 于点F ，则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝DF →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AF →－AF →＝0.6.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋AD →＋AA 1→＝________，DD 1→－AB →＋BC →＝________.答案 AC 1—→ BD 1—→解析 AB →＋AD →＋AA 1—→＝AB →＋BC →＋CC 1—→＝AC 1—→， DD 1—→－AB →＋BC →＝DD 1—→－(AB →－AD →) ＝DD 1—→－DB →＝BD 1—→.7．在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若C A →＝a ，C B →＝b ，C C →1＝c ，则A 1B —→＝________.答案－a ＋b －c 解析如图，A 1B —→＝A 1A —→＋AB →＝C 1C —→＋(CB →－CA →) ＝－CC 1—→＋CB →－CA →＝－c ＋b －a .8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E —→＝14A 1C 1—→，AE →＝x AA 1—→＋y (AB →＋AD →)，则x ＝________，y ＝________. 答案 1 14解析 ∵AE →＝AA 1—→＋A 1E —→＝AA 1—→＋14A 1C 1—→＝AA 1—→＋14AC →＝AA 1—→＋14(AB →＋AD →)，∴x ＝1，y ＝14.9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－n AA 1—→，则m ，n 的值分别是________．答案 12，－12解析由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1—→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1—→，所以m ＝12，n ＝－12.10．在空间四边形ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列各式中成立的是________．(填序号) ①EB →＋BF →＋EH →＋GH →＝0； ②EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝0； ③EF →＋FG →＋EH →＋GH →＝0； ④EF →－FB →＋CG →＋GH →＝0. 答案 ②解析易知四边形EFGH 为平行四边形，所以EB →＋FC →＋EH →＋GE →＝EB →＋BF →＋GE →＋EH → ＝EF →＋GH →＝0.11.如图，已知在空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.(用向量a ，b ，c 表示)答案 3a ＋3b －5c解析设G 为BC 的中点，连结EG ，FG ，则EF →＝EG →＋GF →＝12AB →＋12CD → ＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c ) ＝3a ＋3b －5c二、解答题12.如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列表达式．(1)AB →＋BC →；(2)AB →＋AD →＋AA ′—→；(3)AB →＋CB →＋AA ′—→；(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →.解 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′—→＝AC →＋AA ′—→＝AC ′—→.(3)AB →＋CB →＋AA ′—→＝AB →＋DA →＋BB ′—→＝DA →＋AB →＋BB ′—→＝DB ′—→.(4)AC ′—→＋D ′B —→－DC →＝(AB →＋BC →＋CC ′—→)＋(DA →＋DC →＋C ′C —→)－DC →＝DC →.13.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解 ∵AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC → ＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →) ＝－OA →＋12(OD →＋AB →) ＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →) ＝－32OA →＋12OD →＋12OB →， ∴x ＝12，y ＝－32. 三、探究与拓展14．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.答案－8解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(－e 1－3e 2)＋(2e 1－e 2)＝e 1－4e 2，又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λBD →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，k ＝－4λ，∴k ＝－8.15.如图，设点A 是△BCD 所在平面外的一点，点G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．证明连结BG ，延长后交CD 于点E ，由点G 为△BCD 的重心，知BG →＝23BE →. ∵E 为CD 的中点，∴BE →＝12BC →＋12BD →. ∴AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE → ＝AB →＋13(BC →＋BD →) ＝AB →＋13[(AC →－AB →)＋(AD →－AB →)] ＝13(AB →＋AC →＋AD →)．。

选修2-1第三章空间向量与立体几何教案3

αABCDO课题：空间线面关系的判定（1）教学目标：1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系； 2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理； 3．能用向量方法判断空间线面垂直关系。

教学重点：用向量方法判断空间线面垂直关系教学难点：用向量方法判断空间线面垂直关系教学过程一、创设情景1、空间直线与平面平行与垂直的定义及判定2、直线的方向向量与平面的法向量的定义二、建构数学1、用向量描述空间线面关系设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则由如下结论2、相关说明：上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，判断的依据是相关的判定与性质，要理解掌握。

三、数学运用1、例1 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

（三垂线定理）已知：如图,OB 是平面α的斜线，O 为斜足，α⊥AB ，A 为垂足，OA CD CD ⊥⊂,ααlmng求证：OB CD ⊥证明：0=⋅⇒⊥OA CD OA CD⇒⊥αAB 0=⋅⇒⊥AB CD AB CDAB OA OB +=0)(=⋅+⋅=+⋅=⋅AB CD OA CD AB OA CD OB CD AB CD ⊥∴2、例2 证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

（直线于平面垂直的判定定理）已知：B n m n m =⊂⊂ ,,αα，n l m l ⊥⊥, 求证：α⊥l证明：在α内任作一条直线g ，在直线n m g l ,,,上分别取向量g n m l ,,,n y m x g +=所以n l y m l x n y m x l g l ⋅+⋅=+⋅=⋅)( 因为n l m l ⊥⊥, 所以0,0=⊥=⋅n l m l 可得0=⋅g l 即g l ⊥3、例3 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。

高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》(1.1)word学案

3．1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其线性运算[学习目标] 1.掌握空间向量相关的概念，几何表示法、字母表示法.2.掌握空间向量的加减运算及运算律.3.借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义．[知识链接]观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA →，OB →，OC →，它们和以前所学的向量有什么不同？(如图)答：OA →，OB →，OC →是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平面内． [预习导引] 1．空间向量的概念在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模． 2．空间向量的加减法 (1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．(如图) OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝a －b . (2)运算律交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 3．空间向量的数乘运算 (1)定义实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．如图所示．(2)运算律分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb ；结合律：λ(μa )＝(λμ)a . 4．共线向量定理 (1)共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a ∥b . (2)充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .要点一空间向量的概念例1 判断下列命题的真假．(1)空间向量就是空间中的一条有向线段； (2)不相等的两个空间向量的模必不相等；(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (4)向量BA →与向量AB →的长度相等．解 (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来． (2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可．(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点．(4)真命题，BA →与AB →仅是方向相反，它们的长度是相等的．规律方法在空间中，平行向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．跟踪演练1 给出以下命题：①若空间向量a ，b ，c 满足a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若空间向量a 、b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→； ④若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确命题的个数是________．答案 3解析因为0平行于任意向量，若b ＝0则a 与c 不一定平行，故①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同，故②错；根据正方体的性质，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，向量AC →与A 1C 1→的方向相同，模也相等，应有AC →＝A 1C 1→，故③正确；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．要点二空间向量的线性运算例2 如图所示，已知长方体ABCDA ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： (1)AA ′→－CB →；(2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→； (3)12AD →＋12AB →－12A ′A →. 解 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→＋BC →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→. (2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→＝AD ′→.(3)连结AC ′，设M 是线段AC ′的中点，则12AD →＋12AB →－12A ′A →＝12AD →＋12AB →＋12AA ′→＝12(AD→＋AB →＋AA ′→)＝12AC ′→＝AM →.向量AD ′→、AM →如图所示．规律方法化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化成加法，也可按减法法则进行运算．加减法之间可以转化．表达式中各向量的系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面．跟踪演练2 已知平行六面体ABCDA ′B ′C ′D ′，点M 是棱AA ′的中点，点G 在对角线A ′C 上且CG ∶GA ′＝2∶1，设CD →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，试用向量a 、b 、c 表示向量CA →、CA ′→、CM →、CG →.解如图所示，CA →＝CB →＋CD →＝a ＋b ； CA ′→＝CA →＋CC ′→＝a ＋b ＋c ； CM →＝CA →＋AM → ＝CB →＋CD →＋12CC ′→＝a ＋b ＋12c ；CG →＝23CA ′→＝23(a ＋b ＋c )．要点三空间向量的共线问题例3 设e 1、e 2是平面上不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值．解 ∵BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2，又A 、B 、D 三点共线，由共线向量定理得12＝－4k ，∴k ＝－8.规律方法灵活应用共线向量定理，正确列出比例式．跟踪演练3 设两非零向量e 1、e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)．试问：A 、B 、D 是否共线，请说明理由．解 ∵BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋8e 2)＋3(e 1－e 2)＝5(e 1＋e 2)， ∴BD →＝5AB →，又∵B 为两向量的公共点， ∴A 、B 、D 三点共线．1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD →相等的向量共有________个．答案 3解析与AD →相等的向量有A 1D 1→，BC →，B 1C 1→，共3个．2．设M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则AM →等于________．答案c －b3解析 AM →＝23·AC →＋AB →2＝13(c －b )．3．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，模与向量A ′B ′→的模相等的向量有________个．答案 7解析 |D ′C ′→|＝|C ′D ′→|＝|DC →|＝|CD →|＝|BA →|＝|AB →| ＝|B ′A ′→|＝|A ′B ′→|.4．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，已知下列各式：①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.其中运算的结果为AC 1→的有________个．答案 4解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.所以4个式子的运算结果都是AC 1→.1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模，零向量，单位向量，相等向量等都可以结合平面向量理解．2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行．3．空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线．一、基础达标1．下列命题中，假命题是________．①若AB →与CD →共线，则A 、B 、C 、D 不一定在同一直线上；②空间中，把所有单位向量的起点移到同一个点上，则终点形成一个球面； ③只有零向量的模等于0； ④共线的单位向量都相等．答案 ④解析容易判断④是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量． 2．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，AD →＝c ，则CD →等于________．答案 c －a －b解析如图，∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0. 即a ＋b ＋CD →－c ＝0， ∴CD →＝c －a －b . 3．给出下列命题：①向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为________．答案 3解析 ①假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．4．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则BC →等于________．答案－a －b解析如图，∵OA →＝a ，OB →＝b ， ∴BO →＝－b ，OC →＝－a ， ∴BC →＝BO →＋OC →＝－b －a .5．下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是________． ①AB →＝CD → ②AB →＝BC → ③AC →＝BD → ④BC →＝AD → 答案 ②解析由AB →＝BC →知AB →与BC →共线，又因有一共同的点B ，故A 、B 、C 三点共线． 6.如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于____________________．答案－23a ＋12b ＋12c解析由向量加法法则可知MN →＝MO →＋ON →＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b＋12c .7．如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AB 、B 1C 的中点．如何用AB →、AD →、AA 1→表示向量MN →？解 MN →＝MB →＋BC →＋CN → ＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋BB 1→) ＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→. 二、能力提升8．如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是________．①AD →与CB → ②OA →与OC → ③AC →与DB → ④DO →与OB → 答案 ④解析 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|，AB ∥DC ，即四边形ABCD 为平行四边形，由平行四边形的性质知，DO →＝OB →.9．如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝____________. 答案－a ＋b －c 解析 A 1B →＝A 1A →＋AB →＝C 1C →＋(CB →－CA →)＝－CC 1→＋CB →－CA →＝－c ＋b －a .10．如图，在三棱锥A －BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其重心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．答案 0解析延长DE 交边BC 于点F ，则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF→＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.11.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)CB →＋BA 1→； (2))AC →＋CB →＋12AA 1→；(3)AA 1→－AC →－CB →. 解 (1))CB →＋BA 1→＝CA 1→.(2)因为M 是BB 1的中点，所以BM →＝12BB 1→.又AA 1→＝BB 1→，所以AC →＋CB →＋12AA 1→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)AA 1→－AC →－CB →＝CA 1→－CB →＝BA 1→. 向量CA 1→，AM →，BA 1→如图所示．12．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简 (1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．解 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点， ∴BE →＝EC →，EF →＝GD →. ∴AB →＋GD →＋EC → ＝AB →＋BE →＋EF →＝AF →.故所求向量AD →，AF →如图所示．三、探究与创新13．如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．解 ∵AE →＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA →＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝－32OA →＋12OD →＋12OB →，∴x ＝12，y ＝－32.。

高中数学苏教版选修21第3章空间向量与立体几何2.3word学案

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