2008年普通高等学校招生全国统一考试(文科数学)(四川延考卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川延考卷)数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{1,0,1}A =−，A 的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个解：A 的子集共328=个，含有元素0的和不含元素0的子集各占一半，有4个．选B2．函数lg y x =+的定义域为（）A．(0,)+∞B．(,1]−∞C．(,0)[1,)−∞+∞U D．(0,1]解：选D．由100x x −≥⎧⎨>⎩01x ⇒<≤．3．41(1)(1)x x++的展开式中含2x 项的系数为（）A．4B．5C．10D．12解：选C．41223344411(1)(1)(1)(1)x C x C x C x x x++=+++++L ，其展开式中含2x 项的系数为234410C C +=．4．不等式21x −<的解集为（）A．{|13}x x <<B．{|02}x x <<C．{|12}x x <<D．{|23}x x <<解：选A．21x −<121x ⇔−<−<13x ⇔<<．5．已知1tan 2α=，则cos sin cos sin αααα+=−（）A．2B．2−C．3D．3−解：选C．cos sin 1tan 3cos sin 1tan αααααα++==−−6．一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（）A B．D．解：设球的半径为r 3143V r π⇒=；正三棱锥的底面面积2S =，2h r =，23212346V r r r ⇒=××=。

所以123V V =，选A 7．若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b−=的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）C．D．解：设过一象限的渐近线倾斜角为αsin 451k αα⇒=⇒=⇒=o 所以b y x x a =±=±a b ⇒=，因此,cc e a===，选A。

8．在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（）A．15B．12C．23D．45解：因文艺书只有2本，所以选3本必有科技书。

问题等价于选3本书有文艺书的概率：343644()1()11205C P A P A C =−=−=−=9．过点(0,1)的直线与圆224x y +=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（）A．2B．C．3D．解：如图AB 最小时，弦心距最大为1，AB ==10．已知两个单位向量a r 与b r 的夹角为3π，则a b λ+r r 与a b λ−r r 互相垂直的充要条件是（）A．λ=λ=B．12λ=−或12λ=C．1λ=−或1λ=D．λ为任意实数解：2222()()()()(1)(1)0a b a b a b a b a b a b a b λλλλλλλλ+⊥−⇔+•−=−+−•=−•=r r r r r r r r r r r r r r 20101a b λλ•≠⇔−=⇔=±r r 。

另外a r 与b r 是夹角为3π的单位向量，画图知1λ=时a b +r r 与a b −r r构成菱形，排除AB，而D 选项明显不对，故选C。

11．设函数()y f x =()x R ∈的图像关于直线0x =及直线1x =对称，且[0,1]x ∈时，2()f x x =，则3()2f −=（）A．12B．14C．34D．94解：23311111(()(1(1)()()2222224f f f f f −==+=−===12．在正方体1111ABCD A B C D −中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值为（）BD．解：如图以D 为坐标系原点,AB 为单位长，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，易见1(0,1,1)A B =−u u u r ，11(1,,0)2D E =u u u u r，所以1111(0,1,1)(1,,0)2cos ,1(0,1,1)(1,,0)2A B D E −<>===−g u u u r u u u u r g ，选B。

（如果连结1,D C EC ,用余弦定理解三角形也可以求得答案。

）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．函数11x y e +=−()x R ∈的反函数为_____________________．解：11111ln(1)x x y ee y x y ++=−⇒=+⇒+=+，所以反函数ln(1)1(1)y x x =+−>−，14．函数2()cos f x x x =−的最大值是____________．解：x ≤，2cos 0x ≥，2()cos f x x x ⇒=−≤sin 1,cos 0x x ==时取等号。

（另2227()cos sin 1(sin 4f x x x x x x =−=−=−在sin 1x =时取最大值）15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55S a =．若40a ≠，则74a a =__________．解：551234142300S a a a a a a a a a =⇒+++=⇒+=+=，取特殊值令231,1,a a ==−43a ⇒=−74129a a a =−=−，所以743a a =16．已知90AOB ∠=°，C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=°，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为___________．解：由对称性点C 在平面AOB 内的射影D 必在AOB ∠的平分线上作DE OA ⊥于E ，连结CE 则由三垂线定理CE OE ⊥，设1DE =1,OE OD ⇒==，又60,2COE CE OE OE ∠=⊥⇒=o ,所以CD ==，因此直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值sin 2COD ∠=三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知2222a c b +=．（Ⅰ）若4B π=，且A 为钝角，求内角A 与C 的大小；（Ⅱ）求sin B 的最大值．解：（Ⅰ）由题设及正弦定理，有222sin sin 2sin 1A C B +==．故22sin cos C A =．因为A 为钝角，所以sin cos C A =−．由cos cos()4A C ππ=−−，可得sin sin()4C C π=−，得8C π=，58A π=．（Ⅱ）由余弦定理及条件2221()2b a c =+，有22cos 4a c B ac+=，因222a c ac +≥，所以1cos 2B ≥．故sin B ≤，当a c =时，等号成立．从而，sin B ．18．（本小题满分12分）一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．（Ⅰ）求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；（Ⅱ）若检验员一天抽检3次，求一天中至少有一次需要调整设备的概率．解：（Ⅰ）设i A 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为A 类品”，1,2i =．i B 表示事件“在一次抽检中抽到的第i 件产品为B 类品”，1,2i =．i C 表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”．则121212C A A A B B A =⋅+⋅+⋅．由已知()0.9i P A =，()0.05i P B =，1,2i =．所以，所求的概率为121212()()()()P C P A A P A B P B A =⋅+⋅+⋅20.920.90.050.9=+××=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一次抽检后，设备不需要调整的概率为()0.9P C =．故所求概率为：310.90.271−=19．（本小题满分12分）如图，一张平行四边形的硬纸片0ABC D 中，1AD BD ==，AB =．沿它的对角线BD 把0BDC ∆折起，使点0C 到达平面0ABC D 外点C 的位置．（Ⅰ）证明：平面0ABC D ⊥平面0CBC ；（Ⅱ）当二面角A BD C −−为120°时，求AC 的长解：（Ⅰ）证明：因为01AD BC BD ===，0AB C D ==，所以090DBC ∠=°．因为折叠过程中，090DBC DBC ∠=∠=°，所以DB BC ⊥，又0DB BC ⊥，故DB ⊥平面0CBC ．又DB ∈平面0ABC D ，所以平面0ABC D ⊥平面0CBC ．（Ⅱ）解法一：如图，由（Ⅰ）知BC DB ⊥，0BC DB ⊥，所以0CBC ∠是二面角0C BD C −−的平面角．由已知得，060CBC ∠=°．作0CF C B ⊥，垂足为F ，由01BC BC ==可得CF =12BF =．连结AF ，在ABF ∆中，2221113()2cos135224AF =+−×°=．因为平面0ABC D ⊥平面0CBC ，所以CF ⊥平面0ABC D ，可知CF AF ⊥．在Rt AFC ∆中，2AC ===．解法二：由已知得090ADB DBC ∠=∠=°．以D 为原点，射线DA ，DB 分别为x ，y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz −．则(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，0(1,1,0)C −，(0,0,0)D ．由（Ⅰ）知BC DB ⊥，0BC DB ⊥，所以0CBC ∠为二面角0C BD C −−的平面角．由已知可得060CBC ∠=°，所以1(2C −．所以2AC ==u u u r，即AC 的长为2．20．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，2112(1n n a a n+=+⋅．（Ⅰ）证明数列2{}na n 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令112n n n b a a +=−，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（Ⅲ）求数列{}n a 的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）由条件得1221(1)2n na a n n+=⋅+，又1n =时，21n a n =，故数列2{}n a n 构成首项为1，公式为12的等比数列．从而2112n n a n −=，即212n n n a −=．（Ⅱ）由22(1)21222n n n n n n n b ++=−=得23521222n nn S +=+++L ，231135212122222n n n n n S +−+⇒=++++L ，两式相减得：23113111212()222222n n n n S ++=++++−L ，所以2552n n n S +=−．（Ⅲ）由231121()()2n n n S a a a a a a +=+++−+++L L 得1112n n n nT a a T S +−+−=所以11222n n n T S a a +=+−2146122n n n −++=−．21．（本小题满分12分）已知椭圆1C 的中心和抛物线2C 的顶点都在坐标原点O ，1C 和2C 有公共焦点F ，点F 在x 轴正半轴上，且1C 的长轴长、短轴长及点F 到1C 右准线的距离成等比数列．（Ⅰ）当2C 的准线与1C 右准线间的距离为15时，求1C 及2C 的方程；（Ⅱ）设过点F 且斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，交2C 于M ，N 两点．当8MN =时，求PQ 的值．解：（Ⅰ）设1C ：22221x y a b+=(0)a b >>，其半焦距为c (0)c >．则2C ：24y cx =．由条件知22(2)2()a b a c c=−，得2a c =．1C 的右准线方程为2a x c =，即4x c =．2C 的准线方程为x c =−．由条件知515c =，所以3c =，故6a =，b =从而1C ：2213627x y +=，2C ：212y x =．（Ⅱ）由题设知l ：y x c =−，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，33(,)P x y ，44(,)Q x y ．由24y cx y x c⎧=⎨=−⎩，得2260x cx c −+=，所以126x x c +=．而1228MN MF FN x x c c =+=++=，由条件8MN =，得1c =．由（Ⅰ）得2a =，b =1C ：22143x y +=，即223412x y +=．由2234121x y y x ⎧+=⎨=−⎩，得27880x x −−=．所以3487x x +=，3487x x =−．故247PQ ===．22．（本小题满分14分）设函数32()2f x x x x =−−+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若当[1,2]x ∈−时，3()3af x −≤≤，求a b −的最大值．解：（Ⅰ）2'()321(31)(1)f x x x x x =−−=+−．于是，当1(,1)3x ∈−时，'()0f x <；1(,(1,)3x ∈−∞−+∞U 时，'()0f x >．故()f x 在1(,1)3−单调减少，在1(,)3−∞−，(1,)+∞单调增加．当13x =−时，()f x 取得极大值159()327f −=；当1x =时，()f x 取得极小值(1)1f =．（Ⅱ）根据（Ⅰ）及(1)1f −=，(2)4f =，()f x 在[1,2]−的最大值为4，最小值为1．因此，当[1,2]x ∈−时，3()3af x b −≤+≤的充要条件是33343a b a b −≤+≤⎧⎨−≤+≤⎩，即a ，b 满足约束条件334343a b a b a b a b +≥−⎧⎪+≤⎪⎨+≥−⎪⎪+≤⎩，由线性规划得，a b −的最大值为7．。