GCT测验真题解析 高数部分 教案
GCT考试(数学部分)
5） （07）当 x ≠ −1 和 x ≠ −2 ， A. m = −2, n = 3 C. m = 2, n = −3
A ） 。
B. m = −3, n = 2 D. m = 3, n = 5, z = 10 。 1 否则 x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx = [( x − y )2 + ( z − y )2 + ( z − x) 2 ] 2
4）如果 abc = 1 ，则 A. 0
1 1 1 + + 的值是（ ab + b + 1 bc + b + 1 ca + a + 1 B. -1 C. 1
C ） 。 D. 不能确定
解析：取 a = 1, b = 1, c = 1 否则，原式 = 1 1 1 bc + c + 1 + + = 1 1 1 + b + 1 bc + b + 1 + + 1 bc + c + 1 c b bc
特殊值代入法：已经几个未知数的关系，确定另外一种关系；对满足条件的所有 数都成立。 x −1 m n 恒成立，则（ = + x + 3x + 2 x + 1 x + 2
D. 2 ：1
解析：设员工共 x 人，女员工共 y 人，则 45( x + y ) = 55 x + 40 y ，得 y = 2 x 10） （08）把浓度为 50%的酒精溶液 90 千克全部稀释为 30%的酒精溶液，需要 加水（ A. 60 A ）千克。 B. 70 C. 85 D. 105
解析：物理问题，溶质不变。 90 × 0.5 = (90 + x) × 0.3 11） （06）一个容积为 10 升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出 a 升酒精后，用水 将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出 a 升溶液后，再用水将量杯注满并搅拌均 匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为 49%，则每次的倒出量 a 为（ A. 2.55 B. 3 C. 2.45 10 − a × a = 10 × 0.49 a B ）升． D. 4
GCT数学真题实例解析(2007年GCT数学考试题)
GCT数学真题实例解析（2007年GCT数学考试题）时间:2009-08-28 09:48:59用2007年的GCT数学真题来实际操作一下这篇文章所说的经验：（数学很时间很看过了，我也忘得差不多了）1、集合的{0,1,2,3}的字集个数是多少？这个是基本的知识，你要复习到的，没有技巧可言，答案是2的4次方＝16，选C2、求一个很长的分式结果看到这题我头就晕了，不会公式，也不会技巧，怎么办？没办法了，只好用笨办法，直接算吧，先分子，平方出来然后+、-等于-55。
到了这步，如果你注意一下答案，可以选出正确的答案B了，因为分母是正数，结果只能是负数，55整除不出来22，所以是-11/51；当然不放心的话把分母也算出来，分母＝255，同除5，结果是-11/51，答案B。
这种题要是真不会技巧的话就用计算器算一下吧，都是选择题，所以我们就利用了这种漏洞，呵呵，会的朋友还是直接用公式什么的，这里说的都是“歪招”。
3、算一个小长方形的面积这题有图，好办，用尺子量一下已知的3个小长方形，注意比例关系，很容易就算出来是20，答案B。
还有一种是算比例，大长方形的上面两个小长方形面积分别是9、15，15＝9+6，6是9的2/3，那么下面两个面积应该是12、12+12*2/3＝20，答案也是20。
第一种方法是直接量的，这个时间要注意了，你带尺子了吗；第二种方法好像是正规的解法，呵呵，自认为的。
4、方程式求解正规的求解方法就不说了，我说说万一你不会的话怎么办？用“代入法”。
把四个答案的值一个一个的放到方程式里来核对。
很快的，答案D是唯一能满足方程的值。
5、求多少分钟后两人能相遇这个应该是比较简单的，好像小说就有这种题了，呵呵。
算一下，15分钟后，答案B。
这种题你在复习中还是会经常碰上的，同时也是简单类型，应该要会一下的，不能全是歪招啊。
6、求圆柱形的容积画一下图，三角形的两个边分别是8、10（斜边），如果这时候能记得这是三角形里的勾股数的话，那就很容易的，另一边是6，这样圆柱形的直径是6，高是8，根据体积公式，算出结果是72∏，答案为A。
2006年GCT入学资格考试数学基础能力试题参考答案与解析
g (a + t ) − g (a ) = g ′( a ) t f ′( x ) f ′( a ) 因为 g ′( x ) = [ ln f ( x )] ′= ，故应选 D。 ，所以 g ′( a ) = f ( x) f (a )
= lim
t →0
17． 【答案】A 【解析】当 0 < x < 1 时， y ′ = ( x − 1)(3x − 1)，y ′′ = 6 x − 4 ，则 y ′
x 0 3 1 2 1 2 1 250 3 1 r + r + h 2 ≥ 3 r 4 h 2 ，所以 r 2 h ≤ （当且仅当 r 2 = h 2 时 2 2 4 9 2
4a 2 − t 2 d t +
∫a
x
1 4a 2 − t 2
d t , x ∈ [0, a ] 。
0 a
则 ϕ ′( x ) = 4a 2 − x 2 +
134
16． 【答案】D 【解析】因为 f ( x ) > 0 且导数存在。
1 1 1 ln f ( a + ) − ln f ( a ) f (a + ) f (a + ) n x x 所以 lim n ln = lim x ln = lim n →∞ x →+∞ x →+∞ 1 f (a ) f (a ) x 1 1 1 ⋅ f ′( a + ) ⋅ ( − 2 ) 1 1 x x f (a + ) f ′( a + ) x x = f ′( a ) = lim = lim x →+∞ x →+∞ 1 1 f (a ) (− 2 ) f (a + ) x x
GCT高等数学第三章word资料78页
第三章 微分中值定理与导数应用主讲------姜进进第一节 微分中值定理教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。
教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。
教学内容： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ, 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf .证明：由于)(x f 在],[b a 上连续，因此必有最大值M 和最小值m ，于是有两种可能的情形： （1）m M=，此时)(x f 在],[b a 上必然取相同的数值M ，即.)(M x f =由此得.0)(='x f 因此，任取),(b a ∈ξ，有.0)(='ξf （2）m M>，由于)()(b f a f =，所以M 和m 至少与一个不等于)(x f 在区间],[b a 端点处的函数值.不妨设)(a f M ≠(若)(a f m ≠,可类似证明),则必定在),(b a 有一点ξ使M f =)(ξ. 因此任取],[b a x ∈有)()(ξf x f ≤, 从而由费马引理有0)(='ξf . 证毕 例1 验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在区间]3,1[-上的正确性 解 显然32)(2--=x x x f )1)(3(+-=x x 在]3,1[-上连续，在)3,1(-上可导，且0)3()1(==-f f , 又)1(2)(-='x x f , 取))3,1(1(,1-∈=ξ,有0)(='ξf .说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立;2 使得定理成立的ξ可能多于一个，也可能只有一个.例如 ]2,2[,-∈=x x y 在]2,2[-上除)0(f '不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间]2,2[-内找不到一点能使0)(='x f .二、拉格朗日（Lagrange ）中值定理 1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 满足（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, 那么在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ, 使得等式))(()()('a b f a f b f -=-ξ2. 拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理1）可用于证明等式；2）可用于证明不等式. 例4 证明当0>x 时,x x xx<+<+)1ln(1 证明: 设)1ln()(x x f +=, 则)(x f 在],0[x 上满足拉氏定理的条件于是)0(),0)(()0()(x x f f x f <<-'=-ξξ又xx f f +='=11)(,0)0(, 于是 ξ+=+1)1ln(x x而x <<ξ0, 所以x +<+<111ξ, 故11111<+<+ξx 从而 x x x x <+<+ξ11, 即x x x x <+<+)1ln(1 三、柯西中值定理柯西中值定理 如果函数)(x f 及)(x F 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且)('x F 在),(b a 内每一点处均不为零，那末在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式)()()()()()(''ξξF f a F b F a f b f =--成立例5 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,证明:至少存在一点)1,0(∈ξ，使)]0()1([2)(f f f -='ξξ证明与分析: 结论可变形为ξξ2)(01)0()1(f f f '=--ξ=''=x x x f )()(2设2)(x x g =，则)(),(x g x f 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件于是至少存在一点)1,0(∈ξ，使ξξ2)(01)0()1(f f f '=-- 所以至少存在一点)1,0(∈ξ，使ξξ2)(01)0()1(f f f '=-- 即)]0()1([2)(f f f -='ξξ第二节 洛必达法则教学目的：理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求00型和∞∞型以及∞-∞∞⋅,0型未定式的极限的方法; 了解00,1,0∞∞型极限的求法.教学重点：洛必达法则.教学难点：理解洛必达法则失效的情况, ∞-∞∞⋅,0型的极限的求法. 教学内容：一． 00型和∞∞型未定式的解：法洛必达法则定义：若当a x →（或∞→x ）时，函数)(x f 和)(x F 都趋于零(或无穷大)，则极限)()(lim)(x F x f x a x ∞→→可能存在、也可能不存在，通常称为00型和∞∞型未定式.例如 x x x tan lim 0→, (00型); bx ax x sin ln sin ln lim 0→, (∞∞型).定理：设 (1)当0→x 时, 函数)(x f 和)(x F 都趋于零;(2)在a 点的某去心邻域内,)(x f '和)(x F '都存在且0)(≠'x F ;(3))()(lim)(x F x f x ax ∞→→存在(或无穷大),则)()(lim )()(lim x F x f x F x f ax ax ''=→→定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则 例1 求x x x tan lim→, (0型) 解 原式=)()(tan lim 0''→x x x =11sec lim20=→x x 例2 求123lim 2331+--+-→x x x x x x , (00型) 解 原式= 12333lim 221---→x x x x = =-→266lim 1x x x 23例3 求 xx x 1arctan 2lim -+∞→π, (00型)解 原式=22111limxx x -+-+∞→=221lim x x x ++∞→=1 例4 求 bx ax x sin ln sin ln lim0→, (∞∞型). 解 原式= ax bx b bx ax a x sin cos sin cos lim 0⋅⋅→= ax bxx cos cos lim 0→=1例5 求 xx x 3tan tan lim 2π→, (∞∞型)解 原式=xx x 3sec 3sec lim 222π→= x x x 222cos 3cos lim 31π→= x x x x x sin cos 23sin 3cos 6lim 312--→π= x x x 2sin 6sin lim 2π→= 32cos 26cos 6lim 2=→x xx π注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 求xx x x x tan tan lim20-→解 原式= 30tan lim x xx x -→= 22031sec lim x x x -→=220tan lim 31x x x →=31二．0,1,0,,0∞∞-∞∞⋅∞型未定式的求法关键: 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型00型和∞∞型.1．∞⋅0型未定式的求法 步骤：,10∞⋅∞⇒∞⋅或0100⋅⇒∞⋅ 例7 求.lim 2xx e x -+∞→ )0(∞⋅型解 原式=2lim x e x x +∞→=x e x x 2lim +∞→2lim xx e+∞→=.+∞=型∞-∞.2步骤：0101-⇒∞-∞.0000⋅-⇒ 例8 求 ).1sin 1(lim 0xx x -→ )(∞-∞型 解 原式=xx xx x sin sin lim 0⋅-→x x x x x cos sin cos 1lim 0+-=→.0=型00,1,0.3∞∞步骤： ⎪⎩⎪⎨⎧∞⋅⋅∞⋅−−→−⎪⎭⎪⎬⎫∞∞ln 01ln 0ln 01000取对数.0∞⋅⇒例9 求.lim 0x x x +→ )0(0型解 原式=xx x eln 0lim +→xx x eln lim 0+→=xxx e 1ln lim 0+→=2011limx x x e-+→=0e =.1=例10 求.lim111xx x-→ )1(∞型解 原式=x xx eln 111lim -→xx x e-→=1ln lim111lim 1-→=x x e .1-=e例11 求.)(cot lim ln 10xx x +→ )(0∞型解 由于)ln(cot ln 1ln 1)(cot x xxex ⋅=而)ln(cot ln 1lim 0x xx ⋅+→xxx x 1sin 1cot 1lim 20⋅-=+→x x x x sin cos lim 0⋅-=+→1-=所以 原式=.1-e注意：洛必达法则的使用条件． 例12 求.cos limxxx x +∞→解 原式=1sin 1limx x -∞→).sin 1(lim x x -=∞→极限不存在（洛必达法条件不满足的情况）正确解法为 原式=)cos 11(lim x xx +∞→.1=第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 教学目的：理解函数的单调性和曲线的凹凸性的判定定理，会求函数的单调区间和曲线的凹凸区间。
GCT入学资格考试数学基础能力试题参考答案与解析
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最短的弦长为 lmin = 2 152 − 122 = 18 ，最长的弦长 lmax = 2 ×15 = 30 。
因此过 P 点的弦可取这两数值中的 13 个整数，除了最小弦长和最大弦长各对应一条弦， 其余 11 个整数每个对应两条弦，共有 24 条。
16．【答案】A 【解析】根据已知图形可分析：
2004 年 GCT 入学资格考试数学基础能力试题 参考答案与解析
1．【答案】D
【解析】本题经过简单计算即可得出结果。原来每隔 40 m 挖坑的数为：3 600 ÷40+1=91，
现每隔 60 m 挖坑的数量为：3 600 ÷60+1=61，又因 40 与 60 的最小公倍数为 120，则可知先
后挖重叠的坑的数量为：3 600 ÷120+1=31，这时不难看出重新挖坑的数量为：61−31=30，
由△ADE，△AHB，△EFC 和△BGC 都是等腰直角三角形，知
116
|AH|= 2 a AE = 2b BG = 2 b
2
2
HE = AE − AH = 2b − 2 a 2
HG = HB − BG = 2 a − 2 b 22
又因四边形 EFGH 是正方形，故 2b − 2 a = 2 a − 2 b ，即有 a = 3 b
2y2=17−15cos x 由 x∈(0,π)，知 1<y2<16 即 1<y<4。故答案为 B。 14．【答案】A
【解析】由直线 x+y=0 可推出 y= −x，即是二、四象限角平分线，又因直线 l 与直线 2x − y = 1关于直线 x + y = 0 对称，则取已知直线上的点 P1（0，−1）关于直线 x= −y 的对称
GCT考试真题解析高数部分教案
GCT 考试真题解析——高数部分116.lim () 4. A. C. x=1(x 1)f(x)>2 D. x=1(x 1)f(x)4x f x →=≠≠≠若则必定（ ）f(1)=4B.f(x)在x=1处无定义在的某临域中，在的某临域中，17.设0)(>x f ，且导数存在，则=+∞→)()1(ln lim a f n a f n n （ ）。
A. 0 B. ∞ C. )(ln a f ' D.)()(a f a f ' 18. ()11limsin x x xππ→-=( )．A ．π-B ．-1C ．0D ．119．若函数)(x f 可导，且2)0()0(='=f f ，则h h f h 2)(lim20-→=（ ）。
A ．0B ．1C ．22D ．420．函数)(x f 在[]+∞,1上具有连续导数，且0)(lim ='+∞→x f x ，则（ ）。
A ．)(x f 在[]+∞,1上有界 B ．)(lim x f x +∞→存在C ．))()2((lim x f x f x -+∞→存在 D ．0))()1((lim =-++∞→x f x f x2x 117.ln(tan )ln 22y πππ'=-设，则y ()=( )248A. -1B. 1C.D.16+16+21.设函数)(x f 可导，且1)0(=f ，x x f =-)ln ('，则)1(f ＝（ ）18.()(0)1,(ln ),(1)f x f f x x f =-==-1-1-1-1设函数可导，且则( ) A. 2-e B. 1-e C. 1+e D. e22. 若可导函数f(x)满足，f'(x)=f 2(x)，且f(0)=-1，则在点x=0的三阶导数f'''(0)=( )．A ．6B ．4C ．-4D ．-623．若a,b ，c ，d 成等比数列，则函数y=A.有极大值，而无极小值 B ．无极大值，而有极小值 C.有极大值，也有极小值 D ．无极大值，也无极小值24 .曲线{21),2()1(10,)1(22≤<--≤≤-=x x x x x x y 在（0，2）区间内有（）。
GCT工程硕士数学讲义
第四部分一元函数微积分在25个考题里面占6个，主要考在一元微分学部分，微分学占，现在微分学的题目有四个，积分学可能有两个题目。
到了23从题目的难度说，04、06两年，微积分的题目计算量是偏大的，03、05两年题目的难度不大，但也有难题。
从出题目的类型说，1=2第三章连续函数连续的定义，左右连续的定义，连续与左右连续的关系，间断点，间断点的分类，连续函数的运算性质，连续函数的性质。
给出一个函数，给出一点，判断函数在这点是否存在左极限和右极限存在且相等，相等就是连续的。
给出具体函数找间断点。
1.先找有定义的点；2.单独给出定义的点；sin x 0()x 0x 0xf x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，，最大值存在性和最小值的存在性； 第四章 导数和微积分的概念、导数的运算1.）2.3.记；y 二、三种运算 1．极限运算常用方法：四则运算、重要极限、等价无穷小代换、无穷大与无穷小的关系、导数定义、洛必达法则等 2．求导运算需要掌握：定义、基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的链导法则、变限定积分函数的导数公式 3．积分运算（1）不定积分运算：基本积分公式、换元积分法、分部积分法[ 3．已知x x e f x cos sin )(+='，求)(x f ． 解： 因为x x x x e x x e e f e f )cos (sin )())((+='='， 所以 ⎰+=dx e x x e f x x )cos (sin )( 因此 C x x x f +=)sin(ln )(．4．设C x dx x xf +=⎰arctan )(，求⎰dx x f )(1． 解：因为 C x dx x xf +=⎰arctan )(， 所以 211)(xx xf +=．因此 C x x dx x x dx x f ++=+=⎰⎰4224121)1()(1．所以⎰++=dt t t x f 02)1ln()(是偶函数．三、函数在一点的性质1．求极限⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x e e xx x sin 12lim 410． 解：110sin 12lim sin 12lim ||sin 12lim 3110410410=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++--→→→+++x x e e e x x e e x x e e x x x x x x x x x x 112sin 12lim ||sin 12lim 410410=-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--→→x x e e x x e e x x x x x x ．4．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=10111sin )1()(2x x x x x f 在1=x 处的连续性、可导性． 答案：连续，可导．因为01011sin)1(lim1)1()(lim )1(211=----=--='→→x x x x f x f f x x ． 5．设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=001sin)(2x bax x xx x f 在0=x 可导，则b a ,满足[ A ]（A ）0,0==b a ． （B ）1,1==b a ． （C ）0,=b a 为任意常数． （D ）1,=b a 为任意常数． 四、有关无穷小比较的问题 1．若0>k ， 0)tan(1limcos 10≠=--→a x e kx x π，求k 与a 的值．21cos 112cos 1---xx e k k k x)是等又 a xx a x dt t t ax x x x b x -=+-=+-=-→→⎰101cos 1lim 1sin 1lim 2220220， 所以 1=a . 4. 设⎰=x t dt e x f 02)(，求hh x f h x f h )()(lim--+→．解:1)()(lim )()(lim0h x f h x f h h x f h x f h h -'++'=--+→→2222][lim )()(0x h x h x h eee=+=-+→．五、有关导数概念的问题 1．求极限 hh x f h x f h 2)()(lim000--+→．解：)(2)]()([)]()([lim 2)()(lim000000000x f h h x f x f x f h x f h h x f h x f h h '=--+-+=--+→→2．设0)=，1．)ln(arctan x y =．211arctan 1x x +2．已知函数)(x y y =由0=+--xy e e x y 确定，求曲线)(x y y =在0=x 处的切线方程与法线方程．解：由 0=+--xy e e x y 得0='+++'-y x y e y e x y ，当 0=x 时，得 1)0(,0)0(-='=y y ，所以要求的切线与法线方程分别为x y x y =-=,． 3．xx y 1=．x x y ln ln =，2ln11x xy y -='，21ln 1xx x y x-='．所以24)1arctan(222xx x x x <-+<++π)0(>x . （2）证明：)(b a e b a ab <<>．证明：令xx x f ln )(=，则e x xxx f ><-=',0ln 1)(2，所以当b a e <<时， )()(a f b f <，即aab b ln ln <，故)(b a e b a a b <<>．（3）证明：)31(1ln ln )3(ln 1222e x x x ≤≤≤-≤-．证明：令x x x f 22ln ln )(-=，由0ln 22)(=-='xx xx f 得e x =，由于3ln 1)3(,1)(,0)1(2-===e f e f f ，所以函数)(x f 在区间]3,1[e 上的最大、最小值分别为1和3ln 12-，从而有 )31(1ln ln )3(ln 1222e x x x ≤≤≤-≤-．注：也可用定积分的几何意义证明． 5．研究方程根的问题例如：讨论方程033=+-A x x 实根的情况．解：令 A x x x f +-=3)(3，由033)(2=-='x x f 得 1,121=-=x x ，从而)1,1(-是函数的单减区间，)1,(--∞和),1(+∞是函数的单增区间，极大值为2)1(+=-A f ，极小值为2)1(-=A f ．由于-∞=+∞=-∞→+∞→)(lim ,)(lim x f x f x x ，所以：当02<+A 时，原方程只有一个实根，位于),1(+∞内； 当02=+A 时，原方程有两个不同实根，一个为1-，一个位于),1(+∞)1,-，1(-)1,(--∞由于 )1(9x y -=''，所以)1,(-∞为函数的下凸区间，),1(+∞为函数的上凸区间，点)3,1(是23bx ax y +=的拐点． 2. 设函数)(x f 在]1,1[-上二阶连续可导，且)0(='f ，1)(cos 1lim0=''-→x f xxx ，试判断0=x 是否为)(x f 的极值点？是否为)(x f 的拐点？解：因为 01)(cos 1lim0>=''-→x f xxx ，所以在0=x 附近0)(cos 1>''-x f xx ，从而0)(>''x f ，因此0=x 不是)(x f 的拐点．由于0)(>''x f ，所以)(x f '单增，又0)0(='f ，从而易知0=x 是)(x f 的极小值点．九、不定积分（凑法、分部积分法）5．⎰dx x解：⎰⎰+-==C x x x x d x dx xx ln )ln(ln ln )(ln )ln(ln )ln(ln6．⎰dx x )sin(ln解：因为⎰⎰-=dx xx x x x dx x 1)cos(ln )sin(ln )sin(ln所以 C x x x dx x +-=⎰))cos(ln )(sin(ln 2)sin(ln ．十、定积分求值的问题1．利用定积分性质（几何意义、奇偶性、周期函数等） 2．分段函数、绝对值函数、带有根号的函数求定积分 例如：k dx x k dx x k dx x k 2cos cos sin 10202===-⎰⎰⎰πππ．3．已知一个积分值，求另一个积分值 ⎰π1．导数运算（1）已知函数)(x y y =由方程0cos 1sin 022=+⎰⎰dt t dt e y xt 确定，求dxdy．解：因为 0cos 1sin 022=+⎰⎰dt t dt e y xt ， 所以0)cos(sin cos 22=+-x x e dxdy y ，因此 2)cos(sin cos 2x x e dxdy y -=．（2）求极限 xdte xt x cos 1)1(lim 02--⎰→．解：0sin lim sin 1lim cos 1)1(lim200022==-=--→→→⎰xx x e xdte x x x xt x ． （3）⎰=x dt xt f x F 0)()(，求)(x F '． 解：⎰⎰==2001)()()(x xdu x u f dt xt f x F ，)(2)(1)(2022x f du u f xx F x +⎰-='． （4）已知⎰-=221)(x t dt e x f ，求⎰10)(dx x xf ．1．切线、法线，2. 最大、最小面积．（1）求由0,0,===x y e y x 及x e y =在1=x 处的法线所围图形的面积及此图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积． 解: x e y =在1=x 处的法线方程为)1(1--=x ee y ，此法线与x 轴的交点是 )0,1(2+e ，所以121)]1(1[311102-+=--+=⎰⎰+e e dx x e e dx e S e x； ()422210231)1(2131e e e e dx e V x ππππ+-=+=⎰． （2）求曲线段)62(,ln ≤≤=x x y 的一条切线，使该切线与直线6,2==x x 及此曲线段所围平面图形的面积最小．)4(最[（2005）设函数()f x 的定义域是[]0,1，则函数()()()sin 1cos g x f x f x ππ=++的定义域是（ ）．A. 1x ≤B. 01x ≤≤C. 0.5x ≤D. 0.51x ≤≤分析：考虑⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤≤≤≥+≥-1cos 10,1sin 0,01,01x x x x ππ得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤-,0cos 1,1sin 0,11x x x ππ解得15.0≤≤x ．即正确选项为D ．二、函数在一点的性质 1．设函数⎪⎧≠=,01sin )(2x x x f ，，则)(x f 在点0=x 处[ ]．（极限、2x ∆limA 3()0f '=（0lim )(lim )0(===∞→∞→n n f f n n ，21lim )0(=='∞→nn f n ．即正确选项为C ．注：特殊值代入法。
03年GCT(数学)真题解析
2
2
因为被积函数 f (t)=-sin(sint)在 , 上是奇函数。所以 I=0，故选 D。 2
21．【答案】A
2 1 x 2x
11 x 【解析】要使行列式
1 展开式中含 x4，则在行列式中，各不同的行、列都
0x 2 0
x0 1 x
有 x，即（2x、x、x、x）=2x4（即对角线上都为 x），故选 A。 22．【答案】D 【解析】
概率为（ ）。
A．0.271
B．0.243
C．0.1
D．0.081
10．A、B、C、D、E 五支篮球队相互进行循环赛，现已知 A 队已赛过 4 场，B 队已赛
过 3 场，C 队已赛过 2 场，D 队已赛过 1 场，则此时 E 队已赛过（ ）。
A．1 场
B．2 场
C．3 场
D．4 场
11．过点 P（0，2）作圆 x2+y2=1 的切线 PA、PB，A、B 是两个切点，则 AB 所在直线
C．0<I<1
2 1 x 2x
11 x 21．行列式
1 展开式中 x4 的系数是（
）。
0x 2 0
x0 1 x
A．2
B． 2
C．1
11
110
22．设 A = 2 0 ， B =
，则必有（ ）。
231
31
A．AB=BA
B．AB=BTAT
C． BA = 8
D．4 个 D．I=0
D． 1 D． AB =0
10 0
100 D． 0 0 0
0 01
GCT 数学 2003-2011 年真题与答案解析 第 4 页 共 8 页
2003 年 GCT 入学资格考试数学基础能力试题 参考答案与解析
GCT考试真题解析_高数部分 教案
GCT 考试真题解析——高数部分116.lim () 4. A. C. x=1(x 1)f(x)>2 D. x=1(x 1)f(x)4x f x →=≠≠≠若则必定（ ）f(1)=4B.f(x)在x=1处无定义在的某临域中，在的某临域中，17.设0)(>x f ，且导数存在，则=+∞→)()1(lnlima f n a f n n （ ）。
A. 0 B. ∞ C. )(ln a f ' D.)()(a f a f ' 18. ()11limsin x x xππ→-=( )．A ．π-B ．-1C ．0D ．119．若函数)(x f 可导，且2)0()0(='=f f ，则h h f h 2)(lim20-→=（ ）。
A ．0B ．1C ．22D ．420．函数)(x f 在[]+∞,1上具有连续导数，且0)(lim ='+∞→x f x ，则（ ）。
A ．)(x f 在[]+∞,1上有界 B ．)(lim x f x +∞→存在C ．))()2((lim x f x f x -+∞→存在 D ．))()1((lim =-++∞→x f x f x2x 117.ln(tan )ln 22y πππ'=-设，则y ()=( )248A. -1B. 1C.D.16+16+21.设函数)(x f 可导，且1)0(=f ，x x f =-)ln ('，则)1(f ＝（ ）18.()(0)1,(ln ),(1)f x f f x x f =-==-1-1-1-1设函数可导，且则( ) A. 2-e B. 1-e C. 1+e D. e22. 若可导函数f(x)满足，f'(x)=f 2(x)，且f(0)=-1，则在点x=0的三阶导数f'''(0)=( )．A ．6B ．4C ．-4D ．-623．若a,b ，c ，d 成等比数列，则函数y=A.有极大值，而无极小值 B ．无极大值，而有极小值 C.有极大值，也有极小值 D ．无极大值，也无极小值24 .曲线{21),2()1(10,)1(22≤<--≤≤-=x x x x x x y 在（0，2）区间内有（）。
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1
A. 2
2
x
26.设 a 0 ，则在[0，a]上方程
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
B. 1
0
4a 2 t 2 dt
27 .如右图，曲线 P f (t) 表示某工厂十年期间的产值变化情况，设 f (t) 是可导函数，从
图形上可以看出该厂产值的增长速度是（）。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
22. 若可导函数 f(x)满足，f'(x)=f2(x)，且 f(0)=-1，则在点 x=0 的三阶导数 f'''(0)=( )． A．6 B．4 C．-4 D．-6
23．若 a,b，c，d 成等比数列，则函数 y=
A.有极大值，而无极小值 B．无极大值，而有极小值
C.有极大值，也有极小值 D．无极大值，也无极小值
D． x
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
18. lim
x 1
ห้องสมุดไป่ตู้
x1 sin x
A． B．-1
=(
19．若函数 f (x) 可导，且 f (0) f (0)
A．0
C． 2 2
20．函数
f
(x)
A． f (x) 在 1,上有界
C． x
lim ( f (2x) f (x))
GCT 考试真题解析——高数部分
)． C．0
在 1,上具有连续导数，且
存在
f(x)>2 f(x) 4
lin
m f (a)
B．1
D．4
B． x
f (a 1)
f (a)
D.
f (a)
D．1
2
，则
lim
x
lim f (x)
n （ ）。
f
lim
h0
( x)
存在
lim ( f (x 1) f (x)) 0
f 2 (h) 2
0
h
，则（
=（ ）。
）。
17.设y，则lny(t(an x))=( ln )1
A. - 1 B. 1
22
C. 4 16+
2
D. 8 16+ 2
21.设函数 f (x) 可导，且 f (0) 1， f ' ( ln x) x ，则 f (1) ＝（ ）
18.设函数f可(x导) ，且则( f ()0) 1, f ( ln x) x, f (1) A. 2- e- 1 B. 1- e- 1 C. 1+e- 1 D. e- 1
16.若则lim必f定(x（) 4.） x1 A. f ( 1) =4 B. f ( x) 在x=1处无定义 C. 在x的=某1 临域中，(x 1) D. 在x的=某1 临域中，(x 1)
17.设 f (x) 0 ，且导数存在，则 n ln
A. 0 B. ∞ C. ln f (a)
24 .曲线
y x(x 1)2 ,0 x 1
(x 1)2 (x 2),1 x 2
A. 2 个极值点，3 个拐点
C. 2 个极值点，1 个拐点
在（0，2）区间内有（）。
B. 2 个极值点，2 个拐点
D. 3 个极值点，3 个拐点
25 .设正圆锥母线长为 5，高为 h，底面圆半径为 r，在正圆锥的体积最大时， r （ ）。 h