(线性代数)矩阵秩的8大性质、重要定理以及关系
线性代数矩阵的秩及其求法课件
一、矩阵wenku.baidu.com秩的概念 1. k 阶子式
定义1 设 A aij mn 在A中任取k 行k 列交叉
处元素按原相对位置组成的 k (1 k minm, n)
阶行列式，称为A的一个k 阶子式。
例如
1 2 3 1
设 A 4 6
5
4
，共有C32
C
2 4
18
1 0 1 1
例5
设A
1 3
1
1 1
2 2 ,
且R（A）
2，求,
5 3 6
1 A 3
1
1 1
2 1 2 0
1
3
1 4
2 4
5 3 6 0 8 5 4
1 1 1 2
0 3 4 4 0 5 1 0
R(A) 2, 5 0, 1 0
5, 1
三、满秩矩阵 定义3 A 为 n 阶方阵时，
于行阶梯矩阵。其秩等于它的非零行的行数，即为 RA.
所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。
例4
1 A 2
0 1
2 3
4 6
求 RA.
1 1 1 2
1
解
A
rr32 2rr11
0
0
0 1 1
2 1 1
24 2
1 0 0
线性代数§3.3矩阵的秩
二、矩阵秩的求法
因为任何矩阵Amn, 总可以经过有限次初等行变 换把它们变为行阶梯形矩阵. 问题: 经过变换矩阵的秩改变吗? 定理1: 若A B, 则 R(A) = R(B). 证: 先证明: 若A经过一次初等行变换变为B, 则R(A)=R(B). 设R(A)=r, 且A的某个r 阶子式Dr 0. ri r j ri k 当 A B 或 A B 时, 则在B中总能找到与Dr 相对应的子式Dr . 由于 Dr = Dr , 或 Dr = –Dr , 或 Dr = kDr . 因此Dr 0, 从而R(B) r .
§3.3 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
由上节讨论知: 任何矩阵Amn, 总可以经过有限次 初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵. 行阶梯形矩阵中非零行的行数, 也就是标准形矩阵中 的数字r 是唯一确定的. 它是矩阵理论中非常重要的数 量关系之一——矩阵的秩. 定义: 在mn矩阵A中任取 k 行 k 列( km, kn ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A 的k阶子式. k C k 个. mn矩阵A的k阶子式共有 C m n
又由于B也可以经过一次初等行变换变为A, 因此有, R(A) R(B). 从而, A经过一次初等行变换变为B, 则R(A)=R(B). 经一次初等行变换矩阵的秩不变, 即可知经有限 次初等行变换矩阵的秩仍不变. 设A经过初等列变换变为B. 则AT经过初等行变换变为BT. 故, R(AT)=R(BT). R(A) = R(AT) = R(BT) = R(B). 因而有: 综上所述, 若A经过有限次初等变换变为B, 即 A B, 则 R(A) = R(B). 证毕 初等变换求矩阵秩的方法: 用初等行变换把矩阵 变成为行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数 就是矩阵的秩.
矩阵的秩
第一章 矩阵的秩
矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.
1 矩阵的秩的定义及简单的公式
1.1 矩阵的秩的定义
定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.
定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。
定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R
1.2 矩阵的秩的几个简单性质
性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0
性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+
性质5 ()()T
A rank A rank =
1.3矩阵秩的求法
（1）定义法
找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法
线性代数电子课件 第十三讲 矩阵的秩
解
1
3 2 0,
计算A的3阶子式，
02
1 3 2 1 3 2 3 2 2 1 2 2
0 2 1 00, 2 3 20, 1 3 00, 1 3 0,
2 0 1 2 0 5 0 1 5 2 1 5
0.
RA 2.
另解
对矩阵
A
1 0
3 2
2 1
2 3
做初等变换，
2 0 1 5
若Dˆ r 0, 则 Dr Dr 0,也有 R(B) r. 若A经一次初等行变换变为B，则 R( A) R(B).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) R( A).
因此 R( A) R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
线性代数电子课件
第十三讲 矩阵的秩
• 矩阵秩的定义 • 初等变换与矩阵的秩 • 再论矩阵的等价标准形 • 等价标准形应用举例 • 小结
一、矩阵秩的定义
任何矩阵 Amn , 总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的. 矩阵的秩 定义1 在 m n 矩阵 A中任取 k 行 k 列（k m, k n），位于这些行列交叉处的个 k 2 元素,不改 变它们在 A中所处的位置次序而得的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.
线性代数重要公式定理大全
1、行列式
1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；
2. 代数余子式的性质：
①、ij A 和ij a 的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；
3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij
M A A M ++=-=-
4. 设n 行列式D ：
将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2
1(1)
n n D D -=-；(1)2
2(1)
n n D D -=-
将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则；
将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；
将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =；
5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2
(1)
n n -⨯ -；
③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积；
④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2
(1)
n n -⨯ -；
⑤、拉普拉斯展开式：
A O A C A B
C
B
O B
=
=、
(1)m n C A
O A
A B B O
B C
=
=-g
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1
(1)n
n
k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；
7. 证明0A =的方法：
①、A A =-；
②、反证法；
③、构造齐次方程组0
线性代数 矩阵的秩
在 A 中， A的 3 阶子式只有一个 A ，
且 A 0，
又A的一个二阶子式
R( A) 2.
1 2 2 3
0.
2、用初等变换
初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0 6 1 3 2 3 例3 设 A 求矩阵 A 的 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
定理3 （1）若矩阵A经过有限次初等行变换变成 矩阵B，则A的行向量组与B的行向量组等价；并 且A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量有相 同的线性相关性。 （2）若矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B， 则A的列向量组与B的列向量组等价；并且A的任 意k个行向量与B中对应的k个行向量有相同的线 性相关性。 （3） 若 A ~ B, 则 R(A) R(B ).
~ ~ ~ 解 分析： B 的行阶梯形矩阵为 B ( A, b ), 设 ~ 则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵， ~ ~ ~ 故从 B ( A, b ) 中可同时看出 R( A) 及 R( B ).
1 2 2 1 0 2 4 8 B 2 4 2 3 3 6 0 6 1 2 0 0 0 0 0 0
定理2 设 Am p , B pn 是两个矩阵，且 Cmn Ams Bsn 则 R(C ) min{ R( A), R( B)}
线性代数第1章第7节矩阵的秩
am1 am 2
存在一个k 阶子式不为零，并且所有的k+1阶子式 全为零，则称A的秩为k，记作r(A)=k． 即矩阵A的秩r(A)是A的一切非零子式的最高阶 数． 显然r(A)≤min(m,n)．
r ( A) 1. 不合题意．
14
1 0 1 例：已知三阶方阵 A 2 k 1 1 2 1 阵，且r(AB)=1，则k = 3 ．
B是秩为2的三阶方 ,
性质：设B是任一m×n矩阵，而A 是m（或n）阶满秩 解： 阵，则必有r(AB)=r(B)或r(BA)=r(B)． 若A是三阶满秩矩阵，则有r(AB)=r(B)=2，这与题设矛盾． 故| A |=0．
0 0 0 6 2 1 2 1 0 2 0 0 2 2 1 0 0 0 3 1
r 2r4 1
0 0 0 0 0 1 2 1 0 2 0 0 2 2 1 0 0 0 3 1
11
6 6 0 2 化为梯矩阵，并求r(A)． 2 3 3 4 6 2 0 2 2 1 3 2
解：
A
r1 2 r2 r3 2 r2 r4 3r2
0 0 0 1 2 1 0 0 2 0 0 6
线性代数PPT课件：矩阵 第7节 矩阵秩的性质
例1 求下列矩阵的秩
3
A 1
4
2 2 4
1 3 2
1 2 3
,
B
1 0 0 0
1 2 0 0
0 3 0 0
5 2 3 0
2
1
5 0
求秩模型
从例 1 可知, 对于一般的矩阵, 当行数与列数 较大时, 按定义求秩的计算量很大. 然而对于矩阵 B, 它的秩就等于非零行的行数, 一看便知毋须计算. 下面我们来探讨求矩阵秩的有效方法.
2.7.2 定义
定义2.7.1 在 矩阵 A 中, 任取 k 行与 k 列
( k m, k n ), 位于这些行列交叉处的 k2 个元
素，不改变它们在 Ａ中所处的位置次序而得到的
k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式．
m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
C
kmC
k n
个．
定义2.7.2 设在矩阵 Ａ 中有一个不等于 0 的 r
2.7.3 用矩阵的初等行变换求秩
1.行阶梯形矩阵的定义 定义2.7.3 行阶梯形矩阵是指满足下列两个
条件的矩阵： (1) 矩阵的零行（元素全为零的行）全部位于
非零行的下方； (2) 各个非零行的左起第一个非零元素的列序
数由上至下严格递增．
如
线性代数重要知识点总结
线性代数
N阶行列式
定理1：任意一个排列经过对换后，其奇偶性改变。
推论：奇排列变成自然数顺序排列的对换次数为奇数，偶排列变成自然数顺序排列的对换次数为偶数。
定理2：n个自然数（n-1）共有n!个n级排列，其中奇偶排列各占一半。
行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等。
性质2：交换行列式的两行（列），行列式变号。
*
注2：交换i,j两列，记为ri↔ri（ci↔cj）。
推论1：如果行列式中有两行（列）的对应元素相同，那么该行列式必为零。
性质3：用数k乘行列式的某一行（列），等于用k乘此行列式。
注3：第i行（列）乘以k，记为ri×k（ci×k）。
推论2：行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
推论3：在一个行列式中，如果有两行（列）元素成比例，则这个行列式必等于零。
性质4：如果将行列式的某一行（列）的每个元素都改写成两个数的和，则此行列式可写为两个行列式的和，且这两个行列式分别为所在行（列）对应位置的元素，其它元素不变。
#
注4：上述结果可推广到有限个数和的情形。
性质5：将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k后加到另一个行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。
注5：以数k乘第j行加到第i行上，记作ri+krj；以数k乘第j列加到第i列上，记作ci+kcj。
行列式按行（列）展开
余子式：Mij 代数余子式：Aij=（-1）i+j Mij
引理：一个n阶行列式D,若其中第i行所有元素除aij外都为0，则该行列式等于aij 与它代数余子式的乘积，即
D=aijAij
[
定理：行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。
线性代数矩阵的秩
例3
设A为n阶可逆矩阵，B为n ×m矩阵，证明
r ( AB ) r ( B)
证明 因为A可逆，所以A可表示成一些初等矩阵之积 即 于是
存在初等矩阵 P1 , Ps ,
A P1 P2 Ps
使
AB P1 P2 Ps B
即AB是B经过S次初等变换后得到的， 由定理2.6，故 r ( AB ) r ( B).
1 A 0 2 2 1 4 3 2 6 0 1 0
1 2 3 6
1 3 2 6 0 1 0 0
3 阶子式： 0
2
2 阶子式：
0
1 0
0 1
1
模式二 一、基本概念 1、 k 阶子式 定义 在 m n 矩阵 A中, 任取 k 行 k 列， 位于这些 行与列交叉处的元素， 保持原来的位置不变而构成的 k 阶行列式，称为 A 的一个 k 阶子式.
1 a 1
1 1 a
1 1 1 1 a 1
求 r( A)
解： A
a 1 1
1 a 1
[( n 1) a ]
1 1 a
[( n 1) a ]
1 a 1 0
1 0 a 1
[(n 1) a](a 1)n1
A [(n 1) a](a 1)n1
a1i a2 i aii a mi
线性代数 矩阵的秩
当R(A)n2时 A中每个元素的代数余子式都为0 故A*O 从而R(A*)0
当R(A)n1时 |A|0 故有AA*|A|E0
由性质(8)， R(A)+ R(A*) n ,即R(A*) 1。又A是非零矩阵， 故R(A*)1。
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结束
铃
三、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法
❖几个简单结论
(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0 则R(A)s 若A中所 有t阶子式全为0 则R(A)t
(2)若A为mn矩阵 则0R(A)min{m n}
(3)R(AT)R(A)
(4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 R(A)n 当|A|0时
R(A)n 可逆矩阵又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为
❖k阶子式 在mn矩阵A中 任取k行与k列(km kn) 位于这些行列
交叉处的k2个元素 不改变它们在A中所处的位置次序而得的 k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式
例如
A
1 2 2
1 1 3
2 1 1 1 1 1
4 2 2
3 6 9 7 9
D
因为A的最高阶非零子式总是(A B)的非零子式 所以 R(A)R(A B) 同理有R(B)R(A B) 两式合起来 即为
线性代数：矩阵的秩
∴ B 的所有 4 阶子式全为零 .
2 1 3 而 0 3 2 ≠ 0, 0 0 4
∴ r ( B ) = 3.
1 例3 已知 A = 0 2 1 3 = 2 ≠ 0, 解 Q 0 2
3 2 2 2 1 3 ,求该矩阵的秩. 求该矩阵的秩. 0 1 5
1 2 0 0 0 0 0 0
2 1 2 1 0 0 0 0
1 0 5 1
r3 ÷ 5
r4 r3
2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
∴ r ( A ) = 2, r ( B ) = 3.
三,矩阵秩的不等式
定理1:r ( AB ) ≤ min{ r ( A), r ( B )}.
定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 阶子式( 式 D,且所有 r + 1 阶子式(如果存在的话 )全等 的最高阶非零子式, 于 0,那末 D 称为矩阵 A的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩 的秩, 等于零 . m × n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数 .
T
(4)n阶矩阵 A,r ( A) = n A为可逆阵 为满秩矩阵. A ≠ 0 A为满秩矩阵.
(5)若A有一个 r阶子式不等于零,则 r ( A) ≥ r ; 阶子式不等于零, 阶子式为零, 若A的所有 r + 1阶子式为零,则 r ( A) ≤ r.
线性代数矩阵的秩
此时Ax=0的解空间为
S k1 X1 k2 X 2
k1, k2 ,
kt X t | k1, k2 ,
, kt R
称 k1 X1 k2 X 2 kt X t 为Ax=0的通解，其中
, kt 是任意实数.
显然，求Ax=0的基础解系的问题可转 化为求A的零空间的一组基.
则B的前三行构成RowA的一组基:
1,3, 5,1,5 , 0,1, 2,2, 7 , 0,0,0, 4,20.
注意到B的主元位于第1、2、4列，因此A的 第1、2、4列构成ColA的一组基：
2 5 0 1 3 1 , , . 3 11 7 1 7 5
线性方程组的有解条件及解的结构 定理4.6.5 设A是m×n矩阵，则齐次线性方 程组Ax=0有非零解的充分必要条件为 rA n.
证明：由第一章中的存在唯一性定理，有以下事实： 齐次线性方程组Ax=0有非零解当且仅当方程组至 少存在一个自由变量. 而有自由变量相当于dimNulA>0，由秩定理，即
2 1 0 3 例4.6.2 考虑 B 0 0 0 0
0 3 2 1 2 5 0 4 3 0 0 0
解： B是一个行阶梯形矩阵，有3个非零行， 所以B的所有四阶子式全为零. 而