河南省中原名校2016届高三上学期第一次联考数学(理)试题

河南省中原名校2016届高三上学期第一次联考 数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、已知{}2R y y x M =∈=，{}22R 2x xy N =∈+=，则M N = （ ）A ．()(){}1,1,1,1-B ．{}1C ．[]0,1 D．⎡⎣2、命题“x ∃∈Z ，使220x x m ++≤”的否定是（ ）A ．x ∃∈Z ，使220x x m ++>B ．不存在x ∈Z ，使220x x m ++> C ．对x ∀∈Z ，使220x x m ++≤ D ．对x ∀∈Z ，使220x x m ++>3、在C ∆AB 中，若点D 满足D 2DC B = ，则D A =（ ）A ．12C 33A +AB B ．52C 33AB -A C ．21C 33A -ABD ．21C 33A +AB4、为了纪念抗日战争胜利70周年，从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员，为9月3号的阅兵提供安保服务，则甲、乙、丙中有2个被选中的概率为（ ）A ．310B ．110C ．320D ．1205、函数()21log f x x=+与()12xg x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 6、设()0cos f x x=，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，⋅⋅⋅，()()1n n f x f x +'=，n *∈N ，则()2016f x =（ ）A ．sin xB ．cos xC ．sin x -D ．cos x -7、由曲线1y x =，直线12x =，2x =及x 轴所围成图形的面积是（ ）A ．1ln 22B ．2ln 2C ．154D ．1748、已知集合{},,a b c M =，{}1,0,1N =-，从M 到N 的映射f 满足()()()0fa f bf c--=，那么映射f 的个数为（ ）A ．7B ．5C ．4D ．2 9、若函数()f x ，()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e =+，则（ ）A ．()()()023g f f <<B ．()()()032g f f <<C ．()()()203f g f << D ．()()()230f f g <<10、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ）A ．6766升B ．4744升C ．3733升 D ．1升11、下列命题中是假命题的是（ ） A ．R m ∃∈，使()()2431mm f x m x -+=-⋅是幂函数，且在()0,+∞上递减B ．函数()()21lg 14f x x a x a ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ，则6a ≤-或0a ≥ C ．关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件是1a ≤ D ．函数()y f a x =+与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称12、设m ，n ∈Z ，已知函数()()2log 4f x x =-+的定义域是[],m n ，值域是[]0,2，若函数()121x g x m -=++有唯一的零点，则m n +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．0 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、已知集合{}10x ax A =+=，{}1,1B =-，若A B =A ，则实数a 的所有可能取值的集合为 ．14、若25a bm ==，且112a b +=，则m = ．15、已知点()1,1A -，()1,2B ，()C 2,1--，()D 3,4，则向量AB 在CD方向上的投影为 ． 16、已知函数()()22211f x x x k=---+，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得函数恰有2个不同的零点； ②存在实数k ，使得函数恰有4个不同的零点； ③存在实数k ，使得函数恰有5个不同的零点； ④存在实数k ，使得函数恰有8个不同的零点．其中真命题的序号是 （把你认为正确的序号全写上）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分10分）设命题:p 函数()21lg 16f x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为R ；命题:q 不等式39xxa -<对一切正实数x 均成立．()I 如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；()II 如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．18、（本小题满分12分）已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为()62f x x '=-．数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S （n *∈N ）均在函数()y f x =的图象上．()I 求数列{}n a 的通项公式；()II 设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得2016n mT <对所有的n *∈N 都成立的最小正整数m ．19、（本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量()cos ,cos m =A B，(),2n a c b =-，且//m n ．()I 求角A 的大小；()II 若4a =，求C ∆AB 面积的最大值．20、（本小题满分12分）为了解决西部地区某希望小学的师生饮水问题，中原名校联谊会准备援建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度），设该蓄水池底面半径为r 米，高h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．()I 将V 表示成r 的函数()V r ，并求函数的定义域；()II 讨论函数()V r 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．21、（本小题满分12分）已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若a ，[]1,1b ∈-，0a b +≠时，有()()0f a f b a b +>+成立．()I 判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并证明；()II 解不等式：1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+<⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；()III 若()221f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．22、（本小题满分12分）已知函数()()32ln 2123x f x ax x ax=++--（R a ∈）．()I 若2x =为()f x 的极值点，求实数a 的值；()II 若()y f x =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；()III 当12a =-时，函数()()3113x by f x x -=---有零点，求实数b 的最大值．河南省中原名校2016届高三上学期第一次联考 数学（理）试题参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.DDDAC BBAAA DC二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）(13){}1,0,1-(14) (15) 223 (16) ①②③④ 三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤） (17) (本题满分10分)解： （Ⅰ）由题意，若命题p 为真，则21016ax x a -+>对任意实数x 恒成立.若0,a =显然不成立；……………………………….2分若0,a ≠则20110,4a a >⎧⎪⎨∆=-<⎪⎩解得2,a >……………………………….4分故命题p 为真命题时，a 的取值范围为()2,.+∞……………………………….5分（Ⅱ）若命题q 为真，则39xxa -<对一切正实数x 恒成立.而21139(3).24x x x -=--+ 因为0x >，所以31x >，所以()(39),0x x -∈-∞，因此0a ≥故命题q为真命题时，0a ≥.……………………………….7分 又因为命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，即命题p 与q 一真一假.若p 真q 假，则20a a >⎧⎨<⎩解得a ∈Φ……………………………….9分 若p 假q 真，则20a a ≤⎧⎨≥⎩解得02a ≤≤……………………………….11分 综上所述，满足题意得实数a 的取值范围为[]0,2……………………………….12分(18) (本题满分12分)解：（Ⅰ） 依题意可设二次函数2()(0)f x ax bx a =+≠则'()2f x ax b =+'2()62,3,2,()32.f x x a b f x x x =-==-∴=- …………………2分点*(,)()n n S n N ∈均在函数()y f x =的图像上， 232n S n n ∴=-…………………3分当2n ≥时，221323(1)2(1)65n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦………………5分当1n =时11a =也适合，*6 5.()n a n n N ∴=-∈………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知[]133111().(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +===--+--+………7分故11111111(1)()()(1).277136561261n T n n n ⎡⎤=-+-++-=-⎢⎥-++⎣⎦L …………………9分因此，要使*11(1)()2612016m n N n -<∈+成立，m 必须且仅需满足122016m ≤……11分即1008,1008m m ≥∴满足要求的最小正整数为………………………12分 (19) (本题满分12分)解：（Ⅰ）因为//m n u r r，所以acos B －(2c －b)cos A ＝0，由正弦定理得sin Acos B －(2sin C －sinB)cos A ＝0，……… 2分所以sin Acos B －2sin Ccos A ＋sin Bcos A ＝0， 即sin Acos B ＋sin Bcos A ＝2sin Ccos A ， 所以sin(A ＋B)＝2sin Ccos A.又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin Ccos A ，……… 4分 因为0<C<π，所以sin C>0，所以cos A ＝12，又0<A<π，所以A ＝π3……… 6分 （Ⅱ）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A ，……… 8分 所以16＝b2＋c2－bc≥bc ，所以bc≤16，当且仅当b ＝c ＝4时，上式取“＝”，……… 10分 所以ABC ∆面积为S ＝12bcsin A≤43， 所以ABC ∆面积的最大值为43.……… 12分 (20) (本题满分12分)解：（Ⅰ）∵蓄水池的侧面积的建造成本为1002200rh rh ππ⨯=元，底面积成本为2160r π元，∴蓄水池的总建造成本为2(200160)rh r ππ+ 即2200160rh r ππ+12000π=∴h=21(3004)5h r r =-∴2()V r r h π= 2r π=•21(3004)5r r -=5π3(3004)r r -………………………4分又由0r >，0h >可得0r <<故函数()V r的定义域为………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）中()5V r π=3(3004)r r -，（05r <<可得'()V r =5π2(30012)r -，（05r <<）∵令'()V r =5π2(30012)0r -=，则5r =………………………8分 ∴当(0,5)r ∈时，'()0V r >，函数()V r 为增函数.当r ∈时，'()0V r <，函数()V r 为减函数且当5,8r h ==时该蓄水池的体积最大. . ………………………12分 (21) (本题满分12分)解：（Ⅰ）()f x 在[]1,1- 上为增函数，证明如下：设任意12,x x []1,1∈-，且12x x <，在()()0f a f b a b +>+中令1a x =，2b x =-，可得1212()()0()f x f x x x +->+-，又∵()f x 是奇函数，得22()()f x f x -=-，∴1212()()f x f x x x ->-．∵12x x <，∴120x x -<， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <故()f x 在[]1,1-上为增函数……………4分（Ⅱ）∵()f x 在[]1,1-上为增函数，∴不等式11()()21f x f x +<-，即 111121x x -≤+<≤- 解之得3,12x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，即为原不等式的解集；……………8分 （Ⅲ）由（I ），得()f x 在[]1,1- 上为增函数，且最大值为(1)1f =，因此，若2()21f x m am ≤-+对所有的[]1,1a ∈-恒成立，2211m am -+≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立,设2()20g a ma m =-+≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立………………………10分 若0m =则()00g a =≥对[]1,1a ∈-恒成立 若0m ≠若()0g a ≥对所有的[]1,1a ∈-恒成立必须(1)0g -≥且(1)0g ≥，2m ≤-或2m ≥综上：m 的取值范围是02m m =≤-或或2m ≥ ………………………12分 (22) (本题满分12分)解：（Ⅰ）'()f x =2a 2ax ＋1＋x2－2x －2a＝x[2ax2＋ 1－4a x － 4a2＋2 ]2ax ＋1.因为x ＝2为()f x 的极值点，所以f′(2)＝0， 即2a 4a ＋1－2a ＝0，解得a ＝0. ……… 2分 （Ⅱ）因为函数()f x 在区间[3，＋∞)上为增函数，所以'()f x =x[2ax2＋ 1－4a x － 4a2＋2 ]2ax ＋1≥0在区间[3，＋∞)上恒成立．……… 3分①当a ＝0时，'()f x =x(x －2)≥0在[3，＋∞)上恒成立，所以()f x 在[3，＋∞)上为增函数，故a ＝0符合题意． ……… 5分②当a≠0时，由函数()f x 的定义域可知，必须有2ax ＋1>0对x≥3恒成立，故只能a>0， 所以2ax2＋(1－4a)x －(4a2＋2)≥0在[3，＋∞)上恒成立． 令函数g(x)＝2ax2＋(1－4a)x －(4a2＋2)，其对称轴为x ＝1－14a ，因为a>0，所以1－14a <1，要使g(x)≥0在[3，＋∞)上恒成立，只要g(3)≥0即可，即g(3)＝－4a2＋6a ＋1≥0， 所以3－134≤a≤3＋134. 因为a>0，所以0<a≤3＋134.综上所述，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3＋134 ……… 7分（Ⅲ）当a ＝－12时，函数3(1)(1)3x by f x x -=---有零点等价于方程f(1－x)＝ 1－x 33＋b x 有实根，f(1－x)＝ 1－x 33＋b x 可化为ln x －(1－x)2＋(1－x)＝bx .问题转化为b ＝xln x －x(1－x)2＋x(1－x)＝xln x ＋x2－x3在(0，＋∞)上有解，即求函数g(x)＝xln x ＋x2－x3的值域． ……… 8分因为函数g(x)＝x(ln x ＋x －x2)，令函数h(x)＝ln x ＋x －x2(x>0)，则'()h x = 1x ＋1－2x ＝ 2x ＋1 1－x x，所以当0<x<1时，'()h x >0，从而函数h(x)在(0,1)上为增函数，当x>1时，'()h x <0，从而函数h(x)在(1，＋∞)上为减函数，因此h(x)≤h(1)＝0. ……… 10分 而x>0，所以b ＝x·h(x)≤0，因此当x ＝1时，b 取得最大值0. ……… 12分。