第3节条件概率讲解

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概率论与数理统计第3讲

19
例4 一袋中有a个白球和b个红球. 现依次不放回地从袋中取两球. 试求两次均取到白球的概率. 解记 Ai={第i次取到白球} (i=1,2), 要求P(A1A2). 显然 a a −1 P ( A1 ) = , P ( A2 | A1 ) = , a+b a + b −1 因此
a a −1 P ( A1 A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) = a + b a + b −1
3
一般地, 对于A,B两个事件, P(A)>0, 在事件A发生的条件下事件B发生的概率称为条件概率条件概率, 条件概率记为P(B|A).
4
例1 一个家庭中有两个小孩, 已知其中一个是女孩, 问另一个也是女孩的概率是多少(假定男生女生是等可能的)? 解由题意, 样本空间为 Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)} A表示事件"其中一个是女孩", B表示事件"两个都是女孩", 则有 A={(男,女),(女,男),(女,女)} B={(女,女)} 由于事件A已经发生, 所以这时试验的所有可能结果只有三种, 而事件B包含的基本事件只占其中的一种, 所以有P(B|A)=1/3.
8
条件概率意味着样本空间的压缩或者可以认为是基本事件的减少而导致的试验. 以事件A为条件的条件概率, 意味着在试验中将A提升为必然事件.

概率论第三章第3,4节条件分布,独立性

F ( x, y ) F ( x, y ) lim 0 F ( y ) F ( y ) Y Y

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第三章随机变量及其分布
FX |Y ( x | y )
x

f ( u, y ) du, fY ( y)
§3条件分布
(
)
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第三章随机变量及其分布
又随机变量 Y 的边缘密度函数为
fY ( y ) 1 2 2 e
( y 2 )2
2 2 2
§3条件分布
(
1
y )
f ( x， y ) f X Y (x y ) fY ( y)
因此，对任意的 y，f Y ( y ) 0，
自然地引出如下定义：
P ( AB) P( A | B) P( B)
§3条件分布
定义：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定
的 j , 若P{Y= yj }>0, 则称
P{ X x i | Y y j }
P{ X x i , Y y j } P{Y y j }

1 f ( x, y) , x y x, f ( y | x ) 当0 x 1, Y | X 2x f X ( x) 其它。 0,

条件概率》教学设计

教学设计：条件概率

设计者：___，___

教材：普通高中课程标准实验教材《数学选修2—3》（人教B版）

一、教学内容分析

本节课的主要内容是条件概率。概率是当今社会人们的必备常识，也是高中数学非常重要的知识。新课标教材采用“螺旋式上升”的教学方式，高中的概率内容分别在必修3和选修2—3中安排。必修3中的概率教学核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，了解互斥事件的加法公式、几何概型，重点是理解和应用古典概型。选修2—3的内容是在必修3的基础上进一步深入和扩展，研究离散型随机变量及其分布列，研究条件概率、事件的独立性，研究离散型随机变量的数字特征等。条件概率就是其中的一节，它与古典概型密切相关，又影响着对事件独立性的理解。本节课时长为一小时。

条件概率有着比较实际的应用，课标要求重在理解概念，会求解一些简单的条件概率问题。条件概率中的两个事件是相互影响的，要带领学生弄清楚“事件A发生”、“事件A、B都

发生”和“在事件A发生的条件下事件B发生”的概率之间的关系，会求解一些比较简单的条件概率问题。本节条件概率研究好了，对下一节事件的独立性的研究有很大帮助。

二、学生情况分析

学生无论是在日常生活中还是在小学、初中、高中研究中，都接触过概率问题，特别是在高中必修3中已经研究了概率的概念、古典概型等问题，具备一定的概率基础。学生研究本节课可能遇到的困难就是对“条件”的理解，所以要帮助学生理解增加了“在……发生的条件下”对概率的影响，以及正确计算条件概率。

我设计本节课所面对的学生是区里中等偏上的学生，学生的研究惯、基础较好，但主动性、思维灵活性欠缺。结合本节课的教学内容和学生的情况，我设计了两个实际问题引入，从两个问题的解决中发现条件概率问题和解决条件概率的方法；

概率论与统计第三章第三节条件分布

给定Y ＝yi 条件下X 的条件分布函数为
F ( x | y j ) P( X xi | Y y j ) pi| j
xi x
xi x
给定X ＝xi 条件下Y 的条件分布函数为
F ( y | xi ) P(Y y j | X xi ) p j|i
yjy
yjy
若(X , Y) 是二维连续型随机变量, 对任意x, y 有P{ X＝x }=0,
ey , y 0 ,
0 , y 0,
fX (x)
例2 设随机变量(X, Y) 的联合密度为
f
(
x,
y)
8 xy 2
,
0,
0 x y 1, 其他,
求条件密度f ( x | y)和f ( y | x)。
解：f X ( x)
f (x,
y)dy
1 x
2
8
xy
2
dy
0 ,
,
0 x 其他,
1,
8( x x3 ) / 3 0 x 1
条件分布的定义表明，二维离散随机变量(X, Y) 的联合分布不但确定了其边缘分布，而且也确定了其条件分布；反过来
如果知道了(X, Y) 关于X 的边缘分布及X ＝xi条件下Y 的条件分布(i =1,2,…), 则 (X, Y) 的联合分布pij (i、j =1,2,…) 亦被确定下来．

第三节条件概率及相关公式

练习1:
有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，个红有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红乙袋中有两个红球，一个白球．球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，搅匀后再从乙袋中任取一球， 1)问此球是红球的概率？问此球是红球的概率？问此球是红球的概率 2)若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？
解: 求P ( A ) 1)
求P ( A ) 和P ( A B ) .
2) 求 P ( A B )
A = {( 正,反 ) , (反,正 )}
Ω= Ω {( 正,正 ) , (反,反 ) , ( 正,反 ) , (反,正 )}
⇒ 2 1 P ( A) = = 4 2
B = {( 正,正 ) , ( 正,反 ) , (反,正 )}
设袋中有个白球，个红球，例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任抽取两次，意抽取两次，每次取一个取后不放回. 每次取一个，取后不放回. （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球已知第一次取到红球，的概率; 的概率; （2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球
从中连续取球四次,每次取一球,取后不放回.

2021版新高考数学：节n次独立重复试验与二项分布含答案

A ．12

B ．512

C ．14

D ．16

B [因为两人加工成一等品的概率分别为23和3

4、且相互独立、所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P ＝23×14＋13×34＝5

12.]

3．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题、则在第1次抽到文科题的条件下、第2次抽到理科题的概率为( )

A ．12

B ．25

C ．35

D ．34

D [根据题意、在第1次抽到文科题后、还剩4道题、其中有3道理科题；则第2次抽到理科题的概率P ＝3

4、故选D.]

4．一批产品的二等品率为0.02、从这批产品中每次随机抽取一件、有放回地抽取100次、X 表示抽到的二等品的件数、则X 服从二项分布、记作________．

X ～B (100、0.02) [根据题意、X ～B (100、0.02).]

(对应学生用书第199页)

考点1 条件概率

公式、得P(B|A)＝P（AB）

P（A）

＝

法二(缩小样本空间法)：事件A包括的基本事件：(1、3)、(1、5)、(3、5)、(2、4)共4个．

事件AB发生的结果只有(2、4)一种情形、即n(AB)＝1.

故由古典概型概率P(B|A)＝n（AB）

n（A）

＝

4.]

2．(20xx·运城模拟)有一批种子的发芽率为0.9、出芽后的幼苗成活率为

0.8、在这批种子中、随机抽取一粒、则这粒种子能成长为幼苗的概率为

________．

0.72[设“种子发芽”为事件A、“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽、又成活为幼苗).出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8、P(A)＝0.9、根据条件概率公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.9＝0.72、即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.]

第10章第3节事件的相互独立性及条件概率课件-山东省滕州市第一中学2022届高考数学一轮复习

5
C.9
2
D.3
解记A＝“第一次摸出的是次品”, B＝“第二次摸到的是正品”,由题意知，4

AB
15 2
P

4 2
4
6
4

P(A)＝10＝5，PAB＝10×9＝15，则 P BA＝ PA ＝ 2 ＝3.
5
(2)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一
一等品，求取走的也是一等品的概率．
讲
课
人
：
邢
启
强
13
练习
1.某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关,第一关与第二关的过关率分别
2 3
为3，4.只有通过前一关才能进入下一关,每一关都有两次闯关机会,且是否通
过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进入第三关的概率为 C
1
2
5
1
A.2
B.3
C.6
D.12
1 3 1 4 41
所以 P(B)＝P(A 甲)P(B|A 甲)＋P(A 乙)P(B|A 乙)＝2×5＋2×7＝70，
41
因此随机取一只袋子，再从该袋中取一球，该球是红球的概率是70.
12
例4.一纸箱中原来装有10件产品，其中一等品5件，二等品3件，三等品2件，

条件概率说课稿

《条件概率》说课稿

一、教材分析

概率是高中数学的新增内容，它自成体系，是数学中一个较独立的学科分支，与以往所学的数学知识有很大的区别，但与人们的日常生活密切相关，而且对思维能力有较高要求，在高考中占有重要地位.

本节内容在本章节的地位：《条件概率》（第一课时）是高中数学选修2－3第二章第二节的内容，它在教材中起着承前启后的作用，一方面，可以巩固古典概型概率的计算方法，另一方面，为研究相互独立事件打下良好的基础.

教学重点、难点和关键：教学重点是条件概率的定义、计算公式的推导及条件概率的计算；难点是条件概率的判断与计算；教学关键是数学建模.

二、教学目标

根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定如下教学目标：

知识与能力目标——掌握条件概率的定义及计算方法

过程与方法目标——归纳、类比的方法和建模思想

情感态度与价值观目标——培养学生思维的灵活性及知识的迁移能力

根据这两年高考改卷的反馈信息，考生在概率题的书面表达上丢分的情况是很普遍的，因此本节课还想达到：

表达能力目标——培养学生书面表达的严谨和简洁

个性品质目标——培养学生克服“心欲通而不能，口欲讲而不会”的困难，

提高探索问题的积极性和学习数学的兴趣

三、教法

在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然” .为了体现以生为本，遵循学生的认知规律，坚持以教师为主导，学生为主体的教学思想，体现循序渐进的教学原则，我采用引导发现法、分析讨论法的教学方法，通过提问、启发、设问、归纳、讲练结合、适时点拨的方法，让学生的思维活动在老师的引导下层层展开，让学生大胆参与课堂教学，使他们“听”有所“思”，“练”有所“获”，使传授知识与培养能力融为一体.

条件概率与概率的三个基本公式

§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
条件概率是概率论的基本概念之一，同时又是计算概率的重要工具．概率的三个基本公式（乘法公式、全概率公式
和贝叶斯 (Bayes) 公式）都建立在条件概率的概念之上．本
节重要学习以下内容：一、条件概率
二、乘法公式
三、全概率公式
四、贝叶斯（Bayes）公式
第一章随机事件与概率 1
注意 ① P(B) 表示“事件 B 发生”的概率，计算时，是
在整个样本空间上考察事件 B 发生的概率；②而 P(B | A)
为已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，计算时，实际上仅限于在事件 A 发生的范围内，来考察事件 B 的概率．一般地， P(B | A) P(B) ．
公式（1.5）和（1.6）都称为两个事件积的概率的乘法公式．这两个乘法公式还可推广到有限个事件积的概率的情形：
设 A1, A2 , , An 是任意 n 个事件，且 P( A1A2 An ) 0 ，则 P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 ) . P( An | A1A2 An1)
算公式就是条件概率的定义．
第一章随机事件与概率 4
§1.4 条件概率与概率的三个基本公式
定义 1.3 设 A, B 是两个事件，且 P( A) 0 ，则称
P(B | A) P( AB) ． P( A)

第3课次古典几何概型、条件概率

P( B)
累计 12 分钟
总结：在“样本点个数有限”且“每一个样本点等可能发生”时，事件的概率就等于该事件所含样本点个数与总样本点个数之比。具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型： (i) 试验的样本空间是个有限集，不妨记作时间:4 分钟
{e1 , e2 ,, en } ;
P( A)
1 Ca (a b 1)! a . (a b)! a b
累计 32 分钟
注：此结果与 k 无关，即每次摸到红球的概率都是一样的，它可以理解为抽签模型或抓阄模型，每人摸到利签（红球）的概率相等，因此抽签（抓阄）不必争先恐后。最后需要注意的问题： 1）在应用古典概型时必须注意 “等可能性” 的条件。 “等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的。 2）在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏。
P( A)
特点累计 37 分钟
m( A) m()
(1)试验中所有可能出现的样本点有无限多个; (2)每个样本点出现的可能性相等。
例 “相会问题” 时间 13 分钟甲乙两人相约在 8 点至 8 点 30 分之间于某地见面，先到者等待 20 分钟后可以离去，求两人能会面的概率。解：设 A={两人能会面},甲、乙分别在 8 点 x 分和 8 点 y 分到达，则： 0 x 30,0 y 30.

第三节条件分布

f ( x, y) 为例. 为例定义的含义: 定义的含义以 f X|Y ( x | y) = fY ( y)
P{X ≤ xY = y} = lim P{X ≤ x y < Y ≤ y + ε}
P{X ≤ x, y < Y ≤ y + ε} P{X ≤ x y < Y ≤ y + ε} = P{y < Y ≤ y + ε}
fY ( y +θ2ε )
fY ( y)
的概率密度是: 例3: 设(X,Y)的概率密度是的概率密度是
概率论
e−x ye− y , 0 < x < ∞, 0 < y < ∞ f ( x, y) = y 0 , 其它求: P{ X > 1 Y = y}
解: P{ X > 1 Y = y} =
∑P{ X = xi i =1
∞
{
}
Y = yj = 1
}
把一枚均匀硬币抛掷三次, 例1: 把一枚均匀硬币抛掷三次为三次抛掷中正面出现的次数, 设 X为三次抛掷中正面出现的次数为三次抛掷中正面出现的次数为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值
n次射击击中
击中
m 1 2 ………………. n-1 n
概率论

条件概率教学设计

第1课时条件概率

（一）教学内容

条件概率，概率的乘法公式。

（二）教学目标

结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式，了解条件概率与独立性的关系；能计算简单随机事件的条件概率。

（三）教学重点、难点

重点：条件概率的概念及计算，概率的乘法公式及其应用。

难点：对条件概率中“条件”的正确理解，条件概率与无条件概率的比较。（四）教学过程设计

1.复习回顾

问题1：什么是并事件？

问题2：什么是交事件？

问题3：什么是事件互斥？

问题4：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)=

2.概念引入

问题1.某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示，在班级里随机选一人做代表。

（1）选到男生的概率是多大？

（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？

在问题（1）中随机选择一人作代表，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点。用A表示事件“选到团员”，B表示事件“选到男生”，根据表中的数据可以得出n(Ω)=45, n(A)=30, n(B)=25.根据古典概型知识可知选到男生的

概率P(B)=n(B)

n(Ω)=25

对于问题（2）引导学生分析“在选到团员的条件下,选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A)。此时相当于以A为样本空间来考虑B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，

包含了样本点数n(AB)=16。可通过表格直观表示。根据古典概型知识可知：

P(B|A)=n(AB)

n(A)=16

问题2.假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么

概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第1章概率论的基本概念

（Pearson）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表1-1所示.
表1-1
实验者德·摩根蒲丰 K·皮尔逊
n 2048 4040 12000
k 1061 2048 6019
f 0.5181 0.5069 0.5016
K·皮尔逊
24000
12012
0.5006
概率论与数理统计
2. 概率的公理化定义定义1.3
对于任意的事件A，B只有如下分解：
概率论与数理统计
AB

A B
AB

AB
A B

AB
A B

AB
A B

概率论与数理统计
A
AB
B

A
A

概率论与数理统计
事件的运算律
（1）交换律：A∪B=A∪B，AB=BA （2）结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）
（A∩B）∩C =A∩（B∩C）
不可能事件不含任何样本点，它就是空集。
概率论与数理统计
3. 事件间的关系及其运算
10 A B
表示事件A包含于事件B或称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生.
20 A B 表示事件A与事件B中至少有一个事件发生,称此事件为事件A与事
件B的和（并）事件,或记为A+B.

第三节条件概率事件的独立性分解

P
Ai Aj Ak
PAi P
Aj
PAk
1 i j k n
P
Ai1 Ai2 Aim
P Ai1 P Ai2 P( Ain ) 1 i1 i2 im n
P
A1
A2
An
P A1
P A2
P An
则称 A1， A2，， An 这 n个随机事件相互独立．
P( A)
P(A)>0
2)从加入条件后改变了的情况去算
例：B={掷出2点}，A={掷出偶数点} 掷骰子
P(B|A）= 1 3
A发生后的缩减样本空间所含样本点总数
在缩减样本空间中B所含样本点
个数
例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？
n个事件的相互独立，则有
1、P(A1 An ) P( A1 )P( An )
2、P( A1 A2 An ) 1 P( A1 A2An )
特别地，如果
1 P( A1)P( A2 )P( An )
第一章随机事件与概率
§1.3 条件概率事件的独立性本节要点： ▪ 条件概率 ▪ 乘法公式 ▪ 事件的独立性
一、条件概率
例1、掷一颗骰子，观察出现的点数，若已知出现的是奇数点，求点数大于1的概率。解：设A={ 出现奇数点 }

第3节条件概率与独立性

高中数学第2章概率 2.3.1 条件概率讲义苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学教案

2.3.1 条件概率

学习目标

核心素养

1.了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式．(重点)

2．利用条件概率计算公式解决一些简单的实际问题．(难点)

通过条件概率的学习，提升数学抽象素养.

1．条件概率

一般地，对于两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为事件

B 发生的条件下事件A 的条件概率，记为P (A |B )．若A ，B 互斥，则P (A |B )＝P (B |A )＝0.

2．条件概率公式

(1)一般地，若P (B )＞0，则事件B 发生的条件下A 发生的条件概率是P (A |B )＝P (AB )

P (B )

. (2)乘法公式：P (AB )＝P (A |B )P (B )．思考1：P (A |B )＝P (B |A )成立吗？

[提示] 不一定成立．一般情况下P (A |B )≠P (B |A )，只有P (A )＝P (B )时才有P (A |B )＝

P (B |A )．

思考2：若P (A )≠0，则P (A ∩B )＝P (B |A )·P (A )，这种说法正确吗？ [提示] 正确．由P (B |A )＝

P (A ∩B )

P (A )

得P (A ∩B )＝P (B |A )·P (A )．

1．把一枚骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )

A.1

B.12

C.13

D.1

B [设事件A ：第一次抛出的是偶数点；事件B ：第二次抛出的是偶数点，则P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝12×