九年级数学下册2.3确定二次函数的表达式二次函数表达式确定策略素材新版北师大版

合集下载

九年级数学下册2.3.2确定二次函数的表达式课件1新版北师大版

【例题】
【例2】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的表达式.
解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
由条件得：
a-b+c=10， a+b+c=4，解方程组得： 4a+2b+c=7，
a=2, b=-3, c=5
因此，所求二次函数的表达式是
y=2x2-3x+5.
∴所求抛物线的表达式为
C
O
B
x
y
1 2 2 x x 1. 3 3
【议一议】
一个二次函数的图像经过A（0，-1），B（1， 2），C（2，1）三点，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流.
【议一议】
解析（一）设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 根据题意，得
3.（潼南·中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC 的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN 的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则能大致反映S与t的函数关系的图象是(
ห้องสมุดไป่ตู้
1．（衢州·中考）下列四个函数图象中，当x＞0时，
y随x的增大而增大的是(
)
C
2.（莆田·中考）某同学用描点法画y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出
如下表格:
x y 0 3 1 0 2 2 3 0 4 3
经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这个二次函数的表达式 . y=x24x+3

《确定二次函数的表达式》(优秀教案)

情感态度价值观：
4.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考的能力、勇于创新的精神，以及良好的学习习惯。
重点
难点
1.学会用特定系数法确定二次函数的表达式。
2.灵活选用三种表达形式来确定二次函数的表达式，解决实际问题。
关键
问题
1.掌握二次函数解析式的三种不同表达形式。
2.学生能够在小组内畅所欲言，进行有序有效的交流，并在同伴交流时认真倾听，做好记录；
3.学科长组织组员围绕任务目标热烈讨论，及时进行修改，统一认识，做好展示准备
展示交流
规范评价
15---20
min
创设展示交流情境
1.每个小组上台，按问题顺序进行展示交流，解决问题；
2.要求学生规范上台讲解展示的语言，强调生生互动，激发学生质疑的热情；
《确定二次函数的表达式》课堂学习过程设计
上课
年级
九年级
学科：数学
主题
确定二次函数的表达式
指导教师
学生主持
第几
课时
1
课型
问题综合解决评价课
学习日期
学习
目标
知识技能：
1.掌握二次函数解析式的三种不同表达形式。
2.学会用特定系数法确定二次函数的表达式。
过程方法：
3.经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识。
1.学生主持呈现学习目标，学生展读学习目标；
2.学生主持呈现学生生成问题；
3.希望学生能积极进入状态，准备讨论问题。
自主学习
合作讨论
8---12
min
创设讨论
学习情境
1.教师巡回检查指导；

确定二次函数表达式北师大版数学九年级下册

根据题意可知 ∵ 点(20，16)在抛物线上，
点拨
选用两根式求解，方法灵活巧妙，过程也较简捷
3、如图，抛物线经过 A（﹣ 2，0）， B（﹣ ， 0）， C（ 0，
2）三点．（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）在直线 AC 下方的抛物线上有一点 D，使得△ DCA 的面积最大，求点 D 的坐标；
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
点拨
通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活。
3.有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解法三解：设抛物线为y=ax(x-40 ）
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式求解。
当堂训练（15分钟）
1.有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解法一：
解：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，
根据题意可知抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点
解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，将 A（﹣
2，0），B（﹣ ，0），C（0，2）代入解析式，得
，解得
．
∴ 抛物线的解析式是 y=2x2+5x+2；
设 D 点的坐标为（t，2t2+5t+2），过 D 作 DE⊥x 轴交 AC 于 E 点， ∴ E 点的坐标为（t，t+2）， DE=t+2﹣（2t2+5t+2）=﹣2t2﹣4t，用 h 表示点 C 到线段 DE 所在直线的距离，

北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》说课稿1

北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》这一节主要介绍了二次函数的表达式以及如何确定二次函数的表达式。

二次函数是中学数学中的重要内容，对于学生来说，掌握二次函数的表达式以及确定方法具有重要意义。

本节课通过实例引导学生掌握待定系数法确定二次函数的表达式，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数、方程等基础知识，对函数的概念有一定的了解。

同时，学生已经掌握了二次函数的一般形式，具备了一定的数学思维能力。

但是，对于如何确定二次函数的表达式，学生可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，引导学生逐步掌握确定二次函数表达式的方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握待定系数法确定二次函数的表达式，能运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等数学活动，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用价值。

四. 说教学重难点1.教学重点：待定系数法确定二次函数的表达式。

2.教学难点：如何引导学生运用待定系数法确定二次函数的表达式，以及如何将实际问题转化为数学问题。

五.说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、案例教学法、小组合作学习法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习二次函数的一般形式，引导学生思考如何确定二次函数的表达式。

2.新课讲解：讲解待定系数法确定二次函数的表达式，并通过实例进行分析。

3.课堂互动：学生分组讨论，尝试运用待定系数法确定给定二次函数的表达式。

4.总结提升：教师引导学生总结确定二次函数表达式的步骤，并强调其在实际问题中的应用。

5.课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

北师版初中数学九年级下册精品教学课件第二章二次函数 3确定二次函数的表达式

∵函数的图象开口向上,∴a>0,∴a=1.
返回首页
5.如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0).
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)设抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长.
返回首页
解 (1)∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(-1,0),
∴将A(0,3),B(-1,0)的坐标分别代入y=ax2+2x+c,解得a=-1,c=3.
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.
(2)由顶点坐标
4-2
- ,
2
4
得 D(1,4).
∵抛物线的对称轴与x轴交于点E,
∴DE=4,OE=1.
在Rt△BED中,根据勾股定理得 BD= 2 + 2 = 22 + 42 =2 5.
C.y=-3(x+1)2+3
D.y=3(x+1)2+3
返回首页
3.函数y=x2+bx+3的图象经过点(-1,0),则b等于
4
.
把点(-1,0)的坐标代入函数表达式,得0=1-b+3.解得b=4.
返回首页
4.已知二次函数y=ax2-x+a2-1的图象如图所示,则a的值是
1
.
图象过原点(0,0),∴0=a2-1,∴a=±1.
达式为 y=x2-2x+3 .
3.已知抛物线y=ax2-5x+c与x轴的交点坐标为(1,0)与(4,0),这个抛物线的函数
y=x2-5x+4
表达式为
.
返回首页

九年级数学下册第二章二次函数2.3确定二次函数的表达式课件北师大版

例5 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0， 3)，求这条抛物线的表达式.
解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)
代入得3=a(0-4)2-1,解得a=
1 ， ∴这条抛物线的表达
4
式为：y= 1 (x-4)2-1.
4
总结
若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).
不选另外一个函数的理由：点(－4，41)，(－2，49)，(2，41)
等不在同一直线上，∴y不是x的一次函数．
(2)由(1)得y＝－x2－2x＋49，∴y＝－(x＋1)2＋50.
∵a＝－1＜0，∴当x＝－1时，y有最大值50.
即当温度为－1 ℃时，这种植物每天高度的增长量最大．
(3)－6＜x＜4.
总结
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线对应的函数表达式为y＝－x2，平
移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．
总结
此题主要考查了二次函数的图象的平移，顶点坐标及交点式求二次函数的表达式，根据平移性质得出平移后抛物线对应的函数表达式是解题关键．第(2)小题是一个开放性题，平移方法不唯一，只需将原顶点平移成横、纵坐标互为相反数即可．已知抛物线与x轴的交点坐标求其表达式时，一般采用二次函数的交点式．
三个
总结
2.二次函数的表达式中有几个待定的字母，就需要有几个条件去求解；反过来，要根据题目中给定的条件数目去设相应的函数表达式并求解，这种方法叫待定系数法．
1．用待定系数法求二次函数的表达式： (1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2

北师大版九年级数学下册第二章二次函数第三节确定二次函数的表达式(无答案)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数第三节确定二次函数的表达式（无答案）确定二次函数的表达式知识梳理知识点一：用配方法确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴、顶点坐标及最值 1.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的配方一般地，对于二次函数y =ax ²+bx +c ，我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标. 例：求次函数y =ax ²+bx +c 的对称轴和顶点坐标．配方：这个结果通常称为求顶点坐标公式. 2.二次函数y =ax ²+bx +c (a ≠0)的图象和性质(1)二次函数y =ax ²+bx +c 的图象是一条抛物线. 画二次函数图象的“三步骤” ①化：把一般式化成顶点式.②定：确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴. ③画：利用抛物线对称性列表、描点、连线.(2)二次函数y =ax ²+bx +c 写成顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=。

(3)对称轴顶点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c c x a b x a 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=a c a b a b x a b x a 22222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222442a b ac a b x a .44222a b ac a b x a -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=(4)开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上，有最小值为ab ac y 442min-=；当a<0时，抛物线的开口向下，有最大值为ab ac y 442max -=。

(5)增减性：① a>0，当x>a b 2-时，y 随x 的增大而增大，当x<a b 2-时，y 随x 的增大而减小. ②a<0，当x>a b 2-时，y 随x 的增大而减小，当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大知识点二：抛物线位置与系数a ，b ，c 的关系：知识点三：用待定系数法求二次函数解析式 1.利用三点坐标确定二次函数的一般式①一般情况下，把三点的坐标代入解析式y =ax ²+bx +c ，列方程组. ②如果没有直接给出三点的坐标，可通过图象的性质求出其他点的坐标. 确定二次函数一般式的“四步骤”①设：设二次函数解析式为y =ax ²+bx +c (a ≠0). ②列：根据题意列方程组.北师大版九年级数学下册第二章二次函数第三节确定二次函数的表达式（无答案）③解：解方程组.④定：确定二次函数解析式.2.利用顶点式确定二次函数解析式用顶点式求解析式的“三种情况”①已知顶点坐标. ②已知对称轴或顶点的横坐标. ③已知二次函数的最大(小)值或顶点的纵坐标.3.利用交点式确定二次函数解析式当已知抛物线与x 轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0)时，则设抛物线的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，再根据其他条件求出a的值。

北师版九年级数学下册_2.3确定二次函数的表达式

抛物线于点 H，则 yH＝－530×72＋6＝ 3.06>3.所以其中的一侧行车道能并排
行驶宽 2 m、高 3 m 的三辆卡车．
课堂小结
确定二次函数的表达式
确定二次函数的表达式
一般式顶点式交点式
关键已知条件的呈现方式
知2－练
感悟新知
知2－练
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m 的隔离带)，其中的一侧行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m 的三辆卡车(卡车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
感悟新知
解：能. 理由如下：
知2－练
如图所示，设 DE 是隔离带的宽，EG 是三辆卡车的宽
度和，则点 G 的坐标是(7，0)．过点 G 作 HG⊥AB，交
4-1. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6 m，跨度是20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
感悟新知
知2－练
(1)将抛物线放在直角坐标系中，并根据所给数据求出抛物线的函数表达式. 解：(答案不唯一)将抛物线放在如图所示的直角坐标系中，根据已知条件，知A，B，C三点的坐标分别是(－10，0)，(10， 0)，(0，6)．
1
标－2∵为x)－分3+517别(.－x722＜为+172(01xx，4)2+.－则∴2xxl当=，)=Ax－0D=)，+7722D(Cx时12+4+，C－2Bxlx+=有，1(4最－－=－大177 值72xx22+(+，x22－x最x ))72大+，)(值+1(x432，－5 .
2
感悟新知
知2－练
得5a＝5，解得a＝1，
∴y＝x(x－4)＝x2－4x，

山西专版2024九下第二章二次函数3确定二次函数的表达式第1课时由两点确定二次函数的表达式作业新版北

解：(1)由题意可设y＝a(x－2)2＋4，将(1，3)代入得3＝a＋4，解得a＝－1， ∴y＝－(x－2)2＋4.
不能，理由： ∵y＝－(x－2)2＋4的最大值为4， ∴动点P次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点B(0，－2)，且与反比例函数y＝－的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的表达式为( ) A．y＝x2－x－2 B．y＝x2－x＋2 C．y＝x2＋x－2 D．y＝x2＋x＋2
－3≤x≤1.
3．已知二次函数图象的顶点坐标是(1，－2)，且经过点(0，－5)，则它的表达式是( ) A．y＝－3(x＋1)2－2 B．y＝3(x＋1)2－2 C．y＝－3(x－1)2－2 D．y＝3(x－1)2－2
C
【变式题】二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为( ) A．y＝－x2＋2x－3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝x2＋2x－3 D．y＝x2－2x＋3
A
【变式题1】已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过(－1，0)，(0，5)两点，则这个二次函数的表达式为_________________．【变式题2】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的形状与抛物线y＝x2＋2x－3相同，且经过原点及点(1，0)，则b＋c的值是________．
y＝－x2＋4x＋5
解：∵函数图象过点(－m，0)和(3m，0)， ∴函数图象的对称轴为直线x＝m. ∵图象过点(n，3)，(0，3)，∴易得n＝2m. ∵－2<m<－1，∴－4<n<－2.
(3)求证：b2＋4a＝0.
证明：由题意得－＝m，顶点坐标为(m，am2＋bm＋3)． ∴b＝－2am.将(－m，0)和(3m，0)分别代入表达式可得 ①×3＋②得12am2＋12＝0， ∴am2＝－1.∴am2＋bm＋3＝am2－2am2＋3＝－am2＋3＝4. ∴12a－b2＝16a.∴b2＋4a＝0.

北师大版九年级数学下册确定二次函数的表达式课件(第1、2课时20张)

+

顶点式 = ( − ) 能使问题简化。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型三已知抛物线与轴交点的坐标，求二次函数的表达式
例3.已知二次函数的图象与轴交于点M(-2,0)、N(3，
-0)，且抛物线经过P(2,4),求这个二次函数的表达式.
解：设函数的表达式为 = ( + )( − )
知
新
答一答
1.二次函数的达式有几种情势？
一般式： = + + (a≠0)
顶点式： = ( − ) + (a≠0)
交点式： = ( − )( − )(a≠0)
2.已知函数 = − − ，函数的开口方向向上，
对称轴是直线 =1 ，顶点坐标是 (1,-7)
除了以上四种类型外，还有一些特殊方法。
对二次函数 = + + .
抛物线与轴交点(0,c）.
当 = ， = 时，抛物线顶点在原点，以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线顶点(0,c），以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线必过原点.
当 − = 时，抛物线顶点在轴上.
= −
所以，所求二次函数表达式为 = −
教学过程
方
法
总
结
记一记
方法总结：所求二次函数表达式有两个
待定系数时，需要两个独立条件或两个
点的坐标。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型二
已知抛物线顶点的坐标，求二次函数的表达式
例2.已知二次函数的图象以M(-2,3)为顶点，且经过点
N(-1，-3)，求这个二次函数的表达式.

北师大版九年级数学下册：第二章 2.3.1《确定二次函数的表达式》精品教案

北师大版九年级数学下册：第二章 2.3.1《确定二次函数的表达式》精品教案一. 教材分析《确定二次函数的表达式》是北师大版九年级数学下册第二章第三节的第一课时内容。

本节课的主要目的是让学生掌握二次函数的解析式，并能够根据实际问题确定二次函数的系数。

教材通过简单的实例引导学生探究二次函数的解析式，培养学生的探究能力和数学思维。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，对函数有了初步的认识。

但是，对于二次函数的理解还需要进一步的引导和培养。

在导入环节，我会利用学生已有的知识基础，通过一次函数的图像引导学生思考二次函数的特点，激发学生的学习兴趣。

三. 教学目标1.理解二次函数的解析式的概念，掌握二次函数的解析式的形式。

2.能够根据实际问题确定二次函数的系数。

3.培养学生的探究能力和数学思维。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的解析式的概念和形式。

2.难点：如何根据实际问题确定二次函数的系数。

五. 教学方法1.引导法：通过问题的引导，让学生主动探究二次函数的解析式。

2.实例分析法：通过具体的实例，让学生理解二次函数的解析式的应用。

六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，帮助学生直观地理解二次函数的解析式。

2.实例素材：准备一些实际的例子，用于引导学生分析二次函数的解析式。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一次函数的图像，引导学生思考二次函数的特点。

提出问题：“如果我们把一次函数的图像旋转90度，会得到怎样的图像？”让学生思考二次函数的图像特征。

2.呈现（10分钟）通过课件展示二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0）。

解释二次函数的各个系数的含义，引导学生理解二次函数的解析式。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际的例子，尝试确定二次函数的解析式。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）请各组学生汇报他们的讨论结果，教师点评并总结。

北师大版九年级数学下册《二次函数——确定二次函数的表达式》教学PPT课件(4篇)

y=ax2+bx+c,把（－3，0），（－1，0），
1.设：
（表达式）
（0，－3）代入y=ax2+bx+c得
2.代：
a=－1，
9a
－
3b+c=0，
（坐标代入）
a－b+c=0，解得 b=－4，
3.解：
c=－3，
c=－3.
方程（组）
4.还原：
∴所求的二次函数的表达式是
（写表达式）
y=－x2－4x－3.
第二章二次函数
3 确定二次函数的表达式
CONTENTS
目
录
1
学习目标
2
新课导入
3
新课讲解
4
课堂小结
5
当堂小练
6
拓展与延伸
学习目标
1.用一般式(三点式)确定二次函数表达式
2.用顶点式确定二次函数表达式
3.用交点式确定二次函数表达式（重点、难点）
新课导入
1. 一次函数的表达式是什么?如何求出它的表达式?
2
(2)△ABC的面积是6.
O
B
A
C
x
随堂即练
6.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G
（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系
a b c 6

9a 3b c 0
c 3

解这个方程组，得a= 0.5，b= – 2.5，c=3
∴所求得的函数解析式为y=0.5x²– 2.5x+3
当堂小练
已知：二次函数的图像的对称轴为直线x= –3，并且函数有最
大值为5，图像经过点(–1,–3)，求这个函数的解析式。

北师版数学九年级下册3 确定二次函数的表达式教案与反思

3确定二次函数的表达式满招损，谦受益。

《尚书》原创不容易，【关注】，不迷路！第1课时确定含有两个未知数的二次函数的表达式教学目标一、基本目标1．会用待定系数法求二次函数的表达式．2．掌握用“顶点式”求二次函数表达式．二、重难点目标【教学重点】用待定系数法求二次函数的表达式．【教学难点】根据已知条件选取适当的方法求二次函数的表达式．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P42～P43的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的表达式．2．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c，顶点式：y＝a(x－－2)x2＋(m＋3)x ＋m＋2的图象过点(0，5)，求m的值，并写出二次函数的表达式．解：把(0，5)代入y＝(m－2)x2＋(m＋3)x＋m＋2，得m＋2＝5，解得m＝3.∴二次函数的表达式为y＝x2＋6x＋5.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】已知二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式．【互动探索】(引发学生思考)用待定系数法求解．【解答】将点(2，3)和(－1，－3)的坐标分别代入表达式y ＝ax 2＋c ，得⎩⎨⎧ 3＝4a ＋c ，－3＝a ＋c ，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝－5.即所求二次函数表达式y ＝2x 2－5.【互动总结】(学生总结，老师点评)已知函数表达式和该函数图象上两个点的坐标，一般用待定系数法求函数表达式．活动2 巩固练习(学生独学)1．写出经过点(0，0)，(－2，0)的一个二次函数的表达式y ＝x 2＋2x (答案不唯一)．(写一个即可)2．若抛物线的顶点为(－2，3)，且经过点(－1，5)，则其表达式为y ＝2x 2＋8x ＋11.3．二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A (1，3)，求此抛物线的表达式．解：设抛物线的表达式为y ＝a (x －3)2＋5.将A (1，3)代入上式，得3＝a (1－3)2＋5，解得a ＝－2. ∴抛物线的表达式为y ＝－12(x －3)2＋5. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x ＝－1，则这个二次函数的表达式为( )A ．y ＝－x 2＋2x ＋3B ．y ＝x 2＋2x ＋3C ．y ＝－x 2＋2x －3D ．y ＝－x 2－2x ＋3【互动探索】根据对称轴设顶点式→将两个点的坐标代入即可求解．【分析】由图象知抛物线的对称轴为直线x ＝－1，且过点(－3，0)，(0，3，设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)2＋k .将(－3，0)，(0，3)代入，得⎩⎨⎧ 4a ＋k ＝0，a ＋k ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，k ＝4.故抛物线的表达式为y ＝－(x ＋1)2＋4＝－x 2－2x ＋3.【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查定系数法求函数表达式，解题的关键是根据题意设出合适的二次函数表达式，已知对称轴一般设顶点式．环节3 课堂小结，当达标(学生总结，老师点评)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中一项的系数，再知道图象上两个点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时确定二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的表达式教学目标一、基本目标1．掌握用“三点”列方程组求二次函数达式．2．能根据已知点的特点，用“交点式”求二次函数的解析式．3．通过探索和总结，让学生体会到学习数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．二、重难点目标【教学重点】用待定系数法求二次函数的表达式．【教学难点】根据已知条件选取适当的方法求二次函数的表达式．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min 阅读】阅读教材P44～45的内容，完成下面练习．【3min 反馈】1．用待定系数法求二次函数的表达式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，需要求出a 、b 、c 的值，由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 、c 的值，就可以写出二次函数的表达式．2．若已知抛物线的顶点或对称轴，则一般设抛物线的表达式为顶点式y ＝a (x －(1，－2)，且经过点N (2，3)，求此二次函数的表达式．解：∵抛物线的顶点坐标为M (1，－2)，∴可设此二次函数的表达式为y ＝a (x －1)2－2.把点N (2，3)代入表达式，得a －2＝3，即a ＝5.∴此二次函数的表达式为y ＝5(x －1)2－2.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．【互动探索】(引发学生思考)已知二次函数的图象经过任意三点的坐标，考虑设二次函数的一般式解决问题．【解答】设所求二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．将三点(－1，10)，(1，4)，(2，7)的坐标分别代入表达式，得⎩⎨⎧ 10＝a －b ＋c ，4＝a ＋b ＋c ，7＝4a ＋2b ＋c ，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－3，c ＝5.即所求二次函数的表达式为y ＝2x 2－3x ＋5.∵y ＝2x 2－3x ＋5＝2x －342＋318， ∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝34，顶点坐标为34，318.【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式时，当已知抛物线过任意三点时，通常设二次函数的一般式，即设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，从而列三元一次方程组来求解．【例2】已知抛物线经过点(－1，0)，(5，0)和(3，－4)，求该抛物线的解析式．【互动探索】(引发学生思考)已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一点的坐标，应该怎样设函数解析式较为简便？【解答】设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－5)．将(3，－4)代入，得－4＝－8a，解得a＝1 2 .则该抛物线的解析式为y＝12(x＋1)(x－5)，即y＝12x2－2x－52.【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式时，若已知抛物线与x轴的两个交点分别为(x1，0)，(x2，0)，可选择设其解析式为交点式，即y＝a(x－x1)(x－x2)．活动2巩固练习(学生独学)1．已知一个二次函数的图象经过A(0，－3)、B(1，0)、C(m，2m＋3)、D(－1，－2)四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．解：抛物线的解析式为y＝2x2＋x－3，点C坐标为－32，0或(2，7)．2．已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)．(1)试确定此二次函数的解析式；(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？解：(1)此二次函数的解析式是y＝－x2－2x＋3.(2)点P(－2，3)在此二次函数的图象上．活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知二次函数图象的顶点坐标是(3，5)，且抛物线经过点A(1，3)．(1)求此抛物线的表达式；(2)如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是点C，求△ABC的面积．【互动探索】(1)设顶点式y＝a(x－3)2＋5，然后把点A坐标代入求出a，即可得到抛物线的解析式；(2)利用抛物线的对称性得到B(5，3)，再确定出点C坐标，然后根据三角形面积公式求解．【解答】(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－3)2＋5.将A(1，3)代入上式，得3＝a(1－3)2＋5，解得a＝－1 2 .即抛物线的解析式为y＝－12(x－3)2＋5.(2)∵A(1，3)，且抛物线对称轴为直线x＝3，∴B(5，3)．令x＝0，则y＝－12(x－3)2＋5＝12，∴C0，1 2，∴S△ABC＝12×(5－1)×3－12＝5.【互动总结】(学生总结，老师点评)已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其表达式为顶点式来求解．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)用待定系数法求二次函数解析式的三种常见设法(其中，a≠0，x1、x2分别是抛物线与x轴的交点的横坐标)：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c；(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k；(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)．练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】海明威和他的“硬汉形象” 美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。

北师大版九年级数学下册双减分层作业设计案例样例第二章二次函数第三节确定二次函数表达式

初中数学九年级书面作业设计样例初中数学九年级书面作业设计样例数法求函数表达式.来源：选编答案：D意图：通过已知两点坐标求含有两个未知系数的二次函数解析式，并求出三角形的面积，巩固待定系数法求函数表达式，以及坐标平面内求三角形面积的方法.来源：选编答案：意图：通过二次函数图像的性质确定抛物线的对称轴，巩固待定系数法求函数表达式.来源：选编、113、答案：y =——x 2-x +4或22 1一一x 2+x拓展性作业 (选做)意图：通过三角形相似得到点的坐标，进而求出动点运动轨迹的函数解析式，巩固待定系数法求函数表达式、相似三角形的判定及性质.来源：创编8答案：y =x 23A. y =-x 2+2x +3B. y =x 2+2x +3C. y =-x 2+2x -3D. y =—x 2—2x +36.已知二次函数y =—2x 2+bx +c 的图象经过点A (0,4)和B (l,-2).(1)求此函数的解析式；并运用配方法，将此函数化为y =a (x +m )2+k 的形式；(2)写出该抛物线顶点C 的坐标，并求出A CAO 的面积.1.已知抛物线y =-2x 2+bx +4经过点(k +3,-k 2+1),(-k —1,-k 2+1),则该抛物线的解析式是2.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点C 为y 轴正半轴上的一个动点，过点C 的直线与二次函数y =x 2的图象交于 A 、B 两点，且CB =3AC ，P 为CB 的中点，设点P 的坐标为 P (x ，y )(x >0),则y 关于x 的函数表达式为.(1)y =-2(x +1)2+6 (2) 2意图：通过阅读理解确定二次函数的顶点进而求解析式，巩固灵活运用题目信息并运用待定系数法求函数表达式。

3.如果抛物线L的顶点在抛物线L上，抛物线L的顶点也在抛122物线L上时，那么我们称抛物线L与L是“互为关联”的抛物112线•如图，已知抛物线L:y=ax2+bx经过A(—4,0),D(6,15).11(1)求出抛物线L的函数表达式；1(2)若抛物线L与L是“互为关联”的抛物线，抛物线L与L2112 的顶点分别为E、F，O为坐标原点，要使S=3S，求所AFAOAEAO来源：选编图3 答案:(2)(2)-丄x2-3x-6。

第1课时确定含有两个未知数的二次函数表达式数学北师大版九年级下册教案

第二章二次函数3 确定二次函数的表达式第1课时确定含有两个未知数的二次函数表达式教学目标1.体会确定二次函数表达式所需要的条件，利用点的坐标确定二次函数表达式.2.经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思考过程，类比求一次函数表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法.教学重难点重点：用待定系数法确定二次函数表达式. 难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，选择合适的二次函数的表达式．教学过程导入新课提出问题师：二次函数表达式的一般形式是什么？生：y ＝ax ²+bx+c (a ，b ，c 为常数，a ≠0).师：二次函数的顶点式是什么？生：2()y a x h k =-+（a ≠0）.师：我们在用待定系数法确定一次函数y ＝kx+b (k ，b 为常数，k ≠0)的表达式时，通常需要几个独立的条件？生：两个.师：确定反比例函数ky x=(k ≠0)的表达式时，又通常需要几个条件呢？生：一个. 师：如果要确定二次函数的表达式y ＝ax ²+bx+c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，通常又需要几个条件？设计意图：本环节是复习旧知识，让学生回忆并回答，为本节课的学习做好铺垫.探究新知一、预习新知教师利用多媒体展示本节开始的问题.一名学生推铅球时，铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系如图所示，你能求出y 与x 之间的表达式吗？教师先引导学生进行分析教学反思要求y 与x 之间的表达式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设出对应的表达式，再把已知点的坐标代入表达式求出待定系数即可. 要求学生独立解答，代表展示，师生共同订正.解：∵(4，3)是抛物线的顶点坐标，∴设二次函数表达式为y ＝a (x －4)2+3.把点(10，0)的坐标代入y ＝a (x －4)2+3，解得a ＝－112，因此铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数表达式为y ＝－112(x －4)2+3. 想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流.学生先独立思考，然后小组内交流，最后进行探讨.师生共同总结:(1)形如y ＝ax 2的二次函数，因为只有一个未知系数a ，所以只需要知道图象上一个点的坐标.(2)形如y ＝a (x -h )2和y ＝ax 2+c 的二次函数，有两个未知系数，所以需要知道图象上两个点的坐标.(3)形如y ＝a (x -h )2+k 的二次函数，如果已知二次函数的顶点坐标，那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.设计意图：通过现实情景再现，让学生体会到函数是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生形成良好的数学应用意识，也激发了学生学习数学的兴趣.二、合作探究根据前面的分析，在求二次函数表达式时，我们要根据具体情况选择合适的表达式.典型例题【例】已知二次函数y ＝ax 2+c 的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式. 【问题探索】确定二次函数y ＝ax 2+c 的表达式，只需确定a ,c 两个系数的值，需要知道两个点坐标，因此此题只要把已知两点坐标代入即可.【解】将点（2，3）和（－1，－3）的坐标分别代入二次函数y ＝ax 2+c中，得解得∴所求二次函数表达式为y ＝2x 2－5.教师提出问题通过上面的解题过程,你能总结出求此类型的二次函数的表达式所需要的步骤吗？学生独立思考，然后小组内交流，最后代表总结.【总结】要确定形如y ＝ax 2+c ，y ＝ax 2+bx 等只含有两项的二次函数表达式，把图象上已知的任意两个点的坐标代入二次函数的表达式中，列出二元一次方程组求出未知系数，就可以求出二次函数的表达式.设计意图：通过对例题的解答，使学生掌握列二元一次方程组求二次函数表达式的方法，同时也提高了学生具体问题具体分析的能力.教学反思⎩⎨⎧+=-+=,3,43c a c a ⎩⎨⎧-==.5,2c a多媒体展示课本中的做一做.已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.教师先提出下列问题：1.二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点坐标是什么?2.二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交点的纵坐标与系数c有什么关系?3.二次函数表达式y＝ax2+bx+c中除了系数c之外，还有几个未知系数?学生根据问题观察、思考得到结论.学生总结、教师点评：此题隐含了c＝1的结论，需要同学们去发现，除了系数c之外，只有两个未知系数，函数图象还已知两个点的坐标，可以求出它的表达式.让学生独立完成，把做的好的学生的成果进行展示.想一想：在什么情况下,已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式？学生独立思考后，小组交流、讨论，老师巡视，并参与到学生的讨论中去.学生总结、教师点评1.用顶点式y＝a(x-h)2+k时，已知顶点坐标是(h，k)，再给出图象上另一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.确定表达式的步骤和方法：可以利用待定系数法设表达式为顶点式：y＝a(x-h)2+k，再把另一个点的坐标代入，求出a的值就可以确定所求二次函数的表达式.2.用一般式y＝ax2+bx+c确定函数表达式时，如果系数a，b，c中有两个系数未知，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.确定只含两个未知系数的二次函数表达式的一般步骤和方法：设出只含两个未知系数的二次函数的一般式，把两个点的坐标代入表达式，得到二元一次方程组，解这个方程组，得到两个未知系数的值，就可以确定二次函数的表达式.提升：要想求出二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均未知）的表达式，需要知道几个点的坐标？学生猜想：3个.设计意图：通过归纳总结让学生对本节课的主要内容有一个阶段性的认识，使所学知识更加条理、更加系统，通过让学生独立思考，为下节课的学习做好了铺垫.课堂练习1.二次函数的图象如图所示,则它的表达式是()A.y＝2x2−4xB.y＝−x(x−2)C.y＝−(x-1)2+2D.y＝−2x2+4x2.已知二次函数y＝x2＋bx－2的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，则该二次函数的表达式为( ) 教学反思A ．y ＝x 2－2xB ．y ＝x 2＋x －1C ．y ＝x 2＋x －2D ．y ＝x 2－x －2 3.已知二次函数图象的顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），则这个二次函数的表达式为.参考答案1.D2.C3.x x y 22--=课堂小结(学生总结，老师点评)1.利用两个点的坐标确定二次函数表达式时需要满足的条件.2.求二次函数表达式的步骤和方法.板书设计第二章二次函数 3 确定二次函数的表达式第1课时确定含有两个未知数的二次函数表达式1.利用两个点的坐标确定二次函数表达式时需要满足的条件: 已知顶点坐标：设顶点式，然后代入一个点的坐标；只有两个未知系数：代入两个点的坐标.2.求二次函数表达式的步骤和方法:待定系数法→代入→组成方程组→解方程组求出待定系数→确定二次函数表达式. 教学反思。

2024北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》教案

2024北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》教案一. 教材分析《确定二次函数的表达式》是北师大版数学九年级下册第2章第3节的内容。

本节课的主要目的是让学生掌握二次函数的解析式，并能够利用待定系数法求解二次函数的解析式。

教材通过实例引导学生探究二次函数的解析式，让学生在实际问题中体会数学的应用价值。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的基本概念，并了解了一次函数和正比例函数的解析式。

因此，学生在学习本节课时，具备了一定的数学基础。

但部分学生对于待定系数法求解二次函数解析式的理解可能存在困难，因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过实例和讲解，帮助他们理解和掌握待定系数法的运用。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数的解析式，并能够利用待定系数法求解二次函数的解析式。

2.过程与方法：通过探究二次函数的解析式，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：让学生感受数学在实际生活中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的解析式及其求解方法。

2.难点：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过设置问题，引导学生探究二次函数的解析式；以实际案例为例，讲解待定系数法的运用；小组讨论，促进学生之间的交流与合作。

六. 教学准备1.准备相关案例和问题，用于引导学生探究二次函数的解析式。

2.准备PPT，展示二次函数的图像和解析式。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示二次函数的图像，引导学生回顾二次函数的基本概念。

然后提出问题：“如何表示这个二次函数？”引发学生的思考。

2.呈现（15分钟）通过PPT呈现二次函数的解析式，解释二次函数的各个系数代表的意义。

同时，引导学生观察解析式与图像之间的关系。

3.操练（20分钟）以实际案例为例，讲解待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。