几何模型(小学奥数必会6大模型)培训讲学
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【最新整理，下载后即可编辑】几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换①、等底等高的两个三角形面积相等②、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图1③、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图2④、在一组平行线之间的等积变形，如图3图1 图2 图3 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。
解：S△ADC=12S△ABC=12×24=12S△ADE=12S△ADC=12×12=6；S△DEF=12S△ADE=12×6=3（2）鸟头（共角）定理模型①、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；②、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC 延长线上的点S△ABC S△ADE=SS×AC SS×AE例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE 的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。
解：由题意知：S△ABCS△ADE =AB×ACAD×AE=52×53=256∴S△ABC=256×S△ADE=256×12=50(平方厘米)（3）蝴蝶模型1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①S2=S4(梯形两翼相等)②S1:S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab③梯形S对应的分数为（a+b)2例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。
解：S△AOB:S△BOC=25:35=5:7S△AOB:S△DOC=SS2:SS2=52:72=25：49∴S△DOC=49又S△AOD=S△BOC=35∴S SSSS=25+35+35+49=144(平方厘米) 2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①S1:S2=S4:S3或S1×S3=S2×S4②AO:OC=S1:S4=S2:S3=(S1+S2):(S4+S3)例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2，求OC解：AO:OC=S△ABD:S△BCD=1:3OC=2×3=6（4）相似模型1、相似三角形：形状相同,大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
小学奥数之几何五大模型
一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
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（4）相似模型
1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；
2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3、相似三角形性质：
①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；
②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型
结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则
①AD AE DE
==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。
②::ABO BCO S S AE EC =△△；
E
D C B
A E D
C
B A
③::ACO BCO S S AF FB =△△。
二、五大模型经典例题详解 （1）等积变换模型
例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？
G
F
E D C
B
A。
几何的五大模型学习资料
2）翅膀面积之和：尾巴面积=翅骨：尾骨 （SΔABG+ SΔACG）： SΔBGC=AG:GE
3） BECFAD1 CE AF BD
例题：等积变换
例题1：一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形 面积的15%，黄色三角形面积是21cm2。问：长方形的面积是 多少平方厘米？
分析：SΔ黄+SΔ绿=S长方形÷2（=宽×长÷2）
O
S2 S4
S1：S3：S2：S4=S3=a2：b2：ab：ab
S3
3、蝴蝶定理模型，把梯形肢解模块化，我们
D
EbF
C
可以假设最小的三角形面积为1份。想想？其它各部分所占的份数
4、 ∵ a：b=3:1，∴S2=S4=3份，S1=9份
5、 想想？正方形ABCD中，还有哪些没有包块进去，及与份数之间的关系
5
1G
2
E
43
B
C
F
想想？ΔHBE与ΔHAB、 ΔHBF与ΔHBC、 ΔHDG与ΔHCD之间的比例关系
都存在1:3的关系
所以：S阴影是S正的三分之一，即S阴影=12×12÷3=48
例题：鸟头（共角）模型
例题4：如图，已知三角形ABC面积为1，延长至D，使BD=AB，延长BC 至E，使CE=2BC，延长至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积
C
A
O
E
B
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例题：等积变换模型
例题4：图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正 方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？
分析： 正方形的各条边边长相等，都为12，E、F、G为
三等分点，想想？可采用什么模型
几何模型(小学奥数必会6大模型)
模型一：等高模型定义：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。
如果固定三角形的底（或高）不变，另一者变大（小）n 倍，三角形的面积也就变大（小）n 倍。
六种基本类型：两个三角形高相等，面积比等于底之比；两个三角形底相等，面积比等于高之比公式：DCBDS S ADC ABD =∆∆；FCEDS S ABC ABD =∆∆其中，BC=EF 且两三角形的高相等公式：1=∆∆DEFABCS S夹在一组平行线之间的等积变形公式：1==∆∆∆ABDABCBCD ACD S S等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可看作特殊的平行四边形）公式：1=CDEFABCDS S三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半公式：ABCDEDC S S 21=∆两个平行四边形高相等，面积比等于他们底的比公式：EFABS S DEFG ABCD =例题：长方形ABCD 的面积为36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？()5.135.418185.43681211836212136212121=-=-=∴=⨯=⨯⨯=+=++=⨯=++=++∴=++====∴===∴=∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆BEF BEF BEF DGH BFH BEH CDH BCH ABH DGH BFH BEH CDH BCH ABH ABCD CDH DGH BCH BFH ABH BEH CGHDGH CFH BFH BEHAEH S S BF BE S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S EB AE HC BH 阴影阴影，，，，同理，、如图，连接模型二：相似模型定义：形状相同，大小不相同的两个三角形，一切对应线段的长度成比例的模型。
两种基本类型：（一）金字塔模型（二）沙漏模型①相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比；公式：AGAFBC DE AC AE AB AD ===②相似三角形的面积比等于他们相似比的平方；公式：22::AG AF S S ABC ADE =∆∆③连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
小学奥数必学几何五大模型及例题解析
小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要，小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：1S 2S 解析：连接CE ，如图。
AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为：BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S △ABC =AB ×ACsinA ，S △ADE =AD ×AEsinA所以：S △ABC ：S △ADE= （AB ×ACsinA ）：（AD ×AEsinA ）=（AB ×AC ）：（AD ×AE ）经典例题：S △ADF ：S △ABC=（AD ×AF ）：（AB ×AC ）=（2BD ×AF ）：（3BD ×4AF ）=1：6 S △BDE ：S △ABC=（BD ×BE ）：（AB ×BC ）=（BD ×BE ）：（3BD ×2BE ）=1：6 S △CEF ：S △ABC=（CE ×CF ）：（CB ×CA ）=（CE ×3AF ）：（2CE ×4AF ）=3：8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评：本题直接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例，再求出S △DEF 占S △ABC 的比例，就能直接求出S △ABC 的面积。
六年级奥数几何模型知识点
六年级奥数几何模型知识点六年级学生在数学学科中接触到了各种几何模型，这些模型不仅仅是用来展示形状和结构，更是一种思维工具，能够帮助学生理解几何概念和解决几何问题。
本文将介绍六年级奥数中的几个重要的几何模型知识点，帮助同学们更好地掌握几何学。
一、平面图形与立体图形的区别在学习几何模型之前，首先需要了解平面图形和立体图形的区别。
平面图形是指只有两个维度，只有长和宽，没有厚度。
常见的平面图形有圆形、矩形、三角形等。
而立体图形则有三个维度，除了长和宽，还有高度，具有厚度的特点。
常见的立体图形有立方体、圆柱体、球体等。
二、几何模型的拼装与构建几何模型是由各种基本图形拼装和构建而成的。
比如，通过将正方形和三角形拼接起来，可以构建出一个五边形。
同样地，通过将立方体、圆柱体和球体等不同的立体图形拼接，可以构建出更复杂的几何模型。
三、相似图形的特性与应用相似图形是指形状和结构相似但大小不同的图形。
在奥数中，相似图形的特性被广泛应用于几何问题的解决中。
具体来说，当两个图形相似时，它们的对应边的比例相等。
利用相似图形的特性，我们可以解决一些复杂的几何问题，比如求解图形的面积、周长等。
四、三角形的性质与运用三角形是几何学中研究最广泛的图形之一。
在六年级奥数中，同学们需要掌握三角形的基本性质，并能灵活运用于解决问题。
常见的三角形性质有等腰三角形、等边三角形和直角三角形。
利用这些性质，我们可以求解三角形的各个边长和角度，并解决与三角形相关的几何问题。
五、平行四边形的特征与应用平行四边形是含有两组平行边的四边形。
在奥数中，平行四边形的性质和应用也是重点之一。
其中，重要的性质包括对角线互相平分、对边相互平行、对边相等等。
通过掌握平行四边形的性质，我们可以求解其面积、周长，并在解决问题时灵活运用。
六、圆的性质与相关应用圆是几何学中的重要概念，它具有独特的性质和特点。
在六年级奥数中，同学们需要了解圆的直径、半径、弧长和面积等概念，并能运用它们解决与圆相关的几何问题。
小学奥数几何六大模型及例题
可以简记为 左边：右边=左和：右和
梯形中蝴蝶模型 梯形 的对应份数为 可以简记为： 上下平方，左右相乘。
燕尾模型 从三角形一个顶点向对边上任意一点的画线段，在线段 上任取一点组成的图形面积也会有如下关系：
Hale Waihona Puke 例题1 （2008年第一届“陈省身杯”六年级2试） 如图，BC=45，AC=21，△ABC被分成9个面积相等的小三 角形，那么DI+FK为多少？
例题2 如图1，并排放有三个正方形，其中正方形GBEF的边长为 10厘米，连接GK，交EF于O，连接DE，交BG于Q，连接 DG，求阴影部分的面积。
例题3 如图1，梯形ABCD，下底BC上有一点E，梯形空白处的面 积比阴影△ADE得到面积多200平方厘米，又知梯形下底 BC比上底AD长20厘米。求这个梯形的高是多少？
等积变形
等积变形这里的积指的是面积，因为任何直线型图形都可分解成 若干个三角形，所以三角形是最基本图形，等积变形里主要研究的 是三角形面积变换。 三角形面积=底×高÷2 决定三角形面积的大小，取决于底和高这两个量。 等底等高：如果两个三角形等底等高，则这两个三角形面积相同 （如图1）；（典型的夹在一组平行线间的，两个三角形若同底，则 面积相同） 同底看高：如果两个三角形等底，但高不等，则面积比等于高的 比（如图2）； 同高看底：如果两个三角形等高，但底不等，则面积比等于底的 比（如图3）。
例题7 如图1，△ABC中，BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么 △ABC的面积是阴影三角形面积的 倍。
例题8 正六边形 分别是正六边形各边的中点，那么图中阴影六边 形的面积是 平方厘米。
小学奥数必学几何五大模型及例题解析
小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型——很重要，小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图右图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACDBCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：1S 2S 解析：连接CE ，如图。
AE=3AB,所以S △AEC =3S △ABC=3 所以 S △BCE =2又因为：BD=2BC,所以S △BDE =2 S △BCE =4点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S △ABC =AB ×ACsinA ，S △ADE =AD ×AEsinA所以：S △ABC ：S △ADE= （AB ×ACsinA ）：（AD ×AEsinA ）=（AB ×AC ）：（AD ×AE ）经典例题：S △ADF ：S △ABC=（AD ×AF ）：（AB ×AC ）=（2BD ×AF ）：（3BD ×4AF ）=1：6 S △BDE ：S △ABC=（BD ×BE ）：（AB ×BC ）=（BD ×BE ）：（3BD ×2BE ）=1：6 S △CEF ：S △ABC=（CE ×CF ）：（CB ×CA ）=（CE ×3AF ）：（2CE ×4AF ）=3：8 1-1/6-1/6-3/8=7/24 S △ABC =7÷7/24=24(平方厘米).点评：本题直接用到鸟头模型，先分别求出三个角上的三个三角形占S △ABC 的比例，再求出S △DEF 占S △ABC 的比例，就能直接求出S △ABC 的面积。
小学奥数几何六大模型及例题68706精编版19页PPT
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
小学奥数几何六大模型及例题68706 精编版
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
小学奥数之几何五大模型
小学奥数之几何五大模型(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。
⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；五大模型1S 2S二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =；③梯形S 的对应份数为()2a b +。
四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型 沙漏模型①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。
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例题3 如图1，梯形ABCD，下底BC上有一点E，梯形空白处的面 积比阴影△ADE得到面积多200平方厘米，又知梯形下底 BC比上底AD长20厘米。求这个梯形的高是多少？
例题4 将长16厘米，宽9厘米的长方形的长和宽都分成三等份， 长方形内任意一点O与分点及顶点连接，如图，则阴影部 分的面积是 平方厘米。
例题8 正六边形 分别是正六边形各边的中点，那么图中阴影六边 形的面积是 平方厘米。
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
17
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
任意四边形中的蝴蝶模型。 S1 : S2 S4 : S3或者S1 S3 S2 S4
AO : OC S1 : S4 S2 : S3 (S1 S2 ) : (S4 S3)
可以简记为 左边：右边=左和：右和
梯形中蝴蝶模型 梯形 的对应份数为
可以简记为： 上下平方，左右相乘。
燕尾模型 从三角形一个顶点向对边上任意一点的画线段，在线段
第七讲 平面பைடு நூலகம்何之直线图形
闯关目标 第七讲 六大模型
等积变形 一半模型 鸟头模型 蝴蝶模型
赛前热身
平面几何是小升初考试的必考内容，而且常常以大题的
形式出现，重点中学选拔考试中几何题目分值较高，并且 难度有逐步增加的趋势，虽然几何题形式多样，但通过总 结归纳，掌握基本的几何模型，有助于解决更多几何新题 难题。
如上图中有 SADE AD AE SABC AB AC
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模型一：等高模型定义：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。
如果固定三角形的底（或高）不变，另一者变大（小）n 倍，三角形的面积也就变大（小）n 倍。
六种基本类型：两个三角形高相等，面积比等于底之比；两个三角形底相等，面积比等于高之比公式：DCBDS S ADC ABD =∆∆；FCEDS S ABC ABD =∆∆其中，BC=EF 且两三角形的高相等公式：1=∆∆DEFABCS S夹在一组平行线之间的等积变形公式：1==∆∆∆ABDABCBCD ACD S S S S等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可看作特殊的平行四边形）公式：1=CDEFABCDS S三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半公式：ABCDEDC S S 21=∆两个平行四边形高相等，面积比等于他们底的比公式：EFABS S DEFG ABCD =例题：长方形ABCD 的面积为36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？()5.135.418185.43681211836212136212121=-=-=∴=⨯=⨯⨯=+=++=⨯=++=++∴=++====∴===∴=∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆BEF BEF BEF DGH BFH BEH CDH BCH ABH DGH BFH BEH CDH BCH ABH ABCD CDH DGH BCH BFH ABH BEH CGHDGH CFH BFH BEHAEH S S BF BE S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S EB AE HC BH 阴影阴影，，，，同理，、如图，连接模型二：相似模型定义：形状相同，大小不相同的两个三角形，一切对应线段的长度成比例的模型。
两种基本类型：（一）金字塔模型（二）沙漏模型①相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比；公式：AGAFBC DE AC AE AB AD ===②相似三角形的面积比等于他们相似比的平方；公式：22::AG AF S S ABC ADE =∆∆③连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。
）公式：当DE 为中点时，BCDE 21=例题：如图，DE 平行BC ，且AD=2，AB=5，AE=4，求AC 的长.由金字塔模型得5:2:::===BC DE AC AE AB AD ，所以10524=⨯÷=AC模型三：鸟头模型（共角模型）定义：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
四种基本类型：公式：ACAB AEAD ABC S ADE S ⨯⨯=∆∆例题：如图，三角形ABC 的面积是1，延长BA 到D,使DB=AB;延长CA 到E,使EA=2AC;延长CB 至F，使FB=3BC，求三角形DEF 的面积？解：71612263218014212 1243 2213CACE 3BC CF 2AC AE =--+=--+==⨯=⨯⨯=︒=∠+∠⇒=+=+==⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯=====∠=∠⇒∠=∠⇒∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆ABC S DBF S CEF S ADE S DEF S BFBD BCBA ABC S DBF S DBF ABC DBF S ABC S ADE S CEF S S CB CA CFCE ABC S CEF S AC AB AE AD ABC S ADE S AD AB FCEBCA CEF S ABC S EAD BAC ADE S ABC S 与与与总模型四：风筝模型定义：两个共底的三角形，其面积之比等于其顶点到顶点连线与底边所在直线交点的线段长度之比。
两种基本类型：（同侧风筝模型、异侧风筝模型）公式：同侧风筝模型：ADCS ODCS AB OB ∆∆=异侧风筝模型：BCDS ABCS OD AO ∆∆=例题：如图，正方形ABCD 的面积为1，E、F 分别是BC 和DC 的中点，DE 与BF 相交于M 点，DE 与AF 相交于N 点，那么阴影三角形MFN 的面积是多少？图1图230121 151FAD 151 MFN 1513511FD FA FN FM FAD MFN 128141BEF BED MF DM 148121BEF BEA NF AN 41121 21ED BC 21BED 2121BEA 812121 2121BEF 81 2121 2121BEF 2 111=⨯===⨯⨯=⨯⨯========⨯⨯=⨯====⨯⨯=⨯==⨯⨯=⨯=====⇒=∆∆∆∆∆∆∆∆∆◊∆∆∆◊S S S S S S S S S ABCD S S BF EC S BF EC S EF BD EF AE AD CD BC AB ABCD S 通过鸟头模型得到：）（如图、连接）（如图、连接模型五：蝴蝶模型定义：1、任意四边形蝴蝶模型为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
通过构造模型，可以了解四边形的内部的四个三角形的面积关系。
2、梯形的蝴蝶模型研究的是被梯形对角线分成的四块三角形面积之间的关系以及三角形面积比和线段比之间的相互转化。
公式：任意四边形：24313241::S S S S S S S S ⨯=⨯⇒=梯形：()。
长度之比的位置的转移线段两个模型的主要作用是模型，金字塔模型。
这其他平行线模型：沙漏思想。
例模型面积问题的重要面积问题，以及其他比这是解决梯形蝴蝶模型分的面积份数，数，进而表示出所有部出合适三角形的面积份设份数：按比例条件设小：中：大：总小：大中：大小：中的结论：梯形蝴蝶模型关于面积找到上底与下底之比为找平行线点是：梯形蝴蝶模型题目中重右”。
左下，或“上翅磅，面积乘积相等”型结论可记为：“两对任意四边形中的蝴蝶模总结：）之比为如下结论（上底与下底反复运用等高模型，有.5.4::::b :a 3.b :a 2 1.2.1::.3::::::::.2.1:2222222313432412142b a b ab a b a b a S S b a BC AD OD OB OC OA S S S S S S S S S S b a +====⨯=⨯=========例题：如图ABCD 和CEGF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H，已知CH 等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积。
49.54.536AGEF 5.4)36(321213cmBC 21HF :CH FG :AC 6cm 36CGEF 18CGEF 21186121261212 362121621:31,2222222=++==-⨯⨯=⨯====⇒=====+==⨯===⨯=====⇒=◊∆◊◊∆∆∆∆∆∆∆∆∆S DF AD ADF S cm S cm S CFG S EFG S CFG S cm GFH S GHF S cm CHG S AHC S cm CHG S AHF S HF CH CF CH ACEG FG AC FG AC ：由到如下结论由梯形蝴蝶模型可以得：由已知得：是梯形，四边形平行于则、如图，连接如图，梯形ABCD 中，AD 与BC 平行，AD=BE=EC,O 是AC 与BD 的交点，P 点是AE 与BD 的交点。
若已知三角形AOD 的面积为10，那么阴影部分（即四边形OPEC）的面积是多少？25530541:21:21://21:,21:602302021:21 //=-=-==⇒=⇒=⇒=∴====⇒==⇒==∴==∆∆◊∆∆∆∆◊∆∆∆∆APO AEC POEC AOP OCD AOP ADC ADEC ADC OCD OCD AOD S S S S S S AE P CD AP OD AO CD AE OD AO ADEC CPOD AO S S S S S S BC AD BC AD ECBE AD ADEC ：中点为：：由蝴蝶模型可得：为平行四边形四边形连接：：由蝴蝶模型可得为平行四边形，四边形模型六：燕尾模型定义：燕尾定理：在三角形ABC 中，AD，BE，CF 相交于同一点O，有S△AOB∶S△AOC=BD∶CD S△AOB∶S△COB=AE∶CE S△BOC∶S△AOC=BF∶AF 因此图类似燕尾而得名。
公式：DBDA DGB S DGA S CGB S CGA S FCFA FGC S FGA S BGC S BGA S ECEB EGC S EGB S AGC S AGB S :::::::::======∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆例题：如图，在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 的三等分点，AE=2EC.三角形ABC 的面积是60平方厘米，那么三角形ABF的面积是多少平方厘米？224246041414121211:2:1:1:cm a ABF S a a a a a ABC S a BFC S BFD S a BFC S a ABF S aAFC S a ABF S EC AE FECS EFA S BFC S ABF S DC BD FDCS BFD S AFC S ABF S AC E BC D ====+++====⇒==⇒=======∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆设：由燕尾模型可得：的三等分点是中点，是。