层次分析法例题

专题：层次分析法
一般情况下，物流系统的评价属于多目标、多判据的系统综合评价。

如果仅仅依靠评价者的定性分析和逻辑判断，缺乏定量分析依据来评价系统方案的优劣，显然是十分困难的。

尤其是物流系统的社会经济评价很难作出精确的定量分析。

层次分析法（Analytical Hierarchy Process ）由美国著名运筹学家萨蒂（T ．L ．Saaty ）于1982年提出，它综合了人们主观判断，是一种简明、实用的定性分析与定量分析相结合的系统分析与评价的方法。

目前，该方法在国已得到广泛的推广应用，广泛应用于能源问题分析、科技成果评比、地区经济发展方案比较，尤其是投入产出分析、资源分配、方案选择及评比等方面。

它既是一种系统分析的好方法，也是一种新的、简洁的、实用的决策方法。

◆ 层次分析法的基本原理
人们在日常生活中经常要从一堆同样大小的物品中挑选出最重的物品。

这时，一般是利用两两比较的方法来达到目的。

假设有n 个物品，其真实重量用w 1，w 2，…w n 表示。

要想知道w 1，w 2，…w n 的值，最简单的就是用秤称出它们的重量，但如果没有秤，可以将几个物品两两比较，得到它们的重量比矩阵A 。

如果用物品重量向量W =[w 1，w 2，…w n ]T
右乘矩阵A ，则有：
由上式可知，n 是A 的特征值，W 是A 的特征向量。

根据矩阵理论，n 是矩阵A 的唯一非零解，也是最大的特征值。

这就提示我们，可以利用求物品重量比判断矩阵的特征向量的方法来求得物品真实的重量向量W 。

从而确定最
重的物品。

将上述n 个物品代表n 个指标（要素），物品的重量向量就表示各指标（要素）的相对重要性向量，即权重向量；可以通过两两因素的比较，建立判断矩阵，再求出其特征向量就可确定哪个因素最重要。

依此类推，如果n 个物品代表n 个方案，按照这种方法，就可以确定哪个方案最有价值。

◆ 应用层次分析法进行系统评价的主要步骤如下：
（1）将复杂问题所涉及的因素分成若干层次，建立多级递阶的层次结构模型（目标层、判断层、方案层）。

（2）标度及描述。

同一层次任意两因素进行重要性比较时，对它们的重要性之比做出判断，给予量化。

（3）对同属一层次的各要素以上一级的要素为准则进行两两比较，根据评价尺度确定其相对重要度，据此构建判断矩阵A 。

（4）计算判断矩阵的特征向量，以此确定各层要素的相对重要度（权重）。

（5）最后通过综合重要度（权重）的计算，按照最大权重原则，确定最优方案。

★例题：
某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。

以A 表示系统的总目标，判断层中1B 表示功能，2B 表示价格，3B 表示可维护性。

1C ，2C ，3C 表示备选的3种品牌的设备。

解题步骤：
1、标度及描述
目标层
判断层
方案层 图 设备采购层次结构图
人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i 与要素j 相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。

注：a ij 表示要素i 与要素j 相对重要度之比，且有下述关系：
a ij =1/a ji ；a ii =1； i ，j=1，2，…，n
显然，比值越大，则要素i 的重要度就越高。

2、构建判断矩阵A
判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。

根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：
●判断矩阵B A -(即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较)如表1所示；
●判断矩阵C B -1(相对功能，各方案的相对重要性比较)如表2所示； ●判断矩阵C B -2(相对价格，各方案的相对重要性比较)如表3所示； ●判断矩阵C B -3(相对可维护性，各方案的相对重要性比较)如表4所 示。

B A -
C B -1
C B
-3
3、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标
一般来讲，在AHP 法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。

●求和法
1）将判断矩阵A 按列归一化（即列元素之和为1）：b ij = a ij /Σa ij ； 2）将归一化的矩阵按行求和：c i =Σb ij （i=1，2，3….n ）；
3）将c i 归一化：得到特征向量W =（w 1，w 2，…w n ）T ，w i =c i /Σc i ， W 即为
A 的特征向量的近似值；
4）求特征向量W 对应的最大特征值：
●求根法
1）计算判断矩阵A 每行元素乘积的n 次方根；n
n
j ij
i a
w ∏==1
（i =1,
2, …, n）
2）将i w 归一化，得到∑==
n
i i
i
i w
w w 1
；W =（w 1，w 2，…w n ）T 即为A 的特征
向量的近似值；
3）求特征向量W 对应的最大特征值：
(1)判断矩阵B A -的特征根、特征向量与一致性检验 ①计算矩阵B A -的特征向量。

计算判断矩阵B A -各行元素的乘积i M ，并求其n 次方根，如
3
2
23111=⨯⨯=M ，874.0311==M W ，类似地有，466.2322==M W ，
464.0333==M W 。

对向量T n W W W W ],,,[21 =规化，有
230
.0464
.0466.2874.0874
.01
1
1=++=
=
∑=n
i i
W
W W 类似地有684.02=W ，122.03=W 。

所求得的特征向量即为：
T W ]122.0,648.0,230.0[=
②计算矩阵B A -的特征根
T
AW ]122.0,648.0,230.0[15/12/151323/11⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡= 69.0122.02648.03
1
230.011=⨯+⨯+⨯=AW
类似地可以得到948.12=AW ，3666.03=AW 。

按照公式计算判断矩阵最大特征根：
004.3122.033666
.0648.03948.1230.0369.0)(1
max =⨯+⨯+⨯==∑=n
i i i nW AW λ
③一致性检验。

实际评价中评价者只能对A 进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错误。

如，已判断C 1比C 2重要，C 2比C 3较重要，那么，C 1应该比C 3更重要。

如果又判断C 1比C 3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。

这就需要进行一致性检验。

根据层次法原理，利用A 的理论最大特征值λmax 与n 之差检验一致性。

一致性指标：
计算002.01
33
004.31max =--=
--=
n n
CI λ<0.1，1.0003.0<==RI CI CR ，查同阶平均随机一致性指标（表5所示）知58.0=RI ，（一般认为CI<0.1、 CR<0.1时，
判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）。

(2)判断矩阵C B -1的特征根、特征向量与一致性检验
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵C B -1的特征根、特征向量与一致性检验如下：
T W ]637.0,258.0,105.0[=，039.3max =λ，1.0033.0<=CR
(3)判断矩阵C B -2的特征根、特征向量与一致性检验
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵刀：—C 的特征根、特征向量与一致性检验如下：
T W ]075.0,333.0,592.0[=，014.3max =λ，1.0012.0<=CR (4)判断矩阵C B -3
的特征根、特征向量与一致性检验
类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵C B -3
的特征根、特征向量与一致性检验如下：
T W ]785.0,066.0,149.0[=，08.3max =λ，1.0069.0<=CR 4、层次总排序
获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度。

设二级共有m 个要素c 1, c 2,…,c m ，它们对总值的重要度为w 1, w 2,…, w m ；她的下一层次三级有p 1, p 2,…,p n 共n 个要素，令要素p i 对c j 的重要度（权重）为v ij ，则三级要素p i 的综合重要度为：
方案C 1的重要度（权重）=0.230×0.105+0.648×0.529+0.122×0.149=0.426
方案C 2的重要度（权重）=0.230×0.258+0.648×0.333+0.122×0.066=0.283
方案C 3的重要度（权重）=0.230×0.637+0.648×0. 075+0.122×0.785=0.291
依据各方案综合重要度的大小，可对方案进行排序、决策。

层次总排序如表6所示。

5、结论
由表5可以看出，3种品牌设备的优劣顺序为：1C ，3C ，2C ，且品牌1明显优于其他两种品牌的设备。

作业：
某配送中心的设计中要对某类物流装备进行决策，现初步选定三种设备配套方案，应用层次分析法对优先考虑的方案进行排序。

解：对设备方案的判断主要可以从设备的功能、成本、维护性三方面进行评价。

当然，如何评价功能、维护性等，还会用更细一级的指标来衡量。

这里为分析的简便，省略了更详细的指标。

这样，可建立对设备方案进行比较的层次分析结构图，如图：
根据以往经验和相关调查结果显示：相关指标两两比较的结果如下
1/3 3 1 3。