Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
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一维周期场中电子运动的近自由电子近似_固体物理资料
—— 布洛赫函数形式
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子波函数的意义 1) 电子波函数和散射波
—— 前进的平面波
散射波的波矢 相关散射波成份的振幅
—— 势场作用产生的散射波
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
散射波
相邻原子的散射波有相同的相位 电子入射波波长
微扰下电子的波函数
电子的波函数
k
(
x)
0 k
(
x)
(1) k
(x)
.
0 k
(
x
)
(1
/
L )eikx
波函数的一级修正
(1) k
k
k | Ek0
H|k Ek0
0 k
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
—— 计入微扰电子的波函数
k (x)
1 eikx L
1 eikx L
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
电子能量的意义
Байду номын сангаас
二级能量修正
E (2) k
n
'
2
[k 2
Vn (k
2
n
2 )2 ]
2m
a
当
E(2) k
—— 电子的能量是发散的 —— k和k’两个状态具有相同的能量____k和k’态简并
04_02_一维周期场中电子运动的近自由电子近似 —— 能带理论
k
k| H|k 2 Ek0 Ek0
E (2) k
n
'
2
[k 2
Vn (k
4.1布洛赫定理、一维近自由电子近似
L
按原胞划分写成
1 N −1 k ' | ∆V | k = ∑ Na n =0
( n +1) a
∫
e − i ( k '− k ) xV ( x)dx
na
对不同原胞 n, 引入积分变数ξ
x = ξ + na
并考虑到 V(x) 的周期性
V (ξ + na ) = V (ξ )
可以把前式写成
1 N −1 − i ( k '− k ) na − i ( k '− k )ξ k ' | ∆V | k = V (ξ )d ξ ∑e ∫e Na n =0 0
1 2 3
平移任意晶格矢量 Rα = m1a1 + m2 a2 + m3 a3 , 可以看成 是 T1, T2, T3 分别连续操作 m1, m2, m3 次的结果, 有
ψ (r + R m ) = T1m T2m T3m ψ (r ) = λ1m λ2m λ3m ψ (r )
1 2 3 1 2 3
ψ (r ) = ψ (r + N1 a1 )
ψ (r ) = ψ (r + N 2 a 2 ) ψ (r ) = ψ (r + N 3 a 3 )
N1,N2,N3 表示三 个方向的原胞数
λi 受到严格限制, 如
ψ (r + N1 a1 ) = T1N ψ (r ) = λ1N ψ (r ) = ψ (r )
V (ξ )d ξ = Vn
否则
k ' |V | k = 0
上式中以 Vn 表示的积分实际上正是周期场 V(x) 的第 n 个 Fourier 系数
根据这个结果, 波函数考虑一级修正后可写成
按原胞划分写成
1 N −1 k ' | ∆V | k = ∑ Na n =0
( n +1) a
∫
e − i ( k '− k ) xV ( x)dx
na
对不同原胞 n, 引入积分变数ξ
x = ξ + na
并考虑到 V(x) 的周期性
V (ξ + na ) = V (ξ )
可以把前式写成
1 N −1 − i ( k '− k ) na − i ( k '− k )ξ k ' | ∆V | k = V (ξ )d ξ ∑e ∫e Na n =0 0
1 2 3
平移任意晶格矢量 Rα = m1a1 + m2 a2 + m3 a3 , 可以看成 是 T1, T2, T3 分别连续操作 m1, m2, m3 次的结果, 有
ψ (r + R m ) = T1m T2m T3m ψ (r ) = λ1m λ2m λ3m ψ (r )
1 2 3 1 2 3
ψ (r ) = ψ (r + N1 a1 )
ψ (r ) = ψ (r + N 2 a 2 ) ψ (r ) = ψ (r + N 3 a 3 )
N1,N2,N3 表示三 个方向的原胞数
λi 受到严格限制, 如
ψ (r + N1 a1 ) = T1N ψ (r ) = λ1N ψ (r ) = ψ (r )
V (ξ )d ξ = Vn
否则
k ' |V | k = 0
上式中以 Vn 表示的积分实际上正是周期场 V(x) 的第 n 个 Fourier 系数
根据这个结果, 波函数考虑一级修正后可写成
固体能带理论概述
固体能带理论概述朱士猛学号220130901421 专业凝聚态物理摘要本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似等基本理论。
还介绍了采用了近自由电子近似法来计算其能带结构。
可以看出，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。
而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。
关键词：能带理论布洛赫定理近自由电子近似1 引言能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。
在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。
最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。
例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。
在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。
后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。
到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5，7，8，11]、K.P方法[12]。
人们用这些方法对量子阱[2，8，9，10]。
量子线[11，12，13]、量子点结构[16，17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。
使得对这些结构的器件的设计有所依据。
并对一些器件的特性进行了合理的解释。
固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。
从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。
42一维近自由电子近似
微扰矩阵元的选择定则
如果 k ' k n 2 , 则
a
否则
k ' |V | k
1 a
a i2 n
e a V ( )d
0
Vn
k'|V |k 0
上式中以 Vn 表示的积分实际上正是周期场 V(x) 的第 n 个 Fourier 系数
二级微扰能量
E ( 2) k
n
Vn 2
对于接近－nπ/a 的 k 状态, 例如
k n 1 , = 1
a
在周期场的微扰作用下, 最主要的影响将是掺入了 和它能量接近的状态
k ' k n 2 n 1
a
a
对这种情况适当的近似处理方法是, 忽略所有其它 掺入的状态, 把波函数写成
a
方程有解的条件
Ek0 E
Vn* 0
Vn
Ek0' E
即
Ek0 E Ek0' E Vn 2 0
它的解给出本征值
E
1 2
Ek0 Ek0'
Ek0 Ek0'
2
4
Vn
2
1/
2
分别讨论两种情况:
1 Ek0 Ek0' ? Vn
0 k
b
0 k'
然后, 直接根据波动方程去确定 a、b 以及本征值
这里比上面用的微扰方法更精确地考虑了 影响最大的态, 而忽略其它态的次要影响
这种处理方法实际上就是简并微扰的方法
在简并微扰中, 原来有若干状态能量相同, 在零级微 扰计算中, 根据波动方程求得这些简并态之间的适当 线性组合
如果 k ' k n 2 , 则
a
否则
k ' |V | k
1 a
a i2 n
e a V ( )d
0
Vn
k'|V |k 0
上式中以 Vn 表示的积分实际上正是周期场 V(x) 的第 n 个 Fourier 系数
二级微扰能量
E ( 2) k
n
Vn 2
对于接近－nπ/a 的 k 状态, 例如
k n 1 , = 1
a
在周期场的微扰作用下, 最主要的影响将是掺入了 和它能量接近的状态
k ' k n 2 n 1
a
a
对这种情况适当的近似处理方法是, 忽略所有其它 掺入的状态, 把波函数写成
a
方程有解的条件
Ek0 E
Vn* 0
Vn
Ek0' E
即
Ek0 E Ek0' E Vn 2 0
它的解给出本征值
E
1 2
Ek0 Ek0'
Ek0 Ek0'
2
4
Vn
2
1/
2
分别讨论两种情况:
1 Ek0 Ek0' ? Vn
0 k
b
0 k'
然后, 直接根据波动方程去确定 a、b 以及本征值
这里比上面用的微扰方法更精确地考虑了 影响最大的态, 而忽略其它态的次要影响
这种处理方法实际上就是简并微扰的方法
在简并微扰中, 原来有若干状态能量相同, 在零级微 扰计算中, 根据波动方程求得这些简并态之间的适当 线性组合
固体物理 04-02一维周期场中电子运动的近自由电子近似
0 k
2 2 k 0 Ek V 2m
固 体 物 理
Solid State Physics
波函数和能量本征值
2 2 k 0 Ek V 2m
k E 2m
0 k
2
2
西 南 科 技 大 学
固 体 物 理
Solid State Physics
周期边界条件
1 ikx 1 ik ( x Na ) ( x) e e L L
0 k (1) k
k0 ( x ) (1/ L )eikx
波函数的一级修正
(1) k
k '| H '| k 0 k' 0 0 Ek Ek ' k'
西 南 科 技 大 学
k k n(2 / a)
k | H | k V (n)
k k n(2 / a)
Ek Ek0 Ek(1) Ek( 2 ) .
Ek(1) k | H ' | k
k | V ( x) V | k
E
西 南 科 技 大 学
(1) k
0 L
L
1 ikx 1 ikx e [V ( x ) V ] e dx L L
E
(1) k
1 ikx 1 ikx [ e V ( x ) e dx ] V 0 L 0 L
k | H | k 0
固 体 物 理
Solid State Physics
(1) k
k '| H '| k 0 k' 0 0 Ek Ek ' k'
k0 ( x ) (1/ L )eikx
2 2 k 0 Ek V 2m
固 体 物 理
Solid State Physics
波函数和能量本征值
2 2 k 0 Ek V 2m
k E 2m
0 k
2
2
西 南 科 技 大 学
固 体 物 理
Solid State Physics
周期边界条件
1 ikx 1 ik ( x Na ) ( x) e e L L
0 k (1) k
k0 ( x ) (1/ L )eikx
波函数的一级修正
(1) k
k '| H '| k 0 k' 0 0 Ek Ek ' k'
西 南 科 技 大 学
k k n(2 / a)
k | H | k V (n)
k k n(2 / a)
Ek Ek0 Ek(1) Ek( 2 ) .
Ek(1) k | H ' | k
k | V ( x) V | k
E
西 南 科 技 大 学
(1) k
0 L
L
1 ikx 1 ikx e [V ( x ) V ] e dx L L
E
(1) k
1 ikx 1 ikx [ e V ( x ) e dx ] V 0 L 0 L
k | H | k 0
固 体 物 理
Solid State Physics
(1) k
k '| H '| k 0 k' 0 0 Ek Ek ' k'
k0 ( x ) (1/ L )eikx
布洛赫定理、一维近自由电子近似
同的周期性。
布洛赫定理在固体物理、表面物 理等领域有广泛应用，是理解周
期性结构中粒子行为的基础。
一维近自由电子近似研究现状
1
一维近自由电子近似是一种理论模型，用于描述 一维晶体中电子的运动。
2
在一维近自由电子近似中，电子被视为在周期性 势场中运动的粒子，其波函数具有一维周期性。
3
目前，一维近自由电子近似已被广泛应用于研究 一维晶体中的电子结构和物理性质，如电荷密度 波、自旋密度波等现象。
发展更精确的理论模型和计算方法，以更准确地 描述一维晶体中电子的运动和相互作用。
探索一维近自由电子近似在其他领域的应用，如 光子晶体、表面等离激元等。
感谢您的观看
THANKS
这一定理表明，在周期性势场中，电子的波函数具有与周期性势场相同的周期性 。
布洛赫定理对一维近自由电子近似的影响
一维近自由电子近似是一种理论模型，用于描述在一维空 间中运动的电子的行为。这种近似忽略了电子之间的相互 作用以及更高阶的能量修正。
根据布洛赫定理，一维近自由电子近似中的波函数应该是 具有周期性的。这意味着，在计算电子的能量和波函数时， 需要考虑周期性势场的影响。
布洛赫定理指出，如果一个函数在一个区间内可积，那么这个函数在这个区间内的积分等于该函数在 区间内任意分割的子区间上的积分的极限。这个定理在数学分析、实变函数等领域有着广泛的应用。
02 一维近自由电子近似的基 本概念
1. 布洛赫定理的表述
布洛赫定理表述为：对于周期性势场， 电子运动的波函数具有Bloch函数的周期 性。即，对于晶体中的电子，其波函数 可以表示为：Ψ(r)=u(r)exp(ik·r)，其中 u(r)是周期性函数，k是波矢。
一、布洛赫定理
布洛赫定理在固体物理、表面物 理等领域有广泛应用，是理解周
期性结构中粒子行为的基础。
一维近自由电子近似研究现状
1
一维近自由电子近似是一种理论模型，用于描述 一维晶体中电子的运动。
2
在一维近自由电子近似中，电子被视为在周期性 势场中运动的粒子，其波函数具有一维周期性。
3
目前，一维近自由电子近似已被广泛应用于研究 一维晶体中的电子结构和物理性质，如电荷密度 波、自旋密度波等现象。
发展更精确的理论模型和计算方法，以更准确地 描述一维晶体中电子的运动和相互作用。
探索一维近自由电子近似在其他领域的应用，如 光子晶体、表面等离激元等。
感谢您的观看
THANKS
这一定理表明，在周期性势场中，电子的波函数具有与周期性势场相同的周期性 。
布洛赫定理对一维近自由电子近似的影响
一维近自由电子近似是一种理论模型，用于描述在一维空 间中运动的电子的行为。这种近似忽略了电子之间的相互 作用以及更高阶的能量修正。
根据布洛赫定理，一维近自由电子近似中的波函数应该是 具有周期性的。这意味着，在计算电子的能量和波函数时， 需要考虑周期性势场的影响。
布洛赫定理指出，如果一个函数在一个区间内可积，那么这个函数在这个区间内的积分等于该函数在 区间内任意分割的子区间上的积分的极限。这个定理在数学分析、实变函数等领域有着广泛的应用。
02 一维近自由电子近似的基 本概念
1. 布洛赫定理的表述
布洛赫定理表述为：对于周期性势场， 电子运动的波函数具有Bloch函数的周期 性。即，对于晶体中的电子，其波函数 可以表示为：Ψ(r)=u(r)exp(ik·r)，其中 u(r)是周期性函数，k是波矢。
一、布洛赫定理
固体物理学§4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
1
L
L 0
n
Vnei
kk
2 a
n
x
dx
Vn
,
0,
k k 2n
a
k k 2n
a
上式中以 Vn 表示的积分实际上正是周期场 V(x) 的第 n 个 Fourier 系数
8
固体物理
固体物理学
计算到一级修正，电子的波函数为
k
x
0 k
x
1
k
x
式中 k为1x波 函数的一级修正
17
固体物理
固体物理学
代入薛定谔方程
并利用
d2
dx
2
2m 2
E
V x
0x
0
2 2m
d2 dx2
V0
0 k
x
Ek0
0 k
x
得到
2 2m
d2 dx2
V0
0 k
x
Ek0
0 k
x
A
Ek0
E
V
0 k
x
B
Ek0
E
V
0 k
x
0
分别从左边乘上
0 k
或
k0，然后对
dx
积分，并考虑到
18
固体物理
二、运动方程与微扰计算
Schrödinger方程：
2 2m
2
V
x
x
E
x
2
固体物理
固体物理学
周期性势场： V x V x na a：晶格常数
Fourier展开： V x V V V
Vnei
2 a
nx
n0
V 1
a
能带理论(3)
方程来求出二级微扰能量，方法同上。
(2) k(2) a (0)
令
代入二级微扰方程
(2) (2) (1) (0) H0 k H k Ek(0) k Ek(1) k Ek(2) k (1)
H 0 al(2) l(0) H al(1) l(0) Ek(0) al(2) l(0) Ek(1) al(1) l(0) Ek(2) k(0)
当
k 2 n k 2m 2m a
2 2 2
2
2 2 k k n k Gn a
2 2Leabharlann 这正是布里渊区边界方程。也就是说，在布里渊区边界上
n k a
k k
2n n a a
这时，这两个态的能量相等，为简并态。必须用简并微 扰来处理。可以认为
1 N 1 a i k k ( na ) V ( na)d 0 e Na n0 1 N 1 i k k na a i k k V ( )d e 0 e Na n0 1 N 1 i k k a n 1 a i k k e V ( )d a 0 e N n 0
k(0) 并积分得 两边同左乘
(1) (1) ak Ek(0) Hkk Ek(0)ak Ek(1) kk
k’ = k
Ek(1) H kk k H k k V ( x) V k
k V ( x) k k V k 0
k’ k
讨论
(a ),
1 N 1 i k k a n e N n 0
k k h 2 a
1 N 1 i k k a n e 1 N n 0
(2) k(2) a (0)
令
代入二级微扰方程
(2) (2) (1) (0) H0 k H k Ek(0) k Ek(1) k Ek(2) k (1)
H 0 al(2) l(0) H al(1) l(0) Ek(0) al(2) l(0) Ek(1) al(1) l(0) Ek(2) k(0)
当
k 2 n k 2m 2m a
2 2 2
2
2 2 k k n k Gn a
2 2Leabharlann 这正是布里渊区边界方程。也就是说，在布里渊区边界上
n k a
k k
2n n a a
这时，这两个态的能量相等，为简并态。必须用简并微 扰来处理。可以认为
1 N 1 a i k k ( na ) V ( na)d 0 e Na n0 1 N 1 i k k na a i k k V ( )d e 0 e Na n0 1 N 1 i k k a n 1 a i k k e V ( )d a 0 e N n 0
k(0) 并积分得 两边同左乘
(1) (1) ak Ek(0) Hkk Ek(0)ak Ek(1) kk
k’ = k
Ek(1) H kk k H k k V ( x) V k
k V ( x) k k V k 0
k’ k
讨论
(a ),
1 N 1 i k k a n e N n 0
k k h 2 a
1 N 1 i k k a n e 1 N n 0
理学一维周期场中电子运动的近自由电子近似
V V(x) 周期性势场的起伏量作为微扰来处理 V (x) V V
01/ 52
1）零级近似下电子的能量和波函数
一维N个原子组成的金属链，金属的线度 L Na
零级近似下
H0
2 2m
d2 dx2
V
薛定谔方程
2 2m
d 2 0
dx 2
V 0
E 0 0
波函数和能量本征值
0 k
(
x)
1 eikx L
Ek0
2k 2 2m
V
满足周期 边界条件
0 k
(
x)
1 eikx L
1 eik (xNa) L
kNa l2
k l 2 —— l 为整数
Na
L
波函数满足
正交归一化
0 k'
*
0 k
dx
kk '
0
2）微扰下电子的能量本征值
哈密顿量 H H0 H '
H0
2 2m
d2 dx2
V
H ' V (x) V V
ea
n 2 )2 ]
2m
a
k (x)
1 eikx{1 L
n
2
[k 2
Vn (k
i 2 n x
e a}
n 2 )2 ]
2m
a
令 uk (x) 1
n
2
[k 2
Vn (k
i2 n x
ea
n 2 )2 ]
2m
a
可以证明 uk ( x ma) uk ( x)
电子波函数
k (x)
1 L
将 k l (2 ) 和 k' l' (2 ) 代入
01/ 52
1）零级近似下电子的能量和波函数
一维N个原子组成的金属链，金属的线度 L Na
零级近似下
H0
2 2m
d2 dx2
V
薛定谔方程
2 2m
d 2 0
dx 2
V 0
E 0 0
波函数和能量本征值
0 k
(
x)
1 eikx L
Ek0
2k 2 2m
V
满足周期 边界条件
0 k
(
x)
1 eikx L
1 eik (xNa) L
kNa l2
k l 2 —— l 为整数
Na
L
波函数满足
正交归一化
0 k'
*
0 k
dx
kk '
0
2）微扰下电子的能量本征值
哈密顿量 H H0 H '
H0
2 2m
d2 dx2
V
H ' V (x) V V
ea
n 2 )2 ]
2m
a
k (x)
1 eikx{1 L
n
2
[k 2
Vn (k
i 2 n x
e a}
n 2 )2 ]
2m
a
令 uk (x) 1
n
2
[k 2
Vn (k
i2 n x
ea
n 2 )2 ]
2m
a
可以证明 uk ( x ma) uk ( x)
电子波函数
k (x)
1 L
将 k l (2 ) 和 k' l' (2 ) 代入
一维周期场电子运动的近自由电子近似
一维周期场电子运动的近自由电子近似摘要：布洛赫定理，是从周期场所具有的平移对称性出发，得出了在周期势场中运动的电子波函数的普遍形式，但不能给出某一晶体电子波函数的具体形式，也不能获得电子能谱——能带结构的表达形式。
要获得这些知识，必须求解公式。
这是一个比较困难的问题，为此，我们先讨论能带理论中的一个简单模型——近自由电子近似。
这个模型适用于周期场较弱的情况，故也叫弱周期场近似。
由于周期场的周期性起伏很弱，它可以看成自由电子情况稳定势场的微扰，此时晶体中的价电子行为就很接近自由电子，故也叫自由电子近似。
这个模型虽然简单，但是却能给出周期场中运动电子本征态的一些最基本特点。
关键词：能带理论；周期场；微扰；近自由电子近似一维周期场中电子运动的近自由电子近似这是一个一维的模型，通过这个模型的讨论，可以进一步了解在周期场中运动的电子本征态一些最基本的特点。
图1中画出了一维周期场的示意图。
所谓近自由电子近似是假定周期场的起伏比较小，作为零级近似，可以用势场的平均值代替V(x)。
把周期起伏[V(X)-〕做为微扰来处理。
图1一维周期场零级近似的波动方程为（1）它的解便是恒定场中自由粒子的解（2）上式在归一化因子中引入晶格长度L=Na，为原胞的数目，a是晶格常数(原子间距)。
引入周期性边界条件可以得到k只能取下列值（3）很容易验证波函数满足正交归一化条件。
（4）由于零级近似下的解为自由电子，所以称为近自由电子近似。
按照一般微扰理论的结果，本征值的一级和二级修正为（5）（6）波函数的一级修正为（7）其中微扰项具体写出为其中前一项，按定义就等于平均势场，因此能量的一级修正为0。
和都需要计算矩阵元，由于k，和k两态之间的正交关系现在我们证明，由于V(x)的周期性，上述矩阵元服从严格的选择定则。
将按原胞划分写成对不同的原胞n，引入积分变数并考虑到V(x)的周期性就可以把前式（7）写成（8）现在区分两种情况:（1），即k，和k相差，在这种情况下，显然，(8)式中的加式内各项均为1，因此（9）（2），在这种情况下，(13)式中的加式可用几何级数的结果写成K，和k又可写成{见(4)式}因此，上式中的分子同时，分母由于，所以不为零，在这种情况下，矩阵元（8）恒为零。
量子力学第二节、近自由电子近似_简历 @旅行online
k
( 0 )
k 2m
2
2
k H kk
2
LC 0
k
x V
x k
(0)
x dx
V
x 0
E
k
H kk
(0)
k k
E
k E
k
(0)
k
1 Lc
H kk
2
Lc 0
k
0
A、B不全为零的解的条件是
E k E V h
0
k
E k E
0
Vh
k
0
解得简并微扰态的能量
E k
1 2
0 0 0 0 E k E k E k E k
k
0 0
x
LC e
1 2
1 2
i
kh 2
x
LC e
x 1 2
1 2
i ha x
k
x LC e
E
0
i
kh 2
LC e
2
i ha x
简并态的能量
h k 2m a
2
h 0 0 E k E k 2m a
2对于近自由电子由于写不出适用于整个布里渊区的能量表达式因而不能像自由电子那样给出适用于整个布里渊区的能态密色散关系1同一长度的波矢在不同方向上接近布里渊区边界的程度是不等能曲线1近自由电子的等能曲线偏离自由电子的圆形等能线在10方向上等能线向边界凸起
第二节、近自由电子近似
自由电子的能量E=(ħk)2/2m是连续谱，而孤立原子中电子的能 量是一系列分立的能级。 晶体电子与自由电子的区别在于周期势场的有无。假设晶体中有 一个很弱的周期势，电子的运动情况比较接近自由电子，同时能 体现晶体中电子状态的特点。这样的电子叫做近自由电子。 一维情况为例 设周期势为 V（x），把它作为对自由电子恒定势场的一种 微扰。则近自由电子的哈密顿算符Ĥ=Ĥ0+Ĥ´ 2 2 d （1） Ĥ0= 是自由电子的哈密顿算符。
在近自由电子近似中
但当入射的自由电子的波矢接近带顶和带底（k=nπ /a）时，有
K=nπ /a，而行进平面波的波长＝2/k，从而nπ /a=2π /,得2a＝ n ，这实际上是Bragg反射条件2asin＝n 在正入射情况（ sin＝1 ）
的结果。此时，相邻两原子的反射波就会有相同的位相，它们将相互 加强，从而使行进的平面波受到很大干涉，沿一个方向行进的波受到 反射，沿相反方向传播，反射波与入射波干涉，形成驻波。
Tankertanker Design
a. k k n 2
a
E (2) k
k
2
k V k Ek0 Ek0
k V k Tankertanker Design
kV k
1 a
a i2 n
e
0
a V ( )d Vn
b. k k n 2 kV k 0
a
二级微扰能：
2
kV k
2mU n 2k2
exp i2 nx 2 k 2 n
/ /
a a
2
容易证明uk(x)＝ uk(x+a)，是以a为周期的周期函数。这种波函
数由两部分组成：
第一部分是波数为k的行进平面波（入射波）
因子
1 L
eikx
第二部分是该平面波受周期场的影响而产生的散射波（反射波）
V
其中
是归一化因子，L=Na晶体长度、N原胞数、a晶格
L
常数（原子间距）。在周期性边界条件下，k的取值为：中
k l (2 ) (l是整数)
Na
2
Tankertanker Design
零级近似(自由粒子)中，电子能量本征值作为k的函数
K=nπ /a，而行进平面波的波长＝2/k，从而nπ /a=2π /,得2a＝ n ，这实际上是Bragg反射条件2asin＝n 在正入射情况（ sin＝1 ）
的结果。此时，相邻两原子的反射波就会有相同的位相，它们将相互 加强，从而使行进的平面波受到很大干涉，沿一个方向行进的波受到 反射，沿相反方向传播，反射波与入射波干涉，形成驻波。
Tankertanker Design
a. k k n 2
a
E (2) k
k
2
k V k Ek0 Ek0
k V k Tankertanker Design
kV k
1 a
a i2 n
e
0
a V ( )d Vn
b. k k n 2 kV k 0
a
二级微扰能：
2
kV k
2mU n 2k2
exp i2 nx 2 k 2 n
/ /
a a
2
容易证明uk(x)＝ uk(x+a)，是以a为周期的周期函数。这种波函
数由两部分组成：
第一部分是波数为k的行进平面波（入射波）
因子
1 L
eikx
第二部分是该平面波受周期场的影响而产生的散射波（反射波）
V
其中
是归一化因子，L=Na晶体长度、N原胞数、a晶格
L
常数（原子间距）。在周期性边界条件下，k的取值为：中
k l (2 ) (l是整数)
Na
2
Tankertanker Design
零级近似(自由粒子)中，电子能量本征值作为k的函数
4.2_一维近自由电子近似
在用简约波矢描述自由电子解时, 也必须指出它属于 哪一个能带 周期势场的起伏只是使得不同能带相同 简约波矢 k 的状态之间相互影响
对于一般的 k 这些状态之间的能量差比较大, 而在 k 0 和 k / a 及其附近, 存在两个状态, 它们的能量相 等或是能量相近
在 k 0, / a 及其附近, 必须用简并微扰来处理。 k 0 和 k / a 由于 “能级间的排斥作用” , 使得在 处, 能级分裂, 在不同能带之间出现能隙
得
a Ek0 E V k0 b Ek0' E V k0' 0
0* 0* 上式分别乘以 k 和 k ' 并积分, 得到 a、b 必须 满足的关系式
Ek0 E a Vn*b 0 0 V a E n k' Eb 0
其中用到 k | V | k k ' | V | k ' 0 以及
k | V | k ' k ' | V | k
*
Vn*
方程有解的条件
Ek0 E Vn Vn* E E
0 k'
0
即
E
0 k
E E E Vn 0
0 k' 2
它的解给出本征值
1/ 2 2 1 0 2 0 0 0 E Ek Ek ' Ek Ek ' 4 Vn 2
具体写出 Ek0、Ek0'
2 2 n E V 1 V Tn 1 2 2 2m a n T 2 n 2 2 m n 2 2 a Ek0 V 1 V T 1 n 2m a 2 0 k' 2
4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似解析
Vn—— 周期场V(x)的第n个傅立叶系数
6
ii)
2 k ' k n a 2 k ' k n a
ˆ ' | k V k '| H n ˆ ' | k 0 k '| H
7
二级能量修正式
Ek(2) '
k'
ˆ '| k k '| H E E
0 k 0 k'
4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
1. 模型和微扰计算 近自由电子近似模型 —— 金属中电子受到原子
实周期性势场的作用
—— 假定势场的起伏较小 零级近似 —— 用势场平均 值代替原子实产生的势场
V V ( x)
周期性势场的起伏量作为微扰来处理
V ( x ) V V
1
1)、零级近似下电子的能量和波函数
2
n 2 2 [k ( k 2 ) ] 2m a
时
当
，即
E k( 2 )
—— 电子的能量是发散的 —— k和k'两个状态具有相同的能量，k和k'态是简并的
17
4)、电子波矢在 —— 取小量
附近的能量和波函数
1 0
对应的状态为
n k (1 ) a
2
E
(2) k
'
n
Vn
2 2
2
n 2 [k (k 2 ) ] 2m a
8
计入微扰后电子的能量
k Ek V ' 2m n
2 2
Vn
2 2
2
n 2 [k (k 2 ) ] 2m a
9
6
ii)
2 k ' k n a 2 k ' k n a
ˆ ' | k V k '| H n ˆ ' | k 0 k '| H
7
二级能量修正式
Ek(2) '
k'
ˆ '| k k '| H E E
0 k 0 k'
4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
1. 模型和微扰计算 近自由电子近似模型 —— 金属中电子受到原子
实周期性势场的作用
—— 假定势场的起伏较小 零级近似 —— 用势场平均 值代替原子实产生的势场
V V ( x)
周期性势场的起伏量作为微扰来处理
V ( x ) V V
1
1)、零级近似下电子的能量和波函数
2
n 2 2 [k ( k 2 ) ] 2m a
时
当
，即
E k( 2 )
—— 电子的能量是发散的 —— k和k'两个状态具有相同的能量，k和k'态是简并的
17
4)、电子波矢在 —— 取小量
附近的能量和波函数
1 0
对应的状态为
n k (1 ) a
2
E
(2) k
'
n
Vn
2 2
2
n 2 [k (k 2 ) ] 2m a
8
计入微扰后电子的能量
k Ek V ' 2m n
2 2
Vn
2 2
2
n 2 [k (k 2 ) ] 2m a
9
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——
布拉格反射条件在正入射时的结果
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
14
入射波波矢
散射波成份的振幅
n 2 2 [ k ( k 2 ) ] a 2m
2
Vn
波函数一级修正项
1
L
e
ikx
n
n 2 2 [ k ( k 2 ) ] 2m a
2
Vn
e
n i 2 x a
—— 简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成 状态
周期性势场中，对其有主要影响的状态 ′
n k (1 ) a
′ 1
—— 是一个小量
0
—— 只考虑影响最大的状态，忽 略其它状态的影响 状态 ′ 对状态 的影响
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
18
简并波函数
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
13
散射波
在一般情况下，由各原子产生的散射波的位相各不相同，因而彼 此相互抵消，散射波中各成分的振幅均较小，可以用微扰法处理
若 行 进 平 面 波 的 波 长 ＝ 2/k 正 好 满 足 条 件 2a ＝ n ， 相邻两原子所产生的反射波就会有相同的位相，它们 将相互加强，从而使行进的平面波受到很大干涉
ˆ H
0
'
2 me dx ˆ ' V ( x ) V V H 0
2
ˆ (0) H
2
d
2
V 0
根据微扰理论，电子的能量本征值
E k E k E k E k .
(1) (2)
一级能量修正
| ′|
|
|
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
6
6
= 0
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
23
1 0 2 0 0 0 2 E {E k E k ' ( E k E k ' ) 4 V n } 2
ii) | | | | ′ ，k状态的能量和k’能量差别很小 | |
波矢k非常接近
|
|
将
|
|
按
|
|
泰勒级数展开
|
|
|
|
24
( x) a k0 b k0'
薛定谔方程
H 0 ( x ) H ' ( x ) E ( x )
考虑到 得到
0 0 0 0 0 H 00 E and H E k k k k' k' 0 k'
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
19
分别以
=0
〈 | ′| 〉
′ ′ ′
二级能量修正
Ek
(2)
k'
k '| H '| k E k0 E k0'
Vn
2
2
'
n
2 2 n [ k ( k 2 )2 ] 2m a
9
9
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
计入微扰后电子的能量
—— 微扰法不再适用了
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
15
ii) 电子波函数和不同态之间的相互作用
在原来的零级波函数
零级波函数
中掺入与它有微扰矩阵元的其它
它们的能量差越小掺入的部分就越大
当
时，K’=
=
—— 两个状态具有相同的能量 导致了波函 数的发散
′
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
a
a
波矢k离
较远，k状态的能量和状态k’差别较大
将
|
|
按
|
|
泰勒级数展开
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
21
|
|
|
|
2 Vn 1 0 0 0 0 E {Ek Ek ' ( Ek ' Ek )[1 0 ]} 0 2 2 ( Ek ' Ek )
2 0 Vn Ek ' 0 0 Ek ' Ek E 2 Vn 0 Ek E 0 E 0 k' k
2
′
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
22
2 0 Vn E k ' 0 0 E E k' k E 2 Vn 0 E k E 0 E 0 k' k
——
k和k’能级相互作用的结果是原来能级较高的k’提高原来能 级较低的k下压
—— 量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级，总是原来较 高的能量提高了，原来较低的能量降低了 —— 能级间“排斥作用”
⋯.
′
|
|
微扰下电子的能量本征值
Vn k Ek V ' 2 n 2m 2 n [ k ( k 2 )2 ] a 2m
2 2
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
2
10
2）微扰下电子的本征波函数 按照非简并微扰的一般理论，计算到一级修正，波函数为：
k k k
n 0
i 2
nx a
V
ˆ H ˆ (0) H ˆ' H
4
H’代表周期势场的起伏，比起H(0)来很小，可以作为微扰项。
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
零级近似
当晶格周期势场起伏很小,可用势场的平均值V0代替晶格势V(X)
ˆ H ˆ (0) H ˆ' H
薛定谔方程：
11
令
令
可以证明 电子波函数
k ( x )
1
L
e ikx u k ( x )
—— 具有布洛赫函数形式
12
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
12
电子波函数的意义 i) 电子波函数和散射波
— 波矢为k的前 进的平面波 散射波的波矢 ′
— 平面波受到周期性 势场作用产生的散射波
相关散射波成份的振幅
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
5
5
2.非简并微扰计算
由于在零级近似解中， ，能量 是k的二次函数,即+k 与-k所标志 的电子态都相同的能量，因此是二度简并的。必须采用简并态微扰理论来讨论微扰 哈密项 对波函数和能量的影响。
1）微扰下电子的能量本征值
哈密顿量
ˆ H ˆ H
(0)
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
25
|
|
|
|
′
2Tn 2 E Tn Vn Tn 1 Vn 2 2Tn E T V T 1 n n n Vn
场 平 均 值 代 替 原 子 实 产 生 的 势 场V V ( x ), 将 周 期 性 势 场 的 起 伏 量 作为微扰来处理,可用微扰论来求解薛定谔方程
单个原子或原子 实的势场
n-2
n-1
n
n+1 n+2
n+3
晶体中周期原子或原子 实的的周期势场
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
20
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
1 0 2 0 0 0 2 E {E k E k ' ( E k E k ' ) 4 V n } 2 n n 0 0 i) E k E k ' V n k (1 ) k ' (1 )
3
假设由N个原子组成的一维晶格，基矢为a．晶格周期势v(x)可用傅里叶级 数展开，表示为:
V ( x ) V0 V ne
n 0
i 2
nx a
Vn为展开系 数，记做
Vn
V ( x )e L
0
1
L
i 2
nx a
dx
V0
L=Na是一维晶体的长度。 是n=0的展开项的系数，等于势场的平均值
二级能量修正
Ek
(2)
k'
k '| H '| k 0 0 Ek Ek '
| ′| |
2
——
′
′| ′| ′| |
′|
—— 按原胞划分写成
′|
|
7
Ch4.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
7
—— 引入积分变量
x na
1
N 1 n 0
利用势场函数的周期性
x na
V0
单电子哈 密顿算符 令：H ˆ (0) 则有：
V ( x )dx V L
0
2
1
L
ˆ H
2 d 2
2 me
dx
2
V ( x )
2 d 2
2 me
dx
V 0
u ne
n 0
i 2
nx a
2
d
2 2
2 me
dx
V 0
ˆ ' V ( x ) V u e H 0 n
k k
则体系的能量本征值（准确到二级近似）和波函数（准确到一级近似）：
Ek Ek Ek Ek
(0) (1 )
(2)
一维周期场中电子运动的近自由电子近似
2
1. 近自由电子模型
金属中电子受到原子实周期性势场的作用，晶格周期势场的起伏较小，用势