指数与指数幂的运算第二课时定稿
《2.1.1指数与指数幂的运算》第二课时
（3） 5 5 5
3） 2 3 ） （ （ ）2 8 （6（ ）（ 54 ）
1 2 6
收获与体会
1.分数指数幂的意义及运算性质：
m n
a a (a 0, m, n N , 且n 1) m 1 1 n * a m ( a 0, m , n N , 且 n 1) n m a an
新课探究
探究：运算下列各题
4
3 4
a (a )
3
4
3 4
4
=a
n
n
a
m
(a ) a
n
m n
m n
(a 0, m, n N * , 且n 1)
小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式 可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）。
新课探究
1.正数的正分数指数幂的意义：
新课探究
有理数 整数指数幂的运算性质: 对于任意的 有理数 整数 r，s，均有下面的运算性质：
Q ； ⑴ ar· as=ar+s (a>0,r,s∈Z) Q ； ⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈Z)
⑶ (ab)r=ar· br (a>0,b>0,r∈Q Z).
上述运算法则对 无理数指数幂也 成立。
n m *
2.指数概念的扩充后的运算法则： 同底的两个指数相乘底数不变，指数相加； 同底的两个指数相除底数不变，指数相减；
课后巩固
1 4
0 课后思考：若（ x 5） （x 4） 有意义，求x的取值范围。
m n
a a (a 0, m, n N , 且n 1)
n m *
2.正数的负分数指数幂的意义：
高一数学教案： 2.1.1 指数与指数幂的运算(2课时)
第二课时：9月21日星期二 （I ）复习回顾（II ）讲授新课分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n 次方根的概念来解：25101052a a ,a )a (=∴=Θ； 也可根据n 次方根的性质来解：2552510a )a (a ==。
问题1：观察34122510a a ,a a ==，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？43124122510510a aa,a aa====⇒，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。
问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：3232a a =是否可行？分析：假设幂的运算性质mnnm a)a (=对于分数指数幂也适用，那么2332332a a)a (==⨯，这说明32a 也是2a 的3次方根，而32a 也是a 2的3次方根（由于这里n=3，a 2的3次方根唯一），于是3232a a =。
这说明3232a a =可行。
由此可有：1.正数的正分数指数幂的意义：<板书>1*,,,0(>∈>=n N n m a a a n m nm 且)注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数a n的幂指数n 与根式的根指数n 的一致性。
根式与分数指数幂可以进行互化。
问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？ 分析：正例：32322510510331)2()2(,4)2()2()2(,28)8(-=-=-=-=--=-=-等等；反例：6231,2)8()8(,28)8(6262331==-=--=-=-而实际上；又如： ，）（）（）（3412412888-=-=-34434124128888===-）（）（。
这样就产生了混乱，因此“a>0”这个限制不可少。
至于28)8(331-=-=-，这是正确的，但此时31)8(-不能理解为分数指数幂，31不能代表有理数（因为不能改写为62），这只表示一种上标。
人教版高中数学必修1-2.1《指数与指数幂的运算(第2课时)》教学设计
2．1．1指数与指数幂的运算(第二课时)（胡文娟）一、教学目标 （一）核心素养通过指数运算符号的使用与运算法则的总结，培育学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，为指数函数学习打下坚实基础． （二）学习目标1．理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 2．运用有理数指数幂运算性质进行计算． （三）学习重点1．有理数指数幂的运算性质． 2．运用有理数指数幂的性质进行计算． （四）学习难点有理数指数幂的运算性质及其应用 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）求下列各式的值：①0232)2017(2)8(--⋅--；②21)62581(-详解：①原式014164121)8(3232=-⋅=-⋅-=； ②原式925)53()53(2214==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--．（2）计算下列各式．①=⋅2222 ，=⋅212122 ； ②=22)2( ，=221)2( ； ③=⨯2)32( ，=⨯21)32( ；观察上面的计算结果，你能得出什么结论？ 结论： ． 详解： ①16222242222===⋅+，222221212121==⋅+；②1622)2(42222===⨯，22)2(221221==⨯；③3632)32(222=⨯=⨯，632)32(212121=⨯=⨯．结论：整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也适用．2．预习自测（1）对于0>a ，Q ,∈s r ，以下运算中正确的是（ ） A ．rs s r a a a =⋅B ．s r s r a a +=)(C ．r r r b a ba-=)(D ．s r s r ab b a +=)(【知识点】有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】s r s r a a a +=⋅，A 选项错；rs s r a a =)(，B 选项错；由有理数指数幂的运算性质得D 选项不成立．【思路点拨】正确识记并掌握有理数指数幂的运算性质． 【答案】C ．（2）下列各式正确的是（ ） A ．y x y x 3223=B ．)0()(2<=-x x xC ．x x x =⋅52D ．35332x x x =⋅【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】32x y = A (0)x x =-< B 59x == D 错．【思路点拨】根据根式与分数指数幂的互化进行判断． 【答案】C ．（3）将33611xx x ⋅(0>x )化简，结果正确的是（ ）A ．xB ．611x C ．6xD ．1【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】103123611312361133611===⋅=⋅--x xxx xxx x【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系以及有理数指数幂的运算性质进行化简． 【答案】D ． （4）计算2231224-+⋅的结果是（ ）A ．16B ．32C ．64D ．128【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简求值． 【数学思想】 【解题过程】322224522322222312===⋅-++-+．【思路点拨】运用有理数指数幂的运算性质，同底数的幂相乘底数不变指数相加． 【答案】B ． (二)课堂设计 1．知识回顾正整数指数幂的运算性质：*0,,r s r sa a a a r s +=>∈N （） *0,,r s rs a a a r s =>∈N （）（） *0,0,r r r ab a b a b r =>>∈N （）（）2．问题探究探究一 有理数指数幂的含义及其运算性质★ ●活动① 有理数指数幂的含义前面我们学习了正数的正指数幂的意义，规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm 也规定了正数的负指数幂的意义：1*()0,,,1)m m nnaa a m n N n --==>∈>在规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 【设计意图】通过回顾已学知识归纳总结，加深学生对有理数指数幂的理解． ●活动② 有理数指数幂的运算性质回顾整数指数幂的运算性质，在规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否仍然适用呢？（学生讨论给出结论）答案是肯定的，整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r ，s ，均有下面的运算性质：0,,Q r s r sa a a a r s +=>∈（） 0,,Q r s rs a a a r s =>∈（）（） 0,0,Q r r r ab a b a b r =>>∈（）（）【设计意图】通过学生自己思考得出整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用的结论，为后面运用有理数指数幂的运算性质进行化简计算做铺垫． ●活动③ 有理数指数幂的化简求值阅读教材51页至52页，从书中的例子中，我们可以总结得出有理数指数幂的化简求值的一般步骤有：第一步找同底数幂，调换位置时注意做到不重不漏；第二步合并同类项，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，同底数的幂相除则底数不变指数相减；第三步同底数幂相加减，能合并的就合并，不能合并就按照升幂或降幂排列．【设计意图】强调学生在进行有理数指数幂的化简求值时要注意正确步骤，更容易得出正确结果．探究二 运用有理数指数幂运算性质进行计算★▲ ●活动① 巩固基础，检查反馈例1 如果a >0，b >0，m ，n 都是有理数，下列各式错误的是（ ） A ．mn n m a a =)（ B ．n m n m a a a --=C ．n n n b a ba-⋅=)( D ．n m n m a a a +=+【知识点】有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】D 选项不成立．【思路点拨】正确识记并掌握有理数指数幂的运算性质． 【答案】D ．同类训练 对任意实数a ，下列关系式不正确的是（ ）． A ．a a =2132)( B ．313221)(a a = C ．513153)(a a =-- D ．515331)(a a =【知识点】有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】A 选项中312132)(a a =．【思路点拨】正确识记并掌握有理数指数幂的运算性质． 【答案】A ．例2 若210x ＝25，则10x -等于（ ）A ．－51B ．51C ．501 D ．6251 【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】【解题过程】221025(10)25105x x x =∴=∴=Q ，，或510-=x （舍去），5110110==∴-x x ． 【思路点拨】利用有理数指数幂的运算法则进行化简． 【答案】B ．同类训练 已知31=+aa ，则2121-+a a 等于（）A ．2B ．5C ．5-D ．5±【知识点】有理数指数幂的化简求值．【数学思想】【解题过程】52122121=++=+-aa a a ）（． 【思路点拨】利用有理数指数幂的运算法则进行化简． 【答案】B ．●活动② 强化提升、灵活应用例3 用分数指数幂的形式表示下列各式（a >0）： （1）a a ⋅3（2）322a a ⋅ （3）3a a【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】（1）272133a a a a a =⋅=⋅（2）38322322a a a a a =⋅=⋅（3）3221313a a a a a =⋅=⋅）（ 【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系． 【答案】（1）27a ，（2）38a ，（3）32a ． 同类训练 用分数指数幂表示下列各式．（1）)0(4>a a a ； （2）)0()(542≥++⋅+n m n m n m ）（；（3）3x x )0(≥x ． 【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质及其化简求值． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）272144a a a aa =⋅=- （2）32542542)()()(）（）（n m n m n m n m n m +=+⋅+=+⋅+（3）2131213)(x x x x x =⋅=【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】（1）27a ，（2）3）（n m +，（3）21x ． 例4 求值25.04245.0081)2()4(5.7])43[(+-+⨯--【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式5316151)3(2)4(21514144241=++-=+-+⨯-=）（【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化和有理数指数幂的运算性质进行化简求值． 【答案】5．同类训练 计算：5.02120)01.0()416(2)532(-⋅+--【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简． 【数学思想】【解题过程】111020.52222311251(2)2(6)(0.01)1()()5424100---+⋅-=+⋅-1211111145101010=+⋅-=+-=．【思路点拨】根据有理数指数幂的运算性质直接进行计算． 【答案】1．【设计意图】加强学生对有理数指数幂的运算性质的应用的掌握． ●活动③ 强化提升、灵活应用 例5 化简：)00()65)(41(561312112132>>-----y x y x y x yx ，．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】原式61313221326121311213224242455y yx y x yx y x ===---+--【思路点拨】熟练运用有理数指数幂的化简性质进行计算． 【答案】6124y ． 同类训练 化简：)00()(3131421413223>>⋅-b a ba b a ab b a ，【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】原式b aab ba ba ab b a b a ===⋅⋅=---++-+-13123113116123313122132213123)()(【思路点拨】熟练运用有理数指数幂的化简性质进行计算．【答案】ba．例6 先化简，再求值1111111111()(244) 2.11x x x x x x x ---------+---=+-，其中【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】原式)1)(1()442(4)442()1)(1()1()1(11111111111112121-+---=---++--=---------------x x x x x x x x x x x xxx x x x x x x x x +-=+-=-+-=-+++-=---------1111)1)(1()1()1)(1(121111211121，当2=x 时，原式31-=． 【思路点拨】通过有理数指数幂的运算性质以及平方差公式和完全平方公式将原式化简，再求值即可．【答案】31-．同类训练 已知8=x ，求111113131313132--++++++-x xx x x x x x 的值．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简． 【数学思想】【解题过程】∵8=x ，∴231=x ，原式101228121812418=--++++++-=．【思路点拨】根据有理数指数幂的运算性质直接带值进行计算． 【答案】10．【设计意图】加强学生对有理数指数幂的运算性质的应用的掌握． 3．课堂总结 知识梳理（1）一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1，且*N ∈n ．式子n a 叫做根式，其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数．（2）分数指数幂是一个数的指数为分数,正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式． 重难点归纳（1）运用有理数幂运算性质进行化简，求值，要掌握解题技巧，注意同底数的幂的运算法则．（2）在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的．（3）对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则． （三）课后作业 基础型 自主突破1．=⋅2255）（）（（ ）． A ．5 B ．5 C ．25 D ．25 【知识点】有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】222222255555=⋅=⋅）（）（．【思路点拨】直接根据有理数指数幂的运算性质计算． 【答案】C ．2．⋅3a 6a -等于（ ）A ．－a －B ．－aC ．a －D ．a【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化． 【数学思想】分类讨论思想【解题过程】⋅3a 6a -＝－⋅31)(a －61)(a －＝－21)(a －＝－a －．【思路点拨】掌握根式的化简运算以及根式与分数指数幂之间的互化关系． 【答案】A ．3．以下各式的化简错误的是（ ） A ．11513152=-aa aB ．()643296b a b a ---=C ．y y x y x y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--322132413141D ．ac cb a cb a 532515433121433121-=---【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简求值． 【数学思想】【解题过程】由有理数指数幂的运算性质可知，A ，B ，C 均正确． 【思路点拨】正确运用有理数指数幂的运算性质． 【答案】D ．4．已知2-x ＋2x ＝22且x ＞1，则2x －2-x 的值为（ ） A ．2或－2B ．－2C ．6D ．2【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】【解题过程】2x －2-x ＝（x ＋1-x ）（x －1-x ）＝21)(－＋x x 21)(－－x x ＝⋅222－＋＋x x =222－＋－x x ⋅222＋222－＝2． 【思路点拨】运用有理数指数幂的运算性质． 【答案】D ．5．若210=m，310=n，则2310nm -＝___________．【知识点】幂的运算性质，有理数指数幂的化简． 【数学思想】【解题过程】2310n m -＝n m n m －＝10·101033-＝36231·2101·)10(33＝＝n m ．【思路点拨】运用幂的运算性质． 【答案】362． 6．计算下列各式 （1）4325)12525(÷- （2）)0(322>⋅a aa a【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质与化简求值． 【数学思想】【解题过程】（1）555555525)12525(66121233243-=-=⨯-=÷--）（．（2）6532212322a aa a aa a =⋅=⋅【思路点拨】运用根式的化简法则和有理数指数幂的运算性质． 【答案】（1）556-，（2）65a ． 能力型 师生共研7．已知23--+=b a x , 求46322--+-a x a x 的值． 【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简求值． 【数学思想】转化与化归思想【解题过程】4234632)(2----=+-a x a x a x ,因为23--+=b a x ，所以bb a x 1)(1423==---．【思路点拨】运用分数指数幂进行根式计算．【答案】b 1．8． 化简：=⋅÷--3353225a a a a____________．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简．【数学思想】 【解题过程】673221313531653353225a aa a aaa a aaa=÷=⋅÷⋅=⋅÷-----．【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算． 【答案】67a 探究型 多维突破 9．化简：)21)(21)(21)(21(214181161----++++【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】转化与化归思想． 【解题过程】原式1612141818116121418116116121)21)(21)(21)(21(21)21)(21)(21)(21)(21(------------+++-=-++++-=11611612121161214141)21(2121)21)(21(21)21)(21)(21(----------=-+-=-++-=【思路点拨】分子分母同时乘以16121--．【答案】1161)21(21---．10．已知)00)((21>>+=b a a b b a x ，，求11222---x x x b ．【知识点】有理数指数幂的运算性质及其化简运算． 【数学思想】分类讨论思想． 【解题过程】因为)00)((21>>+=b a abb a x ，，所以222)(411)(411a b b a a b b a x -=-+=-，①当0>≥b a 时，)(2112abb a x -=- b a x x =-+12，b a x x x b x x x b -=-+-=---∴)1(121122222；②当b a <<0时，)(2112b a a b x -=-，a b x x =-+12，)1(121122222-+-=---x x x b x x x b aab b -=2 【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化和有理数指数幂的运算性质进行化简求值．【答案】当0>≥b a 时，b a x x x b -=---∴11222；当b a <<0时，11222---x x x b a ab b -=2． 自助餐1．化简()43325⎥⎦⎤⎢⎣⎡-的结果为（ ）A ．5B ．5C ．5-D ．-5【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】【解题过程】()55552143324332===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-）（．【思路点拨】根据根式与分数指数幂的互化以及有理数指数幂的运算性质直接进行计算． 【答案】B ．2．若522=+-x x ，则=+-x x 44（ ） A ．29B ．27C ．25D ．23【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】【解题过程】2344,25244222=+∴=++=+---x x x x x x ）（．【思路点拨】根据有理数指数幂的运算性质直接进行计算． 【答案】D ．3．已知0>a ，则=a aa2121__________．【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质． 【数学思想】 【解题过程】a a a a a a a aa=⋅=⋅⋅=212121212121212121)()(．【思路点拨】当n 为偶数时，n n a ＝a ．．4．已知9,12==+xy y x ，且y x <，求21212121yx y x +-的值是_______________．【知识点】有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】【解题过程】9212)(02212121212121--=--=-<-∴<y x y x y x y x ，， 6-=，同理239212)(02212121212121=+=+=+>+y x y x y x ，，故3321212121-=+-yx y x ． 【思路点拨】运用有理数指数幂的运算性质． 【答案】33-． 5．已知0>x ．（1）化简⨯53xx ⨯35xx 35xx ； （2）若4=x ，求342x x ⋅的值．【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质及其化简求值． 【数学思想】 【解题过程】（1）⨯53xx ⨯35xx =⨯⨯=⨯⨯10151101301151101301===⋅⋅=-+---x xxx x．（2）4331493493412342)(xx xxxx x===⋅=⋅，当4=x 时，22644444343===【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化进行化简运算． 【答案】（1）1；（2）．6．计算下列各式（式中字母都是正数） （1）)3()6)(2(656131212132b a b a b a -÷- （2）mn n m ⋅-88341)(【知识点】根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的化简求值． 【数学思想】转化与化归思想．【解题过程】（1）a b a b a b a b a b a 4)3(12)3()6)(2(65616567656131212132=-÷-=-÷-）（ （2）252521213288341)(---=⋅=⋅n m n m n m mn n m 【思路点拨】正确运用有理数指数幂的运算法则． 【答案】（1）4a ；（2）2525-n m ．。
定稿2.1.1《指数与指数幂的运算》课件
1
【评析】一般地，进行指数幂运算时，化负指数 为正指数，化根式为分数指数，化小数为分数进 行运算，便于进行乘、除、乘方、开方运算，以 达到化繁为简的目的.
• 类型三 条件因式的化简与求值 • [例3] (1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－ x的值；
• [分析] 本题考查已知等式的数量关系求值．将 已知条件作为整体进行处理． • [解] (1)∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2 －x)2＝(2x＋2 －x)2－ 2·2x·2－x＝a2－2. • ∴8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3 • ＝(2x＋2－x)·[(2x)2－2x·2－x＋(2－x)2] • ＝(2x＋2－x)(4x＋4－x－1) • ＝a(a2－2－1)＝a3－3a.
10 1 =4 +
1 16
+
1 1 143 8 10 8
2 3 2
.
3 3 1 2 10 3原式 ( 1) (3 ) ( ) 1 8 500 5 2 27 3 ( ) (500)2 10( 5 2) 1 8 4 167 10 5 10 5 20 1 9 9
例1、求下列各式的值（式子中字母都大于零）
(1) (8)
3 4
3 4
(2) (10)
2 2
(3) (3 )
(4) (a - b) (a b).
n
1、当n为奇数时,
a
n
a
a ,a0 a ,a0
２、当n为偶数时,n
a a
n
例2、求值
2 3 1 2
1 16 8 ; 25 ; ; 2 81 例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
2.1.1指数与指数幂的运算(第2课时)
重难点
利用正分数有理指数幂的运算性质，计算、化简有理指数幂的算式. 教学难点： 无理数指数幂的意义理解.
教法方法 课时安排 教学准备
观察、思考、交流、讨论、概括 共 2 课时 投影仪、直尺、彩色粉笔
教学过程 第 2 课时分数指数幂的运算和性质 授课时间： 一、课题引入：
1.复习初中时的整数指数幂运算性质. ������������ = ������ ·������ ·������ · · · · ·������ ������个������相乘 ������0 = 1 ������ ≠ 0 00 无意义. ������−������ = ������������ ·������������ = ������������ +������ ； ������������
备课教案
课题 课型 2.1.1 指数与指 主备人 数幂的运算 新授课 汇课地点
宋升贇
参与教师 汇课时间
何东亮、姚志远、 赵斌斌、孟文杰
高中数学办 公室
三维目标
（法制渗透）
1．知识与技能 ①理解无理指数幂的意义，掌握分数指数幂的运算. 2．过程与方法 ①有理指数幂的运算要类比整数指数幂的运算. ②体验“用有理数逼近无理数”的思想引进无理数指数幂的过程. 3．情感、态度与价值观 让学生感受到有特殊到一般的数学思想方法 （正整数指数幂→正分数指数幂→负 分数指数幂→有理指数幂→无理指数幂） ，让学生感受探究未知世界的乐趣，从 而培养学生对数学的情感. 教学重点：
五、课后作业：教材 习题 1.1A 组 第 1 题 板书设计
一、提出问题三、.课堂练习 四、课堂小结 二、讲授新课五、课后作业
教学反思
2
作业反馈
备课组长签字
2.1.1 指数与指数幂运算
1.415
9.750851808 9.735171039 1.414
1.4143
9.73987262 9.735305174 1.4142
1.41422 9.738618643 9.738461907 1.41421
1.414214 9.738524602 9.738508928 1.414213
1.4142136 9.738518332 9.738516765 1.4142135
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13
利用根式性质化简求值
P31例（ 2 5） 3 2 2 3 (1 2)3 4 (1 2)4
【解析】(5)因为 3－2 2＝( 2)2－2 2＋1＝(1－ 2)2，
3
4
所以原式＝ 1－ 22＋ 1－ 23＋ 1－ 24
＝|1－ 2|＋(1－ 2)＋|1－ 2|
＝ 2－1＋1－ 2＋ 2－1＝ 2－1.
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14
有条件根式的化简
P31例（3 2） 已知 | x | <3，化简 x2 2x+1+ x2 +6x+9
【解析】(2)原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|. ∵－3<x<3， ∴当－3<x<1 时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2. 当 1≤x<3 时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
……
……
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11
5 2 就是一串有理数指数幂和另一串有理 数指数幂按照规律变化的结果。这个过程可以
表示如下：
. . . . . . ...... .. . .
51.4 51.4151.41451.4142 5 2 51.4143 51.415
指数与指数幂的运算说课稿
指数与指数幂的运算说课稿(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--指数与指数幂的运算（2）从容说课指数是指数函数的预备知识，初中已经学习了整数指数幂的概念及其运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂.为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，了解无理数指数幂的概念.分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是本课教学中的一个难点.教学中要让学生反复理解分数指数幂的意义，它不表示相同因式的乘积，而是根式的一种新的写法.教学中可以通过根式和分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解.由于学生已经有了负整数指数幂的学习经历，正分数指数幂的概念引入后，学生不难理解负分数指数幂的意义，教学中，可以引导学生自己得出anm=nma1（a ＞0，m 、n 均为正整数，且n ＞1）.三维目标一、知识与技能1.理解分数指数幂的含义，了解有理数指数幂的意义.2.掌握有理指数幂的运算性质，灵活地运用乘法公式进行有理指数幂的运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化.二、过程与方法1.教学时不仅要关注幂运算的基本知识的学习，同时还要关注学生思维迁移能力的培养.2.通过指数幂概念及其运算性质的拓展，引导学生认真体会数学知识发展的逻辑合理性、严谨性.3.通过学习根式、分数指数幂、有理数指数幂之间的内在联系，培养学生能辩证地分析问题、认识问题.三、情感态度与价值观1.通过分数指数幂概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣.2.教学过程中，通过教师与学生、学生与学生之间的相互交流，加深理解分数指数幂的意义.3.通过研究指数由“整数指数幂→根式→分数指数幂→有理数指数幂→实数指数幂”这一不断扩充、不断完善的过程，使学生认同科学是在不断的观察、实验、探索和完善中前进的.教学重点1.分数指数幂的含义的理解.2.根式与分数指数幂的互化.3.有理指数幂的运算性质的掌握. 教学难点1.分数指数幂概念的理解.2.有理指数幂的运算和化简.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程一、回顾旧知，探索规律，引入新课师：上节课学习了n 次方根的有关知识，请同学们根据有关知识快速完成下列练习. （多媒体显示如下练习，生口答）①532=________；②481=________；③102=________；④3123=________. 生：①2 ②3 ③25④34.师：注意观察最终化简结果的指数、被开方数的指数以及根指数这三者之间有什么关系？（组织学生交流，及时捕捉与以下结论有关的信息并板书）102=25=2210，3123=34=3312.师：你对上面的总结是什么呢?生：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式. 师：当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，是否也可将根式写成分数指数幂的形式？（生思考片刻，师继续阐述）师：这个问题我们的先辈早已解决了，人们在不断探索中发现，这么做不但是可以的，并且还会给计算带来很大方便.于是就建立了分数指数幂的概念.这就是我们本课所要研究的内容.二、讲解新课（一）分数指数幂的意义师：32a ，b ，45c 等通过类比可以写成什么形式说明了什么问题生：a 32，b 21，c 45.当根式的被开方式的指数不能被根指数整除时，也可以写成分数指数幂的形式.师：通过上面的例子你能给出一般性的结论吗? （生在师的指导下，得出一般性的结论） （师板书正分数指数幂的意义）规定：正数的正分数指数幂的意义是a nm =n m a （a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.师：初中我们学习了负整数指数幂的意义，你还能说出来吗？生：负整数指数幂的意义为a －n =n a1（a ≠0，n ∈N *）.师：负分数指数幂的意义如何规定呢你能否根据负整数指数幂的意义，类比出正数的负分数指数幂的意义呢（组织学生讨论交流，得出如下结论）正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿.规定：anm =nm a1=nma 1（a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.师：细心的同学可能已经发现了，我们这里讨论分数指数幂的意义时，对底数都是有大于0这个规定的，为什么要作这个规定呢如果去掉这个规定会产生怎样的局面合作探究：在规定分数指数幂的意义时，为什么底数必须是正数？ （组织学生讨论，通过具体例子说明规定底数a ＞0的合理性）若无此条件会引起混乱，例如，（－1）31和（－1）62应当具有同样的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的结果：（－1）31=31-=－1；（－1）62=62)1(-=61=1.这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义.方法引导：在把根式化成分数指数幂时，要注意使底数大于0，在例子32a =a 32（a ＞0）中，若无a ＞0这个条件，32a =|a |32；同时，负数开奇次方根是有意义的，所以当奇数次根式要化成分数指数幂时，先要把负号移到根号外面去，然后再按规定化成分数指数幂，例如，53)2(-=－532=－253.知识拓展：负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负号只是出现在指数上.（二）有理数指数幂的运算法则师：规定分数指数幂的意义之后，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数.对有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质依然可以进行推广，请回顾一下它们共同的运算性质.（生口答，师板书）对于任意的有理数r 、s ，均有下面的运算性质： ①a r a s =a r +s（a ＞0，r 、s ∈Q ）；②（a r ）s =a rs（a ＞0，r 、s ∈Q ）；③（ab ）r =a r b r（a ＞0，b ＞0，r 、s ∈Q ）. （三）例题讲解【例1】 求值：832；2521-；（21）－5；（8116）43-.（师多媒体显示，生板演，师组织学生评析，强调严格按照解题步骤书写） 解：832=（23）32=23×32=22=4；2521-=（52）21-=5)21(2-⨯=5－1=51； （21）－5=（2－1）－5=25=32； （8116）43-=（32）)43(4-⨯=（32）－3=827. 【例2】 用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a ＞0）：a 3·a ；a 2·32a ；3a .（生板演，师组织学生总结解决此类问题的一般方法和步骤） 解：a 3·a =a 3·a 21=a213+=a 27；a 2·32a =a 2·a 32=a322+=a 38；3a =（a ·a 31）21=（a 34）21=a 32.方法引导：利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【例3】 计算下列各式（式中字母都是正数）：（1）（2a 32b 21）（－6a 21b 31）÷（－3a 61b 65）； （2）（m 41n83-）8.解：（1）（2a 32b 21）（－6a 21b 31）÷（－3a 61b 65）=［2×（－6）÷（－3）］a612132-+b653121-+=4ab 0=4a ；（2）（m 41n 83-）8=（m 41）8（n83-）8=m 2n －3=32nm .【例4】 计算下列各式： （1）（325－125）÷425； （2）322aa a ⋅（a ＞0）.解：（1）（325－125）÷425=（532－523）÷521=532÷521－523÷521=52132-－52123-=561－5=65－5； （2）322a a a ⋅=32212a a a ⋅=a32212--=a 65=65a .三、巩固练习课本P 63练习：1，2，3.（生完成后，同桌之间互相交流解答过程） 解：21=a ；a 43=43a ；a53-=531a；a32-=321a.2.（1）32x =x 32；（2）43)(b a +=（a +b ）43；（3）32)(n m -=（m －n ）32； （4）4)(n m -=（m －n ）24=（m －n ）2； （5）56q p =（p 6q 5）21=p 216⨯q215⨯=|p |3q 25；（6）mm 3=m213-=m 25.3.（1）（4936）23=［（76）2］23=（76）3=343216；（2）23×35.1×612=2×321×（32）31×（22×3）61=231311+-×3613121++=2×3=6；（3）a 21a 41a 83-=a834121-+=a 83（a ＞0）；（4）2x31-（21x 31－2x 32）=2×21×x 3131+-－2×2×x )32(31-+-=x 0－4x －1=1－x4. 四、课堂小结师：本节课你有哪些收获能和你的同桌互相交流一下你们各自的收获吗请把你们的交流过程作简单记录.（生交流，师投影显示如下知识要点） 1.分数指数幂的意义规定：正数的正分数指数幂的意义是a nm =n m a （a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿，规定：a nm =nm a1=nma 1（a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1）.我们规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.2.分数指数幂意义的一种规定，规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到有理数，并把整数指数幂的运算性质推广到有理指数幂的运算性质.3.有理数指数幂的运算法则 ①a r a s =a r +s（a ＞0，r 、s ∈Q ）；②（a r ）s =a rs（a ＞0，r 、s ∈Q ）；③（ab ）r =a r b r（a ＞0，b ＞0，r 、s ∈Q ）. 五、布置作业课本P 69习题组第2，4题. 板书设计指数与指数幂的运算（2）1.分数指数幂的意义0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义2.有理数指数幂的运算法则3.例题讲解与学生训练4.课堂小结5.布置作业。
指数与指数幂的运算优秀教案
2.1.1 指数与指数幂的运算（ 2 课时）第一课时根式教案目标：1.理解n 次方根、根式、分数指数幂的概念；2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。
教案重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教案难点：根式概念和分数指数幂概念的理解教案方法：学导式教案过程：（I）复习回顾引例：填空（1）0=1（a 0) ；0=1（a0) ；n * )a a a n N（； an a个a n1na(a 0, n N *)(2) m n m n m nmn n n na a a (m,n∈Z)；(a ) a(m,n∈Z)；(ab ) a b (n∈Z)（3）9 _____ ；- 9 _____ ；0 ______ （4）( a)2 _____( a 0) ；a2 ________（II ）讲授新课1 / 151.引入：（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为m na a可看作m na a ,所以m n m na a a 可以归入性质m n m na a a ；又因为an( ) 可看作bm na a ，所以na an n n n( ) 可以归入性质( ab) a b (n∈Z)）,这是为下面学习分nb b数指数幂的概念和性质做准备。
为了学习分数指数幂，先要学习n 次根式（n N* ）的概念。
（2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。
如：22=4 ，（-2）2=4 2，-2 叫4 的平方根23=8 2 叫8 的立方根；（-2）3=-8 -2 叫-8 的立方根25=32 2 叫32 的 5 次方根⋯2n=a 2 叫 a 的 n 次方根2=4，则2叫4 的平方根；若23=8，2 叫做 8 的立方根；若25=32，则分析：若 22 叫做 32 的 5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a 的n 次方根。
由此，可有：2.n次方根的定义：（板书）一般地，如果nx a ，那么 x 叫做 a的 n 次方根（n th root）,其中n 1，且n N 。
高中数学 2.1.1指数与指数幂的运算(第2课时)课件 新人教A版必修1
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12
【解析】
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13
(2)已知a2x＝ 2＋1，求aa3xx＋＋aa－－3xx.
【解析】 原式＝ax＋a－xax＋a2xa＋－xa－2x－1 ＝ 2＋1＋ 21＋1－1＝2 2－1.
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14
探究 对“条件求值”问题一定要求弄清已知与未知的联 系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值， 要注意正确地变形，像平方、立方等以及一些公式的应用问 题，还要注意开方时的取值符号问题．
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
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1
2.1 指 数 函 数
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2
2．1.1 指数与指数幂的运算(第2课时)
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3
课时学案 课时作业
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4
课时学案
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5
题型一 分数指数幂的运算 例1 计算下列各式．
【答案】 (1)100 (2)－1697－459090 5
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15
思考题3
已知a＋a－1＝5，求a2＋a－2，a
1 2
＋a－
1 2
，a
1 2
－a－
1 2
.
【答案】 a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝23.
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16
课后巩固
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17
1．(2
1 2
×3
1 3
)6等于(
Hale Waihona Puke A．8C．17) B．9 D．72
答案 D
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18
2．若a>0且b>0，则(a6b－3)
－
2 3
等于(
)
指数与指数幂的运算(第二课时)
指数与指数幂的运算（2）2016-10-20 （一）教学目标1. 理解分数指数幂的意义2.掌握有理数指数幂的运算性质 （二）教学重难点1.重点 根式与分数指数幂的互化 有理指数幂的运算性质2.难点 有理指数幂的运算性质 （三）教学过程1．复习初中时的整数指数幂，运算性质0,1(0)n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠1(0)n na a a -=≠;m n m n a a a +⋅=(),()n m mn n n n a a ab a b ==2．观察以下式子，并总结出规律：a ＞0()a a aa5102555102=== 842a a === 1234a a===1025a a ===归纳：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）3.根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式 ？如： 能否把32a，b ，45c 等写成下列形式：aa 3232= ()0>a ，b b 21= ()0>b ，c c 4545= ()0>c如果可以，那么整数指数幂的运算性质对分数指数幂是否仍然适用？①定义：正数的正分数指数幂的意义是：规定*0,,,1)m na a m n N n =>∈>，于是，在条件*0,,,1a m n N n >∈>下，根式都可以写成分数指数幂形式 ②正数的负分数指数幂的意义是*10,,,1)mnm naa m n N n a-==>∈>③ 讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？④指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．有理数指数幂的运算性质：0,0,,a b r s Q >>∈r a ·=r a ； =s r a )( ； =r ab )( ． ⑤注意教材教材并没有规定负数的分数指数幂，当0<a 时，a nm是否有意义与n m ,的奇偶性有关，当是偶数时是奇数，n m 式子无意义，其余都有意义。
第2章 2.1.1指数与指数幂的运算 第2课时 指数幂及运算 课件
①3 a· a；②a· －1a；③ 3 1
.
x5 x22
(1)CD
(2)A
12 [(1)
－34＝3142＝313＝3
3，故
A
错误．
4
1
x3＋y3＝(x3＋y3)4，故
B
错误．
3
11
21 1
9＝(93)2＝(33)2＝33＝
3
3，故
C
正确．
1
3
31
3
a a＝ a·a2＝ a2＝(a2)2＝a4，故 D 正确．
1
C. 45
B
2
[45＝
5
42＝5
16，故选
B.]
5 D. 4
3．已知 a>0，则 a－23等于(
)
A. a3
1 B.
3 a2
1 C. a3
D．－3 a2
B [a－23＝ 12＝ 1 .] a3 3 a2
1
4．(m2)4＋(－1)0＝________.
1
m2＋1 [(m2)4＋(－1)0＝m2＋1.]
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)0 的任何指数幂都等于 0.
2
(2)53＝ 53.
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如4
1
a2＝a2.
(4)amn可以理解为mn 个 a.(
)
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
() () ()
2．把根式 a a化成分数指数幂是( )
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
3 (3)2
6 a÷4
ab×3
b3.
指数幂运算的常用技巧 1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. 2负指数幂化为正指数幂的倒数. 3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分 数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有 分母又含有负指数.
必修1教案2.1.1指数与指数幂的运算(二)
必修1教案2.1.1指数与指数幂的运算（二）2.1.1 指数与指数幂的运算（二）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.3．情感、态度与价值观（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂概念的理解（三）教学方法发现教学法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程教学教学内容师生互动设计意图环节提出回顾初中时的整数指数幂及运算性质.老师提问，学生回答. 学习新知前的an?a?a?a???a,a0?1(a?0),问题 00无意义a?n简单复1?na(a?0)习，不仅能唤起学am?an?am?n;(am)n?amn(an)m?amn,(ab)n?anbn什么叫实数？有理数，无理数统称实数.生的记忆，而且为学习新课作好了知识上的准备. 复习观察以下式子，并总结出规律：a＞0① 5 老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根数学中引进一a?5(a)?a?a a8?(a4)2?a4?a8210252105引入② ③ 54式可以写成分数作为指数的形式，个新的概（分数指数幂形式）”联想“根式的念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的. a?(a)?a?a 41012343124被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形④a?(a)?a?a5252105小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义. 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：3a?a?(a?0)b?b?(b?0)122234c?c?(c?0)nmmn554即：a?a(a?0,n?N,n?1) 形成*为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：学生计算、构造、猜想，允许交流讨论，汇报结论．教师巡视指导．让学生经历从概念a?a(a?0,m,n?N) 正数的定负分数指数幂的意义与负整mnnm*“特殊一一般”，“归纳一数幂的意义相同. 即：a?mn?1amn猜想”，(a?0,m,n?N*) 是培养学生“合情推理”能力的有效方式，同时学生也经历了指数幂的再发现过程，有利于培养学生的创造能力．规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义. 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是 a?a?a???a(a?0) nm1m1m1m深化由于整数指数幂，分数指数幂都有意让学生讨论、研究，教师引导．通过本环节的教学，进一步体会上概念义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1）a?a?arSrsr?s(a?0,r,s?Q) 一环节的设计意图．）（2）(a)?a(a?0,r,s?Q) （3rs(a?b)r?arbr(Q?0,b?0,r?Q) 若a＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P57――P58. 即：2的不足近似值，从由小于2的方向逼近2，2的过剩近似值从大于2的方向逼近2. 所以，当2不足近似值从小于2的方向逼近时，5向逼近52. 当2的过剩似值从大于2的方向逼近2时，522的近似值从小于52的方的近似值从大于52的方向逼近52，(如课本图所示) 所以，52是一个确定的实数. 一般来说，无理数指数幂 ap(a?0,p是一个无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小. 思考：2的含义是什么？由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即： 3ar?as?ar?s(a?0,r?R,s?R) (ar)s?ars(a?0,r?R,s?R)(a?b)r?arbr(a?0,r?R) 应用举例例题例1（P56，例2）求值学生思考，口答，教师板演、点评．例1解：① 8?(2) 23233通过这二个例题的解答，巩固所学的分1?516?38；25；()；()4. 281?2312例2（P56，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0） ?2a33?23?22?4； ?12数指数幂?12a3.a；a2?3a2；a. ② 25?(5) 2与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 解：a.a?a?a?a232223331213?2?512?(?)21?5?； 5?1?a； 2372③ ()8312?5?(2?1)?5 a?a?a?a?a a32??a； ?2?1?(?5)?32； a?a?a?a?(a)?a. 134341322334?(?)16?32④()4?()4 813课堂练习：P59练习第 1，2，3，4题补充练习：227?()?3?. 38例2分析：先把根式化为分数1(2)?()2n?121. 计算：的结果；n?248n?14指数幂，再由运算性质来运算. 解：a.a?a?a 33122. 若a3?3,a10?384, ?a23?12?a； 222372a101求a3?[()7]n?3的值. a3 a?a?a?a ?a2?233?a；134383a3a?a?a?a 413223?(a)?a. 练习答案： 24n?4?2?2n?11.解：原式= 2n?62?2感谢您的阅读，祝您生活愉快。
指数与指数幂的运算第2课时
N
*
, n 1）
5.理解负整数指数幂的意义，得出负分数指数幂的意义。
a
m n
6.
0 的正分数指数幂等于
，0 的负分数指数幂
7.熟记有理数指数幂的运算性质。 （组内相互考查） 7 自学 51 页例 2，52 页例 3，完成 54 页练习 1、2 题。 1.
2.
二、 【对学、群学】 通过对学、群学，完成自己不能解决的问题，大家都不会的 问题学科组长收集并板书到黑板上。 三、 【组内展示】 1、学科组长带领组员口头展示上述问题。 2、对本组班级展示方案在组内预展 展示 内容 四、 【班级展示】 要求：1、全员参与、书写规范、表达清晰 2、非展示同学要认真倾听，积极对抗、质疑
a
10
5 (a ) 5 a a 5
3 3
2
2
10
a a
12
4 (a ) 4 a a 4
5 5
12
10
(a ) 2 a a 2
5 5 7
10
3.利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？
4
5, 7, a.
2 3
4.你能推广到一般的情形吗？
n
a
m
=
（ a 0, m, n
一、【独 学】阅读课本 50-51 页例 2 上面一段，认真思考，独 立完成每一个问题，不会的用红色笔标记 1.复习回顾：整数指数幂的运算性质。 （ m, n N ） （1） 自主
a a
m
m
n
(2) a a (4)
m n
(3) ab
a
m n
（5）
a
m
指数与指数幂的运算教案(1_2课时)
【学习探究】
【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材第50页～第53页）
1.1.分数指数幂
（1）正数的正分数指数幂的意义
=， =， =； = .
（2）正数的负分数指数幂的意义
=， =， =； = .
（3） 的分数指数幂
的正分数指数幂等于， 的负分数指数幂.
2.1.1指数与指数幂的运算（第1课时）
【教学目标】
1．掌握根式的概念以及根式的运算性质
2．让学生学会用联系的观点看待问题
【重点】有理指数幂的概念及运算.
【难点】根式的概念.
【学习探究】
【预习提纲】
（根据以下提纲，预习教材第48页～第50页）
1.整数指数幂及其运算
（1）通过问题1，结合初中所学知识，说明整数指数幂 的含义是__， ）的含义是____.
(1) (2) (3)
2.填空
（1）
（1） + ；
（2）
【典型例题】
例1计算下列各式的值：
（1） （2） （3）
【方法总结】
【变式训练】求等式 成立的实数 的范围.
例2计算：（1） ；（2）
【方法总结】
【自我检测】
1.化简 的值是（）.
（A）3（B）-3（C） 3（D）-9
（2） 次方根
如果 ，那么___________，其中 ，且 .
若 是奇数，任意实数 的 次方根有1个，正数的 次方根是正数，负数的 次方根是负数.
若 是偶数，负数没有偶次方根，而正数的 次方根有2个，它们互为相反数.
无论 是奇数还是偶数，0的 次方根为0.
【感悟】结合初中所学知识，理解记忆，效果较好.
教学设计4：2.1.1 指数与指数幂的运算 第二课时
2.1.1 指数与指数幂的运算 第2课时导入新课思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.思路2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂. 推进新课 新知探究 提出问题(1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①510a=352)(a =a 2=a510;②8a =24)(a =a 4=a 28; ③412a =443)(a =a 3=a 412; ④210a=225)(a =a 5=a210.(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？435,357,57a ,n m x (x>0,m,n ∈N *,且n>1).(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n =a·a·a·…·a,a 0=1(a≠0);00无意义; a -n =n a1(a≠0);a m ·a n =a m+n ;(a m )n =a mn ;(a n )m =a mn ;(ab)n =a n b n . (2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根.实质上①510a =a510,②8a =a 28,③412a=a412,④210a=a210结果的a 的指数是2,4,3,5分别写成了510,28,412,510,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）. (3)利用(2)的规律,435=543,357=735,57a =a 57,n mx=x nm .(4)53的四次方根是543,75的三次方根是735,a 7的五次方根是a 57,x m 的n 次方根是x nm . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.(5)如果a>0,那么a m 的n 次方根可表示为na m =a n m ,即a nm =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1). 综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: 规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1). 提出问题①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗? ③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a ＞0的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a -n =n a1(a≠0),n ∈N *. ②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.规定:正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma 1(a>0,m,n ∈N *,n>1).③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是: 正数的正分数指数幂的意义是a mn =n ma(a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是amn -=mn a1=nma1(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢?如(-1)31=3-1=-1,(-1)62=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a ＞0的条件,比如式子3a 2=|a|32,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质: （1）a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ), （2）(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q ), （3）(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈Q ).我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题. 应用示例思路1例1求值:①832;②2521-③(21)-5;④(8116)43-.活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,21写成2-1,8116写成(32)4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①832=(23)32=2323⨯=22=4;②2521-=(52)21-=5)21(2-⨯=5-1=51; ③(21)-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32; ④(8116)43-=(32))43(4-⨯=(32)-3=827.点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如832=328=364=4. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式.a 3·a ;a 2·32a ;3a a (a>0).活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结. 解：a 3·a =a 3·a 21=a 213+=a 27;a 2·32a =a 2·a 32=a232+=a 38;3a a =(a·a 31)21=(a 34)21=a 32.点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算.对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.例3计算下列各式（式中字母都是正数）: （1）(2a 32b 21)(-6a 21b 31)÷(-3a 61b 65); （2）(m 41n83-)8. 活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到（1）小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第（2）小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤.解：（1）原式=［2×(-6)÷(-3)］a 612132-+b653121-+=4ab 0=4a;（2）(m 41n83-)8=(m 41)8(n 83-)8=m841⨯n883⨯-=m 2n -3=32n m . 点评：分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法.有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了. 本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用. 变式训练 求值:(1)33·33·63;(2)6463)12527(nm . 解：(1)33·33·63=3·321·331·361=36131211+++=32=9；(2)6463)12527(nm =(6463)12527(n m =(646333)53(n m =646643643643)()5()()3(n m =42259n m =42259-n m . 例4计算下列各式: （1）(125253-)÷425; （2）322aa a •(a ＞0）.活动：先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底.利用分数指数幂计算,在第（1）小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答. 解：（1）原式=(2531-12521)÷2541=(532-523)÷521 =52132--52123-=561-5=65-5;（2）322a a a •=32212aa a •=a32212--=a 65=65a .思路2例1比较5,311,6123的大小.活动：学生努力思考,积极交流,教师引导学生解题的思路,由于根指数不同,应化成统一的根指数,才能进行比较,又因为根指数最大的是6,所以我们应化为六次根式,然后,只看被开方数的大小就可以了.解：因为5=635=6125,311=6121,而125＞123＞121,所以6125>6123>6121.所以5>6123>311.点评：把根指数统一是比较几个根式大小的常用方法. 例2求下列各式的值:(1)432981⨯;(2)23×35.1×612.活动：学生观察以上几个式子的特征,既有分数指数幂又有根式,应把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,如果根式中根指数不同,也应化成分数指数幂,然后分析解答,对(1)应由里往外432981⨯=421344)3(3⨯,对(2)化为同底的分数指数幂,及时对学生活动进行评价.解：(1)432981⨯=［34×(334)21］41=(3324+)41=(3314)41=367=633;(2)63125.132⨯⨯=2×321×(23)31×(3×22)61=231311++·3613121++=2×3=6.例3计算下列各式的值: （1）［(a 23-b 2)-1·(ab -3)21(b21)7］31;（2）1112121-+-++--a a a aa;(3)14323)(---÷a b b a.活动：先由学生观察以上三个式子的特征,然后交流解题的方法,把根式用分数指数幂写出,利用指数的运算性质去计算,教师引导学生,强化解题步骤,对(1)先进行积的乘方,再进行同底数幂的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再进行同底数幂的乘法,对（2）把分数指数化为根式,然后通分化简,对（3）把根式化为分数指数,进行积的乘方,再进行同底数幂的运算.解：(1)原式=(a23-b 2)31-(ab -3)61·(b 21)37=a 21b32-a 61b21-b 67=a6121+b672132+--=a 32b 0=a 32;另解：原式=(a 23b -2a 21b 23-·b 27)31 =(a2123+b27232+--)31=(a 2b 0)31=a 32;（2）原式=11111-+-++a aa aa =)1(1-+a a a =)1(11-+-a a a a=)111(1-+-a a a= )1(2--a a =)1(2a a a-;（3）原式=（a 21b32）-3÷(b -4a -1)21=a23-b -2÷b -2a21-=a2123+-b -2+2=a -1=a1. 例4已知a ＞0,对于0≤r≤8,r ∈N *,式子(a )8-r ·)1(4ar能化为关于a 的整数指数幂的情形有几种？活动：学生审题,考虑与本节知识的联系,教师引导解题思路,把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,即先把根式转化为分数指数幂,再进行幂的乘方,化为关于a 的指数幂的情形,再讨论,及时评价学生的作法.解：(a )8-r ·)1(4ar=a 28r -·a4r -=a448rr --=a4316r -.16-3r 能被4整除才行,因此r=0,4,8时上式为关于a 的整数指数幂.点评：本题中确定整数的指数幂时,可由范围的从小到大依次验证,决定取舍.利用分数指数幂进行根式运算时,结果可以化为根式形式或保留分数指数幂的形式. 例5已知f （x ）=e x －e -x ,g （x ）=e x +e -x . （1）求［f （x ）］2－［g （x ）］2的值； （2）设f （x ）f （y ）=4,g （x ）g （y ）=8,求)()(y x g y x g -+的值.活动：学生观察题目的特点,说出解题的办法,整体代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果学生有难度,教师可以提示引导,对（1）为平方差,利用公式因式分解可将代数式化简,对(2)难以发现已知和未知的关系,可写出具体算式,予以探求.解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=［f （x ）+g （x ）］·［f （x ）－g （x ）］=（e x －e -x +e x +e -x ）（e x －e -x －e x －e -x ）=2e x （－2e -x ）=－4e 0=－4; 另解：(1)［f （x ）］2－［g （x ）］2=(e x -e -x )2-(e x +e -x )2 =e 2x -2e x e -x +e -2x -e 2x -2e x e -x -e -2x =-4e x -x=-4e 0=-4;(2)f （x ）·f （y ）=（e x －e -x ）（e y －e -y ）=e x +y+e -(x+y)－e x -y －e -(x -y)=g （x+y ）－g （x －y ）=4, 同理可得g （x ）g （y ）=g （x+y ）+g （x －y ）=8, 得方程组⎩⎨⎧=++=+8,y)-g(x y)g(x 4,y)-g(x -y)g(x 解得g （x+y ）=6,g （x －y ）=2.所以)()(y x g y x g -+=26=3.点评：将已知条件变形为关于所求量g （x+y ）与g （x －y ）的方程组,从而使问题得以解决,这种处理问题的方法在数学上称之为方程法,方程法所体现的数学思想即方程思想,是数学中重要的数学思想. 知能训练课本P 54练习 1、2、3. ［补充练习］教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励.1.(1)下列运算中,正确的是( ) A.a 2·a 3=a 6 B.(-a 2)3=(-a 3)2 C.(a -1)0=0 D.(-a 2)3=-a 6(2)下列各式①42)4(n -,②412)4(+-n ③54a ,④45a （各式的n ∈N ,a ∈R ）中,有意义的是( )A.①②B.①③C.①②③④D.①③④ (3)24362346)()(a a •等于( )A.aB.a 2C.a 3D.a 4(4)把根式－232)(--b a 改写成分数指数幂的形式为( ) A.-2(a -b)52- B.-2(a -b)25-C.-2(a52--b 52-) D.-2(a25--b 25-)(5)化简（a 32b 21）（-3a 21b 31）÷（31a 61b 65）的结果是( )A.6aB.-aC.-9aD.9a2.计算：(1)0.02731-－（－71）-2+25643－3-1+（2－1）0=________.(2)设5x =4,5y =2,则52x -y =________.3.已知x+y=12,xy=9且x ＜y,求21212121yx y x +-的值.答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83.解：21212121yx y x +-=))(())((2121212121212121y x y x y x y x -+--=yx yy x x -+-21212.因为x+y=12,xy=9,所以(x -y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因为x ＜y,所以x -y=-2×33=-63.所以原式36612--=33-. 拓展提升1.化简111113131313132---+++++-x xx x x x x x .活动：学生观察式子特点,考虑x 的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分解,根据本题的特点,注意到: x -1=(x31)3-13=(x 31-1)·(x 32+x 31+1); x+1=(x31)3+13=(x 31+1)·(x 32-x 31+1);x -x 31=x 31［(x31)2-1］=x 31(x 31-1)(x 31+1).构建解题思路教师适时启发提示.解：111113131313132---+++++-x xx x x x x x =111)(11)(3131323131333131323331---+++++-x x x x x x x x x=)1()1)(1(1)1)(1(1)1)(1(31313131313132312132313231-+--++-++++++-x x x x x x x x x x x x x=x 31-1+x 32-x 31+1-x 32-x 31=-x 31. 点拨:解这类题目,要注意运用以下公式, (a 21-b 21)(a 21+b 21)=a -b, (a 21±b21)2=a±2a 21b 21+b,(a 31±b 31)(a32 a 31b 31+b 32)=a±b.2.已知a 21+a 21-=3,探究下列各式的值的求法.(1)a+a -1;(2)a 2+a -2;(3)21212323----aa a a .解：(1)将a 21+a21-=3,两边平方,得a+a -1+2=9,即a+a -1=7;(2)将a+a -1=7两边平方,得a 2+a -2+2=49,即a 2+a -2=47; (3)由于a 23-a23-=(a21)3-(a 21-)3, 所以有21212323----aa a a =2121212112121))((-----++-aa a a a a a a =a+a -1+1=8.点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值. 课堂小结活动：教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互交流.同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是a mn=n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a m n-=m na 1=n m a 1(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r 、s,均有下面的运算性质:①a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ),②(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q ),③(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈Q ).(4)说明两点:①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推出关系.②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用.因而分数指数幂与根式可以互化,也可以利用(a n )n m =n mn a ⨯=a m 来计算.作业课本P 59习题2.1A 组 2、4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务.。
2.1.1指数与指数幂的运算(二)课件1
§2.1.1指数与指数幂的运算
☞整数指数幂是如何定义的？有何规定？
an a1 4a2L43 a ( n N )
n个a
a0 1 ( a 0)
an
1 an
(
a
0, n N )
§2.1.1指数与指数幂的运算
☞整数指数幂有那些运算性质?(m,n ∈Z)
(1) am an amn (m, n Z)
1 2
12
(3) (2x 4 y 3 )(3x 2 y 3 )(4x 4 y 3 );
解:原式
(2)
3
(4) x
1 4
1 2
1 4
y
1 3
2 3
2 3
24 y.
(4)
(m
1 4
n
3 8
)8
(m
1 4
)8
(n
3 8
)8
m2n3 .
§2.1.1指数与指数幂的运算
)4
]
3 4
(
2 3
)4(
3 4
)
2 3 27
3
8
§2.1.1指数与指数幂的运算
【题型1】将根式转化分数指数幂的形式. ☞当有多重根式是,要由里向外层层转化.
☞对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂.
☞要熟悉运算性质.
例1.利用分数指数幂的形式表示下列各式(其
中a >0).
(1) a2 3 a2 ; (2) a 3 a .
§2.1.1指数与指数幂的运算
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
初一数学(北京版)幂的运算综合应用(第二课时)-教案优选全文
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教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
知识梳理
1.复习幂的三种运算性质
2.回忆等式的对称性
3.幂的三种运算性质的逆运算。
(1)同底数幂乘法的逆运算：
(2)幂的乘方的逆运算：
(3)积的乘方的逆运算：
根据等式的对称性，将幂的三种运算性质的符号语言，等号左右两边交换顺序，得到新知幂的三种运算性质的逆运算。
巩固练习用简便方法计算：
分析：这道题目的思路仍是将两个指数不同的幂转化为两个指数相同的幂相乘的形式，但转化的方式不唯一。
方法1：将 写为 ，然后用同底数幂乘法的逆运算解题。
方法2：将 写为 ，然后用幂的乘方的逆运算解题。
方法3：将 写为 ，然后用幂的乘方运算解题。
题型二用幂的三种运算性质的逆运算解决求值问题
新课
题型一用幂的三种运算性质的逆运算进行简便运算
典型例题用简便方法计算：
分析:这道题目是两个幂相乘的形式，并且这两个幂的指数相同，可用积的乘方的逆运算，将底数先乘在一起再乘方。
巩固练习用简便方法计算：
分析：这道题仍然是两个幂相乘的形式，但是这两个幂的指数不同，故需先转化为指数相同的两个幂相乘，再仿照例题的方法解题。
巩固练习
分析：两个幂的指数有最大公因数25，所以先将两个幂化为指数相同的形式再比较大小。
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2 3
1
4 2
b
3 1 2 1
c
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2.1.1指数与指数幂的运算
1 4 1 3 1 2 2 3 1 4 2 3
(3) ( 2 x y )(3 x
24 y.
y )( 4 x y );
1 1 1 4 2 4
解:原式 ( 2) 3 (4)x
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义.
2.有理指数幂运算性质
(1) a a a (a 0, r , s Q); (2) ( a r ) s a rs ( a 0, r , s Q); r r r (3) (ab) a b (a 0, b 0, r Q).
3
3 5
4
a a
12
(a ) a a ;
4 3 4
12 4a a ;22 3510
(a ) a a
5 2 5 2
10 5
7
a a .
9
9 7
总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 时,根式可以写成分数指数幂的形式. 根式可以表示为分数指数幂的形式.
7 2
（2）a 2 3
a a2 a a
2
1 1 3 2
2 3
2
2 3
8 3
（3） a 3 a (a a ) (a ) a
2 3
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2.1.1指数与指数幂的运算
分数指数幂的运算
系数先放在一起运算;同底数幂进行运算,乘的指 数相加,除的指数相减.
(1) (2a b )( 6a b ) ( 3a b );
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2.1.1指数与指数幂的运算
1.根式定义
n
a
2.n次方根的性质
(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质： 正数的偶次方根有两个且是相反数， 负数没有偶次方根， 零的偶次方根是零. 2014/1/5
2.1.1指数与指数幂的运算
2014/1/5
2.1.1指数与指数幂的运算
1.正数的正分数指数幂的意义：
a a
n
m n
m
(a 0, m, n N , 且n 1)
2.正数的负分数指数幂的意义：
1 1 (a 0, m , n N , 且n 1) m n m n a a 3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指 数幂没有意义. a
3.三个公式 (1)
a
n
n
a;
a;
(2) n a n （奇）
n n
(3) a （偶） | a | .
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2.1.1指数与指数幂的运算
(4) (5) (6)(7) 下列说法中正确的序号是____________. (1)16的四次方根是2; (2)正数的n次方根有两个; (3)a的n次方根就是 n a ; (4) 4 81 3; 3 3 (5) ( 5) 5;
(4) ( ) [( ) ] ( )
16 81
3 4
2 4 3
3 4
3 4 ( 4 ) 2 3
( )
2 3 3
27 8
.
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例2、用分数指数幂表示下列各式(其中a>0).
（1） a 3 a a 3 a a
1 2 3 1 2
a
a
4 1 3 2
(5) ( a ) n b
a (b 0, n Z) n b
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2.1.1指数与指数幂的运算
类比
(1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
210 (25 )2 25 2 ;
3
10 2
5 3
3
3 3 (3 ) 3 3 ;
12 4 3
4
3
12 3
4 45 ; 5 73; 7
解：原式 = [2 ( 6) ( 3)]a
2 11 3 2 6
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
b
115 2 3 6
4ab 4a;
0
(2) (a b )(4a b) (12a b c )
( 4) 12a 1 1 3 ac .
2 1 4
(6) ( 81) 81;
4 4
(7) ( 8) 8.
3 3
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2.1.1指数与指数幂的运算
☞整数指数幂有那些运算性质?(m,n ∈Z)
(1) a a a
m n
mn
(m, n Z)
(2) (a m )n a m n (m, n Z) n (3) ( ab) a n bn (m, n Z) m a a m n (a 0 , m, n Z, 且m n) (4) n a n
2 3
1 2
1 5 2
16 81
3 4
解 : (1) 8
(2 ) 2
3
1 2
2 3
3 2 3
2 4;
2
2 ( 1 ) 2
5 1; (2)25 (5 ) 5 5 1 5 (3) ( 2 ) ( 21 )5 25 32;
2 1 2
1
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m n
2.1.1指数与指数幂的运算
【1】用根式表示下列各式:(a＞0)
1 1 4 5 2 3 a a3 a 【2】用分数指数幂表示下列各式：
3
4 3
a a
1 2
a
3 4
a
3 5
a
2 3
(a b) (a b 0) ( a b )
3
3 4
( m n)
2
( m n)
r s
r s
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r s
(2) (a ) a rs (a 0, r , s Q);
r s
(3) (ab) a r br (a 0, b 0, r Q)
r
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2.1.1指数与指数幂的运算
【1】求下列各式的值.
(1) 8 ,
2 3
(2)25 , (3)( ) , (4)( ) .
2 3
( m n )4 ( m n ) p6 q 5 ( p 0)
( m n)2
p3 q
5 2
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2.1.1指数与指数幂的运算
4.有理指数幂的运算性质 指数的概念从整数指数推广到了有理数 指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂 都适用.
a r s (a 0, r , s Q); (1) a a
1 4 3 8 8 1 4
y
1 2 2 3 3 3
(4) ( m n ) ( m ) ( n ) m n .
8
3 8 8
2
3
2014/1/5
2.1.1指数与指数幂的运算
1.分数指数概念
(1) a
m n
n
am ;
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
(2) a
m n
1 m an