向量与三角交汇的全面解析

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高考数学复习点拨向量与三角交汇的全面解析新人教A版

2
2
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2
（ 1） a·b及 a b ；
（ 2）若 f (x) a·b 2 a b 的最小值是
3 ，求的值．
2
解析：（ 1） a·b
3x x cos ·cos
3x x sin ·sin
cos2 x ；
22
22
ab
2
3x
x
cos cos
2
2
2
3x
x
sin sin
2
2
2 2cos2 x 2 cos2 x ．
② 当 0 ≤ ≤ 1 时，当且仅当 cosx
时， f (x) 取得最小值
12Βιβλιοθήκη 2，由已知 ③当
2
12
3 ，解得 2
1时，当且仅当 cosx
1． 2 1时， f (x) 取得最小值 1 4 ，
由已知得 1 4
3 ，解得 2
5 ，这与 8
1 相矛盾．
综上所述，
1 即为所求．
2
点评：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，运用了分类讨论
向量与三角交汇的全面解析
当今数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性．向量是高中新增内容，
具有代数与几何形式的双重身份．它是新旧知识的一个重要的交汇点，是联系这些知识的桥
梁．因此，向量与三角的交汇是当今数学命题的必然趋势，下面举例说明．
一、向量与三角函数性质的交汇
例 1 已知向量 a cos 3x，sin 3x ， b cos x， sin x ，且 x 0，π ，求：
4cos AcosB 4sin AsinB 5cosAcosB 5sin AsinB ，即 9sin A·sin B cosAcosB 0 ．

专题一三角与向量的交汇题型分析及解题策略

专题一三角与向量的交汇题型分析及解题策略On January 11, 2021, study hard and make progress every day.专题一：三角与向量的交汇题型分析及解题策略命题趋向三角函数与平面的向量的综合主要体现为交汇型,在高考中,主要出现在解答题的第一个试题位置上,其难度中等偏下,分值一般为12分,交汇性主要体现在：三角函数恒等变换公式、性质与图象与平面的向量的数量积及平面向量的平行、垂直、夹角及模之间都有着不同程度的交汇,在高考中是一个热点.如08年安徽理科第5题5分,考查三角函数的对称性与向量平移、08年山东文第8题理第15题5分考查两角和与差与向量垂直、08福建文理第17题12分考查三角函数的求值与向量积、07的天津文理第15题4分考查正余弦定理与向量数量积等.根据2009年考纲预计在09年高考中解答题仍会涉及三角函数的基本恒等变换公式、诱导公式的运用、三角函数的图像和性质、向量的数量积、共线平行与垂直的充要条件条件．主要考查题型：1考查纯三角函数函数知识,即一般先通过三角恒等变换公式化简三角函数式,再求三角函数的值或研究三角函数的图象及性质；2考查三角函数与向量的交汇,一般是先利用向量知识建立三角函数关系式,再利用三角函数知识求解；3考查三角函数知识与解三角形的交汇,也就是将三角变换公式与正余弦定理交织在一起.考试要求1．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．了解余切、正割、余割的定义．掌握同角三角函数的基本关系式．掌握正弦、余弦的诱导公式．了解周期函数与最小正周期的意义．2．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．3．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．4．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asinωx+φ的简图,理解A,ω,φ的物理意义．5．掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形．6．掌握向量的加法和减法．掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件．7．了解平面向量的基本定理.理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算．8．掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件．9．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用．掌握平移公式．考点透视向量具有代数运算性与几何直观性的“双重身份”,即可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算,又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换.而三角函数是以“角”为自变量的函数,函数值体现为实数,因此平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系.同时在平面向量与三角函数的交汇处设计考题,其形式多样,解法灵活,极富思维性和挑战性.主要考点如下：1．考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2．考查三角函数的性质与图像,特别是y=Asinx+的性质和图像及其图像变换.3．考查平面向量的基本概念,向量的加减运算及几何意义,此类题一般难度不大,主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4．考查向量的坐标表示,向量的线性运算,并能正确地进行运算.5．考查平面向量的数量积及运算律包括坐标形式及非坐标形式,两向量平行与垂直的充要条件等问题.6．考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.典例分析题型一三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题,虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同,但它们实质是一样的,它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中.解答平移问题主要注意两个方面的确定：1平移的方向；2平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.例1把函数y＝sin2x的图象按向量错误!＝－错误!,－3平移后,得到函数y＝Asinωx＋A＞0,ω＞0,||＝错误!的图象,则和B的值依次为A．错误!,－3 B．错误!,3 C．错误!,－3 D．－错误!,3分析根据向量的坐标确定平行公式为错误!错误!,再代入已知解析式可得.还可以由向量的坐标得图象的两个平移过程,由此确定平移后的函数解析式,经对照即可作出选择.解析1由平移向量知向量平移公式错误!错误!,即错误!错误!,代入y＝sin2x得y＋3＝sin2x＋错误!,即到y＝sin2x＋错误!－3,由此知＝错误!,B＝－3,故选C.解析2由向量错误!＝－错误!,－3,知图象平移的两个过程,即将原函数的图象整体向左平移错误!个单位,再向下平移3个单位,由此可得函数的图象为y＝sin2x＋错误!－3,即y＝sin2x＋错误!－3,由此知＝错误!,B＝－3,故选C.点评此类题型将三角函数平移与向量平移有机地结合在一起,主要考查分析问题、解决问题的综合应用能力,同时考查方程的思想及转化的思想.本题解答的关键,也是易出错的地方是确定平移的方向及平移的大小.题型二三角函数与平面向量平行共线的综合此题型的解答一般是从向量平行共线条件入手,将向量问题转化为三角问题,然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简,或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强,有利于考查学生的基础掌握情况,因此在高考中常有考查.例2已知A、B、C为三个锐角,且A＋B＋C＝π.若向量错误!＝2－2sinA,cosA＋sinA与向量错误!＝cosA－sinA,1＋sinA是共线向量.Ⅰ求角A；Ⅱ求函数y＝2sin2B＋cos错误!的最大值.分析首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式,由于可求得A角的正弦值,再根据角的范围即可解决第Ⅰ小题；而第Ⅱ小题根据第Ⅰ小题的结果及A、B、C三个角的关系,结合三角民恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式,再根据B的范围求最值.解Ⅰ∵错误!、错误!共线,∴2－2sinA1＋sinA＝cosA＋sinAcosA－sinA,则sin2A＝错误!,又A为锐角,所以sinA＝错误!,则A＝错误!.Ⅱy＝2sin2B＋cos错误!＝2sin2B＋cos错误!＝2sin2B＋cos错误!－2B＝1－cos2B＋错误!cos2B＋错误!sin2B＝错误!sin2B－错误!cos2B＋1＝sin2B－错误!＋1.∵B∈0,错误!,∴2B－错误!∈－错误!,错误!,∴2B－错误!＝错误!,解得B＝错误!,y max ＝2.点评本题主要考查向量共线平行的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键：1利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题；2根据条件确定B角的范围.一般地,由于在三角函数中角是自变量,因此解决三角函数问题确定角的范围就显得至关重要了.题型三三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题,解答时与题型二的解法差不多,也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题,再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.例3已知向量错误!＝3sinα,cosα,错误!＝2sinα,5sinα－4cosα,α∈错误!,2π,且错误!⊥错误!．Ⅰ求tanα的值；Ⅱ求cos错误!＋错误!的值．分析第Ⅰ小题从向量垂直条件入手,建立关于α的三角方程,再利用同角三角函数的基本关系可求得tanα的值；第Ⅱ小题根据所求得的tanα的结果,利用二倍角公式求得tan错误!的值,再利用两角和与差的三角公式求得最后的结果．解Ⅰ∵错误!⊥错误!,∴错误!·错误!＝0．而错误!＝3sinα,cosα,错误!＝2sinα, 5sinα－4cosα,故错误!·错误!＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．由于cosα≠0,∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之,得tanα＝－错误!,或tanα＝错误!．∵α∈错误!,2π,tanα＜0,故tanα＝错误!舍去．∴tanα＝－错误!．Ⅱ∵α∈错误!,2π,∴错误!∈错误!,π．由tanα＝－错误!,求得tan错误!＝－错误!,tan错误!＝2舍去．∴sin错误!＝错误!,cos 错误!＝－错误!,∴cos错误!＋错误!＝cos错误!cos错误!－sin错误!sin错误!＝－错误!×错误!－错误!×错误!＝－错误!点评本题主要考查向量垂直的充要条件、同角三角函数的基本关系、二倍角公式及两角和与差的三角函数.同时本题两个小题的解答都涉及到角的范围的确定,再一次说明了在解答三角函数问题中确定角的范围的重要性.同时还可以看到第Ⅰ小题的解答中用到“弦化切”的思想方法,这是解决在一道试题中同时出现“切函数与弦函数”关系问题常用方法.题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|错误!|2＝错误!2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：1先进行向量运算,再代入向量的坐标进行求解；2先将向量的坐标代入向量的坐标,再利用向量的坐标运算进行求解.例3已知向量错误!＝cosα,sinα,错误!＝cosβ,sinβ,|错误!－错误!|＝错误!错误!.Ⅰ求cosα－β的值；Ⅱ若－错误!＜β＜0＜α＜错误!,且sinβ＝－错误!,求sinα的值.分析利用向量的模的计算与数量积的坐标运算可解决第Ⅰ小题；而第Ⅱ小题则可变角α＝α－β＋β,然后就须求sinα－β与cosβ即可.解Ⅰ∵|错误!－错误!|＝错误!错误!,∴错误!2－2错误!·错误!＋错误!2＝错误!,将向量错误!＝cosα,sinα,错误!＝cosβ,sinβ代入上式得12－2cosαcosβ＋sinαsinβ＋12＝错误!,∴cosα－β＝－错误!.Ⅱ∵－错误!＜β＜0＜α＜错误!,∴0＜α－β＜π,由cosα－β＝－错误!,得sinα－β＝错误!,又sinβ＝－错误!,∴cosβ＝错误!,∴sinα＝sinα－β＋β＝sinα－βcosβ＋cosα－βsinβ＝错误!.点评：本题主要考查向量的模、数量积的坐标运算、和角公式、同角三角函数的基本关系.本题解答中要注意两点：1化|错误!－错误!|为向量运算|错误!－错误!|2＝错误!－错误!2；2注意解α－β的范围.整个解答过程体现方程的思想及转化的思想.题型五三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：1三角函数与向量的积直接联系；2利用三角函数与向量的夹角交汇,达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化,再利用三角函数知识求解.例5设函数fx＝错误!·错误!.其中向量错误!＝m,cosx,错误!＝1＋sinx,1,x∈R,且f错误!＝2.Ⅰ求实数m的值；Ⅱ求函数fx的最小值.分析：利用向量内积公式的坐标形式,将题设条件中所涉及的向量内积转化为三角函数中的“数量关系”,从而,建立函数fx关系式,第Ⅰ小题直接利用条件f错误!＝2可以求得,而第Ⅱ小题利用三角函数函数的有界性就可以求解.解：Ⅰfx＝错误!·错误!＝m1＋sinx＋cosx,由f错误!＝2,得m1＋sin错误!＋cos错误!＝2,解得m＝1.Ⅱ由Ⅰ得fx＝sinx＋cosx＋1＝错误!sinx＋错误!＋1,当sinx＋错误!＝－1时,fx的最小值为1－错误!.点评：平面向量与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题,其解法都差不多,首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”,再利用三角函数的相关知识进行求解．六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的,说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标,要求根据向量的关系解答相关的问题.例6已知角A、B、C为△ABC的三个内角,其对边分别为a、b、c,若错误!＝－cos错误!,sin错误!,错误!＝cos错误!,sin错误!,a＝2错误!,且错误!·错误!＝错误!．Ⅰ若△ABC的面积S＝错误!,求b＋c的值．Ⅱ求b＋c的取值范围．分析第Ⅰ小题利用数量积公式建立关于角A的三角函数方程,再利用二倍角公式求得A角,然后通过三角形的面积公式及余弦定理建立关于b、c的方程组求取b＋c的值；第Ⅱ小题正弦定理及三角形内角和定理建立关于B的三角函数式,进而求得b＋c的范围.解Ⅰ∵错误!＝－cos错误!,sin错误!,错误!＝cos错误!,sin错误!,且错误!·错误!＝错误!,∴－cos2错误!＋sin2错误!＝错误!,即－cosA＝错误!,又A∈0,π,∴A＝错误!.又由S△ABC＝错误!bcsinA＝错误!,所以bc＝4,由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos错误!＝b2＋c2＋bc,∴16＝b＋c2,故b＋c＝4.Ⅱ由正弦定理得：错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝4,又B＋C＝－A＝错误!,∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin错误!－B＝4sinB＋错误!,∵0＜B＜错误!,则错误!＜B＋错误!＜错误!,则错误!＜sinB＋错误!≤1,即b＋c的取值范围是2错误!,4.点评本题解答主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理、余弦定理、面积公式、三角形内角和定理等.解答本题主要有两处要注意：第Ⅰ小题中求b＋c没有利用分别求出b、c的值为解,而是利用整体的思想,使问题得到简捷的解答；2第Ⅱ小题的求解中特别要注意确定角B的范围.专题训练一、选择题1．已知错误!＝cos40,sin40,错误!＝cos20,sin20,则错误!·错误!＝A．1 B．错误!C．错误!D．错误!2．将函数y＝2sin2x－错误!的图象按向量错误!,错误!平移后得到图象对应的解析式是A．2cos2x B．－2cos2x C．2sin2x D．－2sin2x3．已知△ABC中,错误!＝错误!,错误!＝错误!,若错误!·错误!＜0,则△ABC是A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．任意三角形4．设错误!＝错误!,sin,错误!＝cos,错误!,且错误!∥错误!,则锐角为A．30 B．45 C．60 D．755．已知错误!＝sinθ,错误!,错误!＝1,错误!,其中θ∈π,错误!,则一定有A．错误!∥错误!B．错误!⊥错误!C．错误!与错误!夹角为45°D．|错误!|＝|错误!| 6．已知向量错误!＝6,－4,错误!＝0,2,错误!＝错误!＋错误!,若C点在函数y＝sin错误!x 的图象上,实数＝A．错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!7．由向量把函数y＝sinx＋错误!的图象按向量错误!＝m,0m＞0平移所得的图象关于y 轴对称,则m的最小值为A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!8．设0≤θ≤2π时,已知两个向量错误!＝cosθ,sinθ,错误!＝2＋sinθ,2－cosθ,则向量错误!长度的最大值是A．错误!B．错误!C．3错误!D．2错误!9．若向量错误!＝cos,sin,错误!＝cos,sin,则错误!与错误!一定满足A．错误!与错误!的夹角等于－B．错误!⊥错误!C．错误!∥错误!D．错误!＋错误!⊥错误!－错误!10．已知向量错误!＝cos25,sin25,错误!＝sin20,cos20,若t是实数,且错误!＝错误!＋t错误!,则|错误!|的最小值为A．错误!B．1 C．错误!D．错误!11．O是平面上一定点,A、B、C是该平面上不共线的3个点,一动点P满足：错误!＝错误!＋错误!＋错误!,∈0,＋∞,则直线AP一定通过△ABC的A．外心B．内心C．重心D．垂心12．对于非零向量错误!我们可以用它与直角坐标轴的夹角,0≤≤,0≤≤来表示它的方向,称,为非零向量错误!的方向角,称cos,cos为向量错误!的方向余弦,则cos2＋cos2＝A．1 B．错误!C．错误!D．0二、填空题13．已知向量错误!＝sin,2cos,错误!＝错误!,－错误!.若错误!∥错误!,则sin2的值为____________．14．已知在△OABO为原点中,错误!＝2cos,2sin,错误!＝5cos,5sin,若错误!·错误!＝－5,则S△AOB的值为_____________.15．将函数fx＝tan2x＋错误!＋1按向量a平移得到奇函数g x,要使|a|最小,则a＝____________.16．已知向量错误!＝1,1向量错误!与向量错误!夹角为错误!,且错误!·错误!＝－1.则向量错误!＝__________．三、解答题17．在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若错误!·错误!＝错误!·错误!＝kk∈R.Ⅰ判断△ABC的形状；Ⅱ若c＝错误!,求k的值．18．已知向量错误!＝sinA,cosA,错误!＝错误!,－1,错误!·错误!＝1,且A为锐角.Ⅰ求角A 的大小；Ⅱ求函数fx＝cos2x＋4cosAsinxx∈R的值域．19．在△ABC中,A、B、C所对边的长分别为a、b、c,已知向量错误!＝1,2sinA,错误!＝sinA,1＋cosA,满足错误!∥错误!,b＋c＝错误!a.Ⅰ求A的大小；Ⅱ求sinB＋错误!的值．20．已知A、B、C的坐标分别为A4,0,B0,4,C3cosα,3sinα.Ⅰ若α∈－π,0,且|错误!|＝|错误!|,求角α的大小；Ⅱ若错误!⊥错误!,求错误!的值．21．△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c,错误!＝2b－c,a,错误!＝cosA,－cosC,且错误!⊥错误!．Ⅰ求角A的大小；Ⅱ当y＝2sin2B＋sin2B＋错误!取最大值时,求角B的大小.22．已知错误!＝cosx＋sinx,sinx,错误!＝cosx－sinx,2cosx,Ⅰ求证：向量错误!与向量错误!不可能平行；Ⅱ若fx＝错误!·错误!,且x∈－错误!,错误!时,求函数fx的最大值及最小值．专题训练参考答案一、选择题1．B解析：由数量积的坐标表示知错误!·错误!＝cos40sin20＋sin40cos20＝sin60＝错误!.2．D 解析y＝2sin2x－错误!→y＝2sin2x＋错误!－错误!＋错误!,即y＝－2sin2x.3．A 解析因为cos∠BAC＝错误!＝错误!＜0,∴∠BAC为钝角.4．B 解析由平行的充要条件得错误!×错误!－sincos＝0,sin2＝1,2＝90,＝45.5．B 解析错误!·错误!＝sinθ＋|sinθ|,∵θ∈π,错误!,∴|sinθ|＝－sinθ,∴错误!·错误!＝0,∴错误!⊥错误!．6．A 解析错误!＝错误!＋错误!＝6,－4＋2,代入y＝sin错误!x得,－4＋2＝sin错误!＝1,解得＝错误!.7．B 解析考虑把函数y＝sinx＋错误!的图象变换为y＝cosx的图象,而y＝sinx＋错误!＝cosx＋错误!,即把y＝cosx＋错误!的图象变换为y＝cosx的图象,只须向右平行错误!个单位,所以m＝错误!,故选B.8．C 解析|错误!|＝错误!＝错误!≤3错误!.9．D 解析错误!＋错误!＝cos＋cos,sin＋sin,错误!－错误!＝cos＋cos,sin－sin,∴错误!＋错误!·错误!－错误!＝cos2－cos2＋sin2－sin2＝0,∴错误!＋错误!⊥错误!－错误!．10．C 解析|错误!|2＝|错误!|2＋t2|错误!|2＋2t错误!·错误!＝1＋t2＋2tsin20cos25＋cos20sin25＝t2＋错误!t＋1＝t＋错误!2＋错误!,|错误!|错误!＝错误!,∴|错误!|min＝错误!.11．C 解析设BC的中点为D,则错误!＋错误!＝2错误!,又由错误!＝错误!＋错误!＋错误!,错误!＝2错误!,所以错误!与错误!共线,即有直线AP与直线AD重合,即直线AP一定通过△ABC的重心．12．A 解析设错误!＝x,y,x轴、y轴、z轴方向的单位向量分别为错误!＝1,0,错误!＝0,1,由向量知识得cos＝错误!＝错误!,cos＝错误!＝错误!,则cos2＋cos2＝1.二、填空题13．－错误!解析由错误!∥错误!,得－错误!sin＝2错误!cos,∴tan＝－4错误!,∴sin2＝错误!＝错误!＝－错误!．14．错误! 解析错误!·错误!＝－510coscos＋10sinsin＝－510cos－＝－5cos－＝－错误!,∴sin∠AOB＝错误!,又|错误!|＝2,|错误!|＝5,∴S△AOB＝错误!×2×5×错误!＝错误!．15．错误!,－1 解析要经过平移得到奇函数gx,应将函数fx＝tan2x＋错误!＋1的图象向下平移1个单位,再向右平移－错误!＋错误!k∈Z个单位．即应按照向量错误!＝－错误!＋错误!,－1 k∈Z进行平移．要使|a|最小,16．－1,0或0,－1 解析设错误!＝x,y,由错误!·错误!＝－1,有x＋y＝－1 ①,由错误!与错误!夹角为错误!,有错误!·错误!＝|错误!|·|错误!|cos 错误!,∴|错误!|＝1,则x2＋y2＝1 ②,由①②解得错误!错误!或错误!错误!∴即错误!＝－1,0或错误!＝0,－1 ．三、解答题17．解Ⅰ∵错误!·错误!＝bccosA,错误!·错误!＝cacosB,又错误!·错误!＝错误!·错误!,∴bccosA＝cacosB,∴由正弦定理,得sinBcosA＝sinAcosB,即sinAcosB－sinBcosA＝0,∴sinA－B＝0∵－π＜A－B＜π,∴A－B＝0,即A＝B,∴△ABC为等腰三角形.Ⅱ由Ⅰ知ba ,∴错误!·错误!＝bccosA＝bc·错误!＝错误!,∵c＝错误!,∴k＝1.18．解Ⅰ由题意得错误!·错误!＝错误!sinA－cosA＝1,2sinA－错误!＝1,sinA－错误!＝错误!,由A为锐角得A－错误!＝错误!,A＝错误!.Ⅱ由Ⅰ知cosA＝错误!,所以fx＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2sinx－错误!2＋错误!,因为x∈R,所以sinx∈－1,1,因此,当sinx＝错误!时,fx有最大值错误!．当sinx＝－1时,fx有最小值－3,所以所求函数fx的值域是－3,错误!．19．解Ⅰ由错误!∥错误!,得2sin2A－1－cosA＝0,即2cos2A＋cosA－1＝0,∴cosA＝错误!或cosA＝－1.∵A是△ABC内角,cosA＝－1舍去,∴A＝错误!.Ⅱ∵b＋c＝错误!a,由正弦定理,sinB＋sinC＝错误!sinA＝错误!,∵B＋C＝错误!,sinB＋sin错误!－B＝错误!,∴错误!cosB＋错误!sinB＝错误!,即sinB＋错误!＝错误!．20．解Ⅰ由已知得：错误!＝错误!,则sinα＝cosα,因为α∈－π,0,∴α＝－错误!.Ⅱ由3cosα－4·3cosα＋3sinα·3sinα－4＝0,得sinα＋cosα＝错误!,平方,得sin2α＝－错误!.而错误!＝错误!＝2sinαcosα＝sin2α＝－错误!．21．解Ⅰ由错误!⊥错误!,得错误!·错误!＝0,从而2b－ccosA－acosC＝0,由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0∴2sinBcosA－sinA＋C＝0,2sinBcosA－sinB＝0,∵A、B∈0,π,∴sinB≠0,cosA＝错误!,故A＝错误!.Ⅱy＝2sin2B＋2sin2B＋错误!＝1－cos2B＋sin2Bcos错误!＋cos2Bsin错误!＝1＋错误!sin2B－错误! cos2B＝1＋sin2B－错误!.由Ⅰ得,0＜B＜错误!,－错误!＜2B－错误!＜错误!,∴当2B－错误!＝错误!,即B＝错误!时,y取最大值2.22．解Ⅰ假设错误!∥错误!,则2cosxcosx＋sinx－sinxcosx－sinx＝0,∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0,2·错误!＋错误!sin2x＋错误!＝0,即sin2x＋cos2x＝－3,∴错误!sin2x＋错误!＝－3,与|错误!sin2x＋错误!|≤错误!矛盾,故向量错误!与向量错误!不可能平行．Ⅱ∵fx＝错误!·错误!＝cosx＋sinx·cosx－sinx＋sinx·2cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝错误!错误!cos2x＋错误!sin2x＝错误!sin2x＋错误!,∵－错误!≤x≤错误!,∴－错误!≤2x＋错误!≤错误!,∴当2x＋错误!＝错误!,即x＝错误!时,fx有最大值错误!；当2x＋错误!＝－错误!,即x＝－错误!时,fx有最小值－1．。

向量与三角交汇的综合问题解法

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厶，
角口（臼∈（一号，詈）），使向量ｃ—ｎ＋（ｔａｎ２０—３）ｂ，ｄ一一ｍｎ＋（ｔａｎＯ）ｂ，且
ｃ上ｄ，试求ｉＮ数ｍ一－厂（臼）的关系式．
２．求证：若０ｊＩ弘ＡＢＣ内一点，则Ｓ△∞。·礴＋ｓ。∞。·碡＋ｓ△嗍。·
葡一０．
答案：１．ｍ一百１（ｔａｎａ臼一３ｔａｎ口）（口∈（～号，号））（提示：利用ｎ·６—
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２００６年第２期
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理化
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故当。ｏ。臼一１，即口一ｏ（葡与赢方向相同）时，静·商的值最大，最
大值为０．
点评：本题考查了向量的概念、平面向量的运算法则、运用向量及三
线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设１ＡＢＩ一
ｆ，ＩＡｆ一．＝ＢＣａ．６’则小ｏ’∞、Ｂ“’ｏ入伙ｏ’∽’且㈣卜２∽
ｃ时Ｑ
６／￥
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设点Ｐ的坐标为（ｚ，ｙ），则点Ｑ（一ｚ，一ｙ）．
因ｉ－ｐ＝（ｘ－－ｆ，ｙ），商一（一ｚ，一ｙ一６），霞一（一ｒ，６），葡＝＝（一２．７２，一２ｙ），所以茚·菌一（．ｒ－－ｃ）（一ｚ）－＋－ｙ（一ｙ一６）一～（Ｔｚ＋３，。）一一（’Ｔ一６ｙ
由号∈（ｏ，号），得侥一号．由卢∈（”，２”），譬∈（号，兀），即ｏ＜等一号数
理
震＜号，ｃ。ｓ咿ｚ—ｓｉｎ售一ｃ。ｓ（等一号），得ｐｚ一导一号．
化
由臼。一臼。一詈得号一（售一号）一詈，则宇一一号，宇一一詈．翁
高
故ｓｉｎ笠≯一ｓｉｎ（一詈）一一丢．

三角函数与向量交汇题的求解策略探究

三角函数与向量交汇题的求解策略探究三角函数与向量交汇题是数学中的一个经典问题，涉及到了三角函数和向量的相关知识。

在解决这类题目时，需要通过分析问题的特点，灵活运用相关知识进行求解。

本文将围绕三角函数与向量交汇题的求解策略展开讨论，希望能为读者提供一些有益的思路和方法。

一、理解题目在解决三角函数与向量交汇题时，首先需要对题目进行仔细的理解和分析。

通常这类题目会给出几何图形或者特定的情境，要求求出某些角度、长度或者其他相关的量。

在理解题目的过程中，需要特别注意题目中给出的条件和所求的未知量，以便在后续的求解中有明确的方向和目标。

二、运用三角函数在解决三角函数与向量交汇题时，三角函数是必不可少的工具。

根据题目给出的条件和所求的未知量，可以灵活地运用正弦、余弦、正切等三角函数的性质和公式进行求解。

对于已知两个向量的夹角和模长，可以通过余弦定理或者正弦定理求解出所求的向量分量或者长度。

对于特定的几何图形，如三角形、正多边形等，也可以利用三角函数来求解其中的未知量。

在已知三角形三边长或者某个角度的情况下，可以利用三角函数的性质求解出其余的未知量。

三、运用向量的性质除了三角函数，向量的性质也是求解三角函数与向量交汇题的重要工具之一。

在题目中给出的向量的夹角、模长、方向等条件下，可以通过向量的加法、减法、数量积、叉积等运算来求解所需的未知量。

在解决向量交汇问题时，也可以利用向量的方向余弦和方向角的概念，将向量转化成三角函数的形式进行求解。

这样可以将向量的问题转化成三角函数的问题，更加简化求解的过程。

在实际的题目中，往往需要综合运用三角函数与向量的知识，进行复杂的求解。

这就要求我们对三角函数和向量的相关知识有比较全面的掌握，能够根据题目的条件和要求，合理地选择使用三角函数或者向量来进行求解。

在综合运用三角函数与向量的过程中，需要考虑到题目的整体逻辑和结构，灵活地应用相应的知识来解决问题。

在这个过程中，需要注重对题目的整体把握，避免陷入局部的细节中，导致求解的困难。

高中数学专题复习《向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇》

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC∆的重心. 证法2：如图OC OB OA ++02=+=OD OA ∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OAAC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bAC c AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO b AC c AB +)，令cb a bc++=λ ∴cb a bcAO ++=（b AC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a ∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。

向量与三角交汇的全面解析

向量与三角交汇的全面解析广东谭渊当今数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性．向量是高中新增内容，具有代数与几何形式的双重身份．它是新旧知识的一个重要的交汇点，是联系这些知识的桥梁．因此，向量与三角的交汇是当今数学命题的必然趋势，下面举例说明．一、向量与三角函数性质的交汇例1 已知向量a 33cos sin 22x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，b cos sin 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，且π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求：（1）ab ·及a b +；（2）若()f x 2λ=-+a b a b ·的最小值是32-，求λ的值．解析：（1）·a b 33cos cos sin sin cos22222=-=x x x x x ··；a b + π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，，cos 0x ∴>，∴a b +2cos x =．（2）()cos 24cos f x x x λ=-，即22()2(cos )12f x x λλ=---，π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，0cos 1x ∴≤≤． ① 当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值1-，这与已知矛盾．② 当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值212λ--，由已知23122λ--=-，解得12λ=． ③ 当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值14λ-，由已知得3142λ-=-，解得58λ=，这与1λ>相矛盾．综上所述，12λ=即为所求．点评：本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，运用了分类讨论的思想方法．二、向量与三角函数求值、运算的交汇例2 设a (1cos ,sin )αα=+，b (1cos ,sin )ββ=-，c (1,0)=，(0π)(π2π)αβ∈∈，，，， a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且12π6θθ-=，求sin 4αβ-的值．解析：2cos 2a α== ，2sin2b β=，1c =，又21cos 2cos 2a c αα=+=·，21cos 2sin 2b c ββ=-=·，1cos cos 2a c a c αθ∴==·，2cos sin 2b c b c βθ==·． π022α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，，12αθ∴=．又(π2π)β∈，，ππ22β⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，，即ππ0222β<-<，由2πcos sin cos 222ββθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，得2π22βθ=-；由12π6θθ-=，得ππ2226αβ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， π23αβ-∴=-，π46αβ-=-． π1sin sin 462αβ-⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭．点评：本题以向量的夹角概念为背景，考查了三角函数求值的有关知识．三、向量与三角变换的交汇例3 已知，A B 是三角形ABC 的两个内角，a cos2A B -=i 2A B +j ，其中i ，j 为相互垂直的单位向量，若a =，求tan tan ·A B 的值．解析：2=a （cos 2-A B i 2-A B j ）2225cos sin 242-+=+A B A B 1cos()51cos()92428A B A B +--+=+⨯=，整理得4cos()5cos()A B A B -=+．4cos cos 4sin sin 5cos cos 5sin sin A B A B A B A B ∴+=-，即9sin sin cos cos 0AB A B =≠·． 1tan tan 9A B =·．。

平面向量与三角知识的“交汇”

平面向量与三角知识的“交汇”作者：张琦来源：《中学生数理化·高一版》2015年第05期近几年新课标高考对平面向量知识的命题，既充分体现自身知识结构体系命题形式的多样化，又保持与其他知识交汇的命题思路，充分彰显平面向量知识的交汇价值。

一、平面向量与三角函数性质的“交汇”例1 设函数，其中向量，的图像经过点。

（l）求实数m的值。

（2）求函数.f（x）的最小值及此时x值的集合。

解：（1）由可得。

（2）由（1）得，所以当时，的最小值为。

由，可知（k∈Z），可得此时x值的集合为评析：本题以平面向量为载体，巧妙地将平面向量的数量积与三角函数的性质结合起来，体现了平面向量知识的交汇价值。

二、平面向量与三角变换的“交汇”例2 已知向量m=（cosθ，sinθ）和，且，求的值。

解：由，可得。

又，所以因为，所以所以评析：本题结合三角函数求值的有关知识，考查向量模的定义与向量的数量积的坐标运算。

三、平面向量与解三角形的“交汇”例3 已知向量m=（l，1），向量n与向量m的夹角为，且m·n=-1。

（l）求向量n。

（2）若向量n与向量q=（1，0）的夹角为，向量，其中A，C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求|n+p|的取值范围。

解：（l）设n=（x，y）。

利用m·n=-l，可求得n=（-l，0）或n=（0，-l）。

（2）由n与q=（1，o）的夹角为，即得n⊥q.可知n=（0，-1）。

由A，B，C成等差数列，可得。

由cosC），可得因为，所以-1≤所以，即。

所以评析：本题侧重考查三角形知识。

题中涉及数列知识，有兴趣的同学不妨探究一下。

浅议向量与解三角形的交汇

浅议向量与解三角形的交汇近几年来，三角函数与平面向量的交汇题逐渐进入高考试卷，并在不断加大考查的力度。

下面结合某些高考题或高考模拟题，介绍这种问题的三种常见类型，供探讨。

一．与三角形“四”心交汇例1.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)0,0,AB AC OP A AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则P的轨迹一定通过△ABC 的（） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心【解析】11e AB==21e AC ==121AP e e =+=+.1==，∴□AB 1P 1C 1是菱形，故射线AP 1平分∠BAC.此时10λ+=，知A 、P 1、P 共线. ∵[)+∞∈,0λ∴P 的轨迹是∠BAC 的平分线，它一定通过△ABC 的内心，选B. 二、运用向量判断三角形形状（与三角形边角交汇）例2．向量,,OA OB OC 满足条件0OA OB OC++=，OA OB OC ===1，试判断ABC ∆的形状。

解：0,,OA OB OC OA OB OC ++=∴+=-22()()OA OB OC ∴+=，即2OA + 222OB OA OB OC +⋅=，1OA OB OC ===，1,2OA OB ∴⋅=- ∴OA OB ⋅cos AOB ∠=12-，12cos ,,23AOB AOB π∴∠=-∴∠= 同理AOC ∠BOC =∠=23π，故ABC ∆是等边三角形。

例3．在ABC ∆中，设,,,BC a CA b AB c ===若,a b b c c a ⋅=⋅=⋅判断ABC ∆的形状。

解：0a b c ++=，22,()a b c a b c ∴+=-+=，2222a b a b c ∴++⋅= 同理2222b c b c a ++⋅=，两式相减，得22222()ac a b b c c a -+⋅-⋅=-， a b b c ⋅=⋅，∴2a =2c ，a c =，同理a b =，∴a b c ==，故ABC ∆是等边三角形。

证明三角形的三条中线交于一点向量法

证明三角形的三条中线交于一点向量法在数学的世界里，有个有趣的东西叫中线，尤其是在三角形里。

想象一下，一个三角形就像是你和两个好朋友组成的小圈子。

每当你们要一起聚会，谁都想选个最中心的地方对吧？这时候，三条中线就像是你们的导航，指向那个完美的聚会地点。

好吧，首先我们得明白什么是中线。

中线简单来说就是从三角形的一个顶点延伸到对边的中点。

想象一下，你在玩“捉迷藏”，你站在一个顶点上，另一个朋友藏在对边的中点。

这条线就是你找到他的路径。

再来一条，另一边的顶点到对边的中点，再加上第三条。

三条中线就像三根手指，努力向同一个点聚拢，嘿，这点就是它们交汇的地方。

咱们来聊聊向量法。

向量听起来高大上，其实就像给我们一个方向和力量。

咱们可以用向量来表示三角形的顶点。

假设我们有三个点，A、B、C。

我们用向量的方式把这些点表示出来，像是给每个顶点穿上了“衣服”。

于是，A可以是(0,0)，B可以是(a,0)，C 可以是(b,c)。

用这些坐标来找出中线的方向，就像在描绘路线图一样。

现在，来点有趣的。

我们可以分别写出三条中线的方程。

第一条从A到BC的中点M，M的坐标是((a+b)/2, c/2)。

这个地方就是你们聚会的初步选择。

然后，第二条从B 到AC的中点N，N的坐标是((0+b)/2, (0+c)/2)。

第三条从C到AB的中点P，P的坐标是((0+a)/2, (c+0)/2)。

看吧，三条中线就像三条小路，各自向着某个方向奔去。

我们得找出这三条中线的交点。

交点就是这三条小路的汇合点，嘿，你猜怎么找？咱们可以用线性方程组来解决，像侦探一样找出真相。

你可以将第一条中线的方程带入第二条，看看它们的交点。

这样反复推理，最后就能找到它们的交集。

最终得到的结果就像揭晓谜底，那个交点的坐标告诉我们，嘿！这里就是你们聚会的终极地点。

再来一波，有趣的是，不管你怎么移动这三角形，只要它们是直的，三条中线永远都会汇聚在一个点上。

真是太神奇了，像魔法一样。

向量在三角形中的应用课件

向量在三角形中的应用ppt课件
目录
向量基础向量在三角形中的表示向量在三角形中的应用向量与三角形问题的解决实例分析
01
CHAPTER
向量基础
向量的定义与表示是理解向量在三角形中应用的基础。
总结词
向量是一种具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。在数学中，向量常用字母表示，如$vec{A}$、$vec{B}$等。
向量的模等于三角形对应边的长度，即$|overset{longrightarrow}{AB}| = |AB|$。
向量的模与三角形边长的关系
两个向量的夹角等于它们所对应的三角形的内角，例如$angle A = angle overset{longrightarrow}{AB},overset{longrightarrow}{AC}$。
空间向量的表示
空间中的向量可以用三维坐标来表示，例如向量$overset{longrightarrow}{A(x_1, y_1, z_1)}$和$overset{longrightarrow}{B(x_2, y_2, z_2)}$表示从点A到点B的向量。
空间向量的运算
空间向量可以进行加法、数乘、向量的模等运算，这些运算与平面向量类似，但需要考虑三维坐标。
利用向量计算三角形边长
总结词
通过向量的模长，可以计算三角形的边长。
向量法计算边长
假设三角形三个顶点为A(1,2), B(3,4), C(5,6)，则向量a = (2,4)，向量b = (4,6)，计算得边长 = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(2^2 + 4^2) = sqrt(20)
实例
THANKS
感谢您的观看。
总结词
04
CHAPTER

活学妙用(解三角形“交汇性”问题)

解三角形“交汇性”问题江苏吴奎荣高考中对正弦定理、余弦定理等知识点的考查常常是与其他数学知识综合进行的。

有关解三角形方面的“交汇性”问题需要引起我们的重视。

1．与不等式知识交汇例1．已知∠A 的大小θ为定角，它的两边上各有一点P 、Q ，且PQ 为定长a 。

问当P 、Q 分别处于什么位置时，⊿APQ 的面积最大？解：由余弦定理结合不等式，)cos 1(2cos 2222θθ-⋅≥⋅-+=AQ AP AQ AP AQ AP a ，因此，)cos 1(22θ-≤⋅a AQ AP ，这样⊿APQ 的面积最大为)cos 1(4sin 2θθ-a 。

例2.直角坐标系中，已知A （4，3），试在x 轴上求一点P ，使AP OP 取得最大。

解：在三角形OAP 中，根据正弦定理AO POAP AP OP∠∠=sin sin ，由于53sin =∠AOP 为定值，问题转化为求OAP ∠sin 最大值，此时OAP ∠为直角，易得P 点坐标为)0,(425。

2．与向量知识交汇例3.(09江西卷文）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6A π=，(12c b =．（1）求C ；（2）若1CB CA ⋅=a ,b ，c ．解：（1）由(12c b =得，1sin 2sin b Bc C==，则有 55sin()sincos cos sin 666sin sin C C CC Cππππ---==11cot 2222C +=+得，cot 1C = 即4C π=.（2）由1CB CA ⋅=推出cos 1ab C =；而4C π=,1=则有12(12sin sin ab c b a cA C =⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩解得12a b c ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩评析：本题是解三角形与平面向量等知识的交汇题，是高考命题的热点题型．3．与解析几何知识交汇例4．已知12(0),(,0)F cF c -，（c 为正常数）是椭圆的两个焦点，O 为坐标原点，圆M 的方程是22259416)c x c y -+=（。

三角函数与向量的综合应用

三角函数与向量的综合应用在数学领域中，三角函数与向量是两个重要的概念。

它们在各自的领域中拥有广泛的应用，并且可以相互结合，产生更强大的数学工具。

本文将讨论三角函数与向量的综合应用，并探究它们在实际问题中的应用。

一、三角函数与向量的基础知识1. 三角函数三角函数是描述角度关系的函数，其中最常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们可以通过三角比值或单位圆上的点坐标来定义。

三角函数在几何、物理和工程等领域中广泛应用，用于求解角度、距离、速度等问题。

2. 向量向量是具有大小和方向的量，可用于表示物体的位移、力和速度等。

向量通常用有序数组表示，其中包括了向量的分量或坐标。

向量在几何、物理、计算机图形学等领域中有重要的应用，用于描述与计算空间中的各种问题。

二、三角函数与向量的结合运用1. 正弦函数与向量的应用正弦函数可以用于求解两个向量之间的夹角。

对于给定的两个向量A和B，它们的夹角θ可以通过以下公式求得：θ = arcsin(|A × B| / (|A| |B|))其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，A × B表示两个向量的叉乘，|A × B|表示叉乘结果的模长。

这个夹角的计算提供了求解向量运动方向、力的方向以及判断向量共线性等问题的重要依据。

2. 余弦函数与向量的应用余弦函数可以用于求解两个向量之间的夹角以及向量在特定方向上的投影。

对于给定的两个向量A和B，它们的夹角θ可以通过以下公式求得：θ = arccos(A · B / (|A| |B|))其中，|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，A · B表示两个向量的点乘。

此外，余弦函数还可以用于求解向量在特定方向上的投影长度，从而实现对向量分解和向量运动路径的分析。

3. 正切函数与向量的应用正切函数可以用于求解向量的斜率。

对于给定的向量A，它的斜率可以通过以下公式求得：m = tan(θ) = (A.y / A.x)其中，A.x和A.y分别表示向量A在x轴和y轴上的分量。

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇典藏版

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合一、1．O 是ABC ∆的重心⇔=++; （1）⇔=++O 是ABC ∆的重心.OC OB OA ++ 2=+= ∴2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.（3）若O 是ABC ∆的重心，且),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O则12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩（4）若O 是ABC ∆的重心，则13BOCAOC AOB AOC S S S S ===二、O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++（2）⇔⋅=⋅=⋅O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅AC OB ⊥⇔同理⊥，⊥⇔O 为ABC ∆的垂心三、O 是ABC ∆的内心充要条件是：(=-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记,,的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (O )e e (O )e e (O 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，(1)O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。

向量与三角结合的问题解法探究

—
詈求ｉ４的．，ｓ望值ｎ
而＝
＝ｉ．２旦ｓ２ｎ
ＩｃＩ＝１又口。ｃ＝１＋ｃｓａ＝２。２，，。ｃｓ
２ｔＩ）ａ＋的最小值是一求Ａ的值．ｌ ÷，
解（口＝ｓｃ号ｓ警析１。ｃ等’ｓ一ｎ）。。ｉ
① 当Ａ＜０时，当且仅当ｅ￥＝Ｏ０时）取得最小值一，１这与已知矛盾． ② 当０ ≤Ａ≤１时，当且仅当ｅ￥：Ａ时，Ｏ）取得最小值一 — Ａ．１２由已知得一１— Ａ一３解得Ａ：１２：
．
由。＝，一一）．詈詈（号＝一得譬詈
径的圆，３Ｏ４Ｏ＋：．ＲＡ＋５ＯＯＢＣ
（求教量积．Ａ．— Ｏ．— ０． — Ｉ）Ｏ — — Ｏ — ０ — ＋ — — ＋＋Ｂ：Ｂ — — Ｏ．＋ＣＡＣ：＋ — ＋
解Ａ詈这得＝，与
Ａ＞１相矛盾．
综上所述，Ａ＝１即为所求．
１４
维普资讯
②求ＡＡＣ的面积．Ｂ解析 ① ’ ＩＩＯＩＯＩｌ．Ｏ－ＩＢ：ｌＣ＝， ‘ Ａ
由３Ｏ４Ｏ５ＯＯＡ＋Ｂ＋Ｃ＝，得３Ｏ４ＯＡ＋Ｂ＝－Ｃ５Ｏ．
・．．
两边平方得９：４Ｏ．＋２ＡＯＢ＋１：６
— － — － — －
ｔ・吉ａｔ＝．ｎａｎＡ
＝
２．Ｏ・ＯＢ＝０５ＯＣ．．Ａ ’ ．
同理，Ｂ＋Ｃ＝一Ａ求得Ｏ由４Ｏ５Ｏ３Ｏ，Ｂ・

三角函数与向量结合的题型

三角函数与向量结合的题型【引言】在高中数学课程中，三角函数和向量是两个重要的概念。

它们分别代表了数学的几何和代数两个方面。

三角函数帮助我们研究角度、三角形的性质，而向量则使得我们能够进行矢量运算和分析。

这两个概念的结合可以带来更加复杂和有趣的数学题型。

在本文中，我们将探讨三角函数与向量结合的题型，从简单到复杂，逐步深入地理解这个主题。

【1. 什么是三角函数】三角函数是描述角度和角度相关的性质的一组函数。

其中最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

我们通常用sin、cos和tan来表示它们。

三角函数的定义涉及到一个直角三角形的三个边长或角度，使得我们能够通过角度来研究三角形的性质。

三角函数在解决几何问题、物理问题和工程问题中起着重要的作用。

【2. 什么是向量】向量是用来表示大小和方向的量。

在数学中，向量通常用有序数对或有序数组来表示。

有向线段也可以看作是向量的几何表示。

向量在几何和代数中都有广泛的应用。

我们可以通过向量进行矢量运算，如向量加法、向量减法和数量乘法。

向量还可以用于描述力、速度和位移等物理量。

【3. 三角函数与向量的关系】三角函数和向量之间有许多密切相关的关系。

我们可以通过三角函数来表达向量的方向。

给定一个向量，我们可以计算出它与横轴的夹角，并通过三角函数来表示这个夹角的大小。

我们可以使用三角函数来计算两个向量之间的夹角。

夹角的正弦、余弦和正切值可以帮助我们理解向量之间的关系和性质。

在解决几何问题时，我们常常会遇到涉及角度和向量的复杂题目，这些题目需要我们结合三角函数和向量来求解。

【4. 三角函数与向量结合的题型举例】下面我们来看一些常见的三角函数与向量结合的题型。

4.1 题型一：求两个向量的夹角已知两个向量a和b，求它们的夹角。

解决这个问题时，我们可以使用向量的数量积和三角函数来求解。

具体步骤如下：计算向量a和b的数量积，即a·b。

计算a和b的模长，即|a|和|b|。

三角函数与向量交汇题的求解策略探究

三角函数与向量交汇题的求解策略探究
三角函数与向量交汇题主要涉及两个方面的内容：三角函数的计算和向量的运算。

在解决这类问题时，需要根据题目给出的信息，采用适当的策略进行推导和计算。

在解决三角函数的计算问题时，可以根据已知条件应用正弦、余弦、正切等三角函数的定义，通过构建方程组来求解。

常见的策略有：
1. 利用已知角度和一条边的长度，确定另外两条边的长度。

已知一个直角三角形的斜边和一个角的大小，可以通过正弦或余弦函数计算出两条直角边的长度。

在解决向量交汇问题时，可以根据向量的定义和相关定理进行计算。

常见的策略有：
1. 利用向量的加法和减法求解。

已知两个向量的起点和终点坐标，可以将它们表示为向量的形式，然后进行加法和减法运算，求解它们的交汇点坐标。

在具体解题过程中，还需要注意一些常见的解题技巧和注意事项：
1. 注意角度的单位。

在计算三角函数时，需要将角度转换为弧度，通常可以利用180°=π弧度的关系进行换算。

2. 注意向量的顺序。

在进行向量运算时，需要明确向量的方向性，特别是在进行向量相减或数量积计算时，需要考虑向量是否反向。

3. 注意排除无解或多解的情况。

在进行计算时，可能会遇到无解或多解的情况，需要通过条件判断或几何意义进行排除或解释。

三角函数与向量交汇题的解题策略主要涉及三角函数的计算和向量的运算，需要根据题目给出的信息，选择适当的策略进行求解。

在具体解题过程中，可以根据题目要求灵活应用各种相关概念、定理和计算方法，注意单位换算和向量顺序等问题，同时注意排除无解或多解的情况，以求得正确答案。

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇在三角形中，有四个特殊的点，即内心、外心、重心和垂心，它们可以与向量知识有所交汇。

1. 内心：三角形的内心是三条角平分线的交点，表示为I。

内心到三角形的各个顶点的距离相等，即IA=IB=IC。

如果我们用向量OA、OB、OC表示三条边的向量，并设内心为I的向量为OI，那么可以得到关系式：OI = (IA/2) * (OA/|OA| + OB/|OB| + OC/|OC|)。

根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算内心的位置。

2. 外心：三角形的外心是三条垂直平分线的交点，表示为O。

外心到三角形的各个顶点的距离相等，即OA=OB=OC。

如果我们用向量AB、BC、CA表示三条边的向量，并设外心为O的向量为OO，那么可以得到关系式：OO = (OA/2) + (OB/2) + (OC/2)。

根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算外心的位置。

3. 重心：三角形的重心是三条中线的交点，表示为G。

重心到三角形的各个顶点的距离按比例为2:1，即GA = GB = GC = 2/3 * OA。

如果我们用向量OA、OB、OC表示三条边的向量，并设重心为G的向量为OG，那么可以得到关系式：OG = (OA + OB + OC)/3。

根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算重心的位置。

4. 垂心：三角形的垂心是三个高的交点，表示为H。

垂心到三角形的各个顶点的距离满足HHa/HOa = HHb/HOb = HHc/HOc = -1。

如果我们用向量HA、HB、HC表示三个高的向量，并设垂心为H的向量为OH，那么可以得到关系式：OH = HA + HB + HC。

根据这个关系式，我们可以通过向量知识计算垂心的位置。

向量知识可以帮助我们计算三角形的内心、外心、重心和垂心的位置，从而揭示它们之间的关系。

向量与三角形内心、外心、重心和垂心知识的总结

向量与三角形内心、外心、重心和
垂心知识的总结
向量：
1. 向量是一种特殊的数学对象，用来表示方向和大小。

它可以是一个有向线段，也可以是一个空间点。

2. 向量的长度代表其大小，向量的方向、旋转角度和起点代表其方向。

3. 两个向量之间可以叠加、减去或者相互积累，得到新的向量。

4. 向量可以用来表示速度、加速度、力等物理量。

三角形内心、外心、重心和垂心：
1. 三角形内心（内切圆心）是三角形内部的一点，它是三条内切线的交点，每条内切线的中点在该点上。

2. 三角形外心（外接圆心）是三角形外部的一点，它是三条外接线的交点，每条外接线的中点在该点上。

3. 三角形重心是三角形内部的一点，它是三条角平分线的交点，每条角平分线的中点在该点上。

4. 三角形垂心是三角形内部的一点，它是三条垂线的交点，每条垂线的中点在该点上。