作三角形及利用三角形全等测距离

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《利用三角形全等测距离》教案

利用三角形全等测距离(教案)揭阳市榕城区榕东中学邢晓婷2012-5-2第五章三角形6．利用三角形全等测距离一、教材分析(一)教学内容本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书七年级（下）第五章《三角形》第6节，具体内容是运用三角形全等解决简单的实际问题。

(二)教学目标(1)知识与技能目标运用三角形全等知识解决简单的实际问题。

(2)过程与方法目标1.经历利用三角形全等知识解决实际问题的过程，发展学生提高分析解决问题的能力，能进行有条理的思考和表达。

促进学生应用所学的数学知识，解决实际问题的意识的养成。

2.通过利用三角形全等得出测量揭阳楼广场泰山石的两端距离、揭阳机场航站楼两端地面两点距离的方案，初步学会探究学习的方法，培养协作与交流的意识。

(3)情感态度与价值观目标1.通过让学生主动参与，进行解决实际问题的过程，培养学生积极的进取精神，增强学生学习数学的自信心，体验数学学习的实用性。

2.在分组合作活动交流过程中，实现学生之间的合作交流，初步学会如何与人交际、与人协作。

3.通过此次活动，让学生通过对家乡美丽山水及经济飞速发展的了解，感受家乡的美丽，增强自豪感，进一步加深对家乡的热爱之情。

(三）教学重、难点重点：应用数学知识解决实际问题的意识的养成，能应用所学的知识设计可行的方案测量距离，能用相关知识进行说理。

难点：利用数学中的建模思想构造全等三角形，能应用所学的知识设计可行的测量方案，解决实际问题。

(四）教学方法和手段教学方法：分析讨论法教学手段：多媒体教学二、学情分析学生在学习七年级下册第五章时对生活中的全等图形已经有了一定的认识，具备一定的分析问题能力，能解决一般的图形问题，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础。

本节将利用全等三角形性质和判别条件解决实际问题，其中需要学生经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识；一些探究活动具有一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力。

《利用三角形全等测距离》教学设计

《利用三角形全等测距离》教学设计一、教学内容《利用三角形全等测距离》是北师大版数学七年级（下）第三章第五节的内容。

二、教学目标及重难点1.教学目标：教学目标：（1）知识与技能会利用“边角边”，“角边角”，“角角边”来构造全等三角形测距离,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

（2）过程与方法在经历从现实生活中抽象出几何模型的过程中，有意识地培养学生合作探究精神及有条理的思考、表达能力，以及创新意识，体会数学与实际生活的联系。

（3）情感态度与价值观通过情境创设，激发学生学习兴趣，体会数学来源于实际，又服务于实际生活的重大意义.教学重点――利用三角形全等测距离。

教学难点――如何把实际问题转化为数学问题（数学建模）。

三、教学方法：小组合作、探究式相结合四、教学工具：多媒体课件五、教学基本流程：一．回顾思考，温故知新二．创设情境，激发兴趣三．动手实践，探索新知四．小组合作，学以致用五．归纳总结，反思提高六．反馈练习，强化新知七．布置作业，课后延拓六、教学过程：教师活动学生活动设计意图一、回顾思考，温故知新（1）要判定两个全三角形全等有哪些方法？并思考在判定的三个条件中至少要有一个什么条件？（2）全等三角形有什么性质？学生独立思考后,举手回答问题(1)SSS,SAS,ASA,AAS 三个条件中至少需要一个边的条件(2)全等三角形的对应边相等，对应角相等。

通过提问可以温习与本节有关的知识，帮助基础较弱或掌握不牢的学生巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础。

二．创设情境，激发兴趣出示一个玻璃瓶，两根等长的小棒，一把刻度尺提问：谁能利用我们所学的知识，用现在的这些器材测量出玻璃瓶的内径?这就是今天要学习的内容——利用三角形全等测距离。

启示：通过三角形的全等将不易测，不能到达的两点间的距离转化为可以测量的两点间的距离。

学生分小组讨论后派代表上前演示：把两根木棍的中点穿在一起，让木棍可以自由地活动，然后把两根木棍重叠在一起，插入瓶中，将两根木棍的角度打开，让木棍下面两端靠着瓶子内壁，只需测量外面两个点之间的距离就得到瓶子的内径。

利用三角形全等测距离教学设计

利用全等三角形测距离教学设计一、教学目标：1、知识目标：进一步巩固和理解全等三角形的性质与判定；能利用三角形全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系。

2、能力目标：在解决实际问题的过程中，或与同伴交流的过程中发展有条理地思考与表达的能力。

3、情感目标：通过生动、有趣、现实的例子来激发学生的学习兴趣，进而培养数学学习兴趣，并体会数学来源于生活，又服务于生活。

二、教学重难点：教学重点：利用三角形全等测量距离。

教学难点：如何把实际问题转化成数学问题。

三、教学方法：探究讨论、归纳总结四、教学过程：（一）复习旧知（1）复习判定三角形全等的条件（2）请你在下列各图中，以最快的速度画出一个三角形，使它与△ABC 全等，应该怎么画？（二）设计情景，引入新课：我看到一个玻璃瓶，非常想知道它的内径。

但是我只有两根等长的小棒，你能利用我们所学的知识，用现在的这些器材测量出玻璃瓶的内径吗？分为五部分：1、你掌握好了吗？、2、你能帮帮他吗？3、你能灵活运用吗？4、让我们比试一下吧！5、你有什么收获？6、检测的时间到了！第一部分：在一次数学夏令营活动中，老师把同学们带到一条河边，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，老师要求同学们测量河宽。

同学们经过讨论，想出来一个办法，他们先让一位同学站在河边的A点处，面向河的对岸，然后调整这位同学的旅行帽，使视线通过帽檐落在了自己所在的岸边的一点C上，另一位同学马上记下这个点，最后同学们用步测得方法测出A、C两点之间的距离，这个距离就等于河宽AB。

（1）你能解释其中的道理吗？（2）按这个方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证。

第二部分：（小组合作、自主探究）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案，解决此问题吗？AB ··（1）说出你的设计方案（构建全等三角形）（2）写出你方案中的已知条件是什么？结论是什么？（3）你能用所学知识说明你设计方案的依据是吗？(生展示)预测设计方案：（1）（2）(3)其他设计方案。

第四章三角形利用三角形全等测距离

3、如图，要量河两岸相对两点A、B的距离。
下图是一位同学利用三角形全等所画的图，共需五个步骤，请你
根据顺序将下列五个步骤重新排序
。
（1）过D作DE垂直BF,
（2）在BF上，取C、D两点，
使BC=CD，
（3）使A、C、E三点共线
A
（4）过B作BF垂直AB，
（5）量出DE的长，就是河
的宽，
B
C
DF
E
4、如图是挂在墙上的一面大镜子，上面有两点A、B。小明
初中数学北师大版七年级下册
第四章三角形
5 利用三角形全等测距离
学习目标
1 能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学源于生活，服务于生活. 2 能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.
新知学习
1 情景导入
判定三角形全等有哪些方法？（1）“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等. （2）“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. （3）“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. （4）“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
· 想知道A、B两点之间的距离，但镜子挂得太高，无法直 A
接测量，旁边又没有梯子，只有一根长度比圆的直径稍长点的竹竿和一把卷尺。小明做了如下操作：在他够的着的圆上找到一点C ，接下去小明却忘了应该怎么做？你能帮助他完成吗？
·B
●C
E
D
5、要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，O为卡钳两柄交点，且有OA=OB=OC=OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则次工件的外径必是CD之长了，你能说明其中的道理吗？
（2）说明你是如何求AB的距离。
解：在△AOB与△COD中，

利用三角形全等测距离

利用三角形全等测距离2篇文章1一、什么是三角形全等测距离？三角形全等测距离是指通过观察和测量三角形的各个边长和角度，来确定两个或多个三角形之间的距离。

在实际应用中，我们常常需要测量一些无法直接测量的物体的距离，而三角形全等测距离提供了一种有效的方法。

通过观察和测量三角形的特征，我们可以推导出相似三角形之间的比例关系，从而计算出距离。

二、如何利用三角形全等测距离测量距离？要进行三角形全等测距离的测量，我们需要以下步骤：步骤一：选择一个可测量的标志物体。

在测量过程中，我们需要选择一个已知距离的标志物体作为参照。

这个标志物体可以是任何形状的物体，但是必须要有明确的测量标准。

例如，我们可以选择一根知道长度的杆子或测量单位已知的标尺作为参考。

步骤二：确定视角。

为了进行距离的测量，我们需要确定测量者与被测量物体之间的视角。

视角的选择将直接影响到后续的测量结果。

步骤三：观察和记录。

通过眼睛观察被测物体和标志物体之间的角度和边长关系，并将其记录下来。

这些记录将作为计算距离的依据。

步骤四：计算距离。

利用已知角度和边长的比例关系，我们可以通过简单的几何运算计算出待测物体与标志物体之间的距离。

具体的计算公式可以根据实际情况进行调整，但原理是相同的。

三、三角形全等测距离的应用领域三角形全等测距离在现实生活中有广泛的应用。

以下是其中一些应用场景：1.地图测量在绘制地图时，我们需要准确测量不同地理特征之间的距离，并将其绘制到比例尺上。

利用三角形全等测距离，我们可以通过测量一些关键标志物体之间的距离来计算出其他位置的距离。

2.建筑设计在建筑设计中，我们常常需要测量建筑物与周围地物的距离。

例如，在规划一片土地时，我们需要计算出建筑物与道路、河流等的距离。

通过利用三角形全等测距离，我们可以准确测算出各个位置之间的距离。

3.导航系统导航系统需要准确测量车辆或行人与目标地点之间的距离。

通过利用三角形全等测距离，我们可以在导航系统中引入三角测量的原理，从而提供准确的距离信息。

用尺规作三角形利用三角形全等测距离

4.4-4.5 用尺规作三角形利用三角形全等测距离一、单选题1．已知三边作三角形，所用到的知识是（）A．作一个角等于已知角B．在射线上截取一条线段等于已知线段C．平分一个已知角D．作一条直线的垂线【答案】B【解析】【分析】根据三边做三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．解：根据三边做三角形用到的基本作图是：在射线上截取一线段等于已知线段，故选：B．【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握做一条线段等于已知线段的作图方法．2．已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形时，第一步应（）A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角C．作两条线段等于已知线段并使其夹角等于已知角D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角【答案】D【解析】【分析】解析：已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形时，第一步作一条线段等于已知线段，再以线段的一个端点为顶点作一个角等于已知角，或先作一个角等于已知角，然后在角的两边截取线段等于已知线段，再连接两交点．答案：D题型解法：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．3．如图所示的是已知BACÐ的作图痕迹，则下列说法正确的是（）Ð，求作EDFA．因为边的长度对角的大小无影响，所以BC弧的半径长度可以任意选取B．因为边的长度对角的大小无影响，所以DE弧的半径长度可以任意选取C．因为边的长度对角的大小无影响，所以FE弧的半径长度可以任意选取D．以上三种说法都正确【答案】A【解析】【分析】根据作一角等于已知角的方法可得出边的长度对角的大小无影响，BC弧的半径长度可以任意选取进而得出答案．Q已知BACÐ的作图痕迹，Ð，求作EDF\边的长度对角的大小无影响，得出BC 弧的半径长度可以任意选取．故选：A ．【点睛】本题主要考查了基本作图，根据一角等于已知角的方法得出是解题的关键．4．已知AOB Ð，求作射线OC ，使OC 平分AOB Ð作法的合理顺序是（）①作射线OC ，②在OA 和OB 上分别截取OD ，OE ，使OD OE =，③分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，AOB Ð在内，两弧交于C ．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的作法排序即可得到答案．解：角平分线的作法是：在OA 和OB 上分别截取OD ，OE ，使OD OE =，分别以,D E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在AOB Ð内，两弧交于C ，作射线OC ，故其顺序为②③①．故选：C ．【点睛】本题考查尺规作图-角平分线，掌握角平分线的作图依据是解题的关键．5．下列关于用尺规作图的结论错误的是（）A ．已知一个三角形的两角与一边，那么这个三角形一定可以作出B．已知一个三角形的两边与一角，那么这个三角形一定可以作出C．已知一个直角三角形的二条边，那么这个三角形一定可以作出D．已知一个三角形的三条边，那么这个三角形一定可以作出【答案】B【解析】【分析】根据三角形全等的判定方法解答．A．根据一个三角形的两角与一边，AAS或ASA，这个三角形一定可以作出；所以A选项不符合题意；B．已知一个三角形的两边与一角，不一定作出这个三角形，所以B选项符号题意；C．已知一个直角三角形的二条边，这个三角形一定可以作出；所以C选项不符合题意；D．已知一个三角形的三条边，这个三角形一定可以作出．所以D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．6．如图，将两根钢条AA¢，BB¢的中点O连在一起，使AA¢，BB¢可绕点O自由转动，就做成了一个测量△≌△的理由是（）工件，则A B¢¢的长等于内槽宽AB，那么判定OAB OA B¢¢A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．角角边【答案】A【解析】【分析】由已知有OA OA ,OB OB ¢¢==，且对顶角相等，则由SAS 可判断OAB OA B ¢¢△≌△，从而问题解决．由已知OA OA ,OB OB ¢¢==∵AOB A OB ¢¢Ð=Ð∴OAB OA B ¢¢△≌△(SAS )故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的几个判定方法是关键．7．如图，测河两岸A ，B 两点的距离时，先在AB 的垂线BF 上取C ，D 两点，使CD ＝BC ，再过点D 画出BF 的垂线DE ，当点A ，C ，E 在同一直线上时，可证明△EDC △≌△ABC ，从而得到ED ＝AB ，测得ED 的长就是A ，B 的距离，判定△EDC ≌△ABC 的依据是：（）A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS【答案】A【解析】【分析】由“ASA”可证△EDC≌△ABC．解：∵∠ACB=∠DCE，CD=BC，∠ABC=∠EDC，∴△EDC≌△ABC（ASA），故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．8．如图为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA【答案】D【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可．解：在△ABC 和△MBC 中ABC MBC BC BC ACB MCB Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△MBC ≌△ABC （ASA ），故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．9．如图，已知长方形ABCD 的边长AB ＝20cm ，BC ＝16cm ，点E 在边AB 上，AE ＝6cm ，如果点P 从点B 出发在线段BC 上以2cm/s 的速度向点C 向运动，同时，点Q 在线段CD 上从点C 到点D 运动．则当时间t 为（）s 时，能够使V BPE 与V CQP 全等．A ．1B ．1或4C ．1或2D ．2或4【答案】B【解析】【分析】分两种情况：①当EB ＝PC 时，△BPE ≌△CQP ，②当BP ＝CP 时，△BEP ≌△CQP ，进而求出即可．解：分两种情况：①当EB ＝PC ，BP ＝QC 时，△BPE ≌△CQP ，∵AB ＝20cm ，AE ＝6cm，∴EB ＝14cm ，∴PC ＝14cm ，∵BC ＝16cm ，∴BP ＝2cm ，∵点P 从点B 出发在线段BC 上以2cm/s 的速度向点C 向运动，∴t ＝2÷2＝1 s ；②当BP ＝CP ，BE ＝QC 时，△BEP ≌△CQP ，由题意得：2t ＝16﹣2t ，解集得：t ＝4 s ，故选：B ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，由条件分两种情况得到关于t 的方程是解题的关键．10．如图1，已知AB AC =，D 为BAC Ð的角平分线上面一点，连接BD ，CD ；如图2，已知AB AC =，D 、E 为BAC Ð的角平分线上面两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图3，已知AB AC =，D 、E 、F 为BAC Ð的角平分线上面三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；…，依次规律，第n 个图形中有全等三角形的对数是（）．A ．nB ．21n -C ．(1)2n n +D ．3(1)n +【答案】C【解析】【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD与△ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE≌△ACE，∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，又DE=DE，∴△BDE≌△CDE，∴图2中有3对三角形全等；同理：图3中有6对三角形全等；由此发现：第n 个图形中全等三角形的对数是()12n n +．故选：C ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．二、填空题11．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是__．【答案】SSS【解析】【分析】根据作一个角等于已知角的作法和步骤解答．在ODC D 和△O D C ¢¢¢中，OD O D OC O C DC D C =¢¢ìï=¢¢íï=¢¢î，ODC \D @△()O D C SSS ¢¢¢，故答案为：SSS ．【点睛】本题考查尺规作图的应用，熟练掌握用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法和步骤是解题关键．12．用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是________ ．【答案】SAS【解析】【分析】隐含的条件是直角，是两直角边的夹角，即可得出作图的依据为SAS．解：：用尺规做直角三角形，已知两直角边．可以先画出两条已知线段和确定一个直角，作图的依据为SAS．【点睛】此题考查作图-复杂作图和直角三角形全等的判定，解题关键在于先画出两条已知线段确定一个直角13．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降30cm时，这时小明离地面的高度是___cm．【答案】80【解析】【分析】根据题意可得：OF=OG，OC=OD，利用已知条件判断出△OFC≌△OGD，得到CF=DG，即可求出答案.∵O是FG和CD的中点∴OF=OG，OC=OD在△OFC和△OGD中OF OG FOC GODOC OD =ìïÐ=Ðíï=î∴△OFC ≌△OGD （SAS ）∴CF=DG又DG=30cm∴CF=DG=30cm∴小明离地面的高度=支点到地面的高度+CF=50+30=80cm故答案为80【点睛】本题主要考查了三角形全等知识的应用，用数学方法解决生活中有关的实际问题，把实际问题转换成数学问题，用数学方法加以论证，最后进行求解，是一种十分重要的方法.14．如图所示，已知AOB Ð，求作射线OC ，使OC 平分AOB Ð，作法的合理顺序是__．（将①②③重新排列）①作射线OC ；②以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于D 、E ；③分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在AOB Ð内，两弧交于点C ．【答案】②③①【解析】【分析】根据角平分线的作法求解．作法：（1）以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于D 、E ；（2）分别以D 、E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，在AOB Ð内，两弧交于点C ，（3）作射线OC ，所以OC 就是所求作的AOB Ð的平分线．故题中的作法应重新排列为：②③①．故答案为：②③①．【点睛】本题考查尺规作图的应用，熟练掌握角平分线的作法是解题关键．15．已知线段a ，b ，c ，求作ABC D ，使BC a =，AC b =，AB c =，下面作法的合理顺序为______(填序号)①分别以B ，C 为圆心，c ，b 为半径作弧，两弧交于点A ；②作直线BP ，在BP 上截取BC a =；③连接AB ，AC ，ABC D 为所求作的三角形.【答案】②①③【解析】【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答．作三角形，使三角形的三边等于已知边，作图的顺序应该是：②作直线BP ，在BP 上截取BC=a ；①分别以B ，C 为圆心，c ，b 为半径作弧，两弧交于点A ；③连接AB ，AC ，△ABC 为所求作的三角形.所以合理的顺序为：②①③【点睛】本题考查尺规作图，熟练掌握作三角形，使三角形的三边等于已知边的方法是关键.16．如图，要测量水池宽AB ，可从点A 出发在地面上画一条线段AC ，使AC AB ^，再从点C 观测，在BA 的延长线上测得一点D ，使ACD ACB Ð=Ð，这时量得120m AD =，则水池宽AB 的长度是__m ．【答案】120【解析】【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．AC BD ^Q ，90CAD CAB \Ð=Ð=°，CA CA =Q ，ACD ACB Ð=Ð，()ACD ACB ASA \D @D ，120AB AD m \==，故答案为120．【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．17．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第_____块．【答案】2【解析】【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故答案为：2．【点睛】本题考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．18．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，点C是AD的中点，也是BE的中点，若DE=20米，则AB=_____米；【答案】20【解析】【分析】根据题目中的条件可证明△ACB ≌△DCE ，再根据全等三角形的性质可得AB=DE ，进而得到答案．∵点C 是AD 的中点，也是BE 的中点，∴AC=DC ，BC=EC ，∵在△ACB 和△DCE 中，AC DC ACB DCEBC EC =ìïÐ=Ðíï=î∴△ACB ≌△DCE （SAS ），∴DE=AB=20米，故答案为20米．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键掌握全等三角形的判定定理和性质定理．19．一个三角形的三边为2、7、x ，另一个三角形的三边为y 、2、6，若这两个三角形全等，则x+y ＝__．【答案】13【解析】【分析】由全等三角形对应边相等的性质，确定三边的对应关系，则问题可解．解：∵两个三角形全等，∴x ＝6，y ＝7，∴x+y ＝7+6＝13．故答案为：13【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解答关键是注意通过分类讨论确定三边的对应关系．20．如图，在ABC V 中，点A 的坐标为(0,1)，点B 的坐标为(0,4)，点C 的坐标为(4,3)，点D 在平面直角坐标系中且不与C 点重合，若ABD △与ABC V 全等，则点D 的坐标是_________．【答案】(4,2)或(4,2)-或(4,3)-【解析】【分析】利用对称的性质，当D 点与C 点关于y 轴对称时，△ABD 与△ABC 全等；当点D 与点C 关于AB 的垂直平分线对称时，△ABD 与△ABC 全等；点D 点与（4，2）关于y 轴对称时，△ABD 与△ABC 全等，然后写出对应D 点坐标即可．解：当D 点与C 点关于y 轴对称时，△ABD 与△ABC 全等，此时D 点坐标为（-4，3）；当点D 与点C 关于AB 的垂直平分线对称时，△ABD 与△ABC 全等，此时D 点坐标为（4，2）；点D 点与（4，2）关于y 轴对称时，△ABD 与△ABC 全等，此时D 点坐标为（-4，2）；综上所述，D 点坐标为（-4，3），（4，2），（-4，2）．故答案为：（-4，3），（4，2），（-4，2）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．也考查了坐标与图形性质．三、解答题21．尺规作图：已知：如图，a Ð，线段b ，线段c ．求作：ABC V ，使得BAC a Ð=Ð，AB c =，AC b =．要求：不要求写出作法，保留作图痕迹．【答案】见解析【解析】【分析】根据作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，作出BAC a Ð=Ð，AB c =，AC b =，即可求解．解：第一步，作MAN a Ð=Ð，第二步，分别在AM 、AN 上作AB c =，AC b =．如图，ABC V 为所作．【点睛】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法是解题的关键．22．如图，已知△ABC ，求作△DEF ，使△DEF ≌△ABC ；要求写出作法，并保留作图痕迹．（使用直尺和圆规作图，作图痕迹如果是铅笔绘制的请用水芯笔涂描．）【答案】邮解析【解析】【分析】作射线EQ ，截取EF =BC ，分别以E 、F 为圆心．以AB 、AC 的长为半径画弧，两弧交于点D ，连接ED 、DF 即可．解：作法：①作射线EQ ，在射线EQ 上截取EF =BC ；②以E 为圆心．AB 的长为半径画弧；③以F 为圆心．AC 的长为半径画弧，两弧交于点D ；④连接DE ．DF ，如图所示，△DEF 即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，正确掌握作一三角形全等于已知三角形是解题关键．23．如图，ABC V 的三个顶点A ，B ，C 均在小方格的顶点上．请在图中画出符合条件的三角形，且三角形的顶点均在小方格的顶点上．（1）在图1中画BCD △，要求BCD △与ABC V 全等．（2）在图2中画BCE V ，要求BCE V 与ABC V 的面积相等但不全等．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）以BC 为公共边，结合“SSS ”所需条件作图即可；（2）要使得BCE V 与ABC V 的面积相等但不全等，可以在（1）的基础上，利用平行线间等面积变形作图．解：（1）如图所示，1D BC △、2D BC V 、3D BC V 均满足与ABC V 全等；（2）如图所示，根据平行线间等面积变形原理，在过A 点，且平行于BC 的直线上，除了（1）中能够使得全等点以外，均满足条件，再由对称得出在BC 下方的所有点，共有12个点，均满足条件．【点睛】本题考查全等三角形的作图，理解全等三角形的性质，掌握作全等三角形需满足的条件是解题关键．24．为在池塘两侧的A ，B 两处架桥，要想测量A ，B 两点的距离，如图所示，找一处看得见A ，B 的点P ，连接AP 并延长到D ，使PA =PD ，连接BP 并延长到C ，使BP=CP ．测得CD =35m ，就确定了AB 也是35m ，说明其中的理由；【答案】35 m【解析】分析：根据题中条件可以直接得到两组边对应相等，再根据对顶角相等得到三角形全等的第三个条件，于是根据SAS可得到三角形全等，全等三角形的对应边相等，得结论．本题解析：∵PA=PD PC=PB又∠APB=∠CPD∴△APB≌△DPC，∴AB=CD=35 m．25．如图，小强为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C的视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测得楼顶A的视线PA与地面夹角∠APB＝54°，测得P到楼底距离PB与旗杆高度都为10米，测得旗杆与楼之间的距离DB＝36米，据此小强计算出了楼高，求楼高AB是多少米．【答案】26米【解析】【分析】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB-PB求出即可.解：∵∠CPD ＝36°，∠APB ＝54°，∠CDP ＝∠ABP ＝90°，∴∠DCP ＝∠APB ＝54°，在△CPD 和△PAB 中，CDP PBA DC BP DCP BPA Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△CPD ≌△PAB(ASA)，∴PD ＝AB.∵DB ＝36米，PB ＝10米，∴AB ＝PD ＝36－10＝26(米).答：楼高AB 是26米．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD ≌△PAB 是解题关键.26．在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A 、B 两点间的距离．请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案．（1）画出测量图案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）计算AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）设DC =m ，则AB = m．【解析】【分析】本题让我们了解测量两点之间的距离的一种方法，设计时，只要符合全等三角形全等的条件，方案具有可操作性，需要测量的线段在陆地一侧可实施，就可以达到目的．解：（1）见图：（2）在湖岸上选一点O，连接BO并延长到C使BO=OC，连接AO并延长到点D使OD=AO，连接CD，则AB= CD．测量DC的长度即为AB的长度；（3）设DC=m∵BO=CO，∠AOB=∠COD，AO=DO∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB=CD=m．【点睛】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．27．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与△QFC全等？请说明理由．【答案】点P运动1或3.5或12秒时，△PEC与△QFC全等，理由见解析【解析】【分析】推出CP=CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6-t=8-3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6-t=3t-8，Q在AC上，③P在BC上，Q在AC时，此时不存在，④当Q到A点，与A重合，P在BC上时，求出即可得出答案．解：设运动时间为t秒时，△PEC与△QFC全等，∵△PEC与△QFC全等，∴斜边CP＝CQ，有四种情况：①P在AC上，Q在BC上，CP＝6﹣t，CQ＝8﹣3t，∴6﹣t＝8﹣3t，∴t＝1；②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP＝6﹣t＝3t﹣8，∴t＝3.5；③P在BC上，Q在AC时，此时不存在；理由是：8÷3×1＜6，Q到AC上时，P应也在AC上；④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，∵CQ＝CP，CQ＝AC＝6，CP＝t﹣6，∴t﹣6＝6∴t＝12∵t＜14∴t＝12符合题意答：点P 运动1或3.5或12秒时，△PEC 与△QFC 全等．【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．28．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：如图所示，ABC V 、111A B C △均为锐角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C Ð=Ð．求证：111ABC A B C △≌△．证明：分别过点B ，1B 作BD CA ^于点D ，1111B D C A ^于点1D ．∴11190BDC B D C Ð=Ð=°．在BCD △和111B C D ÐV ，111111C C BDC BD C BC B C Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴()111AAS BCD B C D V V ≌．11BD B D \=．____________________________________________________________．（请你将上述证明过程补充完整）（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ADB≌△A1D1B1，再根据AAS证明△ABC≌△A1B1C1，从而得出结论；（2）写出由（1）得出的结论即可．（1）证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1．则∠BDC=∠B1D1C1=90°，∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1．补充：∵AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°．∴△ADB≌△A1D1B1（HL），∴∠A=∠A1，又∵∠C=∠C1，BC=B1C1，在△ABC与△A1B1C1中，1111A A C C BC B C ÐÐìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ABC ≌△A 1B 1C 1（AAS ）；（2）若ABC V 、111A B C △均为锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，11AB A B =，11BC B C =，1C C Ð=Ð，则111ABC A B C △≌△．【点睛】考查了三角形全等的判定和性质，解题关键是灵活运用判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．29．如图,在△ABC 中,D 为AB 的中点,AD=5 cm,∠B=∠C,BC=8 cm.(1)若点P 在线段BC 上以3 cm/s 的速度从点B 向终点C 运动,同时点Q 在线段CA 上从点C 向终点A 运动.①若点Q 的速度与点P 的速度相等,经过1 s 后,请说明△BPD ≌△CQP.②若点Q 的速度与点P 的速度不等,当点Q 的速度为多少时,能使△BPD ≌△CPQ?(2)若点P 以3 cm/s 的速度从点B 向点C 运动,同时点Q 以5 cm/s 的速度从点C 向点A 运动,它们都依次沿△ABC 三边运动,则经过多长时间,点Q 第一次在△ABC 的哪条边上追上点P?【答案】（1）说明见解析；（2）当点Q 的运动速度为154cm/s 时,能使△BPD ≌△CPQ.（3）10s.【解析】试题分析：（1）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C ，再加上BP=CQ=3，PC=BD=5，则可判断△BPD 与△CQP全等；②设点Q 的运动速度为xcm/s ，则BP=3t ，CQ=xt ，CP=8-3t ，当△BPD ≌△CQP ，则BP=CQ ，CP=BD ；然后分别建立关于t 和v 的方程，再解方程即可；（2）设经过x 秒后，点Q 第一次追上点P ，由题意得5x-3x=2×10，解方程得到点P 运动的路程为3×10=30，得到此时点P 在BC 边上，于是得到结果．试题解析：（1）①∵BP=3×1=3，CQ=3×1=3，∴BP=CQ ，∵D 为AB 的中点，∴BD=AD=5，∵CP=BC-BP=5，∴BD=CP ，在△BPD 与△CQP 中，BD CP B C BP CQ ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△BPD ≌△CQP ；②设点Q 运动时间为t 秒，运动速度为vcm/s ，∵△BPD ≌CPQ ，∴BP=CP=4，CQ=5，∴t=433BP ＝，∴v=515443CQ t==；（2）设经过x 秒后，点Q 第一次追上点P ，由题意得5x-3x=2×10，解得：x=10，∴点P运动的路程为3×10=30，∵30=28+2，∴此时点P在BC边上，∴经过10秒，点Q第一次在BC边上追上点P．。

《第四章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册

《利用三角形全等测距离》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生对三角形全等概念的理解，并熟练掌握利用三角形全等测距离的技巧，增强学生的空间想象力和实践能力，为学生今后解决实际问题打下坚实基础。

二、作业内容作业内容主要包括以下几个部分：1. 理论知识回顾：要求学生复习三角形全等的定义和判断方法，如SSS、SAS、ASA等全等条件，加深对全等三角形性质的理解。

2. 基础练习：设计一系列练习题，包括选择题、填空题和简答题，重点训练学生判断三角形全等的能力，并能够根据全等三角形的性质进行简单的计算。

3. 实践操作：提供具体的测距情境，要求学生运用所学知识，通过实地测量或绘图，利用三角形全等原理测量指定距离。

具体可以设计为两个活动：- 活动一：测量校园内两个点之间的距离。

学生需要先画出示意图，再根据实地情况确定两个点，并利用三角形全等原理测量出距离。

- 活动二：绘制图形并标注数据。

学生需根据所给条件绘制出符合要求的三角形，并标注出必要的测量数据，以验证三角形全等的条件。

4. 拓展延伸：设计一些更具挑战性的问题，如通过多边形中某些边的关系求证多边形内的两点间距离等问题，激发学生自主探索和解决问题的能力。

三、作业要求1. 理论知识回顾部分要求学生务必熟悉全等三角形的相关概念和性质。

2. 基础练习部分要求学生认真完成，对每一道题目都要进行充分的思考和计算。

3. 实践操作部分要求学生按照活动要求进行实地测量或绘图，并准确记录测量数据和计算结果。

同时，学生需在作业中附上详细的步骤说明和解释。

4. 拓展延伸部分鼓励学生自主探索和创新，尝试解决更具挑战性的问题。

如有困难，可查阅相关资料或请教老师。

四、作业评价1. 教师根据学生完成作业的情况，给予相应的评价和指导。

评价内容包括理论知识的掌握程度、解题思路的正确性、计算结果的准确性以及实践操作的规范性等方面。

2. 对于优秀的学生作品，可以在班级内进行展示和交流，以激发学生的积极性和自信心。

《利用三角形全等测距离》说课稿

《利用三角形全等测距离》说课稿各位老师：你们好!今天我要为大家讲的课题是《利用三角形全等测距离》首先,：（略）我对本节教材进行一些分析:一、教材分析（说教材）：1、地位和作用：这节课是在学生学习了全等三角形的性质及其判定条件之后的一节综合应用课。

利用三角形全等解决实际问题，首先就要把实际问题转化为三角形全等问题。

其目的是培养学生构建数学模型，并用数学知识来解决实际问题。

同时，培养学生说理表达能力，为今后学习几何证明打下良好的基础。

2、教育教学目标：根据新《课标》要求和上述教材分析，结合学生的情况，我制定了以下教学目标：知识目标：能够利用三角形全等解决实际问题。

能力目标：通过自主探究、实验，培养学生的自主探究能力、小组合作能力、语言表达能力，以及灵活运用所学解决实际问题的能力。

情感目标：通过学习使学生明白数学来源于生活，学习数学是为了解决实际问题，培养学生科学的学习态度，同时通过多媒体演示激发学生探究数学问题的兴趣，通过小组合作，培养合作意识。

3. 重点，难点以及确定依据：教学重点：根据新课标的要求以及对教学目标的分析将重点设定为能够利用三角形全等测量距离。

教学难点：针对本节课内容及学生的心理、认知结构将难点设定为灵活利用三角形全等解决实际问题。

二、教学策略（说教法）本节课涉及的知识点不多，知识的切入点比较低。

教师以多媒体为教学平台，通过精心设计的问题串和活动系列来落实知识点并不断地制造思维兴奋点，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。

在教学中，教师主要采用启发引导的方法，鼓励学生发现问题，利用所学解决问题，在探究阶段，教师应关注学生的思路、方法，鼓励学生小组合作，教师进行适当点拨，以这种形式突出重点，突破难点，同时培养学生的合作意识。

在解决方法描述阶段，教师应关注学生的语言表达，要求学生表达尽量清楚、简介、符合逻辑，培养学生的语言表达能力。

三.学情分析：（说学法）（二）学情分析：学生的知识技能基础：学生在本章的前几节内容中已经学习了“三角形”，“全等三角形”以及“探索三角形全等的条件”。

《利用三角形全等测距离》三角形优质课件

高楼测距
在高楼林立的城市中，通过观测不同高度的楼顶与地面构成的三角形，运用三角形全等原理求解楼顶间的距离。
三角形全等在解决实际问题中作用
提高测量精度
通过构造相似三角形，运用全等原理进行精确测量，降低误差，
提高测量精度。
简化计算过程
利用三角形全等关系，将复杂问题转化为简单的几何问题，便于计算和解决。
判定定理
如果两个三角形的三边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
推论
如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
边角边全等判定
定义
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简称SAS(Side-Angle-Side)或 “边角边”判定。
判定定理
如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
判定定理
如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
03
利用三角形全等测距离原理
已知条件与求解目标
已知条件
课件中给出两个三角形，已知其中一边和相邻角分别相等。
求解目标
利用已知条件，通过构建相似或全等三角形，求解未知距离。
构建相似或全等三角形
01
利用已知条件，通过作平行线、垂线或角平分线等方式，构建与已知三角形相似或全等的三角形。
角边角全等判定
角形全等，简称ASA(Angle-SideAngle)或“角边角”判定。
判定定理
如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
角角边全等判定
定义
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称AAS(Angle-AngleSide)或“角角边”判定。

用尺规作三角形、用三角形全等测距离 (2)

4.4&4.5用尺规作三角形、用三角形全等测距离尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.常见基本作图常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.注意：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.题型1：基础尺规作图1.作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于2a﹣b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【变式1-1】如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧【变式1-2】作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=∠α+2∠β．已知两边及其夹角作三角形已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形是利用三角形全等的条件"边角边"来作图的，具体作图的方法、步骤如下∶题型2：已知两边及夹角做三角形2.已知∠α和线段a和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分别为a和b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹）已知：求作：【变式2-1】如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）已知两角及其夹边作三角形已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件“角边角”来作图的，具体作图的方法、步骤如下∶题型3：已知两角及夹边做三角形3.已知：线段a，∠α，∠β．求作：△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=∠β．【变式3-1】已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和，且两角的夹边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：题型4：已知三边做三角形4.已知线段a、b、c，如图，求作△ABC，使AB=c，BC=a，AC=b．（不写作法，保留作图痕迹）【变式4-1】如图所示，已知线段a、b、h（h＜b）．求作△ABC，使BC=a，AB=b，BC边上的高AD=h．（要求：写出作法，并保留作图痕迹）题型5：利用尺规作图做全等三角形5.已知△ABC，求作一个三角形，使其与已知△ABC全等，并写出作图全等的依据．（用尺规画图，保留必要的画图痕迹）【变式5-1】已知△ABC，（1）请用直尺和圆规作一个三角形，使所画三角形与△ABC全等；（2）请简要说明你所作的三角形与△ABC全等依据．利用三角形全等测两点之间的距离原理由于两个全等三角形的对应边相等，因此，利用三角形全等可以测量难以直接测量或不能直接测量的两点之间的距离，其关键是构造两个全等三角形，根据是全等三角形的对应边相等.方法（1）构造两边及其夹角分别相等的两个全等三角形；（2）构造两角及其夹边分别相等的两个全等三角形；（3）构造三边分别相等的两个全等三角形.注意：利用三角形全等测两地之间的距离，关键是构建全等三角形、利用全等三角形的对应边相等间接计算两地之间的距离题型6：利用三角形全等测两点之间的距离6.如图，为了测量出池塘两端A、B之间的距离，小明先在地面上取一点C，分别连接AC，BC并延长至E，D，使CE=AC，CD=BC．这时，他测量出DE的长度是82米，就知道了A，B两点之间的距离．点A，B之间的距离是多少？请说明其中的道理．【变式6-1】要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角【变式6-2】我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．你知道△AED≌△AFD的理由吗？（）A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边【变式6-3】如图所示，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E、M、F，M恰好为BC的中点，且E、F、M在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B、E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理．题型7：利用建立三角形全等的模型解实际问题7.为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=38°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=52°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB=33米，计算楼高AB是多少米？【变式7-1】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如右图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（）A.第4块B. 第3块C.第2块D.第1块【变式7-2】如图为紫舞公园中的揽月湖，现在测量揽月湖两旁A、B两棵大树间的距离（不得直接量得）．请你根据三角形全等的知识，用几根足够长的绳子及标杆为工具，设计一种测量方案．要求：（1）画出设计的测量示意图；（2）写出测量方案的理由．【变式7-3】如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小明家所在单元楼AB的高度，首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小华在自己家阳台C处测得E处的俯角为∠1，小明站在E 处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为∠2，发现∠1与∠2互余，已知EF=1米，BE=CD=20米，BD=58米，试求单元楼AB的高．。

《第四章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册

《利用三角形全等测距离》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过《利用三角形全等测距离》的学习，使学生能够掌握三角形全等的基本判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题，特别是通过测量距离来应用三角形全等的原理。

通过作业的完成，加深学生对三角形全等概念的理解，提高其解决实际问题的能力。

二、作业内容本课时作业内容主要围绕三角形全等的相关知识展开，具体包括以下几个方面：1. 掌握三角形全等的定义及基本判定方法（如SSS、SAS、ASA、AAS等）。

2. 学会利用全等三角形的性质进行简单图形的计算与测量。

3. 通过实际操作，掌握使用工具（如尺规、测角仪等）测量物体之间距离的方法。

4. 通过问题解答的形式，让学生自主思考和解决问题，提高解决问题的能力。

三、作业要求1. 学生需熟练掌握三角形全等的判定方法，并能准确应用在解题过程中。

2. 学生在完成作业时，应注重实际操作，利用尺规等工具进行测量和计算。

3. 作业中应包含至少三道涉及利用三角形全等测距离的实际问题，并要求学生详细写出解题步骤和思路。

4. 作业需在规定时间内独立完成，不得抄袭他人答案。

5. 学生在完成作业后，需对所做题目进行自查，确保答案的准确性。

四、作业评价1. 评价标准：评价将根据学生掌握三角形全等知识的准确性、解决问题的能力和实际操作的熟练程度进行综合评定。

2. 评价方式：教师将根据学生的作业完成情况进行打分，同时结合学生的课堂表现和实际操作能力进行评价。

3. 反馈方式：教师将对学生的作业进行详细批改，指出错误并给出正确答案，同时对学生的表现给予鼓励和建议。

五、作业反馈1. 对于学生在作业中出现的错误，教师将进行详细讲解，帮助学生找出错误原因并加以改正。

2. 对于学生的优秀表现和独特思路，教师将在课堂上进行表扬和展示，激发学生的学习积极性和创新精神。

3. 教师将根据学生的作业完成情况和课堂表现，为学生提供针对性的学习建议和指导，帮助学生更好地掌握三角形全等的知识点。

《第四章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册

《利用三角形全等测距离》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在让学生通过实际操作，理解并掌握三角形全等的基本原理，并能够运用这一原理来测量实际距离。

通过作业的完成，达到巩固知识、提升技能的目标，为后续学习打下坚实基础。

二、作业内容1. 理论知识复习：学生需回顾并熟练掌握三角形全等的定义、性质和判定方法，了解不同全等条件下的三角形关系。

2. 动手实践操作：（1）绘制一系列全等的三角形图案，通过剪切和拼接的方式，直观感受三角形全等的基本概念。

（2）结合生活实际，选择合适的地点（如校园内、家中），利用三角形全等原理，测量已知角度的两点间的距离。

学生需绘制测量示意图，并记录详细的测量步骤和结果。

3. 作业题目练习：设计一系列与三角形全等相关的题目，包括选择题、填空题和解答题，重点考察学生对三角形全等知识的理解和应用能力。

三、作业要求1. 理论复习部分：学生需自行整理笔记，总结三角形全等的相关知识点，并能够流利地与同学进行交流。

2. 动手实践操作部分：（1）图案绘制要求准确、清晰，剪切和拼接过程需保持小心谨慎，确保三角形全等的准确性。

（2）实地测量时，学生需注意安全，遵循正确的测量步骤，准确记录测量数据和结果。

测量示意图应清晰明了，能够准确反映测量过程和结果。

3. 作业题目练习部分：学生需独立完成题目，并按照格式要求书写答案。

如有不懂之处，可查阅教材或请教老师。

四、作业评价1. 教师将根据学生提交的作业进行批改，对理论知识复习部分进行评价，看学生是否掌握了三角形全等的基本概念和原理。

2. 对动手实践操作部分进行评价，看学生是否能够正确运用三角形全等原理进行实地测量，并准确记录测量结果。

3. 对作业题目练习部分进行评价，看学生是否能够正确理解和应用三角形全等的知识点。

五、作业反馈1. 教师将针对学生的作业情况进行反馈，对表现优秀的学生给予表扬和鼓励，对存在问题的地方进行指导和纠正。

2. 学生需根据教师的反馈意见进行反思和总结，找出自己的不足之处，并加以改进。

利用三角形全等公理(一)测距离课件

利用三角形全等公理(一)计算距离的方法：根据已知的测量点和目标点的坐标信息，利用三角形全等公理(一) 计算出测量点和目标点之间的距离。具体步骤如下
2. 在直线段上取一点作为第三个点，与测量点和目标点构成两个三角形。
3. 根据已知的测量角度和距离信息，计算出第三个点的坐标。
4. 利用三角形全等公理(一)判断两个三角形是否全等，如果全等则说明计算出的距离是正确的。
利用三角形全等公理(一)测距离ppt课件
CONTENTS
• 引言 • 三角形全等公理(一)的原理 • 利用三角形全等公理(一)测距离
的方法 • 实例分析 • 结论
01
引言
主题介绍
主题背景
介绍利用三角形全等公理(一)测距离的背景和应用场景，说明其在实际生活和工程中的重要性。
主题目的
阐述本课件的主题目的，即通过学习三角形全等公理(一)来掌握测量距离的方法。
实例三：测量点到平面的距离
总结词
利用三角形全等公理测量点到平面的最短距离
详细描述
选取一点A，作AB垂直于平面M于点B。在平面M上作线段BC平行于AB，并取一点D使得AD=CD。然后，过B作线段BE垂直于平面M于点E。此时，三角形ABC全等于三角形 BDE，因此，AB=BE，即点A到平面M的最短距离就是BE，也就是我们测量的结果。
三角形全等公理(一)简介
三角形全等定义
简要介绍三角形全等的定义，为后续课件内容做铺垫。
三角形全等公理(一)
详细解释三角形全等公理(一)的内容，包括其表述、应用条件和推导过程等。
02
三角形全等公理(一)的原理
三角形全等公理(一)的定义
总结词
三角形全等公理(一)是几何学中的基本定理，它定义了两个三角形在满足一定条件下可以被认为是全等的。

5.6 利用三角形全等测距离(说课稿)

课题：5.6 利用三角形全等测距离（说课稿）一、教材分析（一）地位和作用这节课是北师大版七年级下册第五章《三角形》的第六节，是在学生学习了全等三角形的性质及其判定条件之后的一节综合应用课。

利用三角形全等解决实际问题，首先就要把实际问题转化为三角形全等问题。

其目的是培养学生构建数学模型，并用数学知识来解决实际问题。

同时，培养学生说理表达能力，为今后学习几何证明打下良好的基础。

（二）学情分析在此之前，学生已经掌握了全等三角形的性质和全等三角形的判定条件等相关知识，并能用三角形全等的性质证明两对应边相等，同时也掌握了利用尺规作三角形和图案设计方法。

但学生对这些数学知识的综合应用意识还未形成，在解决实际问题时不知如何转化为数学模型来思考。

另外，七年级学生活泼好动，又有了一定的活动经验，喜欢在活动中学习知识。

（三）教学目标分析1．知识技能（1）进一步巩固和理解全等三角形的性质与判定。

（2）会利用三角形全等测距离，掌握几种构建全等三角形较常用的方法，并能说明其中的数学道理。

2．数学思考（1）在利用三角形全等知识测距离的过程中，经历多种方案设计过程，培养思维的逻辑性和发散性。

（2）在解决实际问题、与同伴交流的过程中发展有条理地思考与表达的能力。

3.问题解决（1）学会发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决实际问题，增强数学应用意识，提高实践能力。

（2）通过引导学生参与知识的探求过程，培养学生的创新意识和合作能力。

4．情感态度（1）通过生动、有趣、现实的例子来激发学生学习数学的兴趣。

（2）通过对问题的探索、思考、讨论，培养学生的探索精神与科学态度。

（3）通过课内外的活动，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活。

（四）教学重难点1．教学重点：利用三角形全等来测量距离。

2．教学难点：如何把实际问题转化成数学问题（即数学建模），能用所学的知识设计可行的测量方案。

二、教学准备计算机媒体、透明圆柱形玻璃杯、刻度尺、卷尺、小铁棒、橡皮绳、尼龙绳三、教法和学法1. 教法：直观演示法、设疑诱导法、操作发现法2. 学法：动手操作法、观察发现法、自主探究法、合作交流法教学过程教学环节主要内容教师活动学生活动设计目的(一)创设情境，设疑引入我们学校的孔子像有一个矩形的底座，这个矩形的边长我们都可以测量出来，但是你能直接测量出这个底座的对角线长度吗？设疑：不能用尺直接测量，那可以如何测量呢？对教师的提问进行思考，带着问题进入课堂知识就在身边，从生活中激发对数学的爱好，新课标指出：“数学来源于生活，回归于生活。

七年级数学下册第四章三角形4用尺规作三角形直角三角形全等的判定、尺规作图、测距离试题北师大版

直角三角形全等的判定、尺规作图、测距离知识点一：直角三角形的判定1.直角三角形全等的判定条件——HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.2.直角三角形全等的判定方法的综合运用.判定两个直角三角形全等的方法有五种，即SSS、SAS，ASA.AAS，HL.3.判定条件的选择技巧（1）上述五种方法是判定两直角三角形全等的方法，但有些方法不可能运用.如SSS，因为有两边对应相等就能够判定两个直角三角形全等.（2）判定两个直角三角形全等，必须有一组对应边相等.（3）证明两个直角三角形全等，可以从两个方面思考：①是有两边相等的，可以先考虑用HL，再考虑用SAS；②是有一锐角和一边的，可考虑用ASA或AAS.例1.如图所示，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE=________.分析：本题解决问题的关键是证明Rt△ABC≌Rt△DEF，由此，我们也知道三角形全等是解决问题的有力工具.解：由现实意义及图形提示可知CA⊥BF，ED⊥BF，即∠BAC=∠EDF=90°.又因为BC=EF，AC=DF，可知Rt△ABC≌Rt△DEF.得∠DFE=∠ACB.因为∠ACB＋∠ABC=90°，故∠ABC＋∠DFE=90°.例2.如图所示，△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD，DE.DF分别垂直于AB.AC，垂足为E.F.求证BE=CF.解：在△AED和△AFD中，∠ ∠ （垂直的定义）∠ ∠ （角平分线的定义）（公共边）所以△AED≌△AFD（AAS）.所以DE=DF（全等三角形的对应边相等）.在Rt△BDE和Rt△CDF中，（已知）（已证）所以Rt△BDE≌△Rt△CDF（HL）.所以BE= CF（全等三角形的对应边相等）.例3.如图所示，已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：CF=DF.分析：要证CF=DF，可连接AC.AD后，证△ACF≌△ADF即可.证明：连结AC.AD.在△ABC和△AED中，所以AC＝AD（全等三角形的对应边相等）.因为AF⊥CD（已知），所以∠AFC=∠AFD=90°（垂直定义）.在Rt△ACF和Rt△ADF中，（已证）（公共边）所以Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）.所以CF=DF（全等三角形的对应边相等）.例4.已知在△ABC与△A′B′C′中，CD.C′D′分别是高，且AC=A′C′，AB=A′B′，CD=C′D′，试判断△ABC 与△A′B′C′是否全等，说说你的理由.分析：分析已知条件，涉及到三角形的高线，而三角形的高线有在三角形内、外或形上三种情形，故需分类讨论. 解：情形一，如果△ABC与△A′B′C′都为锐角三角形，如图所示.因为CD.C′D′分别是△ABC.△A′B′C′的高.所以∠ADC=∠A′D′C′=90°.在△ADC和△A′D′C′中∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，则∠A=∠A′.在△ABC与△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.情形二，当△ABC为锐角三角形，△A′B′C′为钝角三角形，如图.显然△ABC与△A′B′C′不全等.情形三，当△ABC与△A′B′C′都为钝角三角形时，如图.由CD.C′D′分别为△ABC和△A′B′C′的高，所以∠ADC=∠A′D′C′=90°，在Rt△ADC和Rt△A′D′C′中，CD=C′D′，AC=A′C′∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠CAD=∠C′A′D′.∴∠CAB=∠C′A′B′，在△ABC与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′.例5.阅读下题及证明过程：如图，已知D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上一点，EB=EC，∠BAE=∠CAE，求证：∠ABE=∠ACE.证明：在△ABE和△ACE中∴△ABE≌△ACE 第一步∴∠ABE=∠ACE 第二步上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据，若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程.分析：用三角形全等的判定条件去判断，易发现错在第一步，它不符合全等三角形的条件，因此需另辟途径.由题设知，当结论成立时，必有△ABE≌△ACE，而由已知条件不能求证这两个三角形全等，故需将这两个三角形中重新构造出全等三角形.解：上面的证明过程不正确，错在第一步，正确的证明过程如下：过E作EG⊥AB于G，EH⊥AC于H.如图所示则∠BGE=∠CHE=90°在△AGE与△AHE中∴△AGE≌△AHE∴EG=EH在Rt△BGE与Rt△CHE中，EG=EH，BE=CE.∴Rt△BGE≌Rt△CHE，∴∠ABE=∠ACE.例6.已知：如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD.（1）求证：BE⊥AC；（2）若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？（1）证明：因为AD⊥BC（已知），所以∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.在Rt△BDF和Rt△ADC中，（已知）（已知）所以Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）.所以∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.因为∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.因为∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），所以∠BEC=90°.所以BE⊥AC（垂直定义）；（2）证明：命题成立，因为BE⊥AC，AD⊥BC，所以∠BDF=∠ADC=90°（垂直定义）.所以∠1＋∠C=90°，∠DAC＋∠C=90°.所以∠1=∠DAC（同角的余角相等）.在△BFD与△ACD中，∠ ∠ （已证）∠ ∠ °（已证）（已知）所以△BFD≌△ACD（AAS）.所以BF=AC（全等三角形的对应边相等）.知识二：利用三角形全等测距离通过探索三角形全等，得到了“边边边”，“边角边”，“角边角”，“角角边”定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等，掌握了这些知识，就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础．体会数学与生活的密切联系，能够利用三角形全等解决生活中的实际问题．在解决实际问题时确定方案使不能直接测量的物体间的距离转化为可以测量的距离（即把距离的测量转化为三角形全等的问题）．例1.如图，有一湖的湖岸在A.B之间呈一段圆弧状，A.B间的距离不能直接测得．•你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A.B间的距离吗？答案：要测量A.B间的距离，可用如下方法：（1）过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C.D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A.C.E在一条直线上，根据“角边角公理”可知△EDC≌△ABC．因此：DE＝BA．•即测出DE的长就是A.B之间的距离．（如图甲）（2）从点B出发沿湖岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过点D作DE∥AB，使A.•C.E在同一直线上，这时△EDC≌△ABC，则DE＝BA．即DE的长就是A.B间的距离．（•如图乙）例2.如图、小红和小亮两家分别位于A.B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．分析：本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，就可求出两家的距离．方案：如图，在点B所在的河岸上取点C，连接BC并延长到D，使CD＝CB，利用测角仪器使得∠B＝∠D，A.C.E三点在同一直线上．测量出DE的长，就是AB的长．因为∠B＝∠D，CD＝CB，∠ACB＝∠ECD，所以△ACB≌△ECD，所以AB＝DE．知识点三：尺规作图1.用尺规作三角形的根据是三角形全等的条件.2.尺规作图的几何语言①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连接两点××；或连接××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；④在××上截取××＝××；⑤以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；⑥以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；⑦分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×．3.用尺规作图具有以下三个步骤①已知：当题目是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；②求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；③作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹. 对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.例1.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．已知：∠α，∠β，线段c(如图)．求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c．请按照给出的作法作出相应的图形．例2.如图，已知线段a，b，c，满足a＋b>c，用尺规作图法作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c.错误作法：(1)作线段AB＝c；（2）作线段BC＝a；（3）连接AC，则△ABC就是所求作的三角形(如图).分析：本题第2步作线段BC＝a，在哪个方向作，∠CBA的度数是多少是不确定，所以这步的作法不正确，不能保证AC的长一定等于b．错误的原因在于没有真正理解用尺规作三角形的方法．正确作法：（1）作射线CE；（2）在射线CE上截取CB＝a；（3）分别以C，B为圆心，b，c长为半径画弧，两弧交于点A．连接AC.AB，则△ABC为所求作的三角形(如图)．例3.已知两边和其中一边上的中线，求作三角形．已知线段A.b 和 m．求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的中线等于m.分析：如果BC已作出，则只要确定顶点A．由于AD是中线，则D为BC的中点，A在以D为圆心，m为半径的圆上，又AC＝b，点A也在以C为圆心b为半径的圆上，因此点A是这两个轨迹的交点．作法：1.作线段BC＝a．2.分别以B.C为圆心，大于长为半径画弧，在BC两侧各交于一点M、N，连接M、N交BC于点D．3.分别以D为圆心，m长为半径作弧，以C为圆心，b长为半径作弧，两弧交于点A．4.分别连接AB.AC．则△ABC就是所求作的三角形．思考：假定△ABC已经作出，其中 BC＝a，AC＝b，中线 AD＝m．显然，在△ADC中，AD＝m，DC＝，AC＝b，所以△ADC若先作出．然后由BD＝的关系，可求得顶点B的位置，同样可以作出△ABC．作法请同学们自己写出．1.如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为B.C，且BD=CD，求证：AD平分∠BAC.证明：∵DB⊥AB，DC⊥AC∴∠B=∠C=90°在Rt△ABD和Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠1=∠2∴AD平分∠BAC.2.如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD和BC相交于点E，求证：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD.证明：（1）∵AB⊥BD，AC⊥CD∴∠ABD=∠ACD=90°在Rt△ABD和Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD (HL)∴∠1=∠2在△ABE和△ACE中∴△ABE≌△ACE（SAS）∴BE=CE（2）∵△ABE≌△ACE∴∠3=∠4又∵∠3＋∠4=180°∴∠3=90°∴CB⊥AD3.如图，已知一个角∠AOB，你能否只用一块三角板作出它的平分线吗？说明方法与理由.解：能.作法：（1）在OA，OB上分别截取OM=ON（2）过M作MC⊥OA，过N作ND⊥OB，MC交ND于P（3）作射线OP则OP为∠AOB的平分线证明：∵MC⊥OA.ND⊥OB∴∠1=∠2=90°在Rt△OMP和Rt△ONP中∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）∴∠3=∠4∴OP平分∠AOB.4.如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？解：能.理由如下：∵BA⊥AC，DA⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90° 在 Rt△ABC 和 Rt△ADE 中∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL） ∴∠C=∠E，AC=AE 在△AMC 和△ANE 中∴△AMC≌△ANE（ASA），∴AM=AN. 5.如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为 E.F，且 AE=BF，AD=BC，则（1）△ADF 和△BEC 全等吗？为什么？（2）CM 与 DN 相等吗？为什么？解：（1）△ADF≌△BCE，理由如下：∵CE⊥AB，DF⊥AB ∴∠1=∠2=∠3=∠4=90° 又∵AE=BF，∴AF=BE 在 Rt△ADF 和 Rt△BCE 中∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL）（2）CM=DN，理由如下： ∵△ADF≌△BCE ∴DF=CE，∠A=∠B 在△AME 和△BNF 中∴△AME≌△BNF（ASA） ∴ME=NF，又∵CE=DF ∴MC=ND. 6.如图所示，已知线段 a，b，∠α ，求作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，∠ACB＝∠α ，•根据作图在下面空格中填上适当的文字或字母．（1）如图甲所示，作∠MCN＝________；（2）如图乙所示，在射线 CM 上截取 BC＝________，在射线 CN 上截取 AC＝________．（3）如图丙所示，连接 AB，△ABC 就是_________．答案：∠α ，a，b，所求作的三角形. 7.已知线段 a 及锐角α ，求作：三角形 ABC，使∠C＝90°，∠B＝∠α ，BC＝A．作法：（1）作∠MCN＝90°；（2）以 C 为圆心，a 为半径，在 CM 上截取 CB＝a；（3）以 B 为顶点，BC 为一边作∠ABC＝∠α ，交 CN 于点 A．连接 AB，则△ABC 即为所求作的三角形． 8.你一定玩过跷跷板吧！如图是贝贝和晶晶玩跷跷板的示意图，支柱 OC 与地面垂直，点 O 是横板 AB 的中点，AB 可以绕着点 O 上下转动，当 A 端落地时，∠OAC＝20°．（1）横板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是多少？（2）在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度 AA′，BB′有何数量关系？为什么？解：（1）∵OC⊥AB′，∠OAC＝20°， ∴∠AOC＝90°－20°＝70°，同理可求∠B′OC＝70°， ∴∠AOA′＝180°－2×70°＝40°；（2）AA′＝BB′，如图所示，连接 AA′、BB′， ∵AB＝A′B′，∠BAB′＝∠A′B′A，AB′＝B′A， ∴△A′AB′≌△BB′A，∴AA′＝BB′． 9.有一池塘，要测池塘两端 A.B 间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD＝CA，连接 BC 并延长到 E，使 CE＝CB，连接 DE，量出 DE 的长，这个长就是 A.B 之间的距离。

尺规作三角形与三角形全等的应用讲义

第14讲尺规作三角形与三角形全等的应用知识点1 尺规作三角形已知三边作三角形；2.已知两边及其夹角作三角形；3.已知两角及其夹边作三角形；4.已知两角及其中一角的对边作三角形。

知识点2 全等三角形的应用1.利用全等三角形测距离；2.其他应用问题。

例1.尺规作图：已知：∠α，线段a, b 求作：△ABC，使∠A= , AB=a, AC=b。

（不写作法，保留痕迹，写出结论）例2.如图,已知∠α和∠β,线段c,用直尺和圆规作出△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB ＝c (要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写出作法)αβ c例3. 下列各作图题中，可直接用“边边边”条件作出三角形的是（）A. 已知腰和底边，求作等腰三角形B. 已知两条直角边，求作等腰三角形C. 已知高，求作等边三角形D. 已知腰长，求作等腰直角三角形例4.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以再AB的垂直线BF上取两点C，D．使BC=CD，再画出BF的垂直线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．它的理论依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.AAS例5.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A.POB.PQC.MOD.MQ例6.如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，则判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A.边边边B.角边角C.边角边D.角角边例7.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）A.60°B.90°C.120°D.150°的OB边上，用尺规作出了CN OA，作图痕迹中，FG是例8.如图所示，点C在AOB（）．A. 以点C为圆心，OD为半径的弧B. 以点C为圆心，DM为半径的弧C. 以点E为圆心，OD为半径的弧D. 以点E为圆心，DM为半径的弧例9.如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧 B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧 D．以点E为圆心，DM为半径的弧例10.已知∠AOC，请用尺规作图的方法作出该角的角平分线．例11.如图，AB∥CD，BC∥AD，AB=CD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是（）A.3B. 4C. 5D. 6例12.如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E，下列说法错误的是（）A.AD=BCB. ∠DAB=∠CBAC. △ACE≌△BDED. AC=CE 例13.如图,AA',BB'表示两根长度相同的木条,若O是AA',BB'的中点,经测量AB=9 cm,则容器的内径A'B'为()A. 8 cmB. 9 cmC. 10 cmD. 11 cm例14.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D，BD=2，则△ABE的面积为________.例15.一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（）A．带其中的任意两块去都可以 B．带1、2或2、3去就可以了C．带1、4或3、4去就可以了 D．带1、4或2、4或3、4去均可例16.如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线l上取两点C、D，使CD=BC，再在过D的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，这时△ACB≌△ECD，DE=AB．测得DE的长就是A、B的距离，这里判断△ACB≌△ECD的理由是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS例17.如图，有一池塘，要测池塘两端A，B间的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED．若量出DE=58米，则A，B间的距离为（）A．29米B．58米C．60米D．116米例18.下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形的周长和面积分别相等C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形。

4.5 利用三角形全等测距离(分层练习)(解析版)

第四章三角形4.5 利用三角形全等测距离精选练习一、单选题1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS 【答案】C 【分析】由题意可知：被墨迹污染了的三角形保留了完整的两角及其夹边，于是可根据ASA 进行判断.【详解】解：由题意可知：被墨迹污染了的三角形保留了完整的两角及其夹边，可根据ASA 画出一个与书上完全一样的三角形；故选：C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确理解题意、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.2．（2023春·全国·七年级专题练习）庆阳湖国家水利风景区位于甘肃省庆阳市西峰区，依托庆阳市城市雨洪集蓄工程而建，景区规划面积211km，其中水域面积20.43km ，属于城市河湖型水利风景区，亿万年前，这里是一个巨大的史前湖泊，范围之大，难以想象．如图，小明利用全等三角形的知识测量庆阳湖两端M 、N 的距离，若PQO NMO △≌△，则只需测出其长度的线段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ【答案】B【分析】根据全等三角形的性质求解即可．△≌△，【详解】解：∵PQO NMO=，∴MN PQ∴要测量出M、N的距离，只需要测出线段PQ的长度即可，故选B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．3．（2022秋·广西南宁·八年级南宁三中校考期中）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（）A．SAS B．HL C．SSS D．ASA【答案】D【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【详解】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．故选：D．【点睛】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，BC=CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，可得△ABC ≌△EDC ，从而DE =AB ．判定△ABC ≌△EDC 的依据是（）A ．ASAB ．SASC ．AASD ．SSS 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．【详解】解：在△ABC 和△EDC 中：90ABC EDC BC CD ACB ECD Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ðî，∴△ABC ≌△EDC （ASA ）．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．5．如图，将两根钢条AA ¢，BB ¢的中点O 连在一起，使AA ¢，BB ¢可绕点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则A B ¢¢的长等于内槽宽AB ，那么判定OAB OA B ¢¢△≌△的理由是（）A ．边角边B ．角边角C ．边边边D ．角角边【答案】A 【分析】由已知有OA OA ,OB OB ¢¢==，且对顶角相等，则由SAS 可判断OAB OA B ¢¢△≌△，从而问题解决．【详解】由已知OA OA ,OB OB ¢¢==∵AOB A OB ¢¢Ð=Ð∴OAB OA B ¢¢△≌△(SAS )故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的几个判定方法是关键．6．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离BD 与CD 的距离间的关系是（）A ．BD CD>B ．BD CD <C ．BD CD =D ．不能确定【答案】C 【分析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上”可以判断AB AC =，又AD AD =，AD BC ^，所以ABD ACD @△△，所以BD CD =．【详解】解：AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°，由AB AC =，AD AD =，()ABD ACD HL \@△△，BD CD \=．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻找三角形全等的条件．本题关键是证明ABD ACD @△△．二、填空题7．（2022秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他的依据是__．【答案】ASA【分析】根据图形，未污染的部分两角与这两角的夹边可以测量，然后根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他根据的定理是：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA ）．故答案为：ASA ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．8．（2022秋·广东河源·八年级校考期末）如图，要测量水池宽AB ，可从点A 出发在地面上画一条线段AC ，使AC AB ^，再从点C 观测，在BA 的延长线上测得一点D ，使ACD ACB Ð=Ð，这时量得120m AD =，则水池宽AB 的长度是__m ．【答案】120【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】AC BD ^Q ，90CAD CAB \Ð=Ð=°，CA CA =Q ，ACD ACB Ð=Ð，()ACD ACB ASA \D @D ，120AB AD m \==，故答案为120．【点睛】本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．9．（2020秋·北京·八年级校考期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形?应该带______．依据__________________．【答案】 2 角边角【分析】应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行一一验证．【详解】解：（1）1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，故应带第2块；（2）第2块具备三角形全等的要素两角及夹边，所紧依据是角边角；故答案为：2；角边角．【点睛】此题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在坐标轴上，8OA cm =，12OC cm =．点P 是线段CB 上的动点，从点C 出发，以2/cm s 的速度向点B 作匀速运动；点Q 在线段OC 上，从点O 出发向点C 作匀速运动且速度是点P 运动速度的a 倍，若用(),a t 来表示运动t 秒时AOQ D 与QCP D 全等，写出满足AOQ D 与QCP D 全等时(),a t 的所有情况_____________．三、解答题11．（2020秋·安徽铜陵·八年级铜陵市第二中学校考阶段练习）如图，ABF △≌CDE V ，已知30B Ð=°，25DCF Ð=°，求EFC Ð的度数．【答案】55°【分析】由全等三角形的对应角相等知∠B=∠D=30°，然后由三角形外角定理来求∠EFC 的度数．【详解】解：∵ABF △≌CDE V ，B D Ð=Ð．又∵30B Ð=°，∴30D Ð=°．∵25DCF Ð=°，∴55EFC D DCF Ð=Ð+Ð=°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质．全等三角形的对应边相等及全等三角形的对应角相等是解题的关键．12．（2020秋·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，AD=CB ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，E 、F 是垂足，AE=CF ．求证：（1）AB=CD（2）AB//CD ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用HL 得到直角三角形ADE 与直角三角形CBF 全等，利用全等三角形的对应边相等得到DE=BF ，可得DF=BE ，利用SAS 得到三角形AEB 与三角形CFD 全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）由全等三角形的对应角相等得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．【详解】证明：（1）AE BD ^Q ，CF BD^B 90AEB CFD AED CF \Ð=Ð=Ð=Ð=°AE CF =Q ，AD CB=()Rt ADE CBF HL \D @D∴DE=BFDE BD BD BF\-=-BE DF\=∵AEB CFD Ð=Ð，AE CF=∴ABE CDF D @D （SAS ）∴AB=CD ；（2）∵ABE CDFD @D ∴Ð=ÐABE CDF//AB CD\【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．一、填空题1．（2020秋·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在ABC V 中，AB AC =，BD CD =，点E ，F 是AD 上的任意两点、若8BC =，6AD =，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】12【分析】利用SSS 证明△ADC ≌△ADB ，可得△ABD 的面积=△ACD 的面积，通过拼接可得阴影部分的面积=△ABD 的面积，再利用三角形的面积公式可求解．2．（2022秋·全国·八年级假期作业）如图，小明用7块高度都是1cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放一个等腰直角三角尺ABC，点C在DE上，点A，B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为______cm．【答案】7【分析】根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．【详解】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，∴∠BCE=∠DAC，在△ADC和△CEB中，ADC CEB DAC BCE AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；由题意得：AD =EC =2cm ，DC =BE =5cm ，∴DE =DC +CE =7（cm ），所以两堵木墙之间的距离为7cm ．故答案为：7【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．3．（2020秋·北京海淀·八年级海淀实验中学校考期中）教材中有如下一段文字：思考：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC ，固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD ，这个实验说明了什么？如图中的△ABC 与△ABD 满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法_____．（填“正确”或“不正确”）【答案】正确【分析】根据题意画出图形，写出已知条件，然后可得∠ACG ＝∠DFH ，进而可根据全等三角形的性质与判定进行分析问题．【详解】解：小明的说法正确．理由：如图，△ABC 和△DEF 中，AB ＞AC ，ED ＞DF ，AB ＝DE ，AC ＝DF ，∠ACB ＝∠DFE ，作AG ⊥BC 于G ，DH ⊥EF 于H ．∵∠ACB ＝∠DFE ，∴∠ACG ＝∠DFH ，在△ACG 和△DFH 中，G H ACG DFH AC DF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ACG ≌△DFH ，∴AG ＝DH ，在Rt △ABG 和Rt △DEH 中，AB DE AG DH =ìí=î，∴△ABG ≌△DEH ，∴∠B ＝∠E ，在△ABC 和△DEF 中，B E ACB DFE AB DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABC ≌△DEF ．（当△ABC 和△DEF 是锐角三角形时，证明方法类似）．故答案为正确．【点睛】本题主要考查直角三角形全等的判定及三角形全等的性质与判定，熟练掌握直角三角形全等的判定及三角形全等的性质与判定是解题的关键．4．（2022秋·云南昭通·八年级统考期中）如图，CA BC ^，垂足为C ，2cm =AC ，8cm BC =，射线BM CB ^，垂足为B ，动点P 从点C 出发，以1cm /s 的速度设射线CB 运动，N 为射线BM 上一动点，随着点P 运动而运动，且始终满足PN AB =．设点P 的运动时间为t ()0t >，当t =______s 时，BCA V 与PBN V 全等．【答案】6或10或16【分析】根据题意可分点P 在点B 的左侧和右侧进行分类求解即可．【详解】解：设点P 的运动时间为t 秒，由题意得：cm CP t =，①当点P 在点B 的左侧时，且满足2AC BP cm ==，∵PN AB =，∴ACB PBN V V ≌HL （），∵cm CP t =，∴()8cm BP t =-，即82t -=，解得：6t =；②当点P 在点B 的右侧时，且满足2AC BP cm ==，则ACB PBN V V ≌，∴()8cm BP t =-，即82t -=，解得：10t =；③当点P 在点B 的右侧时，且满足8BC BP cm ==，则ACB NBP V V ≌，∴()8cm BP t =-，即88t -=，解得：16t =；综上所述：当t 为6或10或16秒时，BCA D 与PBN D 全等．故答案为6或10或16．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．CD= 5．（2023秋·河南新乡·八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD中，12AB=厘米，8BC=厘米，14Ð=Ð，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，厘米，B C同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为______厘米/秒时，能够使BPEV与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．二、解答题6．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD 中，12090AB AD BAD B ADC =Ð=°Ð=Ð=°，，，E ，F 分别是BC CD ，上的点，且60EAF Ð=°，请猜想图中线段BE EF FD ，，之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD ，四周修有步行小径，且180AB AD B D =Ð+Ð=°，，在小径BC CD ，上各修一凉亭E ，F ，在凉亭E 与F 之间有一池塘，不能直接到达经测量得到12EAF BAD Ð=Ð，10BE =米，15DF =米，试求两凉亭之间的距离EF ．【答案】（1）EF BE FD =+，证明见解析；（2）25米【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，利用SAS 证明ABE ADG ≌△△，推出AE AG BAE DAG =Ð=Ð，，再证明()SAS AEF AGF △△≌，据此即可得到EF BE FD =+；（2）延长CD 至H ，使DH BE =，连接AH ，利用SAS 证明ADH ABE ≌△△，推出AE AH BAE DAH =Ð=Ð，，再证明()SAS AEF AGF △△≌，据此计算即可求解．【详解】解：（1）猜想：EF BE FD =+，证明：如图1，延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，∵90180ADC ADC ADG Ð=°Ð+Ð=°，，∴90ADG Ð=°，在ABE V 和ADG △中，BE DG B ADG AB AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABE ADG △△≌，∴AE AG BAE DAG =Ð=Ð，，∵60120EAF BAD Ð=°Ð=°，，∴1206060BAE DAF Ð+Ð=°-°=°，∴60GAF DAG DAF BAE DAF EAF Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°=Ð，在AEF △和AGF V 中，AE AG EAF GAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS AEF AGF △△≌，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+；（2）如图2，延长CD 至H ，使DH BE =，连接AH ，∵180,B ADC Ð+Ð=°∴ADH B Ð=Ð，在ADH V 和ABE V 中，∴(SAS ADH ABE ≌△△7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B 点，选对岸正对的一棵树A ；②沿河岸直走20m 有一树C ，继续前行20m 到达D 处；③从D 处沿河岸垂直的方向行走，当到达A 树正好被C 树遮挡住的E 处时停止行走；④测得DE 的长为6米．根据他们的做法，回答下列问题：(1)河的宽度是多少米？(2)请你证明他们做法的正确性．【答案】(1)6米(2)见解析【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得AB DE =；（2）利用“角边角”证明ABC V 和EDC △全等，再根据全等三角形对应边相等解答．【详解】（1）由数学兴趣小组的做法可知，AB DE =，故河宽为6米（2）由题意知90ABC CDE Ð=Ð=°，20BC CD ==米又∵光沿直线传播∴ACB ECDÐ=Ð又∵在ABC V 和EDC △中ABC CDE BC CDACB ECD Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî∴ABC EDC △△≌ASA （）∴AB DE =．即他们的做法是正确的．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．8．（2023·全国·九年级专题练习）【问题情境】如图，池塘的两端有A ，B 两点，现需要测量该池塘的两端A ，B 之间的距离，需要如何进行呢？【方案解决】同学们想出了如下的两种方案：方案①：如图1，先在平地上取一个可直接到达A ，B 的点C ，再连接AC ，BC ，并分别延长AC 至点D ，BC 至点E ，使DC AC =，EC BC =，最后量出DE 的距离就是AB 的距离；方案②：如图2，过点B 作AB 的垂线BF ，在BF 上取C ，D 两点，使BC CD =．接着过点D 作BD 的垂线DE ，在垂线上选一点E ，使A ，C ，E 三点在一条直线上，则测出DE 的长即是AB 的距离．(1)方案①是否可行？请说明理由；(2)方案②是否可行？请说明理由；(3)李明同学提出在方案②中，并不一定需要BF AB ^，DE BF ^，只需要__________就可以了，请把李明所说的条件补上．【答案】(1)方案①可行，理由见解析(2)方案②可行，理由见解析(3)AB DE ∥．【分析】（1）利用SAS 定理证明ABC DEC ≌△△可得AB DE =；（2）利用ASA 定理证明ABC DEC ≌△△可得AB DE =；（3）AB DE ∥，可得B BDE Ð=Ð，利用ASA 定理证明ABC DEC ≌△△可得AB DE =．【详解】（1）可行，理由如下：在ABC V 和DEC V 中，AC DC ACB ECD CB EC =ìïÐ=Ðíï=î，()ABC DEC SAS \≌△△，AB DE \=；（2）可行，理由如下：BF AB ^Q ，DE BF ^，B BDE \Ð=Ð，在ABC V 和DEC V 中，B CDE CB CDBCA DCE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ABC DEC ASA \V V ≌，AB DE \=；（3）只需AB DE ∥即可，AB DE ∥Q ，B BDE \Ð=Ð，在ABC V 和EDC △中，B CDE CB CDBCA DCE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ABC EDC ASA \V V ≌，AB DE \=，故答案为：AB DE ∥．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形的判定与性质．。

利用三角形全等测距离（教案）

北师大版数学七年级下册4.5 利用三角形全等测距离教学设计课题 4.5 利用三角形全等测距离单元第四单元学科数学年级七学习目标知识与技能：能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学于实际生活的联系；能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。

过程与方法：分析解决问题的能力。

情感态度与价值观：激发学生学习数学的积极性，培养学生探索的勇气。

重点构造全等三角形,将实际问题转化为数学问题.难点能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课师：让我们来回答下列问题。

1.全等三角形的性质：对应边，对应角.2.判定三角形全等的方法有：, , ,,练习：如图：△ABC≌△ADE, ∠B=60°,BC=4cm, 则DE= ,∠D= . 生回答问题。

相等相等SSSASA SASAAS4cm60°通过全等三角形的有关知识的提问，可以温习与本节有关的知识，巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础.讲授新课一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡用真实的故事引入新课,适时地提问,激发了学生的求知欲和好奇心,有不同意见时正好可以组的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.1.阅读相关内容完成下列问题：(1)在引例中，“保持刚才的姿态”你是怎样理解的？答：___________________.(2)直立的姿态从而保证了两个三角形中的两个_____；帽檐不动，保证了视线和身体的_____不变.(3)要说明图中两个三角形全等，已知两角，则还差一边，即_________.(4)测量的原理是：构造了_______________.(1)按这个战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证.(2)你能解释其中的道理吗？理由：在△ACB与△ACD中，∠BAC=∠DACAC=AC（公共边）生：直立姿态和帽檐不动直角夹角身高不变两个全等三角形织学生体验战士的测量方法,感受数学与现实生活的联系,以轻松、愉快的心态进入探究新知的过程.学生对于情境中战士的做法比较陌生,通过角色模拟的方法进行体验,让学生对战士的测量方法有一个直观理解,进而思索其中的道理.在操作验证过程中培养合作参与精神和严谨的学习态度.鼓励学生自己说明理由,锻炼数学思考能力和有条理的语言表达能力.让学生主动参与,积极思考,在∠ACB=∠ACD=90°△ACB≌△ACD（ASA）BC= DC（全等三角形的对应边相等）【归纳】(1)利用三角形的全等测距离的根据：全等三角形的对应边__相等___.(2)利用三角形的全等测距离的方法：转化法，即把不能直接测量或无法测量的线段转化为容易测量的线段【想一想】如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是AB间的距离.你能说明其中的道理吗?.小明是这样想的：在△ABC和△DEC中，因为AC＝DC，∠ACB＝∠DCE，BC＝EC所以△ABC≌△DEC，所以AB＝DE.你能说出每步的道理吗?1.你能设计出其他的方案来吗？（构建全等三角形）学生独立思考,小组交流探讨;教师巡视指导,特别关注有困难的学生此时是否积极参与,教师在黑板上画几个池塘图案备学生展示用.操作过程中培养合作交流精神和严谨的学习态度.在鼓励学生的过程中,锻炼了他们的数学思考能力和语言表达能力,形成了良好的学习氛围.没有按照书上的“给出解决方案,说明理由”,而是让学生“自主解决问题,说明理由”,把课堂还给学生,把问题交给学生,鼓励学生通过积极【归纳】1.当两点之间可以直接到达时，可以直接测量出两点之间的距离；当两点之间不能直接到达时，可以构造全等三角形，将不能到达的两点转化到能够到达的两点来进行测量．2.通过构造全等三角形来进行测量有以下几种方法：构造两边和它们的夹角对应相等的两个全等三角形；构造两角和它们的夹边对应相等的两个全等三角形；构造三边对应相等的两个全等三角形. 探索、讨论找出解决方案,通过合作从不同的角度得出不同的测量方法.让学生懂得情境中使用的方法虽然是一种估测,不是准确值,但却是解决问题的好方法.通过活动学生将会感受到成功的喜悦,培养了学生解决问题的意识和能力.课堂练习 1.如图所示，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB=9 cm，则容器的内径A′B′为( B )A. 8 cmB. 9 cmC. 10 cmD. 11 cm2.我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞学生认真做课堂练习。

《第四章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册

《利用三角形全等测距离》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课作业旨在通过练习和实际操作，使学生能够：1. 理解三角形全等的概念及其在现实生活中的应用。

2. 掌握利用三角形全等测量距离的基本方法。

3. 培养学生的空间想象能力和实际操作能力。

二、作业内容本课作业主要包括理论练习和实际操作两部分。

（一）理论练习1. 基础概念练习：让学生复习三角形全等的定义及全等三角形的性质。

2. 案例分析：提供几个利用三角形全等测距离的实例，让学生分析其应用过程。

（二）实际操作1. 实地测量任务：要求学生选择校园内的一个场景，利用三角形全等原理，实地测量两点之间的距离，并记录测量过程和结果。

2. 制作报告：学生需将实地测量的过程和结果整理成书面报告，包括测量步骤、所使用的工具、测量结果及误差分析等。

三、作业要求1. 理论练习部分：学生需认真完成案例分析，理解并掌握三角形全等测距离的原理和方法。

2. 实际操作部分：学生需在保证安全的前提下，按照测量步骤进行实地测量，确保测量结果的准确性。

报告需详细记录测量过程和结果，字迹工整，条理清晰。

3. 提交方式：学生需在规定时间内将书面报告交给老师，同时将实地测量的照片或视频（如有）一并提交，以便老师了解学生的实际操作情况。

4. 作业评分：老师将根据学生的理论练习完成情况、实地测量的准确性和报告的完整性、条理性等方面进行评分。

四、作业评价1. 过程评价：老师将关注学生在完成作业过程中的态度、合作能力和实际操作能力，给予相应的指导和建议。

2. 结果评价：老师将根据学生的理论练习和实地测量的结果，以及报告的完整性、条理性等方面进行评价，给出相应的分数。

3. 反馈机制：老师将对学生的作业进行详细批改，指出存在的问题和不足，提出改进建议，帮助学生更好地掌握知识和技能。

五、作业反馈1. 对于学生在作业中表现出的优点和亮点，老师将在课堂上进行表扬和鼓励，激发学生的学习兴趣和自信心。

2. 对于学生在作业中存在的问题和不足，老师将通过个别指导、小组讨论等方式进行辅导和帮助，确保学生能够及时纠正错误，提高学习效果。

《第一章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学鲁教版五四制12七年级上册

《利用三角形全等测距离》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过实践操作和理论应用，加深学生对三角形全等概念的理解，培养学生利用三角形全等性质进行距离测量的能力，提升学生空间思维能力和实际运用能力。

二、作业内容作业内容围绕《利用三角形全等测距离》的课程内容展开，具体包括以下方面：1. 理论复习：要求学生复习三角形全等的判定条件及性质，理解全等三角形在测量中的应用。

2. 实践操作：学生需利用直尺、量角器等工具，实际操作构建全等三角形，并学会通过全等关系测量线段长度。

3. 案例分析：设计几个实际场景的测量问题，如利用全等三角形测量建筑物的高度或距离，要求学生分析并解决这些问题。

4. 拓展应用：引导学生思考如何将三角形全等的知识应用于其他领域，如地理测量、工程设计等。

三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人成果。

2. 实践操作部分要求学生详细记录操作步骤和结果，确保过程的准确性和可追溯性。

3. 案例分析部分要求学生在解决问题时写出清晰的思路和解题步骤，并对自己的解题过程进行反思。

4. 拓展应用部分鼓励学生创新思维，提出自己的见解和想法，可以以文字或图形方式呈现。

5. 作业需按时提交，迟交或不交作业的学生需说明原因并接受相应处理。

四、作业评价1. 评价标准：以学生的理论掌握程度、实践操作的准确性、案例分析的思路和解题步骤、拓展应用的创新性等方面为评价标准。

2. 评价方式：采用教师评价、同学互评和自评相结合的方式，全面评价学生的作业完成情况。

3. 反馈方式：教师将对每位学生的作业进行详细批阅，指出优点和不足，并给出改进建议。

同时，将优秀作业进行展示，激励学生互相学习。

五、作业反馈1. 教师将根据学生的作业完成情况，进行针对性的辅导和指导，帮助学生解决学习中遇到的问题。

2. 对于普遍存在的问题，将在课堂上进行讲解和演示，确保学生能够掌握相关知识和技能。

3. 鼓励学生之间进行交流和讨论，分享学习经验和解题方法，提高学生的自主学习能力和合作能力。

作三角形及利用三角形全等测距离

《利用三角形全等测距离》教案

《利用三角形全等测距离》教学设计

利用三角形全等测距离教学设计

第四章 三角形 利用三角形全等测距离

利用三角形全等测距离

用尺规作三角形 利用三角形全等测距离

《第四章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册

《利用三角形全等测距离》说课稿

《利用三角形全等测距离》三角形优质课件

用尺规作三角形、用三角形全等测距离 (2)

《第四章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册

《第四章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册

利用三角形全等公理(一)测距离课件

5.6 利用三角形全等测距离(说课稿)

七年级数学下册第四章三角形4用尺规作三角形直角三角形全等的判定、尺规作图、测距离试题北师大版

尺规作三角形与三角形全等的应用讲义

4.5 利用三角形全等测距离(分层练习)(解析版)

利用三角形全等测距离（教案）

《第四章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学北师大版12七年级下册

《第一章5利用三角形全等测距离》作业设计方案-初中数学鲁教版五四制12七年级上册

第四章三角形利用三角形全等测距离

用尺规作三角形利用三角形全等测距离