4.4 第1课时 利用两角判定三角形相似
《探索三角形相似的条件》示范公开课教学设计【北师大版九年级数学上册】第1课时
第四章 图形的相似4.4 探索三角形相似的条件第1课时 教学设计一、教学目标1．经历两个三角形相似条件的探索过程，增强发现问题、提出问题的意识，进一步体会类比、分类、归纳等思想与方法．2．了解相似三角形的判定定理1．3．了解黄金分割．4．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，发展应用意识．二、教学重点及难点重点：相似三角形的判定定理及其探索过程．难点：相似三角形的判定定理的应用．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源《相似三角形引入》视频，《相似的判定AA 》动画，《相似三角形的判定》微课.五、教学过程【复习引入】根据所学的相似多边形的定义，你能给相似三角形下个定义吗？师生活动：教师引导学生得出，如果两个三角形的三个角分别相等，三条边成比例，我们就说这两个三角形相似．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．例如，在△ABC 和△A'B'C'中，如果∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，，我们就说△ABC 和△A'B'C'相似，相似比为k ，记作△ABC ∽△A'B'C'．设计意图：引导学生回顾旧知识，从而得出相似三角形的定义及写法．判定三角形全等，我们并不是验证六个条件，而是利用了几个简便的判定定理，那么三角形相似的判定我们又能找到哪些简便的方法呢？ 设计意图：类比三角形全等的判定方法为我们探索三角形相似的判定方法提供了方向AB BC AC k A'B'B'C'A'C'===性的指导，从而揭示本节课的主题．【探究新知】想一想如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？如果有两个角分别相等呢？师生活动：教师引导学生用直尺和圆规任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的一个角与原来三角形的一个角相等，度量这两个三角形的三边及其他的两个角，看这两个三角形的三边是否成比例？其他的两个角是否相等？从而判定这两个三角形是否相似？再画一个三角形，使它的两个角与原来三角形的两个角相等，度量这两个三角形的三边和其他的一个角，看它们的三边是否成比例？其他的一个角是否相等？从而判定这两个三角形是否相似？做一做与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A`B`C`，使得∠A和∠A`都等于∠α，∠B 和∠B`都等于∠β，此时∠C与∠C`相等吗？三边的比相等吗？这样的两个三角形相等吗？改变∠α和∠β的大小，再试一试。
北师大新版九年级数学上册-4.4 第1课时 利用两角判定三角形相似1教案带教学反思
4.4探索三角形相似的条件第1课时利用两角判定三角形相似1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；2.掌握相似三角形的判定定理1；（重点）3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点）一、情景导入如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？二、合作探究探究点一：两角分别相等的两个三角形相似在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝80°，∠B＝70°，∠C′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由.解：△ABC∽△A′B′C′.理由：由三角形的内角和是180°，得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°，所以∠A＝∠A′，∠C＝∠C′.故△ABC∽△A′B′C′（两角分别相等的两个三角形相似）.方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件.探究点二：相似三角形的判定定理1的应用已知：如图，△ABC的高AD、BE相交于点F，求证：AFBF＝EFDF.解析：要证明AFBF＝EFFD，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论.证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEF＝∠BDF＝90°.又∵∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴AFBF＝EFDF.方法总结：证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似三角形的对应边成比例得到相关比例式.如图所示，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF 的长.解：方法一：因为DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，所以△ADE ∽△ABC ，所以AD AB ＝DE BC ，即44＋8＝5BC ，所以BC ＝15cm.又因为DF ∥AC ， 所以四边形DFCE 是平行四边形， 所以FC ＝DE ＝5cm ，所以BF ＝BC －FC ＝15－5＝10（cm ）. 方法二：因为DE ∥BC ，所以∠ADE ＝∠B .又因为DF ∥AC ，所以∠A ＝∠BDF ， 所以△ADE ∽△DBF ，所以AD DB ＝DE BF ，即48＝5BF ，所以BF ＝10cm.方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到. 三、板书设计（1）相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形；（2）相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力.。
数学九年级北师大版 4.4 探索三角形相似的条件教学设计
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》4．探索三角形相似的条件（二）一、学生知识基础学生通过七年级下册第三章《三角形》的学习和本章前面几节中成比例线段、平行线分线段成比例、相似多边形等知识的学习，具有了探索三角形相似的条件的知识基础，同时本节第一课时对“两角对应相等的两个三角形相似”进行了探究学习，已经具有一定的探索经验、分析问题能力及归纳演绎的能力，具备了一定的合作与交流的能力，本节进一步探索相似三角形的条件---- “两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这个判定定理，为第三课时探究“三边对应成比例的两个三角形相似”奠定基础。
二、教学任务分析本节课将为学生创设动手操作和交流反思的情境，进一步发展学生的探索、交流能力，达到深入探索三角形相似条件的目的，并能够运用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这个判别三角形相似的条件来解决简单的问题。
本节课学生经历观察、操作、思考、交流、归纳的过程，进一步发展学生的空间观念，发展逻辑推理能力和语言表达能力，增强解决问题的能力，在活动中体会数学与生活的密切联系。
在教学方法上建议采用学生自主探索、分组讨论总结的方式，为后续章节的学习积累经验。
教学目标：1·经历探索活动，理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，并能借此解决实际问题。
2·活动中培养学生细心观察、积极思考、动手操作的能力，发展类比的数学思想、主动探索的意识，增强合情推理及语言表达能力。
3·使学生感悟几何知识在生活中的价值，体会数学与生活的联系，激发学生的求知欲。
教学重点：探索并掌握相似三角形的判定定理：“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
教学难点：相似三角形判定定理在实际问题中的灵活运用。
三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：明确任务，目标导向，；第三环节：活动探究，解疑答惑；第四环节：活学活用，巩固提高；第五环节：归纳反思，总结升华，；第六环节：达标检测，反馈矫正。
4.4.1三角形相似的判定教案
4.4.1探索三角形相似的条件1教学目标:知识与技能：1.掌握三角形相似的判定方法1.2.会用相似三角形的判定方法来证明及计算.3.通过推导相似三角形的判定方法，培养学生的动手能力。
过程与方法：1.初步掌握两个三角形相似的判定条件，能够运用三角形相似的条件解决简单问题。
2.经历两个三角形相似条件的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，以及动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。
情感态度与价值观：在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识和合作交流的习惯，发展学生的推理的能力和初步的逻辑推理意识，体会数学思维的价值。
教学重点：相似三角形的判定方法以及推导过程，并会用判定方法来证明和计算.教学难点：判定方法的灵活运用教学设计：一、观察与思考问题1：根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？归纳总结：相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.反之，若两个三角形相似了，你会得到什么呢？你会用符号语言来表示吗？问题2: 三角形全等的性质和判定方法有哪些？思考：全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？二、合作探究与同伴合作，一人画 △ABC ，另一人画 △A′B′C′，使∠A =∠A′=30° ，∠B =∠B′= 45°（角度可以自行设定） ，探究下列问题： 问题一：这两个三角形的第三个角相等吗？问题二：度量 AB ，BC ，AC ，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值. 你有什么发现？ 归纳：由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似. 符号语言：∵ ∠A =∠A'，∠B =∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 三、典例精析例1：如图，D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点，DE∥BC , AB =7，AD =5，DE =10，求BC 的长. 练一练如图，△ABC 中，DE∥BC ，EF∥AB ，求证： △ADE ∽△EFC .例2: 如图，在 Rt △ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED ⊥AB ，垂足为D . 求AD 的长.`二次备课BADECAEFDCB四、当堂练习1. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A =40°，∠B =80°，∠E =80 °，∠F =60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.2. 如图，已知 AB∥DE ，∠AFC ＝∠E ，则图中相似三角形共有( ) A. 1对 B. 2对 C. 1对 D. 2对挑战自我:1. 如图，点 D 在 AB 上，当∠ ＝∠ (或 ∠ =∠ )时， △ACD ∽△ABC ；思维提升1.如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．归纳总结AC BFED二次备课二次备课五、课堂小结：知识：相似三角形的定义相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例定理：两角分别相等的两个三角形相似能力：相似三角形的判定定理1的运用思想方法：类比、分类、归纳六、作业布置：P90页习题4.5 1、2、3。
4.4 三角形相似的条件(一)上课课件
对应角……？ 对应边……？
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
△ABC与△ A'B'C'相似 表示为： △ABC∽△ A'B'C'
读作： △ABC相似于△ A'B'C'
C’ C A
’ A B
在写两个三角 形相似时应把表 示对应顶点的字 母写在对应的位 置上。
B’
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
∵ ∠A= ∠ A' 、∠B= ∠ B'、∠C= ∠ C'
AB BC CA A' B' B' C' C' A'
C
C'
∴ △ABC∽△A'B'C'
A
B A'
B'
相似三角形的定义可以作为三角形相似 的一种判定方法。
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
在△ABC 和△ A'B'C'中,
问题：若∠A=∠A'，∠B= ∠B'
那么△ABC与△ A'B'C'是否相似?
A A'
B
C
B'
C'
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简 单说成： 两角对应相等，两三角形相似。
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
用数学符号表示：
A
A'
B
C
B'
C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
北师大版中学数学九年级上册 探索三角形相似的条件(第一课时 利用两角判定三角形相似) 课件PPT
知识讲解
例1：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，
DE∥BC,AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
A
解：∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
D
∴△ADE∽△ABC
B
(两角分别相等的两个三角形相似).
∴ AD DE .
AB BC
∴BC=14.
E C
知识讲解
知识拓展
解：
AB
AO，DB
AB A B
ACO
BCD
ΔAOC
∽
ΔBDC
AO AC AO 120 AO 100m. BD BC 50 60
16
课堂小结
定义：三角分别相等、三边成比例的两 个三角形叫做相似三角形
三角形相似的条 件（1）
定理：两角分别相等的两个三角形相似
相似三角形的判定定理1的运用
14
随堂训练
3.如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB.
求证：△ADE∽△EFC.
证明： ∵ DE∥BC，EF∥AB.
A
∴∠AED＝∠C， ∠A＝∠FEC.
D
E
∴ △ADE∽△EFC.
B
C F
（两角分别相等的两个三角形相似．）
15
随堂训练
4.如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上 观察到一个明显的标志点O，再在他们所在的这一侧选点A，B，D，使 得AB⊥AO，DB⊥AB，然后确定DO和AB的交点C．测得AC=120m，CB=60m， BD=50m，你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
2.利用角的关系判定两个三角形相似
三角形全等的性质和判定方法有哪些？
定义
北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件教学设计
-学生在完成练习后，对照答案进行自我检查，找出错误原因，及时修正。
-教师组织课堂小结，让学生复述相似三角形的判定方法和应用，巩固所学知识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生的审美观念，让学生体会相似三角形在几何图形中的美。
-教师引导学生通过几何画板或其他教具，观察相似三角形的特征，并总结规律。
-学生在小组内分享观察结果，讨论相似三角形的判定条件。
2.理论与实际结合：结合具体实例，让学生将相似三角形的性质应用于解决实际问题，提高学生解决问题的能力。
-教师设计具有实际背景的问题，指导学生运用相似三角形的性质进行求解。
-学生通过自主探究和小组合作，解决实际问题，体验数学知识在生活中的应用。
-教师引导学生发现相似三角形在自然界和生活中的应用，如建筑、艺术等，激发学生对几何美的追求。
2.培养学生合作交流的意识，增强团队协作能力。
-在小组合作活动中，学生学会倾听他人意见，表达自己的观点，共同解决问题。
3.增强学生的自信心，激发学习数学的兴趣。
-教师及时给予学生鼓励和肯定，让学生在解决实际问题的过程中感受到成功的喜悦，提高学习积极性。
2.提出问题：向学生提问：“你们觉得这些图形之间有什么联系？”、“如何判断两个三角形是否相似？”等问题，激发学生的思考，为新课的学习做好铺垫。
3.回顾相关知识：简要回顾全等三角形的判定方法，为学生学习相似三角形的判定方法打下基础。
（二）讲授新知
在这一环节，我将系统地讲解相似三角形的定义、判定方法及其应用：
-设计开放性问题和实际应用题，评价学生对相似三角形知识掌握的深度和广度。
《4.4探索三角形相似的条件》第1课时教案
在今天的教学中，我引导学生们探索了三角形相似的条件。整体来看，学生们对于新知识的接受程度不错，但我也注意到了一些需要改进的地方。
课堂上，我通过提问的方式导入新课，让学生们回顾日常生活中的相似三角形，这个环节的效果比我预期的要好。我发现学生们能够积极地参与到课堂讨论中，这为后续的学习奠定了良好的基础。然而，在理论介绍部分，我意识到需要更加简洁明了地讲解相似三角形的定义和性质，可能的话，结合一些动态的图像或实物模型，这样能让学生们更直观地理解对应角和对应边的关系。
三、教学难点与重点
1.教学重点
本节课的核心内容是掌握三角形相似的条件及其应用。以下是教学重点的详细说明：
a.理解并掌握相似三角形的定义及基本性质，如对应角相等、对应边成比例。
b.掌握判定三角形相似的方法，包括两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例。
c.学会运用三角形相似的性质和判定方法解决实际问题，例如求三角形中未知线段的长度或证明线段之间的比例关系。
b.在实际应用中，学生可能会难以识别哪些角和边是对应的，特别是在复杂的图形中。
c.学生在运用相似三角形的判定方法解决问题时，可能会忽视证明过程中的逻辑严密性。
举例：在解决一个包含多个相似三角形的复杂问题时，学生可能难以识别哪些是关键的对应角和对应边。教师可以通过以下方法帮助学生突破难点：
-使用直观的教具或动态软件，展示相似三角形的形成过程，让学生清晰地看到对应角和对应边的变化。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用相似三角形的模型来观察和测量对应角和对应边。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形相似在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
利用两角判定三角形相似【公开课教案】
4.4探索三角形相似的条件第1课时利用两角判定三角形相似1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件；2.掌握相似三角形的判定定理1；（重点）3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点）一、情景导入如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗？二、合作探究探究点一：两角分别相等的两个三角形相似在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝80°，∠B＝70°，∠C′＝30°，这两个三角形相似吗？请说明理由.解：△ABC∽△A′B′C′.理由：由三角形的内角和是180°，得∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－80°－70°＝30°，所以∠A＝∠A′，∠C＝∠C′.故△ABC∽△A′B′C′（两角分别相等的两个三角形相似）.方法总结：两个三角形已有一对角相等，故只要看是否还有一对角相等即可.一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角”等隐含条件.探究点二：相似三角形的判定定理1的应用已知：如图，△ABC的高AD、BE 相交于点F，求证：AFBF＝EFDF.解析：要证明AFBF＝EFFD，可以考虑比例式中四条线段所在的三角形是否相似，即考虑△AFE与△BFD是否相似，利用两个角对应相等的三角形相似可以证明这个结论.证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEF＝∠BDF＝90°.又∵∠AFE＝∠BFD，∴△AFE∽△BFD，∴AFBF＝EFDF.方法总结：证明比例式，可构造相似三角形，只要证明这两个三角形相似，就可根据相似三角形的对应边成比例得到相关比例式.如图所示，已知DE∥BC，DF∥AC，AD＝4cm，BD＝8cm，DE＝5cm，求线段BF的长.解：方法一：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，所以△ADE∽△ABC，所以ADAB＝DEBC，即44＋8＝5BC，所以BC＝15cm.又因为DF∥AC，所以四边形DFCE是平行四边形，所以FC＝DE＝5cm，所以BF＝BC－FC＝15－5＝10（cm）.方法二：因为DE∥BC，所以∠ADE＝∠B .又因为DF ∥AC ，所以∠A ＝∠BDF ， 所以△ADE ∽△DBF ，所以AD DB ＝DE BF ，即48＝5BF，所以BF ＝10cm.方法总结：求线段的长，常通过找三角形相似得到成比例线段而求得，因此选择哪两个三角形就成了解题的关键，这就需要通过已知的线段和所求的线段分析得到.三、板书设计（1）相似三角形的定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形；（2）相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.感受相似三角形与相似多边形、相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力，培养学生的观察、动手探究、归纳总结的能力.。
4.4相似三角形的定义及判定（第1课时）同步练习（含答案）
4探索三角形相似的条件第1课时利用两角的关系判定三角形相似关键问答①相似三角形的性质有哪些？1．①如图4－4－1，已知△ABC∽△DEF，则x等于()图4－4－1A．40°B．60°C．80°D．80°或60°2．如图4－4－2，D，E，F，G四点在△ABC的边上，其中DG与EF相交于点H.若∠ABC＝∠EFC＝70°，∠ACB＝60°，∠DGB＝40°，则下列哪一组三角形相似()图4－4－2A．△BGD，△CEF B．△ABC，△CEFC．△ABC，△BGD D．△FGH，△ABC3.如图4－4－3，已知△ABC与△ADE相似，且∠B＝∠ADE，则下列比例式正确的是()图4－4－3A．AD∶AC＝DE∶BC B．AE∶BE＝AD∶DCC．AE∶AB＝AD∶AC D．AE∶AC＝AD∶AB命题点1利用两角分别相等判定两三角形相似[热度：93%]4．②如图4－4－4，P为线段AB上一点，AD分别交BC，PC于点E，G，BC交PD于点F，∠CPD＝∠A＝∠B，则图中相似三角形有()图4－4－4A．1对B．2对C．3对D．4对方法点拨②根据相似三角形的定义可知：若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″，即三角形相似具有传递性．5．③·株洲如图4－4－5所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.(1)求证：△DAE≌△DCF；(2)求证：△ABG∽△CFG.图4－4－5解题突破③由正方形和等腰直角三角形我们可以得到哪些线段相等，哪些角相等？命题点2根据两三角形相似进行计算[热度：90%]6.④[·毕节]如图4－4－6，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC ＝2 2，AB＝3，则BD＝________．图4－4－6方法点拨④在写相似表达式时要像写全等表达式那样，对应顶点的字母写在对应的位置上，这样也有利于正确写出边的比例式，保证结果正确．7．⑤将三角形纸片ABC按如图4－4－7所示的方式折叠，使点C落在AB边上的点D 处，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，则CF的长是________．图4－4－7易错警示⑤注意根据对应顶点分类讨论.8.⑥·六盘水如图4－4－8，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝________.图4－4－8解题突破⑥作平行线构造“A”字形图的相似三角形.命题点3有关相似三角形的存在性问题[热度：80%]9．⑦如图4－4－9，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE于点F.(1)求证：△PF A∽△ABE.图4－4－9(2)当点P在射线AD上运动时，设P A＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．易错警示⑦注意x的值可能不止一个．10．⑧如图4－4－10①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，O是AC边上一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E.(1)求证：△ABF∽△COE；(2)当O 为AC 边的中点，AC AB ＝2时，如图②，求OFOE 的值；(3)当O 为AC 边的中点，AC AB ＝n 时，请直接写出OFOE的值．图4－4－10方法点拨⑧求线段的比时常借助相似三角形的性质，当比例式中的线段不能构成相似形时，可考虑利用等量代换的方法求解．详解详析【关键问答】①相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例．1．C[解析] ∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E.∵∠B＝80°，∴∠E＝x＝80°.故选C.2．B[解析] ∵∠ABC＝∠EFC＝70°，∴EF∥AB，∴△ABC∽△EFC，故B正确；在△BDG中，∠B＝70°，∠DGB＝40°，则∠GDB＝70°；在△ABC中，∠B＝70°，∠ACB＝60°，则∠A＝50°，∴△ABC，△CEF与△BGD不相似，故A，C错误；∵EF∥AB，∴△FGH∽△BGD；∵△BGD与△ABC不相似，∴△FGH与△ABC不相似，故D错误．故选B.3．D[解析] 由∠B＝∠ADE可知△ABC∽△ADE，∴AE∶AC＝AD∶AB.故选D.4．C[解析] 在△PCF和△BCP中，∵∠CPF＝∠B，∠C为公共角，∴△PCF∽△BCP；在△APD和△PGD中，∵∠GPD＝∠A，∠D为公共角，∴△APD∽△PGD；∵△APD∽△PGD，∴∠APD＝∠PGD，∴∠BPF＝∠AGP.又∵∠A＝∠B，∴△AGP∽△BPF.共有3对相似三角形．故选C.5．证明：(1)由正方形ABCD及等腰直角三角形DEF，可知∠ADC＝∠EDF＝90°，AD ＝CD，DE＝DF，∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF.在△DAE和△DCF中，DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，AD＝CD，∴△DAE≌△DCF.(2)延长BA交ED于点M，如图所示．∵△DAE≌△DCF，∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF.∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF.∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF.又∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG.6.83[解析] ∵∠BCD＝∠A，∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴BCBD＝ABBC，即2 2BD＝32 2，∴3BD＝8，∴BD＝83.7.127或2[解析] 因为△ABC沿EF折叠后点C和点D重合，所以FD＝CF.设CF＝x，则BF＝4－x，若以点B，D，F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①若∠BFD＝∠C，则FDBF＝ACBC，即x4－x＝34，解得x＝127；①若∠BFD＝∠A，则FDBF＝ACAB，即x4－x＝1，解得x＝2.综上所述，CF的长为127或2.8.169[解析] 如图，过点O作OM∥AD交AB于点M.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∴MO是△ABD的中位线，∴AM＝BM＝12AB＝52，MO＝12BC＝4.∵AF∥OM，∴△AEF∽△MEO，∴AEME＝AFMO，即22＋52＝AF4，∴AF＝169.9．[解析] (1)在△PF A与△ABE中，易得∠P AF＝∠AEB及∠PF A＝∠ABE＝90°，故可得△PF A∽△ABE；(2)分两种情况列出关系式．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，∴∠P AF ＝∠AEB . 又∵∠PF A ＝∠ABE ＝90°， ∴△PF A ∽△ABE .(2)若△EFP ∽△ABE ，，如图① 则∠PEF ＝∠EAB ，∴PE ∥AB ， ∴四边形ABEP 为矩形， ∴P A ＝BE ＝2，即x ＝2；若△PFE ∽△ABE ，如图②， 则∠PEF ＝∠AEB .∵∠P AF ＝∠AEB ，∴∠PEF ＝∠P AF ， ∴PE ＝P A .∵PF ⊥AE ，∴F 为AE 的中点． ∵AE ＝AB 2＋BE 2＝2 5， ∴EF ＝12AE ＝ 5.∵PE AE ＝EF EB ，即PE 2 5＝52， ∴PE ＝P A ＝5，即x ＝5. ∴满足条件的x 的值为2或5.10．[解析] (1)要求证△ABF ∽△COE ，只要证明∠BAF ＝∠C ，∠ABF ＝∠COE 即可． (2)作OH ⊥AC ，交BC 于点H ，易证△OF A 和△OEH 相似，根据相似三角形的对应边的比相等，即可得出所求的值．(3)同(2)可得，OFOE＝n .解：(1)证明：∵AD ⊥BC ，∴∠DAC ＋∠C ＝90°. ∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠DAC ＝90°， ∴∠BAD ＝∠C .∵OE ⊥OB ，∴∠BOA ＋∠COE ＝90°. 又∵∠BOA ＋∠ABF ＝90°， ∴∠ABF ＝∠COE . ∴△ABF ∽△COE .(2)如图，过点O 作AC 的垂线交BC 于点H ，则OH ∥AB .由(1)得∠ABF ＝∠COE ，∠BAF ＝∠C ， ∴∠AFB ＝∠OEC ， ∴∠AFO ＝∠HEO .又∵∠BAF ＝∠C ，∠BAF ＋∠F AO ＝∠C ＋∠EHO ＝90°， ∴∠F AO ＝∠EHO ，∴△OF A ∽△OEH ，∴OF OE ＝OAOH .又∵O 为AC 的中点，OH ∥AB ， ∴OH 为△ABC 的中位线， ∴OH ＝12AB ，OA ＝OC ＝12AC .而AC AB ＝2，∴OA OH ＝2，∴OF OE＝2. (3)OF OE＝n .。
4.4 课时1 两角相等 课件 (共18张PPT) 数学北师版九年级上册
1．掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似．2．掌握由两角对应相等判定两个三角形相似的方法，并会运用这种判定三角形相似的方法解决简单问题．
这两个是什么三角形？
它们是全等三角形！
这样变化以后呢？
根据相似多边形的定义可知相似三角形的定义：把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
它们是相似三角形！
△ABC 与△A′B′C′ 相似表示为：△ABC∽△A′B′C′ ，读作：△ABC 相似于△A′B′C′.
注意：在写两个三角形相似时，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
相似三角形的定义可以作为三角形相.
由图 2 可知，∵ ∠A= ∠A′ , ∠B= ∠B′，∠C=∠C′,
这两个三角形一定不相似.
与同伴合作，两个人分别画△ABC 和△A'B'C'，(2) 使∠A 和∠A' 都等于∠α，此时三边的比 ， ， 相等吗？这样的两个三角形相似吗？
这两个三角形有可能相似，也有可能不相似.
只有一个角相等，这两个三角形不一定相似
与同伴合作，两个人分别画△ABC 和△A'B'C'，(3) 使得∠A 和∠A' 都等于∠α，∠B 和∠B' 都等于∠β，此时，∠C 与∠C' 相等吗？三边的比 ， ， 相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α，∠β 的大小，再试一试.
温馨提示
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
①两角分别相等
③两边成比例且其中一边的对角相等
②两边成比例且夹角相等
④三边成比例
(2) 两个条件
类比
三角形相似判定公式
三角形相似判定公式在咱们学习数学的这个大天地里，三角形相似判定公式那可是相当重要的家伙！就好像是打开数学神秘大门的一把关键钥匙。
咱先来说说这相似三角形到底是咋回事。
比如说，你走在路上，看到远处有两个三角形的广告牌，一个大一个小，但它们的形状看起来特别像，这就是相似三角形。
那怎么判定两个三角形相似呢？这就得靠咱们的相似判定公式啦。
第一种判定方法是“两角分别相等的两个三角形相似”。
打个比方，有一天我在教室里给学生讲这个知识点，我就拿了两个三角形的卡片，一个是锐角三角形，一个是钝角三角形。
我先让同学们观察这两个三角形的角，然后问他们觉得这两个三角形相似不。
结果好多同学都摇头，说这形状差别也太大了。
然后我就把锐角三角形的两个角标出来，再把钝角三角形对应的两个角标出来，让他们仔细对比度数。
嘿，这一对比，不少同学就恍然大悟，原来只要两个三角形对应的角相等，形状就相似啦！第二种方法是“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
这就好比做蛋糕，比例就像是蛋糕的配方，夹角就像是搅拌的手法，只有配方对了，手法也对了，做出来的蛋糕形状才会相似。
我记得有一次做练习题，有个同学怎么都理解不了这个公式，我就带着他在黑板上画图，一步一步地分析，从三角形的两条边的长度比例，再到夹角的大小，慢慢地他的眼睛亮了起来，终于搞懂了。
还有一种是“三边成比例的两个三角形相似”。
这个就像搭积木，三块积木长度比例一样，搭出来的形状也就差不多。
学习三角形相似判定公式，可不能死记硬背，得真正理解其中的道理。
比如说，在实际生活中，我们盖房子的时候，如果要确定两个三角架的结构是不是相似，就可以用这些公式来判断，保证房子的结构稳定又安全。
总之，三角形相似判定公式是数学世界里特别有用的工具，只要咱们认真学，用心琢磨，就能在数学的海洋里畅游无阻！怎么样，同学们，现在对三角形相似判定公式是不是更清楚啦？加油，相信大家都能把这部分知识掌握得牢牢的！。
北师大版九年级上册 4.4利用边角关系判定三角形相似 (共20张PPT)
判定相似 看已知条件
选方法
找出判定方法 中所需的条件
课堂检测（独立完成）
如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BF＝ 1 BC， 那么图中有与△ADE相似的三角形吗？ 4 若有，写考
如果△ABC与△A’B’C’两边成比例，且其中 一边所对的角相等，那么这两个三角形一 定相似吗？由此你能得到什么结论？
想一想：
观察上面图形， 如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等，
那么，这两个三角形一定相似吗？
得出结论：
两边对应成比例且其中一边所对的角 对应相等的两个三角形不一定相似。 注意：两边对应成比例并且必须是夹角对应相等 两三角形才一定相似哦．
抢答：
3 要求：先独立思考1分钟，然后抢答并说明理由
实际问题
如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B 两点间的距离，在池塘边任选一点C，连 接AC，BC，并延长AC到D，使CD= 1 AC，延 长BC到E，使CE= 1 BC，连接DE，如2 果测量 DE=20m，那么AB的2 长度是多少？
要求： 先独立完成（2分钟） 然后小组讨论，小组代表在黑板讲解（2分
三角形相似的判定定理:
两边成比例且夹角相等的 两个三角形
相似
C
A
B
∵ A' B' B' C' ∠B’＝∠B
C'
AB BC
∴ △A’B’C’ ∽△ABC A'
B
'
学以致用
A 4 cm
B 6 cm
∠B ' ＝∠B
A'
2 cm
C
B' 3 cm C'
? △A ' B ' C ' ∽△ABC
冀教版数学九年级上册24 相似三角形的判定 第1课时 利用两角相等判定两三角形形似精品课件
∴ △ABC∽△ADE.
课堂小结
证明两个三角形相似，目前来说可以有如下三种方法： 定义法：三组对应边成比例，三组对应角分别相等的两 个三角形叫做相似三角形. 常用结论：平行于三角形的一边，截其他两边或两边的 延长线，所得的三角形与原三角形相似. 相似三角形的判定定理1：两角对应相等的两个三角 形相似.
►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场 面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这 里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺 等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正 享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。 ►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层 叠叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷 叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢 晶的。 它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！
（2）借助刻度尺度量发现，
AB BC AC AB BC AC
（3）证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A′B′， 过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC ∵∠ADE=∠B, ∠B=∠B′ ∴∠ADE=∠B′ 又∵∠A=∠A′, AD=A′B′ ∴△ADE≌△A′B′C′ ∴△A′B′C′∽△ABC
导入新课
观察与思考 问题1 观察学生与老师的直角三角板（30°与60°），会 相似吗？测量测量，得出你的猜想.
问题2 两个人画出两个三角形 ，使三个角分别为60°， 45°, 75° .
①分别量出两个三角形三边的长度； ②这两个三角形相似吗?
【学案】 用两角相等关系判定三角形相似
用两角相等关系判定三角形相似导学目标：1.经历两个三角形相似的探索过程；2.能说出识别两个三角形相似的方法：有两个角分别相等的两个三角形相似；3.会用这种方法判断两个三角形是否相似。
导学重难点：掌握相似三角形的判定定理，并能熟练地运用时重点也是难点 。
导学过程： 一、课前准备：1、判定两个三角形全等有哪些方法；判定两个三角形相似是否一定要知道他们的对应角相等，对应边成比例呢？ 二、自主导学：1、学习23—24页内容，解决下列问题：（1）如果一个三角形的 角分别与另一个三角形的 角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）如图：△ABC 和△A B C '''中，∠ A ＝40°， ∠B ＝80°，∠A '＝80°，∠B '＝60°. △ABC 和△A B C '''相似吗？为什么？（3）如图18.3.5，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，证明:△ADE ∽△EFC .三、想一想，议一议，意见相同吗。
1、每个图形中的两个三角形相似吗，为什么？⑴AB ∥CD ⑵DE ∥BC （3）∠ADE ＝∠C图18.3.5AB CD E（1）（2）A CDE（3）（4）2、在图（4）中找出所有相似的三角形。
四、学完这节课，我知道了：五、课堂测评：1、下列各组三角形一定相似的是（ ）A ．两个直角三角形B ．两个钝角三角形C ．两个等腰三角形D ．两个等边三角形2、△ABC 的两个角分别是60°和72°，和△A B C '''的两个角分别是 60°和48°，△ABC 和△A B C '''3、如图，D 是△ABC 的边AC 上一点，连接BD ，△ABC ∽△BDC,则需 要添加的条件是4、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.5、如图，已知△ABC 与△ADE 的边DE 、AB 相交于O ， 且∠1＝∠2＝∠3.（1） 试证明△ADO ∽△EBO.(2)证明△ADE ∽△ABC.D BADCBA213O第5题ABDEF第4题总结一下吧。