最大公约数、最小公倍数的比较
小学最大公因数和最小公倍数讲解指导及技巧辩认及实际习题操作人
小学最大公因数和最小公倍数讲解指导及技巧辩认及实际习题操作人一、必须要掌握的基本概念说到最大公因数（又叫最大公约数），必须要掌握质数和合数的概念，下面三点基本的内容要掌握：1、数字1既不是质数，也不是合数，是一个特殊的自然数2、如果一个数的约数只有1和它本身，这个数就是质数，例如2,3,5,7,11,13,17,19,23等，一定要注意2是唯一的一个既是偶数又是质数的数字。
3、如果一个数的约数含有1和它本身，除这两个之外还有其它的公因数，我们称这个数是合数，例如4,6,8,9等，最小的合数是4，因为他的因数包含1,2,3。
二、最大公约数的定义及求解方法最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
a,b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。
求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法和观察法等。
1、质因数分解法定义：把每个数分别进行质因数分解，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。
例1：求78和36的最大公因数，78=2x3x13,36=2x2x3x3,从这两个式子可以看出，他们的最大公因数是2x3=6例2：求234,78,39的最大公因数234=2x3x3x13,78=2x3x13,39=3x13从中可以看到它们三个数进行分解之后都含有3和13，因此它们的最大公因数是13。
2、短除法短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。
例3：求343和245的最大公约数343-245=98,245÷98=2......49,245÷49=5,所以最大公因数是493、观察法这种方法和第一种相似，第一种需要进行计算，这种需要对数字非常熟悉，一般来说要知道这些整除的概念：（1）、被2整除的数字尾数是偶数，例如32和36都是2的倍数，可以直接用2来进行整除。
最大公约数和最小公倍数的求法
最大公约数和最小公倍数的求法
最大公约数：任意两个数能被同一个最大的数整除称之为最大公约数。
最小公倍数：能被任意两数所除的最小公共数。
计算最大公约数的方法：
1、质因数分解法
质因数分解法：把每个数的质因数分解出来，然后把所求出来的公共质因数连乘就得到最大公约数（质因数：只能被1或其本身整除的数）。
例如：求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，所以，（24、60）=12。
把几个数先分别分解质因数，再把各数中的全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。
例如：求6和15的最小公倍数。
先分解质因数，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的质因数是3，6独有质因数是2，15独有的质因数是5，2×3×5=30，30里面包含6
的全部质因数2和3，还包含了15的全部质因数3和5，且30是6和15的公倍数中最小的一个，所以[6，15]=30。
2、短除法
短除法：任意两个或两个以上的数被他们公共约数整除，整除的公约数公约数相乘即为最大公约数。
最小公倍数就是公共除数相乘再乘的互为质因数的剩余数。
最大公因数和最小公倍数的比较
用排列倍数的方法或短除法求下列各组数 的最小公倍数。
7和5； 8和32；12和24．
7和5的最小公倍数是它们的乘积：7×5=35；
8和32的最小公倍数是32本身；
12和24的最小公倍数是24本身．
上面这个题为什么会 出现这样的结果呢？
（1）5没有因数，7也没有因数，所以5和7的最小 公倍数是35，35就是它们的公倍数． （2）因为32是8的倍数，而32也是它自己最小的倍数， 所以32是8和32的最小公倍数．
求20和48的最大公因数和最小公倍数. 小组合作探究：
观察计算过程完成下表：
求两个数的最大公约数 相同点 不同点 求两个数的最小公因数
再现过程，反馈情况： 20 2 48 2 20
24 2 10 5 12 20和48的最大公因数 是2╳2=4 2 10 5
48
24
12
20和48的最小公倍数是2╳2 ╳5╳ 12=240 求两个数的最小公因数 同左 把所有的除数和 商乘起来。
（1）两个互质的数的最小公倍数是它们的乘积． （2）如果遇到两个数，其中较大数是较小数 的倍数，较大数就是这两个数的最小公倍数 。
试一试
很快的说出下面各组数的最小公倍数． 7和8； 7×8=56 8和16； 16
100和25； 100
49和7； 49
2和13； 2×13=26
12和36． 36
动手做一做:
求两个数的最大公约数 相同点 用短除法的形式进行 分解，直到两个商是 互质数为止. 把所有的除数乘起来.
不同点
练习体验
1、根据左边的短除法填空：
24和36的最大公因数是（ 12 ） 24和36的最小公倍数是（ 72 ）
15 最大公约数、最小公倍数的比较
单元课时：15 最大公约数、最小公倍数的比较教学内容：课本P79页例5及“做一做”练习十六1—5教学目的：通过比较，使学生进一步分清求最大公约数和求最小公倍数的联系的区别，提高计算的熟练程度。
教学过程：一、口算1．说出下面的数哪些能被2整除？哪些能被3整除？哪些能被5整除？14、15、21、30、54、75、76、81、84、1052．很快说出下面每组数中各有几个公有的质因数，各是多少。
12和9 6和8 15和21 22和3314和6 8和7 25和10 18和123．很快说出下面每组数的最小公倍数是多少？2 和3 3和6 5和4 2、3和53和5 2和8 6和7 2、3和6二、新课1．出示例5。
请一名同学板演，其他人在练习本上练习。
2 28 42 2 28 427 14 21 7 14 212 3 2 328和42的最大公约数是14。
最小公倍数是84。
2．求最大公约数和求最小公倍数的方法比较。
问：现在我们来比较一下，求两个数的最大公约数和最小公倍数的方法有什么相同点，有什么不同点？（让学生结合上面的解答过程说一说）归纳：求最大公约数时，只要把两个数所有公有的质因数连乘起来，也就是把短除后的除数乘起来，就是这两个数的最大公约数；而求最小公倍数时，不仅要把两数所有公有的质因数连乘起来，还要把两个数各自独有的质因数也连乘起来，也就是说要把短除后所有的除数和商都乘起来，才能得到这两个数的最小公倍数。
阅读课本P79页表格。
1．练习：P79页的“做一做”三、巩固练习1．练习十六1（2用○，3打√，5划—）2．练习十六2四四、作业练习十六3、4、5。
最大公约数和最小公倍数的比较
最大公约数和最小公倍数的比较1. 介绍在数学中，最大公约数和最小公倍数是两个常见且重要的概念。
它们可以帮助我们解决各种问题，例如分数的化简、求解方程等。
虽然它们有相似的名字，但它们的定义和使用方式却有所不同。
本文将介绍最大公约数和最小公倍数的定义、计算方法以及它们之间的关系。
2. 最大公约数的定义和计算方法最大公约数，也称为最大公因数，是指两个或多个整数共有的最大因数。
我们可以通过以下方法计算两个整数的最大公约数：2.1 辗转相除法辗转相除法是一种常用于计算最大公约数的方法。
它的基本原理是用较大数除以较小数，然后用余数继续除以小数，直到余数为0为止。
最后一次除法的除数即为最大公约数。
例如，计算36和48的最大公约数：•48 ÷ 36 = 1，余数为12•36 ÷ 12 = 3，余数为0所以，36和48的最大公约数为12。
2.2 更相减损术更相减损术也是一种常用于计算最大公约数的方法。
它的基本原理是不断地用两个数中较大的数减去较小的数，直到两个数相等为止。
最后的相等值即为最大公约数。
例如，计算36和48的最大公约数：•48 - 36 = 12•36 - 12 = 24•24 - 12 = 12所以，36和48的最大公约数为12。
3. 最小公倍数的定义和计算方法最小公倍数是指两个或多个整数共有的最小倍数。
我们可以通过以下方法计算两个整数的最小公倍数：3.1 常用倍数法常用倍数法是一种常用于计算最小公倍数的方法。
它的基本原理是从两个数的倍数中找出共同的最小值。
例如，计算4和6的最小公倍数：•4的倍数序列：4, 8, 12, 16, 20…•6的倍数序列：6, 12, 18, 24…从上述倍数序列中可以看出，它们的共同倍数为12，所以4和6的最小公倍数为12。
3.2 最大公约数与最小公倍数的关系最大公约数和最小公倍数之间有一个重要的关系，即两个数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数的乘积。
最大公因数与最小公倍数问题探讨
最大公因数与最小公倍数问题探讨漳县三岔镇寺崖头明天小学 崔志平 邮编748301关键词：最大公因数、最小公倍数、约分、通分、省工节约、互质、倍数、摘要：复杂型分数比较大小，先求出分子或分母的最小公倍数，再用化分子相同法（分母大的值小）或分子相同法（分子大的值大）来比较。
在新编九年义务教材中，最大公因数和最小公倍数的问题十分广泛，它不但在学生校内学习的约分、通分中重点应用，而且在现实生活中，美化环境，建设家园的省工节约方面，具有实用价值，本文做递进式探讨：一.最大公因数和最小公倍数的定义.1. 最大公因数：常作最大公约数，指几个数的公因数中，最大的一个因数；如：27=1×27=3×9；36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6；45=1×45=3×15=5×9；因此，27的因数有1、3、9、27；36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；45的因数有1、3、5、9、15、45；其中1、3、9是27、36和45的公因数，在分数约分4536中，也是公约数，9是它们的最大公约数，也是最大公因数。
2. 最小公倍数：指几个数的公倍数中，最小的一个倍数；如：27的倍数有27、54、81、108、135、162、216......；36的倍数有36、72、108、144、180、216......；其中，108、216 (27)36 的公倍数，，108是27和36的最小公倍数。
又如：27、36、45的公倍数有540、1080、1620、2160、2700……，其中，540是27、36和54的最小公倍数。
二.最大公因数与最小公倍数的求法归类.1.互质型.例1.求3与13的最大公因数和最小公倍数.解：由于3和13是互质数，它们的公因数只有1，所以，3与13的最大公因数是1，最小公倍数是13×3=39.结论：互质型的几个数的最大公约数或公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
三个数的最大公约数和最小公倍数 不同点 短除法
三个数的最大公约数和最小公倍数不同点短除法最大公约数和最小公倍数是数学中常见的概念，它们分别用来描述两个数的公共因数和公共倍数。
在数学中，我们经常会遇到需要求解最大公约数和最小公倍数的问题，因此对于这两个概念的理解和计算方法是非常重要的。
最大公约数，也称为最大公因数，是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
例如，对于整数12和18来说，它们的公约数有1、2、3和6，其中6就是它们的最大公约数。
最大公约数通常用gcd(a,b)或者(a, b)来表示，其中a和b分别为需要求解最大公约数的两个整数。
最小公倍数，也称为最小公倍数，是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。
例如，对于整数4和6来说，它们的公倍数有12、24和36，其中12就是它们的最小公倍数。
最小公倍数通常用lcm(a,b)或者[a, b]来表示，其中a和b分别为需要求解最小公倍数的两个整数。
最大公约数和最小公倍数在数论和代数中都有广泛的应用。
在分数运算中，最大公约数可以用来约分，最小公倍数可以用来通分。
在解方程、化简式子等问题中，最大公约数和最小公倍数也可以发挥重要作用。
因此，对于这两个概念的理解和计算方法是非常重要的。
最大公约数和最小公倍数的计算方法有多种，其中比较常见的方法包括质因数分解法、短除法和辗转相除法。
短除法是一种用于求解最大公约数和最小公倍数的简便方法。
它的计算步骤如下：1.用较大数除以较小数，记下余数。
2.用上一步得到的余数去除上一步得到的除数，再次得到余数。
3.重复上一步，直到得到的余数为0。
4.最后一次除数即为最大公约数，最小公倍数等于两个数的乘积除以最大公约数。
以下我们将通过几个例子来详细介绍短除法的计算过程。
例1：求解最大公约数我们来计算整数24和36的最大公约数。
首先，用36除以24，得到余数12。
然后，用24除以12，得到余数0。
因此，24和36的最大公约数为12。
例2：求解最小公倍数现在我们来计算整数8和12的最小公倍数。
最大公约数和最小公倍数的比较
不同点
把所有的除数乘起 来．
把所有的除数和商乘起来．
求两个数的最大公约数和最小公倍数的区别
两个数的最大公约数是它们的公约数中最大 的，它必须包含两个数全部公有的质因数． 所有除数正好是两个数全部公有的质因数， 所以，求最大公约数就要把所有除数乘起 来．
求两个数的最大公约数和最小公倍数的区别
最小公倍数既要包含两个数全部公有的质因数， 又要包含各自独有的质因数．两个数的商分别 是它们独有的质因数．所以求两个数的最小公 倍数要把所有的除数和商乘起来．
最大公约数和最小公倍数的
比
李有琼
较
小学数学第十册
复习 1、下面的数，哪些能被2整除？哪些能被3整除？哪些能被5整除？
5 28
能被2整除的数： 28 能被3整除的数： 42 能被5整除的数： 5 25 42
25
42
2、从上面数中选出分别符合下列条件的几组数，求出各组 数的最大公约数和最小公倍数，并说明是怎么求出的？ A、较大数是较小数倍数的： 5 和 25 B、两个数是互质数的： 5和28 和 5 和 42 C、两个数既不互质，较大数又不是较小数倍数的： 28 和 42 28和25 和 25和42 和
练习 很快说出下面每组数的最大公约数和最小公倍 数． 9和15 9和27 7和21 7和12 最大公约数是3，最小公倍数45 最大公约数是9，最小公倍数27 最大公约数是7，最小公倍数21 最大公约数是1，最小公倍数84
修改 因为 7和12是互质数
所以 7和12的最大公约数是1 7和12的最小公倍数是7×12＝84
练习 很快说出下面每组数的最大公约数和最小公倍 数． 3和5 最大公约数是1，最小公倍数15 4和6 最大公约数是2，最小公倍数12
数的最大公约数与最小公倍数知识点总结
数的最大公约数与最小公倍数知识点总结数的最大公约数与最小公倍数是数学中的常见概念，涉及到整数的性质和运算规则。
在解决实际问题和数学计算中，了解和掌握这些知识点对于提高计算效率和解题能力非常重要。
下面将对数的最大公约数与最小公倍数进行知识点的总结。
一、最大公约数最大公约数指的是两个或多个数中都能整除的最大的一个数。
最大公约数的计算可以通过以下几种方法进行：1. 列举法：分别列出两个或多个数的所有因数，找出它们的公共因数，并选择其中最大的一个作为最大公约数。
2. 素数分解法：将两个或多个数分别进行素因数分解，然后提取出共有的素因数并相乘，结果即为最大公约数。
3. 辗转相除法（欧几里得算法）：假设有两个数a和b，令r为a除以b所得的余数，如果r为0，则b即为最大公约数；如果r不为0，则将b赋值给a，将r赋值给b，然后继续进行除法运算，直到余数为0为止。
最大公约数在实际应用中有很多用途，比如简化分数、求解整数倍问题等。
二、最小公倍数最小公倍数指的是两个或多个数中能够被它们整除的最小的数。
最小公倍数的计算可以通过以下几种方法进行：1. 列举法：列出两个或多个数的所有倍数，找出它们的公共倍数，并选择其中最小的一个作为最小公倍数。
2. 素数分解法：将两个或多个数分别进行素因数分解，然后提取出所有的素因数并相乘，结果即为最小公倍数。
3. 最大公约数法：假设有两个数a和b，它们的最小公倍数可以通过最大公约数来求解，公式为：最小公倍数=两数乘积/最大公约数。
最小公倍数在实际应用中也有很多用途，比如解决同时到达问题、计算工作效率等。
三、最大公约数与最小公倍数的关系最大公约数与最小公倍数之间存在着以下关系：1. 两个数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的积，即a*b=最大公约数*最小公倍数。
2. 如果两个数互质（最大公约数为1），那么它们的最小公倍数就等于它们的乘积。
3. 最大公约数与最小公倍数之间并不总是存在倍数关系。
最大公约数与最小公倍数的计算
最大公约数与最小公倍数的计算两个整数的最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）指的是能够同时整除这两个数的最大正整数。
而最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）则指的是能够同时被这两个数整除的最小正整数。
在数学和计算中，求解最大公约数和最小公倍数是一项基础且常用的运算。
1. 最大公约数的计算最大公约数可以通过辗转相除法来求解。
该方法基于以下定理：两个正整数a和b（a>b）的最大公约数等于a除以b的余数r和较小数b 之间的最大公约数。
具体求解步骤如下：（1）将a除以b，得到商q和余数r。
（2）若r等于0，则最大公约数为b。
（3）若r不等于0，则用b替换a，用r替换b，然后返回步骤（1）。
以下是一个求解最大公约数的例子：假设要求解45和75的最大公约数。
45 ÷ 75 = 0 (45)75 ÷ 45 = 1 (30)45 ÷ 30 = 1 (15)30 ÷ 15 = 2 0因此，45和75的最大公约数为15。
2. 最小公倍数的计算最小公倍数可以通过两个数的乘积除以它们的最大公约数来求解。
即最小公倍数等于（a*b）/GCD(a,b)。
以下是一个求解最小公倍数的例子：假设要求解6和9的最小公倍数。
首先，计算出它们的最大公约数：6 ÷ 9 = 0 (6)9 ÷ 6 = 1 (3)6 ÷ 3 = 2 0因此，6和9的最大公约数为3。
接下来，计算最小公倍数：LCM(6, 9) = (6 * 9) / GCD(6, 9) = 54 / 3 = 18因此，6和9的最小公倍数为18。
除了使用辗转相除法和相乘相除法，还可以使用质因数分解法求解最大公约数和最小公倍数。
质因数分解法通过将两个数分解为质数的乘积，然后求取它们的公共质数，并将这些公共质数相乘，得到最大公约数或最小公倍数。
综上所述，最大公约数和最小公倍数的计算可以通过辗转相除法、相乘相除法或质因数分解法等多种方法进行。
理解最大公约数和最小公倍数的概念
理解最大公约数和最小公倍数的概念最大公约数和最小公倍数是数学中常用的概念，它们在解决整数运算、分数化简、方程求解等问题中起到了重要的作用。
本文将详细介绍最大公约数和最小公倍数的定义、计算方法以及应用。
一、最大公约数的概念与计算方法最大公约数，简称为gcd（greatest common divisor），是指两个或多个整数中能够同时整除的最大的数。
例如，对于整数12和18，它们的最大公约数为6，因为6是12和18的公约数中最大的一个。
计算最大公约数有多种方法，其中一种常用的方法是欧几里得算法。
欧几里得算法的基本思想是通过连续除法的迭代，将两个整数逐渐缩小，直到找到它们的最大公约数。
具体算法步骤如下：1. 将两个整数a和b中较大的数赋值给a，较小的数赋值给b。
2. 计算a除以b的余数，将其赋值给r。
3. 如果r等于0，则b即为最大公约数；如果r不等于0，则将b赋值给a，将r赋值给b，然后返回第二步。
通过不断重复上述步骤，最终能够求得两个整数的最大公约数。
二、最小公倍数的概念与计算方法最小公倍数，简称为lcm（least common multiple），是指能够被两个或多个整数整除的最小的数。
例如，整数4和6的最小公倍数为12，因为12既能被4整除，也能被6整除。
计算最小公倍数有多种方法，其中一种常用的方法是利用最大公约数求解。
根据数学原理可知，两个整数的最小公倍数等于它们的乘积除以最大公约数。
具体计算方法如下：1. 计算两个整数a和b的最大公约数，记为gcd。
2. 将a乘以b，再除以gcd，即可得到最小公倍数。
这种方法能够简洁地计算得到最小公倍数。
三、最大公约数和最小公倍数的应用最大公约数和最小公倍数在实际问题中具有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景。
1. 整数运算：在整数的加减乘除运算中，有时需要将结果化简为最简形式，这就需要用到最大公约数和最小公倍数。
通过计算两个整数的最大公约数，可以将结果化简为最简整数形式；通过计算两个整数的最小公倍数，可以将结果化简为最简分数形式。
最大公约数和最小公倍数的比较PPT教学课件
3.金属材料在日常生活以及生产中有着广泛的运用｡下列关 于金属的一些说法不正确的是( ) A.合金的性质与其成分金属的性质不完全相同 B.工业上金属Mg､Al都是用电解熔融的氯化物制得的 C.金属冶炼的本质是金属阳离子得到电子变成金属原子 D.越活泼的金属越难冶炼
答案:B
解析:A项,合金具有良好的物理､化学或机械性能,硬度一般比 它的各成分金属大,熔点一般比它的各成分金属低;B项,工业 上通过电解Al2O3冶炼铝;C项,绝大多数金属元素以化合物的 形式存在于自然界中,且均显正价,大多数金属的冶炼都是通 过氧化还原反应,将金属阳离子还原为金属原子;D项,越活泼 的金属越不容易被还原,越难冶炼｡
阳离子得 由小到大,氧化性由弱到强 电子能力
和O2反 应
常温易 被氧化
常温能 被氧化
常温干燥 加热时 不能 空气中不 能被氧化 被氧化 易被氧化
和H2O反应 和酸反应
和碱反应 和盐反应
常温置换出氢
加热或与水蒸气 反应置换出氢
不能置换出 水中的氢
剧烈反应并置换 出酸中的氢
能置换出酸中的 氢,Fe､Al常温在浓 HNO3､浓硫酸中钝 化
答案:B
6.(2009·长沙一模)在一定条件下可实现如下图所示物质之 间的变化 请填写下列空白:
(1)孔雀石的主要成分是CuCO3·Cu(OH)2(碱式碳酸铜)｡受 热易分解｡图中的F是__C_O_2____｡ (2)写出明矾与过量NaOH溶液反应的离子方程式 _A__l3_ __4_O_H______A__lO__2 __2_H_2_O____｡ (3)图中所得G和D都为固体,混合后,在高温下可发生反应,写 出该反应的化学方程式_2_A_l__3_C_u_O_高 __温__3_C_u__A_l_2O__3 ___｡ (4)每生成1 mol D同时生成_0_._7_5____ mol E｡
数论中的最大公约数与最小公倍数
数论中的最大公约数与最小公倍数数论是研究整数的性质和规律的数学分支，其中最大公约数和最小公倍数是数论中常见且重要的概念。
本文将介绍最大公约数和最小公倍数的定义、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、最大公约数的定义与性质最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
对于整数a和b，记作GCD(a,b)，其中a≠0或b≠0。
最大公约数具有以下性质：1. 对称性：GCD(a,b)=GCD(b,a)。
2. 传递性：若a能整除b，b能整除c，则a也能整除c。
即，若a|b 且b|c，则a|c。
3. 相关性：若a|b，b|c，则GCD(a,c)=a或GCD(a,c)=b。
4. 数量性：GCD(a,b)≥1，当且仅当a和b有公共的质数因子。
最大公约数在数论、代数、密码学等领域都有重要的应用。
例如，它可以用来求解线性同余方程，并在密码学中用于数据加密和解密。
二、最小公倍数的定义与性质最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。
对于整数a和b，记作LCM(a,b)，其中a≠0且b≠0。
最小公倍数具有以下性质：1. 对称性：LCM(a,b)=LCM(b,a)。
2. 传递性：若a能整除b，b能整除c，则a也能整除c。
即，若a|b 且b|c，则a|c。
3. 相关性：若a|b，b|c，则LCM(a,c)=c或LCM(a,c)=b。
最小公倍数的计算也是很重要的，它常常用于分数的通分、有理数的化简等问题中。
同时，在应用数学、电路设计等领域，最小公倍数也有广泛的应用。
三、最大公约数与最小公倍数的关系最大公约数与最小公倍数之间有一个重要的性质，即对任意两个整数a和b，有以下等式成立：a ×b = GCD(a,b) × LCM(a,b)。
这个等式的推导可以用因数分解的方法来证明，它意味着最大公约数和最小公倍数之间的乘积等于这两个数的乘积。
最大公约与最小公倍
二、最小公约数和最小公倍数1、公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公．．．约数．．。
例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12；18的约数有：1，2，3，6，9，18。
12和18的公约数有：1，2，3，6。
其中6是12和18的最大公约数，记做（12，18）＝6。
2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公．．．倍数．．。
例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84，90，…；18的倍数有：18，36，54，72，90，108，…。
12和18的公倍数有：36，72，90，…。
其中36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
3、互质数如果两个数的最大公约数为1，那么这两个数叫做互质数．．．。
二、最大公约数与最小公倍数最大公约数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。
例如：（8，12）=4，（6，9，15）=3。
最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。
例如：[8，12]=24，[6，9，15]=90。
求最大公约数的方法：1．分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
例如：231=3×7×11，252=22×32×7，所以（231，252）=3×7=21；2．短除法：先找所有共有的约数，然后相乘。
例如：（12，18）=2×3=6 ；3．辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个数去除前一个余数，直到余数是0为止。
最大公约数和最小公倍数问题
最大公约数几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1、则a和b互质。
求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。
例题1：一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。
现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？分析7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。
因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。
75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。
如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。
1、把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？2、一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？3、将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？例题2：一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？分析 2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。
要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。
现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。
（270，18，15）=3、3厘米=0.3分米1、一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？2、有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？3、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？例题3：有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？分析要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200和480的公约数，而每小段要取最长，也就是求240、200和480的最大公约数。
小学奥数最大公约数与最小公倍数的应用比较
最大公约数与最小公倍数的应用比较在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。
一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。
不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。
判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。
对比例子（一）1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。
具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。
又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。
（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。
（60÷20）×（40÷20）=6（块）或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。
具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。
〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形或用面积计算：（15×15）÷（5×3）=15（个）对比例子（二）1．一长方体木块，长56CM，宽40CM，高24CM，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，且无剩余，能锯成多少块？分析：小正方体是从长方体中锯出来的，长方体就是总体，小正方体为部分。
最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数在数学中，最大公约数和最小公倍数是两个常见的概念。
它们在计算、代数和数论等领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍最大公约数和最小公倍数的定义、性质以及它们的计算方法。
一、最大公约数的定义和性质最大公约数，也被称为最大公因数，指的是几个数共有的最大的约数。
对于两个数a和b来说，最大公约数通常用符号（a，b）表示。
最大公约数有以下几个性质：1. 对于任意的正整数a和b，最大公约数（a，b）大于等于1，即最大公约数不会小于1。
2. 若（a，b）=1，则称a和b互质。
互质的两个数的最大公约数为1.3. 若（a，b）=d，则a和b可以被d整除，即d是a和b的公倍数。
二、最小公倍数的定义和性质最小公倍数，也被称为最小公倍数，指的是几个数共有的最小的倍数。
对于两个数a和b来说，最小公倍数通常用符号[a，b]表示。
最小公倍数有以下几个性质：1. 对于任意的正整数a和b，最小公倍数[a，b]大于等于a和b中的最大数，即最小公倍数不会小于a和b中较大的数。
2. 若a和b互质，则它们的最小公倍数为a*b。
3. 若（a，b）=d，则可以用最小公倍数来表示最大公约数，即（a，b）=a*b/[a，b]。
三、最大公约数和最小公倍数的计算方法1. 辗转相除法：利用辗转相除法可以逐步求得最大公约数。
具体步骤如下：a. 用较大数除以较小数，得到余数。
b. 将较小数作为被除数，将余数作为除数，再进行一次相除。
c. 依次类推，直到余数为0，此时的除数就是最大公约数。
2. 公式法：最小公倍数可以通过最大公约数计算得到。
根据[a，b]= a*b / (a，b) 的公式，可以用辗转相除法求得最大公约数，然后将其带入公式计算最小公倍数。
四、最大公约数和最小公倍数的应用最大公约数和最小公倍数在数学中有着广泛的应用，特别是在分数的化简、方程的解法以及倍数关系的确定等方面。
以下是一些具体的应用实例：1. 分数的化简：通过计算分子和分母的最大公约数，可以将分数化简为最简形式，从而方便进行运算和比较大小。
苏教版数学五年级下册教案最大公约数和最小公倍数的比较
苏教版数学五年级下册教案：最大公约数与最小公倍数的比较一、教学目标1.了解最大公约数和最小公倍数的概念。
2.掌握求最大公约数和最小公倍数的方法。
3.能够比较最大公约数和最小公倍数的大小关系。
二、教学内容1.最大公约数的定义和性质；2.最小公倍数的定义和性质；3.最大公约数和最小公倍数的计算；4.比较最大公约数和最小公倍数的大小关系。
三、教学重点和难点1.最大公约数和最小公倍数的概念和计算方法；2.最大公约数和最小公倍数的相互关系及其在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入新知识通过提问方式，引出最大公约数和最小公倍数的概念，并列举实际应用场景，如公约数的应用：化简分数、约分折分、化简根式、求最简比等；而公倍数的应用：比较分数大小、除法应用、分母通分等。
2. 概念讲解1.最大公约数的定义和性质最大公约数指两个或多个整数共有的约数中最大的那个数。
性质：(1) 任何一个数的约数必定小于或等于该数二分之一的整数；(2) 若两个数a和b的最大公约数为d，则a/d和b/d的最大公约数也为d。
2.最小公倍数的定义和性质最小公倍数指两个或多个整数公有的倍数中最小的正整数倍数。
性质：(1) 任何一个数的倍数必定大于或等于该数；(2) 两个数a和b的最小公倍数为a*b/gcd(a,b)。
3. 计算方法1.求最大公约数的方法（1）列出整数的公因数，取其中最大的那个既是这些整数的公约数也是它们最大的公约数；（2）辗转相除法，从两数中较大的数开始，用较小的数连续做除数，得到余数，直到两数之间的差等于0为止，此时较小的数即为它们的最大公约数。
2.求最小公倍数的方法（1）列出整数的公倍数，取其中最小的那个，既是这些整数的公倍数，也是它们的最小公倍数；（2）最小公倍数等于两数之积除以它们的最大公约数。
4. 比较大小在实际问题中，最大公约数和最小公倍数有着不同的应用场景，常常需要比较它们的大小关系。
可以通过以下方法进行比较：1.比较两数的大小关系，如果它们的最大公约数大于1，则最小公倍数一定比最大公约数大，否则最小公倍数等于两数之积；2.比较两数的大小关系，如果它们的最小公倍数小于其中较大的数，则最大公约数一定比最小公倍数小，否则最大公约数等于两数的公共因数中最大的那个数。
最大的公约数、最小公倍数比较课件
06
总结与回顾
最大公约数
最大公约数的定义
最大公约数是两个或多个整数共 有的最大的一个约数。
最大公约数的性质
最大公约数具有传递性，即如果 a和b的最大公约数是G，b和c的 最大公约数也是G，那么a和c的
最大公约数也是G。
最大公约数的求法
辗转相除法（欧几里得算法）是 求最大公约数的常用方法，其基 本思想是不断用较大数除以较小 数，直到余数为0，此时的除数
最大的公约数、最小公倍数 比较ppt课件
目录
• 最大公约数（GCD）介绍 • 最小公倍数（LCM）介绍 • GCD与LCM的比较 • GCD与LCM的实际应用 • 练习与问题解答 • 总结与回顾
01
最大公约数（GCD）介绍
最大公约数概念
最大公约数定义
两个或多个整数共有的最大的正 整数约数。
举例说明
题目3答案及解析
这两个数分别是15和18，因为已知最大公约数是6，最小 公倍数是90，根据公式aXb=两数乘积=最大公约数X最 小公倍数，所以这两个数分别是6X答案及解析
这两个数分别是49和70，因为已知两数乘积是1260，最 大公约数是14，根据公式aXb=两数乘积=最大公约数X 最小公倍数，所以这两个数分别是14X90/7=49和 14X90/9=70。
求18和24的最小公倍数 。
已知两个数的最大公约 数是6，最小公倍数是
90，求这两个数。
已知两个数的乘积是 1260，最大公约数是14
，求这两个数。
答案及解析
题目1答案及解析
最大公约数是6，因为18=2x3x3，24=2x2x2x3，所以最 大公约数是2x3=6。
题目2答案及解析
最小公倍数是72，因为18=2x3x3，24=2x2x2x3，所以 最小公倍数是2x2x2x3x3=72。
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最大公约数、最小公倍数的比较教学目标1．进一步巩固最大公约数和最小公倍数的计算方法．2．掌握求两个数最大公约数和最小公倍数的相同点与不同点．教学重点比较求两个数的最大公约数和最小公倍数的相同点和不同点．教学难点区分求两个数的最大公约数和最小公倍数的计算方法．教学步骤一、铺垫孕伏．出示下列各数：5 28 25 421．指名学生说出：这些数中，哪些能被2整除，哪些能被3整除，哪些能被5整除．2．引导学生从这列数中选出分别符合下列条件的几组数，求出各组数的最大公约数和最小公倍数，并说明是怎么求出来的．（1）较大数是较小数倍数的．（2）两个数是互质数的．（3）两个数既不互质，较大数又不是较小数倍数的．谈话引入：求两个数的最大公约数和最小公倍数都用分解质因数法，但它们的计算方法不完全一样．这节课我们就来学习“最大公约数和最小公倍数的比较”的内容．（板书：最大公约数、最小公倍数的比较）二、探究新知．【演示课件“比较”】（一）教学例5 求28和42的最大公约数和最小公倍数1、学生板演．2、整理方法：求28和42的最大公约数，先用短除形式分解质因数，直到两个商是互质数为止，然后把所有的除数乘起来．（板书：把所有的除数乘起来）求28和42的最小公倍数，先用短除形式分解质因数，直到两个商是互质数为止，然后把所有的除数和商乘起来．（板书：把所有的除数和商乘起来）（二）分析对比，寻找异同．1、出示下表．求两个数的最大公约数求两个数的最小公倍数相同点不同点2、分组讨论：求两个数的最大公约数和最小公倍数有什么相同点和不同点？3、信息反馈，总结填表．求两个数的最大公约数求两个数的最小公倍数相同点用短除的形式分解质因数，直到两个商是互质数为止．同左不同点把所有的除数乘起来．把所有的除数和商乘起来．4、针对不同点探究真知．（1）探讨：为什么求两个数的最大公约数是把所有的除数乘起来，而求两个数的最小公倍数是把所有的除数和商乘起来？（2）小结：两个数的最大公约数是它们的公约数中最大的，它必须包含两个数全部公有的质因数．所有除数正好是两个数全部公有的质因数，所以，求最大公约数就要把所有除数乘起来．而求最小公倍数既要包含两个数全部公有的质因数，又要包含各自独有的质因数．两个数的商分别是它们独有的质因数．所以求两个数的最小公倍数要把所有的除数和商乘起来．（三）反馈练习：根据短除式，你能很快地说出24和36的最大公约数和最小公倍数吗？三、全课小结．今天这节课我们学习了哪些知识？通过今天的学习，你有哪些收获？四、随堂练习．【演示课件“比较”】1．选择题：根据下面的短除式，选择正确答案．（1）18和30的最大公约数是（）A：2×3＝6 B：3×5＝15 C：2×3×3×5＝90（2）18和30的最小公倍数是（）A：2×3＝6 B：2×3×3×5＝90 C：18×30＝5402．改错：找出下列各题错在哪里，并说明如何改正．（1）60和90的最大公约数是 2×3＝6，60和90的最小公倍数是 2×3×10×15＝900．（2）7和12的最大公约数是7．7和 12的最小公倍数是 7×1×12＝84．3．下面的数，哪些能被2整除？哪些能被3整除？哪些能被5整除？12 21 36 45 60 105 144 2554．很快说出下面每组数的最大公约数和最小公倍数．3和5 4和6 10和168和7 6和10 9和159和27 7和21 7和12五、布置作业．1、求出下面每组数的最小公倍数2、5和10 8、16和24 6、8和143、6和9 5、7和15 8、9和182、幸福村小学某班利用假日为饲养场割草．第一小队7个人3小时割了73.5千克．照这样计算，全班48人用同样时间割草多少千克？六、板书设计．。