【精品讲义】七年级上册数学 角
七年级数学拓展第八讲三角形与角度计算讲义
第八讲三角形与角度计算
三角形的相关概念
1.三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形
三角形的表示方法：
如图所示，线段AB，BC，AC是三角形的边。点A，B，C是三角形的顶点.∠A，∠C是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC
△ABC的边有时也用a，b，c来表示，图中顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示
三角形是最简单的平面图形，也是认识许多其他图形的基础。我们接触到的很多图形，比如长方形正方形、五边形等等，都可以分解为若干个三角形的形式
2.三角形的分类
三角形可以按边进行分类，也可以按角进行分类
3.三角形中的重要线段
三角形中，最重要的线段无疑是三角形的边。除了边以外，三角形的角平分线、中线、高是三角形中另外三种重要线段
（1）三角形的角平分线如图，三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三角形有3条角平分线
请同学们画出下面三角形的所有角平分线：
注意：
（1）注意区分三角形的角平分线和角的平分线。三角形的角平分线是一条线段，可以度量；角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线，不可度量
（2）任意一个三角形都有三条角平分线，且这三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。内心一定在三角形内部。
（II）三角形的中线如图，在三角形中，连结它的一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线三角形有3条中线
讲义-数学七年级上册-第13讲-角
讲义
【知识梳理】
1．角的定义：
定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．
定义2：角也可以看作是一条射线绕着其端点，从起始位置旋转到终止位置所组成的图形．
【注意】角的定义1是直接根据角的构成作出的静态定义，而定义2是以动态观点定义的，它强调角的形成过程．
2．角的表示方法：
角可用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有四种表示方法．
(1)用三个大写英文字母表示任一个角，如图①所示，记作AOB
∠，其中O为角的顶点，A、B分别为角的两边上的点，“∠”是角的符号．
(2)在一个顶点处只有
．．一个角的角，我们也可以用一个表示顶点的大写字母表示
O
∠，如图①所示．
(3)用小写希腊字母表示，记作α
∠，如图①所示．
(4)用数学表示单独的一个角，记作1
∠，如图①所示．
【注意】表示角时应注意以下问题：(1)用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧；
(2)在一个顶点处有两个及两个以上的角时，其中的任何一个角都不能用一个大写英文字母表示； (3)用小写希腊字母或数字不能表示超过一个以上的角. 3．方位角定义及其应用：
定义：轮船、飞机等物体运动的方向与正北方向之间的夹角称为方位角，如图所示．
【注意】
(1)方位角的正方向与地图中一样，为上北下南，左西右东．
(2)处于四个直角平分线上的方向，也分别被称为东南、东北、西南、西北．
(3)对于其他方向要用到“偏”这个字，例如：北偏东20︒，这里的“偏”字相当于旋转的意思，北偏东20︒，就是以正北方向的射线为始边，绕中心顺时针旋转20︒所成的角的终边所在的方向．一般在表示方向时，始边是正北或正南方向的射线． 4．角的大小比较方法：
5.1.1-5.1.2对顶角、垂线-华东师大版七年级数学上册同步讲义（学生版教师版）
相交线（1）
➢教学目标
1.能从两条直线相交所形成的四个角的关系入手，理解对顶角、互为邻补角的概念，掌握
对顶角的性质．能依据对顶角的性质、邻补角的概念等知识，进行简单的计算．
2.理解两条直线垂直的概念，掌握垂线的性质，能过一点作已知直线的垂线
➢知识点梳理
知识点一、相交线
1.对顶角：如果两个角有一顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长
线，那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．
2.邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种
关系的两个角叫做互为邻补角．
3.对顶角的重要性质是：对顶角相等．
➢典例精析
例1.图中是对顶角的是( A )．
例2.如图，∠1的邻补角是( D )．
(A) ∠BOC(B) ∠BOC和∠AOF (C) ∠AOF(D) ∠BOE和∠AOF
例3.如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOE＝90°．
(1)∠1和∠2叫做对顶__角；∠1和∠4互为__邻补____角；
∠2和∠3互为___余____角；∠1和∠3互为_余_____角；
∠2和∠4互为__邻补____角．
(2)若∠1＝20°，那么∠2＝_20°___；∠3＝∠BOE－∠__2___＝__90___°－__20___°＝
__70___°；
∠4＝∠__AOB____－∠1＝__180____°___20___°＝_160_____°．
例4.如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOC=1
3
∠AOD，则∠BOD数为( B )．
(A)30°(B)45°(C)60°(D)135°
解析：∵∠AOC+∠AOD=180°
北师大版数学七年级上册 4.4 角的计算的五种方式 讲义设计
北师版数学七年级角的计算的五种方式
中考帷幕已经拉下，为了能及时了解在这个舞台上角的表现，今天我们一起启动聚角行动．行动开始：
一、角的度数运算
例1 （计算：50°﹣15°30′=．
分析：计算时，同学们要遵循如下要领：
1、当角的表达形式不同时，以多级表达形式为标准；
2、按照1°=60′，1′=60″运算进制，把两个度数都化成标准形式；
3、按照度对度，分对分，秒对秒的方式列出竖式，然后相加减即可得答案．
解：原式=49°60′﹣15°30′=34°30′．
点评：熟记进制，准确化归成同一形式是计算的关键．
二、对顶角的计算
例2 如图1，直线AB与CD相交于点O，∠AOD=50°，则
∠BOC=°．
分析：在这里，∠AOD与∠BOC是对顶角，根据对顶角相等，可得答案．
解：因为∠BOC与∠AOD是对顶角，所以∠BOC=∠AOD=50°，所以应该填50．
点评：熟记对顶角的性质：对顶角相等是解题关键．
三、余角的计算
例3（2014年邵阳）已知∠α=13°，则∠α的余角大小是．
分析：根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可得解．
解：因为∠α=13°，所以∠α的余角=90°﹣13°=77°．所以答案为：77°．
点评：熟记概念是解题的关键．
四、角的平分线生成的角的计算
例4如图2，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（） A. 50 B. 60 C. 65 D. 70
分析：根据OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°求出∠BOC与∠COD的度数，再根据∠BOD=∠BOC+∠COD即可得出结论．
人教版七年级数学上册培优讲义《第10讲线角压轴题突破》
10 线角压轴题突破
知识目标
模块一线段动点问题
题型一不涉及运动速度的线段动点
例1
如图，点。在线段相上.
A C D B
(1)若线段⑺的长度满足(6-38尸+|148-51=0，求线段月从⑺的长度；2
(2)在(1)的条件下，若M N分别是助、左的中点，且2V
AC<
6,求线段MV的长度：
(3)如图，若G。是线段相的三等分点，尸是线段月。上任意一点，求竺竺竺的值. PD
P ________________________
A C D B
例2
（2014武昌区七上期末）己知，。为线段月6上一点，〃为的中点，X为6。的中点，尸为应的中点.
（1）如图1,若月。=4, BC=6,求6F的长；
AT
（2）若四=165求一«的值；
CB
⑶若AOBC AC-BC=a,取力的中点口，绥的中点七】，鼻耳的中点耳，则C"=
（用含有a的代数式表示）.
A DCF E B
图1
A BA B
备用图1 备用图2
总结归纳
对于线段动点类的题，有时可以利用线段与线段之间的关系，经过一些转换之后巧妙的得到所求（尤其是有多个中点的题），如例1:对于线段关系较复杂的题，可以设元导线段, 便于理清线段关系，化繁为简，如例2：有的题情况较多，需分类讨论.在有一定的解题经验之后，同学们应能根据题目特点选取最简洁、最顺应题目条件的方法来解题.
有时会研究数轴上的线段，特别是当运动的线段（或点）有一定的速度时，我们可以类似
之前“数轴动点问题”的解法，表示动点后表示出相关线段，代入计算即可，如下而的例
3.有时题目即使没有数轴，我们也可以自己建立数轴，转化为数轴动点问题来解决.
2019年七年级数学_角的认识同步讲义+提高练习
角的认识
知识点：
1.角的认识：，这个公共端点是角的，这两条射线是角的
2.角的表示方法:(a) ；(b) ；
(c) ；(d) ;
3.角的度量单位及换算：度、分、秒是常用的角的度量单位。把一个周角等分成360份，每一份就是1度的角，记做1°；把1度角等分成60份，每一份就是1分的角，记做1′；把一分的角等分成60份，每一份就是1秒的角，记做1″。
1°= ′，1′= ″，1周角= °，1平角= °，1直角= °，
1周角=2 =4 =360°，1平角=2 =180°。
方法:（1）把高级单位转化为低级单位要乘进率；（2）把低级单位转化为高级单位要除以进率；（3）转化时必须逐级进行，“越级”转化容易出错。
4.角的大小的比较方法：
（1）：比较两个角的大小时，把角叠合起来使两个角的顶点及一边重合，另一边落在同一条边的同旁，则可比较大小；
（2）：量出角的度数，就可以按照角的度数的大小来比较角的大小。
比较的结果有三种：①两角相等；②一角大于另一角；③一角小于另一角。
5.角的平分线：
6.余角和补角
余角：
补角：
性质：
例1.如图，POQ是一线段，有一只蚂蚁从A点出发，按顺时针方向沿着图中实线爬行，最后又回到A点，则该蚂蚁共转过_________°．
例2.如图,直线AB 与CD 交于点O,OE ⊥CD,OF ⊥AB,∠DOF=650
.求：（1)∠BOE 的度数；（2)∠AOC 的度数．
例3.如图,从O 点引四条射线OA 、OB 、OC 、OD,若∠AOB,∠BOC,∠COD,∠DOA 度数之比为1:2:3:4．
七年级数学上册 角 复习讲义
角知识导图
基础知识点
1
角：有公共端点的两条射线组成
的图形．
角也可以看作由一条射线绕着
它的端点旋转而形成的图形．
1．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，
∠O三种方法表示同一个角的图形是
（）．
A B
C D
2
把一个周角360等分，每一份就
是1度的角，记作1°；把1度的角60
等分，每一份叫做1分的角，记作1′；
把1分得角60等分，每一份叫做1
秒的角，记作1″．
2．计算：
（1）902339'
︒-︒=；
（2）17652'3
︒÷=．
3
角的平分线：从一个角的顶点出
发，把这个角分成两个相等的角的射
线．
3．已知30°
ABC
∠=，BD是
ABC
∠的平分线，则ABD
∠＝______度．
4
如果两个角的和等于90°（直
角），就说这两个角互为余角，即其
4．已知26
α
∠=，则α
∠的补
角是度．
B
1
A
O
C
B
A
1
O
O
C
B
A
1
B
A
1
O
几何图形点、线、面、体
立体图形
平面图形
从不同方向看立体图形
展开立体图形
直线、射线、线段
平面图形
线段的大小比较
两点确定一条直线
两点之间、线段最短
角的度量
角角的比较与运算
余角和补角
角的平分线
等角的余角相等
等角的补角相等
重点题型1
【互余、互补】
5．下列叙述正确的是（ ）．
A ．90︒的角是余角
B ．110︒和90︒的角互为补角
C ．15︒、25︒、50︒的角互为余角
D ．120︒和60︒的角互为补角
6．若90αβ∠+∠=︒，90βγ∠+∠=︒，则α∠与γ∠的关系是（ ）．
A ．互余
B ．互补
C ．相等
D ．90αγ∠=︒+∠ 7．如果一个角的余角是50︒，那么这个角的补角的度数是（ ）．
A ．130︒
苏科版七年级上册数学6.3 余角、补角、对顶角讲义(无答案)
6.3 余角、补角、对顶角
知识点：
1、余角：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中的一个角是另一个角的余角。
2、补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角。
3、余角、补角的性质：同角(或等角)的余角相等；
同角(或等角)的补角相等。
4、对顶角：两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角为对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
5、方位角：方位角其实就是表示方向的角，这种角以正北，正南方向为基准描述物体的方向，如“北偏东30°”，“南偏西40°”等，方位角不能以正东，正西为基准，如不能说成“东偏北60°，西偏南50°”等，但有时如北偏东45°时，我们可以说成东北方向。（拓）
题型一：找余角、补角，对顶角
1、下列判断正确的是（）
A．图（1）中∠1和∠2是一组对顶角
B．图（2）中∠1和∠2是一组对顶角
C．图（3）中∠1和∠2互为补角
D．图（4）中∠1和∠2是互为顶角
2、如图，AOB是一条直线，∠AOC=90°，∠DOE=90°问图中，互余的角有哪几对？哪些角是相等的．
3、在下图中，直线AE、BF、CG、DH交于O点，且，AE⊥CG,DH⊥BF请找出一对互余的角，找出一对互补的角，找出一对对顶角，找出三对相等的角并说出理由．
4、如图，∠1和∠2是对顶角的图形有（）
A.（1）（3）
B.（2）（3）
C.（3）
D.（3）（4）
题型二、求已知角的余角、补角
1.如图，∠1=15°，∠AOC=90°，点B、O、D在同一直线上，则∠2的度数为（）
七年级数学上册《线与角的讲义练习》
7年级数学-线与角的学习
知识点一 线
点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外． （1）直线公理：经过两点有且只有一条直线． 简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了． （3）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法． （4）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点 （5）两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离 知识点二 角
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．
1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
图形
表示方法
端点个数
延伸方向 线段 线段AB 或线段a 两个 不向任何 一方延伸 射线 射线AB 或射线a 一个 向一方无 限延伸 直线
直线AB 或直线a
向两方无 限延伸
（一）两点间的距离
题型一：
【例1】如图，B是线段AD的中点，C是线段BD上任意一点，则下列结论中错误的是（）A．2AB＝AD B．CD＝AD﹣AC C．BC＝AB﹣CD D．AC＝2CD
人教版 七年级(上)数学讲义 角的概念与大小比较 提高班 (含解析)
第9讲角的概念与大小比较
知识定位
讲解用时：5分钟
A、适用范围：人教版初一，基础较好；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，主要学习角的概念与大小比较，掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；能借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.
知识梳理
讲解用时：15分钟
角的定义及其表示方法
(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是
角的顶点，这两条射线是角的两条边．
角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边
和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．
(2)角的表示方法：
有四种表示角的方法：
①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注；
②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两
个以上的角时，不能用这种方法表示角；
③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；
④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要
写在中间．
角的理解(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅
度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特
别说明，所说的角都是指小于平角的角．
1.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
2.角度的换算：
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.
苏科版七年级上册数学6.2角讲义(无答案)
角
1．角的概念及其表示
（1）角的定义：
①从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，这个点叫做角的顶点，这两条射线是角的边
②角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
(2)角的表示方法：
一是用三个大写英文字母表示
二是用角的顶点的一个大写英文字母表示
三是用一个小写希腊字母或一个数字表示
注意：
①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义.
②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.
2.角的分类
3.角的度量
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.
注意：
①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.
②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法
逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)
时用除法逐级进行.
③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.
4.角的平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1＝∠2＝∠AOB，或∠AOB＝2∠1＝2∠2.
类似地，还有角的三等分线等.
5．余角、补角、对顶角
（1）余角、补角：
若∠1+∠2＝90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.
若∠1+∠2＝180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.
结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.
注意：
①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).
七年级数学上册中点及角平分线讲义(新版)新人教版
中点及角平分线（讲义）知识点睛
1.线段上的点把线段分成相等的两条线段，则这个点叫做线段的．
2.如图，若点C 为线段AB 的中点，则中点的六种表示是
．
A C B
3.从一个角的顶点引出一条，把这个角分成两个相等的角，
这条叫做这个角的平分线．
4.如图，若OC 为∠AOB 的平分线，则角平分线的六种表示是
．
A
C
O B 精讲精练
1.已知：如图，线段AB=10 cm，点C 是线段AB 的中点，求
AC 的长．
A C B
2.已知：如图，点C 是线段AB 的中点，AC=4 cm，求AB 的长．
C B
3.已知：如图，线段AB=10 cm，AD=6 cm，点C 是线段AD 的中点，求BC
的长．
A C D B
4.如图，线段AB=4，点O 是线段AB 上一点，点C，D 分别是线段OA，
OB 的中点，求CD 的长．
A C O D B
5.已知：如图，∠AOB=70°，OC 平分∠AOB，求∠AOC 的度数．
A
C
O
A N
6. 如图，已知 OC 平分∠AOB ，OD 平分∠AOC ，且∠COD =25°， 求∠AOB 的度数．
A
D
C
O
B
7. 如图，∠AOB =90°，∠AOC =50°，OM 平分∠BOC ，ON 平分 ∠AOC ，求∠MON 的度数．
B
M
C
8.如图，点O 为直线AB 上一点，∠AOC=50°，OD 平分∠AOC，
∠DOE=90°．
（1）求∠BOD 的度数；
（2）通过计算说明OE 是否平分∠BOC．
C E
D
A O B
【参考答案】
知识点睛
1. 中点
2. AC =BC ，BC =AC
AC 1
AB ， B C 1
人教版七年级数学上册知识点归纳上课讲义
1.1正数和负数
(1)正数：大于0的数;
负数：小于0的数； (2)0既不是正数，也不是负数；
(3)在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义; (4) — a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； (5)自然数：0和正整数统称为自然数; (6) a>0
a 是正数； a>0 a 是正数或0 a 是非负数； a< 0
a 是负数；
a< 0 a 是负数或0 a 是非正数.
1.2有理数
(1)正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数; (2)正整数、0、负整数统称为整数; (3)有理数的分类：
(4)数轴：规定了原点、正方向、单位长度的一条直线；(即数轴的三要素) (5) 一般地，当a 是正数时，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，距离原点 点在原点的左边，距离原点 a 个单位长度;
(6)两点关于原点对称：一般地，设 a 是正数，则在数轴上与原点的距离为 a 的点有两个，它们分别在原点
的左右，表示-a 和a,我们称这两个点关于原点对称； (7)相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数； (8) 一般地，a 的相反数是一a ；特别地，0的相反数是0;
第一章有理数
正有理数
正整
数
正整数
整数
有理数零
有理数
负有理数
负整数
分数
负整数 正分数
a 个单位长度；表示数—a 的
(9)相反数的几何意义：数轴上表示相反数的两个点关于原点对称；
(10)a、b互为相反数a+b=0 ;(即相反数之和为0)
a ，
b ，
(11)a、b互为相反数一1或一1;(即相反数之商为—1)
七年级数学上册知识讲义-6.3认识余角、补角、对顶角-苏科版
初中数学认识余角、补角、对顶角
精讲精练
【考点精讲】
1. 互为余角与互为补角
（1）概念：若，则称、互为余角；
若则称、互为补角。
（2）记法的余角记作；的补角记作。
2. 余角（补角）的性质
同角或等角的余（补）角相等。
3. 对顶角：如下图中，我们把叫做对顶角，也是对顶角。
O
A
D
B
C
4. 对顶角的性质：对顶角相等。
【典例精析】
例题1 如图所示，O是直线AB上的一点，，平分，平分，则图中互为补角的对数有（）
A. 6对
B. 7对
C. 8对
D. 9对
思路导航：是直线AB上的一点，，又，，平分，
，
，
，
。
答案：互补的角有：，，，，，共8对。答案选C。
点评：本题涉及互补的角较多，根据题意计算有关角的度数，再根据互为补角的定义，按照一定的顺序来写，做到既不重复又不遗漏。
例题2 一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的，请你求出这个角的度数。
思路导航：可以直接设元（题中问什么就设什么，直接求出结果），也可以间接设元（先
求出这个角，再求出它的余角），然后列方程求解。
答案：设这个角的度数为，则它的补角、余角分别为，（），根据题意得
，
解得，所以这个角的度数为60度。
点评：有关余角和补角的计算题目，常设未知数，根据题意列方程求解。所设的未知数不同，所得到的方程也不同。
例题3 如图，直线AB、CD交于O点，且∠BOC=80°，OE平分∠BOC，OF
为OE
的反向延长线。
D
（1）求∠2和∠3的度数；
（2）OF平分∠AOD吗？为什么？
思路导航：（1）根据邻补角的定义，即可求得∠2的度数，根据角平分线的定义和平角的定义即可求得∠3的度数；
浙教版数学七年级上册6.6角的大小比较课件
聚焦学练考·学案导学讲义
课前 · 预学区
本课目标 温故知新 预习填空
自主学习 基础落实
基础自测
1. 如图，将∠AOB与∠COB叠合，则∠AOB______∠COB， ＞ ∠AOC______∠AOB.(填“＞”、 ＜ “＜”或“＝”) 2. 如图，∠AOB是直角，则图中钝
角有______ 3 个．
§6.6 角的大小比较
§6.6
角的大小比较
聚焦学练考·学案导学讲义
随堂 · 检测区
即时演练 查漏补缺
(三)解答题 8. 任意作一个直角，一个小于60°的锐角和一个大于
120°的钝角．
作图：略
§6.6
角的大小比较
聚焦学练考·学案导学讲义
随堂 · 检测区
即时演练 查漏补缺
B. 提高部分（共2题，每题10分）Βιβλιοθήκη Baidu
9. 如图，△ABC是等腰三角形，比较∠BAC、∠CAD、 ∠BAD、∠ADB的大小，并说出其中的锐角、直角 和钝角． 解：∠BAC＞∠ADB＞∠CAD＝∠BAD.
作图：略
§6.6
角的大小比较
聚焦学练考·学案导学讲义
典例 · 精析区 【例2】
以题说法 互动探究
如图，写出图中的所有角，并比较它们的大小，
然后指出哪些是直角，哪些是锐角，哪些是钝角．
沪科版数学七年级上册第4章直线与角辅导班讲义
沪科版数学七年级上册第4章直线与角辅
导班讲义
格德教育学科教师辅导讲义
学员编号：年级：初一课时数：
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
授课
类型
G趣味引导T课本同步S线段、射线、直线A
授课日
期时段
教学内容
一、同步知识梳理
知识点一、几何图形
1.几何体分类：平面图形、立体图形
2.几何图形的基本元素：点、线、面、体。点动成线，线动成面，面动成体。知识点二、直线、射线、线段
注：在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．
知识点三、直线的基本性质
（1）经过两点有一条直线，并且只有一条直线。（两点确定一条直线）
（2）两条直线相交只有一个交点
知识点四、线段相关概念
责任成就教师，认真成就孩子！
1.两点之间的间隔：毗连两点间的线段的长度
2.线段的中点：把一条线段分红两条相称线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则AC CB
1
AB，或AB＝2AC＝2BC．
2
图7
要点诠释：
若点C是线段AB的中点，则点C一定在线XXX上．
3.线段的基本性质：经过两点的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短）
二、同步题型阐发
题型一：立体图形的分类
例1．．窥察图中所示的八个几何体．
（1）依次写出这八个几何体的名称：①；②；③；④⑤；
⑥；⑦；⑧．
（2）若几何体按是否包含曲面分类：不含曲面的有；含曲面的有（填序号即可）；（3）对下面的几何体进行分类题型二：直线、射线、线段相关概念
例1以下说法中精确的语句共有几个（）
①两点确定一条直线；
②延长直线AB到C；
③延长线段AB到C，使得AC=BC；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
xx一对一辅导讲义
学生姓名年级七年级科目数学
授课教师上课时间年月日课时2h
教学课题角的计算和证明
教学目标
1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；
2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；
3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；
4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；
5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；
6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．
教学重点
与难点
掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；
了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．
教学过程
考点一、角的概念
1．角的定义：
（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．
（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．
要点诠释：
（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．
图1 图2
（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．
2. 角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：
要点诠释：
用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．
3. 角的画法
（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角（牢记三角板角度）．
（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．
（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．
考点二、角的比较与运算
1. 角度制及其换算
角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的1
60
为1分，记作“1′”，
1′的1
60
为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．
1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．
要点诠释：
在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位．
2. 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．
方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．
方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．
如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．
3. 角的和、差关系
如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．
要点诠释：
(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．
(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．
4. 角平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB
的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =1
2
∠AOB．
要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．
考点三、余角和补角
1. 定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．
类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．
要点诠释：
(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．
(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的
余角大90°。
考点四、方位角
在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．
要点诠释：
（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；
（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；
（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；
（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．
考点五、钟表上有关夹角问题
钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．
【典型例题】
类型一、角的概念及表示
例1.下列语句正确的是( ) ．
A．两条直线相交，组成的图形叫做角．
B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．
C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．
D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．
举一反三：
【变式1】判断下列说法是否正确。